Il Cerchio e le sue Parti.

Il Cerchio Magico Nella geometria piana, cioè con due dimensioni, il

cerchio è la parte delimitata da una circonferenza, cioè quell’insieme di punti equidistanti dal centro. Esso può essere immaginato come un poligono regolare con un numero di lati infinito. I suoi elementi sono

Circonferenza

Circonferenza Raggio Diametro Centro

O raggio

Diametro

Definizioni 1

Cerchio-Spazio racchiuso da una circonferenza

Circonferenza – Insieme di infiniti punti equidistanti dal centro

Raggio-Distanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro.

Diametro-Massima distanza esistente fra due punti appartenenti alla stessa circonferenza - misura il doppio del raggio

Arco - Parte di circonferenza inclusa in un angolo al centro.

Defininizioni 2 Angolo al centro è ogni angolo avente il vertice nel centro di un

cerchio. Angolo alla circonferenza è ogni angolo con il vertice su una

circonferenza o uno secante e l'altro tangente alla circonferenza Conseguenza :

Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti infatti sono tutti congruenti alla metà dello stesso angolo al centro

Definizioni 3

Settore Circolare- E’ la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e da un arco di circonferenza.

Segmento circolare -E’ una porzione di cerchio delimitata da una secante (o corda).

Corona circolare o anello è un insieme di punti del piano compresi tra due cerchi concentrici.

Di magia in magia

Il Cerchio rappresenta la perfezione della natura, l’avvicendarsi delle stagioni, la circolarità dei fenomeni naturali . La parola perimetro deriva dal greco perímetros, composto di perí, intorno, e métron, misura

Il Cerchio è una figura magica. E’ dal rapporto della sua circonferenza con il diametro che ha origine un magico numero:

il pi greco (3,14) il cui simbolo è = C d

Importanza del Cerchio Le figure del cerchio, del triangolo e del quadrato, oltre ad avere

un’importanza propria saranno fondamentali in alcune figure solide come la Piramide, il Cono e il Cilindro, per le quali occorre tenere a mente le formule appena imparate. Esse ci saranno d’aiuto per ricavare la superficie di base, quella laterale, il volume etc. dei solidi citati.

Cerchio A = π x r2 C = 2πr r = VArea

π

Quadrato A= l2 2p = l x 4 l = VArea

Cerchio – la Circonferenza

C = 2πr r = C π = 3,14 (2 x 3,14 x raggio) 2π

oppure C = π d = 3,14 x d (π x diametro ) Formule inverse

r = C d = C da cui = C = 3,14

2π π d conoscendo l’Area cerchio r = V Area

ricorda che (A = π r2 ) π

Elementi Settore Circolare S.c. e Segmento Circolare Sg.

Sett. Circolare Segmento Arco Triangolo

Corda Arco Angolo Alfa α

C

Area Cerchio Formule

A = x r2 da cui r = V Area

Ma da dove deriva questa formula? π

A = C x raggio = C = 3,14

2 r2

ma la C =(2 r) quindi sostituendo

A = 2 r x r = 2 x r2 = x r2 (r x r = r2)

2 2

Area del Segmento Circolare

Asgc = As – Atr.

Elementi

Settore e Segmento Circolare S.c. parte di cerchio racchiusa tra due raggi

Arco Corda Triangolo angolo al centro

Raggio ° centro Circonferenza

Se l’angolo α è minore di 180° ASc = Asett – Atr.

Seg.circ. Settore Circ. Triangolo

α

Area Seg. con angolo α min. di 180° Area Seg. con angolo α magg. di 180°

α ˂ 180° ASc = Asg - Atr

Area Segmento Circolare

α ˃ 180° ASc = ASg + Atr.

C

Come per la circonferenza e il Diametro, ( π = C/D ) anche tra l’area del Cerchio e quella del Settore esiste rapporto. * Utilizzando le proporzioni Il cerchio è formato da un angolo di 360° L’area del cerchio sta all’area del settore come l’angolo giro sta all’apertura angolare del settore

Ac : As = 360° : α

: = 360° : α

da cui As = Ac x α

360

Anche tra la lunghezza della circonferenza e quella dell’Arco esiste un rapporto C : l = 360° : α l = lunghezza Arco

: l = 360° : α l = C x α l

360°

es. C= 188,4 dm

• α = 60° l =?

• 188,4 : X = 360° : 60° l = 188,4 x 60° = 31,4 dm

360°

Oppure, Conoscendo l’Area Ac : As = C : l

: = : l

es. Ac = 7234 cm 2 l = As x C As = 1607cm2 Ac

C = 301 7234 : 1607 = 301 : l

l = ? l = 1607 x 301 = 66,8cm

7234

Calcolare l conoscendo la C.

C : l = 360° : α Es. C = 36 m

α = 60° l

arco l = ?

C : l = 360° : α 36 : x = 360 : 60 X = 36 x 60 1 = l = 36 = 6 m 360 6 6

Corona Circolare La Cc. è un’area delimitata da due circonferenze

Acc = π ( R2 – r2 ) R Es. R = 9m r = 3m r Acc = 3,14 x ( 92 – 32 ) Acc = 3,14 x 72 = 226.08 m2

= -

Cerchio inscritto in un quadrato Dati Aq = 16 mq Ac = ?

Ac = π r2

l = √Aq = √16 = 4 m

r = l/2 r = 4/2 = 2m

Ac = 3,14 x 16= 37,68 q

d = 2.r A D

l raggio

B C Dividendo il quadrato con due diametri opposti, il

raggio del cerchio corrisponde alla metà del lato

del quadrato grande

Quadranti di cerchio inscritti nel Quadrato• Dati : AABCD = 144 cm2 = Quadrato

A fig. centrale = ?

AB= l = √AABCD= √144= 12cm

OB = r = AB/2 = 12 : 2 = 6 cm

A.c.q. 1 +2+3+4 = A cerchio

Ac = π . r2 = 3,14 . 36 = 113,04 cm2

Ac/4 = A.q.(c.1) = 113,04:4= 28.26 cm2

A.fig. centr. = AQ. – Ac

A.f.c. = 144 -113,04 = 30,96cm2

D C

C 1 2

l 3 4

A o B