if969 - Árvores

Árvores Centro de Informá-ca Universidade Federal de Pernambuco Sistemas de Informação Vinicius Cardoso Garcia [email protected]

© 2011 – Vinicius Cardoso Garcia

O que é uma árvore? •  Na ciência da computação,

uma árvore é um modelo abstrato de uma estrutura hierárquica

•  Uma árvore consiste de nós com uma relação de parentesco

•  Aplicações: –  Organiza-onal charts –  Sistemas de arquivos –  Ambientes de programação

Algoritmos e Estrutura de Dados Árvores © 2011 – Vinicius Cardoso Garcia

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Árvores •  Vetores e Listas são ó-mos para representar estrutura de dados lineares, mas não para modelar dados hierárquicos

•  Exemplos de dados hierárquicos: sistema de arquivos de um computador

•  Uma árvore é uma estrutura de dados recursiva que permite representar dados dispostos de maneira hierárquica.


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Definição de Árvore •  Uma árvore écomposta por um conjunto de nós

•  Existe um nó raiz que contém zero ou mais sub-‐árvores, cujas raízes(nós internos) estão ligadas diretamente àraiz.

•  Os nós que não têm filhos são chamados de folhas (nós externos)


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Definição de Árvore •  Ou seja, uma árvore é uma coleção de n ≥ 0 nós, onde – Se n=0, a árvore é dita nula – Se n > 0, a árvore tem as seguintes caracterís-cas:

•  O nó inicial é chamado de raiz (root) •  Os demais nós são par-cionados em T1, T2, ..., Tk estruturas disjuntas de árvores •  As estruturas T1, T2, ..., Tk denominam-‐se sub-‐ árvores


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Exemplo de Árvore •  Sistema de arquivos


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C:\

Meus Documentos

Minhas Imagens

Minhas Músicas

Imagem.png

Arquivos de Programas

Java



7

C:\

Meus Documentos

Minhas Imagens

Minhas Músicas

Imagem.png


Java

Sub-‐árvore



8

C:\

Meus Documentos

Minhas Imagens

Minhas Músicas

Imagem.png


Java

Sub-‐árvore Raiz Raiz de

Sub-‐árvore

Folha


9

subtree

Terminologia

•  Root: node without parent (A) •  Internal node: node with at least one

child (A, B, C, F) •  External node (a.k.a. leaf ): node

without children (E, I, J, K, G, H, D) •  Ancestors of a node: parent,

grandparent, grand-‐grandparent, etc. •  Depth of a node: number of ancestors •  Height of a tree: maximum depth of

any node (3) •  Descendant of a node: child,

grandchild, grand-‐grandchild, etc.

A

B D C

G H E F

I J K

•  Subtree: tree consis-ng of a node and its descendants

Profundidade •  Profundidade de v é o número de ancestrais de v excluindo o próprio


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Algoritmo depth(T, v); se v é a raiz de T então retorne 0 senão retorne 1 + depth(T, w), onde w são os pais de v em T

Altura •  Se v é um nodo externo, então a altura de v é 0 •  Em qualquer outro caso, a altura de v é um mais a altura máxima dos

filhos de v


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Algoritmo altura1(T); h <-‐ 0 para cada vér-ce v em T faça se v é um nodo externo de T então h <-‐ Max(h, depth(T, v)) retorne h

Tipos de árvores •  Árvores binárias – Cada nó tem no máximo dois filhos

•  Árvore com número variável de filhos – Cada nó pode ter vários filhos


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Árvores binárias

•  É uma árvores com as seguintes propriedades –  Cada nó interno possui ao menos dois filhos (exatamente)

–  Um filho de um nó é um par ordenado •  Filho a direita e a esquerda

•  Aplicações –  Expressões aritmé-cas –  Processos decisórios –  Busca


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A

B C

F G D E

H I

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Árvores para Expressão AritméJca

•  Árvores binárias associada a uma expressão aritmé-ca –  Nodos internos: operadores –  Nodos externos: operandos

•  Exemplo: árvore de expressão aritmé-ca para expressão (2 × (a - 1) + (3 × b))

+

× ×

- 2

a 1

3 b


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Árvore de Decisão

•  Árvore binária associada a processos decisórios –  Nodos internos: questões com respostas sim ou não –  Nodos externos: decisões

•  Exemplo: decisão de jantar

Want a fast meal?

How about coffee? On expense account?

Starbucks Spike’s Al Forno Café Paragon

Yes No

Yes No Yes No


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Propriedades de Árvores Binárias

•  Notação n número de nodos e número de nodos

externos i número de nodos

internos h altura

" Propriedades: n  e = i + 1 n  n = 2e - 1 n  h ≤ i n  h ≤ (n - 1)/2 n  e ≤ 2h

n  h ≥ log2 e n  h ≥ log2 (n + 1) - 1


Mais observações •  Se uma árvore binária con-ver m nós no nível l, então no nível l+1 conterá no máximo 2m nós – Assim, no nível l uma árvore poderá conter no máximo 2l nós

– Logo, uma árvore binária completa de profundidade d conterá no máximo um total de nós (tn),


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Mais Observações...

!Se uma árvore binária contiver m nós no nível l, então no nível l+1 conterá no máximo 2m nós" Assim, no nível l uma árvore poderá conter no

máximo 2l

" Logo, uma árvore binária completa de profundidade d conterá no máximo um total de nós (tn),

tn#20$2

1$2

2$%$2

d#&

j#0

d

2j

Mais observações •  Por indução,

– Assim, também é possível determinar a profundidade da árvore binária dado a quan-dade de nós


18

Mais Observações...

! Por indução,

" Assim, também é possível determinar a profundidade da árvore binária dado a quantidade de nós

20#2

0$1%1#1

20$2

1#2

1$1%1#3

20$2

1$2

2#2

2$1%1#7

&

'j#0

d

2j#2

d$1%1

Árvore Completa e Quase-‐Completa •  Uma árvore binária é completa quando todos os pais têm dois filhos (esquerdo e direito)

•  Uma árvore binária é quase completa quando: – Cada folha da árvore es-ver no nível d ou no nível d-‐1

– Para cada nó nd na árvore com um descendente direito no nível d, todos os descendentes esquerdos de nd que forem folhas es-verem também no nível d.


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Representação de um Nó •  Um nodo para uma árvore binária deve conter: – Um campo DADOS – Um ponteiro para o Nó Filho ESQUERDO – Um ponteiro para o Nó Filho DIREITO – Um ponteiro para o Nó PAI


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Representação de um Nodo! Um nodo para uma árvore binária deve conter:

" Um campo DADOS

" Um ponteiro para o Nodo Filho ESQUERDO

" Um ponteiro para o Nodo Filho DIREITO

" Um ponteiro para o Nodo PAI

esq dirpaidados

nodo

Operações Básicas •  Existem várias operações possíveis com árvores binárias,

porém as mais comuns são: –  info(p): retorna o conteúdo do nó p –  esquerdo(p) ou le�(p): retorna o filho esquerdo de p ou None caso não exista filho esquerdo

–  direito(p) ou right(p): retorna o filho direito de p ou None caso não exista filho direito

–  pai(p) ou father(p): retorna o pai de p ou None caso não exista pai

–  irmao(p) ou brother(p): retorna o irmão de p ou None caso não exista irmão

–  ehEsquerdo(p) ou isle�(p): retorna TRUE se p é filho esquerdo do seu pai e FALSE caso contrário

–  ehDireito(p) ou isright(p): retorna TRUE se p é filho direito do seu pai e FALSE caso contrário


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Operações Básicas •  As funções para retorno de filhos esquerdo e direito, pai e conteúdo são triviais: – def getInfo(p): return self.dado – def getLe�(p): return self.esq – def getRight(p): return self.dir – def getFather(p): return self.pai

•  Onde p é um ponteiro para um nó da árvore!

•  Mas, e as demais funções, como implementá-‐ las?


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Operações Básicas •  U-lizando as funções getLe�(p), getRight(p) e getFather(p) é possível escrever as demais funções: – Função isle�(p): é filho esquerdo?


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... !q = getFather(p) !if q == none:! return false; #quando p aponta para raiz if getLeft(q)==p:! return true !return false!

Operações Básicas •  Função isright(p): é filho direito?


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...!q = getFather(p) !if q == null:! return false #quando p aponta para raiz!if getRight(q)==p: ! return true!return false!

Operações Básicas •  Função brother(p): retorna irmão de p


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...!if getFather(p) == null:!return false #quando p aponta para raiz!if isleft(p): ! return getRight(getFather(p))!return getLeft(getFather(p))!

Exercício de fixação •  Ao ler o primeiro número da lista, crie uma árvore binária: – Este número é o nó raiz

•  Ao ler o segundo número da lista, compare com a árvore, – Se for igual ao nó atual, temos uma repe-ção; – Se for maior que o nó atual, vá para o filho direito e repita a comparação;

– Se for menor que o nó atual, vá para o filho da esquerda e repita a comparação


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Percorrendo uma Árvore •  Operação de percorrer uma árvore: – É o ato de caminhar sobre a árvore enumerando cada um dos seus nós uma vez •  É dito visitar um nó a medida que ele é enumerado •  Não existe uma ordem natural para se visitar os nós de uma árvore! É possível citar três métodos: –  Pré-‐ordem ou profundidade ou caminhamento pré-‐fixado –  Em ordem ou ordem simétrica ou caminhamento inter-‐fixado –  Pós-‐ordem ou caminhamento pós-‐fixado


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Caminhamento pré-‐fixado •  Caminhamento é a visita aos nós de uma

árvore de maneira sistemá-ca •  No caminhamento pré-‐fixado, um nó é

visitado antes dos seus decendentes •  Aplicação: imprimir a estrutura de um

documento


28

Make Money Fast!

1. Mo-va-ons 2. Methods

2.1 Stock Fraud

2.2 Ponzi Scheme 1.1 Greed 1.2 Avidity

1

2

3

5

4 6 7

Algoritmo preOrder(v) visit(v) for each child w of v

preorder (w)

Caminhamento pós-‐fixado •  No caminhamento pós-‐fixado, o nó

e visitado após os seus decendentes •  Aplicação: calcular o espaço

ocupado por arquivos em um diretório e subdiretórios


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cs16/

homeworks/ programs/

DDR.java 10K

Stocks.java 25K

h1c.doc 3K

h1nc.doc 2K

7

3

1

6

2 4 5

Algoritmo postOrder(v) for each child w of v

postOrder (w) visit(v)

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Caminhamento interfixado •  Em um caminhamento

interfixado um nó é visitado após a sua sub-‐árvore a esquerda e antes da sua sub-‐árvore direita

•  Aplicação: desenhe uma árvore binária –  x(v) = inorder rank of v –  y(v) = depth of v

Algoritmo inOrder(v) if hasLeft (v)

inOrder (left (v)) visit(v) if hasRight (v)

inOrder (right (v))

3

1

2

5

6

7 9

8

4


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•  Especialização do caminhamento interfixado –  Imprime operando ou operador

quando visita o nó –  imprime “(“ antes de caminhar

na subárvore esquerda –  imprime “)“ após caminhar na

sub-‐árvore direita

Algorithm printExpression(v) if hasLeft (v)

print(“(’’) inOrder (left(v))

print(v.element ()) if hasRight (v)

inOrder (right(v)) print (“)’’) +

× ×

- 2

a 1

3 b ((2 × (a - 1)) + (3 × b))

Impressão de Expressões AritméJcas


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•  Especialização do caminhamento pós-‐fixado –  Método recursivo retornando

o valor da sub-‐árvore –  Quando visitar um nó interno,

combine o valor das sub-‐árvores

Algorithm evalExpr(v) if isExternal (v)

return v.element () else

x ← evalExpr(leftChild (v)) y ← evalExpr(rightChild (v)) ◊ ← operator stored at v return x ◊ y

+

× ×

- 2

5 1

3 2

Avaliando Expressões AritméJcas


AJvidades Complementares •  Leitura da seção 10.4 do livro do Cormen

•  Implemente uma classe árvore binária

•  Implemente a aplicação proposta para avaliação de expressões aritmé-cas – Considere o uso de parênteses


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Documents

arquivos de

rvore meus

altura de

raiz de

minhas msicas

minhas imagens

png algoritmos

raiz