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TRIGONOMETRA

IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

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INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

SEGUNDO SEMESTRE

3IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

3.1 FRMULAS FUNDAMENTALES

La base del estudio de este inciso est en las siguientes 11 frmulas que a continuacin se van a deducir, llamadas frmulas trigonomtricas. Se parte de las definiciones elementales (las cuales se estudiaron en la secundaria) de cada una de las funciones trigonomtricas, referidas a la figura 31.

sen = tan =

y r y x

; ;

cos =

x r

cot = csc =

x y r y

r

y

sec =

r x

;

xfigura 31

3.1.1) FRMULAS DE LOS INVERSOS O DE LOS RECPROCOS Un nmero es el inverso de otro, respecto de cierta operacin, si al operar ambos entre s dan como resultado el elemento neutro de esa operacin. Por ejemplo: en la suma el elemento neutro es el cero, ya que el cero no altera o deja inalterado a todo nmero. De manera que el inverso del nmero + 14 es el - 14, ya que al operar ambos dan como resultado el cero (el elemento neutro de la suma). Por eso se le llama inverso aditivo . En la multiplicacin, el elemento neutro es el uno, ya que el uno deja inalterado en la multiplicacin

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a cualquier nmero. De manera que el inverso de 8 es 1/8, ya que al multicarlos da como resultado el uno (el elemento neutro de la multiplicacin). Por eso se le llama inverso multiplicativo . Un sinnimo de inverso multiplicativo es recproco . De tal manera que el significado que a las siguientes seis frmulas se le va a dar al trmino inverso es el de inverso multiplicativo , o sea que multiplicadas entre s dan el elemento neutro de la multiplicacin: el uno. Por otra parte, cabe recordar que si un nmero n es el inverso multiplicativo de otro nmero m, lo que significa que nm = 1, entonces puede escribirse por simple despeje que

n=

1 m

o bien

m=

1 n

Puede verse en las relaciones trigonomtricas de la pgina 40 que la funcin seno y la funcin cosecante son recprocos o inversos multiplicativos, ya que de su multiplicacin se obtiene

y r i = 1 ; igualmente el coseno con la secante son inversos multiplicativos, ya que de su r ymultiplicacin se obtiene

x r i = 1 y de la misma forma la tangente con la cotangente tamr x y x i = 1 . De manera que las primeras x y

bin lo son, ya que de su multiplicacin se obtiene

seis frmulas trigonomtricas, llamadas por eso de los inversos o recprocos , son:

1

sen =

1 csc 1 cot 1 cos

2

cos =

1 sec 1 tan 1 sen

3

tan =

4

cot =

5

sec =

6

csc =

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A las frmulas anteriores tambin se les conoce con el nombre de frmulas de los recprocos ya que, en particular, a los inversos multiplicativos se les llama recprocos. Dos nmeros son recprocos si se invierten respectivamente el numerador con el denominador. Por ejemplo, 3/4 y 4/3 son recprocos; 2/9 y 9/2 son recprocos. Es claro que si se multiplican entre s dan la unidad, o sea el elemento neutro de la multiplicacin, por lo que, conforme a la definicin de la pgina 40, los recprocos son tambin inversos. Cuidado: los inversos son tambin recprocos solamente en la multiplicacin!.

3.1.2 FRMULAS DEL COCIENTE Dividiendo el seno entre el coseno (ver figura 31, pgina 40) se tiene que:

y sen yr y = r = = = tan x cos xr x re inversamente, dividiendo el coseno entre el seno se obtiene:

x cos xr x = r = = = cot y sen yr y rDe manera que las siguientes dos frmulas, llamadas del cociente, son:

7 8

sen = tan cos cos = cot sen

3.1.3 FRMULAS DE LOS CUADRADOS O PITAGRICAS Aplicando el teorema de Pitgoras a la figura 31 de la pgina 40, se tiene que (A)

r 2 = x2 + y 2

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a) Dividiendo la igualdad (A) entre r 2 , aplicando la propiedad de las igualdades: "Lo que se haga de un lado debe hacerse del otro lado para que la igualdad se conserve", se obtiene:

r2 x2 y2 = 2 + 2 r2 r rsimplificando:

x2 y2 1= 2 + 2 r rque se puede escribir como

x y 1= + r r pero como

2

2

x = cos r

y adems

y = sen r

(ver figura 31, pgina 40)

se llega a la novena frmula que es

9

sen 2 + cos 2 = 1

Significa que para cualquier ngulo , la suma del seno cuadrado de ese ngulo ms el coseno cuadrado del mismo ngulo siempre va a dar la unidad. El alumno puede probarlo con su calculadora, por ejemplo, para = 37 , realizar las operaciones comprobar que el resultado es 1. Dividiendo la igualdad (A) , pgina 42, entre x2 , aplicando la propiedad de las igualdades: "Lo que se haga de un lado debe hacerse del otro lado para que la igualdad se conserve", se obtiene:

( sen 37 )

2

+ ( cos 37 ) para2

b)

r2 x2 y2 = + x2 x2 x2simplificando:

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r2 y2 =1+ 2 x2 xque se puede escribir como

r y =1+ x x pero como

2

2

r = sec x

y adems

y = tan x

(ver figura 31, pgina 40)

se llega a la dcima frmula que es

10

sec 2 = tan 2 + 1

c)

Dividiendo la igualdad (A), pgina 42, entre y2 , aplicando la propiedad de las igualdades (ley Uniforme): "Lo que se haga de un lado debe hacerse del otro lado para que la igualdad se conserve", se obtiene:

r2 x2 y2 = 2 + 2 y2 y ysimplificando:

r2 x2 = 2 +1 y2 yque se puede escribir como

r x = +1 y y pero como

2

2

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r = csc y

y adems

x = cot y

(ver figura 31, pgina 40)

se llega a la dcimoprimera frmula que es

11

csc 2 = cot 2 + 1

En resumen, las ltimas tres frmulas son

9 10 113.2 DEMOSTRACIONES

sen 2 + cos 2 = 1 sec 2 = tan 2 + 1 csc 2 = cot 2 + 1

Dada una proposicin trigonomtrica, demostrarla consiste en transformarla hasta convertirla en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas. Esas transformaciones deben apegarse a ciertas reglas obvias de la Lgica, como el hecho de que "de algo dudoso se obtiene algo dudoso" o que "de algo falso se obtiene algo falso". Por ejemplo, si se establece el siguiente razonamiento: - Donde hay vida, hay muerte. - En la Galaxia Andrmeda hay vida. - Por lo tanto, la muerte existe en la Galaxia Andrmeda. Alguien que haya razonado de la manera anterior puede afirmar que ha demostrado que en la Galaxia Andrmeda se da la muerte; sin embargo, su procedimiento se bas en una premisa dudosa: En la Galaxia Andrmeda hay vida , por lo que su conclusin es dudosa. Es decir, en este momento no se sabe con certeza si realmente existe vida o no por esos lugares, como pueda ser que s, pueda ser que no, por lo tanto es dudosa su conclusin de que la muerte existe en la Galaxia Andrmeda.

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De lo dudoso solamente se pueden obtener cosas dudosas. Otro ejemplo, si se establece el siguiente razonamiento: - Los carnvoros se alimentan de frutas. - El len es un magnfico carnvoro. - Por lo tanto, el len se alimenta de frutas. Alguien que haya razonado de la manera anterior puede afirmar que ha demostrado que el len se alimenta de frutas; sin embargo, su procedimiento se bas en la premisa falsa Los carnvoros se alimentan de frutas , por lo que su conclusin es falsa. De lo falso solamente se pueden obtener cosas falsas. Las demostraciones trigonomtricas se hacen de tal manera que no utilicen nada dudoso ni nada falso para que la conclusin no sea dudosa o falsa. Todo debe ser cierto sin lugar a dudas para que la demostracin sea vlida. Y qu es cierto sin lugar a dudas?: Por una parte, las once frmulas anteriores lo son, pues por eso se dedujeron paso a paso para verificar su validez y veracidad; por otra parte, toda identidad es cierta sin lugar a dudas por ser axiomtica. Una identidad es cualquier cosa igual a s misma. Axiomtico es aquello tan evidente que no requiere demostracin. De tal manera que las anteriores once frmulas son la base de las demostraciones que a continuacin se estudiarn. Para demostrar una proposicin trigonomtrica debe transformarse, ya sea por sustituciones de cualquiera de las frmulas o por pasos algebraicos vlidos, de manera que se llegue a una igualdad que sin duda alguna sea cierta, es decir, que lo escrito del lado izquierdo sea realmente igual a lo escrito del lado derecho.

Para que una igualdad trigonomtrica quede demostrada se debe llegar a: 1) una identidad, es decir, a algo igual a s mismo; o bien 2) a una cualquiera de las frmulas trigonomtricas.

NOTA: Para indicar que una proposicin ha quedado demostrada es indispensable escribir a un lado de ella una palomita T , pues la falta de ella puede interpretarse como una de estas dos cosas: una, que ha quedado demostrada; dos, que la persona que estaba haciendo la demostracin ya no supo continuar y en ese instante se detuvo por ignorancia.

Para facilitar la comprensin y aprendizaje de los procesos de demostracin de igualdades trigonomtricas, conviene clasificarlas o agruparlas, segn la forma que tengan.

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3.2.1 POR SIMILITUD CON ALGUNA FRMULA: PROCEDIMIENTO: Se compara la igualdad que debe demostrarse con la frmula a la que se parece. Entonces el trmino que es diferente de la frmula