İDEAL AKIŞKANLARIN İKİ

BOYUTLU AKIMLARI

ercan kahya

BÖLÜM 7

7.2. TEMEL DENKLEMLER

7.2.1. Süreklilik Denklemi

■ 2-B olarak x-y düzleminde incelenen zamanla değişmeyen bir akımda:

■ Kütlenin korunumu kanunu: kontrol hacmine giren ve çıkan hacimlerin birbirine eşit olmalı:

Sıkıştırılabilen akışkanın zamanla-değişen akımında süreklilik denklemi

Üç boyutlu halde ise; sıkıştırılamayan akışkanlar için süreklilik denklemi:

Sıkıştırılabilen akışkanlar için süreklilik denklemi:

Vektörel formda:

Sıkıştırılamayan Akışkanlar:

Sıkıştırılamayan Akışkanlar:

7.2.2. Hareket Denklemi

Newton'un ikinci hareket denklemini

Birim kütleye etkiyen kütlesel kuvvetin x ve y-eksenlerine paralel bileşenlerini X ve Y ile gösterelim.

■ Akışkan parçacığının ivmesi tanım olarak bu akışkan parçacığının hızının zamana göre türevidir.

(Lagrange bakış açısı) kişisel (tam) türevler

■ Euler bakış açısına göre hız, zamana ve noktanın koordinatlarına bağlıdır.

→ türev almadaki zincir kuralı:

yerel ivme konvektif ivme

Euler hareket denklemleriEuler hareket denklemleri

► İdeal akışkanların iki boyutlu akımlarının hareket denklemleri:

X ve Y: Birim kütleye etkiyen kütlesel kuvvetin x ve y-eksenlerine paralel bileşenleri.

Not: y-ekseni yukarıya yönelmiş düşey doğrultuda düşey bir düzlem ise X = 0, Y = -g

Üç boyutlu halde Euler hareket denklemleri:

Bu denklemler vektörel formda:

Kütlesel Kuvvetler

7.2.3. Enerji Denklemi

● Kütlesel kuvvetlerin sadece yerçekimi● x-y düşey düzlemi● zamanla değişmeyen● ideal akışkan akımında

Euler hareket denklemleri (2-B):

Bu akımda akım çizgisi denklemi:

Bu denklemlerinden birincisini dx, ikincisini dy ile çarptıktan sonra 1den 2 ye kadarakım çizgisi boyunca integre edilirse ve akım çizgisi denklemi ile birlikte manupile edilirse:

7.3. POTANSİYEL AKIMLAR

7.3.1. Çevrinti ve Sirkülasyon7.3.1. Çevrinti ve Sirkülasyon

Çevrinti: Bir akışkanın hareketi sırasında akışkan elemanlarının yaptığı dönme hareketinin açısal hızı

► A noktasından geçmekte olan akışkan parçasının yaptığı dönme hareketinin açısal hızı, şu iki açısal hızın ortalamasına eşit olmalıdır:

(a) AB doğrusunun A etrafında dönme hareketinin ve (b) AD doğrusunun A etrafında dönme hareketinin.

Bir kapalı eğri boyunca hesaplanan integraline sirkülasyon denir:

7.3.2. Çevrintisiz Akım7.3.2. Çevrintisiz Akım

Çevrintisiz (potansiyel) akım: Her noktasında çevrintinin sıfır olduğu akım

Çevrintisiz bir akımda her noktada:

Not: Bir akımda hız gradyanlarının küçük olduğu bölgelerde çevrinti pratik

bakımdan ihmal edilebilecek kadar küçük ise → potansiyel akım kabulü

7.3.3. Akım ve Potansiyel Fonksiyonları7.3.3. Akım ve Potansiyel Fonksiyonları

Akım Fonksiyonu:

● Zamanla değişmeyen

● 2-B (düzlemsel akım)

● Süreklilik denklemini

Bu denklem her zaman sağlanır.

NOT: fonksiyona bir sabitin eklenmesi türev almayı etkilemeyeceğinden daima bir sabit farkıyla tanımlanabilir.

fonksiyonun herhangi bir noktadaki değeri, bu nokta ile O orijini arasındaki herhangi bir çizgiden geçen (şekil düzlemine dik doğrultuda birim uzunluk için) debiyi verir.

Akım Fonksiyonu:

Potansiyel Fonksiyonu

fonksiyonunun tanımlanabilmesi için akımın çevrintisiz olması gerekmez. Akım çevrintisiz ise ayrıca bir potansiyel fonksiyonu tanımlanabilir:

● Çevrintisiz akımlara potansiyel akım da denir.

● Potansiyel fonksiyonu bir sabit farkı ile tanımlanır.

● Bir akım alanında ɸ = sabit çizgilerine potansiyel çizgisi adı verilir.

7.3.4. Potansiyel Akımların Temel Denklemleri

Akım çevrintisiz ise, 1 ve 2 noktaları akım alanı içerisinde herhangi iki nokta olabilir, bunların bir akım çizgisi üzerinde bulunması şartı yoktur.

Akım fonksiyonunu → çevrintisizlik şartı denklemine yerleştirirsek:

Potansiyel fonksiyonunu → süreklilik denklemine yerleştirilerek:

Laplace denklemi ve kısaca şu şekilde yazılır:

7.3.5. Akım Ağı

■ Bir akım alanında çizilen potansiyel ve akım çizgilerinden oluşan çizgiler topluluğuna akım ağı denir.

■ Birbirleriyle kesişen bir akım çizgisiyle bir potansiyel çizgisinin daima birbirlerini dik açı altında keser.

■ Problemin sınır koşullarına uyacak şekilde eğrisel karelerden oluşan bir akım ağı deneme yoluyla çizilir.

■ Ağ çizildikten sonra bir noktadaki hızın değeri yaklaşık olarak:

7.4.2. Yeraltı Suyu Akımı

Yeraltında zeminin boşluklarının tamamen su ile dolmuş olduğu doymuş bölgede yer alan yeraltı suyu akımı (Darcy Kanunu):

Bu akım için bir potansiyel fonksiyonu tanımlanırsa:

olacağından yeraltı suyu akımının potansiyel bir akım olduğu görülür.

Bir bağlamanın altındaki zeminde sızma olayı:

Sınır koşulları:

1°) Bağlamanın temeli, palplanşlar ve geçirimsiz zemin boyunca akımın hızı bu sınırlara teğet olmak zorunda olduğundan bu sınırlar birer akım çizgisidir.

2°) Bağlamanın menba ve mansabında akarsu tabanında basınç hidrostatik kabul edilebileceğine göre, akarsu tabanIarı bir potansiyel çizgisidir.

GERÇEK AKIŞKANLARIN

İKİ BOYUTLU AKIMLARI

ercan kahya

BÖLÜM 8

8.1. GİRİŞ

Bir gerçek akışkanın hareketinde ideal akışkan kabulünün yapılabilmesi için şu iki koşulun birlikte sağlanması gerekir:

1°) Akışkanın viskozitesi küçük olmalıdır (su, hava).

2°) Hız gradyanı küçük olmalıdır.

Buna göre akım alanını iki bölgeye ayırarak incelemek gerekir:

a)Hareketsiz katı sınırların yakınındaki sınır tabakası:

Hız gradyanının ve sürtünmelerin büyük olduğu bu bölgede → akışkan gerçek

b) Katı sınırlardan yeter uzaklıktaki potansiyel akım bölgesi:

Bu bölgede akım → ideal bir akışkanın potansiyel akımı

■ Hız gradyanı büyük olduğu başka bir örnek:

Hareketsiz bir cismin arkasında görülen ayrılma bölgesidir.

GİRİŞ

8.2. TEMEL DENKLEMLER

● Gerçek akışkanların 2-B akımlarında süreklilik denklemi → ideal akışkanlar (7.1 denklemi)

● Enerji denkleminde (hk yük kayıbını ve aynı akım çizgisi üzerindeki iki nokta) → (6.14.a) verilen enerji denklemi

● Hareket denklemlerinde → sürtünme gerilmelerinden doğan kuvvetler

Navier-Stokes denklemleri

3-B Navier-Stokes denklemleri:

Bu denklemler vektörel formda;

8.3.1. İki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akım8.3.1. İki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akım

Süreklilik denklemi (Üniform akım):

x-yönünde Navier-Stokes denklemi:

İki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akımİki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akım

► x-yönünde Navier-Stokes denklemi:

İntegre edilirse ( )

Cı ve C2 sabitleri sınır koşullarından:

O halde u:

y-yönündeki Navier-Stokes denklemi:

İki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akımİki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akım

Özel hal olarak;

Couette AkımıCouette Akımı

Poiseuille AkımıPoiseuille Akımı

U = 0 olması halinde

Maksimum hız:

İki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akımİki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akım

Özel hal olarak;

8.4. SINIR TABAKASI

■ Boru boyunca ilerledikçe boru çeperindeki sürtünme→ bir kısım akışkan yavaşlatılır → sınır tabakası

■ Sınır tabakasının kalınlığı akım doğrultusunca artar

■ Bir süre sonra sınır tabakası bütün boru kesitini kaplar & hız dağılımı kesitten kesite değişmez.

SINIR TABAKASI

Üniform bir akım alanına hız doğrultusunda yerleştirilen düz bir plak:

■ Pratikte u =0,99 U noktasına kadar olan uzaklık sınır tabakası kalınlığı kabul edilir.

■ δ (sınır tabakası kalınlığı): Boyutsal ve deneysel düşüncelerden,

8.5. SINIR TABAKASININ AYRILMASI

Eğrisel bir katı sınır boyunca oluşan sınır tabakası:

C noktasından itibaren sınır tabakasındaki akışkanın bir kısmı esas akım doğrultusunda ilerlemeyip geri dönecek ve bir ters akım oluşacaktır. Bu olaya sınır tabakasının ayrılması (çözülme) denir.

■ Akım alanını çevreleyen sınırların eğriliğinin büyük olması halinde daima ayrılma görülür.

■ Ayrılma bölgesinde hız gradyanı ve türbülans çalkantıları büyük olduğu için önemli yük kayıpları meydana gelir.

■ Bu bakımdan su yapılarında genellikle ayrılma olmaması istenir.

■ Sınırlara uygun bir şekil vermek, akımın yavaşladığı bölgelerde büyük eğriliklerden ve özellikle keskin köşelerden kaçınmak gerekir.

SINIR TABAKASININ AYRILMASI