Integrate:

Find the equation of a curve if

and the curve passes through (1,3)

The rate of change in pressure, p units, at a depth x cm from the surface of a liquid is given by p'(x) = 0.03 x2. If the pressure at the surface is 10 units, find the pressure at a depth of 5 cm.

11.25 units

The growth rate of a city's population has been modelled by the equation:

where t is the time in years after 1995 and N is the population size. In the year 2000 the population numbered 32 000.What will the population be in 2010?

76981

Definite Integrals

By the end of the lesson you will be able to:

• Calculate definite integrals.

• Apply properties of definite integrals.• Understand the relationship between definite   integrals and area.

The definite integral

If f(x)  is a continous function in the interval [a,b], and F(x) is any antiderivative, then:

is called the definite integral

and it is equal to : F(b) ­ F(a)

upper limit

lower limit

From these examples we can see that the definite integral can be a positive number , a negative number or zero.

Let's consider our first example:

f(x) = xthe function in this case is 

Let's draw f(x) between 0 and 3.

In this case the value of the definite integral represents the area below the curve, between 0 and 3.

Let's consider the second example

Draw the graph of y = x3 for , ­1≤x≤1

The value of the definite integral does not represent the area below the curve.

How can we do to calculate the shaded area?

Shaded area = 

Let's consider now the third example:

and the graph of y = 2x+1  for ­3≤x≤1

Again the value of the definite integral does not represent the area below the curve.

How can we calculate this area?

Conclusions:

may be positive, negative or zero.

When  f(x) > 0 in [a , b ]   then 

represents the area under the curve y = f(x), above the x­axis in the interval [a , b ].

•  

•  

Properties of the definite integral

1.

2.

3.where a≤c≤b

4.k ∈ lR

5.

Calculate the area under the curve y=x2 betwen x=1 and x=3.

Calculate the area beneath the curve y =x (x ­ 1) from x= 0 to x =1

Calculate:

check graph first !

Find the area between  the curve  y = x2 + 4 x  and the x­ axis  from x = ­2    to    x = 0 .

check graph first !

Find the area between  the curve  y = x2 + 4 x  and the x­ axis  from x = ­2    to    x = 2 .

16

Check graph first !!

Use of GDC:

Menu Run:   OPTN

CALC (F4)

(F4)

functionlower limit

upper limit

Menu Graph:

Y1 =x2

DRAW

GSOLV (F5)

(F3)

Enter the lower limit and press EXE

Enter  the upper limit and press EXE

Book page 405 Ex 13G : 1a) 2a) and 4, 5, 6.

Page 411 Ex 13H: 1 to 5