hygino domingues-fundamentos de aritmetica[108-127]

5/9/2018 Hygino Domingues-Fundamentos de Aritmetica[108-127]

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COROLARIO 1ois mirneros a e b sao primos entre si se, e somentese, existem xo, YoE Z de maneira que ax., + byo = I. Neste caso e P O S S I V e ! uma t innonstrO(oo rnais elegante que em IN. Da hi-p6tese decorre que existem xo, YoE Z para os quais ax, + byo = d. Daf:

a bdXo +do= 1emonstrao: ( =; E a proposicao 7 para d = 1.( ) E claro que I > 0 e que 1 Ia e

c I (ax, + byo), ou seja, c 1 1 . lib. Agora, se cia e c lb, entao

o que, pelo corolario anterior, garante a tese.

26 = 1818 88 = 2

1 + 82 + 24

COROLARIO 3 Se a lbc e mdc(a, b) = 1, entao alc .Por hipotese existem xo, YoE Z de modo que axo + byo = 1. Daf(acjx, + (bc)yo = C. Como a divide 0 primeiro membro (pols e fator de ac e

divide be, por hip6tese), entao a Ic. COROLARIO 4 Se a e b sao divisores de c*,O e mde(a, b) = 1,

entiio ab Ic.Deixamos a dernonstracao como exercfcio, A ideia e , mais uma vez,

usar 0 corolario 1.

Exemplo 4: Os elementos xo, Yocuja existencia a proposicao anteriorgarante na~ estfio univocamente determinados. Mas 0 processo das divisdessucessivas nos permite encontrar sempre uma solucao para esse problemaquando a "+0 e b"+ 0 (os demais casos sao imediatos), Sejam por exemploa = -26 e b = 18. Como ja vimos:

Nota: 0conceito de maximo divisor comum pode ser estendido paratres ou mais mimeros inteiros, por recorrencia, assim:

2 = 18 - 8 . 2

mdcja, , a2, ... , an) = mdctmdcfa., a2, ... , an~t)' an)Nessas condicoes d E Z e 0maximo divisor eomum de at, , an s e, e somen-te se, id )< 0; iidla;(i = 1,2, ... , n); iiicla;(i =1,2, , n) =;> c ld.

Por exemplo: mdc(-6, -4,8) =mde(mdc(-6, -4), 8)== mde(mde(6, 4), 8) = mde(2, 8) = 2.

onde destacamos OS elementos principals do processo. Como mdc(26, 18) = 2,toma-se a igualdade onde 0 resto e 2 e faz-se:

Como 8= 26- 18 (0 que sai da prirneira das igualdades anteriores),entao:

2 = 18 - (26 - 18 . 1) . 2 = 26(-2) + 18 . 3 6.4 Minimo mutttpto comumIsto mostra que (-2, 3) e solucao de

26x + 18y = 2

mde (~ !. ) = Id'd

DEFINICAO 4 Dados a, b E Z, existe e e iinico 0mfnimo mt1ltiploeomum m de Ia I e Ib I em IN. 0 mimero m e chamado tambern min ima mu / tj -p w comum de a e b. Notacao: m =mmc(a, b) .

Da teoria do mfnimo rmiltiplo comum em IN decorre que mmc(a,b) == mmc(b, a).Seja m = mmc(a, b). Notemos 0 seguinte:

im )< 0 pois m e 0 mme de I a I e Ib I em IN.iiComo m e rmiltiplo de Ia I e de Ib I, entao m e multiple de a e b.iiiSe m' e mult ip le de a e b, tarnbem 0 e de I a I e de Ib I e portanto e mt1ltiplo

de m, pois m = mmc(1 a I. Ib [) (em IN).Reeiprocamente, seja III ; ; a . 0 urn inteiro rmiltiplo de a e de b, tal que to-

do multiple eomum de a e b tambem 0 e de m, Isto posto: a) m e mt1ltiplo de109

Portanto, Xo = 2 e Yo= 3 sao uma solucao de (-26)x + 18y = 2.Observe-se que, por exernplo , (20, 29) tambern e solucao de

(-26)x + l8y = 1. Ainda neste capi tu lo (7) mostraremos como achar 0 eon-junto das solucoes de ax + by = e (a, b, c E Z).

COROLARIO 2 Se a e b estiio em Z, a"+ 0 ou b "+0, e sed = mde(a, b), entao:

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[a] e de Ib I; b ) se m' e multiple de [a] e [b I, m' e rmil tiplo de a e b e portantoe rrniltiplo de m. Logo m e p mmc de [a ] e [b I em IN e entao 0mmc de a e bemZ.

PROPOS/CAO 8 Para quaisquer a, bE Z:mdc(a, b) . mmc(a, b) "" [a j jb ] = [ab]

Em particular, se a*-O ou b *- 0 , entao:

194. Se a = _5;1 . 41, b = 32 5 . 19 e c = -13, determine:a) mdc(a, b) c) mdc(a, b, c)b) mmc(b, c) d) mmc(a, b, c)

195. Se A={xEZlmdc(x, 2)= 1} e B={xEZlmdc(x, 3)= 1}, acheAnB.

[ a b ]mmc(a, b) = mdc(a, b)196. Se n e intei ro, quais os possfveis valores de mdc(n, n + 7)?197. Eneontre os valores possfveis de b em Z de maneira que:

mdcj ja ], Ibl) mmcj ja ], [b ]) = lallbl = [ab ]a) mdc(63 - b, b) = 9b) mdc(20 + b, b) = 4

c) mmc(b, b + 15) = 180(576 )d) mdc ~,b = 8

Denwnslrafiio; De fato, levando em conta a proposlcao 4, capi tu lo II:

Agora e 56 levar em conta quemdc(lal, Ibl) = mde(a, b) e mmcf j a], Ihl) = mmc(a, b)

Ese a*-O ou b *- 0, entao mdc(a, b) = mdc(lal, Ibl) *- O. Logo:mdc(a, b) mmc(a, b) = [ab] "'" mmcta, h) = md~a(~~b)

Por exemplo, como mde(-26, 8) = 2 (exemplo 4), entaommc(-26, 8) = 1-2~1181 = 4 . 26 = 104

198. a) Se n e urn inteiro par, prove que mde(n, n + 2) = 2.b) Se n e fmpar, prove que mdc(n, n + 2) = 1.ResolUfoo de b): Seja d = mdc(n, n + 2). Entao din, d I(n + 2) e por-tanto d 12. Logo d = 1 ou d = 2. Mas como n e Impar, enteo d nao po-de ser igual a 2. Donde d = = 1.

199. Sejam a e b inteiros primos entre si. Prove que mmc (a, h) = Iab I.200. Sejam a, b EZ. Prove que: mdc(a, h) = 1 - mdc(a + b, b) = 1.

Nota; Se a], a2, ... , an E Z (n > 2), entao pode-se definir 0 mfnimormil tiplo comum desses elementos, por recorrencia, do seguinte modo:

201. Sejam a, b e c tres inteiros assim relacionados: c = ab + 1. Prove quemdc(a, c) = mdc(b, c) = 1.

202. Sejam a, be c inteiros arbitrar ios, Se mdc(a, bl= 1 e cl(a + b), proveque mdc(a, c) = mdc(b, c) = 1.ResolupiD; Seja d = mdc(a, c). Entjlo d [a, d [c e, como c I (a + b), en-tao d I (a + b). Logo d [ b, pois b = (a + b) - a. Conseqiientemente d 11,pois 1 = mdc(b, c).

203. Sejam a e b inteiros primos entre si. Prove que mdc(a + b, a - b) = 1ou mdc(a + b, a - b)= 2.

1550 posto, urn elemento m E Z e mfnimo rmlltiplo comum de aI' a2, ... , anse, e somente se:im )< 0; ii adm(i = 1,2, "" n); iii a;lm' (i = 1,2, ... , n) "'" m lm",

Por exemplo: mmc(-6, 10, -12) = mmc(-6, mmc(lO, -12 ='" I_Dmc(6,mmc(10, 12 = mmc(6, 60) = 60,

EXERC!CIOS 204. Mostre que mdc(a, b) = mdc(a, b, a + b), para quaisquer a, b E Z.193. Calcule:

a) mme(-120, 68)b) mde(O, -204)c) mdc(-68, -250)

205. Seja c urn inteiro Impar. Se e e urn divisor de a + be de a - b, mostreque c tambem e urn divisor de d = mdc(a, h).

d) mmc(20, -74)e) mmc(-42, -54)f) mmc(-20, 77, -120)

206. Considere os inteiros a"b e c. Se ale, c jb e mdc(a, b) = 1, prove quea = 1.

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207. Para dois inteiros quaisquer a e b, prove que mde(a, b) = mdc(5a + 3b,13a + 8b). Reso1urao de a): Seja d = mde(2a + b, a + 2b). Entao dl(2a + b),dl(2a + 4b) e portanto dl(3b). Mas mdc(d, b) = 1. De fato, se rid e

rib, entjio rl(a + 2b) e rl(2b) e daf ria ; absurdo pois mdc(a, b) = = 1.Logo d 13, razao pela qual d = = 1 ou d = = 3.08. Se mde(m, b, c) = = 1, prove que mde(a, b, c) = = mde(ma, b, c), para

qualquer a E Z.Resolurao: Seja d = rnde(a, b, c). Obviarnente d ~ 0 e d I (rna), d [b edie. Seja r urn divisor comurn a rna, be c e mostremos que mdc(r, m)= 1. De fatoc se s jr e slm,entaoslb,sjc e sj m e daf s = 1, devido ahip6tese. Como r I(rna), 0 fato de mde (r ,m) = 1 impliea ria. Logo, r Ia,rib erie e portanto rid.

217. Se se efetua a divisao euclidiana de 4 373 e de 826 pelo mesmo mimerob > 0, obtem-se restos 8 e 7, respect ivarnente. Qual 0 valor de b?

218. Determine todos osmimeros de tres algarismos que sao rmiltiplos, si-rnul taneamente , de 9 e 11.

209. Para todo inteiro n, prove que n(n + 1) en + 2 sao primos entre si se ne Impar e mdc(n(n + 1), n + 2) = 2 se n e par. 219. a) Se n e urn intei ro arbit rario, prove que n (2n + 7) (7n + 1) e rmiltiplode 6.b) Prove que ab(a2 + b2 ) (a2 - b2 ) e rmil tiplo de 30, para quaisquer

a, bEZ.10. Se d = mde(-68, 42), ache dois inteiros Xoe Yode maneira que(-68)xo + 42yo = d

211. Eneontre urn par de inteiros xo, Yopara 0qual ( -102) Xo+ ( -49) Yo= 1.Sugestiio para b): Mostrar que a expressao dada e divisfvel por 5 epor 6.

212. Se a e b sao inteiros nao nulos, prove que:a) Existem inteiros x e y para os quais ax + by ee c se, e somente se, e e

rmi lt iplo de d ee mde(a, b).b) Se existern x, y E Z de rnaneira que ax +by = d, onde d =mde (a, b),

entao mdc(x, y) = = 1.

220. Prove que: mde(a, mn) '" 1 - mde(a, m) '" 1 ou mdc(a, n) '" 1.

ResolUfiio: Devido a proposicao 7, existem xo, YoE Z para os quaisd = ax, + byo. Oaf: cd = = (ac)xo + (bc)Yo. Como a I (ae) e, por hipotese,al(bc), entao a led,

Resoluo:( -) Vamos supor mde(a, mn) = = d > 1, mdc(a, m) = 1 e

mde(a, n) = 1. Desta ultima relal(ao deeorre que, para conve-nientes xo, YoE Z, axo + nyo = = I. Oaf aITlXO + mnyo = = .m. Comod divide as parcelas do primeiro membro desta igualdade, dim.Mas d I a e, sendo 1 = = mde(a, m), d = = 1. Absurdo.

( .... ) Admitamos, com a hipotese feita, que mdc(a, mn) = I.Logo, pa-ra algum par xo, YoE Z, axo + mnyo = 1. Mas dar segue, simul-taneamente, que mdc(a, m) = = mdc(a, n) = 1 (corolario 1, propo-sic;ao 7). Absurdo.

213. Demonstre que se a l bc e mde(a, b) = d, entiio a led.

214. Prove que, se a Ic, b [ c e mde(a, b) = d, entao ab Icd. 221. Prove que 0produto de cinco inteiros consecutivos e rmiltiplo de 120.Sugest i io: Use a mesma ideia do exercfcio anterior. 222. Se a, men sao inteiros positives e n e Impar, prove que:

215. Prove que mde(a + b, a - b) ~ mdc(a, b), para quaisquer a, bE Z. mdc(a" - 1, am+ 1) < 2216. Sejam a e b inteiros primos entre si. Prove que:

a) mde(2a + b, a + 2b) :::: 1 o u 3b) mdc(a + b, a2 + b2) :: 1 ou 2c) mdc(a + b, a2 - ab + b2) " , = 1 ou 3

ResolUfiio: Seja d = mdc(a" - 1, am + 1). Entao a" = 1 + kd eam : :::sd - 1. Oaf (an)m = = am" : : 1 + ud e (amt = am"= vd - 1 (verexerdeios 157 e 158). O a f 1 + ud = vd -1 portanto d(v - u) = 2.Donde d 12 ,0 que implica d = 1 ou d = 2.

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6.5 Nameros primos Obviamente a e composto se, e somente se, -a e cornposto. Se a e composto,entao exisrern b, c E Z, 1< b, c < [a], de modo que a"" (bc). De fato, co-mo a + 0 e a + 1, entiio a admite urn divisor primo b > I. Dai a "" bq, on-de q E Z e q + 1 (pois a nao e primo), alem de, obviamente, q + O. Dai[q I > L Considerando ainda que [a] "" [b I Iql e [b] > 1, entao Iq I < Ia].Assim, basta fazer c ::: Iql.

DEFIN1~AO 5 U~ mimero p E Z e chamado in teiro prima (ou sim-.plesmente prirrw) se Ipie primo em IN. .

Por aemplo: -2, -3 e -5 sao inteiros primos pois 2,3 e 5sao primosem IN.

PROPOSI~O 9 Seja p EZ. Entao p e urn inteiro primo se, e 90-mente se, p + 0, p + 1 e os iinicos divisores de p sao 1 e p. EXERCfclOSDemonstTafdo:

( = Se p e primo emZ entao Ipl e primo em IN. Logo Ipl + 0 e Ipl + 1,0que implica p + 0 e p + l.Se alp, entiio lailipi e, devido it hip6tese, [a ] ::: 1 ou [a ] ::: p. Logoa ""1 ou a = p.

( *") S e p '" 0 e p '" 1, entao I p I + 0 e I p I + 1. Se c E IN e c /1 pi, entaoIpl = cq (q E IN) e entao [p I ::: [cq I. Daf p "" cq ::: c (q) e portantocjp (em Z). Pela hip6tese c::: 1 ou c = p. Como c E IN, entiioc = lou c = Ipl. Assim, provamos que Ipl e primo em IN. Logo p eprimo emZ. PROPOSI~AO 10 Sejam a, be p mimeros inteiros, Se pi ab e p e

primo, entia p Ia ou pi b. 'A rkmonslrafiio niio di fere daquela feita para a proposicao 6, capitulo II.

223_ Decomponha em fatores primos, segundo 0 teorema fundamental daaritmetica em Z, os seguintes inteiros:a) -28820 c) -12317b) -1 324413 d) -1996

2 2 . .. . Verifique se sao primos os seguintes inteiros:a) -449 c) -511b) -427 d) -227

225. Seja p urn mimero prlmovp + 2 e p + 3. Prove que existe k E Z demodo que p2::: 24k + 1.Sugestao: A hip6tese obriga que p = 6a 1.

226. Para todo inteiro n, prove que:mdc(n - 1, n2 + n + 1) ::: 1 ou 3

TEOREMA 2 ( teorema jundfJmen .ta l da a ri tm it ic a e m Z): Seja a E Z,a'" 0 e a + 1. Entiio existem mimeros 'primos PI, P2 ' ... , p, E Z (r ; < i ! : 1),todos maiores que 1, de maneira que:

ou

Resoltq:iio: Vamos supor mdc(n - 1, n2 + n + 1) = d > 1 e s eja p urndivisor primo de d. Entiio pl(n - 1)2 e p j(n2 + n + 1); dai p 13n, pois(n2 + n + 1) - (n - 1)2::: 3n. Como p e primo, entiio p 1 3 ou pin. Sep In, como p l(n2 + n + 1), entao p 11,0 que niio e possfvel. Logo p : :: 3(ou p = -3) eo iinico fator primo positive de d e 3. Provemos que 0 ex-poente de 3 em del, ou seja, que d::: 3. Se d = 3" (k > 1), entao91(n - 1) e 91(n2 + n + 1); daf n::: 9r + 1 e n2 + n + 1= 9s; logo,(9r + 1)2+ (9r + 1) + 1 = 81r2 + 27r + 3 = 9(9r2 + 3r) + 3 = 9s, doq.ue resulta 3 (9r2 + 3r) + 1 : :: 3s. Absurdo. Donde, se d > 1, entaod::: 3.

conforme a> Oou a < O.Ademais essa decomposicao, a menos da ordem dosfatores, e unica.A tkmonstrQfao e imediata. No que tange a existencia, basta considerar

que a = Ia 1 e aplicar 0 teorema fundamental da aritmetica (teorema 3, cap.II) ao mimero natural 1 a I. Quanto a unicidade, 0 raciocfnio e 0mesmo em-pregado no referido teorema.

Por exemplo:-100 = _22 . 5 2-105 = -3 . 5 . 7

227. Determine todos os intei ros primos que podem ser escritos como n~- 1,para algum n E Z.

Urn mimero inteiro a o F 0, a+- Ique nao e primo chama-se compos t, 228. Se n e urn inteiro e n3 ...:. I e primo, mostre que n = 2 ou n = -1.11'" 115


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229. Para todo inteiro n > 3, prove que n" + 4 e urn mimerocomposto.Sugestiio: Acrescente 4n2 - 4n2 a expressao e procure fatorar 0 resul-tado.

238. Ern 1742 0 russo Christian Goldbach formulou a seguinte conjectura(conhecida como conjectura tk Goldhach) : "Todo inteiro par maior que 2 esoma de dois mimeros primos positivos'". Por exemplo: 4 = 2 + 2;6"" 3 + 3; 8 "" 3 + 5; 10 "" 3 + 7; 12 :: 5 + 7, etc. Essa ainda e urnaquestao em aberto na Matematica,Admitindo a conjectura de Goldbach, prove que todo inteiro par maierque 5 e igual a soma de tres mimeros primos positives.Sugestiio: Se 2n - 2 = p + q (p e q primos), entao 2n = 2 + p + q e2n + 1 := p + q + 3.

230. Se n2 + 2 e primo, prove que n e rruiltiplo de 3.Sugestiio: Mostre que sao irnpossfveis as alternativas n := 3q + 1 oun= 3q + 2 .

231. Se p ~ 5 e urn mimero primo, prove que p2+ 2 e urn mimero com posto.

233. Sejam d, = mdc(a, bl) e d2 = mdc(a, b2). Prove que mdc(a, blb2) == mdc(a, dJd2 ).

239. Seja p urn mimero Impar. Se pep + 2 sao mimeros primos, diz-se que pe p + 2 sao primos gbruos.a) Mestre que 1 949 e 1 951 sao primos gemeos.b) Se pep + 2 sao primos gemeos e p > 3, mostre que sua soma e rmil-

tiplo de 12.

232. Se 0 resto da divisao euclidiana de urn mirnero primo por 3 e 1, mostreque na divisao desse mimero por 6 0 resto tarnbem e 1.

Sugestiio: Se r e urn divisor qualquer de b.b,; entao r = = rlr2, onde rl edivisor de hi e r2 e divisor de b2 - 0 que e conseqiiencia do teorema fun-damental da aritmetica.234. Seja n ~ 4 - urn mimero inteiro composto. Prove que n divide (n - I)!

240. Seja p * " 5 urn mimero pnmo frnpar. Prove que 10I(p2 - 1) OU101(p2 + 1).

(n-l)!=(n-l) ... (2a)."a ... 2 1o que mostra que a2J(n - I)!

241. Sejam a e b inteiros tais que mdc(a, h) = p, onde p e primo. Prove quemdc(a2, b) = P OU p2.ResolUf( io: Seja mdcj'a", b) = de indiquemos por q urn divisor pr imode d. (Note-se que como pi a2 e p [b, entao d > 1.) Como ql a2 e q [b,entao q [a e q [b: daf q [p e portanto q = p. Assim d = p' (r ~ 1). Vamossupor que r > 2. Entao, de urn lado, p2lb . De outro, p'la2, 0 que leva aa2 = p'q (q EZ); mas pia e entao a = ps (8 E Z); assirn p2S2 = p'q, deonde segue (cancelando p2) que pis e portanto U a que a = ps) p21a. Co-mo porem mdc (a, b) = p, as conciusOes a que chegamos (p21a e p21b)constituem urn absurdo. Logo r " 2.

Resol1lf i i t?: Sendo n composto , entao existem a, bE Z de maneira que1 < a, b " n - 1 e n = ab o Assim, a e b siio fatores de (n - I)! Se a * " b,e imediato, entao, que n divide (n - I)! Se a = b, entao n = a2 ~ 4, 0que irnplica a ~ 2. Daf 2a - < a2 = n e portanto 2a tambem e fator de(n - I)! Donde

235. Ache dois inteiros a e b, se 0 primeiro tern 21 divisores, 0 segundo 10 emdc(a, b) = = 1 250.

242. Se mdc(a, b) = p, onde p e primo, mostre que mdcfa", b) = p, p2ou p",

236. Mostre que M uma infinidade de primos da forma 4r + 1.Sugest iW: Suponha que os primos dessa forma fossern n :P I ' P 2 ' ... , P n'Considere a = P I P 2 ... P n + 1. Os fatores primos de a tern que ser daforma 4n + 3. Mas isso levara a urn absurdo.

243. Quais os valores possfveis de mdcja", b3), se mdc(a, b) e urn ruimeroprimo? Justifique.

237. Ache 0 menor in te iro posi tive n para 0 qual a CunCao f(n) = n 2+ n + 17fornece urn mimero composto. Faca 0 mesrno com as funccesg(n) = n2 + 21n + 1 e hen) = 3n2 + 3n + 23.

244. a) Ache 0 expoente de 5 na decomposicao de 100! em fatores primos.h) Qual 0 expoente de 7 na decomposicao de 1 000 em fatores primos?

Justifique a resposta.Resolurao de a): Os fatores de l00! = 100 . 99 .... 2 . 1 em que 0 5figura sao 5, 10, 15, .. , ' 95, 100 (vinte fatores). Observemos que:5 . 10 . 15 ... 95 . 100 = 520 (1 . 2 . 3 ... 19 . 20). No produto en-

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tre parenteses 0 5 figura nosfatores 5, 10, 15 e 20. Como5 . 10 . 15 . 20 = 5 . (1 . 2 . 3 . 4), entao 0 expoente de 5 no fato-rial 100! e 20 + 4 = 24.

cos, com 0que se distingue substancialmente da matematica grega classica.Devido a essa sua uti lizacjio de metodos algebricos, hoje recebem 0 no-

me de equtlfOtS diofantinas todas as equacoes polinomiais (com qualquer rnimerode inc6gni tas) , com coefic ientes in te iros, sempre que se t ra ta de procurar suaspossfveis solucoes tambem entre os inteiros. Isso embora Diofanto so tenha es-tudado algumas dessas equacoes, em casos part iculares, e embora 0 universoque tenha usado para resolucao de seus problemas Fosse0 conjunto dos mime-ros racionais positivos.

Neste item estudarernos as equtlfOts diofantiTlllSlineares, especialmente comduas inc6gnitas. Consideremos pois uma equacao:

245. Decomponha em fatores primos, segundo 0teorema fundamental daaritrnetica, 0 mimero 50!Suges tao: Estenda 0 raciocfnio do exercfcio anterior a todos os fatorespr imos de 50!

246. Se mdc(a, b) "" d , prove que rndcja", b2 ) = d2.ax+by""c(l)

247. Se P e p2 + 8 sao ambos mimeros primos, prove que pl + 4 tambem eprime. onde a, b E Z e suponhamos a e b nao simultaneamente nulos, Uma solu~de (1) e , neste contexto, urn par (xo, Yo) E Z x Z para 0 qual a igualdade:

axo + byo = ce verdadei ra , Vejamos em que condicdes (1) admite solucoes.

248. Sejam a e b inteiros primos entre si e n urn inteiro tal que n + 2 = P eurn mimero primo. Mostre que:

mde(a + b, a2 - nab + b2 ) = 1 ou [p ]249. Se a '" 2n + 1 e primo (n ~ 1), prove que n = 2' (r ~ 0). PROPOSICAO 11 Uma equacac diofantina ax + by = c, em quea + 0 ou b + 0, admite solucao se, e somente se, rl = mde(a, b) divide e.

Reso/ur t io: Vamos supor que urn dos fatores primos de n Fosse fmpar.Se 2s + 1 (s + 0) e esse fator, entao n '" t(2s + 1), onde t ~ 1, e

a = ( 2,)2


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Demonstroin: Se indicamos gener icamente por (x', y') as solucoesde ax + by = = c, entjio 43 55 = = 3

.'1 = 28 + 31 + 21 + 1

ax' + by' :; c = axo + byoo que equivale a

a(x' - xo) = = b(yo - y')1 = = 3 - 2 . 1 = = 3 - (5 - 3 . 1) == 3 . 2 + 5 . (-1) = (43 - 5 . 8) . 2 ++ 5 . (-1):; 43. 2 + 5 . (-17) e portanto:

(xo, Yo) == (2, -17)Logo (250xo, 250yo) = = (500, -4 250) e uma solucio particular da equacao da-da. Conseqiientemente sua soluCao geral se expressa por:

Oaf, supondo a = dr e b = ds, vemrex' - xo):; s(Yo - y')

onde mdc(r, s) = = 1. Como, pela igualdade anterior, r d ivide s(Yo - y ') , entaor I (Yo- y') e portanto Yo- y' = rt para algum t E Z. Donde x = 50 0 + 5tY = -4 250 - 43t, ay =Yo- rt = Yo- d onde t E Z.

, bx = Xo + st = Xo +d

Nota: Quando os coefic ientes de x e y numa equacio diofant ina linearnii.o sao ambos posit ivos, sua resolueao pode ser fei ta mais facilmente obser-vando que: se (xo>Yo)e soIu~ de ax + by = c, entio (-xo, Yo); (xo, -Yo) e(-xo, - Yo) s a o solucOes respectivamente de

-ax + by = c, ax - by "" c e -ax : - by = c

Observando agora querex' - xo) = s(Yo- y') = srt

obtem-se

Por outro lade n~ h a dificuldade nenhuma em se verificar que, para to-do t E Z, 0 par 7.1 Equa~oes dioiantinas a tree inc6gnitas

(xo + : t, Yo- ~ t )e solucao da equacao dada. Isto conclui a demonstracao. Consideremos agora a equacao alx + a2Y + a,z = b, onde osa;(i = = I, 2, 3) nao sao nulos. A mesma argumentaciio usada para provar aproposieao 11 garante que essa equacao admire soluCOes se, e somente se,d = mdcja, , a2, a,) divide b.

Se mdc (a!, a2) = d I' entao existem k], k2 E Z para os quaisa.k. + a2k2 = d.. E como d = mdc(dJ, a,), entao existem k, ZoE Z de manei-ra que d = d.k + a,zo. Logo:

d = (alk! + a2k2)k + a3z0 = aJ(kJk) + 3-.!(k2k)+ a,zo

COROLARIO Se a e b nao sao nulos e mdc(a, b) = = I, entao a equa-cao diofantina ax + by = c tern conjunto solucao nao vazio dado por

S = {(xo + bt, Yo - at)lt EZ}onde (xo, Yo) e uma de suas solucoes particulares.

Exemplo 5: Vejamos como achar as solucoes de 172x + 20y = 1 000.E claro que essa equacao e equivalente a 43x + 5y = 250, obtida pela divisaode seus coeficientes por 4. Como mdc(43, 5) = 1, esta ultima equacao e compa-l ivel (tern solucoes), 0mesmo ocorrendo, portanto, com a equacao dada. Note-mos que se (x. ,, Yo)e solucao de 43x + 5y= 1, entao 0par (250xo, 250yo) e so-Iuciio de 43x + 5y = 250. Mas uma solucao de 43x + Sy = 1 pode ser achadaconforme 0 exemplo 4: de120

alxo + a2Yo+ a]zO = dAssim, se a.x + a2Y+ a3Z = b admire soluciio, como b = dq, para al-gum q E Z, entao: -

aJ(xoq) + a~(Yoq) + a,(zoq) = dq = = bo que mostra que (xoq, yoq, zoq) e uma de suas solul


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Exemplo 6: Vejamos como encontrar uma solucio par ticular delOOx + 72y + 90z "" 6

Como mdc(IOO, 72,90) = 2 e 216, entao essa equacao e compatfvel. Consi-deremos sua forma equivalente:

ResoluPio: Indiquemos por n, genericamente , esses mimeros, Entaon = llx + 6 = 7y + 3. Oaf l l x - 7y "" -3. Vma solucio particulardesta equacao e (-6, -9) e portanto sua solw;:ao geral e dada porx = -6 - 7t, y = -9 - II t (t E Z). Devemos impor quen = = 11(-6 - 7t) + 6 = -60 - 77t > O. 0 que leva a t = -1. -2, -3, ...e daf x = 1,8, 15.... Logo, n = 17, 94, 171, ... , 77r + 17, . ..SOx+ 36y + 45z = 3

50::: 36 . 1+ 1436= 14 2 + 814=81+68= 61+ 26::: 23

253. Urn parque de diversoes cobra USS 1 a entrada de criancas e USS 3 a deadultos. Para que a arrecadacao de urn dia seja USS 200, qual 0menormimero de pessoas, entre adultos e crianeas, que poderiam freqiientar 0parque nesse dia? Quantas criancas? Quantos adultos?

De

segue:2 = 8 - 6 . 1 = 8 - (14- 8 . 1) . 1= 8 . 2 + 14 . (-1) ==(36- 14 . 2) . 2 + 14 . (-1) =14(-5) + 36 . 2 == (50 - 36 . 1) . (-5) + 36 . 2 = 50 . (-5) + 36 . 7

254. Urn certo mimero de "seis" e de "noves" sao.adicionados e a soma resul-tante e 126. Se 0mimero de "seis" e 0de "noves" fossern permutados, asoma seria 114. Quantos "seis" e quantos "noves" foram somados?

45= 2 . 22 + 1 => 1 = 45 . 1 + 2 . (-22)

255. Ao descontar urn cheque de viagem 0caixa se enganou, de maneira querecebi tantas notas de USS 50 quanto as de USS 10que deveria ter rece-bido e vice-versa. S O depois percebi 0 erro e verifiquei que, se gastasseUSS 300 da importancia recebida, ainda ficaria com 0dobro do valor demeu cheque. Veri fiquei tambem que este valor era 0menor pOSSIVe!pa-ra que tal fato pudesse ocorrer. Qual a importancia do cheque e quantasnotas de cada especie deveria eu ter recebido?

A1em disso:

Donde:1 '" 45 . 1 + [50 . (-5) + 36 7] . (-22) == 50 . no'+ 36 . (-154) + 45 . 1

Logo 0 terno (330, -462, 3) e uma soluC;iioda equacao dada. 256. a) Resolva a equacao diofantina 7x + 19 y = 1 921.b) Determine em IN x IN a solucdo (xo. Y o ) cuja soma Xo + Y o seja amenor possfvel,

EXERCfclOS250. Resolva cada uma das seguintes equacoes diofantinas:

a) 3x + 4y = 20 d) 18x - 20y = -8b) 5x - 2y ::: 2 e) -26x + 39y = 65c) 24x + t38y = 18 f) 12x - 27y = 33

257. Urn fazendei ro que dispCiede USS 1 770 pretende gastar essa import an-cia na compra de cavalos e bois. Se cada cavalo custa USS 31 e cada boiUSS 21. qual 0 maier mimero de animais que pode adquirir? Quantoscavalos? Quantos bois?

251. Dividir 100 em duas parcelas positivas tais que uma e rmiltiplo de 7 e aoutra de 11 (Euler).

258. Uma certa quant idade de ma!;Rse dividida em 37 montes de igual mime-roo Ap6s serem ret iradas 17 frutas, as restantes s a o acondicionadas em79 caixas, cada uma com a mesma quantidade. Quantas ma!;Rs foramcolocadas em cada caixa? Quantas t inha cada monte?

252. Ache todos os intei ros estritamente positives com a seguinte proprieda-de: fornecern resto 6 quando divididos por 11 e resto 3 quando divididospor 7.

259. Determine 0 mimero de solucoes (xo, Y o ) , com Xo > 0 e Yo> 0, para ca-da uma da s equacoes:a) lOx + 28y = 1 240 b) 1 OOOx- 761y = 7

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260. Encontre uma solucao para cada uma das equacoes diofantinas:a) 3x + 5y + 6z "" 4 c) 3lx + 49y - 22z = 2b) 100x + 72y + 90z "" 11 d) 120x + 84y + 1Hz = 60

entao -152 esta na coluna do 2. Assim, a resposta a segunda pergunta esegunda-feira,A defini~ao a seguir e sugerida por questoes como essa,

8. Congru~ncias

DEFINlt;AO 6 Sejam a, be m mimeros inteiros, m > O. Dizemosque at c on gr uo a b, m6dulo m, se m I(a - b). No~ao: a = = b(mod m).

Por exemplo: 7 = = 15(mod 8), pois -81("':8); 3 = = 21 (mod 6), uma vezque 3 - 21 = -18 e divisfvel por 6; a = = a(mod m), Va E Z e Vm > 0, jaquea-a=O e miO.

A definicao 6 estabelece uma reJacao sobre Z, chamada congrublr i a , paraa qual valern as propriedades a seguir:C, Para todo m > 0, a rela.;ao = = e reflexiva, simetrica e transitiva, ou seja, euma relacdo de equivalencia:

a a E Z - a = = a (mod m)b a = = b (mod m) "* b = = a (mod m)c a = = b (mod m) e b = = c (mod m) "* a = = c (mod m)Prova de c: por hipotese ml(a - b) e ml(b - c). Entao, por d4 (cap.III,6.1):

261. De uma interpretacao geometrica , em terrnos de coordenadas cartesia-nas, para 0 fato qe que uma equacao diofant ina l inear em duas incogni-tas quando admire uma solucao, admire infini tas.

o concei to de congruencia, bern como a notacao atraves da qual setomaurn dos instrumentos mais for tes da teoria dos mirneros, foi introduzido porKarl Friedrich Gauss (1777-1855) em sua Disquisi t iones Arithmetiau de 1801.

A tftulo de motivacao, consideremos a seguinte questao: se hoje e saba-do, daqui a 152 dias, que dia da semana sera? E hi 152 dias, que dia da serna-na foi?

Consideremos a seguinte correspondencia biunfvoca entre a sucessaodos dias e 0 conjunto dos mimeros inteiros: ao dia de hoje (sabado) associamoso mimero 0, ao dia de amanha 0 I, e assim por diante; ao dia de ontem (sexta-feira) associamos 0 -1, ao de anteontem 0 -2, etc. Observemos 0 quadro:

----------------------------------------- . . . . . . -~--- . . . . . . . . . ~-... -~... ---~~.. - ... ---- ..-1 4 -13 -12 -11 -10 -9 -8-7 -6 -5 -4 -3 -2 -10 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 19 20

mll(a - b) + (b - c)ou seja, m I (a - c). Donde a :: c (mod m).

Nota: Em virtude dec" sempre que a = = b (mod m) pode-se dizer que ae I)sao congruos e n tr e s i (ou congruos, apenas), modulo m. Se a e b nao sao con-gruos entre si, diremos que sao incongruos m6dulo m e escreveremos a ;J _ b(mod m).C2 Para quaisquer a , b E Z: a = = b (mod m) se, e somente se, a e b fomecem

mesmo resto na divisao eucl idiana por m.Sua pr imeira coluna representa sabados: abaixo da linha do 0, posteriores ahoje; acima, anteriores. A segunda representa domingos, e assim por diante.Notemos que dois inteiros representam 0mesmo dia da seman a se, e somentese, sua diferenca e urn rmil tiplo de 7.

Mas na pr ime ira coluna estao os mimeros da forma 7k, na segunda osda forma 7k + 1, etc., onde k = 0, 1, 2, '" . Como

Prova :

152 = = 7 . 21 + 5

( -) Por hip6tese a = b + km, para algum k E Z. Supondo que a divisaoeuclidiana de b por m se expresse por b = mq + r (0


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Cs Se al5 b (mod m), entjio a e l5 b e (mod m) e ac l5 be (mod m), paratodo e EZ. 8.1 Sistemas comp/etos de restosProm da segunda afirmacao: par hipotese a - b = mq, q E Z. Logo

ac - be = m (qc) e isto signifiea que ac l5 be (mod m). C4 Se a l5 b (mod m) e c l5 d (mod m), entia a c l5 b d (mod m) eac !5bd (mod m).

Sendo a congruencia uma relaclio de equivalencia sabre Z, entac, paratodo m > 0, fica determinada sabre 0 conjunto dos inteiros, atraves de =,uma par ti.;ao em classes de equivalencia, m6dulo m .

Por exemplo, se m = 3, as classes sao:

n nI.a; ;;;; ~ bj(modm) ei-I i-I

n nn a, l5 n bj(modm)._i= i-'l

{ , -9, -6, -3, 0, +3, +6, +9, ... }{ , -8, -5, -2, 1,4,7, 10, }{ , -7, -4, -1, 2, 5, 8,11, }

onde dois elementos de uma mesma classe s a o congruos entre si, modulo 3, edois elementos quaisquer, de classes distin tas, sao incongruos, m6dulo 3.

A escolha conveniente de urn elemento em cada uma das classes, pararepresenta-la, muitas vezes pode facilitar 0 t rabalho com questoes que envol-vern congruencias, Dar a defini t;ao a seguir .

Prom da segunda afi rrnacao: das hip6teses e de Cs decorre que ac l5 be(mod m) e cb ;;;;db (mod m). Logo, pela transitividade: ac ;;;;bd (mod m).Isto posto, por indu~ se mostra que: para quaisquer a., ... , an,

b., ... , b, E Z, se ai ; ;; ;b, (mod m), entao:

Em particular vale aCJ S e a ;;;;b (mod m), enta~ ra ;;;;rb (mod m) e a' ;;;;b' (mod m) , para todo in-teiro r ; " I - 1.

DEFINICAO 7 Urn conjunto de m inteiros, m > 0, forma urn sistemacompkto d e restos mOdulo m sedois quaisquer desses mimeros, di ferenres ent re si,s a o incOngruos m6dulo ro.

&nnpw 7: Mostremos que 10200 - 1 e divisfvel par 11. Como10 ii -1 (mod 11)., entjio 10200;;;;(-1 )200;;;;1 (ffi:od 11). Portanto10200 - 1 l!!! 0 (mod 11)e daf se conclui que:

111(10700 - 1)C6 Se ca ;;;;eb (mod m) e mdc(m, c) = d > 0, entao:

a =b(mod ~)

Exemplo 8: 0 conjunto {O, 1, 2, ... , _m - 1} e um sistema completode restos m6dulo m. De fato, se i e j sao inteiros tais que ' " i < j < m, entao0< j - i < me portanto j j I ! ' imod m). Esse conjunto e chamado sistema com-p l e t o d e r e st os m in i ma s p o s it iv o s.

PROPOSICAO 13 S e {rl, r2, ... , rrn}e um sistema complete de res-tos m6dulo m, entao todo inteiro a e cOngruo a uro e somente um dos rj.

c m- (a - b)=-kd d

DemonstraD: Aplicando 0 algoritmo da divisao aos elementos a em: a = mq + r, onde 0", r < rn, Ou seja: a;;;; r (mod ro), onder E { O ,_ 1, ... , ro - 1}. Por outro lado, como conseqiiencia de C2 , a divisaode r., r2 , , rmpor m fornecera m restos, distintos dois adois, e daf, para urncer to rj, obter-se-a:

Prom: Por hip6tese c(a - b) = mk, para algum k EZ. Daf:

onde mdc( ~ , ~) = 1. Donde ~ I(a - b) e portanto a = b (mod ~).COROLAR10 1Seca a cb (mod m) e mdc(e, m) = 1, entao a = b

(mod m).COROLAR10 2 Se ca;;;; cb (mod p), onde p e primo ~ ptc, entao

a 5< b (mod pl.126

ou_rj = = r (mod m)

Como a ;;;;r (mod m), entao a = rj (mod m) . .Ese a = rk (mod m), entiio rj = = r, (mod m), 0 que impl ica rj= rkt pela

definicao de sistema completo de restos. 127

hygino domingues-fundamentos de aritmetica[108-127]

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e b tambem

e b e portantoe rrniltiplo

e entao

e multiple

e rmiltiplo

agora e

e somentese

existe e e iinico