hydraulique a surface libre -...

José VAZQUEZ

ECOLE NATIONALE DU GENIE DE L’EAU ET DE L’ENVIRONNEMENT DE STRASBOURG

HYDRAULIQUE

A SURFACE LIBRE

FORMATION INITIALE

José VAZQUEZ (Systèmes Hydrauliques Urbains – ENGEES)

AVANT PROPOS

L’hydraulique est très présente dans le domaine de l’environnement. En effet, elle a une place déterminante dans la compréhension, l’analyse et le diagnostic des réseaux d’adduction d’eau potable, des stations de traitement, des réseaux d’assainissement et des rivières. De plus, le contrôle de ces systèmes nécessite une instrumentation qui oblige le concepteur et l’exploitant à une connaissance poussée du fonctionnement hydraulique de ces ouvrages. D’un point de vue réglementaire, la directive 2000/60/CE du Parlement européen établit un cadre pour une politique communautaire dans le domaine de l’eau. Elle incite les Etats membres (dont évidemment la France) à protéger et restaurer la qualité de leurs ressources en eau afin de parvenir à un bon état chimique et écologique. L’eau est donc une préoccupation majeure dans notre civilisation. L’objectif de cet ouvrage destiné aux techniciens et ingénieurs est de fournir les bases nécessaires à la compréhension et au calcul des phénomènes présents en hydraulique appliquée au génie de l’eau et de l’environnement. Chaque notion d’hydraulique est ponctuée par une série d’exercices permettant d’illustrer les concepts présentés. Les exemples sont issus d’ouvrages hydrauliques existant en réseau. Les techniques de calcul qui sont associées à la résolution des équations mises en œuvre sont élaborées dans un souci d’efficacité. Cet ouvrage est composé de plusieurs chapitres qui s’intéressent à l’hydraulique à surface libre. Ce type de comportement hydraulique se rencontre essentiellement en assainissement et surtout en rivière. Après une description des différentes géométries de canaux et de tuyaux, une description détaillée de l’écoulement fluvial et torrentiel permet de comprendre physiquement le phénomène d’ondes qui lui est associé. On traite ensuite les écoulements uniforme et permanent. Dans ce contexte, on fournit les équations ainsi que les techniques de calcul permettant de dimensionner les canalisations. Le diagnostic d’un réseau en régime permanent est réalisé dans le cas des écoulements dits non-uniformes. On s’intéresse dans ce chapitre à la détermination des courbes de remous ainsi qu’à leur technique de calcul. Un chapitre est ensuite consacré aux ouvrages tels que les seuils, les déversoirs latéraux et les vannes de régulation.


Bibliographie AGHTM : Les stations de pompage d’eau, Editions Tec et Doc (2000). BERTRAND-KRAJEWSKI J.L., Mesures en hydrologie urbaine et assainissement, éd. Tec et doc, ed. 2000. CARLIER M. : Hydraulique générale et appliquée, Editions Eyrolles (1972). COMOLET R., Mécanique expérimentale des fluides, Masson, ed.1982. GRAF W. H., ALTINAKAR M. S. : Hydrodynamique : Une introduction, Traité de Génie Civil, Ecole polytechnique fédérale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1995). GRAF W. H., ALTINAKAR M. S. : Hydraulique fluviale : écoulement permanent uniforme et non uniforme, Tome 1, Traité de Génie Civil, Ecole polytechnique fédérale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1993). GRAF W. H., ALTINAKAR M. S. : Hydraulique fluviale : écoulement non permanent et phénomènes de transport, Tome 2, Traité de Génie Civil, Ecole polytechnique fédérale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1996). HAGER W. H. : Wastewater hydraulics theory and practice, Springer, ed. 1999. LENCASTRE A. : Hydraulique générale, Editions Eyrolles (1996). LESIEUR M. : La turbulence, Presses Universitaires de Grenoble, Ed. 1994. SCHIESTEL R. : Modélisation et simulation des écoulements turbulents, Editions Hermès (1993). SINNIGER R.O., HAGER W. H. : Constructions hydrauliques : Ecoulements stationnaires, Traité de Génie Civil, Ecole polytechnique fédérale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1989). VIOLET P.L., CHABARD J.P., Mécanique des fluides appliquée, Presses des ponts et chaussées, ed. 1998.


Sommaire

CHAPITRE I : CARACTERISTIQUES DES ECOULEMENTS ......................................................................5 1. - TYPES D’ECOULEMENT .......................................................................................................................................6

1.1. - Variabilité dans le temps ...........................................................................................................................6 1.2. - Variabilité dans l’espace ...........................................................................................................................6

2. - GEOMETRIE DES CANAUX....................................................................................................................................7 3. - REGIME FLUVIAL OU TORRENTIEL.......................................................................................................................8

3.1. - Le phénomène physique .............................................................................................................................8 4. - LA TURBULENCE DANS UN CANAL.....................................................................................................................10

4.1. - Le phénomène physique ...........................................................................................................................10 4.2. - Approche statistique de la turbulence......................................................................................................14 4.3. - Le nombre de Reynolds............................................................................................................................15

5. - DISTRIBUTION DES VITESSES ET DES PRESSIONS................................................................................................16 5.1. - Répartition des vitesses............................................................................................................................16 5.2. - Répartition de la pression........................................................................................................................23

CHAPITRE II : ECOULEMENT UNIFORME ET PERMANENT ................................................................26 1. - DESCRIPTION ....................................................................................................................................................26 2. - PERTE DE CHARGE.............................................................................................................................................27

2.1. - A partir des écoulements en charge.........................................................................................................27 2.2. - Relation de Chézy ....................................................................................................................................28 2.3. - Formule du type Chézy ............................................................................................................................29

3. - FORMULE DE MANNING-STRICKLER .................................................................................................................30 4. - LA PROFONDEUR NORMALE HN ..........................................................................................................................31 5. - SECTION DE DEBIT MAXIMAL ............................................................................................................................32 6. - SECTIONS COMPLEXES ......................................................................................................................................32 7. - MARGE DE SECURITE ........................................................................................................................................33 8. - LIMITES DE DIMENSIONNEMENT........................................................................................................................33 CHAPITRE III : ECOULEMENT NON UNIFORME ET PERMANENT.....................................................36 1. - CHARGE SPECIFIQUE .........................................................................................................................................36 2. - REGIME CRITIQUE ET CHARGE SPECIFIQUE.........................................................................................37 3. - MOUVEMENT GRADUELLEMENT VARIE .............................................................................................................38

3.1. - Equation de la courbe de remous ............................................................................................................38 3.2. - Formes des courbes de remous................................................................................................................39 3.3. - Section de contrôle...................................................................................................................................45 3.4. - Méthodes de résolution............................................................................................................................45

4. - MOUVEMENT BRUSQUEMENT VARIE .................................................................................................................47 4.1. - Le ressaut hydraulique.............................................................................................................................47 4.2. - Les seuils et déversoirs ............................................................................................................................50 4.3. - Chutes brusques.......................................................................................................................................59 4.4. - Les vannes................................................................................................................................................60

CHAPITRE IV : ECOULEMENT NON UNIFORME ET NON PERMANENT...........................................62 1. - MODELES CONCEPTUELS...................................................................................................................................63

1.1. - Modèle de Muskingum .............................................................................................................................64 1.2. - Modèles de stock......................................................................................................................................65

2. - MODELES MECANISTES DE BARRE DE SAINT-VENANT......................................................................................65 2.1. - Modèles complets.....................................................................................................................................66 2.2. - Evaluation du terme de pertes de charges par frottements .....................................................................71

CHAPITRE V : ANNEXES..................................................................................................................................73


Chapitre I :

CARACTERISTIQUES DES ECOULEMENTS

Ce chapitre constitue un résumé des bases hydrodynamiques des écoulements à surface libre. L’accent n’est pas mis sur l’approche théorique (pour l’instant) mais plutôt sur l’application des concepts de l’hydrodynamique aux écoulements à surface libre. Nous verrons, dans un premier temps, le vocabulaire couramment utilisé dans le domaine de l’hydraulique à surface libre en définissant physiquement les notions d’écoulement uniforme, non-uniforme, de ressaut hydraulique, etc… Dans un deuxième temps, on s’attachera à définir les différentes caractéristiques géométriques utiles pour un calcul hydraulique. Ensuite, un paragraphe complet est consacré à la notion fondamentale d’écoulement fluvial et torrentiel. La compréhension de ces caractéristiques est déterminante pour le calcul de l’évolution de la hauteur d’eau dans un canal en fonction des conditions aux limites. Un chapitre est ensuite consacré à la turbulence. Celle-ci joue un rôle prépondérant dans le calcul des pertes d’énergie le long des canaux. Le dernier chapitre s’intéressera à la forme de la distribution des vitesses et des pressions suivant la hauteur de l’eau. Les écoulements dans les canaux naturels (rivière) et artificiels (irrigation, assainissement) sont, dans la plupart des cas, des écoulements à surface libre. La surface libre est l’interface entre l’air et l’eau. La pression y est égale le plus souvent à la pression atmosphérique.

Surface libre

Ligne de courant Maillage pour le calcul

6 I. Caractéristiques des écoulements


1. - TYPES D’ECOULEMENT On peut définir les écoulements suivants la variabilité des caractéristiques hydrauliques tels que le tirant d’eau et la vitesse en fonction du temps et de l’espace.

1.1. - Variabilité dans le temps Le mouvement est permanent (ou stationnaire) si les vitesses U et la profondeur h restent invariables dans le temps en grandeur et en direction. Le mouvement est non-permanent dans le cas contraire.

Ecoulement permanent Ecoulement non-permanent Au sens strict, l’écoulement dans les canaux est rarement permanent. Néanmoins les variations temporelles sont, dans certains cas, suffisamment lentes pour que l’écoulement puisse être considéré comme une succession de régime permanent. On peut alors définir ainsi le régime quasi-permanent.

1.2. - Variabilité dans l’espace

Le mouvement est uniforme si les paramètres caractérisant l’écoulement restent

invariables dans les diverses sections du canal. La ligne de la pente du fond est donc parallèle à la ligne de la surface libre.

2. Géométrie des canaux 7


Le mouvement est non-uniforme ou varié si les paramètres caractérisant l’écoulement changent d’une section à l’autre. La pente de la surface libre diffère de celle du fond.

Un écoulement non-uniforme peut être accéléré ou décéléré suivant que la vitesse croît ou

décroît dans le sens du mouvement.

Lorsque le mouvement est graduellement varié, la profondeur ainsi que les autres paramètres varient lentement d’une section à l’autre.

Lorsque le mouvement est rapidement varié, les paramètres caractérisant l’écoulement

changent brusquement, parfois avec des discontinuités. Cela se manifeste en général au voisinage d’une singularité, telle qu’un seuil, un rétrécissement, un ressaut hydraulique ou une chute brusque.

Uniforme Graduellement varié

Stationnaire Non uniforme Rapidement varié

ECOULEMENT Graduellement varié

Non stationnaire Non uniforme Rapidement varié

2. - GEOMETRIE DES CANAUX Dans ce chapitre nous allons définir les grandeurs géométriques les plus utilisées permettant de caractériser l’écoulement.

yG

z

• La section transversale d’un canal est la section plane normale à la direction de

l’écoulement. • La surface mouillée, S, est la portion de la section occupée par le fluide dans la section du

canal.



• Un canal dont la section, la pente et la rugosité ne varient pas suivant le sens de l’écoulement est appelé canal prismatique (Les caractéristiques hydrauliques peuvent varier!!).

• Le périmètre mouillé, P, est formé par la longueur de la ligne de contact entre la surface mouillée et les parois de la section (la largeur de la surface libre n’entre pas en compte).

• Le rayon hydraulique est donné par : PSRh =

• La largeur superficielle ou largeur au miroir, B, est la largeur du canal au niveau de la

surface libre. dhdSB =

• La profondeur hydraulique est donnée par : BSDh =

• La pente, I, varie environ de quelque %. • La position du centre de gravité yG par rapport à la surface libre.

( )h

G0

Moment statique : S.y h z B(z)dz= −∫

(ANNEXE 1 : Géométries des sections)

3. - REGIME FLUVIAL OU TORRENTIEL

3.1. - Le phénomène physique Supposons un canal à section constante, à pente constante et avec une hauteur h et un débit constant Q. On crée une perturbation grâce à une vanne que l’on ferme et que l’on ouvre très rapidement.

Qh

Fermeture etouverture rapides

Au niveau de la surface libre, il se crée deux ondes (ondes de gravité). L’une se propage toujours vers l’aval et l’autre se propage vers l’amont si la vitesse dans le canal est inférieure à la vitesse de l’onde de gravité ; elle s’oriente vers l’aval dans le cas contraire.

3. Régime fluvial et torrentiel 9


Q U = c

c’ = 0 c’’ > 0

Q U < c

c’ < 0 c’’ > 0

Q U > c

c’ > 0 c’’ > 0

U : vitesse de l’écoulement c : célérité des ondes c’ : vitesse de l’onde amont c’’ : vitesse de l’onde aval Dans le cas où la vitesse du fluide est supérieure à la vitesse de l’onde c, l’amont n’est pas influencé par les conditions hydrauliques à l’aval (régime torrentiel) ; alors que, dans le cas contraire, on a une remontée de l’onde qui va perturber l’amont (régime fluvial), ce phénomène est appelé influence aval. (ANNEXE 2 : Détermination de la célérité de l’onde de gravité)



La célérité de l’onde de gravité est donnée par la relation :

h2 gDc =

Le nombre de Froude est défini par : h

UFrgD

=

Si Fr=1, on peut définir la hauteur critique par : ( )h c

UFr 1gD h h

= ==

Limites : • Ecoulement fluvial : Fr < 1 ↔ h > hc • Ecoulement critique : Fr = 1 ↔ h = hc • Ecoulement torrentiel : Fr > 1 ↔ h < hc

(ANNEXE 3 : Approximation du nombre de Froude et de la hauteur critique)

4. - LA TURBULENCE DANS UN CANAL

4.1. - Le phénomène physique

La turbulence est un mouvement tourbillonnaire qui présente une large étendue de dimensions de tourbillons et de vitesse de rotation. Ce mouvement toujours rotationnel peut être conçu comme un enchevêtrement de structures tourbillonnaires dont les vecteurs rotationnels sont orientés dans toutes les directions et sont fortement instationnaires (même en régime dit : « permanent »). La différence entre les plus gros et les plus petits tourbillons, augmente avec l’intensité de la turbulence. Les structures turbulentes peuvent être considérées

4. La turbulence dans un canal 11


comme des éléments tourbillonnaires qui s’étirent les uns les autres. Cet allongement des filets tourbillons est un aspect essentiel du mouvement turbulent. Il produit le passage de l’énergie à des échelles de plus en plus petites jusqu’à ce que les forces visqueuses deviennent actives et dissipent l’énergie : c’est la cascade d’énergie.

Richardson 1922 : Les gros tourbillons ont des petits tourbillons, Qui se nourrissent de leur vitesse, Et les petits tourbillons en ont de plus petits, Et c’est ainsi jusqu’à la viscosité.

Les gros tourbillons qui sont associés aux basses fréquences du spectre, sont

déterminés par les conditions aux limites de l’écoulement et leur dimension est de l’ordre de grandeur du domaine occupé par l’écoulement. Les gros tourbillons interagissent avec l’écoulement moyen car leur échelle est du même ordre de grandeur, ils extraient de l’énergie cinétique du mouvement moyen et la fournissent aux agitations à grande échelle. C’est surtout les mouvements à grande échelle qui transportent la quantité de mouvement et la chaleur. Ainsi le taux de dissipation d’énergie est déterminé par les mouvements à grandes échelles bien que la dissipation soit un processus visqueux dont les petits tourbillons sont le siège. La viscosité du fluide ne détermine pas le taux de dissipation mais seulement l’échelle à laquelle cette dissipation se produit.



E(k) : spectre d’énergie ou densité d’énergie cinétique turbulente.

κ : 2rπ

κ = avec r longueur de l’onde.

Vr

Vr

r

Une solution turbulente est toujours une solution compliquée non stationnaire des équations du mouvement, présentant des fluctuations irrégulières dans l’espace et dans le temps.

Henri Poincarré d’après J.L. Chabert et A.D. Dalmedico 1991 : Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissons exactement les lois de la nature et la situation de …« l’écoulement » à l’instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même « écoulement » à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation initiale qu’approximativement (…) ; il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux.



4.2. - Approche statistique de la turbulence Devant cet aspect désordonné de l’évolution turbulente et cette apparente complexité du phénomène, l’attitude naturelle et la plus utilisée a été d’introduire des méthodes statistiques. Dans ce cas, les méthodes statistiques alimentées par des modèles de turbulence ne décrivent pas le détail du mouvement turbulent mais uniquement les effets que ce mouvement produit sur l’écoulement moyen. Pour un écoulement turbulent, la vitesse en un point, u, indique que des fluctuations aléatoires de haute fréquence, u’, se superposent à des vitesses moyennes temporelles u . Ainsi, on considère que la vitesse instantanée, u, est la somme d’une vitesse moyenne, u , et d’une vitesse due aux fluctuations, u’, on l’écrit :

u'uu +=

La valeur moyenne de la vitesse est définie par : dtuT1u

Tt

t∫+

=

L’intervalle de temps, T, doit être suffisamment important pour englober un grand nombre de fluctuations de vitesse et la vitesse moyenne doit conserver une valeur fixe quel que soit cet

intervalle. 0dt'uT1'u

Tt

t

== ∫+

Les valeurs moyennes 'u sont donc nulles, mais il n’en est pas de même des valeurs moyennes de u’2. Les expériences montrent que la distribution des fluctuations de vitesse, u’ est quasi gaussienne.

( )

22

2uu

'u

e2

1)'u(f2

2

=σ

πσ=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

σ−−

L’intensité de la turbulence ou degré de turbulence est défini par :

u'uI2

= , pour un écoulement unidirectionnel, l’intensité de turbulence dépasse rarement la

valeur : 1.0u

'uI2

≤=



4.3. - Le nombre de Reynolds Le nombre de Reynolds caractérise la turbulence. C’est le rapport entre les forces inerties et les forces de viscosité. Dans le cas des écoulements en canaux Re est donné par :

RR U

eh=ν

U : vitesse moyenne de l’écoulement, Rh : Rayon hydraulique, ν : viscosité cinématique.

Dans les écoulements à surface libre, le régime visqueux existe pour des valeurs du nombre de Reynolds inférieur à 500. Ce régime ne se produit que dans des canaux extrêmement petits (≈ mm) ou avec des vitesses très faibles (≈ mm/s). Dans ce cas, ces applications techniques se limitent presque exclusivement à la théorie du graissage. Dans le cas des écoulements en charge on a :

• Ecoulement laminaire : Re < 2000 • Transition 2000 < Re < 4000 • Ecoulement turbulent : Re > 4000

Pour les conduites circulaires en charge on a : hDR4

= .



Les expériences avec différents canaux à surface libre de grandeurs comparables à ceux utilisés pour l’assainissement montrent que l’écoulement est turbulent dès que le nombre de Reynolds atteint des valeurs de 4000. Limites :

• Ecoulement laminaire : Re < 500 • Transition 500 < Re < 1000 • Ecoulement turbulent : Re > 1000

5. - DISTRIBUTION DES VITESSES ET DES PRESSIONS

5.1. - Répartition des vitesses

5.1.1. - Représentation 1D, 2D et 3D Un écoulement permanent dépend généralement de trois variables x, y et z. On l’appelle écoulement tridimensionnel. Pour un canal, l’écoulement est représenté par la figure suivante :

Si le canal a une largeur B, importante par rapport à la profondeur h, l’écoulement est considéré bidimensionnel, sauf sur une petite distance proche des parois verticales.

5. Distribution des vitesses et des pressions 17


Les calculs en hydraulique sont considérablement facilités si on admet que l’écoulement est unidimensionnel. On utilise donc la vitesse moyenne. Dans les canaux de géométrie simple, on ne rencontre généralement que des écoulements turbulents où la vitesse ponctuelle diffère peu de la vitesse moyenne.

5.1.2. - Détermination des contraintes de cisaillement Dans un écoulement turbulent, on a les forces de viscosité et les forces de turbulence. La contrainte de cisaillement peut donc s’écrire :

e turbulencde force viscositéde forcexz τ+τ=τ Pour l’écoulement dans un canal, la répartition verticale des contraintes tangentielles est donnée par la figure suivante :

A la paroi et tout près de la paroi, les contraintes se confondent avec les tensions de viscosité. Les tensions dues à la turbulence tendent vers zéro. Le gradient de vitesse est important.

En s’éloignant légèrement de la paroi, l’écoulement turbulent génère des tensions dues à la turbulence qui deviennent importantes par rapport aux tensions dues à la viscosité.

Loin de la paroi, les tensions dues à la turbulence deviennent prépondérantes. On appelle zone intérieure la zone pour laquelle la tension est constante.



La tension totale atteint une valeur maximale 0τ près de la paroi et une valeur nulle en surface.

La contrainte de cisaillement 0τ est obtenue en faisant l’équilibre des forces d’un canal

prismatique en régime permanent et uniforme :

On a : IgR h0 ρ=τ Afin de pouvoir déterminer la distribution des vitesses suivant la verticale, il est nécessaire de prendre en compte un modèle de turbulence pour déterminer la contrainte de cisaillement générée par les forces de frottement. Dans ce cas, le modèle de turbulence ne décrit pas le détail du mouvement turbulent mais uniquement les effets que ce mouvement produit sur l’écoulement moyen.

La contrainte de viscosité s’écrit en fonction de la loi de comportement du fluide newtonien :

zu

viscositéde force ∂∂

ρν=τ

Le modèle de turbulence de Boussinesq considère que les forces de turbulence agissent comme les forces de viscosité :

zu

e turbulencde force ∂∂

ρε=τ



On appelle ε le coefficient de mélange. Il a la dimension de la viscosité cinématique, c’est pourquoi il est souvent appelé viscosité turbulence. Les deux viscosités ε et ν sont fondamentalement différentes ; ν est une propriété du fluide et ε est une caractéristique de l’écoulement. Prandt considère que la viscosité turbulente ε est proportionnelle à la variation de la vitesse

suivant la verticale. zul2

∂∂

=ε ou l est appelée longueur de mélange. Les hypothèses de Prandt

sont des approximations qui ne sont justifiées que par une bonne concordance avec les données expérimentales. On a donc :

( )zu

xz

e turbulencde force viscositéde forcexz

∂∂

ε+νρ=τ

τ+τ=τ

5.1.3. - Détermination du profil de vitesse Compte tenu des remarques précédentes, il est ainsi justifié d’admettre que pour un écoulement le long d’une surface les tensions totales sont souvent exprimées par les tensions dues à la turbulence :

( )2

2xz

e turbulencde force viscositéde forcexz

zul

zu

0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ρ=∂∂

ρε=τ

τ+≈τ=τ

En admettant que la longueur de mélange l peut s’écrire suivant Prandt de la façon suivante :

z.l κ= ou κ est la constante de Karman valable près de la paroi (dans la zone dite interne). On a près de la paroi :

222

0 dzudz ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρκ=τ

Après intégration, on a : B)zln(.A)z(u +=



Bien que la relation précédente ne soit valable que dans la zone interne, les expériences montrent une assez bonne concordance sur toute la profondeur d’eau du canal. La distribution de la vitesse suivant la verticale pour un écoulement turbulent est logarithmique :

B)zln(.A)z(u += . Les constantes numériques sont obtenues par de nombreuses expériences pour les écoulements uniformes. Pour les écoulements non-uniformes, ces constantes sont légèrement différentes.

5.1.4. - Mesure des champs de vitesse Dans une section normale à la direction de l’écoulement, si l’on connaît la distribution des vitesses ponctuelles dans la section, la vitesse moyenne dans cette section est donnée par :

∫=SVdS

S1U

On applique parfois des règles empiriques qui permettent de mesurer la vitesse en un certain nombre de points seulement. Ainsi pour les canaux rectangulaires, on recommande le procédé suivant : Vn : la vitesse moyenne sur une verticale n :

( )6,n5,n4,n3,n2,n1,nn VV.2V.3V.3V.2V121V +++++=

La vitesse dans la section à la valeur :

( )654321 VV.2V.3V.3V.2V121U +++++=

Pour déterminer la vitesse moyenne, U, dans une section, on donne les relations approximatives suivantes :



U = (0.8 à 0.9) Usurface de l’eau (formule de Prony)

U = 0.5 (u0.2 + u0.8)

U = u0.4



Distribution de la vitesse dans le plan et longitudinale



5.2. - Répartition de la pression Le système d’équations intrinsèques consiste à écrire les équations d’Euler en régime permanent ( ∂ ∂t = 0 ) dans un repère particulier. Ce repère est constitué par les lignes de courant pour le vecteur t et par le vecteur n tel que v ⊥ n.

en appelant sr le vecteur unitaire de la tangente à la trajectoire, on a :

sVV rr= et

dtsdVs

dtdV

dtVd r

rr

+=

avec : VRn

dtds.

dssd

dtsd rrr

==

R : rayon de courbure et nr le vecteur perpendiculaire à sr .



nsuivant )ph.g.(n

1RV.V

ssuivant )ph.g.(s

1sVV

r

r

+ρ∂∂

ρ−=

+ρ∂∂

ρ−=

∂∂

Pour un écoulement uniforme, lorsque la vitesse moyenne U est constante et les lignes de courant sensiblement rectilignes, la répartition de la pression est hydrostatique dans la section droite du canal.

Pour un écoulement non uniforme, à courbure convergente ou divergente, il existe une accélération qui provoque une force d’inertie.

[ ]2V n .g.h p suivant n

R⎛ ⎞

−ρ ∂ = ∂ ρ +⎜ ⎟⎝ ⎠

r

[ ].g.h pρ + augmente toujours quand on s’éloigne du centre de courbure de la trajectoire.

h

h

n

La répartition de la pression n’est plus hydrostatique. Pour un courant extérieurement concave, la force centrifuge augmente les pressions ; pour un courant convexe, cette force diminue les pressions. Dans le dernier cas, elle peut même les rendre inférieures à la pression



atmosphérique, provoquant un décollement du liquide du fond du canal et une pression négative par rapport à la pression atmosphérique.


Chapitre II :

ECOULEMENT UNIFORME ET PERMANENT

1. - DESCRIPTION L’écoulement uniforme et permanent se caractérise par une constance des paramètres hydrauliques. Ainsi la vitesse moyenne, le tirant d’eau et donc le débit restent invariables dans les différentes sections du canal le long de l’écoulement. Les lignes de courants sont rectilignes et parallèles et la pression verticale peut donc être considérée comme hydrostatique. La pente de fond, la pente de la surface libre et la pente de la ligne d’énergie sont parallèles.

Pente du fond

Pente de la surface libre

Pente énergétique

z

p/γ

u2/(2g)

PdR Dans les écoulements à surface libre, il est commode de considérer la charge par rapport au fond du canal que l’on désigne par la charge spécifique.

2. Perte de charge 27


Si on admet que la pente du fond du canal est presque constante et positive et que les caractéristiques de rugosité ne changent pas considérablement, un état d’équilibre peut apparaître entre les forces de pesanteur et les forces de frottement. La hauteur d’eau résultante s’appelle hauteur normale et ne dépend que du débit, du fluide, de la forme de la section ainsi que de la rugosité. Cette hauteur apparaît toujours après une distance importante (≈ 20 à 50 fois le diamètre) des conditions amont et aval. L’écoulement véritablement uniforme est très rare dans les canaux. On ne l’observe que dans des canaux prismatiques très longs et situés loin des perturbations. On a donc vu que la pente du canal (I), la pente de la surface libre (Psl), et la perte de charge (J) par unité de poids et par unité de longueur de canal sont identiques : I = Psl = J et ceci pour des conditions fluviales ou torrentielles.

2. - PERTE DE CHARGE

2.1. - A partir des écoulements en charge Dans le cas des conduites circulaires en charge rectilignes prismatiques à rugosité de paroi uniforme, la perte de charge par unité de longueur s’écrit :

Dg2VJ

2 λ=

λ : coefficient de perte de charge, V : vitesse, D : diamètre. Le coefficient de perte de charge peut être exprimé par la relation de Colebrook :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

λ+

ε−=

λ Re51,2

7,3log21 avec : Re > 4000

avec : Re nombre de reynolds,

ε : rugosité relative de paroi Dks

=ε

ks : rugosité équivalente de sable ou rugosité standard. L’idée d’appliquer ces équations également aux écoulements à surface libre est évidente. En introduisant le rayon hydraulique Rh=D/4 dans les relations précédentes, on établit ainsi une relation qui permet d’exprimer la hauteur uniforme. En réalité le rayon hydraulique Rh est un paramètre arbitraire utilisé pour caractériser un écoulement. Rh peut caractériser une infinité de profils de formes géométriques différentes. Or la forme de la conduite influence l’écoulement. Cependant, comparé à l’exactitude de la détermination de la rugosité et aux conditions de base de l’écoulement uniforme, l’influence est faible. Compte tenu de la complexité de la relation de Colebrook, on utilise plus souvent les relations du type Chézy.

28 II- Ecoulement uniforme et permanent


2.2. - Relation de Chézy Nous allons déterminer la perte de charge à partir de l’analyse dimensionnelle : Les variables qui interviennent sont les suivantes :

Variables Symboles Dimensions Perte de charge par unité de longueur

lp

∆∆ ML-2T-2

Rayon hydraulique Rh L Vitesse moyenne de l’écoulement U LT-1

Masse volumique ρ ML-3

On suppose que la relation est un produit de puissance :

cbah .U.R.

lp

ρξ=∆∆

ξ est une constante adimensionnelle. La relation dimensionnelle est alors :

( ) ( ) ( )c3b1a22 MLLTLTML −−−− = Ce qui donne : L : -2 = a+b-3c M : 1 = c T : -2 = -b D’où en regroupant :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρξ=

∆∆

h

2

RU.

lp

En régime uniforme on a : lPIJPsl

∆∆

===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρξ==

∆∆

h

2

RU'.I

lp

ce qui donne : IRCU h=

I : la pente U : la vitesse Rh : le rayon hydraulique On appelle cette équation la relation de Chézy, où C est le coefficient de résistance selon Chézy. Différentes formules ont été avancées pour exprimer ce coefficient de résistance :

Coefficient de Bazin et Kutter Coefficient de Manning Strickler

2. Perte de charge 29


2.3. - Formule du type Chézy C : coefficient donné par diverses formules, dont les plus utilisées sont :

Bazin C

RK R

h

B h

=+

87 Kutter

CR

K Rh

K h

=+

100 Ces relations ne sont valables qu’en régime turbulent rugueux. KB et KK dépendent de la rugosité des parois et sont donnés par les tableaux suivants :

Caractéristiques KB (m1/2)

Caractéristiques KK (m1/2)



3. - FORMULE DE MANNING-STRICKLER Quand l’écoulement est turbulent, ce qui est le cas le plus courant en hydraulique, de nombreuses formules expérimentales ont été proposées pour tenir compte de l’écoulement turbulent pour des canaux rugueux. La formule de Manning-Strickler est considérée comme une bonne approximation de la réalité.

61

hs RKC = ce qui donne : I UK RS h

=2

2 4 3/

U : vitesse moyenne, Rh : rayon hydraulique, Ks : coefficient de Strickler (m1/3s-1) et n KS

= 1 le coefficient de Manning.

Cette relation est valable pour une rugosité relative ε : 24 10.710.7 −− <ε<

En reprenant l’équation de Colebrook en turbulent rugueux :

6/1

301.27,3

log2Re

51,27,3

log21ε

≈⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ε−≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

λ+

ε−=

λ

En utilisant la relation : h

2

R4g2VJ λ

= , ainsi que : 3/4h

2S

2

RKUI =

On a : 68.25ks.K 6/1S =

Avec : 24 10.710.7 −− <ε<

4.68RK8.31 6/1hS <<

Le tableau de Ks en ANNEXE 4.

4. La profondeur normale 31


4. - LA PROFONDEUR NORMALE hn Une fois fixées la nature de la paroi et la pente, on dispose, en régime permanent et uniforme, d’une relation reliant la profondeur h au débit Q.

QI

CS Rh= ou 3/2nhnS

3/2hS )h(R).h(SKSRK

IQ

==

A un débit donné, hn est appelé profondeur normale. Dans les sections évasées, le débit croît toujours lorsque la profondeur de l’eau augmente.

Il n’en est pas de même pour les sections voûtées, puisque, dans la partie supérieure des ces dernières, le périmètre mouillé croît plus rapidement que la superficie, ce qui entraîne une diminution du diamètre hydraulique et en conséquence du débit. (ANNEXE 5 : Calcul de la hauteur normale pour une section circulaire) (ANNEXE 6 : Calcul de la hauteur normale pour une section ovoïde) (ANNEXE 7 : Calcul de la hauteur normale pour une section fer à cheval)



5. - SECTION DE DEBIT MAXIMAL La construction d’un canal pour transporter un débit Q, avec une pente I et un coefficient de rugosité n, coûtera d’autant moins cher que la section, S, sera plus faible. Q Cste S P= −. ./ /5 3 2 3 Parmi toutes les sections possibles, c’est la forme du demi-cercle qui réalise P minimal pour une section donnée.

6. - SECTIONS COMPLEXES Les coefficients de frottement sont valables à condition que tout le périmètre mouillé ait la même rugosité ; on dit alors que la section mouillée est homogène. Pour des sections à périmètre mouillé non homogène, il faut alors calculer un coefficient de frottement équivalent.

Selon Einstein, on divise, de manière raisonnable, la surface mouillée S en N parts chacune ayant son périmètre mouillé P1, P2, ... PN et son coefficient de frottement n1, n2, ... nN. On admet que la vitesse moyenne de chaque section partielle reste la même U. En utilisant la formule de Manning, on a :

Un

SP

In

SP

In

SP

I= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1 12 31 2

1

1

1

2 31 2

2

2

2

2 31 2

//

//

//

Ainsi le coefficient de frottement équivalent d’une rugosité composée se calcule par :

7. Marge de sécurité 33


( )n

Pn

P

i ii

N

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=∑ 3 2

1

2 3/

/

7. - MARGE DE SECURITE Le calcul des pertes de charge dans les canaux n’a pas toujours la même précision que pour les conduites en charge. Une perte de charge non prévue provoque une élévation de la surface libre et un risque de débordement ou de mise en charge de la conduite. C’est pourquoi il faut toujours prévoir une marge de sécurité au-dessus de la ligne d’eau calculée afin de tenir compte des difficultés de calcul des pertes par frottement et de l’accumulation des dépôts solides. La marge de sécurité oscille, généralement autour de ¼ de la profondeur.

8. - LIMITES DE DIMENSIONNEMENT Hewitt et Hall-Taylor (1970) ont distingué six régimes possibles pour un écoulements mêlant gaz et liquide : • Ecoulement stratifié dans lequel la phase liquide est en-dessous de la phase gazeuse (a). • Ecoulement ondulé qui possède une interface ondulée entre phase liquide et phase

gazeuse (b). • Ecoulement en bouchon avec une surface de nature très ondulée qui atteint le fond du

tuyau et qui sépare ainsi la phase gazeuse en cellules indépendantes ( c ) • Ecoulements en bulles avec des bulles et des poches de gaz qui sont toutes distribuées sur

la partie supérieure de la conduite (d). • Ecoulements en gouttes avec une distribution quasi uniforme de bulles de gaz dans le

phase liquide (e) • Ecoulement annulaire avec une large portion de gaz qui pousse le liquide Ces divers types de transition d’un écoulement à surface libre à un écoulement en charge sont représentés sur la figure suivante :



Transitions d’un écoulement à surface libre à un écoulement en charge

Le passage d’un écoulement en charge à un écoulement à surface libre est difficile à gérer par les logiciels de simulation. Le passage sous pression engendre des phénomènes d’instabilité et en particulier d’entraînement d’air par exemple dans les siphons qui ne sont pas pris en compte dans les logiciels.

Risque de passage encharge avec choc

I ‰

Qd=Q /(gD5)1/2

8 ‰

0.36 0.7

8. Limites de dimensionnement 35


Risque de passage encharge avec choc

y=h/D

I‰

0.92

0.56

12


Chapitre III :

ECOULEMENT NON UNIFORME ET PERMANENT

1. - CHARGE SPECIFIQUE La charge E ou énergie totale dans une section par rapport au plan de référence est la somme de trois termes : la hauteur géométrique, la hauteur piézométrique et la hauteur cinétique.

E z h Ug

z h Ug

= + + ≈ + +.cos( )θ α α2 2

2 2

La ligne de charge descend toujours dans le sens de l’écoulement. Entre deux sections, la charge E subit une variation correspondant aux pertes par frottement.

La charge spécifique peut être définie par : H h Ug

h QgS

= + = +α α2 2

22 2

Tandis que la charge totale E décroît toujours dans la direction de l’écoulement, l’énergie spécifique H par rapport au fond, peut rester constante comme dans le cas du régime uniforme, ou bien peut être croissante ou décroissante suivant les caractéristiques de l’écoulement. L’équation de la charge spécifique H définit, pour une section donnée, un rapport entre H, h et Q valable pour n’importe quel type d’écoulement. A débit constant, H(h) ou à charge constante, h(Q) sont données par :

3. Mouvement graduellement varié 37


On voit que le même débit Q, avec la même charge spécifique H, peut s’écouler sous deux profondeurs différentes h’ correspondant au régime torrentiel et h ’’ correspondant au régime fluvial.

2. - REGIME CRITIQUE ET CHARGE SPECIFIQUE Le point de la courbe (Hc, hc) correspond au régime critique. hc est appelée profondeur critique.

Le point minimal de la courbe est obtenu pour : dHdh

= 0

D’où : )h(B)h(S)h(S

gQ

c

cc= avec B la largeur au niveau de la surface libre.

En analysant la courbe H(h) , on constate qu’au voisinage de la charge critique une légère variation de H conduit à une variation appréciable de la hauteur d’eau. C’est pourquoi, dans tout écoulement au voisinage du régime critique, on rencontre des ondulations importantes de la surface libre.

La pente critique pour un débit donné est celle pour laquelle ce débit s’écoule en régime

critique et uniforme : I gS

L K Rcc

c S hc

= 2 4 3/

Dans le cas où la pente est inférieure à la pente critique : I < Ic => hn > hc. Dans le cas où la pente est supérieure à la pente critique : I > Ic => hn < hc.

38 III- Ecoulement non uniforme et permanent


Pour un débit donné, si la pente est supérieure à la pente critique, on dit que le canal est à forte pente pour ce débit. Dans le cas contraire, on dit que le canal est à faible pente. L’intérêt du régime critique est multiple :

• On dispose d’une relation bijective entre le tirant d’eau et le débit. • L’utilisation des hauteurs critique et normale va permettre de caractériser et donc

de calculer la courbe de remous. (ANNEXE 3 : Approximation du nombre de Froude et de la hauteur critique)

3. - MOUVEMENT GRADUELLEMENT VARIE

3.1. - Equation de la courbe de remous On a vu que sur un tronçon court la variation de charge totale est égale à la perte de charge due aux frottements.

ds.idE −= En régime uniforme, la perte de charge i, par unité de poids écoulé et par longueur de canal, peut être exprimée, comme on l’a vu précédemment, par des formules du type Chézy ou Manning-Strickler. En régime varié, comme le rayon hydraulique varie d’une section à l’autre, la perte de charge varie également. En régime graduellement varié on admet que dans un tronçon assez court du canal, la valeur de i est égale à celle que l’on obtiendrait, si ce canal s’écoulait en régime uniforme avec un tirant d’eau égal à celui de la section moyenne de ce tronçon. La perte de charge unitaire est donc donnée par :

i b QR Sh

=' . 2

2 avec : bC

'= 12 pour Chézy ou b

K RS h

' /=1

2 1 3 pour Strickler.

On a : dE i dx= − . d H z i dx( ) .+ = −

avec : dHdx

Hh

hx

=∂∂

∂∂

. et H h Ug

h QgS

= + = +α α2 2

22 2

D’où :

3

2h

22s

2

3

2

S.gBQ1

RSKQI

S.gBQ1

iIdxdh 3

4

−

−=

α−

−=

h : le tirant d’eau I : la pente i : la perte de charge unitaire Q : le débit B : la largeur au miroir



3.2. - Formes des courbes de remous Dans le mouvement graduellement varié, les pentes et la courbure de la surface libre sont très faibles et on peut affirmer que la distribution des pressions obéit à une loi hydrostatique. Afin de faciliter l’interprétation qualitative des courbes de remous, on propose de modifier l’équation des courbes de remous dans le cas d’un canal rectangulaire très large. h<<L.

On a : dhdx

I

hh

hh

n

c

=− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

1

10 3

3

/

Dans le cas où la pente est inférieure à la pente critique : I < Ic => hn > hc. Dans le cas où la pente est supérieure à la pente critique : I > Ic => hn < hc. En fonction de la valeur de I, on va pouvoir déterminer le signe de dh/ds.

I < Ic canaux à pente faible

I > 0 I > Ic canaux à pente forte

I = Ic canaux à pente critique

I = 0 canaux à pente zéro

I < 0 canaux à contre-pente Pour chaque cas, l’évolution de h(x) va dépendre de la position de h par rapport à hn et hc.

dhdx

I

hh

hh

I NumDen

n

c

=− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1

1

10 3

3

/

..



I > 0 I < Ic (hn > hc) h > hn > hc Num > 0 Den. > 0 dh/dx > 0

I > 0 I < Ic (hn > hc) hn > h > hc Num < 0 Den. > 0 dh/dx < 0

I > 0 I < Ic (hn > hc) hn > hc > h Num < 0 Den. < 0 dh/dx > 0

Exemple :



I > 0 I > Ic (hn < hc) h > hc > hn Num > 0 Den. > 0 dh/dx > 0

I > 0 I > Ic (hn < hc) hc > h > hn Num > 0 Den. < 0 dh/dx < 0

I > 0 I > Ic (hn < hc) hc > hn > h Num < 0 Den. < 0 dh/dx > 0

Exemple :



I > 0 I = Ic (hn = hc) h > hc = hn Num > 0 Den. > 0 dh/dx > 0

I > 0 I = Ic (hn = hc) h < hc = hn Num < 0 Den. < 0 dh/dx > 0

Exemple :



I = 0 I = 0 (hn = ∞) h > hc Num < 0 Den. > 0 dh/dx < 0

I = 0 I = 0 (hn = ∞) h < hc Num < 0 Den. < 0 dh/dx > 0

Exemple :



I < 0 I < 0 (hn < 0) h > hc Num < 0 Den. > 0 dh/dx < 0

I < 0 I < 0 (hn < 0) hc > h Num < 0 Den. < 0 dh/dx > 0

Exemple :



3.3. - Section de contrôle

L’intégration de l’équation de la surface libre est nécessaire pour procéder aux calculs et à la construction des formes de la surface. Quelle que soit la méthode adoptée, le résultat ne donnera que la ligne d’eau à une constante près. Il est évident que la position de cette ligne d’eau n’est pas arbitraire. Pour la situer, il faut connaître la section de contrôle à partir des propriétés hydrauliques d’une singularité qui est à l’origine d’un écoulement graduellement varié. Pour intégrer l’équation de la courbe de remous, il faut définir les conditions aux limites. Il faut donc connaître les caractéristiques de l’écoulement dans une section de contrôle ou de référence. Cette section de contrôle est localisée à l’aval pour les écoulements fluviaux du type M1, S1, C1, M2, H2, A2. Dans ce cas, la courbe de remous doit être calculée de l’aval vers l’amont. Cette section de contrôle est localisée à l’amont pour les écoulements torrentiels du type S2, S3, M3, C3, A3, H3. Dans ce cas, la courbe de remous doit être calculée de l’amont vers l’aval.

3.4. - Méthodes de résolution

3.4.1. - Résolution à partir d’abaques Pour traiter l’écoulement dans un canal prismatique de profil quelconque de manière généralisée, on transforme le profil effectif (réel) en un profil de substitution. Etant donné que la hauteur normale hn, et la hauteur critique hc, sont des caractéristiques du profil, une fois le débit Q, la pente du radier I et le coefficient de rugosité Ks donnés, ces deux hauteurs sont calculées pour le profil effectif. Seule la courbe de remous est calculée pour le profil de substitution. On prend le profil de substitution le plus simple, c’est-à-dire le canal rectangulaire de largeur b. Ce procédé conduit à des différences de 10% au maximum relativement à la courbe de remous du profil réel. (ANNEXE 8 : Démonstration de la méthode par substitution) Les figures suivantes montre la solution complète dans les cas suivants :

Conditions Type de courbes Résolution hc > hn et h > hn S1, S2 A

hc ≤ hn et h > hn M1, C1 B hc < hn et h < hn M2, M3 C hc ≥ hn et h < hn S3, C3 D



Ensemble des solutions

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4X=I.x/hn

Y=h/

h n

f=0.0

f=hc/hn

1.6

2.0

1.8

1.4

2.0

1.2 1.0 0.8 0.6 0.0

0.60.81.01.21.41.61.8

Résolution BCourbes : M1, C1

Résolution ACourbes : S1, S2

Résolution DCourbes : S3, C3

Résolution CCourbes : M2, M3

(ANNEXE 9 : Abaques de la méthode par substitution pour le calcul de la courbe de remous)

Résolution par intégration directe

La courbe de remous s’écrit : 3

2h

22s

2

S.gBQ1

RSKQI

dxdh 3

4

−

−=

Il suffit d’intégrer entre x1 et x2 :

∫∫−

−=

2

13

4

2

1

h

h

h22

s

2

3

2

x

x

dh

RSKQI

S.gBQ1

dx

En connaissance le point de contrôle (h1, x1), on cherche x2 en fonction de h2. L’intégration peut se faire, par exemple, par la méthode des trapèzes sous EXCEL.

3. Mouvement brusquement varié 47


4. - MOUVEMENT BRUSQUEMENT VARIE

4.1. - Le ressaut hydraulique Le ressaut hydraulique est une surélévation brusque de la surface libre d’un écoulement permanent qui se produit lors du passage du régime torrentiel au régime fluvial. Il est accompagné d’une agitation marquée et de grandes pertes d’énergie.

Les hauteurs h1 et h2 sont appelées profondeurs conjuguées du ressaut. La distance entre les sections 1 et 2 est appelée longueur du ressaut. La perte de charge est représentée par ∆H. Pour des valeurs du nombre de Froude entre 1 et 1.7, la différence des profondeurs conjuguées entre l’amont et l’aval est très faible et le ressaut est caractérisé par de très légères rides à la surface libre.

Pour Fr compris en 1.7 et 2.5, on constate le même phénomène mais plus accentué. Dans ce cas, il se produit des petits tourbillons superficiels.



Pour Fr entre 2.5 et 4.5 l’écoulement est pulsatoire. La plus grande turbulence se vérifie soit près du fond soit à la surface. Chaque pulsation produit une onde de période irrégulière. Cette onde peut se propager sur une très grande distance.

Pour Fr > 4.5, le ressaut est bien caractérisé.



4.1.1. - Détermination des profondeurs conjuguées On ne peut pas appliquer le théorème de Bernoulli entre la section 1 et 2. La perte de charge n’est pas connue et les formules du régime uniforme ne sont pas applicables. C’est le théorème d’Euler qui permet de résoudre le problème. En raisonnant, suivant un tube de courant en régime permanent, les forces qui agissent sur cet élément sont : - Les forces de volumes : - les forces de pesanteur provenant de la gravité : ρ. .V gvol - les forces d’inertie : - les forces d’accélération pure : 0 - les forces d’accélération convective :

∑∫ ∫ ρ=ρ=∂∂

ρj

jjextjjV Surf

ext S).n.V.(V.ds).n.V.(V.dv.VsV.

- Les forces de surfaces : - les forces de pression sur les surfaces Si : p Si i

i

.∑

- les forces de frottement : Ffrottement En écrivant l’équilibre de l’ensemble des forces : F Forces d'∑ = inertie

∑∑ ρ=−+ρj

jjextjjfrottementi

iivol S).n.V.(V.FS.pg.V.

Fpression 1 - Fpression 2 + W sin(α) - Ffrottement = ρQ(U2 - U1) En négligeant la force de pesanteur et les forces de frottement, pour le cas d’un canal prismatique, on a :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ρ=−

12

22pression1pression S

1S1QFF avec : ∫ ρ=−ρ=

h

0Gpression Sy.gdz)z(B)zh(gF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

12

2

2G21G1 S1

S1

gQySyS

Cette relation est appelée courbe conjuguée.



4.1.2. - Détermination de la perte d’énergie Le ressaut provoque une importante dissipation d’énergie mécanique ; ce phénomène est irréversible. Les caractéristiques turbulentes sont très complexes et dépendent fortement des conditions d’écoulement de l’amont. Dans un canal, on calcule la perte d’énergie par : ∆H = H1 - H2

D’où pour un canal rectangulaire : ( )

∆Hh h

h h=

−2 13

1 24

4.1.3. - Longueur du ressaut La longueur du ressaut est très difficile à déterminer. Elle peut être approchée empiriquement par :

5 72 1

<−

<Lh h

ressaut

(ANNEXE 10 : Hauteurs conjuguées de quelques sections)

4.2. - Les seuils et déversoirs Le déversoir est un ouvrage de bifurcation qui permet un partage des débits dans deux canaux ou collecteurs. Par rapport à une simple bifurcation, où les débits sont partagés quelle que soit la hauteur d’eau, dans un déversoir, le déversement n’a lieu que si la hauteur du fluide atteint la hauteur de la crête déversante.



Un déversoir est un dispositif qu’on utilise pour mesurer ou contrôler le débit Q s’écoulant dans les canaux. Un déversoir est essentiellement une paroi (plaque), mince ou épaisse, ayant une hauteur qui peut être variable. Il est disposé verticalement pour obstruer plus ou moins la section du canal. Dans le cas d’un déversoir dénoyé, le débit déversé n’est dépendant que des conditions hydrauliques amont ; alors qu’un déversoir noyé fait intervenir en plus les conditions hydrauliques à l’aval de la crête déversante.

Les seuils sont des dispositifs pré-étalonnés permettant la mesure de débit en canaux. Ils font l’objet de normes internationales qui définissent pour chacun d’entre eux les prescriptions à respecter :

Les déversoirs à mince paroi : norme NF X 10-311 (1983) Les déversoirs à profil triangulaire : norme NF ISO 4360 (1986)



Les déversoirs rectangulaires à seuil épais : norme NF ISO 3846 (1990) Les déversoirs en V ouvert : norme NF ISO 4377 (1990) Les déversoirs à profil trapézoïdal : norme ISO 4362 (1993) Les déversoirs horizontaux à seuil épais arrondi : norme NF ISO 4374 (1991)

4.2.1. - Seuil rectangulaire sans contraction à mince paroi dénoyé Malgré la complexité de l’écoulement à travers un déversoir, il est possible d’établir une expression pour le calcul du débit. On constate expérimentalement dans la grande majorité des cas qu’au niveau du seuil la charge totale reste constante. On fera l’hypothèse que :

• dans le plan vertical du seuil, les lignes de courant sont horizontales et la pression (p=atm) est constante. Il s’agit là d’une hypothèse grossière, car dans ce plan, la vitesse est inclinée par rapport à l’horizontale d’un angle qui n’est pas constant, et les lignes de courant sont courbes.

• Les phénomènes de viscosité, turbulence et capillarité sont négligeables. • A l’amont du seuil, la vitesse est supposée constante et le plan d’eau horizontal.

En appliquant l’équation de l’énergie entre la section suffisamment en amont du déversoir située au niveau de la surface libre et une section au droit du déversoir située au niveau de la surface libre, on obtient :

2 21 2U Uw h w h z

2g 2g+ + = + + −



S1 S2

z

w

A

BC

h

2

12

UU 2g z2g

= +

Le débit élémentaire de la tranche de nappe au niveau du déversement est donné par : 2

12

UdQ Largeur.U dz Largeur. 2g z.dz2g

= = +

Si on intègre cette expression ente les points A et B et non entre A et C, on trouvera une valeur de Q par excès. Par conséquent, en introduisant un coefficient de correction m, on peut écrire :

32

hh h 2

12

0 00

2 UQ m. dQ m. Largeur.U dz m. Largeur. 2g z3 2g

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= = = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

3 32 22 2

1 12 U UQ m. Largeur. 2g h3 2g 2g

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Dans la plupart des cas U2 >> U1 3 3

2 2d

2Q m. Largeur. 2g.h C .B. 2g.h3

= =

B : la largeur du déversoir. h : la hauteur de la surface libre au-dessus de la crête du déversoir mesurée suffisamment en amont de celui-ci. Cd : un coefficient adimensionnel de débit du déversoir. Le coefficient Cd dépend de :

• la courbure et de la contraction des lignes de courant au-dessus du déversoir, • la viscosité et la turbulence, • la vitesse d’approche,



• la forme géométrique et la rugosité du déversoir. Le coefficient m a été déterminé expérimentalement par de nombreux chercheurs, Poleni a été l’un des premiers à proposer une formulation. La formule de Rehbock est universellement acceptée :

32

d0.135h 0.0011 hC 0.4023 1 1 0.4023 0.0542

w h w⎛ ⎞⎛ ⎞= + + ≈ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Cette relation permet de déterminer le débit avec une précision meilleur que 0.5%, si : h h0.5 ; 0.5 ; 0.07m h 0.60m ; B 0.3m ; w 0.30mw B

< < ≤ ≤ > >

une valeur moyenne de Cd est 0.42.

4.2.2. - seuil rectangulaire dénoyé avec contraction latérale à mince paroi

w

h

B Bc

Hégly proposa en 1921 la formule suivante :

2

d0.0027 B Bc Bc.hC 0.405 0.03 1 0.55

h B B(h w)

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟= + − + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

limites : 0.1m < h < 0.6m 0.4m < Bc < 1.8m 0.4m < w < 0.8m



9.0B

BcB0 <−

<

4.2.3. - seuil triangulaire dénoyé avec contraction latérale à mince paroi

w

h

Comme formule pratique, on peut utiliser la relation de Hager avec 14 100° ≤ α ≤ ° :

( )1

2

32

5d

22

d

8Q C tan 2gh15 2

h tan1 0.662C 1 1

3B(h w)3 h tan2

α⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ α ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥= + +⎢ ⎥ α+ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

4.2.4. - Seuil épais dénoyé

Comparé à un déversoir à mince paroi, un paramètre supplémentaire relatif à la longueur de la crête (Le) du déversoir doit être considéré.

32

dQ C B 2gh= h>50mm b>0.3m w>0.15m 0.08<h/Le<0.85



4

ed 4

e

9 h17 L

C 0.326h1L

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠= ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

4.2.5. - Seuil rectangulaire noyé

0.3852.5

noyé u

dénoyé o

Q h1Q h

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

d’après Brater et King (1976)

4.2.6. - Déversoir latéral

Le déversoir latéral est un déversoir installé dans la paroi d’un canal parallèlement à son axe.

( )

3

2

gSBQ1

V2)cos(USg

'QJI

dxdh

−

−α+−=

(ANNEXE 11 : Equation des déversoirs latéraux)



Si on fait comme approximation :

)Ucos(Vfaible) trèscharge de (Perte 0J

faible) très(pente 0I

α≈≈≈

on a : 23

2

gSQ'Q

gSBQ1

dxdh

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

la charge spécifique 2

2

gS2QhH += dérivée par rapport à l’axe de la conduite :

0'hgS

BQgS

Q'Q'h'H 3

2

2 =−+=

Les deux expressions sont identiques. En éliminant le débit entre les deux relations suivantes, on a :

2

2

gS2QhH += ; 0'h

gSBQ

gSQ'Q'h'H 3

2

2 =−+=

gS)hH(g2'Q

xS

S)hH(2

hS

S)hH(21'h

−−

∂∂−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂−

−

Cette équation différentielle en h(x) doit être résolue en spécifiant l’intensité du débit sortant Q’(x). Plusieurs formules ont été proposées pour calculer Q’(x).

On pose :Hhy = ;

HwW = ;

w étant le hauteur de la crête. n* indique si la sortie se trouve sur une paroi n* = 1 ou sur les deux n* = 2. θ caractérise l’angle de la crête par rapport à la direction du canal dans le cas des canaux non prismatiques. c=1 pour une paroi mince et c=0.8 pour une paroi épaisse.

On a : ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

θ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−−=

21

21

23

Wy)y131

Wy23W1WygHcn

53'Q 3*

Dans le cas des canaux à section rectangulaire, on a :

)X1(bBBhS

Θ+==

avec B(X=0)=b k=n*.c

On pose : HwW ;

k ;

Hhy ;

bkxX =

θ=Θ==

L’équation précédente devient : '2 (1 ) 2(1 )

'(3 2)(1 )

Qy y yky

y X

Θ − − −=

− + Θ



avec :

( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

θ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−−==

21

21

23

Wy)y131

Wy23W1Wy

53

gHk'Q

k'Q

3

Le profil de la surface ne dépend plus que de W et Θ.

Cas 1

Cas 6

Cas 5

Cas 4

Cas 3Cas 2

σ est le numérateur de l’équation en y’. y=2/3 correspond à un nombre de Froude de 1. Dans le cas ou y>2/3 on est en fluvial et y<2/3 on est en torrentiel. Les abaques ne sont valables que dans le cas ou il n’y a pas de ressaut. (ANNEXE 12 : Abaques pour le calcul des déversoirs latéraux)



4.3. - Chutes brusques Dans une chute brusque, si le canal est à pente faible (I < Ic), dans la section de la chute survient le régime critique.

Si le canal est à forte pente (I > Ic) le régime reste uniforme, jusqu’à la section de chute.



4.4. - Les vannes

a.Cch2 = 1Cc ≤ : coefficient de contraction

b : largeur de la vanne. En considérant un écoulement potentiel (sans perte de charge)

1d gh2abCQ =

21

1

d

ha.Cc1

CcC

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= : coefficient de débit.

En première approximation Cc = Cd = 0.611 pour une vanne plane verticale.



Pour : 6.0ha

1

≤ et a ≥ 5cm

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ−

−δ−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +ς= 6

1h.2a

76.0

d

2

1e.9e54C

avec ς =0.98 pour les vannes planes inclinées et ς =0.96 pour les vannes secteurs. δ : angle d’inclinaison.(en radian)


Chapitre IV :

ECOULEMENT NON UNIFORME

ET NON PERMANENT

De nombreux modèles existent pour représenter le fonctionnement hydraulique d’un réseau où l’écoulement se fait à surface libre. Ils ont tous été conçus pour la modélisation des écoulements dans les biefs et adaptés à l’étude des écoulements en réseau d’assainissement en leur ajoutant un certain nombre de modules capables de prendre en compte les particularités citées plus haut. Les modèles peuvent être regroupés en deux grandes familles :

Equations de Navier Stokes

Equations de Barré de Saint Venant

Modèles conceptuels Modèles mécanistes

Complet: Onde dynamique : Utilisé en Ass.Simplifiés: Onde quasi-permanente : Peu utilisé en Ass. Onde diffusante : Peu utilisé en Ass. Onde cinématique : Peu utilisé en Ass. Onde simple ou onde de gravité : Peu utilisé en Ass.

Modèle de Stock => Représentation simplifié : Utilisé en Ass. de l'influence avalMuskingum-Cunge => Sans influence aval : Utilisé en Ass.Hydrogramme unitaire => modèle très simple : Peu utilisé en Ass.

1. Modèles conceptuels 63


Approche déterministe ou théorique (mécaniste) Modèle => Expérience

Ce modèle représente les phénomènes reposant sur les principes et les équations de la mécanique. En hydrologie urbaine, les modèles mécanistes s’appliquent à la simulation de l’infiltration, aux écoulements en réseau, au transport dissout.. Cette approche consiste à décomposer un système et son fonctionnement en sous systèmes et en micro-phénomènes, de les modéliser et de construire ensuite un modèle de recomposition.

Approche empirique Expérience => Modèle

• Approche conceptuelle L’approche conceptuelle ou macroscopique considère le système dans son ensemble et

s’intéresse uniquement à son comportement global. • Approche statistique

Modèle déterministe

Modèle conceptuel

Modèle statistique

++++++

- - - - -

Complexité et Difficulté de résolution

Nombre de paramètres et difficulté de

calage

++++++

- - - - -

1. - MODELES CONCEPTUELS

Ils sont caractérisés par le fait que l’on ne cherche pas à comprendre en détail les phénomènes physiques qui se produisent au sein de l’écoulement, mais on considère le réseau dans sa globalité (« boîte noire ») c’est à dire comme un simple transformateur entrée-sortie. On dispose en général des valeurs d’entrée et des grandeurs de sortie qui permettent de fixer les paramètres du modèle. Ces modèles ne traduisent que les conséquences des phénomènes se produisant dans le système et par conséquent permettent de contourner les difficultés dues à la complexité hydraulique des réseaux. Ils donnent une explication comportementale et non mécaniste des phénomènes.

La plupart des modèles conceptuels sont des modèles à réservoirs c’est à dire que le fonctionnement de chaque tronçon est assimilé au fonctionnement d’un ou plusieurs réservoirs en série ou en parallèle. L’ossature de ces modèles est constituée de deux équations [MOTTIEE-1996]:

64 IV- Ecoulement non uniforme et non permanent


• Une loi de conservation des débits : la variation du volume stocké est égale à la différence entre le débit entrant et le débit sortant.

• Une équation de continuité ou loi de stockage, de nature empirique : le volume stocké dans un tronçon est fonction du débit. L’interprétation « physique » des résultats numériques des modèles conceptuels doit faire

preuve de beaucoup de prudence. En effet, ces modèles ne traduisent le phénomène de propagation que de manière artificielle par un phénomène de diffusion numérique ou un amortissement au passage d’un réservoir. Ces modèles ont été bâtis pour autoriser le calcul d’un modèle diffusant à l’aide d’un schéma explicite qui permet des calculs très rapides sans nécessiter de recueil de données important [KOVACS-1988].

Le modèle Muskingum, même sous sa forme la plus simple, donne souvent de bons résultats dans la mesure où l’on ne s’intéresse qu’à la déformation des hydrogrammes à l’intérieur du système d’assainissement [SEMSAR YAZDI-1995]. Il est, bien évidemment, totalement inadapté pour représenter l’effet de singularités hydrauliques locales provoquant des remontées de ligne d’eau (influence aval).

Voici quelques exemples de modèles conceptuels de type réservoir :

1.1. - Modèle de Muskingum

Celui-ci est linéaire. Les deux équations du modèles sont [SEMSAR YAZDI– 1995] :

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

α+α=

−=

stockage deéquation )t(Q )-(1 )t(Q K )t(V

débits deson conservati de loi )t(Q)t(Qdt

)t(dV

SeS

SeS

où : • K est un coefficient dont la dimension est un temps qui traduit physiquement le temps de

stockage dans le réservoir [KOVACS – 1988] ou encore, représente le décalage entre le centre de gravité de l’hydrogramme d’entrée et celui de sortie.

• α est un coefficient de pondération qui module l’influence de Qe et Qs dans l’équation de continuité. Il est compris entre 0 et 1 et est adimensionnel.

∗Si α=0, la loi de stockage est uniquement fonction de l’aval. Ceci, caractérise la vidange d’un réservoir linéaire. ∗Si α=1, la loi de stockage est uniquement fonction de l’amont. C’est par exemple le cas du modèle de Kalinine et Myliukov [MOTTIEE-1996]. ∗Si 0<α<1, la loi de stockage est fonction de l’amont et de l’aval.

QS

QSQE

α=0 α=1 0< α <1

Ces deux coefficients peuvent être choisis constants ou variables. Ce modèle est le plus ancien et a été conçu pour l’étude des crues de rivière. Il est

également adapté à la modélisation du ruissellement en milieu urbain compte tenu de la complexité du système. On l’utilise aussi pour représenter l’évolution globale d’un réseau

1. Modèles mécanistes de Barré de Saint-Venant 65


d’assainissement. On peut ainsi estimer, par exemple, les volumes déversés. Par contre, il ne permet pas de représenter localement les phénomènes hydrauliques. En effet la hauteur d’eau n’est pas calculée.

1.2. - Modèles de stock Des modèles de stock ont été mis au point pour la modélisation des écoulements en

réseaux d’assainissement. Par exemple, CHOCAT a conçu un modèle pour pouvoir prendre en compte les

écoulements en charge et les influences aval. Pour que son modèle soit compatible avec des équations d’écoulement en charge, CHOCAT utilise une loi de stockage non linéaire pour les

parties à surface libre du réseau : )t,x(t)t(Q)t(V PeS ×= où ULt P = qui est le temps mis pour

parcourir la distance entre les points de mesure des débits d’entrée et de sortie et U la vitesse d’écoulement. Le modèle est non linéaire puisque Pt dépend du débit d’entrée.

Ce modèle prend en considération les écoulements en charge par intégration de l’équation de Bernoulli dans le modèle. Il est également capable de gérer, de façon artificielle, les influences aval en faisant l’hypothèse que la ligne d’eau due à une hauteur d’eau aval supérieure à la hauteur d’eau dans la conduite à l’amont, est une horizontale. [KOVACS – 1988]. Il faut noter que cette approche n’est pas toujours vérifiée. En effet, dans le cas d’un ressaut hydraulique la forme du tirant d’eau n’est pas une horizontale.

Dans d’autres modèles de stock, la mise en charge est prise en compte par la méthode de la fente de Preissmann [SEMSAR YAZDI – 1995].

Il existe d’autres modèles conceptuels qui n’utilisent pas l’analogie avec un réservoir tels que par exemple, l’hydrogramme unitaire.

2. - MODELES MECANISTES DE BARRE DE SAINT-VENANT Contrairement au modèle conceptuel, le modèle mécaniste étudie le mouvement réel du fluide. Ils sont tous basés sur des principes physiques et en particulier sur les équations de Barré de Saint-Venant. Ils décrivent les écoulements non permanents à surface libre, unidimensionnels. Leur résolution permet de définir, selon l’abscisse x de l’écoulement, les variations temporelles de la ligne d’eau et des débits. Les modèles mathématiques issus des équations de Barré de Saint Venant constituent la famille des modèles mécanistes. En raison de la grande quantité de calculs qu’elle nécessite, la résolution numérique des équations complètes de Saint-Venant n’est possible que depuis l’invention des ordinateurs, c’est à dire la deuxième moitié du XXème siècle.

Dans cette partie, après avoir énoncé les derniers développements des équations de Barré de Saint-Venant, nous nous contenterons de présenter les différents types de modèles mécanistes existant pour modéliser les écoulements à surface libre.

Les équations de Barré de Saint-Venant établies en 1871 sont les équations les plus

utilisées pour modéliser les écoulements non stationnaires graduellement variés à surface libre. Ces équations sont de type hyperboliques. Elles constituent en fait une simplification des équations de Navier-Stokes. [PAQUIER - 1995]



2.1. - Modèles complets

On considère un écoulement réel non permanent et non uniforme. Le système d’équations de Barré de Saint Venant est constitué de deux relations dont la première traduit la conservation de la masse (équation de continuité) et la seconde, la conservation de la quantité de mouvement (équation dynamique).

Equation de continuité

Cette équation exprime le principe de conservation de la masse ; ce qui revient à dire que la variation de masse de fluide d’un élément de volume dv pendant un temps dt est égale à la masse de fluide entrante dans ce volume déduite de la masse de fluide sortante.

La masse de fluide contenue dans le volume dv=dx.dy.dz est égale au temps t à : ρ.dx.dy.dz

après un temps dt : ρ∂ρ∂

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟t

dt dx dy dz. .

On constate donc une variation de cette masse de : ∂ρ∂t

dt dx dy dz. . .

De plus, la masse de fluide entrant par la face 1 (suivant x) est : ρ ∂∂

ρxt

dt dy dz u dy dz dt. . . . . .=

Entre la face 1 et 2 seuls ρ et u peuvent varier, donc, la masse sortant par la face 2 pendant

l’intervalle de temps dt est : ρ∂ρ∂

. . . .u ux

dx dy dz dt+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

La différence de masse dans le volume dv est donc suivant x : −∂ρ∂

ux

dx dy dz dt. . .

On a de même suivant y et z : −∂ρ∂

vy

dx dy dz dt. . . ; −∂ρ∂

wz

dx dy dz dt. . .

En écrivant que la variation de masse de fluide d’un élément de volume dv pendant un temps dt est égale à la masse de fluide entrante dans ce volume moins la masse de fluide sortante, on a : ∂ρ∂

∂ ρ∂

∂ ρ∂

∂ ρ∂

∂ρ∂

ρ

tu

xv

ywz

tdiv V

+ + + =

+ =

( ) ( ) ( )

( )

0

0

C’est l’équation de continuité d’un fluide conservatif. L’interprétation physique de cette équation est la suivante :



les débits entrant et sortant à travers un volume quelconque fermée et rempli du fluide doivent être égaux.

La variation de volume entre l’entrée et la sortie est égale au volume stocké. En intégrant l’équation suivante pour un volume S.dx , on a :

0)V(divt

=ρ+∂∂ρ

0dsdx.)V(divdx.ds.t VolumeVolume

=ρ+∂∂ρ

∫∫∫∫∫∫

( ) 0dsVnt

dx.ds.

surface

Volume =ρ•+∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ∂

∫∫∫∫∫

0)SV()SV(t

)dx.S(xdxx =−+

∂∂

+

0dx

)SV()SV(tS xdxx =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

∂∂ +

0xQ

tS

=∂∂

+∂∂

Conservation de la quantité de mouvement

Il suffit d’écrire :

- L’équation de la quantité de mouvement : la somme des forces (F) qui exercent une influence sur la particule est égale au taux de variation de la quantité de mouvement de la particule pour une masse m.

∑= Fdt

)v.m(d

-



- forces de pesanteur :

S

S+dS

∂x

g

θ

En écrivant l’équation au premier ordre dans le sens de l’écoulement :

I.x.S.g)sin(.x.S.gFpesanteur ∂ρ=θ∂ρ= - Forces de pression :

P(x)

P(x+dx)

∂x

g

θ

dx.xfF

)dxx(F)x(FF

pression

pressionpressionpression

∂∂

−=∆

+−=∆

Avec : ( )∫ −ρ=)x(h

0

dz)z(lz)x(hgf

Dérivation sous le signe d’intégration :

dx)x(du)).x(u,x(f

dx)x(du)).x(u,x(fdt

x)t,x(fdt)t,x(f

dxd 1

12

2

)x(u

)x(u

)x(u

)x(u

2

1

2

1

−+∂

∂=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫∫

∫ ∂∂

ρ=∂∂ )x(h

0

dz)z(lx

)x(hgxf

soit :

dh.gSdx.xfF

)dxx(F)x(FF

pression


ρ−=∂∂

−=∆

+−=∆

-



- Forces de frottement :

∂x

emouillé.périmètrentcisaillemeFrottement J.x.S.gx.P.F ∂ρ−=∂τ−=

L’évaluation de Je sera faite dans le paragraphe suivant.

- Quantité de mouvement :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

+ρ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

ρ= )v.v(divtvdsdx

tx

xv

tvdsdx

dt)v.m(d

D’où l’équation finale:

eJ.x.S.gdh.gSI.x.S.gxvv

tvxS ∂ρ−ρ−∂ρ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

∂ρ

egJgIxhg

xvv

tv

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

Ce système peut s’écrire de la manière suivante [KOVACS - 1988, SEMSAR YAZDI - 1995]:

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ε−=∂∂

+∂∂

α∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

dynamiqueéquation SUq1- + )Jg(J

xhg

xUU+

tU

continuité deéquation qtS

xUS

xSU

lef

l

Notations :

ql : Débit latéral. Terme nul s’il n’y a pas d’apports latéraux. La quantité de mouvement ne peut que diminuer, donc :

ε : Nombre booléen. ε = 0 si le débit latéral est sortant. ε = 1 si le débit latéral est entrant.

U : Vitesse moyenne de l’écoulement dans la section. On peut également exprimer le système d’équation précédent en utilisant le débit par l’intermédiaire de la relation de définition : USQ = .



S : Section mouillée. h : Hauteur d’eau dans le collecteur. Jf : Pente de fond. Correspond à la force motrice de l’écoulement ou encore à la

composante longitudinale de l’accélération. Je : Pente énergétique. Correspond aux pertes de charges dues aux frottements sur les

parois du collecteur. α : Coefficient d’énergie de Coriolis dont l’expression est [CARLIER-1972] :

S.U

dsV

3S

3∫=α V : vitesse réelle

Concernant l’équation de conservation de l’énergie (ou équation dynamique) :

• Les deux premiers termes sont les termes d’inertie.

• Le premier représente l’accélération longitudinale. Ce terme d’inertie dépend du temps donc de la vitesse de montée de la crue.

• Le second représente l’accélération convective. Ce terme dépend de la géométrie des canalisations.

• Le troisième est le terme de pression. • Le quatrième est le terme de gravité ou de pente de fond. Dans ce système d’équations apparaissent, deux équations et quatre inconnues (U, h, Je et S); le système doit donc être complété par deux autres équations. Ces équations sont les suivantes:

( )⎩⎨⎧

==

)h,Q(fJ hfS

2e

1

Les hypothèses fondamentales nécessaires pour que les équations de Barré de Saint-

Venant soient valables sont les suivantes: • L’écoulement est considéré comme unidimensionnel et rectiligne. • La surface du fluide est graduellement variable c’est à dire que la répartition de pression

sur une verticale est hydrostatique et que l’accélération verticale est négligeable. • En considérant que z donne la cote de fond du canal, la pente supposée faible du canal

vérifie :

sin dxdz-= tgJf α≅α≅α=

• Chaque élément du fluide vertical se déplace à la même vitesse qui est la vitesse moyenne de l’écoulement U.

• Le fluide est supposé parfait et incompressible. Sa masse volumique est constante. • On admet que les pertes de charges par frottement dans les écoulements non permanents

ne sont pas différentes des pertes de charges pour les écoulements permanents. Elles sont réduites au seul paramètre Je.

Il existe une autre expression des équations de Barré de Saint-Venant. Dans celle-ci, les

équations sont exprimées en terme de quantité de mouvement et non plus en terme d’énergie :

Relation d’état Relation dynamique de processus



( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ε−=∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

mouvement de quantité la deon conservati Uq1- + )JgS(JxhgS

SQ

x+

tQ

continuité deéquation qtS

xQ

lef

2

l

Le coefficient β est appelé coefficient de Boussinesq dont l’expression est [CARLIER-1972] :

S.U

dsV

2S

2∫=β

2.2. - Evaluation du terme de pertes de charges par frottements

Les pertes de charges dues aux frottements sont déterminées par des lois empiriques faisant intervenir les variables U et h. Elles supposent que Je est proportionnel au carré de la vitesse. La plus utilisée est la relation de Chézy valable pour les écoulements turbulents rugueux qui sont les plus fréquents. Il existe d’autres expressions de Je déterminées expérimentalement [GRAAF-1996].

• Par exemple, la relation de Weisbach-Darcy valable pour les écoulements laminaires et turbulents lisses :

g2

UR41fJ

2

he =

où f est le coefficient de pertes de charges qui peut être déterminé par la relation de Colebrook :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ν+−=

fhh

S

f CUD51,2

D7,3k

log2C1

où ν représente la viscosité dynamique, Cf le coefficient de frottement et Dh la profondeur hydraulique en considérant que :

f = 8×Cf.

• la relation de Chézy est la suivante:

J e =U

C R h

2

2

Où : R SPh = : rayon hydraulique avec P: Périmètre mouillé.

C : Coefficient de résistance selon Chézy.

Pour déterminer les coefficients de frottement, des relations empiriques issues de l’expérience ont été mises au point. Pour le coefficient de Chézy C, différentes formules de natures empiriques sont utilisées. Citons en quelques unes:

La formule de Bazin considère C comme une fonction du rayon hydraulique Rh et d’un coefficient mB caractéristique de la rugosité de la paroi qui est étalonné pour différents types de conduites.



h

B

Rm1

87C+

=

• La formule de Manning-Strickler est actuellement la plus utilisée et donne pour C

l’expression suivante:

C K Rn

Rs h h= =16

161

où Ks est le coefficient de Strickler et n est le coefficient de Manning.

Le coefficient de Manning est généralement considéré comme étant constant et ne variant pas lorsque la hauteur d’eau change ; mais ces approximations sont réductrices. En effet, des expériences ont montré que la rugosité varie en fonction du taux de remplissage du canal. C’est pourquoi, on considère dans certains modèles le coefficient de Manning comme variable et pouvant être approché par des polynômes d’ordre élevé fonction de la hauteur d’eau [ZAGHLOUL – 1998].

Parfois, certains auteurs prennent également en considération les variations de la pente de frottement dus à des obstacles présents dans l’écoulement [SIVAPALAN – 1996].


Chapitre V :

ANNEXES

1. - GEOMETRIES DES SECTIONS

2. - DETERMINATION DE LA CELERITE DE L’ONDE DE GRAVITE

3. - APPROXIMATION DU NOMBRE DE FROUDE ET DE LA HAUTEUR CRITIQUE

4. - TABLEAU DES RUGOSITES KS

5. - CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION CIRCULAIRE

6. - CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION OVOÏDE

7. - CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION FER A CHEVAL

8. - DEMONSTRATION DE LA METHODE PAR SUBSTITUTION

9. - ABAQUES DE LA METHODE PAR SUBSTITUTION POUR LE CALCUL DE LA COURBE DE REMOUS

10. - HAUTEURS CONJUGUEES DE QUELQUES SECTIONS

11. - EQUATION DES DEVERSOIRS LATERAUX

12. - ABAQUES POUR LE CALCUL DES DEVERSOIRS LATERAUX

74 Annexes


1 – Géométries des sections

h

b

h 1

m

h

b

1

m

h

b

1m

B

h

D

δ

( )δ−= cos1Rh

h

D

Surface S

2h.mS = 2h.mbhS += ( )m4bBBhS

2−−= ( )δδ−δ= cossin

4DS

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π+=

21

8DDhS 2

Périmètre mouillé P

2m1h2P += 2m1h2bP ++= ( ) ( )1m1

mbB

bh2P

2 −+−

++=

δ= DP ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π+= 1

2Dh2P

Rayon Hydraulique Rh

2m12

mhRh+

= 2

2

m1h2bmhbhRh

++

+=

PSRh = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

δδδ

−=cossin1

4DRh

PSRh =

Largeur B mh2B = mh2bB += B δ= sinDB DB =

Profondeur hydraulique Dh

2hDh =

mh2bmhbhDh

2

++

= BSDh = ( )

δδδ−δ

=sin4

cossinDDh BSDh =

S.yG

3

mhSy3

G = 2G h

3mh

2bSy ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

( )

( )2

3

22

G

m24bB

m4bBh

2BhSy

−+

−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

δδ

−δ

−δ=

cos3

sinsin8

DSy

33

G

12D

2Dh

8D

2Dh

2DSy

32

2

G

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Annexes 75


La figure suivante représente les formes de conduite les plus utilisées en assainissement. Les dimensions sont adimentionalisées par rapport à la largeur.

0.75

76 Annexes


Les relations suivantes sont des formulations approchées des sections circulaire, ovoïde et fer à cheval.

Surface Périmètre Rayon hydraulique CIRCULAIRE

Dhy =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

25y4

4y1y

34

DS 2

23

2

y 0.95≤ ; erreur 1%

( )P arccos 1 2yD

= − 0.80Rh 0.40yD

=

0.05 y 0.85≤ ≤ ; erreur 10%

OVOIDE

hyT

=

T : hauteur, B : largeur

r3T;2Br ==

)y10.0y15.01(y25.6rS 42

3

2 −−=

y 0.95≤ ; erreur 2%

( )5 4P 0.693 arccos(1 2y)T

= −

0.05 y 0.9≤ ≤ ; erreur 3%

3 4Rh 0.29yT

=

y 0.85≤ ; erreur 9%

FER A CHEVAL hyT

=

T : hauteur, B : largeur.

22v T058.1B595.0S ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 32

323

v

y1.0y6.01y2SS

y 0.95≤ ; erreur 5%

( )4 5P 0.10 arccos(1 2y)T

= −

0.05 y 0.9≤ ≤ ; erreur 5%

( )3Rh 0.65y 1 0.6yT

= −

0.05 y 0.9≤ ≤ ; erreur 6%

Annexes 77


2- Détermination de la célérité de l’onde de gravité Considérons un canal à pente nulle dont le fluide est au repos (U=0)

U=0

A un instant t, on perturbe la surface libre du canal.

c c

U=0 U≠0

Chaque onde se déplace à la célérité c. On se place sur un référentiel en mouvement tel que l’onde de gravité à droite devient stationnaire. Le référentiel se déplace à la vitesse c. Il n’y a pas de stockage entre les sections S et S+∆S, donc ce qui entre en S+∆S sort en S.

c

S S+∆S

c-U

• Le débit entrant est égale au débit sortant : cS (c U).(S S)

S SU c cS S S

= − + ∆∆ ∆

= ≈+ ∆

• En écrivant l’équilibre de l’ensemble des forces en régime permanent : F Forces d'∑ = inertie Dans le volume de contrôle défini par S et S+∆S :

extj jvol i frottement jjii j

.V .g p .S F .V .(V .n ).Sρ + + = ρ∑ ∑

avec pi la pression et Vi la vitesse sur chaque face. En projetant dans le sens d’écoulement :

)SS(F)S(F)Uc).(SS(Qc).S(Q pressionpression ∆++−=−∆+ρ−ρ

78 Annexes


pression pression pression

pressionpression

F F (S S) F (S)

dFSi ∆S petit : F . x

dx

∆ = + ∆ −

∆ = ∆

Avec : ( )h(x)

pression0

F g h(x) z l(z)dz= ρ −∫


2 2

1 1

u (x) u (x)2 1

2 1u (x) u (x)

d df (x, t) du (x) du (x)f (x, t)dt dt f (x,u (x)). f (x, u (x)).dx dx dx dx

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

h(x) h(x)pression

0 0

dF dh(x) h(x) dh(x)g l(z)dz g l(z)dz g Sdx dx x dx

∂= ρ = ρ = ρ

∂∫ ∫

soit : pressionF gS. h∆ = ρ ∆

D’ou : hgScSU ∆ρ=ρ avec : h.BS

D.BS h

∆=∆=

on a : h2 gDc =

Annexes 79


3 - Approximation du nombre de Froude et de la hauteur critique Approximation du nombre de Froude et de la hauteur critique pour les sections suivantes :

Froude hc Ic

Circulaire c cy h D= 4

QFrgDh

=

( )

2/1

2/1c gDQh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

c

3/1

c2s

3/1

c y87.01y23

gK.D.I

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

Ovoïde c cy h T= 4

QFr 1.8gTh

= ( )

2/1

2/1c gTQ34.1h ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2/1c

3/1

c2s

3/1

c y87.01y34

gK.T.I

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

Fer à cheval

c cy h T= 4

QFr 0.62gTh

= ( )

1/ 2

c 1/ 2Qh 0.787

gT

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

1/3

1/3 2cs

c 3/ 2c

43yT .KI .

g 1 0.87y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=−

80 Annexes


4 - tableau des rugosités Ks

Annexes 81


82 Annexes


5- Calcul de la hauteur normale pour une section circulaire

Relation approchée :

Dhy n

N =

1% àerreur 12y71y

43

DKIQq ; 95.0y

2N2

N3/82/1NN ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==≤

( )( ) 2/12/1NN q11.311926.0y −−=

Généralement, le régime correspondant au débit maximum en section fermée est nettement instable ; ainsi on ne doit pas tenir compte des débits supérieurs à celui qui correspond à la section pleine. Afin de faciliter le calcul, les abaques suivants permettent de résoudre différents problèmes que pose le régime uniforme pour diverses formes de section.

Annexes 83


‰

84 Annexes


6- Calcul de la hauteur normale pour une section ovoïde

Débit à pleine section : Relation approchée

3/82/13/82/1v TKI171.0BKI503.0Q ==

( )2N

2Nv

vN y42.01y9.1q

QQ ; 95.0y −==≤

( )( ) 2/12/1vN q884.01109.1y −−=

Annexes 85


86 Annexes


7- Calcul de la hauteur normale pour une section fer à cheval

Débit à pleine section : Relation approchée

1/ 2 8/3 1/ 2 8/3vQ 0.212KI B 0.457KI T= =

( )2 2 6N v N N N

v

Qy 0.93 ; q 2.8y 1 0.8y 0.25yQ

≤ = = − +

( )( )1/ 21/ 2N vy 0.85 1 1 q= − −

Annexes 87


8- Démonstration de la méthode par substitution

En introduisant Cstebhn ==φ pour caractériser la forme du canal rectangulaire, on a :

φ== nhhhbS

n

nh hh2

hhbh2

bhR+φ

=+

=

3/4nh

2n

2S

2 )h(R.)h(SIKQ =

)h(B)h(gSQ

c

3c2 =

La courbe de remous s’écrit : 3

2h

22s

2

S.gBQ1

RSKQI

dxdh 3

4

−

−=

En remplaçant par les relations de Q, on a :

3

3c

h2

nh2

n

3c

3c

h22

s

3/4nh

2n

2S

S)h(S1

RS)h(R.)h(S1

I

S.g

B)h(B)h(gS

1

RSK)h(R.)h(SIKI

dxdh 3

4

34

34

−

−=

−

−=

En remplaçant par les relations de S et Rh, on a :

3c

nn2

2n

3n

3nc

n

n2

n

n

22n

hh1

12

1hh2

hh

hh1

I

hh

hh

1

hh2hhhh

12h.h

1

Idxdh

34

34

34

34

34

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+φ

+φ−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+φ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+φ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

−

=

En posant nhx.IX = ,

nhhY = et

n

c

hhf =

33

13

33

3

3

2

fY12

Y2121Y2Y

IfY

121Y2YYY

I

Yf1

121Y2YY1

Idxdh

31

34

34

34

34

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+φ

+φ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+φ+φ

−=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+φ+φ

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+φ+φ

−=

−− −−

Afin de simplifier l’expression, on a constaté que 3

1

12Y2 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+φ

+φ −

a une variation quasi-linéaire

entre h et hn. Donc, on peut approcher la fonction précédente par :

88 Annexes


)h(f).hh()h(f)h(f nnn ′−+= . En fonction de Y on a : )1(f).1Y()1(f)Y(f ′−+=

soit : ( )1231Y1

)1Y(1

121

12)1Y(2

31).1Y(1

12Y2

2

11 32

31

+φ−

−==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+φ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+φ

=+φ−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+φ

+φ−

−−

D’où : ( )

33

3

fY123

1Y1121Y2Y

dXdY

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+φ

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+φ+φ

−=

Cstebhn ==φ peut prendre des valeurs : ∞<φ<0 . Si on compare les résultats de l’équation

pour différentes valeurs de φ, on constate peu de variations de Y(X). En moyenne, on peut admettre φ=1. D’où :

( )( )

33

3

fY27

Y101Y2Y

dXdY

−

−+−

=

Cette relation permet, une fois l’intégration effectuée, d’exprimer Y(X) par une fonction unique de f. L’état uniforme est atteint de manière asymptotique. En pratique, on admet qu’un écoulement est uniforme si 01.01Y <− . L’origine de la coordonnée longitudinale est placée au point où l’écoulement uniforme est pratiquement réalisé.

Annexes 89


9- Abaques de la méthode par substitution pour le calcul de la courbe de remous

Résolution A : Courbes S1, S2

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0X=I.x/hn

Y=h/

hn

f=1.05

1.075

f=hc/hn

1.1

1.125

1.15

1.175

1.2

1.225

1.25

1.275

1.3

1.3251.351.3751.41.4251.451.4751.51.5251.551.5751.61.6251.65

h=hc

90 Annexes


Résolution B : Courbes M1, C1

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3X=I.x/hn

Y=h/

hn

0.0

0.4

f=hc/hn

0.50.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.80.850.90.951.01.051.11.151.21.25

Annexes 91


Résolution C : Courbes M2, M3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4X=I.x/hn

Y=h/

hn

f=00.2 f=hc/hn0.30.350.40.450.50.5250.550.5750.60.6250.650.6750.70.7250.75

0.775

0.8

0.825

0.85

0.875

0.9

0.925

0.95

92 Annexes


Résolution D : Courbes S3, C3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0X=I.x/hn

Y=h/

hn

1.11.15 f=hc/hn1.21.275 1.2251.25 0.850.90.951.01.051.3

1.375

1.3251.35

1.475

1.4

1.45

1.425

1.65

1.5

1.6

1.55

1.7

1.8

1.92.0

Annexes 93


10- Hauteurs conjuguées de quelques sections Rectangulaire formulation exacte

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−=

1

21

1

2

ghU811

21

hh

circulaire formulation approchée avec y=h/D et y1<0.7

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=−−

21

4/31o

2/15D

95.0

21o

21D

1

12

y941y

43q

gDQq

yqyq

y1yy

Fer à cheval et ovoïde formulation approchée avec y=h/T et y1<0.7

( )

0.9522 1 D 1

21 o 1

D 1/ 22 3

3/ 4 2o 1 1

y y q y1 y q y

QqgB T

3 4q y 1 y4 9

⎛ ⎞− −= ⎜ ⎟

− −⎝ ⎠

=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

94 Annexes


11 – Equation des déversoirs latéraux En vue de profil, on a la figure suivante :

dxdxdPP +

dxdxdQQ +

dxdxdSS +

P Q S

β≅sin(β)

x

Tirantd’eau

V : vitesse d’entrée, U : vitesse déversée, Q : débit, S : surface, B : largeur, P : pression, h : tirant d’eau, α : angle entre U et x, I : pente du déversoir, J : perte de charge.

α

u dx

v

On appelle dxdxdQ

− le débit déversé. Le signe négatif vient du fait que le débit diminue dans

le sens de l’écoulement. Le canal est supposé prismatique : 0xS

=∂∂

En raisonnant, suivant un volume de contrôle en régime permanent, les forces qui agissent sur cet élément sont : - Les forces de volumes : - les forces de pesanteur provenant de la gravité : ρ. .V gvol - les forces d’inertie : - les forces d’accélération pure : 0 - les forces d’accélération convective :

∑∫ ∫ ρ=ρ=∂∂

ρj

jjextjjV Surf

ext S).n.V.(V.ds).n.V.(V.dv.VsV.

- Les forces de surfaces : - les forces de pression sur les surfaces Si : ∑i

iiS.p

- les forces de frottement : Ffrottement

Annexes 95


En écrivant l’équilibre de l’ensemble des forces : F Forces d'∑ = inertie

∑∑ ρ=−+ρj

jjextjjfrottementi

iivol S).n.V.(V.FS.pg.V.

Suivant x, on a :

)cos(.U.dxxQdx

xSSdx

xVV.dx

xVVS)V(V

FdxxSSF)S(F)sin(gV. frottementpressionpressionvol

α∂∂

ρ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+ρ+−ρ

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−+βρ

avec :

dx.x

FF :petit ∆S Si

)S(Fdx.xSSFF

pressionpression


∂∂

=∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=∆

Avec : ( )∫ −ρ=)x(h

0pression dz)z(lz)x(hgF


dx)x(du

)).x(u,x(fdx

)x(du)).x(u,x(fdt

x)t,x(fdt)t,x(f

dxd 1

12

2

)x(u

)x(u

)x(u

)x(u

2

1

2

1

−+∂

∂=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫∫

∫ ∂∂

ρ=∂

∂ )x(h

0

pression dz)z(lx

)x(hgx

F

soit :

dx.xh.gSdx.

xFpression

∂∂

ρ=∂

∂

)cos(.U.dxxQdx

xSSdx

xVV.dx

xVVS)V(V

Fdx.xh.gS)sin(g.dx.S. frottement

α∂∂

ρ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+ρ+−ρ

=−∂∂

ρ−βρ

)cos(.U.dxxQdx

xQQ.dx

xVVS)V(VFdx.

xh.gS)sin(g.dx.S. frottement α

∂∂

ρ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+ρ+−ρ=−∂∂

ρ−βρ

)cos(.U.dxxQdx

xVQdx

xQVVQS)V(VFdx.

xh.gS)sin(g.dx.S. frottement α

∂∂

ρ−∂∂

ρ+∂∂

ρ+ρ+−ρ=−∂∂

ρ−βρ

avec V=Q/S =>xhB

SQ

xQ

S1

xV

2 ∂∂

−∂∂

=∂∂

)cos(.U.dxxQdx

xhB

SQ

xQ

S1Qdx

xQVFdx.

xh.gS)sin(g.dx.S. 2frottement α

∂∂

ρ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

ρ+∂∂

ρ=−∂∂

ρ−βρ

96 Annexes


)cos(.U.dxxQdx

xhB

SQdx

xQV.2Fdx.

xh.gS)sin(g.dx.S. 2

2

frottement α∂∂

ρ−∂∂

ρ−∂∂

ρ=−∂∂

ρ−βρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

ρ=α∂∂

ρ+∂∂

ρ−−ρ BgSQ1

xhdx.gS)cos(.U.dx

xQdx

xQV.2FI.g.dx.S. 3

2

frottement

On a vu que :

β

On a : IgRh0 ρ=τ En régime non uniforme on prend comme approximation : JgRh0 ρ=τ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

ρ=α∂∂

ρ+∂∂

ρ−τ−ρ BgSQ1

xhdx.gS)cos(.U.dx

xQdx

xQV.2dx.PI.g.dx.S. 3

2

érimètre0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

ρ=α∂∂

ρ+∂∂

ρ−ρ−ρ BgSQ1

xhdx.gS)cos(.U.dx

xQdx

xQV.2dx.P.JgRI.g.dx.S. 3

2

érimètreh

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

ρ=α∂∂

ρ+∂∂

ρ−ρ−ρ BgSQ1

xhdx.gS)cos(.U.dx

xQdx

xQV.2dx.J.gSI.g.dx.S. 3

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

=α∂∂

+∂∂

−− BgSQ1

xh)cos(.

gSU

xQ

xQ

gSV.2JI 3

2

( )

3

2

gSBQ1

V2)cos(USg

'QJI

dxdh

−

−α+−=

Annexes 97


12 – Abaques pour le calcul des déversoirs latéraux

Cas 1 : Teta=0, F<1

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1X=kx/b

Y=h/

H

W=w/H0.00.10.20.30.40.450.50.5250.550.5750.60.6250.650.675

0.7

0.725

0.85

0.825

0.8

0.775

0.75

0.875

0.95

0.9

98 Annexes


Cas 2 et 3 : Teta=-0.1, F<1

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0X=kx/b

Y=h/

H

W=w/H

0.00.10.3

0.55

0.6

0.8

0.7

0.20.4

0.5

0.8

0.9

0.9

0.7

0.65

Annexes 99


Cas 2 et 3 : Teta=-0.2, F<1

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0X=kx/b

Y=h/

H

W=w/H

0.00.10.3

0.55

0.6

0.8

0.7

0.2

0.4

0.5

0.65

100 Annexes


Cas 2 et 3 : Teta=-0.4, F<1

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0X=kx/b

Y=h/

H

W=w/H

0.00.1

0.3

0.45

0.6

0.8

0.7

0.2

0.35

0.4

0.5

Annexes 101


Cas 4 : Teta=0, F>1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15X=kx/b

Y=h/

H

W=w/H0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.45

0.5

0.05

0.55

0.15

0.25

0.35

102 Annexes


Cas 5 et 6 : Teta=-0.1, F>1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X=kx/b

Y=h/

H

W=w/H

0.0

0.1

0.3

0.15

0.25

0.2

0.05

0.35

Annexes 103


Cas 5 et 6 : Teta=-0.2, F>1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2 3 4 5

X=kx/b

Y=h/

H

W=w/H

0.0

0.1

0.3

0.15

0.25

0.2

0.05

0.35

104 Annexes


Cas 5 et 6 : Teta=-0.4, F>1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5

X=kx/b

Y=h/

H

W=w/H

0.0

0.1

0.3 0.150.25 0.2

0.05

0.35

hydraulique a surface libre -...

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