Cálculo del golpe de v.= Mete

en tuberías de impulsión

por el métoáo de las características

Enrique CABRERA MARCET, Dr. I. I.

Lic. en C. Físicas

NOMENCLATURA

sección recta de la tu-bería.

celeridad media de laonda de presión en la tu-bería.

C y D coeficientes del ajustede la curva Hb= t(Q).

D diámetro de la tubería.

E v F coeficientes del ajustede la curva ri = f(Q).

coeficiente de fricciónde la tubería.

aceleración de la grave-dad.

H altura piezométrica, engeneral;

Hb, altura manométrica queproporciona la bomba,en régimen permanente.

Resumen de su tesis doctoral.

C. D. 532.5

Hb altura manométrica queproporciona la bombaen un instante cualquie-ra tt.

H(1) altura piezométrica enel punto origen de la tu-bería en t,.

llP(1) : altura piezométrica enel punto origen de la tu-bería en ti t.

V(1) velocidad en el origende la tubería en t,.

VP(1) velocidad en el origende la tubería en ti + dt.

V(N) velocidad en el final dela tubería en ti.

VP(N +1) : velocidad en el final dela tubería en ti + At.

H(N +1) altura piezométrica enel punto final de la tu-bería en t,.

HP(N 1 ) : altura piezométrica enel punto final de la tu-bería en ti ± At.

l momento de inercia to-tal de las-masas -¡rato-rías del grupo motor-bomba.

341

L longitud de la tubería.

m : par en el eje en un ins-tante cualquiera.

Mo par en el eje en régimenpermanente.

número de intervalosiguales en que se frac-ciona la tubería.

río velocidad de rotacióndel grupo en r.p.m. enel instante inicial.

12 velocidad de rotaciónen r.p.m. en ti.

Q

Qo

Qe

caudal a través de latubería en ti.

caudal a través de latubería en el instanteinicial.

caudal a través de latubería (igual al sumi-nistrado por la bomba)en ti - - Al.

t tiempo.

ti instante genérico cual-quiera.

velocidad de giro en tidividido por la veloci-dad en régimen perma-nente.

ap : velocidad de giro enti + At, dividida por evo.

par en el eje en ti divi-dido por par de régi-men (Mo).

líp

y

par en el eje en ti + Aldividido por par de ré-gimen (Mo).

peso específico del fluido.

altura de carga en labomba en la tubería deaspiración. Si se despre-cian las pérdidas, coin-cide con el desnivel en-tre las cotas del em-balse y la bomba. Esnegativa cuando labomba está por debajodel nivel. Acompañandoa otra variable, repre-senta un incremento dela misma.

n

6 pendiente media de lastuberías en radianes.

iv velocidad de rotacióndel grupo en ti, enred jseg.

cuo velocidad de rotacióndel grupo en el instanteinicial en rad¡seg.

1. INTRODUCCIO N

El golpe de ariete es 'un fe-nómeno físico muy conocidoy que aparece en las tuberíascuando se modifica el régimende circulación. Las ecuacionesque transmiten esta perturba-ción constituyen un sistema enderivadas parciales, lineal, detipo hiperbólico, que resultamuy laborioso de^ integrar pormétodos analíticos clásicos. Sudeducción puede encontrarse,por ejemplo, en (1) o (2). Ellotrajo como consecuencia inme-diata el desarrollo de métodosde integración gráficos, desta-cando, de entre todos, el so-bradamente conocido de LuisBergeron , desarrollado en (1).

Con, la aparición del calcula-dor digital, y el subsiguienteauge del cálculo numérico, elproblema se ha simplificado ex-traordinariamente. El métodode integración. más adecuado,para el referido sistema, es elconocido por el método de lasearaeterísticas , cuyo fundamen-to matemático puede seguirsecon todo rigor en (4), y cuyaaplicación al golpe de arieteha sido estudiada y difundidafundamentalmente por Streetery Wylie. Por lo tanto, podemosafirmar que el manejo de lasecuaciones que transmiten laperturbación está completamen-te resuelto, estando centrado elproblema actual en el análisisde las condiciones de contorno,a las que seguidamente nos va-mos a referir.

2. PLANTEAMIENTOGENERAL

Las modificaciones del ré-gimen de una tubería más usua-les, que provocan golpes deariete son el cierre, más o me-nos brusco, de una válvula enel extremo final de la tuberíay la parada de un grupo motor-bomba en el inicio de una tu-bería de impulsión. Para tener.resuelto el problema de unamanera completa necesitamosexpresar matemáticamente loque ocurre en ambos extremosde la tubería, tubería que su-

ponemos simple. En uno seproduce la perturbación quegenera las distintas ondas depresión, mientras que en el otrotiene lugar la reflexión de lasmismas. Pues bien, el análisismatemático de las condicionesde reflexión de las ondas essiempre sencillo, pudiendo va-riar las ecuaciones según cadacaso particular. De hecho no eslo mismo una tubería desaguan-do en la atmósfera libre, quehaciéndolo en un depósito, cuyasuperficie libre puede oscilar.Pero, de hecho, su solución essiempre simple.

Por In riese refiere al aná-lisis de las condiciones de con-torno en el extremo en que apa-rezca la perturbación en elcaso particular del cierre deuna válvula, nos _basta con sa-ber la ley matemática de dichocierre. Es, de hecho, un pro-blema resuelto, tanto analíti-camente, por el método de lascaracterísticas (2), como gráfi-cainente por el método de Ber-geron (1 ), y conocido perfecta-mente por -todos los especialis-tas del tema. Sin eiribargo,y tras esta introducción, noso-tros nos vamos a referir a losgolpes de ariete provocados porparadas de grupos motor-bom-ba, que es uno de los tenias es-tudiados en nuestra tesis doc-toral (6).

Haciendo un poco de histo-ria diremos que las condicionesde contorno han sido estudia-das con todo rigor, para estecaso concreto, por John Par-makian en su notable obra61W aterhurrtrner Anulysís (3), peroabordando el problema gráfi-camente, por lo que sólo esaccesible a los auténticos espe-cialistas, y, además, su reso-lución es muy laboriosa. Streetery Wylie (2) lo dejan asimismoplanteado. En España, por otraparte, es muy conocido el estu-dio de Enrique Mendiluce (5)sobre tuberías de impulsión,publicado en 1965, y que hagozado de gran aceptación en-tre los proyectistas de tubeiías.Nosotros estimamos que, desdeel punto de vista experimental,es una aportación interesante.De hecho hemos contrastadocon diversos ejemplos las re-

soltados que se obtienen de susfórmulas empíricas con los va-lores derivados de nuestro pro-grama de cálculo, y, sobre todo,para los cierres llamados rápi-dos, las desviaciones son mí-nimas, siendo en todos los ca-sos investigados, los valores quese derivan de las fórmulas delseñor Mendiluce, conservadores.

METODO DE LASCARACTERISTICAS

Sólo daremos una breve des-cripción del método. Se puedenconsultar las referencias (2),(4) o (6) para más detalles. Conrespecto a la figura, en la cualaparece una malla rectangularen el plano x - 1, las dos ecua-ciones que relacionan la alturapiezométrica y la velocidad enel punto P, que es lo que sedesea calcular, con los valoresconocidos de A y B, son váli-

Fig. 1

(las sólo a través de las rectascaracterísticas. La tubería, co-mo se ve, se parcela en N ir ter-valos, sometiéndose a estudioN + 1 puntos. Inicialmente,los valores de velocidad y al-tura piezométricas son los co-rrespondientes al régimen per-manente. Pues bien, las dosecuaciones aludidas anterior-mente son:

g(Hp -- HA) + a(Vp - VA )

gsen8'•VA

t a+ v.x ¡VAI

2 DAl = 0 [3.1]

g(Hp - HB ) - a(Vp - VB) +

+

[.a

2•D

gsea8.VB---

VB I\'BI At_0 [3.2]

que, como es de suponer, sederivarán de las ecuaciones detransmisión del fenómeno.

En general, las rectas carac-terísticas no tienen por quépasar por los nudos de la red,pero en este caso particularv tomando como incremento detiempo

1.

así es.

N a

(3) o (6).)

En consecuencia, veníos que,a partir de los datos iniciales,se pueden ir calculando todoslos valores de alturas piezonié-fricas y velocidad para instan-tes poste—iores, con las ecua-ciones [3.11 y [3.2]. Sólo parael caso particular de los contor-nos necesitamos una segundaecuación, ya que, por un puntoextremo, sólo pasa una carac-terística. En el caso de la fi-gura 1, la C_ entre 1 y 2. Enconsecuencia, necesitamos unasegunda ecuación, que unidaa C_ nos resuelvan VP(1) yHP(1), es decir, los valores de 1correspondientes al instante pos-terior (ti + At), en función deV(2) y 11 ' 2), es decir, los valo-res del punto contiguo en elinstante anterior (ti).

4. CALCULO DE LASCONDICIONES DECONTORNO A LA SALIDADEL GRUPO MOTORBOMBA

Aquí nos vamos a entretenerun poco en desarrollarlas, dadoque constituye la auténticaaportación, al ser unas condi-ciones de contorno no estudia-das. En definitiva, lo que pre-tendemos es una relación

Í[VP(1), 1P(1)] = 0

345

que unida a la C_, particulari-zada (ver figura) entre 2 y 1,en los instantes ti y ti -?- At,es decir,

g[Hp(1 ) - H(2)] - a[VP(1) -

- V(2)] +

f•a- V(2) • V(2)1

2.D

g•sen.B.V(2)-

At=o [4.1]

nos resuelva el problema.Las ecuaciones de las que

partimos serán :

4.1. Ecuación de inercia delgrupo

Cuando se corta el suministrode energía eléctrica al motorque arrastra la bomba, el con-junto continúa girando por iner-cia, si bien se va decelerandoprogresivamente. Se debe cum-plir en todo instante la ecua-ción fundamental de la diná-mica de rotación.

duo

di

integrando esta ecuación en se-gunda aproximación entre dosinstantes consecutivos, ti y ti +f Al, siendo Al el definido ini-cialmente en el apartado 3,queda

P + pp = K(- -- a,) [4.1]

en donde

M=-1

2 1 wo

mo Al

4.2. Curva característicaH = f(Q)

Las curvas característicasH = f(Q) se pueden ajustarcon bastante exactitud median-te polinomios de segundo grado,mediante el método de los mí-nimos cuadrados (S). La ecua-ción resultante, previa determi-nación de los coeficientes C y D,es

Hb, =C--DQ' para n=no

pero dado que cuando se pro-duce la parada, la velocidad

z

haciendo previamente

V(2)C., =H(°>) • a+

.9

Jt • sera 0

de la bomba va disminuyendo,interesa el comportamiento dela misma a velocidades n < n,;.Mediante la aplicación de lasfórmulas de semejanza particu-larizadas para una misma bom-ba (9), se llega a la expresiónHn = H5 (Q, a)

HG=C.al -- DQi [4.-.]

Interesa relacionar Ht, conla altura piezométrica del pun-to inicial de la tubería. Tomnart-do como origen de alturasmétricas la cota de la bomba.suponiendo que el régimen espermanente entre la superficielibre del líquido }- el puntoinicial a la salida de la borraba,y despreciando los términoscinéticos, tenemos

H(1) = H b + a [4.3]

para cualquier instante consi-derado, y, en definitiva, te-niendo presente [4.2]. queda

HP(1)=U-a2a,---D-Q11,-I-a[1.1]

4.3. Curva caraeterística"f = Í(Q)

Ajustando la curva experi-mental rendimiento-caudal, asi-mismo con un polinomio de se-gundo grado

Ql + FQ

para

en donde se ha tenido presenteque pasa por el punto (0, 0,).y aplicando las fórmulas de se-mejanza, se obtiene para n no

F F-- Q l -- Q [4.5]

l''ig 2

Por otra parte, el par cedidopor el motor en régimen per-manente es

jioi'ntrae que para una el<;^ idad n < n,,, se tendrá

11 -HlQ, a

- (Q, a) ti,

í. RECAPITULACIO N DELAS CONDICIONES DECO TORÑO A LA SALIDADEL GRUPO

De las ecuacion{:gis-1.1)

= K(a--xP)

[a.r] 1 11P(1) _

Coi libitia nd<u 4 t¡. 14.61i. i sc, lleva a

HP(1) _ ¡3a,

sien do

VP(1)

a,,

1 Isión

cII

G-D Q"0= F

E Q„ F

r1.a]

4.4. Ecuación de transmisión(fe] fenómeno

Corresponde a la aplicaciónde la ecuación [3.21 entre 2 y 1(figura 1), resultando

g(HP(1) + 1-1 (2) ) -- aa(VP(1

- v(z)) + g,sea0•V('

f V(2) . V(2)I^At = 0 [4.9]2 D

que se puede escribir

HP(1) = C, 3- --VP(1) [4.10]9

11P(1) _

VP(1)

t {.q ap

D

podernos obtener una relaciónHP(1) = f(VP(1) ), que, unidaa [4.10], determinan exacta-mente los valores de la veloci-dad y altura piezométrica a lasalida del grupo para el ins-tante ti ± Al. En resumen,tenemos cuatro ecuaciones paraaveriguar a2,, Pr 11P(1) y VP(1).

6. CONDICIONESDE CONTORNO EN El,OTRO EXTREMO DE LATUBERIA

Si suponemos que desaguaen la atmósfera, lo que consti-tuye el caso particular más sen-cillo, tendremos que la presiónen dicho punto vale cero, y, enconsecuencia, la altura piezo-métrica constante es igual a lageométrica, esto es

HP(N+1) = --- L x seno

con lo que no habrá más quedespejar VP (N -¡- 1) de laecuación que se obtiene poraplicación de [8.2] entre lospuntos N y N -]- 1, que, comose sabe, es el extremo . El signo

menos en consecuencia de unconvenio de signos adoptado,.de modo que en las tuberías deimpulsión los ángulos son ne-gativos.

PROGRAMA DE CALCULODESARROLLADO. DATOSDE ENTRADA

A partir de las condiciones decontorno aquí desarrolladas, ymediante el método de las ca-racterísticas, hemos confeccio-nado un programa de cálculocon el que queda el problemaresuelto por completo. Dichoprograma, escrito en lenguajeFORTRAN, precisa de los si-guientes datos de entrada:

representa la longi-tud de la tubería.

celeridad de la ondade presión.

número de interva-los en que se ha di-vidido la tuberíapara aplicar el mé-todo de las carac-terísticas. El núme-ro de puntos estu-diado es N+ 1.

«DESN» : representa el va-

«DIAMT»

«FRICT»

«SPEEDI»

lor A introducidoen el apartado 4.2.

Diámetro de la tu-bería de impulsión.

Coeficiente de fric-ción de la tubería.

Velocidad del fluidoen régimen perma-nente.

«TIMAX» : Tiempo durante elcual nos interesa co-nocer el valor delas distintas varia-bles.

«GRAV» : Aceleración de lagravedad.

«THETA» Pendiente media de

«YNER»

la tubería de im-pulsión en - radia-nes. Por la deduc-ción de las .. ecuaciones, el ángulo esnegativo en tube-rías de impulsión.

Momento dé iner-cia de lasmasas ro-tantes de la bombay -motor conjunta-mente.

permanente delgrupo motor-bom-ba en r.p.m.

«C. D. E. y F.» : Son los coeficientesde las curvas ajus-tadas.

Evidentemente, estos datosdeben ser coherentes entre si.Los resultados que obtenemosdel programa de cálculo son lapresión, altura piezométrica yvelocidad en los once puntosestudiados, en función del tiem-po transcurrido tras el fallo desuministro. Asimismo, se im-primen los valores de x yhasta el instante en que la ve-locidad se hace cero en la vál-vula de retención (.0, según elformato de impresión), dadoque a partir de este instante elgrupo queda aislado del fluidocirculante por la tubería, per-diendo toda su influencia.

EJEMPLO PROCESADO.COMPARACION CON LOSVALORESEXPERIMENTALESDETERMINADOS

Es evidente que una teoría,por inuy coherente que en prin-cipio parezca, de no compro-barse experimentalmente, que-da incompleta. Al objeto deefectuar las pruebas que ratifi-quen los resultados teóricos ob-tenidos, nos dirigimos a la So-ciedad de Aguas Potables deValencia, que puso a nuestradisposición una típica impulsión.La experiencia a realizar no po-día ser más sencilla, parar elgrupo motor-bomba cuantas ve-ces se considerase oportuno, alobjeto de estudiar bien los va-lores experimentales. A tal efec-to se instalaron dos manóme-tros : el primero, a la salidadel grupo motor-bomba,tras que el segundo aproxima-damente a milad de la tubería.Ambos fueron debidamente-ca-librados.

Finalmente, durante una delas muchas experiencias, se fil-maron las evoluciones de. lasagujas de los manómetros in-dicadores, con el fin que al

áculaGIRO» Velocidad de rota ver -talentizad.a la.`p licula noción en "régimen hubiere imprecisión, por núes-

34

tea parte , en la apreciación delos valores leídos.

Damos a continuación un ex-tracto de los resultados que sederivan del programa de cálcu-lo, procesado por el calculador,mientras que los resultados ex-perimentados fueron :

a) Manómetro instalado a lasalida del grupo:

- Presión máx.: 56,50 m.

Presión min..: 7,10 m.

b) Manómetro instalado en elpunto 0,5 de la tubería:

- Presión máx.: 29,40 m.

Queremos, asimismo, consig-nar un valor experimental degran importancia, y que cons-tituye en, el estudio de don En-rique Mendiluee el punto departida de todos los cálculos:el tiempo que tarda la válvulade retención en cerrar desdeque se produce el fallo de po-tencia, En nuestras múltiplesexperiencias, el cronómetro re-gistró 3,9 seg Por otra parte,su determinación teórica es biensencilla, no habiendo más queobservar el instante en que lavelocidad en la válvula se hacenula, dejándose de imprimirlas variables -rj y P. Ello ocurreen el instante 3,996 seg, quecoincide, prácticamente, con elvalor experimental.

En cuanto a los valores teó-ricos obtenidos son:

a) En la salida del grupo mo-tor-bomba:

Presión máx.: 56,38 m a los5,285 seg.

Presión mín.: 7,68 a los3 99ti seg.

b) Presión en el punto mediode la tubería:

- Máxima: 29,61 ma los 4,963segundos.

la vista dé ello, concluimosque el método-es correcto.

haciendo previamente

Por otra parte.

At sen 0

de la bomba \-a disminuyendo,interesa el comportamiento dela misma a velocidades n < tt,,.¡Mediante la aplicación de lasfórmulas de semejanza particu-larizadas para una misma bom-ba (J), se llega a la expresión1 b = IIb (Q. r4

Flv= C UQ

interesa relacionar Hi conla altura piezoxnétrica del pun-to inicial de la tubería. Tornan-do como origen de alturas tige.o-métricas la cota de la bomba,suponiendo que el régimen c:spermanente entre la superficielibre del líquido N, el puntoinicial a la salida de la bomba,y despreciando los términosinétir os, tenernos

H(1) = Hn ¿ [4.3]

para cualquier instante consi-derado, y, en definitiva, te-niendo presente [4. ], queda

HP(1)=C•«2p---D Q2 + [!.-1]

4.3. Curva característica

R(Q)

el par cedido

= H(2) --

por el motor en régimen per-manente es

m

nti auras (lile para una vclcci--,] dad n < n,. se tendrá

VP(1)(^3 (.,,

a{,

C -- D tdtn--- A

Q o + F

= F- D Q 20

EQ', +E

[-t.x]

4.4. Ecuación de transmisióndel fenómeno

Ajustando la curva experi-mental rendimiento-caudal, asi-misrzro con un polinomio de se-gundo grado

para

=EQ2± FQ

o'W

en donde se ha tenido presenteque pasa por el punto (0, 0,).y aplicando las fórmulas de semejanza, .. se obtiene paran no

Q H(Q.

RECAPITULACION DELAS CONDICIONES DECONTORNO A LA SALIDADEI, GRITPO

las ectiacciones 1.1'. 14 -1Í

á+(,n=El «p)

[1.7] HP(1) _^

(4uiIbinand<u ^ 4.:^ L 14.611-1.7 ,cllega a la expresión

5tc'ncío

Corresponde a la aplicaciónde la ecuación [3.2] entre 2 y 1(figura 1). resultando

g(HP(1) ± H(2) )

V(2)) + g sen 0

V(2) M2)I

TP(1)

r(z)

Al = 0 [4.9]?D 1

que se puede escribir

E Fe HP(-Q2 ± --- Q [4.5]za

Cp + -VP(1) [4.10]

346

9

VP(1)+ 1'!.^

ap

13131(1)

podemos obtener una relación1-IP(1) = j(VP(1) ), que, unidaa [4.10], determinan exacta-mente los valores de la veloci-dad y altura piezométrica a lasalida del grupo para el ins-tante ti + Al. En resumen,tenemos cuatro ecuaciones paraaveriguar dp, pp llP(l) y VP(1).

6. CONDICIONESDE CONTORNO EN 1,OTRO EXTREMO DE LATURERIA

Si suponemos que desaguaen la atmósfera, lo que consti-tuye el caso particular más- sen-cillo, tendremos que la presiónen dicho punto vale cero, y, enconsecuencia, la altura piezo-métrica constante es igual a lageométrica, esto es

HP(N±1) L x sen 6

con lo que no habrá más quedespejar VP(N 1) de laecuación que se obtiene poraplicación. de [8.2] entre lospuntos N y N + 1, que, comose sabe, es el extremo. El signo

menos en consecuencia de unconvenio de signos adoptado,de modo que en las tuberías deimpulsión los ángulos son ne-gativos.

PROGRAMA DE CALCULODESARROLLADO. DATOSDE ENTRADA

A partir de las condiciones decontorno aquí desarrolladas, ymediante el método de las ca-racterísticas, hemos confeccio-nado un programa de cálculocon el que queda el problemaresuelto por completo. Dichoprograma, escrito en lenguajeFORTRAI\, precisa de los si-guientes datos de entrada:

«LONG» : representa la longi-tud de la tubería.

«A» : celeridad de la ondade presión.

«N» número de interva-los en que se ha di-vidido la tuberíapara aplicar el mé-todo de las carac-terísticas. El núme-ro de puntos estu-diado es N -1.

«DESN» : representa el va-lor A introducidoen el apartado 4.2.

«D IAiI T» Diámetro de la tu-hería de impulsión.

»FRICT» : Coeficiente de fric-ción de la tubería.

«SPEEDI» : Velocidad del fluidoen régimen perma-nente.

»TIMAX» : Tiempo durante elcual nos interesa co-nocer el valor delas distintas varia-bles.

«C=RAV» Aceleración de lagravedad.

«THETA» : Pendiente media de

NER»

la tubería de im-pulsión en radia-nes. Por la deduc-ción de las. ecúacio-nes, el ángulo esnegativo en tube-rías de impulsión.

cia de lasmasas ro-tantes de la bombay -motor conjunta-mente.

:Momento de i

tGIRO» Velocidad de : rotación en "régimen

permanente delgrupo motor-bom-ba en r.p.m.

«C. D. E. y F.» : Son los coeficientesde las curvas ajus-tadas.

Evidentemente, estos datosdeben ser coherentes entre sí.Los resultados que obtenemosdel programa de cálculo son lapresión, altura piezométrica yvelocidad en los once puntosestudiados, en función del tiem-po transcurrido tras el fallo desuministro. Asimismo, se im-primen los valores de . y Phasta el instante en que la ve-locidad se hace cero en la vál-vula de retención (.0, según elformato de impresión), dadoque a partir de este instante elgrupo queda aislado del fluidocirculante por la tubería, per-diendo toda su influencia.

8. EJEMPLO PROCESADO.COMPARACION CON LOSVALORESEXPERIMENTALESDETERMINADOS

Es evidente que una teoría,por muy coherente que en prin-cipio parezca, de no compro-barse experimentalmente, que-da incompleta. Al objeto deefectuar las pruebas que ratifi-quen los resultados teóricos ob-tenidos, nos dirigimos a la So-ciedad de Aguas Potables deValencia, que puso a nuestradisposición una típica impulsión.La experiencia a realizar no po-día ser más sencilla, parar elgrupo motor-bomba cuantas ve-ces se considerase oportuno, alobjeto de estudiar bien los va-lores experimentales. A tal efec-to se instalaron dos manóme-tros: el primero, a la salidadel grupo motor-bomba, mien-tras que el segundo aproxima-damen.t_e a nil ad de la tubería.Ambos fueru>- debidamente- ca-librados.

Finalmente, durante una delas muchas experiencias, se fil-maro i las evoluciones dé. lasagujas de los manómetros in-dicadores, con el fin de que alver tizada la —película nohubiere imprecisión; por nues-

tra parte, en la apreciación delos valores leídos.

Damos a continuación un ex-tracto de los resultados que sederivan del programa de cálcu-lo, procesado por el calculador,mientras que los resultados ex-perimentados fueron:

Manómetro instalado a lasalida del grupo:

- Presión máx.: 56,50 m

---,Presión min.: 7,10 m.

b) Manónietro instalado en elpunto 0,5 de la tubería:

- Presión máx.: 29,40 m.

Queremos, asimismo, consig-nar un valor experimental degran importancia, y que cons-tituye en el estudio de don En-rique Mendiluce el punto departida de todos los cálculos:el tiempo que tarda la válvulade retención en cerrar desdeque se produce el fallo de po-tencia. En nuestras múltiplesexperiencias, el cronómetro re-gistró 3,9 seg. Por otra parte,su determinación teórica es biensencilla, no habiendo más queobservar el instante en que lavelocidad en la válvula se hacenula, dejándose de imprimirlas variables r y p. Ello ocurreen el instante 3,996 seg, quecoincide, prácticamente, con elvalor experimental.

En cuanto a los valores teó-ricos obtenidos son:

En la salida del grupo mo-tor-bomba :

- Presión máx.: 56,38 m a los5 285 seg.

Presión mín.: 7,68 a los3,996 seg.

b) Presión en el punto ide la tubería:

--Máxima- 29,61 m a los 4,96segundos.

A la vista de ello, concluimosque el método es correcto.

a

aza.

34.7:

RUN QUIN'1'

QUINT 10.23 03/09/76 TUESDAY 001

? 523.0 811.5 10 -0.870.2500.0151.503 8.009.810

2 -0.060419 3.100 1475.00 41.640 1344.140 -142.500 21.270

DATOS DEL PROBLEMA

LONG= 523.0 A= 811.5 N= lt)

SPEEDI= 1.503 TIMAX= 8.0

GIRO= 1475.00 C = 41.64

DESN =-0.870 DTAMT- 0.250 )).015

GRAV= 9.810 TI-IETA=-0.))6U=119 VNER=- 3.1))

D = 1344,14 E= -142.50 F = '21.27

ALTURAS Y VELOCIDADES EN DIP7 SEC ,IONES DE LA TURE

TIME X/1L .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 1.

0.0 PRES= 35.19 31.67 28.15 24.64 21.12 17.60 14.08 10.56 7.04- 3.52 0.00H = 35.19 34.83 34.47 34.11 33.75 33.39 33.03 32.66 32.30 31.94 31.58C = 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50

ALFA= 1.000BETA= 1.000

0.064 PRI?S= 33.25 31.68 28.16 24.64 21.12 17.60 14,08 10.56 7.05 3.53 0.0H = 33.25 34,84 34.48 34.12 33.75 33.39 33.03 32.67 32.31. 31.95 31.58C= 1.48 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50

ALFA= 0.973BETA---- 0.954

3,802 PRES= 6.97 5.22 4.82 4.33 3.94 3.32 2.67 2.09 1.36 0.74 0.0H = 6.97 S.38 11.13 13,80 16.57 19.11 21.62 24,20 26,62 29.17 31_58C= 011 0.11 0.10 0.08 0.08 0.07 0.06 0.05 0.05 0.05 0.05

ALFA= 0.384BETA= 0.099

3.867 PRES= 6.86 6.40 5.84 5.`?8 4.57 3.94 3.26 22.38 1.61 0.77 0.0El = 6.86 9.56 12.16 14.75 17.20 19.73 22.21 24.49 26.88 2.9.19 31.58L= 0.09 0.08 0.07 0.05 0.04 0,04 0.03 0.03 0.02 0.02 0.02

ALFA= 3820B ETA =-

.0.096

3.931 P R ES =H =

6.846.84

7.4910.64

6.8613.18

6.0815.55

5.2817.92

4.5020.29

3.6622.60

2.782.4.89

1.7927.06

0.8729.29

0.031.58

C=- 0.05 0.05 0.03 0.02 0.02 0.01 0.00 --0.00 -0.01 --0.01 --0.01ALFA= 0.379BETA = 0.092

3.996 PRES= 6.78 7.30 7.72 6.87 6.02 5.00 4,03 3.07 2.04 1.03 0.0VI = 6.78 10.46 14.04 16.34 18.65 20.79 22.98 25.17 27.30 29.45 31.58C= 0,0 000 0.01 --0.00 -0.01 -0.02 -0.03 -0.03 -0.03 ---0.03 ---0.04

4.060 PRES = 10.33 7.02 7.31 7.66 6.58 5.54 4.40 3.29 2.30 1.17 0.011 - 10.33 10.18 13.63 17.13 19.21 21.33 23.35 25.39 27.56 29.59 31.58C = 0.0 --0.04 - -0.04 -0.03 ---0.04 OA5 -0.05 -0.06 0.06 -3.06 -0.06

/

4.898 P1-1 ES- 42.30 38.97 35.71 32.35 28.92 26.61 24.17 18.05 12.07 6.02 0.0H = 2.30 42.13 42.03 41.82 41.56 42.40 43.12 40.15 37.34 34.44 31.58C = 0.0 -0.02 --0.04 -0.06 -0.09 -015 -0.15 --0.15 -0.14

4.963 PRES= 43.94 40.78 . 37.38 34.07 31.89 `?9.61 23.59 17.64 11.74 5.83 0.0H = 43.94 43.94 43.70 .13.54 44.53 45.40 42.54 39.75 37.00 34.25 31.58C = 0.0 --0.02 -0.04 -0.06 ---0.10 -0.13 -0.12 12 --0.11 -o.I1 (J.11

5.027 PRES= 45.58 42.36 39.13 36.93 34.75 28.87 23.08 17.28 11.40 5.72 0.01-1= 45.58 45.51 45.45 46.41 47.39 44.66 42.03 39,38 36.66 34.14 31.58C = 0.0 -0.02 -0.04 -0.07 -0.11 --010 -0.09 ---0.09 --0.08 -0.08 ' -0.08

5.091 PRES= 47.08 43,93 41.90 33.91 28 22 22.56 16.84 11.26 5.57 0.0H = 47 08 47.09 48.22 46.54 44.01 41.51 38.94 36.52 33.99 31.58C =

.0.0 ---0,02 ---0.05 ---0.08 -0.08 --0.07 ----0.06 -0.05 --0.05 ---0,05 ----0.05

5.156 PRES= 48.60 46.63 44.61 38.88 33.28 27.60 21.98 16.54 11.00 5.54 0.0H = 48.60 49.79 50,93 48.35 45.92 43.39 40.93 38.65 36.27 33.97 31.58C = 0.0 -0.03 -0.06 -0,05 ---0.04 -0.04 -0.03 -0.03 --- 0,02 --0.02

5.220 PRES= 52.49 49.28 43.61 38.08 3.2.57 >7.04 21.58 16.15 10.83 5.44 0.01-1= 4952 52.44 49.92 47.55 45.20 42.83 40.53 38.25 36.09 33.86 31.58

Ew C =.

0.0 -0.05 -•-0.03 -0.02 --0.02 -0.01 -0.00 0.00 0.01 0.01 0.01ü

5.285 PRES= 56.28 49.47 42.75 37,30 4 26,55 21.`'1 15.87 10.58 5.28 (1.))

H = 56.28 52.63 49.07 46.77 .47 42.34 40.16 37.97 35.84 33.71 31.58C - 0.0 --0.00 ----0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.03 0.03 0.03 0.04

z 5 349 PRES = 52 76 7549 43.16 36.51 31.28 26.01 20.84 15.65 10.32 5.14 0.0.•cE H =

.52.76

.52.91 49.48 45.98 43.91 41.80 39.78 37.75 35.59 33.56 31.58

C - 0.0 0.04 0.04 0.03 0.04 0.05 0.05 0.08 0.06 0.06 - 0.06

9. ALGUNASAPROXIMACIONESEFECTUADAS

La pendiente de la tuberíano es uniforme, y sin embargose tomó la media. Ello no tie-ne ninguna importancia, al efec-tuarse los cálculos a través delas alturas piezométricas, queson independientes de la pen-diente. Ello repercutiría tansólo en los valores de las pre-siones obtenidas, debiendo co-rregirse en la diferencia entre lacota media y la cota real, encada punto de la tubería.

Los ajustes de las curvas ca-racterísticas no son exactos.Para ello habría que recurrir apolinomios de orden superior,lo cual no merece la pena epitanto en cuanto las curvas queproporcionan. los fabricantes noson, del todo exactas.

El programa no está previstopara que incluya las pérdidasmenores, porque, en general,son despreciables. De todos mo-dos, si en algún caso particularno lo fuesen, seria suficientecon modificar algunas senten-cias del programa. Análoga-mente con las condiciones decontorno a la salida (en casode que no desaguare la tuberíaen la atmósfera).

l o . CONCLUSION

La principal ventaja, a nues-tro modo de ver, del métodode las características aplicadoal golpe de ariete, es que sepueden estudiar cuantos pun-tos queramos calculando la pre-sión, máxima en todos ellos, loque ocurre en instantes distin-tos. En consecuencia, la tube-ría se puede dimensionar conun considerable ahorro, que,en casos determinados, puedellegar a ser ciertamente impor-tante. Por otra parte, la grancomplejidad de cálculos correna cargo del ordenador digital,debiendo limitarse el proyec-tista a la preparación de losdatos, dándose la paradoja depoder resolverse un golpe deariete sin saber lo que es: tansólo preparar bien los datos de

partida y saberlos introduciren el calculador.

Finalmente, hay que decirque, si tras una primera 'stima-ción de la celeridad de la ondade presión, los resultados obte-nidos determinasen unos es-pesores en la tubería, cuya ce-leridad inedia correspondientediscrepase mucho del valor queconstituye el dato de entrada,debería procesarse de nuevo elprograma. No obstante, pode-uros anticipar que las presionesapenas varían cuando se modi-fica ligeramente la celeridad,y que, en general. es suficienteun primer cálculo.

B1111 lOGRAFIA

1. PASTOR RUPÉREZ, JUSTO: «Ré-gimen variable en tuberías. Teo-ría general del golpe de ariete».Madrid, 1948.

STREETER, Vr L.; WYLIE, E. B.:«Hydraulic Transients», McGraw Hill. New York, 1967.

3. PAlrí-uAKIAN, JonN: «'vAaterham-mer Analysis», Dover Publica-tions. New York, 1963.

4. LisTER, MARY: «The Numericalsolution of hyperbolics partialdifferential equations by themethod of characteristics», enMathernatical methods for digitalcomputers. Ralston, A., JohnWiley. New York, 1960.

5. MENOILUCE Rosicu, E.: «In-vestigación Teórico-Práctica delos valores reales del golpe deariete por parada brusca del gru-po motor-bomba en impulsío-nes». Madrid, 1965.

6. CABRERA MARCET, E.: «Contri-bución al estudio del golpe deariete. Aplicación del cálculodigital». Valencia, 1976. Tesisdoctoral.

7. C. S. MARTin: «Status of FluidTransients in western Europeand the United Kingdom», Jour-nal of Fluids Engineering, June1973.

8. Mc CRACKEN-DoRN: Métodosnuméricos y programación For-tran. Ed. Limousa Wiley.

9. NEunASOV, B.: Hidráulica. Ed.Mir. Moscú, 1968.

`®®L]' I 1 l

«i LE COMUN ICACIONES

L S>»

La Asociación Española dePeriodismo Científico convo-ca un concurso, patrocinadopor Standard Eléctrica, So-ciedad Anónima, para pre-miar al mejor artículo sobreel tema de las telecomunica-ciones, con las siguientes ba-ses:

1.1 El premio se concederáa artículos, comentarios, en-trevistas o reportajes publi-cados o emitidos en cualquiermedio informativo español,entre la fecha de esta convo-catoria y el 31 de marzo de1978. Se fallará antes del 31de mayo de 1978.

2.' El tema debe versaren torno a las telecomunica-ciones, con especial atenciónhacia las innovaciones, o ensu proyección social y econó-mica.

3.° Habrá un primer prc-mío de 250.000 pesetas, unsegundo, de 150.000 y un accé-sit de 75.000. El jurado no po-drá declarar desierto ningu-no de los premios.

4.° El jurado estará com-puesto por tres miembroselegidos por dicha Asociacióny dos miembros por la Aso-ciación de Ingenieros de Te-lecomunicación y un secre-tario -sin voto- en nombrede Standard Eléctrica.

5.° Los trabajos se hande enviar al Gabinete dePrensa de Standard Eléctrica,José Ortega y Gasset, 22,Madrid-b, antes del 31 demarzo de 1978. En los casosde medios audiovisuales, serecomienda el envío de unacopia junto con el guión ori-ginal.

z

an

349