homogeneidad de varianzas

HOMOGENEIDAD DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZASVARIANZAS

DISEÑO ESTADISTICO DE DISEÑO ESTADISTICO DE EXPERIMENTOSEXPERIMENTOS

LA PRUEBA FLA PRUEBA F• Se tienen dos muestras aleatorias independientes de poblaciones normales. • Hipótesis nula:

H0: σ21 = σ2

2 = σ2

• Hipótesis alternativa:

HHaa: : σσ2211 ≠ ≠ σ σ22

22

• Estadístico de prueba:

)(

)(2

2

menorS

mayorSFc

• Regla de decisión:Regla de decisión:

Rechazar HRechazar H00 si: si: Fc Ft

donde donde Ft es el valor de tablas de la distribución es el valor de tablas de la distribución F F de de

Fisher con los grados de libertad (tamaño de la muestra Fisher con los grados de libertad (tamaño de la muestra menos uno) correspondientesmenos uno) correspondientes para el numerador y para para el numerador y para el denominador, al nivel de confianza (1-el denominador, al nivel de confianza (1-αα) x 100.) x 100.

22

1

22

1

1

1

1iiij

i

n

jiij

ii YnY

nYY

nS

i

EjemploEjemplo::

Verificar la hipótesis de homogeneidad de varianzas, Verificar la hipótesis de homogeneidad de varianzas, con un nivel de significancia con un nivel de significancia = 0.05. = 0.05.

Sean dos muestras aleatorias independientes Sean dos muestras aleatorias independientes provenientes de poblaciones normales con provenientes de poblaciones normales con varianzasvarianzas y tamaños de muestrasy tamaños de muestras ::S2

1 = 36.8 ; n1 = 20 y S22 = 42.3 ; n2 = 16

15.18.36

3.42cF

Para un Para un = 0.05: = 0.05:FF(15, 19)(15, 19) = 2.23 = 2.23

Como 1.15 no es mayor que 2.23 entonces no se Como 1.15 no es mayor que 2.23 entonces no se rechaza Hrechaza H00 al 95% de confianza. Lo anterior nos indica al 95% de confianza. Lo anterior nos indica

que se puede considerar que las varianzas de las dos que se puede considerar que las varianzas de las dos muestras son estadísticamente iguales.muestras son estadísticamente iguales.

LA PRUEBA DE BARTLETTLA PRUEBA DE BARTLETT• Se tienen k muestras aleatorias independientes de poblaciones normales. • Hipótesis nula:

H0: σ21 = σ2

2 …, σ2k. = σ2


k

iii

k

iic SnSn

LX

1

210

1

210

2 log1log13026.2


Rechazar HRechazar H00 si: si: X2c X2

(k-1, α)

donde donde XX22

((kk-1, -1, αα)) es el valor de tablas de la distribución es el valor de tablas de la distribución Ji-cuadradaJi-cuadrada

k

ii

k

iii

n

SnS

1

1

2

2

1

1

k

ik

ii

i nnK

L1

1

1

1

1

1

)1(3

11

Donde:

22

1

22

1

1

1

1iiij

i

n

jiij

ii YnY

nYY

nS

i

EjemploEjemplo::

MuestraMuestra DatosDatos nnii SS22ii

11 44 77 66 66 44 1.5831.583

22 55 11 33 55 33 44 66 2.3002.300

33 88 66 88 99 55 55 2.7002.700

Verificar la hipótesis de homogeneidad de varianzas, con Verificar la hipótesis de homogeneidad de varianzas, con un nivel de significancia un nivel de significancia = 0.05. = 0.05.

Sean las muestras siguientes provenientes de Sean las muestras siguientes provenientes de poblaciones normales e independientes:poblaciones normales e independientes:

2540833.2)15)(16)(14(

)700.2)(15()300.2)(16()583.1)(14(2

S

116667.1151614

1

)15(

1

)16(

1

)14(

1

133

11L

7.2log43.2log5583.1log3254.2log4254.2log5254.2log311667.1

3026.2101010101010

2 cX

213.01034.01167.1

3026.22

cX

De las tablas:De las tablas: X2

(k-1, α) = X2(3-1, 0.05) = 5.991

con lo cual no se rechaza H0

LA PRUEBA DE COCHRANLA PRUEBA DE COCHRAN• Se tienen k muestras aleatorias independientes del mismo tamaño provenientes de poblaciones normales. • Hipótesis nula:

H0: σ21 = σ2

2 …, σ2k. = σ2


k

iiS

MayorSG

1

2

2 )(


Rechazar HRechazar H00 si: si: G g

donde donde G G g g es el valor de tablas de Cochranes el valor de tablas de Cochran

EjemploEjemplo::

Verificar la hipótesis de homogeneidad de varianzas, con Verificar la hipótesis de homogeneidad de varianzas, con un nivel de significancia un nivel de significancia = 0.01. = 0.01.

Sean seis muestras aleatorias de igual tamaño Sean seis muestras aleatorias de igual tamaño ((nn = 17) provenientes de poblaciones normales = 17) provenientes de poblaciones normales e independientes:e independientes:

Muestra 1 2 3 4 5 6

S2i 88.6 77.4 83.9 117.5 49.8 131.2

225.04.548

2.131

2.1318.495.1179.834.776.88

2.131

G

Buscando en las tablas de la prueba de Cochran obtenemos que el valor correspondiente a = 0.01 es:

gg = 0.3529

por lo que no se rechaza H0; al 99% de confianza.

Igualdad de dos mediasIgualdad de dos medias

La Prueba t de studentLa Prueba t de student

LA PRUEBA LA PRUEBA tt• Se tienen dos muestras aleatorias independientes con varianzas homogéneas provenientes de poblaciones normales. Hipótesis nula:

HH00: : 11 = = 22

• Hipótesis alternativa:

Estadístico de prueba:

HHaa: : 11 ≠ ≠ 22

21

21

11

nnS

YYt

p

c

2

11

21

222

211

nn

SnSnS p


Rechazar HRechazar H00 si: si: si tc t(/2, {n1+n2-2})

donde t(/2) es el valor de tablas de la distribución t de

studentstudent con (n1 + n2 – 2) grados de libertad

Sean los siguientes resultados obtenidos a Sean los siguientes resultados obtenidos a partir de dos muestras aleatorias partir de dos muestras aleatorias independientes de poblaciones normales:independientes de poblaciones normales:

iYMuestraMuestra nnii SS22ii

11 6.66.6 1616 20.820.8

22 7.97.9 1919 29.429.4

EjemploEjemplo::

084.549.25

33

4.29188.2015

pS

76.0

19

1

16

1084.5

6.69.7

ct

en tablas obtenemos que:en tablas obtenemos que:

tt(0.025, 33)(0.025, 33) = 2.042 = 2.042

con lo cual concluimos que:con lo cual concluimos que:

no se rechaza no se rechaza HH00

usando un nivel de significancia del 5%.usando un nivel de significancia del 5%.

Prueba de normalidadPrueba de normalidad

Basada en el coeficiente de Basada en el coeficiente de correlación entre los cuantiles correlación entre los cuantiles

muestrales y los de la distribución muestrales y los de la distribución normalnormal

• Sea una muestra aleatoria de tamaño n Procedimiento para probar laProcedimiento para probar la Hipótesis: Hipótesis: los los datos provienen de una población con datos provienen de una población con distribución Normal.distribución Normal.1º. Ordenar los datos de menor a mayor.1º. Ordenar los datos de menor a mayor.2º. Calcular las probabilidades 2º. Calcular las probabilidades ppii mediante la mediante la

expresión:expresión:

3º. Obtener los cuantiles qi correspondientes a pi de la distribución normal estándar.4º. Con las parejas (qi , yi) calcular el coeficiente de correlación de Pearson como Estadístico de prueba:

25.0

375.0

n

ipi

n

i

n

iii

n

iii

c

YYqq

YYqqr

1 1

2

)(

2

1)(


Rechazar HRechazar H00 si: si: rrcc < < rr(n,(n,)

donde rr(n,(n,) es el valor de tablas para el coeficiente de correlación

EjerciciosEjercicios

PreliminaresPreliminares

Diseño Estadístico de ExperimentosDiseño Estadístico de Experimentos

1) A dos grupos de pacientes voluntarios, con A dos grupos de pacientes voluntarios, con padecimientos renales, se les ha aplicado dos padecimientos renales, se les ha aplicado dos tratamientos: tratamientos: AA y y BB y se les ha evaluado antes y después y se les ha evaluado antes y después la concentración de urea. Los datos son como siguen:la concentración de urea. Los datos son como siguen:

AAntes 75 87 69 63 76 87 89 90 76

Después 70 80 60 60 70 83 86 89 75

BAntes 87 75 68 62 75 90 88 77 69

después 80 70 62 60 70 82 80 75 66

¿Los grupos al inicio del experimento son ¿Los grupos al inicio del experimento son homogéneos con respecto a la variable respuesta homogéneos con respecto a la variable respuesta (concentración de urea)?(concentración de urea)?¿El tratamiento ¿El tratamiento AA mejora significativamente a los mejora significativamente a los pacientes? ¿El pacientes? ¿El BB lo hace? lo hace?

1)1)¿Hay homogeneidad de varianzas entre ¿Hay homogeneidad de varianzas entre tratamientos?tratamientos?

2) ¿Los tratamientos producen los mismos 2) ¿Los tratamientos producen los mismos resultados?resultados?

3) ¿se cumple el supuesto de normalidad en 3) ¿se cumple el supuesto de normalidad en cada muestra por separado?cada muestra por separado?

4) Verifique el supuesto de normalidad:4) Verifique el supuesto de normalidad: a) Para las muestras de antes juntas.a) Para las muestras de antes juntas. b) Para cada muestra de antes.b) Para cada muestra de antes. c) Para las muestras de después juntas.c) Para las muestras de después juntas. d) Para cada muestra de después.d) Para cada muestra de después.

Nota: Use = 0.05 para cada pregunta

Considere la variable: Considere la variable: DD = diferencia de = diferencia de concentración entre antes y después, y conteste:concentración entre antes y después, y conteste:

homogeneidad de varianzas

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