História da Matemática no Ensino ������

���Incógnitas, variáveis e coeficientes ���

uma abordagem histórica para desnaturalizar a representação de quantidades desconhecidas

ou arbitrárias���

Tatiana Roque Bruna Moustapha Corrêa

Brasília

Setembro de 2013

O que é concreto?

A matemática ensinada em nossas escolas é abstrata e precisa se tornar mais concreta!

Apesar desta demanda parecer consensual, de todos pedirem para que a matemática seja mais ligada ao “quotidiano”, parece difícil definir, na prática, o que isto quer dizer.

Por outro lado, aprendemos em nossa formação que o aprendizado de matemática é importante para desenvolver o pensamento abstrato ou, como dizemos muitas vezes, por desenvolver a capacidade de raciocínio.

Como tornar a matemática mais “concreta” sem abdicar da experiência de abstração que ela singularmente proporciona?

A matemática precisa se tornar mais concreta!

O ensino de matemática precisa se aproximar do quotidiano!

A matemática lida com conceitos que parecem cair do céu!

A matemática é muito difícil!

Saber de conteúdo X Saber pedagógico

Os cursos de licenciatura em matemática não fornecem respostas a essas perguntas, pois partem de três suposições, assumidas tacitamente: (1) os conteúdos da matemática escolar são simples e comumente entendidos; portanto, não precisam ser reaprendidos no curso universitário;

(2) as disciplinas de matemática universitária são suficientes para equipar os futuros professores com um saber amplo e profundo da matemática escolar;

(3) as disciplinas pedagógicas são suficientes para fazer a ponte entre a matemática superior e a escola.

Ultrapassando a dicotomia ���conteúdo/didática

Os conceitos matemáticos devem ser vistos a partir de problemas!

Mas não falamos de problema em sua acepção comum, platônica, como um obstáculo a ser vencido. Problemas como “exercícios de fixação”, problema = ignorância passageira.

Um problema é uma situação que dá sentido aos métodos, ferramentas e conceitos matemáticos.

Um ambiente “problemático” é um contexto composto por problemas de diversos tipos, entendidos como motor da matemática.

Um saber problemático

O papel do ensino seria re-contextualizar, em seu ambiente problemático, os conceitos que os matemáticos descontextualizam.

Todavia, o termo “contextualizar” não é empregado aqui com sua acepção mais comum. Não se trata de estabelecer vínculos com situações concretas da vida diária, ou com aplicações práticas da matemática.

Substituir a ordem lógica da exposição pela ordem da invenção.

A gênese e o desenvolvimento das ideias matemáticas se dão em um ambiente problemático por natureza. Os conceitos são motivados por problemas, externos ou internos à própria matemática.

Um saber problemático

Nosso argumento principal é que um aspecto essencial do saber do professor deve ser a constituição de uma visão desnaturalizada dos conceitos matemáticos, ou seja, a restauração do ambiente problemático no qual os conceitos adquirem sentido.

No caso particular do ensino básico, lida-se somente com conceitos matemáticos que já foram inventados há tempos.

Logo, o uso da história da matemática pode ser um caminho privilegiado para uma tal re-contextualização, ou re-problematização da matemática.

Exemplo

O que é isso?

Resposta....

?????

ax2 + bx + c = 0

x = −b± b2 − 4ac2a

Ao apresentarmos a equação do 2º grau dessa maneira estamos agindo de forma naturalizada. A fórmula não é a reposta para o que é aquilo! É a resposta para “como se resolve”.

Equações e simbolismo

Uma equação do segundo grau é resolvida, hoje em dia, por meio de uma fórmula. Mas essa fórmula só pôde ser estabelecida quando:

1. passou-se a representar simbolicamente as incógnitas e as operações que estão contidas em uma equação e;

2. a equação do segundo grau passou a ser considerada de modo genérico, ou seja, com todas as parcelas possíveis e coeficientes indeterminados.

Para que as condições 1 e 2 fossem satisfeitas, foram necessários séculos de pesquisas, passando por matemáticos gregos como Diofanto, matemáticos chineses, hindus e árabes, e matemáticos europeus a partir dos séculos XV e XVI.

Prática da álgebra (séc. IX a XI) Tratado sobre o cálculo de al-jabr e al-muqabala

Al-Khwarizmi Um mal e dez jidhr igualam trinta e nove denares Solução:

�  tome a metade da quantidade de jidhr (que nesse exemplo é 5);

�  multiplique esta quantidade por si mesma (obtendo 25);

�  some no resultado os adad (fazemos 39+25=64);

�  extraia a raiz quadrada do resultado (que dá 8);

�  subtraia deste resultado a metade dos jidhr, encontrando a solução (esta solução é 8-5=3).

x2 + 10x = 39 ou x2 + bx = c

Área total = 39

Somo quadrado de área 25 Obtenho quadrado maior de área 64

Solução: a quantidade procurada é 8 - 5 = 3

Mal 5 Jidhr

5 Jidhr

Mal Mal 5 Jidhr

5 Jidhr

quantidade procurada quantidade procurada

Como reduzir uma “equação” qualquer ao caso do exemplo?

Por “restauração” (al-jabr) e “balanceamento” (al-muqabala). Exemplo: 2x2 + 100 - 20x = 58 Para que possamos conceber uma igualdade entre os dois membros dessa equação, devemos imaginar que o primeiro membro da equação possui um excedente de 20x.

A igualdade deve ser então “restaurada” pelo procedimento de al-jabr, ou seja, devemos “enriquecer” 2x2 + 100 do déficit que lhe causou a retirada de 20x.

Obtemos: 2x2 + 100 = 20x + 58

Em seguida, será preciso equilibrar os dois lados, ou seja, balanceá-los pelo procedimento de al-muqabala. As espécies do mesmo tipo e iguais são subtraídas de ambos os lados de 2x2 + 100 = 20x + 58 Obtemos então:

2x2 + 42 = 20x

Encaixa-se em um dos tipos padrão de Al-Khwarizmi.

Como reduzir uma “equação” qualquer ao caso do exemplo?

Simbolismo no Renascimento

Os termos árabes foram traduzidos para o latim, bem como os métodos algébricos e aritméticos. Desde os séculos XIII e XIV diversas abreviações começaram a ser usadas. A quantidade desconhecida = “coisa” ou radix (raiz).

O seu quadrado = quadratus ou census.

O cubo = cubus.

O termo constante = numerus.

As operações de mais e menos = variações das letras p (de plus) e m (de minus).

Simbolismo do Renascimento em diante

Disperso e não unificado.

A raiz era designada por variações do R (de radix). Supondo que o cubo fosse expresso por C e o quadrado por Q, reunindo todos os avanços simbólicos da época, a equação expressa hoje como:

seria escrita como

C m 5Q p 7R eq R.q. R + 6

x3 − 5x2 + 7x = x + 6

Regra de solução: receita

Reunindo a um só tempo todos os avanços simbólicos isolados.

Seja a equação A + 21 = 10B, onde A é o quadrado de B.

Para qualquer número que substituirmos por 21 e 10 na equação, o valor de B (raiz) pode ser obtido pelo procedimento: �  tomar a metade do número de B’s (note que aqui não estamos falando de B:2, mas da metade do número que multiplica B, que nesta equação é 10, mas pode mudar de uma equação para outra);

�  multiplicar o resultado por si mesmo;

�  subtrair do resultado o número (que na equação é 21 mas também pode mudar de uma equação para outra); ...

Simbolismo = fórmula?

O passo decisivo para transformar a receita em uma fórmula será a introdução de um simbolismo para os coeficientes da equação. Podemos, assim, escrever:

A + m = nB

A introdução desses símbolos nos permite entrever, diante somente do símbolo, a relação entre A e B.

Os três primeiros passos do procedimento de solução se resumiriam a escrever:

n2!

"#$

%&2

−m

Regra de solução: fórmula

�  tomar a metade do número de B’s

�  multiplicar o resultado por si mesmo

�  subtrair do resultado o número n

2!

"#$

%&2

−m

A+m = nB

n2

n2!

"#$

%&2

A Arte Analítica de Viète

Para concluir a sua Introdução à Arte Analítica, Viète explicita a sua ambição.

Finalmente, a Arte Analítica sendo revestida de sua tripla forma de Zetética, Porística e Exegética, resolve o problema, o mais relevante e excelente de todos os outros problemas que é RESOLVER TODOS OS PROBLEMAS

Análise X Síntese

Encontra-se na Matemática uma certa maneira de procurar a verdade, que diz-se ter sido primeiramente inventada por Platão, que Theon chamou Análise e que, para ele, define a suposição daquilo que procuramos como se estivesse concedido para chegar a uma verdade procurada, por meio de consequências; ao contrário, a Síntese é a suposição de uma coisa concedida para chegar ao conhecimento daquilo que procuramos pelo meio das consequências

Introdução à Arte Analítica de Viète

Análise X Síntese

Na análise, assumimos o que é procurado como se já tivesse sido encontrado e olhamos para aquilo que se segue, até que encontremos algo que já seja conhecido, ou que ocupe a posição de primeiro princípio. Chamamos este tipo de método de ‘análise’, significando solução para trás.

Na síntese, ao contrário, assumimos o que foi obtido por último na análise como já tendo sido estabelecido e, colocando agora na ordem natural o que antes seguia da assunção inicial; adequando-os uns aos outros alcançamos o fim da construção do que era procurado. Isto é o que chamamos de ‘síntese’

Coleção de Pappus

Análise X Síntese

Ponto de partida Ponto final

Análise Suposição de algo que não é dado como verdadeiro.

Confirmação de uma afirmação sabidamente verdadeira.

Síntese Suposição de uma afirmação sabidamente verdadeira.

Confirmação de algo que não era verdadeiro.

Um exemplo de síntese

Construir a perpendicular a um segmento dado.

Um exemplo de análise

Qual é o número que somado com o seu quadrado dá 20?

�  número procurado: x

�  seu quadrado: x2

�  número somado com o seu quadrado: x + x2

�  essa soma vale 20: x + x2 = 20

Um exemplo de análise

Qual é o número que somado com o seu quadrado dá 20?

Resolver a equação é operar com a quantidade desconhecida como se ela fosse conhecida e após algumas manipulações determinar o seu valor!

x + x2 + 14−14= 20

x + 12

"

#$

%

&'2

= 20+ 14=814

x + 12= ±

92

x = − 12±92

x = − 12

ou x = 4

Como resolver sem a análise? Um número mais a sua metade é igual a 12.

Qual é esse número? Certamente, ficamos tentados a escrever uma equação...

Método egípcio da Falsa Posição

�  chuto um número, por ex. 4

�  4 mais a sua metade dá 6

�  por que número devo multiplicar 6 para dar 12?

�  por 2

�  logo, multiplicando 4 por 2 obtenho a resposta, que é 8

A grande inovação de Viète

“pai da álgebra moderna”

introdução do uso de letras para representar grandezas desconhecidas (incógnita) e conhecidas (coeficientes)

para resolver todos os problemas

Buscando usar a ferramenta analítica para resolver qualquer tipo de problema, Viète fez da álgebra uma ciência nos moldes gregos, apresentando-a de maneira axiomática.

Para fazer resolver problemas de geometria pela análise, Viète fez uma invenção primordial: a introdução de símbolos para representar, não somente as grandezas desconhecidas do problema, mas também as grandezas que chamamos, hoje em dia, de parâmetros do problema.

Barbin & Boyé

grandeza conhecida ���X ���

grandeza desconhecida

Grandeza conhecida arbitrária

Coeficiente

Grandeza desconhecida

Incógnita

Quantidade que está desconhecida e que será conhecida a partir das restrições representadas pela equação.

Quantidade conhecida genérica que está indeterminada na expressão de uma equação como equação qualquer. É determinada por uma escolha.

Logística Speciosa

Maneira axiomática que utiliza a álgebra como ferramenta analítica.

Apresentação de procedimentos de cálculo simbólico, utilizando letras.

As letras podem ser consideradas grandezas abstratas, pois elas representavam tanto grandezas geométricas quanto quantidades aritméticas, conhecidas ou desconhecidas.

Logística Speciosa

Uma vez que considerava grandezas abstratas, Viète podia, obviamente, não especificar como a multiplicação (ou qualquer outra operação) era realmente efetuada, mas apenas como era representada simbolicamente. Assim, a parte ‘speciosa’ de sua nova álgebra era, de fato, um sistema formal completamente abstrato definido implicitamente por suposições básicas sobre grandezas, dimensões e escalas [...] e por axiomas envolvendo as operações.

Bos

Incógnita, coeficiente ...���E a variável?

A variável geralmente está associada à ideia de função.

Qual a relação entre o x da equação e o x da função?

ax2 + bx + c = 0 f x( ) = ax2 + bx + c

x = −b± b2 − 4ac2a

x = ???

Função a partir de definição de conjuntos

Variável é elemento genérico de um conjunto

x f

f(x)

D C

Variável expressa uma variação

De onde vem a noção de função como um subconjunto do produto

cartesiano?

Primeiro momento: discussão sobre legitimidade dos procedimentos empregados no cálculo infinitesimal desde Leibniz e Newton.

Hoje, ao iniciarmos um curso de Cálculo 1, começamos afirmando.

“Seja uma função.”

Somente em seguida definimos a derivada: “Então ”

Mas historicamente foi ao contrário! Somente com o desenvolvimento do cálculo infinitesimal, por causa das discussões sobre sua legitimidade, o conceito de função precisou ser definido.

f :R→ R

f ' x( ) = ....

A legitimidade do cálculo infinitesimal

Durante muitos anos, os matemáticos se debateram com o problema de fundamentar o uso de quantidades infinitamente pequenas, os “elementos infinitesimais”, também chamados de “diferenciais”.

O cálculo leibniziano empregava estes “elementos infinitesimais”, designados por e . Tais quantidades eram utilizadas nos cálculos como quantidades auxiliares, e com muito êxito.

dx dy

Exemplo: ���o cálculo empírico de tangentes

Para encontrar a inclinação da tangente a uma curva de equação , era preciso tomar a diferença entre as ordenadas de dois pontos vizinho, obtendo

Nesse resultado, o último termo pode ser desprezado, uma vez que possui, comparativamente, ordem de grandeza bem menor que a do primeiro.

Concluía-se então que .

Esse procedimento obtinha sucesso nos cálculos e nas aplicações. Hoje sabemos que ele também fornece o valor correto da derivada.

y = x2

dy = d x2( ) = x + dx( )2 − x2 = 2xdx + dx( )2

dydx

= 2x

O problema da consistência ou legitimidade do cálculo

O que significa escrever se e são quantidades infinitamente pequenas???

Por que não é igual a ???

O que estava em jogo na discussão sobre a legitimidade dos procedimentos do cálculo não era a utilização dessas quantidades não finitas nos cálculos, mas sim o estatuto dessas quantidades.

dydx

dx dy

00

Como é possível entender e justificar a razão entre duas quantidades que

deixaram de existir?

Não houve descoberta que tivesse produzido, nas ciências matemáticas, uma revolução tão feliz e tão rápida quanto a da Análise Infinitesimal; nenhuma forneceu meios mais simples, nem mais eficazes, para penetrar no conhecimento das leis da natureza. Decompondo, por assim dizer, os corpos até os seus elementos, ela parece ter indicado sua estrutura interior e sua organização; mas, como tudo o que é extremo escapa aos sentidos e à imaginação, só pôde-se formar uma ideia imperfeita destes elementos, espécies de seres singulares que tanto fazem o papel de quantidades verdadeiras, quanto devem ser tratados como absolutamente nulos e parecem, pelas suas propriedades equívocas, permanecer a meio caminho entre a grandeza e o zero, entre a existência e o nada.

L. Carnot, La métaphysique du calcul infinitésimal

A definição de função

A definição de função foi introduzida aos poucos na análise matemática, após os primeiros desenvolvimentos do cálculo por Leibniz e Newton.

No século XVIII, algumas definições como expressão algébrica foram propostas por Bernoulli, Euler e Lagrange. No incício do século XIX, problemas de origem física, como a teoria do calor, fez com que novas definições fossem propostas por Fourier e Cauchy.

Somente na segunda metade do século XIX a necessidade de fornecer uma definição precisa para a noção de variável, ou uma grandeza arbitrária variando em um intervalo, levou às primeiras conceitualizações sobre conjuntos numéricos por Dirichlet.

A definição de função por conjuntos

E somente no século XX, com Bourbaki, a função passou a ser vista como um tipo especial de relação entre conjuntos. Esta visão foi reforçada com o surgimento da teoria dos conjuntos e sua preocupação em dar um tratamento axiomático à Matemática.

A função antes do conceito de função

Física matemática

Galileu e a relação entre espaço e tempo.

A ideia de uma variação em função do tempo é fundamental nos trabalhos de Galileu, onde já encontramos uma certa noção de função, no sentido de uma associação entre duas variabilidades.

Por exemplo, no estudo da relação entre a altura e o tempo decorrido de um corpo em queda livre.

A função antes do conceito de função

Estudo dos lugares geométricos

Descartes escrevia equações indeterminadas como solução de problemas de lugares geométricos.

Ex. Lugar geométrico dos pontos obtidos pelo movimento de um ponto que desliza uniformemente sobre um segmento de reta ao mesmo tempo em que este segmento gira.

Espiral de Arquimedes r = aω

Uma equação indeterminada na Geometria de Descartes

Se queremos resolver qualquer problema, primeiramente supomos que a solução já está efetuada e damos nomes a todas as linhas que parecem necessárias para construí-la, tanto para as que são desconhecidas como para as que são conhecidas. Em seguida, sem fazer distinção entre linhas conhecidas e desconhecidas, devemos percorrer a dificuldade da maneira mais natural possível, mostrando as relações entre essa linhas, até que se seja possível expressar uma única quantidade de dois modos. A isto chamamos uma Equação, uma vez que os termos de uma dessas duas expressões são iguais aos termos da outra.

Viète e Descartes

Viète

Interessado na construtibilidade de problemas determinados, baseava sua arte analítica na construção de equações determinadas, com uma quantidade desconhecida. 

Descartes

Pretendia obter equações determinadas que possibilitassem a construção geométrica. Para isso, estendeu o método de Viète para construir equações indeterminadas, com “duas variáveis” (como chamamos hoje) surgindo daí a necessidade de um sistema de coordenadas.

incógnita X variável

equação determinada X equação indeterminada

Há uma grande diferença entre equações determinadas, que possuem uma incógnita, e equações indeterminadas, que podem possuir duas ou mais incógnitas. Como o próprio nome diz, nessas equações as quantidades estão “indeterminadas”, ou seja, não se encontra nunca um valor para uma quantidade desconhecida, mas uma infinidade de valores que “variam” de acordo com os valores de outra quantidade.

incógnita variável

incógnita X variável

Incógnita

Grandeza desconhecida

Variável Quantidade indeterminada, cujo valor “varia” de acordo com outra quantidade que também é variável.

Quantidade desconhecida cujo valor pode ser determinado pelas condições fornecidas pela equação. Trata-se, portanto, de uma quantidade determinada, porém desconhecida

Retomando…���A História da Matemática no Ensino

Todo esse desenvolvimento longo, complexo e não linear está sintetizado no modo como escrevemos e resolvemos uma equação por meio de sua fórmula!

Todo o desenvolvimento não linear da noção de função está sintetizado na sua definição via conjuntos. Mas, nessa abordagem, o x perde a sua característica histórica de variação.

É nessa perspectiva que sugerimos a desnaturalização da equação do 2o grau e do seu método de resolução.

Como a história pode ajudar?

Como fazer?

Como os estudantes podem entender o sentido dos objetos matemáticos se tratam-se de objetos tão distantes do senso comum?

Devemos abrir mão do desafio de apresentar-lhes este universo abstrato? Eliminar estes conteúdos do currículo porque “não servem pra nada”?

Não desejamos o caminho da facilidade. A matemática é justamente aquilo a que podemos recorrer quando todas as ferramentas do senso comum se esgotaram…

Como fazer?

Problema!

História da Matemática no Ensino ������

���Incógnitas, variáveis e coeficientes ���

uma abordagem histórica para desnaturalizar a representação de quantidades desconhecidas

ou arbitrárias���

Tatiana Roque Bruna Moustapha Corrêa

Brasília

Setembro de 2013