Histograma y Capacidad de Proceso

Histograma y capacidad de proceso

Un histograma es una representacioacuten graacutefica de una variable en forma de barras donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados ya sea en forma diferencial o acumulada Sirven para obtener una primera vista general o panorama de la distribucioacuten de la poblacioacuten o la muestra respecto a una caracteriacutestica cuantitativa y continua de la misma y que es de intereacutes para el observador (como la longitud o la masa) De esta manera ofrece una visioacuten en grupo permitiendo observar una preferencia o tendencia por parte de la muestra o poblacioacuten por ubicarse hacia una determinada regioacuten de valores dentro del espectro de valores posibles (sean infinitos o no) que pueda adquirir la caracteriacutestica Asiacute pues podemos evidenciar comportamientos observar el grado de homogeneidad acuerdo o concisioacuten entre los valores de todas las partes que componen la poblacioacuten o la muestra o en contraposicioacuten poder observar el grado de variabilidad y por ende la dispersioacuten de todos los valores que toman las partes tambieacuten es posible no evidenciar ninguna tendencia y obtener que cada miembro de la poblacioacuten toma por su lado y adquiere un valor de la caracteriacutestica aleatoria-mente sin mostrar ninguna preferencia o tendencia entre otras cosas

En general se utilizan para relacionar variables cuantitativas continuas pero tambieacuten se lo suele usar para variables cuantitativas discretas en cuyo caso es comuacuten llamarlo diagrama de frecuencias y sus barras estaacuten separadas esto es porque en el x ya no se representa un espectro continuo de valores sino valores cuantitativos especiacuteficos como ocurre en un diagrama de barras cuando la caracteriacutestica que se representa es cualitativa o categoacuterica Su utilidad se hace maacutes evidente cuando se cuenta con un gran nuacutemero de datos cuantitativos y que se han agrupado en intervalos de clase

Ejemplos de su uso es cuando se representan franjas de edades o altura de la muestra y por comodidad sus valores se agrupan en clases es decir valores continuos En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numeacutericos) como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios es preferible un diagrama de sectores

Los histogramas son maacutes frecuentes en ciencias sociales humanas y econoacutemicas que en ciencias naturales y exactas Y permite la comparacioacuten de los resultados de un proceso

Tipos de histograma

Diagramas de barras simples

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Histograma y Capacidad de Proceso

Representa la frecuencia simple (absoluta o relativa) mediante la altura de la barra la cual es proporcional a la frecuencia simple de la categoriacutea que representa

Diagramas de barras compuestas

Se usa para representar la informacioacuten de una tabla de doble entrada o sea a partir de dos variables las cuales se representan asiacute la altura de la barra representa la frecuencia simple de las modalidades o categoriacuteas de la variable y esta altura es proporcional a la frecuencia simple de cada modalidad

Diagramas de barras agrupadas

Se usa para representar la informacioacuten de una tabla de doble entrada o sea a partir de dos variables el cual es representado mediante un conjunto de barras como se clasifican respecto a las diferentes modalidades

Poliacutegono de frecuencias

Es un graacutefico de liacuteneas que de las frecuencias absolutas de los valores de una distribucioacuten en el cual la altura del punto asociado a un valor de las variables es proporcional a la frecuencia de dicho valor

Ojiva porcentual

Es un graacutefico acumulativo el cual es muy uacutetil cuando se quiere representar el rango porcentual de cada valor en una distribucioacuten de frecuencias

En los graacuteficos las barras se encuentran juntas y en la tabla los nuacutemeros poseen en el primer miembro un corchete y en el segundo un pareacutentesis por ejemplo [10-20)

Paso 1

Determinar el rango de los datos Rango es igual al dato mayor menos el dato menor

Paso 2

Obtener los nuacutemeros de clases existen varios criterios para determinar el nuacutemero de clases (o barras) -por ejemplo la regla de Sturgess- Sin embargo ninguno de ellos es exacto Algunos autores recomiendan de cinco a quince clases dependiendo de coacutemo esteacuten los datos y cuaacutentos sean Un criterio usado frecuentemente es que el nuacutemero de clases debe ser aproximadamente a la raiacutez cuadrada del nuacutemero de datos Por ejemplo la raiacutez cuadrada de 30 ( nuacutemero de artiacuteculos) es mayor que cinco por lo que se seleccionan seis clases

Paso 3

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Histograma y Capacidad de Proceso

Establecer la longitud de clase es igual al rango dividido por el nuacutemero de clases

Paso 4

Construir los intervalos de clases Los intervalos resultan de dividir el rango de los datos en relacioacuten al resultado del PASO 2 en intervalos iguales

Paso 5

Graficar el histograma En caso de que las clases sean todas de la misma amplitud se hace un graacutefico de barras las bases de las barras son los intervalos de clases y altura son la frecuencia de las clases Si se unen los puntos medios de la base superior de los rectaacutengulos se obtiene el poliacutegono de frecuencias

CAPACIDAD DE PROCESO

Un proceso es una combinacioacuten uacutenica de herramientas meacutetodos materiales y

personal dedicados a la labor de producir un resultado medible por ejemplo una

liacutenea de produccioacuten para el ensamble de puertas de vehiacuteculos Todos los procesos

tienen una variabilidad estadiacutestica inherente que puede evaluarse por medio de

meacutetodos estadiacutesticos La Capacidad del proceso es una propiedad medible de un

proceso que puede calcularse por medio del iacutendice de capacidad del proceso (ej

Cpk o Cpm) o del iacutendice de prestacioacuten del proceso (ej Ppk o Ppm) El resultado de

esta medicioacuten suele representarse con un histograma que permite calcular

cuantos componentes seraacuten producidos fuera de los liacutemites establecidos en la

especificacioacuten

La capacidad del proceso se utiliza tambieacuten seguacuten la ISO 15504 trata de las bases

del management y de la definicioacuten de procesos en una organizacioacuten

La capacidad del proceso puede subdividirse en 1) Medicioacuten la variabilidad del

proceso y 2) Contrastar la variabilidad medida con una tolerancia o especificacioacuten

predefinida

Medicioacuten del proceso

El resultado de un proceso suele tener al menos una o maacutes caracteriacutesticas

medibles que se usan para especificar el resultado Estas pueden analizarse de

forma estadiacutestica si los datos del resultado muestran una distribucioacuten normal Solo

entonces tiene sentido buscar un valor intermedio y una desviacioacuten estaacutendar

Se debe establecer un proceso con un control del proceso adecuado Un anaacutelisis

del diagrama del proceso se usa para determinar si el proceso estaacute bajo control

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Histograma y Capacidad de Proceso

estadiacutestico Si el proceso no estaacute bajo control estadiacutestico entonces no tiene

sentido hacer caacutelculos sobre su capacidad La capacidad del proceso solo

involucra una variacioacuten de causa comuacuten y no variacioacuten de causa especial

Una serie de datos se deben obtener a partir del resultado del proceso Cuantos

maacutes datos se incluyan maacutes preciso seraacute el resultado sin embargo a partir de 17

mediciones ya es posible hacer las primeras estimaciones Estas deberiacutean incluir

la variedad normal de las condiciones de produccioacuten los materiales y el personal

que forman parte del proceso Con un producto manufacturado es comuacuten incluir

en las mediciones al menos 3 series de produccioacuten diferentes incluyendo el

inicio

El promedio del proceso y la desviacioacuten se calculan a partir de las mediciones

Con una distribucioacuten normal las colas pueden extenderse mucho maacutes allaacute de las

desviaciones de masmenos 3 veces la desviacioacuten estaacutendar pero este intervalo

deberiacutea contener alrededor del 9973 de los resultados de produccioacuten Por ello

para una distribucioacuten normal de los datos la capacidad del proceso a menudo se

describe como la relacioacuten entre seis desviaciones estaacutendar y la especificacioacuten

requerida

Estudios de capacidad

Despueacutes de comprobar que el proceso estaacute bajo control el siguiente paso es

saber si es un proceso capaz es decir si cumple con las especificaciones

teacutecnicas deseadas o lo que es lo mismo comprobar si el proceso cumple el

objetivo funcional Se espera que el resultado de un proceso cumpla con los

requerimientos o las tolerancias que ha establecido el cliente El departamento de

ingenieriacutea puede llevar a cabo un estudio sobre la capacidad del proceso para

determinar en que medida el proceso cumple con las expectativas

La habilidad de un proceso para cumplir con la especificacioacuten puede expresarse

con un solo nuacutemero el iacutendice de capacidad del proceso o puede calcularse a partir

de los graacuteficos de control En cualquier caso es necesario tomar las mediciones

necesarias para que el departamento de ingeniera tenga la certeza de que el

proceso es estable y que la media y variabilidad de este se pueden calcular con

seguridad El control de proceso estadiacutestico define teacutecnicas para diferenciar de

manera adecuada entre procesos estables procesos cuyo promedio se desviacutea

poco a poco y procesos con una variabilidad cada vez mayor Los iacutendices de

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Histograma y Capacidad de Proceso

capacidad del proceso son solo significativos en caso de que el proceso sea

estable (sometidos a un control estadiacutestico)

Para las tecnologiacuteas de la informacioacuten el estaacutendar ISO 15504 especifica unas

bases de la medicioacuten de la capacidad del proceso para calcular la capacidad de

este Estas bases consisten en 6 niveles diferentes desde 0 (proceso no

ejecutado) hasta 5 (proceso optimizador) Estas bases se han generalizado para

su aplicacioacuten a procesos ajenos a las tecnologiacuteas de la informacioacuten Actualmente

hay dos modelos de referencia del proceso abarcando la programacioacuten y los

sistemas El Capability Maturity Model (al espantildeol modelo de la madurez de la

capacidad) tambieacuten sigue estas pautas en su uacuteltima versioacuten (CMMI continuous)

INTRODUCCIOacuteN

Una vez hayamos comprobado que el proceso estaacute bajo control estaremos interesados en saber si es un proceso capaz es decir si cumple con las especificaciones teacutecnicas deseadas

Para determinar si un proceso es o no capaz haremos uso de herramientas graacuteficas (histogramas graacuteficos de control y graacuteficos de probabilidad) Tambieacuten utilizaremos los llamados iacutendices de capacidad que vendraacuten determinados por los cocientes entre la variacioacuten natural del proceso y el nivel de variacioacuten especificada En principio para que un proceso sea considerado capaz su variacioacuten actual no deberiacutea representar maacutes del 75 de la variacioacuten permitida

El programa Minitab nos permite realizar anaacutelisis de capacidad basados en la distribucioacuten normal o en la distribucioacuten Weibull La opcioacuten basada en el modelo normal nos proporciona un mayor nuacutemero de estadiacutesticos si bien para usar esta opcioacuten es necesario que los datos originales sigan una distribucioacuten aproximadamente normal Asiacute por ejemplo esta opcioacuten nos daraacute estimaciones del nuacutemero de unidades (o partes) por milloacuten que no cumplen con las especificaciones Tales estimaciones pueden transformarse en probabilidades de producir unidades que no cumplan con las especificaciones Es importante recordar que para interpretar correctamente estos estadiacutesticos es necesario que (1) los datos se han obtenido a partir de un proceso bajo control y (2) eacutestos siguen una distribucioacuten aproximadamente normal De forma anaacuteloga tambieacuten es posible basarnos en el modelo Weibull para calcular las partes por milloacuten que no cumplen con las especificaciones

Si los datos siguen una distribucioacuten notablemente asimeacutetrica probabilidades basadas en el modelo normal no seriacutean muy buenos estimadores de las

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Histograma y Capacidad de Proceso

verdaderas probabilidades de producir unidades que no cumplan con las especificaciones En tal caso podriacuteamos optar por (1) usar la transformacioacuten de Box-Cox para transformar los datos en otros cuya distribucioacuten sea aproximadamente normal o (2) usar el modelo

Weibull

A continuacioacuten se presentan en una tabla las distintas opciones que ofrece el programa

Los anaacutelisis basados en el modelo normal calculan tanto la variacioacuten a corto plazo como la variacioacuten a largo plazo mientras que los basados en el modelo Weibull soacutelo calculan la variacioacuten a largo plazo

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Histograma y Capacidad de Proceso

Los estadiacutesticos o iacutendices de capacidad asociados a la variacioacuten a corto plazo son Cp Cpk CPU y CPL por otro lado los iacutendices de capacidad asociados a la variacioacuten a largo plazo son Pp Ppk PPU y PPLAsiacute para calcular los estadiacutesticos Cp Cpk CPU y CPL se estima la variacioacuten (a corto plazo) a partir de la variacioacuten dentro de los subgrupos pero no se consideran las diferencias entre los distintos subgrupos Por tal motivo estos iacutendices representan la capacidad potencial ie estiman la capacidad del proceso bajo lahipoacutetesis de que no existen diferencias entre las medias de los subgruposPor su parte los estadiacutesticos Pp Ppk PPU y PPL estiman la capacidad global o a largo plazo del proceso Al calcular tales estadiacutesticos se estima la variabilidad a largo plazo considerando para ello todo tipo de variacioacuten tanto la que se produce dentro de los subgrupos como la que se produce entre ellosLa capacidad global o a largo plazo nos dice coacutemo se estaacute comportando el proceso respecto a las especificaciones prefijadas La capacidad potencial o a corto plazo nos dice coacutemo se comportariacutea el proceso si consiguieacutesemos eliminar la variabilidad entre los distintos subgrupos La existencia de diferencias entre ambas capacidades nos indica la oportunidad de mejorar del proceso respecto a su estado actual

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO NORMAL)Usaremos el anaacutelisis de capacidad con el modelo normal cuando los datos provengan de una distribucioacuten aproximadamente normal El informe que genera el programa incluye un histograma de capacidad con una curva normal superpuesta y una tabla completa de iacutendices de capacidad a corto y largo plazo La curvanormal se obtiene usando la media y desviacioacuten tiacutepica muestralEl informe tambieacuten incluye otros estadiacutesticos de los datos del proceso tales como la media el valor esperado a priori u objetivo (en caso de haberlo indicado) la tolerancia natural del proceso las desviaciones estaacutendar a corto y largo plazo las especificaciones del proceso el comportamiento observado y los comportamientos esperados a corto y largo plazo De esta forma el informe permite analizar de forma visual si los datos siguen o no un patroacuten normal si el proceso estaacute o no centrado en el objetivo y si el proceso es capaz o no (es decir si cumple con las especificaciones prestablecidas)Los iacutendices de capacidad son estimaciones numeacutericas de la capacidad del proceso es decir nos dan una idea de cuaacuten capaz es el proceso (a queacute nivel cumple con las especificaciones) Estos estadiacutesticos son muy uacutetiles ya que aparte de ser sencillos de calcular no tienen unidades de medida por lo que permiten comparar distintos procesos Baacutesicamente son el cociente entre la amplitud tolerable del proceso (la distancia entre los liacutemites de tolerancia o liacutemites de especificacioacuten) y la amplitud real o natural del proceso (recordemos que habitualmente la distancia entre los liacutemites de control es de 6 sigma) Algunos de estos estadiacutesticos se definen a partir de la media del proceso o del objetivoLos iacutendices de capacidad asociados con la variacioacuten a corto plazo son Cp Cpk CPU y CPL por otro lado los asociados con la variacioacuten a largo plazo son Pp Ppk PPU y PPL En la praacutectica se suele considerar que 133 es el valor miacutenimo aceptable para un iacutendice de capacidad (es decir cualquier valor por debajo de

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Histograma y Capacidad de Proceso

esta cifra indicariacutea que aunque esteacute bajo control estadiacutestico el proceso no cumple con las especificaciones deseadas)

A continuacioacuten se muestran algunas referencias sobre cuaacutendo usar cada uno de los iacutendices

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad normal) Supongamos que trabajamos para la industria delautomoacutevil concretamente en el departamento de ensamblaje de motores Una de las partes del motordebe tener una longitud de 600plusmn2 mm para satisfacer las especificaciones teacutecnicas Hemos tenido unproblema con algunas de estas partes las cuales no cumpliacutean las citadas especificacionesTales partes pueden provenir de dos suministradores distintos y externos a la empresa Tras realizar ungraacutefico de control X-barraR observamos que las partes obtenidas del suministrador 2 proveniacutean de unproceso que estaba fuera de control por lo que optamos por prescindir de sus servicios hasta que suproduccioacuten vuelva a estar bajo controlUna vez parada la adquisicioacuten de partes provenientes del suministrador 2 observamos que el nuacutemero dedefectos en la liacutenea de ensamblaje ha descendido significativamente aunque los problemas no handesaparecido por completo Decidimos pues realizar un anaacutelisis de capacidad para estudiar si elsuministrador 1 es capaz eacutel soacutelo de cumplir con nuestras especificaciones teacutecnicas Los datos sobre eltamantildeo de las partes provenientes de este suministrador se guardan en el archivo partesmtw

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

Para poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos necesitamos verificar primero que nuestros datos provienen de una distribucioacuten aproximadamente normal lo cual parece cumplirse a raiacutez del histograma anteriorPodemos ver sin embargo que la media del proceso es algo inferior al objetivo y que la cola izquierda de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten

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Histograma y Capacidad de Proceso

inferior (LSL en el graacutefico) Esto significa queveremos ocasionalmente algunas partes que no cumplen la especificacioacuten inferior de 598 mmEl iacutendice Cpk nos sirve para determinar si el proceso generaraacute unidades que verifiquen las especificaciones En este caso el Cpk para el suministrador 1 es de soacutelo 090 Ello significa que nuestro suministrador debe mejorar su proceso viacutea una reduccioacuten de la variacioacuten y un mejor ajustado al objetivoDe forma similar el valor de PPM lt LSL (ie el nuacutemero esperado de partes por milloacuten cuya longitud seraacute inferior al LEI) es de 362106

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad usando Box-Cox) Supongamos que trabajamos en una faacutebricaque produce baldosas para el suelo y que estamos interesados en estudiar la curvatura de las mismas afin de garantizar la calidad de la produccioacuten A tal efecto medimos la curvatura de 10 muestras diariasdurante un periacuteodo total de 10 diacuteas Los datos estaacuten contenidos en el archivo baldosasmtw En primer lugar realizaremos un histograma de los datos1048607 Seleccionar Graph gt Histogram

El histograma anterior muestra claramente que los datos no se distribuyen normalmente por lo que optaremos por usar una transformacioacuten de Box-Cox a fin de obtener datos cuya distribucioacuten se aproxime a la de una normal

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Histograma y Capacidad de Proceso

En primer lugar deberemos hallar el valor de λ oacuteptimo para realizar la transformacioacuten Despueacutes realizaremos el anaacutelisis de capacidad eligiendo la opcioacuten transformacioacuten Box-Cox con el λ obtenido

1048607 Seleccionar Stat gt Control Charts gt Box-Cox Transformation

Observamos que el mejor estimador para λ es 0449 A efectos praacutecticos podriacuteamos tomar λ = 05 ya que esta transformacioacuten (la raiacutez cuadrada) es mucho maacutes intuitiva y ademaacutes estaacute dentro del intervalo de confianza del 95 (denotado por las liacuteneas rojas verticales) Por tanto realizaremos ahora un anaacutelisis de capacidad usando una transformacioacuten de Box-Cox con λ = 05

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

Como se puede apreciar en el histograma central la transformacioacuten utilizada ha logrado ldquonormalizarrdquo los datos Por tanto los iacutendices de capacidad obtenidos seraacuten vaacutelidosDado que soacutelo introdujimos el liacutemite de especificacioacuten superior los iacutendices que aparecen son el CPU y el

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Histograma y Capacidad de Proceso

Cpk Ambos estadiacutesticos valen 076 valor muy inferior a nuestro valor de referencia de 133 Por tanto nuestro proceso no parece ser capaz De hecho tambieacuten es posible apreciar en el histograma que algunos de los datos caen fuera del liacutemite de especificacioacuten superior (liacutenea roja vertical)

El siguiente paso seriacutea realizar un anaacutelisis de capacidad para estos datos usando un modelo Weibull

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO WEIBULL)

Conviene recordar en este punto que la distribucioacuten de Weibull es en realidad toda una familia de distribuciones que incluyen como casos particulares la distribucioacuten Exponencial y la de Rayleigh Susbparaacutemetros son la forma (β) y la escala (δ)

La apariencia de la curva Weibull variacutea notablemente en funcioacuten del valor de β Asiacute por ejemplo paraβ=1 tenemos una distribucioacuten Exponencial mientras que para β=2 estamos ante una distribucioacuten de Rayleigh

Como ya dijimos en la introduccioacuten usaremos el anaacutelisis de capacidad modelo Weibull cuando los datos sigan una distribucioacuten que se pueda aproximar por una Weibull El informe que se genera incluye un histograma de capacidad superpuesto a una curva Weibull (cuyos paraacutemetros se estiman a partir de las observaciones) junto con una tabla de iacutendices de capacidad a largo plazoTambieacuten se incluyen en el informe otros estadiacutesticos asociados al proceso tales como la media los paraacutemetros de la distribucioacuten (forma y escala) el objetivo (si se ha especificado) la tolerancia natural o real del proceso los liacutemites de especificacioacuten la capacidad real a largo plazo etcDe esta forma el informe permite determinar de forma visual el comportamiento del proceso respecto al objetivo analizar si los datos siguen una distribucioacuten Weibull y estudiar la capacidad o no del proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

En el modelo Weibull el programa calcula los iacutendices de capacidad a largo plazo ie Pp Ppk PPU yPPL Dichos caacutelculos se basan en estimadores de maacutexima verosimilitud para los paraacutemetros de la distribucioacutenWeibull En caso de estar interesados en calcular iacutendices a corto plazo (como el Cp y el Cpk) para datos no normales deberemos usar el modelo normal aplicando antes una transformacioacuten de Box-Cox

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad Weibull) Volveremos a nuestro ejemplo anterior de las baldosas(baldosasmtw) para realizar ahora un anaacutelisis de capacidad basado en el modelo Weibull

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Weibull)

En primer lugar observamos que el histograma de capacidad parece confirmar que los datos se pueden aproximar bastante bien por una Weibull

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Histograma y Capacidad de Proceso

De todas formas se aprecia que la cola derecha de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten superior Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mmLos iacutendices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz Ambos iacutendices valen 077 valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 133 Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones teacutecnicas deseadas)De igual forma el valor de PPM gt USL es de 20000 lo que significa que en cada milloacuten de baldosas producidas 20000 de ellas no cumpliraacuten con las especificaciones sobre la curvatura

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizarsi un proceso es o no capaz Este informe incluye las siguientes partesbull Un graacutefico de control X-barra (o Individuales)bull Un graacutefico de control R (o MR)bull Un graacutefico de rachas de los uacuteltimos 25 subgrupos (o datos individuales)bull Un histograma de las observacionesbull Un graacutefico de probabilidad Normalbull Un graacutefico de capacidad del procesobull Iacutendices de capacidad a corto plazo (Cp Cpk) y a largo plazo (Pp Ppk)

Los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad normal nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Normal Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de

(1) determinar si el proceso estaacute bajo control y(2) si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es capaz)

Ejemplo (sixpack normal)

Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partesmtw ) veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo en el caso de nuestro suministrador 1

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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Histograma y Capacidad de Proceso

que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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Histograma y Capacidad de Proceso

normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Weibull)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

httpeswikipediaorgwikiHistograma

httpeswikipediaorgwikiCapacidad_del_proceso

httpwwwuoceduin3e-mathdocsSPC_6pdf

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Histograma y Capacidad de Proceso

Establecer la longitud de clase es igual al rango dividido por el nuacutemero de clases

Paso 4

Construir los intervalos de clases Los intervalos resultan de dividir el rango de los datos en relacioacuten al resultado del PASO 2 en intervalos iguales

Paso 5

Graficar el histograma En caso de que las clases sean todas de la misma amplitud se hace un graacutefico de barras las bases de las barras son los intervalos de clases y altura son la frecuencia de las clases Si se unen los puntos medios de la base superior de los rectaacutengulos se obtiene el poliacutegono de frecuencias

CAPACIDAD DE PROCESO

Un proceso es una combinacioacuten uacutenica de herramientas meacutetodos materiales y

personal dedicados a la labor de producir un resultado medible por ejemplo una

liacutenea de produccioacuten para el ensamble de puertas de vehiacuteculos Todos los procesos

tienen una variabilidad estadiacutestica inherente que puede evaluarse por medio de

meacutetodos estadiacutesticos La Capacidad del proceso es una propiedad medible de un

proceso que puede calcularse por medio del iacutendice de capacidad del proceso (ej

Cpk o Cpm) o del iacutendice de prestacioacuten del proceso (ej Ppk o Ppm) El resultado de

esta medicioacuten suele representarse con un histograma que permite calcular

cuantos componentes seraacuten producidos fuera de los liacutemites establecidos en la

especificacioacuten

La capacidad del proceso se utiliza tambieacuten seguacuten la ISO 15504 trata de las bases

del management y de la definicioacuten de procesos en una organizacioacuten

La capacidad del proceso puede subdividirse en 1) Medicioacuten la variabilidad del

proceso y 2) Contrastar la variabilidad medida con una tolerancia o especificacioacuten

predefinida

Medicioacuten del proceso

El resultado de un proceso suele tener al menos una o maacutes caracteriacutesticas

medibles que se usan para especificar el resultado Estas pueden analizarse de

forma estadiacutestica si los datos del resultado muestran una distribucioacuten normal Solo

entonces tiene sentido buscar un valor intermedio y una desviacioacuten estaacutendar

Se debe establecer un proceso con un control del proceso adecuado Un anaacutelisis

del diagrama del proceso se usa para determinar si el proceso estaacute bajo control

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Histograma y Capacidad de Proceso

estadiacutestico Si el proceso no estaacute bajo control estadiacutestico entonces no tiene

sentido hacer caacutelculos sobre su capacidad La capacidad del proceso solo

involucra una variacioacuten de causa comuacuten y no variacioacuten de causa especial

Una serie de datos se deben obtener a partir del resultado del proceso Cuantos

maacutes datos se incluyan maacutes preciso seraacute el resultado sin embargo a partir de 17

mediciones ya es posible hacer las primeras estimaciones Estas deberiacutean incluir

la variedad normal de las condiciones de produccioacuten los materiales y el personal

que forman parte del proceso Con un producto manufacturado es comuacuten incluir

en las mediciones al menos 3 series de produccioacuten diferentes incluyendo el

inicio

El promedio del proceso y la desviacioacuten se calculan a partir de las mediciones

Con una distribucioacuten normal las colas pueden extenderse mucho maacutes allaacute de las

desviaciones de masmenos 3 veces la desviacioacuten estaacutendar pero este intervalo

deberiacutea contener alrededor del 9973 de los resultados de produccioacuten Por ello

para una distribucioacuten normal de los datos la capacidad del proceso a menudo se

describe como la relacioacuten entre seis desviaciones estaacutendar y la especificacioacuten

requerida

Estudios de capacidad

Despueacutes de comprobar que el proceso estaacute bajo control el siguiente paso es

saber si es un proceso capaz es decir si cumple con las especificaciones

teacutecnicas deseadas o lo que es lo mismo comprobar si el proceso cumple el

objetivo funcional Se espera que el resultado de un proceso cumpla con los

requerimientos o las tolerancias que ha establecido el cliente El departamento de

ingenieriacutea puede llevar a cabo un estudio sobre la capacidad del proceso para

determinar en que medida el proceso cumple con las expectativas

La habilidad de un proceso para cumplir con la especificacioacuten puede expresarse

con un solo nuacutemero el iacutendice de capacidad del proceso o puede calcularse a partir

de los graacuteficos de control En cualquier caso es necesario tomar las mediciones

necesarias para que el departamento de ingeniera tenga la certeza de que el

proceso es estable y que la media y variabilidad de este se pueden calcular con

seguridad El control de proceso estadiacutestico define teacutecnicas para diferenciar de

manera adecuada entre procesos estables procesos cuyo promedio se desviacutea

poco a poco y procesos con una variabilidad cada vez mayor Los iacutendices de

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Histograma y Capacidad de Proceso

capacidad del proceso son solo significativos en caso de que el proceso sea

estable (sometidos a un control estadiacutestico)

Para las tecnologiacuteas de la informacioacuten el estaacutendar ISO 15504 especifica unas

bases de la medicioacuten de la capacidad del proceso para calcular la capacidad de

este Estas bases consisten en 6 niveles diferentes desde 0 (proceso no

ejecutado) hasta 5 (proceso optimizador) Estas bases se han generalizado para

su aplicacioacuten a procesos ajenos a las tecnologiacuteas de la informacioacuten Actualmente

hay dos modelos de referencia del proceso abarcando la programacioacuten y los

sistemas El Capability Maturity Model (al espantildeol modelo de la madurez de la

capacidad) tambieacuten sigue estas pautas en su uacuteltima versioacuten (CMMI continuous)

INTRODUCCIOacuteN

Una vez hayamos comprobado que el proceso estaacute bajo control estaremos interesados en saber si es un proceso capaz es decir si cumple con las especificaciones teacutecnicas deseadas

Para determinar si un proceso es o no capaz haremos uso de herramientas graacuteficas (histogramas graacuteficos de control y graacuteficos de probabilidad) Tambieacuten utilizaremos los llamados iacutendices de capacidad que vendraacuten determinados por los cocientes entre la variacioacuten natural del proceso y el nivel de variacioacuten especificada En principio para que un proceso sea considerado capaz su variacioacuten actual no deberiacutea representar maacutes del 75 de la variacioacuten permitida

El programa Minitab nos permite realizar anaacutelisis de capacidad basados en la distribucioacuten normal o en la distribucioacuten Weibull La opcioacuten basada en el modelo normal nos proporciona un mayor nuacutemero de estadiacutesticos si bien para usar esta opcioacuten es necesario que los datos originales sigan una distribucioacuten aproximadamente normal Asiacute por ejemplo esta opcioacuten nos daraacute estimaciones del nuacutemero de unidades (o partes) por milloacuten que no cumplen con las especificaciones Tales estimaciones pueden transformarse en probabilidades de producir unidades que no cumplan con las especificaciones Es importante recordar que para interpretar correctamente estos estadiacutesticos es necesario que (1) los datos se han obtenido a partir de un proceso bajo control y (2) eacutestos siguen una distribucioacuten aproximadamente normal De forma anaacuteloga tambieacuten es posible basarnos en el modelo Weibull para calcular las partes por milloacuten que no cumplen con las especificaciones

Si los datos siguen una distribucioacuten notablemente asimeacutetrica probabilidades basadas en el modelo normal no seriacutean muy buenos estimadores de las

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Histograma y Capacidad de Proceso

verdaderas probabilidades de producir unidades que no cumplan con las especificaciones En tal caso podriacuteamos optar por (1) usar la transformacioacuten de Box-Cox para transformar los datos en otros cuya distribucioacuten sea aproximadamente normal o (2) usar el modelo

Weibull

A continuacioacuten se presentan en una tabla las distintas opciones que ofrece el programa

Los anaacutelisis basados en el modelo normal calculan tanto la variacioacuten a corto plazo como la variacioacuten a largo plazo mientras que los basados en el modelo Weibull soacutelo calculan la variacioacuten a largo plazo

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Histograma y Capacidad de Proceso

Los estadiacutesticos o iacutendices de capacidad asociados a la variacioacuten a corto plazo son Cp Cpk CPU y CPL por otro lado los iacutendices de capacidad asociados a la variacioacuten a largo plazo son Pp Ppk PPU y PPLAsiacute para calcular los estadiacutesticos Cp Cpk CPU y CPL se estima la variacioacuten (a corto plazo) a partir de la variacioacuten dentro de los subgrupos pero no se consideran las diferencias entre los distintos subgrupos Por tal motivo estos iacutendices representan la capacidad potencial ie estiman la capacidad del proceso bajo lahipoacutetesis de que no existen diferencias entre las medias de los subgruposPor su parte los estadiacutesticos Pp Ppk PPU y PPL estiman la capacidad global o a largo plazo del proceso Al calcular tales estadiacutesticos se estima la variabilidad a largo plazo considerando para ello todo tipo de variacioacuten tanto la que se produce dentro de los subgrupos como la que se produce entre ellosLa capacidad global o a largo plazo nos dice coacutemo se estaacute comportando el proceso respecto a las especificaciones prefijadas La capacidad potencial o a corto plazo nos dice coacutemo se comportariacutea el proceso si consiguieacutesemos eliminar la variabilidad entre los distintos subgrupos La existencia de diferencias entre ambas capacidades nos indica la oportunidad de mejorar del proceso respecto a su estado actual

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO NORMAL)Usaremos el anaacutelisis de capacidad con el modelo normal cuando los datos provengan de una distribucioacuten aproximadamente normal El informe que genera el programa incluye un histograma de capacidad con una curva normal superpuesta y una tabla completa de iacutendices de capacidad a corto y largo plazo La curvanormal se obtiene usando la media y desviacioacuten tiacutepica muestralEl informe tambieacuten incluye otros estadiacutesticos de los datos del proceso tales como la media el valor esperado a priori u objetivo (en caso de haberlo indicado) la tolerancia natural del proceso las desviaciones estaacutendar a corto y largo plazo las especificaciones del proceso el comportamiento observado y los comportamientos esperados a corto y largo plazo De esta forma el informe permite analizar de forma visual si los datos siguen o no un patroacuten normal si el proceso estaacute o no centrado en el objetivo y si el proceso es capaz o no (es decir si cumple con las especificaciones prestablecidas)Los iacutendices de capacidad son estimaciones numeacutericas de la capacidad del proceso es decir nos dan una idea de cuaacuten capaz es el proceso (a queacute nivel cumple con las especificaciones) Estos estadiacutesticos son muy uacutetiles ya que aparte de ser sencillos de calcular no tienen unidades de medida por lo que permiten comparar distintos procesos Baacutesicamente son el cociente entre la amplitud tolerable del proceso (la distancia entre los liacutemites de tolerancia o liacutemites de especificacioacuten) y la amplitud real o natural del proceso (recordemos que habitualmente la distancia entre los liacutemites de control es de 6 sigma) Algunos de estos estadiacutesticos se definen a partir de la media del proceso o del objetivoLos iacutendices de capacidad asociados con la variacioacuten a corto plazo son Cp Cpk CPU y CPL por otro lado los asociados con la variacioacuten a largo plazo son Pp Ppk PPU y PPL En la praacutectica se suele considerar que 133 es el valor miacutenimo aceptable para un iacutendice de capacidad (es decir cualquier valor por debajo de

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Histograma y Capacidad de Proceso

esta cifra indicariacutea que aunque esteacute bajo control estadiacutestico el proceso no cumple con las especificaciones deseadas)

A continuacioacuten se muestran algunas referencias sobre cuaacutendo usar cada uno de los iacutendices

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad normal) Supongamos que trabajamos para la industria delautomoacutevil concretamente en el departamento de ensamblaje de motores Una de las partes del motordebe tener una longitud de 600plusmn2 mm para satisfacer las especificaciones teacutecnicas Hemos tenido unproblema con algunas de estas partes las cuales no cumpliacutean las citadas especificacionesTales partes pueden provenir de dos suministradores distintos y externos a la empresa Tras realizar ungraacutefico de control X-barraR observamos que las partes obtenidas del suministrador 2 proveniacutean de unproceso que estaba fuera de control por lo que optamos por prescindir de sus servicios hasta que suproduccioacuten vuelva a estar bajo controlUna vez parada la adquisicioacuten de partes provenientes del suministrador 2 observamos que el nuacutemero dedefectos en la liacutenea de ensamblaje ha descendido significativamente aunque los problemas no handesaparecido por completo Decidimos pues realizar un anaacutelisis de capacidad para estudiar si elsuministrador 1 es capaz eacutel soacutelo de cumplir con nuestras especificaciones teacutecnicas Los datos sobre eltamantildeo de las partes provenientes de este suministrador se guardan en el archivo partesmtw

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

Para poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos necesitamos verificar primero que nuestros datos provienen de una distribucioacuten aproximadamente normal lo cual parece cumplirse a raiacutez del histograma anteriorPodemos ver sin embargo que la media del proceso es algo inferior al objetivo y que la cola izquierda de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten

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Histograma y Capacidad de Proceso

inferior (LSL en el graacutefico) Esto significa queveremos ocasionalmente algunas partes que no cumplen la especificacioacuten inferior de 598 mmEl iacutendice Cpk nos sirve para determinar si el proceso generaraacute unidades que verifiquen las especificaciones En este caso el Cpk para el suministrador 1 es de soacutelo 090 Ello significa que nuestro suministrador debe mejorar su proceso viacutea una reduccioacuten de la variacioacuten y un mejor ajustado al objetivoDe forma similar el valor de PPM lt LSL (ie el nuacutemero esperado de partes por milloacuten cuya longitud seraacute inferior al LEI) es de 362106

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad usando Box-Cox) Supongamos que trabajamos en una faacutebricaque produce baldosas para el suelo y que estamos interesados en estudiar la curvatura de las mismas afin de garantizar la calidad de la produccioacuten A tal efecto medimos la curvatura de 10 muestras diariasdurante un periacuteodo total de 10 diacuteas Los datos estaacuten contenidos en el archivo baldosasmtw En primer lugar realizaremos un histograma de los datos1048607 Seleccionar Graph gt Histogram

El histograma anterior muestra claramente que los datos no se distribuyen normalmente por lo que optaremos por usar una transformacioacuten de Box-Cox a fin de obtener datos cuya distribucioacuten se aproxime a la de una normal

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Histograma y Capacidad de Proceso

En primer lugar deberemos hallar el valor de λ oacuteptimo para realizar la transformacioacuten Despueacutes realizaremos el anaacutelisis de capacidad eligiendo la opcioacuten transformacioacuten Box-Cox con el λ obtenido

1048607 Seleccionar Stat gt Control Charts gt Box-Cox Transformation

Observamos que el mejor estimador para λ es 0449 A efectos praacutecticos podriacuteamos tomar λ = 05 ya que esta transformacioacuten (la raiacutez cuadrada) es mucho maacutes intuitiva y ademaacutes estaacute dentro del intervalo de confianza del 95 (denotado por las liacuteneas rojas verticales) Por tanto realizaremos ahora un anaacutelisis de capacidad usando una transformacioacuten de Box-Cox con λ = 05

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

Como se puede apreciar en el histograma central la transformacioacuten utilizada ha logrado ldquonormalizarrdquo los datos Por tanto los iacutendices de capacidad obtenidos seraacuten vaacutelidosDado que soacutelo introdujimos el liacutemite de especificacioacuten superior los iacutendices que aparecen son el CPU y el

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Histograma y Capacidad de Proceso

Cpk Ambos estadiacutesticos valen 076 valor muy inferior a nuestro valor de referencia de 133 Por tanto nuestro proceso no parece ser capaz De hecho tambieacuten es posible apreciar en el histograma que algunos de los datos caen fuera del liacutemite de especificacioacuten superior (liacutenea roja vertical)

El siguiente paso seriacutea realizar un anaacutelisis de capacidad para estos datos usando un modelo Weibull

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO WEIBULL)

Conviene recordar en este punto que la distribucioacuten de Weibull es en realidad toda una familia de distribuciones que incluyen como casos particulares la distribucioacuten Exponencial y la de Rayleigh Susbparaacutemetros son la forma (β) y la escala (δ)

La apariencia de la curva Weibull variacutea notablemente en funcioacuten del valor de β Asiacute por ejemplo paraβ=1 tenemos una distribucioacuten Exponencial mientras que para β=2 estamos ante una distribucioacuten de Rayleigh

Como ya dijimos en la introduccioacuten usaremos el anaacutelisis de capacidad modelo Weibull cuando los datos sigan una distribucioacuten que se pueda aproximar por una Weibull El informe que se genera incluye un histograma de capacidad superpuesto a una curva Weibull (cuyos paraacutemetros se estiman a partir de las observaciones) junto con una tabla de iacutendices de capacidad a largo plazoTambieacuten se incluyen en el informe otros estadiacutesticos asociados al proceso tales como la media los paraacutemetros de la distribucioacuten (forma y escala) el objetivo (si se ha especificado) la tolerancia natural o real del proceso los liacutemites de especificacioacuten la capacidad real a largo plazo etcDe esta forma el informe permite determinar de forma visual el comportamiento del proceso respecto al objetivo analizar si los datos siguen una distribucioacuten Weibull y estudiar la capacidad o no del proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

En el modelo Weibull el programa calcula los iacutendices de capacidad a largo plazo ie Pp Ppk PPU yPPL Dichos caacutelculos se basan en estimadores de maacutexima verosimilitud para los paraacutemetros de la distribucioacutenWeibull En caso de estar interesados en calcular iacutendices a corto plazo (como el Cp y el Cpk) para datos no normales deberemos usar el modelo normal aplicando antes una transformacioacuten de Box-Cox

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad Weibull) Volveremos a nuestro ejemplo anterior de las baldosas(baldosasmtw) para realizar ahora un anaacutelisis de capacidad basado en el modelo Weibull

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Weibull)

En primer lugar observamos que el histograma de capacidad parece confirmar que los datos se pueden aproximar bastante bien por una Weibull

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Histograma y Capacidad de Proceso

De todas formas se aprecia que la cola derecha de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten superior Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mmLos iacutendices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz Ambos iacutendices valen 077 valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 133 Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones teacutecnicas deseadas)De igual forma el valor de PPM gt USL es de 20000 lo que significa que en cada milloacuten de baldosas producidas 20000 de ellas no cumpliraacuten con las especificaciones sobre la curvatura

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizarsi un proceso es o no capaz Este informe incluye las siguientes partesbull Un graacutefico de control X-barra (o Individuales)bull Un graacutefico de control R (o MR)bull Un graacutefico de rachas de los uacuteltimos 25 subgrupos (o datos individuales)bull Un histograma de las observacionesbull Un graacutefico de probabilidad Normalbull Un graacutefico de capacidad del procesobull Iacutendices de capacidad a corto plazo (Cp Cpk) y a largo plazo (Pp Ppk)

Los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad normal nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Normal Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de

(1) determinar si el proceso estaacute bajo control y(2) si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es capaz)

Ejemplo (sixpack normal)

Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partesmtw ) veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo en el caso de nuestro suministrador 1

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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Histograma y Capacidad de Proceso

que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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Histograma y Capacidad de Proceso

normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Weibull)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

httpeswikipediaorgwikiHistograma

httpeswikipediaorgwikiCapacidad_del_proceso

httpwwwuoceduin3e-mathdocsSPC_6pdf

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Histograma y Capacidad de Proceso

estadiacutestico Si el proceso no estaacute bajo control estadiacutestico entonces no tiene

sentido hacer caacutelculos sobre su capacidad La capacidad del proceso solo

involucra una variacioacuten de causa comuacuten y no variacioacuten de causa especial

Una serie de datos se deben obtener a partir del resultado del proceso Cuantos

maacutes datos se incluyan maacutes preciso seraacute el resultado sin embargo a partir de 17

mediciones ya es posible hacer las primeras estimaciones Estas deberiacutean incluir

la variedad normal de las condiciones de produccioacuten los materiales y el personal

que forman parte del proceso Con un producto manufacturado es comuacuten incluir

en las mediciones al menos 3 series de produccioacuten diferentes incluyendo el

inicio

El promedio del proceso y la desviacioacuten se calculan a partir de las mediciones

Con una distribucioacuten normal las colas pueden extenderse mucho maacutes allaacute de las

desviaciones de masmenos 3 veces la desviacioacuten estaacutendar pero este intervalo

deberiacutea contener alrededor del 9973 de los resultados de produccioacuten Por ello

para una distribucioacuten normal de los datos la capacidad del proceso a menudo se

describe como la relacioacuten entre seis desviaciones estaacutendar y la especificacioacuten

requerida

Estudios de capacidad

Despueacutes de comprobar que el proceso estaacute bajo control el siguiente paso es

saber si es un proceso capaz es decir si cumple con las especificaciones

teacutecnicas deseadas o lo que es lo mismo comprobar si el proceso cumple el

objetivo funcional Se espera que el resultado de un proceso cumpla con los

requerimientos o las tolerancias que ha establecido el cliente El departamento de

ingenieriacutea puede llevar a cabo un estudio sobre la capacidad del proceso para

determinar en que medida el proceso cumple con las expectativas

La habilidad de un proceso para cumplir con la especificacioacuten puede expresarse

con un solo nuacutemero el iacutendice de capacidad del proceso o puede calcularse a partir

de los graacuteficos de control En cualquier caso es necesario tomar las mediciones

necesarias para que el departamento de ingeniera tenga la certeza de que el

proceso es estable y que la media y variabilidad de este se pueden calcular con

seguridad El control de proceso estadiacutestico define teacutecnicas para diferenciar de

manera adecuada entre procesos estables procesos cuyo promedio se desviacutea

poco a poco y procesos con una variabilidad cada vez mayor Los iacutendices de

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Histograma y Capacidad de Proceso

capacidad del proceso son solo significativos en caso de que el proceso sea

estable (sometidos a un control estadiacutestico)

Para las tecnologiacuteas de la informacioacuten el estaacutendar ISO 15504 especifica unas

bases de la medicioacuten de la capacidad del proceso para calcular la capacidad de

este Estas bases consisten en 6 niveles diferentes desde 0 (proceso no

ejecutado) hasta 5 (proceso optimizador) Estas bases se han generalizado para

su aplicacioacuten a procesos ajenos a las tecnologiacuteas de la informacioacuten Actualmente

hay dos modelos de referencia del proceso abarcando la programacioacuten y los

sistemas El Capability Maturity Model (al espantildeol modelo de la madurez de la

capacidad) tambieacuten sigue estas pautas en su uacuteltima versioacuten (CMMI continuous)

INTRODUCCIOacuteN

Una vez hayamos comprobado que el proceso estaacute bajo control estaremos interesados en saber si es un proceso capaz es decir si cumple con las especificaciones teacutecnicas deseadas

Para determinar si un proceso es o no capaz haremos uso de herramientas graacuteficas (histogramas graacuteficos de control y graacuteficos de probabilidad) Tambieacuten utilizaremos los llamados iacutendices de capacidad que vendraacuten determinados por los cocientes entre la variacioacuten natural del proceso y el nivel de variacioacuten especificada En principio para que un proceso sea considerado capaz su variacioacuten actual no deberiacutea representar maacutes del 75 de la variacioacuten permitida

El programa Minitab nos permite realizar anaacutelisis de capacidad basados en la distribucioacuten normal o en la distribucioacuten Weibull La opcioacuten basada en el modelo normal nos proporciona un mayor nuacutemero de estadiacutesticos si bien para usar esta opcioacuten es necesario que los datos originales sigan una distribucioacuten aproximadamente normal Asiacute por ejemplo esta opcioacuten nos daraacute estimaciones del nuacutemero de unidades (o partes) por milloacuten que no cumplen con las especificaciones Tales estimaciones pueden transformarse en probabilidades de producir unidades que no cumplan con las especificaciones Es importante recordar que para interpretar correctamente estos estadiacutesticos es necesario que (1) los datos se han obtenido a partir de un proceso bajo control y (2) eacutestos siguen una distribucioacuten aproximadamente normal De forma anaacuteloga tambieacuten es posible basarnos en el modelo Weibull para calcular las partes por milloacuten que no cumplen con las especificaciones

Si los datos siguen una distribucioacuten notablemente asimeacutetrica probabilidades basadas en el modelo normal no seriacutean muy buenos estimadores de las

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Histograma y Capacidad de Proceso

verdaderas probabilidades de producir unidades que no cumplan con las especificaciones En tal caso podriacuteamos optar por (1) usar la transformacioacuten de Box-Cox para transformar los datos en otros cuya distribucioacuten sea aproximadamente normal o (2) usar el modelo

Weibull

A continuacioacuten se presentan en una tabla las distintas opciones que ofrece el programa

Los anaacutelisis basados en el modelo normal calculan tanto la variacioacuten a corto plazo como la variacioacuten a largo plazo mientras que los basados en el modelo Weibull soacutelo calculan la variacioacuten a largo plazo

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Histograma y Capacidad de Proceso

Los estadiacutesticos o iacutendices de capacidad asociados a la variacioacuten a corto plazo son Cp Cpk CPU y CPL por otro lado los iacutendices de capacidad asociados a la variacioacuten a largo plazo son Pp Ppk PPU y PPLAsiacute para calcular los estadiacutesticos Cp Cpk CPU y CPL se estima la variacioacuten (a corto plazo) a partir de la variacioacuten dentro de los subgrupos pero no se consideran las diferencias entre los distintos subgrupos Por tal motivo estos iacutendices representan la capacidad potencial ie estiman la capacidad del proceso bajo lahipoacutetesis de que no existen diferencias entre las medias de los subgruposPor su parte los estadiacutesticos Pp Ppk PPU y PPL estiman la capacidad global o a largo plazo del proceso Al calcular tales estadiacutesticos se estima la variabilidad a largo plazo considerando para ello todo tipo de variacioacuten tanto la que se produce dentro de los subgrupos como la que se produce entre ellosLa capacidad global o a largo plazo nos dice coacutemo se estaacute comportando el proceso respecto a las especificaciones prefijadas La capacidad potencial o a corto plazo nos dice coacutemo se comportariacutea el proceso si consiguieacutesemos eliminar la variabilidad entre los distintos subgrupos La existencia de diferencias entre ambas capacidades nos indica la oportunidad de mejorar del proceso respecto a su estado actual

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO NORMAL)Usaremos el anaacutelisis de capacidad con el modelo normal cuando los datos provengan de una distribucioacuten aproximadamente normal El informe que genera el programa incluye un histograma de capacidad con una curva normal superpuesta y una tabla completa de iacutendices de capacidad a corto y largo plazo La curvanormal se obtiene usando la media y desviacioacuten tiacutepica muestralEl informe tambieacuten incluye otros estadiacutesticos de los datos del proceso tales como la media el valor esperado a priori u objetivo (en caso de haberlo indicado) la tolerancia natural del proceso las desviaciones estaacutendar a corto y largo plazo las especificaciones del proceso el comportamiento observado y los comportamientos esperados a corto y largo plazo De esta forma el informe permite analizar de forma visual si los datos siguen o no un patroacuten normal si el proceso estaacute o no centrado en el objetivo y si el proceso es capaz o no (es decir si cumple con las especificaciones prestablecidas)Los iacutendices de capacidad son estimaciones numeacutericas de la capacidad del proceso es decir nos dan una idea de cuaacuten capaz es el proceso (a queacute nivel cumple con las especificaciones) Estos estadiacutesticos son muy uacutetiles ya que aparte de ser sencillos de calcular no tienen unidades de medida por lo que permiten comparar distintos procesos Baacutesicamente son el cociente entre la amplitud tolerable del proceso (la distancia entre los liacutemites de tolerancia o liacutemites de especificacioacuten) y la amplitud real o natural del proceso (recordemos que habitualmente la distancia entre los liacutemites de control es de 6 sigma) Algunos de estos estadiacutesticos se definen a partir de la media del proceso o del objetivoLos iacutendices de capacidad asociados con la variacioacuten a corto plazo son Cp Cpk CPU y CPL por otro lado los asociados con la variacioacuten a largo plazo son Pp Ppk PPU y PPL En la praacutectica se suele considerar que 133 es el valor miacutenimo aceptable para un iacutendice de capacidad (es decir cualquier valor por debajo de

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Histograma y Capacidad de Proceso

esta cifra indicariacutea que aunque esteacute bajo control estadiacutestico el proceso no cumple con las especificaciones deseadas)

A continuacioacuten se muestran algunas referencias sobre cuaacutendo usar cada uno de los iacutendices

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad normal) Supongamos que trabajamos para la industria delautomoacutevil concretamente en el departamento de ensamblaje de motores Una de las partes del motordebe tener una longitud de 600plusmn2 mm para satisfacer las especificaciones teacutecnicas Hemos tenido unproblema con algunas de estas partes las cuales no cumpliacutean las citadas especificacionesTales partes pueden provenir de dos suministradores distintos y externos a la empresa Tras realizar ungraacutefico de control X-barraR observamos que las partes obtenidas del suministrador 2 proveniacutean de unproceso que estaba fuera de control por lo que optamos por prescindir de sus servicios hasta que suproduccioacuten vuelva a estar bajo controlUna vez parada la adquisicioacuten de partes provenientes del suministrador 2 observamos que el nuacutemero dedefectos en la liacutenea de ensamblaje ha descendido significativamente aunque los problemas no handesaparecido por completo Decidimos pues realizar un anaacutelisis de capacidad para estudiar si elsuministrador 1 es capaz eacutel soacutelo de cumplir con nuestras especificaciones teacutecnicas Los datos sobre eltamantildeo de las partes provenientes de este suministrador se guardan en el archivo partesmtw

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

Para poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos necesitamos verificar primero que nuestros datos provienen de una distribucioacuten aproximadamente normal lo cual parece cumplirse a raiacutez del histograma anteriorPodemos ver sin embargo que la media del proceso es algo inferior al objetivo y que la cola izquierda de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten

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Histograma y Capacidad de Proceso

inferior (LSL en el graacutefico) Esto significa queveremos ocasionalmente algunas partes que no cumplen la especificacioacuten inferior de 598 mmEl iacutendice Cpk nos sirve para determinar si el proceso generaraacute unidades que verifiquen las especificaciones En este caso el Cpk para el suministrador 1 es de soacutelo 090 Ello significa que nuestro suministrador debe mejorar su proceso viacutea una reduccioacuten de la variacioacuten y un mejor ajustado al objetivoDe forma similar el valor de PPM lt LSL (ie el nuacutemero esperado de partes por milloacuten cuya longitud seraacute inferior al LEI) es de 362106

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad usando Box-Cox) Supongamos que trabajamos en una faacutebricaque produce baldosas para el suelo y que estamos interesados en estudiar la curvatura de las mismas afin de garantizar la calidad de la produccioacuten A tal efecto medimos la curvatura de 10 muestras diariasdurante un periacuteodo total de 10 diacuteas Los datos estaacuten contenidos en el archivo baldosasmtw En primer lugar realizaremos un histograma de los datos1048607 Seleccionar Graph gt Histogram

El histograma anterior muestra claramente que los datos no se distribuyen normalmente por lo que optaremos por usar una transformacioacuten de Box-Cox a fin de obtener datos cuya distribucioacuten se aproxime a la de una normal

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Histograma y Capacidad de Proceso

En primer lugar deberemos hallar el valor de λ oacuteptimo para realizar la transformacioacuten Despueacutes realizaremos el anaacutelisis de capacidad eligiendo la opcioacuten transformacioacuten Box-Cox con el λ obtenido

1048607 Seleccionar Stat gt Control Charts gt Box-Cox Transformation

Observamos que el mejor estimador para λ es 0449 A efectos praacutecticos podriacuteamos tomar λ = 05 ya que esta transformacioacuten (la raiacutez cuadrada) es mucho maacutes intuitiva y ademaacutes estaacute dentro del intervalo de confianza del 95 (denotado por las liacuteneas rojas verticales) Por tanto realizaremos ahora un anaacutelisis de capacidad usando una transformacioacuten de Box-Cox con λ = 05

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

Como se puede apreciar en el histograma central la transformacioacuten utilizada ha logrado ldquonormalizarrdquo los datos Por tanto los iacutendices de capacidad obtenidos seraacuten vaacutelidosDado que soacutelo introdujimos el liacutemite de especificacioacuten superior los iacutendices que aparecen son el CPU y el

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Histograma y Capacidad de Proceso

Cpk Ambos estadiacutesticos valen 076 valor muy inferior a nuestro valor de referencia de 133 Por tanto nuestro proceso no parece ser capaz De hecho tambieacuten es posible apreciar en el histograma que algunos de los datos caen fuera del liacutemite de especificacioacuten superior (liacutenea roja vertical)

El siguiente paso seriacutea realizar un anaacutelisis de capacidad para estos datos usando un modelo Weibull

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO WEIBULL)

Conviene recordar en este punto que la distribucioacuten de Weibull es en realidad toda una familia de distribuciones que incluyen como casos particulares la distribucioacuten Exponencial y la de Rayleigh Susbparaacutemetros son la forma (β) y la escala (δ)

La apariencia de la curva Weibull variacutea notablemente en funcioacuten del valor de β Asiacute por ejemplo paraβ=1 tenemos una distribucioacuten Exponencial mientras que para β=2 estamos ante una distribucioacuten de Rayleigh

Como ya dijimos en la introduccioacuten usaremos el anaacutelisis de capacidad modelo Weibull cuando los datos sigan una distribucioacuten que se pueda aproximar por una Weibull El informe que se genera incluye un histograma de capacidad superpuesto a una curva Weibull (cuyos paraacutemetros se estiman a partir de las observaciones) junto con una tabla de iacutendices de capacidad a largo plazoTambieacuten se incluyen en el informe otros estadiacutesticos asociados al proceso tales como la media los paraacutemetros de la distribucioacuten (forma y escala) el objetivo (si se ha especificado) la tolerancia natural o real del proceso los liacutemites de especificacioacuten la capacidad real a largo plazo etcDe esta forma el informe permite determinar de forma visual el comportamiento del proceso respecto al objetivo analizar si los datos siguen una distribucioacuten Weibull y estudiar la capacidad o no del proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

En el modelo Weibull el programa calcula los iacutendices de capacidad a largo plazo ie Pp Ppk PPU yPPL Dichos caacutelculos se basan en estimadores de maacutexima verosimilitud para los paraacutemetros de la distribucioacutenWeibull En caso de estar interesados en calcular iacutendices a corto plazo (como el Cp y el Cpk) para datos no normales deberemos usar el modelo normal aplicando antes una transformacioacuten de Box-Cox

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad Weibull) Volveremos a nuestro ejemplo anterior de las baldosas(baldosasmtw) para realizar ahora un anaacutelisis de capacidad basado en el modelo Weibull

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Weibull)

En primer lugar observamos que el histograma de capacidad parece confirmar que los datos se pueden aproximar bastante bien por una Weibull

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Histograma y Capacidad de Proceso

De todas formas se aprecia que la cola derecha de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten superior Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mmLos iacutendices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz Ambos iacutendices valen 077 valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 133 Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones teacutecnicas deseadas)De igual forma el valor de PPM gt USL es de 20000 lo que significa que en cada milloacuten de baldosas producidas 20000 de ellas no cumpliraacuten con las especificaciones sobre la curvatura

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizarsi un proceso es o no capaz Este informe incluye las siguientes partesbull Un graacutefico de control X-barra (o Individuales)bull Un graacutefico de control R (o MR)bull Un graacutefico de rachas de los uacuteltimos 25 subgrupos (o datos individuales)bull Un histograma de las observacionesbull Un graacutefico de probabilidad Normalbull Un graacutefico de capacidad del procesobull Iacutendices de capacidad a corto plazo (Cp Cpk) y a largo plazo (Pp Ppk)

Los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad normal nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Normal Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de

(1) determinar si el proceso estaacute bajo control y(2) si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es capaz)

Ejemplo (sixpack normal)

Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partesmtw ) veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo en el caso de nuestro suministrador 1

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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Histograma y Capacidad de Proceso

que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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Histograma y Capacidad de Proceso

normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Weibull)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

httpeswikipediaorgwikiHistograma

httpeswikipediaorgwikiCapacidad_del_proceso

httpwwwuoceduin3e-mathdocsSPC_6pdf

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Histograma y Capacidad de Proceso

capacidad del proceso son solo significativos en caso de que el proceso sea

estable (sometidos a un control estadiacutestico)

Para las tecnologiacuteas de la informacioacuten el estaacutendar ISO 15504 especifica unas

bases de la medicioacuten de la capacidad del proceso para calcular la capacidad de

este Estas bases consisten en 6 niveles diferentes desde 0 (proceso no

ejecutado) hasta 5 (proceso optimizador) Estas bases se han generalizado para

su aplicacioacuten a procesos ajenos a las tecnologiacuteas de la informacioacuten Actualmente

hay dos modelos de referencia del proceso abarcando la programacioacuten y los

sistemas El Capability Maturity Model (al espantildeol modelo de la madurez de la

capacidad) tambieacuten sigue estas pautas en su uacuteltima versioacuten (CMMI continuous)

INTRODUCCIOacuteN

Una vez hayamos comprobado que el proceso estaacute bajo control estaremos interesados en saber si es un proceso capaz es decir si cumple con las especificaciones teacutecnicas deseadas

Para determinar si un proceso es o no capaz haremos uso de herramientas graacuteficas (histogramas graacuteficos de control y graacuteficos de probabilidad) Tambieacuten utilizaremos los llamados iacutendices de capacidad que vendraacuten determinados por los cocientes entre la variacioacuten natural del proceso y el nivel de variacioacuten especificada En principio para que un proceso sea considerado capaz su variacioacuten actual no deberiacutea representar maacutes del 75 de la variacioacuten permitida

El programa Minitab nos permite realizar anaacutelisis de capacidad basados en la distribucioacuten normal o en la distribucioacuten Weibull La opcioacuten basada en el modelo normal nos proporciona un mayor nuacutemero de estadiacutesticos si bien para usar esta opcioacuten es necesario que los datos originales sigan una distribucioacuten aproximadamente normal Asiacute por ejemplo esta opcioacuten nos daraacute estimaciones del nuacutemero de unidades (o partes) por milloacuten que no cumplen con las especificaciones Tales estimaciones pueden transformarse en probabilidades de producir unidades que no cumplan con las especificaciones Es importante recordar que para interpretar correctamente estos estadiacutesticos es necesario que (1) los datos se han obtenido a partir de un proceso bajo control y (2) eacutestos siguen una distribucioacuten aproximadamente normal De forma anaacuteloga tambieacuten es posible basarnos en el modelo Weibull para calcular las partes por milloacuten que no cumplen con las especificaciones

Si los datos siguen una distribucioacuten notablemente asimeacutetrica probabilidades basadas en el modelo normal no seriacutean muy buenos estimadores de las

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Histograma y Capacidad de Proceso

verdaderas probabilidades de producir unidades que no cumplan con las especificaciones En tal caso podriacuteamos optar por (1) usar la transformacioacuten de Box-Cox para transformar los datos en otros cuya distribucioacuten sea aproximadamente normal o (2) usar el modelo

Weibull

A continuacioacuten se presentan en una tabla las distintas opciones que ofrece el programa

Los anaacutelisis basados en el modelo normal calculan tanto la variacioacuten a corto plazo como la variacioacuten a largo plazo mientras que los basados en el modelo Weibull soacutelo calculan la variacioacuten a largo plazo

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Histograma y Capacidad de Proceso

Los estadiacutesticos o iacutendices de capacidad asociados a la variacioacuten a corto plazo son Cp Cpk CPU y CPL por otro lado los iacutendices de capacidad asociados a la variacioacuten a largo plazo son Pp Ppk PPU y PPLAsiacute para calcular los estadiacutesticos Cp Cpk CPU y CPL se estima la variacioacuten (a corto plazo) a partir de la variacioacuten dentro de los subgrupos pero no se consideran las diferencias entre los distintos subgrupos Por tal motivo estos iacutendices representan la capacidad potencial ie estiman la capacidad del proceso bajo lahipoacutetesis de que no existen diferencias entre las medias de los subgruposPor su parte los estadiacutesticos Pp Ppk PPU y PPL estiman la capacidad global o a largo plazo del proceso Al calcular tales estadiacutesticos se estima la variabilidad a largo plazo considerando para ello todo tipo de variacioacuten tanto la que se produce dentro de los subgrupos como la que se produce entre ellosLa capacidad global o a largo plazo nos dice coacutemo se estaacute comportando el proceso respecto a las especificaciones prefijadas La capacidad potencial o a corto plazo nos dice coacutemo se comportariacutea el proceso si consiguieacutesemos eliminar la variabilidad entre los distintos subgrupos La existencia de diferencias entre ambas capacidades nos indica la oportunidad de mejorar del proceso respecto a su estado actual

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO NORMAL)Usaremos el anaacutelisis de capacidad con el modelo normal cuando los datos provengan de una distribucioacuten aproximadamente normal El informe que genera el programa incluye un histograma de capacidad con una curva normal superpuesta y una tabla completa de iacutendices de capacidad a corto y largo plazo La curvanormal se obtiene usando la media y desviacioacuten tiacutepica muestralEl informe tambieacuten incluye otros estadiacutesticos de los datos del proceso tales como la media el valor esperado a priori u objetivo (en caso de haberlo indicado) la tolerancia natural del proceso las desviaciones estaacutendar a corto y largo plazo las especificaciones del proceso el comportamiento observado y los comportamientos esperados a corto y largo plazo De esta forma el informe permite analizar de forma visual si los datos siguen o no un patroacuten normal si el proceso estaacute o no centrado en el objetivo y si el proceso es capaz o no (es decir si cumple con las especificaciones prestablecidas)Los iacutendices de capacidad son estimaciones numeacutericas de la capacidad del proceso es decir nos dan una idea de cuaacuten capaz es el proceso (a queacute nivel cumple con las especificaciones) Estos estadiacutesticos son muy uacutetiles ya que aparte de ser sencillos de calcular no tienen unidades de medida por lo que permiten comparar distintos procesos Baacutesicamente son el cociente entre la amplitud tolerable del proceso (la distancia entre los liacutemites de tolerancia o liacutemites de especificacioacuten) y la amplitud real o natural del proceso (recordemos que habitualmente la distancia entre los liacutemites de control es de 6 sigma) Algunos de estos estadiacutesticos se definen a partir de la media del proceso o del objetivoLos iacutendices de capacidad asociados con la variacioacuten a corto plazo son Cp Cpk CPU y CPL por otro lado los asociados con la variacioacuten a largo plazo son Pp Ppk PPU y PPL En la praacutectica se suele considerar que 133 es el valor miacutenimo aceptable para un iacutendice de capacidad (es decir cualquier valor por debajo de

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Histograma y Capacidad de Proceso

esta cifra indicariacutea que aunque esteacute bajo control estadiacutestico el proceso no cumple con las especificaciones deseadas)

A continuacioacuten se muestran algunas referencias sobre cuaacutendo usar cada uno de los iacutendices

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad normal) Supongamos que trabajamos para la industria delautomoacutevil concretamente en el departamento de ensamblaje de motores Una de las partes del motordebe tener una longitud de 600plusmn2 mm para satisfacer las especificaciones teacutecnicas Hemos tenido unproblema con algunas de estas partes las cuales no cumpliacutean las citadas especificacionesTales partes pueden provenir de dos suministradores distintos y externos a la empresa Tras realizar ungraacutefico de control X-barraR observamos que las partes obtenidas del suministrador 2 proveniacutean de unproceso que estaba fuera de control por lo que optamos por prescindir de sus servicios hasta que suproduccioacuten vuelva a estar bajo controlUna vez parada la adquisicioacuten de partes provenientes del suministrador 2 observamos que el nuacutemero dedefectos en la liacutenea de ensamblaje ha descendido significativamente aunque los problemas no handesaparecido por completo Decidimos pues realizar un anaacutelisis de capacidad para estudiar si elsuministrador 1 es capaz eacutel soacutelo de cumplir con nuestras especificaciones teacutecnicas Los datos sobre eltamantildeo de las partes provenientes de este suministrador se guardan en el archivo partesmtw

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

Para poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos necesitamos verificar primero que nuestros datos provienen de una distribucioacuten aproximadamente normal lo cual parece cumplirse a raiacutez del histograma anteriorPodemos ver sin embargo que la media del proceso es algo inferior al objetivo y que la cola izquierda de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten

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Histograma y Capacidad de Proceso

inferior (LSL en el graacutefico) Esto significa queveremos ocasionalmente algunas partes que no cumplen la especificacioacuten inferior de 598 mmEl iacutendice Cpk nos sirve para determinar si el proceso generaraacute unidades que verifiquen las especificaciones En este caso el Cpk para el suministrador 1 es de soacutelo 090 Ello significa que nuestro suministrador debe mejorar su proceso viacutea una reduccioacuten de la variacioacuten y un mejor ajustado al objetivoDe forma similar el valor de PPM lt LSL (ie el nuacutemero esperado de partes por milloacuten cuya longitud seraacute inferior al LEI) es de 362106

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad usando Box-Cox) Supongamos que trabajamos en una faacutebricaque produce baldosas para el suelo y que estamos interesados en estudiar la curvatura de las mismas afin de garantizar la calidad de la produccioacuten A tal efecto medimos la curvatura de 10 muestras diariasdurante un periacuteodo total de 10 diacuteas Los datos estaacuten contenidos en el archivo baldosasmtw En primer lugar realizaremos un histograma de los datos1048607 Seleccionar Graph gt Histogram

El histograma anterior muestra claramente que los datos no se distribuyen normalmente por lo que optaremos por usar una transformacioacuten de Box-Cox a fin de obtener datos cuya distribucioacuten se aproxime a la de una normal

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Histograma y Capacidad de Proceso

En primer lugar deberemos hallar el valor de λ oacuteptimo para realizar la transformacioacuten Despueacutes realizaremos el anaacutelisis de capacidad eligiendo la opcioacuten transformacioacuten Box-Cox con el λ obtenido

1048607 Seleccionar Stat gt Control Charts gt Box-Cox Transformation

Observamos que el mejor estimador para λ es 0449 A efectos praacutecticos podriacuteamos tomar λ = 05 ya que esta transformacioacuten (la raiacutez cuadrada) es mucho maacutes intuitiva y ademaacutes estaacute dentro del intervalo de confianza del 95 (denotado por las liacuteneas rojas verticales) Por tanto realizaremos ahora un anaacutelisis de capacidad usando una transformacioacuten de Box-Cox con λ = 05

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Histograma y Capacidad de Proceso

Como se puede apreciar en el histograma central la transformacioacuten utilizada ha logrado ldquonormalizarrdquo los datos Por tanto los iacutendices de capacidad obtenidos seraacuten vaacutelidosDado que soacutelo introdujimos el liacutemite de especificacioacuten superior los iacutendices que aparecen son el CPU y el

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Histograma y Capacidad de Proceso

Cpk Ambos estadiacutesticos valen 076 valor muy inferior a nuestro valor de referencia de 133 Por tanto nuestro proceso no parece ser capaz De hecho tambieacuten es posible apreciar en el histograma que algunos de los datos caen fuera del liacutemite de especificacioacuten superior (liacutenea roja vertical)

El siguiente paso seriacutea realizar un anaacutelisis de capacidad para estos datos usando un modelo Weibull

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO WEIBULL)

Conviene recordar en este punto que la distribucioacuten de Weibull es en realidad toda una familia de distribuciones que incluyen como casos particulares la distribucioacuten Exponencial y la de Rayleigh Susbparaacutemetros son la forma (β) y la escala (δ)

La apariencia de la curva Weibull variacutea notablemente en funcioacuten del valor de β Asiacute por ejemplo paraβ=1 tenemos una distribucioacuten Exponencial mientras que para β=2 estamos ante una distribucioacuten de Rayleigh

Como ya dijimos en la introduccioacuten usaremos el anaacutelisis de capacidad modelo Weibull cuando los datos sigan una distribucioacuten que se pueda aproximar por una Weibull El informe que se genera incluye un histograma de capacidad superpuesto a una curva Weibull (cuyos paraacutemetros se estiman a partir de las observaciones) junto con una tabla de iacutendices de capacidad a largo plazoTambieacuten se incluyen en el informe otros estadiacutesticos asociados al proceso tales como la media los paraacutemetros de la distribucioacuten (forma y escala) el objetivo (si se ha especificado) la tolerancia natural o real del proceso los liacutemites de especificacioacuten la capacidad real a largo plazo etcDe esta forma el informe permite determinar de forma visual el comportamiento del proceso respecto al objetivo analizar si los datos siguen una distribucioacuten Weibull y estudiar la capacidad o no del proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

En el modelo Weibull el programa calcula los iacutendices de capacidad a largo plazo ie Pp Ppk PPU yPPL Dichos caacutelculos se basan en estimadores de maacutexima verosimilitud para los paraacutemetros de la distribucioacutenWeibull En caso de estar interesados en calcular iacutendices a corto plazo (como el Cp y el Cpk) para datos no normales deberemos usar el modelo normal aplicando antes una transformacioacuten de Box-Cox

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad Weibull) Volveremos a nuestro ejemplo anterior de las baldosas(baldosasmtw) para realizar ahora un anaacutelisis de capacidad basado en el modelo Weibull

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En primer lugar observamos que el histograma de capacidad parece confirmar que los datos se pueden aproximar bastante bien por una Weibull

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Histograma y Capacidad de Proceso

De todas formas se aprecia que la cola derecha de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten superior Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mmLos iacutendices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz Ambos iacutendices valen 077 valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 133 Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones teacutecnicas deseadas)De igual forma el valor de PPM gt USL es de 20000 lo que significa que en cada milloacuten de baldosas producidas 20000 de ellas no cumpliraacuten con las especificaciones sobre la curvatura

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizarsi un proceso es o no capaz Este informe incluye las siguientes partesbull Un graacutefico de control X-barra (o Individuales)bull Un graacutefico de control R (o MR)bull Un graacutefico de rachas de los uacuteltimos 25 subgrupos (o datos individuales)bull Un histograma de las observacionesbull Un graacutefico de probabilidad Normalbull Un graacutefico de capacidad del procesobull Iacutendices de capacidad a corto plazo (Cp Cpk) y a largo plazo (Pp Ppk)

Los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad normal nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Normal Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de

(1) determinar si el proceso estaacute bajo control y(2) si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es capaz)

Ejemplo (sixpack normal)

Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partesmtw ) veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo en el caso de nuestro suministrador 1

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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Histograma y Capacidad de Proceso

que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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Histograma y Capacidad de Proceso

normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Weibull)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

httpeswikipediaorgwikiHistograma

httpeswikipediaorgwikiCapacidad_del_proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

verdaderas probabilidades de producir unidades que no cumplan con las especificaciones En tal caso podriacuteamos optar por (1) usar la transformacioacuten de Box-Cox para transformar los datos en otros cuya distribucioacuten sea aproximadamente normal o (2) usar el modelo

Weibull

A continuacioacuten se presentan en una tabla las distintas opciones que ofrece el programa

Los anaacutelisis basados en el modelo normal calculan tanto la variacioacuten a corto plazo como la variacioacuten a largo plazo mientras que los basados en el modelo Weibull soacutelo calculan la variacioacuten a largo plazo

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Histograma y Capacidad de Proceso

Los estadiacutesticos o iacutendices de capacidad asociados a la variacioacuten a corto plazo son Cp Cpk CPU y CPL por otro lado los iacutendices de capacidad asociados a la variacioacuten a largo plazo son Pp Ppk PPU y PPLAsiacute para calcular los estadiacutesticos Cp Cpk CPU y CPL se estima la variacioacuten (a corto plazo) a partir de la variacioacuten dentro de los subgrupos pero no se consideran las diferencias entre los distintos subgrupos Por tal motivo estos iacutendices representan la capacidad potencial ie estiman la capacidad del proceso bajo lahipoacutetesis de que no existen diferencias entre las medias de los subgruposPor su parte los estadiacutesticos Pp Ppk PPU y PPL estiman la capacidad global o a largo plazo del proceso Al calcular tales estadiacutesticos se estima la variabilidad a largo plazo considerando para ello todo tipo de variacioacuten tanto la que se produce dentro de los subgrupos como la que se produce entre ellosLa capacidad global o a largo plazo nos dice coacutemo se estaacute comportando el proceso respecto a las especificaciones prefijadas La capacidad potencial o a corto plazo nos dice coacutemo se comportariacutea el proceso si consiguieacutesemos eliminar la variabilidad entre los distintos subgrupos La existencia de diferencias entre ambas capacidades nos indica la oportunidad de mejorar del proceso respecto a su estado actual

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO NORMAL)Usaremos el anaacutelisis de capacidad con el modelo normal cuando los datos provengan de una distribucioacuten aproximadamente normal El informe que genera el programa incluye un histograma de capacidad con una curva normal superpuesta y una tabla completa de iacutendices de capacidad a corto y largo plazo La curvanormal se obtiene usando la media y desviacioacuten tiacutepica muestralEl informe tambieacuten incluye otros estadiacutesticos de los datos del proceso tales como la media el valor esperado a priori u objetivo (en caso de haberlo indicado) la tolerancia natural del proceso las desviaciones estaacutendar a corto y largo plazo las especificaciones del proceso el comportamiento observado y los comportamientos esperados a corto y largo plazo De esta forma el informe permite analizar de forma visual si los datos siguen o no un patroacuten normal si el proceso estaacute o no centrado en el objetivo y si el proceso es capaz o no (es decir si cumple con las especificaciones prestablecidas)Los iacutendices de capacidad son estimaciones numeacutericas de la capacidad del proceso es decir nos dan una idea de cuaacuten capaz es el proceso (a queacute nivel cumple con las especificaciones) Estos estadiacutesticos son muy uacutetiles ya que aparte de ser sencillos de calcular no tienen unidades de medida por lo que permiten comparar distintos procesos Baacutesicamente son el cociente entre la amplitud tolerable del proceso (la distancia entre los liacutemites de tolerancia o liacutemites de especificacioacuten) y la amplitud real o natural del proceso (recordemos que habitualmente la distancia entre los liacutemites de control es de 6 sigma) Algunos de estos estadiacutesticos se definen a partir de la media del proceso o del objetivoLos iacutendices de capacidad asociados con la variacioacuten a corto plazo son Cp Cpk CPU y CPL por otro lado los asociados con la variacioacuten a largo plazo son Pp Ppk PPU y PPL En la praacutectica se suele considerar que 133 es el valor miacutenimo aceptable para un iacutendice de capacidad (es decir cualquier valor por debajo de

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Histograma y Capacidad de Proceso

esta cifra indicariacutea que aunque esteacute bajo control estadiacutestico el proceso no cumple con las especificaciones deseadas)

A continuacioacuten se muestran algunas referencias sobre cuaacutendo usar cada uno de los iacutendices

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad normal) Supongamos que trabajamos para la industria delautomoacutevil concretamente en el departamento de ensamblaje de motores Una de las partes del motordebe tener una longitud de 600plusmn2 mm para satisfacer las especificaciones teacutecnicas Hemos tenido unproblema con algunas de estas partes las cuales no cumpliacutean las citadas especificacionesTales partes pueden provenir de dos suministradores distintos y externos a la empresa Tras realizar ungraacutefico de control X-barraR observamos que las partes obtenidas del suministrador 2 proveniacutean de unproceso que estaba fuera de control por lo que optamos por prescindir de sus servicios hasta que suproduccioacuten vuelva a estar bajo controlUna vez parada la adquisicioacuten de partes provenientes del suministrador 2 observamos que el nuacutemero dedefectos en la liacutenea de ensamblaje ha descendido significativamente aunque los problemas no handesaparecido por completo Decidimos pues realizar un anaacutelisis de capacidad para estudiar si elsuministrador 1 es capaz eacutel soacutelo de cumplir con nuestras especificaciones teacutecnicas Los datos sobre eltamantildeo de las partes provenientes de este suministrador se guardan en el archivo partesmtw

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

Para poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos necesitamos verificar primero que nuestros datos provienen de una distribucioacuten aproximadamente normal lo cual parece cumplirse a raiacutez del histograma anteriorPodemos ver sin embargo que la media del proceso es algo inferior al objetivo y que la cola izquierda de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten

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Histograma y Capacidad de Proceso

inferior (LSL en el graacutefico) Esto significa queveremos ocasionalmente algunas partes que no cumplen la especificacioacuten inferior de 598 mmEl iacutendice Cpk nos sirve para determinar si el proceso generaraacute unidades que verifiquen las especificaciones En este caso el Cpk para el suministrador 1 es de soacutelo 090 Ello significa que nuestro suministrador debe mejorar su proceso viacutea una reduccioacuten de la variacioacuten y un mejor ajustado al objetivoDe forma similar el valor de PPM lt LSL (ie el nuacutemero esperado de partes por milloacuten cuya longitud seraacute inferior al LEI) es de 362106

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad usando Box-Cox) Supongamos que trabajamos en una faacutebricaque produce baldosas para el suelo y que estamos interesados en estudiar la curvatura de las mismas afin de garantizar la calidad de la produccioacuten A tal efecto medimos la curvatura de 10 muestras diariasdurante un periacuteodo total de 10 diacuteas Los datos estaacuten contenidos en el archivo baldosasmtw En primer lugar realizaremos un histograma de los datos1048607 Seleccionar Graph gt Histogram

El histograma anterior muestra claramente que los datos no se distribuyen normalmente por lo que optaremos por usar una transformacioacuten de Box-Cox a fin de obtener datos cuya distribucioacuten se aproxime a la de una normal

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Histograma y Capacidad de Proceso

En primer lugar deberemos hallar el valor de λ oacuteptimo para realizar la transformacioacuten Despueacutes realizaremos el anaacutelisis de capacidad eligiendo la opcioacuten transformacioacuten Box-Cox con el λ obtenido

1048607 Seleccionar Stat gt Control Charts gt Box-Cox Transformation

Observamos que el mejor estimador para λ es 0449 A efectos praacutecticos podriacuteamos tomar λ = 05 ya que esta transformacioacuten (la raiacutez cuadrada) es mucho maacutes intuitiva y ademaacutes estaacute dentro del intervalo de confianza del 95 (denotado por las liacuteneas rojas verticales) Por tanto realizaremos ahora un anaacutelisis de capacidad usando una transformacioacuten de Box-Cox con λ = 05

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

Como se puede apreciar en el histograma central la transformacioacuten utilizada ha logrado ldquonormalizarrdquo los datos Por tanto los iacutendices de capacidad obtenidos seraacuten vaacutelidosDado que soacutelo introdujimos el liacutemite de especificacioacuten superior los iacutendices que aparecen son el CPU y el

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Histograma y Capacidad de Proceso

Cpk Ambos estadiacutesticos valen 076 valor muy inferior a nuestro valor de referencia de 133 Por tanto nuestro proceso no parece ser capaz De hecho tambieacuten es posible apreciar en el histograma que algunos de los datos caen fuera del liacutemite de especificacioacuten superior (liacutenea roja vertical)

El siguiente paso seriacutea realizar un anaacutelisis de capacidad para estos datos usando un modelo Weibull

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO WEIBULL)

Conviene recordar en este punto que la distribucioacuten de Weibull es en realidad toda una familia de distribuciones que incluyen como casos particulares la distribucioacuten Exponencial y la de Rayleigh Susbparaacutemetros son la forma (β) y la escala (δ)

La apariencia de la curva Weibull variacutea notablemente en funcioacuten del valor de β Asiacute por ejemplo paraβ=1 tenemos una distribucioacuten Exponencial mientras que para β=2 estamos ante una distribucioacuten de Rayleigh

Como ya dijimos en la introduccioacuten usaremos el anaacutelisis de capacidad modelo Weibull cuando los datos sigan una distribucioacuten que se pueda aproximar por una Weibull El informe que se genera incluye un histograma de capacidad superpuesto a una curva Weibull (cuyos paraacutemetros se estiman a partir de las observaciones) junto con una tabla de iacutendices de capacidad a largo plazoTambieacuten se incluyen en el informe otros estadiacutesticos asociados al proceso tales como la media los paraacutemetros de la distribucioacuten (forma y escala) el objetivo (si se ha especificado) la tolerancia natural o real del proceso los liacutemites de especificacioacuten la capacidad real a largo plazo etcDe esta forma el informe permite determinar de forma visual el comportamiento del proceso respecto al objetivo analizar si los datos siguen una distribucioacuten Weibull y estudiar la capacidad o no del proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

En el modelo Weibull el programa calcula los iacutendices de capacidad a largo plazo ie Pp Ppk PPU yPPL Dichos caacutelculos se basan en estimadores de maacutexima verosimilitud para los paraacutemetros de la distribucioacutenWeibull En caso de estar interesados en calcular iacutendices a corto plazo (como el Cp y el Cpk) para datos no normales deberemos usar el modelo normal aplicando antes una transformacioacuten de Box-Cox

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad Weibull) Volveremos a nuestro ejemplo anterior de las baldosas(baldosasmtw) para realizar ahora un anaacutelisis de capacidad basado en el modelo Weibull

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Weibull)

En primer lugar observamos que el histograma de capacidad parece confirmar que los datos se pueden aproximar bastante bien por una Weibull

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Histograma y Capacidad de Proceso

De todas formas se aprecia que la cola derecha de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten superior Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mmLos iacutendices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz Ambos iacutendices valen 077 valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 133 Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones teacutecnicas deseadas)De igual forma el valor de PPM gt USL es de 20000 lo que significa que en cada milloacuten de baldosas producidas 20000 de ellas no cumpliraacuten con las especificaciones sobre la curvatura

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizarsi un proceso es o no capaz Este informe incluye las siguientes partesbull Un graacutefico de control X-barra (o Individuales)bull Un graacutefico de control R (o MR)bull Un graacutefico de rachas de los uacuteltimos 25 subgrupos (o datos individuales)bull Un histograma de las observacionesbull Un graacutefico de probabilidad Normalbull Un graacutefico de capacidad del procesobull Iacutendices de capacidad a corto plazo (Cp Cpk) y a largo plazo (Pp Ppk)

Los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad normal nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Normal Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de

(1) determinar si el proceso estaacute bajo control y(2) si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es capaz)

Ejemplo (sixpack normal)

Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partesmtw ) veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo en el caso de nuestro suministrador 1

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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Histograma y Capacidad de Proceso

que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

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Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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Histograma y Capacidad de Proceso

normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

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En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

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Histograma y Capacidad de Proceso

Los estadiacutesticos o iacutendices de capacidad asociados a la variacioacuten a corto plazo son Cp Cpk CPU y CPL por otro lado los iacutendices de capacidad asociados a la variacioacuten a largo plazo son Pp Ppk PPU y PPLAsiacute para calcular los estadiacutesticos Cp Cpk CPU y CPL se estima la variacioacuten (a corto plazo) a partir de la variacioacuten dentro de los subgrupos pero no se consideran las diferencias entre los distintos subgrupos Por tal motivo estos iacutendices representan la capacidad potencial ie estiman la capacidad del proceso bajo lahipoacutetesis de que no existen diferencias entre las medias de los subgruposPor su parte los estadiacutesticos Pp Ppk PPU y PPL estiman la capacidad global o a largo plazo del proceso Al calcular tales estadiacutesticos se estima la variabilidad a largo plazo considerando para ello todo tipo de variacioacuten tanto la que se produce dentro de los subgrupos como la que se produce entre ellosLa capacidad global o a largo plazo nos dice coacutemo se estaacute comportando el proceso respecto a las especificaciones prefijadas La capacidad potencial o a corto plazo nos dice coacutemo se comportariacutea el proceso si consiguieacutesemos eliminar la variabilidad entre los distintos subgrupos La existencia de diferencias entre ambas capacidades nos indica la oportunidad de mejorar del proceso respecto a su estado actual

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO NORMAL)Usaremos el anaacutelisis de capacidad con el modelo normal cuando los datos provengan de una distribucioacuten aproximadamente normal El informe que genera el programa incluye un histograma de capacidad con una curva normal superpuesta y una tabla completa de iacutendices de capacidad a corto y largo plazo La curvanormal se obtiene usando la media y desviacioacuten tiacutepica muestralEl informe tambieacuten incluye otros estadiacutesticos de los datos del proceso tales como la media el valor esperado a priori u objetivo (en caso de haberlo indicado) la tolerancia natural del proceso las desviaciones estaacutendar a corto y largo plazo las especificaciones del proceso el comportamiento observado y los comportamientos esperados a corto y largo plazo De esta forma el informe permite analizar de forma visual si los datos siguen o no un patroacuten normal si el proceso estaacute o no centrado en el objetivo y si el proceso es capaz o no (es decir si cumple con las especificaciones prestablecidas)Los iacutendices de capacidad son estimaciones numeacutericas de la capacidad del proceso es decir nos dan una idea de cuaacuten capaz es el proceso (a queacute nivel cumple con las especificaciones) Estos estadiacutesticos son muy uacutetiles ya que aparte de ser sencillos de calcular no tienen unidades de medida por lo que permiten comparar distintos procesos Baacutesicamente son el cociente entre la amplitud tolerable del proceso (la distancia entre los liacutemites de tolerancia o liacutemites de especificacioacuten) y la amplitud real o natural del proceso (recordemos que habitualmente la distancia entre los liacutemites de control es de 6 sigma) Algunos de estos estadiacutesticos se definen a partir de la media del proceso o del objetivoLos iacutendices de capacidad asociados con la variacioacuten a corto plazo son Cp Cpk CPU y CPL por otro lado los asociados con la variacioacuten a largo plazo son Pp Ppk PPU y PPL En la praacutectica se suele considerar que 133 es el valor miacutenimo aceptable para un iacutendice de capacidad (es decir cualquier valor por debajo de

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Histograma y Capacidad de Proceso

esta cifra indicariacutea que aunque esteacute bajo control estadiacutestico el proceso no cumple con las especificaciones deseadas)

A continuacioacuten se muestran algunas referencias sobre cuaacutendo usar cada uno de los iacutendices

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad normal) Supongamos que trabajamos para la industria delautomoacutevil concretamente en el departamento de ensamblaje de motores Una de las partes del motordebe tener una longitud de 600plusmn2 mm para satisfacer las especificaciones teacutecnicas Hemos tenido unproblema con algunas de estas partes las cuales no cumpliacutean las citadas especificacionesTales partes pueden provenir de dos suministradores distintos y externos a la empresa Tras realizar ungraacutefico de control X-barraR observamos que las partes obtenidas del suministrador 2 proveniacutean de unproceso que estaba fuera de control por lo que optamos por prescindir de sus servicios hasta que suproduccioacuten vuelva a estar bajo controlUna vez parada la adquisicioacuten de partes provenientes del suministrador 2 observamos que el nuacutemero dedefectos en la liacutenea de ensamblaje ha descendido significativamente aunque los problemas no handesaparecido por completo Decidimos pues realizar un anaacutelisis de capacidad para estudiar si elsuministrador 1 es capaz eacutel soacutelo de cumplir con nuestras especificaciones teacutecnicas Los datos sobre eltamantildeo de las partes provenientes de este suministrador se guardan en el archivo partesmtw

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Histograma y Capacidad de Proceso

Para poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos necesitamos verificar primero que nuestros datos provienen de una distribucioacuten aproximadamente normal lo cual parece cumplirse a raiacutez del histograma anteriorPodemos ver sin embargo que la media del proceso es algo inferior al objetivo y que la cola izquierda de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten

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Histograma y Capacidad de Proceso

inferior (LSL en el graacutefico) Esto significa queveremos ocasionalmente algunas partes que no cumplen la especificacioacuten inferior de 598 mmEl iacutendice Cpk nos sirve para determinar si el proceso generaraacute unidades que verifiquen las especificaciones En este caso el Cpk para el suministrador 1 es de soacutelo 090 Ello significa que nuestro suministrador debe mejorar su proceso viacutea una reduccioacuten de la variacioacuten y un mejor ajustado al objetivoDe forma similar el valor de PPM lt LSL (ie el nuacutemero esperado de partes por milloacuten cuya longitud seraacute inferior al LEI) es de 362106

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad usando Box-Cox) Supongamos que trabajamos en una faacutebricaque produce baldosas para el suelo y que estamos interesados en estudiar la curvatura de las mismas afin de garantizar la calidad de la produccioacuten A tal efecto medimos la curvatura de 10 muestras diariasdurante un periacuteodo total de 10 diacuteas Los datos estaacuten contenidos en el archivo baldosasmtw En primer lugar realizaremos un histograma de los datos1048607 Seleccionar Graph gt Histogram

El histograma anterior muestra claramente que los datos no se distribuyen normalmente por lo que optaremos por usar una transformacioacuten de Box-Cox a fin de obtener datos cuya distribucioacuten se aproxime a la de una normal

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Histograma y Capacidad de Proceso

En primer lugar deberemos hallar el valor de λ oacuteptimo para realizar la transformacioacuten Despueacutes realizaremos el anaacutelisis de capacidad eligiendo la opcioacuten transformacioacuten Box-Cox con el λ obtenido

1048607 Seleccionar Stat gt Control Charts gt Box-Cox Transformation

Observamos que el mejor estimador para λ es 0449 A efectos praacutecticos podriacuteamos tomar λ = 05 ya que esta transformacioacuten (la raiacutez cuadrada) es mucho maacutes intuitiva y ademaacutes estaacute dentro del intervalo de confianza del 95 (denotado por las liacuteneas rojas verticales) Por tanto realizaremos ahora un anaacutelisis de capacidad usando una transformacioacuten de Box-Cox con λ = 05

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

Como se puede apreciar en el histograma central la transformacioacuten utilizada ha logrado ldquonormalizarrdquo los datos Por tanto los iacutendices de capacidad obtenidos seraacuten vaacutelidosDado que soacutelo introdujimos el liacutemite de especificacioacuten superior los iacutendices que aparecen son el CPU y el

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Histograma y Capacidad de Proceso

Cpk Ambos estadiacutesticos valen 076 valor muy inferior a nuestro valor de referencia de 133 Por tanto nuestro proceso no parece ser capaz De hecho tambieacuten es posible apreciar en el histograma que algunos de los datos caen fuera del liacutemite de especificacioacuten superior (liacutenea roja vertical)

El siguiente paso seriacutea realizar un anaacutelisis de capacidad para estos datos usando un modelo Weibull

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO WEIBULL)

Conviene recordar en este punto que la distribucioacuten de Weibull es en realidad toda una familia de distribuciones que incluyen como casos particulares la distribucioacuten Exponencial y la de Rayleigh Susbparaacutemetros son la forma (β) y la escala (δ)

La apariencia de la curva Weibull variacutea notablemente en funcioacuten del valor de β Asiacute por ejemplo paraβ=1 tenemos una distribucioacuten Exponencial mientras que para β=2 estamos ante una distribucioacuten de Rayleigh

Como ya dijimos en la introduccioacuten usaremos el anaacutelisis de capacidad modelo Weibull cuando los datos sigan una distribucioacuten que se pueda aproximar por una Weibull El informe que se genera incluye un histograma de capacidad superpuesto a una curva Weibull (cuyos paraacutemetros se estiman a partir de las observaciones) junto con una tabla de iacutendices de capacidad a largo plazoTambieacuten se incluyen en el informe otros estadiacutesticos asociados al proceso tales como la media los paraacutemetros de la distribucioacuten (forma y escala) el objetivo (si se ha especificado) la tolerancia natural o real del proceso los liacutemites de especificacioacuten la capacidad real a largo plazo etcDe esta forma el informe permite determinar de forma visual el comportamiento del proceso respecto al objetivo analizar si los datos siguen una distribucioacuten Weibull y estudiar la capacidad o no del proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

En el modelo Weibull el programa calcula los iacutendices de capacidad a largo plazo ie Pp Ppk PPU yPPL Dichos caacutelculos se basan en estimadores de maacutexima verosimilitud para los paraacutemetros de la distribucioacutenWeibull En caso de estar interesados en calcular iacutendices a corto plazo (como el Cp y el Cpk) para datos no normales deberemos usar el modelo normal aplicando antes una transformacioacuten de Box-Cox

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad Weibull) Volveremos a nuestro ejemplo anterior de las baldosas(baldosasmtw) para realizar ahora un anaacutelisis de capacidad basado en el modelo Weibull

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Weibull)

En primer lugar observamos que el histograma de capacidad parece confirmar que los datos se pueden aproximar bastante bien por una Weibull

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Histograma y Capacidad de Proceso

De todas formas se aprecia que la cola derecha de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten superior Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mmLos iacutendices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz Ambos iacutendices valen 077 valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 133 Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones teacutecnicas deseadas)De igual forma el valor de PPM gt USL es de 20000 lo que significa que en cada milloacuten de baldosas producidas 20000 de ellas no cumpliraacuten con las especificaciones sobre la curvatura

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizarsi un proceso es o no capaz Este informe incluye las siguientes partesbull Un graacutefico de control X-barra (o Individuales)bull Un graacutefico de control R (o MR)bull Un graacutefico de rachas de los uacuteltimos 25 subgrupos (o datos individuales)bull Un histograma de las observacionesbull Un graacutefico de probabilidad Normalbull Un graacutefico de capacidad del procesobull Iacutendices de capacidad a corto plazo (Cp Cpk) y a largo plazo (Pp Ppk)

Los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad normal nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Normal Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de

(1) determinar si el proceso estaacute bajo control y(2) si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es capaz)

Ejemplo (sixpack normal)

Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partesmtw ) veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo en el caso de nuestro suministrador 1

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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Histograma y Capacidad de Proceso

que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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Histograma y Capacidad de Proceso

normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Weibull)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

httpeswikipediaorgwikiHistograma

httpeswikipediaorgwikiCapacidad_del_proceso

httpwwwuoceduin3e-mathdocsSPC_6pdf

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Histograma y Capacidad de Proceso

esta cifra indicariacutea que aunque esteacute bajo control estadiacutestico el proceso no cumple con las especificaciones deseadas)

A continuacioacuten se muestran algunas referencias sobre cuaacutendo usar cada uno de los iacutendices

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad normal) Supongamos que trabajamos para la industria delautomoacutevil concretamente en el departamento de ensamblaje de motores Una de las partes del motordebe tener una longitud de 600plusmn2 mm para satisfacer las especificaciones teacutecnicas Hemos tenido unproblema con algunas de estas partes las cuales no cumpliacutean las citadas especificacionesTales partes pueden provenir de dos suministradores distintos y externos a la empresa Tras realizar ungraacutefico de control X-barraR observamos que las partes obtenidas del suministrador 2 proveniacutean de unproceso que estaba fuera de control por lo que optamos por prescindir de sus servicios hasta que suproduccioacuten vuelva a estar bajo controlUna vez parada la adquisicioacuten de partes provenientes del suministrador 2 observamos que el nuacutemero dedefectos en la liacutenea de ensamblaje ha descendido significativamente aunque los problemas no handesaparecido por completo Decidimos pues realizar un anaacutelisis de capacidad para estudiar si elsuministrador 1 es capaz eacutel soacutelo de cumplir con nuestras especificaciones teacutecnicas Los datos sobre eltamantildeo de las partes provenientes de este suministrador se guardan en el archivo partesmtw

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

Para poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos necesitamos verificar primero que nuestros datos provienen de una distribucioacuten aproximadamente normal lo cual parece cumplirse a raiacutez del histograma anteriorPodemos ver sin embargo que la media del proceso es algo inferior al objetivo y que la cola izquierda de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten

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Histograma y Capacidad de Proceso

inferior (LSL en el graacutefico) Esto significa queveremos ocasionalmente algunas partes que no cumplen la especificacioacuten inferior de 598 mmEl iacutendice Cpk nos sirve para determinar si el proceso generaraacute unidades que verifiquen las especificaciones En este caso el Cpk para el suministrador 1 es de soacutelo 090 Ello significa que nuestro suministrador debe mejorar su proceso viacutea una reduccioacuten de la variacioacuten y un mejor ajustado al objetivoDe forma similar el valor de PPM lt LSL (ie el nuacutemero esperado de partes por milloacuten cuya longitud seraacute inferior al LEI) es de 362106

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad usando Box-Cox) Supongamos que trabajamos en una faacutebricaque produce baldosas para el suelo y que estamos interesados en estudiar la curvatura de las mismas afin de garantizar la calidad de la produccioacuten A tal efecto medimos la curvatura de 10 muestras diariasdurante un periacuteodo total de 10 diacuteas Los datos estaacuten contenidos en el archivo baldosasmtw En primer lugar realizaremos un histograma de los datos1048607 Seleccionar Graph gt Histogram

El histograma anterior muestra claramente que los datos no se distribuyen normalmente por lo que optaremos por usar una transformacioacuten de Box-Cox a fin de obtener datos cuya distribucioacuten se aproxime a la de una normal

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Histograma y Capacidad de Proceso

En primer lugar deberemos hallar el valor de λ oacuteptimo para realizar la transformacioacuten Despueacutes realizaremos el anaacutelisis de capacidad eligiendo la opcioacuten transformacioacuten Box-Cox con el λ obtenido

1048607 Seleccionar Stat gt Control Charts gt Box-Cox Transformation

Observamos que el mejor estimador para λ es 0449 A efectos praacutecticos podriacuteamos tomar λ = 05 ya que esta transformacioacuten (la raiacutez cuadrada) es mucho maacutes intuitiva y ademaacutes estaacute dentro del intervalo de confianza del 95 (denotado por las liacuteneas rojas verticales) Por tanto realizaremos ahora un anaacutelisis de capacidad usando una transformacioacuten de Box-Cox con λ = 05

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

Como se puede apreciar en el histograma central la transformacioacuten utilizada ha logrado ldquonormalizarrdquo los datos Por tanto los iacutendices de capacidad obtenidos seraacuten vaacutelidosDado que soacutelo introdujimos el liacutemite de especificacioacuten superior los iacutendices que aparecen son el CPU y el

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Histograma y Capacidad de Proceso

Cpk Ambos estadiacutesticos valen 076 valor muy inferior a nuestro valor de referencia de 133 Por tanto nuestro proceso no parece ser capaz De hecho tambieacuten es posible apreciar en el histograma que algunos de los datos caen fuera del liacutemite de especificacioacuten superior (liacutenea roja vertical)

El siguiente paso seriacutea realizar un anaacutelisis de capacidad para estos datos usando un modelo Weibull

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO WEIBULL)

Conviene recordar en este punto que la distribucioacuten de Weibull es en realidad toda una familia de distribuciones que incluyen como casos particulares la distribucioacuten Exponencial y la de Rayleigh Susbparaacutemetros son la forma (β) y la escala (δ)

La apariencia de la curva Weibull variacutea notablemente en funcioacuten del valor de β Asiacute por ejemplo paraβ=1 tenemos una distribucioacuten Exponencial mientras que para β=2 estamos ante una distribucioacuten de Rayleigh

Como ya dijimos en la introduccioacuten usaremos el anaacutelisis de capacidad modelo Weibull cuando los datos sigan una distribucioacuten que se pueda aproximar por una Weibull El informe que se genera incluye un histograma de capacidad superpuesto a una curva Weibull (cuyos paraacutemetros se estiman a partir de las observaciones) junto con una tabla de iacutendices de capacidad a largo plazoTambieacuten se incluyen en el informe otros estadiacutesticos asociados al proceso tales como la media los paraacutemetros de la distribucioacuten (forma y escala) el objetivo (si se ha especificado) la tolerancia natural o real del proceso los liacutemites de especificacioacuten la capacidad real a largo plazo etcDe esta forma el informe permite determinar de forma visual el comportamiento del proceso respecto al objetivo analizar si los datos siguen una distribucioacuten Weibull y estudiar la capacidad o no del proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

En el modelo Weibull el programa calcula los iacutendices de capacidad a largo plazo ie Pp Ppk PPU yPPL Dichos caacutelculos se basan en estimadores de maacutexima verosimilitud para los paraacutemetros de la distribucioacutenWeibull En caso de estar interesados en calcular iacutendices a corto plazo (como el Cp y el Cpk) para datos no normales deberemos usar el modelo normal aplicando antes una transformacioacuten de Box-Cox

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad Weibull) Volveremos a nuestro ejemplo anterior de las baldosas(baldosasmtw) para realizar ahora un anaacutelisis de capacidad basado en el modelo Weibull

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Weibull)

En primer lugar observamos que el histograma de capacidad parece confirmar que los datos se pueden aproximar bastante bien por una Weibull

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Histograma y Capacidad de Proceso

De todas formas se aprecia que la cola derecha de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten superior Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mmLos iacutendices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz Ambos iacutendices valen 077 valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 133 Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones teacutecnicas deseadas)De igual forma el valor de PPM gt USL es de 20000 lo que significa que en cada milloacuten de baldosas producidas 20000 de ellas no cumpliraacuten con las especificaciones sobre la curvatura

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizarsi un proceso es o no capaz Este informe incluye las siguientes partesbull Un graacutefico de control X-barra (o Individuales)bull Un graacutefico de control R (o MR)bull Un graacutefico de rachas de los uacuteltimos 25 subgrupos (o datos individuales)bull Un histograma de las observacionesbull Un graacutefico de probabilidad Normalbull Un graacutefico de capacidad del procesobull Iacutendices de capacidad a corto plazo (Cp Cpk) y a largo plazo (Pp Ppk)

Los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad normal nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Normal Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de

(1) determinar si el proceso estaacute bajo control y(2) si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es capaz)

Ejemplo (sixpack normal)

Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partesmtw ) veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo en el caso de nuestro suministrador 1

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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Histograma y Capacidad de Proceso

que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Weibull)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

httpeswikipediaorgwikiHistograma

httpeswikipediaorgwikiCapacidad_del_proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

Para poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos necesitamos verificar primero que nuestros datos provienen de una distribucioacuten aproximadamente normal lo cual parece cumplirse a raiacutez del histograma anteriorPodemos ver sin embargo que la media del proceso es algo inferior al objetivo y que la cola izquierda de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten

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inferior (LSL en el graacutefico) Esto significa queveremos ocasionalmente algunas partes que no cumplen la especificacioacuten inferior de 598 mmEl iacutendice Cpk nos sirve para determinar si el proceso generaraacute unidades que verifiquen las especificaciones En este caso el Cpk para el suministrador 1 es de soacutelo 090 Ello significa que nuestro suministrador debe mejorar su proceso viacutea una reduccioacuten de la variacioacuten y un mejor ajustado al objetivoDe forma similar el valor de PPM lt LSL (ie el nuacutemero esperado de partes por milloacuten cuya longitud seraacute inferior al LEI) es de 362106

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad usando Box-Cox) Supongamos que trabajamos en una faacutebricaque produce baldosas para el suelo y que estamos interesados en estudiar la curvatura de las mismas afin de garantizar la calidad de la produccioacuten A tal efecto medimos la curvatura de 10 muestras diariasdurante un periacuteodo total de 10 diacuteas Los datos estaacuten contenidos en el archivo baldosasmtw En primer lugar realizaremos un histograma de los datos1048607 Seleccionar Graph gt Histogram

El histograma anterior muestra claramente que los datos no se distribuyen normalmente por lo que optaremos por usar una transformacioacuten de Box-Cox a fin de obtener datos cuya distribucioacuten se aproxime a la de una normal

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Histograma y Capacidad de Proceso

En primer lugar deberemos hallar el valor de λ oacuteptimo para realizar la transformacioacuten Despueacutes realizaremos el anaacutelisis de capacidad eligiendo la opcioacuten transformacioacuten Box-Cox con el λ obtenido

1048607 Seleccionar Stat gt Control Charts gt Box-Cox Transformation

Observamos que el mejor estimador para λ es 0449 A efectos praacutecticos podriacuteamos tomar λ = 05 ya que esta transformacioacuten (la raiacutez cuadrada) es mucho maacutes intuitiva y ademaacutes estaacute dentro del intervalo de confianza del 95 (denotado por las liacuteneas rojas verticales) Por tanto realizaremos ahora un anaacutelisis de capacidad usando una transformacioacuten de Box-Cox con λ = 05

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Histograma y Capacidad de Proceso

Como se puede apreciar en el histograma central la transformacioacuten utilizada ha logrado ldquonormalizarrdquo los datos Por tanto los iacutendices de capacidad obtenidos seraacuten vaacutelidosDado que soacutelo introdujimos el liacutemite de especificacioacuten superior los iacutendices que aparecen son el CPU y el

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Histograma y Capacidad de Proceso

Cpk Ambos estadiacutesticos valen 076 valor muy inferior a nuestro valor de referencia de 133 Por tanto nuestro proceso no parece ser capaz De hecho tambieacuten es posible apreciar en el histograma que algunos de los datos caen fuera del liacutemite de especificacioacuten superior (liacutenea roja vertical)

El siguiente paso seriacutea realizar un anaacutelisis de capacidad para estos datos usando un modelo Weibull

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO WEIBULL)

Conviene recordar en este punto que la distribucioacuten de Weibull es en realidad toda una familia de distribuciones que incluyen como casos particulares la distribucioacuten Exponencial y la de Rayleigh Susbparaacutemetros son la forma (β) y la escala (δ)

La apariencia de la curva Weibull variacutea notablemente en funcioacuten del valor de β Asiacute por ejemplo paraβ=1 tenemos una distribucioacuten Exponencial mientras que para β=2 estamos ante una distribucioacuten de Rayleigh

Como ya dijimos en la introduccioacuten usaremos el anaacutelisis de capacidad modelo Weibull cuando los datos sigan una distribucioacuten que se pueda aproximar por una Weibull El informe que se genera incluye un histograma de capacidad superpuesto a una curva Weibull (cuyos paraacutemetros se estiman a partir de las observaciones) junto con una tabla de iacutendices de capacidad a largo plazoTambieacuten se incluyen en el informe otros estadiacutesticos asociados al proceso tales como la media los paraacutemetros de la distribucioacuten (forma y escala) el objetivo (si se ha especificado) la tolerancia natural o real del proceso los liacutemites de especificacioacuten la capacidad real a largo plazo etcDe esta forma el informe permite determinar de forma visual el comportamiento del proceso respecto al objetivo analizar si los datos siguen una distribucioacuten Weibull y estudiar la capacidad o no del proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

En el modelo Weibull el programa calcula los iacutendices de capacidad a largo plazo ie Pp Ppk PPU yPPL Dichos caacutelculos se basan en estimadores de maacutexima verosimilitud para los paraacutemetros de la distribucioacutenWeibull En caso de estar interesados en calcular iacutendices a corto plazo (como el Cp y el Cpk) para datos no normales deberemos usar el modelo normal aplicando antes una transformacioacuten de Box-Cox

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad Weibull) Volveremos a nuestro ejemplo anterior de las baldosas(baldosasmtw) para realizar ahora un anaacutelisis de capacidad basado en el modelo Weibull

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Weibull)

En primer lugar observamos que el histograma de capacidad parece confirmar que los datos se pueden aproximar bastante bien por una Weibull

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Histograma y Capacidad de Proceso

De todas formas se aprecia que la cola derecha de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten superior Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mmLos iacutendices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz Ambos iacutendices valen 077 valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 133 Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones teacutecnicas deseadas)De igual forma el valor de PPM gt USL es de 20000 lo que significa que en cada milloacuten de baldosas producidas 20000 de ellas no cumpliraacuten con las especificaciones sobre la curvatura

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizarsi un proceso es o no capaz Este informe incluye las siguientes partesbull Un graacutefico de control X-barra (o Individuales)bull Un graacutefico de control R (o MR)bull Un graacutefico de rachas de los uacuteltimos 25 subgrupos (o datos individuales)bull Un histograma de las observacionesbull Un graacutefico de probabilidad Normalbull Un graacutefico de capacidad del procesobull Iacutendices de capacidad a corto plazo (Cp Cpk) y a largo plazo (Pp Ppk)

Los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad normal nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Normal Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de

(1) determinar si el proceso estaacute bajo control y(2) si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es capaz)

Ejemplo (sixpack normal)

Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partesmtw ) veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo en el caso de nuestro suministrador 1

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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Histograma y Capacidad de Proceso

que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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Histograma y Capacidad de Proceso

normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Weibull)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

httpeswikipediaorgwikiHistograma

httpeswikipediaorgwikiCapacidad_del_proceso

httpwwwuoceduin3e-mathdocsSPC_6pdf

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Histograma y Capacidad de Proceso

inferior (LSL en el graacutefico) Esto significa queveremos ocasionalmente algunas partes que no cumplen la especificacioacuten inferior de 598 mmEl iacutendice Cpk nos sirve para determinar si el proceso generaraacute unidades que verifiquen las especificaciones En este caso el Cpk para el suministrador 1 es de soacutelo 090 Ello significa que nuestro suministrador debe mejorar su proceso viacutea una reduccioacuten de la variacioacuten y un mejor ajustado al objetivoDe forma similar el valor de PPM lt LSL (ie el nuacutemero esperado de partes por milloacuten cuya longitud seraacute inferior al LEI) es de 362106

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad usando Box-Cox) Supongamos que trabajamos en una faacutebricaque produce baldosas para el suelo y que estamos interesados en estudiar la curvatura de las mismas afin de garantizar la calidad de la produccioacuten A tal efecto medimos la curvatura de 10 muestras diariasdurante un periacuteodo total de 10 diacuteas Los datos estaacuten contenidos en el archivo baldosasmtw En primer lugar realizaremos un histograma de los datos1048607 Seleccionar Graph gt Histogram

El histograma anterior muestra claramente que los datos no se distribuyen normalmente por lo que optaremos por usar una transformacioacuten de Box-Cox a fin de obtener datos cuya distribucioacuten se aproxime a la de una normal

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Histograma y Capacidad de Proceso

En primer lugar deberemos hallar el valor de λ oacuteptimo para realizar la transformacioacuten Despueacutes realizaremos el anaacutelisis de capacidad eligiendo la opcioacuten transformacioacuten Box-Cox con el λ obtenido

1048607 Seleccionar Stat gt Control Charts gt Box-Cox Transformation

Observamos que el mejor estimador para λ es 0449 A efectos praacutecticos podriacuteamos tomar λ = 05 ya que esta transformacioacuten (la raiacutez cuadrada) es mucho maacutes intuitiva y ademaacutes estaacute dentro del intervalo de confianza del 95 (denotado por las liacuteneas rojas verticales) Por tanto realizaremos ahora un anaacutelisis de capacidad usando una transformacioacuten de Box-Cox con λ = 05

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

Como se puede apreciar en el histograma central la transformacioacuten utilizada ha logrado ldquonormalizarrdquo los datos Por tanto los iacutendices de capacidad obtenidos seraacuten vaacutelidosDado que soacutelo introdujimos el liacutemite de especificacioacuten superior los iacutendices que aparecen son el CPU y el

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Histograma y Capacidad de Proceso

Cpk Ambos estadiacutesticos valen 076 valor muy inferior a nuestro valor de referencia de 133 Por tanto nuestro proceso no parece ser capaz De hecho tambieacuten es posible apreciar en el histograma que algunos de los datos caen fuera del liacutemite de especificacioacuten superior (liacutenea roja vertical)

El siguiente paso seriacutea realizar un anaacutelisis de capacidad para estos datos usando un modelo Weibull

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO WEIBULL)

Conviene recordar en este punto que la distribucioacuten de Weibull es en realidad toda una familia de distribuciones que incluyen como casos particulares la distribucioacuten Exponencial y la de Rayleigh Susbparaacutemetros son la forma (β) y la escala (δ)

La apariencia de la curva Weibull variacutea notablemente en funcioacuten del valor de β Asiacute por ejemplo paraβ=1 tenemos una distribucioacuten Exponencial mientras que para β=2 estamos ante una distribucioacuten de Rayleigh

Como ya dijimos en la introduccioacuten usaremos el anaacutelisis de capacidad modelo Weibull cuando los datos sigan una distribucioacuten que se pueda aproximar por una Weibull El informe que se genera incluye un histograma de capacidad superpuesto a una curva Weibull (cuyos paraacutemetros se estiman a partir de las observaciones) junto con una tabla de iacutendices de capacidad a largo plazoTambieacuten se incluyen en el informe otros estadiacutesticos asociados al proceso tales como la media los paraacutemetros de la distribucioacuten (forma y escala) el objetivo (si se ha especificado) la tolerancia natural o real del proceso los liacutemites de especificacioacuten la capacidad real a largo plazo etcDe esta forma el informe permite determinar de forma visual el comportamiento del proceso respecto al objetivo analizar si los datos siguen una distribucioacuten Weibull y estudiar la capacidad o no del proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

En el modelo Weibull el programa calcula los iacutendices de capacidad a largo plazo ie Pp Ppk PPU yPPL Dichos caacutelculos se basan en estimadores de maacutexima verosimilitud para los paraacutemetros de la distribucioacutenWeibull En caso de estar interesados en calcular iacutendices a corto plazo (como el Cp y el Cpk) para datos no normales deberemos usar el modelo normal aplicando antes una transformacioacuten de Box-Cox

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad Weibull) Volveremos a nuestro ejemplo anterior de las baldosas(baldosasmtw) para realizar ahora un anaacutelisis de capacidad basado en el modelo Weibull

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Weibull)

En primer lugar observamos que el histograma de capacidad parece confirmar que los datos se pueden aproximar bastante bien por una Weibull

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Histograma y Capacidad de Proceso

De todas formas se aprecia que la cola derecha de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten superior Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mmLos iacutendices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz Ambos iacutendices valen 077 valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 133 Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones teacutecnicas deseadas)De igual forma el valor de PPM gt USL es de 20000 lo que significa que en cada milloacuten de baldosas producidas 20000 de ellas no cumpliraacuten con las especificaciones sobre la curvatura

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizarsi un proceso es o no capaz Este informe incluye las siguientes partesbull Un graacutefico de control X-barra (o Individuales)bull Un graacutefico de control R (o MR)bull Un graacutefico de rachas de los uacuteltimos 25 subgrupos (o datos individuales)bull Un histograma de las observacionesbull Un graacutefico de probabilidad Normalbull Un graacutefico de capacidad del procesobull Iacutendices de capacidad a corto plazo (Cp Cpk) y a largo plazo (Pp Ppk)

Los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad normal nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Normal Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de

(1) determinar si el proceso estaacute bajo control y(2) si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es capaz)

Ejemplo (sixpack normal)

Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partesmtw ) veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo en el caso de nuestro suministrador 1

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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Histograma y Capacidad de Proceso

que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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Histograma y Capacidad de Proceso

normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Weibull)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

httpeswikipediaorgwikiHistograma

httpeswikipediaorgwikiCapacidad_del_proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

En primer lugar deberemos hallar el valor de λ oacuteptimo para realizar la transformacioacuten Despueacutes realizaremos el anaacutelisis de capacidad eligiendo la opcioacuten transformacioacuten Box-Cox con el λ obtenido

1048607 Seleccionar Stat gt Control Charts gt Box-Cox Transformation

Observamos que el mejor estimador para λ es 0449 A efectos praacutecticos podriacuteamos tomar λ = 05 ya que esta transformacioacuten (la raiacutez cuadrada) es mucho maacutes intuitiva y ademaacutes estaacute dentro del intervalo de confianza del 95 (denotado por las liacuteneas rojas verticales) Por tanto realizaremos ahora un anaacutelisis de capacidad usando una transformacioacuten de Box-Cox con λ = 05

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Histograma y Capacidad de Proceso

Como se puede apreciar en el histograma central la transformacioacuten utilizada ha logrado ldquonormalizarrdquo los datos Por tanto los iacutendices de capacidad obtenidos seraacuten vaacutelidosDado que soacutelo introdujimos el liacutemite de especificacioacuten superior los iacutendices que aparecen son el CPU y el

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Cpk Ambos estadiacutesticos valen 076 valor muy inferior a nuestro valor de referencia de 133 Por tanto nuestro proceso no parece ser capaz De hecho tambieacuten es posible apreciar en el histograma que algunos de los datos caen fuera del liacutemite de especificacioacuten superior (liacutenea roja vertical)

El siguiente paso seriacutea realizar un anaacutelisis de capacidad para estos datos usando un modelo Weibull

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO WEIBULL)

Conviene recordar en este punto que la distribucioacuten de Weibull es en realidad toda una familia de distribuciones que incluyen como casos particulares la distribucioacuten Exponencial y la de Rayleigh Susbparaacutemetros son la forma (β) y la escala (δ)

La apariencia de la curva Weibull variacutea notablemente en funcioacuten del valor de β Asiacute por ejemplo paraβ=1 tenemos una distribucioacuten Exponencial mientras que para β=2 estamos ante una distribucioacuten de Rayleigh

Como ya dijimos en la introduccioacuten usaremos el anaacutelisis de capacidad modelo Weibull cuando los datos sigan una distribucioacuten que se pueda aproximar por una Weibull El informe que se genera incluye un histograma de capacidad superpuesto a una curva Weibull (cuyos paraacutemetros se estiman a partir de las observaciones) junto con una tabla de iacutendices de capacidad a largo plazoTambieacuten se incluyen en el informe otros estadiacutesticos asociados al proceso tales como la media los paraacutemetros de la distribucioacuten (forma y escala) el objetivo (si se ha especificado) la tolerancia natural o real del proceso los liacutemites de especificacioacuten la capacidad real a largo plazo etcDe esta forma el informe permite determinar de forma visual el comportamiento del proceso respecto al objetivo analizar si los datos siguen una distribucioacuten Weibull y estudiar la capacidad o no del proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

En el modelo Weibull el programa calcula los iacutendices de capacidad a largo plazo ie Pp Ppk PPU yPPL Dichos caacutelculos se basan en estimadores de maacutexima verosimilitud para los paraacutemetros de la distribucioacutenWeibull En caso de estar interesados en calcular iacutendices a corto plazo (como el Cp y el Cpk) para datos no normales deberemos usar el modelo normal aplicando antes una transformacioacuten de Box-Cox

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad Weibull) Volveremos a nuestro ejemplo anterior de las baldosas(baldosasmtw) para realizar ahora un anaacutelisis de capacidad basado en el modelo Weibull

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Weibull)

En primer lugar observamos que el histograma de capacidad parece confirmar que los datos se pueden aproximar bastante bien por una Weibull

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Histograma y Capacidad de Proceso

De todas formas se aprecia que la cola derecha de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten superior Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mmLos iacutendices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz Ambos iacutendices valen 077 valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 133 Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones teacutecnicas deseadas)De igual forma el valor de PPM gt USL es de 20000 lo que significa que en cada milloacuten de baldosas producidas 20000 de ellas no cumpliraacuten con las especificaciones sobre la curvatura

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizarsi un proceso es o no capaz Este informe incluye las siguientes partesbull Un graacutefico de control X-barra (o Individuales)bull Un graacutefico de control R (o MR)bull Un graacutefico de rachas de los uacuteltimos 25 subgrupos (o datos individuales)bull Un histograma de las observacionesbull Un graacutefico de probabilidad Normalbull Un graacutefico de capacidad del procesobull Iacutendices de capacidad a corto plazo (Cp Cpk) y a largo plazo (Pp Ppk)

Los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad normal nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Normal Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de

(1) determinar si el proceso estaacute bajo control y(2) si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es capaz)

Ejemplo (sixpack normal)

Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partesmtw ) veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo en el caso de nuestro suministrador 1

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En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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Histograma y Capacidad de Proceso

normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Weibull)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

httpeswikipediaorgwikiHistograma

httpeswikipediaorgwikiCapacidad_del_proceso

httpwwwuoceduin3e-mathdocsSPC_6pdf

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Histograma y Capacidad de Proceso

Como se puede apreciar en el histograma central la transformacioacuten utilizada ha logrado ldquonormalizarrdquo los datos Por tanto los iacutendices de capacidad obtenidos seraacuten vaacutelidosDado que soacutelo introdujimos el liacutemite de especificacioacuten superior los iacutendices que aparecen son el CPU y el

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Histograma y Capacidad de Proceso

Cpk Ambos estadiacutesticos valen 076 valor muy inferior a nuestro valor de referencia de 133 Por tanto nuestro proceso no parece ser capaz De hecho tambieacuten es posible apreciar en el histograma que algunos de los datos caen fuera del liacutemite de especificacioacuten superior (liacutenea roja vertical)

El siguiente paso seriacutea realizar un anaacutelisis de capacidad para estos datos usando un modelo Weibull

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO WEIBULL)

Conviene recordar en este punto que la distribucioacuten de Weibull es en realidad toda una familia de distribuciones que incluyen como casos particulares la distribucioacuten Exponencial y la de Rayleigh Susbparaacutemetros son la forma (β) y la escala (δ)

La apariencia de la curva Weibull variacutea notablemente en funcioacuten del valor de β Asiacute por ejemplo paraβ=1 tenemos una distribucioacuten Exponencial mientras que para β=2 estamos ante una distribucioacuten de Rayleigh

Como ya dijimos en la introduccioacuten usaremos el anaacutelisis de capacidad modelo Weibull cuando los datos sigan una distribucioacuten que se pueda aproximar por una Weibull El informe que se genera incluye un histograma de capacidad superpuesto a una curva Weibull (cuyos paraacutemetros se estiman a partir de las observaciones) junto con una tabla de iacutendices de capacidad a largo plazoTambieacuten se incluyen en el informe otros estadiacutesticos asociados al proceso tales como la media los paraacutemetros de la distribucioacuten (forma y escala) el objetivo (si se ha especificado) la tolerancia natural o real del proceso los liacutemites de especificacioacuten la capacidad real a largo plazo etcDe esta forma el informe permite determinar de forma visual el comportamiento del proceso respecto al objetivo analizar si los datos siguen una distribucioacuten Weibull y estudiar la capacidad o no del proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

En el modelo Weibull el programa calcula los iacutendices de capacidad a largo plazo ie Pp Ppk PPU yPPL Dichos caacutelculos se basan en estimadores de maacutexima verosimilitud para los paraacutemetros de la distribucioacutenWeibull En caso de estar interesados en calcular iacutendices a corto plazo (como el Cp y el Cpk) para datos no normales deberemos usar el modelo normal aplicando antes una transformacioacuten de Box-Cox

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad Weibull) Volveremos a nuestro ejemplo anterior de las baldosas(baldosasmtw) para realizar ahora un anaacutelisis de capacidad basado en el modelo Weibull

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Analysis (Weibull)

En primer lugar observamos que el histograma de capacidad parece confirmar que los datos se pueden aproximar bastante bien por una Weibull

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Histograma y Capacidad de Proceso

De todas formas se aprecia que la cola derecha de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten superior Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mmLos iacutendices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz Ambos iacutendices valen 077 valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 133 Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones teacutecnicas deseadas)De igual forma el valor de PPM gt USL es de 20000 lo que significa que en cada milloacuten de baldosas producidas 20000 de ellas no cumpliraacuten con las especificaciones sobre la curvatura

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizarsi un proceso es o no capaz Este informe incluye las siguientes partesbull Un graacutefico de control X-barra (o Individuales)bull Un graacutefico de control R (o MR)bull Un graacutefico de rachas de los uacuteltimos 25 subgrupos (o datos individuales)bull Un histograma de las observacionesbull Un graacutefico de probabilidad Normalbull Un graacutefico de capacidad del procesobull Iacutendices de capacidad a corto plazo (Cp Cpk) y a largo plazo (Pp Ppk)

Los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad normal nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Normal Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de

(1) determinar si el proceso estaacute bajo control y(2) si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es capaz)

Ejemplo (sixpack normal)

Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partesmtw ) veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo en el caso de nuestro suministrador 1

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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Histograma y Capacidad de Proceso

que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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Histograma y Capacidad de Proceso

normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

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Cpk Ambos estadiacutesticos valen 076 valor muy inferior a nuestro valor de referencia de 133 Por tanto nuestro proceso no parece ser capaz De hecho tambieacuten es posible apreciar en el histograma que algunos de los datos caen fuera del liacutemite de especificacioacuten superior (liacutenea roja vertical)

El siguiente paso seriacutea realizar un anaacutelisis de capacidad para estos datos usando un modelo Weibull

ANAacuteLISIS DE CAPACIDAD (MODELO WEIBULL)

Conviene recordar en este punto que la distribucioacuten de Weibull es en realidad toda una familia de distribuciones que incluyen como casos particulares la distribucioacuten Exponencial y la de Rayleigh Susbparaacutemetros son la forma (β) y la escala (δ)

La apariencia de la curva Weibull variacutea notablemente en funcioacuten del valor de β Asiacute por ejemplo paraβ=1 tenemos una distribucioacuten Exponencial mientras que para β=2 estamos ante una distribucioacuten de Rayleigh

Como ya dijimos en la introduccioacuten usaremos el anaacutelisis de capacidad modelo Weibull cuando los datos sigan una distribucioacuten que se pueda aproximar por una Weibull El informe que se genera incluye un histograma de capacidad superpuesto a una curva Weibull (cuyos paraacutemetros se estiman a partir de las observaciones) junto con una tabla de iacutendices de capacidad a largo plazoTambieacuten se incluyen en el informe otros estadiacutesticos asociados al proceso tales como la media los paraacutemetros de la distribucioacuten (forma y escala) el objetivo (si se ha especificado) la tolerancia natural o real del proceso los liacutemites de especificacioacuten la capacidad real a largo plazo etcDe esta forma el informe permite determinar de forma visual el comportamiento del proceso respecto al objetivo analizar si los datos siguen una distribucioacuten Weibull y estudiar la capacidad o no del proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

En el modelo Weibull el programa calcula los iacutendices de capacidad a largo plazo ie Pp Ppk PPU yPPL Dichos caacutelculos se basan en estimadores de maacutexima verosimilitud para los paraacutemetros de la distribucioacutenWeibull En caso de estar interesados en calcular iacutendices a corto plazo (como el Cp y el Cpk) para datos no normales deberemos usar el modelo normal aplicando antes una transformacioacuten de Box-Cox

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad Weibull) Volveremos a nuestro ejemplo anterior de las baldosas(baldosasmtw) para realizar ahora un anaacutelisis de capacidad basado en el modelo Weibull

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En primer lugar observamos que el histograma de capacidad parece confirmar que los datos se pueden aproximar bastante bien por una Weibull

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Histograma y Capacidad de Proceso

De todas formas se aprecia que la cola derecha de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten superior Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mmLos iacutendices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz Ambos iacutendices valen 077 valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 133 Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones teacutecnicas deseadas)De igual forma el valor de PPM gt USL es de 20000 lo que significa que en cada milloacuten de baldosas producidas 20000 de ellas no cumpliraacuten con las especificaciones sobre la curvatura

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizarsi un proceso es o no capaz Este informe incluye las siguientes partesbull Un graacutefico de control X-barra (o Individuales)bull Un graacutefico de control R (o MR)bull Un graacutefico de rachas de los uacuteltimos 25 subgrupos (o datos individuales)bull Un histograma de las observacionesbull Un graacutefico de probabilidad Normalbull Un graacutefico de capacidad del procesobull Iacutendices de capacidad a corto plazo (Cp Cpk) y a largo plazo (Pp Ppk)

Los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad normal nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Normal Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de

(1) determinar si el proceso estaacute bajo control y(2) si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es capaz)

Ejemplo (sixpack normal)

Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partesmtw ) veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo en el caso de nuestro suministrador 1

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

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Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

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En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

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En el modelo Weibull el programa calcula los iacutendices de capacidad a largo plazo ie Pp Ppk PPU yPPL Dichos caacutelculos se basan en estimadores de maacutexima verosimilitud para los paraacutemetros de la distribucioacutenWeibull En caso de estar interesados en calcular iacutendices a corto plazo (como el Cp y el Cpk) para datos no normales deberemos usar el modelo normal aplicando antes una transformacioacuten de Box-Cox

Ejemplo (anaacutelisis de capacidad Weibull) Volveremos a nuestro ejemplo anterior de las baldosas(baldosasmtw) para realizar ahora un anaacutelisis de capacidad basado en el modelo Weibull

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En primer lugar observamos que el histograma de capacidad parece confirmar que los datos se pueden aproximar bastante bien por una Weibull

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De todas formas se aprecia que la cola derecha de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten superior Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mmLos iacutendices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz Ambos iacutendices valen 077 valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 133 Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones teacutecnicas deseadas)De igual forma el valor de PPM gt USL es de 20000 lo que significa que en cada milloacuten de baldosas producidas 20000 de ellas no cumpliraacuten con las especificaciones sobre la curvatura

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizarsi un proceso es o no capaz Este informe incluye las siguientes partesbull Un graacutefico de control X-barra (o Individuales)bull Un graacutefico de control R (o MR)bull Un graacutefico de rachas de los uacuteltimos 25 subgrupos (o datos individuales)bull Un histograma de las observacionesbull Un graacutefico de probabilidad Normalbull Un graacutefico de capacidad del procesobull Iacutendices de capacidad a corto plazo (Cp Cpk) y a largo plazo (Pp Ppk)

Los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad normal nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Normal Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de

(1) determinar si el proceso estaacute bajo control y(2) si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es capaz)

Ejemplo (sixpack normal)

Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partesmtw ) veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo en el caso de nuestro suministrador 1

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En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

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Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

httpeswikipediaorgwikiHistograma

httpeswikipediaorgwikiCapacidad_del_proceso

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Histograma y Capacidad de Proceso

De todas formas se aprecia que la cola derecha de la distribucioacuten cae fuera del liacutemite de especificacioacuten superior Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mmLos iacutendices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz Ambos iacutendices valen 077 valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 133 Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones teacutecnicas deseadas)De igual forma el valor de PPM gt USL es de 20000 lo que significa que en cada milloacuten de baldosas producidas 20000 de ellas no cumpliraacuten con las especificaciones sobre la curvatura

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizarsi un proceso es o no capaz Este informe incluye las siguientes partesbull Un graacutefico de control X-barra (o Individuales)bull Un graacutefico de control R (o MR)bull Un graacutefico de rachas de los uacuteltimos 25 subgrupos (o datos individuales)bull Un histograma de las observacionesbull Un graacutefico de probabilidad Normalbull Un graacutefico de capacidad del procesobull Iacutendices de capacidad a corto plazo (Cp Cpk) y a largo plazo (Pp Ppk)

Los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad normal nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Normal Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de

(1) determinar si el proceso estaacute bajo control y(2) si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es capaz)

Ejemplo (sixpack normal)

Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partesmtw ) veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo en el caso de nuestro suministrador 1

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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Histograma y Capacidad de Proceso

que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

1048607 Seleccionar Stat gt Quality Tools gt Capability Sixpack (Normal)

Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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Histograma y Capacidad de Proceso

normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL

Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

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Histograma y Capacidad de Proceso

En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

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En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de normalidad A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del liacutemite de especificacioacuten inferior Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificacioacuten miacutenima de medir 598 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor de los iacutendices Cp (116) y Cpk (090) es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos

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que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

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Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

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Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

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En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

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que nuestro suministrador 1 necesitaraacute mejorar su proceso de produccioacuten para lograr que eacuteste sea capaz

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox) Volvamos ahora al ejemplo de la faacutebrica de baldosas para el suelo (baldosasmtw ) En un anaacutelisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformacioacuten Box-Cox a los datos con λ = 05 Veamos coacutemo generar un informeldquosixpackrdquo en tales condiciones

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Una vez maacutes comprobamos que tanto en el graacutefico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los liacutemites de control por lo que el proceso parece estable Ademaacutes no parece existir relacioacuten alguna entre el comportamiento de los puntos en un graacutefico y el en el otroPor su parte la nube de puntos que aparece en el graacutefico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo controlA partir del histograma y del graacutefico de probabilidad podemos pensar que los datos (tras la transformacioacuten Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente

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normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

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Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

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En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

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normal por lo que los iacutendices que obtengamos seraacuten vaacutelidos a la hora de interpretar la capacidad del procesoFinalmente constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones en el graacutefico de capacidad ya vemos coacutemo la tolerancia del proceso excede el liacutemite de especificacioacuten superior idea que resulta coherente con el hecho de que los iacutendices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 133

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Usaremos esta opcioacuten cuando queramos generar un informe raacutepido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz Este informe es anaacutelogo al del modelo normal con los cambios correspondientesbull Un graacutefico de probabilidad Weibullbull Iacutendices de capacidad a largo plazo (Pp Ppk)

De forma anaacuteloga al modelo normal los graacuteficos X-barra y R junto con el de rachas nos permitiraacuten determinar si el proceso estaacute o no bajo control estadiacutestico El histograma y el graacutefico de probabilidad Weibull nos permitiraacuten verificar el supuesto de que los datos se distribuyen seguacuten una Weibull Finalmente el graacutefico de capacidad nos proporciona informacioacuten visual de la variabilidad del proceso en comparacioacuten con la variabilidad permitida Al combinar toda esta informacioacuten con los iacutendices de capacidad deberiacuteamos ser capaces de determinar si el proceso estaacute bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones teacutecnicas (es un proceso capaz)

Ejemplo (sixpack Weibull) Continuando con el ejemplo de las baldosas veamos coacutemo podriacuteamos aplicar aquiacute la opcioacuten ldquosixpackrdquo sin recurrir a una transformacioacuten Box-Cox

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En ambos graacuteficos de control (X-barra y R) se observa que los puntos siguen un patroacuten aleatorio y que en ninguacuten caso eacutestos exceden los liacutemites de control por lo que podemos considerar que el proceso productivo estaacute bajo control estadiacutestico Conviene recordar aquiacute la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos estaacuten relacionados En este caso no se aprecia ninguacuten tipo de dependenciaLos puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal en la que no se observan tendencias ni desplazamientos Ello tambieacuten contribuye a considerar que el proceso estaacute bajo control y se muestra establePara poder interpretar correctamente los iacutendices de capacidad obtenidos debemos comprobar que se verifica la hipoacutetesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull A raiacutez de lo que muestran tanto el histograma como el graacutefico de probabilidad no parece haber mayor problema en este sentidoSin embargo llegados al graacutefico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el liacutemite de especificacioacuten superior Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificacioacuten maacutexima de 8 mmDe forma coherente con el graacutefico de capacidad el valor del iacutendice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (133) por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz

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