Hipótesis de Bohr.Cuantización del momento angular

mvn ⇥ rn = nh

2⇡

Cuantización del momento angular

+e

�e

FC

FC

mvn ⇥ rn = nh

2⇡

vn

rn

vn =ep

4⇡✏0mern

Condición, adicional, que relaciona el radio con la velocidad permitida para el

mismo.

Cuantización de la energía

+e

�e

FC

FC

vn

rnrn =

h2✏0⇡me2

n2

n = 1, 2, 3, ....

En = � e2

8⇡✏0rn

En = � me4

8✏0h2

1

n2

Estado fundamental

+e

�er1 =h2✏0⇡me2

E1 = � me4

8✏0h2

v1

r1

¡Todos los átomos de hidrógeno son iguales!

Átomo de Bohr.

Las órbitas están cuantizadas. El momento orbital debe ser un múltiplo de la constante de Planck.

Modelo de emisión del átomo de BohrEi � Ej = h⌫

Ei = � me4

8✏0h2

1

n2i

Ef = � me4

8✏0h2

1

n2f

⌫if =mee4

8✏0h2

1

n2f

� 1

n2i

!

Modelo de emisión del átomo de Bohr

⌫ = c/�

⌫if =mee4

8✏20h3

1

n2f

� 1

n2i

!

1

�if=

mee4

8✏20ch3

1

n2f

� 1

n2i

!

mee4

8✏20ch3= 1, 097 · 107 m�1 = R

Átomo de Bohr.

Las líneas del espectro del hidrógeno se obtienen cuando un electrón salta de una órbita exterior a otra más interior, ambas cuantizadas.

Lyman

Balmer

Paschen

1

�if=

mee4

8✏20ch3

1

n2f

� 1

n2i

!

Experimento de Franck-Hertz

Relación de De Broglie

(x, y, z, t) = A exp [i (!t� k · r)]

k

µ =

8>><

>>:

k

x

k

y

k

z

!c

�1

9>>=

>>;, x

µ =

8>><

>>:

x

y

z

ct

9>>=

>>;

Cuadrivector vector de ondas. Fase invariante

Relación Einstein y Planck. Fotones

8>><

>>:

c~kx

c~ky

c~kz

~!

9>>=

>>;=

8>><

>>:

c(h⌫/c)ux

c(h⌫/c)uy

c(h⌫/c)uz

h⌫

9>>=

>>;,

E = h⌫

Relación entre cuadrivectores

p = h⌫

cu

Einstein y Planck

Dualidad onda corpúsculo en fotones.En ciertas circunstancias un fotón se comporta como una partícula y en otras circunstancias el mismo fotón se

comporta como una onda.

De Broglie. Electrones8>><

>>:

c~kx

c~ky

c~kz

~!

9>>=

>>;=

8>><

>>:

c�v

mvx

c�v

mvy

c�v

mvz

�v

mc2

9>>=

>>;.

~k = p = �vmv

~! = E = �vmc2 .

De BroglieDualidad onda corpúsculo en electrones.En ciertas circunstancias un electrón se comporta como una partícula y en otras circunstancias el mismo electrón se comporta como una onda.

� =h

mv

Postulado del átomo de Bohr.Que un electrón se mueva en una órbita cuyo momento angular está cuantizado es equivalente a que el número de longitudes de onda de de Broglie de dicho electrón es un

número entero.

Dualidad onda corpúsculo en electrones.

Justificación de la ley de cuantización de Bohr.

mevn ⇥ rn = nh

2⇡

2⇡mevn ⇥ rn = nh

2⇡rnn

=h

mevn

�n =2⇡rnn

Ecuación de ondas de Schrödinger

Wien. ConferenciaDebye. Ecuación de ondasSchrödinger. Ecuación

Función de ondas y ecuación de ondas materiales de Schrödinger

(x, y, z, t) = A exp

� i

~ (Et� ~p · ~r)�

E =p2

2m

Física clásica

Ecuación de ondas de SchrödingerEspectro del hidrógeno.

Esta ecuación permite obtener el espectro del hidrógeno.

H (x, t) = i~@ (x, t)@t

i~@ (x, t)@t

= � ~22m

r2 (x, t) + V (r, t) (r, t)

@

2 (x)

@x

2+

8⇡2m

h

2[E � V (r)] (x) = 0

Ecuación de ondas estacionarias de Schrödinger

Ondas estacionariasModos normales de una cuerda.

Una cuerda, de determinada densidad y sometida a una tensión, sólo puede tener una serie de modos normales, de energía cuantizada.

Ecuación de Schrödinger

Partícula en una caja.

Un electrón colocado en una caja tiene un espectro discreto de energías.

Interpretación probabilística de Born de la función de onda.

El cuadrado de la función de onda solución de la ecuación de Schrödinger da la probabilidad de encontrar la partícula en un punto y en un instante.

Ecuación de SchrödingerEfecto túnel.

Un electrón tiene cierta probabilidad de superar una barrera de potencial mayor que la energía que posee.Hay una probabilidad de que la partícula rebote cuando se encuentre con una barrera más baja que su energía.

Distribución Fermi-Dirac. Pauli

W =Y gi!

ni!(gi � ni)!

Distribución de Fermi-Dirac.Electrones en un átomo.

Principio de exclusión de Pauli

W =Y gi!

ni!(gi � ni)!

ni = gi⇣e↵eui/kBT + 1

⌘�1

Tabla periódica de los elementos de Mendeleiev

Soluciones de la ecuación de Schrödinger para un potencial electrostático.

Principio de exclusión de Pauli.(Teorema spin-estadística)

Soluciones de la ecuación de Schrödinger para un potencial electrostático.

Principio de exclusión de Pauli.

Interpretación probabilística de Born de la función de onda.

El cuadrado de la función de onda solución de la ecuación de Schrödinger da la probabilidad de encontrar la partícula en un punto y en un instante.

Tabla periódica de los elementos.

El principio de exclusión de Pauli aplicado a las soluciones de la ecuación de Schrödinger permite explicar la tabla periódica de Mendeleiev.

Thomas Young. Interferencia de la luz

La luz como onda

Interferencia de electrones

Los electrones como ondas

Interferencia de electrones

Los electrones como ondas

Las partículas másicas se comportan, también, como ondas.

Las ondas electromagnéticas se comportan, también, como partículas.

El comportamiento depende del experimento.Teorema de incertidumbre de Heisenberg

�x�p

x

� ~

�E�t � ~Incertidumbre tiempo-energía

Radiación Hawking de agujeros negros.Los agujeros negros deben cumplir las leyes de la

termodinámica (Bekenstein).Los agujeros negros deben tener energía (Einstein),

entropía y temperatura.

TAN ⇡ 6 · 10�8⇣mS

m

⌘K

Los agujeros negros deben radiar (Teorema de Hawking).

Los agujeros negros tienen pelo.

Mecanismo de Hawking de radiación de agujeros negros.

�E�t � ~

Creación virtual de pares partícula-antipartícula.Cerca del horizonte de sucesos, la antipartícula cae con más probabilidad dentro del agujero negro.

Radiación de Hawking�E�t � ~

Creación virtual de pares partícula-antipartícula.Cerca del horizonte de sucesos, la antipartícula cae con más probabilidad dentro del agujero negro.

Radiación de Hawking�E�t � ~

Radiación Hawking de agujeros negros.El extraño mundo de la mecánica cuántica (Heisenberg), la relatividad (Einstein) y la

termodinámica (Bekenstein).

FINProf. J Güémez

Departamento de Física AplicadaUniversidad de CantabriaSantander, enero 2019

Ideas que dan forma a la físicaNada se divide indefinidamente. La naturaleza es cuántica.