CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO agropecuario No. 2

Hidrostática

Cd. Delicias, Chih. 2015.

Situación problema.

Hidrostática.

Principio de Pascal.

Principio

de Arquímedes.

Objetivo.

Analiza las características fundamentales de los fluidos en reposo

a través de las teorías, principios, teoremas o modelos

matemáticos aplicándolos en situaciones cotidianas. Utiliza los

conceptos de la Hidráulica para explicar el principio de Pascal y

Arquímedes en situaciones cotidianas.

Situación problema para el estudio de la hidrostática.

Un poco de historia.

Según se cree, Arquímedes fue llamado por él el rey Herón de

Siracusa, donde Arquímedes vivió en el siglo III A.C., para

dilucidar el siguiente problema. Se cuenta que el rey Herón de

Siracusa le había entregado a un platero una cierta cantidad de oro

para con ella le hiciera una corona. Cuando estuvo terminada, se

decía que el platero había sustituido una parte del oro por una

cantidad equivalente de plata, devaluando con ello la corona y

engañando, pues, al rey.

El rey encargó a Arquímedes que descubriera si había sido

engañado. El problema que Arquímedes debía resolver era

determinar si el joyero había sustraído parte del oro o no, pero no

podía romper la corona para averiguarlo. Arquímedes pensó

arduamente cómo resolver el problema, sin poder encontrar una

solución.

Se dice que mientras se disponía a

bañarse en una tina, en la que por

error había puesto demasiada agua,

al sumergirse en ella, parte del

agua se derramó. Arquímedes se

dio cuenta de que este hecho podía ayudarle a resolver el enigma

planteado por Herón y fue tal su regocijo que, desnudo, salió

corriendo de la tina gritando "¡Eureka, eureka!" (que significa

"¡Lo encontré, lo encontré!").

¿Cómo crees que Arquímedes llego a esta conclusión? ¿Podrías

diseñar un pequeño modelo o experimento que pueda evidenciar

la solución de Arquímedes?

Con este descubrimiento puedes explicar la siguiente situación

siguiente:

Imagina que te vas de vacaciones a la playa en compañía de tus

compañeros de salón. El hotel donde se van a hospedar posee una

piscina con trampolín. Después de cambiarse, todos corren para

aventarse a la piscina desde el trampolín y, entre juegos,

comienzas a brincar para realizar un clavado, pero, ¡oh sorpresa!

Pierdes el equilibrio y caes de “panzazo”.

Aunque te mueres de la vergüenza y no quieres salir del agua,

sientes como poco a poco vas ascendiendo. Con pena, caminas

lentamente pues el agua no te permite avanzar más rápido.

Mientras tus amigos se ríen te preguntas: ¿por qué no me quedé

en el fondo de la piscina? ¿Por qué sentí un golpe fuerte en el

abdomen? ¿Por qué no puedo moverme con facilidad para salir y

esconderme?

Escribe en tu cuaderno tus hipótesis y predicciones para cada uno

de los cuestionamientos que encontraras en el texto,

posteriormente compáralo con los integrantes del equipo al cual

te integraras, finalmente presente al grupo las conclusiones

obtenidas en el equipo.

Hidrostática.

En este apartado estudiaremos a fondo la hidrostática y sus

aplicaciones; iniciaremos su estudio por el principio de pascal y

posteriormente analizaremos el principio de Arquímedes, así

como sus aplicaciones en nuestra vida diaria.

La aplicación de las leyes de la hidrostática ha permitido construir

sistemas como el gato y la prensa hidráulicos. También ha

permitido a los expertos sacar a flote un barco hundido en el fondo

del mar mediante la inyección de aire o incluso diseñar

dispositivos que se emplean en la industria para mejorar la

producción.

Principio de Pascal.

Hemos visto en el apartado anterior que un líquido produce una

presión hidrostática debido a su peso. Sin embargo, si el líquido

se encierra en un recipiente hermético puede aplicársele otra

presión mediante un émbolo. ¿Has pensado de dónde se obtiene

la fuerza de las grúas que mueven objetos tan pesados como las

estructuras prefabricadas cuando se construye un puente? ¿Y la

fuerza que emplean las máquinas que comprimen desperdicios

industriales? ¿Por qué es tan fácil levantar un automóvil para

cambiarle una llanta con lo que llamamos comúnmente gato

hidráulico? Pues la respuesta a estas preguntas las encontramos en

la hidráulica, es decir, aprovechar la presión dentro de sistemas

cerrados, ya que, por la incompresibilidad propia de los líquidos,

se transmitirá íntegramente en todos los puntos del mismo.

Actividad 1.

Analiza el siguiente video y describe el mismo explicando lo

sucedido en el experimento, entrega esta explicación a tu maestro

en la siguiente clase.

https://www.youtube.com/watch?v=iD37eSO4Krc

En 1648, Blaise Pascal descubrió, realizando experimentos con

fluidos, lo siguiente:

«El incremento de presión aplicado a la superficie de un

fluido incompresible, contenido en un recipiente

indeformable, se transmite con el mismo valor a cada

una de las partes del mismo»

Este enunciado se conoce como principio de Pascal.

El montaje que se muestra en la figura siguiente también es una

demostración del principio de Pascal, ya que la variación de

presión ejercida por el émbolo se propaga de manera constante a

cualquier lugar en el interior del líquido, lo que queda en

evidencia porque se observa que el fluido ejerce la misma presión

en cada uno de los manómetros instalados en cada uno de los

agujeros, mostrando que el cambio de presión se trasmite a todos

ellos en igual magnitud.

El principio de Pascal es utilizado en muchos objetos tecnológicos

que trabajan con líquidos. Por esta razón, estas máquinas se

llaman hidráulicas, ya que usan los fluidos para aplicar y aumentar

las fuerzas.

El recipiente cilíndrico de

la figura contiene un

fluido. Cuando lo mueves

con el émbolo o pistón.

¿Qué manómetro medirá

mayor presión?

Principio de Pascal.

La presión ejercida en un punto de un fluido se trasmite por él en

todas direcciones con la misma intensidad.

Piensa, por ejemplo, en los componentes de un vehículo: ¿qué

características tienen en común la dirección hidráulica, los frenos

hidráulicos y el gato hidráulica?

Análisis matemático del principio de pascal.

Consideremos el esquema que

se muestra en la figura. La

presión inicial (P1), aplica una

fuerza inicial F1 a un pistón de

área muy pequeña A1. Según el

principio de Pascal, esta

presión se transmite

íntegramente al pistón de salida

cuya área es A2. Como:

P1 = F1 /A1 P2 = F2 /A2

P1 = P2, y como 𝑃1 =𝐹1

𝐴1 y 𝑃2 =

𝐹2

𝐴2, podemos concluir que

𝐹1

𝐴1 =

𝐹2

𝐴2, de donde:

𝐹2 =𝐴2

𝐴1∗ 𝐹1, esta expresión también puede expresarse en

términos de los diámetros o radios al cuadrado de los pistones

dado que 𝐴 = 𝜋𝑟2 = 𝜋𝐷2

4, por lo que 𝐹2 =

𝜋𝑟22

𝜋𝑟12 ∗ 𝐹1, de donde

eliminamos 𝜋, quedándonos 𝐹2 =𝑟2

2

𝑟12 ∗ 𝐹1, el mismo análisis seria

para los diámetros, de donde obtenemos 𝐹2 =𝐷2

2

𝐷12 ∗ 𝐹1

Lo cual nos indica que la fuerza inicial F1 se multiplica tantas

veces como el área de salida, A2 es mayor que el área de entrada

A1. Así, si aplicamos una fuerza inicial de 10 Newton en un área

de 1 cm2, y si el pistón de salida tiene un área de 100 cm2, la fuerza

de salida será de 1000 Newtons, es decir, la fuerza inicial se

multiplicó por 100.

Una aplicación muy común de este principio lo encontramos en el

sistema de frenado hidráulico de los autos, en donde una pequeña

fuerza aplicada al pedal de los frenos, se transmite a través de

tubos muy delgados llenos de un líquido hasta llegar a los

cilindros de frenado, convertida en una fuerza lo suficientemente

grande para detener la marcha del vehículo.

Ejemplo 1.

Un elevador de taller mecánico tiene pistones de entrada y salida

(el de levantamiento) de 5 centímetros y de 60 centímetros de

radio respectivamente. Con este dispositivo se mantiene levantado

un auto de 2000 Kg. ¿Cuál es la fuerza aplicada al pistón de

entrada?

Datos.

F2 = W = mg =19600N

r1 = 5 cm

r2 = 60 cm

Utilizamos la formula

𝐹1 =𝑟1

2

𝑟22 ∗ 𝐹2 Al deposito

Sustituyendo datos tenemos:

𝐹1 = (5 𝑐𝑚)2

(60 𝑐𝑚)2 (19,600 𝑁) = 136.1 N

¡Con el peso de un niño de 14 kg se puede levantar este carro de

2000 kg!

Ejemplo 2:

Para el sistema que se

muestra en la figura de la

derecha, el cilindro L de la

izquierda tiene una masa de

600 kg y un área de sección

transversal de 800 cm2. El

pistón S de la derecha tiene

un área en su sección

transversal de 25 cm2 y peso

despreciable. Si el dispositivo se llena con aceite (ρ = 0.78 g/cm3),

calcule la fuerza F que se requiere para mantener al sistema en

equilibrio.

Las presiones en los puntos H1 y H2 son iguales porque, en un solo

fluido conectado, se encuentran en el mismo nivel. Por

consiguiente,

(Presión en H1) = (Presión en H2) + La presión debida

a los8.0 m de aceite.

𝑃1 =𝐹1

𝐴1 = 𝑃2 =

𝐹2

𝐴2 + ρgh

Sustituyendo datos:

(600 𝑘𝑔)(9.81𝐾𝑔

𝑠2 )

0.0800𝑚2 = 𝐹

25 𝑥 10−4𝑚2 + (780𝐾𝑔

𝑚3)(9.81 𝐾𝑔

𝑠2 )(8.0 𝑚)

Primero despejamos ρgh y la pasamos restando del lado 1, ya que

ambas son valores de presión, luego despejamos F quedándonos

de la siguiente forma:

F = (73,575 Pa – 61,214.4 Pa) * 25 x 10-4 m2

De donde F = 31 N.

Resultado F = 31 N.

Ejemplos en video.

Ejemplo 3: https://www.youtube.com/watch?v=D2Q8FEPsT6g

Ejemplo 4: https://www.youtube.com/watch?v=7ZE0of8_TV0

En el siguiente video se resume lo analizado sobre el principio de

pascal, si tienes dudas revísalo.

https://www.youtube.com/watch?v=3-XW-ARrjGs

Principio de Arquímedes.

Actividad 2.

PARTE I. Trabajo individual

¿Cómo flotan los barcos?

Con seguridad has observado

embarcaciones pequeñas y otras

gigantescas que navegan en el

mar. Sin duda, el caso más

desconcertante es el de las naves

de gran tamaño y peso, como en

el caso de los trasatlánticos, que

son verdaderos edificios flotantes. ¿Qué pasaría si tomamos todo

el metal y los otros materiales que componen un barco, luego

hiciéramos una esfera homogénea con ellos e intentáramos

ponerla en flotación? ¿Se hundiría?

a) Lo anterior, se puede modelar con un trozo de plastilina.

¿Podría flotar una esfera de plastilina en el agua?

b) ¿Qué magnitud física es necesario cambiar para que la esfera

de plastilina flote?

PARTE II. Trabajo en equipo

Junto a un compañero o una compañera, contrasten las respuestas

dadas a las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra

de ellas. A continuación, elaboren una hipótesis en conjunto que

dé respuesta a la segunda pregunta.

a) Registren la hipótesis en sus cuadernos e identifiquen cuáles

son las variables observables que pueden medir y/o controlar.

b) Una vez planteada su hipótesis, diseñen un procedimiento

experimental que les permita ponerla a prueba, para evaluar si es

una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su

montaje experimental y describan brevemente, pero con

precisión, el procedimiento que sugieren.

Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea

factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el

uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos

razonables para la observación y el análisis de sus resultados.

c) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas donde

expongan las variables utilizadas, factores que influyen en el

experimento y las conclusiones de lo que ocurre.

En equipo analiza el siguiente video y compara lo encontrado por

Arquímedes y tus conclusiones:

https://www.youtube.com/watch?v=JxrwpyywpOs

Análisis del principio de Arquímedes.

Vamos a modificar un poco la secuencia en este tema, primero

vamos a analizar el siguiente video

https://www.youtube.com/watch?v=SNlkow9kpwg, realiza un

resumen en tu cuaderno de la información que encontraras en el

mismo y a partir de lo documentado cómpralo con la información

que se te brinda aquí.

Ahora vamos a analizar de manera escrita el principio de

Arquímedes, en las líneas siguientes explicamos este importante

principio de la hidrostática.

Arquímedes de Siracusa vivió entre los años 287 y 212 A.C.

Entre sus descubrimientos más notables está el

principio de flotabilidad de los cuerpos, conocido hoy

como principio de Arquímedes.

Arquímedes descubrió que un cuerpo, al ser sumergido

parcial o totalmente en el interior de un fluido,

experimenta una fuerza hacia arriba, llamada fuerza

de empuje o, simplemente, empuje, cuyo módulo es

igual al peso del fluido que desplaza.

En la figura podemos observar el aumento que el nivel de agua en

el tubo es el mismo que se tendría si, en vez de poner la piedra en

el tubo, se vertiera en él un volumen de agua igual al volumen de

la piedra.

A esta fuerza vertical que

apunta hacia arriba la

llamaremos empuje. Este

empuje es la resultante de

las fuerzas ejercidas sobre

el cuerpo sólido. Tales fuerzas son el resultado de la diferencia de

presión con respecto a la altura en un líquido.

En conclusión podemos establecer que un cuerpo total o

parcialmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba con

una fuerza igual al peso del fluido desplazado. Se puede

considerar que la fuerza boyante (fuerza de empuje) actúa

verticalmente hacia arriba a través del centro de gravedad del

fluido desplazado

En términos matemáticos, el empuje se define, entonces, del

siguiente modo: Empuje = Peso de fluido desplazado, esto es:

E = Wfd

Donde E es la fuerza de empuje y Wfd corresponde al peso del

fluido desplazado.

Es importante no confundir el peso del fluido desplazado con el

peso del objeto sumergido. El primero depende de la masa del

fluido desplazado (mfd):

Wfd = (mfd)(g)

Como sabemos, el peso del objeto, en cambio, es: W = m *g

La ecuación de Empuje también puede expresarse en la siguiente

forma

E = ρf gVfd

Donde ρf = densidad del fluido donde se sumerge el objeto

Vfd = Volumen de fluido desalojado, que es igual al volumen

del objeto que se sumerge.

g = gravedad 9.81 m/s2

En muchas ocasiones se tiene parcialmente sumergido un objeto

dentro del fluido, por lo que aparenta tener menor peso, sin

embargo eso no es totalmente cierto dado que el peso real fuera

del agua se calcula por W=mg. Si queremos saber el peso real del

objeto total o parcialmente sumergido en un líquido entonces se

debe considerar el empuje recibido en el objeto por el agua, por lo

que:

Wo= Waparente + E,

donde Wo = Peso real del objeto fuera del líquido;

Waparente = peso del objeto parcial o totalmente sumergido en

el líquido;

E = Empuje o fuerza boyante.

En términos de empuje la ecuación también puede quedar así:

E =Waire - Waparente

Ejemplo 5.

La masa de un bloque de aluminio es de 25.0

gr. a) ¿Cuál es su volumen? b) ¿Cuál será la

tensión en una cuerda que sostiene al bloque

cuando éste está totalmente sumergido en el

agua? La densidad del aluminio es de 2 700

kg/m3

Solución.

Datos.

mal =25.0 gr

ρo = 2 700 kg/m3

ρf = 1000 kg/m3

Para calcular el Volumen del bloque de aluminio utilizamos la

ecuación de ρo = 𝑚

𝑉, de donde despejamos el volumen V. También

debemos considerar que la masa esta en gramos por lo que

debemos convertirla a kilogramos m = 25 gr [1 𝑘𝑔

1000 𝑔𝑟] = 0.025 kg.

V = 𝑚

𝜌 :

0.0250 𝑘𝑔

2700 𝑘𝑔 /𝑚3 = 9.26 x 10-6 m3 = 9.26 cm3

b) El bloque desplaza 9.26 x 10-6 m3 de agua cuando está

sumergido, así que la fuerza de empuje o boyante sobre él es:

E = peso del agua desplazada = (volumen) (ρ del agua) (g)

= (9.26 x 10-6 m3) (1000 kg/m3) (9.81 m/s2) = 0.0908 N

La tensión en la cuerda de sostén más la fuerza de empuje E debe

ser igual al peso del bloque para que esté en equilibrio, como se

muestra en la figura

Esto es, Wo= Waparente + E o dicho en otras palabras

FT + E = mg, de donde

FT = mg – E = (0.025 kg) (9.81 m/s2) – (0.0908 N)

Resultado: FT = 0.154 N

Ejemplo 6.

Un iceberg, como el de la figura de la

izquierda, tiene una densidad de 920 kg/m3 y

flota en la superficie del agua de mar, cuya

densidad es de 1 030 kg/m3

a) ¿Qué fracción del iceberg se encuentra

sobre la superficie del mar?

Solución.

Un objeto flotante experimenta un empuje igual a su peso ya que

está en equilibrio en la superficie; por lo tanto, tenemos: W = E

m g = ρ g Vfd, como ρiceberg = 𝑚iceberg

𝑉iceberg, despejamos m,

Entonces: miceberg = ρiceberg Viceberg, y como la gravedad es común

en ambos lados de la igualdad la eliminamos, quedándonos la

siguiente ecuación:

ρiceberg Viceberg = ρ g Vfd

Despejando el volumen de fluido desalojado, dado que sería el

volumen total sumergido del iceberg tenemos: ρiceberg

ρ𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑟 𝑉iceberg = Vfd

Sustituyendo datos: 920

𝑘𝑔

𝑚3

1030𝑘𝑔

𝑚3

𝑉iceberg = Vfd, tenemos que

0.89 Viceberg = Vfd

El equilibrio de fuerzas consiste en que el peso del iceberg es igual

al peso del agua desplazada, lo que se logra cuando una gran parte

del iceberg está sumergida. Esta porción tiene un volumen igual

al volumen del agua desplazada.

Por lo tanto, solo el 11% del volumen del iceberg es visible sobre

la superficie

Ejemplo 7.

Con una báscula, una pieza de aleación tiene una masa de 86 gr

en el aire y 73 gr cuando está sumergida en agua. Calcule su

volumen y densidad.

Solución:

El cambio aparente en la masa medida se debe a la fuerza boyante

del agua.

La figura de la izquierda muestra la situación cuando el objeto se

encuentra en el agua. De la figura, E + FT = mg, así que:

E = (0.086) (9.81) N - (0.073) (9.81) N = (0.013) (9.81) N

Pero el E debe ser igual al peso del agua desalojada.

E = Wagua = (masaagua) (g), de la ecuación ρ=𝑚

𝑣 despejamos m =ρV

y sustituimos, tenemos:

E = (ρagua) (volumenagua) (g)

o (0.013)(9.81) N = Vagua (1 000 kg/m3)(9.81 m/s2)

de donde Vagua = 1.3 x 10-5 m3. Éste también es el volumen de la

pieza de aleación.

Por tanto,

ρde la aleación = 𝑚𝑎𝑠𝑎

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛=

0.086 𝑘𝑔

1.3 𝑥 10−5𝑚3 = 6.6 x103 kg / m3

Respuesta: Vde aleación = 1.3 x 10-5 m3

ρde la aleación = 6.6 x103 kg / m3

Revisa los siguientes ejemplos en video: Ejemplo 8.

https://www.youtube.com/watch?v=47e3lZt6SXo

Ejemplo 9. https://www.youtube.com/watch?v=dsZu3akIWdc

Ejercicio 10. https://www.youtube.com/watch?v=scO9JARtW4s

Visita la página www.comoseresuelvelafisica.com donde

encontraras ejercicios resueltos del tema.

A continuación se te presenta un resumen del tema.

https://www.youtube.com/watch?v=95Jrk9W5wr0