hidro 1 mat 1 hidro dasar ebd

HIDRODINAMIKA IMATERI – 1

HIDRODINAMIKA DASAR(ELEMENTARY HYDRODYNAMICS)

Eko B Djatmiko

Jurusan Teknik Kelautan

Fakultas Teknologi kelautan

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya - 2014

JURUSAN TEKNIK KELAUTAN - ITS



MINGGU – 1


1. PENDAHULUAN• HIDRODINAMIKA secara keilmuan adalah merupakan cabang ilmu FISIKA yang dikonsentrasikan untuk

mempelajari dasar statika dan dinamika fluida, dalam disiplin ilmu MEKANIKA FLUIDA, dan selanjutnya dikembangkan untuk mengkaji lebih mendalam mengenai perilaku dinamis fluida air, khususnya air laut yang terrefleksi dalam bentuk arus dan gelombang, serta pengaruhnya terhadap struktur laut, baik yang dioperasikan dalam mode terpancang ataupun terapung.

• Catatan: Ilmu FISIKA yang telah dikonsentrasikan dalam MEKANIKA FLUIDA juga telah dikembangkan untuk disiplin ilmu lain: DINAMIKA FLUIDA (T Mesin), HIDROLIKA (T Sipil), dan AERODINAMIKA (T Penerbangan)

• HIDRODINAMIKA di bidang teknologi kelautan dapat secara khusus dikelompokkan lagi menjadi: HIDRODINAMIKA KAPAL (SHIP HYDRODYNAMICS), HIDRODINAMIKA LEPAS PANTAI (OFFSHORE HYDRODYNAMICS), dan HIDRODINAMIKA PANTAI (COASTAL HYDRODYNAMICS)

Gambar 1.1. Rumpun keilmuan fluida

FISIKA

MEKANIKA FLUIDA

DINAMIKA FLUIDA (T Mesin)HIDROLIKA (T Sipil)

AERODINAMIKA (T Penerbangan)

HIDRODINAMIKA (Tekn Kelautan)

Hidrodinamika Kapal

Hidrodinamika Lepas Pantai

Hidrodinamika Pantai


1. PENDAHULUAN ... lanjut

• PRINSIP HIDRODINAMIKA adalah menghitung besarnya beban fluida air laut akibat aksi dari arus dan/atau gelombang yang bekerja pada struktur, yang diawali dengan pemodelan medan aliran di sekitar struktur, dilanjutkan dengan perhitungan kecepatan aliran yang mengenai struktur serta tekanan yang ditimbulkannya, dan akhirnya mengintegrasikannya dalam bentuk gaya dan momen aksi fluida.

TEORI

1. Sifat Fisik Fluida

2. Fluida Statis:

- Archimedes

3. Fluida Dinamis:

- Bernoulli

- Euler

- Navier-Stokes

PRINSIP HIDRODINAMIKA:

1. Identifikasi bentuk/pola Aliran (di sekitar struktur)

2. Komputasi Kecepatan Aliran

3. Komputasi Tekanan integralkan menjadi Gaya

dan/atau Momen (beban pada struktur)

RESPONS/REAKSI STRUKTUR:

1. Mekanika Benda Padat (Solid Mechanics)

2. Hidro-elastisitas (Hydroelasticity)

Gambar 1.2. Skema prinsip hidrodinamika


2. PROPERTI FLUIDA

2.1 MASSA: • Massa (m) dengan satuan ton

• Massa Jenis (r=m/V) dengan satuan ton/m3

• Berat Spesifik atau Kepadatan Massa (g=rg) dengan satuan kN

• Spesifik Gravitasi (SG=g /gair)

2.2 GAS IDEAL: • Hukum Gas Ideal (pV=mRT)

• Faktor Kompressibilitas (z=pV/mRT)

2.3 VISKOSITAS: • Hubungan antara tegangan geser dan rate perubahan regangan geser (t = m (dy/dt)), di mana m adalah besaran yang disebut sebagai

viskositas absolut, viskositas dinamis, atau singkatnya viskositas dengan satuan N-s/m2;

• Viskositas kinematis adalah perbandingan antara viskositas dinamis dengan massa jenis, n = m/r dengan satuan m2/s

2.4 TENSI PERMUKAAN (SURFACE TENSION): • Gaya yang dikenakan pada permukaan fluida cair per satuan panjang disebut sebagai tensi permukaan, dengan notasi s dan satuan

N/m. Dengan kata lain tensi permukaan adalah gaya (per satuan panjang) yang dibutuhkan untuk merubah bentuk permukaan fluida cair.

2.5 TEKANAN PENGUAPAN (VAPOR PRESSURE): • Tekanan yang timbul pada proses perubahan dari fluida cair menjadi gas, pV dengan satuan kPa mis. diperlukan dalam analisis

kavitasi propeller


3. STATIKA FLUIDA

3.1 VARIASI TEKANAN: • Tekanan pada Sebuah Titik

• Medan Tekanan

• Variasi Tekanan dalam Fluida Statis

3.2 PENGUKURAN TEKANAN: • Tekanan Absolut dan Tekanan Alat Ukur,

• Barometer,

• Manometer,

• Piezometer

3.3 GAYA HIDROSTATIS: • Gaya Hidrostatis pada Bidang Datar,

• Prisma Tekanan,

• Gaya Hidrostatis pada Bidang Lengkung

3.4 GAYA APUNG: • Gaya Apung dan Hukum Archimedes,

• Dasar Stabilitas Benda Apung


4. KINEMATIKA FLUIDA

4.1 DISKRIPSI ALIRAN:

• Metode Euler

• Metode Lagrange

4.2 ALIRAN STEADY DAN UNSTEADY:

• Aliran Steady Property fluida independent terhadap waktu (kecepatan pada sembarang titik dalam medan aliran tidak berubah terhadap waktu)

• Aliran Unsteady Property fluida dependent terhadap waktu (mis. aliran turbulen)

4.3 STREAMLINE, STREAKLINE, DAN PATHLINE:

• Streamlines adalah sekumpulan garis-garis atau kurva-kurva yang pada suatu saat tertentu pada sembarang titik dalam medan aliran akan mempunyai arah tangensial terhadap vektor kecepatan. Garis-garis atau kurva-kurva tersebut akan menunjukkan ke mana arah elemen fluida akan bergerak pada sembarang titik dalam waktu tertentu. Streamline dapat dijelaskan juga sebagai garis atau kurva yang menghubungkan titik-titik dengan harga stream function y yang sama.

• Streakline adalah garis atau kurva yang menghubungkan posisi partikel-partikel yang telah melewati suatu titik yang sama

• Pathline adalah garis atau kurva yang merupakan lintasan yang dilewati oleh suatu partikel fluida yang bergerak.(metode Lagrange)


4. KINEMATIKA FLUIDA ... lanjut

4.4 KECEPATAN DAN PERCEPATAN:


𝑽 = 𝑽 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝒊 + 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝒋 + 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝒌

𝑽 =𝑑𝒓

𝑑𝑡=𝑑𝑥

𝑑𝑡𝒊 +

𝑑𝑦

𝑑𝑡𝒋 +

𝑑𝑧

𝑑𝑡𝒌

𝒂 =𝑑𝑽 𝑡 + 𝛿 − 𝑑𝑽(𝑡)

𝛿𝑡=𝛿𝑽

𝛿𝑡=𝑑𝑽

𝑑𝑡

𝑑𝑽 =𝜕𝑽

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑽

𝜕𝑦𝑑𝑦 +

𝜕𝑽

𝜕𝑧𝑑𝑧 +

𝜕𝑽

𝜕𝑡𝑑𝑡

𝑑𝑽

𝑑𝑡=𝜕𝑽

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+𝜕𝑽

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡+𝜕𝑽

𝜕𝑧

𝑑𝑧

𝑑𝑡+𝜕𝑽

𝜕𝑡

𝒂 =𝜕𝑽

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑽

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑽

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑽

𝜕𝑧

𝒂 = 𝑎𝑥𝒊 + 𝑎𝑦𝒋 + 𝑎𝑧𝒌

𝑎𝑥 =𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝑎𝑦 =𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝑎𝑧 =𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝐷( )

𝐷𝑡=𝜕( )

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕( )

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕( )

𝜕𝑦+𝑤

𝜕( )

𝜕𝑧

• Medan Kecepatan (Gambar 4.1 dan 4.2):

• Medan Percepatan (Gambar 4.3):

• Derivatif Material atau Substansial:

𝐷( )

𝐷𝑡=𝜕( )

𝜕𝑡+ 𝑽 ∙ ∇( ) 𝒂 =

𝐷𝑽

𝐷𝑡=𝜕𝑽

𝜕𝑡+ 𝑽 ∙ ∇𝑽

Gambar 4.1. Komponen kecepatan

Gambar 4.2. Medan kecepatan

Gambar 4.3. Medan Percepatan



4.5 ALIRAN IRROTASIONAL: 4.5.1 Vortisitas Elemen Fluida Berrotasi (lihat Gambar 4.4):

• Dalam interval waktu kecil Δt

• Titik B dan C bergerak tegak lurus dalam aliran linier pada arah x dan y• Dalam waktu yang kecil Δt B dan C bergerak menjadi B’ dan C’ • Kemudian garis AB (juga AC) akan berrotasi dengan sudut kecil Δa (juga Δb),

sehingga:

Gambar 4.4. Rotasi elemen fluida(a) Pada waktu t ; (b) pada waktu (t + Δt)

• Garis AB akan mempunyai kecepatan sudut wAB= Δa / Δt , yang selanjutnya memberikan:

• Demikian pula kecepatan sudut AC akan diperoleh sebagai:(tanda negatif menunjukkan rotasi searah jarum jam)

• Kombinasi putaran AB dan AC adalah putaran dengan sumbu z, yang dituliskan sebagai:

• Analogi, rotasi dengan sumbu x dan y adalah:



4.5.1 Vortisitas ..... lanjut

• Vektor rotasi:

• Di mana operasi vektor (∇ × 𝑽) adalah disebut sebagai ‘CURL’ dari vektor kecepatan V. • Kemudian vektor vortisitas z didefinisikan sebagai dua kali vektor rotasi, yi:

• Bila vortisitas dituliskan dalam bentuk sumbu polar akan mempunyai bentuk:

• Aliran dikatakan irrotasional bila pada elemen fluida tidak terjadi rotasi sehingga secara matematis aliran dikatakan irrotasional bila vortisitas dari curl kecepatan adalah sama dengan nol, yaitu:

𝜻 =1

𝑟

𝜕𝑣𝑧𝜕𝜃

−𝜕𝑣𝜃𝜕𝑧

𝒆𝒓 +𝜕𝑣𝑟𝜕𝑧

−𝜕𝑣𝑧𝜕𝑟

𝒆𝜽 +1

𝑟

𝜕𝑣𝜃𝜕𝑟

−1

𝑟

𝜕𝑣𝑟𝜕𝜃

𝒆𝒛

𝝎 = 𝜔𝑥𝒊 + 𝜔𝑦𝒋 + 𝜔𝑧𝒌 = 12∇ × 𝑽 = 1

2(curl 𝑽)

𝜻 = 2𝝎 = ∇ × 𝑽

=1

2

𝒊 𝒋 𝒌𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑢 𝑣 𝑤

=1

2

𝜕𝑤

𝜕𝑦−𝜕𝑣

𝜕𝑧𝒊 +

𝜕𝑢

𝜕𝑧−𝜕𝑤

𝜕𝑥𝒊 +

𝜕𝑣

𝜕𝑥−𝜕𝑢

𝜕𝑦𝒌

𝜻 = ∇ × 𝑽 = 0



4.5 ALIRAN IRROTASIONAL:

4.5.2 Potensial Kecepatan (Velocity Potential)

• Dari teori vektor kalkulus dapat diketahui bahwa ‘curl’ dari setiap ‘gradien’ akan sama dengan nol, jadi:

∇ × ∇𝜙 = 0

• Parameter f disebut sebagai potensial kecepatan bukan merupakan besaran fisik fluida, tetapi merupakan identitas matematis (besaran skalar) yang dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena fluida (medan kecepatan) dan berkaitan erat dengan streamline aliran

𝑽 = ∇𝜙

• Persamaan tersebut di atas dapat diterapkan untuk aliran irrotasional jika memenuhi persyaratan:

𝑢 =𝜕𝜙

𝜕𝑥; 𝑣 =

𝜕𝜙

𝜕𝑦; 𝑤 =

𝜕𝜙

𝜕𝑧

• Dalam sumbu polar dituliskan sebagai:

𝑣𝑟 =𝜕𝜙

𝜕𝑟; 𝑣𝜃 =

1

𝑟

𝜕𝜙

𝜕𝜃; 𝑣𝑧 =

𝜕𝜙

𝜕𝑧

Bukti Potensial Kecepatan:

• Potensial kecepatan adalah persamaan matematis, yang bila diturunkan terhadap suatu sumbu tertentu akan menghasilkan persamaan kecepatan pada arah sumbu tersebut:

• Kurva dalam medan aliran (lihat Gambar 4.5) yang menghubungkan titik-titik dengan harga f konstan disebut sebagai equipotential lines, kurva-kurva tersebut akan selalu tegak lurus dengan streamlines, yakni kurva-kurva yang menghubungkan titik-titik yang mempunyai harga stream function y konstan.:

Gambar 4.5. Equipotential lines dan streamlines



• ALIRAN IRROTASIONAL:

4.5.3 Aliran Potensial

• Konsep potensial kecepatan secara khusus akan berguna bila dikombinasikan dengan kekekalan massa untuk fluida incompressible.

• Di mana untuk aliran steady dan incompressible, kekekalan massa dalam bentuk vektor akan menjadi persamaan kontinyuitas, berikut:

∇ ∙ 𝑽 = 0

• Bila aliran incompressible juga irrotasional, maka persamaan kontinyuitas dapat dituliskan:

∇ ∙ ∇𝜙 = 0 ∇2𝜙 = 0

• Persamaan ini secara umum dikenal sebagai persamaan Laplace, dan persamaan yang memenuhi persamaan tersebut diistilahkan sebagai aliran potensial.

• Dalam koordinat Cartesius, persamaan kontinyuitas dapat diekspresikan dalam bentuk potensial kecepatan sebagai berikut:

𝜕2𝜙

𝜕𝑥2+𝜕2𝜙

𝜕𝑦2+𝜕2𝜙

𝜕𝑧2= 0

• Sejumlah aliran elementer yang diklasifikasikan sebagai aliran potensial (mis. aliran seragam, source, sink, vortex dan doublet) akan dibahas kemudian.

5. HUKUM DASAR FLUIDA

5.1 KEKEKALAN MASSA:

5.1.1 DALAM KOORDINAT CARTESIUS:


• Prinsip kekekalan massa menyatakan bahwa massa untuk suatu sistem akan tidak berubah (kekal)• Pertimbangkan suatu elemen kecil seperti dalam Gambar 5.1; Bila ditetapkan densitas dan kecepatan-

kecepatan dalam arah x-, y- dan z- pada titik tengah elemen adalah r, u, v dan w.• Jumlah massa fluida yang mengalir per satuan waktu (mass flow rate) pada setiap permukaan elemen

kemudian akan dapat diperoleh dengan menggunakan deret Taylor orde-1.• Dengan mengabaikan besaran orde tinggi (pangkat 2 dst), maka rate aliran massa pada permukaan x-

dapat dihitung sebagai:

𝛿 𝑚𝑥− = (𝜌𝑢)𝑥− 𝛿𝐴𝑥− = 𝜌𝑢 −𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑥

∆𝑥

2𝛿𝐴𝑥− = 𝜌𝑢 −

𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑥

∆𝑥

2∆𝑦∆𝑧

Gambar 5.1. Konservasi massapada suatu elemen kecil dalam

koordinat Cartesius

• Secara analogi rate aliran massa pada kelima permukaan yang lain dapat dituliskan dalam bentuk persamaan:

𝛿 𝑚𝑥+ = 𝜌𝑢 +𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑥

∆𝑥

2∆𝑦∆𝑧

𝛿 𝑚𝑦− = 𝜌𝑣 −𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑦

∆𝑦

2∆𝑥∆𝑧

𝛿 𝑚𝑦+ = 𝜌𝑣 +𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑦

∆𝑦

2∆𝑥∆𝑧

𝛿 𝑚𝑧− = 𝜌𝑤 −𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑧

∆𝑧

2∆𝑥∆𝑦

𝛿 𝑚𝑧+ = 𝜌𝑤 +𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑧

∆𝑧

2∆𝑥∆𝑦

5. HUKUM DASAR FLUIDA ..... lanjut

5.1.1 DALAM KOORDINAT CARTESIUS: ..... lanjut


• Persamaan kekekalan massa untuk elemen kecil (untuk aliran unsteady dan compressible) kemudian dapat dituliskan :

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑧= 0

• Persamaan tersebut dapat dituliskan dalam beberapa bentuk:

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝜌

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝜌

𝜕𝑦+𝑤

𝜕𝜌

𝜕𝑧+ 𝜌

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝜌

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝜌

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 0

D𝜌

D𝑡+ 𝜌

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝜌

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝜌

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 0

D𝜌

D𝑡+ 𝜌∇ ∙ 𝑽 = 0

• Suku ∇ ∙ 𝑽 disebut sebagai divergensi vektor kecepatan.

• Rate aliran massa netto yang melewati permukaan kontrol dari elemen kecil kemudian akan diberikan sebagai selisih antara dua permukaan yang paralel, atau

rate aliran massa nettomelewati permukaan kontrol

= 𝛿 𝑚𝑥+ − 𝛿 𝑚𝑥− + 𝛿 𝑚𝑦+ − 𝛿 𝑚𝑦− + 𝛿 𝑚𝑧+ − 𝛿 𝑚𝑧−

=𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑧∆𝑥∆𝑦∆𝑧


• Untuk aliran steady, yang bukan merupakan fungsi waktu, maka persamaan menjadi lebih sederhana:

𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑧= 0

• Bila aliran bersifat incompressible (yi. mempunyai massa jenis konstan, maka turunan substansial dari massa jenis akan sama dengan nol (Dr/dt = 0),

• Sehingga persamaan kekekalan massa akan menjadi persamaan kontinyuitas:

𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦+𝜕𝑤

𝜕𝑧= 0

5.1.1 DALAM KOORDINAT CARTESIUS: ..... lanjut


5.1 KEKEKALAN MASSA:

5.1.2 DALAM KOORDINAT POLAR:


• Memperhatikan elemen dalam koordinat polar seperti dalam Gambar 5.2, pendekatan yang sama dapat digunakan untuk menurunkan persamaan konservasi massa seperti dalam koordinat Cartesius.

• Untuk ringkasnya prosedur penurunan tidak akan dijelaskan secara rinci.• Secara langsung persamaan konservasi massa (aliran unsteady dan compressible) dalam koordinat

polar dituliskan sebagai:

Gambar 5.2. Konservasi massapada suatu elemen kecil dalam

koordinat polar

𝜕𝜌

𝜕𝑡+1

𝑟

𝜕(𝑟𝜌𝑣𝑟)

𝜕𝑟+1

𝑟

𝜕(𝜌𝑣𝜃)

𝜕𝜃+𝜕(𝜌𝑣𝑧)

𝜕𝑧= 0

• Untuk aliran steady, yang bukan merupakan fungsi waktu, maka persamaan menjadi lebih sederhana:

1

𝑟

𝜕(𝑟𝜌𝑣𝑟)

𝜕𝑟+1

𝑟

𝜕(𝜌𝑣𝜃)

𝜕𝜃+𝜕(𝜌𝑣𝑧)

𝜕𝑧= 0

• Untuk aliran incompressible maka persamaan kekekalan massa akan menjadi persamaan kontinyuitas:

1

𝑟

𝜕(𝑟𝑣𝑟)

𝜕𝑟+1

𝑟

𝜕𝑣𝜃𝜕𝜃

+𝜕𝜌𝑣𝑧𝜕𝑧

= 0


5.2 FUNGSI ALIRAN (STREAM FUNCTION):


• Untuk aliran steady dan incompressible dua dimensi, persamaan kontinyuitas dalam koordinat Cartesius adalah:


𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

• Persamaan diferensial di atas mempunyai dua besaran yang belum diketahui, yaitu u dan v.• Seperti halnya korelasinya dengan potensial kecepatan f, kemudian kedua besaran kecepatan

tersebut didefinisikan sebagai turunan dari fungsi matematis tertentu, yang disebut sebagai fungsi aliran atau stream function, dengan notasi y, sebagai berikut:

𝑢 =𝜕𝜓

𝜕𝑦; 𝑣 = −

𝜕𝜓

𝜕𝑥

• Sehingga persamaan kontinyuitas kemudian menjadi:

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝜓

𝜕𝑦+

𝜕

𝜕𝑦−𝜕𝜓

𝜕𝑥=

𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦−

𝜕2𝜓

𝜕𝑦𝜕𝑥= 0

• Hubungan kecepatan dengan fungsi aliran tersusun khas seperti di atas, sehingga nantinya streamlines akan selalu tegak lurus dengan equipotential lines

5.2 FUNGSI ALIRAN (STREAM FUNCTION): ..... lanjut


• Selanjutnya perhatikan Gambar 5.3, di mana telah diketahui bahwa streamlines adalah kurva yang menghubungkan titik-titik dengan posisi tangensial dalam medan kecepatan, yan g dituliskan:


𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑣

𝑢

• Kemudian seperti ditunjukkan dalam Gambar 5.4, harga fungsi yang berhubungan dengan streamline tertentu, yaitu y 1 dan y 2, sebenarnya belum dapat memberikan informasi yang berarti.

• Namun perbedaan antara harga kedua fungsi aliran tersebut akan menunjukkan nilai rate volumetrik aliran, dan juga arah alirannya; yang disebut sebagai tabung aliran atau stream tube, yakni:

• Di mana q adalah rate volume aliran per satuan lebar (arah sumbu z) yang terjadi di antara streamlines y 1 dan y 2.

• Perlu dicatat bahwa bila nilai (y 1 – y 2) adalah positip maka aliran bergerak dari kiri ke kanan, sedangkan bila (y 1 – y 2) adalah negatip maka aliran bergerak sebaliknya, dari kanan ke kiri.

Gambar 5.3. Streamline

Gambar 5.4. Rate vlume aliran di antara dua streamline yang

bersebelahan

𝑞 = 𝜓1 − 𝜓2

5.2 FUNGSI ALIRAN (STREAM FUNCTION): ..... lanjut


• Untuk aliran steady dan incompressible dua dimensi, persamaan kontinyuitas dalam koordinat polar adalah:


• Oleh karena itu hubungan antara kecepatan dan fungsi aliran dalam koordinat polar, yang memenuhi persamaan kontinyuitas, akan berbentuk:

𝑣𝑟 =1

𝑟

𝜕𝜓

𝜕𝜃; 𝑣𝜃 = −

𝜕𝜓

𝜕𝑟

𝜕(𝑟𝑣𝑟)

𝜕𝑟+𝜕𝑣𝜃𝜕𝜃

= 0

5.3 PERSAMAAN NAVIER-STOKES:


• Dengan melihat Gambar 5.5, hukum Newton ke-2 menyangkut gaya pada elemen fluida akan berlaku dan dituliskan sebagai:

Gambar 5.5. Hukum Newton ke-2pada elemen fluida

𝛿𝑭 = 𝛿𝑚 𝒂

• Di mana δF adalah resultan gaya yang bekerja pada elemen fluida, dengan massa δm, serta aadalah percepatan elemen fluida yang mempunyai persamaan (lihat sub-bab 4.4):

• yang dalam koordinat Cartesius ekspansi komponennya adalah:


𝒂 =𝐷𝑽

𝐷𝑡=𝜕𝑽

𝜕𝑡+ (𝑽 ∙ ∇)𝑽

𝑎𝑥 =𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝑎𝑦 =𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝑎𝑧 =𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧

5.3 PERSAMAAN NAVIER-STOKES: ..... lanjut


• Di sini gaya yang bekerja pada elemen fluida akan terdiri dari dua jenis, yakni gaya benda (body force) δFB dan gaya permukaan (surface force) δFS :

Gambar 5.6. Notasi teganganpada permukaan elemen fluida

𝛿𝑭 = 𝛿𝑭𝐵 + 𝛿𝑭𝑆

• Gaya benda yang dipertimbangkan di sini adalah gaya berat elemen fluida, yaitu:


𝛿𝑭𝐵 = 𝛿𝑚 𝒈 = 𝛿𝑚 𝑔𝑥𝒊 + 𝑔𝑦𝒋 + 𝑔𝑧𝒌

• Secara umum gravitasi hanya akan bekerja pada satu arah, namun karena sistem koordinat adalah merupakan satu kesatuan maka ketiga komponen telah dimasukkan sebagai bentuk umumnya.

• Gaya benda yang lain, seperti akibat medan magnet dan medan listrik dapat dimasukkan ke dalam persamaan tersebut, namun untuk lingkup hidrodinamika dasar kedua hal tersebut tidak akan dibahas.

• Gaya permukaan yang bekerja adalah berupa tegangan yang terjadi pada permukaan elemen (lihat Gambar 5.6); yang terdiri dari tegangan normal (σij) dan tegangan geser (τij).

• Gaya normal bekerja tegak lurus terhadap permukaan, sedangkan gaya geser bekerja pada arah tangensial terhadap permukaan.

• Subskrip i menyatakan arah sumbu yang tegak lurus terhadap permukaan, sedangkan j adalah menyatakan arah tegangan, seperti dalam Gambar 5.6.



Gambar 5.7. Gaya permukaanpada arah x


𝛿𝑭𝑆𝑥 =𝜕𝜎𝑥𝑥𝜕𝑥

+𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑥𝜕𝑧

𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧

• Semua gaya permukaan yang bekerja dalam arah x pada elemen fluida adalah seperti ditunjukkan dalam Gambar 5.7.

• Penjumlahan semua gaya permukaan pada arah x akan menghasilkan:

• Perhatikan bahwa untuk mendapatkan gaya permukaan adalah tegangan dikalilakn dengan luas permukaan.

• Secara analogi, gaya permukaan pada arah y dan z akan dapat dituliskan sebagai:

𝛿𝑭𝑆𝑦 =𝜕𝜎𝑦𝑦

𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧

𝛿𝑭𝑆𝑧 =𝜕𝜎𝑧𝑧𝜕𝑧

+𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑥

+𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧

• Sehingga resultan gaya permukaan adalah:

𝛿𝑭𝑆 = 𝛿𝑭𝑆𝑥𝒊 + 𝛿𝑭𝑆𝑦𝒋 + 𝛿𝑭𝑆𝑧𝒌




𝜌𝑔𝑥 +𝜕𝜎𝑥𝑥𝜕𝑥

+𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑥𝜕𝑧

= 𝜌𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧

• Untuk fluida Newtonian, seperti air, minyak dan udara, medan tegangan geser adalah simetris, dan ini akan berkorelasi dengan rate regangan geser secara linier.

• Sehingga akan dapat dihasilkan:

• Massa elemen fluida dapat diekspresikan dalam bentuk volume serta densitasnya (δm = ρ δxδyδz), sehingga persamaan momentum linier dalam koordinat Cartesius akan menyadi:

𝜌𝑔𝑦 +𝜕𝜎𝑦𝑦

𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧

𝜌𝑔𝑧 +𝜕𝜎𝑧𝑧𝜕𝑧

+𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑥

+𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦= 𝜌

𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧

• di mana μ adalah viskositas dari fluida.• Perhatikan bahwa besaran tekanana p hanya bekerja tegak lurus ke setiap permukaan elemen fluida, dan diasumsikan

sama pada ketiga bidang, yakni tekanan hidrostatik.




𝜌𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧= 𝜌𝑔𝑥 −

𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 𝜇

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+𝜕2𝑢

𝜕𝑧2

• Persamaan di atas secara umum dikenal sebagai persamaan Navier-Stokes, yang biasanya dituliskan dalam bentuk persamaan vektor tunggal berikut:

• Untuk aliran incompressible, berdasar persamaan kontinyuitas maka 𝛻∙V akan sama dengan nol.• Jadi persamaan momentum linier akan menjadi:

𝜌𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧= 𝜌𝑔𝑦 −

𝜕𝑝

𝜕𝑦+ 𝜇

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2+𝜕2𝑣

𝜕𝑦2+𝜕2𝑣

𝜕𝑧2

𝜌𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 𝜌𝑔𝑧 −

𝜕𝑝

𝜕𝑧+ 𝜇

𝜕2𝑤

𝜕𝑥2+𝜕2𝑤

𝜕𝑦2+𝜕2𝑤

𝜕𝑧2

𝜌𝐷𝑽

𝐷𝑡= 𝜌𝒈 − ∇𝑝 + 𝜇∇2𝑽

• Meskipun persamaan vektor di atas terlihat sederhana, namun persamaan ini adalah merupakan inti dari mekanika fluida yang dapat memecahkan permasalahan aliran unsteady, non-linier, order-2, dengan persamaan diferensial parsial.

• Persamaan tersebut sulit untuk diselesaikan, hanya permasalahan 2-dimensi sederhana yang dapat dipecahkan.• Penyelesaian persamaan Navier-Stokes biasanya diselesaikan dengan menerapkan Computational Fluid Dynamics

(CFD).

5.4 PERSAMAAN EULER:



𝜌𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧= 𝜌𝑔𝑥 −

𝜕𝑝

𝜕𝑥

• Persamaan di atas secara umum dikenal sebagai persamaan Euler.• Dengan hilangnya komponen viskositas, persamaan ini sudah sangat jauh lebih sederhana dibanding dengan

persamaan Navier-Stokes. • Namun demikian tetap juga belum dapat diselesaikan secara analitik karena kompleksitas faktor-faktor non-

liniernya (yi, u ∂u/∂x, v ∂u/∂y, w ∂u/∂z, dll.); jadi harus diterapkan metode numerik untuk pemecahannya: finite elemen, finite difference, dll.

• Persamaan Euler dapat dituliskan dalam bentuk vektor berikut:

• Dalam permasalahan aliran inviscid, di mana m = 0, maka bentuk persamaan Navier-Stokes akan menjadi lebih sederhana seperti di bawah ini:

𝜌𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧= 𝜌𝑔𝑦 −

𝜕𝑝

𝜕𝑦

𝜌𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 𝜌𝑔𝑧 −

𝜕𝑝

𝜕𝑧

𝜌𝐷𝑽

𝐷𝑡= 𝜌𝒈− ∇𝑝

• Persamaan Euler akan dapat disederhanakan lagi menjadi persamaan Bernoulli, yang akan sesuai diterapkan dalam permasalahan aliran steady dan incompressible sepanjang streamline, seperti akan dijelaskan kemudian.

5.5 HUKUM KEKEKALAN ENERGI:5.5.1 Hukum Termodinamika I


Gambar 5.8. Unit vektor normalpada permukaan volume kontrol


• Hukum Termodinamika I menyatakan bahwa energi tidak akan dapat diciptakan ataupun dihilangkan; namun energi dapat berubah bentuk.

• Konsep ini akan dapat dimodelkan dengan satu set persamaan integral, satu volume kontrol, dan satu permukaan kontrol.

• Bentuk energi baru dapat ditambahkan atau dikurangkan dari sistem, yang ditinjau melalui panas ataupun kerja.

• Bentuk akhir dari integral persamaan energi untuk suatu volume kontrol, seperti ditunjukkan dalam Gambar 5.8, dapat diberikan sebagai:

𝜕

𝜕𝑡 𝐶𝑉

𝑒𝜌 𝑑𝑉 + 𝐶𝑆

𝑒𝜌𝑽 ∙ 𝒏 𝑑𝐴 = 𝑄𝐶𝑉 − 𝑊𝐶𝑉

• di mana • e adalah energi total spesifik (energi per satuan massa),• V adalah kecepatan fluida, • 𝑄𝐶𝑉 adalah rate perpindahan panas yang ditambahkan ke volume kontrol, • 𝑊𝐶𝑉 adalah rate perpindahan kerja (disebut juga sebagai daya) yang ditimbulkan oleh

volume kontrol, • n adalah unit vektor normal terhadap permukaan volume kontrol.

5.5 HUKUM KEKEKALAN ENERGI:5.5.1 Hukum Termodinamika I ..... lanjut



• Pada dasarnya persamaan energi menyatakan bahwa:

rate waktu perubahanenergi total dalamvolume kontrol

+

rate netto energi totalyang melewati

permukaan kontrol=

rate netto transfer panasyang ditambahkan ke dalam

volume kontrol

−rate netto kerja yangditimbulkan olehvolume kontrol

• Untuk aliran steady, suku pertama di sebelah kiri persamaan energi akan hilang.• Tanda dalam besaran V·n akan tergantung pada kecepatan dan juga orientasi dari permukaan kontrol.• Unit vektor normal didefinisikan mempunyai harga positip jika mengarah ke luar dari permukaan kontrol.• Dengan demikian V·n akan positip jika aliran mengalir ke luar volume kontrol.• Hal ini adalah sama dengan persamaan integral momentum.• Untuk aliran steady dan luasan yang konstan (dengan mengasumsikan bahwa V dan n adalah saling tegak lurus,

seperti halnya dengan pipa inlet dan outlet), maka persamaan energi akan menjadi:

• Pernyataan di atas mempunyai arti yang sama dengan Hukum Termodinamika I.

𝑒𝜌 𝐴 𝑉 = 𝑄𝐶𝑉 − 𝑊𝐶𝑉

5.5 HUKUM KEKEKALAN ENERGI:5.5.2 Energi Total:


Gambar 5.9. Energi kinetik danenergi potensial


• Variabel energi total per satuan massa, e, perlu dijelaskan secara khusus.• Energi total (E) yang tersimpan pada suatu sistem terbentuk dari tiga komponen dasar, yi.

Energi kinetik (KE), energi potensial (PE), dan energi internal ( 𝑈), sehingga dapat diekspresikan sebagai:

E=KE+PE+ U

• Persamaan di atas dapat juga diekspresikan dalam bentuk per satuan massa melalui pembangian langsung dengan massanya:

e=ke+pe+ u

• Energi kinetik spesifik adalah energi yang dikaitkan dengan gerakan sistem, dan adalah sama dengan energi partikel yang dihasilkan dalam dinamika. Energi tersebut dituliskan:

ke=𝑉2/2

• di mana V adalah kecepatan dari sistem; dalam hal ini massa tidak disertakan, karena persamaan tersebut adalah untuk kuantitas per satuan massa.

• Energi potensial spesifik adalah energi yang timbul sehubungan dengan elevasi atau ketinggian sistem diukur dari sembarang bidang referensi. Sehingga mempunyai persamaan:

pe=𝑔𝑧

• di mana g adalah percepatan gravitasi, dan z adalah elevasi sistem

5.5 HUKUM KEKEKALAN ENERGI:5.5.2 Energi Total: ..... lanjut



• Energi internal spesifik adalah merupakan penjumlahan dari bentuk-bentuk energi mikroskopis (yi. energi molekuler atau atom) yang dimiliki oleh sistem.

• Sehingga persamaan energi akan menjadi (ingat bahwa: dm/dt = ρVA):

• Perpindahan panas adalah perpindahan energi akibat perbedaan temperatur.• Panas akan selalu dipindahkan dari daerah yang bertemperatur tinggi ke daerah bertemperatur

rendah.• Perpindahan panas dinyatakan positip jika ada panas yang ditambahkan ke volume kontrol, dan

sebaliknya negatip jika panas ke luar dari volume kontrol.• Bila suatu volume kontrol dikatakan mengalami proses adiabatik, maka berarti perpindahan

panas tidaklah terjadi (yi. 𝑄𝐶𝑉=0) pada volume kontrol.• Perpindahan panas dapat terjadi dengan tiga cara: konduksi, konveksi, dan radiasi• Panas tidak secara langsung diterapkan dalam hidrodinamika dasar. Namun pada kasus fluida

tertentu akan diperhitungkan, mis efek viskositas dalam aliran juga akan menimbulkan panas.

𝑉2

2+ 𝑔𝑧 + 𝑢 𝑚 = 𝑄𝐶𝑉 − 𝑊𝐶𝑉

5.5.3 Panas:

5.5 HUKUM KEKEKALAN ENERGI:5.5.4 Kerja



• Kerja adalah perpindahan energi yang terjadi sehubungan dengan gaya yang bekerja melampaui suatu jarak.• Kerja yang dilakukan oleh suatu volume kontrol ditetapkan sebagai bernilai positip.• Contoh kerja antara lain adalah yang ditimbulkan oleh aliran dan poros (propeller).

• Bila aliran fluida melewati suatu volume kontrol, kerja dari aliran akan timbul karena gaya-gaya tekanan yang dikenakan pada inlet dan outlet.

• Kerja dari aliran dapat dituliskan dalam persamaan:

𝑊𝑓𝑙𝑜𝑤 = 𝐶𝑆

𝑝𝑽 ∙ 𝒏 𝑑𝐴

• di mana p adalah tekanan, A adalah luas penampang, dan V adalah kecepatan fluida.• Bila kecepatan adalah tegak lurus terhadap permukaan dA, dan A adalah konstan, maka persamaan di atas

akan mempunyai bentuk yang lebih sederhana:

𝑊𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑒 = 𝑝𝐴𝑉

• Kerja akibat dari tekanan bisa positip ataupun negatip, tergantung bagaimana aksi tekanan terhadap aliran, yi. jika bersama (searah) dengan aliran maka didefinisikan sebagai negatip (n·V = -V) dan bila berlawanan dengan aliran maka didefinisikan positip.

5.5 HUKUM KEKEKALAN ENERGI:5.5.4 Kerja ..... lanjut



• Kerja poros seringkali dijumpai dalam sistem rekayasa, mis untuk transmisi daya pada turbin, transmisi daya pada poros propeller, dll, yang dapat dituliskan sebagai:

𝑊𝑆 = 𝑇𝜔

• di mana T adalah torsi dari poros, dan w kecepatan sudut dari poros.• Sebagai contoh, kerja poros yang dihasilkan dari turbin akan diubah menjadi listrik melalui generator pada

instalasi pembangkit.• Daya yang keluar dari turbin mempunyai notasi positip.• Dengan mengombinasikan faktor panas dan kerja, maka keadaan tetap atau steady state dari persamaan

energi menjadi:

𝑉2

2+ 𝑔𝑧 + 𝑢 𝑚 = 𝑄𝐶𝑉 − 𝑊𝑆 − 𝑝𝐴𝑉

5.5 HUKUM KEKEKALAN ENERGI:5.5.5 Persamaan Energi Tetap dengan Inlet dan Outlet


Gambar 5.10. Sistem energi tetapdengan inlet dan outlet


• Aplikasi umum dari persamaan energi keadaan adalah untuk kasus volume kontrol dengan inlet dan outlet, seperti ditunjukkan dalam Gambar 5.10.

• Dengan memakai subskrip ‘in’ dan ‘out’ untuk menjelaskan aliran pada sistem, dan membaginya dengan g(dm/dt) maka akan didapat:

𝑉𝑜𝑢𝑡2

2𝑔−𝑉𝑖𝑛2

2𝑔+ 𝑧𝑜𝑢𝑡 − 𝑧𝑖𝑛 +

𝑢𝑜𝑢𝑡𝑔

− 𝑢𝑖𝑛𝑔

= 𝑄𝐶𝑉 𝑚𝑔−

𝑊𝑆

𝑚𝑔−

𝑝𝑜𝑢𝑡𝛾𝑜𝑢𝑡

−𝑝𝑖𝑛𝛾𝑖𝑛

• Variabel u dan Q lazimnya dikelompokkan menjadi satu, dan diistilahkan sebagai ‘head loss’, hL

ℎ𝐿 = 𝑢𝑜𝑢𝑡𝑔

− 𝑢𝑖𝑛𝑔

− 𝑄𝐶𝑉 𝑚𝑔

• Persamaan di atas memperhitungkan semua efek viskositas, seperti halnya dengan aliran dalam pipa; termasuk juga memperhitungkan kehilangan energi pada ujung-ujung inlet dan outlet akibat viskositas.

• Kerja yang dihasilkan oleh pompa (energi masuk) dan turbin (energi keluar) dipisahkan.

5.5 HUKUM KEKEKALAN ENERGI:5.5.5 Persamaan Energi Tetap dengan Inlet dan Outlet ..... lanjut


Gambar 5.10. Sistem energi tetapdengan inlet dan outlet


• Sehingga bentuk akhir persamaan adalah:

𝑉𝑖𝑛2

2𝑔+ 𝑧𝑖𝑛 +

𝑝𝑖𝑛𝛾𝑖𝑛

+ 𝑊𝑝𝑢𝑚𝑝

𝑚𝑔=

𝑉𝑜𝑢𝑡2

2𝑔+ 𝑧𝑜𝑢𝑡 +


+ 𝑊𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒

𝑚𝑔+ ℎ𝐿

• Subskrip ‘pump’ menyatakan energi yang dimasukkan ke dalam sistem dan ‘turbine’ menyatakan energi yang dikeluarkan dari sistem (untuk melakukan kerja).

• Kedua besaran tersebut adalah merupakan energi absolut yang masuk atau keluar, dan tidak mempertimbangkan efisiensi pompa ataupun turbin.

• Dalam aplikasi praktis, kehilangan energi internal dalam pompa ataupun turbin harus diperhitungkan.

• Persamaan di atas mengasumsikan hanya ada satu inlet dan satu outlet untuk sebuah volume kontrol, dan dalam keadaan tetap.

• Persamaan ini adalah sama dengan persamaan Bernoulli, hanya saja mengikutkan juga faktor kerja dan efek viskositas.

5.5 PERSAMAAN BERNOULLI:



• Pada pembahasan tentang konservasi energi telah ditunjukkan bahwa untuk suatu volume kontrol persamaan energi dapat disimplifikasi menjadi:

𝑉𝑖𝑛2



+ 𝑊𝑝𝑢𝑚𝑝

𝑚𝑔=

𝑉𝑜𝑢𝑡2



+ 𝑊𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒

𝑚𝑔+ ℎ𝐿

• Dalam banyak kasus, head loss yang terjadi akibat efek viskositas dapat diabaikan.• Selanjutnya, bila sistem tidak dilengkapi dengan pompa ataupun turbin, maka persamaan di atas akan menjadi:

• Hubungan ini adalah merupakan bentuk dari persamaan Bernoulli.• Hubungan yang sama, namun dengan bentuk yang sedikit berbeda, dapat diturunkan dengan mengaplikasikan

konservasi momentum pada suatu elemen fluida sepanjang suatu streamline aliran, dan memberikan:

𝑉𝑖𝑛2



=𝑉𝑜𝑢𝑡2



𝑝 + 12𝜌𝑉2 + 𝜌𝑔𝑧 = konstan sepanjang streamline

• di mana p adalah tekanan statis, ρV2/2 adalah tekanan dinamis, dan ρgz adalah tekanan hidrostatik.


Gambar 5.11. Contoh persoalanaliran sederhana untuk diselesaikan

dengan persamaan Bernoulli


• Persamaan Bernoulli memberikan hubungan antara tekanan, kecepatan dan elevasisepanjang streamline.

• Persamaan ini dapat digunakan untuk memecahkan persoalan-persoalan sederhana (lihat Gambar 5.11), seperti aliran dalam tanki (free jets), aliran pada pintu air (sluice gate), dan aliran melewati nozzle.

• Dengan mengaplikasikan persamaan Bernoulli antara titik 1 dan 2 akan dihasilkan:

• Penting untuk dicatat di sini bahwa persamaan Bernoulli mempunyai sejumlah keterbatasan, dan hanya dapat diterapkan pada situasi tertentu saja.

• Persamaan Bernoulli juga diturunkan dengan mengambil sejumlah asumsi, berikut:

5.5 PERSAMAAN BERNOULLI: ..... lanjut

𝑝1 +1

2𝜌𝑉1

2 + 𝜌𝑔𝑧1 = 𝑝2 +1

2𝜌𝑉2

2 + 𝜌𝑔𝑧2

a) Aliran dari tanki

b) Aliran lewat pintu air

c) Aliran lewat nozzle

(1) Steady flow(2) Incompressible flow(3) Inviscid flow (zero viscosity)(4) Flow along a streamline

6. ALIRAN ELEMENTERJURUSAN TEKNIK KELAUTAN - ITS

• Komponen kecepatan dalam koordinat Cartesius:

𝑣𝑟 =𝜕𝜙

𝜕𝑟=1

𝑟

𝜕𝜓

𝜕𝜃dan 𝑣𝜃 =

1

𝑟

𝜕𝜙

𝜕𝜃= −

𝜕𝜓

𝜕𝑟

𝑢 =𝜕𝜙

𝜕𝑥=𝜕𝜓

𝜕𝑦dan 𝑣 =

𝜕𝜙

𝜕𝑦= −

𝜕𝜓

𝜕𝑥

• Komponen kecepatan dalam koordinat Polar:

• Aliran 2-dimensi yang incompressible, inviscid, and irrotational dapat dijelaskan dengan memakai potensial kecepatan f dan fungsi aliran y, yang memenuhi persamaan Laplace:

• Dalam mempelajari aliran elementer (2-dimensi) harap mengingat beberapa hal berikut.

𝜕2𝜙

𝜕𝑥2+𝜕2𝜙

𝜕𝑦2= 0 dan

𝜕2𝜓

𝜕𝑥2+𝜕2𝜓

𝜕𝑦2= 0

• Streamlines: garis-garis atau kurva-kurva yang menghubungkan titik-titik dalam medan aliran yang mempunyai harga y konstan

• Streamlines: adalah sekumpulan garis-garis atau kurva-kurva yang pada suatu saat tertentu pada sembarang titikdalam medan aliran akan mempunyai arah tangensial terhadap vektor kecepatan. Garis-garis atau kurva-kurva tersebut akan menunjukkan ke mana arah elemen fluida akan bergerak pada sembarang titik dalam waktu tertentu.

• Equipotential lines: garis-garis atau kurva-kurva yang menghubungkan titik-titik dalam medan aliran yang mempunyai harga f konstan.

• Streamlines dan Equipotential lines dalam medan aliran akan selalu saling tegak lurus.

6. ALIRAN ELEMENTER ..... lanjut


6.1 ALIRAN SERAGAM (UNIFORM FLOW):

• Aliran seragam adalah bentuk aliran potensial paling sederhana, bergerak dengan arah lurus, bisa paralel ataupun membentuk sudut dengan garis sumbu.

• Persamaan umum potensial kecepatan untuk aliran seragam, dalam koordinat Cartesius, yang membentuk sudut a terhadap sumbu-x (lihat Gambar 6.1) adalah:

𝜙 = 𝑈 𝑥 cos𝛼 + 𝑦 sin𝛼

• Sedangkan persamaan fungsi alirannya , dalam koordinat Cartesius, adalah:

𝜓 = 𝑈 𝑦 cos𝛼 − 𝑥 sin𝛼

• di mana U adalah resultan kecepatan awal aliran

Gambar 6. 1. Aliran seragam denganarah a terhadap sumbu-x dan Mempunyai kecepatan awal U

• Komponen kecepatan dalam koordinat Cartesius:

𝑢 =𝜕𝜙

𝜕𝑥= 𝑈 cos𝛼 dan 𝑣 =

𝜕𝜙

𝜕𝑦= 𝑈 sin𝛼

• Selanjutnya, telah diketahui bahwa dalam koordinat polar:

𝑥 = 𝑟 cos𝜃 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

• Maka potensial kecepatan dan fungsi aliran dalam koordinat polar adalah:

𝜙 = 𝑈 𝑟 cos𝜃 cos𝛼 + 𝑟 sin𝜃 sin𝛼 = 𝑈𝑟 cos(𝜃 − 𝛼)

𝜓 = 𝑈 𝑟 sin𝜃 cos𝛼 − 𝑟 cos𝜃 sin 𝛼 = 𝑈𝑟 sin(𝜃 − 𝛼)

• Komponen kecepatan dalam koordinat polar:

𝑣𝑟 =𝜕𝜙

𝜕𝑟= 𝑈 cos(𝜃 − 𝛼) dan 𝑣𝜃 =

1

𝑟

𝜕𝜙

𝜕𝜃= −𝑈 sin(𝜃 − 𝛼)



6.2 ALIRAN SUMBER DAN SUMUR (SOURCE AND SINK):

• Aliran sumber: adalah aliran fluida yang mengalir secara radial dari suatu titik (sumber), seperti ditunjukkan dalam Gambar 6.2.

• Sehingga streamlinesnya adalah merupakan garis-garis radial, dan equipotential linesnya merupakan lingkaran-lingkaran dengan satu titik pusat.

• Komponen kecepatan dalam koordinat polar dapat dituliskan sebagai:

𝑣𝑟 =𝑄

2𝜋𝑟dan 𝑣𝜃 = 0

• di mana Q adalah kekuatan source (m2/sec), atau rate volume aliran per satuan panjang, atau disebut juga sebagai discharge (debit per satuan panjang).

• Perhatikan dalam persamaan di atas, jika jari-jari r mendekati nol maka nilai kecepatan radial vr

akan menjadi tidak berhingga jadi titik pusatnya diistilahkan sebagai singularitas.

Gambar 6.2. Aliran sumber(source)

𝜙 =𝑄

2𝜋ln 𝑟 dan 𝜓 =

𝑄

2𝜋𝜃

• Jika Q mempunyai harga negatip, maka ini mengindikasikan bahwa aliran mengalir secara radial menuju ke satu titik disebut sebagai aliran sumur atau sink, seperti diperlihatkan dalam Gambar 6.3.

• Potensial kecepatan dan fungsi alirannya dalam koordinat polar adalah:

Gambar 6.3. Aliran sumur(sink)



6.3 ALIRAN PUSARAN (VORTEX):

• Aliran pusaran: adalah aliran fluida yang mengalir berpusar dalam bentuk lingkaran, seperti ditunjukkan dalam Gambar 6.4.

• Sehingga streamlinesnya adalah merupakan lingkaran-lingkaran dengan satu titik pusat, dan equipotential linesnya merupakan garis-garis radial.

• Dengan demikian bentuk persamaan komponen kecepatan dari vortex, dalam koordinat polar, akan merupakan kebalikan dari bentuk persamaan source, yakni:

𝑣𝑟 = 0 dan 𝑣𝜃 =𝐾

2𝜋𝑟

• di mana K adalah suatu konstanta yang menyatakan kekuatan vortex.

Gambar 6.4. Aliran pusaran(vortex)

𝜙 =𝐾

2𝜋𝜃 dan 𝜓 =

𝐾

2𝜋ln 𝑟

• Kekuatan vortex dapat dijelaskan dengan mengacu pada konsep sirkulasi (G ), yang didefinisikan sebagai integral garis vektor kecepatan di sekitar kurva tertutup dalam fluida:

• Potensial kecepatan dan fungsi alirannya dalam koordinat polar adalah:

𝛤 = 𝐶

𝑽 ∙ 𝑑𝑺



6.3 ALIRAN PUSARAN (VORTEX): ..... lanjut

• Untuk aliran irrotasional, di mana 𝑽 = 𝛻𝜙 maka persamaan sirkulasi menjadi:

• Namun jika kurva tertutup memuat titik singularitas, seperti halnya vortex, maka sirkulasi menjadi tidak sama dengan nol, sebagai berikut:

Gambar 6.4. Aliran pusaran(vortex)

𝛤 = 𝐶

𝑑𝜙 = 0

𝛤 = 0

2𝜋𝐾

𝑟𝑟 𝑑𝜙 = 2𝜋𝐾

• Sebagai kesimpulannya, kekuatan vortex adalah sebanding dengan sirkulasinya.



6.4 SUPERPOSISI ALIRAN:

• Aliran yang kompleks dapat disusun dengan melakukan superposisi atau kombinasi sejumlah aliran elementer.• Superposisi ini secara konsepnya cukup sederhana, yakni dengan melakukan penjumlahan aljabar potensial

kecepatan dan/atau fungsi aliran dari semua komponen aliran yang membentuknya.• Jadi suatu aliran yang kompleks, yang tersusun dari sejumlah n aliran elementer, akan mempunyai potensial

kecepatan dan fungsi aliran sebagai berikut:

𝜙 = 𝜙1 + 𝜙2 + 𝜙3……+𝜙𝑛

𝜓 = 𝜓1 + 𝜓2 + 𝜓3……+ 𝜓𝑛



6.5 ALIRAN DOUBLET:

• Aliran Doublet: adalah suatu bentuk aliran spesifik yang terbentuk dari kombinasi aliran source dan aliran sink yang saling mendekati, sehingga jaraknya sama dengan nol.

• Untuk menurunkan persamaan doublet, dapat diawali dengan melakukan superposisi potensial kecepatan source dan sink yang berjarak 2a berikut (lihat Gambar 6.5):

𝜙 = 𝜙𝑠𝑜 + 𝜙𝑠𝑖 =𝑄

2𝜋ln 𝑟2 −

𝑄

2𝜋ln 𝑟1 =

𝑄

2𝜋ln

𝑟2𝑟1

Gambar 6.5. Kombinasi aliransource dan sink

• Perhatikan di sini bahwa nilai dari ln(1 + x) ≈ x jika x <<< 1• Oleh karena itu persamaan di atas akan menjadi:

• Jika jarak source dan sink semakin mengecil, sehingga menjadi δa, maka selisih jari-jari r2 dan r1

pun akan semakin mengecil, menjadi δr.• Kemudian persamaan di atas menjadi:

𝜙 =𝑄

2𝜋ln

𝑟1 + 𝛿𝑟

𝑟1=

𝑄

2𝜋ln 1 +

𝛿𝑟

𝑟1

𝜙 =𝑄

2𝜋

𝛿𝑟

𝑟1=

𝑄

2𝜋

𝛿𝑎 cos𝜃2𝑟1



6.5 ALIRAN DOUBLET: ..... lanjut

• Pada saat δa ≈ 0 maka Q δa akan mencapai harga berhingga tertentu, M.• M = Qδa kemudian menjadi kekuatan dari doublet, yang terbentuk dari kombinasi

source dan sink yang saling mendekati tersebut.• Selanjutnya, saat δa ≈ 0 maka q2 = q dan r1 = r, sehingga persamaan potensial

kecepatan di atas menjadi:

• Dengan melakukan manipulasi matematis seperti halnya pada potensial kecepatan, maka persamaan fungsi aliran untuk doublet akan diperoleh:

𝜙 =𝑀

2𝜋

cos𝜃

𝑟

𝜓 = −𝑀

2𝜋

sin𝜃

𝑟

Gambar 6.6. Streamlinessebuah doublet

• Streamlines sebuah doublet adalah seperti ditunjukkan dalam Gambar 6.6.



6.6 SUPERPOSISI ALIRAN SERAGAM DAN SOURCE:

• Superposisi aliran seragam dengan kecepatan U (untuk memudahkan permasalahan aliran seragam ditetapkan sejajar dengan sumbu-x, sehingga a = 0) dan aliran source dengan kekuatan Q dapat diformulasikan dengan terlebih dulu memperoleh persamaan potensial kecepatan dan fungsi alirannya (dalam koordinat polar), sebagai berikut:

𝜙 = 𝜙𝑢𝑛 + 𝜙𝑠𝑜 = 𝑈𝑟 cos𝜃 +𝑄

2𝜋ln 𝑟

Gambar 6.7. Superposisi aliranseragam dan source

• Selanjutnya, komponen kecepatan radial dan tangensialnya, yang merupakan turunan dari potensial kecepatan ataupun fungsi aliran, dapat dituliskan:

𝜓 = 𝜓𝑢𝑛 + 𝜓𝑠𝑜 = 𝑈𝑟 sin 𝜃 +𝑄

2𝜋θ

𝑣𝑟 =1

𝑟

𝜕𝜓

𝜕𝜃= 𝑈 cos𝜃 +

𝑄

2𝜋𝑟

𝑣𝜃 = −𝜕𝜓

𝜕𝑟= − 𝑈 sin𝜃



6.6 SUPERPOSISI ALIRAN SERAGAM DAN SOURCE: ..... lanjut

• Menarik untuk diketahui di sini, bahwa streamlines yang merupakan hasil dari superposisi tersebut akan berbentuk kurva oval.

• Titik stagnasi yang terjadi akan dapat dipakai untuk mendefinisikan bentuk setengah benda.• Lokasi dari titik stagnasi dapat ditentukan dengan menetapkan kecepatan radial dan

tangensialnya, vr dan vq , sama dengan nol, dan menghasilkan:

Gambar 6.8. Aliran di sekitarsetengah benda

• Nilai dari streamline yang melewati titik stagnasi, yang selanjutnya akan mendefinisikan bentuk setengah benda oval, adalah:

𝜃𝑠𝑡𝑎𝑔 = 𝜋 𝑑𝑎𝑛 𝑟𝑠𝑡𝑎𝑔 = 𝑏 =𝑄

2𝜋𝑈

𝜓𝑠𝑡𝑎𝑔 =𝑄

2= 𝜋𝑏𝑈

• Jika streamline tersebut digantikan dengan batas benda pejal, maka kita akan dapat melihat dengan jelas aliran di sekitar bentuk setengah benda ini, yang merepresentasikan superposisi aliran seragam dan source.

• Besarnya resultan kecepatan V di sembarang titik dalam medan aliran kemudian akan dapat dihitung dengan:

𝑉2 = 𝑣𝑟2 + 𝑣𝜃

2 = 𝑈2 +𝑄𝑈

𝜋𝑟cos 𝜃 +

𝑄

2𝜋𝑟

2




• Setelah kecepatan diketahui, maka tekanan pada sembarang titik dalam medan aliran juga akan dapat diperoleh dengan menerapkan persamaan Bernoulli, sebagai berikut:

𝑈2

2𝑔+𝑝0𝛾=𝑉2

2𝑔+𝑝

𝛾atau

𝑈2

2+𝑝0𝜌=𝑉2

2+𝑝

𝜌

• Dalam studi hidrodinamika, utamanya dalam rangka untuk melakukan komparasi karakteristik aliran, tekanan lazimnya tidak dihitung nilai riilnya. Namun lebih sering diturunkan harga koefisiennya, pada sembarang titik dalam medan aliran, seperti di bawah ini:

𝐶𝑝 =𝑝 − 𝑝012𝜌𝑈2

= 1−𝑉2

𝑈2= 1−

𝑈2 +𝑄𝑈𝜋𝑟

cos𝜃 +𝑄2𝜋𝑟

2

𝑈2

• Besarnya resultan kecepatan V di sembarang titik pada permukaan setengah benda adalah:

𝑉2 = 𝑣𝑟2 + 𝑣𝜃

2 = 𝑈2 1 +𝑏2

𝑟2+ 2

𝑏

𝑟cos𝜃

atau


= 1 −𝑉2

𝑈2= −

𝑄

2𝜋𝑈

𝑄

2𝜋𝑈𝑟2+2cos𝜃

𝑟




• Bentuk atau kontur dari stengah benda oval tersebut dapat didefinisikan dengan memasukkan kembali nilai ystag yang telah diperoleh ke dalam fungsi aliran, dengan mengambil q = p.

• Dari sini akan diperoleh:

Gambar 6.8. Aliran di sekitarsetengah benda

𝜋𝑏𝑈 = 𝑈𝑟 sin 𝜃 + 𝑏𝑈𝜃 𝑟 =𝑏 (𝜋 − 𝜃)

sin 𝜃𝑟 =

𝑄

2𝜋𝑈

(𝜋 − 𝜃)

sin𝜃

• Dengan demikian koefisien tekanan pada permukaan setengah benda adalah:


= −𝑟 sin 𝜃

𝜋 − 𝜃

sin𝜃

𝑟 𝜋 − 𝜃+2 cos𝜃

𝑟

atau


= −sin𝜃

𝜋 − 𝜃

sin𝜃

𝜋 − 𝜃+ 2cos𝜃

• Pada titik stagnasi, di mana V = 0 maka:

𝐶𝑝 = 1 −𝑉2

𝑈2= 1 −

02

𝑈2= 1

• Lokasi di mana p = p0 adalah:

𝐶𝑝 = 0 =sin𝜃

𝜋 − 𝜃

sin𝜃

𝜋 − 𝜃+ 2 cos𝜃 dengan iterasi diperoleh hasil q = 133.3o


SelamatBelajar

48



MINGGU – 2


7. ALIRAN DI SEKITAR SILINDERJURUSAN TEKNIK KELAUTAN - ITS

• Aliran di sekitar silinder berpenampang lingkaran dalam keadaan tetap/diam dapat dimodelkan sebagai superposisi antara aliran seragam dan sebuah doublet, seperti ditunjukkan dalam Gambar 7.1.

• Potensial kecepatan dan fungsi aliran yang terbentuk dari superposisi tersebut dapat diberikan sebagai:

Gambar 7.1. Aliran di sekitar silinder DIAM yang terbentuk

dari superposisi aliran seragam dan sebuah doublet

𝜙 = 𝜙𝑢𝑛 + 𝜙𝑑𝑜 = 𝑈𝑟 cos𝜃 +𝑀

2𝜋

cos𝜃

𝑟= 𝑈𝑟 cos𝜃 1 +

𝑀

2𝜋 𝑈 𝑟2

𝜓 = 𝜓𝑢𝑛 + 𝜓𝑑𝑜 = 𝑈𝑟 sin 𝜃 −𝑀

2𝜋

sin 𝜃

𝑟= 𝑈𝑟 sin 𝜃 1 −

𝑀

2𝜋 𝑈 𝑟2

dan

7.1 ALIRAN DI SEKITAR SILINDER DIAM:

• Komponen kecepatan dalam koordinat polar:

𝑣𝑟 =1

𝑟

𝜕𝜓

𝜕𝜃=1

𝑟𝑈𝑟 cos𝜃 −

𝑀

2𝜋

cos 𝜃

𝑟= 𝑈 cos𝜃 1 −

𝑀

2𝜋 𝑈 𝑟2

𝑣𝜃 = −𝜕𝜓

𝜕𝑟= − 𝑈 sin𝜃 +

𝑀

2𝜋

sin 𝜃

𝑟2= −𝑈 sin𝜃 1 +

𝑀

2𝜋 𝑈 𝑟2

dan

..... (7.1)

..... (7.2)

..... (7.3)

..... (7.4)


• Streamline yang melewati titik stagnasi dapat diperoleh dengan memenuhi persyaratan bahwa

𝑉 = 0 di mana 𝑉2 = 𝑣𝑟2 + 𝑣𝜃

2 yang artinya bahwa 𝑣𝑟𝑠 = 𝑣𝜃𝑠 = 0

Gambar 7.1. Aliran di sekitar silinder diam yang terbentuk


7.1 ALIRAN DI SEKITAR SILINDER DIAM: ..... lanjut

• Namun karena 𝑣𝑟𝑠 = 0 maka akan didapatkan:

𝑣𝑟𝑠 = 𝑈 1 −𝑀

2𝜋 𝑈 𝑟𝑠2

atau

..... (7.5)

0 = 𝑈 1 −𝑀


..... (7.6)𝑀

2𝜋 𝑈 𝑟𝑠2 = 1 𝑟𝑠 =

𝑀

2𝜋 𝑈

• Mengingat bahwa 𝑟𝑠 seperti ditunjukkan dalam pers. (7.6) mempunyai harga konstan maka profil streamline yang melewati titik stagnasi akan membentuk sebuah lingkaran. Dengan kata lain 𝑟𝑠 adalah jari-jari lingkaran penampang silinder.

• 𝑣𝜃𝑠 akan mempunyai harga nol hanya jika 𝜃 = 0 atau 𝜃 = 𝜋

• Kemudian dengan menyubstitusikan 𝜃 = 0 ke dalam pers. (7.3) akan dihasilkkan:

• Jadi di sini terbukti bahwa superposisi antara aliran seragam dengan sebuah doublet adalah identik dengan aliran melewati silinder berpenampang lingkaran dalam keadaan diam.

7. ALIRAN DI SEKITAR SILINDER



• Harga atau nilai streamline y yang melewati titik stagnasi akan dapat dihitun dengan menyubstitusikan pers. (7.6) ke dalam pers. (7.2) dengan mengambil 𝑟 = 𝑟𝑠 sebagai berikut:




..... (7.7)

• Selanjutnya bentuk umum dari f dan y untuk superposisi aliran di sini akan dapat diperoleh dengan menyubstitusikan pers. (7.6) ke dalam pers. (7.1) dan (7.2), yakni:

𝜓 = 𝑈𝑟 sin𝜃 1 −𝑀


karena 𝑟𝑠2 =

𝑀

2𝜋 𝑈𝜓 = 𝑈𝑟𝑠 sin 𝜃 1 − 1 = 0

𝜙 = 𝑈𝑟 cos𝜃 1 +𝑟𝑠𝑟

2

dan

..... (7.8)

..... (7.9)𝜓 = 𝑈𝑟 sin 𝜃 1 −𝑟𝑠𝑟

2





• Berikutnya bentuk umum komponen kecepatan akan dapat diperoleh dengan menyubstitusikan pers. (7.6) ke dalam pers. (7.3) dan (7.4), yakni:

𝑣𝑟 = 𝑈 cos𝜃 1 −𝑟𝑠𝑟

2

dan

..... (7.10)

..... (7.11)𝑣𝜃 = −𝑈 sin𝜃 1 +𝑟𝑠𝑟

2

• Resultan kecepatan pada sembarang titik pada streamline dengan nilai nol (𝜓 = 0) dapat diperoleh dengan memasukkan 𝑟 = 𝑟𝑠 ke dalam pers. (7.10) sehingga didapat 𝑣𝑟 = 0,

• Jadi:

..... (7.12)𝑉 = 𝑣𝜃

• Persamaan (7.12) pada dasarnya menyatakan bahwa pada streamline dengan nilai nol (𝜓 = 0), atau pada sisi silinder komponen kecepatan radial 𝑣𝑟 selalu sama dengan nol, dan yang adahanyalah kecepatan tangensial 𝑣𝜃.






• Dari pembahasan di bagian 6 telah dijelaskan bahwa dari korelasi persamaan Bernoulli telah diperoleh bentuk umum persamaan koefisien tekanan aliran, yaitu:


= 1 −𝑉2

𝑈2

• Dalam kasus aliran di sini maka koefisien tekanan yang terjadi di sekeliling silinder akan diperoleh dengan menyubstitusikan pers. (7.12) ke dalam persamaan umum di atas dan mengambil harga 𝑟 = 𝑟𝑠, sehingga:


= 1 −𝑈2sin2𝜃 (1 + 12)2

𝑈2 𝐶𝑝 = 1− 4 sin2𝜃 ..... (7.13)




Gambar 7.2. Pola aliran fluida riil di sekitar silinder diam sebagai fungsi angka Reynolds Re

(http://www.azimuthproject.org/azimuth/show/Blog+-+eddy+who%3F)

• Harus dipahami pada tahap ini, bahwa pola aliran di sekeliling silinderyang dibahas seperti di atas adalah merupakan kasus aliran potensialatau aliran ideal, sehingga pola alirannya akan simetri di bagian atas-bawah serta muka-belakang silinder

• Dalam kasus fluida riil, pada khususnya yang mempunyai kekentalan, dan pada dinding silinder terjadi gaya gesekan, maka pola alirannya tidaklah akan simetri pada bagian muka dan belakang silinder, seperti ditunjukkan dalam Gambar 7.2.

• Fenomena lapisan batas, pemisahan lapisan batas, serta ulekan akan timbul dalam hal ini, sebagaimana akan dibahas dengan lebih seksama di bagian berikutnya mengenai gaya hambatan,

• Fenomena tersebut akan meningkat bersamaan dengan kenaikan angka Reynolds Re.



Gambar 7.3. Perbandingan hasil perhitungan dan eksperimen Cp sebagai fungsi kenaikan sudut keliling silinder dalam medan aliran

seragam


• Pada Gambar 7.3 ditunjukkan perbandingan antara hasil perhitungan dan hasil eksperimen untuk mengukur Cp di sekeliling silinder dalam medan aliran seragam.


Gambar 7.4. Visualisasi distribusi tekanan di sekeliling silinder dalam

medan aliran seragam

• Perhitungan dan eksperimen dilakukan dengan mengamati perubahan Cp antara sudut q 0o sd 180o; jelas terlihat perbedaan antara keduanya.

• Pada bagian depan silinder nilai Cp masih sama, namun ke belakang perbedaan Cp semakin besar. Perbedaan ini secara langsung dapat dijelaskan, bahwa eksperimen telah dilakukan dalam fluida riil, sehingga efek viskositas timbul.

• Distribusi Cp secara teoritis dalam Gambar 7.3 dapat divisualisasikan bersamaan dengan penampang silinder dalam Gambar 7.4

q (deg) q (rad) Cp

0 0,0000 1,0000

10 0,1745 0,8794

20 0,3490 0,5322

30 0,5236 0,0001

40 0,6981 -0,6525

50 0,8726 -1,3470

60 1,0471 -1,9997

70 1,2216 -2,5319

80 1,3962 -2,8792

90 1,5707 -3,0000

100 1,7452 -2,8796

110 1,9197 -2,5325

120 2,0942 -2,0005

130 2,2688 -1,3480

140 2,4433 -0,6534

150 2,6178 -0,0007

160 2,7923 0,5316

170 2,9668 0,8791

180 3,1414 1,0000


Gambar 7.5. Superposisi aliran seragam-doublet-vortex

7.2 ALIRAN DI SEKITAR SILINDER BERPUTAR:

• Aliran di sekitar silinder berputar dapat diperoleh dengan melakukan superposisi antara aliran seragam, sebuah doublet dan sebuah vortex, seperti dalam Gambar 7.5. Sehingga persamaan potensial kecepatan dan fungsi aliran yang diperoleh adalah:

• Komponen kecepatannya kemudian diperoleh sebagai:


𝜙 = 𝑈𝑟 cos𝜃 1 +𝑟𝑠𝑟

2

−𝐾

2𝜋𝜃

dan

..... (7.14)

..... (7.15)𝜓 = 𝑈𝑟 sin 𝜃 1 −𝑟𝑠𝑟

2

+𝐾

2𝜋ln 𝑟

𝑣𝑟 =1

𝑟

𝜕𝜓

𝜕𝜃= 𝑈 cos𝜃 1 −

𝑟𝑠𝑟

2

dan

..... (7.16)

..... (7.17)𝑣𝜃 = −𝜕𝜓

𝜕𝑟= −𝑈 sin 𝜃 1 +

𝑟𝑠𝑟

2

−𝐾

2𝜋𝑟


Gambar 7.6. Posisi titik stagnasi pada silinder berputar sebagai

fungsi harga 𝐾/4𝜋𝑈𝑟𝑠

7.2 ALIRAN DI SEKITAR SILINDER BERPUTAR: ..... lanjut

• Perhatikan di sini bahwa komponen kecepatan radial 𝑣𝑟 tidak akan berubah, seperti halnya yang terjadi pada silinder tetap, yang dapat dilihat dari kesamaan antara pers. (7.16) dan (7.10).


• Di pihak lain, komponen kecepatan tangensial 𝑣𝜃 pada permukaan silinder di mana 𝑟𝑠 = 𝑟dapat dituliskan:

..... (7.18)𝑣𝜃𝑠 = −2𝑈 sin 𝜃 −𝐾

2𝜋𝑟𝑠

• Untuk titik(-titik) stagnasi, di mana harga 𝑣𝜃 = 0 maka:

..... (7.19)sin −𝜃𝑠 =𝐾

4𝜋𝑈𝑟𝑠= sin 𝜋 + 𝜃𝑠

• Dari pers. (7.19) akan diperoleh kondisi sebagai berikut:

Jika 𝐾/4𝜋𝑈𝑟𝑠 < 1 maka akan ada dua titik stagnasi (lihat Gambar 7.6a)Jika 𝐾/4𝜋𝑈𝑟𝑠 = 1 maka akan ada satu titik stagnasi dengan posisi pada 𝜃𝑠 = 𝜋/2 (lihat Gambar 7.6b)Jika 𝐾/4𝜋𝑈𝑟𝑠 > 1 maka titik stagnasi akan berada pada sumbu-y positip di atas silinder (lihat Gambar 7.6c)

• Perhatikan di sini, dalam hal vortex berputar berlawanan dengan arah jarum jam maka silinderakan bergerak terbenam, sebaliknya bila vortex searah dengan jarum jam maka silinder akan terangkat. Prinsip inilah yang dijadikan dasar studi gaya angkat pada foil.



• Memperhatikan persamaan umum koefisien tekanan Cp berikut:


..... (7.20)


= 1 −𝑉2

𝑈2

• Dalam kasus silinder yang berputar dalam aliran seragam, V pada permukaan silinder adalah sama dengan 𝑣𝜃 dalam pers. (7.18). Jadi dengan memasukkan V2 ke persamaan umum Cp di atas akan didapat nilai Cp pada permukaan silinder yang berputar adalah:

𝐶𝑝 = 1 − 4 sin2𝜃 +2𝐾 sin𝜃

𝜋𝑟𝑠𝑈−

𝐾2

4𝜋2𝑟𝑠2𝑈2

Contoh Cp di sekitar silinder berputar:U = 10.0 m/sM = 40.0 m2/sK = 20.0 m2/s

q (deg) q (rad) Cp

0 0,0000 0,8408

10 0,1745 0,9973

20 0,3490 0,9187

30 0,5236 0,6388

40 0,6981 0,2140

50 0,8726 -0,2838

60 1,0471 -0,7770

70 1,2216 -1,1915

80 1,3962 -1,4669

90 1,5707 -1,5634

100 1,7452 -1,4672

110 1,9197 -1,1920

120 2,0942 -0,7776

130 2,2688 -0,2845

140 2,4433 0,2134

150 2,6178 0,6383

160 2,7923 0,9185

170 2,9668 0,9974

180 3,1414 0,8412

190 3,3159 0,4438

200 3,4904 -0,1718

210 3,6649 -0,9557

220 3,8394 -1,8361

230 4,0140 -2,7274

240 4,1885 -3,5398

250 4,3630 -4,1898

260 4,5375 -4,6095

270 4,7120 -4,7549

280 4,8866 -4,6107

290 5,0611 -4,1919

300 5,2356 -3,5428

310 5,4101 -2,7309

320 5,5846 -1,8397

330 5,7592 -0,9591

340 5,9337 -0,1746

350 6,1082 0,4418

360 6,2827 0,8401




SelamatBelajar

61

𝑊𝑝𝑢𝑚𝑝 𝑊𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒

𝑉𝑖𝑛 𝑝𝑖𝑛𝑧 𝑖𝑛

𝑉𝑜𝑢𝑡

ℎ𝐿

𝑝𝑜𝑢𝑡

𝑧 𝑜𝑢𝑡

volumekontrol

𝜃1𝜃2 𝜃

𝛿𝑎 ≈ 0

𝛿𝜃

SinkSourcex

yP

hidro 1 mat 1 hidro dasar ebd

Documents