hidraulica - capítulo 10 -orificios y vertederos - version 07

8/19/2019 HIDRAULICA - Capítulo 10 -Orificios y Vertederos - Version 07

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Capítulo 10

Singularidades en contornos abiertos y

cerrados ‐ Orificios y vertederos

Contenidos 10.1 Conceptos generales .................................................................................................................. 426 10.2 Orificios ...................................................................................................................................... 427

10.2.1 Elementos de un orificio ..............................................................................................427 10.2.2 Orificio perfecto ........................................................................................................... 428 10.2.3 Orificio en pared horizontal ......................................................................................... 430 10.2.4 Velocidad de llegada no despreciable..........................................................................431 10.2.5 Contracción parcialmente suprimida ...........................................................................431 10.2.6 Contracción incompleta ...............................................................................................433 10.2.7 Orificios de arista redondeada......................................................................................433 10.2.8 Orificios de gran abertura vertical respecto a la carga.................................................434 10.2.9 Orificios en pared intermedia.......................................................................................436 10.2.10 Orificios en pared gruesa..............................................................................................436 10.2.11 Orificios totalmente sumergidos .................................................................................. 439 10.2.12 Orificios parcialmente sumergidos .............................................................................. 449 10.2.13 Orificios bajo carga variable ........................................................................................ 449

10.3 Vertederos .................................................................................................................................. 452 10.3.1 Elementos de un vertedero...........................................................................................453 10.3.2 Características del flujo sobre vertederos .................................................................... 453 10.3.3 Vertederos de pared delgada........................................................................................454 10.3.4 Vertederos de pared intermedia ...................................................................................459 10.3.5 Vertederos de pared gruesa .......................................................................................... 462

10.4 Cuadros resumen.......................................................................................................................465 10.4.1 Orificios........................................................................................................................465 10.4.2 Verdederos....................................................................................................................467

10.5 Ejercicios .................................................................................................................................... 469

Introducción En este capítulo se desarrollan los conceptos básicos correspondientes a dos estructuras hidráulicas importantes:los orificios y los vertederos. La importancia de estas estructuras radica en su utilización con fines de medicióny regulación de caudales, en particular relacionados con el flujo a presión en conductos (orificios) y el flujo porgravedad en canales (orificios y vertederos).


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426 CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS

10.1 Conceptos generales

El flujo a través de orificios y vertederos adquiere gran importancia ya que estas dos estructuras son las más

utilizadas para la regulación y/o medición de caudales.El flujo a través de estas estructuras se caracteriza por el hecho que las líneas de corriente sólo se puedenconsiderar rectas paralelas en puntos singulares del flujo (usualmente la sección conocida como venacontracta). Hemos visto que el flujo potencial permite modelar flujos en los cuales las líneas de corriente noson rectas paralelas, sin embargo si se desprecian las pérdidas de forma que se producen en estas singularidadesel error que se comete (en particular en el cálculo de caudal) es importante. Por lo tanto es difícil enunciar unateoría general y cada estructura debe considerarse en forma individual. Debido a lo difícil de establecer procedimientos totalmente analíticos para su cálculo, en general es necesario recurrir a la experimentación.Cuando las estructuras hidráulicas a diseñar son de gran importancia es usual realizar su ensayo en modelos(vertederos en grandes presas por ejemplo). Sin embargo algunos estudios analíticos complementados conensayos de laboratorio, permiten arribar en ciertos casos a resultados que coinciden con la experimentación.

Algunos ejemplos de la utilización de estos elementos son:

Orificios:desagüe de tanques,

medición de caudales mediante placa orificio,

regulación de presión mediante placa orificio,

descarga de presas pequeñas.

Cabe destacar que una válvula puede considerarse como un orificio cuyo pasaje es variable y sus ecuacionesson similares a las de los orificios.

Vertederos:

medición de caudales en canales,

regulación de caudales de salida en equipos de tratamiento de aguas,

regulación de caudales de riego,

regulación de presas de embalses.

Denominamos orificio a toda abertura practicada en la pared de un depósito, un canal o un conducto a presión yen la cual el escurrimiento llena completamente su contorno.

Denominamos vertedero a toda abertura en la cual en la parte superior de la misma hay una superficie libre. Deesto se desprende que un orificio que no se encuentra totalmente sumergido en el recipiente o canal se comportacomo un vertedero.

Tanto para los orificios como para los vertederos puede darse el caso que aguas abajo el tirante líquido seencuentre por encima del orificio (o vertedero) o bien por debajo del mismo (sin embargo el fluido en el orificiodebe ocupar todo el contorno sino se comportaría como un vertedero y para su cálculo se debería aplicar lasecuaciones que corresponden a éste). En el primer caso se dice que el orificio (o vertedero) está totalmentesumergido y en el segundo que el desagüe se produce a descarga libre.

En el tipo de flujo que se produce tanto para los orificios como para los vertederos es de importanciafundamental el espesor de pared de los mismos por lo cual podemos distinguir entre orificios (o vertederos) dearista viva, de pared fina o de pared gruesa.

Algunos de los casos enunciados se pueden ver en la Figura 10.1.

Enfatizamos, asimismo, que la presente publicación no pretende ni debe reemplazar a los buenos manuales dehidráulica (ver la bibliografía citada al final del capítulo) de donde se pueden obtener los coeficientes a utilizaren la práctica, los valores dados aquí son indicativos. La intención de este capítulo es por lo tanto resaltar lascaracterísticas físicas fundamentales que le permitan al ingeniero seleccionar los mismos adecuadamente, puesde ello dependerá la exactitud de los cálculos.


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10.2. ORIFICIOS 427

Un orificio se considera de pared delgada cuando el espesor de la pared es menor a la mitad de la dimensiónmás pequeña del orificio. Si el espesor de la pared se ubica entre la mitad y tres veces la menor dimensión delorificio se dice que el espesor es intermedio. Si el espesor es superior a tres veces la menor dimensión decimosque el orificio es de pared gruesa. Para una mejor comprensión de lo dicho ver la figura que sigue:

Figura 10.1

10.2 Orificios

10.2.1 Elementos de un orificio

Un orificio es, en principio, cualquier abertura practicada en una pared, de aquí se desprende que el líquidocontenido se derrama a través de él. Algunos elementos caracterizan el orificio son:

A0, área de su sección transversal,

e, longitud o espesor de la pared,

H, carga o altura de líquido desde el baricentro del orificio hasta la superficie de nivel,

d0, dimensión vertical del área

d0 >10º

e

H (carga)

vena contractaárea A0

V

Figura 10.2


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10.2.2 Orificio perfecto

Analizaremos el caudal que descarga por un orificio que cumple ciertas condiciones al que denominaremos perfecto o ideal. Luego analizaremos las variantes sobre éste para obtener la expresión de la descarga de otras posibles conformaciones del orificio.

El orificio perfecto cumple las condiciones mencionadas en la columna izquierda de la siguiente tabla:

Orificio perfecto Variantes

ubicado en una pared vertical ubicado en una pared horizontal (ver 10.2.3)

la velocidad de llegada V es despreciable la velocidad de llegada no despreciable (ver 10.2.4)

la contracción del chorro descargado por elorificio es completa (vena contracta)

la contracción está parcialmente suprimida (ver10.2.5) o es incompleta (ver 10.2.6)

la arista del orificio es viva, el ángulo de ladescarga es mayor a 10º

la arista es redondeada (ver 10.2.7)

el orificio es pequeño y la pared tiene tamaño

infinito, por lo tanto la carga puede serconsiderada constante

el orificio es de gran abertura vertical respecto a la

carga (ver 10.2.8)

la pared es delgada (e


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10.2. ORIFICIOS 429

dAV

p zgV ud e

t W Q

SC VC

eje2

)( 2

1

Siendo el flujo permanente y al no existir intercambio de potencia mecánica o calórica con el medio nos queda:

Ad V zgV puSC

22

10

Como sólo hay flujo a través de la superficie libre y la del orificio, y teniendo en cuenta que las líneas decorriente en la vena contracta son rectas paralelas se puede escribir:

QV uQ H gV u

2221

211

2

1

2

1

Debido a la hipótesis de pared infinita la velocidad de llegada (velocidad sobre la sección 1-1) debe serdespreciable, además la suma del término de presión más la energía potencial se mantiene constante para todala sección y por lo tanto es igual a la aceleración de la gravedad por la altura de la superficie libre.

La diferencia de energía interna entre la superficie libre y la vena contracta u mide la pérdida de energíadebido a la fricción entre capas del fluido y de éste con la estructura.

Finalmente la presión en la superficie libre es la atmosférica al igual que en la vena contracta (líneas decorriente rectas paralelas). Por lo tanto luego de simplificar obtenemos:

uV H g 221 2

1

Y por lo tanto:

u H gV 12 2

Lo usual es expresar la pérdida de carga afectando la velocidad con un coeficiente que llamaremos coeficientede velocidad , que será menor que la unidad, con lo cual se puede escribir:

12 2 H gC V v (10.1)

Nótese que la altura H 1 es la altura desde el baricentro de la vena contracta hasta la superficie libre del depósito,la cual en orificios practicados en paredes verticales es esencialmente igual a la altura desde el baricentro delorificio. En cambio para orificios practicados en paredes horizontales dicha altura no coincide exactamente conla altura del baricentro como se verá más adelante.

El valor de C v para orificios practicados en paredes horizontales tal como la mostrada varía entre 0,96 y 0,99siendo lo usual adoptar 0,98.

De acuerdo con la ecuación de continuidad el caudal volumétrico valdrá:

122 2 H gC AV Q v (10.2)

Donde A2 es el área contracta. Si referimos dicha área al área del orificio ( A0) definiendo el coeficiente decontracción C c, como la relación A0 /A2, la anterior se puede reescribir:

10 2 H g AC C Q cv (10.3)

Este coeficiente de contracción fue determinado para algunos casos especiales en forma analítica y en generalen forma experimental, dando como resultado que su valor varía entre 0,6 y 0,7 adoptándose en la práctica elvalor de 0,63.

Finalmente la ecuación del caudal se puede expresar:

10 2 H g AC Q d (10.4)


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En la cual C d es el coeficiente de descarga y es igual al producto:

cvd C C C (10.5)

En general este coeficiente depende de:

la forma del orificio, tiende a ser menor para el círculo que para el cuadrado y en éste menor que en elrectángulo,

es mayor cuanto más alargado es el rectángulo,

para grandes valores de la carga ( H 1) no interesa la posición del orificio,

para una misma carga y forma de la sección es menor cuanto mayor es el orificio,

es función del número de Reynolds, en orificios circulares con valores del número de Reynoldsmayores que 100.000 tiende a 0,6,

aumenta con la temperatura del fluido.

Por lo tanto el caudal para un orificio de pared delgada en posición vertical, con descarga libre y con unaabertura despreciable respecto de la carga se puede establecer como:

10 2617,0 H g AQ (10.6)

Ejemplo 10.1

En el centro de la pared vertical de un tanque con nivel de líquido de 5 m se practica un orificio de 10 mm dediámetro. El tanque es suficientemente grande como para despreciar las variaciones de nivel debido al desagüe.El líquido en el tanque es agua de densidad relativa 1. Determinar el caudal desaguado por el orificio y lavelocidad de salida en la vena contracta.

Solución

El caudal lo obtenemos de la ecuación (10.6):

hmhsmsmm

H g AQ /727,1/36005/8,924

01,0617,02617,0 32

22

10

Para determinar la velocidad en la vena contracta utilizamos la ecuación (10.1) con Cv=0,98:

smmsm H gC V v /7,95/8,9298,022

1

10.2.3 Orificio en pared horizontal

Cuando la pared en que se practica el orificio es horizontal en lugar de vertical (Figura 10.4), como se habíaanticipado la altura H 1 de la superficie libre respecto del orificio no coincide con la altura de la vena contracta,sino que ésta se encuentra más baja dando lugar a un aumento de la velocidad y por lo tanto a un aumento delcaudal pues la superficie de la vena contracta no se ve influenciada por la posición del orificio.

Remitiéndonos a la Figura 10.4, la velocidad en la vena contracta se modificará respecto de la encontrada para

dar: 212 2 z H gC V v

2 2e

H1

z2


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10.2. ORIFICIOS 431

Figura 10.4

Que también se puede expresar:

1

1

212 2 H

H

z H gC V v

1

1

212 2 H g H

z H C V v

El valor de z2 es del orden del tamaño de la abertura y en la práctica usualmente se lo desprecia.

10.2.4 Velocidad de llegada no despreciable

Cuando la velocidad de llegada en la sección 1-1 es mayor o igual a 0,3 m/s, usualmente no se puededespreciar. La ecuación de la energía por lo tanto será:

uV H gV 2212

1 2

1

2

1

Donde es el coeficiente de corrección de la energía cinética, como se vio en el punto 3.6 del capítulo 3. Paracanales, es usual adoptar para el valor de 1,1. De aquí:

2112 2

12 V u H gV

Que como se ha dicho puede ser escrita como:

2112 21

2 V H gC V v (10.7)

Y por lo tanto el caudal desaguado cuando la velocidad de llegada no es despreciable será:

2110

2

12 V H g AC Q d (10.8)

10.2.5 Contracción parcialmente suprimida

Como ya se ha resaltado la contracción de la vena ocurre debido a que los filetes de fluido adyacentes al orificioson obligados a girar 90° para alcanzar la salida. Obviamente que si algún lado del orificio es paralelo a una delas superficies (por ejemplo la inferior) como podría ser el caso de un canal mostrado en la Figura 10.5, lacontracción no será completa se dice que la contracción está parcialmente suprimida.

ps = l p = 2.(l+a)

ps = l + 2.a p = 2.(l+a)

Vista lateral Vista de frente

Vena con contracción inferior suprimida

e

H1

ps, perímetro suprimido p, perímetro del orificio

área A0

a

l

a

láreaA2

Figura 10.5


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Por otra parte este aumento de la sección producirá un aumento del caudal respecto al caudal que se obtiene concontracción completa. Llamando ps al perímetro del área suprimida y p al perímetro total del orificio se debecorregir el caudal de descarga calculado como orificio de contracción total de acuerdo a los siguientescoeficientes:

Tipo de orificio según Bidone según WeisbachRectangulares Cs=1+0,156 ps/p l>0,2m a>0,1m: Cs=1+0,157 ps/p

l


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10.2. ORIFICIOS 433

Adoptando el factor C s de acuerdo a Weisbach, resulta:

105,1

5,012

5,021157,01

2

2157,01157,01

mm

mm

ab

ab

p

pC ss

Adoptando el valor de C d como 0,617 y el factor =1,1:

sm

mmmm

msmQ /287,2

5,2125,01617,0105,12

125,2/8,9 3

2222222222

2

La velocidad de llegada en el canal será:

smmm

smV /915,0

5,21

/287,2 31

Si se hubiera considerado la compuerta como un orificio perfecto el caudal habría resultado:

smmsmmmQ /049,225,2/8,925,01617,0 32

10.2.6 Contracción incompleta

Asimismo cuando la distancia del orificio a las paredes del recipiente es menor a 3 veces la menor dimensióndel mismo también el alineamiento de los filetes hace que la contracción de la vena sea más suave que en elcaso de la contracción completa, dando lugar a caudales mayores que en dicho caso. A este tipo de contracciónse lo denomina incompleta (Figura 10.7) y los coeficientes de corrección son:

Tipo de orificio

Rectangulares 19076,01 nsC Circulares 1821,1404564,01 nsC

Donde n es la relación entre el área del orificio y la superficie transversal del canal de llegada.

Figura 10.7

10.2.7 Orificios de arista redondeada

En el orificio de aristas agudas, el objetivo es miminizar las pérdidas por fricción minimizando el contacto entreel orificio y el líquido. Por otro lado, la forma del orificio de arista redondeada acompaña las líneas de corrienteen la descarga, con lo cual el coeficiente de contracción igual a Cc=1,00 y el coeficiente de descarga es deCd=0,98.


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Figura 10.8 Orificio de arista redondeada

10.2.8 Orificios de gran abertura vertical respecto a la carga

Como definimos al principio del capítulo, la carga del orificio es la altura de líquido desde el baricentro delorificio hasta la superficie de nivel. En el desarrollo de las ecuaciones de caudal anteriores se supuso que lavelocidad del fluido no variaba en toda la abertura del orificio y se mantenía constante en toda el área delmismo. Sin embargo la velocidad del fluido varía desde la parte superior del orificio hasta la parte inferior porefecto del aumento de la carga a medida que aumenta la profundidad. Por lo tanto si la distancia entre el baricentro del orificio y la superficie libre respecto de la altura de la abertura del orificio es pequeña será

necesario tener en cuenta en el cálculo del caudal esta variación de velocidad. En lo que sigue vamos a tratar dedeterminar cuándo en un orificio la variación de carga se puede despreciar y cuándo no.

Sea un orificio de gran abertura vertical como se muestra en la Figura 10.9 trataremos de calcular el diferencialde caudal dQ correspondiente a un diferencial de área dA:

H1 z Hi

H j

t

dz a

l

a) b)

Figura 10.9 Orificio de gran altura respecto a la carga

21

21

2

12

2

12

V zgdzt C dQ

V zgdAC dQ

zd

d

(10.10)

dzV zgt C Q

j

i

H

H zd

212

12 (10.11)

Donde hemos supuesto que el coeficiente de descarga se mantiene constante en toda la sección.

Si consideramos una sección rectangular (Figura 10.9.b) de altura a, ancho l (es decir t(z)=cte=l) y considerandola velocidad de llegada despreciable la ecuación (10.11) se puede reescribir:

dz zglC Q ji

H

H d 2

2

3

2

32

3

2i jd H H glC Q (10.12)


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10.2. ORIFICIOS 435

Si calculamos el caudal de desagüe como si se tratara de pequeña abertura (velocidad constante en toda lasección e igual a la velocidad en el baricentro) tendríamos:

12 H galC Q d ap

Donde H

1 es la altura del baricentro. Si consideramos que una aproximación de 0,5% es adecuada para nuestroscálculos tendremos:

2

1

1

2

3

2

3

3

2995,0

H a

H H

Q

Q i j

ap

Y como H j=H1 + a/2 y Hi=H1 – a/2

2

1

1

2

3

12

3

1

2

1

1

2

3

12

3

1 2

1

2

1

495,122

495,1

a

H

a

H

a

H

H b

a H

a H

Resolviendo la anterior para H1/a=1,684 se obtiene un error de 0,5% que en general está muy por debajo de loserrores que se cometen con el resto de las suposiciones. Por lo tanto y como regla general se puede decir quecuando la carga es mayor que dos veces la altura de la abertura (H1>2a) el considerar la velocidad uniforme eigual a la velocidad en el baricentro es aceptable a los fines prácticos. Siguiendo un razonamiento análogo sellegaría a una conclusión similar para un orificio de sección circular.

Ejemplo 10.3

Encontrar el caudal que escurre bajo la compuerta del ejemplo 2 si el tirante en el canal es de 1 metro.

Solución

En este caso la carga sobre la compuerta sería de 0,75 m, es decir una vez y media el valor de la aberturavertical, por lo tanto a fin de mantener el error por debajo del 5% deberíamos considerar a la compuerta como

un orificio de tamaño vertical apreciable con respecto a la carga, y no deberíamos calcular entonces lavelocidad (y el caudal) con la carga en el baricentro, sino que debemos integrar a lo largo de la compuerta. Paraeste caso recurriendo a lo visto en el Ejemplo 10.2 resulta:

dz yb

Q zgbC C dQ d s

2

2

12

Integrando la anterior para toda la compuerta:

a y

yd sdz

yb

Q zgbC C dQ

2

2

12

Realizando la sustitución:

2

2

1

yb

Q zgu ; dzgdu ;

2

2

1

yb

Q yg yu ;

2

2

1

yb

Qa yga yu

E integrando resulta:


12/50


2

2

2

1

2

1

2

3

2

32

yb

Qa yg

yb

Q

yg

d su

g

bC C Q

2

322

32

2

1

2

12

3

2

yb

Qa yg

yb

QY g

g

bC C Q d s

Reemplazando valores:

2

32

2

2

32

2

211

1,12

15,08,9

111,1

2

118,92

3

2

8,9

1617,0105,1

mm

Qm

s

m

mm

Qm

s

m

s

mm

Q

Resolviendo la anterior por aproximaciones sucesivas, Newton-Raphson o cualquier otro método resulta:

s

mQ

3

394,1

10.2.9 Orificios en pared intermedia

No vistos en el alcance del curso.

10.2.10 Orificios en pared gruesa

Cuando el espesor de pared supera tres veces a la menor dimensión del orificio el orificio se comporta en formadistinta que si dicha dimensión es menor a media vez dicha dimensión, es por ello que se diferencia entreorificios de pared delgada y orificios de pared gruesa.

La pregunta que nos debemos hacer es básicamente cuál es la diferencia física que produce esta diferencia decomportamiento. La respuesta es que mientras en el caso de la pared fina la vena contracta se produce encontacto con el aire en el caso de orificios de pared gruesa dicha vena se produce en el interior de la pared.

Como el efecto de la contracción de la sección produce un aumento de la velocidad del fluido tambiénaumentará la energía cinética en la sección, dicho aumento de la energía cinética respecto a la entrada y a lasalida del orificio debe ser hecha a costa de disminuir la presión en la sección como se infiere de la ecuación dela energía. Ahora bien como a la salida del orificio la presión del ambiente es la atmosférica la presión en lasección contraída debe ser inferior a la atmosférica y por tanto se produce un efecto de succión adicional alcorrespondiente a la descarga libre que se ve reflejado en un aumento efectivo del caudal de descarga especto alcaudal que escurriría en caso de la descarga libre. Esto está en línea con las mediciones experimentales.

Finalmente el reflujo de líquido que se produce en la contracción produce una pérdida por fricción que atenúa parcialmente el efecto de succión antes mencionado.

Sea el orificio de pared gruesa mostrado en la figura:

Figura 10.10


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10.2. ORIFICIOS 437

Para encontrar la velocidad en la vena contracta aplicamos la ecuación de la energía al volumen de controlmostrado resultando como en los casos anteriores:

2

222

211V p

u H gu

(10.13)

Donde el término de presión es negativo pues hemos trabajado con presiones manométricas y la presión en lasección 2-2 es una depresión es decir es menor que la atmosférica. Bernoulli determinó que esta depresión erasensiblemente igual a:

12 4

3 H p (10.14)

Reemplazando la ecuación (10.14) en la ecuación (10.13):

12

1212

121

22

22

1211

24

7

4

72

4

7

2

24

3

H gC V

H guuV

H guuV

V H gu H gu

v

Y por lo tanto el caudal será:

cC AV AV Q 0222

Donde, como vimos anteriormente, A0 es el área a la salida y CC es el coeficiente de contracción de forma talque CC=A0/A2. Reemplazando en la expresión hallada.

10 24

7. H g AC C Q cv

Si adoptamos para C v y C c los valores indicados para orificios de pared delgada, es decir 0,98 y 0,63respectivamente y efectuando las operaciones indicadas resulta:

(10.15) 10 2817,0 H g AQ

Valor que se aproxima mucho a los valores obtenidos experimentalmente.

Esta expresión corrobora lo dicho respecto a que el caudal desaguado supera al caudal desaguado en el caso de pared delgada para el cual el caudal valía (punto 10.2.1):

10 2617,0 H g AQ

Es decir que el caudal desaguado por un orificio de pared gruesa supera en 32% aproximadamente al orificio de pared fina. Sin embargo hay que notar que la depresión en la vena contracta no puede superar el límite teórico

de la presión atmosférica, es decir que para valores de la carga que superen el valor:m H H

4

310,33aguael param

p p atm 78,1333,10 112

,

los efectos de la pared gruesa comienzan a desaparecer.

Debe tenerse en cuenta que este límite es menor pues antes de esto comienza a aparecer cavitación, es decir queel agua se vaporiza y tiende a disminuir el área de pasaje con lo cual también disminuye el caudal desaguado, esdecir que el límite depende fuertemente de la presión del lugar y de la temperatura del agua.


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Tubos adicionales, entrantes o de Borda

El caudal que desagua por un orificio puede ser modificado dentro de ciertos límites por la inclusión de tubosadicionales normales al recipiente.

Cuando se agrega a un orificio de pared delgada un tubo adicional cilíndrico normal al recipiente y exterior almismo tal como se muestra en la Figura 10.11 el efecto producido es el mismo que si el orificio se comportasecomo un orificio de pared gruesa y dentro de los límites establecidos se podrá advertir un aumento de caudalcomo el descrito.

Si en lugar de un tubo cilíndrico se agrega un tubo convergente, dentro de un determinado rango del ángulo deconvergencia el caudal que se obtiene es mayor que para los tubos cilíndricos. El efecto mencionado es potenciado si se hace una entrada redondeada pues los filetes de fluido son mejor guiados. Con este tipo detubos se pueden lograr coeficientes de desagüe del orden de 0,98 para ángulos del orden de los 13°. Este es elcaso de las boquillas de las lanzas de incendio.

Figura 10.11

Las secciones divergentes para pequeños ángulos de divergencia se comportan como las convergentes en tantoque para ángulos mayores se comportan como descarga libre.

Cuando el tubo adicional es interior y con una longitud entre 2 y 2,5 veces el tamaño de la mayor dimensión del

orificio se lo denomina tubo de Borda.El agregado de este tubo hace que los filetes de fluido en las proximidades de la boca de salida en el interior delrecipiente deban girar 180° en lugar de 90° y por lo tanto la vena se contrae aún más que en el caso de tubos de pared delgada, lo cual sugiere que el caudal que desagua es aún menor. Esto ha sido corroborado por laexperimentación que ha demostrado que el coeficiente de descarga para este caso se sitúa entre 0,51 y 0,53.

Figura 10.12

Teóricamente puede encontrarse una aproximación a estos valores aplicando la ecuación de continuidad ycantidad de movimiento en la dirección del movimiento al volumen de control que se muestra en la Figura10.12.

También, aplicando la ecuación de la energía y despreciando pérdidas obtenemos la velocidad en la venacontracta (sección 2-2) resultando como ya hemos visto:


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10.2. ORIFICIOS 439

12 2 H gV

De la ecuación de cantidad de movimiento:

VC SC

Ad V V d V

t

ext F .

Por ser el flujo permanente la derivada de la integral sobre el volumen de control es cero.

En la dirección del movimiento las únicas fuerzas externas que actúan son las debidas al desequilibrio de presión producido por el orificio, y en la única superficie de control donde hay flujo de cantidad de movimientoes sobre la vena contracta por lo tanto según la dirección del movimiento la anterior se reduce a:

22

211 AV A H g

Reemplazando por el valor de velocidad encontrado:

2111 2 A H g A H g

De donde resulta:

50501

2 ,C ,

A

Ac

Como se adoptó que no había pérdidas, es decir Cv=1, resulta, Cd=0,5, valor muy próximo al encontradoexperimentalmente.

10.2.11 Orificios totalmente sumergidos

En lo que respecta a los orificios totalmente sumergidos se presentan tres casos de interés:

desagüe de tanque a tanque a través de un orificio,

desagüe de una represa a un canal a través de una compuerta,

orificios en conductos a presión.

10.2.11.1 Desagüe de tanque a tanque a través de un orificio

Sean los depósitos mostrados en la Figura 10.13 de los cuales supondremos que su volumen es suficientementegrande como para considerar que su nivel no varía mientras se produce la descarga a través del orificiomostrado.

Figura 10.13

Supondremos además que las velocidades de llegada son despreciables (obvio de la hipótesis anterior). Siaplicamos la ecuación de la energía a un volumen de control tal como el mostrado:

22

2212

11 2

1

2

1 H gV u H gV u

Nuevamente por ser la velocidad en la sección 1 despreciable podemos poner:

uV H g 222

1


16/50


Donde H es la diferencia de niveles entre las superficies libres de cada recipiente y es constante para toda lasección del orificio. Por lo tanto en este caso no hay orificios que se comporten como de gran altura o pequeñaaltura con respecto a la carga.

De la anterior inferimos:

u H gV 2

Y como ya dijéramos:

H gC V v 2

Y por lo tanto el caudal se puede expresar:

H g AC Q d 20 (10.16)

Las experiencias demostraron que el coeficiente de desagüe en este caso es levemente inferior que en el caso dedesagüe a la atmósfera resultando el mismo en un 2% inferior al anterior. Dichos coeficientes se hallantabulados en los manuales correspondientes. Esta disminución del caudal probablemente pueda adjudicarse a lamayor pérdida por fricción entre filetes del fluido que entre filetes del fluido y el aire.

10.2.11.2

Desagüe

de

una

represa

a

un

canal

Un caso de interés práctico es el que ocurre en la descarga de una represa a un canal a través de una compuerta.La entrega puede realizarse mediante compuertas deslizantes, compuertas radiales o compuertas de cilindro.También puede realizarse en el caso de compuertas deslizantes y de cilindro por entrega inferior y/o superior.La parte superior actúa como vertedero por lo cual es de aplicación lo que se verá más adelante, en tanto la parte inferior actúa como orificio (ver Figura 10.14)

Figura 10.14

La compuerta del canal cumple en general dos propósitos: regulación del caudal de suministro y disipación deenergía. El segundo propósito usualmente se logra mediante la generación de un resalto hidráulico y tiene porobjeto evitar erosionar el canal que por razones económicas generalmente será construido de tierra, excepto en


17/50

10.2. ORIFICIOS 441

la zona donde se produce el resalto hidráulico. Esto hace de suma importancia determinar la ubicación delmismo, pues las obras de protección a realizar en el canal serán función de dicha ubicación.

En lo que sigue nos referiremos a las compuertas de tipo deslizante con descarga inferior y tamaño vertical dela compuerta menor que el tirante crítico en el canal.

Los casos que se pueden dar son:Descarga libre: Este tipo de descarga ya ha sido cubierta en los puntos anteriores.

Descarga sumergida. Pueden darse tres casos, según sea que el tirante aguas abajo del resalto (tiranteconjugado) que se forma a la descarga de la compuerta:

a) coincida con el nivel del tirante en el canal (sea este el uniforme o el obtenido con la interposiciónde un obstáculo),

b) sea menor que el tirante a la descarga del canal,

c) sea mayor que el tirante a la descarga del canal.

En la figura Figura 10.15 se muestran estos tres casos.

Desde el punto de vista del control de erosión en el canal, el caso a) es muy favorable, pues ubica el resalto muy precisamente y por lo tanto la zona a proteger queda bien definida. El inconveniente que presenta es que sólo se

da para una condición de caudal, pero la demanda del canal seguramente variará con el tiempo.El caso c) si bien es el más conservador desde el punto de vista del control de la erosión tiene el inconvenienteque la disipación de energía es escasa, y por lo tanto la erosión en el canal natural puede ser importante. El casomás común y general es el b).

Figura 10.15

En los tres casos la compuerta se comporta como un orificio sumergido, cuando en particular el tirante aguasabajo es el mismo que el tirante en la represa el caudal es nulo. Si se desprecia la velocidad de llegada el caudala través de la compuerta se puede expresar mediante:

02 ygalC Q d (10.17)

Donde l es el ancho de la compuerta, a la altura de la misma e y0 es el tirante en el embalse. Expresando elcaudal de esta forma la ecuación puede utilizarse para descarga libre o sumergida. Henry expresó el coeficientede descarga Cd en función de las experiencias que realizó.

En la figura Figura 10.16 se encuentra el gráfico desarrollado por Henry donde en abscisas se ha representado

la relación entre el tirante en el embalse y la altura de la compuerta, en ordenadas el valor del coeficiente dedescarga, y como parámetros la relación entre el tirante aguas abajo del resalto y la altura de la compuerta, y elvalor del número de Froude de la compuerta (F0).

Otro punto importante es determinar la posición de la superficie libre. Para ello en caso de descarga libre y delos casos a) y b) vistos, es necesario posicionar la vena contracta. Lo usual es ubicar la vena contracta a unadistancia de la compuerta igual a la altura de la misma (a). De esta forma ubicada la vena contracta yconociendo la pendiente del canal, se pueden determinar las curvas de la superficie libre y calcular los tirantesen que se desarrollan.


18/50


Figura 10.16

Ejemplo 10.4

Determinar el caudal desaguado a través de una compuerta deslizante de 1 m de altura que alimenta en un canalde 5 m de ancho cuando el tirante en el embalse es de 8 m si el tirante aguas abajo es: a) de 6 m; b) de 4 m y

c) de 2 m.

Solución

a) Para el tirante de 6 m, ingresamos en el gráfico de la Figura 10.6 con el valor de y 0/a=8m/1m=8 einterceptamos en vertical con la curva y2/a=6m/1m=6, de la cual obtenemos el valor de Cd=0,32. Reemplazandoen la ecuación.

smmsmmm ygalC Q d /035,208/8,221532,0232

0

b) Para el tirante de 4 m, ingresamos en el gráfico de la Figura 10.6 con el valor de y0/a=8 m/1m=8 einterceptamos en vertical con la curva y2/a=4m/1m=4, de la cual obtenemos el valor de C=0,5. Reemplazandoen la ecuación.

smmsmmm ygalC Q d /305,318/8,22155,0232

0

c) Para el tirante de 2 m, la relación y2/a=2 la vertical trazada por y0/a=8, no intercepta a la curva. Es decir queel escurrimiento ocurre como si se tratase de una descarga libre. El coeficiente de descarga lo obtenemos de lacurva de descarga libre y es aproximadamente 0,58 resultando:

smmsmmm ygalC Q d /940,368/8,221559,0232

0

Es decir que en los casos a) y b) la compuerta trabaja como un orificio sumergido, en tanto en el caso c) trabaja

como si se tratase de una descarga libre. Calcularemos a continuación los caudales para los tres casos con losvalores vistos siendo para los dos primeros casos:

H g AC Q d 20

Siendo en ambos casos:

065,112

5156,01156,01

m

m

p

pC ss

O sea: para el caso a) smmsmmmQ 32 571,2028,9215617,0065,1

para el caso b) smmsmmmQ 32 091,2948,9215617,0065,1


19/50

10.2. ORIFICIOS 443

para el caso c) smmsmmmQ 32 835,395,78,9215617,0065,1

Valores que como se pude observar aproximan con un error no mayor al 10% los valores de ensayo.

10.2.11.3 Orificios en conductos a presión

Los orificios en conductos a presión sirven para propósitos de medición, regulación o reducción de presión. Losorificios pueden ser fijos o variables, dentro de los primeros se encuentran las placas orifico, los venturímetros,los diafragmas, las válvulas de seguridad, las válvulas todo-nada (on-off). En el segundo grupo se puedenreconocer las válvulas reguladoras. Aquí veremos lo concerniente a las placas orificio, cuyos conceptos básicos pueden extrapolarse al resto de los enunciados, teniendo en cuenta que en las válvulas reguladoras elcoeficiente de descarga varía con la posición de apertura.

En conductos a presión es usual el empleo de las llamadas “placas orificio” para la medición y/o reducción de presión. La técnica del empleo consiste en interponer en el flujo una placa de sección circular y diámetro delorificio menor que el diámetro de la cañería y a través de la cual se produce una caída de presión que como sedemostrará es proporcional al caudal que circula por el conducto, de esta forma midiendo la diferencia de presión entre las secciones aguas abajo y aguas arriba de la placa se puede conocer el caudal que circula. En la

práctica esta diferencia de presiones usualmente es traducida a una señal electrónica (corriente de 4 a 20 mA) lacual es enviada a un sistema de control donde se produce la medición o bien el control de la variable. En laFigura 10.17 se muestra una placa como usualmente se encuentra en la práctica.

Apliquemos al volumen de control mostrado en la figura la ecuación de la energía suponiendo que el fluido quecircula es incompresible (líquido):

Q p

V uQ p

V u

21 222

211

2

1

2

1 (10.18)

1

1

2

2

(velocidad en lacontracción)

volumen de control

V1 V2D0 D2D1

Hagua

placa orificio Figura 10.17

Si bien en la figura se muestra una placa instalada horizontalmente, en el caso que la placa se encuentreinstalada en forma vertical es lo mismo dado que el aumento o disminución de nivel será compensado por elaumento o disminución de la presión estática.

Aplicando la ecuación de continuidad al volumen de control mostrado y teniendo en cuenta que las placas

orificios se utilizan básicamente en conductos de sección circular:

21

14

D

QV

;

22

24

D

QV

Reemplazando en la ecuación (10.18):

21

142

2

2

242

2

188 p

D

Qu

p

D

Qu


20/50


2121

42

41

21

22

21214

142

42

41

2

2

8

8

p puu

D D

D DQ

p puu

D D

D DQ

Donde u1 – u2 es la pérdida de energía mecánica por unidad de masa que se produce por la pérdida de cargalocalizada correspondiente. Como anteriormente este factor puede ser reemplazado por un coeficiente develocidad. Además debe advertirse que D2 es el diámetro de la vena contracta que no es conocido, en la prácticalo usual es referir el caudal al tamaño de la placa D0 en lugar de la vena contracta, con lo cual la anterior se puede expresar:

21

40

41

21

20

8

p p

D D

D DC Q d (10.19)

Donde D0 y D1 representan el diámetro de la placa y el diámetro de la cañería respectivamente. Por otra parte sireemplazamos la diferencia de presión por su equivalente en metros de columna de agua:

aguaagua H g p p 21 Reemplazando en la anterior resulta:

aguaaguad

H g

D D

D DC Q

40

41

21

20

8

Como además el caudal puede expresarse mediante:

H g D

C Q agua 24

20 (10.20)

Igualando con la anterior:

H g D

C H

g

D D

D DC aguaagua

aguad

248

20

40

41

21

20

De donde:

r

d

r

d C

D

D

C C

1

1

1

14

41

40

(10.21)

El coeficiente C es por tanto una función de:

, la relación de diámetros del orificio y de la cañería

de la densidad relativa del fluido

y de Cd , una función del número de Reynolds.En la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. se muestran los valores de 4d 1/C tabulados

en función del número de Reynolds de la cañería.

Aunque las deducciones anteriores fueron desarrolladas para líquidos, las placas orificios también sonutilizadas para medición de gases y vapores. Para ello en la fórmula anterior se incluye el llamado factor decompresibilidad Y que tiene en cuenta esta característica de los gases y vapores. De este coeficiente se trata enel capítulo 11 sobre fluidos compresibles.

El caudal que circula por la placa también es función de la temperatura del fluido, puesto que al aumentar latemperatura el material de la placa orificio (usualmente acero inoxidable 18-8) se expande y por lo tantoaumenta el tamaño del orificio. Además como los puntos de medición de presión son fijos y la vena contracta


21/50

10.2. ORIFICIOS 445

varía de acuerdo con la relación entre el diámetro de la placa y el de la cañería, también se requiere una pequeña corrección de la medición. Cuando se requiera exactitud en las mediciones se deberá consultar lasnormas de aplicación.

Para los fines de medición y control el valor de Hagua puede fijarse arbitrariamente. Lo usual es fijar este valor

en 2540 mm de columna de agua (100”) y con los datos del rango de caudal proceder a determinar el tamaño dela placa a utilizar.

Figura 10.18

Ejemplo 10.5

A fin de medir el caudal de agua circulante por una cañería de 200 mm de diámetro se instalará una placaorificio. Calcular el diámetro de dicha placa para una pérdida de carga de 2540 mm de columna de agua. Elcaudal medio en dicha cañería es de 200 m³/h.

Solución

De la ecuación (10.20) se puede despejar el diámetro de la placa:

agua H gC

Q D

2

40

El coeficiente C se puede obtener de la figura en función del número de Reynolds y de la relación de diámetros.Como la relación de diámetros requiere conocer el diámetro de la placa deberemos operar por iteración.

Previamente calculamos el número de Reynolds:

353678/10200,03600

2004426

3

12

1

11

smmhs

hm D D

Q D AQ DV

Adoptamos un valor de C arbitrario por ejemplo 0,7; calculamos el diámetro de la placa y comparamos el valorde que surge del valor calculado con el valor adoptado. Si no coincide usamos el valor de C que surge de la¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. con el nuevo diámetro hasta que coincida el valor de que se obtiene con la fórmula con el valor adoptado. Como la densidad relativa es 1 el valor que obtenemos deC es directamente el que surge de la figura Figura 10.18, sino habría que afectarlo por la raíz cuadrada de lainversa de la densidad relativa:


22/50


655,06,0200,0

120,0120,0

54,28,927,0

3600/20040

C m D

Con este nuevo valor de C calculamos el diámetro de la placa obteniendo:

mmm DC m D 124124,0655,0618,01237,0 00 Dado que en este último paso el valor de C convergió al valor anterior, el diámetro obtenido es el requerido.

10.2.11.4 Válvulas

Un orificio a presión de mucha utilidad práctica, al igual que las placas orificios, son las válvulas. Éstos sonelementos que se intercalan en los sistemas de cañerías y que básicamente pueden cumplir tres funciones:

bloqueo

regulación

seguridad

Las válvulas de bloqueo sirven para habilitar o interrumpir la circulación del fluido. Las hay de numerosostipos, tamaños y materiales dependiendo de la presión del sistema, tipo de fluido y tamaño de la línea entre

otros factores. Debido a la resistencia de forma que generan producen una pérdida de carga localizada, como sevio en el capítulo 8 al tratar sobre pérdidas de carga localizadas.

Las válvulas de regulación son válvulas que controlan una determinada variable de proceso como por ejemplocaudal, presión, temperatura, nivel, concentración, etc. Para cumplir con este cometido censan la variable acontrolar y en forma directa o indirecta actúan sobre un obturador que cierra parcial o totalmente un orificio deforma y dimensión determinadas. Las válvulas de regulación más comunes son las denominadas del tipo globo.En la figura (10.20) se muestra una válvula de este tipo. El movimiento ascendente del vástago permite unamayor o menor apertura del orificio, lo cual (para una diferencia de presión dada) produce una variación delcaudal tal que modifica la variable a controlar. Un sistema de posicionamiento y control asociado al vástago yno mostrado en la figura realiza la regulación de la variable deseada.

Figura 10.19

Por lo tanto una válvula reguladora es un orificio variable y el caudal a través de ella tendrá la misma expresiónque para los orificios sumergidos y en particular la correspondiente a la placa orificio (ecuación (10.19)):

21

40

41

2120

8

p p

D D

D DC Q

eq

eqd (10.22)

Donde D0eq es el diámetro equivalente del orificio de la válvula (variable) y D1 el diámetro de la cañería.

Los organismos de normalización y los fabricantes de válvulas han convenido en denominar:

4041

21

20

8 eq

eqd valv

D D

D DC C


23/50

10.2. ORIFICIOS 447

Que se denomina coeficiente de la válvula. Puede observarse que este coeficiente no es adimensional sino quetiene dimensiones de área. Reemplazando este valor en la ecuación (10.22) queda:

21 p p

C Q valv

Si en la ecuación anterior reemplazamos la densidad del fluido por su densidad relativa:

aguar valv

p pC Q

21

Si la diferencia de presiones se expresa en kPa y la densidad del agua en kg/m³ la anterior se puede reescribir:

r valv

p pC Q

21

La cual si C valv se expresase en m² nos permitiría expresar Q en m³/s.

Este coeficiente fue definido en dimensiones del sistema inglés como el orificio para el cual con una diferenciade presión de una libra por pulgada cuadrada por la válvula circula un galón por minuto. Entonces si además delas dimensiones indicadas se quiere expresar el caudal en m³/h, el Estándar ISA (Intrument Society of America) para dimensionamiento de válvulas de regulación operando con líquidos estipula:

r valv

kPa p pC

h

mQ

21

3

0865,0

Usualmente la dimensión de la válvula de control es de menor tamaño (diámetro) que la cañería en la cual seinstala. Para tener en cuenta las conversiones de energía cinética y energía de presión y las pérdidas en lasreducciones y expansiones, la norma define un coeficiente que se denomina factor de geometría de la cañeríaF p. Con lo cual la anterior se expresa:

r valv p

kPa p pC F

h

mQ

21

3

0865,0 (10.23)

El cálculo de este factor puede obtenerse de la publicación indicada. Aquí por simplicidad supondremos que laválvula es del mismo diámetro que la cañería y por lo tanto F p=1.

Dado que el orificio de las válvulas es mucho menor que el de la cañería el fluido sufre un incremento develocidad importante, a expensas de la presión, por lo cual las válvulas se deben verificar a la cavitación cuandotrabajan con fluidos en condiciones cercanas a la tensión de vapor y/o con presiones relativamente bajas.

Ejemplo 10.6

Una válvula de control se utilizará para regular la presión en una cañería. La presión absoluta a regular es de1000 kPa. El caudal que circula por la línea es de 100 m³/h y la presión aguas arriba de la válvula fluctúa entre2500 kPa y 4500 kPa. Determinar a qué porcentaje de apertura trabajará la válvula en uno y otro caso si el CVal 100% (máxima apertura de la válvula) es de 36. La válvula de control tiene la misma dimensión que la líneay el fluido que circula es agua a 10ºC y densidad relativa 1.

Solución

De la ecuación (10.23):

r

valvkPa p p

hmQC

21

3

0865,0

Cuando la contrapresión es de 2500 kPa el CV es:

85,29

100025000865,0

100 _ 2500

valvC


24/50


Cuando la contrapresión es de 4500 kPa el Cv es:

54,19

100045000865,0

100 _ 4500

valvC

Por lo tanto:

%28,5410036

54,19%

%92,8210036

85,29%

4500

2500

kPa

kPa

apertura

apertura

Puesto que las válvulas en general deben operar (por motivos de vida útil y regulación) entre un 15% y 100%de su máxima apertura, en este caso la válvula funcionará en condiciones óptimas.

Las válvulas de seguridad son elementos que instalados en una línea o equipo permiten mantener la presión delmismo dentro de límites seguros evacuando fluido del mismo. Cuando la masa desalojada mantiene la presiónmediante la expulsión de masa fuera del sistema en forma tal que la presión se mantiene en un niveldeterminado, las mismas se denominan de alivio y operan en forma similar a lo visto para las válvulas deregulación.

Las válvulas de apertura instantánea en cambio abren totalmente descargando o bien a la atmósfera o biencontra una línea colectora de venteos cuando la presión en el interior vence a la fuerza ejercida por un resortecalibrado para mantener la válvula cerrada hasta alcanzar la presión de apertura. Una válvula de este tipo semuestra en la Figura 10.20.

Figura 10.20

Cuando la válvula abre la pérdida de carga en el asiento produce que la presión en la cañería o equipo seamayor que la de apertura para compensar la misma.

Los orificios de estas válvulas se encuentran calibrados y clasificados de acuerdo a una letra característica. Elorificio de descarga se dimensiona para la presión de seteo de la válvula de acuerdo a la contrapresión y al tipode fluido. La normalización de los orificios de venteo y las expresiones para el cálculo del orificio fue realizada por API (American Petroleum Institute). Para líquidos el diámetro del orificio se calcula mediante:

kPa p p

K K K K

lQmm A

r vcwd

21

2min78,11

(10.24)

Fórmula totalmente análoga a la de un orificio, afectada por coeficientes que pasaremos a definir:

K d: Coeficiente de descarga de la válvula que se obtiene del fabricante. Se adopta para cálculos preliminares 0,65. Este coeficiente es análogo al C d definido para orificios.

K w: Factor de corrección por contrapresión. Este factor vale 1 cuando se desagua a la atmósfera y paralos tipos de válvula convencionales. En lo sucesivo lo adoptaremos como unitario.


25/50

10.2. ORIFICIOS 449

K c: Factor de corrección por combinación con disco de ruptura. El disco de ruptura es una placa finaque rompe cuando se alcanza cierta presión. Si la válvula se instala sin disco de ruptura estecoeficiente vale la unidad.

K v: Factor de corrección por viscosidad. Este coeficiente es función del número de Reynolds y sólo

supera la unidad en fluidos muy viscosos con muy bajo número de Reynolds. Para el caso del aguay los gases este coeficiente es aproximadamente 1.

Ejemplo 10.7

Se desea proteger un recipiente a presión con agua a fin que la presión en el mismo no supere los 1200 kPa. Elcaudal máximo posible de inyección al mismo viene dado por una bomba cuya capacidad máxima es de 100m³/h y el desagüe de la válvula de seguridad a instalar es a la atmósfera. Calcular el área de oficio necesaria para aliviar la presión, si el coeficiente de descarga es de 0,65.

Solución

En este caso K w, K c, K v valen la unidad. Por lo tanto la ecuación (10.24) será:

kPa p pK

lQmm A r

d 21

2 min78,11

Reemplazando por los valores correspondientes:

8,87101200

1

65,0

166778,112

mm A

Con este valor del área se selecciona el orificio más cercano superior. De acuerdo a Norma API 526 (nomostrada en el texto) el orificio superior más cercano es de 1186 mm² que corresponde a un orificio tipo K.

10.2.12 Orificios parcialmente sumergidos

Los orificios parcialmente sumergidos son aquellos en los cuales el caudal del depósito (o canal) aguas abajotiene un nivel tal que se encuentra entre la parte superior e inferior del orificio tal como se muestra en la figura.

Figura 10.21 Orificio parcialmente sumergido

Se puede calcular la descarga de los mismos considerando que el caudal que escurre por la parte superior del

orificio es el que corresponde a descarga libre, y el que escurre por la parte inferior es el que corresponde adescarga sumergida, siendo el caudal total la suma de ambos. Esta forma de cálculo es sólo aproximada pueslos coeficientes de descarga no coinciden con los coeficientes de descarga reales. Si se requiere gran precisiónen el cálculo del mismo debe recurrirse a la experimentación.

10.2.13 Orificios bajo carga variable

Cuando el nivel de la superficie del recipiente varía con la descarga o la carga el flujo deja de ser estacionario.En lo que sigue consideraremos dos casos típicos:

a) Vaciado de un tanque de sección prismática constante en toda su altura con un orificio que desagua por su parte inferior.


26/50


b) Vaciado desde un tanque donde desciende el nivel a otro donde asciende el mismo, ambos de sección prismática constante con la altura.

a) Sea el recipiente mostrado en la figura Figura 10.22 y el volumen de control mostrado.

Figura 10.22

Donde:

H1: carga inicial;S: superficie de recipiente;

h: carga en el instante t genérico;

A0: área del orificio de salida.

Los volúmenes de control adoptados hasta ahora habían sido fijos, en cambio el volumen adoptado es ahoravariable. Para hacer esto en lugar de la derivada parcial de la masa en el volumen de control se debe adoptar laderivada total de la masa en el volumen de control:

VC SC

Ad V dt

d

El primer término constituye la variación de masa en el volumen de control que para un instante t dado vale:

VC

dt dhS d

dt d

En tanto que el flujo másico a través de la superficie de control es el flujo a través del orificio:

SC

d hg AC Ad V 20

Igualando ambos términos:

h

dh

g AC

S dt

hg AC dt

dhS

d

d

2

2

0

0

El tiempo T que tarda en desaguar todo el tanque lo podemos calcular integrando la altura h entre H 1 y 0:1

0 2

2 H

g AC

S T

d

(10.25)

b) Sean los tanques mostrados en la Figura 10.23 donde a través de un orificio sumergido se produce eldesagote del tanque de mayor nivel de agua hacia el de menor nivel.


27/50

10.2. ORIFICIOS 451

Figura 10.23

Donde:

H1: carga inicial del tanque 1.

H2: carga inicial del tanque 2.

S1: superficie del tanque 1.

S2: superficie del tanque 2.

h1: carga en el instante t genérico del tanque 1.h2: carga en el instante t genérico del tanque 2.

A0: área del orificio que interconecta los tanques.

De la figura Figura 10.23 y por consideraciones geométricas resulta:

21222111 H H H hhhh H

Diferenciando la ecuación anterior:

0222111 H hd hhd h H d

Planteando la descarga para el tanque 1 de la misma forma que lo visto para el caso anterior pero teniendo encuenta que el orificio desagua sumergido:

dt hhgS AC h H d hhg AC dt h H d S d d 211011210111 2.2.

De la misma forma para el tanque 2:

dt hhg

S

AC H hd hhg AC

dt

H hd S d d

21

2

022210

222 2

.2.

Reemplazando en la ecuación diferencial resulta:

2121

21011

2 hhd dt S S

hhg AC d

21

21

21

210 2.

hh

hhd dt

S S

S S g AC d

De esta última ecuación podemos calcular el tiempo que tarda en igualarse los niveles entre ambos tanquesintegrando entre la diferencia de niveles al comenzar la operación (H1-H2) y 0 con lo cual obtendremos:

0

21

21

021

210

21

2.

H H

T d

hh

hhd dt

S S

S S g AC

210

2121

2

2

S S g AC

H H S S T

d

(10.26)


28/50


Ejemplo 10.8

Dos tanques de hormigón como se muestra en la figura están divididos por un tabique de 300 mm. Cuando seabre una compuerta se conectan mediante un orificio de 100 mm de diámetro. Si la compuerta se abre cuando laaltura en el tanque de la izquierda es de 5 m sobre el centro del orificio, en tanto que el otro se encuentra vacío,

determinar el tiempo requerido para que se igualen las alturas de ambos y dicha altura.

Figura 10.24

Solución

En la ecuación (10.26) reemplazamos los valores que se obtienen del enunciado y los gráficos. Como se trata deun orificio de pared gruesa (el espesor del orificio es tres veces el diámetro del mismo) el coeficiente a adoptares el que surge de la ecuación, es decir 0,817. Además como la carga es sensiblemente inferior a 13m no existeriesgo de que se produzca cavitación. Por lo tanto el tiempo T de desagüe será:

min45831485

202020208,924

1,0817,0

5202020202

22

hs

mmmmsmm

mmmmmT

La altura que alcanzará el agua será de 2,5 m pues ambos tanques son iguales, como surge de plantear laigualdad de volúmenes inicial y final.

m H mmmm H mm f f 5,22020202020205

10.3 Vertederos

En la introducción del presente capítulo se han señalado los distintos tipos de vertedero y sus aplicaciones másusuales. Respecto de las limitaciones y usos específicos podemos agregar que debido a su relativa fragilidadestructural los vertederos de pared fina se ven constreñidos a la medición (aforo) de caudales. Los vertederos de pared intermedia que copian la forma de la vena líquida son los más usados en los vertederos de alivio enrepresas, en tanto los vertederos de pared gruesa propiamente dicha se utilizan en presas de pequeños arroyos.

Como ya se dijo la sección transversal de los vertederos es usualmente rectangular, trapecial o bien triangular.

Los vertederos pueden estar orientados en cualquier dirección respecto al canal de llegada pero los más usualesson los normales al eje del canal y los paralelos al eje del canal, a estos últimos se los llama vertederos laterales.

Figura 10.25


29/50

10.3. VERTEDEROS 453

10.3.1 Elementos de un vertedero

Los elementos que componen el vertedero son:

Umbral: Es la arista o superficie inferior de la abertura del vertedero.

Longitud del vertedero (l): Para vertederos rectangulares y trapeciales es la longitud del umbral.Canal de llegada: Para aquellos vertederos que se instalan en canales es el canal aguas arriba del

vertedero.

Velocidad de llegada: Es la velocidad media en el canal de llegada.

Altura del vertedero (P): Es la altura desde el fondo del canal o presa hasta el umbral.

Carga del vertedero (H1): Es la altura medida desde el umbral del vertedero la superficie libre noafectada por la presencia de éste.

En la Figura 10.26 se esquematizan los diferentes elementos.

Planta Vista Corte a-a

aa

b

l P Pe

y H1 bl

Figura 10.26

10.3.2 Características del flujo sobre vertederos

Si observamos atentamente el flujo en las inmediaciones y sobre el vertedero podemos advertir las siguientessingularidades:

Al igual que lo visto para los orificios y por las mismas razones expuestas anteriormente, la láminavertiente sufre contracciones inmediatamente aguas abajo de las aristas vivas de las aberturas. Paravertederos rectangulares y trapeciales se puede distinguir entre contracciones laterales y contracciónde fondo. La contracción de fondo y las contracciones laterales serán máximas cuando la altura delvertedero sea mayor a tres veces la carga (P > 3H1) o bien el ancho del canal mayor que tres vecesla longitud del vertedero (b > 3l), respectivamente. En caso contrario la contracción seráincompleta.

La línea de superficie libre se curva en las proximidades del vertedero de forma tal que las líneas decorriente convergen hacia el umbral. Esta depresión suele denominarse remanso del vertedero. Esteefecto es debido a que al disminuir la sección de pasaje del líquido el fluido se acelera aumentandosu velocidad y por lo tanto su energía cinética. Este aumento de energía cinética se realiza aexpensas de una disminución en la energía potencial. Se considera que a una distancia aguas arribadel vertedero mayor que cuatro veces la carga (4H1), los efectos de la depresión son despreciables para cualquier tipo de vertedero. Esa es la posición más conveniente para medir la carga en losaforos pues de hacerlo aguas arriba la medición estaría influida por la curva de remanso delmovimiento uniformemente variado en el canal.

La forma de la lámina vertiente depende de la relación entre la carga y la altura del vertedero. Cuantomenor es la relación menor es la sobreelevación de la lámina inferior, es decir menor es lacontracción de fondo. Se ha establecido que para vertederos de pared delgada la distancia entre el borde de ataque y el punto donde la lámina intercepta a la horizontal que pasa por dicho punto es deaproximadamente 0,66H1 se concluye que los vertederos cuya pared sea mayor a la dimensiónenunciada seguramente no se comportarán como vertederos de pared delgada (ver figura Figura10.27).


30/50


Figura 10.27

10.3.3 Vertederos de pared delgada

10.3.3.1 Vertedero perfecto

Es el vertedero mostrado en la Figura 10.28 y que admitiremos cumple con las siguientes condiciones:

Contracción lateral nula: b=l

Contracción de fondo máxima: P > 3H1

Velocidad de llegada despreciable.

Pared delgada e < 0,5H1, vertical y normal a la dirección de la corriente.

Umbral horizontal y sección rectangular.

Caída libre y lámina destacada (aireada).

b

l

H1

Py

V1

z

dz

V2 (z)

volumen de control

2

2

1

1

H1

P

Figura 10.28

Si le aplicamos la ecuación de la energía a un volumen de control tal como el mostrado en punteado la figura,resulta:

VC SC Ad V hgV pud et W Q

2

..

21

Que como siempre, tratándose de flujo permanente y sin transferencia de calor o potencia en ejes podemosreescribir:

Ad V zgV p

uSC

22

10

Como sólo hay flujo másico en las secciones 1-1 y 2-2, la integral la debemos evaluar únicamente sobre éstas, yademás siendo el fluido incompresible, resulta:


31/50


11

22

22

212

11

1 2

1

2

1

SC SC

Ad V zgV p

u Ad V zgV p

u

(10.27)

Analizaremos los componentes de la energía en la sección 1-1:

energía interna: u1=cte

energía de presión y energía potencial:

11

11 H g

p zg

z H g p zg

p atmatm

energía cinética: la velocidad V 1 no es realmente constante, sino variable con la altura, pero se podrátomar la V 1 media en la sección, corrigiéndola con el coeficiente de Coriolis , quedando:

cteV

2

21

Analizaremos ahora los componentes de la energía en la sección 2-2:

En esta sección sólo hay flujo sobre el vertedero. Se puede considerar sin mayor error que las líneas decorriente son rectas paralelas y si además en la superficie libre y en la superficie inferior del chorro hay presión

atmosférica, la distribución de presiones en el interior de la sección es uniforme e igual a la atmosférica. Conrespecto a la velocidad, no se considerará uniforme en toda la sección, sino variable en función de z, como severá a continuación, con una variación parabólica. Resulta entonces:

energía interna: u2=cte

energía de presión y energía potencial: zg p

zg p atm

22

energía cinética: V 2=V 2(z)

Reemplazando todos estos valores analizados en la ecuación (10.27) y sacando los términos constantes fuera dela integral, resulta:

22122

2)(2

2

21

11SC

z

SC

atm

SC

atm dQV

zgdQ p

udQV

H g p

u

Si diferenciamos la anterior, resulta:

dQV

zgdQ p

udQV

H g p

u zatmatm

22

2)(2

2

21

11

Dividiendo m. a m. por dQ, resulta:

22

2)(2

2

21

11 zatmatm

V zg

pu

V H g

pu

De la anterior, despejaremos el valor de la velocidad en la sección 2-2

22

21

121)(2V

zg H guuV z

Consideraremos la pérdida de carga, dentro del factor de velocidad:

g

V z H gC V V z 2

22

11)(2

Si se desprecia la velocidad de llegada, la expresión de la velocidad quedaría similar a lo visto para orificios:

z H gC V V z 1)(2 2 (10.28)

A continuación calcularemos el caudal de un elemento de área diferencial de la sección 2-2 y lo integraremos por el ancho del vertedero l y la altura H 1:


32/50


22

)(2)(2 ldzV QldzV dQ z z

El límite inferior de integración de z es el borde de ataque del vertedero: z=0, el límite superior es la superficielibre, pero ésta no se conoce exactamente, por lo cual integraremos hasta z=H 1, que es la carga, y se afectará el

caudal a un coeficiente de contracción, como se hizo en el caso de orificios.

1

0

2

12

11 2

2 H

V C dzg

V z H lgC C Q (10.29)

La integral se podrá resolver por sustitución, llamando:

g

V z H m

2

21

1 , y dm=-dz

2

32

11

2

32

12

32

2

2

1

223

2

3

2

21

211

g

V H

g

V uduu

g

V

gV H

(10.30)

Y finalmente, reemplazando la (10.30) en la (10.29), resulta:

2

32

12

32

11 223

22

g

V

g

V H lgC C Q V C

Si al término Cc·Cv·2/3 lo denominamos Cd (coeficiente de descarga), podemos reescribir la ecuación anteriorde la siguiente manera:

2

32

12

32

11

222

g

V

g

V H lgC Q d

(10.31)

En particular, para el vertedero perfecto, la velocidad de llegada puede ser despreciada (V1=0), con lo queresulta:

2

3

12 H lgC Q d (10.32)

El coeficiente de descarga fue encontrado en forma analítica por Boussinesq y en forma experimental pornumerosos investigadores. El valor de Cd según estos estudios varía entre 0,407 y 0,435, siendo en casi todoslos casos función de la carga y de la altura del vertedero. Boussinesq determinó analíticamente un valor de0,423. Como se puede observar, adoptando este último valor, el error esperado estará en el entorno de ±5%, locual es suficiente en la mayoría de los casos.

Sin embargo, si se requiere mayor precisión, será necesario consultar manuales de hidráulica específicos yaplicar el coeficiente dentro del rango de validez de los ensayos efectuados para determinarlo.

Cuando el canal de llegada es más ancho que la sección del vertedero se producirá la contracción de la vena conla correspondiente disminución del caudal. En particular si la distancia entre las paredes del canal y la arista delvertedero es mayor a tres veces la menor dimensión del vertedero la contracción de la vena será completa. Esteefecto usualmente es tenido en cuenta modificando la longitud del umbral del vertedero y disminuyendo suvalor en un 10% respecto a la altura por cada contracción es decir que para un vertedero rectangular concontracción en ambas aristas la longitud de cálculo lc será:

12,0 H llc (10.33)


33/50


Ejemplo 10.9

En el extremo de un canal de 1 m de ancho se dispone un vertedero rectangular que ocupa todo el ancho delcanal. Si el tirante aguas arriba del vertedero es de 1 m y la altura H1 (carga) sobre el vertedero es de 0,2 m,determinar cual es el caudal circulante por el canal.

Solución

Dado que no podemos a priori despreciar la velocidad de llegada, utilizaremos para el cálculo de caudal laecuación (10.31), reemplazando en la misma la velocidad de llegada por su expresión en función del caudal:

2

3

21

22

3

21

2

122

2 ylg

Q

ylg

Q H lgC Q d

Vamos a adoptar C d =0,41 y =1,1; valores que reemplazamos en la ecuación anterior.

2

3

22

22

3

22

22

18,92

1,1

18,92

1,12,08,9241,0

mlmsm

Q

mlmsm

QmlmsmQ

De donde podemos calcular el valor del caudal mediante aproximaciones sucesivas, resultando:

smQ 31641,0

10.3.3.2 Vertederos con sección no rectangular

Además de los vertederos de sección rectangular son muy usados los vertederos de sección triangular y losvertederos de sección trapecial. Para estos vertederos resulta que la sección de pasaje es función de la carga H1 y por lo tanto el caudal debe ser calculado teniendo esto en cuenta.

Sea el vertedero de sección triangular que se muestra en la figura Figura 10.29:

Figura 10.29

De acuerdo a lo visto para el vertedero perfecto (ecuación (10.28)):

z H gC V V 12 2

Expresión que no depende de la forma de la sección (aunque como veremos el coeficiente de velocidad noresulta el mismo). Por lo tanto el caudal se podrá calcular como:

dztgtg z z H gC C dQ

dztg ztg zC C dQ

vc

vc

211

21

2

Si adoptamos: 1=2=/2 resultará tg (/2) + tg (/2)=2 tg (/2) y podemos reescribir la anterior de lasiguiente forma:

dztg z z H gC C Q vc

2

22 1

Reemplazando como antes: H1 – z=y dm=– dz, resulta:

dmtgm H mgC C dQ vc

2

22 1


34/50


dmmm H tggC C Q H H

vc

11

0

2

3

0

2

1

222

2

5

12

5

1 5

2

3

2

222 H H tggC C Q vc

2

5

1222

15

8 H tggC C Q vc

(10.34)

Si llamamos:

gC C C vc 215

8

Y teniendo presente que el vertedero triangular más usual es el de 90° resulta la siguiente expresión:

2

5

1 H C Q d (10.35)

El valor de C d es aproximadamente 1,346 y casi independiente de la velocidad de llegada. También es casiindependiente de la distancia al fondo y las paredes laterales lo cual lo hace muy adecuado para ser usado enaforos.

Los canales trapeciales son también muy usados porque las aberturas del trapecio sirven para compensar ladisminución de caudal que se produce en vertederos rectangulares debido a la contracción lateral. Uno de losvertederos trapeciales más difundidos es el vertedero Cipolletti muy usado en canales de riego y cuyo gasto se puede calcular mediante:

2

3

186,1 H lQ (10.36)

Las ecuaciones (10.35) y (10.36) no son dimensionalmente coherentes, por lo que hay que utilizar las siguientesunidades: [l]=[m], [H1]=[m], [Q]=[m³/s]

Ejemplo 10.10

A los fines de suministrar la cuota de riego correspondiente a un propietario, se ha dispuesto un vertederotriangular de ángulo 90º. Si el caudal de agua a suministrar es de 10 l/s: ¿para que carga se deberá ajustar elmismo? Si se reemplaza el vertedero por un vertedero trapecial tipo Cipolletti con umbral de 30 cm. ¿cuántovaldrá la carga?

Solución

Para responder a la primera pregunta despejamos de la ecuación (10.35) la carga H1, tomando como coeficientede descarga 1,464:

mmmC

Q H 141141,0

346,1

01,0 52

5

2

1

En caso de utilizar un vertedero tipo Cipolletti utilizamos la ecuación (10.36):

mmmQ

l

Q H 68068,0

03,086,186,1

3

2

3

2

1

10.3.3.3 Aireación de la napa inferior en un vertedero de pared fina

En la descarga libre de cualquier líquido a la atmósfera parte del aire circundante es ocluido dentro del chorrode líquido inyectado. Este efecto se puede visualizar fácilmente pues las napas en contacto con el aire tienenuna velocidad finita y por lo tanto transfieren cantidad de movimiento (arrastrando) al aire circundante. Cuanto


35/50


más turbulento sea el flujo mayores serán las componentes aleatorias y por lo tanto mayores las posibilidades deoclusión de aire en el chorro.

Si por algún motivo las napas no se encuentran suficientemente aireadas (es decir el caudal de aire que ingresaes inferior al caudal de aire ocluido) se producirá un vacío y el correspondiente descenso de la presión

circundante con respecto a la atmosférica.Esto puede ocurrir en la napa inferior de los vertederos de cresta delgada cuando, por razones estructurales, enlos costados del vertedero es necesario incluir paredes laterales (por ejemplo vigas estructurales).

Esta disminución de presión de la napa inferior tiene los siguientes efectos:

La presión atmosférica actuando sobre la parte superior es mayor que la presión inferior de la vena y por lo tanto hace que ésta tienda a pegarse o directamente se pegue contra la pared del vertedero(Figura 10.30).

Debido a que la presión en la salida disminuye por debajo de la atmosférica el caudal del vertedero esmayor que el caudal con descarga aireada. Este efecto usualmente es acompañado con inestabilidaddebido a que cuando la presión disminuye la aireación tiende a aumentar y por lo tanto la presiónvuelve a subir manteniendo ciclos en los cuales varía la carga y el caudal lo que perjudicasensiblemente cuando el vertedero se quiere usar con propósito de aforo.

La presión puede disminuir tanto que se ubique por debajo de la presión de vapor del agua dandolugar a cavitación. Este fenómeno es destructivo y se debe prevenir especialmente en estructurasimportantes como el caso de vertederos de presas.

Figura 10.30

10.3.4 Vertederos de pared intermedia

Los vertederos de pared delgada usualmente no son apropiados para usar en grandes estructuras debido a suinherente debilidad estructural. Por lo tanto para vertederos de presas de embalse se requiere utili

hidraulica - capítulo 10 -orificios y vertederos - version 07

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