HibaelméletA mérési hibák

Geodézia II.

Tarsoly Péter

A mérési hibák

• A leggondosabban végzett mérések eredményei is ellentmondásokhoz vezetnek, mert a méréseket hibák terhelik.

• Hibakeresés:• Egymással matematikai, geometriai kapcsolatban

lévő mennyiségeket mérünk meg, ezek nem elégítik ki a közöttük fennálló feltételeket

• Fölös méréseket végzünk: olyan mérések, amelyeket a matematikailag szükséges mérések felett végzünk; fölös mérés≠fölösleges mérés

A mérési hibák csoportosítása

• Durva hiba

• Álhiba

• Szabályos hiba

• Szabálytalan hiba

A durva hiba és az álhiba

• Durva hiba: az a hiba, amely lényegesen felülmúlja a mérésben tűrhető legnagyobb hibát is.

• oka: gyakorlatlanság, szórakozottság, figyelmetlenség pl. szögmérésnél elolvassuk a fokértéket, szalagmérésnél az egész szalagfekvések számát

• Álhiba: olyan hiba, amely a mérési eredményekből számítással levezetett értékekben hibás képleteknek eredményeképpen jelentkezik.

Szabályos hiba

• Szabályos hiba: olyan hiba, amely a mérések megismétlése alkalmával értékét valami szabályossággal változtatja. pl. hosszmérésnél a hosszmérő eszköz hő hatására megváltoztatja a hosszát

• Kiküszöbölése:1. Igazítással: a műszer igazításával küszöböljük ki

a hibát, általában sohasem sikerül tökéletesen, csak csökkenti a hiba hatását, de teljesen nem szünteti meg

2. Számítással: ha matematikailag kifejezhető a szabályosság, akkor a hiba kiszámítható, és vele a mérési eredmény megjavítható

3. Mérési módszer: olyan mérési módszert választunk, amellyel a hiba hatása kiejthető pl. két távcsőállásban való mérés

Szabálytalan hiba

• Szabálytalan hiba: olyan hiba, amely a mérés megismétlése alkalmával mind előjelre, mind nagyságra nézve a véletlen szeszélye szerint jelentkezik.• Az ismételt mérések bizonyos határok

közötti véletlen ingadozásokat mutatnak• Teljesen elkerülni vagy kiküszöbölni nem

lehet, csak az ingadozások mértékét lehet csökkenteni pontosabb műszerek, jobb módszerek, gyakorlottabb észlelők alkalmazásával

Egyszerűsítő jelölések

• Az összegzés egyszerűsítő jelölése:

• A középértékképzés egyszerűsítő jelölése:

nn 121 ...

n

n...21

Hibaelméleti következtetések

• A mérési eredményekben lévő valódi hiba (ε) általánosságban minden esetben egy szabályos és egy szabálytalan részből tevődik össze: ε= εszabályos+ εszabálytalan

• A szabályos hiba középértéke nem nulla, hanem valamilyen számérték; ha a szabályos hibából levonjuk annak középértékét, a maradék a szabálytalan hibához hasonlóan nulla középértékű lesz.

• Bármely mérés hibája: ε=θ+Δ, ahol

• θ » az állandó hiba, vagy valamilyen törvényszerűségnek engedelmeskedő szabályos hiba

• állandó hiba: pl. szalag komparálási hibája• szabályos hiba: pl. kollimáció – és indexhiba

• Δ » szabálytalan hiba pl. szalag vízszintes kígyózásából eredő hiba

A pontosság és megbízhatóság megállapítására szolgáló mennyiségek

Geodézia II.

Valószínűségi változó

• Tétel: valószínűségi változónak nevezzük azokat a mennyiségeket, amelyek értékét a véletlen befolyásolja.• diszkrét: ha megszámlálhatóan sok értéke lehet• folytonos: ha nem megszámlálhatóan sok értéke

lehet

• A mérési eredmények folytonos valószínűségi változók, annak ellenére, hogy értéküket csak korlátozott élességgel határozzuk meg, mert ezen értékek végtelen sok lehetséges érték kerekítéséből származnak.

• Folytonos valószínűségi változó tulajdonságainak vizsgálata:• eloszlásfüggvény• sűrűségfüggvény

Az eloszlásfüggvény

• Valamely ξ folytonos valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvénye az e=ξ<x esemény valószínűségét írja le, tehát 0≤F(x)≤1. Monoton nem csökkenő, tehát F(x1) ≤F(x2), ha x1 ≤x2. Annak a valószínűsége, hogy ξ a (c, d) tartományba esik: F(d)-F(c).

0

0 )()()(

0 xx

xfxfxd x

differenciahányados:az x értékek változásához mekkora függvényérték változás tartozik

A sűrűségfüggvény

• Az f(x) sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény derivált függvénye, f(x)≥0, végtelen határok közötti integrálja 1-el egyenlő. Annak a valószínűsége, hogy ξ a (c, d) tartományba esik:

d

c

cFdFdxxf )()()( ha F az f függvény primitív függvénye (azaz F deriváltja az eredeti függvény), a Newton-Leibnitz formula szerint

Normális eloszlás

• Az eloszlások egyike a Gauss által meghatározott, geodéziában használt normális eloszlás.

• Tétel: ha a valószínűségi változó értékét nagyszámú egymástól független véletlen tényező befolyásolja úgy, hogy a tényezők külön-külön csak igen kis mértékben érvényesülnek és a hatások összeadódnak, akkor a valószinűségi változó normális eloszlású.

• A normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

2

2

2

)(exp

2

1)(

ax

xf

Ahol

- „a” a várható érték

- „σ” a szórás

- „exp” a természetes logaritmus e alapjának a szögletes zárójelben megadott kitevőjű hatványa

A haranggörbe

• A normális eloszlás sűrűségfüggvényének a képe a haranggörbe vagy másnéven Gauss-görbe.

• helyzetét a várható érték határozza meg• alakját a szórás határozza meg• inflexiós pontja (ahol a görbe görbületet vált) a várható értékhez

képest szimmetrikusan és attól σ távolságra helyezkedik el• kisebb szórású eloszlás haranggörbéje meredekebb, nagyobb

szórásúé laposabb

A három szigma szabály• Annak a valószínűsége, hogy a ξ normális eloszlású

valószínűségi változó értéke a várható érték körüli és a szórás egy-, két-, háromszorosának megfelelő szélességű intervallumba esik:

.9973.0)33(

9545.0)22(

6827.0)(

aP

aP

aP

Tehát 99.7% valószínűségű, hogy a normális eloszlású valószínűségi változó értéke a várható érték körüli +/-3σ tartományba esik.

A pontosság és megbízhatóság fogalma

• Jelöljük U-val a mérés tárgyát képező mennyiség hibátlan értékét, L-el a mérési eredményt, ε-al a valódi hibát.• Ekkor U=L-ε illetve ε=L-U azaz• Valódi hiba=hibás érték – hibátlan érték

• A pontosság a valódi hiba abszolút értéke.• Ugyanazon mérési eredmények közül az a

pontosabb, amelyik hibája abszolút értékre nézve kisebb. Mivel a valódi hiba ismeretlen, ezért a valódi pontosság is ismeretlen, minden esetben csak közelítőleg lehet meghatározni.

• Megbízhatóság: a mérési eredmények egymáshoz való viszonyát fejezi ki, azt mutatja meg, hogy mi az az intervallum, amelyen belül a mérési eredmények szóródnak

A pontosság és megbízhatóság fogalma

1. A legvalószínűbb érték annál közelebb van a hibátlan értékhez, minnél pontosabb a mérés

2. Annál meredekebb a haranggörbe, minél megbízhatóbbak a mérések

Megbízhatósági mérőszámok

• A mérési hiba értékét mint a mérési eredmény (L) és a mért mennyiség valódi értéke (U) különbségeként definiáljuk:

• ε=L-UMivel a mérési hiba valódi értékét nem ismerjük,ezért amérési hibák jellemzésére megbízhatósági

mérőszámokatvezettek be.

Megbízhatósági mérőszám: azt fejezi ki, hogy egy mérési sorozat esetén a mérési eredmények milyen feltételezhető értékkel térnek el a valódi értéktől. Azt a mérési sorozatot tekintjük megbízhatóbbnak, amelyben a mérési hibák kisebb, szűkebb határok között ingadoznak és amelyben a nagyobb hibák értéke kevesebb.

Középhiba• A középhiba matematikai megfelelője a szórás, a mérési eredmények változékonyságának mértéke. Jele: m vagy μ•

• dimenziója megegyezik a mérési eredmény dimenziójával• a középhibát +/- előjellel írjuk• a megbízhatóság reciprok mértéke (minnél nagyobb a középhiba, annál kevésbé megbízható a mérési eredmény)

• Legyenek L1, L2, L3......Ln mérési eredmények, és ehhez tartozzanak Δ1, Δ 2, Δ 3..... Δ n véletlen hibák.

n

n

n

i

n

i

1

2

1

2

2

nn

n

ii

n

121 ...

Gauss-féle középhiba

- a véletlen hibák négyzetösszegének középértékéből vont négyzetgyök

Laplace-féle átlagos hiba

- a véletlen hibák abszolút értékének a számtani közepe

A súly

• A súly egyenesen arányos a megbízhatósággal. Jele: p, a latin pondus szóból származik

• Valamely mérési eredmény súlya alatt azt a mennyiséget értjük, amely fordítva arányos a szóban forgó mérési eredmény μ-el jelölt középhibájának négyzetével, azaz

2

1

p

Eszerint a súly mindig pozitív mennyiség, dimenziója pedig a négyzetre emelt középhiba reciprok értékének a dimenziójával azonos.

A súlyokat csak mint viszonyszámokat alkalmazzuk, ezért azok értékét meg szoktuk szorozni valamilyen együtthatóval.

2

20

p

12

20

p ;220 0Ha a súly az egységgel egyenlő:

Ebben az esetben μ0 a súlyegység középhibája, azaz az egység súlyú méréshez tartozó középhiba.

p0 p0

Közelítő súlyok felvétele a gyakorlatban gyakrabban előforduló mérésekhez

• Teodolittal való irányzás, iránymérés irányértékeit vagy egyenlő súlyúnak vesszük, vagy pedig az irányhosszak arányában súlyozzuk. Ez utóbbi esetben célszerű súlyegységnek az 1 km hosszú irányt választani.

• Hosszmérés középhibája a távolság négyzetgyökével egyenes arányban növekszik:

2121

1:

1:

1::

tttppp

t

tte

eet

Hosszmérésnél a súlyegység a mérendő távolságnak megfelelően 10, 100, vagy 1000. Ha ez utóbbi a súlyegység akkor az μe érték a kilométeres középhiba.

Optikai távmérés esetén a mérőszalaggal való hosszméréshez hasonlóan járunk el.

Fizikai távmérésnél a mérőműszerek prospektusai megadnak a távmérés megbízhatóságára vonatkozóan egy távolságtól független, és egy attól függő középhiba értéket is (pl. 2mm+2ppm). Ennek jelentése, hogy minden távolság mérése 2mm-es megbízhatósággal jellemezhető, plusz ehhez még hozzájön kilométerenként 2 mm. Amennyiben a mért távolság kisebb vagy nagyobb, mint 1 km, úgy a 2mm távolságtól függő középhiba arányos része jellemzi a távmérést.

Közelítő súlyok felvétele a gyakorlatban gyakrabban előforduló mérésekhez

• Szintezési vonalban a középhiba értékét a távolság négyzetgyökével egyenes arányban növekedőnek tekintjük:

2121

1:

1:

1::

tttppp

t

tte

eet

A súlyegységet 100 m; 1 km, esetleg 10 km egységben szokás felvenni.

Trigonometriai magasságmérésnél – ha a számított magasságkülönbségeket tekintjük mérési eredménynek, a meghatározott magasságkülönbség megbízhatósága:

23

22

321

1:

1::

ttppp

t em

Hibaterjedés

Geodézia II.

A hibaterjedés törvénye

• Hibaterjedés törvénye: ha hibával terhelt mennyiségekből valamilyen ismert függvény vagy függvények segítségével újabb mennyiségeket határozunk meg, akkor azok is hibával terheltek. A hibaterjedés törvénye azt fejezi ki, hogy a meghatározó adatok megbízhatósági mérőszámainak ismeretében hogyan határozhatjuk meg a meghatározott mennyiségek megbízhatósági mérőszámait.

• A geodéziai mérési eredmények valószínűségi változónak tekinthetőek (egymástól függetlenek és csak szabálytalan hibák terhelik), tehát a mérési eredmények függvényei is valószínűségi változók. A hibaterjedés törvénye lehetőséget ad, hogy a függvények megbízhatósági mérőszámait meghatározzuk.

Hibaterjedés adott számmal való szorzás esetén

• Tétel: Egy állandó számmal való szorzás esetén a szorzat középhibáját úgy kapjuk, hogy a mért mennyiség középhibáját megszorozzuk a megadott állandó számmal.

• A függvénykapcsolat: U=a*x

• Az x mennyiségre végzett mérések eredményei: x1, x2, ....xn

• Helyettesítsük be a mérési eredményeket az eredeti függvénykapcsolatba:

nn xaU

xaU

xaU

................22

11

Hibaterjedés adott számmal való szorzás esetén

• Az egyes U értékek véletlen hibái: ΔU1, Δ U2,... Δ Un

• A mérési eredmények véletlen hibái: Δ x1, Δ x2,... Δ xn • Ekkor:

xnUn

xU

xU

xnnUnn

xU

xU

xnnUnn

xU

xU

a

a

a

vagyis

axaxa

axaxa

axaxa

de

xaU

xaU

xaU

..................

.........................................

)(

.....................................

)(

)(

22

11

2222

1111

2222

1111

Hibaterjedés adott számmal való szorzás esetén

• Négyzetre emelve, majd összegezve:

222

222

22

222

21

221

:

....................

xU

xnUn

xU

xU

a

összegezve

a

a

a

Jobb és bal oldalt osztva n-el:

n

an

xU2

22

De a Gauss-féle középhiba képlete miatt:

xU

xU

xx

UU

a

a

n

n

222

22

22

Hibaterjedés összeg és különbség esetén

• Tétel: összeg vagy különbség középhibájának négyzete egyenlő az egyes tagok középhibájának négyzetösszegével.

• Legyen a függvényünk: U=x+y

• A mérési eredmények: x1, y1, x2, y2, ... xn, yn

• Az egyes U értékek véletlenhibái: Δ U1, Δ U2,... Δ Un

• A mérési eredmények véletlen hibák: Δ x1, Δ y1, Δ x2, Δ y2, ... Δ xn, Δ yn

• Ekkor:

ynxnUn

yxU

yxU

ynxnnnUnnn

yxU

yxU

ynnxnnUnn

yxU

yxU

nnn

tehát

yxyx

yxyx

yxyx

de

yxU

yxU

yxU

és

yxU

yxU

yxU

......................

)()(

..........................................................

)()(

)()(

)()(

.................................................

)()(

)()(

..................

222

111

2222222

1111111

222222

111111

222

111

Hibaterjedés összeg és különbség esetén

• Négyzetre emelve:

nnnn

összegezve

yyxxU

yyxxU

ynynxnxnUn

yyxxU

yyxxU

222

222

222

2222

22

22

2111

21

21

2

2

2

.........................................

2

2

Mivel Δx és Δy ugyanolyan valószínűséggel lehet pozitív vagy negatív, ezért ha n a végtelen felé tart:

0

2

n

yx

Hibaterjedés összeg és különbség esetén

• Ekkor:

22

222

22

22

22

222

;;

yxU

yxU

yy

xx

UU

yxU

tehátnnn

dennn

Tetszőleges lineáris függvény középhibája: U=±ax±by ±cz ±... ±const

...

...

...)()()(

222

222

cba

ha

cba

U

zyx

zyxU

Lineáris függvény: az elsőfokú (képük mindig egyenes) és konstans függvényeket nevezzük lineáris függvényeknek.

Hibaterjedés általános esetben

• Nem lineáris függvények középhibája: a legegyszerűbben valamilyen lineáris függvényre vezetjük vissza Taylor-sorba fejtéssel; csak a lineáris tagokat tartjuk meg, és ezekre alkalmazzuk a fent megismert törvényszerűségeket. A hibaterjedés tehát alkalmazható minden olyan függvényre, amely folytonos, differenciálható és Taylor-sorba fejthető. A csak lineáris tagok megtartása és az összes többi felsőrendű tag elhanyagolása megengedhető közelítést jelent.

• Legyen U ismeretlen mennyiség a megmért x, y, z... mennyiségek tetszőleges f függvénye, ezek véletlen hibái Δ U, Δ x, Δ y, Δ z ..., középhibái μU, μx, μy, μz ...

U=f(x, y, z...)

Hibaterjedés általános esetben

Az x, y, z ... mennyiségek meghatározására általában n számú mérést végzünk, így az eredmények x1, y1, z1...,x2, y2, z2...,xn, yn, zn..., ezek véletlen hibái Δ x1, Δ y1, Δ z1 ..., Δ x2, Δ y2, Δ z2..., Δ

xn, Δ yn, Δ zn... .Ha ezeket behelyettesítjük az f függvénybe, U értékére különböző eredményeket fogunk kapni.

,...),,(

...............................

,...),,(

................................

,...),,(

,...),,(

2222

1111

nnnn

iiii

zyxfU

zyxfU

zyxfU

zyxfU

Ragadjuk ki az i-dik értéket:

,...,,,

,...),,(

zzyyxxUU

ahol

zyxfU

ziiyiixiiUii

iiii

Hibaterjedés általános esetben

,...),,(,...),,(

,...),,(

iiiziiyiixiiUi

ziiyiixiiUii

zyxfzyxf

zyxfU

...

,...),,(...,...),,(

ziyixiUi

iiiziyixiiiiUi

z

f

y

f

x

f

zyxfz

f

y

f

x

fzyxf

Az f függvényt sorba fejtve és csak a lineáris tagokat tartva meg:

Emeljük négyzetre, és írjuk fel i=1-től n-ig:

...2...

...2...

.............................................................................................................

...2...

.............................................................................................................

...2...

...2...

22

2

2

22

2

22

2

2

22

2

22

2

2

22

2

222

2

22

2

2

22

22

2

112

1

22

1

2

21

22

1

yxyxzyxU

ynxnyxznynxnUn

yixiyxziyixiUi

yxyxzyxU

yxyxzyxU

ffz

f

y

f

x

f

összegezve

ffz

f

y

f

x

f

ffz

f

y

f

x

f

ffz

f

y

f

x

f

ffz

f

y

f

x

f

Hibaterjedés általános esetben• A valódi hibák előjele éppen úgy lehet pozitív, mint negatív, ezért a kettős szorzatok

előjele is részben pozitív, részben negatív, így azok összege ha a tagok száma a végtelen felé tart, zérus felé konvergál.

...22

2

2

22

2

zyxU z

f

y

f

x

f

osztva n-el:

...

...

;...;;;

...

22

2

2

22

22

2

2

22

2

22

22

22

22

2222222

zyxU

zyxU

zz

yy

xx

UU

zyxU

z

f

y

f

x

f

vagy

z

f

y

f

x

f

nnnn

de

nz

f

ny

f

nx

f

n

Hibaterjedés alapképlete

Hibaterjedés általános esetben

• Határozzuk meg a függvényérték súlyát pU-t, ha ismerjük az egyes mennyiségek px, py, pz,... súlyát.

;...;;;

;...;;;

22

22

22

22

2

2

2

2

2

2

2

2

zz

yy

xx

UU

zz

yy

xx

UU

p

c

p

c

p

c

p

c

tehát

cp

cp

cp

cp

Behelyettesítve a hibaterjedés képletébe:

...1111

...

222

2222222

zyxU

zyxU

pz

f

py

f

px

f

p

p

c

z

f

p

c

y

f

p

c

x

f

p

c

C tetszőleges, nem negatív szám

Hibaterjedés általános esetben

Következtetés:

pnpn

U

U

számtani középérték középhibája egység súlyú mérés

esetén

számtani középérték súlya egység súlyú mérés esetén

xU

xU

p

a

p

a

akkor

xaU

21

mérési eredmény többszöröse függvény középhibája

mérési eredmény többszöröse függvény súlya

...1

...

...

222

222222

zyxU

zyxU

p

c

p

b

p

a

p

cba

akkor

czbyaxU

összeg függvény középhibája

összeg függvény súlya

Parciális deriválás• Tétel: Parciális deriváltnak nevezzük a többváltozós

függvények olyan deriváltját, mikor a függvényt egy rögzített változójának függvényeként fogjuk fel, eszerint deriválunk, miközben a többi változót konstansnak tekintjük.

x

tgx

xx

xxx

x

x

xnx

xfcxfc

xf

c

ea

xa

nn

2

'

1'

''

'

'

cos

1'

sin'cos

cos'sin

1'ln

log1

log

1

0

aaa

ee

xarcctgx

xarctgx

xxx

xx

xctgx

xx

xx

ln)'(

'

1

1)'(

1

1)'(

sin

1

1

1)'(arccos

1

1)'(arcsin

sin

1'

2

2

2

2

2

Elemi deriváltak:

Parciális deriválás

• Deriválási szabályok:

)(')('))((

)(

)(')()()('

)(

)(

)(')()()('')()(

)(')('')(

'

2

'

xggfxgf

xg

xgxfxgxf

xg

xf

xgxfxgxfxgxf

xgxfxgxf

Összeg és különbség deriváltja:

Szorzat deriváltja:

Hányados deriváltja:

Összetett függvény deriváltja:

Példák

• 1. Egy AC hosszúságot két darabban tuduk csak megmérni, az AB és BC darabban, mikor AB+BC=AC. A kapott értékek:

• AB=112,00m±0,015m és BC=108,42 ±0.05m• Mekkora AC középhibája?• AC=112,00+108,42=220,42m

mACABAC 052,0)05,0()015,0( 2222

Vagyis AC=220,42m ±0.052m

2. Egy álláspontról megmértünk két irányszöget lA-t és lB-t. Számítsuk ki a köztük lévő szöget, és annak középhibáját!

lA=34-48-52 ±20”; lB=122-35-21 ±10”; S=lB-lA=87-46-29

"22

1;1

2

2

2

2

BB

AA

S

AB

l

S

l

S

l

S

l

S

Vagyis S=87-46-29 ±22”

Példák

• 3. Megmértük egy téglalap alakú földrészlet hosszát és szélességét. Mennyi a terület és annak a középhibája?

• a=20.00m±5cm; b=80.00m ±20cm• T=a*b=1600m2

2222222

22

7,5

20;80

mabb

T

a

T

mab

Tmb

a

T

babaT

Vagyis: T=1600m2 ±5,7m2

Tanulság: Az egyik mérési eredmény mindig a másik középhibájával szerepel, tehát a kisebb méret mindig gondosabban mérendő, mint a nagyobb!

Példák

• 4. Adott egy kör sugara, mekkora a kerületének és területének a középhibája?

• r=12,000m±0.005m• K=2*Π*r=75.398m• T=r2*Π=452.39m2

222

22

377.02

2

0314.02

2

mr

rr

T

m

r

K

rT

rK

Vagyis: K=75.398m ±0.0314m; T=452.39m2 ±0.377m2

Példák• 5. Megmértük egy háromszög két szögét és egy oldalát, számítsuk ki

a b oldalt és határozzuk meg a középhibáját!• α=32-43-15±2”; β=59-03-21 ±5”; a=312,24 ±1cm

• b=?; μb=?

α β

ab

cmctgbctgbbb

a

b

ctgbaab

ctgbaab

a

a

b

ab

ab 896.1"

5

"

2)01.0(

sin

sin

sin

cos

sin

sin

sin

cossin0sin

cos

sin

sin

sin

cossinsin0sin

sin

sin

0sin1sin

sin

22

222

22

2

22

22

2

Vagyis: b=495.42 ±1.9cm

Példák• 6. Egy háromszögnek megmértük három oldalát, határozzuk

meg az α szöget és annak középhibáját!• a=526.35m±1.5cm; b=843.12m ±1.5cm; c=1206.45m

±1.5cm

α

ab

c

sin2

2sin2

2

2

2

sin

1

1cossin

2

2

cos1

1

2cos

2

2

21

1

5745212

arccos

22

2

222

2222

222

bcT

mert

T

a

bc

a

bc

a

a

mivel

bc

a

a

ezértbc

acb

de

bc

a

bcacba

bc

acb

Példák

cos2

2sin2sin

)(

2sin

2sin

1

22

)(2

sin

1

4

)222

sin

1

4

)2224

sin

1

4

)222(4

sin

1

4

)022()(22

sin

1

222

2

222

2

222

2

222

2

222

22

232

22

2322

22

2322

22

222

T

a

ab

acb

bc

a

cba

acba

cb

acb

cb

acb

cbc

acbc

cb

caccb

cb

caccbcb

cb

caccbcb

cb

bcacbbcb

b

Példák

cos22sin

2sin

1

)2(2

)(2

sin

1

4

222

sin

1

4

2224

sin

1

4

222

sin

1

222

2

222

2

222

22

232

22

2232

22

222

T

a

ac

abc

bc

a

bc

abc

bcb

abcb

cb

babbc

cb

babcbbc

cb

bacbbcc

c

"99.5"000029028.0

000029028.0015.0)001122.0(015.0)000735.0(015.0)001395.0( 222222

22

22

22

de

cba cba

Vagyis: α=21-45-57±5.99”

A kiegyenlítő számítás alapfeladata

Geodézia II.

A kiegyenlítő számítás feladata és szükségessége

• Valamely mennyiség meghatározására a matematikailag szükséges mennyiségeken kívül fölös méréseket is végzünk. A meghatározandó mennyiséget egyetlen értékkel kell jellemeznünk, függetlenül attól, hogy mely mérési eredmények felhasználásával határozzuk meg. Ez szükségessé teszi a mérési eredmények megváltoztatását, javítását.

• Tétel: a kiegyenlítő számítás feladata, hogy a mérési eredményeket úgy javítsuk meg, hogy a megjavított mérési eredmények ellentmondás nélkül kielégítsék a köztük fennálló matematikai, geometriai feltételeket.

A kiegyenlítő számítás feladata és szükségessége

• A mérési eredmények javítását olyan módon kell végezni, hogy a javítások lehetőség szerint kicsik legyenek. A javítások minimalizálandó függvényét a kiegyenlítés célfüggvényének nevezzük.

• Célfüggvények felvételére több elfogadható megoldás alakult ki:• ∑|v|»min (Boskovič 1770, Laplace 1799)

• javítások abszolut értéke összege legyen minimális

• ∑v2»min (Legendre 1805, Gauss 1794, 1809, Adrain 1808)

• javítások négyzetösszege legyen minimális

• ∑v2n»min (Beckenbach 1916)• javítások párosszámú hatványösszege legyen minimális

• |vmax|»min (Gauss 1809, Csebisev 1853)• a maximális javítás abszolútértéke legyen minimális

A kiegyenlítő számítás feladata és szükségessége

• A geodéziai gyakorlatban a ∑v2»min célfüggvényt használjuk. A feladat megoldásához meg kell határoznunk a számtani középértéket, amely tulajdonképpen a javítások négyzetösszegét teszi minimummá. Ezt a módszert nevezik a legkisebb négyzetek módszerének Legendre nyomán; először Gauss haszálta 1794-ben csillagászati feladatok megoldásához.

Carl Friedrich Gauss 1777-1855

Adrien-Marie Legendre

1752-1833

A kiegyenlítő számítások csoportosítása

Geodézia II.

A kiegyenlítő számítások csoportosítása

• A legkisebb négyzetek módszere szerint két fő csoport:

• Közvetett kiegyenlítés: nem mért ismeretleneket, paramétereket vezetünk be, amelyekkel egy-egy mérés javításait ki tudjuk fejezni, először a paramétereket határozzuk meg, majd a javításokat és végül a kiegyenlített értékeket

• Közvetlen kiegyenlítés: közvetlenül a mérési eredmények javításait és azok kiegyenlített értékeit határozzuk meg

Kiegyenlítési csoportok

• I. kiegyenlítési csoport: egy ismeretlenre végzett közvetlen mérések kiegyenlítése

• II. kiegyenlítési csoport: közvetett mérések kiegyenlítése v. koordináta kiegyenlítés v. paraméteres kiegyenlítés

• III. kiegyenlítési csoport: közvetlen mérések kiegyenlítése az ismeretlenek között fennálló feltételekkel

• IV. kiegyenlítési csoport: közvetett mérések kiegyenlítése a paraméterek között fennálló kényszerfeltételekkel

• V. kiegyenlítési csoport: közvetlen mérések kiegyenlítése feltételekkel és paraméterekkel

• VI. kiegyenlítési csoport: közvetlen mérések kiegyenlítése feltételekkel és paraméterekkel, mikor a paraméterek között kényszerfeltételek is fennállnak

I. kiegyenlítési csoport

Geodézia II.

I. kiegyenlítési csoport

• Egyenlősúlyú mérések esetén: Egy mennyiség meghatározására magát a mennyiséget n-szer megmértük. A mérési eredmények L1, L2, ...Ln, ezek súlya p1=p2=...pn=1.

• A kiegyenlítés lépései:

1

.8

.71

.6

.5

0.4

,....3

.2

,...,.1

11

21

nn

vv

n

npn

vv

vv

v

LxvLxvn

Lx

LLL

x

x

nn

n

a mérési eredmények összeállítása

a legvalószínűbb érték számítása

a javítások számítása

ellenőrzés

a javítások négyzetösszege

egy mérési eredmény középhibája

a hibaterjedés szerint a legvalószínűbb érték súlya

a hibaterjedés szerint a legvalószínűbb érték középhibája

I. kiegyenlítési csoport - Példa

• Egy hossz meghatározására hat egyenlő megbízhatóságú mérést végeztünk. Mennyi a legvalószínűbb érték, mekkora ennek a középhibája és mennyi egy mérési eredmény középhibája?

L x v=x-L (m)

v2 μ (m) μx (m)

1 430.40 430.34 -0.06 0.0036 0.0707 0.02892 430.42 -0.08 0.0064 0.07073 430.23 0.11 0.0121 0.07074 430.30 0.04 0.0016 0.07075 430.37 -0.03 0.0009 0.07076 430.32 0.02 0.0004 0.0707∑ 2582.0

40 0.025

A legvalószínűbb érték és középhibája: 430.34m±2.89cm

Egy mérési eredmény középhibája: ± 7.07 cm

I. kiegyenlítési csoport

• Különböző súlyú mérések esetén: Egy mennyiség meghatározására magát a mennyiséget n-szer megmértük. A mérési eredmények L1, L2, ...Ln, ezek súlya p1, p2, ...pn.

• A kiegyenlítés lépései:

i

i

x

x

x

nn

nn

p

pp

ppn

pvv

pvv

pv

LxvLxv

p

pLx

pppLLL

0

00

0

11

2121

.9

.8

.71

.6

.5

0.4

.....3

.2

,...,;,...,.1

mérési eredmények és súlyok összeállítása

a legvalószínűbb érték

a javítások számítása

ellenőrzés

súllyal szorzott négyzetek összegének számítása

súlyegység középhibája (f=n-1)

a hibaterjedés szerint a legvalószínűbb érték súlya

a hibaterjedés szerint a legvalószínűbb érték középhibája

az egyes mérési eredmények középhibája

I. kiegyenlítési csoport - Példa

• Egy pont tengerszint feletti magasságának a meghatározására négy különböző súlyú mérést végeztek. Mennyi a legvalószínűbb érték és a középhibája, és mennyi az egyes mérési eredmények középhibája?

L p pL x v=x-L

pv pvv μ0 μx μ

1 435.167

3 1305.501 435.166

-0.001

-0.003

0.000003

0.0073

0.0022

0.0042

2 435.165

5 2175.825 0.001 0.005 0.000005

0.0032

3 435.162

2 870.324 0.004 0.008 0.000032

0.0052

4 435.177

1 435.177 -0.011

-0.011

0.000121

0.0073

∑ 11 4786.827 -0.001

0.000161

A legvalószínűbb érték és középhibája: 435.166m±2.2mm

A mérési eredmények középhibája: ± 4.2mm, ± 3.2mm, ± 5.2mm, ± 7.3mm

I. kiegyenlítési csoport

• Oda-vissza mérések esetén: Egy mennyiség meghatározására két egyenlő megbízhatóságú mérést végeztünk (pl. egy távolságot megmértünk oda-vissza irányban). A mérési eredmények: L1, L2.

• A kiegyenlítés lépései:

2

2

21

12

d

d

dLx

LLd

x

az észlelési differencia

a legvalószínűbb érték

a mérési eredmény középhibája

a legvalószínűbb érték középhibája

I. kiegyenlítési csoport - Példa

• Egy távolságot oda-vissza megmértünk. Az egyenlő megbízhatóságú mérési eredmények:

• L1=100.13m, L2=100.09m

md

md

md

Lx

LLd

x 020.02

028.02

11.1002

04.0

1

12

Tehát a legvalószínűbb érték és középhibája: 100.11m±0.020m

A mérések megbízhatósága és a középhiba mint a megfigyelések számának függvénye

• A megbízhatóság annál nagyobb, minnél kisebb a középhiba, vagyis minnél kisebb az a határérték, amellyel az abszolút helyes értéket megközelítettük.

• Legyen a valószínűleg helyes érték megbízhatósága H, az egyes mérések megbízhatósága h:

n

hnH

ezért

n

mivel

h

H

x

x

x

11

1

1a legvalószínűbb érték megbízhatósága

egyes mérések megbízhatósága

A valószínűleg helyes érték megbízhatósága mindig nagyobb, mint az egyes mérések megbízhatósága

a valószínűleg helyes érték középhibája a megfigyelések számának négyzetgyöke arányában csökken

A mérések megbízhatósága és a középhiba mint a megfigyelések számának függvénye

• A függvény:

n

akkor

han

x

x

1

1

μ értékének változása csak függőleges irányban tolná el a függvényt

1. A középhiba az első öt ismétlésig gyorsan csökken

2. 20-24 ismétlés után alig csökken

3. A pontosság növelésére csak 5-10, legfeljebb 20-25 ismétlést célszerű végezni, ennél nagyobb ismétlésszámot csak tudományos vizsgálatok indokolnak

A mérések ismétlésének hatása – összefüggések a súly és a középhiba között

• Tételezzünk fel ugyanannak a mennyiségnek a meghatározására két mérési sorozatot ugyanazzal a műszerrel, ugyanolyan körülmények között.

2

2

1

1 ;nn

xx

Mivel n1 és n2 nem egyenlő, ezért μx1 és μx2 sem egyenlő, és x1 és x2 különböző súlyúak. A súly a megfigyelések számától függ.

2

121

22

2

1

21

22

2

1

2211

2211

2

2

1

1

;

;

n

n

p

p

általában

p

p

tehát

pp

pp

pp

x

x

xx

xx

xx

a két egyenlet bal oldala egyenlő egymással

Példa

• 1. Egy mérésünk középhibája μ1=±10”, súlya p=1, mekkora lesz a súlya annak a három mérésnek, amelyeknek középhibája 8”, 7”, és 6”?

8.2;10

61

0.2;10

71

6.1;10

81

22

2

2

22

2

2

22

2

2

21

22

2

1

pp

pp

pp

p

p

2. Egy szögmérésnél a súlyegység középhibája μ0=±4.5”. Hányszor kell megmérnünk ugyanazt a szöget egy olyan műszerrel, melynél az egyszeri mérés középhibája μ=±11.2”, hogy a súlya szintén 1 legyen?

725.6;1

1

16.0;

16.0;5.4

2.111;

222

1

2

1

22

2

221

22

2

1

nnn

n

p

p

ppp

p

egy mérés súlya

Példa• 3. Egy háromszög belső szögeit három különböző műszerrel

mértük. Az α szöget egy olyan műszerrel, melynek középhibája ±2”, a β szöget olyannal, melynek középhibája ±3”, a γ szöget olyannal, melynek középhibája ±5”. Hányszor kell az egyes szögeket megmérnünk az egyes műszerekkel, ha azt akarjuk, hogy mindhárom szögnek a súlya 1 legyen, ha a súlyegység középhibája μ0=1?

25

9

4

2

2

2

211

20

20

21

21

01

n

n

n

azaz

n

tehát

p

pnn p0=1, μ0=1”, n0=1

Ha tehát az α szöget 4-szer, a β szöget 9-szer, a γ szöget 25-ször mérem meg, akkor a középhibák 1”-el lesznek egyenlőek, a súlyok pedig 1-el. Az eredmény olyan, mintha ugyanazzal a műszerrel végeztem volna a mérést, mégpedig egy olyannal, melynek középhibája 1”.

Példa

• 4. Egy háromszögben az α szöget háromszor, a β szöget négyszer mértük. A súlyok az ismétlés számmal arányosak, mekkora lesz a γ szög súlya, és mekkora az egyes szögek középhibája, ha a súlyegység középhibája 10”?

"64.7714.1

"10

"00.54

"10

"77.53

"10

714.17

12

12

7

4

1

3

1111

0

azaz

p

és

p

ppp

i

i

Kötelező és ajánlott irodalom

• Ajánlott irodalom:

• Oltay Károly, 1962: Geodézia, Tankönyvkiadó-Budapest, 32-56 old.

• Sébor János, 1953: Geodézia I., Mezőgazdasági Kiadó, 7-28 old.

• Geodéziai Kézikönyv, 1956: I. kötet, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, szerk.: Hazay István, 145-165 old.

• Geodéziai számítások, 1959, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, szerk.: Dr. Vincze Vilmos, 379-384 old.