het practicum wiskunde - webs · het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en...
TRANSCRIPT
Het practicum wiskunde:
cooperatief aanleren van vaardighedenen attitudes
Koen De Naeghel 1
Dag van de wiskunde voor tweede en derde graadnascholing secundair onderwijsK.U. Leuven Campus Kortrijk
19 november 2011
Samenvatting
In deze werkwinkel stellen we het ‘practicum wiskunde’ voor, een werkvorm voor onderwijs wiskunde instudierichtingen met component wiskunde in de derde graad van het algemeen secundair onderwijs. Hetdoel van deze werkvorm is het vaststellen, aanleren, stimuleren, evalueren en opvolgen van vakgebondenvaardigheden en attitudes bij leerlingen. De didactische methode ‘cooperatief leren’ staat hierbij centraal:bij het uitvoeren van de practica leren de leerlingen van de interactie met elkaar.
1CC-licentie BY-NC: het kopieren, distribueren, vertonen en uitvoeren van het werk en afgeleide werken is toegestaanop voorwaarde van het vermelden van de oorspronkelijke auteur, en mag niet voor commerciele doeleinden. Opmerkingen,verbeteringen en suggesties zijn steeds welkom bij de auteur op e-mail adres [email protected]. Deelnemers van dezewerkwinkel krijgen een selectie uit deze syllabus. De volledige syllabus en bijhorende presentatie staan digitaal ter beschikkingop http://www.koendenaeghel.be/#Voordrachten. De syllabus verschijnt eind 2011 als open publicatie (in boekvorm, onlineprinting on demand service).
VOORWOORD
Het doel van deze werkwinkel
Didactiek gaat gepaard met het hebben van een visie op het onderwijs. Leerkrachten geven op een verschillendemanier les, bijgevolg is de visie van een leerkracht persoonsgebonden. Maar net door je ervaringen te delen metje collega’s kun je die visie bevestigd zien, of zelfs verrijken met nieuwe inzichten. De auteur wil zijn visie zeker nietopdringen, of een andere moraliserende vorm handhaven. De practica in deze syllabus zijn ontstaan vanuit eigen (vrijjonge) ervaring, en hebben dan ook niet de pretentie ‘af’ te zijn, of erger: ‘zo moet het’. Zij willen enkel vanuit dieervaring laten zien: ‘zo kan het ook’.
In dit kader werd deze syllabus geschreven. De opgenomen practica zijn niet overgenomen uit boeken, maar vormeneen onderdeel uit een cursus1 wiskunde die de auteur schreef ten dienste van de leerlingen uit de derde graad vanhet Onze-Lieve-Vrouwecollege te Brugge. Die cursus (inclusief de in deze syllabus opgenomen practica) werd netontworpen vanuit de behoefte aan een - vaak niet klassieke - benadering van bepaalde concepten in de wiskunde, diezich volgens de auteur op een natuurlijke wijze opdringen.
Praktische richtlijnen
Om deze practica optimaal te benutten volgen nu enkele praktische richtlijnen.
• Deze syllabus bestaat uit drie delen.
. Inleiding We lichten de noodzaak van het bewust en expliciet stimuleren van vaardigheden, attitudes enopvattingen toe. Uit een poging van de auteur om dit te verwezenlijken is het practicum wiskunde ontstaan.
. Practicum wiskunde - Werkbundels voor de leerlingen (pagina’s Pr-1 tot en met Pr-59) bevat debindteksten zoals de leerlingen die krijgen. Ze worden het best afgedrukt op A3-formaat (recto-verso metC-vouw), zodat de leerlingen hun verslag in hun practicumbundel kunnen voegen. Elk practicum is voorzienvan een inleiding, waarin de doelstellingen voor dat practicum verduidelijk worden.
. Appendix Practicum wiskunde - Bijlagen voor de leerkracht (pagina’s A-61 tot en met A-139)biedt informatie voor de leerkracht aan, zoals opgaven en toepassingen waar in de reguliere practica naarverwezen wordt, en oplossingen waarbij de ingevulde tekst blauw gekleurd is.
• Onderlijnde woorden geven aan dat het om een definitie gaat (van die woorden).
• Deze syllabus maakt gebruik van het grafisch rekenmachine TI-83 of TI-84 Plus. Alle noodzakelijke schermaf-drukken werden in de syllabus opgenomen, zodat de leerling ook buiten de les aan de slag kan.
• Oefeningen vergezeld met het symbool ? zijn doorgaans wat moeilijker dan de reguliere oefeningen.
• Deze syllabus staat digitaal ter beschikking op http://www.koendenaeghel.be . Het symbool geeft aan datde digitale versie van deze syllabus een link voorziet naar een relevante webpagina.
Woord van dank
Mijn dank gaat uit naar de stuurgroep wiskunde Diocesane Pedagogische Begeleidingsdienst Bisdom Brugge, o.l.v.Geert Delaleeuw (voorzitter en vakbegeleider) en Luc Gheysens (vakbegeleider), van wie ik de kans kreeg om dezewerkwinkel aan te bieden.
Tenslotte dank ik ook iedereen die mij op een of andere manier feedback gaf op deze practica, in het bijzonder mijnoud-leerlingen van schooljaren ’09-’10 en ’10-’11.
Brugge, november 2011 — KDN
1K. De Naeghel, Wiskunde In zicht: een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundaironderwijs, verschijnt vanaf juli 2012 als open publicatie (in boekvorm, online printing on demand service).
i
INHOUDSOPGAVE
Voorwoord iHet doel van deze werkwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iPraktische richtlijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iWoord van dank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Inhoudsopgave ii
Inleiding vWaarom vaardigheden en attitudes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viWat met de verhouding tussen kennis en competenties? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viWat is het belang van probleemoplossend denken? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viWat is het belang van samenwerken? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viWat betekenen op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven? . . . . . . . . . . . . . . . . vi
Waarom volstaat een klassieke toets niet? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiPracticum wiskunde - Inhoud, structuur en evaluatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Inhoud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiStructuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiiEvaluatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
Pr Practicum wiskunde - Werkbundels voor de leerlingen Pr
Woord vooraf Pr-i
1 Informatie verzamelen, ordenen en bewerken Pr-11 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-1
Informatie verzamelen met behulp van het internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-2Informatie ordenen en bewerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-3
2 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-3Evaluatieformulier Practicum 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-4
2 Probleemoplossend denken (1) Pr-51 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-5
Stappenplan voor probleemoplossend denken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-5Modelvoorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-6
2 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-7Evaluatieformulier Practicum 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-8
3 Probleemoplossend denken (2) Pr-91 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-9
Stappenplan voor probleemoplossend denken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-92 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-10Tien problemen - Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-11Evaluatieformulier Practicum 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-12
4 Toepassingen in groep verwerken Pr-131 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-132 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-13Oefeningen - Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-14Evaluatieformulier Practicum 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-16
ii
5 Hoe studeer je een bewijs? Pr-171 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-17
Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-172 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-19Evaluatieformulier Practicum 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-20
6 Samenwerken Pr-211 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-21
Niveaus van samenwerking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-21Graden van samenwerking in de klas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-22
2 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-22Oefeningen - Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-23Reflectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-23Evaluatieformulier Practicum 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-24
7 Een wetenschappelijk verslag schrijven Pr-251 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-25
Opbouw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-25Schrijftips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-26Samenvattend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-28
2 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-28Evaluatieformulier Practicum 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-29
8 Onderzoeksopdracht (1) Pr-301 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-30
Verantwoording . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-302 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-31Onderzoeksopdracht - Logische wetten bewijzen met interferentieregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-31Evaluatieformulier Practicum 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-33
9 Onderzoeksopdracht (2) Pr-341 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-342 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-34Onderzoeksopdracht - Het probleem van Josephus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-35Evaluatieformulier Practicum 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-37
10 Onderzoeksopdracht (3) Pr-381 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-382 Afspraken en tips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-38
Richtlijnen bij het onderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-38Richtlijnen bij het verslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-39Beoordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-39
3 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-40Evaluatieformulier Practicum 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-41
11 Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels Pr-421 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-422 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-42Oefeningen - Oplossingssleutels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-43Evaluatieformulier Practicum 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-45
12 Werken met een wiskundig model Pr-461 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-462 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-48Evaluatieformulier Practicum 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-49
13 Leren uit opgeloste problemen Pr-501 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-502 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-50Opgeloste problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-51Evaluatieformulier Practicum 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-53
iii
14 Een wetenschappelijke presentatie geven Pr-541 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-54
Opbouw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-54Voorbereiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-55Presenteren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-56Verantwoording . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-57
2 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-57Evaluatieformulier Practicum 14 - Evaluatiepunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-58
A Practicum wiskunde - Bijlagen voor de leerkracht A
2 Probleemoplossend denken (1) A-61Lijst van opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-62
3 Probleemoplossend denken (2) A-74Tien problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-75
Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-75Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-76
4 Toepassingen in groep verwerken A-83Toepassingen 1 en 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-84
Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-84Ingevulde versie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-92
Oefeningen 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-100Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-100Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-101
5 Hoe studeer je een bewijs? A-105In te studeren bewijs (vijfde jaar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-106In te studeren bewijs (zesde jaar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-107
6 Samenwerken A-108Toepassingen 1 en 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-109
Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-109Ingevulde versie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-111
Oefeningen 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-113Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-113Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-113
7 Een wetenschappelijk verslag schrijven A-115Voorbeeld van een wetenschappelijk verslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-116Onderwerp (taken 11.3, 11.4 en 11.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-118Verslag dat een leerling enkele jaren terug gemaakt heeft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-120
8 Onderzoeksopdracht (1) A-122Onderzoeksvraag - Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-123
10 Onderzoeksopdracht (3) A-124Opdracht: Wiskundig door de bocht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-125
11 Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels A-129Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-130Cursustekst waar naar verwezen wordt in de oplossingssleutels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-131
12 Werken met een wiskundig model A-132Lijst van onderwerpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-133
13 Leren uit opgeloste problemen A-139Extra problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-140
iv
INLEIDING
Wanneer een leerkracht wiskunde er het leerplan2 bij neemt, dan is de kans groot dat hij of zij meteen naar deinhoudelijke doelstellingen grijpt en de paragraaf over vaardigheden, attitudes en opvattingen links laat liggen.Nochtans valt ook die laatste categorie onder de leerplandoelstellingen, onder meer:
rekenvaardigheid wiskundige taalvaardigheid probleemoplossende vaardigheidonderzoeksvaardigheden leervaardigheden zin voor nauwkeurigheidkritische zin zin voor samenwerking en overleg waardering voor wiskunde
Een veelvoorkomend argument hierbij is dat vakgebonden vaardigheden en attitudes ‘automatisch’ worden gerealiseerdbij de verwerking van de inhoudelijke doelstellingen. Dat hangt echter af van de soort werkvormen die de leerkachthanteert. Zo zal frontaal lesgeven de zin voor samenwerking en overleg niet bevorderen. En lost men alle oefeningenklassikaal op, dan bekwamen leerlingen zich niet in onderzoeksvaardigheden. Daardoor wordt in voorgaande argumen-tatie de term ‘automatisch’ niet evident. Een passage uit de paragraaf over vaardigheden, attitudes en opvattingen inhet leerplan geeft diezelfde toon aan (leerplan pagina 22):
Vaardigheden worden niet automatisch gegenereerd door de studie van ermee verwante inhouden. Zemoeten precies meermaals bij spontaan gebruik geexpliciteerd worden.
Hoewel een leerplan wel beschrijft wat deze vaardigheden en attitudes zijn, en men er een gedetailleerde beschrijvingop na houdt, vermeldt het niet hoe deze competenties concreet bereikt kunnen worden. Voor de auteur was dit deaanleiding om op zoek te gaan naar een concrete werkvorm die op een bewuste en expliciete manier vaardigheden enattitudes bij leerlingen stimuleert: het practicum wiskunde.
Het vervolg van deze inleiding is als volgt gestructureerd.We starten met een visie waarom bepaalde vaardigheden en attitudes ontwikkeld dienen te worden. We overlopenenkele bedenkingen, en kaderen het geheel in een breder perspectief. Aandacht hebben voor competenties is dus niethet louter in regel stellen met het leerplan/eindtermen, maar moet eerder gezien worden als een zinvol on-derdeel binnen de opleiding van leerlingen.
Daarna doen we het concept van de methodiek ‘practicum wiskunde’ uit de doeken: waaruit bestaat het, waarvoordient het en hoe kan de leerkracht het gebruiken (inhoud en evaluatie).
Waarom vaardigheden en attitudes?
George Polya(1887 - 1985)
Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundigekennis het best aanleren door het observeren van een expert (leerkracht, docent) inactie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methode in vraag. Zo stelt dewiskundige en didacticus George Polya (1945) dat kennisoverdracht door middelvan het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskunde onderwijs,en dit op elk niveau. Leerlingen moeten zelf de kans krijgen om te ontdekken, ennadien een redenering op een haalbaar niveau kunnen leveren.
Het (zelfstandig) oplossen van problemen, ook wel probleemoplossend denkengenoemd, is een voorbeeld van wat de jongste jaren een trend in het onderwijs isgeworden: de zogenaamde competenties. Ruim genomen is een competentie hetvermogen om adequaat te handelen. De nadruk ligt bij het begrip competentie dusniet op weten maar op kunnen. In de vakliteratuur onderscheidt men zo’ndertig tot veertig competenties, zoals luisteren, analyseren, mondeling presenteren,overtuigen, leidinggeven en samenwerken.
Het feit dat competenties een trend zijn binnen het onderwijs kan niet de enigedrijfveer zijn om er aandacht aan te besteden. Maar het zou er de leerkacht wel toemoeten aanzetten om er over na te denken. Typisch is dat hij/zij hierbij een aantal bedenkingen heeft. Hiernaoverlopen we enkele van die bedenkingen, en geven duiding3 binnen de maatschappelijke context.
2 Leerplan A derde graad ASO: studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019.3Inspiratie werd ontleend aan http://www.leren.nl/cursus/leren−en−studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html en
http://www.carrieretijger.nl .
v
Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer?
Men heeft ontdekt dat de halveringstijd van kennis enorm achteruit gaat. Zo was bijvoorbeeld in 1987 de halve-ringstijd van de kennis van een juist afgestudeerd elektrotechnisch ingenieur tien jaar. Dat wil zeggen dat in tien jaartijd, de helft van diens kennis was verouderd. In 1997 bedroeg de halveringstijd van die kennis nog maar vijf jaar! Deconsequenties van die ontdekking zijn enorm. Stel je voor: je volgt een studie van ongeveer vijf jaar en vijf jaar lateris de helft van wat je leerde al weer verouderd! Voor onderwijsinstellingen is het haast zinloos om veel tijd en geld teinvesteren in kennisoverdracht. Wat men leerlingen en studenten vandaag leert, is morgen alweer achterhaald. Datschiet niet op. Daarom is het onderwijs gaan inzetten op de overdracht van competenties.
Wat met de verhouding tussen kennis en competenties?
Tegenwoordig hebben we te maken met een generatie die een overgang gemaakt heeft van te veel kennis naar vaardighe-den en attitudes. Volgens sommigen4 was die slinger wat teveel doorgeslagen, en gaan we nu meer naar een evenwicht.Het is dan ook onze mening dat een gezond evenwicht tussen kennis en competenties pas bereikt kan wordenals de leerkracht streeft naar een doordachte visie op didactiek, en in dialoog treedt met andere collega’s om dievisie bevestigd te zien en elkaar te verrijken met nieuwe inzichten (zie ook het voorwoord van deze syllabus). Hetbewaken van de kwaliteit van het onderwijs is hier een logisch gevolg van. Maar we zijn er net van overtuigddat het streven naar competenties niet hoeft te betekenen dat het niveau van de leerlingen op het vlak van wiskundedaalt.
Wat is het belang van probleemoplossend denken?
Het bedenken van een oplossing voor een (complex) probleem kan worden gezien als een creatief denkproces watontstaat als een organisme en/of een kunstmatig intelligent systeem niet meer weet wat te doen om het doel te bereiken.En laat het nu net die vaardigheid om problemen op te lossen zijn die erg gegeerd is in de maatschappij. Bedrijvenzijn voortdurend op zoek naar mensen die goed scoren op het oplossen van problemen. Denk maar aan de wijdverbreideintelligentiemetingen zoals de IQ-test, en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan de typische intelligentietestenmet als karakteristieke kenmerken logisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen, numeriek inzicht, verbaal inzichten technisch inzicht. Alleen al het vooruitzicht van een leerling op de toekomstige aanwerving bij een instelling of eenbedrijf duidt op het belang van deze vaardigheden.
Wat is het belang van samenwerken?
Ondertussen is de hoeveelheid tot op vandaag bekende wiskunde en wetenschappen gigantisch groot geworden. Naarschatting komen er elk jaar zo’n 300 000 nieuwe wiskundige ontdekkingen bij5. De volledige kennis hiervan is voor eenenkel individu een utopie. Daardoor alleen al is samenwerking tussen wiskundigen en wetenschappers een noodzaak.
empathie in de wiskunde
Ook in een breed maatschappelijke context is samenwerking onmisbaar. Het al ofniet maken van carriere hangt vaak af van het succesvol omgaan met anderen. Wantvoor veel hogere functies geldt dat niet zozeer vakinhoudelijke kwaliteiten nodig zijn,maar het vermogen om effectief samen te werken. Sociale eigenschappen zoals tact,empathie en gedrag als teamspeler worden dan ook best zo goed mogelijk aangeleerden onderhouden, over de vakken heen. Ook op dat vlak dient het onderwijs zijnverantwoordelijkheid te nemen. Dat kan bijvoorbeeld met cooperatief leren, datniet geheel gericht is op de ontwikkeling van de eigen persoonlijkheid en kennis, maarjuist ook om de ander verder te helpen met de kwaliteiten die het zelf al bezit. Binnencooperatief leren worden de leerlingen uitgedaagd om zelf initiatief te nemen, elkaarte helpen en problemen samen op te lossen.
Wat betekenen op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven?
Per beroep kun je ongeveer acht competenties benoemen die doorslaggevend zijn. Men noemt dat ook wel een stan-daard. In een sollicitatie zal men vooral op die competenties letten.
Voorbeeld. Een secretaresse die ooit tijdens haar opleiding heeft leren notuleren kan notuleren. Maar als zij een anderebaas krijgt die heel andere eisen stelt aan de notulen kan die secretaresse die bij haar eerste baas prima functioneerde,met de handen in het haar zitten. Als ze tijdens haar opleiding had geleerd hoe je hoofdzaken van bijzaken kanonderscheiden en hoe je in overleg met de opdrachtgever tot afspraken komt over het te leveren product, was ze beteraf geweest.
4Mieke Van Hecke, directeur-generaal katholiek onderwijs (De Morgen 14/11).5Sinds 1991 is het voor wetenschappers gebruikelijk om zijn of haar vondsten digitaal beschikbaar te maken op de e-print service arXiv,
beschikbaar op http://xxx.lanl.gov/ .
vi
Waarom volstaat een klassieke toets niet?
Eens een leerkracht kiest voor het bewust ontwikkelen van competenties, dan is het wenselijk om het effect ervan temeten en verder op te volgen. Men zou geneigd kunnen zijn zijn die opvolging te noteren op een klassieke toets.Typisch daarbij zijn opmerkingen in het genre:
• “let op je notatie”,
• “na een berekening je resultaat ook kritisch bekijken: heeft het resultaat zin?”,
• “maak na rekenwerk ook de controle met behulp van je (grafisch) rekenmachine, indien mogelijk”,
• “bij het tekenen van een assenstelsel de assen benoemen”,
• “maak onderscheid tussen gegeven en gevraagde”,
• . . .
Het is echter duidelijk dat een leerling bij het afnemen van de toets zich veel meer toelegt op het reproduceren van dekennis dan het bewust tonen van z’n competenties. Ook bij het lezen van de verbeterde toets zal de leerling eerderinteresse hebben in de punten, en niet zozeer in de opmerkingen in verband met de competenties. Hoewel het eenmet het ander verbonden is (kwaliteit in competenties zal op termijn ook leiden tot hogere punten) zal de leerling dielink niet onmiddellijk aannemen.
Het is zelfs zo dat in sommige scholen de leerkrachten enkel punten mogen geven op inhoudelijk werk, naaronze mening een gevolg van de kwalijke trend dat ouders bij het falen van hun zoon of dochter meteen naar deberoepscommissie stappen. Een nul geven voor het te laat indienen of punten zetten op nauwkeurigheid, orde ensamenwerking zijn uit den boze. Hoewel deze visie zeker verdedigbaar is, brengt het een complicatie met zich mee:de leerkracht kan de daarmee gekoppelde vaardigheden zoals leervaardigheden (plannen van de studietijd), zin voornauwkeurigheid en orde, en zin voor samenwerking en overleg niet op punten zetten, wat voor de leerling een reden temeer is om zijn interesse in die competenties te laten varen.
Practicum wiskunde - Inhoud, structuur en evaluatie
Uit een poging van de auteur om de wiskundige competenties op een uitgesproken manier te behandelen is hetpracticum wiskunde ontstaan. Het bestaat uit enkele projecten, practica genaamd. Het doel van deze practica is datde leerkracht kan beoordelen of de leerling die vaardigheden goed ontwikkelt. Dat kan hij zien aan de verslagen die deleerling zelf of in groep geschreven heeft, en ook hoe de leerling in de groep heeft samengewerkt. Bovendien stimuleerthet leerlingen om over de eigen ontwikkeling na te denken. Op die manier speelt de leerling zelf de hoofdrol bij het‘managen’ van zijn eigen leerproces.
• Wat zijn mijn sterke en zwakke punten? Welke competenties beheers ik goed, welke zou ik kunnen verbeteren?
• Wat is het belang van bepaalde competenties voor mijn studie- en beroepskeuze?
• Hoe kan ik anderen laten zien waar ik goed in ben?
• Hoe kan ik mijn zwakke punten verbeteren?
Inhoud
Naast het implementeren van de practica in de huidige leerstofonderdelen kunnen er - in tegenstelling tot klassiekedidactiek - een aantal onderwerpen aan bod komen die zeker de moeite waard zijn. Sommige zijn zelfs essentieel inde uitvoering van de zogenaamde onderzoekscompetenties derde graad. Zo kan het rapporteren van een wiskundigonderwerp of onderzoeksresultaat pas zinvol gebeuren als er aan leerlingen ook verteld wordt wat een wetenschappelijkverslag of presentatie inhoudt: structuur, schrijfstijl, tips en valkuilen.
De practica die in deze syllabus werden opgenomen zijn geordend volgens de volgorde waarin leerstofonderdelenwiskunde in de derde graad (meestal) gegeven worden. Andere practica zijn dan weer niet meteen verbonden met eenbepaald leerstofonderdeel. In onderstaand overzicht is de vermelding van het aantal lessen slechts richtinggevend.
vijfde of zesde jaar
nr. practicum uitvoering lessen
1 Informatie verzamelen, ordenen en bewerken per twee, computerklas 2
2 Probleemoplossend denken (1) per twee 1
10 Onderzoeksopdracht (3) per vier 5
14 Een wetenschappelijke presentatie geven per drie 1
vii
vijfde jaar
nr. practicum leerstofonderdeel uitvoering lessen
3 Probleemoplossend denken (2) precalculus per drie 2
4 Toepassingen in groep verwerken matrices per vier 2
5 Hoe studeer je een bewijs lineaire stelsels, inverteerbare matrices individueel 1/2
6 Samenwerken lineaire stelsels, inverteerbare matrices per twee 2
7 Een wetenschappelijk verslag schrijven vectoren, parametervergelijkingen per drie 2
8 Onderzoeksopdracht (1) logica individueel 1
9 Onderzoeksopdracht (2) rijen per twee 1
zesde jaar
nr. practicum leerstofonderdeel uitvoering lessen
5 Hoe studeer je een bewijs bepaalde integralen individueel 1/2
11 Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels bepaalde integralen individueel 1
12 Werken met een wiskundig model integralen per vier 2
13 Leren uit opgeloste problemen onbepaalde integralen per vier 1
Structuur
Werkbundels voor de leerlingen (pagina’s Pr-1 tot en met Pr-59) worden best afgedrukt op A3-formaat (recto-versomet C-vouw), zodat de leerlingen hun verslag in hun practicumbundel kunnen voegen. Elk practicum is voorzien vaneen inleiding, waarin de doelstellingen voor dat practicum verduidelijk worden. De laaste pagina dient als evaluatie-formulier, waarop de competenties zijn opgenomen die voor dat practicum relevant zijn. Onderstaande afbeelding iseen verkleinde versie van zo’n practicumbundel in A3-formaat (recto-verso met C-vouw).
A3-voorkantA4-pagina Pr-4 A4-pagina Pr-1
A3-achterkantA4-pagina Pr-2 A4-pagina Pr-3
Pagina’s Pr, Pr-i tot en met Pr-iv vormen in A3-formaat een kaft waarin de leerling zijn practicabundels kan bijhouden.Deze wordt dan ook best op verhard papier afgedrukt.
Evaluatie
Het verschil met een klassieke taak of toets is dat practica wiskunde ook geevalueerd worden op vaardigheden enattitudes. Bovendien weten de leerlingen aan de hand van hun gekregen bundel op welke competenties zij oefenen enbeoordeeld worden. Typisch is dat de leerkracht bij het quoteren enkele in het oog springende competenties aanduidt.Dat kan op een efficient door deze met een groene (positief) of rode (negatief) fluorescerende stift aan te duiden.Enkele voorbeelden van ingevulde evaluaties vindt de lezer in de appendix terug.
De meeste practica worden ook geevalueerd op inhoud, wat kan verwerkt worden in de tussentijdse evaluatie. Sommigescholen voorzien naast een klassiek puntenrapport ook een attituderapport. Hierin kan de leerkracht wiskunde dan devakgebonden (leer)attitudes op aanbrengen die beoordeeld werden in de practica.
viii
Practicum wiskunde
Werkbundels voor de leerlingen
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
Pr
WOORD VOORAF
George Polya(1887 - 1985)
Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundigekennis het best aanleren door het observeren van een expert (leerkracht, docent) inactie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methode in vraag. Zo stelt dewiskundige en didacticus George Polya (1945) dat kennisoverdracht door middelvan het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskunde onderwijs,en dit op elk niveau. Leerlingen moeten zelf de kans krijgen om te ontdekken, ennadien een redenering op een haalbaar niveau kunnen leveren.
Het (zelfstandig) oplossen van problemen, ook wel probleemoplossend denkengenoemd, is een voorbeeld van wat de jongste jaren een trend in het onderwijs isgeworden: de zogenaamde competenties. Ruim genomen is een competentie hetvermogen om adequaat te handelen. De nadruk ligt bij het begrip competentie dusniet op weten maar op kunnen. In de vakliteratuur onderscheidt men zo’ndertig tot veertig competenties, zoals luisteren, analyseren, mondeling presenteren,overtuigen, leidinggeven en samenwerken.
Het feit dat competenties een trend zijn binnen het onderwijs kan niet de enige drijfveer zijn om er aandacht aan tebesteden. Maar het zou er de leerkacht en de leerling wel toe moeten aanzetten om er over na te denken. Typisch is dathij/zij hierbij een aantal bedenkingen heeft. Hierna overlopen we enkele, en geven duiding binnen de maatschappelijkecontext. 6
1. Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer? Men heeft ontdekt dat de halveringstijd van kennisenorm achteruit gaat. Zo was bijvoorbeeld in 1987 de halveringstijd van de kennis van een juist afgestudeerdelektrotechnisch ingenieur tien jaar. Dat wil zeggen dat in tien jaar tijd, de helft van diens kennis was verouderd.In 1997 bedroeg de halveringstijd van die kennis nog maar vijf jaar! De consequenties van die ontdekking zijnenorm. Stel je voor: je volgt een studie van ongeveer vijf jaar en vijf jaar later is de helft van wat je leerde al weerverouderd! Voor onderwijsinstellingen is het haast zinloos om veel tijd en geld te investeren in kennisoverdracht.Wat men leerlingen en studenten vandaag leert, is morgen alweer achterhaald. Dat schiet niet op. Daarom ishet onderwijs gaan inzetten op de overdracht van competenties.
2. Wat is het belang van probleemoplossend denken? Het bedenken van een oplossing voor een (complex) probleemkan worden gezien als een creatief denkproces wat ontstaat als een organisme en/of een kunstmatig intelligentsysteem niet meer weet wat te doen om het doel te bereiken. En laat het nu net die vaardigheid om problemenop te lossen zijn die erg gegeerd is in de maatschappij. Bedrijven zijn voortdurend op zoek naar mensen die goedscoren op het oplossen van problemen. Denk maar aan de wijdverbreide intelligentiemetingen zoals de IQ-test,en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan de typische intelligentietesten met als karakteristieke kenmerkenlogisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen, numeriek inzicht, verbaal inzicht en technisch inzicht. Alleenal het vooruitzicht van een leerling op de toekomstige aanwerving bij een instelling of een bedrijf duidt op hetbelang van deze vaardigheden.
3. Wat kan de meerwaarde van op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven zijn? Per beroep kun jeongeveer acht competenties benoemen die doorslaggevend zijn. Men noemt dat ook wel een standaard. In eensollicitatie zal men vooral op die competenties letten.
Voorbeeld. Een secretaresse die ooit tijdens haar opleiding heeft leren notuleren kan notuleren. Maar als zij eenandere baas krijgt die heel andere eisen stelt aan de notulen kan die secretaresse die bij haar eerste baas primafunctioneerde, met de handen in het haar zitten. Als ze tijdens haar opleiding had geleerd hoe je hoofdzakenvan bijzaken kan onderscheiden en hoe je in overleg met de opdrachtgever tot afspraken komt over het te leverenproduct, was ze beter af geweest.
Omdat we bewust kiezen voor het ontwikkelen van competenties, is het wenselijk om het effect ervan te meten enverder op te volgen. Men zou geneigd kunnen zijn zijn die opvolging te noteren op een klassieke toets. Typischdaarbij zijn opmerkingen in de trend van:
6Inspiratie werd ontleend aan http://www.leren.nl/cursus/leren en studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html .
Pr-i
• “let op je notatie”,
• “na een berekening je resultaat ook kritisch bekijken: heeft het resultaat zin?”,
• “maak na rekenwerk ook de controle met behulp van je (grafisch) rekenmachine, indien mogelijk”,
• “bij het tekenen van een assenstelsel de assen benoemen”,
• “maak onderscheid tussen gegeven en gevraagde”, etc.
Het is echter duidelijk dat een leerling bij het afnemen van de toets zich eerder spitst op het reproduceren van de kennisdan het bewust tonen van z’n competenties. Ook bij het terugkrijgen van de toets zal een leerling eerder interessehebben in de punten, en in mindere mate in de opmerkingen die gericht zijn naar de competenties toe. Voor een aantalleerlingen is dit te wijten aan het feit dat attitudes niet worden gequoteerd op punten: zin voor nauwkeurigheid enorde, zelfvertrouwen en zelfstandigheid, reflectievaardigheden, etc.
Hoewel het een met het ander verbonden is (kwaliteit in competenties zal op termijn ook leiden tot hogere punten)nemen sommige leerlingen die link niet onmiddellijk aan. Anderzijds hoort een leerkracht wel te beoordelen of deleerling de vaardigheden goed ontwikkelt. Een klassieke toets volstaat dus niet langer.
Practicum wiskunde: opzet, inhoud en evaluatie
Uit een poging van de auteur om de wiskundige competenties op een uitgesproken manier te behandelen is hetpracticum wiskunde ontstaan. Het bestaat uit enkele projecten, practica7 genaamd. Het doel van deze practica is datde leerkracht kan beoordelen of de leerling die vaardigheden goed ontwikkelt. Dat kan hij zien aan de verslagen diede leerling zelf of in groep geschreven heeft, en ook hoe de leerling in de groep heeft samengewerkt.
Opzet
Het practicum stimuleert leerlingen om over de eigen ontwikkeling na te denken:8
• Wat zijn mijn sterke en zwakke punten? Welke competenties beheers ik goed, welke zou ik kunnen verbeteren?
• Wat is het belang van bepaalde competenties voor mijn studie- en beroepskeuze?
• Hoe kan ik anderen laten zien waar ik goed in ben?
• Hoe kan ik mijn zwakke punten verbeteren?
Op die manier speelt de leerling zelf de hoofdrol bij het ‘managen’ van zijn eigen leerproces.
Inhoud
Naast het implementeren van de practica in de huidige leerstofonderdelen kunnen er - in tegenstelling tot een klassiekedidactiek - een aantal methodes aan bod komen die zeker de moeite waard zijn. Enkele daarvan zijn zelfs essentieel inde uitvoering van de zogenaamde onderzoekscompetenties derde graad. We sommen enkele onderwerpen op, voor deconcrete inhoud verwijzen we naar de practica zelf:
• zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels,
• werken met een wiskundig model,
• leren uit opgeloste problemen,
• geven van een wetenschappelijke presentatie,
• samen werken,
• onderzoeksopdrachten,
• inzicht in het studie- en beroepskeuzeproces.
Evaluatie
Bijna elk practicum wordt geevalueerd op inhoud, maar ook op vaardigheden en attitudes.Hierna volgt een opsomming van die vaardigheden en attitudes waarop geevalueerd zal worden.
7practicum (-s, -tica mv) een les waarin niet alleen wordt geluisterd, maar waarin leerlingen praktisch oefenen.8Gebaseerd op http://www.carrieretijger.nl/opleiding/ho/portfolio .
Pr-ii
Vaard
igheden
1.R
ekenvaard
igh
eid
.
•B
ijhet
alge
bra
ısch
man
ipule
ren
van
funct
ievoor
schri
ften
,fo
rmule
s,ve
rgel
ijkin
gen
,et
c.w
eet
jew
elke
tech
-nie
ken
jem
oet
aanw
enden
omto
tee
nre
sult
aat
teko
men
,en
voer
jedez
ete
chnie
ken
corr
ect
uit
.
•Je
kan
de
grooto
rde
van
een
resu
ltaat
goed
insc
hat
ten.
•Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enzo
als
het
grafi
sch
reke
nm
achin
eof
een
com
pute
rrek
enpak
ket
gepas
tin
schake
len
omee
nb
ewer
kin
guit
tevo
eren
.Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
ingen
die
jem
etIC
Tb
ekom
enheb
t.
2.M
eet-
en
tekenvaard
igh
eid
.
•G
rafiek
enen
voor
stel
lingen
van
vla
kke
enru
imte
figu
ren
teke
nje
nauw
keuri
g.
•Je
heb
tru
imte
lijk
voors
tellin
gsve
rmog
en.
•Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enzo
als
het
grafi
sch
reke
nm
achin
eof
een
com
pute
rrek
enpak
ket
gepas
tin
schake
len
omee
nfiguur
teb
ekom
en.
Je
gaa
took
kri
tisc
hom
met
de
voor
stel
linge
ndie
jem
etIC
Tb
ekom
enheb
t.
3.W
isku
nd
ige
taalv
aard
igh
eid
.
•Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etde
vakta
alva
nde
wis
kunde:
–je
ken
tde
bet
eken
isva
nty
pis
che
vakte
rmen
engeb
ruik
tdez
evo
ldoen
de
corr
ect
(funct
ie,
stel
sel,
etc.
);
–je
ken
tde
bet
eken
isva
nsp
ecifi
eke
logis
che
ker
nw
oor
den
enge
bru
ikt
dez
evold
oen
de
corr
ect
(en,
of,
daa
ruit
volg
t,vo
or
alle
,et
c.);
–je
ben
tin
staa
tom
een
omsc
hri
jvin
gva
nee
nb
egri
pte
form
alis
eren
,en
een
voor
waa
rde
tesy
mb
olis
eren
;
–je
han
teer
tde
vis
uel
evo
orst
ellingen
waa
rde
wis
kunde
gebru
ikva
nm
aak
t(g
rafiek
,ta
bel
,et
c.).
•Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etde
bes
chri
jven
de
taal
waa
rin
over
het
wis
kundig
handel
enges
pro
ken
wor
dt
(defi
nit
ie,
eige
nsc
hap
,ve
rkla
ar,
ber
eken
alge
bra
ısch
/gra
fisc
h,
teke
n,
contr
uee
r).
•Je
kan
inee
nsi
tuat
iew
iskundig
eb
egri
pp
enher
ken
nen
enve
rtal
ennaar
wis
kundig
model
(mat
hem
atis
eren
).
•Je
kan
vis
uel
ein
form
atie
invo
ldoen
de
mat
ele
zen
enin
terp
rete
ren
(op
een
teke
nin
g,gr
afiek
,dia
gram
).
•Je
ben
tle
esva
ardig
bij
het
leze
nva
nde
tekst
van
opgav
en,
pro
ble
men
envra
agst
ukke
n.
4.D
en
k-
en
red
en
eerv
aard
igh
ed
en
.
•Je
kan
het
onder
schei
dm
aken
tuss
enhoof
d-
enbij
zake
n,
gege
ven
enge
vra
agde,
gege
ven
ente
bew
ijze
n.
•Je
ben
tin
staa
tee
nre
den
erin
gof
arg
um
ente
ring
bij
een
eige
nsc
hap
teb
egri
jpen
.
•Je
kan
een
gege
ven
reden
erin
gop
haa
rge
ldig
hei
don
der
zoek
en.
•Je
kan
een
reden
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eigen
schap
ofde
oplo
ssin
gva
nee
npro
ble
emop
bou
wen
:
–je
kan
een
ver
moed
enfo
rmule
ren
enar
gum
ente
ren;
–je
kan
een
eige
nsc
hap
form
ule
ren
opbas
isva
nee
nonder
zoek
opee
naa
nta
lvo
orb
eeld
en;
–je
kan
bij
het
opb
ouw
enva
nee
nre
den
erin
gee
nIC
T-h
ulp
mid
del
gebru
iken
.
5.P
rob
leem
op
loss
en
de
vaard
igh
ed
en
.
•Je
kan
een
pro
ble
emon
tdek
ken
enhet
wis
kundig
beh
oor
lijk
stel
len.
•Je
kan
een
pro
ble
eman
aly
sere
n(o
nder
schei
dm
aken
tuss
enge
geven
enge
vra
agd
e,ve
rban
den
legg
entu
ssen
de
gege
ven
s,et
c.).
•Je
kan
een
pro
ble
emve
rtal
ennaa
ree
npass
end
wis
kundig
model
(mat
hem
atis
eren
).
•Je
kan
zoek
stra
tegi
een
toep
asse
nbij
het
wer
ken
aan
pro
ble
men
,en
daa
rbij
een
pla
nop
stel
len.
•Je
kan
reflec
tere
nop
de
keuze
van
jezo
ekst
rate
giee
nen
jepla
n.
•Je
kan
jere
sult
aten
contr
oler
enop
hun
bet
rouw
baar
hei
den
volled
ighei
d.
•Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enge
bru
iken
omw
iskundig
ein
form
atie
tever
wer
ken
enw
iskundig
epro
ble
men
teon
der
zoek
en.
6.O
nd
erz
oeksv
aard
igh
ed
en
.
•Je
kan
een
onder
zoek
sop
dra
cht
form
ule
ren
enaf
bak
enen
.
•Je
kan
een
aanpak
pla
nnen
enzo
nodig
opsp
lits
enin
dee
ltake
n.
•Je
kan
info
rmat
iever
wer
ken
enop
rele
vanti
ese
lect
eren
:
–de
waar
de
van
de
info
rmat
ieb
eoor
del
enin
funct
ieva
nde
opdra
cht;
Pr-
iii
–de
rela
tie
tuss
enge
geve
ns
enb
ewer
kin
gen
opzo
eken
enin
terp
rete
ren.
•Je
kan
doel
mat
igee
nw
iskundig
model
sele
cter
enof
opst
elle
n:
–ee
non
der
dee
lva
nee
nop
dra
cht
her
kennen
als
een
wis
kundig
of
een
stat
isti
sch
pro
ble
em;
–va
stst
elle
nof
een
model
vold
oet
enhet
even
tuee
lbij
stel
len;
–zo
nodig
bij
kom
ende
info
rmati
eve
rzam
elen
omhet
aangew
ezen
model
tekunnen
han
tere
n.
•Je
kan
bij
een
model
de
pas
sende
oplo
ssin
gsm
ethode
corr
ect
uit
voer
en.
•Je
kan
resu
ltat
enbin
nen
de
conte
xt
bet
eken
isge
ven
enze
daar
inkri
tisc
hev
aluer
en.
•Je
kan
reflec
tere
nop
het
geh
ele
pro
ces,
i.h.b
.op
de
gem
aakte
keuze
nvo
orre
pre
senta
tie
enw
erkw
ijze
.
•Je
kan
het
resu
ltaa
tva
nhet
onder
zoek
zinvo
lpre
sente
ren,het
standpunt
argum
ente
ren
enve
rsla
guit
bre
ngen
van
het
pro
ces.
7.L
eerv
aard
igh
ed
en
.
•Je
kan
loss
ege
geve
ns
verw
erke
n.
•Je
kan
sam
enhan
gende
info
rmat
ieve
rwer
ken.
•Je
kan
info
rmati
ebro
nnen
raadple
gen.
•Je
kan
studie
tijd
pla
nnen
.
•Je
kan
jeei
gen
leer
pro
ces
bij
sture
n.
8.R
efl
ecti
evaard
igh
ed
en
.
•Je
kan
reflec
tere
nov
erde
aan
pak
van
jew
erk
enje
studie
s.
•Je
kan
reflec
tere
nov
erje
leer
pro
ces
enje
inze
t(l
eiden
zeto
thet
ber
eike
nva
nde
doel
stel
ling?
).
•Je
kan
reflec
tere
nov
erde
effici
enti
eva
nje
wer
ken
enje
lere
n.
•Je
kan
reflec
tere
nov
erde
ster
keen
de
zwakke
elem
ente
nin
de
uit
voer
ing
van
jeop
dra
cht.
•Je
kan
jere
flec
tie
concr
eet
mak
endoor
een
pla
nva
nve
rbet
erin
gop
test
elle
n(w
elke
elem
ente
nw
orden
gebru
ikt
omhet
lere
nen
wer
ken
teve
rbet
eren
?).
•Je
kan
reflec
tere
nov
erde
gez
am
elij
keaa
npak
enov
erle
gbij
een
groep
sop
dra
cht.
Attitudes
9.Z
invoor
nauw
keu
righ
eid
en
ord
e.
•Je
heb
tde
gew
oon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opdra
cht
teru
gte
kij
ken
als
een
vor
mva
nco
ntr
ole
,om
zoto
tnauw
keuri
gere
sult
aten
teko
men
.
•Je
heb
tee
nhoudin
gom
ord
elij
ken
syst
emat
isch
tew
erke
n(n
oter
en,
mak
enva
noef
enin
gen,
aanpakke
nva
npro
ble
men
).
10.
Zin
voor
kw
ali
teit
van
de
wis
ku
nd
ige
rep
rese
nta
tie.
Je
heb
tde
gew
oon
teom
jeged
achte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoor
den
,en
de
voor
-en
nadel
enva
nee
nb
epaa
lde
wer
kw
ijze
teb
espre
ken.
11.
Kri
tisc
he
zin
.Je
heb
tde
hou
din
gom
ber
eken
inge
n,
bew
erin
gen,
argum
ente
ringen
enre
den
erin
gen
nie
tzo
maar
teaa
nva
arden
enov
erte
nem
en.
12.
Zelf
vert
rouw
en
en
zelf
stan
dig
heid
.
•Je
toon
tze
lfve
rtro
uw
en,
zelf
standig
hei
d,
door
zett
ings
ver
mog
enen
doel
mati
ghei
dbij
het
aan
pakke
nva
npro
ble
men
enop
dra
chte
n.
•Je
ziet
indat
foute
nm
aken
inher
ent
dee
luit
mak
enva
nhet
leer
pro
ces.
13.
Zelf
regu
lati
e
•Je
toon
tee
non
der
zoek
sger
ichte
hou
din
gte
naa
nzi
enva
nfe
iten
,op
gave
nen
pro
ble
men
.
•Je
ben
tin
staat
omje
inee
nop
loss
ings
pro
ces
teor
iente
ren,
het
pro
ces
tepla
nnen
,het
uit
tevo
eren
enhet
teb
ewak
en.
14.
Zin
voor
sam
enw
erk
ing
en
overl
eg.
•Je
ziet
indat
jem
oge
lijk
hed
enve
rgro
otw
orden
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
•Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eoplo
ssin
gof
aanpak
.
15.
Waard
eri
ng
voor
de
wis
ku
nd
e.
Je
toon
tin
zich
tin
de
bij
dra
ge
van
de
wis
kunde
incu
lture
le,
his
tori
sche
enw
eten
schap
pel
ijke
ontw
ikke
lingen
.
16.
Inzic
ht
inh
et
stu
die
-en
bero
ep
skeu
zep
roces.
Je
kan
info
rmati
ein
win
nen
over
het
aandee
lva
nw
iskunde
inee
nve
rvol
gople
idin
gen
die
verg
elij
ken
met
jevoor
ber
eidin
g.
Pr-
iv
PRACTICUM 1
INFORMATIE VERZAMELEN, ORDENEN EN BEWERKEN
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met com-ponent wiskunde (6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen dieonder de noemer ‘onderzoekscompetenties’ worden gecatalogeerd:
1. De leerlingen kunnen zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gerichtinformatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken;
2. De leerlingen kunnen een onderzoeksopdracht met een wiskundige componentvoorbereiden, uitvoeren en evalueren;
3. De leerlingen kunnen de onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere stand-punten.
De tweede en derde eindterm zullen worden gerealiseerd bij de uitvoering van latere practica onderzoeksopdrachten.Hierbij komt de eerste eindterm (bijna) niet aan bod. Daarom wordt ze hier afzonderlijk behandeld.
onderzoekscompetenties
verzamelen
ordenen
bewerken
︸︷︷
︸
competentie 1
voorbereidenuitvoerenevalueren
︸︷︷
︸competentie 2
rapporterenconfronteren ︸
︷︷︸ competentie 3
De competenties informatie verzamelen, ordenen en bewerken sluiten eerder aan bij onderzoek waarvoor de leerlinginformatie opzoekt in de literatuur of op het internet en deze informatie synthetiseert of toepast op een concreteonderzoeksvraag. Bij wiskunde bevindt dergelijk onderzoek zich toch eerder in de marge1 van het gebeuren. Denkbijvoorbeeld aan het maken van een werkstuk over het leven van een wiskundige.
We zijn dan ook van mening2 dat bij wiskundig onderzoek je informatie niet in de eerste plaats uit boekenhaalt, maar genereert door zelf te redeneren. Probleemoplossende vaardigheden komen hierbij goed van pas,dat komt dan ook aan bod in latere practica. Maar informatie opzoeken helpt je - althans op het niveau van dewiskunde in het middelbaar onderwijs - geen stap vooruit.
1Binnen de context van het wiskundeonderwijs is de eerste eindterm wel relevant bij onderzoek dat steunt op statistische informatie(zesde jaar).
2Deze verwoording werd ontleend aan de voordracht G. Verbeeck, J. Deprez, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad,03/03/2010, DPB Brugge. De visie van de auteur sluit hier naadloos bij aan.
Pr-1
Informatie verzamelen met behulp van het internet
Informatie opzoeken is wellicht de belangrijkste functie van het internet. Als je niet beschikt over een lijst met rele-vante adressen, dan valt het tegen om iets rechtstreeks te vinden in deze enorme informatieberg. Het losweg intypenvan url’s die eventueel met het gezochte onderwerp iets te maken hebben is uit den boze. Los van het feit dat zo’npagina waarschijnlijk geen interessante informatie voor je bevat, is kans dat het ingetypte adres bestaat heel klein.Daarom moet je opzoeken op het internet wat gestructureerder aanpakken.
Een zoekmachine is een webdienst waarmee met behulp van trefwoorden een volledige tekst kan worden gezocht.De volgende tabel geeft enkele zoekmachines weer, alsook enkele populaire sites voor (wiskundige) informatie.
zoekmachine beschrijving en tips voor- en nadelen
googlewww.google.be/
In veel landen is Google de populairste zoekmachine.Gebruik
• aanhalingstekens bij het zoeken van een zinvb. “vectoren in het vlak”
• sterretje als joker, op die plaats kan alles staanvb. “een dodecaeder heeft ∗ vlakken”
• site bij het zoeken binnen een sitevb. “wiskunde site:deredactie.be”
• define bij het zoeken naar een definitievb. “define:googol”
• afbeeldingen: tik je zoekterm, klik afbeeldingen
Omdat het een grotezoekmachine is, wordthet steeds moeilijkerom gericht te kunnenzoeken op een bepaaldgebied, of in een anderetaal dan het Engels.Vaak geeft Google ge-woon te veel resulta-ten weer, waardoor eengebruiker door het bos debomen niet meer ziet.
wikipediawww.wikipedia.org/
Wikipedia is een gratis encyclopedie.
• Engelse trefwoorden genieten voorkeur bovenNederlandse. In vergelijking met het Nederlandsworden artikels in het Engels door een groteregroep mensen opgesteld, gecontroleerd en aange-past.
• Gebruik synoniemen van bepaalde woorden wan-neer een zoekopdracht niet het gewenste resultaatgeeft.
Een handige manier omop een begrijpbaarniveau kennis op tedoen. De meeste artikelszijn voorzien met linksnaar andere websites.Maar omdat iedereenartikels kan wijzigen, iser geen garantie dat eenartikel in wikipedia juisten betrouwbaar is.Aan te raden is dat je deinformatie vergelijkt metandere bronnen.
MacTutor History ofMathematics Archivehttp://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Search/historysearch.html
Bevat gedetailleerde biografieen over wiskundigen en wis-kundige onderwerpen.Categorieen:
• History Topics: artikels volgens cultuur of takvan de wiskundevb. “Ancient Greek mathematics”
• Famous curves: bekende en minder bekendekrommenvb. “lemniscate of Bernoulli ”
Een uitgebreid en be-trouwbaar geschiedenis-archief van wiskunde.
On-Line Encyclopediaof Integer Sequences(OEIS)http://oeis.org/
Neil Sloane’s online database van meer dan 200 000 rijenvan gehele getallen die frequent voorkomen in de wis-kunde.
• Search: tik de eerste termen in van een rij getal-len.vb. 2, 4, 8, 16, 31
Elke ingang in de data-base bevat onder meerde eerste getallen vande reeks, sleutelwoorden,wiskundige motiveringen literatuur links.Vaak is de uitleg wel tegespecialiseerd.
Pr-2
Informatie ordenen en bewerken
Het is onmogelijk om alle verzamelde informatie op te nemen. Daarom moet de informatie eerst verwerkt worden.
Je werkt het overzichtelijkst als je elke vraag of onderwerp afzonderlijk behandelt. Dat kan erg handig door de infor-
matie eerst te kopieren naar Word-document . Om ervoor te zorgen dat je later nog weet waar je welke informatie
gevonden hebt, noteer je onder elke passage de (eventueel verkorte) bronbeschrijving, bijvoorbeeld de url waarop je deinformatie gevonden hebt. Op deze manier krijg je meteen de antwoorden van verschillende bronnen op dezelfde vraagbij elkaar. Daardoor wordt het makkelijker om de verschillende antwoorden op zo’n vraag met elkaar te vergelijken.
Daarna moet je de bekomen informatie verwerken. Dat kan door eerst een schema te maken.
1. Het allerbelangrijkste daarbij is dat je een goed onderscheid maakt tussen hoofdzaken en bijzaken. Dat islang niet altijd makkelijk, aanwijzingen zijn:
• titel en tussenkopjes: deze vertellen je waar gedeelten van de tekst over gaan;
• eerste en laatste alinea van de tekst: in de eerste vertelt de schrijver vaak waarover de tekst gaat, in delaatste vat de schrijver vaak het belangrijkste nog even samen;
• afwijkende druk: als een woord bijvoorbeeld vet gedrukt is, dan is dat woord (meestal) extra belangrijk.
2. Alleen de belangrijke dingen weergeven: dus niet allerlei voorbeelden of onbelangrijke feitjes en geen helezinnen.
3. Je moet in het schema de verbanden tussen de onderdelen van je schema goed duidelijk maken.
4. Als in de tekst nieuwe begrippen behandeld worden, kun je onderaan het schema een begrippenlijst te maken:de nieuwe begrippen met daarachter de betekenis.
Daarna maak je van bij elke vraag of ondewerp een samenvatting . Daarbij heb je aandacht voor:
• de structuur van je tekst: die bestaat uit een aantal alinea’s die een overzichtelijk geheel vormen;
• je zorgt dat je tekst aangenaam om lezen is, en een informatief karakter heeft;
• je neemt geen zinnen letterlijk van je bronnen over;
• wat je ook schrijft, je zorgt dat je de inhoud voor 100% begrijpt;
• details (voorbeelden, zaken die niet van belang zijn voor de hoofdlijn van de tekst) moet verwaarlozen;
• je sluit je samenvatting af door het vermelden van je bronnen.
2. Opdracht
• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
• Practicum (. . . lessen, thuis afwerken). Het practicum voer je uit in groepjes van twee tot drie.
– Zoek nevenstaande poster van de Vlaamse Wiskunde Olympiade op.
– Eerst is het de bedoeling dat je de vraag oplost die op de poster staat. Jemoet dus het vraagteken achterhalen.
– Daarna kies je in je groepje een rij of kolom. In die rij of kolom kies jedrie afbeeldingen (maar niet het vraagteken). Bijvoorbeeld drie van de vijfplaatjes uit de tweede rij.
– Over elke afbeelding zoek je informatie op het internet. Die informatieorden je en bewerk je tot een samenvatting zoals beschreven in de inleiding.Schrijf tussen een halve en een bladzijde per afbeelding.
– Daarna is het de bedoeling om zelf een wiskundige afbeelding op te zoekendie het getal op de plaats van het vraagteken zou kunnen weergeven. Ookvan die afbeelding maak je zo’n samenvatting (maximaal een bladzijde).
• Verslag (tijdens de les, thuis afwerken). Je verslag bevat:
– van elk van de drie afbeeldingen een halve tot een bladzijde samenvatting;
– een afbeelding die het getal op de plaats van het vraagteken zou kunnen weergeven;
– ook van die afbeelding een halve tot een bladzijde samenvatting.
Het verslag voeg je in deze practicum map. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden.
• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient een practicumbundel met verslag in.
Pr-3
Evaluatieform
ulierPracticum
1D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Inh
oud
elij
k
Vaa
rdig
hed
en6.Onderzoeksvaard
igheden
•Je
kan
een
ond
erzo
ekso
pd
rach
tfo
rmu
lere
nen
afb
aken
en.
•Je
kan
een
aanp
akp
lan
nen
enzo
nod
igop
spli
tsen
ind
eelt
aken
.
•Je
kan
info
rmat
iever
wer
ken
enop
rele
vanti
ese
lect
eren
:
–d
ew
aard
eva
nd
ein
form
atie
beo
ord
elen
infu
nct
ieva
nd
eop
dra
cht;
–d
ere
lati
etu
ssen
gege
ven
sen
bew
erkin
gen
opzo
eken
enin
terp
rete
ren
.
•Je
kan
doel
mat
igee
nw
isku
nd
igm
od
else
lect
eren
of
opst
elle
n:
–ee
non
der
dee
lva
nee
nop
dra
cht
her
ken
nen
als
een
wis
kun
dig
ofee
nst
ati
stis
chp
rob
leem
;–
vast
stel
len
ofee
nm
od
elvo
ldoet
enh
etev
entu
eel
bij
stel
len
;–
zon
od
igb
ijkom
end
ein
form
atie
verz
amel
enom
het
aan
gew
ezen
mod
elte
ku
nn
enh
ante
ren
.
•Je
kan
bij
een
mod
eld
ep
asse
nd
eop
loss
ings
met
hod
eco
rrec
tu
itvo
eren
.
•Je
kan
resu
ltat
enb
inn
end
eco
nte
xt
bet
eken
isge
ven
enze
daa
rin
kri
tisc
hev
alu
eren
.
•Je
kan
refl
ecte
ren
oph
etge
hel
ep
roce
s,i.
h.b
.op
de
gem
aakte
keu
zen
voor
rep
rese
nta
tie
enw
erkw
ijze
.
•Je
kan
het
resu
ltaa
tva
nhet
ond
erzo
ekzi
nvo
lp
rese
nte
ren
,h
etst
and
punt
arg
um
ente
ren
enve
rsla
gu
itb
ren
gen
van
het
pro
ces.
7.Leerv
aard
igheden
•Je
kan
loss
ege
geve
ns
verw
erke
n.
•Je
kan
sam
enh
ange
nd
ein
form
atie
verw
erke
n.
•Je
kan
info
rmat
ieb
ron
nen
raad
ple
gen
.
•Je
kan
stu
die
tijd
pla
nn
en.
•Je
kan
jeei
gen
leer
pro
ces
bij
stu
ren
.
Att
itu
des
10.Zin
voorkwaliteit
van
dewiskundigere
pre
senta
tie.
Je
heb
td
ege
woon
teom
jege
dac
hte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoor
den
,en
de
voor
-en
nad
elen
van
een
bep
aald
ew
erkw
ijze
teb
esp
reken
.
11.Kritischezin.
Je
heb
td
eh
oud
ing
omb
erek
enin
gen,
bew
erin
gen
,ar
gum
ente
rin
gen
enre
den
erin
gen
nie
tzo
maar
teaanva
ard
enen
over
ten
emen
.
14.Zin
voorsa
menwerk
ingen
overleg.
•Je
ziet
ind
atje
mog
elij
kh
eden
verg
root
wor
den
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
•Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
np
ak.
15.W
aard
eringvoordewiskunde.
Je
toon
tin
zich
tin
de
bij
dra
geva
nd
ew
isku
nd
ein
cult
ure
le,
his
tori
sch
een
wet
ensc
hap
pel
ijke
ontw
ikke
lin
gen
.
Pr-
4
PRACTICUM 2
PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (1)
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
G. Polya, How to solve It
In deze snel evoluerende maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan pro-bleemoplossend denken. Willen we je hierin zelfredzaam maken, dan moet de nadrukliggen op het ontwikkelen van vaardigheden die kunnen helpen bij het oplossen van(nieuwe) problemen. Deze vaardigheden zijn dan ook een essentiele troef in je studie-en beroepsloopbaan.
Probleemoplossend denken is deels opgenomen in het normale lesgebeuren: het wordtbevorderd door vragen stellen, patronen ontdekken, antwoorden zoeken en onder-zoeken, voorbeelden en tegenvoorbeelden opzoeken, vraagstelling vereenvoudigen,voorstellen analyseren, testen en bijsturen, vermoedens analyseren.
Maar dit is niet voldoende. Het is ook noodzakelijk dat je zelf (haalbare) problementracht op te lossen. Bovendien vindt het (leren) oplossen van problemen op schoolen daarbuiten ook plaats in een sociale context. Men verwacht dan ook dat je metanderen kan samenwerken.
Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op het volgend
Stappenplan1voor probleemoplossend denken
Stap 1. Het probleem begrijpen. Begrijp je alle woorden die in de opgave staan? Is het duidelijk wat gevraagdwordt te berekenen of te bewijzen? Schrijf in je eigen woorden op wat het probleem inhoudt. Door het op anderemanieren te verwoorden zal je het probleem beter begrijpen.
Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen. Eerst denk je na welke zoekstrategieen kunnen helpen.Voorbeelden van zo’n strategieen, ook wel heuristieken genoemd, zijn:
• gegeven en gevraagde wiskundig vertalen
• raad en controleer
• maak een lijst
• zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld
• elimineer de mogelijkheden
• gebruik analogie of symmetrie
• zoek een patroon
• maak een tekening
• los een eenvoudiger probleem op
• gebruik een model
• onderzoek bijzondere gevallen
• los een vergelijking op
• werk omgekeerd
• gebruik een formule
Het is belangrijk om deze strategieen ook te benoemen op het moment dat je er gebruik van maakt. Vervolgensstel je een plan op die je zal volgen om het probleem op te lossen. Dit kan door in enkele regels te beschrijven hoeje straks te werk zal gaan.
Stap 3. Het plan uitvoeren. Je moet in staat zijn om - rekening houdend met het probleem en de omstandig-heden - de meest geschikte rekenwijze te kiezen: algebraısch, grafisch, schematisch, . . . . Volhard in je plan. Als hettot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel een nieuw plan op. Achteraf is het belangrijk dat je je uitwerkingvan het probleem op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlot kan lezen.
Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Wat vertelt de uitkomst je? Is het zinvol? Kun je je uitkomstop een of andere manier controleren? Bij een fout herneem je Stap 3 nauwgezet.
1Gebaseerd op het baanbrekend boek G. Polya, How to solve It, Princeton University Press (1945).
Pr-5
Modelvoorbeeld
Een natuurlijk getal dat uit vier cijfers bestaat, elk gelijk aan 1, 5 of 9, is deelbaar door 37. Als de som van de cijfers16 is, dan is de som van de laatste twee cijfers gelijk aan
© 2
© 6
© 10
© 12
© 14
Oplossing. We volgen de stappen voor probleemoplossend denken.
Stap 1. Het probleem begrijpen. Het probleem gaat over een getal van vier cijfers:
x = a b c d met a, b, c, d ∈ {1, 5, 9}
Bovendien moet dat getal x deelbaar zijn door 37. En we weten ook dat a+ b+ c+ d = 16. Gevraagd is c+ d.
Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen.
• Zoekstrategieen: gegeven en gevraagde wiskundig vertalen (zie Stap 1), maak een lijst.
• Plan: We lijsten veelvouden van 37 op, en kijken welke getallen voldoen aan de opgave. We kunnen ook demogelijkheden zoeken voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a+ b+ c+ d = 16, en nagaan welke getallen x deelbaarzijn door 37.
Stap 3. Het plan uitvoeren. De lijst van alle veelvouden van 37 met vier cijfers is nogal lang (243 mogelijkheden).In plaats daarvan zoeken we eerst de mogelijkheden voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a+ b+ c+ d = 16.
• Het cijfer 9 kan hoogstens een keer voorkomen. Want als het meer dan een keer voorkomt, dan is de som van decijfers minstens 18, en dat is teveel.
• Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet er ook minstens een 5 in voorkomen. Want als er geen 5 is, dan moeten dedrie andere cijfers telkens 1 zijn. Maar dan is de som 12, en dat is te weinig.
• Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet dus ook 5 voorkomen, en dan nog twee keer een 1. Dan is de som inderdaad16.
• Als het cijfer 9 niet voorkomt, dan moet de 5 minstens drie keer voorkomen, aangevuld met een 1.
Onze lijst telt 16 mogelijkheden:a b c d
9 5 1 19 1 5 19 1 1 55 9 1 11 9 5 11 9 1 55 1 9 11 5 9 11 1 9 55 1 1 91 5 1 91 1 5 9
a b c d
5 5 5 15 5 1 55 1 5 51 5 5 5
Nu kunnen we elk van deze getallen delen door 37 en kijken wanneer de rest nul is. Dat kan met het grafischrekenmachine. We vinden dat 1591 deelbaar is door 37. Dus de som van de laatste twee cijfers is 10.
Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Het natuurlijk getal 1591 bestaat uit vier cijfers, elk gelijk aan1, 5 of 9. Bovendien is 1591/37 = 43 dus het getal 1591 is deelbaar door 37. Tenslotte is de som van de cijfers gelijkaan 1+5+9+1 = 16. Het getal voldoet dus aan de opgave. De som van de laatste twee cijfers is gelijk aan 9+1 = 10.Het juiste antwoord is dus 10.
Pr-6
Opmerking. De uitwerking van Stap 3 kan ook zonder grafisch rekenmachine, bijvoorbeeld als volgt. Een getal isdeelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. Om een analoog kenmerk van deelbaarheid door 37 tevinden kunnen we als volgt te werk gaan:
x
37=
1000a+ 100b+ 10c+ d
37
=1000
37a+
100
37b+
10
37c+
1
37d
=
(27 +
1
37
)a+
(3− 11
37
)b+
10
37c+
1
37d
= 27a+ 3b+a− 11b+ 10c+ d
37
Wil x deelbaar zijn door 37, dan moet a− 11b+ 10c+ d deelbaar zijn door 37. We lopen nu bovenstaande lijst af:
a b c d a− 11b+ 10c+ d deelbaar door 37?
9 5 1 1 −35 nee9 1 5 1 49 nee9 1 1 5 13 nee5 9 1 1 −83 nee1 9 5 1 −47 nee1 9 1 5 −83 nee5 1 9 1 85 nee1 5 9 1 37 ja
We vinden dat 1591 deelbaar is door 37.
2. Opdracht
• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
• Practicum (1 les, thuis afwerken). Het practicum voer je uit in groepjes van twee.
– In het begin van de les krijg je een bundel met opdrachten (pagina’s A-62 tot en met A-73). De opdrachtenzijn gerangschikt volgens moeilijkheidsgraad: van niveau 1 (voor 1p.) tot niveau 6 (voor 6p.).
– Je kiest een aantal opgaven, in totaal ter waarde van . . . . . . punten (vul aan). Je mag maximum tweeopgaven van een zelfde niveau kiezen.
– Tijdens de les start je met het oplossen van je gekozen opgaven, waarbij je de vier stappen uit de inleidingvolgt.
Op het einde van de les moet vastliggen welke opgaven je in je groepje gekozen hebt.
• Verslag (thuis afwerken). Je verslag bevat een aantal cursusbladen. Elke opgave start op een nieuw cursus-blad, met de volgende structuur:
– Opgave netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken.
– Stap 1. Het probleem begrijpen.
– Stap 2. Zoekstrategien en een plan opstellen.
– Stap 3. Het plan uitvoeren.
– Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren.
Bij multiple choice vink je ook het juiste bolletje aan. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden. Hetverslag voeg je in deze practicum map. De opgaven die je niet behandeld hebt bewaar je thuis.
• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Iedereen dient zijn/haar practicumbundel met verslagin.
Pr-7
Evaluatieform
ulierPracticum
2D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Inh
oud
elij
k
Vaa
rdig
hed
en1.Rekenvaard
igheid.
•B
ijh
etal
geb
raıs
chm
anip
ule
ren
van
fun
ctie
voors
chri
ften
,fo
rmu
les,
verg
elij
kin
gen
,et
c.w
eet
jew
elke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
end
enom
tot
een
resu
ltaa
tte
kom
en,
envo
erje
dez
ete
chn
ieke
nco
rrec
tu
it.
•Je
kan
de
groot
ord
eva
nee
nre
sult
aat
goed
insc
hat
ten
.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
idd
elen
zoal
sh
etgr
afisc
hre
ken
mac
hin
eof
een
com
pu
terr
eken
pak
ket
gep
ast
insc
hake
len
om
een
bew
erkin
gu
itte
voer
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
nd
ieje
met
ICT
bek
omen
heb
t.
2.M
eet-en
tekenvaard
igheid.
•G
rafi
eken
envo
orst
elli
nge
nva
nvla
kke
enru
imte
figu
ren
teke
nje
nau
wkeu
rig.
•Je
heb
tru
imte
lijk
voor
stel
lin
gsve
rmog
en.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
iddel
enzo
als
het
grafi
sch
reke
nm
ach
ine
ofee
nco
mp
ute
rrek
enp
akke
tge
past
insc
hakel
enom
een
figu
ur
teb
ekom
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
voor
stel
lin
gen
die
jem
etIC
Tb
ekom
enh
ebt.
5.Pro
bleemoplossendevaard
igheden.
•Je
kan
een
pro
ble
emon
tdek
ken
enh
etw
isku
nd
igb
ehoor
lijk
stel
len
.
•Je
kan
een
pro
ble
eman
alyse
ren
(on
der
sch
eid
mak
entu
ssen
gege
ven
enge
vra
agd
e,ve
rban
den
leggen
tuss
end
egeg
even
s,et
c.).
•Je
kan
een
pro
ble
emve
rtal
enn
aar
een
pas
sen
dw
isku
nd
igm
od
el(m
ath
emat
iser
en).
•Je
kan
zoek
stra
tegi
een
toep
asse
nbij
het
wer
ken
aan
pro
ble
men
,en
daar
bij
een
pla
nop
stel
len
.
•Je
kan
refl
ecte
ren
opd
eke
uze
van
jezo
ekst
rate
giee
nen
jep
lan
.
•Je
kan
jere
sult
aten
contr
oler
enop
hu
nb
etro
uw
baa
rhei
den
vol
led
igh
eid
.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
idd
elen
geb
ruik
enom
wis
ku
nd
ige
info
rmat
iete
verw
erke
nen
wis
ku
nd
ige
pro
ble
men
teon
der
zoek
en.
Att
itu
des
9.Zin
voornauwkeurigheid
en
ord
e.
•Je
heb
td
ege
woon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opd
rach
tte
rug
tekij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole
,om
zoto
tn
auw
keu
rige
resu
ltat
ente
kom
en.
•Je
heb
tee
nh
oud
ing
omor
del
ijk
ensy
stem
atis
chte
wer
ken
(not
eren
,m
aken
van
oef
enin
gen
,aan
pakke
nva
np
rob
lem
en).
10.Zin
voorkwaliteit
van
dewiskundigere
pre
senta
tie.
Je
heb
td
ege
woon
teom
jege
dac
hte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoor
den
,en
de
voor
-en
nad
elen
van
een
bep
aald
ew
erkw
ijze
teb
esp
reken
.
13.Zelfre
gulatie.
•Je
toon
tee
non
der
zoek
sger
ichte
hou
din
gte
naa
nzi
enva
nfe
iten
,op
gave
nen
pro
ble
men
.
•Je
ben
tin
staa
tom
jein
een
oplo
ssin
gsp
roce
ste
orie
nte
ren
,h
etp
roce
ste
pla
nn
en,
het
uit
tevo
eren
enh
ette
bew
ake
n.
14.Zin
voorsa
menwerk
ingen
overleg.
•Je
ziet
ind
atje
mog
elij
kh
eden
verg
root
wor
den
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
•Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
np
ak.
Pr-
8
PRACTICUM 3
PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (2)
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. InleidingIn Practicum 2: Probleemoplossend denken (1) heb je kennis gemaakt met de kunstvan het oplossen van problemen. Hierbij kreeg je het advies om te werken volgens eenstappenplan (zie ook hieronder).In dit Practicum ga je nadenken over problemen die wat complexer zijn. Deze op-dracht voer je dan ook uit in groepjes van drie, want je zal merken dat je elkaars hulpen inzet nodig hebt om de taak succesvol te volbrengen.Om te zorgen dat er efficient gewerkt wordt, moeten de volgende rollen verdeeldworden:
• Schrijver Als de groep een idee of antwoord geeft, vraag dan of iedereen het ermee eens is. Deze persoon schrijftde redenering van de groep op. Dat zal voornamelijk in het klad zijn. In de tweede les worden de antwoordengoed leesbaar opgeschreven. Uiteraard helpen de anderen hierbij.
• Tijdbewaker Wanneer de groep erg lang bij een vraag blijft hangen, waarschuw je, bijvoorbeeld door te zeggen:“we moeten aan de volgende vraag beginnen, anders krijgen we het niet af”. Af en toe vertel je je groep hoeveeltijd er nog over is.
• Aanmoediger/leider Moedigt aan, bijvoorbeeld als de groep vast zit bij een probleem: “heeft iemand eenidee?”. Je toont ook initiatief bijvoorbeeld met: “deze strategie lijkt te kunnen werken, laten we die uitproberen”of “deze redenering leidt niet meteen tot iets, laten we iets anders proberen”.
Daarnaast blijft iedereen wel mee verantwoordelijk. De leerkracht kan ieder groepslid aanspreken op zijn of haarbijdrage aan het groepswerk. Dit om te voorkomen dat iemand ‘meelift’ (een groepslid laat de rest van de groep hetwerk opknappen). Pas wanneer alle groepleden hun rol naar behoren vervullen kan de groepstaak succesvol wordenuitgevoerd.
Stappenplan voor probleemoplossend denken
Stap 1. Het probleem begrijpen. Schrijf in je eigen woorden op wat het probleem inhoudt. Door het op anderemanieren te verwoorden zal je het probleem beter begrijpen.
Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen. Eerst denk je na welke zoekstrategieen kunnen helpen.Voorbeelden zijn:
• gegeven en gevraagde wiskundig vertalen
• raad en controleer
• maak een lijst
• zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld
• elimineer de mogelijkheden
• gebruik analogie of symmetrie
• zoek een patroon
• maak een tekening
• los een eenvoudiger probleem op
• gebruik een model
• onderzoek bijzondere gevallen
• los een vergelijking op
• werk omgekeerd
• gebruik een formule
Vervolgens stel je een plan op die je zal volgen om het probleem op te lossen.
Stap 3. Het plan uitvoeren. Volhard in je plan. Als het tot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel eennieuw plan op.
Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Kun je je uitkomst op een of andere manier controleren?
Pr-9
2. Opdracht
• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
• Practicum (. . . lessen). Het practicum voer je uit in groepjes van drie.
– Leg vast wie de rol van schrijver, tijdbewaker en aanmoediger/leider op zich neemt.
– Op de volgende pagina vind je een tiental problemen. De vragen hebben te maken met de leerstof die inhet vijfde jaar eerste semester hebt gezien. Door tossen wordt beslist welke twee problemen jullie krijgen.
• Verslag. Je verslag bevat een aantal cursusbladen. Elk van de twee problemen start op een nieuw cursusblad,te beginnen met de nummer van het probleem.
• Practicum indienen. Indenen op het einde van de tweede les. Per drie een practicumbundel met verslagindienen.
Pr-10
Tien problemen - Opgave
Veeltermfuncties
Probleem 1.
(a) Stel f(x) = 3x3 − 4x2 + ax− 11 een reele veelterm zodat f(1) = 2. Bepaal de waarde van a.
(b) Stel (3x− 1)7 = a7x7 + a6x
6 + . . .+ a0 voor zekere a0, a1, . . . , a7 ∈ R. Bepaal a7 + a6 + . . .+ a1 + a0.
Probleem 2. Er is precies een veeltermA(x) van de vormA(x) = 7x7+a6x6+a5x
5+. . .+a1x+a0 met a0, a1, a2, . . . , a6 ∈R waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0).
Rationale functies
Probleem 3. Een keuken moet geverfd worden. Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze 7 uren meer nodig danwanneer Henk alleen werkt (Henk is een professionele schilder). Verven ze beiden samen, dan klaren ze de klus in 12uren. Hoe lang doet Henk er over als hij alleen schildert?
Probleem 4. Stel f(x) =5x2 − 4x+ 8
x2 + 1.
(a) Voor welke reele waarden van k bestaat er een reeel getal x waarvoor f(x) = k?
(b) Bepaal het bereik van de functie f .
Irrationale functies
Probleem 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de vergelijking 3√
13x+ 37− 3√
13x− 37 =3√
2
Bewerkingen met functies
Probleem 6. Stel f(x) = x+√x en g(x) = x+1/4. Bepaal de exacte, vereenvoudigde waarde van g(f(g(f(g(f(7)))))).
Aanwijzing. Noem h = g ◦ f en schrijf h(x) als het kwadraat van een tweeterm.
Exponentiele functies
Probleem 7. De vergelijking 2x2
= 323x+8 heeft twee reele oplossingen. Bepaal algebraısch hun product.
Logaritmische functies
nieren in digitaal ontwerp
Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling van het bloed constant tehouden. Daarbij verwijderen ze opgeloste ongewenste stoffen, zoals afvalstoffen vande stofwisseling en via het voedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nierenelimineren een zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijdseenheid.
Cafeıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op het zenuwstelsel, dehartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat het je wakkerder maakt of dathet je gevoel van vermoeidheid verdrijft. Een grote dosis cafeıne kan giftig zijn.Gemiddeld verwijderen de nieren van een persoon per uur 13% van de in het lichaamoverblijvende cafeıne. Is de overblijvende dosis cafeıne groter dan 20mg, dan werkthet stimulerend.
We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafeıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikjecola drinkt, en je het laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafeıne die je uit deze blikjes opnam nietlanger stimulerend werken? Algebraısch oplossen, en je resultaat afronden op een minuut nauwkeurig.
Exponentiele en logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden
Probleem 9. Los algebraısch de volgende exponentiele vergelijking op:
8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0
Probleem 10. Bepaal algebraısch het grootste reeel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking
(210 log (x2b)
)2= 210 log x4
allen gehele getallen zijn.
Pr-11
Evaluatieform
ulierPracticum
3D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Vaa
rdig
hed
en1.Rekenvaard
igheid.
•B
ijh
etal
geb
raıs
chm
anip
ule
ren
van
fun
ctie
voors
chri
ften
,fo
rmu
les,
verg
elij
kin
gen
,et
c.w
eet
jew
elke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
end
enom
tot
een
resu
ltaa
tte
kom
en,
envo
erje
dez
ete
chn
ieke
nco
rrec
tu
it.
•Je
kan
de
groot
ord
eva
nee
nre
sult
aat
goed
insc
hat
ten
.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
idd
elen
zoal
sh
etgr
afisc
hre
ken
mac
hin
eof
een
com
pu
terr
eken
pak
ket
gep
ast
insc
hake
len
om
een
bew
erkin
gu
itte
voer
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
nd
ieje
met
ICT
bek
omen
heb
t.
4.Denk-en
redeneerv
aard
igheden.
•Je
kan
het
ond
ersc
hei
dm
aken
tuss
enh
oof
d-
enb
ijza
ken,
gege
ven
enge
vra
agd
e,ge
geve
nen
teb
ewij
zen
.
•Je
ben
tin
staa
tee
nre
den
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eigen
sch
apte
beg
rijp
en.
•Je
kan
een
gege
ven
red
ener
ing
oph
aar
geld
igh
eid
ond
erzo
eken
.
•Je
kan
een
reden
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
ofd
eop
loss
ing
van
een
pro
ble
emop
bouw
en:
–je
kan
een
ver
moed
enfo
rmu
lere
nen
argu
men
tere
n;
–je
kan
een
eige
nsc
hap
form
ule
ren
opb
asis
van
een
ond
erzo
ekop
een
aanta
lvo
orb
eeld
en;
–je
kan
bij
het
opb
ouw
enva
nee
nre
den
erin
gee
nIC
T-h
ulp
mid
del
geb
ruik
en.
5.Pro
bleemoplossendevaard
igheden.
•Je
kan
een
pro
ble
emon
tdek
ken
enh
etw
isku
nd
igb
ehoor
lijk
stel
len
.
•Je
kan
een
pro
ble
eman
alyse
ren
(on
der
sch
eid
mak
entu
ssen
gege
ven
enge
vra
agd
e,ve
rban
den
leggen
tuss
end
egeg
even
s,et
c.).
•Je
kan
een
pro
ble
emve
rtal
enn
aar
een
pas
sen
dw
isku
nd
igm
od
el(m
ath
emat
iser
en).
•Je
kan
zoek
stra
tegi
een
toep
asse
nbij
het
wer
ken
aan
pro
ble
men
,en
daar
bij
een
pla
nop
stel
len
.
•Je
kan
refl
ecte
ren
opd
eke
uze
van
jezo
ekst
rate
giee
nen
jep
lan
.
•Je
kan
jere
sult
aten
contr
oler
enop
hu
nb
etro
uw
baa
rhei
den
voll
edig
hei
d.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
idd
elen
geb
ruik
enom
wis
ku
nd
ige
info
rmat
iete
ver
wer
ken
enw
isku
nd
ige
pro
ble
men
teon
der
zoek
en.
Att
itu
des
11.Kritischezin.
Je
heb
td
eh
oud
ing
omb
erek
enin
gen,
bew
erin
gen
,ar
gum
ente
rin
gen
enre
den
erin
gen
nie
tzo
maar
teaanva
ard
enen
over
ten
emen
.
13.Zelfre
gulatie.
•Je
toon
tee
non
der
zoek
sger
ichte
hou
din
gte
naa
nzi
enva
nfe
iten
,op
gave
nen
pro
ble
men
.
•Je
ben
tin
staa
tom
jein
een
oplo
ssin
gsp
roce
ste
orie
nte
ren
,h
etp
roce
ste
pla
nn
en,
het
uit
tevo
eren
enh
ette
bew
ake
n.
14.Zin
voorsa
menwerk
ingen
overleg.
•Je
ziet
ind
atje
mog
elij
kh
eden
verg
root
wor
den
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
•Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
np
ak.
Pr-
12
PRACTICUM 4
TOEPASSINGEN IN GROEP VERWERKEN
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
Heel wat problemen uit de maatschappelijke leefwereld kunnen aangepakt worden met wiskunde. Het oplossen vanzo’n problemen valt onder de noemer toepassingen. Het proces waarbij men met wiskunde naar oplossingen zoekt,valt grofweg uiteen in de vier stappen beschreven in Practicum 2.
Het verschil tussen het oplossen van een probleem zoals in Practicum 2 en 3 en een toepassing zit hem in de zoekstra-tegieen (Stap 2). Bij toepassingen komt het er meestal op neer om in de opgave een wiskundig begrip te herkennen,zoals bijvoorbeeld een rechthoekige driehoek, een functie, een matrix, etc. Het oplossen van het oorspronkelijk pro-bleem vertaalt zich dan in het uitvoeren van bewerkingen met die begrippen. Men verwijst naar deze zoekstrategie alsmathematiseren of modelleren. Het oplossen van een toepassing is dus een veredelde vorm van probleemoplossenddenken uit Practicum 1.
Stappenplan. Let op deterugkerende pijl!
Samengevat komen we bij het aanpakken van een toepassing uit op volgende stappen1 .
Stap 1. Het probleem begrijpen. Heel vaak kun je het probleem beter begrijpendoor het op een andere manier te verwoorden.
Stap 2. Mathematiseren. Herkennen van een wiskundig begrip, en inzien dathet gevraagde kan vertaald worden naar een model: een bewerking, een vergelijking,een stelsel vergelijkingen, een extremumvraagstuk, een matrixvermenigvuldiging, eenrechthoekige of een willekeurige driehoek, etc.
Stap 3. Berekenen. Als het wiskundig model opgebouwd is, probeer je dit viarekentechnieken op te lossen.
Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Interpretatie van het resultaat,waarbij je rekening houdt met de context van het probleem.
2. Opdracht
• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . (datum invullen).
• Practicum (2 lessen, thuis afwerken). Uitvoeren in groepen van vier.
Les 1 Toepassing 1 op pagina A-84 en volgende verwerken.
1. Hier en daar moet je iets aanvullen of een vraag beantwoorden. Doe dat in groep: overleg wat eringevuld moet worden, deel je inzichten met de anderen.
2. Als jullie klaar zijn, dan geef je een teken aan de leerkracht. Jullie krijgen een ingevulde versie: paginaA-92 en volgende. Vergelijk deze met jullie oplossing, fouten stip je aan in het rood. Zorg dat iedereenin de groep nu elke (verbeterde) stap begrijpt.
3. Maak nadien Oefening 1 op pagina A-100 (staat ook op de volgende pagina).
Les 2 Toepassing 2 op pagina A-88 en volgende verwerken, analoog als in les 1.
1. Hier en daar moet je iets aanvullen of een vraag beantwoorden.
2. Vergelijk met de ingevulde versie pagina A-96 en volgende.
3. Maak nadien Oefening 2, 3 of 4 op pagina A-100 (beslist door tossen, staan ook op de volgende pagina’s).
• Verslag (thuis afwerken). Jullie verslag bevat een exemplaar van jullie ingevulde pagina’s A-84 tot en metA-91, en de twee gemaakte oefeningen op een cursusblad. Opgave overschrijven hoeft niet.
• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient een practicumbundel met verslag in.
1Inspiratie en schema ontleend aan G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3
Europe Vlaanderen nr.9 (2006).
Pr-13
Oefeningen - Opgave
Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een klein eilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjesvaart op regelmatige tijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op onderstaande graaf.
(a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf.
(b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van E naar C met een tussenstop op een willekeurigeiland.
(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van A naar C met twee tussenstops op een willekeurigeiland.
?(d) Is het mogelijk om via ten hoogste een tussenstop van om het even welk eiland naar om het even welk eiland tegaan? Los op met behulp van matrices.
A
B
C
D
E
Pr-14
Oefening 2. Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde.Na een jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van hetjaar voordien, en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren hetjaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jongedieren zijn en 30 volwassen dieren.
(a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf.
(b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar.
(c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren?
Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen 2 de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van demarkt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgendewijzigingen voor:
∗ Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest.
∗ Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest.
∗ Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.
We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet.
(a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf.
(b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices.
Oefening 4. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en door eenlage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Lesie-model, de volgendegegevens zijn bekend:
∗ slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar,
∗ eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven,
∗ geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar,
∗ alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes.
(a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf.
(b) Stel de Lesie-matrix op.
(c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100 000 eitjes. Hij laat zijnvangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?
2Enige gelijkenis met bestaande maatschappijen berust op toeval.
Pr-15
Evaluatieform
ulierPracticum
4D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Vaa
rdig
hed
en1.Rekenvaard
igheid.
•B
ijh
etal
geb
raıs
chm
anip
ule
ren
van
fun
ctie
voors
chri
ften
,fo
rmu
les,
verg
elij
kin
gen
,et
c.w
eet
jew
elke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
end
enom
tot
een
resu
ltaa
tte
kom
en,
envo
erje
dez
ete
chn
ieke
nco
rrec
tu
it.
•Je
kan
de
groot
ord
eva
nee
nre
sult
aat
goed
insc
hat
ten
.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
idd
elen
zoal
sh
etgr
afisc
hre
ken
mac
hin
eof
een
com
pu
terr
eken
pak
ket
gep
ast
insc
hake
len
om
een
bew
erkin
gu
itte
voer
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
nd
ieje
met
ICT
bek
omen
heb
t.
3.W
iskundigeta
alvaard
igheid.
•Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etd
eva
kta
alva
nd
ew
isku
nd
e:
–je
ken
td
eb
etek
enis
van
typ
isch
eva
kte
rmen
enge
bru
ikt
dez
evo
ldoen
de
corr
ect
(fu
nct
ie,
stel
sel,
etc.
);–
jeke
nt
de
bet
eken
isva
nsp
ecifi
eke
logi
sch
eke
rnw
oor
den
enge
bru
ikt
dez
evol
doen
de
corr
ect
(en
,of,
daaru
itvolg
t,vo
or
all
e,et
c.);
–je
ben
tin
staa
tom
een
omsc
hri
jvin
gva
nee
nb
egri
pte
form
alis
eren
,en
een
voor
waard
ete
sym
boli
sere
n;
–je
han
teer
td
evis
uel
evo
orst
elli
nge
nw
aar
de
wis
ku
nd
ege
bru
ikva
nm
aakt
(gra
fiek
,ta
bel
,et
c.).
•Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etd
eb
esch
rijv
end
eta
alw
aari
nov
erh
etw
isku
nd
igh
an
del
enge
spro
ken
word
t(d
efin
itie
,ei
gen
sch
ap
,ve
rkla
ar,
ber
eken
alge
bra
ısch
/gra
fisc
h,
teke
n,
contr
uee
r).
•Je
kan
inee
nsi
tuat
iew
isku
nd
ige
beg
rip
pen
her
ken
nen
enve
rtal
ennaa
rw
isku
nd
igm
od
el(m
ath
emati
sere
n).
•Je
kan
vis
uel
ein
form
atie
invo
ldoen
de
mat
ele
zen
enin
terp
rete
ren
(op
een
teke
nin
g,gr
afi
ek,
dia
gra
m).
•Je
ben
tle
esva
ard
igb
ijh
etle
zen
van
de
tekst
van
opga
ven
,p
rob
lem
enen
vra
agst
ukke
n.
4.Denk-en
redeneerv
aard
igheden.
•Je
kan
het
ond
ersc
hei
dm
aken
tuss
enh
oof
d-
enb
ijza
ken,
gege
ven
enge
vra
agd
e,ge
geve
nen
teb
ewij
zen
.
•Je
ben
tin
staa
tee
nre
den
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eigen
sch
apte
beg
rijp
en.
•Je
kan
een
gege
ven
red
ener
ing
oph
aar
geld
igh
eid
ond
erzo
eken
.
•Je
kan
een
reden
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
ofd
eop
loss
ing
van
een
pro
ble
emop
bouw
en:
–je
kan
een
ver
moed
enfo
rmu
lere
nen
argu
men
tere
n;
–je
kan
een
eige
nsc
hap
form
ule
ren
opb
asis
van
een
ond
erzo
ekop
een
aanta
lvo
orb
eeld
en;
–je
kan
bij
het
opb
ouw
enva
nee
nre
den
erin
gee
nIC
T-h
ulp
mid
del
geb
ruik
en.
Att
itu
des
9.Zin
voornauwkeurigheid
en
ord
e.
•Je
heb
td
ege
woon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opd
rach
tte
rug
tekij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole
,om
zoto
tn
auw
keu
rige
resu
ltat
ente
kom
en.
•Je
heb
tee
nh
oud
ing
omor
del
ijk
ensy
stem
atis
chte
wer
ken
(not
eren
,m
aken
van
oef
enin
gen
,aan
pakke
nva
np
rob
lem
en).
11.Kritischezin.
Je
heb
td
eh
oud
ing
omb
erek
enin
gen,
bew
erin
gen
,ar
gum
ente
rin
gen
enre
den
erin
gen
nie
tzo
maar
teaanva
ard
enen
over
ten
emen
.
14.Zin
voorsa
menwerk
ingen
overleg.
•Je
ziet
ind
atje
mog
elij
kh
eden
verg
root
wor
den
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
•Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
np
ak.
Pr-
16
PRACTICUM 5
HOE STUDEER JE EEN BEWIJS?
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
Het studeren van een wiskundig bewijs - en algemener, het studeren van theorie wiskunde - verloopt in vijf stappen:
Stap 1. Begrijp elke overgang
Stap 2. Begrijp het geheel
Stap 3. Test jezelf
Stap 4. Controleer
Stap 5. Herhaal
We lichten deze stappen toe aan de hand van een bewijs die je in het derde jaar gestudeerd hebt.
Voorbeeld
Stelling. Het getal√
2 is een irrationaal getal.
Bewijs. Er zijn twee mogelijkheden: ofwel is√
2 een irrationaal getal, ofwel is het geen irrationaal getal.
Mocht√
2 geen irrationaal getal zijn, dan is
√2 =
a
bvoor zekere a, b ∈ Z met b 6= 0 (1)
Bovendien kunnen we er voor zorgen dat a en b geen deler gemeen hebben.Nemen we in (1) het kwadraat van beide leden dan verkrijgen we
2 =a2
b2⇒ 2b2 = a2
Omdat het linkerlid deelbaar is door 2, is ook het rechterlid deelbaar door 2. Dus 2 is een deler van a2.Dus 2 is een deler van a. Dus a = 2k voor een zekere k ∈ Z.
Vervangen we a = 2k in (1) dan verkrijgen we
√2 =
2k
b(2)
Nemen we in (2) het kwadraat van beide leden dan verkrijgen we
2 =4k2
b2⇒ b2 = 2k2
Omdat het rechterlid deelbaar is door 2, is ook het linkerlid deelbaar door 2. Dus 2 is een deler van b2.Dus 2 is een deler van b.
Maar nu is 2 een deler van a en 2 is een deler van b, terwijl we ervoor hadden gezorgd dat a en b geendeler gemeen hebben. Een strijdigheid: het is dus niet waar dat
√2 geen irrationaal getal is.
We besluiten dat√
2 een irrationaal getal is.
Pr-17
Stap 1. Begrijp elke overgang
Je begint met het bewijs regel per regel door te nemen. Zorg dat het duidelijk is hoe je van de ene regel naar deandere gaat (een berekening, steunen op een eerder geziene eigenschap, etc.).
Tijdens de les wiskunde was het de bedoeling dat elke overgang duidelijk is. Stap 1 dient dus om na te gaan of datnu nog steeds zo is.
Wellicht is het geheel van het bewijs nog niet duidelijk, maar dat komt pas in Stap 2.
Voorbeeld.
Mocht√
2 geen irrationaal getal zijn, dan is
√2 =
a
bvoor zekere a, b ∈ Z met b 6= 0 (1)
Waarom? Als een getal niet irrationaal is, dan is het rationaal (breuk).Waarom is b 6= 0? Delen door 0 mag niet.
Bovendien kunnen we er voor zorgen dat a en b geen deler gemeen hebben.
Waarom? Mochten a en b toch een deler gemeen hebben, dan kun je die breuka
bvereenvoudigen.
Etc.
Stap 2. Begrijp het geheel
Om het geheel te begrijpen, ga je na:
• wat moeten we eigenlijk bewijzen (opgave)?
• toont de redering van het bewijs nu wel de opgave aan?
• is er een truc in het bewijs?
Voorbeeld.
• We moeten aantonen dat√
2 irrationaal is. M.a.w. we moeten aantonen dat√
2 geen breuk is.
• In het bewijs doen we alsof√
2 wel een breuk is. Maar dan loopt er blijkbaar iets fout. Dus op heteinde van het verhaal zullen we bewezen hebben dat
√2 toch geen breuk is.
• Door te doen alsof√
2 een breuk is, kunnen we het schrijven alsa
b. De truc is om die gelijkheid
√2 =
a
bte kwadrateren. En dan later nog eens toe te passen eens we a geschreven hebben als 2k.
Tracht daarna het bewijs in twee of drie regels samen te vatten. Door die regels te onthouden, zul je het bewijs laterkunnen reconstrueren.Voorbeeld.
1. Doen alsof√
2 een breuk is:√
2 =a
b
2. Kwadraat nemen levert dat 2 een deler is van a, dus a = 2k.
3. Vervangen, opnieuw kwadraat nemen levert dat 2 een deler is van b.
Stap 3. Test jezelf
Leg je cursus of boek weg, en neem een leeg cursusblad. Je schrijft op wat je gaat bewijzen (opgave), en probeert hetbewijs nu helemaal zelf op te schrijven. Als je vast komt te zitten, geef het niet onmiddellijk op door terug in je cursuste kijken. In plaats daarvan denk je even na:
• kan ik een regel open laten, en het verder verloop van het bewijs toch opschrijven? Denk aan je samenvattingin Stap 2.
• is er een truc in het bewijs die ik vergeten ben?
• weet ik nog wat ik wil bewijzen?
Kijk pas terug in je cursus als je het echt niet meer weet. Maar beperk je dan niet tot het lezen van die ene regel dieje vergeten bent: ga ook eens na waarom je die regel vergeten bent. Daarna neem je een leeg cursusblad en begin jeopnieuw het bewijs op te schrijven.
Pr-18
Stap 4. Controleer
Als je denkt dat je klaar bent, neem dan je cursus en vergelijk jouw bewijs met dat in de cursus. Wees streng op jezelf,en ga nauwkeurig na of je bewijs nu ook correct is:
• heb ik de opgave juist?
• heb ik elke tussenstap opgeschreven? Minstens evenveel zoals in de cursus?
• heb ik de eventuele tekeningen nauwkeurig gemaakt en alles aangeduid?
Als je iets vergeten bent, of iets fout geschreven hebt, dan duid je de fout op je cursusblad aan met een fluoriserendestift. Houd je cursusblad bij (zie Stap 5).
Stap 5. Herhaal
Op het einde van de dag test je jezelf opnieuw (Stap 3), met controle (Stap 4). Bij die controle vergelijk je ook metde fouten die je op je eerste cursusblad hebt gemaakt.De kracht van de herhaling kan nauwelijks onderschat worden. Daags nadien test je jezelf nog een derde keer. Je zalervan versteld staan dat je zelfs dagen later het bewijs nog kan opschrijven.
Tip. Om het jezelf gemakkelijk te maken kun je steekkaarten maken. Op elke steekkaart schrijf je de vraag op zoalsde stelling (of een definitie, etc.) gevraagd kan worden op een toets of examen. Telkens je het bewijs herhaalt, neemje die steekkaart en lees je de opgave. Je schrijft je antwoord uiteraard niet op die steekkaart, zodat die later nogbruikbaar is. Op het einde van elk hoofdstuk (en dus ook bij de voorbereiding van je examens) heb je dan een aantalsteekkaarten waaruit je de theorie kan studeren.
Voorbeeld.
Vul de volgende stelling aan (schrappen wat niet past), en bewijs:
Het getal√
2 is wel/niet een irrationaal getal.
Bewijs....
2. Opdracht
• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
• Practicum (1 les). Dit practicum voer je individueel uit.
1. Tijdens de les studeer je het bewijs op pagina A-106 (vijfde jaar) of A-107 (zesde jaar) op de manier zoalsbeschreven in de inleiding (Stappen 1-4 uitvoeren).
2. In de les krijg je ook een blanco steekkaart. Die steekkaart maakt je klaar zoals beschreven in Stap 5. Diesteekkaart kan je later gebruiken om het bewijs te herhalen (Stap 5).
3. Na deze vijf stappen reflecteer je even over jouw studiemethode bij het studeren van theorie. Beschrijf inenkele regels:
Hoe pak je het studeren van theorie meestal aan?
Heeft die aanpak in het verleden tot gewenste resultaten geleid?
Denk je met de methode uit dit practicum je theorie efficient(er) te kunnen studeren?
• Verslag. Je verslag bestaat uit het cursusblad die je in Stap 3 gemaakt hebt. Vergeet je eventuele fouten nietaan te duiden met een fluoriserende stift. Op dat blad heb je ook de reflectie van jouw studiemethode geschreven.Je voegt het cursusblad samen met je steekkaart in deze practicumbundel.
• Practicum indienen. Op het einde van de les.
Pr-19
Evaluatieform
ulierPracticum
5D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Vaa
rdig
hed
en3.
Wis
ku
nd
ige
taalv
aard
igh
eid
.
•Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etd
eva
kta
alva
nd
ew
isku
nd
e:
–je
ken
td
eb
etek
enis
van
typ
isch
eva
kte
rmen
enge
bru
ikt
dez
evo
ldoen
de
corr
ect
(fu
nct
ie,
stel
sel,
etc.
);–
jeke
nt
de
bet
eken
isva
nsp
ecifi
eke
logi
sch
eke
rnw
oor
den
enge
bru
ikt
dez
evol
doen
de
corr
ect
(en
,of,
daaru
itvolg
t,vo
or
all
e,et
c.);
–je
ben
tin
staa
tom
een
omsc
hri
jvin
gva
nee
nb
egri
pte
form
alis
eren
,en
een
voor
waard
ete
sym
boli
sere
n;
–je
han
teer
td
evis
uel
evo
orst
elli
nge
nw
aar
de
wis
ku
nd
ege
bru
ikva
nm
aakt
(gra
fiek
,ta
bel
,et
c.).
•Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etd
eb
esch
rijv
end
eta
alw
aari
nov
erh
etw
isku
nd
igh
an
del
enge
spro
ken
word
t(d
efin
itie
,ei
gen
sch
ap
,ve
rkla
ar,
ber
eken
alge
bra
ısch
/gra
fisc
h,
teke
n,
contr
uee
r).
•Je
kan
inee
nsi
tuat
iew
isku
nd
ige
beg
rip
pen
her
ken
nen
enve
rtal
ennaa
rw
isku
nd
igm
od
el(m
ath
emati
sere
n).
•Je
kan
vis
uel
ein
form
atie
invo
ldoen
de
mat
ele
zen
enin
terp
rete
ren
(op
een
teke
nin
g,gr
afi
ek,
dia
gra
m).
•Je
ben
tle
esva
ard
igb
ijh
etle
zen
van
de
tekst
van
opga
ven
,p
rob
lem
enen
vra
agst
ukke
n.
7.
Leerv
aard
igh
ed
en
•Je
kan
loss
ege
geve
ns
verw
erke
n.
•Je
kan
sam
enh
ange
nd
ein
form
atie
verw
erke
n.
•Je
kan
info
rmat
ieb
ron
nen
raad
ple
gen
.
•Je
kan
stu
die
tijd
pla
nn
en.
•Je
kan
jeei
gen
leer
pro
ces
bij
stu
ren
.
8.
Refl
ecti
evaard
igh
ed
en
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
aan
pak
van
jew
erk
enje
stu
die
s.
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
jele
erp
roce
sen
jein
zet
(lei
den
zeto
th
etb
erei
ken
van
de
doel
stel
lin
g?)
.
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
effici
enti
eva
nje
wer
ken
enje
lere
n.
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
ster
keen
de
zwak
keel
emen
ten
ind
eu
itvo
erin
gva
nje
opd
rach
t.
•Je
kan
jere
flec
tie
concr
eet
mak
end
oor
een
pla
nva
nve
rbet
erin
gop
test
elle
n(w
elke
elem
ente
nw
ord
engeb
ruik
tom
het
lere
nen
wer
ken
teve
rbet
eren
?).
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
geza
mel
ijke
aan
pak
enov
erle
gb
ijee
ngr
oep
sop
dra
cht.
Att
itu
des
9.
Zin
voor
nauw
keu
righ
eid
en
ord
e.
•Je
heb
td
ege
woon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opd
rach
tte
rug
tekij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole
,om
zoto
tn
auw
keu
rige
resu
ltat
ente
kom
en.
•Je
heb
tee
nh
oud
ing
omor
del
ijk
ensy
stem
atis
chte
wer
ken
(not
eren
,m
aken
van
oef
enin
gen
,aan
pakke
nva
np
rob
lem
en).
11.
Kri
tisc
he
zin
.Je
heb
td
eh
oud
ing
omb
erek
enin
gen,
bew
erin
gen
,ar
gum
ente
rin
gen
enre
den
erin
gen
nie
tzo
maar
teaanva
ard
enen
over
ten
emen
.
12.
Zelf
vert
rouw
en
en
zelf
stan
dig
heid
.
•Je
toon
tze
lfver
trou
wen
,ze
lfst
and
igh
eid
,d
oor
zett
ings
ver
mog
enen
doel
mat
igh
eid
bij
het
aan
pakke
nva
np
rob
lem
enen
op
dra
chte
n.
•Je
ziet
ind
atfo
ute
nm
aken
inh
eren
td
eel
uit
mak
enva
nh
etle
erp
roce
s.
Pr-
20
PRACTICUM 6
SAMENWERKEN
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding1
In onze maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan samenwerking. Datbelang wordt gereflecteerd in bedrijven en overheidsinstanties. Immers, een goedesamenwerking van personeelsleden impliceert een grotere rentabiliteit en betereresultaten. Dat men bij het aanwerven van nieuwe personeelsleden hierop zalinspelen spreekt voor zich. De kans is dan ook erg groot je bij een toekomstigesolicitatie of proefcontract zal getest worden hoe vaardig je bent in het samenwerkenmet de anderen.
Concreet deelt men de competentie samenwerken in vier niveaus op. Die zijn cumu-latief gerangschikt, wat wil zeggen dat iemand pas een hoger niveau kan bereiken alshij/zij ook de lagere niveau’s beheerst.
Niveaus van samenwerking
Niveau 1. Je werkt mee en informeert de anderen:
• je houdt rekening met de mening van anderen;
• je behandelt de anderen met respect;
• je geeft informatie en kennis door die voor anderen nuttig of belangrijk kan zijn;
• je aanvaardt groepsbeslissingen.
Niveau 2. Je helpt anderen en pleegt overleg:
• je steunt de voorstellen van anderen en bouwt daarop voort om tot een gezamenlijk resultaat te komen;
• je houdt rekening met de gevoeligheden en met de verscheidenheid van mensen;
• je biedt hulp aan bij problemen, ook al valt de taak niet onder de eigen opdracht;
• je vraagt spontaan en proactief de mening van anderen.
Niveau 3. Je stimuleert de samenwerking binnen de eigen entiteit, werkgroepen of projectgroepen:
• je komt met ideeen om het gezamenlijk resultaat te verbeteren;
• je moedigt anderen aan om onderling te overleggen over zaken die het eigen werk overstijgen;
• je betrekt anderen bij het nemen van beslissingen die op hen een impact hebben;
• je bevordert de goede verstandhouding, de teamgeest en het respect voor verscheidenheid van mensen;
• je geeft opbouwende kritiek en feedback.
Niveau 4. Je creeert gedragen samenwerkingsverbanden met en tussen andere entiteiten:
• je creeert structuren om de samenwerking met andere entiteiten te verbeteren;
• je neemt informele initiatieven om de samenwerking met en tussen andere entiteiten te verstevigen;
• je draagt samenwerking uit als belangrijke waarde in de entiteit en daarbuiten en spreekt anderen daarop aan;
• je werkt actief aan het scheppen van een goede vertrouwensband met andere entiteiten.
1Inspiratie werd gehaald uit de website van de Vlaamse Overheid Agentschap voor Overheidspersoneelhttp://www2.vlaanderen.be/personeelsopleiding/
Pr-21
Ook in je verdere studieloopbaan kan samenwerken een grote rol spelen. Niet zelden krijg je bij hogere studies temaken met het maken van projecten in groep. Het vaardig zijn in samenwerken kan hier een grote troef betekenenom zowel sneller als beter te presteren in groep. Daarom bieden we je nu al af en toe activiteiten in groep aan om jebeter te kunnen voorbereiden op het functioneren in de maatschappij.
Concreet kennen we in de klas drie graden van samenwerking.
Graden van samenwerking in de klas
Graad 1. De leerkracht bepaalt het doel, de (meeste) activiteiten en (bijna) de hele evaluatie. Dit is wat menmeestal onder samenwerken in klas begrijpt.
Graad 2. De groep krijgt meer verantwoordelijkheid, en de structuren verdwijnen want de groep zelf bepaaltsteeds meer de manier waarop samengewerkt wordt. In dat geval spreken we over samen leren. Deze structuuracht men meer complex dan samen werken, omdat ze een zelfstandigere houding van de leerlingen vereisen ende docent meer terugtreedt.
Graad 3. Er is sprake van totale sturing vanuit de leerlingen. Deze graad noemt men samen reguleren.
Naast het verwerken van toepassingen in groep uit Practicum 4 is dit practicum gericht op samenwerken, in groepenvan twee. Het beoogde doel is welomlijnd (zie opdracht). Toch is er nu al een zekere vorm van:
• Positieve wederzijdse afhankelijkheid. Je werkt aan een gezamelijk doel, en daarbij is de bijdrage van iedergroepslid van belang.
• Individuele aanspreekbaarheid. Ieder groepslid is aanspreekbaar op zijn/haar bijdrage aan het groepspro-duct, het kan dus niet zo zijn dat een groepslid al het werk doet.
• Directe interactie. Je praat met elkaar over de leerstof. Dus er moet ook echt gepraat worden. Het is dus nietde bedoeling dat je individueel de opdracht uitvoert, en achteraf controleert of de andere groepsleden hetzelfderesultaat bereikt hebben.
• Sociale vaardigheden. Dit betekent dat er aandacht is voor het functioneren in een groep en niet alleenproductgericht maar vooral proces gericht. Hoe verliep het, wat kunnen we de volgende keer anders doen?
2. Opdracht
• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
Toepassing 1 op pagina A-109 verwerken. Hier en daar moet je een vraag beantwoorden.
• Practicum (2 lessen, thuis afwerken). Uitvoeren in groepen van twee of drie.
1. In groep de antwoorden op pagina A-111 vergelijken. Waak er over dat iedereen in de groep de toepassingop die pagina volledig begrijpt.
2. In groep maak je de twee modelvoorbeelden op pagina A-110. Neem actief deel in het groepsgesprek.
3. Als jullie klaar zijn, dan geef je een teken aan de leerkracht. Jullie krijgen een ingevulde versie paginaA-112. Vergelijk deze met jullie oplossing, fouten of extra uitleg schrijf je in het rood.
4. Daarna maak je in groep de oefeningen 1, 2 en 3 op pagina A-113 (staan ook op de volgende pagina). Mochtje klaar zijn tijdens de lessen, dan maak je ook Oefening 4.
5. Tot slot reflecteer je over de groepsopdracht (zie volgende pagina).
• Verslag (thuis afwerken). Jullie verslag bevat
∗ een exemplaar van jullie ingevulde pagina’s A-109 en A-110, en
∗ een exemplaar van de drie gemaakte oefeningen op een cursusblad. Een oefening per pagina. Opgaveoverschrijven hoeft niet.
Elk groepslid dient zijn practicum bundel in (met ingevulde reflectie). Het verslag steekt in een bundel van eengroepslid. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.
• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
Pr-22
Oefeningen - Opgave
Calpe Costa Blanca,Spanje
Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 eenpersoonskamers geboektdoor Nederlanders, Fransen en Italianen. Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanderszijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlieten omde voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen alsNederlanders en Italianen samen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in hethotel?
Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de somvan de buitenste cijfers is 1 meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd danbekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.
Oefening 3. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkurennodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als devraag naar model B, en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elkmodel zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses?
?Oefening 4 (Het probleem van Bachet 2). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Een van hen verdubbeltmet een deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijncenten het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van deandere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?
Reflectie
Deze reflectie is individueel, dus elk voor zich.
Eigen inzet
Beschrijf in enkele regels je eigen inzet tijdens de groepsopdracht. Geef jezelf daarna een cijfer tussen 0 en 5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Groep
Beschrijf in enkele regels de gezamelijke aanpak en overleg tijdens de groepsopdracht. Wat zou je devolgende keer zeker op dezelfde manier doen? En wat zou je liever op een andere manier doen?. Geef de groepeen cijfer tussen 0 en 5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Niveau van samenwerking
In welk van de vier niveaus op de vorige pagina hoor je thuis? Stip enkele onderdelen van dat niveau aan meteen gele fluorescerende stift.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Claude Gaspard Bachet de Meziriac (1581-1638).
Pr-23
Evaluatieform
ulierPracticum
6D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Inh
oud
elij
k
Vaa
rdig
hed
en1.
Rekenvaard
igh
eid
.
•B
ijh
etal
geb
raıs
chm
anip
ule
ren
van
fun
ctie
voors
chri
ften
,fo
rmu
les,
verg
elij
kin
gen
,et
c.w
eet
jew
elke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
end
enom
tot
een
resu
ltaa
tte
kom
en,
envo
erje
dez
ete
chn
ieke
nco
rrec
tu
it.
•Je
kan
de
groot
ord
eva
nee
nre
sult
aat
goed
insc
hat
ten
.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
idd
elen
zoal
sh
etgr
afisc
hre
ken
mac
hin
eof
een
com
pu
terr
eken
pak
ket
gep
ast
insc
hake
len
om
een
bew
erkin
gu
itte
voer
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
nd
ieje
met
ICT
bek
omen
heb
t.
3.
Wis
ku
nd
ige
taalv
aard
igh
eid
.
•Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etd
eva
kta
alva
nd
ew
isku
nd
e:
–je
ken
td
eb
etek
enis
van
typ
isch
eva
kte
rmen
enge
bru
ikt
dez
evo
ldoen
de
corr
ect
(fu
nct
ie,
stel
sel,
etc.
);–
jeke
nt
de
bet
eken
isva
nsp
ecifi
eke
logi
sch
eke
rnw
oor
den
enge
bru
ikt
dez
evol
doen
de
corr
ect
(en
,of,
daaru
itvolg
t,vo
or
all
e,et
c.);
–je
ben
tin
staa
tom
een
omsc
hri
jvin
gva
nee
nb
egri
pte
form
alis
eren
,en
een
voor
waard
ete
sym
boli
sere
n;
–je
han
teer
td
evis
uel
evo
orst
elli
nge
nw
aar
de
wis
ku
nd
ege
bru
ikva
nm
aakt
(gra
fiek
,ta
bel
,et
c.).
•Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etd
eb
esch
rijv
end
eta
alw
aari
nov
erh
etw
isku
nd
igh
an
del
enge
spro
ken
word
t(d
efin
itie
,ei
gen
sch
ap
,ve
rkla
ar,
ber
eken
alge
bra
ısch
/gra
fisc
h,
teke
n,
contr
uee
r).
•Je
kan
inee
nsi
tuat
iew
isku
nd
ige
beg
rip
pen
her
ken
nen
enve
rtal
ennaa
rw
isku
nd
igm
od
el(m
ath
emati
sere
n).
•Je
kan
vis
uel
ein
form
atie
invo
ldoen
de
mat
ele
zen
enin
terp
rete
ren
(op
een
teke
nin
g,gr
afi
ek,
dia
gra
m).
•Je
ben
tle
esva
ard
igb
ijh
etle
zen
van
de
tekst
van
opga
ven
,p
rob
lem
enen
vra
agst
ukke
n.
8.
Refl
ecti
evaard
igh
ed
en
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
aan
pak
van
jew
erk
enje
stu
die
s.
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
jele
erp
roce
sen
jein
zet
(lei
den
zeto
th
etb
erei
ken
van
de
doel
stel
lin
g?)
.
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
effici
enti
eva
nje
wer
ken
enje
lere
n.
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
ster
keen
de
zwak
keel
emen
ten
ind
eu
itvo
erin
gva
nje
opd
rach
t.
•Je
kan
jere
flec
tie
concr
eet
mak
end
oor
een
pla
nva
nve
rbet
erin
gop
test
elle
n(w
elke
elem
ente
nw
ord
engeb
ruik
tom
het
lere
nen
wer
ken
teve
rbet
eren
?).
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
geza
mel
ijke
aan
pak
enov
erle
gb
ijee
ngr
oep
sop
dra
cht.
Att
itu
des
9.
Zin
voor
nauw
keu
righ
eid
en
ord
e.
•Je
heb
td
ege
woon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opd
rach
tte
rug
tekij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole
,om
zoto
tn
auw
keu
rige
resu
ltat
ente
kom
en.
•Je
heb
tee
nh
oud
ing
omor
del
ijk
ensy
stem
atis
chte
wer
ken
(not
eren
,m
aken
van
oef
enin
gen
,aan
pakke
nva
np
rob
lem
en).
14.
Zin
voor
sam
enw
erk
ing
en
overl
eg.
•Je
ziet
ind
atje
mog
elij
kh
eden
verg
root
wor
den
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
•Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
np
ak.
Pr-
24
PRACTICUM 7
EEN WETENSCHAPPELIJK VERSLAG SCHRIJVEN
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding1
Het schrijven en publiceren van verslagen is o.a. voor wetenschappers een belang-rijk onderdeel van hun werk. Een verslag kan dienen om je uitgevoerd werk,een project, je ideeen en je conclusies aan anderen uit te leggen of kenbaar temaken. Evengoed kan het dienen om anderen van je besluiten te overtuigen ofzelfs om je eigen capaciteiten in de verf te zetten. Het mag duidelijk zijn dateen verslag tot in de puntjes verzorgd moet zijn; niet alleen qua lay-out, maarook qua overzichtelijkheid, qua opbouw en uiteraard qua inhoud. In veel hogerestudies en ook in je latere werkomgeving is het een oefening die je nog vaak zal maken.
Wat is nu een verslag? Het is een tekst, maar geen proza. Je gebruikt de tekst om op een zakelijke manierte rapporteren, over de meest uiteenlopende onderwerpen: een zakenreis, een chemisch experiment, een wiskundigprobleem, etc. Een verslag moet
• volledig maar eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn,
• een logische structuur hebben, en
• gemakkelijk te lezen zijn.
Hiermee bedoelen we dat de lezer snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van het verslag. Het is nietaan de lezer om bepaalde passages verschillende keren te moeten herlezen om te achterhalen en te interpreteren watprecies wordt verteld.
De vorm van een exact-wetenschappelijk verslag is specifiek en verschilt van bijvoorbeeld een boekbesprekingof taalkundig onderzoek. In wat volgt leggen we o.a. de structuur van een wetenschappelijk verslag uit en preciserenwe hoe je moet omgaan met formules, tabellen en figuren.
Opbouw
In principe heeft een wetenschappelijk verslag de volgende structuur:
Titel
Samenvatting 2
Inleiding
Hoofddeel
Besluit
Bij lange verslagen is het beter om nog een inhoudstafel en een referentielijst toe te voegen. Dit is de basisstructuurzoals die voor wiskundige verslagen wordt toegepast 3.
Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgediept en uitgelegd4
1Gebaseerd op E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, 2006.2Engelse term: “Abstract”.3Bij de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieel
onderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methode en materialen,hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: An introduction tothe analysis and presentation of data, Singapore, 1994.
4Voor een voorbeeld van een wetenschappelijk verslag verwijzen we naar K. De Naeghel, Vijf bewijzen voor de irrationaliteit van√
2:een verslag ten dienste van de leerlingen van 5aGWi8-5aLWi8-5bWWi8, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2011) . Zie ook paginaA-116.
Pr-25
Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van het verslagkunnen halen. Een titel als ’Verslag practicum ecologie’ is te algemeen. Woorden als ’Studie van’, ’Onderzoek naar’,maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden. Bij een langer verslag maak je best een titelblad.
NIET: ‘Practicum 11 februari 2010’ of ‘Oefening 28 pagina 40’
WEL: ‘Studie van de hemellichamen’ of ‘Lineaire groei versus exponentiele groei’
Samenvatting De samenvatting van een verslag is een kort deel van een vijftal lijnen. Die geven een overzicht vanhet onderzoek, het belang van het onderzoek en wat je eruit concludeert.
Inleiding In de inleiding wordt eerst het onderwerp of je probleemstelling verduidelijkt en in welke context hetgeheel kadert. In tweede instantie licht je de opbouw van het verslag toe. Hier wijs je op de samenhang tussen dehoofdstukken. De bedoeling is dat de lezer inzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan.
Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van het verslag. De andere delen dienen om te structureren,te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel staan nietalleen de antwoorden op de gestelde vragen. Vooral moet je de gevoerde redenering die achter elk antwoord schuilt,weergeven.
Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling of onderzoeksvraag uit de inleiding. Samen met deinleiding geeft het besluit een volledige samenvatting van het probleem en zijn oplossing. Je verwijst hier niet naaringevoerde formules of methodes die je besproken hebt in de tussenliggende delen. Je geeft ook aan op welke manieren in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen overmethodiek, tekortkomingen of suggesties thuis.
Schrijftips
Bij het maken van een verslag (in het bijzonder voor exacte wetenschappen) moet je ontzettend veel aandacht bestedenaan de duidelijkheid. Je moet een tekst schrijven die ’gemakkelijk’ te lezen is. Met je verslag wil je de lezer latenbegrijpen wat jij te rapporteren hebt. Zorg dat hij/zij de aandacht bij het onderwerp kan houden. Je hebt er dus allebelang bij dat de lezer geen nutteloze aandacht moet besteden aan het ontrafelen van een slecht opgebouwde zin ofredenering.
Duidelijk schrijven betekent dat je ’wetenschappelijke taal’ correct gebruikt zodat de betekenis niet verloren gaat. Inde volgende paragrafen geven we enkele tips i.v.m. het integreren van wetenschappelijke informatie in een Nederlandsetekst. De opsomming die daarna volgt, gaat over het gebruik van het Nederlands en is evengoed bruikbaar in elk deelvan een verslag waar geen wetenschappelijke gegevens meer zijn ingevoerd.
Tip 1. De gegeven opdracht moet geıntegreerd zijn in het verslag. Terwijl je het verslag maakt hou je besteen lezer in gedachten die de opdracht niet kent. Het is echter niet zo elegant om de gestelde vraag letterlijk over tenemen en dan je antwoord te formuleren (zie Tip 2). Verwerk dus de probleemstelling in jouw tekst.
NIET: Wat is de snelheid in functie van de tijd? Op t = 0 is v(0) = . . .
WEL: Om het verband te kennen tussen de snelheid en de tijd, berekenen we de eerst debeginsnelheid v(0) . . .
Tip 2. Geef geen droge opsomming van “gegeven, gevraagd, oplossing”. Door eerst het gegeven op teschrijven, het gevraagde te formuleren en tenslotte de berekening te maken, vind je het antwoord op een vraagstuk.Dit is je oplossingsmethode (of werkwijze). Het behoort tot het voorbereidend werk van je verslag. Het verslag zelfgebruikt een andere invalshoek.
Tip 3. Wiskundige formules kunnen deel uitmaken van een Nederlandse zin maar je mag formules en tekst nietdooreen halen.
NIET: Op het tijdstip = 0 is de beginmassa van de radioactieve stof = 10g = m0.
WEL: Op het tijdstip t = 0 is de beginmassa van de radioactieve stof gelijk aan m0 = 10g.
Wiskundige formules vormen een ‘taal’ op zich. Deze taal is heel exact omschreven en voldoet aan strikte logischeregels. In tegenstelling tot een gewone (Nederlandse) taal, is wiskundige taal ondubbelzinnig:
• In gewone (Nederlandse) taal kan je zonder problemen zeggen:
“Gisteren at ik hetzelfde ijsje als vandaag.”
Iedereen zal begrijpen dat je twee keer een ijsje at, maar niet hetzelfde ijsje!
Pr-26
• In wiskundige taal betekent de uitspraak
“f = g met f en g (reele) functies”
dat f en g hetzelfde domein hebben, en dat f(x) = g(x) voor elke x-waarde in hun domein.
(Langere) formules moeten op zichzelf kunnen worden gelezen als zin en staan bij voorkeur op een aparte regel. In detekst die als uitleg dient, kan naar deze formule worden verwezen, eventueel met een referentienummer.
NIET: Omdat f(t) = 4 sin(3(x− π)) + d is f een algemene sinusfunctie die geen nulwaarden heeft.De d is groter dan 5.
WEL: De functie f is van de vorm
f(x) = 4 sin(3(x− π)) + d waarbij d ∈ R (1)
Bovendien heeft f geen nulwaarden. De constante d in uitdrukking (1) is dus groter dan 5.
Tip 4. Vervang in de tekst geen woorden of zinsdelen door symbolen. De symbolen ∀ en ∃ hebben alleenmaar betekenis in wiskundige uitspraken. Schrijf liever voluit “voor alle” en “er bestaat”. In een correcte Nederlandsezin gebruik je “dus” of “daaruit volgt” in plaats van het symbool ⇒. Dat verhoogt de duidelijkheid.
Tip 5. Getallen in een tekst schrijf je liefst voluit, tenzij ze de waarde van een variabele zijn.
NIET: Uit de 3 gegevens leiden we af dat de functiewaarde van drie gelijk is aan f(3) = 7.
WEL: Uit de drie gegevens leiden we af dat de functiewaarde van 3 gelijk is aan f(3) = 7.
Tip 6. In formules wordt niet geschrapt. Ook zonder schrappen is voor de lezer duidelijk dat gemeenschappelijkefactoren in teller en noemer als quotient 1 hebben.
Tip 7. Verwijzingen naar tabellen en figuren gebeuren op dezelfde manier als verwijzingen naar langereformules. Omvangrijke tabellen of figuren, of tabellen en figuren waarnaar in de tekst slechts zijdelings wordtverwezen, kan je ook toevoegen als bijlage.
Tip 8. Verklaar elk symbool. In een formule heeft elk symbool een specifieke betekenis. Zorg dat elk symboolverklaard wordt, hetzij in de tekst, hetzij in het begin van elke paragraaf of hoofdstuk.
Tip 9. Een goede zinsbouw en correct Nederlands zorgen voor een goed leesbare tekst. Een wetenschappelijkverslag is allerminst een opeenvolging van formules, cryptische codetaal, tabellen en figuren. Nederlandse zinnenmoeten de formules duiden en in een context plaatsen. Je kan bijvoorbeeld uit formules alleen, niet afleiden watoorzaak en wat gevolg is, wat er gegeven is, wat je hebt berekend of wat bewezen is. De tekst die de formulesomkadert - letterlijk en figuurlijk - moet daarom helder en ondubbelzinnig zijn.
Tip 10. Ga na of de verbanden tussen de zinnen voldoende helder zijn.
NIET: Uit het gegeven halen we dat x ∈ [3, 5; 4]. De grondformule van de goniometrie zegt dat
sin2 x+ cos2 x = 1. Dus cosx = −√
1− sin2 x.
WEL: Uit de grondformule van de goniometrie halen we dat cosx = ±√
1− sin2 x. We weten datx ∈ [3, 5; 4]. Dus is x een hoekwaarde van een hoek in het derde kwadrant, zodat cosx < 0.
Bijgevolg is cosx = −√
1− sin2 x.
Tip 11. Maak je zinnen niet te lang.
NIET: Omdat de exponentiele functie met voorschrift f(x) = ex als domein R heeft en als bereikR+
0 , zal de inverse functie van f , met voorschrift g(x) = lnx, als domein R+0 en als bereik R
hebben.
WEL: De functies met voorschrift f(x) = ex en g(x) = lnx zijn elkaars inverse. Daarom is hetdomein van f gelijk aan het bereik van g en vice versa. Dus is dom f = R = bld g endom g = bld f = R+
0 .
Tip 12. Vermijd tangconstructies.
NIET: De sinusfunctie heeft, in tegenstelling tot de tangensfunctie die niet voor alle reele getallengedefinieerd is, als domein R.
WEL: De sinusfunctie heeft als domein R, terwijl de tangensfunctie niet voor alle reele getallengedefinieerd is.
Pr-27
Tip 13. Zeg het in kernachtige bewoordingen. Vermijd breedsprakerige en lege woorden als: aspect, facet,gebeuren, aard, mate van, in feite, in principe. Vermijd omslachtige aanlopen als: ‘Het is interessant te meldendat. . . ’, ‘Opgemerkt kan worden dat. . . ’, etc. Vermijd overbodige woorden zoals: enorm, fantastisch, gigantisch, etc.
Tip 14. Ook de toon is belangrijk. Pas op met overdreven zekerheid: ‘ongetwijfeld’, ‘het spreekt voor zich’, etc.Maar wees ook zuinig met relativerende begrippen.
Tip 15. Schrijf het verslag niet in de ik-vorm. Je gebruikt de neutrale vorm ‘men’, ‘je’ of ‘we’ (in ‘we’ moet delezer zich betrokken voelen).
NIET: Uit de resultaten van het experiment heb ik / hebben we berekend dat de oplossing 7, 2gzout bevat.
WEL: Uit de resultaten van het experiment kan men / kunnen we berekenen dat de oplossing 7, 2gzout bevat.
Tip 16. Laat verwijswoorden correct verwijzen.
NIET: De bodemvervuiling op de Kalmthoutse heide die we ontdekten door analyse van de bodem-stalen, zou dateren uit de jaren ’70.
WEL: De bodemvervuiling die we ontdekten door analyse van de bodemstalen genomen op deKalmthoutse heide, zou dateren uit de jaren ’70.
Tip 17. Gebruik niet de toekomende tijd.
NIET: We zullen een complexer model nodig hebben, dat de populatiegroei zal beschrijven.
WEL: We hebben een complexer model nodig dat de populatiegroei beschrijft.
Tip 18. Schrijf of druk niet af op kladpapier. Je hebt aandacht besteed aan de lay-out van het verslag. Diemoeite is tevergeefs geweest wanneer je aan het papier ook niet de nodige aandacht besteedt. Geef dus niets af opkladpapier, met ezelsoren of vlekken.
Samenvattend
Een goed verslag schrijven vraagt enige oefening. Het is een opdracht waarin je door rigoureus en volledig te zijn,duidelijk kan tonen aan de lezer dat je volledig het onderwerp van het verslag beheerst.
Bovenstaande richtlijnen i.v.m. de inhoud, de vorm en de stijl van een verslag moeten niet zozeer naar de letter,maar wel naar de geest gevolgd worden. De opdrachtgever kan uiteraard nog specifieke eisen stellen naar gelang hetonderwerp van de opdracht, maar grosso modo moet een exact-wetenschappelijk verslag voldoen aan wat in de vorigeparagrafen werd beschreven.
2. Opdracht
• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
• Practicum (. . . lessen, thuis afwerken). In het begin van de eerste les krijg je twee pagina’s A-118 envolgende uit een handboek 5. Deze kopieen behandelen een onderwerp, voorzien van enkele taken (in de teksttaak 11.3, taak 11.4 en taak 11.5 genoemd). De opdracht bestaat erin om deze taken in groepen van drie uit tevoeren en hiervan een verslag te maken (een verslag per groep).
Naast de kopieen uit het handboek krijg je ook het verslag dat een leerling enkele jaren terug gemaakt heeft, ziepagina’s A-120 en volgende. Dit kan je helpen om de taken uit het handboek uit te voeren.Het verslag van die leerling is zeker geen modelvoorbeeld van een wetenschappelijk verslag: er wordt van jullieveel beter verwacht!
• Verslag. Het verslag beantwoord aan de criteria uit de inleiding, waarbij je de schrijftips zo goed mogelijk trachtna te leven. Het verslag is mag handgeschreven zijn, gemaakt op cursusbladen (geruit). Enkel recto schrijven,pagina’s onderaan nummeren. Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in, met daarin het verslag. Jehoeft het verslag dus niet te kopieren.
• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
5P. Gevers, J. De Langhe, e.a. Delta 5/6 Analytische meetkunde A (6-8 lesuren),Mechelen (Wolters Plantyn), 2006.
Pr-28
Evaluatieform
ulierPracticum
7D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Inh
oud
elij
k
Vaa
rdig
hed
en1.Rekenvaard
igheid.
•B
ijh
etal
geb
raıs
chm
anip
ule
ren
van
fun
ctie
voors
chri
ften
,fo
rmu
les,
verg
elij
kin
gen
,et
c.w
eet
jew
elke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
end
enom
tot
een
resu
ltaa
tte
kom
en,
envo
erje
dez
ete
chn
ieke
nco
rrec
tu
it.
•Je
kan
de
groot
ord
eva
nee
nre
sult
aat
goed
insc
hat
ten
.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
idd
elen
zoal
sh
etgr
afisc
hre
ken
mac
hin
eof
een
com
pu
terr
eken
pak
ket
gep
ast
insc
hake
len
om
een
bew
erkin
gu
itte
voer
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
nd
ieje
met
ICT
bek
omen
heb
t.
2.M
eet-en
tekenvaard
igheid.
•G
rafi
eken
envo
orst
elli
nge
nva
nvla
kke
enru
imte
figu
ren
teke
nje
nau
wkeu
rig.
•Je
heb
tru
imte
lijk
voor
stel
lin
gsve
rmog
en.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
iddel
enzo
als
het
grafi
sch
reke
nm
ach
ine
ofee
nco
mp
ute
rrek
enp
akke
tge
past
insc
hakel
enom
een
figu
ur
teb
ekom
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
voor
stel
lin
gen
die
jem
etIC
Tb
ekom
enh
ebt.
6.Onderzoeksvaard
igheden
•Je
kan
een
ond
erzo
ekso
pd
rach
tfo
rmu
lere
nen
afb
aken
en.
•Je
kan
een
aanp
akp
lan
nen
enzo
nod
igop
spli
tsen
ind
eelt
aken
.
•Je
kan
info
rmat
iever
wer
ken
enop
rele
vanti
ese
lect
eren
:
–d
ew
aard
eva
nd
ein
form
atie
beo
ord
elen
infu
nct
ieva
nd
eop
dra
cht;
–d
ere
lati
etu
ssen
gege
ven
sen
bew
erkin
gen
opzo
eken
enin
terp
rete
ren
.
•Je
kan
doel
mat
igee
nw
isku
nd
igm
od
else
lect
eren
of
opst
elle
n:
–ee
non
der
dee
lva
nee
nop
dra
cht
her
ken
nen
als
een
wis
kun
dig
ofee
nst
ati
stis
chp
rob
leem
;–
vast
stel
len
ofee
nm
od
elvo
ldoet
enh
etev
entu
eel
bij
stel
len
;–
zon
od
igb
ijkom
end
ein
form
atie
verz
amel
enom
het
aan
gew
ezen
mod
elte
ku
nn
enh
ante
ren
.
•Je
kan
bij
een
mod
eld
ep
asse
nd
eop
loss
ings
met
hod
eco
rrec
tu
itvo
eren
.
•Je
kan
resu
ltat
enb
inn
end
eco
nte
xt
bet
eken
isge
ven
enze
daa
rin
kri
tisc
hev
alu
eren
.
•Je
kan
refl
ecte
ren
oph
etge
hel
ep
roce
s,i.
h.b
.op
de
gem
aakte
keu
zen
voor
rep
rese
nta
tie
enw
erkw
ijze
.
•Je
kan
het
resu
ltaa
tva
nhet
ond
erzo
ekzi
nvo
lp
rese
nte
ren
,h
etst
and
punt
arg
um
ente
ren
enve
rsla
gu
itb
ren
gen
van
het
pro
ces.
Att
itu
des
10.Zin
voorkwaliteit
van
dewiskundigere
pre
senta
tie.
Je
heb
td
ege
woon
teom
jege
dac
hte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoor
den
,en
de
voor
-en
nad
elen
van
een
bep
aald
ew
erkw
ijze
teb
esp
reken
.
11.Kritischezin.
Je
heb
td
eh
oud
ing
omb
erek
enin
gen,
bew
erin
gen
,ar
gum
ente
rin
gen
enre
den
erin
gen
nie
tzo
maar
teaanva
ard
enen
over
ten
emen
.
14.Zin
voorsa
menwerk
ingen
overleg.
•Je
ziet
ind
atje
mog
elij
kh
eden
verg
root
wor
den
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
•Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
np
ak.
Pr-
29
PRACTICUM 8
ONDERZOEKSOPDRACHT (1)
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundige enwetenschappelijke vaardigheden leerden door middel van het observeren van een ‘ex-pert’ (leerkracht, docent) in actie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdigemethode in vraag. Zo ijverde de wiskundige en didacticus George Polya in 1945 reedsdat het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskundeonder-wijs, en dit op elk niveau 1:
“Goed onderwijs betekent dat leerlingen de kans krijgen om zelf te ontdekken.”
De komende onderzoeksopdrachten hebben dan ook als bedoeling om ofwel een nieuwetechniek op zelfstandige basis meester te worden, ofwel zelf een probleem op te lossenen nadien een redenering op een haalbaar niveau te leveren.
Je kan dit realiseren door de vaardigheden en attitudes die in de vorige practica aan bod kwamen te bundelen en jehierin verder bekwamen:
• probleemoplossende vaardigheden (Practica 2 en 3),
• mathematiseren (Practica 4 en 6),
• kritisch evalueren van wiskundige modellen (Practica 4 en 6),
• logisch redeneren en argumenteren (Practicum 7),
• zin voor samenwerking en overleg (Practica 1, 2, 3, 4, 6 en 7),
• wiskundige taalvaardigheid (Practica 4, 5 en 6).
Verantwoording
De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkselestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer ‘onderzoekscompetenties’ worden gecatalogeerd:
1. De leerlingen kunnen zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenenen te bewerken;
2. De leerlingen kunnen een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren enevalueren;
3. De leerlingen kunnen de onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere stand-punten.
1G. Polya, “What is good education? Systematically giving opportunity to the student to discover things by himself.” uit How tosolve it: A new aspect of mathematical method, Princeton (1945).
Pr-30
De eerste eindterm werd gerealiseerd bij de uitvoering van Practicum 1: Informatie Verzamelen, ordenen en bewerken.In dit practicum komt de tweede eindterm aan bod. De derde eindterm komt in het zesde jaar aan bod.
onderzoekscompetenties
verzamelenordenenbewerken
︸︷︷
︸
competentie 1
voorbereiden
uitvoeren
evalueren
︸︷︷
︸competentie 2
rapporterenconfronteren ︸
︷︷︸ competentie 3
Je eerste onderzoeksopdracht kadert in het onderwerp logica, en heeft als bedoeling dat je de techniek van het logischredeneren wat meester wordt.
2. Opdracht
• Voorbereiding. Inleiding en onderzoeksopdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
• Practicum (1 les, thuis afwerken). Je beantwoord de onderzoeksvraag op de volgende pagina. Deze opdrachtvoer je individueel uit.
• Verslag. Je verslag bestaat uit de zes bewijzen. Let erop dat je je bewijzen in dezelfde stijl als de tweemodelvoorbeelden schrijft. Pagina’s onderaan nummeren. Het verslag voeg je in deze practicum bundel.
• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
Onderzoeksopdracht - Logische wetten bewijzen met interferentieregels2
Logische wetten zijn tautologien van de vorm �⇒ 4, waarbij � staan voor een aantal uitspraken A,B,C, . . . (gege-vens, ook wel premissen genoemd, genoteerd als PREM), en 4 een uitspraak die hieruit volgt (conclusie genoemd).Meestal vervangt men dan het symbool voor implicatie ⇒ door het symbool `. Men schrijft dus � ` 4. We geveneen overzicht van de meest courante interferentieregels die gebruikt worden om logische wetten te bewijzen. Elk vandeze kunnen aangetoond worden met behulp van een waarheidstabel.
naam logische wet afkorting
modus ponens A⇒ B,A ` B MP
conjunctie A,B ` A ∧B CONJ
simplificatie A ∧B ` AA ∧B ` B SIM
additie A ` A ∨BB ` A ∨B ADD
dilemma A ∨B,A⇒ C,B ⇒ C ` C DIL
introductie van degelijkwaardigheid
A⇒ B,B ⇒ A ` A⇔ B GI
eliminatie van degelijkwaardigheid
A⇔ B ` A⇒ BA⇔ B ` B ⇒ A
GE
dubbele negatie ¬(¬A) ` A DN
reductio ad absurdum A⇒ B,A⇒ (¬B) ` ¬A RAA
2De voorbeelden uit deze onderzoeksopdracht werden ontleend uit D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Ant-werpen - Apeldoorn Garant, zevende druk (2008).
Pr-31
Modelvoorbeeld 1. Als eerste voorbeeld van een bewijs met behulp van deze interferentieregels beschouwen we eeneenvoudig bewijs van de logische wet P ∧Q,P ⇒ R ` R.
P ∧Q,P ⇒ R ` R1 P ∧Q PREM
2 P ⇒ R PREM
3 P 1; SIM
4 R 2,3;MP
Het eigenlijke bewijs wordt gevormd door de uitspraken in de tweede kolom. De nummers uit de eerste kolom gebruikenwe om te verwijzen naar de uitspraken uit de tweede kolom; de verantwoording daarvoor staat in de derde kolom. Weoverlopen het bewijs.
1,2 We schrijven de gegevens (ook wel premissen genoemd).
3 We schrijven een uitspraak die volgt uit 1 door de interferentieregel SIM (simplificatie).
4 We schrijven een uitspraak die volgt uit 2 en 3 door de regel MP (modus ponens). Let even op volgende afspraak:in de derde kolom van lijn 4 staat een komma tussen de nummers van de uitspraken waaruit R werd afgeleid,en een kommapunt tussen de nummers en de naam van de regel waaruit R uit die uitspraken volgt.
De lijnen 1-4 tonen aan dat we uit de gegevens P ∧Q en P ⇒ R de R kunnen afleiden. Zo hebben we de logische wetP ∧Q,P ⇒ R ` R bewezen.
Modelvoorbeeld 2. In het vorige bewijs werden eerst de premissen neergeschreven en werden daarna stap voor stapinterferentieregels toegepast op uitspraken die in het bewijs voorkomen. Een heel andere en bijzonder interessantebewijsmethode maakt gebruik van zogenaamde subbewijzen. Hier is een voorbeeld:
P ⇒ Q ` (P ∧R)⇒ Q
1 P ⇒ Q PREM
2 P ∧R HYP3 P 2; SIM4 P ⇒ Q 1; REIT5 Q 3,4; MP
6 (P ∧R)⇒ Q 2,5;VB
Laat ons dit even bekijken.
1 We schrijven de premisse op.
2 We veronderstellen P ∧R. Deze stap volgt dus niet uit de premisse, maar is een veronderstelling (ook hypothesegenoemd, genoteerd als HYP). Om dat duidelijk te maken trekken we er een verticale lijn naast. We laten dielijn doorlopen zolang we nagaan wat uit de hypothese volgt.
3 Uit P ∧R volgt P .
4 In een subbewijs mogen we een beroep doen op alle gegevens die beschikbaar waren voor we de hypotheseinvoerden - in dit geval de premisse P ⇒ Q uit lijn 1. We drukken dit uit door P ⇒ Q te reıtereren op lijn4. Reıtereren betekent: iets wat we ter beschikking hebben, binnen het subbewijs halen. We noteren dit metREIT.
5 We passen modus ponens toe.
6 Het subbewijs 2-5 toont aan dat, gegeven de premisse, Q volgt uit P ∧R. Met andere woorden, gegeven P ⇒ Qhebben we getoond: als P ∧ R, dan Q. Dit staat op lijn 6. De regel die we hier gebruiken noemen we eenvoorwaardelijk bewijs, notatie VB.
Onderzoeksvraag. Zoek bewijzen met behulp van interferentieregels (dus niet met waarheidstabellen) voor devolgende logische wetten.
(a) P ∧Q ` P ∨Q(b) (P ∨Q)⇒ (R ∧ S), P ` R(c) ¬(¬P ), (P ∨Q)⇒ R,S ` R ∧ S(d) P ⇔ Q,Q ∨R,R⇒ P ` P?(e) P ⇒ Q,¬Q ` ¬P?(f) P ⇒ (Q ∧R), P ⇒ ¬R ` ¬P
Pr-32
Evaluatieform
ulierPracticum
8D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Inh
oud
elij
k
Vaa
rdig
hed
en5.Pro
bleemoplossendevaard
igheden.
•Je
kan
een
pro
ble
emon
tdek
ken
enh
etw
isku
nd
igb
ehoor
lijk
stel
len
.
•Je
kan
een
pro
ble
eman
alyse
ren
(on
der
sch
eid
mak
entu
ssen
gege
ven
enge
vra
agd
e,ve
rban
den
leggen
tuss
end
egeg
even
s,et
c.).
•Je
kan
een
pro
ble
emve
rtal
enn
aar
een
pas
sen
dw
isku
nd
igm
od
el(m
ath
emat
iser
en).
•Je
kan
zoek
stra
tegi
een
toep
asse
nbij
het
wer
ken
aan
pro
ble
men
,en
daar
bij
een
pla
nop
stel
len
.
•Je
kan
refl
ecte
ren
opd
eke
uze
van
jezo
ekst
rate
giee
nen
jep
lan
.
•Je
kan
jere
sult
aten
contr
oler
enop
hu
nb
etro
uw
baa
rhei
den
vol
led
igh
eid
.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
idd
elen
geb
ruik
enom
wis
ku
nd
ige
info
rmat
iete
verw
erke
nen
wis
ku
nd
ige
pro
ble
men
teon
der
zoek
en.
6.Onderzoeksvaard
igheden
•Je
kan
een
ond
erzo
ekso
pd
rach
tfo
rmu
lere
nen
afb
aken
en.
•Je
kan
een
aan
pak
pla
nn
enen
zon
od
igop
spli
tsen
ind
eelt
aken
.
•Je
kan
info
rmat
iever
wer
ken
enop
rele
vanti
ese
lect
eren
:
–d
ew
aard
eva
nd
ein
form
atie
beo
ord
elen
infu
nct
ieva
nd
eop
dra
cht;
–d
ere
lati
etu
ssen
gege
ven
sen
bew
erkin
gen
opzo
eken
enin
terp
rete
ren
.
•Je
kan
doel
mat
igee
nw
isku
ndig
mod
else
lect
eren
of
opst
elle
n:
–ee
non
der
dee
lva
nee
nop
dra
cht
her
kenn
enal
see
nw
isku
nd
igof
een
stati
stis
chp
rob
leem
;–
vast
stel
len
ofee
nm
od
elvo
ldoet
enh
etev
entu
eel
bij
stel
len
;–
zon
od
igb
ijkom
end
ein
form
atie
verz
amel
enom
het
aan
gew
ezen
mod
elte
ku
nn
enh
ante
ren
.
•Je
kan
bij
een
mod
eld
ep
asse
nd
eop
loss
ings
met
hod
eco
rrec
tu
itvo
eren
.
•Je
kan
resu
ltat
enb
inn
end
eco
nte
xt
bet
eken
isge
ven
enze
daa
rin
kri
tisc
hev
alu
eren
.
•Je
kan
refl
ecte
ren
oph
etge
hel
epro
ces,
i.h
.b.
opd
ege
maa
kte
keu
zen
voor
rep
rese
nta
tie
enw
erkw
ijze
.
•Je
kan
het
resu
ltaa
tva
nh
eton
der
zoek
zinvo
lp
rese
nte
ren
,h
etst
andp
unt
arg
um
ente
ren
enve
rsla
gu
itb
ren
gen
van
het
pro
ces.
Att
itu
des
9.Zin
voornauwkeurigheid
en
ord
e.
•Je
heb
td
ege
woon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opd
rach
tte
rug
tekij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole
,om
zoto
tn
auw
keu
rige
resu
ltat
ente
kom
en.
•Je
heb
tee
nh
oud
ing
omor
del
ijk
ensy
stem
atis
chte
wer
ken
(not
eren
,m
aken
van
oef
enin
gen
,aan
pakke
nva
np
rob
lem
en).
12.Zelfvertro
uwen
en
zelfstandigheid.
•Je
toon
tze
lfver
trou
wen
,ze
lfst
and
igh
eid
,d
oor
zett
ings
ver
mog
enen
doel
mat
igh
eid
bij
het
aan
pakke
nva
np
rob
lem
enen
op
dra
chte
n.
•Je
ziet
ind
atfo
ute
nm
aken
inh
eren
td
eel
uit
mak
enva
nh
etle
erp
roce
s.
13.Zelfre
gulatie.
•Je
toon
tee
non
der
zoek
sger
ichte
hou
din
gte
naa
nzi
enva
nfe
iten
,op
gave
nen
pro
ble
men
.
•Je
ben
tin
staa
tom
jein
een
oplo
ssin
gsp
roce
ste
orie
nte
ren
,h
etp
roce
ste
pla
nn
en,
het
uit
tevo
eren
enh
ette
bew
ake
n.
Pr-
33
PRACTICUM 9
ONDERZOEKSOPDRACHT (2)
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
In dit practicum ligt de nadruk op de tweede en de derde onderzoekscompetentie.
onderzoekscompetenties
verzamelenordenenbewerken
︸︷︷
︸
competentie 1
voorbereiden
uitvoeren
evalueren
︸︷︷
︸competentie 2
rapporteren
confronteren ︸︷︷
︸ competentie 3
Bij je tweede onderzoeksopdracht is het de bedoeling om een vooraf gestelde onderzoeksvraag te beantwoorden. Om jedaarbij te helpen bieden we je een aantal kleinere vragen aan die uiteindelijk tot de oplossing van de onderzoeksvraagzullen leiden. Daarnaast wordt je aangemoedigd om zelf kleinere onderzoeksvragen te formuleren om zo een eigenredenering op touw zetten waarmee je de grotere, hier gestelde onderzoeksvraag beantwoord.
2. Opdracht
• Voorbereiding. Inleiding lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
• Practicum en verslag (1 les, thuis afwerken). Voor dit practicum werk je in groepen van twee. Tijdens deles voer je het onderzoek uit. Het eindresultaat is een verslag dat beantwoord aan de criteria uit practicum 7.Let hierbij op de aandachtspunten die toen aan bod kwamen:
– niet de kleinere vragen overschrijven en beantwoorden, maar wel een eigen redenering opbouwen, al danniet geınspireerd op die kleinere onderzoeksvragen op de vorige pagina;
– zorg dat jullie verslag vlot leesbaar is (voor een lezer op niveau van het vijfde jaar 6u wiskunde);
– verslag afsluiten met een toepassing zoals vermeld op de vorige pagina, of een eigen creatieve toepassingkan een meerwaarde zijn, een diepere historische of wiskundige analyse, randinformatie, afbeeldingen enandere relevante creatieve vondsten zijn een bonus.
Het verslag mag handgeschreven zijn, pagina’s onderaan nummeren.
• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in,met daarin het verlag. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.
Pr-34
Onderzoeksopdracht - Het probleem van Josephus
Flavius Josephus(37 - ±100)
We bespreken een variant van een oud probleem genoemd naar Josephus, een be-faamde1historicus uit de eerste eeuw na Christus. Tijdens de Joods-Romeinse oorlogwerd hij met 40 andere Joodse rebellen opgesloten in een grot. De rebellen verkozenzelfmoord boven overgave. Ze beslisten om in een kring te gaan staan en elke derdepersoon te vermoorden tot niemand meer overbleef. Maar Josephus en een anderepersoon hadden het niet zo begrepen op deze eliminatie, en - zo gaat de legende -bedachten een manier hoe zij als laatsten konden overblijven om zich nadien aan deRomeinen over te geven.
In onze variant gaan we ervan uit dat er n personen in een kring staan.We nummeren de personen volgens hun plaats. Om het probleem van Josephus wateenvoudiger te maken spreken we af dat elke tweede persoon in de cirkel vermoordwordt.
Onderzoeksvraag
Als er n personen in een kring staan, en elke tweede wordt vermoord, welk nummerblijft er dan als laatste over?
12
3...
n
1Ware het niet dat Josephus beschikte over zijn wiskundige talenten, zo zegt de legende, dan zou hij bijlange na niet beschikt hebbenover de levensjaren die hem toegelaten hebben om beroemd te worden. Josephus zelf schreef dat hij ‘als bij wonder’ gespaard bleef.
Pr-35
Zoekstrategieen en kleinere onderzoeksvragen
Voor elke n noemen we un het nummer van de persoon die als laatste overblijft. Zo bekomen we een rij (un) =u1, u2, u3, . . .. Het doel is om een voorschrift van deze rij te vinden, bijvoorbeeld een recursief voorschrift.
1. Om het probleem goed te begrijpen ga je best enkele kleine gevallen na.
(i) Ga na dat voor n = 10 de volgorde van eliminatie gelijk is aan 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9 zodat 5 als laatste overblijft. Dus u10 = 5.
(ii) Bepaal un voor enkele kleine waarden van n, bijvoorbeeld 1 ≤ n ≤ 10.
n 1 2 3 . . .un
(iii) Het nummer un van degene die als laatste overblijft lijkt altijd oneven te zijn. Bewijs dit.
(iv) Heb je nu al een vermoeden wat un is voor een algemeen aantal personen n?
Na deze eerste verkenning begrijpen we de rij (un) al iets beter, maar waarschijnlijk heb je nog geen idee metwelke formule we un kunnen berekenen.
2. We proberen het algemeen probleem te herleiden naar kleinere gevallen. Voor de eenvoud veronderstellen we indeze vraag n = 12.
(i) Welke nummers zijn er na een rondgang geelimineerd? En welke nummers blijven over?
(ii) Na een rondgang blijven er 6 personen over. Als je die zes bij het begin van de tweede rondgang nu eennieuw nummer geeft (van 1 tot 6), dan kun je uit de tabel van vraag 1(ii) meteen weten welk nieuw nummerer zal overblijven! Wat is dat nieuw nummer, en waarom?
oud nummer van degene die overblijft(bij begin eerste rondgang)
u12 = . . .
nieuw nummer van degene die overblijft(bij begin tweede rondgang)
. . . = . . .
(iii) We vermoeden dat er een verband is tussen u12 en u6. Daarvoor moeten we eerst het verband vinden tussenoude en nieuwe nummers. Als een persoon als oud nummer k heeft, wat is zijn nieuw nummer?
oud nummer(bij begin eerste rondgang)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 k
nieuw nummer(bij begin tweede rondgang)
?
(iv) Combineer de antwoorden op 2(ii) en 2(iii) om het verband tussen u12 en u6 te vinden (formule).
3. Veralgemeen de redenering in vraag 2 om een recursief voorschrift van de rij (un) te bekomen.
Aanwijzing. Maak onderscheid tussen n even en n oneven.
4. Om een wat explicieter voorschrift van un te bepalen kunnen we als volgt te werk gaan.
(i) Bepaal met behulp van dit recursief voorschrift u(n) voor 1 ≤ n ≤ 16. Maak een tabel.
(ii) Groepeer de tabel volgens machten van 2: neem de eerste samen, daarna de volgende 2, daarna de volgende22, etc. Wat merk je op?
?(iii) Hoe kun je voor een grotere waarde van n bepalen wat u(n) is? Vul de volgende werkwijze aan:
Stap 1. Schrijf n = 2m + l voor m ∈ N en 0 ≤ l . . .Stap 2. Dan is u(n) = . . .
?(iv) Toon aan dat u(n) = 2n− 2b2lognc+1 + 1
??5. Bij elke n hoort een (eindige) rij die de eliminatievolgorde aangeeft. Zo hoort bij n = 10 de rij
2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, 5
Bepaal een voorschrift van deze eliminatierij, en dit voor elke waarde van n.
Toepassing. Als je met 2012 anderen in een kring staat en elke tweede wordt vermoord, waar ga jij dan staan omals laatste over te blijven?
Pr-36
Evaluatieform
ulierPracticum
9D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Inh
oud
elij
k
Vaa
rdig
hed
en4.Denk-en
redeneerv
aard
igheden.
•Je
kan
het
ond
ersc
hei
dm
aken
tuss
enh
oof
d-
enb
ijza
ken,
gege
ven
enge
vra
agd
e,ge
geve
nen
teb
ewij
zen
.
•Je
ben
tin
staa
tee
nre
den
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eigen
sch
apte
beg
rijp
en.
•Je
kan
een
gege
ven
red
ener
ing
oph
aar
geld
igh
eid
ond
erzo
eken
.
•Je
kan
een
reden
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
ofd
eop
loss
ing
van
een
pro
ble
emop
bouw
en:
–je
kan
een
ver
moed
enfo
rmu
lere
nen
argu
men
tere
n;
–je
kan
een
eige
nsc
hap
form
ule
ren
opb
asis
van
een
ond
erzo
ekop
een
aanta
lvo
orb
eeld
en;
–je
kan
bij
het
opb
ouw
enva
nee
nre
den
erin
gee
nIC
T-h
ulp
mid
del
geb
ruik
en.
6.Onderzoeksvaard
igheden
•Je
kan
een
ond
erzo
ekso
pd
rach
tfo
rmu
lere
nen
afb
aken
en.
•Je
kan
een
aanp
akp
lan
nen
enzo
nod
igop
spli
tsen
ind
eelt
aken
.
•Je
kan
info
rmat
iever
wer
ken
enop
rele
vanti
ese
lect
eren
:
–d
ew
aard
eva
nd
ein
form
atie
beo
ord
elen
infu
nct
ieva
nd
eop
dra
cht;
–d
ere
lati
etu
ssen
gege
ven
sen
bew
erkin
gen
opzo
eken
enin
terp
rete
ren
.
•Je
kan
doel
mat
igee
nw
isku
nd
igm
od
else
lect
eren
of
opst
elle
n:
–ee
non
der
dee
lva
nee
nop
dra
cht
her
ken
nen
als
een
wis
kun
dig
ofee
nst
ati
stis
chp
rob
leem
;–
vast
stel
len
ofee
nm
od
elvo
ldoet
enh
etev
entu
eel
bij
stel
len
;–
zon
od
igb
ijkom
end
ein
form
atie
verz
amel
enom
het
aan
gew
ezen
mod
elte
ku
nn
enh
ante
ren
.
•Je
kan
bij
een
mod
eld
ep
asse
nd
eop
loss
ings
met
hod
eco
rrec
tu
itvo
eren
.
•Je
kan
resu
ltat
enb
inn
end
eco
nte
xt
bet
eken
isge
ven
enze
daa
rin
kri
tisc
hev
alu
eren
.
•Je
kan
refl
ecte
ren
oph
etge
hel
ep
roce
s,i.
h.b
.op
de
gem
aakte
keu
zen
voor
rep
rese
nta
tie
enw
erkw
ijze
.
•Je
kan
het
resu
ltaa
tva
nhet
ond
erzo
ekzi
nvo
lp
rese
nte
ren
,h
etst
and
punt
arg
um
ente
ren
enve
rsla
gu
itb
ren
gen
van
het
pro
ces.
Att
itu
des
10.Zin
voorkwaliteit
van
dewiskundigere
pre
senta
tie.
Je
heb
td
ege
woon
teom
jege
dac
hte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoor
den
,en
de
voor
-en
nad
elen
van
een
bep
aald
ew
erkw
ijze
teb
esp
reken
.
11.Kritischezin.
Je
heb
td
eh
oud
ing
omb
erek
enin
gen,
bew
erin
gen
,ar
gum
ente
rin
gen
enre
den
erin
gen
nie
tzo
maar
teaanva
ard
enen
over
ten
emen
.
13.Zelfre
gulatie.
•Je
toon
tee
non
der
zoek
sger
ichte
hou
din
gte
naa
nzi
enva
nfe
iten
,op
gave
nen
pro
ble
men
.
•Je
ben
tin
staa
tom
jein
een
oplo
ssin
gsp
roce
ste
orie
nte
ren
,h
etp
roce
ste
pla
nn
en,
het
uit
tevo
eren
enh
ette
bew
ake
n.
15.W
aard
eringvoordewiskunde.
Je
toon
tin
zich
tin
de
bij
dra
geva
nd
ew
isku
nd
ein
cult
ure
le,
his
tori
sch
een
wet
ensc
hap
pel
ijke
ontw
ikke
lin
gen
.
Pr-
37
PRACTICUM 10
ONDERZOEKSOPDRACHT (3)
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
In dit practicum ligt de nadruk op de tweede en de derde onderzoekscompetentie.
onderzoekscompetenties
verzamelenordenenbewerken
︸︷︷
︸
competentie 1
voorbereiden
uitvoeren
evalueren
︸︷︷
︸competentie 2
rapporteren
confronteren ︸︷︷
︸ competentie 3
Deze onderzoeksopdracht is de grootste opdracht uit je practicum wiskunde. Het is de bedoeling dat jullie een echtwiskundig onderzoek uitvoeren, en jullie bevindigen rapporteert in een verslag (werkstuk). In de beschrijving van deopdracht krijg je enkele vragen die je kunnen helpen om het onderwerp te onderzoeken. Hierbij is het noodzakelijkom alle verworven competenties uit de vorige practica te bundelen.
2. Afspraken en tips
Om het denkwerk te verrichten beschik je over vijf lesuren (verspreid over een week). Daarna heb je twee weken tetijd om het verslag te schrijven. Het zal dan ook noodzakelijk zijn om gedurende deze twee weken nog enkele kerensamen te komen.
Daarna volgt er een verdediging. Tijdens een les komt elke groep beurtelings bij de leerkracht (ongeveer 10 minuten).Groepen die niet aan de beurt zijn werken verder aan opgegeven oefeningen.
Richtlijnen bij het onderzoek
• Opgaven en deeltaken hangen nauw samen. Lees eerst de hele opgave goeddoor. Werk je in groep in, en maak daarna een taakverdeling.
• Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op de vier stappen uit Prac-ticum 1: Probleemoplossend denken (zie pagina Pr-5): het probleem begrijpen,zoekstrategieen bedenken en een plan opstellen, het plan uitvoeren, controleren.
• Bespreek je werk op meerdere momenten in groep. Herzie eventueel je planning.
• Ervaring wijst uit dat leerlingen het moeilijk hebben om tot veralgemenin-gen te komen. Veel groepen kijken daarenboven onvoldoende kritisch naar eengevonden resultaat. Tracht een vermoeden ook ten gronde te bewijzen.
• De leerkracht heeft enkel de taak om de teams gemotiveerd te houden. Hulp bieden is uit den boze. Opvragenvan formules aan de leerkracht kan wel (databank-functie). Om je de kans te geven informatie op te zoekenzullen we enkele boeken en cursussen ter beschikking stellen.
Pr-38
Richtlijnen bij het verslag
• Begin tijdig aan het verslag, je hoeft niet te wachten tot de vijf lesuren om zijn. Start met het maken van eenstructuur (of ‘kapstok’): welke onderverdelingen bespreek je in het hoofddeel van het verslag?
• Voor de vorm van het verslag volg je de opbouw en de schrijftips uit Practicum 7: Een wetenschappelijk verslagschrijven (zie pagina Pr-25).
• Let erop dat het verslag geen opeenvolging is van ‘antwoorden op de vraagjes’. Het kan zijn dat jebeter begint met de laatste opgave of een meer ingewikkelde opgave waarvan de vorige vragen een onderdeelvormen. Denk aan de a,b,c,. . . vraagjes die bij een toets op examen vaak bedoeld zijn om je naar het grotereprobleem te gidsen.
• Het is van groot belang dat het verslag helder leesbaar is. Het is niet altijd eenvoudig om in iemands redeneringte komen. Voor de beoordelaar is het erg belangrijk dat de stappen voldoende uitgewerkt en toegelicht zijn.
• We geven je de mogelijkheid om - bij wijze van illustratie - werkstukjes van vorige jaren in te kijken (uiteraardhandelen die over een ander onderwerp).
Beoordeling
Het geheel van deze onderzoeksopdracht wordt geevalueerd op 60 punten en herleid naar een totaal van 30 punten,het gewicht van anderhalve toets bij je tussentijdse evaluatie van het tweede semester.
De puntenverdeling op de kwaliteit van het verslag is als volgt:
• 10 punten op de redactie van het werk (opbouw en schrijfstijl van het verslag, inhoudstafel en referentielijst,lay-out, etc.),
• 40 punten op het eindresultaat (de uitwerking, de correctheid, originaliteit en/of creatieve vondsten, . . . ),
• 10 punten op de verdediging en antwoord op de gestelde vragen.
Na de evaluatie kunnen de punten op twee manieren aan de groepsleden worden toegekend.
1. Indien de leerkracht aanvoelt dat elk groepslid een gelijkwaardige inbreng heeft in het geleverde werk, wordt aanelk groepslid het zelfde cijfer toegekend.
2. Indien de leerkracht aanwijzingen en/of vermoedens heeft dat niet elk lid van de groep een gelijkwaardig aandeelheeft in het geleverde werk, worden de punten verdeeld aan de hand van een peer-evaluatie: elk groepslid vultin alle discretie een formulier in waarin hij/zij het aandeel van de overige groepsleden beschrijft. Items die aanbod komen:
• je denkt actief mee om de opdracht te verduidelijken en te analyseren,
• je discussieert mee over de goede aanpak van de opdracht,
• je legt je ideeen duidelijk uit,
• je luistert naar de anderen binnen de groep,
• je bent bereid je te verdiepen in alle aspecten van de opdracht,
• je hebt oog voor het geheel,
• je werkt op een constructieve manier samen,
• je doet aanpassingen na kritische reflecties van de andere leden van de groep.
Aan de hand van deze evaluatieformulieren kent de leerkracht tenslotte de individuele scores toe.
Pr-39
3. Opdracht
• Voorbereiding. Inleiding, afspraken en tips en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
• Practicum en verslag (. . . lessen, thuis afwerken). Voor dit practicum werk je in groepen van vier. Inhet begin van de eerste les krijg je een bundel die het onderwerp en de onderzoeksopdracht beschrijft (pagina’sA-125 tot en met A-128). Tijdens de lessen voer je het onderzoek uit. Het eindresultaat is een werkstuk waarinje het onderwerp behandelt.
– Typen mag, maar hoeft niet (een getypt verslag kan een meerwaarde zijn). In elk geval nummer je debladen onderaan in het midden.
– Een diepere historische of wiskundige analyse, afbeeldingen, randinformatie en andere relevante creatievevondsten zijn een bonus.
– Per groep een verslag indienen. Het verslag zal verbeterd en gekopieerd worden door de leerkracht.
• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in,met daarin het verlag. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.
• Verdediging per groep. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
Pr-40
Evaluatieform
ulierPracticum
10D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Inh
oud
elij
k
Vaa
rdig
hed
en4.Denk-en
redeneerv
aard
igheden.
•Je
kan
het
ond
ersc
hei
dm
aken
tuss
enh
oof
d-
enb
ijza
ken,
gege
ven
enge
vra
agd
e,ge
geve
nen
teb
ewij
zen
.
•Je
ben
tin
staa
tee
nre
den
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eigen
sch
apte
beg
rijp
en.
•Je
kan
een
gege
ven
red
ener
ing
oph
aar
geld
igh
eid
ond
erzo
eken
.
•Je
kan
een
reden
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
ofd
eop
loss
ing
van
een
pro
ble
emop
bouw
en:
–je
kan
een
ver
moed
enfo
rmu
lere
nen
argu
men
tere
n;
–je
kan
een
eige
nsc
hap
form
ule
ren
opb
asis
van
een
ond
erzo
ekop
een
aanta
lvo
orb
eeld
en;
–je
kan
bij
het
opb
ouw
enva
nee
nre
den
erin
gee
nIC
T-h
ulp
mid
del
geb
ruik
en.
6.Onderzoeksvaard
igheden
•Je
kan
een
ond
erzo
ekso
pd
rach
tfo
rmu
lere
nen
afb
aken
en.
•Je
kan
een
aanp
akp
lan
nen
enzo
nod
igop
spli
tsen
ind
eelt
aken
.
•Je
kan
info
rmat
iever
wer
ken
enop
rele
vanti
ese
lect
eren
:
–d
ew
aard
eva
nd
ein
form
atie
beo
ord
elen
infu
nct
ieva
nd
eop
dra
cht;
–d
ere
lati
etu
ssen
gege
ven
sen
bew
erkin
gen
opzo
eken
enin
terp
rete
ren
.
•Je
kan
doel
mat
igee
nw
isku
nd
igm
od
else
lect
eren
of
opst
elle
n:
–ee
non
der
dee
lva
nee
nop
dra
cht
her
ken
nen
als
een
wis
kun
dig
ofee
nst
ati
stis
chp
rob
leem
;–
vast
stel
len
ofee
nm
od
elvo
ldoet
enh
etev
entu
eel
bij
stel
len
;–
zon
od
igb
ijkom
end
ein
form
atie
verz
amel
enom
het
aan
gew
ezen
mod
elte
ku
nn
enh
ante
ren
.
•Je
kan
bij
een
mod
eld
ep
asse
nd
eop
loss
ings
met
hod
eco
rrec
tu
itvo
eren
.
•Je
kan
resu
ltat
enb
inn
end
eco
nte
xt
bet
eken
isge
ven
enze
daa
rin
kri
tisc
hev
alu
eren
.
•Je
kan
refl
ecte
ren
oph
etge
hel
ep
roce
s,i.
h.b
.op
de
gem
aakte
keu
zen
voor
rep
rese
nta
tie
enw
erkw
ijze
.
•Je
kan
het
resu
ltaa
tva
nhet
ond
erzo
ekzi
nvo
lp
rese
nte
ren
,h
etst
and
punt
arg
um
ente
ren
enve
rsla
gu
itb
ren
gen
van
het
pro
ces.
Att
itu
des
10.Zin
voorkwaliteit
van
dewiskundigere
pre
senta
tie.
Je
heb
td
ege
woon
teom
jege
dac
hte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoor
den
,en
de
voor
-en
nad
elen
van
een
bep
aald
ew
erkw
ijze
teb
esp
reken
.
11.Kritischezin.
Je
heb
td
eh
oud
ing
omb
erek
enin
gen,
bew
erin
gen
,ar
gum
ente
rin
gen
enre
den
erin
gen
nie
tzo
maar
teaanva
ard
enen
over
ten
emen
.
14.Zin
voorsa
menwerk
ingen
overleg.
•Je
ziet
ind
atje
mog
elij
kh
eden
verg
root
wor
den
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
•Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
np
ak.
15.W
aard
eringvoordewiskunde.
Je
toon
tin
zich
tin
de
bij
dra
geva
nd
ew
isku
nd
ein
cult
ure
le,
his
tori
sch
een
wet
ensc
hap
pel
ijke
ontw
ikke
lin
gen
.
Pr-
41
PRACTICUM 11
ZELFSTANDIG OEFENINGEN MAKEN MET OPLOSSINGSSLEUTELS
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding1
In dit practicum maak je zelfstandig oefeningen tijdens de les, waarbij je gebruikmaakt van oplossingssleutels. Dat lijkt erg handig, maar je moet er wel verstandigmee omgaan. Dat kan het beste als volgt.
Ga ervan uit dat je het meeste leert door zelf de oefeningen uit de cursus te maken.Van de fouten die je daarbij maakt, leer je veel over de leerstof en over jezelf. Maakdie fouten dan ook eerst en bekijk pas daarna de oplossingen of oplossingssleu-tels. Lees dus nooit de oplossingen van tevoren door, want dan leer je zelf niet genoeg.
De modelvoorbeelden uit de cursus laten je zien hoe de aanpak, oplossingsroute(recept) en uitwerkingen van een type oefening er uit zien. Bij het herhalen van je les
wiskunde (elke dag!) bekijk je die voorbeelden dus goed en ga je bij elke stap na of je begrijpt waarom juist die stapgezet wordt.
2. Opdracht
• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
• Practicum (1 les, thuis afwerken). Tijdens de les maak je zelfstandig de reeks oefeningen op pagina A-130uit Deel Integralen (bepaalde integralen). Je doet dat aan de hand van de oplossingssleutels op de volgendepagina’s.
• Verslag. Je schrijft je oplssingen op cursusbladen, elke opgave start op een nieuw cursusblad. Je volgt devolgende structuur:
– “Oefening” met nr. opschrijven,
– “Oplossing”.
Het is belangrijk dat je je uitwerking op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlotkan lezen.
• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Op het einde van de les.wordt gezegd welke van devier reeksen oefeningen moet indienen. Dat cursusblad voeg je in deze practicumbundel. Nummer die paginaonderaan in het midden (eventuele volgende pagina’s nummeren met 2, 3, etc.). De overige drie oefeningen hoefje niet af te geven. Die kun je later zelf verbeteren.
1Gebaseerd op de studiewijzer uit T.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, wiskunde voor het hoger onderwijs:uitwerkingen, Noordhoff Uitgevers (2009).
Pr-42
Oefeningen - Oplossingssleutels
Oefening 1. Bereken algebraısch de term in de gevraagde Riemann-som, en duid deze aan op een schets:
f(x) =1
xvierde term in de rij van de linkersommen over interval [a, b] = [1, 2]
Oplossingssleutel.
1. Maak eerst een schets van de grafiek van f .Omdat [a, b] = [1, 2], kun je je voor het tekenen van de x-as beperken tot het interval [−1, 4] of zelfs [0, 3].
2. Er is gevraagd om een vierde term in een rij van Riemann-sommen te berekenen.Je moet het interval [1, 2] dus verdelen in vier lijnstukken van gelijke lengte.Dat wordt dus: [1; 1, 25], [1, 25; 1, 5], [1, 5; 1, 75] en [1, 75; 2].
3. Op elk van de vier deelintervallen teken je nu een rechthoek.Linkersom betekent: de hoogte van zo’n rechthoek is de functiewaarde van het getal links in het interval.Dus de eerste rechthoek heeft als basis [1; 1, 25] en als hoogte f(1).
4. Bereken nu de Riemann-som R4 met behulp van de formule op pagina A-131 (IV-7 midden):
R4 = f(1) · (1, 25− 1) + . . .
5. Controleer nadien je uitkomst met je grafisch rekenmachine: gebruik het programma curvatur.
Oefening 2. Gegeven is de grafiek van de functie f(x) = ex.
(a) Welke bijzondere soort Riemann-som (bovensom, ondersom, linkersom, rechtersom of middensom) is aangeduid?
(b) Bepaal algebraısch de waarde van de aangeduide oppervlakte
1
2
3
4
1 2 3 4−1
y
x
y = ex
Oplossingssleutel.
(a) 1. De hoogte van elke rechthoek is de functiewaarde van een bepaalde x-waarde.Welke x-waarde neemt men telkens?
2. Opgelet: misschien zijn er wel meerdere mogelijkheden voor je antwoord op (a).
(b) 1. Van elke rechthoek bereken je de oppervlakte.Nadien tel je die oppervlaktes op.
2. De basis van elke rechthoek is 0, 5.De hoogte is telkens de functiewaarde van een bepaalde x-waarde: f(−1), f(−0, 5), etc.
3. Om f(−1), f(−0, 5), etc. te berekenen: gebruik dat f(x) = ex.
4. Denk er aan dat men vraagt om de waarde algebraısch te bepalen.Je moet dus de exacte waarde geven.Zo stelt bijvoorbeeld
√2 een exacte waarde voor, en 1, 41 . . . slechts de decimale voorstelling van
√2.
5. Controleer nadien je uitkomst met je grafisch rekenmachine: gebruik het programma curvatur.
Pr-43
Oefening 3. Bereken telkens met behulp van je grafisch rekenmachine de volgende bepaalde integralen, en maak eenschets waarop je de meetkundige betekenis aanduidt.
(a)
∫ 1
−1x3dx
(b)
∫ 2
−12xdx
(c)
∫ π4
0
tanxdx
Aanwijzing. Indien we enkel interesse hebben in de bepaalde integraal (getal) en niet in de visuele voorstelling ervan,kunnen als volgt te werk gaan
MATH 9:fnInt fnInt(f(x),x,a,b)
Oplossingssleutel.
(a) 1. Volg de stappen in bovenstaande schermafdrukken om de bepaalde integraal te berekenen.
2. f(x) = x3 is een elementaire functie, er wordt dus verwacht dat je de grafiek van die functie zonder grafischrekenmachine kan schetsen.
3. Duid in je schets van de grafiek van f de relevante georienteerde oppervlakte aan.
4. Wees nauwkeurig: bij je schets de assen benoemen, grafiek benoemen, en de meetkundige betekenis ookaanduiden. Dat laatste kan met behulp van Romeine cijfers.
(b) Analoog aan (a).
(c) Analoog aan (a). De functie in het integrandum is een goniometrische functie, dus zorg ervoor dat je grafischrekenmachine “in radialen staat”, via mode.
Oefening 4. Gegeven is de functie f(x) = 3x.
(a) Bepaal de oppervlaktefunctie A(t) van f tussen x = −1 en x = 1.
(b) Bereken
∫ 1
−13xdx met behulp van de oppervlaktefunctie. Duid de meetkundige betekenis van de bepaalde
integraal aan in een schets.
Oplossingssleutel.Deze oefening maak je met behulp van Werkwijze 1 op pagina A-131 (IV-12).Ze is dan ook gelijkaardig aan de twee modelvoorbeelden op die pagina.
(a) 1. De oppervlaktefunctie A(t) bepaal je uit de voorwaarden A′(t) = f(t) en A(a) = 0.
2. Wat is f(t)? Wat is a? Vervang dit in de vorige regel.
3. Als je niet meteen weet voor welke functie A(t) geldt dat A′(t) = 3t, denk er dan aan dat de afgeleide van3t “bijna” zichzelf is.Als eerste poging probeer je dus A(t) = 3t uit.
(b) 1. Om de integraal te berekenen met behulp van de oppervlaktefunctie grijp je terug naar Werkwijze 1 oppagina A-131 (IV-12).
2. Wat is b? Vervang dit.
3. Maak een schets van de grafiek van f(x) = 3x, en duid de relevante georienteerde oppervlakte aan.
4. Wees nauwkeurig: bij je schets de assen benoemen, grafiek benoemen, en de meetkundige betekenis ookaanduiden. Dat laatste kan met behulp van Romeine cijfers.
Pr-44
Evaluatieform
ulierPracticum
11D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Inh
oud
elij
k
Vaa
rdig
hed
en1.Rekenvaard
igheid.
•B
ijh
etal
geb
raıs
chm
anip
ule
ren
van
fun
ctie
voors
chri
ften
,fo
rmu
les,
verg
elij
kin
gen
,et
c.w
eet
jew
elke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
end
enom
tot
een
resu
ltaa
tte
kom
en,
envo
erje
dez
ete
chn
ieke
nco
rrec
tu
it.
•Je
kan
de
groot
ord
eva
nee
nre
sult
aat
goed
insc
hat
ten
.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
idd
elen
zoal
sh
etgr
afisc
hre
ken
mac
hin
eof
een
com
pu
terr
eken
pak
ket
gep
ast
insc
hake
len
om
een
bew
erkin
gu
itte
voer
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
nd
ieje
met
ICT
bek
omen
heb
t.
2.M
eet-en
tekenvaard
igheid.
•G
rafi
eken
envo
orst
elli
nge
nva
nvla
kke
enru
imte
figu
ren
teke
nje
nau
wkeu
rig.
•Je
heb
tru
imte
lijk
voor
stel
lin
gsve
rmog
en.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
iddel
enzo
als
het
grafi
sch
reke
nm
ach
ine
ofee
nco
mp
ute
rrek
enp
akke
tge
past
insc
hakel
enom
een
figu
ur
teb
ekom
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
voor
stel
lin
gen
die
jem
etIC
Tb
ekom
enh
ebt.
3.W
iskundigeta
alvaard
igheid.
•Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etd
eva
kta
alva
nd
ew
isku
nd
e:
–je
ken
td
eb
etek
enis
van
typ
isch
eva
kte
rmen
enge
bru
ikt
dez
evo
ldoen
de
corr
ect
(fu
nct
ie,
stel
sel,
etc.
);–
jeke
nt
de
bet
eken
isva
nsp
ecifi
eke
logi
sch
eke
rnw
oor
den
enge
bru
ikt
dez
evol
doen
de
corr
ect
(en
,of,
daaru
itvolg
t,vo
or
all
e,et
c.);
–je
ben
tin
staa
tom
een
omsc
hri
jvin
gva
nee
nb
egri
pte
form
alis
eren
,en
een
voor
waard
ete
sym
boli
sere
n;
–je
han
teer
td
evis
uel
evo
orst
elli
nge
nw
aar
de
wis
ku
nd
ege
bru
ikva
nm
aakt
(gra
fiek
,ta
bel
,et
c.).
•Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etd
eb
esch
rijv
end
eta
alw
aari
nov
erh
etw
isku
nd
igh
an
del
enge
spro
ken
word
t(d
efin
itie
,ei
gen
sch
ap
,ve
rkla
ar,
ber
eken
alge
bra
ısch
/gra
fisc
h,
teke
n,
contr
uee
r).
•Je
kan
inee
nsi
tuat
iew
isku
nd
ige
beg
rip
pen
her
ken
nen
enve
rtal
ennaa
rw
isku
nd
igm
od
el(m
ath
emati
sere
n).
•Je
kan
vis
uel
ein
form
atie
invo
ldoen
de
mat
ele
zen
enin
terp
rete
ren
(op
een
teke
nin
g,gr
afi
ek,
dia
gra
m).
•Je
ben
tle
esva
ard
igb
ijh
etle
zen
van
de
tekst
van
opga
ven
,p
rob
lem
enen
vra
agst
ukke
n.
Att
itu
des
9.Zin
voornauwkeurigheid
en
ord
e.
•Je
heb
td
ege
woon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opd
rach
tte
rug
tekij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole
,om
zoto
tn
auw
keu
rige
resu
ltat
ente
kom
en.
•Je
heb
tee
nh
oud
ing
omor
del
ijk
ensy
stem
atis
chte
wer
ken
(not
eren
,m
aken
van
oef
enin
gen
,aan
pakke
nva
np
rob
lem
en).
12.Zelfvertro
uwen
en
zelfstandigheid.
•Je
toon
tze
lfver
trou
wen
,ze
lfst
and
igh
eid
,d
oor
zett
ings
ver
mog
enen
doel
mat
igh
eid
bij
het
aan
pakke
nva
np
rob
lem
enen
op
dra
chte
n.
•Je
ziet
ind
atfo
ute
nm
aken
inh
eren
td
eel
uit
mak
enva
nh
etle
erp
roce
s.
Pr-
45
PRACTICUM 12
WERKEN MET EEN WISKUNDIG MODEL
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding1
Een wiskundig model is een wiskundige beschrijving van een systeem, vaak een waarneembaar verschijnsel. Het doelvan het model is in om met wiskundige technieken een systematische analyse te maken, om zo inzicht te verwervenin het verschijnsel, en om voorspellingen over het systeem te doen. Dat is de kern van de wetenschap. Het proceswaarbij men een model ontwikkelt noemt men modelleren.
Een model kan nooit een volledig beeld van de werkelijkheid geven. Het is altijd een vereenvoudiging. Een goed modelzoekt een evenwicht tussen eenvoud en nauwkeurigheid: het moet eenvoudig genoeg zijn om mee te kunnenrekenen en zinvolle conclusies te kunnen trekken, en het moet nauwkeurig genoeg zijn om die conclusies betrouwbaarte doen zijn. Als een eenvoudig model een even goede beschrijving van de waarnemingen geeft als een ingewikkeldmodel, dan verdient het eenvoudige model de voorkeur.
Wiskundige modellen worden zowel gebruikt in natuur- en ingenieurswetenschappen (fysica, elektrotechniek, biologie,geologie, meteorologie) als in sociale wetenschappen (economie, psychologie, sociologie, politicologie).
We sommen enkele voorbeelden op.
Italiaans raaigras(Lolium Multiflorum)
• Plantenteelt (Allometrie2). Bij grassen en granen is de groeisnelheid vande wortelmassa vaak anders dan die van de bladmassa. Dit leidt ertoe dat deverhouding tussen beide geleidelijk veranderd als de plant groeit. Observatieswijzen uit dat het verband tussen de wortelmassa w en de spruit s (de groenedelen) vaak gemodelleerd kan worden met de vergelijking
w(s) = c · sk waarbij c, k ∈ R+0
De parameter k noemt men de allometrische constante. Zo geldt voor Italiaansraaigras de waarde k = 1, 12 tot aan de bloei, daarna krijgt k een (lagere)waarde.
• Econometrie3. In een bedrijf beschouwt men volgende economische grootheden:
L het arbeidersinkomen,
Z het niet-arbeidersinkomen, kortweg ‘winst’ te noemen,
U de waarde der verkochte consumptiegoederen,
V de waarde der verkochte investeringsgoederen.
Als model neemt men de volgende betrekkingen tussen deze grootheden aan.
1. De winstvergelijking: Z = U + V − L2. Een vertraging aangenomen van een tijdseenheid: Vt = βZt−1
3. De uitgaven voor consumptiegoederen: Ut = Lt + ε1Zt−1 + ε2(Zt−1 − Zt−2)
1Gebaseerd op M. De Gee, Wiskunde in werking deel 2, Epsilon Uitgaven, Utrecht (2002).2Allometrie betekent: Verandering van de verhoudingen van de verschillende lichaamsdelen gedurende de groei.3Uit J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938). Econometrie is
de discipline binnen de economische wetenschap die zich richt op het kwantificeren (het in getallen uitdrukken) van de relaties tusseneconomische grootheden. Econometrie kan het beste worden omschreven als de wetenschap van het economisch modelleren, waarbij eengroot beroep wordt gedaan op technieken uit de wiskunde, de waarschijnlijkheidsrekening en de statistiek. Informatica neemt een belangrijkeplaats in, zowel bij het ontwerp als bij het toetsen en gebruiken van econometrische modellen.
Pr-46
Hierbij stellen β, ε1 en ε2 parameters die men kan schatten door de grootheden L,Z,U en V te oberveren overeen aantal tijdseenheden. Hieruit kan men achterhalen dat de winst Z op tijdstip t als volgt afhangt van dewinst op de twee voorgaande tijdstippen:
Zt = (β + ε1 + ε2)Zt−1 + ε2Zt−2
• Milieukunde. Op grond van waarnemingen vanaf 1970 voorspelde het IPCC (Intergovernmental Panel onClimate Change) dat zonder reductie van de uitstoot van broeikasgassen de gemiddelde temperatuur elke tienjaar met 0, 3◦C zou stijgen. In 1970 was de gemiddelde temperatuur 15◦ C. Een ander model voorspelt eenstijging van de zeespiegel met 65 cm ten opzichte van 1970 niveau als de gemiddelde temperatuur 19◦C is.
Marktpenetratie4van eenherbicide in Iowa
• Marktkunde. Een nieuw product wordt vaak gelanceerd met een reclame-campagne die de eerste gebruikers overhaalt. Daarna volgt vaak nog een fasewaarin het verbruik kan toenemen door mond-tot-mond reclame. Mond-tot-mond reclame werkt als een besmetting, waarin niet-gebruikers het gedrag vangebruikers waarmee ze sociaal contact hebben geleidelijk overnemen. Noemenwe p(t), met 0 ≤ p ≤ 1 de fractie gebruikers binnen de doelgroep op tijdstip t,dan wordt een eenvoudig model gegeven door een zogenaamde logistische functie
p(t) =1
1 + c e−r twaarbij c, r ∈ R+
0
De figuur hiernaast geeft de toename in het gebruik van een nieuw herbicideonder de graanboeren in de Amerikaanse staat Iowa weer, met t de tijd in jaren.De parameters bij deze data zijn geschat als r = 0, 8691 en c = 47, 2797.
Europese lariks(Larix decidua)
• Bosbouw. Een laboratorium aan een universiteit onderzoekt, in opdracht vande vereniging van bosuitbaters, het groeiproces van lariksen (ook wel lork ge-noemd, een geslacht van coniferen). Op 1 januari vorig jaar waren de bomen bijaanplant 80cm groot. Op basis van de hoogtegegevens die tijdens het afgelopenjaar op verschillende tijdstippen werden opgemeten, schat men dat de groei-snelheid (in centimeter per jaar) van de lariksen x jaar na de aanplant gelijk isaan
g(x) = 25 +40
(2 + x
20
)2
Hieruit kan men de hoogte van de lariksen t jaar na de aanplant bepalen, na-melijk als de oorspronkelijke hoogte vermeerdert met de toename van de hoogtesinds 1 januari vorig jaar:
h(t) = 80 +
∫ t
0
g(x) dx
• Toxicologie, milieuhygiene, veeteelt. Een koe heeft gras gegeten dat verontreinigd was met asdeeltjes uit eenafvalverwerkingsinstallatie. Het gif wordt in het vet opgeslagen en verlaat het lichaam weer via de melk. Dagelijkswordt de concentratie gif in de melk gemeten. De waargenomen concentraties in g/m3 zijn te modelleren met
c(t) = 4te−0,2 t
met t in dagen na het eten van het verontreinigde gras. De koe levert 15 liter melk per dag. De functie G(t)geeft de totale hoeveelheid uitgescheiden gif (in g) als functie van de tijd (in dagen).
UitG′(t) = 0, 06 te−0,2 t
kan men nagaan datG(t) = −0, 3 te−0,2 t − 1, 5 e−0,2t + c waarbij c ∈ R
De integratieconstante c bepaalt men via G(0) = 0.
4Marktpenetratie is de mate waaraan een product of dienst door potentiele klanten bekend is en/of gebruikt wordt, met als formule:aantal gebruikers
potentieel aantal gebruikers· 100. De marktpenetratie geeft dus een indicatie van de groeimogelijkheden in de markt.
Pr-47
2. Opdracht
• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
• Practicum (. . . lessen, thuis afwerken). Dit practicum voer je uit in groepen van drie tot vier leerlingen.
1. In groep kies je een van de volgende onderwerpen (zie pagina’s A-133 tot en met A-138):
Onderwerp 1. Ruimtelijke ordening
Onderwerp 2. Milieukunde
Onderwerp 3. Celbiologie
Onderwerp 4. Visteelt
Onderwerp 5. Plantenteelt I (gewassen)
Onderwerp 6. Plantenteelt II (kamerplanten)
2. Van het gekozen onderwerp krijg je een model, voorzien van een opgave.
3. In groep los je de vragen op.
• Verslag (thuis afwerken). Iedereen dient een verslag in, dat bestaat uit cursusblad(en), met de volgendestructuur.
– Onderwerp en opgave netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken.
– “Oplossing.”
– Enkel recto schrijven, cursusbladen onderaan nummeren.
– Het is belangrijk dat je je uitwerking op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossingvlot kan lezen.
Je voegt de cursusbladen in deze practicumbundel.
• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Iedereen dient zijn/haar practicumbundel met verslagin.
Pr-48
Evaluatieform
ulierPracticum
12D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Inh
oud
elij
k
Vaa
rdig
hed
en1.Rekenvaard
igheid.
•B
ijh
etal
geb
raıs
chm
anip
ule
ren
van
fun
ctie
voors
chri
ften
,fo
rmu
les,
verg
elij
kin
gen
,et
c.w
eet
jew
elke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
end
enom
tot
een
resu
ltaa
tte
kom
en,
envo
erje
dez
ete
chn
ieke
nco
rrec
tu
it.
•Je
kan
de
groot
ord
eva
nee
nre
sult
aat
goed
insc
hat
ten
.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
idd
elen
zoal
sh
etgr
afisc
hre
ken
mac
hin
eof
een
com
pu
terr
eken
pak
ket
gep
ast
insc
hake
len
om
een
bew
erkin
gu
itte
voer
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
nd
ieje
met
ICT
bek
omen
heb
t.
2.M
eet-en
tekenvaard
igheid.
•G
rafi
eken
envo
orst
elli
nge
nva
nvla
kke
enru
imte
figu
ren
teke
nje
nau
wkeu
rig.
•Je
heb
tru
imte
lijk
voor
stel
lin
gsve
rmog
en.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
iddel
enzo
als
het
grafi
sch
reke
nm
ach
ine
ofee
nco
mp
ute
rrek
enp
akke
tge
past
insc
hakel
enom
een
figu
ur
teb
ekom
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
voor
stel
lin
gen
die
jem
etIC
Tb
ekom
enh
ebt.
5.Pro
bleemoplossendevaard
igheden.
•Je
kan
een
pro
ble
emon
tdek
ken
enh
etw
isku
nd
igb
ehoor
lijk
stel
len
.
•Je
kan
een
pro
ble
eman
alyse
ren
(on
der
sch
eid
mak
entu
ssen
gege
ven
enge
vra
agd
e,ve
rban
den
leggen
tuss
end
egeg
even
s,et
c.).
•Je
kan
een
pro
ble
emve
rtal
enn
aar
een
pas
sen
dw
isku
nd
igm
od
el(m
ath
emat
iser
en).
•Je
kan
zoek
stra
tegi
een
toep
asse
nbij
het
wer
ken
aan
pro
ble
men
,en
daar
bij
een
pla
nop
stel
len
.
•Je
kan
refl
ecte
ren
opd
eke
uze
van
jezo
ekst
rate
giee
nen
jep
lan
.
•Je
kan
jere
sult
aten
contr
oler
enop
hu
nb
etro
uw
baa
rhei
den
vol
led
igh
eid
.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
idd
elen
geb
ruik
enom
wis
ku
nd
ige
info
rmat
iete
verw
erke
nen
wis
ku
nd
ige
pro
ble
men
teon
der
zoek
en.
7.Leerv
aard
igheden
•Je
kan
loss
ege
geve
ns
verw
erke
n.
•Je
kan
sam
enh
ange
nd
ein
form
atie
verw
erke
n.
•Je
kan
info
rmat
ieb
ron
nen
raad
ple
gen
.
•Je
kan
stu
die
tijd
pla
nn
en.
•Je
kan
jeei
gen
leer
pro
ces
bij
stu
ren
.
Att
itu
des
9.Zin
voornauwkeurigheid
en
ord
e.
•Je
heb
td
ege
woon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opd
rach
tte
rug
tekij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole
,om
zoto
tn
auw
keu
rige
resu
ltat
ente
kom
en.
•Je
heb
tee
nh
oud
ing
omor
del
ijk
ensy
stem
atis
chte
wer
ken
(not
eren
,m
aken
van
oef
enin
gen
,aan
pakke
nva
np
rob
lem
en).
14.Zin
voorsa
menwerk
ingen
overleg.
•Je
ziet
ind
atje
mog
elij
kh
eden
verg
root
wor
den
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
•Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
np
ak.
Pr-
49
PRACTICUM 13
LEREN UIT OPGELOSTE PROBLEMEN
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
Schaum’s Outline of theory
and problems of differential
and integral calculus 2
Leren uit opgeloste problemen is een manier om je vaardigheid in het zelfstandig op-lossen van oefeningen aanzienlijk te verbeteren. Deze techniek werd gepopulariseerddoor de befaamde Schaum’s Outlines 1, een reeks van werkboeken over diverse onder-werpen in wiskunde, wetenschappen (chemie, natuurkunde, biologie) en talen. Voorwiskunde alleen al bestaan er ruim vijftig zo’n werkboeken, en elk werkboek bevatongeveer 1000 opgeloste problemen, varierend van gemakkelijke basisoefeningen totware hersenkrakers. Daarnaast zijn ook extra problemen opgenomen, met vermeldingvan het eindresultaat.
2. Opdracht
• Voorbereiding. Deze bundel lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
• Practicum (1 les, thuis afwerken). Uitvoeren in groepen van twee.
Op de volgende pagina’s staan een zestal opgeloste problemen2in verband meteenvoudige differentiaalvergelijkingen. De oplossing is echter wat beknopt op-geschreven (sommige tussenstappen zijn niet vermeld, er worden geen grafiekengemaakt die de redenering kunnen verduidelijken, etc.).
1. In het begin van de les toon je met behulp van een kladblad dat je de problemen 1 tot en met 5 thuisgelezen en verwerkt hebt.
2. Per twee krijg je een aantal extra problemen (zonder oplossing), zie pagina A-140.Door tossen wordt beslist welke reeks je oplost:
Reeks 1: Problemen 7(c) en 10 (biologie)
Reeks 2: Problemen 7(d) en 11 (natuurkunde)
Reeks 3: Problemen 7(b) en 12 (bevolkingsleer)
Reeks 4: Problemen 7(a) en 13 (economie)
Reeks 5: Probleem 14 (besmettingsleer)
Reeks 6: Probleem 15 (sociologie)
3. In groep los je die reeks op. De opgeloste problemen in deze bundel kunnen je daar uiteraard bij helpen!
• Verslag (thuis afwerken). Jullie verslag bevat een exemplaar van de reeks oefeningen. Elk probleem start opeen nieuw cursusblad, met de volgende structuur:
– opgave van het probleem netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken;
– oplossing, voorzien van minstens een grafiek die je redenering of oplossing verduidelijkt.
Schrijf je redenering duidelijk op, die gemakkelijk te lezen is. Dit houdt in dat je alle tussenstappen opschrijft.Je voegt de cursusbladen in deze practicumbundel. Nummer die pagina’s onderaan in het midden. De overigeproblemen bewaar je thuis.
• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elk groepslid dient zijn/haar practicum bundel in.Het verslag steekt in een bundel van een groepslid. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.
1Officiele website: http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145 . Schaum’s Outlines werd bezield door DanielSchaum in de jaren ’50.
1F.Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill (1990).
Pr-50
Toepassingen op onbepaalde integralen:eenvoudige differentiaalvergelijkingen
Als we de vergelijking van een kromme y = f(x) kennen, dan is de helling (i.e. rico van de raaklijn) in een puntP (x, y) aan de kromme gelijk aan m = f ′(x).
Omgekeerd, als de helling van een punt P (x, y) aan een kromme gegeven wordt door m =dy
dx= f ′(x), dan kunnen we
een familie van krommen y = f(x) + c vinden door te integreren. Om een specifieke kromme uit die familie te bepalenmoeten we een bepaalde waarde aan c toekennen. Dit kunnen we doen door bijvoorbeeld te eisen dat die specifiekekromme door een gegeven punt gaat (zie Problemen 1-3).
Opgeloste problemen
Probleem 1. Bepaal de vergelijking van de familie van krommen waarvoor de helling in elk punt gelijk is aan hettegengestelde van het dubbel van de abscis van dat punt. Bepaal bovendien de vergelijking van de kromme uit diefamilie die het punt A(1, 1) bevat.
Oplossing. We schrijven y = f(x) voor de vergelijking van zo’n kromme. De helling van een punt P (x, y) van de
kromme isdy
dx. De eis is dat die helling gelijk is aan −2x, met andere woorden
dy
dx= −2x. Dus dy = −2x dx, waaruit
∫dy =
∫−2x dx en dus y = −x2 + c . Dit is de vergelijking van een familie van parabolen.
Uit deze familie willen we nu de kromme bepalen die het punt A(1, 1) bevat. Stellen we x = 1 en y = 1 in devergelijking van deze familie dan bekomen we 1 = −1 + c, waaruit c = 2. De vergelijking van de kromme door het
punt A(1, 1) is dus y = −x2 + 2 .
Probleem 2. Bepaal de vergelijking van een familie van krommen waarvoor de helling in eender welk punt P (x, y)gelijk is aan m = 3x2y. Bepaal bovendien de vergelijking van de kromme uit die familie die het punt A(0, 8) bevat.
Oplossing. De voorwaarde is datdy
dx= 3x2y, zodat
dy
y= 3x2 dx. Hieruit volgt dat ln |y| = x3 + c. Als y > 0 dan is
ln |y| = x3 + c ⇒ ln y = x3 + c
⇒ eln y = ex3+c
⇒ y = ex3 · ec︸︷︷︸
noem c1
⇒ y = c1 ex3
waarbij c1 > 0
Als y < 0 dan vinden we analoog
ln |y| = x3 + c ⇒ ln(−y) = x3 + c
⇒ eln(−y) = ex3+c
⇒ −y = ex3 · ec
⇒ y = −ec︸︷︷︸noem c2
ex3 ⇒ y = c2 e
x3
waarbij c2 < 0
We kunnen beide gevallen dus samenvatten als y = C ex3
waarbij C ∈ R0 . In het vervolg zullen we dat meteen doen!
Uit deze familie willen we nu de kromme bepalen die het punt A(0, 8) bevat. Dan moet 8 = C e0, zodat C = 8.
De vergelijking van de kromme door het punt A(0, 8) is dus y = 8 ex3
.
Algemeen. Uit dit probleem onthouden we:
ln |y| = � + c ⇒ y = C e� waarbij C ∈ R0
Pr-51
Probleem 3. In elk punt P (x, y) van een kromme geldt dat y′′ = x2 − 1. Bepaal de vergelijking van die krommeals bovendien gegeven is dat Q(1, 1) behoort tot de kromme, en de raaklijn in Q aan die kromme gegeven wordt doorx+ 12y = 13.
Oplossing. Hier isd2y
dx2=
d
dx(y′) = x2 − 1. Dus
∫d
dx(y′) dx =
∫(x2 − 1) dx en y′ =
1
3x3 − x+ c1.
In het punt Q is de helling gelijk aan de helling van de gegeven rechte, en dus gelijk aan − 1
12. Dus − 1
12=
1
3− 1 + c1,
waaruit we vinden dat c1 =7
12. Dus y′ =
dy
dx=
1
3x3 − x+
7
12, en integreren levert
∫dy =
∫ (1
3x3 − x+
7
12
)dx waaruit y =
1
12x4 − 1
2x2 +
7
12x+ c2
Eisen dat Q tot de kromme behoort levert 1 =1
12− 1
2+
7
12+ c2 en dus is c2 =
5
6. De vergelijking van de gezochte
kromme is dus y =1
12x4 − 1
2x2 +
7
12x+
5
6.
Probleem 4. Een hoeveelheid q hangt af van de tijd t. Bovendien is op elk moment de mate waarin die hoeveelheidtoeneemt een vast veelvoud van de waarde van die hoeveelheid op dat moment. Voor t = 0 is q = 25, en voor t = 2 isq = 75. Bepaal q als t = 6.
Oplossing. De mate van de toename van q op tijdstip t is gelijk aan de afgeleide q′(t) =dq
dt. Voor elk moment t is dus
dq
dt= k q voor een zekere k ∈ R, waaruit
dq
q= k dt. Integreren levert ln |q| = kt + c. Wegens Algemeen op de vorige
pagina we dit herschrijven als q = C ekt waarbij C ∈ R0.
• Als t = 0 dan is q = 25 = C e0 dus C = 25.
• Als t = 2 dan is q = 75 = 25 e2k. Dus e2k = 3, waaruit volgt dat k =ln 3
2= 0, 54 . . ..
Uiteindelijk, als t = 6 dan is q = 25 e3 ln 3 = 675 .
Probleem 5. Een stof A wordt omgezet in een andere stof B aan een snelheid die evenredig is aan de hoeveelheidniet-omgezette stof A. Als de hoeveelheid van A oorspronkelijk gelijk is aan 50, en op t = 3 gelijk is aan 25, wanneer
zal er slechts1
10van de stof A overblijven?
Oplossing. Noem q de hoeveelheid (omgezette) stof B op tijdstip t. Dan isdq
dt= k(50 − q) voor een zekere k ∈ R,
waaruitdq
50− q = k dt zodat ln(50− q) = kt+ c of nog 50− q = C ekt
waarbij C ∈ R0. Dus q = 50− C ekt.• Als t = 0 dan is q = 0 = 50− C e0 en zo vinden we dat c1 = 50.
• Als t = 3 dan is q = 25 = 50− 50 e3k en dus is k =ln 2
3= 0, 23 . . .
We zoeken nu het tijdstip t waarvoor q = 5 = 50− 50 e(t ln 2)/3. Een eenvoudige berekening leert dat t = 16, 4755 . . . .
?Probleem 6. De snelheid waarmee water uit een “klein” gaatje in een watertank stroomt is gelijk aan√
2gh, metg = 9, 81m/s2 en h de afstand van het gaatje tot de oppervlakte van het water in de tank. Bepaal de tijd die eencilindervormige (rechtopstaande) tank met een hoogte van 5 meter en straal 1 meter nodig heeft om leeg te lopen, alsmen onderaan een gat met straal 1cm maakt.
Oplossing. Noem h de hoogte van het waterniveau op tijdstip t. In een tijdspanne dt ontsnapt er een kleine cilinderwater uit het gaatje, met hoogte v dt en straal 0, 01m. Zo’n kleine cilinder water heeft dus volume van π(0, 01)2v dt =π(0, 01)2
√2gh dt kubieke meter.
In een tijdspanne dt zal het waterniveau zakken met afstand dh. Het volume zal dus “toenemen” met −π · 12 dhkubieke meter. Hieruit volgt dat
π(0, 01)2√
2gh dt = −π · 12 dh waaruit dt = −10000√2g
dh√h
en dus t = −20000√2g
√h+ c
Voor t = 0 is h = 5 dus c ≈ 10096, 38. De tank is leeg als h = 0, en dan is t ≈ −20000√2g
√0 + 10096, 38 = 10096, 38 dus
ongeveer 168, 25 minuten .
Pr-52
Evaluatieform
ulierPracticum
13D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Inh
oud
elij
k
Vaa
rdig
hed
en1.Rekenvaard
igheid.
•B
ijh
etal
geb
raıs
chm
anip
ule
ren
van
fun
ctie
voors
chri
ften
,fo
rmu
les,
verg
elij
kin
gen
,et
c.w
eet
jew
elke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
end
enom
tot
een
resu
ltaa
tte
kom
en,
envo
erje
dez
ete
chn
ieke
nco
rrec
tu
it.
•Je
kan
de
groot
ord
eva
nee
nre
sult
aat
goed
insc
hat
ten
.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
idd
elen
zoal
sh
etgr
afisc
hre
ken
mac
hin
eof
een
com
pu
terr
eken
pak
ket
gep
ast
insc
hake
len
om
een
bew
erkin
gu
itte
voer
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
nd
ieje
met
ICT
bek
omen
heb
t.
2.M
eet-en
tekenvaard
igheid.
•G
rafi
eken
envo
orst
elli
nge
nva
nvla
kke
enru
imte
figu
ren
teke
nje
nau
wkeu
rig.
•Je
heb
tru
imte
lijk
voor
stel
lin
gsve
rmog
en.
•Je
kan
ICT
-hu
lpm
iddel
enzo
als
het
grafi
sch
reke
nm
ach
ine
ofee
nco
mp
ute
rrek
enp
akke
tge
past
insc
hakel
enom
een
figu
ur
teb
ekom
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
voor
stel
lin
gen
die
jem
etIC
Tb
ekom
enh
ebt.
4.Denk-en
redeneerv
aard
igheden.
•Je
kan
het
ond
ersc
hei
dm
aken
tuss
enh
oof
d-
enb
ijza
ken,
gege
ven
enge
vra
agd
e,ge
geve
nen
teb
ewij
zen
.
•Je
ben
tin
staa
tee
nre
den
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eigen
sch
apte
beg
rijp
en.
•Je
kan
een
gege
ven
red
ener
ing
oph
aar
geld
igh
eid
ond
erzo
eken
.
•Je
kan
een
reden
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
ofd
eop
loss
ing
van
een
pro
ble
emop
bouw
en:
–je
kan
een
ver
moed
enfo
rmu
lere
nen
argu
men
tere
n;
–je
kan
een
eige
nsc
hap
form
ule
ren
opb
asis
van
een
ond
erzo
ekop
een
aanta
lvo
orb
eeld
en;
–je
kan
bij
het
opb
ouw
enva
nee
nre
den
erin
gee
nIC
T-h
ulp
mid
del
geb
ruik
en.
7.Leerv
aard
igheden
•Je
kan
loss
ege
geve
ns
verw
erke
n.
•Je
kan
sam
enh
ange
nd
ein
form
atie
verw
erke
n.
•Je
kan
info
rmat
ieb
ron
nen
raad
ple
gen
.
•Je
kan
stu
die
tijd
pla
nn
en.
•Je
kan
jeei
gen
leer
pro
ces
bij
stu
ren
.
Att
itu
des
10.Zin
voorkwaliteit
van
dewiskundigere
pre
senta
tie.
Je
heb
td
ege
woon
teom
jege
dac
hte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoor
den
,en
de
voor
-en
nad
elen
van
een
bep
aald
ew
erkw
ijze
teb
esp
reken
.
13.Zelfre
gulatie.
•Je
toon
tee
non
der
zoek
sger
ichte
hou
din
gte
naa
nzi
enva
nfe
iten
,op
gave
nen
pro
ble
men
.
•Je
ben
tin
staa
tom
jein
een
oplo
ssin
gsp
roce
ste
orie
nte
ren
,h
etp
roce
ste
pla
nn
en,
het
uit
tevo
eren
enh
ette
bew
ake
n.
Pr-
53
PRACTICUM 14
EEN WETENSCHAPPELIJKE PRESENTATIE GEVEN
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
Het presenteren van resultaten is o.a. voor wetenschappers een belangrijk onderdeelvan hun werk. Een presentatie kan dienen om een uitgevoerd werk, project, ideeenof conclusies aan anderen kenbaar te maken. Evengoed kan het dienen om anderenvan je besluiten te overtuigen of zelfs om je eigen capaciteiten in de verf te zetten.Het mag duidelijk zijn dat een presentatie tot in de puntjes verzorgd moet zijn; nietalleen qua voorkomen, maar ook qua overzichtelijkheid, qua opbouw en uiteraard quainhoud. In je hogere studies en latere werkomgeving zul je meer dan waarschijnlijknog vaak (wetenschappelijke) presentaties moeten geven.
Wat is nu een wetenschappelijke presentatie? Het is een informatieve voor-dracht, waarbij je op een zakelijke manier rapporteert over een onderwerp met eenwetenschappelijke ondertoon: een statistisch onderzoek, een chemisch experiment,een wiskundig probleem, etc. Een presentatie moet
• een hoofdboodschap bevatten,
• eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn,
• een logische structuur hebben, en
• gemakkelijk te volgen zijn.
Hiermee bedoelen we dat het publiek snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van je verhaal. Het is nietaan de toehoorder om je voordracht verschillende keren te moeten horen om te achterhalen wat je bedoelt.
De vorm van een exact-wetenschappelijke voordracht is specifiek en verschilt van bijvoorbeeld een taalkundigepresentatie. In wat volgt leggen we o.a. de structuur van een wetenschappelijke voordracht uit, en tonen met enkeletips hoe je je optimaal kan voorbereiden en de slaagkansen van je presentatie kan vergroten.
Opbouw
In principe heeft een wetenschappelijke presentatie de volgende structuur 1:
Titel
Inleiding
Hoofddeel
Besluit
Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgediept en uitgelegd.
Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van de pre-sentatie kunnen halen. Een titel als ’Voordracht practicum ecologie’ is te algemeen. Formuleringen als ’studie van’ of’onderzoek naar’, maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden.
NIET: ‘Practicum 13 mei 2011’ of ‘Oefening 28 pagina 40’
WEL: ‘Het probleem van de 36 officieren’ of ‘Duiventilprincipe’
1Bij de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieelonderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag of presentatie uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methodeen materialen, hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: Anintroduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.
Pr-54
Inleiding In de inleiding wordt verduidelijkt wat het onderwerp of de probleemstelling is, en in welke context ofgeheel het kadert. In tweede instantie kun je de opbouw van je presentatie toelichten. De bedoeling is dat de toehoorderinzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan. Ideaal is dat je enkele vragen stelt die je in je het hoofddeelzal beantwoorden. Dat stimuleert de aandacht van het publiek.
Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van de voordracht. De andere delen dienen om te structureren,te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel vertel jemeer dan alleen de antwoorden op eerder gestelde vragen. Eventueel kun je een aspect wat meer doorgronden, en eenredenering maken die typisch is voor het onderwerp.
Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling, onderzoeksvraag of kernboodschap uit de inleiding. Jegeeft ook aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekenderesultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties voor verder onderzoek.
Voorbereiding
Een succesvolle presentatie begint met een goede voorbereiding. Om een presentatie in de steigers te zetten, doorloopje de volgende fasen2:
Ontwerp
1. Bepaal het doel.
2. Bepaal de hoofdboodschap.
3. Werk de structuur inhoudelijk uit.
4. Bepaal de verhaallijn.
Uitwerking
5. Ontwerp een structuurdia.
6. Maak een nieuwe presentatie aan.
7. Zet het geraamte op.
8. Maak beeldende dia’s.
Als extra ondersteuning bij het voorbereiden en aanmaken van je powerpoint bieden we je tien tips 3 aan. Sommigevan deze tips zal je herkennen in de bovenstaande structuur en de begeleidende cursustekst van het vak seminarie.
Tip 19. Ken je publiek. Het is essentieel om je presentatie af te stemmen op het niveau van de toehoorders.Probeer te ontdekken waar je boodschap samenvalt met de interesse van het publiek. Op dat raakvlak liggennamelijk de aanknopingspunten voor een boeiende presentatie. Breng je publiek in beeld met de volgende vragen:
• Wat weten de toehoorders van het onderwerp?
• Wat zijn de verwachtingen?
• Welk belang heeft het publiek bij je verhaal?
• Welk inhoudelijk niveau kunnen ze aan?
Pik in op wat de gemiddelde toehoorder weet, en breng hem als het ware naar een hoger niveau. Je publiek onder-schatten leidt tot verveling, overschatten zorgt ervoor dat ze afhaken.
NIET: ‘From somewhere to nowhere’ of ‘From nowhere to nowhere’
WEL: ‘From nowhere to somewhere’
Tip 20. Let je doelstellingen vast. Probeer je doelstelling te omschrijven in termen van eindresultaten. Bedenkwat het publiek na jouw presentatie minimaal moet onthouden. Wees realistisch in je ambities. Er is een grens aande hoeveelheid informatie die de toehoorders in korte tijd kunnen verwerken. Beperk je tot informatie die voor hetpubliek van belang is. Niet alles wat je weet, is van belang voor je publiek.
NIET: Wat wil ik kwijt?
WEL: Wat wil mijn publiek weten?
Tip 21. Leg een hoofdboodschap vast. Aan de hand van je doelstellingen formuleer je een kernboodschap. Diekun je al bij je eerste slides vermelden. Nuttig is om die hoofdboodschap enkele keren tijdens je presentatie herhalen.Uiteraard komt die ook nog eens op het einde van je presentatie aan bod.
TEST: Vraag een toehoorder drie dagen nadien: ‘Wat heb je van mijn voordracht onthouden?’
2M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2006).3Gebaseerd op Philip E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.
doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007). en http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .
Pr-55
Tip 22. Less is more. Een veelvoorkomende fout bij sprekers is dat ze teveel willen vertellen. Ze vinden het nodigom van meet af aan te bewijzen dat ze veel weten. Bijgevolg gaat de kernboodschap verloren, en kun je zelfs intijdsnood komen. Onthoud dat je kennis het best kan overbrengen door een heldere en bondige presentatie, die leidttot een dialoog tijdens het vragenmoment waarbij de toehoorders actieve deelnemers worden. Op dat moment zalwel duidelijk worden dat je veel over het onderwerp weet. Als er op het einde van je presentatie geen vragen gesteldworden, dan is dat eerder een slecht signaal: hoogstwaarschijnlijk was je presentatie dan onduidelijk of afgezaagd.
Tip 23. Maak je Powerpoint efficient. Een dia dient enkel
• om het publiek te prikkelen,
• om structuur te brengen in wat je zegt (kernwoorden),
• als aanvulling op wat je zegt.
Breng je teveel tekst op je dia’s aan, dan zal het publiek zich eerder bezig houden met het lezen van de tekst in plaatsvan naar jou te luisteren. Reken per dia minstens een minuut.Wat de lay-out van je dia’s betreft, opteer voor kleuren met maximaal contrast (donkere op wit of wit op zwart).Vermijd een gekleurde tekst op een gekleurde achtergrond. Om kernwoorden in de verf te zetten gebruik je bestcontrast en grootte in plaats van kleur.
NIET: Een Powerpoint vervangt de spreker.
WEL: Een Powerpoint ondersteunt de spreker.
Tip 24. Oefen je presentatie in. Zeker bij je allereerste voordrachten. Let daarbij ook op de timing. Even belang-rijk is om je te houden aan wat je voorbereid hebt. Helemaal uit den boze is spreken over zaken waar het publiek meervanaf weet dan jij. Een belangrijke voordracht geef je best eerst aan een kleine, informele groep (enkele medeleerlingenof ouders). Hou rekening met de kritiek die je krijgt.
TEST: Film jezelf tijdens het geven van een voordracht, en leer daaruit.
Presenteren
Of een presentatie slaagt, hangt niet alleen af van de inhoud van je betoog maar ook van de manier waarop je deboodschap overbrengt. De beste maatstaf hiervoor is de interactie met het publiek, tijdens en na de voordracht.Onthoud dat het hoofddoel van een presentatie is: het publiek doen nadenken over wat je brengt.
Tip 25. Wees jezelf. Presentaties horen onderhoudend en vermakelijk te zijn, maar overdrijf niet en ken je grenzen.Als humor je niet ligt, probeer dan niet om grappig te zijn. Als je niet goed bent in het vertellen van anekdotes,vertel er dan geen. Een goede entertainer is hij die erin slaagt het publiek mee te hebben en de kernboodschap kanoverbrengen.
Tip 26. Hou je aan de voorziene tijd. Het is onbeleefd om je niet aan de voorziene tijd te houden. Vaak wordtje in zo’n geval ook aangemaand om af te ronden, en dat kan je voordracht wat overschaduwen. Mocht je toch intijdsnood komen, klik je dia’s door en laat het publiek lezen.
Tip 27. Woord van dank. Vermeld de mensen met wie je samengewerkt hebt. Dat hoeft niet noodzakelijk op heteinde van de voordracht te gebeuren, vaak doet die gelegenheid zich ook voor bij de inleiding of tijdens het hoofddeelvan de presentatie. Is je voordracht er op uitnodiging gekomen, bedank dan ook de organisator of het instituut die jedie kans gegeven heeft.
Tip 28. Zijn er nog vragen? Eindigen in stijl betekent: na je besluitvorming het publiek bedanken voor de aan-dacht. Neem het applaus in ontvangst, en begin niet meteen op te ruimen. Indien je voordracht kadert in een reeksvoordrachten (zoals bij een congres), dan zal iemand van de organisatie het publiek uitnodigen om vragen te stellen.In het andere geval doe je dat zelf, na het applaus.
Hoe kun je omgaan met vragen?
• Herhaal of herformuleer de vraag. Niets is zo vervelend om na een antwoord te constateren dat de vraagstelleriets anders bedoelde.
• Hou je antwoord terzake, kort en bondig.
• Wees niet niet arrogant, stel je niet vijandig op. Dreigt de situatie te escaleren, zeg dan “Misschien koppelen wedit gesprek beter los van de voordracht, we praten straks verder.”
NIET: Dat weet ik niet.
WEL: Interessante vraag, daar moet ik langer over nadenken.
Pr-56
Verantwoording
De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkselestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer ‘onderzoekscompetenties’ worden gecatalogeerd:
1. De leerlingen kunnen zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenenen te bewerken;
2. De leerlingen kunnen een onderzoeksopdracht met wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren;
3. De leerlingen kunnen onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en confronteren met andere standpunten.
De eerste en tweede eindterm werd in vorige practica gerealiseerd. In dit practicum komt de derde eindterm aan bod.
onderzoekscompetenties
verzamelenordenenbewerken
︸︷︷
︸
competentie 1
voorbereidenuitvoerenevalueren
︸︷︷
︸competentie 2
rapporteren
confronteren ︸︷︷
︸ competentie 3
2. Opdracht
• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
Het wiskunde boek 4
• Practicum (1 les, thuis afwerken). Dit practicum wordt uitgevoerd in groe-pen van drie leerlingen. In het begin van de les krijgt elke groep 16 onderwerpenuit nevenstaand boek. Elk onderwerp is voorzien van een halve pagina tekst eneen (niet altijd relevante) foto. Een inkijkexemplaar van het boek zal vooraanin de klas liggen.
Jullie nemen de onderwerpen door, en beslissen in groep over welke van die 16onderwerpen jullie een presentatie willen maken (duur: 10 minuten).
Daarna doorlopen jullie de stappen bij het ontwerpen van een presentatie: welkedoelstellingen willen we bereiken, welke kernboodschap willen we meegeven, etc.
Jullie presentatie beantwoord aan de criteria uit de inleiding, waarbij je de tipszo goed mogelijk tracht na te leven.
Na deze les krijgen jullie vier weken de tijd om dit practicum buiten de lesuren afte werken. Afspreken buiten de schooluren kan moeilijk liggen. Daarom makenjullie naar het einde van de les toe enkele concrete afspraken, aan de hand van de volgende tabel (vul in):
Taak Wie? Tegen wanneer?
Extra informatie opzoeken (internet),in document plaatsen en doorsturen naar de anderen.
Uit dit document informatie selecteren voor presentatie,doorsturen naar de anderen.
Ontwerpen van een structuurdia,doorsturen naar de anderen.
Maken van een eerste versie van de presentatie,doorsturen naar de anderen.
Afdrukken van de finale versie van de presentatie,indienen in de practicumbundel (datum: zie practicum indienen).
Finale versie van de presentatie op stick zetten,meebrengen naar de les (datum: zie presentatie geven).
Geven van de presentatie.
• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid drukt de dia’s af en dient ze in.
• Presentatie geven. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Maximaal 10 minuten.
4C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland (2010).
Pr-57
Evaluatieform
ulierPracticum
14D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Inh
oud
elij
k
Vaa
rdig
hed
en6.
On
derz
oeksv
aard
igh
ed
en
•Je
kan
een
ond
erzo
ekso
pd
rach
tfo
rmu
lere
nen
afb
aken
en.
•Je
kan
een
aanp
akp
lan
nen
enzo
nod
igop
spli
tsen
ind
eelt
aken
.
•Je
kan
info
rmat
iever
wer
ken
enop
rele
vanti
ese
lect
eren
:
–d
ew
aard
eva
nd
ein
form
atie
beo
ord
elen
infu
nct
ieva
nd
eop
dra
cht;
–d
ere
lati
etu
ssen
gege
ven
sen
bew
erkin
gen
opzo
eken
enin
terp
rete
ren
.
•Je
kan
doel
mat
igee
nw
isku
nd
igm
od
else
lect
eren
of
opst
elle
n:
–ee
non
der
dee
lva
nee
nop
dra
cht
her
ken
nen
als
een
wis
kun
dig
ofee
nst
ati
stis
chp
rob
leem
;–
vast
stel
len
ofee
nm
od
elvo
ldoet
enh
etev
entu
eel
bij
stel
len
;–
zon
od
igb
ijkom
end
ein
form
atie
verz
amel
enom
het
aan
gew
ezen
mod
elte
ku
nn
enh
ante
ren
.
•Je
kan
bij
een
mod
eld
ep
asse
nd
eop
loss
ings
met
hod
eco
rrec
tu
itvo
eren
.
•Je
kan
resu
ltat
enb
inn
end
eco
nte
xt
bet
eken
isge
ven
enze
daa
rin
kri
tisc
hev
alu
eren
.
•Je
kan
refl
ecte
ren
oph
etge
hel
ep
roce
s,i.
h.b
.op
de
gem
aakte
keu
zen
voor
rep
rese
nta
tie
enw
erkw
ijze
.
•Je
kan
het
resu
ltaa
tva
nhet
ond
erzo
ekzi
nvo
lp
rese
nte
ren
,h
etst
and
punt
arg
um
ente
ren
enve
rsla
gu
itb
ren
gen
van
het
pro
ces.
8.
Refl
ecti
evaard
igh
ed
en
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
aan
pak
van
jew
erk
enje
stu
die
s.
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
jele
erp
roce
sen
jein
zet
(lei
den
zeto
th
etb
erei
ken
van
de
doel
stel
lin
g?)
.
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
effici
enti
eva
nje
wer
ken
enje
lere
n.
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
ster
keen
de
zwak
keel
emen
ten
ind
eu
itvo
erin
gva
nje
opd
rach
t.
•Je
kan
jere
flec
tie
concr
eet
mak
end
oor
een
pla
nva
nve
rbet
erin
gop
test
elle
n(w
elke
elem
ente
nw
ord
engeb
ruik
tom
het
lere
nen
wer
ken
teve
rbet
eren
?).
•Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
geza
mel
ijke
aan
pak
enov
erle
gb
ijee
ngr
oep
sop
dra
cht.
Att
itu
des
10.
Zin
voor
kw
ali
teit
van
de
wis
ku
nd
ige
rep
rese
nta
tie.
Je
heb
td
ege
woon
teom
jege
dac
hte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoor
den
,en
de
voor
-en
nad
elen
van
een
bep
aald
ew
erkw
ijze
teb
esp
reken
.
14.
Zin
voor
sam
enw
erk
ing
en
overl
eg.
•Je
ziet
ind
atje
mog
elij
kh
eden
verg
root
wor
den
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
•Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
np
ak.
15.
Waard
eri
ng
voor
de
wis
ku
nd
e.
Je
toon
tin
zich
tin
de
bij
dra
geva
nd
ew
isku
nd
ein
cult
ure
le,
his
tori
sch
een
wet
ensc
hap
pel
ijke
ontw
ikke
lin
gen
.
Evaluatiepunten:
zie
volgende
pagina
Pr-
58
Evaluatiepunten
A.Opbouw
01
23
45
Tit
el
De
keu
zeva
nd
eti
tel
isn
iet
onb
elan
grij
k.
De
leze
rm
oet
uit
de
tite
lon
mid
del
lijk
het
ond
erw
erp
van
de
pre
senta
tie
ku
nnen
hale
n.
Een
tite
lal
s’V
oor
dra
cht
pra
ctic
um
ecol
ogie
’is
teal
gem
een
.F
orm
ule
rin
gen
als
’stu
die
van
’of
’on
der
zoek
naar’
,m
aar
ook
afk
ort
ingen
,fo
rmu
les
of
mer
kn
amen
wor
den
bes
tve
rmed
en.
©©
©©
©©
Inle
idin
gIn
de
inle
idin
gw
ord
tve
rdu
idel
ijkt
wat
het
ond
erw
erp
ofd
ep
rob
leem
stel
lin
gis
,en
inw
elke
conte
xt
of
geh
eel
het
kad
ert.
Intw
eed
ein
stan
tie
ku
nje
de
opb
ouw
van
jep
rese
nta
tie
toel
ichte
n.
De
bed
oel
ing
isd
atd
eto
ehoor
der
inzi
cht
kri
jgt
inh
etges
teld
ep
rob
leem
end
eaan
pak
erva
n.
Idea
alis
dat
jeen
kele
vra
gen
stel
td
ieje
inje
het
hoof
dd
eel
zal
bea
ntw
oor
den
.D
atst
imu
leer
td
eaan
dach
tva
nh
etp
ub
liek
.
©©
©©
©©
Hoofd
deel
Inh
oud
elij
kis
dit
het
bel
angr
ijkst
ed
eel
van
de
voor
dra
cht.
De
and
ere
del
end
ien
enom
test
ruct
ure
ren
,te
duid
enen
het
over
zich
tte
bew
aren
.H
eth
oof
dd
eel
omva
th
etei
gen
lijk
gep
rest
eerd
ew
erk.
Ind
itd
eel
vert
elje
mee
rd
anal
leen
de
antw
oord
enop
eerd
erges
teld
evra
gen
.E
ventu
eel
ku
nje
een
asp
ect
wat
mee
rd
oor
gron
den
,en
een
red
ener
ing
make
nd
iety
pis
chis
voor
het
on
der
wer
p.
©©
©©
©©
Besl
uit
Inh
etb
eslu
itgr
ijp
jete
rug
naa
rje
pro
ble
emst
elli
ng,
ond
erzo
eksv
raag
ofker
nb
ood
sch
apu
itd
ein
leid
ing.
Je
gee
ftook
aan
op
wel
kem
an
ier
enin
hoev
erre
jege
slaa
gdb
ent
inje
opze
t.H
ier
hor
enook
verg
elij
kin
gen
met
geke
nd
ere
sult
aten
,op
mer
kin
gen
over
met
hod
iek,
tekort
kom
ingen
ofsu
gges
ties
voor
verd
eron
der
zoek
.
©©
©©
©©
Tota
al
op
bouw
:..
./
20
B.Voorb
ereiding
Ken
jep
ub
liek
Het
ises
senti
eel
omje
pre
senta
tie
afte
stem
men
oph
etniv
eau
van
de
toeh
oor
der
s.©
©©
©©
©H
oofd
bood
sch
ap
Ish
etac
hte
raf
du
idel
ijk
wat
de
hoof
db
ood
sch
apva
nd
ep
rese
nta
tie
was
?©
©©
©©
©L
ess
ism
ore
Onth
oud
dat
jeke
nn
ish
etb
est
kan
over
bre
nge
nd
oor
een
hel
der
een
bon
dig
ep
rese
nta
tie,
die
leid
tto
tee
nd
ialo
og
tijd
ens
het
vra
gen
mom
ent
waa
rbij
de
toeh
oor
der
sac
tiev
ed
eeln
emer
sw
ord
en.
©©
©©
©©
Maak
jeP
ow
erp
oin
teffi
cie
nt
Pri
kke
len
van
het
pu
bli
ek,
nie
tte
veel
tekst
op
de
dia
’s,
lay-o
ut,
geen
verv
an
gen
de
maar
on
der
steu
nd
end
efu
nct
ie.
©©
©©
©©
Tota
al
voorb
erei
din
g:
...
/20
C.Presenteren
Wees
jezelf
Pre
senta
ties
hor
enon
der
hou
den
den
ver
mak
elij
kte
zijn
,m
aar
over
dri
jfn
iet
enke
nje
gre
nze
n.
Als
hu
mor
jen
iet
ligt,
pro
bee
rd
an
nie
tom
grap
pig
tezi
jn.
Als
jen
iet
goed
ben
tin
het
vert
elle
nva
nan
ekd
ote
s,ve
rtel
erd
ange
en.
Een
goed
een
tert
ain
eris
hij
die
erin
slaagt
het
pu
bli
ekm
eete
heb
ben
end
eke
rnb
ood
sch
apka
nov
erb
ren
gen
.
©©
©©
©©
Hou
jeaan
de
voorz
ien
eti
jdH
etis
onb
elee
fdom
jen
iet
aan
de
voor
zien
eti
jdte
hou
den
.V
aak
word
tje
inzo
’ngev
al
ook
aan
gem
aan
dom
af
tero
nd
en,
end
atka
nje
voor
dra
cht
wat
over
sch
aduw
en.
Moch
tje
toch
inti
jdsn
ood
kom
en,
kli
kje
dia
’sd
oor
enla
at
het
pu
bli
ekle
zen
.©
©©
©©
©
Woord
van
dan
kV
erm
eld
de
men
sen
met
wie
jesa
men
gew
erkt
heb
t.D
ath
oef
tn
iet
nood
zake
lijk
op
het
ein
de
van
de
voord
rach
tte
geb
eure
n,
vaak
doet
die
gele
gen
hei
dzi
chook
voor
bij
de
inle
idin
gof
tijd
ens
het
hoof
dd
eel
van
de
pre
senta
tie.
©©
©©
©©
Zij
ner
nog
vra
gen
/om
gaan
met
vra
gen
Ein
dig
enin
stij
lb
etek
ent:
na
jeb
eslu
itvo
rmin
gh
etp
ub
liek
bed
an
ken
voor
de
aan
dach
t.N
eem
het
app
lau
sin
ontv
angs
t,en
beg
inn
iet
met
een
opte
ruim
en.
Ind
ien
jevoor
dra
cht
kad
ert
inee
nre
eks
voor
dra
chte
n,
dan
word
th
etp
ub
liek
uit
gen
od
igd
omvra
gen
test
elle
n.
Inh
etan
der
ege
val
doe
jed
atze
lf,
na
het
app
lau
s.
©©
©©
©©
Tota
al
pre
sente
ren
:..
./
20
Tota
al:
...
/60
Pr-
59
Appendix
Practicum wiskunde
Bijlagen voor de leerkracht
A
BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 2
PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (1)
Inhoudsopgave
Lijst van opgaven
Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-62
Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-63
Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-66
Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-70
Niveau 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-72
Niveau 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-73
A-61
Niveau 1�
1p.Opgave 1. Als x2 = x+ 3, dan is x3 gelijk aan
© x+ 6
© 4x+ 3
© 4x2 + 3
© x2 + 3x+ 3
© x2 + 27�
1p.Opgave 2. Als alog b = 64, dan is a2
log (b3) gelijk aan
© 16
© 48
© 128/3
© 96
© 512�
1p.Opgave 3. Definieer de bewerking ∆ door a∆b = ab+ b. Dan is (3∆2)∆(2∆3) gelijk aan
© 72
© 73
© 80
© 81
© 90�
1p.Opgave 4. Het gemiddelde van a en 2b is 7, het gemiddelde van a en 2c is 8. Wat is het gemiddelde van a, b en c?
© 3
© 4
© 5
© 6
© 9�
1p. Opgave 5. Los de vergelijkingrs2a4
u=
√u
8sa2op naar u.
© 64r2s6a12
© 43√r2s2a4
© 43√r2s3a4
© 83√r2s2a4
© 43√r3s2a4
�
1p. Opgave 6. Bereken ln
(3√ab
a4b
)als gegeven is dat ln a = 2 en ln b = 6.
© −34
3
© −12
© 4
21
© −44
© 0�
A-62
Niveau 2�
2p.Opgave 7 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Uit a < b met a, b ∈ R volgt
© |a| < |b|© a2 < b2
© a3 < b3
© a4 < b4
©√|a| <
√|b|
�
2p.Opgave 8 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Als f(x) = 2x dan is f(x+ 2) gelijk aan
© 4
© f(x) + 2
© f(x) + 4
© 2f(x)
© 4f(x)�
2p.Opgave 9. Als x = −1 een oplossing is van ax2 + bx+ c = 0, wat is de andere oplossing dan?
© x = −ab
© x = − ba
© x =b
a
© x = − ca
© x =c
b�
2p.Opgave 10. Theo lost de vergelijking ax− b = c op, en Thea de vergelijking bx− c = a. Ze vinden beiden hetzelfde(correcte) antwoord voor x, waarbij a, b, c verschillend van elkaar en verschillend van nul zijn. Wat moet er gelden?
© a+ b+ c = 0
© a+ b+ c = 1
© a+ b = c
© b = a+ c
© a = b+ c�
2p. Opgave 11. Hoeveel asymptoten heeft de functie f(x) =x2 − 22x+ 40
x2 + 13x− 30
© 0
© 1
© 2
© 3
© 4�
2p.Opgave 12. Voor welk natuurlijk getal n > 0 is 3n
√2012 · n
√2012 = 3
√2012 ?
© 1
© 2
© 3
© 4
© geen enkel�
A-63
Niveau 2�
2p.Opgave 13. Als s(x) = sin(πx) en S(x) = (s(x))
2, dan is s(s(1/6)) + S(S(1/3)) gelijk aan
© 3/4
© 1
© 4/3
© 3/2
© 2�
2p.Opgave 14. De som van een geheel getal N met het kwadraat van 2N levert een geheel getal M . Voor hoeveelwaarden van N is M een priemgetal?
© 0
© 1
© 2
© Een eindig (groter dan 2) aantal waarden.
© Een oneindig aantal waarden.�
2p.Opgave 15. Zij m en n twee rechten, onderling loodrecht, die beiden raken aan een cirkel met straal 6. Dan is deoppervlakte van het gebied begrensd door de rechten en de cirkel gelijk aan
© 9π
© 36− 9π
© 144− 36π
© 18π
© 72− 18π�
2p.Opgave 16. Als a2 − b2 = 33 en a3 − b3 = 817 gehele oplossingen a, b hebben met a > b, dan is de waarde van a− bgelijk aan
© 1
© 3
© 7
© 10
© 11�
2p.Opgave 17. Een driehoek ABC heeft zijden met lengte 6, 7 en 8. Dan is de (exacte) waarde van (cosα+cosβ+cos γ)gelijk aan
© 51/35
© 47/32
© 31/21
© 49/33
© 119/80�
2p.Opgave 18. Een datum noemt vreemd als de dag en de maand grootste gemene deler 1 hebben. Wat is het kleinstaantal vreemde dagen dat kan voorkomen in een maand?
© 9
© 10
© 11
© 14
© 15�
A-64
Niveau 2�
2p.Opgave 19 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Beschouw de functies
f(x) =√x, g(x) =
x
4, h(x) = 4x− 8
Dan is (h ◦ g ◦ f)(x) gelijk aan
©√x− 2
©√x− 8
© 2√x− 8
© √x− 8
© √x− 2
�
2p.Opgave 20 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). De ruimtediagonaal van een kubus is 3. De oppervlakte van dezekubus is gelijk aan
© 3
© 3√
3
© 18
© 36
© 54
�
2p.Opgave 21 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). In een gelijkbenige driehoek met tophoek 120◦ beschouwen we allehoogtelijnen, zwaartelijnen en binnenbissectrices uit de drie hoekpunten. Hoeveel verschillende rechten zijn dit?
© 9
© 7
© 6
© 5
© 3
�
2p.Opgave 22 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Op de catwalk weegt een mannequin met haar kleren aan 59 kg.Ze blijkt 58 kg meer te wegen dan haar kleding. Hoe zwaar is haar kleding?
© 0, 25 kg
© 0, 50 kg
© 0, 75 kg
© 1, 00 kg
© 1, 25 kg
�
2p.Opgave 23. Een stock verliest 60% van zijn waarde. Om terug op de oorspronkelijke waarde te komen moet de stockstijgen met
© 60%
© 120%
© 150%
© 200%
© 400%
�
A-65
Niveau 3�
3p.Opgave 24. Vijf verdachten van een moord, waaronder de moordenaar, worden ondervraagd door de politie. Bijonderstaande verklaringen spreken drie van hen de waarheid, en twee van hen liegen.
• Verdachte A: “D is de moordenaar”
• Verdachte B: “Ik ben onschuldig”
• Verdachte C: “Het was niet verdachte E”
• Verdachte D: “A liegt”
• Verdachte E: “B zegt de waarheid”
Wie is de moordenaar?
© A
© B
© C
© D
© E�
3p.Opgave 25 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Zij x ∈ R en |x+ 1| < 3, dan geldt
© |x| < 2
© x < 2 of − x < 2
© x < 2 en − x < 2
© −2 < x < 2
© −4 < x < 2�
3p.Opgave 26. Als f(x) = e3x−2, wat is dan f
(1− ln( 1
x ))?
© e
x3
© ex3
© e+ x3
© e+1
x3
© 0�
3p.Opgave 27 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Gegeven zijn twee evenwijdige rechten a en b en punten P ∈ B,
Q ∈ A en R ∈ B zodanig dat |PQ| = 14 en RPQ = 110◦. Wat is de afstand tussen beide evenwijdige rechten?
© 14 cos 110◦
© 14 sin 110◦
© 14 cos 70◦
© 14
cos 110◦
© 14
sin 110◦
�
3p.Opgave 28. Toon aan dat
Z1 = 2Z0
(N1
N + 1
)
als
N =Z0 + 1
2 Z1
Z0 − 12 Z1
waarbij N 6= −1, Z0 6= 0
�
A-66
Niveau 3�
3p.Opgave 29. Susanne verdient tijdens weekdagen 10 euro per uur, op zaterdag 15 euro per uur en op zondag 20 europer uur. Als ze vorige maand 180 uren gewerkt heeft en in totaal 2315 euro verdiende, hoeveel keer meer uren tijdensweekdagen dan uren op zondag heeft ze vorige maand gewerkt?
© 75
© 77
© 80
© 82
© 85
�
3p.Opgave 30 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). De oplossingenverzameling van x3 < x < x2 is
© ∅
© ]−∞,−1[
© ]−∞, 0[
© ]0, 1[
© ]−∞, 1[ \ {0}�
3p.Opgave 31. Op welk van onderstaande intervallen is
2− xx− 3
steeds de sinus van een hoek?
© [1, 3[
© [0, 3[
© ]2, 3[
©]−∞, 5
2
[
©]−5
2,+∞
[
�
3p.Opgave 32. Duid in volgende reeks alle alternatieven aan waarbij Uitspraak (1) precies dezelfde betekenis heeft alsUitspraak (2).
© (1) Niet ale jongeren sporten en fuiven graag.(2) Er zijn jongeren die niet graag sporten en niet graag fuiven
© (1) Niet alle domme jongeren zijn blonde meisjes.(2) Er bestaan domme meisjes die niet blond zijn.
© (1) Het is zo dat sommige mensen ongezond eten.(2) Sommige mensen eten niet ongezond.
© (1) Alle kinderen die niet goed zijn in wiskunde, zijn jongens.(2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde.
© (1) Alle kinderen die goed zijn in wiskunde zijn meisjes.(2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde.
�
3p.Opgave 33. De bevolking van een stad groeit exponentieel in functie van de tijd, en dus ook het aantal autodiefstallen.Als f(t) het aantal autodiefstallen per persoon in functie van de tijd is, dan is f(t)
© een exponentiele functie.
© geen constante functie.
© geen lineaire functie.
© geen exponentiele groei.
© geen exponentiele daling.
�
A-67
Niveau 3�
3p.Opgave 34 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Het verschil van de twee oplossingen van de vierkantsvergelijkingx2 + ax+ b = 0 is gelijk aan 5. De discriminant van deze vergelijking is dan
© 5
© 6, 25
© 10
© 25
© niet te bepalen uit deze gegevens
�
3p.Opgave 35 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Bepaal de oppervlakte van het vierkant met twee hoekpunten opde x-as (symmetrisch t.o.v. de oorsprong) en twee andere hoekpunten op de parabool met vergelijking y = 1
3 x2 + 3.
© 9
© 16
© 24
© 27
© 36
�
3p.Opgave 36 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Twee rechten met vergelijking y = ax en y = bx met a, b > 0maken een scherpe hoek, respectievelijk α en β, met de x-as zodanig dat α+ β = 90◦. Hieruit volgt:
© a+ b = 1
© a+ b = 2
© ab = 1
© a = 2b
© a = 4b
�
3p.Opgave 37. Welk van de volgende functies is gelijk aan de functie f(x) = x?
©√x2
© x
sign(x)
© dbxce
© ln(ex)
© eln x
�
3p.Opgave 38. In een klas zijn 40% van de leerlingen meisjes. Wanneer 3 jongens vervangen worden door meisjes, danzijn er in die klas 44% van de leerlingen meisjes. Hoeveel meer jongens dan meisjes zijn er in de klas?
© 10
© 12
© 15
© 18
© 20
�
A-68
Niveau 3�
3p.Opgave 39. Twee driehoeken worden gevormd in het eerste kwadrant, de ene met hoekpunten O(0, 0), A(5, 0),B(0, 12) en de andere met hoekpunten O(0, 0), C(8, 0) en D(0, 6). Het geheel getal dat het dichtst bij de afstandtussen de zwaartepunten van de driehoeken ligt is
© 0
© 1
© 2
© 3
© 4
�
3p.Opgave 40 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een droogrek staat in een kamer en bevat 100 rode sokken, 80groene sokken, 60 blauwe sokken en 40 zwarte sokken. Iemand neemt een voor een de sokken van de draad. Aangezienhet echter donker is in de kamer, zijn de kleuren van de sokken onmogelijk te zien. Wat is het kleinste aantal sokkendat hij van de draad moet nemen om zeker te zijn dat hij ten minste 10 paar heeft gekozen? (Een paar sokken zijnelke twee sokken van dezelfde kleur. Uiteraard mag geen enkele sok in meer dan een paar geteld worden.)
© 21
© 23
© 24
© 30
© 50
�
3p.Opgave 41 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een park heeft de vorm van een regelmatige zeshoek waarvan delengte van de zijden gelijk is aan 2 km. Annie maakt een wandeling van 5 km langs de omtrek, vertrekkend van eenhoekpunt. Hoeveel kilometers (in rechte lijn) is ze dan van haar startplaats verwijderd?
©√
13
©√
14
©√
15
©√
16
©√
17
�
3p.Opgave 42 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Vader schrijft een testament dat zijn nalatenschap aan zijn dochtersregelt: “De oudste dochter krijgt 1000 euro en 10% van wat er nog rest. Als dit uitbetaald is, krijgt de tweede 2000euro en 10% van wat er dan nog rest. De derde krijgt 3000 euro en 10% van de rest, enzovoort.” Bij zijn dood krijgenalle dochters precies evenveel. Hoeveel dochters heeft vader?
© 9
© 10
© 11
© 12
© 13
�
A-69
Niveau 4�
4p.Opgave 43. Een bibliotheek heeft tussen 1000 en 2000 boeken. Van deze boeken is 25% fictie, 1/13 zijn bibliografieenen 1/17 zijn atlassen. Hoeveel boeken zijn een bibliografie of een atlas?
© 136
© 232
© 240
© 271
© 280
�
4p.Opgave 44 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Als sin6 α+ cos6 α =
1
4, dan is cos(2α) gelijk aan
© 0
© 1
2
©√
2
2
©√
3
3
© 1
�
4p.Opgave 45. Zij −→v , −→w en −→u drie verschillende vectoren uit de Euclidische vectorruimte R2 die voldoen aan
||−→v || = ||−→w || = ||−→u || = 2 en −→v · −→w = −→w · −→u = 2.
Dan is
© −→v · −→u = 2
© −→v · −→u = 4
© −→v · −→u = −2
© −→v · −→u = −4
© −→v · −→u is uit de gegevens niet te bepalen
�
4p.Opgave 46. Een verzameling S bevat getallen, en is volledig bepaald door de volgende regels:
• 2 ∈ S
• Als n ∈ S dan 3n ∈ S en n+ 5 ∈ S.
Welke van de volgende getallen is geen element van S?
© 2000
© 2001
© 2002
© 2003
© 2004
�
A-70
Niveau 4�
4p. Opgave 47. Voor elke n ∈ N0 en elke x ∈ R0 is
n∑
k=1
nkxk−1 gelijk aan
©n−1∑
k=0
(n− 1)kxk−1
©n−1∑
k=0
nk+1xk
©n−1∑
k=0
nk−1xk−2
© Geen van vorige.
�
4p.Opgave 48. Een fixpunt van een (reele) functie y = f(x) is een reeel getal r zodat f(r) = r. Hoeveel van de volgendefuncties hebben altijd een fixpunt?
• Een veeltermfunctie van de vorm y = xn met n ∈ N0.
• Een homografische functie.
• Een exponentiele functie.
• Een logaritmische functie f(x) = alog x.
© 0
© 1
© 2
© 3
© 4
�
4p.Opgave 49. Als x2 + xy + 15x = 12 en y2 + xy + 15y = 42, welke van de volgende getallen is dan een mogelijkewaarde voor x+ y?
© 0
© 3
© 15
© 18
© Meerdere van bovenstaande mogelijkheden.
�
A-71
Niveau 5�
5p.Opgave 50. Voor i = 1 tot 6 stellen we alog
(blog ( clog xi)
)= 0, waarbij a, b en c elke rangschikking van 2, 4 en 8
doorloopt. Dan kan het product x1x2x3x4x5x6 uitgedrukt worden als 2N voor een zeker geheel getal N . Bepaal N .
© 19
© 20
© 28
© 33
© 50�
5p.Opgave 51. Getallen worden gewoonlijk voorgesteld in het decimaal stelsel, waarbij elke decimaal vermenigvuldigdwordt met een macht van tien. Zo stelt de decimale ontwikkeling ‘0, 123’ het getal 1/10 + 2/100 + 3/1000 voor. Omaan te duiden dat we werken met machten van tien, schrijft men soms
(0, 123)10 = 1/10 + 2/100 + 3/1000
In het ternair stelsel wordt elke ‘tricimaal’ vermenigvuldigd met een macht van drie. Zo is de ternaire ontwikkelingvan 1/3 + 2/9 + 1/27 gelijk aan ‘0, 121’. We schrijven dan
(0, 121)3 = 1/3 + 2/9 + 1/27
De ternaire ontwikkeling van 77/81 is gelijk aan
© (0, 950617284)3
© (0, 2012)3
© (0, 1211)3
© (0, 1111)3
© (0, 2212)3�
5p.Opgave 52. Een man wandelt, eerst op een vlakke weg en daarna op een heuvel. Aan de top van de heuvel wandelthij onmiddellijk terug naar zijn vertrekpunt. Op de vlakke weg wandelt hij aan 4 km / u, bergop aan 3 km /u en bergafaan 6 km /u. Als volledige wandeling 6 u duurt, welke afstand heeft de man dan afgelegd?
© 16 km
© 20 km
© 34 km
© 28 km
© 32 km�
5p.Opgave 53. Twee rekenkundige rijen worden vermenigvuldigd, en leveren de rij 468, 462, 384, . . . Wat is de volgendeterm in deze rij?
© 250
© 286
© 300
© 324
© 336�
5p.Opgave 54. Twee gehele getallen noemt men relatief priem als hun grootste gemene deler gelijk is aan 1. Hoeveelpositieve gehele getallen kleiner dan 1000 zijn relatief priem met 105?
© 325
© 457
© 466
© 533
© 674�
A-72
Niveau 6�
6p.Opgave 55. Een cirkelvormige tafel wordt in de hoek van een rechthoekige kamer geduwd, zodat het raakt aan beidemuren. Een punt op de rand van de tafel ligt op 20 cm van de ene muur en op 90 cm van de andere muur. Wat is destraal van de tafel?
© 50 cm
© 120 cm
© 150 cm
© 170 cm
© 200 cm�
6p.Opgave 56. Het getal (102010 + 1)2 + (102010 + 2)2 −
(102010
)2is deelbaar door
© 102010 − 1
© 102010 + 3
© 102010 + 4
© 102010 + 5
© 102010 + 6�
6p.Opgave 57. Een vrouw woont op 8 km van haar werk. Op het moment dat ze met de fiets naar haar werk vertrekt,heeft ze 126 km op haar teller staan, aan een gemiddelde snelheid van 17, 2 km /u. Ze fietst naar haar werk, en terugnaar huis. Bij het thuiskomen duidt haar teller een afstand van 142 km aan, met een gemiddelde snelheid van 17, 6.Bepaal de gemiddelde snelheid van de vrouw over het traject van haar huis naar haar werk, en terug.
�
6p.Opgave 58. Voor een rij (an) = a1, a2, a3, . . . geldt a1 = 1, a2 = 2, a3 = 5 en an−1an−2 = 2anan−2− 2an−1an−1 voor
n ≥ 3. Dan isa2006a2005
gelijk aan
© 1002
© 1002, 5
© 1003
© 1003, 5
© 1004�
6p.Opgave 59. Bepaal de 1024ste machtswortel uit
(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) . . . (21024 + 1) + 1
© 1
©√
2
© 2
© 4
© 512�
6p.Opgave 60 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een klein muntstuk met straal r rolt zonder glijden rond een grootmuntstuk met straal R dat niet beweegt. De straal R is een geheel veelvoud van r. Het klein muntstuk maakt hierbijeen volledige omwenteling rond het groot muntstuk. Het aantal keer dat het klein muntstuk dan volledig om zijnmiddelpunt is gedraaid, is gelijk aan
© 1 +R
r
© R
r
© R+ r
R− r
© 2rR
r +R
© 1�
A-73
BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 3
PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (2)
Inhoudsopgave
Tien problemen
Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-75
Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-76
A-74
Tien problemen - Opgave
Veeltermfuncties
Probleem 1.
(a) Stel f(x) = 3x3 − 4x2 + ax− 11 een reele veelterm zodat f(1) = 2. Bepaal de waarde van a.
(b) Stel (3x− 1)7 = a7x7 + a6x
6 + . . .+ a0 voor zekere a0, a1, . . . , a7 ∈ R. Bepaal a7 + a6 + . . .+ a1 + a0.
Probleem 2. Er is precies een veeltermA(x) van de vormA(x) = 7x7+a6x6+a5x
5+. . .+a1x+a0 met a0, a1, a2, . . . , a6 ∈R waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0).
Rationale functies
Probleem 3. Een keuken moet geverfd worden. Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze 7 uren meer nodig danwanneer Henk alleen werkt (Henk is een professionele schilder). Verven ze beiden samen, dan klaren ze de klus in 12uren. Hoe lang doet Henk er over als hij alleen schildert?
Probleem 4. Stel f(x) =5x2 − 4x+ 8
x2 + 1.
(a) Voor welke reele waarden van k bestaat er een reeel getal x waarvoor f(x) = k?
(b) Bepaal het bereik van de functie f .
Irrationale functies
Probleem 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de vergelijking 3√
13x+ 37− 3√
13x− 37 =3√
2
Bewerkingen met functies
Probleem 6. Stel f(x) = x+√x en g(x) = x+1/4. Bepaal de exacte, vereenvoudigde waarde van g(f(g(f(g(f(7)))))).
Aanwijzing. Noem h = g ◦ f en schrijf h(x) als het kwadraat van een tweeterm.
Exponentiele functies
Probleem 7. De vergelijking 2x2
= 323x+8 heeft twee reele oplossingen. Bepaal algebraısch hun product.
Logaritmische functies
nieren in digitaal ontwerp
Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling van het bloed constant tehouden. Daarbij verwijderen ze opgeloste ongewenste stoffen, zoals afvalstoffen vande stofwisseling en via het voedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nierenelimineren een zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijdseenheid.
Cafeıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op het zenuwstelsel, dehartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat het je wakkerder maakt of dathet je gevoel van vermoeidheid verdrijft. Een grote dosis cafeıne kan giftig zijn.Gemiddeld verwijderen de nieren van een persoon per uur 13% van de in het lichaamoverblijvende cafeıne. Is de overblijvende dosis cafeıne groter dan 20mg, dan werkthet stimulerend.
We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafeıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikjecola drinkt, en je het laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafeıne die je uit deze blikjes opnam nietlanger stimulerend werken? Algebraısch oplossen, en je resultaat afronden op een minuut nauwkeurig.
Exponentiele en logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden
Probleem 9. Los algebraısch de volgende exponentiele vergelijking op:
8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0
Probleem 10. Bepaal algebraısch het grootste reeel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking
(210 log (x2b)
)2= 210 log x4
allen gehele getallen zijn.
A-75
Tien problemen - Oplossingen
Probleem 1.
(a) Stel f(x) = 3x3 − 4x2 + ax− 11 een reele veelterm zodat f(1) = 2. Bepaal de waarde van a.
(b) Stel (3x− 1)7 = a7x7 + a6x
6 + . . .+ a0 voor zekere a0, a1, . . . , a7 ∈ R. Bepaal a7 + a6 + . . .+ a1 + a0.
Oplossing.
(a) We eisen dat f(1) = 2, en bepalen zo de waarde van a:
f(1) = 2 ⇔ 3 · 13 − 4 · 12 + a · 1− 11 = 2
⇔ a = 14
We besluiten dat a = 14 .
(b) We kunnen (3x − 1)7 helemaal uitwerken, maar dat vergt veel werk. Echter, vraag (a) geeft ons het idee vooreen alternatief. Daar vonden we dat f(1) = 3 − 4 + a − 11, precies de som van de coefficienten van f(x). Webereiken dan ook a7 + a6 + . . .+ a0 door in de uitdrukking (3x− 1)7 = a7x
7 + a6x6 + . . .+ a0 de x-waarde gelijk
te stellen aan 1:
(3x− 1)7 = a7x7 + a6x
6 + . . .+ a0 ⇒ (3 · 1− 1)7 = a7 · 17 + a6 · 16 + . . .+ a0 stel x = 1
⇒ 27 = a7 + a6 + . . .+ a0
We besluiten dat a7 + a6 + . . .+ a0 = 128 .
Probleem 2. Er is precies een veelterm A(x) van de vorm
A(x) = 7x7 + a6x6 + a5x
5 + . . .+ a1x+ a0 met a0, a1, a2, . . . , a6 ∈ R
waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0).
Oplossing. We kunnen deze zeven voorwaarden uitschrijven, en dan bekomen we een stelsel met 7 vergelijkingen en 7onbekenden:
7 · 17 + 16 · a6 + 15 · a5 + 14 · a4 + 13 · a3 + 12 · a2 + 1 · a1 + a0 = 1
7 · 27 + 26 · a6 + 25 · a5 + 24 · a4 + 23 · a3 + 22 · a2 + 2 · a1 + a0 = 2
7 · 37 + 36 · a6 + 35 · a5 + 34 · a4 + 33 · a3 + 32 · a2 + 3 · a1 + a0 = 3
7 · 47 + 46 · a6 + 45 · a5 + 44 · a4 + 43 · a3 + 42 · a2 + 4 · a1 + a0 = 4
7 · 57 + 56 · a6 + 55 · a5 + 54 · a4 + 53 · a3 + 52 · a2 + 5 · a1 + a0 = 5
7 · 67 + 66 · a6 + 65 · a5 + 64 · a4 + 63 · a3 + 62 · a2 + 6 · a1 + a0 = 6
7 · 27 + 76 · a6 + 75 · a5 + 74 · a4 + 73 · a3 + 72 · a2 + 7 · a1 + a0 = 7
Zo’n stelsel algebraısch oplossen vergt erg veel werk. Daarom gaan we beter op een andere manier te werk.
We merken op dat de zeven voorwaarden ‘van dezelfde vorm’ zijn: we kunnen ze schrijven als
A(x) = x voor x = 1, 2, . . . , 7
Of, equivalent:A(x)− x = 0 voor x = 1, 2, . . . , 7
Anders gezegd, we kennen zeven nulpunten van de veelterm A(x) − x. Wegens de reststelling is A(x) − x deelbaardoor x− 1, x− 2, . . . , x− 7. Omdat grA(x)− x = 7, is deze veelterm noodzakelijk van de vorm
A(x)− x = a(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6)(x− 7) voor een zekere a ∈ R
Om de waarde van a te vinden, bedenken we dat de hoogstegraadsterm van A(x) gelijk is aan 7, terwijl de hoogste-graadsterm van a(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6)(x− 7) gelijk is aan a:
A(x)− x︸ ︷︷ ︸7x7+ veelterm graad <7
= a(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6)(x− 7)︸ ︷︷ ︸ax7+ veelterm graad <7
waaruit we vinden dat a = 7. Op die manier hebben we A(x) volledig bepaald, en vinden we eenvoudig de waardevan A(0):
A(x) = 7(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6)(x− 7) + x
⇒ A(0) = 7(0− 1)(0− 2)(0− 3)(0− 4)(0− 5)(0− 6)(0− 7) = −35 280
We besluiten dat A(0) = −35 280 .
A-76
Probleem 3. Een keuken moet geverfd worden. Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze 7 uren meer nodig danwanneer Henk alleen werkt (Henk is een professionele schilder). Verven ze beiden samen, dan klaren ze de klus in 12uren. Hoe lang doet Henk er over als hij alleen schildert?
Oplossing. Noem x de tijd die Henk er over doet als hij alleen schildert. We zoeken x.
Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze x+ 7 uur nodig om de ganse keuken te schilderen. Anders gezegd:
in een uur schildert Lydia1
x+ 7van de keuken (1)
Wanneer Henk alleen werkt, dan heeft hij x uur nodig om de ganse keuken te schilderen. Anders gezegd:
in een uur schildert Henk1
xvan de keuken (2)
Wanneer Lydia en Henk samen schilderen, dan hebben ze 12 uur nodig. Anders gezegd:
in een uur schilderen ze samen1
12van de keuken (3)
Anderzijds volgt uit (1) en (2) dat, wanneer Lydia en Henk samen werken, ze in een uur 1/(x+7)+1/x van de keukenschilderen. Gelijkstellen met (3) levert een rationale vergelijking:
1
12=
1
x+
1
x+ 7⇔ x(x+ 7)
12x(x+ 7)=
12(x+ 7)
12x(x+ 7)+
12x
12x(x+ 7)BV: x(x+ 7) 6= 0
⇔ x(x+ 7) = 12(x+ 7) + 12x
⇔ x2 + 7x = 12x+ 84 + 12x
⇔ x2 − 17x− 84 = 0
D = 172 − 4 · (−84) = 625 = 252
⇔ x =17± 25
2⇔ x = 21 of x = −4
In deze context is x positief. We besluiten dat Henk er 21 uren over doet als hij alleen schildert.
Controle. Als Henk er 21 uur over doet, dan heeft Lydia 21 + 7 = 28 uur nodig. In een uur schildert Henk dan 1/21van de keuken, en Lydia 1/28 van de keuken. Dus samen schilderen ze in een uur 1/21 + 1/28 = 1/12 van de keuken.Waaruit volgt dat ze 12 uur nodig hebben om de ganse keuken te schilderen, wat overeenkomt met het gegeven.
A-77
Probleem 4. Stel f(x) =5x2 − 4x+ 8
x2 + 1.
(a) Voor welke reele waarden van k bestaat er een reeel getal x waarvoor f(x) = k?
(b) Bepaal het bereik van de functie f .
Oplossing.
(a) Neem k ∈ R willekeurig. Dan geldt
er bestaat een reeel getal x waarvoor f(x) = k
⇔ de vergelijking f(x) = k heeft minstens een oplossing x
f(x) = k ⇔ 5x2 − 4x+ 8
x2 + 1= k BV: x2 + 1 6= 0
⇔ 5x2 − 4x+ 8 = k(x2 + 1)
⇔ (5− k)x2 − 4x+ 8− k = 0
⇔ de vergelijking (5− k)x2 − 4x+ 8− k = 0 heeft minstens een oplossing x
⇔ de discriminant van de vergelijking (5− k)x2 − 4x+ 8− k = 0 is groter of gelijk aan nul
D = (−4)2 − 4 · (5− k) · (8− k)= 16− 4(40− 5k − 8k + k2)= −4k2 + 52k − 144
⇔ − 4k2 + 52k − 144 ≥ 0
maak een tekentabel van − 4k2 + 52k − 144
. nulwaarden: los op − 4k2 + 52k − 144 = 0
D = 522 − 4 · (−4) · (−144) = 400 = 202
⇔ k =−52± 20
−8
⇔ k = 4 of k = 9
. tekentabel:x 4 9
−4k2 + 52k − 144 − 0 + 0 −
⇔ k ∈ [4, 9]
(b) Het bereik van de functie f is per definitie
ber f = {y ∈ R | ∃x ∈ R : f(x) = y}
= {k ∈ R | ∃x ∈ R : f(x) = k}
= {k ∈ R | er bestaat een reeel getal x waarvoor f(x) = k}
= {k ∈ R | k ∈ [4, 9]}
= [4, 9]
waarbij we in de voorlaatste gelijkheid steunen op het antwoord op vraag (a).
A-78
Probleem 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de vergelijking
3√
13x+ 37− 3√
13x− 37 =3√
2
Oplossing. Noem a = 3√
13x+ 37 en b = 3√
13x− 37. We bieden twee manieren aan om de vergelijking op te lossen.
Eerste manier: (a+ b)3 uitwerken
We vinden
3√
13x+ 37− 3√
13x− 37 =3√
2 ⇔ a− b =3√
2
⇔ (a− b)3 = 2
⇔ a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3 = 2
Er geldt
a3 =(
3√
13x+ 37)3
= 13x+ 37
b3 =(
3√
13x− 37)3
= 13x− 37
⇔ (13x+ 37)− 3a2b+ 3ab2 − (13x− 37) = 2
⇔ −3a2b+ 3ab2 = −72
⇔ a2b− ab2 = 24
⇔ ab(a− b) = 24
⇔ ab3√
2 = 24
⇔ ab =243√
2
⇔ (ab)3 =13 824
2
⇔ a3b3 = 6912
⇔ (13x+ 37)(13x− 37) = 6912
⇔ 169x2 = 8281
⇔ x = 7 of x = −7
Tweede manier: a3 − b3 ontbinden in factoren
We vinden
3√
13x+ 37− 3√
13x− 37 =3√
2 ⇔ a− b =3√
2
Nu is enerzijds
a3 − b3 =(
3√
13x+ 37)3 −
(3√
13x− 37)3
= (13x+ 37)− (13x− 37) = 74 (1)
terwijl anderzijdsa3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2) =
3√
2 (a2 + ab+ b2) (2)
Gelijkstellen van (1) en (2) geeft dan
3√
2 (a2 + ab+ b2) = 74 ⇒ a2 + ab+ b2 =743√
2(3)
Het is opvallend dat het linkerlid van (3) erg gelijkaardig is aan
a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2 =(
3√
2)2
=3√
4 (4)
A-79
Uit (3) - (4) volgt dan
3ab =743√
2− 3√
4 =74− 3
√4 · 3√
23√
2=
723√
2
⇔ ab =243√
2
⇔ (ab)3 =13 824
2
⇔ a3b3 = 6912
⇔ (13x+ 37)(13x− 37) = 6912
⇔ 169x2 = 8281
⇔ x = 7 of x = −7
We hebben 3ab =743√
2− 3√
4 bekomen door een “enkele pijl” ⇒. Dus achteraf moeten we onze oplssingen controleren
door ze in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking.
Voor x = 7 vinden we
3√
13x+ 37− 3√
13x− 37 = 3√
13 · 7 + 37− 3√
13 · 7− 37 =3√
128− 3√
54 =3√
43 · 2− 3√
33 · 2 = 43√
2− 33√
2 =3√
2
en voor x = −7 bekomen we
3√
13x+ 37− 3√
13x− 37 = 3√
13 · (−7) + 37− 3√
13 · (−7)− 37 = 3√−54− 3
√−128 = − 3
√33 · 2+
3√
43 · 2 = −33√
2+43√
2 =3√
2
hetgeen betekent dat OplV = {−7, 7} .
Probleem 6. Stel f(x) = x+√x en g(x) = x+1/4. Bepaal de exacte, vereenvoudigde waarde van g(f(g(f(g(f(7)))))).
Aanwijzing. Noem h = g ◦ f en schrijf h(x) als het kwadraat van een tweeterm.
Oplossing. Alvast isf(7) = 7 +
√7
g(f(7)) = g(7 +√
7) = 7 +√
7 +1
4=
29
4+√
7
f(g(f(7))) = f(29
4+√
7) = 7 +
√29
4+√
7
hetgeen na enkele stappen al hopeloos ingewikkeld wordt. Daarom volgen we de aanwijzing.
Noemen we h = g ◦ f , dan is h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)), zodat gevraagd wordt om te berekenen
g(f(g(f(g(f(7)))))) = h(h(h(7)))
We proberen h(x) te schrijven als het kwadraat van een tweeterm:
h(x) = g(f(x)) = g(x+√x) = x+
√x+
1
4=√x2
+ 2 · 1
2· √x+
(1
2
)2
=
(√x+
1
2
)2
Op die manier wordt
h(7) =
(√7 +
1
2
)2
h(h(7)) = h
((√7 +
1
2
)2)=
(√(√7 +
1
2
)2
+1
2
)2
=(√
7 + 1)2
h(h(h(7))) = h
((√7 + 1
)2)=
(√(√7 + 1
)2+
1
2
)2
=
(√7 +
3
2
)2
=37
4+ 3√
7
A-80
Probleem 7. De vergelijking
2x2
= 323x+8
heeft twee reele oplossingen. Bepaal algebraısch hun product.
Oplossing. We hebben
2x2
= 323x+8 ⇔ 2x2
= (25)3x+8
⇔ 2x2
= 25(3x+8)
⇔ x2 = 5(3x+ 8)
⇔ x2 − 15x− 40 = 0
Dit laatste is een tweedegraadsvergelijking, met discriminant D = 152 − 4 · (−40) = 385 > 0 zodat er inderdaad twee(verschillende) oplossingen x1, x2 zijn. Herhaal dat voor een tweedegraadsvergelijking ax2 + bx+ c = 0 met positieve
discriminant de som S en het product P van de twee oplossingen gegeven wordt door S = − ba
en P =c
a, zodat in ons
geval het product van de twee oplossingen gelijk is aan P = −40.
nieren in digitaal ontwerp
Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling van het bloed constant tehouden. Daarbij verwijderen ze opgeloste ongewenste stoffen, zoals afvalstoffen vande stofwisseling en via het voedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nierenelimineren een zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijdseenheid.
Cafeıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op het zenuwstelsel, dehartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat het je wakkerder maakt of dat het jegevoel van vermoeidheid verdrijft. Een grote dosis cafeıne kan giftig zijn. Gemiddeldverwijderen de nieren van een persoon 13% van de in het lichaam overblijvendecafeıne. Is de overblijvende dosis cafeıne groter dan 20mg, dan werkt het stimulerend.
We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafeıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikjecola drinkt, en je het laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafeıne die je uit deze blikjes opnam nietlanger stimulerend werken? Algebraısch oplossen, en je resultaat afronden op een minuut nauwkeurig.
Oplossing. Noemen we
C1(t) de resterende hoeveelheid cafeıne (in mg) in het lichaam afkomstig van het eerste blikje, op t uur na 20 u.
C2(t) de resterende hoeveelheid cafeıne (in mg) in het lichaam afkomstig van het tweede blikje, op t uur na 20 u.
C3(t) de resterende hoeveelheid cafeıne (in mg) in het lichaam afkomstig van het derde blikje, op t uur na 20 u.
dan is
C1(t) = 45 · (0, 87)t voor t ≥ 0
C2(t) = 45 · (0, 87)t−1 voor t ≥ 1
C3(t) = 45 · (0, 87)t−2 voor t ≥ 2
zodat de resterende hoeveelheid cafeıne (in mg) in het lichaam afkomstig van de drie blikjes, op t uur na 20 u. gegevenwordt door
C(t) = 45 · (0, 87)t + 45 · (0, 87)t−1 + 45 · (0, 87)t−2 voor t ≥ 2
Gevraagd is het tijdstip t waarvoor
C(t) = 20 ⇔ 45 · (0, 87)t + 45 · (0, 87)t−1 + 45 · (0, 87)t−2 = 20
⇔ 45 · (0, 87)t−2(
(0, 87)2 + 0, 87 + 1
)= 20
⇔ (0, 87)t−2 =20
45 · ((0, 87)2 + 0, 87 + 1)
⇔ t− 2 = 0,87log
(20
45 · ((0, 87)2 + 0, 87 + 1)
)
⇔ t = 0,87log
(20
45 · ((0, 87)2 + 0, 87 + 1)
)+ 2 = 14, 7582097 . . . = 14u.45, 4925 . . .min
zodat de cafeıne niet langer stimulerend zal werken vanaf ongeveer 10.45 u. de volgende dag.
A-81
Probleem 9. Los algebraısch de volgende exponentiele vergelijking op:
8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0
Oplossing.
8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0 ⇔ 8(22x + 2−2x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0
noem t = 2x
⇔ 8(t2 + t−2)− 54(t+ t−1) + 101 = 0
noem y = t+ t−1
dan is y2 = (t+ t−1)2 = t2 + 2 + t−2
⇔ 8(y2 − 2)− 54y + 101 = 0
⇔ 8y2 − 54y + 85 = 0
⇔ y =17
4of y =
5
2
⇔ t+ t−1 =17
4of t+ t−1 =
5
2
⇔ 4t2 − 17t+ 4 = 0 of 2t2 − 5t+ 2 = 0
⇔ t = 4 of t =1
4of t = 2 of t =
1
2
⇔ 2x = 4 of 2x =1
4of 2x = 2 of 2x =
1
2⇔ x = 2 of x = −2 of x = 1 of x = −1
Probleem 10. Bepaal algebraısch het grootste reeel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking
(210 log (x2b)
)2= 210 log x4
allen gehele getallen zijn.
Oplossing. We hebben alvast
(210 log (x2b)
)2= 210 log x4 BV: x2b ∈ R+
0 en x2 ∈ R+0
⇔(
2b · 210 log x)2
= 4 · 210 log x BV: x ∈ R+0
noem t =210 log x
⇔ (2b · t)2 = 4 · t⇔ 4t · (b2t− 1) = 0
⇔ t = 0 of t =1
b2
⇔ 210 log x = 0 of 210 log x =1
b2
⇔ x = 1 of x =(210)1/b2
⇔ x = 1 of x = 210/b2
Willen alle oplossingen x gehele getallen zijn, dan moet 210/b2
een geheel getal zijn. In een lijst gaan we enkele gevalenna:
210/b2
10/b2 b
−1 | |0 | |1 0 |2 1
√10 = 3, 16 . . .
3 2log 3
√10
2log 3= 2, 51 . . .
4 2√
5 = 2, 23 . . .
Het verband dat bij elk geheel getal van de vorm 210/b2
het getal b weergeeft, is dalend. Het grootste reeel getal bwaarvoor alle oplossingen gehele getallen zijn, is dus b =
√10.
A-82
BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 4
TOEPASSINGEN IN GROEP VERWERKEN
Inhoudsopgave
Toepassing 1 en 2
Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-84
Ingevulde versie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-92
Oefeningen 1-4
Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-100
Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-101
A-83
Toepassingen op matrices - Opgave
Toepassing 1. Matrices en aantal verbindingen in grafen
• Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkseinternationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazilie en Canada. Hetgetal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld,van luchthaven b3 in Brazilie zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c3 in Canada, maar geen enkelevlucht naar c2 in Canada.
Bereken het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj met een tussenlanding in Brazilie (voor elke i en j).
Algerije Brazilie Canada
2
1
3
1
2
1
3
22
1
4
1
a1
a2
b1
b2
b3
b4
c1
c2
c3
Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merkenkunnen we zo’n soort problemen wat efficienter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennenover welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.
Stap 1. Start met een voorbeeld.
We berekenen bijvoorbeeld:
aantal vluchten van a1 naar c1 via B is 2 · 3︸︷︷︸via b1
+ 1 · 2︸︷︷︸via b2
+ 0 · 1︸︷︷︸via b3
+ 1 · 0︸︷︷︸via b4
= 8 (∗)
Analoog bereken je bijvoorbeeld:
aantal vluchten van a2 naar c1 via B is . . .
aantal vluchten van a2 naar c3 via B is . . .
A-84
Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.
In de bewerking (∗) herkennen we:
aantal vluchten van a1 naar c1 via B is[2 1 0 1
]·
3210
=
[8]
Analoog herken je:
aantal vluchten van a2 naar c1 via B is[. . . . . . . . . . . .
]·
. . .
. . .
. . .
. . .
= . . .
aantal vluchten van a2 naar c3 via B is[. . . . . . . . . . . .
]·
. . .
. . .
. . .
. . .
= . . .
Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.
Om met een bewerking het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj via Brazilie te berekenen, maken we volgendematrixvermenigvuldiging:
[2 1 0 13 0 2 1
]
︸ ︷︷ ︸P
·
3 0 22 0 01 0 40 1 0
︸ ︷︷ ︸Q
= . . .
Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a2 naar c3 met een tussenlanding in Brazilie gelijk aan het (. . . , . . .)-de
element van de matrix P ·Q, en dat is gelijk aan . . .
Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilie voor, ook wel dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilie genoemd.
↗ b1 b2 b3 b3
a1 2 1 0 1a2 1 0 2 1
matrix P =
[2 1 0 11 0 2 1
]Pik = aantal directe wegen van ai naar bk
De notatie ‘a1 ↗ b1’ wijst op het aantal wegen van a1 naar b1, namelijk a1 ↗ b1 = 2.
Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazilie naar Canada voor.
↗ c1 c2 c3
b1 3 0 2b2 2 0 0b3 1 0 4b4 0 1 0
matrix Q =
3 0 22 0 01 0 40 1 0
Qkj = aantal directe wegen van bk naar cj
A-85
Metro van Londen
• Modelvoorbeeld. De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tus-sen vier stations s1, s2, s3 en s4.
(a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van si naar sjmet een tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j).
(b) Wat is het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop? Leesdit af uit je antwoord op (a).
(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s4 naar s1met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafischrekenmachine.
(d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s1 naar s1 met tien tussenstops in willekeurigestations. Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.
s1
s2
s3
s4
Oplossing.
(a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.
Stap 1. Start met een voorbeeld.
We berekenen bijvoorbeeld:
aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is
. . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s1
+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s2
+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s3
+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s4
= . . . (∗∗)
Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.
In de bewerking (∗∗) herkennen we:
aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is
[. . . . . . . . . . . .
]·
. . .
. . .
. . .
. . .
= . . .
Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.
Om met een bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via een tussenstop te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging:
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
︸ ︷︷ ︸P
·
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
︸ ︷︷ ︸Q
= . . .
Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix Q gelijk aan de matrix P . Dat komt omdat het begin-station, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men P dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf.
(b) Het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de matrix
P 2, en dat is gelijk aan . . .
A-86
(c) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met twee tussenstopsberekenen?
Het berekenen kan met behulp van het grafisch rekenmachine.
2ND MATRIX EDIT 1:[A] 4 ENTER etc. 2ND QUIT
2ND MATRIX ENTER ∧ . . . ENTER >
Zo is het aantal wegen van s4 naar s1 met twee tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de
matrix . . . en dus gelijk aan . . .
Opmerking. De matrix . . . noemen we de tweestapsverbindingsmatrix van de totale graaf.
(d) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met tien tussenstopsberekenen?
Het berekenen kan met behulp van het grafisch rekenmachine.
Zo is het aantal wegen van s1 naar s1 met tien tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de
matrix . . . en dus gelijk aan . . .
Opmerking. De matrix . . . noemen we de tienstapsverbindingsmatrix van de totale graaf.
A-87
Toepassing 2. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen
Jan Van Eyckplein,Brugge
• Op ontdekking. We beschouwen een eenvoudig model voor de veranderingvan het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland.
Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar hetplatteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizennaar de stad. Stel in 2011 wonen er 60000 mensen in de stad en 40000 mensenop het platteland.
(a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar enna vijf jaar. Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.
(b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.
Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf:
platteland stad
0, 05
0, 03
0, 97 0, 95
Ook hier kunnen we het probleem wat efficienter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen overwelke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.
Stap 1. Start met een voorbeeld.
We berekenen bijvoorbeeld:
aantal mensen in de stadna een jaar:
0, 95 · 60000︸ ︷︷ ︸aandeel van stad
+ 0, 03 · 40000︸ ︷︷ ︸aandeel van platteland
= 58200 (∗)
Analoog bereken je bijvoorbeeld:
aantal mensen op plattelandna een jaar:
. . .
Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.
In de bewerking (∗) herkennen we:
aantal mensen in de stadna een jaar:
[0, 95 0, 03
]·[6000040000
]=[58200
]
Analoog herken je:
aantal mensen op plattelandna een jaar:
[. . . . . .
]·[
. . .
. . .
]= . . .
Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.
Om met een bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na een jaar te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging: [
0, 95 0, 030, 05 0, 97
]
︸ ︷︷ ︸P
·[6000040000
]
︸ ︷︷ ︸Q
= . . .
Opmerking. De matrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert vooreen andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix 1 (of migratiematrix) genoemd.
↙ stad platteland
stad 0, 95 0, 03platteland 0, 05 0, 97
matrix P =
[0, 95 0, 030, 05 0, 97
]Pij = proc. aandeel van plaats j naar i
De notatie ‘stad↙ platteland’ wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijkstad ↙ platteland = 0, 05.
1Een overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 100%.
A-88
(a) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaarberekenen? En na vijf jaar?
(b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert?
A-89
Roodkopvuurkever(Pyrochroa serraticornis)
• Modelvoorbeeld. De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij be-schikt over 3000 eitjes, 2000 larven en 1000 insecten. Elke levensfase (ei, larveen insect) duurt een maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in eenafgesloten ruimte. Na een maand is de situatie als volgt:
∗ Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen.
∗ Van de larven heeft 20% zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood.
∗ Van de oorspronkelijke insecten is er niet een meer over. Maar ze hebbenelk gemiddeld 100 eitjes voortgebracht.
(a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf.
(b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten naeen maand, twee maanden en acht maanden.
(c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafischrekenmachine.
Oplossing.
(a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf:
eitje larve insect0, 05 0, 2
100
(b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.
Stap 1. Start met een voorbeeld.
We berekenen bijvoorbeeld:
aantal eitjesna een maand:
. . . · . . .︸ ︷︷ ︸aandeel van eitjes
+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸aandeel van larven
+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸aandeel van insecten
= . . . (∗∗)
Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.
In de bewerking (∗∗) herkennen we:
aantal eitjesna een maand:
[. . . . . . . . .
]·
. . .. . .. . .
=
[. . .
]
Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.
Om met een berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na een maand te kennen maken we devolgende matrixvermenigvuldiging:
. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .
︸ ︷︷ ︸P
·
. . .. . .. . .
︸ ︷︷ ︸Q
= . . .
Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ookwel een Lesie-matrix 2 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd.
2Een Lesie-matrix is een vierkante matrix P waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaalmogen verschillen van het getal 0. Het model van Leslie (beschreven door P.H. Leslie 1945) vereist een populatie die niet onderhevig is aanmigratie en waarbij slechts een sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd.
A-90
(b) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? Enna acht maanden?
(c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft?
A-91
Toepassingen op matrices - Ingevulde versie
Toepassing 1. Matrices en aantal verbindingen in grafen
• Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkseinternationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazilie en Canada. Hetgetal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld,van luchthaven b3 in Brazilie zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c3 in Canada, maar geen enkelevlucht naar c2 in Canada.
Bereken het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj met een tussenlanding in Brazilie (voor elke i en j).
Algerije Brazilie Canada
2
1
3
1
2
1
3
22
1
4
1
a1
a2
b1
b2
b3
b4
c1
c2
c3
Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merkenkunnen we zo’n soort problemen wat efficienter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennenover welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.
Stap 1. Start met een voorbeeld.
We berekenen bijvoorbeeld:
aantal vluchten van a1 naar c1 via B is 2 · 3︸︷︷︸via b1
+ 1 · 2︸︷︷︸via b2
+ 0 · 1︸︷︷︸via b3
+ 1 · 0︸︷︷︸via b4
= 8 (∗)
Analoog bereken je bijvoorbeeld:
aantal vluchten van a2 naar c1 via B is 3 · 3 + 0 · 2 + 2 · 1 + 1 · 0 = 11
aantal vluchten van a2 naar c3 via B is 3 · 2 + 0 · 0 + 2 · 4 + 1 · 0 = 14
A-92
Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.
In de bewerking (∗) herkennen we:
aantal vluchten van a1 naar c1 via B is[2 1 0 1
]·
3210
=
[8]
Analoog herken je:
aantal vluchten van a2 naar c1 via B is[3 0 2 1
]·
3210
=
[11]
aantal vluchten van a2 naar c3 via B is[3 0 2 1
]·
2040
=
[14]
Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.
Om met een bewerking het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj via Brazilie te berekenen, maken we volgendematrixvermenigvuldiging:
[2 1 0 13 0 2 1
]
︸ ︷︷ ︸P
·
3 0 22 0 01 0 40 1 0
︸ ︷︷ ︸Q
=
[8 1 411 1 14
]
Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a2 naar c3 met een tussenlanding in Brazilie gelijk aan het (2, 3)-deelement van de matrix P ·Q, en dat is gelijk aan 14.
Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilie voor, ook wel dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilie genoemd.
↗ b1 b2 b3 b4
a1 2 1 0 1a2 1 0 2 1
matrix P =
[2 1 0 11 0 2 1
]Pik = aantal directe wegen van ai naar bk
De notatie ‘a1 ↗ b1’ wijst op het aantal wegen van a1 naar b1, namelijk a1 ↗ b1 = 2.
Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazilie naar Canada voor.
↗ c1 c2 c3
b1 3 0 2b2 2 0 0b3 1 0 4b4 0 1 0
matrix Q =
3 0 22 0 01 0 40 1 0
Qkj = aantal directe wegen van bk naar cj
A-93
Metro van Londen
• Modelvoorbeeld. De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tus-sen vier stations s1, s2, s3 en s4.
(a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van si naar sjmet een tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j).
(b) Wat is het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop? Leesdit af uit je antwoord op (a).
(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s4 naar s1met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafischrekenmachine.
(d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s1 naar s1 met tien tussenstops in willekeurigestations. Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.
s1
s2
s3
s4
Oplossing.
(a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.
Stap 1. Start met een voorbeeld.
We berekenen bijvoorbeeld:
aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is
1 · 1︸︷︷︸via s1
+ 2 · 1︸︷︷︸via s2
+ 3 · 4︸︷︷︸via s3
+ 1 · 0︸︷︷︸via s4
= 15 (∗∗)
Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.
In de bewerking (∗∗) herkennen we:
aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is
[1 2 3 1
]·
1140
=
[15]
Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.
Om met een bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via een tussenstop te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging:
1 2 3 12 0 0 13 0 0 41 1 4 0
︸ ︷︷ ︸P
·
1 2 3 12 0 0 13 0 0 41 1 4 0
︸ ︷︷ ︸Q
=
15 3 7 153 5 10 27 10 25 315 2 3 18
Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix Q gelijk aan de matrix P . Dat komt omdat het begin-station, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men P dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf.
(b) Het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop gelijk aan het (2, 3)-de element van de matrixP 2, en dat is gelijk aan 10.
A-94
(c) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met twee tussenstopsberekenen?
We kunnen opnieuw starten met een voorbeeld. Stel we willen het aantal verbindingen van s1 naar s4 mettwee tussenstops kennen. Is de eerste tussenstop s1, dan levert dat 1 mogelijkheid van s1 naar s1, daarna15 mogelijkheden van s1 naar s4. Analoog met een andere eerste tussenstop levert:
aantal verbindingen van s1 naar s4via twee tussenstops is
1 · 15︸ ︷︷ ︸via eerst s1
+ 2 · 3︸︷︷︸via eerst s2
+ 3 · 7︸︷︷︸via eerst s3
+ 1 · 15︸ ︷︷ ︸via eerst s4
= 57
We herkennen hierin de vermenigvuldiging van de eerste rij van P met de eerste kolom van P 2:
aantal verbindingen van s1 naar s4via twee tussenstops is
[1 2 3 1
]·
153715
=
[57]
Om met een bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via twee tussenstops te berekenen, makenwe dus de matrixvermenigvuldiging P · P 2 = P 3.
Het berekenen kan met behulp van het grafisch rekenmachine.
2ND MATRIX EDIT 1:[A] 4 ENTER etc. 2ND QUIT
2ND MATRIX ENTER ∧ . . . ENTER >
Zo is het aantal wegen van s4 naar s1 met twee tussenstops gelijk aan het (4, 1)-de element van de matrixP 3 en dus gelijk aan 46.
Opmerking. De matrix P 3 noemen we de tweestapsverbindingsmatrix van de totale graaf.
(d) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met tien tussenstopsberekenen?
Analoog als in (c) doen we dat door P 11 te berekenen.Ter informatie: met behulp van het grafisch rekenmachine vinden we
P 11 =
149.869.761 75.960.622 175.822.703 139.575.04575.960.622 32.716.288 74.726.032 73.743.273175.822.703 74.726.032 170.475.048 171.209.552139.575.045 73.743.273 171.209.552 128.430.948
Zo is het aantal wegen van s1 naar s1 met tien tussenstops gelijk aan het (1, 1)-de element van de matrixP 11 en dus gelijk aan 149.869.761.
Opmerking. De matrix P 11 noemen we de tienstapsverbindingsmatrix van de totale graaf.
A-95
Toepassing 2. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen
Jan Van Eyckplein,Brugge
• Op ontdekking. We beschouwen een eenvoudig model voor de veranderingvan het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland.
Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar hetplatteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizennaar de stad. Stel in 2011 wonen er 60000 mensen in de stad en 40000 mensenop het platteland.
(a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar enna vijf jaar. Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.
(b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.
Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf:
platteland stad
0, 05
0, 03
0, 97 0, 95
Ook hier kunnen we het probleem wat efficienter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen overwelke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.
Stap 1. Start met een voorbeeld.
We berekenen bijvoorbeeld:
aantal mensen in de stadna een jaar:
0, 95 · 60000︸ ︷︷ ︸aandeel van stad
+ 0, 03 · 40000︸ ︷︷ ︸aandeel van platteland
= 58200 (∗)
Analoog bereken je bijvoorbeeld:
aantal mensen op plattelandna een jaar:
0, 05 · 60000 + 0, 97 · 40000 = 41800
Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.
In de bewerking (∗) herkennen we:
aantal mensen in de stadna een jaar:
[0, 95 0, 03
]·[6000040000
]=[58200
]
Analoog herken je:
aantal mensen op plattelandna een jaar:
[0, 05 0, 97
]·[6000040000
]=[41800
]
Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.
Om met een bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na een jaar te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging:
[0, 95 0, 030, 05 0, 97
]
︸ ︷︷ ︸P
·[6000040000
]
︸ ︷︷ ︸Q
=
[5820041800
]
Opmerking. De matrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert vooreen andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix 1 (of migratiematrix) genoemd.
↙ stad platteland
stad 0, 95 0, 03platteland 0, 05 0, 97
matrix P =
[0, 95 0, 030, 05 0, 97
]Pij = proc. aandeel van plaats j naar i
1Een overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 100%.
A-96
De notatie ‘stad↙ platteland’ wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijkstad ↙ platteland = 0, 05.
(a) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar bere-kenen? En na vijf jaar?
We kunnen opnieuw starten met een voorbeeld. Stel we willen het aantal mensen in de stad na twee jaarkennen. Dat is een aandeel van 0, 95 keer het aantal mensen in de stad na een jaar, plus een aandeel van0, 03 keer het aantal mensen op het platteland na een jaar:
aantal mensen in de stadna twee jaar:
0, 95 · 58200︸ ︷︷ ︸aandeel van stad
+ 0, 03 · 41800︸ ︷︷ ︸aandeel van platteland
= 56544
We herkennen hierin een vermenigvuldiging van de eerste rij van P met de eerste kolom van P ·Q:
aantal mensen in de stadna twee jaar:
[0, 95 0, 03
]·[5820041800
]=[56544
]
Om met een bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na twee jaar te berekenen, makenwe dus de matrixvermenigvuldiging
[0, 95 0, 030, 05 0, 97
]
︸ ︷︷ ︸P
·[5820041800
]
︸ ︷︷ ︸P ·Q
=
[5654443456
]
Merk op dat we ook eerst P 2 kunnen berekenen en daarna vermenigvuldigen met Q:
[0, 95 0, 030, 05 0, 97
]
︸ ︷︷ ︸P
·[0, 95 0, 030, 05 0, 97
]
︸ ︷︷ ︸P
·[6000040000
]
︸ ︷︷ ︸Q
=
[0, 904 0, 05760, 096 0, 9424
]
︸ ︷︷ ︸P 2
·[6000040000
]
︸ ︷︷ ︸Q
=
[5654443456
]
Analoog vinden we het aantal inwoners in de stad en op het platteland na vijf jaar (maak gebruik van jegrafisch rekenmachine): [
0, 95 0, 030, 05 0, 97
]5
︸ ︷︷ ︸P 5
·[6000040000
]
︸ ︷︷ ︸Q
≈[5232947671
]
(b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert?
Dat kunnen we door te berekenen wat het aantal mensen in de stad is na een groot aantal jaren, bijvoorbeeldna 50 of zelfs 100 jaar. Analoog als in (a) doen we dat door P 50 ·Q of P 100 ·Q te berekenen.
Met behulp van het grafisch rekenmachine vinden we:
[0, 95 0, 030, 05 0, 97
]50
︸ ︷︷ ︸P 50
·[6000040000
]
︸ ︷︷ ︸Q
≈[3784862152
]
[0, 95 0, 030, 05 0, 97
]100
︸ ︷︷ ︸P 100
·[6000040000
]
︸ ︷︷ ︸Q
≈[3750562495
]
Nemen we een nog groter aantal jaren (bijvoorbeeld 200 of 250) dan merken we dat het aantal mensen inde stad evolueert naar 37500.
A-97
Roodkopvuurkever(Pyrochroa serraticornis)
• Modelvoorbeeld. De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij be-schikt over 3000 eitjes, 2000 larven en 1000 insecten. Elke levensfase (ei, larveen insect) duurt een maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in eenafgesloten ruimte. Na een maand is de situatie als volgt:
∗ Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen.
∗ Van de larven heeft 20% zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood.
∗ Van de oorspronkelijke insecten is er niet een meer over. Maar ze hebbenelk gemiddeld 100 eitjes voortgebracht.
(a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf.
(b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten naeen maand, twee maanden en acht maanden.
(c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafischrekenmachine.
Oplossing.
(a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf:
eitje larve insect0, 05 0, 2
100
(b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.
Stap 1. Start met een voorbeeld.
We berekenen bijvoorbeeld:
aantal eitjesna een maand:
0 · 3000︸ ︷︷ ︸aandeel van eitjes
+ 0 · 2000︸ ︷︷ ︸aandeel van larven
+ 100 · 1000︸ ︷︷ ︸aandeel van insecten
= 100.000 (∗∗)
Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.
In de bewerking (∗∗) herkennen we:
aantal eitjesna een maand:
[0 0 100
]·
300020001000
=
[100.000
]
Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.
Om met een berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na een maand te kennen maken we devolgende matrixvermenigvuldiging:
0 0 1000, 05 0 0
0 0, 2 0
︸ ︷︷ ︸P
·
300020001000
︸ ︷︷ ︸Q
=
100.000150400
Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ookwel een Lesie-matrix 2 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd.
2Een Lesie-matrix is een vierkante matrix P waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaalmogen verschillen van het getal 0. Het model van Leslie (beschreven door P.H. Leslie 1945) vereist een populatie die niet onderhevig is aanmigratie en waarbij slechts een sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd.
A-98
(b) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? Enna acht maanden?
Het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen we als volgt (maak gebruik van je grafischrekenmachine):
0 0 100
0, 05 0 00 0, 2 0
2
︸ ︷︷ ︸P 2
·
300020001000
︸ ︷︷ ︸Q
=
40000500030
Na twee maanden zijn er dus 40000 eitjes, 5000 larven en 30 insecten.
Het aantal eitjes, larven en insecten na acht maanden berekenen we als volgt (maak gebruik van je grafischrekenmachine):
0 0 100
0, 05 0 00 0, 2 0
8
︸ ︷︷ ︸P 8
·
300020001000
︸ ︷︷ ︸Q
=
40000500030
Ook na acht maanden zijn er 40000 eitjes, 5000 larven en 30 insecten.
(c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft?
Het is verleidelijk om uit onze resultaten in (b) te besluiten dat de populatie streeft naar 40000 eitjes, 5000larven en 30 insecten.
Echter, enkele berekeningen voor opeenvolgende maanden onthullen een ander patroon:
oorspronkelijk: Q =
300020001000
na een maand: P ·Q =
100.00015040
na twee maanden: P 2 ·Q =
40000500030
na drie maanden: P 3 ·Q =
300020001000
zelfde als oorspronkelijk!
na vier maanden: P 4 ·Q =
100.00015040
zelfde als na een maand!
na vijf maanden: P 5 ·Q =
40000500030
zelfde als na twee maanden!
De populatie herhaalt zich elke drie maanden. Het aantal eitjes evolueert dus niet naar een bepaalde waarde.Analoog voor het aantal larven en het aantal insecten.
A-99
Oefeningen - Opgave
Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een kleineilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjes vaart op regelmatigetijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op nevenstaande graaf.
(a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf.
(b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van Enaar C met een tussenstop op een willekeurig eiland.
(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van Anaar C met twee tussenstops op een willekeurig eiland.
?(d) Is het mogelijk om via ten hoogste een tussenstop van om het evenwelk eiland naar om het even welk eiland te gaan? Los op metbehulp van matrices.
A
B
C
D
E
Oefening 2. Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde.Na een jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van hetjaar voordien, en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren hetjaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jongedieren zijn en 30 volwassen dieren.
(a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf.
(b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar.
(c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren?
Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen 1 de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van demarkt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgendewijzigingen voor:
∗ Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest.
∗ Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest.
∗ Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.
We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet.
(a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf.
(b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices.
Oefening 4. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en door eenlage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Lesie-model, de volgendegegevens zijn bekend:
∗ slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar,
∗ eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven,
∗ geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar,
∗ alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes.
(a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf.
(b) Stel de Lesie-matrix op.
(c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100000 eitjes. Hij laat zijnvangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?
1Enige gelijkenis met bestaande maatschappijen berust op toeval.
A-100
Oefeningen - Oplossingen
Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een kleineilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjes vaart op regelmatigetijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op nevenstaande graaf.
(a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf.
(b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van Enaar C met een tussenstop op een willekeurig eiland.
(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van Anaar C met twee tussenstops op een willekeurig eiland.
?(d) Is het mogelijk om via ten hoogste een tussenstop van om het evenwelk eiland naar om het even welk eiland te gaan? Los op metbehulp van matrices.
A
B
C
D
EOplossing.
(a) We starten met een voorbeeld:
aantal wegen van A naar A is 0
aantal wegen van A naar B is 0
aantal wegen van A naar C is 1
aantal wegen van A naar D is 0
aantal wegen van A naar E is 0
dus de directe wegenmatrix is vermoedelijk
M =
0 0 1 0 01 0 0 1 10 1 0 1 00 0 1 0 11 1 0 1 0
Dat vermoeden zal in (b) bevestigd worden.
(b) We hebben:
aantal wegen van E naar C met een tussenstap is 1 · 1︸︷︷︸via A
+ 1 · 0︸︷︷︸via B
+ 0 · 0︸︷︷︸via C
+ 1 · 1︸︷︷︸via D
+ 0 · 0︸︷︷︸via E
= 2
We herkennen hierin een matrixproduct:
[1 1 0 1 0
]︸ ︷︷ ︸
vijfde rij van M
·
10010
︸︷︷︸derde kolom van M
=[2]
Of, meer algemeen:
M ·M =
0 0 1 0 01 0 0 1 10 1 0 1 00 0 1 0 11 1 0 1 0
·
0 0 1 0 01 0 0 1 10 1 0 1 00 0 1 0 11 1 0 1 0
=
∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ 2 ∗ ∗
(c) Het aantal verbindingen van A naar C met twee tussenstops is het (1, 3)-de element van de matrix M3. Weberekenen
M3 =
∗ ∗ 1 ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Het antwoord is dus 1.
A-101
(d) De matrix M geeft het aantal verbindingen weer van X naar Y met nul tussenstops.De matrix M2 geeft het aantal verbindingen weer van X naar Y met een tussenstop.Dus de matrix M +M2 geeft het aantal verbindingen weer van X naar Y met ten hoogste een tussenstop. Weberekenen
M +M2 =
0 1 1 1 02 1 2 2 21 1 1 2 21 2 1 2 12 1 2 2 2
Omdat sommige elementen van deze matrix 0 zijn, is het niet mogelijk om via ten hoogste een tussenstap vanom het even welk eiland naar om het even welk eiland te gaan (bijvoorbeeld van A naar A).
Oefening 2. Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde.Na een jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van hetjaar voordien, en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren hetjaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jongedieren zijn en 30 volwassen dieren.
(a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf.
(b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar.
(c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren?
Oplossing.
(a) De graaf ziet er als volgt uit:
jong volwassen
0, 8
0, 5
0 0, 2
(b) Om de matrix te achterhalen, bepalen we eerst het aantal jonge en volwassen dieren na 1 jaar.
aantal jonge dieren na 1 jaar: 0 · 70 + 0, 5 · 30 = 15
aantal volwassen dieren na 1 jaar: 0, 8 · 70 + 0, 2 · 30 = 62
We herkennen hierin een matrixproduct:
[0 0, 5
0, 8 0, 2
]
︸ ︷︷ ︸P
·[7030
]=
[1562
]
Om het aantal dieren na vier jaar te berekenen:
P 4 ·[7030
]=
[14, 8415, 696
]
Na vier jaar zijn er ongeveer 15 jonge dieren en ongeveer 16 volwassen dieren.
(c) We berekenen bijvoorbeeld het aantal dieren na 25 jaar:
P 25 ·[7030
]=
[0, 022 . . .0, 033 . . .
]
Het aantal jonge en volwassen dieren evolueren beiden naar nul.
A-102
Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van demarkt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgendewijzigingen voor:
∗ Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest.
∗ Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest.
∗ Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.
We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet.
(a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf.
(b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices.
Oplossing.
(a) De graaf ziet er als volgt uit:
0, 85
B M
P
0, 05
0, 1
0.85 0, 55
0, 1
0, 1
0, 350, 05
(b) Om de overgangsmatrix M te achterhalen, bepalen we eerst het aantal klanten van B, P en M na 1 jaar.
aantal klanten van B na 1 jaar: 0, 85 · 0, 2 + 0, 1 · 0, 6 + 0, 1 · 0, 2 = ∗aantal klanten van M na 1 jaar: 0, 05 · 0, 2 + 0, 55 · 0, 6 + 0, 05 · 0, 2 = ∗aantal klanten van P na 1 jaar: 0, 1 · 0, 2 + 0, 35 · 0, 6 + 0, 85 · 0, 2 = ∗
We herkennen hierin een matrixproduct:
0, 85 0, 1 0, 10, 05 0, 55 0, 050, 1 0, 35 0, 85
︸ ︷︷ ︸M
·
0, 20, 60, 2
=
∗∗∗
Na bijvoorbeeld 100 jaar is de situatie als volgt:
M100 ·
0, 20, 60, 2
=
0, 40, 10, 5
Ook na 101 jaren, 102 jaren, etc. hebben we hetzelfde resultaat. Dus de markt bereikt een evenwicht: op denduur heeft maatschappij B 40% van de markt in handen, maatschappij M 10% van de markt en maatschappijP 50% van de markt.
A-103
Oefening 4. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en door eenlage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Lesie-model, de volgendegegevens zijn bekend:
∗ slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar,
∗ eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven,
∗ geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar,
∗ alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes.
(a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf.
(b) Stel de Lesie-matrix op.
(c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100000 eitjes. Hij laat zijnvangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?
Oplossing.
(a) De graaf ziet er als volgt uit:
eitjes eenjarigen tweejarigen0, 005 0, 4
800
(b) Om de Lesie-matrix M te achterhalen, bepalen we eerst het aantal eitjes, eenjarigen en tweejarigen na 1 jaar.
aantal eitjes na 1 jaar: 0 · 100 000 + 0 · 500 + 800 · 300 = ∗aantal eenjarigen na 1 jaar: 0, 005 · 100 000 + 0 · 500 + 0 · 300 = ∗aantal tweejarigen na 1 jaar: 0 · 100 000 + 0, 4 · 500 + 0 · 300 = ∗
We herkennen hierin een matrixproduct:
0 0 8000, 005 0 0
0 0, 4 0
︸ ︷︷ ︸Lesie-matrix M
·
100 000500300
=
∗∗∗
(c) Om de populatie na acht jaar te kennen, berekenen we
M8 ·
100 000500300
=
409 6003072512
Na acht jaar zijn er dus 409 600 eitjes, 3072 eenjarigen en 512 tweejarigen.
A-104
BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 5
HOE STUDEER JE EEN BEWIJS?
Inhoudsopgave
In te studeren bewijs (vijfde jaar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-106
In te studeren bewijs (zesde jaar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-107
A-105
In te studeren bewijs (vijfde jaar)
Wat voorafging
Gevolg. Zij A een n× n matrix. Dan
het homogeen lineair stelsel A · x = 0 heeft een unieke oplossingm
rangA = nm
∀b ∈ Rn×1 : het lineair stelsel A · x = b heeft een unieke oplossing
Stelling met bewijs
Stelling. Zij A een n× n matrix. Dan geldt
A is inverteerbaar ⇔ rangA = n
Bewijs. Het bewijs bestaat uit twee delen.
Deel 1. Onderstel dat A inverteerbaar is. We moeten aantonen dat rangA = n.
Beschouw het homogeen lineair stelsel A ·
x1...xn
︸ ︷︷ ︸x
=
0...0
︸︷︷︸0
. Dan geldt
A · x = 0 ⇔ A−1 · (A · x) = A−1 · 0⇔ (A−1 ·A) · x = 0
⇔ En · x = 0
⇔ x = 0
Dus het lineair stelsel A · x = 0 heeft enkel de nuloplossing. Wegens het bovenstaand gevolg is rangA = n.
Deel 2. Onderstel dat rangA = n. We moeten aantonen dat A inverteerbaar is. Dus we moeten aantonen dat er eenmatrix B bestaat waarvoor
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
an1 an2 . . . ann
︸ ︷︷ ︸A
·
b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...
......
bn1 bn2 . . . bnn
︸ ︷︷ ︸B
=
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
......
0 0 . . . 1
︸ ︷︷ ︸En
Met andere woorden, we moeten aantonen dat er reele getallen bij bestaan waarvoor
A ·
b11b21...bn1
︸ ︷︷ ︸b1
=
10...0
︸︷︷︸e1
, A ·
b12b22...bn2
︸ ︷︷ ︸b2
=
01...0
︸︷︷︸e2
, . . . , A ·
b1nb2n...bnn
︸ ︷︷ ︸bn
=
00...1
︸︷︷︸en
Omdat rangA = n hebben de bovenstaande stelsels
A · b1 = e1, A · b2 = e2, . . . , A · bn = en
telkens een oplossing (wegens het bovenstaand gevolg). Dus er bestaat een matrix B waarvoor A ·B = En. Dus A isrechts-inverteerbaar. Wegens de vorige eigenschap is A inverteerbaar. Dit besluit het bewijs.
A-106
In te studeren bewijs (zesde jaar)
Hoofdstelling 1 van de integraalrekening.Zij f een functie en a, b ∈ R zodat f continu is over [a, b]. Dan geldt
1. De oppervlaktefunctie A(t) tussen a en b is afleidbaar over ]a, b[ en A′(t) = f(t)
2.
∫ b
a
f(x)dx = A(b)
Schets van het bewijs.
1. Neem t ∈ ]a, b[. We moeten aantonen dat limh→0
A(t+ h)−A(t)
h= f(t)
Voor ‘kleine’ waarden van h wordt A(t + h) − A(t) gegeven door de gearceerde (georienteerde) oppervlakte opde linkerfiguur.
Anderzijds wordt h · f(t) gegeven door de gearceerde (georienteerde) oppervlakte op de rechterfiguur.
a t t+ h b
y
x
y = f(x)
A(t+ h)−A(t) = oppervlakte
a t t+ h b
h
f(t)
y
x
y = f(x)
f(t) · h = oppervlakte
Omdat h ‘klein’ is zal dus
A(t+ h)−A(t) ≈ h · f(t) waaruitA(t+ h)−A(t)
h≈ f(t)
Bij limietovergang vinden we (steunend op de continuıteit van f)
limh→0
A(t+ h)−A(t)
h= f(t)
waaruit blijkt dat de afgeleide A′(t) bestaat, en gelijk is aan f(t).
2. Omdat A(t) =
∫ t
a
f(x)dx is A(b) =
∫ b
a
f(x)dx.
A-107
BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 6
SAMENWERKEN
Inhoudsopgave
Toepassing 1 en 2
Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-109
Ingevulde versie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-111
Oefeningen 1-4
Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-113
Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-113
A-108
Toepassingen op lineaire stelsels en inverteerbare matrices - Opgave
Toepassing 1. Codeertheorie
We bespreken een eenvoudige manier om boodschappen te coderen en te decoderen.We willen bijvoorbeeld laten weten dat een vliegtuig geland is met behulp van deboodschap “NU GELAND”. We voegen aan elke letter een getal toe, namelijk zijnplaats in het alfabet
A B C D E F G H I J K L M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
N O P Q R S T U V W X Y Z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26�� ��Coderen
Om een boodschap te coderen gaan we als volgt te werk.
Stap 1. Groepeer de letters per twee, indien nodig vul je de booschap aan met een letter.In ons voorbeeld geeft dit
N U G E L A N D14 21 7 5 12 1 14 4
Stap 2. Kies een geheime 2× 2 matrix A die inverteerbaar is, bijvoorbeeld A =
[1 22 3
].
Stap 3. Codeer de getallen van de boodschap door te vermenigvuldigen met de matrix A.
In ons voorbeeld wordt “NU” gecodeerd als
[1 22 3
]·[1421
]=
[5691
]
Analoog voor “GE”, “LA”, “ND”. Dit geeft de gecodeerde boodschap
N U G E L A N D56 91 17 29 14 27 22 40�� ��Verzenden
We verzenden de code 56 91 17 29 14 27 22 40�� ��Decoderen
Om de code te decoderen dienen we over de matrix A te beschikken. Om het eerste paar cijfers 56 91 tedecoderen zoeken we de oplossingen van het stelsel
[1 22 3
]
︸ ︷︷ ︸A
·[x1x2
]=
[5691
]
Waarom heeft dit stelsel een unieke oplossing, en hoe kunnen we die oplossing vinden?
Het vliegtuig ontvangt de volgende instructie. Decodeer deze code.
41 67 41 68 19 33 70 115
Oplossing.
A-109
Toepassing 2. Vraagstukken
NiccoloFontanaTartaglia(1499 - 1557)
• Modelvoorbeeld 1 (Het probleem van Tartaglia). Drie jonge mensenhebben wat spaargeld. Zegt de eerste: “Als je mij elk de helft geeft van julliespaargeld dan kom ik aan 3400 euro”. Waarop de tweede: “Geef mij elk hetderde deel van jullie geld en dan kom ik ook aan 3400 euro”. De derde zegt:“Geef mij elk een vierde van wat jullie gespaard hebben dan kom ik ook aan3400 euro”. Hoeveel spaargeld heeft elk van hen?
Oplossing.
• Modelvoorbeeld 2. Een test bestaat uit 30 meerkeuzevragen. Om te quoterenvertrekt men met 30 punten. Een goed antwoord is 4 punten waard, antwoordje fout dan wordt 1 punt afgetrokken 1 en voor een blanco antwoord wordt niksaangerekend. Jan behaalde een score van 84 punten. In een nieuw systeemvertrekt men met 0 punten en krijg je voor een correct antwoord 5 punten.Voor een fout antwoord wordt niks aangerekend. Een blanco antwoord wordtgevalideerd met 2 punten. Jan behaalt in dit nieuw systeem een score van 93punten. Hoeveel vragen liet Jan blanco?
Oplossing.
1Het aftrekken van punten bij een foutief antwoord staat bij studenten bekend onder de term giscorrectie. Bij vragen met N keuze-mogelijkheden bestaat de meest rechtvaardige manier van giscorrectie erin om voor elk goed antwoord 1 punt te geven, voor elk blancoantwoord 0 punten te geven en voor elk fout antwoord 1/(N − 1) af te trekken.
A-110
Toepassingen lineaire stelsels en inverteerbare matrices - Ingevulde versie
Toepassing 1. Codeertheorie
We bespreken een eenvoudige manier om boodschappen te coderen en te decoderen.We willen bijvoorbeeld laten weten dat een vliegtuig geland is met behulp van deboodschap “NU GELAND”. We voegen aan elke letter een getal toe, namelijk zijnplaats in het alfabet
A B C D E F G H I J K L M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
N O P Q R S T U V W X Y Z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26�� ��Coderen
Om een boodschap te coderen gaan we als volgt te werk.
Stap 1. Groepeer de letters per twee, indien nodig vul je de booschap aan met een letter.In ons voorbeeld geeft dit
N U G E L A N D14 21 7 5 12 1 14 4
Stap 2. Kies een geheime 2× 2 matrix A die inverteerbaar is, bijvoorbeeld A =
[1 22 3
].
Stap 3. Codeer de getallen van de boodschap door te vermenigvuldigen met de matrix A.
In ons voorbeeld wordt “NU” gecodeerd als
[1 22 3
]·[1421
]=
[5691
]
Analoog voor “GE”, “LA”, “ND”. Dit geeft de gecodeerde boodschap
N U G E L A N D56 91 17 29 14 27 22 40�� ��Verzenden
We verzenden de code 56 91 17 29 14 27 22 40�� ��Decoderen
Om de code te decoderen dienen we over de matrix A te beschikken. Om het eerste paar cijfers 56 91 tedecoderen zoeken we de oplossingen van het stelsel
[1 22 3
]
︸ ︷︷ ︸A
·[x1x2
]=
[5691
]
Waarom heeft dit stelsel een unieke oplossing, en hoe kunnen we die oplossing vinden?
Het 2× 2 stelsel heeft een unieke oplossing omdat A inverteerbaar is (zie Gevolg pagina ??). Die oplossingkunnen we vinden door links te vermenigvuldigen met de inverse A−1
[x1x2
]= A−1 ·
[5691
]=
[−3 22 −1
]·[5691
]=
[1421
]NU
Het vliegtuig ontvangt de volgende instructie. Decodeer deze code.
41 67 41 68 19 33 70 115
Oplossing. We gaan te werk zoals hierboven:
A−1 ·[4167
]=
[1115
]KO
A−1 ·[4168
]=
[1314
]MN
A−1 ·[1933
]=
[95
]IE
A−1 ·[
70115
]=
[2025
]TY
Het vliegtuig ontvangt de instructie “KOM NIET”.
A-111
Toepassing 2. Vraagstukken
NiccoloFontanaTartaglia(1499 - 1557)
• Modelvoorbeeld 1 (Het probleem van Tartaglia). Drie jonge mensenhebben wat spaargeld. Zegt de eerste: “Als je mij elk de helft geeft van julliespaargeld dan kom ik aan 3400 euro”. Waarop de tweede: “Geef mij elk hetderde deel van jullie geld en dan kom ik ook aan 3400 euro”. De derde zegt:“Geef mij elk een vierde van wat jullie gespaard hebben dan kom ik ook aan3400 euro”. Hoeveel spaargeld heeft elk van hen?
Oplossing.
Noemen we
x1 = spaargeld eerste
x2 = spaargeld tweede
x3 = spaargeld derde
dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel
x1 +1
2x2 +
1
2x3 = 3400
1
3x1 + x2 +
1
3x3 = 3400
1
4x1 +
1
4x2 + x3 = 3400
We schrijven de geassocieerde matrix op, en bepalen de trapvorm met behulp van het grafisch rekenmachine.
[A | b] =
1 12
12 | 3400
13 1 1
3 | 340014
14 1 | 3400
∼ T =
1 0 0 | 10000 1 0 | 22000 0 1 | 2600
Antwoord. De eerste bezit 1000 euro, de tweede 2200 euro en de derde 2600 euro.
• Modelvoorbeeld 2. Een test bestaat uit 30 meerkeuzevragen. Om te quoterenvertrekt men met 30 punten. Een goed antwoord is 4 punten waard, antwoordje fout dan wordt 1 punt afgetrokken 1 en voor een blanco antwoord wordt niksaangerekend. Jan behaalde een score van 84 punten. In een nieuw systeemvertrekt men met 0 punten en krijg je voor een correct antwoord 5 punten.Voor een fout antwoord wordt niks aangerekend. Een blanco antwoord wordtgevalideerd met 2 punten. Jan behaalt in dit nieuw systeem een score van 93punten. Hoeveel vragen liet Jan blanco?
Oplossing.
Noemen we
g = aantal goede antwoorden
f = aantal foute antwoorden
b = aantal blanco
dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel
4g − f + 30 = 84
5g + 2b = 93
g + f + b = 30
⇔
4g − f = 54
5g + 2b = 93
g + f + b = 30
We schrijven de geassocieerde matrix op, en bepalen de trapvorm met behulp van het grafisch rekenmachine.
[A | b] =
4 −1 0 | 545 0 2 | 931 1 1 | 30
∼ T =
1 0 0 | 150 1 0 | 60 0 1 | 9
Antwoord. Jan liet 9 vragen blanco.
1Het aftrekken van punten bij een foutief antwoord staat bij studenten bekend onder de term giscorrectie. Bij vragen met N keuze-mogelijkheden bestaat de meest rechtvaardige manier van giscorrectie erin om voor elk goed antwoord 1 punt te geven, voor elk blancoantwoord 0 punten te geven en voor elk fout antwoord 1/(N − 1) af te trekken.
A-112
Oefeningen - Opgave
Calpe Costa Blanca,Spanje
Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 eenpersoonskamers geboektdoor Nederlanders, Fransen en Italianen. Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanderszijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlieten omde voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen alsNederlanders en Italianen samen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in hethotel?
Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de somvan de buitenste cijfers is 1 meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd danbekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.
Oefening 3. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkurennodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als devraag naar model B, en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elkmodel zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses?
?Oefening 4 (Het probleem van Bachet 2). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Een van hen verdubbeltmet een deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijncenten het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van deandere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?
Oefeningen - Oplossingen
Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 kamers geboekt door Nederlanders, Fransen en Italianen.Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanders zijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlietenom de voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen als Nederlanders en Italianensamen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in het hotel?
Oplossing.
Noemen we
n = aantal Nederlanders
i = aantal Italianen
f = aantal Fransen
dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel
n+ i+ f = 111
n = 2(f + i)
f = 2(n− 60 + i)
⇔
n+ i+ f = 111
n− 2f − 2i = 0
2n− f + 2i = 120
We schrijven de geassocieerde matrix op, en bepalen de trapvorm met behulp van het grafisch rekenmachine.
[A | b] =
1 1 1 | 1111 −2 −2 | 02 −1 2 | 120
∼ T =
1 0 0 | 740 1 0 | 340 0 1 | 3
Antwoord. In het hotel hadden 74 Nederlanders ingecheckt.
Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de som van de buitenste cijfers is 1meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd dan bekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.
Oplossing.
Een getal met drie cijfers kunnen we voorstellen als
x = a b c met a, b, c ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}
Merk op dat de waarde van het getal x dan gelijk is aan 100 · a+ 10 · b+ c.
Het vraagstuk vertaalt zich nu in het stelsel
a+ b+ c = 19
a+ b = c+ 1
100c+ 10b+ a = 100a+ 10b+ c− 198
⇔
a+ b+ c = 19
a− b+ c = 1
−99a+ 99c = −198
A-113
We schrijven de geassocieerde matrix op, en bepalen de trapvorm met behulp van het grafisch rekenmachine.
[A | b] =
1 1 1 | 191 −1 1 | 1−99 0 99 | −198
∼ T =
1 0 0 | 60 1 0 | 90 0 1 | 4
Antwoord. Het getal is x = 694.
Oefening 3. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkurennodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als devraag naar model B, en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elkmodel zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses?
Oplossing.
Noemen we
a = aantal wagens van model A
b = aantal wagens van model B
c = aantal wagens van model C
dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel
52a+ 78b+ 94c = 260 · 32
a = 2b
c = 0, 1(a+ b+ c)
⇔
52a+ 78b+ 94c = 8320
a− 2b = 0
0, 1 a+ 0, 1 b− 0, 9 c = 0
We schrijven de geassocieerde matrix op, en bepalen de trapvorm met behulp van het grafisch rekenmachine.
[A | b] =
52 78 94 | 83201 −2 0 | 0
0, 1 0, 1 −0, 9 | 0
∼ T =
1 0 0 | 780 1 0 | 390 0 1 | 13
Antwoord. Per week moet men 78 wagens van model A, 39 wagens van model B en 13 wagens van model Cproduceren.
?Oefening 4 (Het probleem van Bachet). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Een van hen verdubbelt meteen deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijncenten het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van deandere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?
Oplossing.
We noemen
x1 = spaargeld eerste
x2 = spaargeld tweede
x3 = spaargeld derde
We stellen de evolutie van de spaarcenten voor:
begin 1 verdubbelt 2 en 3 2 verdubbelt 1 en 3 3 verdubbelt 1 en 2
x1 x1 − x2 − x3 2(x1 − x2 − x3)︸ ︷︷ ︸2x1−2x2−2x3
2(2x1 − 2x2 − 2x3)
x2 2x2 2x2 − (x1 − x2 − x3)− 2x3︸ ︷︷ ︸−x1+3x2−x3
2(−x1 + 3x2 − x3)
x3 2x3 4x3 4x3 − (2x1 − 2x2 − 2x3)− (−x1 + 3x2 − x3)
Op die manier verkrijgen we het stelsel
2(2x1 − 2x2 − 2x3) = 8000
2(−x1 + 3x2 − x3) = 8000
4x3 − (2x1 − 2x2 − 2x3)− (−x1 + 3x2 − x3) = 8000
⇔
4x1 − 4x2 − 4x3 = 8000
−2x1 + 6x2 − 2x3 = 8000
−x1 − x2 + 7x3 = 8000
We schrijven de geassocieerde matrix op, en bepalen de trapvorm met behulp van het grafisch rekenmachine.
[A | b] =
4 −4 −4 | 8000−2 6 −2 | 8000−1 −1 7 | 8000
∼ T =
1 0 0 | 130000 1 0 | 70000 0 1 | 4000
Antwoord. De eerste had 13000 euro, de tweede 7000 euro en de derde 4000 euro.
A-114
BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 7
EEN WETENSCHAPPELIJK VERSLAG SCHRIJVEN
Inhoudsopgave
Voorbeeld van een wetenschappelijk verslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-116
Onderwerp (taken 11.3, 11.4 en 11.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-118
Verslag dat een leerling enkele jaren terug gemaakt heeft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-120De leerlingen krijgen dit verslag, het kan hun helpen om de taken uit het handboek te maken. Omdat het verslagvan deze leerling niet zo goed is, ervaren ze hoe belangrijk het is om een goed verslag te kunnen schrijven.
A-115
Vijfbew
ijzenvoor
deirrationaliteitvan√2
Een
verslagtendienstevandeleerlingenvan5aGW
i8-5aLW
i8-5bW
Wi8
door
Koen
DeNaegh
el
Onze-Lieve-Vrouwecollege
Assebroek,27
februari2011
Samenvatting
Indit
verslagbespreken
ween
kele(alternatieve)
bew
ijzenvanhet
feit
dat√2eenirrationaalgetalis.
Inhoudso
pgave
1In
leid
ing
1
2K
lass
iek
bew
ijs
2
3G
ron
dst
ell
ing
van
de
geta
llen
leer
2
4O
nd
erl
ing
pri
em
3
5M
eetk
un
dig
bew
ijs
en
de
alg
eb
raıs
che
tegen
han
ger
35.
1A
lgeb
raıs
chb
ewij
s.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
35.
2M
eetk
undig
bew
ijs
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.3
6Ir
rati
on
ali
teit
van
an
dere
geta
llen
en
op
en
pro
ble
men
4
1In
leid
ing
Inee
nvie
rkan
tm
etzi
jde
1heb
ben
de
dia
gonale
nee
nle
ngt
ed
waar
voor
het
kw
adra
at
gelijk
isaa
n2.
Imm
ers,
sam
enm
ettw
eeaan
ligge
nde
zijd
envo
rmt
een
dia
gonaal
een
rech
thoek
ige
dri
ehoek
,en
uit
de
stel
ling
van
Pyth
agor
asvol
gt
12+
12
=d2⇒
d2
=2
Len
gte
isp
osit
ief,
dusd>
0.
Het
get
ald
noem
tm
ende
(posi
tiev
e)vie
rkants
wort
elva
n2,
ennot
eert
men
met√
2.D
edec
imal
evo
orst
elling
van√
2b
egin
tal
svo
lgt:
√2
=1,
414
213
562
373
095
048
801
688
724
209...
1
1
√2
De
Pyth
ago
reer
s1on
tdek
ten
dat
de
lengted
=√
2va
nzo
’ndia
gonaa
lzi
chnie
tra
tion
aal
ver
houdt
tot
de
lengt
esder
zijd
en.
Dit
isw
at
men
bed
oel
tm
et√
2is
een
irra
tionaa
lge
tal:
erb
esta
angee
nnatu
url
ijke
get
alle
nm,n
waar
voor
gel
dt
dat√
2=m n
.
1H
etee
rste
bew
ijs
van
het
bes
taan
van
irra
tion
ale
get
allen
word
tm
eest
al
toeg
esch
reven
aan
een
wis
ku
nd
ige
uit
de
Pyth
agora
eısc
he
sch
ool
(mogel
ijk
Hip
pasu
svan
Met
ap
ontu
m).
Hip
pasu
sw
erd
nie
tgep
reze
nvoor
zijn
bew
ijs:
volg
ens
een
legen
de
dee
dh
ijzi
jnontd
ekkin
gte
rwij
lh
ijop
zee
was,
enzi
jnco
lleg
aP
yth
agore
ers
zou
den
hem
ver
volg
ens
pro
mp
tover
boord
heb
ben
gek
iep
erd
.D
itvoor
het
feit
dat
hij
een
elem
ent
inh
etu
niv
ersu
mh
ad
gev
on
den
dat
de
leer
ontk
end
ed
at
alle
fen
om
enen
inh
eth
eela
lku
nn
enw
ord
ente
ruggeb
rach
tto
tgeh
ele
get
allen
enhu
nver
hou
din
gen
.
1
Waa
rom
vonden
de
Pyth
agor
eers
het
bes
taan
van
irra
tion
ale
get
allen
zoafs
tote
lijk
?O
mdat
zij
erva
nov
ertu
igd
ware
ndat
elk
lijn
stuk
[AB
]ka
nve
rgel
eken
wor
den
met
een
lijn
stuk
met
lengt
e1,
enw
elals
volg
t:
(1)
Tek
enon
der
lijn
stuk
[AB
]ee
nlijn
stuk
[CD
]m
etle
ngt
e1.
(2)
Als
jenam
her
halinge
nva
nhet
lijn
stuk
[CD
]de
lengte
van
het
lijn
stuk
[AB
]b
ekom
t,dan
is|AB|=
m·1
=m
.A
lsdat
nie
tzo
is:
verd
ubb
ellijn
stuk
[AB
].
(2.1
)A
lsje
nam
her
halinge
nva
nhet
lijn
stuk
[CD
]het
dubb
ele
van
de
lengte
van
het
lijn
stuk
[AB
]b
ekom
t,dan
is2|AB|=
m·1
,dus|AB|=
m 2.
(2.2
)A
lsdat
nie
tzo
is:
bes
chouw
het
dri
evoud
van
het
lijn
stuk
[AB
].
(2.2
.1)
etc.
AB
...
1keer
nkeer
1...
CD
1keer
mkeer
De
lijn
stukke
n[CD
]die
opdez
em
anie
rin
een
eindig
aanta
lst
app
enkunnen
gem
eten
wor
den
,vo
ldoen
aan
n·|A
B|=
m·1
,dus|AB|=
m nw
aar
bijn
het
aan
talher
hal
inge
nva
n[AB
]enm
het
aan
talher
hal
inge
nva
n[CD
]is
.T
ot
verb
azin
g
van
de
Pyth
agor
eers
war
ener
lijn
stukke
ndie
nie
top
dez
em
anie
rkunnen
gem
eten
word
en.
2K
lass
iek
bew
ijs
Het
kla
ssie
kb
ewij
sva
nde
irra
tion
alit
eit
van√
2gaa
tte
rug
naa
rA
rist
ote
les,
enve
rsch
een
inhet
boek
Elemen
ten
van
Eucl
ides
.
Eerstebewijs.
Onder
stel
uit
het
onge
rijm
de
dat
eree
nra
tion
aal
geta
lr∈Q
isw
aarv
oorr2
=2.
We
schri
jven
r=p/q
met
p,q∈Z
enw
em
ogen
onder
stel
len
datp
enq
onder
ling
pri
emzi
jni.e.
zeheb
ben
gee
ndel
ers
gem
een
(beh
alve
1en−
1).
Dan
isp2
=2q
2.
Om
dat
2ee
ndel
eris
van
2q2
isdus
2ook
een
del
erva
np2.
Om
dat
2ee
npri
emge
tal
is,
is2
met
een
ook
een
del
erva
np,
dusp
=2s
voor
een
gehee
lge
tals.
Subst
ituer
eninp2
=2q2
leve
rt4s2
=2q
2dus
2s2
=q2
.E
rvo
lgt
dat
2ee
ndel
eris
vanq2
endus
ook
vanq.
Een
stri
jdig
hei
dm
eton
zeon
der
stel
ling
datp
enq
gee
ndel
ergem
een
had
den
.W
eb
eslu
iten
dat√
2ir
rati
onaa
lis
.
Een
uit
bre
idin
gva
ndit
bew
ijs
lever
tdat√n
irra
tionaa
lis
voor
elk
nat
uurl
ijk
get
aln
dat
nie
thet
kw
adra
atis
van
een
nat
uurl
ijk
geta
l.
3G
rondst
ellin
gvan
de
geta
llenle
er
Het
volg
end
bew
ijs
steu
nt
op
de
eige
nsc
hap
dat
elk
geh
eel
geta
lte
schri
jven
isal
see
npro
duct
van
pri
emget
allen
.B
oven
die
nis
dez
esc
hri
jfw
ijze
,op
de
teke
ns
ende
volg
orde
van
de
pri
emen
na,
unie
k.
Voorbeeld.
−15
=(−
5).3
=5.
(−3)
=(−
3).5
=3.
(−5)
Dez
est
elling
staa
tb
eken
dals
de
Gro
ndst
elling
uit
de
get
allen
leer
enw
ordt
toeg
ewez
enaa
nE
ucl
ides
2.
Tweedebewijs.
Onder
stel
uit
het
onger
ijm
de
dat
eree
nra
tion
aal
geta
lr∈Q
isw
aarv
oorr2
=2.
We
schri
jven
r=p/q
met
p,q∈Z
Dan
isp2
=2q
2.
Nu
ontb
inden
wep
enq
inee
npro
duct
van
pri
emge
tallen
.E
lkpri
emge
tal
inde
ontb
indin
gva
np
kom
ttw
eem
aal
voor
inde
ontb
indin
gva
np2,
dusp2
hee
ftee
nev
enaa
nta
lpri
emfa
ctore
n.
Analo
og
hee
ftq2
een
even
aanta
lpri
emfa
ctore
n.
Maa
rdan
hee
ft2q2
een
onev
enaa
nta
lpri
emfa
ctor
en.
Str
ijdig
met
het
feit
datp2
=2q2
want
p2
hee
ftee
nev
enaa
nta
lpri
emfa
ctor
en.
2H
oew
elE
ucl
ides
dit
ner
gen
sex
plici
etn
eerg
esch
reven
had
.D
eze
eigen
sch
ap
wer
dvoor
het
eers
tgef
orm
ule
erd
door
Gau
ss1801
inzi
jnb
aanb
reken
de
doct
ora
ats
thes
isDisqu
isitiones
arithmeticae.
2
4O
nderl
ing
pri
em
Het
der
de
bew
ijs
maa
kt
geb
ruik
van
de
volg
ende
eige
nsc
hap
:als
twee
gehel
eget
allen
geen
pri
emfa
ctor
enge
mee
nheb
ben
,dan
heb
ben
hun
kw
adra
ten
ook
geen
pri
emfa
ctor
enge
mee
n.
Derdebewijs.
Onder
stel
uit
het
onger
ijm
de
dat
eree
nra
tionaa
lge
talr∈Q
isw
aar
voorr2
=2.
We
schri
jven
r=p/q
met
p,q∈Z
enw
em
oge
non
der
stel
len
datp
enq
onder
ling
pri
emzi
jni.e.
zeheb
ben
geen
del
ers
gem
een
(beh
alve
1en−
1).
We
mog
ente
vens
onder
stel
len
datq6=
1en
q6=−
1,
ander
szo
uer
een
geh
eel
geta
lp
zijn
waa
rvoorp2
=2
wat
duid
elij
knon
sens
is.
Zeg
gen
datp
enq
geen
del
erge
mee
nheb
ben
bet
eken
t:al
sw
ede
pri
emontb
indin
gva
np
enq
nee
rsch
rijv
enals
p=p1·p
2·...·pk
enq
=q 1·q
2·...·ql
dan
iser
gee
nen
kelepi
(met
1≤i≤k)
gelijk
aan
eenq j
(voor
1≤j≤l)
.D
us
heb
ben
ookp2
enq2
geen
pri
emdel
ers
gem
een
heb
ben
inhun
pri
emon
tbin
din
g.M
etander
ew
orden
,w
ekunnen
nie
tsc
hra
pp
enin
de
bre
ukp2/q
2,
laat
staa
ndat
we
dez
ekunnen
schra
pp
ento
tw
e2
bek
omen
!
5M
eetk
undig
bew
ijs
en
de
alg
ebra
ısch
ete
genhanger
Hie
rb
espre
ken
we
een
mee
tkundig
eco
nst
ruct
iedie
de
irra
tion
alite
itva
n√
2aa
nto
ont.
Het
mee
tkundig
bew
ijs
gaat
teru
gnaar
de
Gri
ekse
oudhei
d.
Voor
de
duid
elij
khei
dvo
lgt
eers
tde
alge
bra
ısch
ete
genhan
ger.
5.1
Alg
eb
raıs
chb
ew
ijs
Vierdebewijs.
Onder
stel
uit
het
onge
rijm
de
dat
we
eenp′ ,q′∈
Nkunnen
vin
den
waar
voor√
2=p′ /q′
.V
an
al
zo’n
mog
elij
kepare
n(p
′ ,q′
)nem
enw
ehet
paa
r(p,q
)w
aar
voor
deq
min
imaa
lis
.M
etan
der
ew
oord
en,
noem
enw
eS
de
verz
am
elin
g
S={q
′∈N|
erb
esta
atee
np′∈N
waar
voor√
2=p′ q′}⊂
N
dan
is,
uit
het
onder
stel
de,S
nie
t-le
dig
endus
kunnen
we
het
min
imum
vanS
nem
en.
Dat
min
imum
noem
enw
eq.
Zijp∈N
een
bij
hor
end
nat
uurl
ijk
geta
lw
aarv
oor√
2=p/q
.D
an
vol
gtuit
de
ongel
ijkhed
en1<√
2<
2ge
makke
lijk
datq<p
enp<
2q.
Uit
dat
laats
tevol
gtp−q<q.
We
ver
kri
jgen
nu
2q−p
p−q
=2−
p qp q−
1dee
lte
ller
ennoem
erdoorq
=2−√
2√
2−
1w
ant√
2=p q
=(2−√
2)(√
2+
1)
(√2−
1)(√
2+
1)
verm
enig
vuld
igte
ller
ennoem
erm
et√
2+
1
=2√
2+
2−
(√2)2−√
2
(√2)2−
1
=√
2
Maar
dan
is2q−p
p−q∈S
,w
aar
bij
de
noem
erst
rikt
kle
iner
isdan
q.Str
ijdig
,w
antq
ishet
min
imum
vanS
.
5.2
Meetk
un
dig
bew
ijs
Hie
rvo
lgt
het
bew
ijs
waa
rmee
Gri
ekse
mee
tkundig
enb
ewez
endat√
2ir
rati
onaal
is.
Het
ach
terl
igge
nd
idee
is:
gege
ven
een
gel
ijkb
enig
ere
chth
oek
ige
dri
ehoek
waa
rvan
alle
zijd
ennatu
url
ijke
geta
llen
zijn
,dan
kan
men
stee
ds
een
kle
iner
ege
lijk
ben
ige
rech
thoek
ige
dri
ehoek
kan
const
ruer
enw
aarv
oor
alle
zijd
ennog
stee
ds
nat
uurl
ijke
get
alle
nzi
jn.
Vijfdebewijs.
Onder
stel
uit
het
onge
rijm
de
2=p2/q
2m
etp,q∈N
waar
bijq
teru
gm
inim
aal
is.
Sta
p1.
Er
bes
taat
een
rech
thoek
ige
dri
ehoek
waa
rbij
de
lengte
van
elke
rech
thoek
szij
dep
is,en
de
lengt
eva
nde
schuin
ezi
jdeq
is.
Inder
daad
,uit
2=p2/q2
volg
tq2
+q2
=p2,
enw
egen
sde
Ste
llin
gva
nP
yth
ago
ras
volg
thet
bes
taan
van
zo’n
dri
ehoek
.
Mer
kop
dat
zo’n
rech
thoek
ige
dri
ehoek
ook
gel
ijkb
enig
is,
endat
de
zijd
enals
lengte
nat
uurl
ijke
get
allen
heb
ben
.O
mdat
weq
min
i-m
aalheb
ben
gek
oze
n,is
dit
dez
edri
ehoek
de
kle
inst
ere
chth
oek
ige
gel
ijkb
enig
edri
ehoek
waar
voor
de
zijd
ennat
uurl
ijke
get
allen
zijn
.
q
q
p
3
Sta
p2.
Met
beh
ulp
van
een
pas
ser
ver
del
enw
ede
schuin
ezi
jde
intw
eelijn
stukke
n,
waar
van
de
lengt
eva
nhet
ene
gelijk
isaa
nq,
endus
isde
lengt
eva
nhet
ander
ege
lijk
isaa
np−q.
q
p−q
Sta
p3.
Met
beh
ulp
van
een
pass
erve
rdel
enw
eee
nre
chth
oek
-sz
ijde
intw
eelijn
stukke
n,
waar
van
de
lengte
van
het
ene
gelijk
isaa
np−q,
endus
isde
lengt
eva
nhet
ander
egel
ijk
isaan
q−
(p−q)
=2q−p.
q
q
p−q
p−q
2q−p
Sta
p4.
Door
de
geco
nst
ruee
rde
punte
nte
verb
inden
vorm
tzi
chee
nnie
uw
e,kle
iner
edri
ehoek
.W
eb
ewer
endat
dez
edri
ehoek
een
rech
thoek
ige,
gel
ijkb
enig
edri
ehoek
isw
aarv
oor
de
zijd
ende
nat
uurl
ijke
geta
llen
zijn
enw
aar
voor
de
lengt
eva
nde
rech
thoek
-sz
ijde
stri
kt
kle
iner
datq
is.
Dit
zal
inst
rijd
zijn
met
het
feit
dat
datq
min
imaa
lis
.
Om
aan
teto
nen
dat
de
kle
ine
dri
ehoek
rech
thoek
igen
gelijk
be-
nig
is,
vols
taat
het
omaa
nte
tonen
dat
de
kle
ine
dri
ehoek
gel
i-jk
vorm
igis
met
de
gro
tedri
ehoek
.D
evra
ag
isdus
ofde
volg
ende
verh
oudin
gen
van
de
lengte
sva
nde
volg
ende
zijd
engel
ijk
zijn
:
kort
ezi
jde
gro
te
kort
ezi
jde
kle
ine
? =la
nge
zijd
egr
ote
lange
zijd
ekle
ine
dit
iseq
uiv
alen
tm
etde
vra
ag:
q
p−q
? =p
2q−p
q
q
p−q
p−q
2q−p
Maa
rdit
gelijk
waa
rdig
met
2=p2 q2
,pre
cies
onze
ver
onder
stel
ling!
We
bes
luit
endat
de
kle
ine
dri
ehoek
gelijk
vorm
igis
met
de
grot
e,en
dus
rech
thoek
igen
gelijk
ben
igis
.
6Ir
rati
onalite
itvan
andere
geta
llen
en
op
en
pro
ble
men
In17
61b
ewee
sL
am
ber
tdatπ
=3,
14...
ene
=2,
71...
irra
tionaa
lzi
jn,
also
oker
voorr∈
Q,r6=
0.D
itla
ats
tew
asnog
alee
ndubie
us
bew
ijs
enw
erd
oppunt
gez
etdoor
Leg
endre
in179
4.
Nadie
nw
erd
de
irra
tion
alite
itva
nander
ege
tallen
enco
mbin
ati
esaa
nget
oon
d,
zoal
sπr
(voorr∈
Q,r6=
0)en
eπ.
Een
gro
tesp
rong
voor
waar
tsw
erd
in1934
gem
aakt
door
Gel
fond
enSch
nei
der
.Z
ijto
onden
onafh
anke
lijk
van
elka
araa
ndatab
stee
ds
een
irra
tionaa
lget
al
is,
zola
ng
(1)a
enb
oplo
ssin
gen
zijn
van
een
verg
elij
kin
gm
etgeh
ele
coeffi
cien
ten
en,
(2)a6=
0en
a6=
1,en
(3)b
een
irra
tion
aal
geta
lis
.H
un
resu
ltaat
toont
de
irra
tion
alite
itaan
onder
ander
e
2√2
√2√
22π
2e...
Het
isec
hte
rnog
stee
ds
onb
eken
dofπ
+e
ofπ−e
irra
tionaa
lzi
jnof
nie
t.In
feit
eis
erge
enen
kel
paa
r(m,n
)va
nnie
t-nul
gehel
ege
tallen
m,n
bek
end
waar
voor
men
wee
tofmπ
+ne
irra
tionaa
lis
of
nie
t.V
erder
ishet
ook
onb
eken
d
of2e,πe
ofπ√2
aldan
nie
tir
rati
onaal
zijn
.
4
BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 8
ONDERZOEKSOPDRACHT (1)
Inhoudsopgave
Onderzoeksvraag - Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-123
A-122
Onderzoeksvraag - Oplossingen
Onderzoeksvraag. Zoek bewijzen met behulp van interferentieregels (dus niet met waarheidstabellen) voor devolgende logische wetten.
(a) P ∧Q ` P ∨Q
(b) (P ∨Q)⇒ (R ∧ S), P ` R
(c) ¬(¬P ), (P ∨Q)⇒ R,S ` R ∧ S
(d) P ⇔ Q,Q ∨R,R⇒ P ` P?(e) P ⇒ Q,¬Q ` ¬P?(f) P ⇒ (Q ∧R), P ⇒ ¬R ` ¬P
Oplossing.
(a) P ∧Q ` P ∨Q1 P ∧Q PREM
2 P 1;SIM
3 P ∨Q 2; ADD
(b) (P ∨Q)⇒ (R ∧ S), P ` R1 (P ∨Q)⇒ (R ∧ S) PREM
2 P PREM
3 P ∨Q 2; ADD
4 R ∧ S 1,3; MP
5 R 4; SIM
(c) ¬(¬P ), (P ∨Q)⇒ R,S ` R ∧ S1 ¬(¬P ) PREM
2 (P ∨Q)⇒ R PREM
3 S PREM
4 P 1; DN
5 P ∨Q 4; ADD
6 R 2,5; MP
7 R ∧ S 6,3; CONJ
(d) P ⇔ Q,Q ∨R,R⇒ P ` P1 P ⇔ Q PREM
2 Q ∨R PREM
3 R⇒ P PREM
4 Q⇒ P 1; GE
5 P 2,4,3; DIL
(e) P ⇒ Q,¬Q ` ¬P1 P ⇒ Q PREM
2 ¬Q PREM
3 P HYP4 ¬Q 2; REIT
5 P ⇒ (¬Q) 3,4;VB
6 ¬P 1,5; RAA
(f) P ⇒ (Q ∧R), P ⇒ ¬R ` ¬P1 P ⇒ (Q ∧R) PREM
2 P ⇒ ¬R PREM
3 P HYP4 P ⇒ (Q ∧R) 1; REIT5 Q ∧R 3,4; MP6 R 5; SIM
7 P ⇒ R 3,6;VB
8 ¬P 2,7; RAA
A-123
BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 10
ONDERZOEKSOPDRACHT (3)
Inhoudsopgave
Opdracht: Wiskundig door de bocht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-125
A-124
Wiskundig door de bocht1
Inleiding
Soms dringt wiskunde zich spontaan op, bijvoorbeeld in een stukje speelgoed. Je hoeft het alleen maar ter hand tenemen om uren te construeren en aan de hand daarvan te redeneren en te rekenen. Bij dit onderwerp gaan we datdoen aan de hand van een set van zogenaamde ‘elleboogjes’.
elleboogje
Een elleboogje is een kwartcirkel. Met een klik kunnen de elleboogjes worden geschakeld. Webekijken alleen gesloten schakelingen van elleboogjes (dus zonder begin- en eindpunt). Zo’ngesloten schakeling noemen we een circuit. Onderstaande foto’s tonen een aantal voorbeeldenvan circuits. Je ziet vier vlakke circuits, bestaande uit 8, 12, 16 en 28 elleboogjes: ze kunnenplat op tafel worden gelegd.
8-circuit 12-circuit 16-circuit 28-circuit
niet vlak
Maar hiernaast is ook een ruimtelijk circuit gegeven met 7 elleboogjes. Deze vorm kan nietplat op tafel gelegd worden. We noemen een circuit dus alleen vlak als alle elleboogjes vanhet circuit in hun geheel plat op tafel liggen. Om misverstanden te voorkomen: de tweeonderstaande foto’s tonen twee circuits met 8 elleboogjes. Links is sprake van een vlakcircuit; rechts ligt het circuit niet in zijn geheel plat op tafel en daarom is het dus niet vlak.
vlak niet vlak
Wiskundige representaties van elleboogjes
gezamelijke raaklijn
De elleboogjes kunnen we wiskundig representeren als kwartcirkels met straal 1.Bij deze wiskundige weergave verwaarlozen we de dikte van het materiaal vande elleboogjes. In de verbindingen zitten de kwartcirkels met hun eindpuntenaan elkaar en hebben daar een gezamenlijke raaklijn. Soms lijkt een plasticcircuit wel te kunnen (met een beetje wringen), maar als je het op bovenstaandewijze met kwartcirkels probeert weer te geven, blijkt het wiskundig gezien nietmogelijk. Wij zullen dat dan niet als ‘circuit’ erkennen. De raaklijneigenschapvan de wiskundige representatie betekent voor de concrete elleboogjes: vantwee geschakelde elleboogjes sluiten de grensvlakken naadloos op elkaar aan.Een wiskundige omschrijving van een circuit van n elleboogjes (met n ∈ N) luidt dus:
Een n-circuit is een gesloten kromme, bestaande uit n kwartcirkels die in alle verbindingspuntensteeds een gezamenlijke raaklijn hebben.
snavel en dubbelpunt
Het lijkt overbodig (omdat de elleboogjes het niet toelaten), maar wiskundigmoet het nog worden uitgesloten: in een gesloten kromme staan we geen ’sna-vels’ toe en ook geen ‘dubbelpunten’.
1Wiskunde B-dag opgave 2003, Freudenthal instituut 1991-2010.
A-125
Opgave
Bij deze onderzoeksopdracht ga je op zoek naar mogelijkheden en onmogelijkheden van vlakke en ruimtelijke circuitsvan elleboogjes en eigenschappen daarvan. Het setje van 24 elleboogjes is bedoeld om daadwerkelijk constructies uit tevoeren die het denken en redeneren over circuits in algemene zin (dus ook voor circuits met meer dan 24 elleboogjes)kunnen ondersteunen. De opdracht is gesplitst in drie delen.
In deel A worden de vlakke circuits onderzocht. In deel B worden ruimtelijke circuits bekeken die aan bepaaldevoorwaarden moeten voldoen; je krijgt daar dus maar beperkt de ruimte. Daarna krijg je in deel C de volledig vrijeruimte. De genummerde vragen in de delen A, B en C zijn bedoeld om richting te geven aan je onderzoekingen. Zehoeven niet in de gegeven volgorde bekeken te worden; het werk daaraan kan ook worden verdeeld binnen de groep.In elk deel worden ook algemene vragen gesteld. Dat zijn de onderzoeksvragen waarmee je jezelf kunt onderscheidenvan anderen in wiskundige diepgang en volledigheid.
Eindopdracht
Van je bevindingen in de delen A, B en C maak je een zelfstandig leesbaar werkstuk. Dit houdt in dat een lezer,die zelf beschikt over een setje elleboogjes, aan de hand van je verslag duidelijk zicht krijgt op de mogelijkheden,onmogelijkheden en eigenschappen van vlakke en ruimtelijke circuits. In het verslag speelt de volgorde van de vragenzoals ze in deze onderzoeksopdracht zijn gezet geen enkele rol. Zorg er wel voor dat je bevindingen bij de verschillendevragen aan bod komen, maar voorkom dat je verslag alleen maar een beantwoording is van de afzonderlijke vragen.
Deel A: Vlakke circuits
Duidelijk is dat het kleinst mogelijke vlakke circuit uit vier elleboogjes bestaat. We noemen dit een vlak 4-circuit.
Vlakke n-circuits
Een vlak n-circuit is dus een gesloten kromme zonder dubbelpunten van precies n elleboogjes, waarvan alle elleboogjesplat op tafel liggen. In dit deel bekijken we eerst welke vlakke n-circuits mogelijk zijn. Je hebt de beschikking over eensetje van 24 echte elleboogjes om mee te experimenteren. Bedenk dat een deel van de vragen ook gaat over waardenvan n die groter zijn dan 24.
1. Leg met 8 elleboogjes een vlak 8-circuit. Zijn er meerdere mogelijkheden? Geef ook alle mogelijkheden voor eenvlak 12-circuit. Toon daarbij overtuigend aan dat je ze allemaal hebt gevonden.
2. Circuits daadwerkelijk maken is een kwestie van proberen. Daarbij zal het setje elleboogjes zeker helpen. Maarop papier communiceren over een circuit, zonder dat je daarbij steeds zo’n circuit tekent, is een ander verhaal.Bij het beantwoorden van veel vragen is het daarom nuttig om een manier te hebben waarmee je een willekeurigcircuit kunt beschrijven. Dat kan op velerlei manieren. Aan jullie de taak om zelf een handige beschrijvingswijzete zoeken, waarmee je makkelijk kunt communiceren. Zorg er wel voor dat je de gekozen beschrijving preciesvastlegt voor de lezer.
3. Je kunt heel wat 16-circuits maken. Bedenk een systematiek om ze allemaal te vinden en beschrijf die systematiek.
4. Met een oneven aantal elleboogjes kun je nooit een vlak circuit leggen. Leg dat uit.
schakeling
5. Maak een schakeling van drie elleboogjes. De grenspunten nummeren we0, 1, 2 en 3 zoals hier schematisch is weergegeven. Houd nu de punten 0en 1 (dus het eerste elleboogje) vast. Beschrijf waar de eindpunten vanvolgende elleboogjes 2, 3, 4, . . . dan kunnen komen te liggen, inclusief derichting waarin een nieuw elleboogje in zo’n eindpunt moet aansluiten.
6. Is een vlak 6-circuit mogelijk?
Algemene vraag I. Voor welke waarden van n is een vlak n-circuit mogelijk? Kun je dit ook hard maken?
Bonusvraag. Gegeven een waarde n, stel een formule op die het aantal verschillende mogelijkheden geeft voorhet maken van een vlak n-circuit.
A-126
Omsloten oppervlakte van een vlak n-circuit
We bekijken nu alleen de wiskundige representatie van de elleboogjes, waarbij de materiele dikte van de elleboogjeswordt verwaarloosd. Dat zijn kwartcirkels met straal 1. De omsloten oppervlakte van het 4-circuit is dus π. Natuurlijkhangt de oppervlakte van een vlak n-circuit samen met de waarde van n, maar daarnaast is ook de vorm van hetcircuit van invloed op de omsloten oppervlakte.
7. Laat zien dat de oppervlakte binnen een vlak 8-circuit gelijk is aan π + 4.
Algemene vraag II. Wat is de maximale oppervlakte die kan voorkomen bij vlakke n-circuits? En wat is deminimale waarde? Bewijs dit.
Bonusvraag. Gegeven een willekeurig vlak n-circuit, stel een formule op die de oppervlakte geeft, eventueel infunctie van parameters die geassocieerd worden met de vorm van het n-circuit.
Deel B: Beperkte ruimte
Met de elleboogjes kunnen ook ruimtelijke circuits worden gevormd. In de ruimte heb je eindeloos veel constructie-mogelijkheden, omdat een elleboogje dat vast zit aan een ander in de ruimte over elke hoek kan worden gedraaid.Daarom leggen we in dit deel voorlopig een beperking aan de bewegingsruimte op:
De elleboogjes liggen in de vlakken van een kubisch rooster, met de eindpunten van de elleboogjessteeds op de middens van ribben van de kubussen van dat rooster.
deel van een circuit op een kubischrooster
Hiernaast is een klein deel van zo’n kubisch rooster getekend, met daarin eenvoorbeeld van 5 geschakelde elleboogjes die aan de eis voldoen. In principe zijnde kubussen van zo’n rooster ook stapelbaar.
8. Er zijn twee verschillende ruimtelijke 6-circuits mogelijk die aan de ge-stelde beperking voldoen. Probeer ze te maken en beschrijf ze met behulpvan het rooster. Onderzoek welke 8- en 10-circuits voldoen aan de opge-legde beperking.
9. Is het mogelijk een ruimtelijk n-circuit te maken, binnen de beperkingenvan het rooster, voor oneven waarden van n? Leg uit.
Algemene vraag III. Voor welke waarden van n is een ruimtelijk n-circuit op een kubisch rooster mogelijk? Kunje dit ook hard maken?
Deel C: De vrije ruimte
In dit deel krijg je echt vrije speelruimte. Zoals eerder is gezegd maakt dat het geheel veel complexer, omdat er zoveelbewegingsvrijheid is. Bij onbeperkte bewegingsruimte blijken ook ruimtelijke circuits mogelijk voor bepaalde onevenwaarden van n. Bij het experimenteren met de elleboogjes moet je bedenken dat het materiaal altijd wat spelingtoelaat. Daardoor kun je plastic circuits maken met wat wringen, die wiskundig niet als circuit mogelijk zijn. Houdje dus bij het construeren van ruimtelijke circuits aan de wiskundige beschrijving van een n-circuit zoals die in deinleiding is gegeven.
Een geval apart: n = 5
Het blijkt onmogelijk te zijn om, zonder vervorming bij de grensvlakjes, een ruimtelijk circuit te maken met 5 elle-boogjes. De volgende activiteit kan wellicht helpen om een idee te krijgen waarom het niet mogelijk is.
Leg 5 geschakelde elleboogjes op tafel. Houd het middelste elleboogje (CDin nevenstaande figuur) goed vast op zijn plaats en bekijk hoe eindpunt A inde ruimte kan bewegen door de twee elleboogjes CB en BA te draaien. Allemogelijke posities voor punt A blijken een zelfde karaktertrek te hebben: zeliggen allemaal op een vaste afstand van het snijpunt P van de raaklijnen inB en C. Hetzelfde geldt voor alle mogelijke posities van punt F : die liggenallemaal op een vaste afstand van punt Q.
10. Toon aan dat voor alle mogelijke posities van punt A steeds geldt dat de afstand tot punt P constant is. Berekenook die afstand.
A-127
De laatste opdracht is weer een algemene en daarbij heb je ook nog eens vrijheid van keuze. De ruimtelijke circuitsgeven alle aanleiding tot het jezelf vragen stellen. Mogelijke vragen:
• Kun je het idee van vraag 10 gebruiken om aannemelijk te maken dat een 5-circuit niet mogelijk is?
• Er zijn twee ruimtelijke 6-circuits. De ene is flexibel (kan in verschillende vormen worden gedraaid zonder tewringen. De andere is star en kan dus niet worden overgevoerd in een andere vorm. Hoe zit dat? Zijn er nogmeer starre ruimtelijke circuits?
• Voor welke oneven waarden van n is een ruimtelijk circuit mogelijk?
Vragen van dit soort zijn beslist niet makkelijk te beantwoorden, maar wellicht kan het gericht experimenteren methet concrete materiaal je nog op goede gedachten brengen.
Algemene vraag IV. Doe nog wat onderzoek aan ruimtelijke vormen en probeer uitdagende problemen op hetspoor te komen die met het setje ellebogen kunnen worden aangepakt. Ook als je die problemen niet zelf oplost,kun je ze in het werkstuk van de eindopdracht beschrijven.
Ten slotte
Voer de eindopdracht uit op de manier die beschreven is op bladzijde 2. Bedenk daarbij nogmaals dat het niet debedoeling is dat je de afzonderlijke vragen van de delen A, B en C beantwoordt. Zorg dat je een samenhangendverslag geeft van de bevindingen rond vlakke en ruimtelijke circuits en schroom zeker niet om uitdagende problemenin je verslag op te nemen.
Veel succes!
A-128
BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 11
ZELFSTANDIG OEFENINGEN MAKEN MET OPLOSSINGSSLEUTELS
Inhoudsopgave
Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-130
Cursustekst waar naar verwezen wordt in de oplossingssleutels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-131
A-129
Opgave
Oefening 1. Bereken algebraısch de term in de gevraagde Riemann-som, en duid deze aan op een schets:
f(x) =1
xvierde term in de rij van de linkersommen over interval [a, b] = [1, 2]
Oefening 2. Gegeven is de grafiek van de functie f(x) = ex.
(a) Welke bijzondere soort Riemann-som (bovensom, ondersom, linkersom, rechtersom of middensom) is aangeduid?
(b) Bepaal algebraısch de waarde van de aangeduide oppervlakte
1
2
3
4
1 2 3 4−1
y
x
y = ex
Oefening 3. Bereken telkens met behulp van je grafisch rekenmachine de volgende bepaalde integralen, en maak eenschets waarop je de meetkundige betekenis aanduidt.
(a)
∫ 1
−1x3dx
(b)
∫ 2
−12xdx
(c)
∫ π4
0
tanxdx
Aanwijzing. Indien we enkel interesse hebben in de bepaalde integraal (getal) en niet in de visuele voorstelling ervan,kunnen als volgt te werk gaan
MATH 9:fnInt fnInt(f(x),x,a,b)
Oefening 4. Gegeven is de functie f(x) = 3x.
(a) Bepaal de oppervlaktefunctie A(t) van f tussen x = −1 en x = 1.
(b) Bereken
∫ 1
−13xdx met behulp van de oppervlaktefunctie. Duid de meetkundige betekenis van de bepaalde
integraal aan in een schets.
A-130
Er
isge
enen
kele
reden
waa
rom
we
de
rij
rech
ters
omm
enzo
uden
‘bev
oor
del
en’
(ten
opzi
chte
van
linke
rsom
men
,m
idden
som
men
,et
c.)
enen
kel
de
conver
genti
eva
nde
rij
rech
ters
omm
enzo
uden
bek
ijken
.D
aaro
mde
volg
ende
•A
lgem
en
ew
erk
wij
ze.
Zijf
een
beg
rensd
efu
nct
ieen
a,b∈R
zodatf
bes
taat
in[a,b
].E
en
rij
van
Rie
man
n-s
om
menR
1,R
2,R
3,...
wor
dt
als
volg
tb
ekom
en.
x0
x1
x1
x0
x1
x2
x1
x2
x0
x1
x2
x3
x1
x2
x3
∗V
erdee
l[a,b
]in
een
gelijk
dee
l:
V1
=[a,b
]=
[x0,x
1]
kie
sx
1∈
[x0,x
1]
R1
=geo
rt.o
pp.
=f
(x1)·(x
1−x
0)
∗V
erdee
l[a,b
]in
twee
gelijk
edel
en:
V2
=[x
0,x
1],
[x1,x
2]
kie
sx
1∈
[x0,x
1]
enx
2∈
[x1,x
2]
R2
=geo
rt.o
pp.
=f
(x1)·(x
1−x
0)
+f
(x2)·(x
2−x
1)
∗V
erdee
l[a,b
]in
dri
ege
lijk
edel
en:
V2
=[x
0,x
1],
[x1,x
2],
[x2,x
3]
kie
sx
1∈
[x0,x
1],x
2∈
[x1,x
2]
enx
3∈
[x2,x
3]
R3
=geo
rt.o
pp.
=f
(x1)·(x
1−x
0)
+f
(x2)·(x
2−x
1)
+f
(x3)·(x
3−x
2)
Den
-de
term
inee
nri
jva
nR
iem
ann-s
omm
enR
1,R
2,R
3,...
isdus
gelijk
aan
Rn
=f
(x1)·(x
1−x
0︸︷︷
︸∆x1
)+f
(x2)·(x
2−x
1︸︷︷
︸∆x2
)+...+f
(xn)·(xn−xn−
1︸
︷︷︸
∆xn
)
=
n ∑ i=1
f(xi)
∆xi
metxi∈
[xi−
1,xi]
Elk
ete
rmf
(xi)
∆xi
isde
geo
rien
teer
de
opp
ervla
kte
van
de
rech
thoek
met
basi
s∆xi=xi−xi−
1en
hoog
te|f
(xi)|.
Als
we
bij
elke
verd
elin
gdexi
telk
ens
opee
nbij
zonder
em
anie
rkie
zen,
dan
bek
omen
we
een
rij
van
rech
ters
om
-m
en,
linker
som
men
,b
oven
som
men
ofon
der
som
men
.D
itzi
jndus
bij
zonder
eri
jen
van
Rie
mann-s
omm
en.
Bij
de
funct
ief
hor
endus
onei
ndig
veel
rije
nva
nR
iem
ann-s
omm
en,
waa
ronder
enke
lebij
zonder
ezo
als
de
rij
rech
ters
om
men
,de
rij
linker
som
men
,de
rij
bov
enso
mm
enen
de
rij
onder
som
men
.
Als
elk
eri
jR
iem
ann-s
omm
enR
1,R
2,R
3,...
conve
rgee
rt,
dan
zegg
enw
edat
de
tota
lege
orie
nte
erde
opp
ervla
kte
van
het
gebie
dge
lege
ntu
ssen
de
grafi
ekva
nf
,dex
-as
ende
rech
tenx
=a
enx
=b
bes
taat
.A
lsdat
zois
,dan
kun
jege
mak
kelijk
inzi
endat
al
dez
eri
jen
noodza
kelijk
naa
rhet
zelf
de
geta
lco
nve
rger
en(z
ieoef
enin
g8).
Sam
engev
atm
etde
defi
nit
ieva
nb
epaa
lde
inte
gra
al
(zie
pag
ina
3)ve
rkri
jgen
we
Georg
Fried
rich
Bernhard
Riemann
(1826-1866)
Defi
nit
ie(I
nte
gre
erb
aarh
eid
).Z
ijf
een
funct
ieena,b∈R
zodatf
bes
taat
enb
egre
nd
isov
er[a,b
].D
efu
nct
ief
noem
t(R
iem
ann-)
inte
gre
erbaa
rov
er[a,b
]als
voor
elk
eri
jva
nR
iem
ann-
som
men
de
volg
ende
lim
iet3
bes
taat
inR
lim
n→
+∞
n ∑ i=1
f(xi)
∆xi
Indat
geva
lzi
jnal
dez
elim
iete
ngel
ijk,
ennoem
tm
ende
uit
kom
stva
ndez
e
lim
iet
de
bep
aal
de
inte
graa
lva
nf
tuss
enx
=a
enx
=b,
not
atie
∫b
a
f(x
)dx
.
3O
pd
itp
unt
veg
enw
eee
nte
chn
isch
eco
nd
itie
on
der
de
mat:
de
coll
ecti
evan
rije
nvan
Rie
man
n-s
om
men
moet
engel
ijkm
ati
gco
nver
ger
en.
De
form
ele
defi
nit
ielu
idt:∃s∈
R:∀ε>
0:∃N∈
N:∀
Rie
man
n-r
ijR
1,R
2,...
:n>N⇒|Rn−s|<ε.
IV-7
Werk
wij
ze1
om
een
bepaald
ein
tegra
al
teb
ere
kenen
Hoof
dst
elling
1va
nde
inte
graal
reke
nin
gla
aton
sto
eb
epaal
de
inte
gral
en(v
anco
nti
nue
funct
ies)
teb
erek
enen
:
Werk
wij
ze
1.
Geg
even
isee
nfu
nct
ief
(x),
conti
nu
over
[a,b
].O
mde
bep
aald
ein
tegra
al
∫b
a
f(x
)dx
teb
erek
enen
gaan
we
als
volg
tte
wer
k.
Sta
p1.
Zoek
de
opp
ervla
kte
funct
ieA
(t)
uit
de
voor
waa
rden
A′ (t)
=f
(t)
enA
(a)
=0.
Sta
p2.
Dan
is
∫b
a
f(x
)dx
=A
(b).
De
zoek
toch
tnaa
ree
nfu
nct
iew
iens
afge
leid
ef
(t)
is,
noem
tm
enook
wel
‘inte
gre
ren’.
functie
f(x)
deoppervlaktefunctie
A(t)
integreren
afleiden
bepaaldeintegraal
∫b
a
f(x)dx=
A(b)
invullen
ab
y
x
y=
f(x)
at
b
y
x
y=
f(x)
A(t)
ab
y
x
y=
f(x)
∫b
a
f(x)dx
•M
od
elv
oorb
eeld
1.
Geg
even
isde
funct
ief
(x)
=x
2.
(a)
Bep
aal
de
opp
ervla
kte
funct
ieA
(t)
vanf
tuss
enx
=0
enx
=2.
(b)
Ber
eken
∫2
0
f(x
)dx
met
beh
ulp
van
de
opp
ervla
kte
funct
ie.
Con
trol
eer
met
jegr
afisc
hre
kenm
achin
ezo
als
oppag
ina
9.
Oplo
ssin
g.
•M
od
elv
oorb
eeld
2.
Geg
even
isde
funct
ief
(x)
=1 4x
3.
(a)
Bep
aal
de
opp
ervla
kte
funct
ieA
(t)
vanf
tuss
enx
=1
enx
=2.
(b)
Ber
eken
∫2
1
f(x
)dx
met
beh
ulp
van
de
opp
ervla
kte
funct
ie.
Contr
olee
rm
etje
gra
fisc
hre
kenm
ach
ine.
Oplo
ssin
g.
•B
esl
uit
.H
oofd
stel
ling
1m
aakt
het
mog
elij
kom
bep
aal
de
inte
gra
len
teb
erek
enen
.M
aar
telk
ens
contr
ole
ren
ofA
(a)
=0
maa
kt
de
wer
kw
ijze
wat
omsl
ach
tig.
In§1
.5zi
enw
eee
ntw
eede
wer
kw
ijze
waar
bij
de
contr
ole
‘A(a
)=
0’ov
erb
odig
zal
blijk
en.
IV-1
2
BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 12
WERKEN MET EEN WISKUNDIG MODEL
Inhoudsopgave
Lijst van onderwerpen
Onderwerp 1 - Ruimtelijke ordening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-133
Onderwerp 2 - Milieukunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-134
Onderwerp 3 - Celbiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-135
Onderwerp 4 - Visteelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-136
Onderwerp 5 - Plantenteelt I (gewassen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-137
Onderwerp 6 - Plantenteelt II (kamerplanten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-138
A-132
Onderwerpen
Onderwerp 1. Ruimtelijke ordening
Bouw van woningen.
In een gemeente met 30 000 inwoners staan 10 000 woningen. De gemeente schat dathet gemiddeld aantal bewoners per woning gelijk blijft aan drie, en bouwt er 200woningen per jaar bij.
Uit gegevens uit het verleden wordt een empirisch model voor de veranderingen in debevolkingsomvang afgeleid. De prognose voor het aantal geboorten is
g(t) = 734 + 55t+ 2t2 per jaar,
en die voor het aantal sterfgevallen is
s(t) = 350 + 37t− t2 per jaar.
In beide formules is t uitgedrukt in jaren na het begin van de planningsperiode. De overige effecten, zoals migratie,houden elkaar volgens de schattingen in evenwicht.
Model. Het aantal inwoners als functie van de tijd geven we aan met N(t). De afgeleide van N(t) is de veranderingvan het aantal inwoners per tijdseenheid (jaar). De netto bevolkingstoename per jaar is het aantal geboorten minushet aantal sterfgevallen, ofwel
N ′(t) = g(t)− s(t)Opgave.
1. Bepaal het aantal inwoners als functie van de tijd.
2. Hoeveel inwoners kwamen er tijdens het eerste jaar bij?
Antwoord. 394
3. Wat is het aantal woningen W als functie van t?
4. Wanneer zal de woningbehoefte even hard groeien als de woningvoorraad?
Antwoord. Na 6 jaar.
5. Wanneer ontstaat er volgens de norm van de gemeente een woningtekort?
A-133
Onderwerp 2. Milieukunde
Lozing op open water.
Een chemische fabriek heeft een verguning voor het lozen van 1000 kg van een afvalstofper week op een rivier. De rivier heeft een constant debiet van 0, 2 m3/s. Per weekstroomt dan 120 960 m3 water voorbij. Een gelijkmatige lozing van 1000 kg per weekzou dus een constante concentratie
1000 kg/week
120 960 m3/week≈ 8, 267 · 10−3 kg/m3
in het water stroomafwaarts van de fabriek geven.
Ter controle wordt stroomafwaarts van de lozingpijp de concentratie afvalstof geme-ten, en die afvalstof wordt toegeschreven aan de fabriek. Het gemeten verloop wordtbeschreven door de functie
c(t) = c0 e0,0125 t kg/m3,
met t in weken na het begin van de metingen en c0 = 7 · 10−3 kg/m3. In het begin geldt c(0) = c0 = 7 · 10−3 kg/m3,dus op dat moment is de fabriek binnen de lozingsnorm. Blijft dat ook zo?
Model. We nemen t = 0 bij het begin van de metingen. De hoeveelheid gepasseerde afvalstof op tijdstip t sinds hetbegin van de metingen duiden we aan met G(t). De afgeleide G′(t) is dan de toename per tijdseenheid (week), endat is de hoeveelheid afvalstof die er (per tijdseenheid) in de rivier stroomt. Die hoeveelheid is het product van deconcentratie c(t), in kg/m3, en het debiet D = 120 960 m3/week.
Opgave.
1. Bepaal de hoeveelheid gepasseerde afvalstof op tijdstip t.
2. Hoeveel afvalstof is er in de eerste week geloosd?
Antwoord. 852, 0341 . . . kg
3. Hoeveel afvalstof is er in de vierde week geloosd?
Antwoord. 884, 5920 . . . kg
4. We duiden met H(t) de hoeveelheid afval aan die de week voorafgaand aan tijdstip t is geloosd. Geef eenuitdrukking voor H(t).
5. Op welk tijdstip T geldt H(T ) = 1000? Wat gebeurt er als t > T?
A-134
Onderwerp 3. Celbiologie
plantencel
Een vacuole is een met vocht gevuld blaasje, dat zich in het cytoplasma van eencel bevindt. Plantencellen bevatten meerdere kleine vacuolen. Deze vacuolen nemenwater op en verenigen zich later tot een grote vacuole. Het vocht in de vacuolen bestaatuit water met daarin opgeloste stoffen, o.a. reservestoffen, kleurstoffen en afvalstoffen.De kleurstoffen zorgen voor de kleur van bijvoorbeeld planten en bloemen.
Model. Een plantencel neemt water op in een vacuole, die aanvankelijk een volumeV (0) = 10µm3 heeft. De opnamesnelheid wordt gemodelleerd als
V ′(t) = 20 e−2t
met t de tijd in uren.
Opgave.
1. Bepaal het volume van de plantencel in functie van de tijd t.
2. Hoeveel water bevat de vacuole na een kwartier?
Antwoord. 13, 9346 . . . µm3
3. Wat wordt volgens dit model het volume van de vacuole op den duur?
4. Hoeveel water werd er door de vacuole in het eerste uur opgenomen?
5. Hoeveel water werd er door de vacuole in het derde uur opgenomen?
Antwoord. 0, 1583 . . . µm3
6. We duiden met H(t) de hoeveelheid water aan die het uur voorafgaand aan tijdstip t werd opgenomen.Geef een uitdrukking voor H(t).
7. Op welk tijdstip T geldt H(T ) = 0, 001?
A-135
Onderwerp 4. Visteelt
viskwekerij
Visteelt is een vorm van aquacultuur, waarbij vissen op een commerciele manier wor-den gekweekt voor consumptie. Door teruglopende visvangsten, veroorzaakt dooroverbevissing, wordt de visteelt een steeds belangrijkere tak in de visserij. Om eenoptimale visteelt te garanderen is het van belang de groei van vissen in kweek temodelleren.
Model. Veronderstel dat de massa van een vis groeit volgens de modelvergelijking
m′(t) =α√t
met m de massa uitgedrukt in gram, t de tijd in dagen en α = 2 g · d− 12 .
Opgave.
1. Ga na dat de eenheden in deze vergelijking met elkaar overeenstemmen.
2. Bepaal m(t) als m(0) = 1.
3. Wat gebeurt er volgens dit model op den duur met de massa van de vis?
4. Hoeveel gram nam de vis toe tijdens de eerste dag?
Antwoord. 4g
5. Hoeveel gram nam de vis toe tijdens de vijfde dag?
Antwoord. 0, 94427 . . . g
6. We duiden met V (t) het aantal gram aan waarmee de vis toeneemt op de dag voorafgaand aan tijdstip t.Geef een uitdrukking voor V (t).
7. Van zodra de aangroei van de vis per dag kleiner is dan 0, 5 gram per dag is het niet langer rendabel om devissen in kweek te houden. Op welke dag kan men het best deze vissoort oogsten?
A-136
Onderwerp 5. Plantenteelt I
zomertarwe
Een akker wordt op 1 april met zomertarwe ingezaaid. Aanvankelijk groeien de plan-ten vrijstaand op, ze beconcurreren elkaar niet op voedingsstoffen en licht.
Model. We modelleren deze eerste fase met een constante relatieve groeisnelheid,we krijgen dan een exponentiele functie. De groeisnelheid van de tarwe in het modelwordt gegeven door
y′(t) = 0, 0672 e0,2 t
in kg drooggewicht per ha per dag, t in dagen. Deze fase duurt 40 dagen, tot en met10 mei.
In de tweede fase, tot en met 19 juli (70 dagen) neemt de onderlinge concurrentie toe. De groeisnelheid is dan constant.In de laatste fase is de tarwe volgroeit, en alle energie wordt gebruikt voor het rijpen van het graan. De groeisnelheidneemt af. De laatste 10 dagen tot de oogst op 29 juli wordt de groeisnelheid gemodelleerd met
y′(t) = 200 e−0,53 (t−110)
Opgave.
1. Schets de grafiek van de groeisnelheid van de tarwe als functie van de tijd, voor 0 ≤ t ≤ 120.
2. Wat is het drooggewicht per hectare aan het eind van de eerste fase?
Antwoord. 1001, 2658 . . . kg/ha
3. Bereken de groeisnelheid aan het eind van de exponentiele fase.
4. Bereken de gewichtstoename van de tarwe in de fase van constante groei.
5. Bereken ten slotte de gewichtstoename in de derde fase, de rijping.
Antwoord. 375, 4748 . . . kg/ha
6. Schets een grafiek van het drooggewicht van de tarwe als functie van de tijd over de gehele periode. Neem daarbijaan dat het begingewicht te verwaarlozen is. Verklaar ook hoe je deze grafiek gevonden hebt.
7. Wat mag men verwachten voor de opbrengst van de oogst, als je weet dat de akker een oppervlakte heeft van80 hectare?
A-137
Onderwerp 6. Plantenteelt II
vrouwentongen(Sansevieria trifasciata)
Planten slaan door assimilatie energie in hun bladeren op. Hierbij wordt kooldioxide(C02) gebonden en komt zuurstof (O2) vrij:
CO2 + energie −→ suiker + O2
De assimilatiesnelheid is evenredig met de lichtintensiteit (fotosynthese), assimila-tie heeft dus alleen overdag plaats. Hierbij neemt het gewicht y van de plant (debiomassa) toe.
Model. De groei van de biomassa van een kamerplant door assimilatie modellerenwe met
y′a(t) = 10 sin
(1
12(t− 6)π
)(in mg/uur) voor 6 ≤ t ≤ 18
waarin t gemeten is in uren na middernacht. Buiten de genoemde uren is y′a(t) nul.Bij het omgekeerde proces, ademen of respiratie, komt de opgeslagen energie weervrij, en neemt het gewicht af. De ademhalingssnelheid veronderstellen we gedurendehet hele etmaal constant, de bijhorende gewichtsverandering is
y′r(t) = −1 (in mg/uur)Opgave.
1. Teken in een figuur de functies y′a(t) en y′r(t) voor t = 0 tot t = 24.
2. Bereken de gewichtstoename per dag door assimilatie en het gewichtsverlies door respiratie.Hoeveel neemt de plant per dag aan gewicht toe?
Antwoord. Gewichtstoename per dag is 52, 39 . . .mg
3. Voor respiratie is zuurstof nodig, elke milligram gewichtsvermindering verbruikt 1, 7 mg zuurstof. Een kubiekemeter lucht bevat 0, 4 kg zuurstof. Hoeveel kubieke meter lucht gebruikt deze plant per nacht (van 18.00 u. tot6.00 u.)?
Antwoord. 0, 000051m3
4. Moet je daarmee rekening houden als je tien van deze kamerplanten op een slaapkamer van 5m op 4m op 2mzet? Fundeer je antwoord.
A-138
BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 13
LEREN UIT OPGELOSTE PROBLEMEN
Inhoudsopgave
Extra problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-140
A-139
Extra problemen
Probleem 7. Bepaal telkens de vergelijking van de familie van krommen met de gegeven helling, en de kromme uitdie familie die het gegeven punt bevat.
(a) m =tanx
yen A(0, 2) (c) m = −2y lnx en C(2, 8)
(b) m =23x−1
y3en B(1,−1) (d) m =
xy
1 + x2en D(3, 5)
Probleem 8. Voor een kromme y = f(x) geldt dat y′′ = 2. Bovendien bevat die kromme het punt P (2, 6) en is dehelling in P aan de kromme gelijk aan 10. Bepaal de vergelijking van die kromme.
Probleem 9. Voor een kromme y = f(x) geldt dat y′′ = 6x − 8. Bovendien bevat die kromme het punt P (1, 0) enwordt de normaal in dat punt gegeven door 2x− 3y = 2. Bepaal de vergelijking van die kromme.
Probleem 10 (Biologie). Een kolonie bacterien wordt blootgesteld aan ultraviolet licht, die het DNA van de bac-terien aantast zodat de kolonie uitsterft. In een laboratorium-experiment heeft men ontdekt dat de mate van deafname van het aantal levende bacterien evenredig is met het aantal nog levende bacterien op dat moment. Na 7seconden leven er nog 70, 5% van hen.
(a) Hoeveel bacterien leven er nog na een 20 seconden?
(b) Hoe lang duurt het voordat 95% van de bacterien dood zijn?
Probleem 11 (Natuurkunde). De temperatuur van een fles melk daalt met een snelheid van 0, 0837 keer het ver-schil tussen de melktemperatuur op dat moment en de kamertemperatuur die 20◦ bedraagt. Onderstel dat de melkaanvankelijk 80◦ warm is. Na hoeveel tijd is de melktemperatuur tot 50◦ gezakt?
Aanwijzing. Als y(t) de melktemperatuur op tijdstip t is, zal y′(t) dan positief of negatief zijn? Dus schrijf je dany′ = . . . · (. . .− y) of y′ = . . . · (y − . . .)?Probleem 12 (Bevolkingsleer). Een gebied heeft een maximale bevolkingscapaciteit van 200 miljoen mensen. Opelk tijdstip t is de mate van de toename van de bevolking evenredig met het verschil van de bevolkingscapaciteit en debevolking op dat moment. Aanvankelijk leven er 50 miljoen mensen, en tien jaar later zijn er al 109 miljoen mensen.
(a) Bepaal de bevolking na 20 jaar.
(b) In welk jaar zal 90% van de bevolkingscapaciteit bereikt worden?
Probleem 13 (Economie). Bij het opstarten van een bedrijf verwacht men dat op elk ogenblik de mate van detoename van de jaarlijkse verkoopcijfers evenredig zal zijn met het verschil tussen de verkoopcijfers op dat ogenbliken een bovengrens van 20 miljoen euro. Initieel zijn de verkoopcijfers uiteraard 0 en ze zijn 4 miljoen voor het tweedeoperationele jaar.
(a) Welke verkoop mag men verwachten na 10 jaar?
(b) In welk jaar zullen de verkoopcijfers 15 miljoen euro bedragen?
Probleem 14 (Besmettingsleer). Een gemeenschap van 1000 mensen is homogeen samengesteld. Een persoonkeert uit het buitenland terug met een griepvirus. Onderstel dat de thuisgemeenschap niet ingeent is tegen griepen allen vatbaar zijn voor deze ziekte. Bovendien is de mate van de verandering van het aantal besmette personenevenredig met het product van het aantal besmette en het aantal niet besmette personen. Na 7 dagen zijn er tienpersonen besmet.
(a) Hoeveel mensen zijn na 20 dagen besmet door het virus?
(b) Hoeveel dagen duurt het tot de helft van de gemeenschap is aangetast door het griepvirus?
Aanwijzing. Om de integraal te berekenen gebruik je data
y(a− y)=
1
a− y +1
y.
Probleem 15 (Sociologie). Een groep van 800 mensen - studenten, vrienden, verloofden, ouders, etc. - zit op heteinde van het academiejaar gespannen te wachten op de proclamatie van de resultaten. Iemand uit deze groep beweertdat hij/zij het - uiteraard foutieve - gerucht heeft opgevangen dat slechts 15% van de studenten geslaagd is. Ditonrustbarende nieuws verspreidt zich als een lopend vuurtje. Sociologen beweren dat de mate van de toename van hetaantal mensen dat het gerucht vernomen heeft evenredig is met het product van het aantal mensen die het geruchtgehoord hebben en het aantal mensen die het gerucht nog niet gehoord hebben. Als na een minuut al 50 mensen hetgerucht opgevangen hebben, na hoeveel tijd heeft 95% van de aanwezigen het gerucht gehoord?
Aanwijzing. Om de integraal te berekenen gebruik je data
y(a− y)=
1
a− y +1
y.
A-140