het practicum wiskunde - webs · het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en...

153
Het practicum wiskunde: co ¨ operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing secundair onderwijs K.U. Leuven Campus Kortrijk 19 november 2011 Samenvatting In deze werkwinkel stellen we het ‘practicum wiskunde’ voor, een werkvorm voor onderwijs wiskunde in studierichtingen met component wiskunde in de derde graad van het algemeen secundair onderwijs. Het doel van deze werkvorm is het vaststellen, aanleren, stimuleren, evalueren en opvolgen van vakgebonden vaardigheden en attitudes bij leerlingen. De didactische methode ‘co¨ operatief leren’ staat hierbij centraal: bij het uitvoeren van de practica leren de leerlingen van de interactie met elkaar. 1 CC-licentie BY-NC: het kopi¨ eren, distribueren, vertonen en uitvoeren van het werk en afgeleide werken is toegestaan op voorwaarde van het vermelden van de oorspronkelijke auteur, en mag niet voor commerci¨ ele doeleinden. Opmerkingen, verbeteringen en suggesties zijn steeds welkom bij de auteur op e-mail adres [email protected]. Deelnemers van deze werkwinkel krijgen een selectie uit deze syllabus. De volledige syllabus en bijhorende presentatie staan digitaal ter beschikking op http://www.koendenaeghel.be/#Voordrachten. De syllabus verschijnt eind 2011 als open publicatie (in boekvorm, online printing on demand service).

Upload: others

Post on 09-Aug-2020

5 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Het practicum wiskunde:

cooperatief aanleren van vaardighedenen attitudes

Koen De Naeghel 1

Dag van de wiskunde voor tweede en derde graadnascholing secundair onderwijsK.U. Leuven Campus Kortrijk

19 november 2011

Samenvatting

In deze werkwinkel stellen we het ‘practicum wiskunde’ voor, een werkvorm voor onderwijs wiskunde instudierichtingen met component wiskunde in de derde graad van het algemeen secundair onderwijs. Hetdoel van deze werkvorm is het vaststellen, aanleren, stimuleren, evalueren en opvolgen van vakgebondenvaardigheden en attitudes bij leerlingen. De didactische methode ‘cooperatief leren’ staat hierbij centraal:bij het uitvoeren van de practica leren de leerlingen van de interactie met elkaar.

1CC-licentie BY-NC: het kopieren, distribueren, vertonen en uitvoeren van het werk en afgeleide werken is toegestaanop voorwaarde van het vermelden van de oorspronkelijke auteur, en mag niet voor commerciele doeleinden. Opmerkingen,verbeteringen en suggesties zijn steeds welkom bij de auteur op e-mail adres [email protected]. Deelnemers van dezewerkwinkel krijgen een selectie uit deze syllabus. De volledige syllabus en bijhorende presentatie staan digitaal ter beschikkingop http://www.koendenaeghel.be/#Voordrachten. De syllabus verschijnt eind 2011 als open publicatie (in boekvorm, onlineprinting on demand service).

Page 2: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

VOORWOORD

Het doel van deze werkwinkel

Didactiek gaat gepaard met het hebben van een visie op het onderwijs. Leerkrachten geven op een verschillendemanier les, bijgevolg is de visie van een leerkracht persoonsgebonden. Maar net door je ervaringen te delen metje collega’s kun je die visie bevestigd zien, of zelfs verrijken met nieuwe inzichten. De auteur wil zijn visie zeker nietopdringen, of een andere moraliserende vorm handhaven. De practica in deze syllabus zijn ontstaan vanuit eigen (vrijjonge) ervaring, en hebben dan ook niet de pretentie ‘af’ te zijn, of erger: ‘zo moet het’. Zij willen enkel vanuit dieervaring laten zien: ‘zo kan het ook’.

In dit kader werd deze syllabus geschreven. De opgenomen practica zijn niet overgenomen uit boeken, maar vormeneen onderdeel uit een cursus1 wiskunde die de auteur schreef ten dienste van de leerlingen uit de derde graad vanhet Onze-Lieve-Vrouwecollege te Brugge. Die cursus (inclusief de in deze syllabus opgenomen practica) werd netontworpen vanuit de behoefte aan een - vaak niet klassieke - benadering van bepaalde concepten in de wiskunde, diezich volgens de auteur op een natuurlijke wijze opdringen.

Praktische richtlijnen

Om deze practica optimaal te benutten volgen nu enkele praktische richtlijnen.

• Deze syllabus bestaat uit drie delen.

. Inleiding We lichten de noodzaak van het bewust en expliciet stimuleren van vaardigheden, attitudes enopvattingen toe. Uit een poging van de auteur om dit te verwezenlijken is het practicum wiskunde ontstaan.

. Practicum wiskunde - Werkbundels voor de leerlingen (pagina’s Pr-1 tot en met Pr-59) bevat debindteksten zoals de leerlingen die krijgen. Ze worden het best afgedrukt op A3-formaat (recto-verso metC-vouw), zodat de leerlingen hun verslag in hun practicumbundel kunnen voegen. Elk practicum is voorzienvan een inleiding, waarin de doelstellingen voor dat practicum verduidelijk worden.

. Appendix Practicum wiskunde - Bijlagen voor de leerkracht (pagina’s A-61 tot en met A-139)biedt informatie voor de leerkracht aan, zoals opgaven en toepassingen waar in de reguliere practica naarverwezen wordt, en oplossingen waarbij de ingevulde tekst blauw gekleurd is.

• Onderlijnde woorden geven aan dat het om een definitie gaat (van die woorden).

• Deze syllabus maakt gebruik van het grafisch rekenmachine TI-83 of TI-84 Plus. Alle noodzakelijke schermaf-drukken werden in de syllabus opgenomen, zodat de leerling ook buiten de les aan de slag kan.

• Oefeningen vergezeld met het symbool ? zijn doorgaans wat moeilijker dan de reguliere oefeningen.

• Deze syllabus staat digitaal ter beschikking op http://www.koendenaeghel.be . Het symbool geeft aan datde digitale versie van deze syllabus een link voorziet naar een relevante webpagina.

Woord van dank

Mijn dank gaat uit naar de stuurgroep wiskunde Diocesane Pedagogische Begeleidingsdienst Bisdom Brugge, o.l.v.Geert Delaleeuw (voorzitter en vakbegeleider) en Luc Gheysens (vakbegeleider), van wie ik de kans kreeg om dezewerkwinkel aan te bieden.

Tenslotte dank ik ook iedereen die mij op een of andere manier feedback gaf op deze practica, in het bijzonder mijnoud-leerlingen van schooljaren ’09-’10 en ’10-’11.

Brugge, november 2011 — KDN

1K. De Naeghel, Wiskunde In zicht: een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundaironderwijs, verschijnt vanaf juli 2012 als open publicatie (in boekvorm, online printing on demand service).

i

Page 3: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

INHOUDSOPGAVE

Voorwoord iHet doel van deze werkwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iPraktische richtlijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iWoord van dank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Inhoudsopgave ii

Inleiding vWaarom vaardigheden en attitudes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viWat met de verhouding tussen kennis en competenties? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viWat is het belang van probleemoplossend denken? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viWat is het belang van samenwerken? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viWat betekenen op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven? . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Waarom volstaat een klassieke toets niet? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiPracticum wiskunde - Inhoud, structuur en evaluatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Inhoud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiStructuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiiEvaluatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Pr Practicum wiskunde - Werkbundels voor de leerlingen Pr

Woord vooraf Pr-i

1 Informatie verzamelen, ordenen en bewerken Pr-11 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-1

Informatie verzamelen met behulp van het internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-2Informatie ordenen en bewerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-3

2 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-3Evaluatieformulier Practicum 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-4

2 Probleemoplossend denken (1) Pr-51 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-5

Stappenplan voor probleemoplossend denken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-5Modelvoorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-6

2 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-7Evaluatieformulier Practicum 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-8

3 Probleemoplossend denken (2) Pr-91 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-9

Stappenplan voor probleemoplossend denken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-92 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-10Tien problemen - Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-11Evaluatieformulier Practicum 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-12

4 Toepassingen in groep verwerken Pr-131 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-132 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-13Oefeningen - Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-14Evaluatieformulier Practicum 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-16

ii

Page 4: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

5 Hoe studeer je een bewijs? Pr-171 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-17

Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-172 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-19Evaluatieformulier Practicum 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-20

6 Samenwerken Pr-211 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-21

Niveaus van samenwerking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-21Graden van samenwerking in de klas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-22

2 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-22Oefeningen - Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-23Reflectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-23Evaluatieformulier Practicum 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-24

7 Een wetenschappelijk verslag schrijven Pr-251 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-25

Opbouw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-25Schrijftips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-26Samenvattend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-28

2 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-28Evaluatieformulier Practicum 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-29

8 Onderzoeksopdracht (1) Pr-301 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-30

Verantwoording . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-302 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-31Onderzoeksopdracht - Logische wetten bewijzen met interferentieregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-31Evaluatieformulier Practicum 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-33

9 Onderzoeksopdracht (2) Pr-341 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-342 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-34Onderzoeksopdracht - Het probleem van Josephus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-35Evaluatieformulier Practicum 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-37

10 Onderzoeksopdracht (3) Pr-381 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-382 Afspraken en tips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-38

Richtlijnen bij het onderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-38Richtlijnen bij het verslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-39Beoordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-39

3 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-40Evaluatieformulier Practicum 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-41

11 Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels Pr-421 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-422 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-42Oefeningen - Oplossingssleutels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-43Evaluatieformulier Practicum 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-45

12 Werken met een wiskundig model Pr-461 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-462 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-48Evaluatieformulier Practicum 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-49

13 Leren uit opgeloste problemen Pr-501 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-502 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-50Opgeloste problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-51Evaluatieformulier Practicum 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-53

iii

Page 5: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

14 Een wetenschappelijke presentatie geven Pr-541 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-54

Opbouw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-54Voorbereiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-55Presenteren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-56Verantwoording . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-57

2 Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-57Evaluatieformulier Practicum 14 - Evaluatiepunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-58

A Practicum wiskunde - Bijlagen voor de leerkracht A

2 Probleemoplossend denken (1) A-61Lijst van opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-62

3 Probleemoplossend denken (2) A-74Tien problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-75

Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-75Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-76

4 Toepassingen in groep verwerken A-83Toepassingen 1 en 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-84

Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-84Ingevulde versie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-92

Oefeningen 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-100Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-100Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-101

5 Hoe studeer je een bewijs? A-105In te studeren bewijs (vijfde jaar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-106In te studeren bewijs (zesde jaar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-107

6 Samenwerken A-108Toepassingen 1 en 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-109

Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-109Ingevulde versie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-111

Oefeningen 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-113Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-113Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-113

7 Een wetenschappelijk verslag schrijven A-115Voorbeeld van een wetenschappelijk verslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-116Onderwerp (taken 11.3, 11.4 en 11.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-118Verslag dat een leerling enkele jaren terug gemaakt heeft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-120

8 Onderzoeksopdracht (1) A-122Onderzoeksvraag - Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-123

10 Onderzoeksopdracht (3) A-124Opdracht: Wiskundig door de bocht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-125

11 Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels A-129Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-130Cursustekst waar naar verwezen wordt in de oplossingssleutels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-131

12 Werken met een wiskundig model A-132Lijst van onderwerpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-133

13 Leren uit opgeloste problemen A-139Extra problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-140

iv

Page 6: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

INLEIDING

Wanneer een leerkracht wiskunde er het leerplan2 bij neemt, dan is de kans groot dat hij of zij meteen naar deinhoudelijke doelstellingen grijpt en de paragraaf over vaardigheden, attitudes en opvattingen links laat liggen.Nochtans valt ook die laatste categorie onder de leerplandoelstellingen, onder meer:

rekenvaardigheid wiskundige taalvaardigheid probleemoplossende vaardigheidonderzoeksvaardigheden leervaardigheden zin voor nauwkeurigheidkritische zin zin voor samenwerking en overleg waardering voor wiskunde

Een veelvoorkomend argument hierbij is dat vakgebonden vaardigheden en attitudes ‘automatisch’ worden gerealiseerdbij de verwerking van de inhoudelijke doelstellingen. Dat hangt echter af van de soort werkvormen die de leerkachthanteert. Zo zal frontaal lesgeven de zin voor samenwerking en overleg niet bevorderen. En lost men alle oefeningenklassikaal op, dan bekwamen leerlingen zich niet in onderzoeksvaardigheden. Daardoor wordt in voorgaande argumen-tatie de term ‘automatisch’ niet evident. Een passage uit de paragraaf over vaardigheden, attitudes en opvattingen inhet leerplan geeft diezelfde toon aan (leerplan pagina 22):

Vaardigheden worden niet automatisch gegenereerd door de studie van ermee verwante inhouden. Zemoeten precies meermaals bij spontaan gebruik geexpliciteerd worden.

Hoewel een leerplan wel beschrijft wat deze vaardigheden en attitudes zijn, en men er een gedetailleerde beschrijvingop na houdt, vermeldt het niet hoe deze competenties concreet bereikt kunnen worden. Voor de auteur was dit deaanleiding om op zoek te gaan naar een concrete werkvorm die op een bewuste en expliciete manier vaardigheden enattitudes bij leerlingen stimuleert: het practicum wiskunde.

Het vervolg van deze inleiding is als volgt gestructureerd.We starten met een visie waarom bepaalde vaardigheden en attitudes ontwikkeld dienen te worden. We overlopenenkele bedenkingen, en kaderen het geheel in een breder perspectief. Aandacht hebben voor competenties is dus niethet louter in regel stellen met het leerplan/eindtermen, maar moet eerder gezien worden als een zinvol on-derdeel binnen de opleiding van leerlingen.

Daarna doen we het concept van de methodiek ‘practicum wiskunde’ uit de doeken: waaruit bestaat het, waarvoordient het en hoe kan de leerkracht het gebruiken (inhoud en evaluatie).

Waarom vaardigheden en attitudes?

George Polya(1887 - 1985)

Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundigekennis het best aanleren door het observeren van een expert (leerkracht, docent) inactie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methode in vraag. Zo stelt dewiskundige en didacticus George Polya (1945) dat kennisoverdracht door middelvan het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskunde onderwijs,en dit op elk niveau. Leerlingen moeten zelf de kans krijgen om te ontdekken, ennadien een redenering op een haalbaar niveau kunnen leveren.

Het (zelfstandig) oplossen van problemen, ook wel probleemoplossend denkengenoemd, is een voorbeeld van wat de jongste jaren een trend in het onderwijs isgeworden: de zogenaamde competenties. Ruim genomen is een competentie hetvermogen om adequaat te handelen. De nadruk ligt bij het begrip competentie dusniet op weten maar op kunnen. In de vakliteratuur onderscheidt men zo’ndertig tot veertig competenties, zoals luisteren, analyseren, mondeling presenteren,overtuigen, leidinggeven en samenwerken.

Het feit dat competenties een trend zijn binnen het onderwijs kan niet de enigedrijfveer zijn om er aandacht aan te besteden. Maar het zou er de leerkacht wel toemoeten aanzetten om er over na te denken. Typisch is dat hij/zij hierbij een aantal bedenkingen heeft. Hiernaoverlopen we enkele van die bedenkingen, en geven duiding3 binnen de maatschappelijke context.

2 Leerplan A derde graad ASO: studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019.3Inspiratie werd ontleend aan http://www.leren.nl/cursus/leren−en−studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html en

http://www.carrieretijger.nl .

v

Page 7: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer?

Men heeft ontdekt dat de halveringstijd van kennis enorm achteruit gaat. Zo was bijvoorbeeld in 1987 de halve-ringstijd van de kennis van een juist afgestudeerd elektrotechnisch ingenieur tien jaar. Dat wil zeggen dat in tien jaartijd, de helft van diens kennis was verouderd. In 1997 bedroeg de halveringstijd van die kennis nog maar vijf jaar! Deconsequenties van die ontdekking zijn enorm. Stel je voor: je volgt een studie van ongeveer vijf jaar en vijf jaar lateris de helft van wat je leerde al weer verouderd! Voor onderwijsinstellingen is het haast zinloos om veel tijd en geld teinvesteren in kennisoverdracht. Wat men leerlingen en studenten vandaag leert, is morgen alweer achterhaald. Datschiet niet op. Daarom is het onderwijs gaan inzetten op de overdracht van competenties.

Wat met de verhouding tussen kennis en competenties?

Tegenwoordig hebben we te maken met een generatie die een overgang gemaakt heeft van te veel kennis naar vaardighe-den en attitudes. Volgens sommigen4 was die slinger wat teveel doorgeslagen, en gaan we nu meer naar een evenwicht.Het is dan ook onze mening dat een gezond evenwicht tussen kennis en competenties pas bereikt kan wordenals de leerkracht streeft naar een doordachte visie op didactiek, en in dialoog treedt met andere collega’s om dievisie bevestigd te zien en elkaar te verrijken met nieuwe inzichten (zie ook het voorwoord van deze syllabus). Hetbewaken van de kwaliteit van het onderwijs is hier een logisch gevolg van. Maar we zijn er net van overtuigddat het streven naar competenties niet hoeft te betekenen dat het niveau van de leerlingen op het vlak van wiskundedaalt.

Wat is het belang van probleemoplossend denken?

Het bedenken van een oplossing voor een (complex) probleem kan worden gezien als een creatief denkproces watontstaat als een organisme en/of een kunstmatig intelligent systeem niet meer weet wat te doen om het doel te bereiken.En laat het nu net die vaardigheid om problemen op te lossen zijn die erg gegeerd is in de maatschappij. Bedrijvenzijn voortdurend op zoek naar mensen die goed scoren op het oplossen van problemen. Denk maar aan de wijdverbreideintelligentiemetingen zoals de IQ-test, en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan de typische intelligentietestenmet als karakteristieke kenmerken logisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen, numeriek inzicht, verbaal inzichten technisch inzicht. Alleen al het vooruitzicht van een leerling op de toekomstige aanwerving bij een instelling of eenbedrijf duidt op het belang van deze vaardigheden.

Wat is het belang van samenwerken?

Ondertussen is de hoeveelheid tot op vandaag bekende wiskunde en wetenschappen gigantisch groot geworden. Naarschatting komen er elk jaar zo’n 300 000 nieuwe wiskundige ontdekkingen bij5. De volledige kennis hiervan is voor eenenkel individu een utopie. Daardoor alleen al is samenwerking tussen wiskundigen en wetenschappers een noodzaak.

empathie in de wiskunde

Ook in een breed maatschappelijke context is samenwerking onmisbaar. Het al ofniet maken van carriere hangt vaak af van het succesvol omgaan met anderen. Wantvoor veel hogere functies geldt dat niet zozeer vakinhoudelijke kwaliteiten nodig zijn,maar het vermogen om effectief samen te werken. Sociale eigenschappen zoals tact,empathie en gedrag als teamspeler worden dan ook best zo goed mogelijk aangeleerden onderhouden, over de vakken heen. Ook op dat vlak dient het onderwijs zijnverantwoordelijkheid te nemen. Dat kan bijvoorbeeld met cooperatief leren, datniet geheel gericht is op de ontwikkeling van de eigen persoonlijkheid en kennis, maarjuist ook om de ander verder te helpen met de kwaliteiten die het zelf al bezit. Binnencooperatief leren worden de leerlingen uitgedaagd om zelf initiatief te nemen, elkaarte helpen en problemen samen op te lossen.

Wat betekenen op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven?

Per beroep kun je ongeveer acht competenties benoemen die doorslaggevend zijn. Men noemt dat ook wel een stan-daard. In een sollicitatie zal men vooral op die competenties letten.

Voorbeeld. Een secretaresse die ooit tijdens haar opleiding heeft leren notuleren kan notuleren. Maar als zij een anderebaas krijgt die heel andere eisen stelt aan de notulen kan die secretaresse die bij haar eerste baas prima functioneerde,met de handen in het haar zitten. Als ze tijdens haar opleiding had geleerd hoe je hoofdzaken van bijzaken kanonderscheiden en hoe je in overleg met de opdrachtgever tot afspraken komt over het te leveren product, was ze beteraf geweest.

4Mieke Van Hecke, directeur-generaal katholiek onderwijs (De Morgen 14/11).5Sinds 1991 is het voor wetenschappers gebruikelijk om zijn of haar vondsten digitaal beschikbaar te maken op de e-print service arXiv,

beschikbaar op http://xxx.lanl.gov/ .

vi

Page 8: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Waarom volstaat een klassieke toets niet?

Eens een leerkracht kiest voor het bewust ontwikkelen van competenties, dan is het wenselijk om het effect ervan temeten en verder op te volgen. Men zou geneigd kunnen zijn zijn die opvolging te noteren op een klassieke toets.Typisch daarbij zijn opmerkingen in het genre:

• “let op je notatie”,

• “na een berekening je resultaat ook kritisch bekijken: heeft het resultaat zin?”,

• “maak na rekenwerk ook de controle met behulp van je (grafisch) rekenmachine, indien mogelijk”,

• “bij het tekenen van een assenstelsel de assen benoemen”,

• “maak onderscheid tussen gegeven en gevraagde”,

• . . .

Het is echter duidelijk dat een leerling bij het afnemen van de toets zich veel meer toelegt op het reproduceren van dekennis dan het bewust tonen van z’n competenties. Ook bij het lezen van de verbeterde toets zal de leerling eerderinteresse hebben in de punten, en niet zozeer in de opmerkingen in verband met de competenties. Hoewel het eenmet het ander verbonden is (kwaliteit in competenties zal op termijn ook leiden tot hogere punten) zal de leerling dielink niet onmiddellijk aannemen.

Het is zelfs zo dat in sommige scholen de leerkrachten enkel punten mogen geven op inhoudelijk werk, naaronze mening een gevolg van de kwalijke trend dat ouders bij het falen van hun zoon of dochter meteen naar deberoepscommissie stappen. Een nul geven voor het te laat indienen of punten zetten op nauwkeurigheid, orde ensamenwerking zijn uit den boze. Hoewel deze visie zeker verdedigbaar is, brengt het een complicatie met zich mee:de leerkracht kan de daarmee gekoppelde vaardigheden zoals leervaardigheden (plannen van de studietijd), zin voornauwkeurigheid en orde, en zin voor samenwerking en overleg niet op punten zetten, wat voor de leerling een reden temeer is om zijn interesse in die competenties te laten varen.

Practicum wiskunde - Inhoud, structuur en evaluatie

Uit een poging van de auteur om de wiskundige competenties op een uitgesproken manier te behandelen is hetpracticum wiskunde ontstaan. Het bestaat uit enkele projecten, practica genaamd. Het doel van deze practica is datde leerkracht kan beoordelen of de leerling die vaardigheden goed ontwikkelt. Dat kan hij zien aan de verslagen die deleerling zelf of in groep geschreven heeft, en ook hoe de leerling in de groep heeft samengewerkt. Bovendien stimuleerthet leerlingen om over de eigen ontwikkeling na te denken. Op die manier speelt de leerling zelf de hoofdrol bij het‘managen’ van zijn eigen leerproces.

• Wat zijn mijn sterke en zwakke punten? Welke competenties beheers ik goed, welke zou ik kunnen verbeteren?

• Wat is het belang van bepaalde competenties voor mijn studie- en beroepskeuze?

• Hoe kan ik anderen laten zien waar ik goed in ben?

• Hoe kan ik mijn zwakke punten verbeteren?

Inhoud

Naast het implementeren van de practica in de huidige leerstofonderdelen kunnen er - in tegenstelling tot klassiekedidactiek - een aantal onderwerpen aan bod komen die zeker de moeite waard zijn. Sommige zijn zelfs essentieel inde uitvoering van de zogenaamde onderzoekscompetenties derde graad. Zo kan het rapporteren van een wiskundigonderwerp of onderzoeksresultaat pas zinvol gebeuren als er aan leerlingen ook verteld wordt wat een wetenschappelijkverslag of presentatie inhoudt: structuur, schrijfstijl, tips en valkuilen.

De practica die in deze syllabus werden opgenomen zijn geordend volgens de volgorde waarin leerstofonderdelenwiskunde in de derde graad (meestal) gegeven worden. Andere practica zijn dan weer niet meteen verbonden met eenbepaald leerstofonderdeel. In onderstaand overzicht is de vermelding van het aantal lessen slechts richtinggevend.

vijfde of zesde jaar

nr. practicum uitvoering lessen

1 Informatie verzamelen, ordenen en bewerken per twee, computerklas 2

2 Probleemoplossend denken (1) per twee 1

10 Onderzoeksopdracht (3) per vier 5

14 Een wetenschappelijke presentatie geven per drie 1

vii

Page 9: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

vijfde jaar

nr. practicum leerstofonderdeel uitvoering lessen

3 Probleemoplossend denken (2) precalculus per drie 2

4 Toepassingen in groep verwerken matrices per vier 2

5 Hoe studeer je een bewijs lineaire stelsels, inverteerbare matrices individueel 1/2

6 Samenwerken lineaire stelsels, inverteerbare matrices per twee 2

7 Een wetenschappelijk verslag schrijven vectoren, parametervergelijkingen per drie 2

8 Onderzoeksopdracht (1) logica individueel 1

9 Onderzoeksopdracht (2) rijen per twee 1

zesde jaar

nr. practicum leerstofonderdeel uitvoering lessen

5 Hoe studeer je een bewijs bepaalde integralen individueel 1/2

11 Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels bepaalde integralen individueel 1

12 Werken met een wiskundig model integralen per vier 2

13 Leren uit opgeloste problemen onbepaalde integralen per vier 1

Structuur

Werkbundels voor de leerlingen (pagina’s Pr-1 tot en met Pr-59) worden best afgedrukt op A3-formaat (recto-versomet C-vouw), zodat de leerlingen hun verslag in hun practicumbundel kunnen voegen. Elk practicum is voorzien vaneen inleiding, waarin de doelstellingen voor dat practicum verduidelijk worden. De laaste pagina dient als evaluatie-formulier, waarop de competenties zijn opgenomen die voor dat practicum relevant zijn. Onderstaande afbeelding iseen verkleinde versie van zo’n practicumbundel in A3-formaat (recto-verso met C-vouw).

A3-voorkantA4-pagina Pr-4 A4-pagina Pr-1

A3-achterkantA4-pagina Pr-2 A4-pagina Pr-3

Pagina’s Pr, Pr-i tot en met Pr-iv vormen in A3-formaat een kaft waarin de leerling zijn practicabundels kan bijhouden.Deze wordt dan ook best op verhard papier afgedrukt.

Evaluatie

Het verschil met een klassieke taak of toets is dat practica wiskunde ook geevalueerd worden op vaardigheden enattitudes. Bovendien weten de leerlingen aan de hand van hun gekregen bundel op welke competenties zij oefenen enbeoordeeld worden. Typisch is dat de leerkracht bij het quoteren enkele in het oog springende competenties aanduidt.Dat kan op een efficient door deze met een groene (positief) of rode (negatief) fluorescerende stift aan te duiden.Enkele voorbeelden van ingevulde evaluaties vindt de lezer in de appendix terug.

De meeste practica worden ook geevalueerd op inhoud, wat kan verwerkt worden in de tussentijdse evaluatie. Sommigescholen voorzien naast een klassiek puntenrapport ook een attituderapport. Hierin kan de leerkracht wiskunde dan devakgebonden (leer)attitudes op aanbrengen die beoordeeld werden in de practica.

viii

Page 10: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Practicum wiskunde

Werkbundels voor de leerlingen

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

Pr

Page 11: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

WOORD VOORAF

George Polya(1887 - 1985)

Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundigekennis het best aanleren door het observeren van een expert (leerkracht, docent) inactie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methode in vraag. Zo stelt dewiskundige en didacticus George Polya (1945) dat kennisoverdracht door middelvan het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskunde onderwijs,en dit op elk niveau. Leerlingen moeten zelf de kans krijgen om te ontdekken, ennadien een redenering op een haalbaar niveau kunnen leveren.

Het (zelfstandig) oplossen van problemen, ook wel probleemoplossend denkengenoemd, is een voorbeeld van wat de jongste jaren een trend in het onderwijs isgeworden: de zogenaamde competenties. Ruim genomen is een competentie hetvermogen om adequaat te handelen. De nadruk ligt bij het begrip competentie dusniet op weten maar op kunnen. In de vakliteratuur onderscheidt men zo’ndertig tot veertig competenties, zoals luisteren, analyseren, mondeling presenteren,overtuigen, leidinggeven en samenwerken.

Het feit dat competenties een trend zijn binnen het onderwijs kan niet de enige drijfveer zijn om er aandacht aan tebesteden. Maar het zou er de leerkacht en de leerling wel toe moeten aanzetten om er over na te denken. Typisch is dathij/zij hierbij een aantal bedenkingen heeft. Hierna overlopen we enkele, en geven duiding binnen de maatschappelijkecontext. 6

1. Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer? Men heeft ontdekt dat de halveringstijd van kennisenorm achteruit gaat. Zo was bijvoorbeeld in 1987 de halveringstijd van de kennis van een juist afgestudeerdelektrotechnisch ingenieur tien jaar. Dat wil zeggen dat in tien jaar tijd, de helft van diens kennis was verouderd.In 1997 bedroeg de halveringstijd van die kennis nog maar vijf jaar! De consequenties van die ontdekking zijnenorm. Stel je voor: je volgt een studie van ongeveer vijf jaar en vijf jaar later is de helft van wat je leerde al weerverouderd! Voor onderwijsinstellingen is het haast zinloos om veel tijd en geld te investeren in kennisoverdracht.Wat men leerlingen en studenten vandaag leert, is morgen alweer achterhaald. Dat schiet niet op. Daarom ishet onderwijs gaan inzetten op de overdracht van competenties.

2. Wat is het belang van probleemoplossend denken? Het bedenken van een oplossing voor een (complex) probleemkan worden gezien als een creatief denkproces wat ontstaat als een organisme en/of een kunstmatig intelligentsysteem niet meer weet wat te doen om het doel te bereiken. En laat het nu net die vaardigheid om problemenop te lossen zijn die erg gegeerd is in de maatschappij. Bedrijven zijn voortdurend op zoek naar mensen die goedscoren op het oplossen van problemen. Denk maar aan de wijdverbreide intelligentiemetingen zoals de IQ-test,en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan de typische intelligentietesten met als karakteristieke kenmerkenlogisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen, numeriek inzicht, verbaal inzicht en technisch inzicht. Alleenal het vooruitzicht van een leerling op de toekomstige aanwerving bij een instelling of een bedrijf duidt op hetbelang van deze vaardigheden.

3. Wat kan de meerwaarde van op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven zijn? Per beroep kun jeongeveer acht competenties benoemen die doorslaggevend zijn. Men noemt dat ook wel een standaard. In eensollicitatie zal men vooral op die competenties letten.

Voorbeeld. Een secretaresse die ooit tijdens haar opleiding heeft leren notuleren kan notuleren. Maar als zij eenandere baas krijgt die heel andere eisen stelt aan de notulen kan die secretaresse die bij haar eerste baas primafunctioneerde, met de handen in het haar zitten. Als ze tijdens haar opleiding had geleerd hoe je hoofdzakenvan bijzaken kan onderscheiden en hoe je in overleg met de opdrachtgever tot afspraken komt over het te leverenproduct, was ze beter af geweest.

Omdat we bewust kiezen voor het ontwikkelen van competenties, is het wenselijk om het effect ervan te meten enverder op te volgen. Men zou geneigd kunnen zijn zijn die opvolging te noteren op een klassieke toets. Typischdaarbij zijn opmerkingen in de trend van:

6Inspiratie werd ontleend aan http://www.leren.nl/cursus/leren en studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html .

Pr-i

Page 12: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

• “let op je notatie”,

• “na een berekening je resultaat ook kritisch bekijken: heeft het resultaat zin?”,

• “maak na rekenwerk ook de controle met behulp van je (grafisch) rekenmachine, indien mogelijk”,

• “bij het tekenen van een assenstelsel de assen benoemen”,

• “maak onderscheid tussen gegeven en gevraagde”, etc.

Het is echter duidelijk dat een leerling bij het afnemen van de toets zich eerder spitst op het reproduceren van de kennisdan het bewust tonen van z’n competenties. Ook bij het terugkrijgen van de toets zal een leerling eerder interessehebben in de punten, en in mindere mate in de opmerkingen die gericht zijn naar de competenties toe. Voor een aantalleerlingen is dit te wijten aan het feit dat attitudes niet worden gequoteerd op punten: zin voor nauwkeurigheid enorde, zelfvertrouwen en zelfstandigheid, reflectievaardigheden, etc.

Hoewel het een met het ander verbonden is (kwaliteit in competenties zal op termijn ook leiden tot hogere punten)nemen sommige leerlingen die link niet onmiddellijk aan. Anderzijds hoort een leerkracht wel te beoordelen of deleerling de vaardigheden goed ontwikkelt. Een klassieke toets volstaat dus niet langer.

Practicum wiskunde: opzet, inhoud en evaluatie

Uit een poging van de auteur om de wiskundige competenties op een uitgesproken manier te behandelen is hetpracticum wiskunde ontstaan. Het bestaat uit enkele projecten, practica7 genaamd. Het doel van deze practica is datde leerkracht kan beoordelen of de leerling die vaardigheden goed ontwikkelt. Dat kan hij zien aan de verslagen diede leerling zelf of in groep geschreven heeft, en ook hoe de leerling in de groep heeft samengewerkt.

Opzet

Het practicum stimuleert leerlingen om over de eigen ontwikkeling na te denken:8

• Wat zijn mijn sterke en zwakke punten? Welke competenties beheers ik goed, welke zou ik kunnen verbeteren?

• Wat is het belang van bepaalde competenties voor mijn studie- en beroepskeuze?

• Hoe kan ik anderen laten zien waar ik goed in ben?

• Hoe kan ik mijn zwakke punten verbeteren?

Op die manier speelt de leerling zelf de hoofdrol bij het ‘managen’ van zijn eigen leerproces.

Inhoud

Naast het implementeren van de practica in de huidige leerstofonderdelen kunnen er - in tegenstelling tot een klassiekedidactiek - een aantal methodes aan bod komen die zeker de moeite waard zijn. Enkele daarvan zijn zelfs essentieel inde uitvoering van de zogenaamde onderzoekscompetenties derde graad. We sommen enkele onderwerpen op, voor deconcrete inhoud verwijzen we naar de practica zelf:

• zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels,

• werken met een wiskundig model,

• leren uit opgeloste problemen,

• geven van een wetenschappelijke presentatie,

• samen werken,

• onderzoeksopdrachten,

• inzicht in het studie- en beroepskeuzeproces.

Evaluatie

Bijna elk practicum wordt geevalueerd op inhoud, maar ook op vaardigheden en attitudes.Hierna volgt een opsomming van die vaardigheden en attitudes waarop geevalueerd zal worden.

7practicum (-s, -tica mv) een les waarin niet alleen wordt geluisterd, maar waarin leerlingen praktisch oefenen.8Gebaseerd op http://www.carrieretijger.nl/opleiding/ho/portfolio .

Pr-ii

Page 13: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Vaard

igheden

1.R

ekenvaard

igh

eid

.

•B

ijhet

alge

bra

ısch

man

ipule

ren

van

funct

ievoor

schri

ften

,fo

rmule

s,ve

rgel

ijkin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

-nie

ken

jem

oet

aanw

enden

omto

tee

nre

sult

aat

teko

men

,en

voer

jedez

ete

chnie

ken

corr

ect

uit

.

•Je

kan

de

grooto

rde

van

een

resu

ltaat

goed

insc

hat

ten.

•Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

achin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepas

tin

schake

len

omee

nb

ewer

kin

guit

tevo

eren

.Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

ingen

die

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

2.M

eet-

en

tekenvaard

igh

eid

.

•G

rafiek

enen

voor

stel

lingen

van

vla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nauw

keuri

g.

•Je

heb

tru

imte

lijk

voors

tellin

gsve

rmog

en.

•Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

achin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepas

tin

schake

len

omee

nfiguur

teb

ekom

en.

Je

gaa

took

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

linge

ndie

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

3.W

isku

nd

ige

taalv

aard

igh

eid

.

•Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etde

vakta

alva

nde

wis

kunde:

–je

ken

tde

bet

eken

isva

nty

pis

che

vakte

rmen

engeb

ruik

tdez

evo

ldoen

de

corr

ect

(funct

ie,

stel

sel,

etc.

);

–je

ken

tde

bet

eken

isva

nsp

ecifi

eke

logis

che

ker

nw

oor

den

enge

bru

ikt

dez

evold

oen

de

corr

ect

(en,

of,

daa

ruit

volg

t,vo

or

alle

,et

c.);

–je

ben

tin

staa

tom

een

omsc

hri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waa

rde

tesy

mb

olis

eren

;

–je

han

teer

tde

vis

uel

evo

orst

ellingen

waa

rde

wis

kunde

gebru

ikva

nm

aak

t(g

rafiek

,ta

bel

,et

c.).

•Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etde

bes

chri

jven

de

taal

waa

rin

over

het

wis

kundig

handel

enges

pro

ken

wor

dt

(defi

nit

ie,

eige

nsc

hap

,ve

rkla

ar,

ber

eken

alge

bra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

•Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

iskundig

eb

egri

pp

enher

ken

nen

enve

rtal

ennaar

wis

kundig

model

(mat

hem

atis

eren

).

•Je

kan

vis

uel

ein

form

atie

invo

ldoen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gr

afiek

,dia

gram

).

•Je

ben

tle

esva

ardig

bij

het

leze

nva

nde

tekst

van

opgav

en,

pro

ble

men

envra

agst

ukke

n.

4.D

en

k-

en

red

en

eerv

aard

igh

ed

en

.

•Je

kan

het

onder

schei

dm

aken

tuss

enhoof

d-

enbij

zake

n,

gege

ven

enge

vra

agde,

gege

ven

ente

bew

ijze

n.

•Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

arg

um

ente

ring

bij

een

eige

nsc

hap

teb

egri

jpen

.

•Je

kan

een

gege

ven

reden

erin

gop

haa

rge

ldig

hei

don

der

zoek

en.

•Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eigen

schap

ofde

oplo

ssin

gva

nee

npro

ble

emop

bou

wen

:

–je

kan

een

ver

moed

enfo

rmule

ren

enar

gum

ente

ren;

–je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opbas

isva

nee

nonder

zoek

opee

naa

nta

lvo

orb

eeld

en;

–je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

gebru

iken

.

5.P

rob

leem

op

loss

en

de

vaard

igh

ed

en

.

•Je

kan

een

pro

ble

emon

tdek

ken

enhet

wis

kundig

beh

oor

lijk

stel

len.

•Je

kan

een

pro

ble

eman

aly

sere

n(o

nder

schei

dm

aken

tuss

enge

geven

enge

vra

agd

e,ve

rban

den

legg

entu

ssen

de

gege

ven

s,et

c.).

•Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

ennaa

ree

npass

end

wis

kundig

model

(mat

hem

atis

eren

).

•Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nbij

het

wer

ken

aan

pro

ble

men

,en

daa

rbij

een

pla

nop

stel

len.

•Je

kan

reflec

tere

nop

de

keuze

van

jezo

ekst

rate

giee

nen

jepla

n.

•Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hun

bet

rouw

baar

hei

den

volled

ighei

d.

•Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enge

bru

iken

omw

iskundig

ein

form

atie

tever

wer

ken

enw

iskundig

epro

ble

men

teon

der

zoek

en.

6.O

nd

erz

oeksv

aard

igh

ed

en

.

•Je

kan

een

onder

zoek

sop

dra

cht

form

ule

ren

enaf

bak

enen

.

•Je

kan

een

aanpak

pla

nnen

enzo

nodig

opsp

lits

enin

dee

ltake

n.

•Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

–de

waar

de

van

de

info

rmat

ieb

eoor

del

enin

funct

ieva

nde

opdra

cht;

Pr-

iii

–de

rela

tie

tuss

enge

geve

ns

enb

ewer

kin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren.

•Je

kan

doel

mat

igee

nw

iskundig

model

sele

cter

enof

opst

elle

n:

–ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

kennen

als

een

wis

kundig

of

een

stat

isti

sch

pro

ble

em;

–va

stst

elle

nof

een

model

vold

oet

enhet

even

tuee

lbij

stel

len;

–zo

nodig

bij

kom

ende

info

rmati

eve

rzam

elen

omhet

aangew

ezen

model

tekunnen

han

tere

n.

•Je

kan

bij

een

model

de

pas

sende

oplo

ssin

gsm

ethode

corr

ect

uit

voer

en.

•Je

kan

resu

ltat

enbin

nen

de

conte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daar

inkri

tisc

hev

aluer

en.

•Je

kan

reflec

tere

nop

het

geh

ele

pro

ces,

i.h.b

.op

de

gem

aakte

keuze

nvo

orre

pre

senta

tie

enw

erkw

ijze

.

•Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

onder

zoek

zinvo

lpre

sente

ren,het

standpunt

argum

ente

ren

enve

rsla

guit

bre

ngen

van

het

pro

ces.

7.L

eerv

aard

igh

ed

en

.

•Je

kan

loss

ege

geve

ns

verw

erke

n.

•Je

kan

sam

enhan

gende

info

rmat

ieve

rwer

ken.

•Je

kan

info

rmati

ebro

nnen

raadple

gen.

•Je

kan

studie

tijd

pla

nnen

.

•Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

sture

n.

8.R

efl

ecti

evaard

igh

ed

en

.

•Je

kan

reflec

tere

nov

erde

aan

pak

van

jew

erk

enje

studie

s.

•Je

kan

reflec

tere

nov

erje

leer

pro

ces

enje

inze

t(l

eiden

zeto

thet

ber

eike

nva

nde

doel

stel

ling?

).

•Je

kan

reflec

tere

nov

erde

effici

enti

eva

nje

wer

ken

enje

lere

n.

•Je

kan

reflec

tere

nov

erde

ster

keen

de

zwakke

elem

ente

nin

de

uit

voer

ing

van

jeop

dra

cht.

•Je

kan

jere

flec

tie

concr

eet

mak

endoor

een

pla

nva

nve

rbet

erin

gop

test

elle

n(w

elke

elem

ente

nw

orden

gebru

ikt

omhet

lere

nen

wer

ken

teve

rbet

eren

?).

•Je

kan

reflec

tere

nov

erde

gez

am

elij

keaa

npak

enov

erle

gbij

een

groep

sop

dra

cht.

Attitudes

9.Z

invoor

nauw

keu

righ

eid

en

ord

e.

•Je

heb

tde

gew

oon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opdra

cht

teru

gte

kij

ken

als

een

vor

mva

nco

ntr

ole

,om

zoto

tnauw

keuri

gere

sult

aten

teko

men

.

•Je

heb

tee

nhoudin

gom

ord

elij

ken

syst

emat

isch

tew

erke

n(n

oter

en,

mak

enva

noef

enin

gen,

aanpakke

nva

npro

ble

men

).

10.

Zin

voor

kw

ali

teit

van

de

wis

ku

nd

ige

rep

rese

nta

tie.

Je

heb

tde

gew

oon

teom

jeged

achte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nadel

enva

nee

nb

epaa

lde

wer

kw

ijze

teb

espre

ken.

11.

Kri

tisc

he

zin

.Je

heb

tde

hou

din

gom

ber

eken

inge

n,

bew

erin

gen,

argum

ente

ringen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaa

nva

arden

enov

erte

nem

en.

12.

Zelf

vert

rouw

en

en

zelf

stan

dig

heid

.

•Je

toon

tze

lfve

rtro

uw

en,

zelf

standig

hei

d,

door

zett

ings

ver

mog

enen

doel

mati

ghei

dbij

het

aan

pakke

nva

npro

ble

men

enop

dra

chte

n.

•Je

ziet

indat

foute

nm

aken

inher

ent

dee

luit

mak

enva

nhet

leer

pro

ces.

13.

Zelf

regu

lati

e

•Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

•Je

ben

tin

staat

omje

inee

nop

loss

ings

pro

ces

teor

iente

ren,

het

pro

ces

tepla

nnen

,het

uit

tevo

eren

enhet

teb

ewak

en.

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg.

•Je

ziet

indat

jem

oge

lijk

hed

enve

rgro

otw

orden

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

•Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eoplo

ssin

gof

aanpak

.

15.

Waard

eri

ng

voor

de

wis

ku

nd

e.

Je

toon

tin

zich

tin

de

bij

dra

ge

van

de

wis

kunde

incu

lture

le,

his

tori

sche

enw

eten

schap

pel

ijke

ontw

ikke

lingen

.

16.

Inzic

ht

inh

et

stu

die

-en

bero

ep

skeu

zep

roces.

Je

kan

info

rmati

ein

win

nen

over

het

aandee

lva

nw

iskunde

inee

nve

rvol

gople

idin

gen

die

verg

elij

ken

met

jevoor

ber

eidin

g.

Pr-

iv

Page 14: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

PRACTICUM 1

INFORMATIE VERZAMELEN, ORDENEN EN BEWERKEN

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met com-ponent wiskunde (6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen dieonder de noemer ‘onderzoekscompetenties’ worden gecatalogeerd:

1. De leerlingen kunnen zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gerichtinformatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken;

2. De leerlingen kunnen een onderzoeksopdracht met een wiskundige componentvoorbereiden, uitvoeren en evalueren;

3. De leerlingen kunnen de onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere stand-punten.

De tweede en derde eindterm zullen worden gerealiseerd bij de uitvoering van latere practica onderzoeksopdrachten.Hierbij komt de eerste eindterm (bijna) niet aan bod. Daarom wordt ze hier afzonderlijk behandeld.

onderzoekscompetenties

verzamelen

ordenen

bewerken

︸︷︷

competentie 1

voorbereidenuitvoerenevalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporterenconfronteren ︸

︷︷︸ competentie 3

De competenties informatie verzamelen, ordenen en bewerken sluiten eerder aan bij onderzoek waarvoor de leerlinginformatie opzoekt in de literatuur of op het internet en deze informatie synthetiseert of toepast op een concreteonderzoeksvraag. Bij wiskunde bevindt dergelijk onderzoek zich toch eerder in de marge1 van het gebeuren. Denkbijvoorbeeld aan het maken van een werkstuk over het leven van een wiskundige.

We zijn dan ook van mening2 dat bij wiskundig onderzoek je informatie niet in de eerste plaats uit boekenhaalt, maar genereert door zelf te redeneren. Probleemoplossende vaardigheden komen hierbij goed van pas,dat komt dan ook aan bod in latere practica. Maar informatie opzoeken helpt je - althans op het niveau van dewiskunde in het middelbaar onderwijs - geen stap vooruit.

1Binnen de context van het wiskundeonderwijs is de eerste eindterm wel relevant bij onderzoek dat steunt op statistische informatie(zesde jaar).

2Deze verwoording werd ontleend aan de voordracht G. Verbeeck, J. Deprez, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad,03/03/2010, DPB Brugge. De visie van de auteur sluit hier naadloos bij aan.

Pr-1

Page 15: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Informatie verzamelen met behulp van het internet

Informatie opzoeken is wellicht de belangrijkste functie van het internet. Als je niet beschikt over een lijst met rele-vante adressen, dan valt het tegen om iets rechtstreeks te vinden in deze enorme informatieberg. Het losweg intypenvan url’s die eventueel met het gezochte onderwerp iets te maken hebben is uit den boze. Los van het feit dat zo’npagina waarschijnlijk geen interessante informatie voor je bevat, is kans dat het ingetypte adres bestaat heel klein.Daarom moet je opzoeken op het internet wat gestructureerder aanpakken.

Een zoekmachine is een webdienst waarmee met behulp van trefwoorden een volledige tekst kan worden gezocht.De volgende tabel geeft enkele zoekmachines weer, alsook enkele populaire sites voor (wiskundige) informatie.

zoekmachine beschrijving en tips voor- en nadelen

googlewww.google.be/

In veel landen is Google de populairste zoekmachine.Gebruik

• aanhalingstekens bij het zoeken van een zinvb. “vectoren in het vlak”

• sterretje als joker, op die plaats kan alles staanvb. “een dodecaeder heeft ∗ vlakken”

• site bij het zoeken binnen een sitevb. “wiskunde site:deredactie.be”

• define bij het zoeken naar een definitievb. “define:googol”

• afbeeldingen: tik je zoekterm, klik afbeeldingen

Omdat het een grotezoekmachine is, wordthet steeds moeilijkerom gericht te kunnenzoeken op een bepaaldgebied, of in een anderetaal dan het Engels.Vaak geeft Google ge-woon te veel resulta-ten weer, waardoor eengebruiker door het bos debomen niet meer ziet.

wikipediawww.wikipedia.org/

Wikipedia is een gratis encyclopedie.

• Engelse trefwoorden genieten voorkeur bovenNederlandse. In vergelijking met het Nederlandsworden artikels in het Engels door een groteregroep mensen opgesteld, gecontroleerd en aange-past.

• Gebruik synoniemen van bepaalde woorden wan-neer een zoekopdracht niet het gewenste resultaatgeeft.

Een handige manier omop een begrijpbaarniveau kennis op tedoen. De meeste artikelszijn voorzien met linksnaar andere websites.Maar omdat iedereenartikels kan wijzigen, iser geen garantie dat eenartikel in wikipedia juisten betrouwbaar is.Aan te raden is dat je deinformatie vergelijkt metandere bronnen.

MacTutor History ofMathematics Archivehttp://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Search/historysearch.html

Bevat gedetailleerde biografieen over wiskundigen en wis-kundige onderwerpen.Categorieen:

• History Topics: artikels volgens cultuur of takvan de wiskundevb. “Ancient Greek mathematics”

• Famous curves: bekende en minder bekendekrommenvb. “lemniscate of Bernoulli ”

Een uitgebreid en be-trouwbaar geschiedenis-archief van wiskunde.

On-Line Encyclopediaof Integer Sequences(OEIS)http://oeis.org/

Neil Sloane’s online database van meer dan 200 000 rijenvan gehele getallen die frequent voorkomen in de wis-kunde.

• Search: tik de eerste termen in van een rij getal-len.vb. 2, 4, 8, 16, 31

Elke ingang in de data-base bevat onder meerde eerste getallen vande reeks, sleutelwoorden,wiskundige motiveringen literatuur links.Vaak is de uitleg wel tegespecialiseerd.

Pr-2

Page 16: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Informatie ordenen en bewerken

Het is onmogelijk om alle verzamelde informatie op te nemen. Daarom moet de informatie eerst verwerkt worden.

Je werkt het overzichtelijkst als je elke vraag of onderwerp afzonderlijk behandelt. Dat kan erg handig door de infor-

matie eerst te kopieren naar Word-document . Om ervoor te zorgen dat je later nog weet waar je welke informatie

gevonden hebt, noteer je onder elke passage de (eventueel verkorte) bronbeschrijving, bijvoorbeeld de url waarop je deinformatie gevonden hebt. Op deze manier krijg je meteen de antwoorden van verschillende bronnen op dezelfde vraagbij elkaar. Daardoor wordt het makkelijker om de verschillende antwoorden op zo’n vraag met elkaar te vergelijken.

Daarna moet je de bekomen informatie verwerken. Dat kan door eerst een schema te maken.

1. Het allerbelangrijkste daarbij is dat je een goed onderscheid maakt tussen hoofdzaken en bijzaken. Dat islang niet altijd makkelijk, aanwijzingen zijn:

• titel en tussenkopjes: deze vertellen je waar gedeelten van de tekst over gaan;

• eerste en laatste alinea van de tekst: in de eerste vertelt de schrijver vaak waarover de tekst gaat, in delaatste vat de schrijver vaak het belangrijkste nog even samen;

• afwijkende druk: als een woord bijvoorbeeld vet gedrukt is, dan is dat woord (meestal) extra belangrijk.

2. Alleen de belangrijke dingen weergeven: dus niet allerlei voorbeelden of onbelangrijke feitjes en geen helezinnen.

3. Je moet in het schema de verbanden tussen de onderdelen van je schema goed duidelijk maken.

4. Als in de tekst nieuwe begrippen behandeld worden, kun je onderaan het schema een begrippenlijst te maken:de nieuwe begrippen met daarachter de betekenis.

Daarna maak je van bij elke vraag of ondewerp een samenvatting . Daarbij heb je aandacht voor:

• de structuur van je tekst: die bestaat uit een aantal alinea’s die een overzichtelijk geheel vormen;

• je zorgt dat je tekst aangenaam om lezen is, en een informatief karakter heeft;

• je neemt geen zinnen letterlijk van je bronnen over;

• wat je ook schrijft, je zorgt dat je de inhoud voor 100% begrijpt;

• details (voorbeelden, zaken die niet van belang zijn voor de hoofdlijn van de tekst) moet verwaarlozen;

• je sluit je samenvatting af door het vermelden van je bronnen.

2. Opdracht

• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

• Practicum (. . . lessen, thuis afwerken). Het practicum voer je uit in groepjes van twee tot drie.

– Zoek nevenstaande poster van de Vlaamse Wiskunde Olympiade op.

– Eerst is het de bedoeling dat je de vraag oplost die op de poster staat. Jemoet dus het vraagteken achterhalen.

– Daarna kies je in je groepje een rij of kolom. In die rij of kolom kies jedrie afbeeldingen (maar niet het vraagteken). Bijvoorbeeld drie van de vijfplaatjes uit de tweede rij.

– Over elke afbeelding zoek je informatie op het internet. Die informatieorden je en bewerk je tot een samenvatting zoals beschreven in de inleiding.Schrijf tussen een halve en een bladzijde per afbeelding.

– Daarna is het de bedoeling om zelf een wiskundige afbeelding op te zoekendie het getal op de plaats van het vraagteken zou kunnen weergeven. Ookvan die afbeelding maak je zo’n samenvatting (maximaal een bladzijde).

• Verslag (tijdens de les, thuis afwerken). Je verslag bevat:

– van elk van de drie afbeeldingen een halve tot een bladzijde samenvatting;

– een afbeelding die het getal op de plaats van het vraagteken zou kunnen weergeven;

– ook van die afbeelding een halve tot een bladzijde samenvatting.

Het verslag voeg je in deze practicum map. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden.

• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient een practicumbundel met verslag in.

Pr-3

Page 17: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatieform

ulierPracticum

1D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en6.Onderzoeksvaard

igheden

•Je

kan

een

ond

erzo

ekso

pd

rach

tfo

rmu

lere

nen

afb

aken

en.

•Je

kan

een

aanp

akp

lan

nen

enzo

nod

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

•Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

–d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

–d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

•Je

kan

doel

mat

igee

nw

isku

nd

igm

od

else

lect

eren

of

opst

elle

n:

–ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

ken

nen

als

een

wis

kun

dig

ofee

nst

ati

stis

chp

rob

leem

;–

vast

stel

len

ofee

nm

od

elvo

ldoet

enh

etev

entu

eel

bij

stel

len

;–

zon

od

igb

ijkom

end

ein

form

atie

verz

amel

enom

het

aan

gew

ezen

mod

elte

ku

nn

enh

ante

ren

.

•Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ings

met

hod

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

•Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

alu

eren

.

•Je

kan

refl

ecte

ren

oph

etge

hel

ep

roce

s,i.

h.b

.op

de

gem

aakte

keu

zen

voor

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

•Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

ond

erzo

ekzi

nvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

and

punt

arg

um

ente

ren

enve

rsla

gu

itb

ren

gen

van

het

pro

ces.

7.Leerv

aard

igheden

•Je

kan

loss

ege

geve

ns

verw

erke

n.

•Je

kan

sam

enh

ange

nd

ein

form

atie

verw

erke

n.

•Je

kan

info

rmat

ieb

ron

nen

raad

ple

gen

.

•Je

kan

stu

die

tijd

pla

nn

en.

•Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

stu

ren

.

Att

itu

des

10.Zin

voorkwaliteit

van

dewiskundigere

pre

senta

tie.

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

11.Kritischezin.

Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaanva

ard

enen

over

ten

emen

.

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg.

•Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

•Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

15.W

aard

eringvoordewiskunde.

Je

toon

tin

zich

tin

de

bij

dra

geva

nd

ew

isku

nd

ein

cult

ure

le,

his

tori

sch

een

wet

ensc

hap

pel

ijke

ontw

ikke

lin

gen

.

Pr-

4

Page 18: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

PRACTICUM 2

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (1)

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

G. Polya, How to solve It

In deze snel evoluerende maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan pro-bleemoplossend denken. Willen we je hierin zelfredzaam maken, dan moet de nadrukliggen op het ontwikkelen van vaardigheden die kunnen helpen bij het oplossen van(nieuwe) problemen. Deze vaardigheden zijn dan ook een essentiele troef in je studie-en beroepsloopbaan.

Probleemoplossend denken is deels opgenomen in het normale lesgebeuren: het wordtbevorderd door vragen stellen, patronen ontdekken, antwoorden zoeken en onder-zoeken, voorbeelden en tegenvoorbeelden opzoeken, vraagstelling vereenvoudigen,voorstellen analyseren, testen en bijsturen, vermoedens analyseren.

Maar dit is niet voldoende. Het is ook noodzakelijk dat je zelf (haalbare) problementracht op te lossen. Bovendien vindt het (leren) oplossen van problemen op schoolen daarbuiten ook plaats in een sociale context. Men verwacht dan ook dat je metanderen kan samenwerken.

Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op het volgend

Stappenplan1voor probleemoplossend denken

Stap 1. Het probleem begrijpen. Begrijp je alle woorden die in de opgave staan? Is het duidelijk wat gevraagdwordt te berekenen of te bewijzen? Schrijf in je eigen woorden op wat het probleem inhoudt. Door het op anderemanieren te verwoorden zal je het probleem beter begrijpen.

Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen. Eerst denk je na welke zoekstrategieen kunnen helpen.Voorbeelden van zo’n strategieen, ook wel heuristieken genoemd, zijn:

• gegeven en gevraagde wiskundig vertalen

• raad en controleer

• maak een lijst

• zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld

• elimineer de mogelijkheden

• gebruik analogie of symmetrie

• zoek een patroon

• maak een tekening

• los een eenvoudiger probleem op

• gebruik een model

• onderzoek bijzondere gevallen

• los een vergelijking op

• werk omgekeerd

• gebruik een formule

Het is belangrijk om deze strategieen ook te benoemen op het moment dat je er gebruik van maakt. Vervolgensstel je een plan op die je zal volgen om het probleem op te lossen. Dit kan door in enkele regels te beschrijven hoeje straks te werk zal gaan.

Stap 3. Het plan uitvoeren. Je moet in staat zijn om - rekening houdend met het probleem en de omstandig-heden - de meest geschikte rekenwijze te kiezen: algebraısch, grafisch, schematisch, . . . . Volhard in je plan. Als hettot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel een nieuw plan op. Achteraf is het belangrijk dat je je uitwerkingvan het probleem op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlot kan lezen.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Wat vertelt de uitkomst je? Is het zinvol? Kun je je uitkomstop een of andere manier controleren? Bij een fout herneem je Stap 3 nauwgezet.

1Gebaseerd op het baanbrekend boek G. Polya, How to solve It, Princeton University Press (1945).

Pr-5

Page 19: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Modelvoorbeeld

Een natuurlijk getal dat uit vier cijfers bestaat, elk gelijk aan 1, 5 of 9, is deelbaar door 37. Als de som van de cijfers16 is, dan is de som van de laatste twee cijfers gelijk aan

© 2

© 6

© 10

© 12

© 14

Oplossing. We volgen de stappen voor probleemoplossend denken.

Stap 1. Het probleem begrijpen. Het probleem gaat over een getal van vier cijfers:

x = a b c d met a, b, c, d ∈ {1, 5, 9}

Bovendien moet dat getal x deelbaar zijn door 37. En we weten ook dat a+ b+ c+ d = 16. Gevraagd is c+ d.

Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen.

• Zoekstrategieen: gegeven en gevraagde wiskundig vertalen (zie Stap 1), maak een lijst.

• Plan: We lijsten veelvouden van 37 op, en kijken welke getallen voldoen aan de opgave. We kunnen ook demogelijkheden zoeken voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a+ b+ c+ d = 16, en nagaan welke getallen x deelbaarzijn door 37.

Stap 3. Het plan uitvoeren. De lijst van alle veelvouden van 37 met vier cijfers is nogal lang (243 mogelijkheden).In plaats daarvan zoeken we eerst de mogelijkheden voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a+ b+ c+ d = 16.

• Het cijfer 9 kan hoogstens een keer voorkomen. Want als het meer dan een keer voorkomt, dan is de som van decijfers minstens 18, en dat is teveel.

• Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet er ook minstens een 5 in voorkomen. Want als er geen 5 is, dan moeten dedrie andere cijfers telkens 1 zijn. Maar dan is de som 12, en dat is te weinig.

• Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet dus ook 5 voorkomen, en dan nog twee keer een 1. Dan is de som inderdaad16.

• Als het cijfer 9 niet voorkomt, dan moet de 5 minstens drie keer voorkomen, aangevuld met een 1.

Onze lijst telt 16 mogelijkheden:a b c d

9 5 1 19 1 5 19 1 1 55 9 1 11 9 5 11 9 1 55 1 9 11 5 9 11 1 9 55 1 1 91 5 1 91 1 5 9

a b c d

5 5 5 15 5 1 55 1 5 51 5 5 5

Nu kunnen we elk van deze getallen delen door 37 en kijken wanneer de rest nul is. Dat kan met het grafischrekenmachine. We vinden dat 1591 deelbaar is door 37. Dus de som van de laatste twee cijfers is 10.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Het natuurlijk getal 1591 bestaat uit vier cijfers, elk gelijk aan1, 5 of 9. Bovendien is 1591/37 = 43 dus het getal 1591 is deelbaar door 37. Tenslotte is de som van de cijfers gelijkaan 1+5+9+1 = 16. Het getal voldoet dus aan de opgave. De som van de laatste twee cijfers is gelijk aan 9+1 = 10.Het juiste antwoord is dus 10.

Pr-6

Page 20: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Opmerking. De uitwerking van Stap 3 kan ook zonder grafisch rekenmachine, bijvoorbeeld als volgt. Een getal isdeelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. Om een analoog kenmerk van deelbaarheid door 37 tevinden kunnen we als volgt te werk gaan:

x

37=

1000a+ 100b+ 10c+ d

37

=1000

37a+

100

37b+

10

37c+

1

37d

=

(27 +

1

37

)a+

(3− 11

37

)b+

10

37c+

1

37d

= 27a+ 3b+a− 11b+ 10c+ d

37

Wil x deelbaar zijn door 37, dan moet a− 11b+ 10c+ d deelbaar zijn door 37. We lopen nu bovenstaande lijst af:

a b c d a− 11b+ 10c+ d deelbaar door 37?

9 5 1 1 −35 nee9 1 5 1 49 nee9 1 1 5 13 nee5 9 1 1 −83 nee1 9 5 1 −47 nee1 9 1 5 −83 nee5 1 9 1 85 nee1 5 9 1 37 ja

We vinden dat 1591 deelbaar is door 37.

2. Opdracht

• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

• Practicum (1 les, thuis afwerken). Het practicum voer je uit in groepjes van twee.

– In het begin van de les krijg je een bundel met opdrachten (pagina’s A-62 tot en met A-73). De opdrachtenzijn gerangschikt volgens moeilijkheidsgraad: van niveau 1 (voor 1p.) tot niveau 6 (voor 6p.).

– Je kiest een aantal opgaven, in totaal ter waarde van . . . . . . punten (vul aan). Je mag maximum tweeopgaven van een zelfde niveau kiezen.

– Tijdens de les start je met het oplossen van je gekozen opgaven, waarbij je de vier stappen uit de inleidingvolgt.

Op het einde van de les moet vastliggen welke opgaven je in je groepje gekozen hebt.

• Verslag (thuis afwerken). Je verslag bevat een aantal cursusbladen. Elke opgave start op een nieuw cursus-blad, met de volgende structuur:

– Opgave netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken.

– Stap 1. Het probleem begrijpen.

– Stap 2. Zoekstrategien en een plan opstellen.

– Stap 3. Het plan uitvoeren.

– Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren.

Bij multiple choice vink je ook het juiste bolletje aan. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden. Hetverslag voeg je in deze practicum map. De opgaven die je niet behandeld hebt bewaar je thuis.

• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Iedereen dient zijn/haar practicumbundel met verslagin.

Pr-7

Page 21: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatieform

ulierPracticum

2D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid.

•B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

•Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

2.M

eet-en

tekenvaard

igheid.

•G

rafi

eken

envo

orst

elli

nge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

•Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lin

gsve

rmog

en.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

iddel

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

ach

ine

ofee

nco

mp

ute

rrek

enp

akke

tge

past

insc

hakel

enom

een

figu

ur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

lin

gen

die

jem

etIC

Tb

ekom

enh

ebt.

5.Pro

bleemoplossendevaard

igheden.

•Je

kan

een

pro

ble

emon

tdek

ken

enh

etw

isku

nd

igb

ehoor

lijk

stel

len

.

•Je

kan

een

pro

ble

eman

alyse

ren

(on

der

sch

eid

mak

entu

ssen

gege

ven

enge

vra

agd

e,ve

rban

den

leggen

tuss

end

egeg

even

s,et

c.).

•Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

enn

aar

een

pas

sen

dw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emat

iser

en).

•Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nbij

het

wer

ken

aan

pro

ble

men

,en

daar

bij

een

pla

nop

stel

len

.

•Je

kan

refl

ecte

ren

opd

eke

uze

van

jezo

ekst

rate

giee

nen

jep

lan

.

•Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hu

nb

etro

uw

baa

rhei

den

vol

led

igh

eid

.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

geb

ruik

enom

wis

ku

nd

ige

info

rmat

iete

verw

erke

nen

wis

ku

nd

ige

pro

ble

men

teon

der

zoek

en.

Att

itu

des

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e.

•Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

•Je

heb

tee

nh

oud

ing

omor

del

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

10.Zin

voorkwaliteit

van

dewiskundigere

pre

senta

tie.

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

13.Zelfre

gulatie.

•Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

•Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gsp

roce

ste

orie

nte

ren

,h

etp

roce

ste

pla

nn

en,

het

uit

tevo

eren

enh

ette

bew

ake

n.

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg.

•Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

•Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

Pr-

8

Page 22: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

PRACTICUM 3

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (2)

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. InleidingIn Practicum 2: Probleemoplossend denken (1) heb je kennis gemaakt met de kunstvan het oplossen van problemen. Hierbij kreeg je het advies om te werken volgens eenstappenplan (zie ook hieronder).In dit Practicum ga je nadenken over problemen die wat complexer zijn. Deze op-dracht voer je dan ook uit in groepjes van drie, want je zal merken dat je elkaars hulpen inzet nodig hebt om de taak succesvol te volbrengen.Om te zorgen dat er efficient gewerkt wordt, moeten de volgende rollen verdeeldworden:

• Schrijver Als de groep een idee of antwoord geeft, vraag dan of iedereen het ermee eens is. Deze persoon schrijftde redenering van de groep op. Dat zal voornamelijk in het klad zijn. In de tweede les worden de antwoordengoed leesbaar opgeschreven. Uiteraard helpen de anderen hierbij.

• Tijdbewaker Wanneer de groep erg lang bij een vraag blijft hangen, waarschuw je, bijvoorbeeld door te zeggen:“we moeten aan de volgende vraag beginnen, anders krijgen we het niet af”. Af en toe vertel je je groep hoeveeltijd er nog over is.

• Aanmoediger/leider Moedigt aan, bijvoorbeeld als de groep vast zit bij een probleem: “heeft iemand eenidee?”. Je toont ook initiatief bijvoorbeeld met: “deze strategie lijkt te kunnen werken, laten we die uitproberen”of “deze redenering leidt niet meteen tot iets, laten we iets anders proberen”.

Daarnaast blijft iedereen wel mee verantwoordelijk. De leerkracht kan ieder groepslid aanspreken op zijn of haarbijdrage aan het groepswerk. Dit om te voorkomen dat iemand ‘meelift’ (een groepslid laat de rest van de groep hetwerk opknappen). Pas wanneer alle groepleden hun rol naar behoren vervullen kan de groepstaak succesvol wordenuitgevoerd.

Stappenplan voor probleemoplossend denken

Stap 1. Het probleem begrijpen. Schrijf in je eigen woorden op wat het probleem inhoudt. Door het op anderemanieren te verwoorden zal je het probleem beter begrijpen.

Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen. Eerst denk je na welke zoekstrategieen kunnen helpen.Voorbeelden zijn:

• gegeven en gevraagde wiskundig vertalen

• raad en controleer

• maak een lijst

• zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld

• elimineer de mogelijkheden

• gebruik analogie of symmetrie

• zoek een patroon

• maak een tekening

• los een eenvoudiger probleem op

• gebruik een model

• onderzoek bijzondere gevallen

• los een vergelijking op

• werk omgekeerd

• gebruik een formule

Vervolgens stel je een plan op die je zal volgen om het probleem op te lossen.

Stap 3. Het plan uitvoeren. Volhard in je plan. Als het tot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel eennieuw plan op.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Kun je je uitkomst op een of andere manier controleren?

Pr-9

Page 23: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

2. Opdracht

• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

• Practicum (. . . lessen). Het practicum voer je uit in groepjes van drie.

– Leg vast wie de rol van schrijver, tijdbewaker en aanmoediger/leider op zich neemt.

– Op de volgende pagina vind je een tiental problemen. De vragen hebben te maken met de leerstof die inhet vijfde jaar eerste semester hebt gezien. Door tossen wordt beslist welke twee problemen jullie krijgen.

• Verslag. Je verslag bevat een aantal cursusbladen. Elk van de twee problemen start op een nieuw cursusblad,te beginnen met de nummer van het probleem.

• Practicum indienen. Indenen op het einde van de tweede les. Per drie een practicumbundel met verslagindienen.

Pr-10

Page 24: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Tien problemen - Opgave

Veeltermfuncties

Probleem 1.

(a) Stel f(x) = 3x3 − 4x2 + ax− 11 een reele veelterm zodat f(1) = 2. Bepaal de waarde van a.

(b) Stel (3x− 1)7 = a7x7 + a6x

6 + . . .+ a0 voor zekere a0, a1, . . . , a7 ∈ R. Bepaal a7 + a6 + . . .+ a1 + a0.

Probleem 2. Er is precies een veeltermA(x) van de vormA(x) = 7x7+a6x6+a5x

5+. . .+a1x+a0 met a0, a1, a2, . . . , a6 ∈R waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0).

Rationale functies

Probleem 3. Een keuken moet geverfd worden. Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze 7 uren meer nodig danwanneer Henk alleen werkt (Henk is een professionele schilder). Verven ze beiden samen, dan klaren ze de klus in 12uren. Hoe lang doet Henk er over als hij alleen schildert?

Probleem 4. Stel f(x) =5x2 − 4x+ 8

x2 + 1.

(a) Voor welke reele waarden van k bestaat er een reeel getal x waarvoor f(x) = k?

(b) Bepaal het bereik van de functie f .

Irrationale functies

Probleem 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de vergelijking 3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 =3√

2

Bewerkingen met functies

Probleem 6. Stel f(x) = x+√x en g(x) = x+1/4. Bepaal de exacte, vereenvoudigde waarde van g(f(g(f(g(f(7)))))).

Aanwijzing. Noem h = g ◦ f en schrijf h(x) als het kwadraat van een tweeterm.

Exponentiele functies

Probleem 7. De vergelijking 2x2

= 323x+8 heeft twee reele oplossingen. Bepaal algebraısch hun product.

Logaritmische functies

nieren in digitaal ontwerp

Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling van het bloed constant tehouden. Daarbij verwijderen ze opgeloste ongewenste stoffen, zoals afvalstoffen vande stofwisseling en via het voedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nierenelimineren een zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijdseenheid.

Cafeıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op het zenuwstelsel, dehartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat het je wakkerder maakt of dathet je gevoel van vermoeidheid verdrijft. Een grote dosis cafeıne kan giftig zijn.Gemiddeld verwijderen de nieren van een persoon per uur 13% van de in het lichaamoverblijvende cafeıne. Is de overblijvende dosis cafeıne groter dan 20mg, dan werkthet stimulerend.

We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafeıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikjecola drinkt, en je het laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafeıne die je uit deze blikjes opnam nietlanger stimulerend werken? Algebraısch oplossen, en je resultaat afronden op een minuut nauwkeurig.

Exponentiele en logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden

Probleem 9. Los algebraısch de volgende exponentiele vergelijking op:

8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0

Probleem 10. Bepaal algebraısch het grootste reeel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking

(210 log (x2b)

)2= 210 log x4

allen gehele getallen zijn.

Pr-11

Page 25: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatieform

ulierPracticum

3D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid.

•B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

•Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

4.Denk-en

redeneerv

aard

igheden.

•Je

kan

het

ond

ersc

hei

dm

aken

tuss

enh

oof

d-

enb

ijza

ken,

gege

ven

enge

vra

agd

e,ge

geve

nen

teb

ewij

zen

.

•Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eigen

sch

apte

beg

rijp

en.

•Je

kan

een

gege

ven

red

ener

ing

oph

aar

geld

igh

eid

ond

erzo

eken

.

•Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofd

eop

loss

ing

van

een

pro

ble

emop

bouw

en:

–je

kan

een

ver

moed

enfo

rmu

lere

nen

argu

men

tere

n;

–je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opb

asis

van

een

ond

erzo

ekop

een

aanta

lvo

orb

eeld

en;

–je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

geb

ruik

en.

5.Pro

bleemoplossendevaard

igheden.

•Je

kan

een

pro

ble

emon

tdek

ken

enh

etw

isku

nd

igb

ehoor

lijk

stel

len

.

•Je

kan

een

pro

ble

eman

alyse

ren

(on

der

sch

eid

mak

entu

ssen

gege

ven

enge

vra

agd

e,ve

rban

den

leggen

tuss

end

egeg

even

s,et

c.).

•Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

enn

aar

een

pas

sen

dw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emat

iser

en).

•Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nbij

het

wer

ken

aan

pro

ble

men

,en

daar

bij

een

pla

nop

stel

len

.

•Je

kan

refl

ecte

ren

opd

eke

uze

van

jezo

ekst

rate

giee

nen

jep

lan

.

•Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hu

nb

etro

uw

baa

rhei

den

voll

edig

hei

d.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

geb

ruik

enom

wis

ku

nd

ige

info

rmat

iete

ver

wer

ken

enw

isku

nd

ige

pro

ble

men

teon

der

zoek

en.

Att

itu

des

11.Kritischezin.

Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaanva

ard

enen

over

ten

emen

.

13.Zelfre

gulatie.

•Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

•Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gsp

roce

ste

orie

nte

ren

,h

etp

roce

ste

pla

nn

en,

het

uit

tevo

eren

enh

ette

bew

ake

n.

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg.

•Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

•Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

Pr-

12

Page 26: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

PRACTICUM 4

TOEPASSINGEN IN GROEP VERWERKEN

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

Heel wat problemen uit de maatschappelijke leefwereld kunnen aangepakt worden met wiskunde. Het oplossen vanzo’n problemen valt onder de noemer toepassingen. Het proces waarbij men met wiskunde naar oplossingen zoekt,valt grofweg uiteen in de vier stappen beschreven in Practicum 2.

Het verschil tussen het oplossen van een probleem zoals in Practicum 2 en 3 en een toepassing zit hem in de zoekstra-tegieen (Stap 2). Bij toepassingen komt het er meestal op neer om in de opgave een wiskundig begrip te herkennen,zoals bijvoorbeeld een rechthoekige driehoek, een functie, een matrix, etc. Het oplossen van het oorspronkelijk pro-bleem vertaalt zich dan in het uitvoeren van bewerkingen met die begrippen. Men verwijst naar deze zoekstrategie alsmathematiseren of modelleren. Het oplossen van een toepassing is dus een veredelde vorm van probleemoplossenddenken uit Practicum 1.

Stappenplan. Let op deterugkerende pijl!

Samengevat komen we bij het aanpakken van een toepassing uit op volgende stappen1 .

Stap 1. Het probleem begrijpen. Heel vaak kun je het probleem beter begrijpendoor het op een andere manier te verwoorden.

Stap 2. Mathematiseren. Herkennen van een wiskundig begrip, en inzien dathet gevraagde kan vertaald worden naar een model: een bewerking, een vergelijking,een stelsel vergelijkingen, een extremumvraagstuk, een matrixvermenigvuldiging, eenrechthoekige of een willekeurige driehoek, etc.

Stap 3. Berekenen. Als het wiskundig model opgebouwd is, probeer je dit viarekentechnieken op te lossen.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Interpretatie van het resultaat,waarbij je rekening houdt met de context van het probleem.

2. Opdracht

• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . (datum invullen).

• Practicum (2 lessen, thuis afwerken). Uitvoeren in groepen van vier.

Les 1 Toepassing 1 op pagina A-84 en volgende verwerken.

1. Hier en daar moet je iets aanvullen of een vraag beantwoorden. Doe dat in groep: overleg wat eringevuld moet worden, deel je inzichten met de anderen.

2. Als jullie klaar zijn, dan geef je een teken aan de leerkracht. Jullie krijgen een ingevulde versie: paginaA-92 en volgende. Vergelijk deze met jullie oplossing, fouten stip je aan in het rood. Zorg dat iedereenin de groep nu elke (verbeterde) stap begrijpt.

3. Maak nadien Oefening 1 op pagina A-100 (staat ook op de volgende pagina).

Les 2 Toepassing 2 op pagina A-88 en volgende verwerken, analoog als in les 1.

1. Hier en daar moet je iets aanvullen of een vraag beantwoorden.

2. Vergelijk met de ingevulde versie pagina A-96 en volgende.

3. Maak nadien Oefening 2, 3 of 4 op pagina A-100 (beslist door tossen, staan ook op de volgende pagina’s).

• Verslag (thuis afwerken). Jullie verslag bevat een exemplaar van jullie ingevulde pagina’s A-84 tot en metA-91, en de twee gemaakte oefeningen op een cursusblad. Opgave overschrijven hoeft niet.

• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient een practicumbundel met verslag in.

1Inspiratie en schema ontleend aan G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3

Europe Vlaanderen nr.9 (2006).

Pr-13

Page 27: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Oefeningen - Opgave

Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een klein eilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjesvaart op regelmatige tijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op onderstaande graaf.

(a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf.

(b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van E naar C met een tussenstop op een willekeurigeiland.

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van A naar C met twee tussenstops op een willekeurigeiland.

?(d) Is het mogelijk om via ten hoogste een tussenstop van om het even welk eiland naar om het even welk eiland tegaan? Los op met behulp van matrices.

A

B

C

D

E

Pr-14

Page 28: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Oefening 2. Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde.Na een jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van hetjaar voordien, en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren hetjaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jongedieren zijn en 30 volwassen dieren.

(a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf.

(b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar.

(c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren?

Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen 2 de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van demarkt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgendewijzigingen voor:

∗ Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest.

∗ Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest.

∗ Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.

We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet.

(a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf.

(b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices.

Oefening 4. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en door eenlage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Lesie-model, de volgendegegevens zijn bekend:

∗ slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar,

∗ eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven,

∗ geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar,

∗ alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes.

(a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf.

(b) Stel de Lesie-matrix op.

(c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100 000 eitjes. Hij laat zijnvangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?

2Enige gelijkenis met bestaande maatschappijen berust op toeval.

Pr-15

Page 29: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatieform

ulierPracticum

4D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid.

•B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

•Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

3.W

iskundigeta

alvaard

igheid.

•Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eva

kta

alva

nd

ew

isku

nd

e:

–je

ken

td

eb

etek

enis

van

typ

isch

eva

kte

rmen

enge

bru

ikt

dez

evo

ldoen

de

corr

ect

(fu

nct

ie,

stel

sel,

etc.

);–

jeke

nt

de

bet

eken

isva

nsp

ecifi

eke

logi

sch

eke

rnw

oor

den

enge

bru

ikt

dez

evol

doen

de

corr

ect

(en

,of,

daaru

itvolg

t,vo

or

all

e,et

c.);

–je

ben

tin

staa

tom

een

omsc

hri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waard

ete

sym

boli

sere

n;

–je

han

teer

td

evis

uel

evo

orst

elli

nge

nw

aar

de

wis

ku

nd

ege

bru

ikva

nm

aakt

(gra

fiek

,ta

bel

,et

c.).

•Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eb

esch

rijv

end

eta

alw

aari

nov

erh

etw

isku

nd

igh

an

del

enge

spro

ken

word

t(d

efin

itie

,ei

gen

sch

ap

,ve

rkla

ar,

ber

eken

alge

bra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

•Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

isku

nd

ige

beg

rip

pen

her

ken

nen

enve

rtal

ennaa

rw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emati

sere

n).

•Je

kan

vis

uel

ein

form

atie

invo

ldoen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gr

afi

ek,

dia

gra

m).

•Je

ben

tle

esva

ard

igb

ijh

etle

zen

van

de

tekst

van

opga

ven

,p

rob

lem

enen

vra

agst

ukke

n.

4.Denk-en

redeneerv

aard

igheden.

•Je

kan

het

ond

ersc

hei

dm

aken

tuss

enh

oof

d-

enb

ijza

ken,

gege

ven

enge

vra

agd

e,ge

geve

nen

teb

ewij

zen

.

•Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eigen

sch

apte

beg

rijp

en.

•Je

kan

een

gege

ven

red

ener

ing

oph

aar

geld

igh

eid

ond

erzo

eken

.

•Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofd

eop

loss

ing

van

een

pro

ble

emop

bouw

en:

–je

kan

een

ver

moed

enfo

rmu

lere

nen

argu

men

tere

n;

–je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opb

asis

van

een

ond

erzo

ekop

een

aanta

lvo

orb

eeld

en;

–je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

geb

ruik

en.

Att

itu

des

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e.

•Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

•Je

heb

tee

nh

oud

ing

omor

del

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

11.Kritischezin.

Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaanva

ard

enen

over

ten

emen

.

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg.

•Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

•Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

Pr-

16

Page 30: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

PRACTICUM 5

HOE STUDEER JE EEN BEWIJS?

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

Het studeren van een wiskundig bewijs - en algemener, het studeren van theorie wiskunde - verloopt in vijf stappen:

Stap 1. Begrijp elke overgang

Stap 2. Begrijp het geheel

Stap 3. Test jezelf

Stap 4. Controleer

Stap 5. Herhaal

We lichten deze stappen toe aan de hand van een bewijs die je in het derde jaar gestudeerd hebt.

Voorbeeld

Stelling. Het getal√

2 is een irrationaal getal.

Bewijs. Er zijn twee mogelijkheden: ofwel is√

2 een irrationaal getal, ofwel is het geen irrationaal getal.

Mocht√

2 geen irrationaal getal zijn, dan is

√2 =

a

bvoor zekere a, b ∈ Z met b 6= 0 (1)

Bovendien kunnen we er voor zorgen dat a en b geen deler gemeen hebben.Nemen we in (1) het kwadraat van beide leden dan verkrijgen we

2 =a2

b2⇒ 2b2 = a2

Omdat het linkerlid deelbaar is door 2, is ook het rechterlid deelbaar door 2. Dus 2 is een deler van a2.Dus 2 is een deler van a. Dus a = 2k voor een zekere k ∈ Z.

Vervangen we a = 2k in (1) dan verkrijgen we

√2 =

2k

b(2)

Nemen we in (2) het kwadraat van beide leden dan verkrijgen we

2 =4k2

b2⇒ b2 = 2k2

Omdat het rechterlid deelbaar is door 2, is ook het linkerlid deelbaar door 2. Dus 2 is een deler van b2.Dus 2 is een deler van b.

Maar nu is 2 een deler van a en 2 is een deler van b, terwijl we ervoor hadden gezorgd dat a en b geendeler gemeen hebben. Een strijdigheid: het is dus niet waar dat

√2 geen irrationaal getal is.

We besluiten dat√

2 een irrationaal getal is.

Pr-17

Page 31: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Stap 1. Begrijp elke overgang

Je begint met het bewijs regel per regel door te nemen. Zorg dat het duidelijk is hoe je van de ene regel naar deandere gaat (een berekening, steunen op een eerder geziene eigenschap, etc.).

Tijdens de les wiskunde was het de bedoeling dat elke overgang duidelijk is. Stap 1 dient dus om na te gaan of datnu nog steeds zo is.

Wellicht is het geheel van het bewijs nog niet duidelijk, maar dat komt pas in Stap 2.

Voorbeeld.

Mocht√

2 geen irrationaal getal zijn, dan is

√2 =

a

bvoor zekere a, b ∈ Z met b 6= 0 (1)

Waarom? Als een getal niet irrationaal is, dan is het rationaal (breuk).Waarom is b 6= 0? Delen door 0 mag niet.

Bovendien kunnen we er voor zorgen dat a en b geen deler gemeen hebben.

Waarom? Mochten a en b toch een deler gemeen hebben, dan kun je die breuka

bvereenvoudigen.

Etc.

Stap 2. Begrijp het geheel

Om het geheel te begrijpen, ga je na:

• wat moeten we eigenlijk bewijzen (opgave)?

• toont de redering van het bewijs nu wel de opgave aan?

• is er een truc in het bewijs?

Voorbeeld.

• We moeten aantonen dat√

2 irrationaal is. M.a.w. we moeten aantonen dat√

2 geen breuk is.

• In het bewijs doen we alsof√

2 wel een breuk is. Maar dan loopt er blijkbaar iets fout. Dus op heteinde van het verhaal zullen we bewezen hebben dat

√2 toch geen breuk is.

• Door te doen alsof√

2 een breuk is, kunnen we het schrijven alsa

b. De truc is om die gelijkheid

√2 =

a

bte kwadrateren. En dan later nog eens toe te passen eens we a geschreven hebben als 2k.

Tracht daarna het bewijs in twee of drie regels samen te vatten. Door die regels te onthouden, zul je het bewijs laterkunnen reconstrueren.Voorbeeld.

1. Doen alsof√

2 een breuk is:√

2 =a

b

2. Kwadraat nemen levert dat 2 een deler is van a, dus a = 2k.

3. Vervangen, opnieuw kwadraat nemen levert dat 2 een deler is van b.

Stap 3. Test jezelf

Leg je cursus of boek weg, en neem een leeg cursusblad. Je schrijft op wat je gaat bewijzen (opgave), en probeert hetbewijs nu helemaal zelf op te schrijven. Als je vast komt te zitten, geef het niet onmiddellijk op door terug in je cursuste kijken. In plaats daarvan denk je even na:

• kan ik een regel open laten, en het verder verloop van het bewijs toch opschrijven? Denk aan je samenvattingin Stap 2.

• is er een truc in het bewijs die ik vergeten ben?

• weet ik nog wat ik wil bewijzen?

Kijk pas terug in je cursus als je het echt niet meer weet. Maar beperk je dan niet tot het lezen van die ene regel dieje vergeten bent: ga ook eens na waarom je die regel vergeten bent. Daarna neem je een leeg cursusblad en begin jeopnieuw het bewijs op te schrijven.

Pr-18

Page 32: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Stap 4. Controleer

Als je denkt dat je klaar bent, neem dan je cursus en vergelijk jouw bewijs met dat in de cursus. Wees streng op jezelf,en ga nauwkeurig na of je bewijs nu ook correct is:

• heb ik de opgave juist?

• heb ik elke tussenstap opgeschreven? Minstens evenveel zoals in de cursus?

• heb ik de eventuele tekeningen nauwkeurig gemaakt en alles aangeduid?

Als je iets vergeten bent, of iets fout geschreven hebt, dan duid je de fout op je cursusblad aan met een fluoriserendestift. Houd je cursusblad bij (zie Stap 5).

Stap 5. Herhaal

Op het einde van de dag test je jezelf opnieuw (Stap 3), met controle (Stap 4). Bij die controle vergelijk je ook metde fouten die je op je eerste cursusblad hebt gemaakt.De kracht van de herhaling kan nauwelijks onderschat worden. Daags nadien test je jezelf nog een derde keer. Je zalervan versteld staan dat je zelfs dagen later het bewijs nog kan opschrijven.

Tip. Om het jezelf gemakkelijk te maken kun je steekkaarten maken. Op elke steekkaart schrijf je de vraag op zoalsde stelling (of een definitie, etc.) gevraagd kan worden op een toets of examen. Telkens je het bewijs herhaalt, neemje die steekkaart en lees je de opgave. Je schrijft je antwoord uiteraard niet op die steekkaart, zodat die later nogbruikbaar is. Op het einde van elk hoofdstuk (en dus ook bij de voorbereiding van je examens) heb je dan een aantalsteekkaarten waaruit je de theorie kan studeren.

Voorbeeld.

Vul de volgende stelling aan (schrappen wat niet past), en bewijs:

Het getal√

2 is wel/niet een irrationaal getal.

Bewijs....

2. Opdracht

• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

• Practicum (1 les). Dit practicum voer je individueel uit.

1. Tijdens de les studeer je het bewijs op pagina A-106 (vijfde jaar) of A-107 (zesde jaar) op de manier zoalsbeschreven in de inleiding (Stappen 1-4 uitvoeren).

2. In de les krijg je ook een blanco steekkaart. Die steekkaart maakt je klaar zoals beschreven in Stap 5. Diesteekkaart kan je later gebruiken om het bewijs te herhalen (Stap 5).

3. Na deze vijf stappen reflecteer je even over jouw studiemethode bij het studeren van theorie. Beschrijf inenkele regels:

Hoe pak je het studeren van theorie meestal aan?

Heeft die aanpak in het verleden tot gewenste resultaten geleid?

Denk je met de methode uit dit practicum je theorie efficient(er) te kunnen studeren?

• Verslag. Je verslag bestaat uit het cursusblad die je in Stap 3 gemaakt hebt. Vergeet je eventuele fouten nietaan te duiden met een fluoriserende stift. Op dat blad heb je ook de reflectie van jouw studiemethode geschreven.Je voegt het cursusblad samen met je steekkaart in deze practicumbundel.

• Practicum indienen. Op het einde van de les.

Pr-19

Page 33: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatieform

ulierPracticum

5D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Vaa

rdig

hed

en3.

Wis

ku

nd

ige

taalv

aard

igh

eid

.

•Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eva

kta

alva

nd

ew

isku

nd

e:

–je

ken

td

eb

etek

enis

van

typ

isch

eva

kte

rmen

enge

bru

ikt

dez

evo

ldoen

de

corr

ect

(fu

nct

ie,

stel

sel,

etc.

);–

jeke

nt

de

bet

eken

isva

nsp

ecifi

eke

logi

sch

eke

rnw

oor

den

enge

bru

ikt

dez

evol

doen

de

corr

ect

(en

,of,

daaru

itvolg

t,vo

or

all

e,et

c.);

–je

ben

tin

staa

tom

een

omsc

hri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waard

ete

sym

boli

sere

n;

–je

han

teer

td

evis

uel

evo

orst

elli

nge

nw

aar

de

wis

ku

nd

ege

bru

ikva

nm

aakt

(gra

fiek

,ta

bel

,et

c.).

•Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eb

esch

rijv

end

eta

alw

aari

nov

erh

etw

isku

nd

igh

an

del

enge

spro

ken

word

t(d

efin

itie

,ei

gen

sch

ap

,ve

rkla

ar,

ber

eken

alge

bra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

•Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

isku

nd

ige

beg

rip

pen

her

ken

nen

enve

rtal

ennaa

rw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emati

sere

n).

•Je

kan

vis

uel

ein

form

atie

invo

ldoen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gr

afi

ek,

dia

gra

m).

•Je

ben

tle

esva

ard

igb

ijh

etle

zen

van

de

tekst

van

opga

ven

,p

rob

lem

enen

vra

agst

ukke

n.

7.

Leerv

aard

igh

ed

en

•Je

kan

loss

ege

geve

ns

verw

erke

n.

•Je

kan

sam

enh

ange

nd

ein

form

atie

verw

erke

n.

•Je

kan

info

rmat

ieb

ron

nen

raad

ple

gen

.

•Je

kan

stu

die

tijd

pla

nn

en.

•Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

stu

ren

.

8.

Refl

ecti

evaard

igh

ed

en

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

aan

pak

van

jew

erk

enje

stu

die

s.

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

jele

erp

roce

sen

jein

zet

(lei

den

zeto

th

etb

erei

ken

van

de

doel

stel

lin

g?)

.

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

effici

enti

eva

nje

wer

ken

enje

lere

n.

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

ster

keen

de

zwak

keel

emen

ten

ind

eu

itvo

erin

gva

nje

opd

rach

t.

•Je

kan

jere

flec

tie

concr

eet

mak

end

oor

een

pla

nva

nve

rbet

erin

gop

test

elle

n(w

elke

elem

ente

nw

ord

engeb

ruik

tom

het

lere

nen

wer

ken

teve

rbet

eren

?).

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

geza

mel

ijke

aan

pak

enov

erle

gb

ijee

ngr

oep

sop

dra

cht.

Att

itu

des

9.

Zin

voor

nauw

keu

righ

eid

en

ord

e.

•Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

•Je

heb

tee

nh

oud

ing

omor

del

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

11.

Kri

tisc

he

zin

.Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaanva

ard

enen

over

ten

emen

.

12.

Zelf

vert

rouw

en

en

zelf

stan

dig

heid

.

•Je

toon

tze

lfver

trou

wen

,ze

lfst

and

igh

eid

,d

oor

zett

ings

ver

mog

enen

doel

mat

igh

eid

bij

het

aan

pakke

nva

np

rob

lem

enen

op

dra

chte

n.

•Je

ziet

ind

atfo

ute

nm

aken

inh

eren

td

eel

uit

mak

enva

nh

etle

erp

roce

s.

Pr-

20

Page 34: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

PRACTICUM 6

SAMENWERKEN

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding1

In onze maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan samenwerking. Datbelang wordt gereflecteerd in bedrijven en overheidsinstanties. Immers, een goedesamenwerking van personeelsleden impliceert een grotere rentabiliteit en betereresultaten. Dat men bij het aanwerven van nieuwe personeelsleden hierop zalinspelen spreekt voor zich. De kans is dan ook erg groot je bij een toekomstigesolicitatie of proefcontract zal getest worden hoe vaardig je bent in het samenwerkenmet de anderen.

Concreet deelt men de competentie samenwerken in vier niveaus op. Die zijn cumu-latief gerangschikt, wat wil zeggen dat iemand pas een hoger niveau kan bereiken alshij/zij ook de lagere niveau’s beheerst.

Niveaus van samenwerking

Niveau 1. Je werkt mee en informeert de anderen:

• je houdt rekening met de mening van anderen;

• je behandelt de anderen met respect;

• je geeft informatie en kennis door die voor anderen nuttig of belangrijk kan zijn;

• je aanvaardt groepsbeslissingen.

Niveau 2. Je helpt anderen en pleegt overleg:

• je steunt de voorstellen van anderen en bouwt daarop voort om tot een gezamenlijk resultaat te komen;

• je houdt rekening met de gevoeligheden en met de verscheidenheid van mensen;

• je biedt hulp aan bij problemen, ook al valt de taak niet onder de eigen opdracht;

• je vraagt spontaan en proactief de mening van anderen.

Niveau 3. Je stimuleert de samenwerking binnen de eigen entiteit, werkgroepen of projectgroepen:

• je komt met ideeen om het gezamenlijk resultaat te verbeteren;

• je moedigt anderen aan om onderling te overleggen over zaken die het eigen werk overstijgen;

• je betrekt anderen bij het nemen van beslissingen die op hen een impact hebben;

• je bevordert de goede verstandhouding, de teamgeest en het respect voor verscheidenheid van mensen;

• je geeft opbouwende kritiek en feedback.

Niveau 4. Je creeert gedragen samenwerkingsverbanden met en tussen andere entiteiten:

• je creeert structuren om de samenwerking met andere entiteiten te verbeteren;

• je neemt informele initiatieven om de samenwerking met en tussen andere entiteiten te verstevigen;

• je draagt samenwerking uit als belangrijke waarde in de entiteit en daarbuiten en spreekt anderen daarop aan;

• je werkt actief aan het scheppen van een goede vertrouwensband met andere entiteiten.

1Inspiratie werd gehaald uit de website van de Vlaamse Overheid Agentschap voor Overheidspersoneelhttp://www2.vlaanderen.be/personeelsopleiding/

Pr-21

Page 35: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Ook in je verdere studieloopbaan kan samenwerken een grote rol spelen. Niet zelden krijg je bij hogere studies temaken met het maken van projecten in groep. Het vaardig zijn in samenwerken kan hier een grote troef betekenenom zowel sneller als beter te presteren in groep. Daarom bieden we je nu al af en toe activiteiten in groep aan om jebeter te kunnen voorbereiden op het functioneren in de maatschappij.

Concreet kennen we in de klas drie graden van samenwerking.

Graden van samenwerking in de klas

Graad 1. De leerkracht bepaalt het doel, de (meeste) activiteiten en (bijna) de hele evaluatie. Dit is wat menmeestal onder samenwerken in klas begrijpt.

Graad 2. De groep krijgt meer verantwoordelijkheid, en de structuren verdwijnen want de groep zelf bepaaltsteeds meer de manier waarop samengewerkt wordt. In dat geval spreken we over samen leren. Deze structuuracht men meer complex dan samen werken, omdat ze een zelfstandigere houding van de leerlingen vereisen ende docent meer terugtreedt.

Graad 3. Er is sprake van totale sturing vanuit de leerlingen. Deze graad noemt men samen reguleren.

Naast het verwerken van toepassingen in groep uit Practicum 4 is dit practicum gericht op samenwerken, in groepenvan twee. Het beoogde doel is welomlijnd (zie opdracht). Toch is er nu al een zekere vorm van:

• Positieve wederzijdse afhankelijkheid. Je werkt aan een gezamelijk doel, en daarbij is de bijdrage van iedergroepslid van belang.

• Individuele aanspreekbaarheid. Ieder groepslid is aanspreekbaar op zijn/haar bijdrage aan het groepspro-duct, het kan dus niet zo zijn dat een groepslid al het werk doet.

• Directe interactie. Je praat met elkaar over de leerstof. Dus er moet ook echt gepraat worden. Het is dus nietde bedoeling dat je individueel de opdracht uitvoert, en achteraf controleert of de andere groepsleden hetzelfderesultaat bereikt hebben.

• Sociale vaardigheden. Dit betekent dat er aandacht is voor het functioneren in een groep en niet alleenproductgericht maar vooral proces gericht. Hoe verliep het, wat kunnen we de volgende keer anders doen?

2. Opdracht

• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Toepassing 1 op pagina A-109 verwerken. Hier en daar moet je een vraag beantwoorden.

• Practicum (2 lessen, thuis afwerken). Uitvoeren in groepen van twee of drie.

1. In groep de antwoorden op pagina A-111 vergelijken. Waak er over dat iedereen in de groep de toepassingop die pagina volledig begrijpt.

2. In groep maak je de twee modelvoorbeelden op pagina A-110. Neem actief deel in het groepsgesprek.

3. Als jullie klaar zijn, dan geef je een teken aan de leerkracht. Jullie krijgen een ingevulde versie paginaA-112. Vergelijk deze met jullie oplossing, fouten of extra uitleg schrijf je in het rood.

4. Daarna maak je in groep de oefeningen 1, 2 en 3 op pagina A-113 (staan ook op de volgende pagina). Mochtje klaar zijn tijdens de lessen, dan maak je ook Oefening 4.

5. Tot slot reflecteer je over de groepsopdracht (zie volgende pagina).

• Verslag (thuis afwerken). Jullie verslag bevat

∗ een exemplaar van jullie ingevulde pagina’s A-109 en A-110, en

∗ een exemplaar van de drie gemaakte oefeningen op een cursusblad. Een oefening per pagina. Opgaveoverschrijven hoeft niet.

Elk groepslid dient zijn practicum bundel in (met ingevulde reflectie). Het verslag steekt in een bundel van eengroepslid. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.

• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Pr-22

Page 36: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Oefeningen - Opgave

Calpe Costa Blanca,Spanje

Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 eenpersoonskamers geboektdoor Nederlanders, Fransen en Italianen. Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanderszijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlieten omde voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen alsNederlanders en Italianen samen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in hethotel?

Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de somvan de buitenste cijfers is 1 meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd danbekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.

Oefening 3. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkurennodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als devraag naar model B, en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elkmodel zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses?

?Oefening 4 (Het probleem van Bachet 2). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Een van hen verdubbeltmet een deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijncenten het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van deandere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?

Reflectie

Deze reflectie is individueel, dus elk voor zich.

Eigen inzet

Beschrijf in enkele regels je eigen inzet tijdens de groepsopdracht. Geef jezelf daarna een cijfer tussen 0 en 5.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Groep

Beschrijf in enkele regels de gezamelijke aanpak en overleg tijdens de groepsopdracht. Wat zou je devolgende keer zeker op dezelfde manier doen? En wat zou je liever op een andere manier doen?. Geef de groepeen cijfer tussen 0 en 5.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Niveau van samenwerking

In welk van de vier niveaus op de vorige pagina hoor je thuis? Stip enkele onderdelen van dat niveau aan meteen gele fluorescerende stift.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Claude Gaspard Bachet de Meziriac (1581-1638).

Pr-23

Page 37: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatieform

ulierPracticum

6D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en1.

Rekenvaard

igh

eid

.

•B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

•Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

3.

Wis

ku

nd

ige

taalv

aard

igh

eid

.

•Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eva

kta

alva

nd

ew

isku

nd

e:

–je

ken

td

eb

etek

enis

van

typ

isch

eva

kte

rmen

enge

bru

ikt

dez

evo

ldoen

de

corr

ect

(fu

nct

ie,

stel

sel,

etc.

);–

jeke

nt

de

bet

eken

isva

nsp

ecifi

eke

logi

sch

eke

rnw

oor

den

enge

bru

ikt

dez

evol

doen

de

corr

ect

(en

,of,

daaru

itvolg

t,vo

or

all

e,et

c.);

–je

ben

tin

staa

tom

een

omsc

hri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waard

ete

sym

boli

sere

n;

–je

han

teer

td

evis

uel

evo

orst

elli

nge

nw

aar

de

wis

ku

nd

ege

bru

ikva

nm

aakt

(gra

fiek

,ta

bel

,et

c.).

•Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eb

esch

rijv

end

eta

alw

aari

nov

erh

etw

isku

nd

igh

an

del

enge

spro

ken

word

t(d

efin

itie

,ei

gen

sch

ap

,ve

rkla

ar,

ber

eken

alge

bra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

•Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

isku

nd

ige

beg

rip

pen

her

ken

nen

enve

rtal

ennaa

rw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emati

sere

n).

•Je

kan

vis

uel

ein

form

atie

invo

ldoen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gr

afi

ek,

dia

gra

m).

•Je

ben

tle

esva

ard

igb

ijh

etle

zen

van

de

tekst

van

opga

ven

,p

rob

lem

enen

vra

agst

ukke

n.

8.

Refl

ecti

evaard

igh

ed

en

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

aan

pak

van

jew

erk

enje

stu

die

s.

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

jele

erp

roce

sen

jein

zet

(lei

den

zeto

th

etb

erei

ken

van

de

doel

stel

lin

g?)

.

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

effici

enti

eva

nje

wer

ken

enje

lere

n.

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

ster

keen

de

zwak

keel

emen

ten

ind

eu

itvo

erin

gva

nje

opd

rach

t.

•Je

kan

jere

flec

tie

concr

eet

mak

end

oor

een

pla

nva

nve

rbet

erin

gop

test

elle

n(w

elke

elem

ente

nw

ord

engeb

ruik

tom

het

lere

nen

wer

ken

teve

rbet

eren

?).

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

geza

mel

ijke

aan

pak

enov

erle

gb

ijee

ngr

oep

sop

dra

cht.

Att

itu

des

9.

Zin

voor

nauw

keu

righ

eid

en

ord

e.

•Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

•Je

heb

tee

nh

oud

ing

omor

del

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg.

•Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

•Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

Pr-

24

Page 38: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

PRACTICUM 7

EEN WETENSCHAPPELIJK VERSLAG SCHRIJVEN

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding1

Het schrijven en publiceren van verslagen is o.a. voor wetenschappers een belang-rijk onderdeel van hun werk. Een verslag kan dienen om je uitgevoerd werk,een project, je ideeen en je conclusies aan anderen uit te leggen of kenbaar temaken. Evengoed kan het dienen om anderen van je besluiten te overtuigen ofzelfs om je eigen capaciteiten in de verf te zetten. Het mag duidelijk zijn dateen verslag tot in de puntjes verzorgd moet zijn; niet alleen qua lay-out, maarook qua overzichtelijkheid, qua opbouw en uiteraard qua inhoud. In veel hogerestudies en ook in je latere werkomgeving is het een oefening die je nog vaak zal maken.

Wat is nu een verslag? Het is een tekst, maar geen proza. Je gebruikt de tekst om op een zakelijke manierte rapporteren, over de meest uiteenlopende onderwerpen: een zakenreis, een chemisch experiment, een wiskundigprobleem, etc. Een verslag moet

• volledig maar eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn,

• een logische structuur hebben, en

• gemakkelijk te lezen zijn.

Hiermee bedoelen we dat de lezer snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van het verslag. Het is nietaan de lezer om bepaalde passages verschillende keren te moeten herlezen om te achterhalen en te interpreteren watprecies wordt verteld.

De vorm van een exact-wetenschappelijk verslag is specifiek en verschilt van bijvoorbeeld een boekbesprekingof taalkundig onderzoek. In wat volgt leggen we o.a. de structuur van een wetenschappelijk verslag uit en preciserenwe hoe je moet omgaan met formules, tabellen en figuren.

Opbouw

In principe heeft een wetenschappelijk verslag de volgende structuur:

Titel

Samenvatting 2

Inleiding

Hoofddeel

Besluit

Bij lange verslagen is het beter om nog een inhoudstafel en een referentielijst toe te voegen. Dit is de basisstructuurzoals die voor wiskundige verslagen wordt toegepast 3.

Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgediept en uitgelegd4

1Gebaseerd op E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, 2006.2Engelse term: “Abstract”.3Bij de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieel

onderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methode en materialen,hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: An introduction tothe analysis and presentation of data, Singapore, 1994.

4Voor een voorbeeld van een wetenschappelijk verslag verwijzen we naar K. De Naeghel, Vijf bewijzen voor de irrationaliteit van√

2:een verslag ten dienste van de leerlingen van 5aGWi8-5aLWi8-5bWWi8, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2011) . Zie ook paginaA-116.

Pr-25

Page 39: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van het verslagkunnen halen. Een titel als ’Verslag practicum ecologie’ is te algemeen. Woorden als ’Studie van’, ’Onderzoek naar’,maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden. Bij een langer verslag maak je best een titelblad.

NIET: ‘Practicum 11 februari 2010’ of ‘Oefening 28 pagina 40’

WEL: ‘Studie van de hemellichamen’ of ‘Lineaire groei versus exponentiele groei’

Samenvatting De samenvatting van een verslag is een kort deel van een vijftal lijnen. Die geven een overzicht vanhet onderzoek, het belang van het onderzoek en wat je eruit concludeert.

Inleiding In de inleiding wordt eerst het onderwerp of je probleemstelling verduidelijkt en in welke context hetgeheel kadert. In tweede instantie licht je de opbouw van het verslag toe. Hier wijs je op de samenhang tussen dehoofdstukken. De bedoeling is dat de lezer inzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan.

Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van het verslag. De andere delen dienen om te structureren,te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel staan nietalleen de antwoorden op de gestelde vragen. Vooral moet je de gevoerde redenering die achter elk antwoord schuilt,weergeven.

Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling of onderzoeksvraag uit de inleiding. Samen met deinleiding geeft het besluit een volledige samenvatting van het probleem en zijn oplossing. Je verwijst hier niet naaringevoerde formules of methodes die je besproken hebt in de tussenliggende delen. Je geeft ook aan op welke manieren in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen overmethodiek, tekortkomingen of suggesties thuis.

Schrijftips

Bij het maken van een verslag (in het bijzonder voor exacte wetenschappen) moet je ontzettend veel aandacht bestedenaan de duidelijkheid. Je moet een tekst schrijven die ’gemakkelijk’ te lezen is. Met je verslag wil je de lezer latenbegrijpen wat jij te rapporteren hebt. Zorg dat hij/zij de aandacht bij het onderwerp kan houden. Je hebt er dus allebelang bij dat de lezer geen nutteloze aandacht moet besteden aan het ontrafelen van een slecht opgebouwde zin ofredenering.

Duidelijk schrijven betekent dat je ’wetenschappelijke taal’ correct gebruikt zodat de betekenis niet verloren gaat. Inde volgende paragrafen geven we enkele tips i.v.m. het integreren van wetenschappelijke informatie in een Nederlandsetekst. De opsomming die daarna volgt, gaat over het gebruik van het Nederlands en is evengoed bruikbaar in elk deelvan een verslag waar geen wetenschappelijke gegevens meer zijn ingevoerd.

Tip 1. De gegeven opdracht moet geıntegreerd zijn in het verslag. Terwijl je het verslag maakt hou je besteen lezer in gedachten die de opdracht niet kent. Het is echter niet zo elegant om de gestelde vraag letterlijk over tenemen en dan je antwoord te formuleren (zie Tip 2). Verwerk dus de probleemstelling in jouw tekst.

NIET: Wat is de snelheid in functie van de tijd? Op t = 0 is v(0) = . . .

WEL: Om het verband te kennen tussen de snelheid en de tijd, berekenen we de eerst debeginsnelheid v(0) . . .

Tip 2. Geef geen droge opsomming van “gegeven, gevraagd, oplossing”. Door eerst het gegeven op teschrijven, het gevraagde te formuleren en tenslotte de berekening te maken, vind je het antwoord op een vraagstuk.Dit is je oplossingsmethode (of werkwijze). Het behoort tot het voorbereidend werk van je verslag. Het verslag zelfgebruikt een andere invalshoek.

Tip 3. Wiskundige formules kunnen deel uitmaken van een Nederlandse zin maar je mag formules en tekst nietdooreen halen.

NIET: Op het tijdstip = 0 is de beginmassa van de radioactieve stof = 10g = m0.

WEL: Op het tijdstip t = 0 is de beginmassa van de radioactieve stof gelijk aan m0 = 10g.

Wiskundige formules vormen een ‘taal’ op zich. Deze taal is heel exact omschreven en voldoet aan strikte logischeregels. In tegenstelling tot een gewone (Nederlandse) taal, is wiskundige taal ondubbelzinnig:

• In gewone (Nederlandse) taal kan je zonder problemen zeggen:

“Gisteren at ik hetzelfde ijsje als vandaag.”

Iedereen zal begrijpen dat je twee keer een ijsje at, maar niet hetzelfde ijsje!

Pr-26

Page 40: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

• In wiskundige taal betekent de uitspraak

“f = g met f en g (reele) functies”

dat f en g hetzelfde domein hebben, en dat f(x) = g(x) voor elke x-waarde in hun domein.

(Langere) formules moeten op zichzelf kunnen worden gelezen als zin en staan bij voorkeur op een aparte regel. In detekst die als uitleg dient, kan naar deze formule worden verwezen, eventueel met een referentienummer.

NIET: Omdat f(t) = 4 sin(3(x− π)) + d is f een algemene sinusfunctie die geen nulwaarden heeft.De d is groter dan 5.

WEL: De functie f is van de vorm

f(x) = 4 sin(3(x− π)) + d waarbij d ∈ R (1)

Bovendien heeft f geen nulwaarden. De constante d in uitdrukking (1) is dus groter dan 5.

Tip 4. Vervang in de tekst geen woorden of zinsdelen door symbolen. De symbolen ∀ en ∃ hebben alleenmaar betekenis in wiskundige uitspraken. Schrijf liever voluit “voor alle” en “er bestaat”. In een correcte Nederlandsezin gebruik je “dus” of “daaruit volgt” in plaats van het symbool ⇒. Dat verhoogt de duidelijkheid.

Tip 5. Getallen in een tekst schrijf je liefst voluit, tenzij ze de waarde van een variabele zijn.

NIET: Uit de 3 gegevens leiden we af dat de functiewaarde van drie gelijk is aan f(3) = 7.

WEL: Uit de drie gegevens leiden we af dat de functiewaarde van 3 gelijk is aan f(3) = 7.

Tip 6. In formules wordt niet geschrapt. Ook zonder schrappen is voor de lezer duidelijk dat gemeenschappelijkefactoren in teller en noemer als quotient 1 hebben.

Tip 7. Verwijzingen naar tabellen en figuren gebeuren op dezelfde manier als verwijzingen naar langereformules. Omvangrijke tabellen of figuren, of tabellen en figuren waarnaar in de tekst slechts zijdelings wordtverwezen, kan je ook toevoegen als bijlage.

Tip 8. Verklaar elk symbool. In een formule heeft elk symbool een specifieke betekenis. Zorg dat elk symboolverklaard wordt, hetzij in de tekst, hetzij in het begin van elke paragraaf of hoofdstuk.

Tip 9. Een goede zinsbouw en correct Nederlands zorgen voor een goed leesbare tekst. Een wetenschappelijkverslag is allerminst een opeenvolging van formules, cryptische codetaal, tabellen en figuren. Nederlandse zinnenmoeten de formules duiden en in een context plaatsen. Je kan bijvoorbeeld uit formules alleen, niet afleiden watoorzaak en wat gevolg is, wat er gegeven is, wat je hebt berekend of wat bewezen is. De tekst die de formulesomkadert - letterlijk en figuurlijk - moet daarom helder en ondubbelzinnig zijn.

Tip 10. Ga na of de verbanden tussen de zinnen voldoende helder zijn.

NIET: Uit het gegeven halen we dat x ∈ [3, 5; 4]. De grondformule van de goniometrie zegt dat

sin2 x+ cos2 x = 1. Dus cosx = −√

1− sin2 x.

WEL: Uit de grondformule van de goniometrie halen we dat cosx = ±√

1− sin2 x. We weten datx ∈ [3, 5; 4]. Dus is x een hoekwaarde van een hoek in het derde kwadrant, zodat cosx < 0.

Bijgevolg is cosx = −√

1− sin2 x.

Tip 11. Maak je zinnen niet te lang.

NIET: Omdat de exponentiele functie met voorschrift f(x) = ex als domein R heeft en als bereikR+

0 , zal de inverse functie van f , met voorschrift g(x) = lnx, als domein R+0 en als bereik R

hebben.

WEL: De functies met voorschrift f(x) = ex en g(x) = lnx zijn elkaars inverse. Daarom is hetdomein van f gelijk aan het bereik van g en vice versa. Dus is dom f = R = bld g endom g = bld f = R+

0 .

Tip 12. Vermijd tangconstructies.

NIET: De sinusfunctie heeft, in tegenstelling tot de tangensfunctie die niet voor alle reele getallengedefinieerd is, als domein R.

WEL: De sinusfunctie heeft als domein R, terwijl de tangensfunctie niet voor alle reele getallengedefinieerd is.

Pr-27

Page 41: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Tip 13. Zeg het in kernachtige bewoordingen. Vermijd breedsprakerige en lege woorden als: aspect, facet,gebeuren, aard, mate van, in feite, in principe. Vermijd omslachtige aanlopen als: ‘Het is interessant te meldendat. . . ’, ‘Opgemerkt kan worden dat. . . ’, etc. Vermijd overbodige woorden zoals: enorm, fantastisch, gigantisch, etc.

Tip 14. Ook de toon is belangrijk. Pas op met overdreven zekerheid: ‘ongetwijfeld’, ‘het spreekt voor zich’, etc.Maar wees ook zuinig met relativerende begrippen.

Tip 15. Schrijf het verslag niet in de ik-vorm. Je gebruikt de neutrale vorm ‘men’, ‘je’ of ‘we’ (in ‘we’ moet delezer zich betrokken voelen).

NIET: Uit de resultaten van het experiment heb ik / hebben we berekend dat de oplossing 7, 2gzout bevat.

WEL: Uit de resultaten van het experiment kan men / kunnen we berekenen dat de oplossing 7, 2gzout bevat.

Tip 16. Laat verwijswoorden correct verwijzen.

NIET: De bodemvervuiling op de Kalmthoutse heide die we ontdekten door analyse van de bodem-stalen, zou dateren uit de jaren ’70.

WEL: De bodemvervuiling die we ontdekten door analyse van de bodemstalen genomen op deKalmthoutse heide, zou dateren uit de jaren ’70.

Tip 17. Gebruik niet de toekomende tijd.

NIET: We zullen een complexer model nodig hebben, dat de populatiegroei zal beschrijven.

WEL: We hebben een complexer model nodig dat de populatiegroei beschrijft.

Tip 18. Schrijf of druk niet af op kladpapier. Je hebt aandacht besteed aan de lay-out van het verslag. Diemoeite is tevergeefs geweest wanneer je aan het papier ook niet de nodige aandacht besteedt. Geef dus niets af opkladpapier, met ezelsoren of vlekken.

Samenvattend

Een goed verslag schrijven vraagt enige oefening. Het is een opdracht waarin je door rigoureus en volledig te zijn,duidelijk kan tonen aan de lezer dat je volledig het onderwerp van het verslag beheerst.

Bovenstaande richtlijnen i.v.m. de inhoud, de vorm en de stijl van een verslag moeten niet zozeer naar de letter,maar wel naar de geest gevolgd worden. De opdrachtgever kan uiteraard nog specifieke eisen stellen naar gelang hetonderwerp van de opdracht, maar grosso modo moet een exact-wetenschappelijk verslag voldoen aan wat in de vorigeparagrafen werd beschreven.

2. Opdracht

• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

• Practicum (. . . lessen, thuis afwerken). In het begin van de eerste les krijg je twee pagina’s A-118 envolgende uit een handboek 5. Deze kopieen behandelen een onderwerp, voorzien van enkele taken (in de teksttaak 11.3, taak 11.4 en taak 11.5 genoemd). De opdracht bestaat erin om deze taken in groepen van drie uit tevoeren en hiervan een verslag te maken (een verslag per groep).

Naast de kopieen uit het handboek krijg je ook het verslag dat een leerling enkele jaren terug gemaakt heeft, ziepagina’s A-120 en volgende. Dit kan je helpen om de taken uit het handboek uit te voeren.Het verslag van die leerling is zeker geen modelvoorbeeld van een wetenschappelijk verslag: er wordt van jullieveel beter verwacht!

• Verslag. Het verslag beantwoord aan de criteria uit de inleiding, waarbij je de schrijftips zo goed mogelijk trachtna te leven. Het verslag is mag handgeschreven zijn, gemaakt op cursusbladen (geruit). Enkel recto schrijven,pagina’s onderaan nummeren. Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in, met daarin het verslag. Jehoeft het verslag dus niet te kopieren.

• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

5P. Gevers, J. De Langhe, e.a. Delta 5/6 Analytische meetkunde A (6-8 lesuren),Mechelen (Wolters Plantyn), 2006.

Pr-28

Page 42: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatieform

ulierPracticum

7D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid.

•B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

•Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

2.M

eet-en

tekenvaard

igheid.

•G

rafi

eken

envo

orst

elli

nge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

•Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lin

gsve

rmog

en.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

iddel

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

ach

ine

ofee

nco

mp

ute

rrek

enp

akke

tge

past

insc

hakel

enom

een

figu

ur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

lin

gen

die

jem

etIC

Tb

ekom

enh

ebt.

6.Onderzoeksvaard

igheden

•Je

kan

een

ond

erzo

ekso

pd

rach

tfo

rmu

lere

nen

afb

aken

en.

•Je

kan

een

aanp

akp

lan

nen

enzo

nod

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

•Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

–d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

–d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

•Je

kan

doel

mat

igee

nw

isku

nd

igm

od

else

lect

eren

of

opst

elle

n:

–ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

ken

nen

als

een

wis

kun

dig

ofee

nst

ati

stis

chp

rob

leem

;–

vast

stel

len

ofee

nm

od

elvo

ldoet

enh

etev

entu

eel

bij

stel

len

;–

zon

od

igb

ijkom

end

ein

form

atie

verz

amel

enom

het

aan

gew

ezen

mod

elte

ku

nn

enh

ante

ren

.

•Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ings

met

hod

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

•Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

alu

eren

.

•Je

kan

refl

ecte

ren

oph

etge

hel

ep

roce

s,i.

h.b

.op

de

gem

aakte

keu

zen

voor

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

•Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

ond

erzo

ekzi

nvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

and

punt

arg

um

ente

ren

enve

rsla

gu

itb

ren

gen

van

het

pro

ces.

Att

itu

des

10.Zin

voorkwaliteit

van

dewiskundigere

pre

senta

tie.

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

11.Kritischezin.

Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaanva

ard

enen

over

ten

emen

.

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg.

•Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

•Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

Pr-

29

Page 43: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

PRACTICUM 8

ONDERZOEKSOPDRACHT (1)

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundige enwetenschappelijke vaardigheden leerden door middel van het observeren van een ‘ex-pert’ (leerkracht, docent) in actie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdigemethode in vraag. Zo ijverde de wiskundige en didacticus George Polya in 1945 reedsdat het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskundeonder-wijs, en dit op elk niveau 1:

“Goed onderwijs betekent dat leerlingen de kans krijgen om zelf te ontdekken.”

De komende onderzoeksopdrachten hebben dan ook als bedoeling om ofwel een nieuwetechniek op zelfstandige basis meester te worden, ofwel zelf een probleem op te lossenen nadien een redenering op een haalbaar niveau te leveren.

Je kan dit realiseren door de vaardigheden en attitudes die in de vorige practica aan bod kwamen te bundelen en jehierin verder bekwamen:

• probleemoplossende vaardigheden (Practica 2 en 3),

• mathematiseren (Practica 4 en 6),

• kritisch evalueren van wiskundige modellen (Practica 4 en 6),

• logisch redeneren en argumenteren (Practicum 7),

• zin voor samenwerking en overleg (Practica 1, 2, 3, 4, 6 en 7),

• wiskundige taalvaardigheid (Practica 4, 5 en 6).

Verantwoording

De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkselestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer ‘onderzoekscompetenties’ worden gecatalogeerd:

1. De leerlingen kunnen zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenenen te bewerken;

2. De leerlingen kunnen een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren enevalueren;

3. De leerlingen kunnen de onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere stand-punten.

1G. Polya, “What is good education? Systematically giving opportunity to the student to discover things by himself.” uit How tosolve it: A new aspect of mathematical method, Princeton (1945).

Pr-30

Page 44: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

De eerste eindterm werd gerealiseerd bij de uitvoering van Practicum 1: Informatie Verzamelen, ordenen en bewerken.In dit practicum komt de tweede eindterm aan bod. De derde eindterm komt in het zesde jaar aan bod.

onderzoekscompetenties

verzamelenordenenbewerken

︸︷︷

competentie 1

voorbereiden

uitvoeren

evalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporterenconfronteren ︸

︷︷︸ competentie 3

Je eerste onderzoeksopdracht kadert in het onderwerp logica, en heeft als bedoeling dat je de techniek van het logischredeneren wat meester wordt.

2. Opdracht

• Voorbereiding. Inleiding en onderzoeksopdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

• Practicum (1 les, thuis afwerken). Je beantwoord de onderzoeksvraag op de volgende pagina. Deze opdrachtvoer je individueel uit.

• Verslag. Je verslag bestaat uit de zes bewijzen. Let erop dat je je bewijzen in dezelfde stijl als de tweemodelvoorbeelden schrijft. Pagina’s onderaan nummeren. Het verslag voeg je in deze practicum bundel.

• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Onderzoeksopdracht - Logische wetten bewijzen met interferentieregels2

Logische wetten zijn tautologien van de vorm �⇒ 4, waarbij � staan voor een aantal uitspraken A,B,C, . . . (gege-vens, ook wel premissen genoemd, genoteerd als PREM), en 4 een uitspraak die hieruit volgt (conclusie genoemd).Meestal vervangt men dan het symbool voor implicatie ⇒ door het symbool `. Men schrijft dus � ` 4. We geveneen overzicht van de meest courante interferentieregels die gebruikt worden om logische wetten te bewijzen. Elk vandeze kunnen aangetoond worden met behulp van een waarheidstabel.

naam logische wet afkorting

modus ponens A⇒ B,A ` B MP

conjunctie A,B ` A ∧B CONJ

simplificatie A ∧B ` AA ∧B ` B SIM

additie A ` A ∨BB ` A ∨B ADD

dilemma A ∨B,A⇒ C,B ⇒ C ` C DIL

introductie van degelijkwaardigheid

A⇒ B,B ⇒ A ` A⇔ B GI

eliminatie van degelijkwaardigheid

A⇔ B ` A⇒ BA⇔ B ` B ⇒ A

GE

dubbele negatie ¬(¬A) ` A DN

reductio ad absurdum A⇒ B,A⇒ (¬B) ` ¬A RAA

2De voorbeelden uit deze onderzoeksopdracht werden ontleend uit D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Ant-werpen - Apeldoorn Garant, zevende druk (2008).

Pr-31

Page 45: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Modelvoorbeeld 1. Als eerste voorbeeld van een bewijs met behulp van deze interferentieregels beschouwen we eeneenvoudig bewijs van de logische wet P ∧Q,P ⇒ R ` R.

P ∧Q,P ⇒ R ` R1 P ∧Q PREM

2 P ⇒ R PREM

3 P 1; SIM

4 R 2,3;MP

Het eigenlijke bewijs wordt gevormd door de uitspraken in de tweede kolom. De nummers uit de eerste kolom gebruikenwe om te verwijzen naar de uitspraken uit de tweede kolom; de verantwoording daarvoor staat in de derde kolom. Weoverlopen het bewijs.

1,2 We schrijven de gegevens (ook wel premissen genoemd).

3 We schrijven een uitspraak die volgt uit 1 door de interferentieregel SIM (simplificatie).

4 We schrijven een uitspraak die volgt uit 2 en 3 door de regel MP (modus ponens). Let even op volgende afspraak:in de derde kolom van lijn 4 staat een komma tussen de nummers van de uitspraken waaruit R werd afgeleid,en een kommapunt tussen de nummers en de naam van de regel waaruit R uit die uitspraken volgt.

De lijnen 1-4 tonen aan dat we uit de gegevens P ∧Q en P ⇒ R de R kunnen afleiden. Zo hebben we de logische wetP ∧Q,P ⇒ R ` R bewezen.

Modelvoorbeeld 2. In het vorige bewijs werden eerst de premissen neergeschreven en werden daarna stap voor stapinterferentieregels toegepast op uitspraken die in het bewijs voorkomen. Een heel andere en bijzonder interessantebewijsmethode maakt gebruik van zogenaamde subbewijzen. Hier is een voorbeeld:

P ⇒ Q ` (P ∧R)⇒ Q

1 P ⇒ Q PREM

2 P ∧R HYP3 P 2; SIM4 P ⇒ Q 1; REIT5 Q 3,4; MP

6 (P ∧R)⇒ Q 2,5;VB

Laat ons dit even bekijken.

1 We schrijven de premisse op.

2 We veronderstellen P ∧R. Deze stap volgt dus niet uit de premisse, maar is een veronderstelling (ook hypothesegenoemd, genoteerd als HYP). Om dat duidelijk te maken trekken we er een verticale lijn naast. We laten dielijn doorlopen zolang we nagaan wat uit de hypothese volgt.

3 Uit P ∧R volgt P .

4 In een subbewijs mogen we een beroep doen op alle gegevens die beschikbaar waren voor we de hypotheseinvoerden - in dit geval de premisse P ⇒ Q uit lijn 1. We drukken dit uit door P ⇒ Q te reıtereren op lijn4. Reıtereren betekent: iets wat we ter beschikking hebben, binnen het subbewijs halen. We noteren dit metREIT.

5 We passen modus ponens toe.

6 Het subbewijs 2-5 toont aan dat, gegeven de premisse, Q volgt uit P ∧R. Met andere woorden, gegeven P ⇒ Qhebben we getoond: als P ∧ R, dan Q. Dit staat op lijn 6. De regel die we hier gebruiken noemen we eenvoorwaardelijk bewijs, notatie VB.

Onderzoeksvraag. Zoek bewijzen met behulp van interferentieregels (dus niet met waarheidstabellen) voor devolgende logische wetten.

(a) P ∧Q ` P ∨Q(b) (P ∨Q)⇒ (R ∧ S), P ` R(c) ¬(¬P ), (P ∨Q)⇒ R,S ` R ∧ S(d) P ⇔ Q,Q ∨R,R⇒ P ` P?(e) P ⇒ Q,¬Q ` ¬P?(f) P ⇒ (Q ∧R), P ⇒ ¬R ` ¬P

Pr-32

Page 46: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatieform

ulierPracticum

8D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en5.Pro

bleemoplossendevaard

igheden.

•Je

kan

een

pro

ble

emon

tdek

ken

enh

etw

isku

nd

igb

ehoor

lijk

stel

len

.

•Je

kan

een

pro

ble

eman

alyse

ren

(on

der

sch

eid

mak

entu

ssen

gege

ven

enge

vra

agd

e,ve

rban

den

leggen

tuss

end

egeg

even

s,et

c.).

•Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

enn

aar

een

pas

sen

dw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emat

iser

en).

•Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nbij

het

wer

ken

aan

pro

ble

men

,en

daar

bij

een

pla

nop

stel

len

.

•Je

kan

refl

ecte

ren

opd

eke

uze

van

jezo

ekst

rate

giee

nen

jep

lan

.

•Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hu

nb

etro

uw

baa

rhei

den

vol

led

igh

eid

.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

geb

ruik

enom

wis

ku

nd

ige

info

rmat

iete

verw

erke

nen

wis

ku

nd

ige

pro

ble

men

teon

der

zoek

en.

6.Onderzoeksvaard

igheden

•Je

kan

een

ond

erzo

ekso

pd

rach

tfo

rmu

lere

nen

afb

aken

en.

•Je

kan

een

aan

pak

pla

nn

enen

zon

od

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

•Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

–d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

–d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

•Je

kan

doel

mat

igee

nw

isku

ndig

mod

else

lect

eren

of

opst

elle

n:

–ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

kenn

enal

see

nw

isku

nd

igof

een

stati

stis

chp

rob

leem

;–

vast

stel

len

ofee

nm

od

elvo

ldoet

enh

etev

entu

eel

bij

stel

len

;–

zon

od

igb

ijkom

end

ein

form

atie

verz

amel

enom

het

aan

gew

ezen

mod

elte

ku

nn

enh

ante

ren

.

•Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ings

met

hod

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

•Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

alu

eren

.

•Je

kan

refl

ecte

ren

oph

etge

hel

epro

ces,

i.h

.b.

opd

ege

maa

kte

keu

zen

voor

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

•Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nh

eton

der

zoek

zinvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

andp

unt

arg

um

ente

ren

enve

rsla

gu

itb

ren

gen

van

het

pro

ces.

Att

itu

des

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e.

•Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

•Je

heb

tee

nh

oud

ing

omor

del

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

12.Zelfvertro

uwen

en

zelfstandigheid.

•Je

toon

tze

lfver

trou

wen

,ze

lfst

and

igh

eid

,d

oor

zett

ings

ver

mog

enen

doel

mat

igh

eid

bij

het

aan

pakke

nva

np

rob

lem

enen

op

dra

chte

n.

•Je

ziet

ind

atfo

ute

nm

aken

inh

eren

td

eel

uit

mak

enva

nh

etle

erp

roce

s.

13.Zelfre

gulatie.

•Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

•Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gsp

roce

ste

orie

nte

ren

,h

etp

roce

ste

pla

nn

en,

het

uit

tevo

eren

enh

ette

bew

ake

n.

Pr-

33

Page 47: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

PRACTICUM 9

ONDERZOEKSOPDRACHT (2)

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

In dit practicum ligt de nadruk op de tweede en de derde onderzoekscompetentie.

onderzoekscompetenties

verzamelenordenenbewerken

︸︷︷

competentie 1

voorbereiden

uitvoeren

evalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporteren

confronteren ︸︷︷

︸ competentie 3

Bij je tweede onderzoeksopdracht is het de bedoeling om een vooraf gestelde onderzoeksvraag te beantwoorden. Om jedaarbij te helpen bieden we je een aantal kleinere vragen aan die uiteindelijk tot de oplossing van de onderzoeksvraagzullen leiden. Daarnaast wordt je aangemoedigd om zelf kleinere onderzoeksvragen te formuleren om zo een eigenredenering op touw zetten waarmee je de grotere, hier gestelde onderzoeksvraag beantwoord.

2. Opdracht

• Voorbereiding. Inleiding lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

• Practicum en verslag (1 les, thuis afwerken). Voor dit practicum werk je in groepen van twee. Tijdens deles voer je het onderzoek uit. Het eindresultaat is een verslag dat beantwoord aan de criteria uit practicum 7.Let hierbij op de aandachtspunten die toen aan bod kwamen:

– niet de kleinere vragen overschrijven en beantwoorden, maar wel een eigen redenering opbouwen, al danniet geınspireerd op die kleinere onderzoeksvragen op de vorige pagina;

– zorg dat jullie verslag vlot leesbaar is (voor een lezer op niveau van het vijfde jaar 6u wiskunde);

– verslag afsluiten met een toepassing zoals vermeld op de vorige pagina, of een eigen creatieve toepassingkan een meerwaarde zijn, een diepere historische of wiskundige analyse, randinformatie, afbeeldingen enandere relevante creatieve vondsten zijn een bonus.

Het verslag mag handgeschreven zijn, pagina’s onderaan nummeren.

• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in,met daarin het verlag. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.

Pr-34

Page 48: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Onderzoeksopdracht - Het probleem van Josephus

Flavius Josephus(37 - ±100)

We bespreken een variant van een oud probleem genoemd naar Josephus, een be-faamde1historicus uit de eerste eeuw na Christus. Tijdens de Joods-Romeinse oorlogwerd hij met 40 andere Joodse rebellen opgesloten in een grot. De rebellen verkozenzelfmoord boven overgave. Ze beslisten om in een kring te gaan staan en elke derdepersoon te vermoorden tot niemand meer overbleef. Maar Josephus en een anderepersoon hadden het niet zo begrepen op deze eliminatie, en - zo gaat de legende -bedachten een manier hoe zij als laatsten konden overblijven om zich nadien aan deRomeinen over te geven.

In onze variant gaan we ervan uit dat er n personen in een kring staan.We nummeren de personen volgens hun plaats. Om het probleem van Josephus wateenvoudiger te maken spreken we af dat elke tweede persoon in de cirkel vermoordwordt.

Onderzoeksvraag

Als er n personen in een kring staan, en elke tweede wordt vermoord, welk nummerblijft er dan als laatste over?

12

3...

n

1Ware het niet dat Josephus beschikte over zijn wiskundige talenten, zo zegt de legende, dan zou hij bijlange na niet beschikt hebbenover de levensjaren die hem toegelaten hebben om beroemd te worden. Josephus zelf schreef dat hij ‘als bij wonder’ gespaard bleef.

Pr-35

Page 49: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Zoekstrategieen en kleinere onderzoeksvragen

Voor elke n noemen we un het nummer van de persoon die als laatste overblijft. Zo bekomen we een rij (un) =u1, u2, u3, . . .. Het doel is om een voorschrift van deze rij te vinden, bijvoorbeeld een recursief voorschrift.

1. Om het probleem goed te begrijpen ga je best enkele kleine gevallen na.

(i) Ga na dat voor n = 10 de volgorde van eliminatie gelijk is aan 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9 zodat 5 als laatste overblijft. Dus u10 = 5.

(ii) Bepaal un voor enkele kleine waarden van n, bijvoorbeeld 1 ≤ n ≤ 10.

n 1 2 3 . . .un

(iii) Het nummer un van degene die als laatste overblijft lijkt altijd oneven te zijn. Bewijs dit.

(iv) Heb je nu al een vermoeden wat un is voor een algemeen aantal personen n?

Na deze eerste verkenning begrijpen we de rij (un) al iets beter, maar waarschijnlijk heb je nog geen idee metwelke formule we un kunnen berekenen.

2. We proberen het algemeen probleem te herleiden naar kleinere gevallen. Voor de eenvoud veronderstellen we indeze vraag n = 12.

(i) Welke nummers zijn er na een rondgang geelimineerd? En welke nummers blijven over?

(ii) Na een rondgang blijven er 6 personen over. Als je die zes bij het begin van de tweede rondgang nu eennieuw nummer geeft (van 1 tot 6), dan kun je uit de tabel van vraag 1(ii) meteen weten welk nieuw nummerer zal overblijven! Wat is dat nieuw nummer, en waarom?

oud nummer van degene die overblijft(bij begin eerste rondgang)

u12 = . . .

nieuw nummer van degene die overblijft(bij begin tweede rondgang)

. . . = . . .

(iii) We vermoeden dat er een verband is tussen u12 en u6. Daarvoor moeten we eerst het verband vinden tussenoude en nieuwe nummers. Als een persoon als oud nummer k heeft, wat is zijn nieuw nummer?

oud nummer(bij begin eerste rondgang)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 k

nieuw nummer(bij begin tweede rondgang)

?

(iv) Combineer de antwoorden op 2(ii) en 2(iii) om het verband tussen u12 en u6 te vinden (formule).

3. Veralgemeen de redenering in vraag 2 om een recursief voorschrift van de rij (un) te bekomen.

Aanwijzing. Maak onderscheid tussen n even en n oneven.

4. Om een wat explicieter voorschrift van un te bepalen kunnen we als volgt te werk gaan.

(i) Bepaal met behulp van dit recursief voorschrift u(n) voor 1 ≤ n ≤ 16. Maak een tabel.

(ii) Groepeer de tabel volgens machten van 2: neem de eerste samen, daarna de volgende 2, daarna de volgende22, etc. Wat merk je op?

?(iii) Hoe kun je voor een grotere waarde van n bepalen wat u(n) is? Vul de volgende werkwijze aan:

Stap 1. Schrijf n = 2m + l voor m ∈ N en 0 ≤ l . . .Stap 2. Dan is u(n) = . . .

?(iv) Toon aan dat u(n) = 2n− 2b2lognc+1 + 1

??5. Bij elke n hoort een (eindige) rij die de eliminatievolgorde aangeeft. Zo hoort bij n = 10 de rij

2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, 5

Bepaal een voorschrift van deze eliminatierij, en dit voor elke waarde van n.

Toepassing. Als je met 2012 anderen in een kring staat en elke tweede wordt vermoord, waar ga jij dan staan omals laatste over te blijven?

Pr-36

Page 50: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatieform

ulierPracticum

9D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en4.Denk-en

redeneerv

aard

igheden.

•Je

kan

het

ond

ersc

hei

dm

aken

tuss

enh

oof

d-

enb

ijza

ken,

gege

ven

enge

vra

agd

e,ge

geve

nen

teb

ewij

zen

.

•Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eigen

sch

apte

beg

rijp

en.

•Je

kan

een

gege

ven

red

ener

ing

oph

aar

geld

igh

eid

ond

erzo

eken

.

•Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofd

eop

loss

ing

van

een

pro

ble

emop

bouw

en:

–je

kan

een

ver

moed

enfo

rmu

lere

nen

argu

men

tere

n;

–je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opb

asis

van

een

ond

erzo

ekop

een

aanta

lvo

orb

eeld

en;

–je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

geb

ruik

en.

6.Onderzoeksvaard

igheden

•Je

kan

een

ond

erzo

ekso

pd

rach

tfo

rmu

lere

nen

afb

aken

en.

•Je

kan

een

aanp

akp

lan

nen

enzo

nod

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

•Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

–d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

–d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

•Je

kan

doel

mat

igee

nw

isku

nd

igm

od

else

lect

eren

of

opst

elle

n:

–ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

ken

nen

als

een

wis

kun

dig

ofee

nst

ati

stis

chp

rob

leem

;–

vast

stel

len

ofee

nm

od

elvo

ldoet

enh

etev

entu

eel

bij

stel

len

;–

zon

od

igb

ijkom

end

ein

form

atie

verz

amel

enom

het

aan

gew

ezen

mod

elte

ku

nn

enh

ante

ren

.

•Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ings

met

hod

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

•Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

alu

eren

.

•Je

kan

refl

ecte

ren

oph

etge

hel

ep

roce

s,i.

h.b

.op

de

gem

aakte

keu

zen

voor

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

•Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

ond

erzo

ekzi

nvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

and

punt

arg

um

ente

ren

enve

rsla

gu

itb

ren

gen

van

het

pro

ces.

Att

itu

des

10.Zin

voorkwaliteit

van

dewiskundigere

pre

senta

tie.

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

11.Kritischezin.

Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaanva

ard

enen

over

ten

emen

.

13.Zelfre

gulatie.

•Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

•Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gsp

roce

ste

orie

nte

ren

,h

etp

roce

ste

pla

nn

en,

het

uit

tevo

eren

enh

ette

bew

ake

n.

15.W

aard

eringvoordewiskunde.

Je

toon

tin

zich

tin

de

bij

dra

geva

nd

ew

isku

nd

ein

cult

ure

le,

his

tori

sch

een

wet

ensc

hap

pel

ijke

ontw

ikke

lin

gen

.

Pr-

37

Page 51: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

PRACTICUM 10

ONDERZOEKSOPDRACHT (3)

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

In dit practicum ligt de nadruk op de tweede en de derde onderzoekscompetentie.

onderzoekscompetenties

verzamelenordenenbewerken

︸︷︷

competentie 1

voorbereiden

uitvoeren

evalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporteren

confronteren ︸︷︷

︸ competentie 3

Deze onderzoeksopdracht is de grootste opdracht uit je practicum wiskunde. Het is de bedoeling dat jullie een echtwiskundig onderzoek uitvoeren, en jullie bevindigen rapporteert in een verslag (werkstuk). In de beschrijving van deopdracht krijg je enkele vragen die je kunnen helpen om het onderwerp te onderzoeken. Hierbij is het noodzakelijkom alle verworven competenties uit de vorige practica te bundelen.

2. Afspraken en tips

Om het denkwerk te verrichten beschik je over vijf lesuren (verspreid over een week). Daarna heb je twee weken tetijd om het verslag te schrijven. Het zal dan ook noodzakelijk zijn om gedurende deze twee weken nog enkele kerensamen te komen.

Daarna volgt er een verdediging. Tijdens een les komt elke groep beurtelings bij de leerkracht (ongeveer 10 minuten).Groepen die niet aan de beurt zijn werken verder aan opgegeven oefeningen.

Richtlijnen bij het onderzoek

• Opgaven en deeltaken hangen nauw samen. Lees eerst de hele opgave goeddoor. Werk je in groep in, en maak daarna een taakverdeling.

• Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op de vier stappen uit Prac-ticum 1: Probleemoplossend denken (zie pagina Pr-5): het probleem begrijpen,zoekstrategieen bedenken en een plan opstellen, het plan uitvoeren, controleren.

• Bespreek je werk op meerdere momenten in groep. Herzie eventueel je planning.

• Ervaring wijst uit dat leerlingen het moeilijk hebben om tot veralgemenin-gen te komen. Veel groepen kijken daarenboven onvoldoende kritisch naar eengevonden resultaat. Tracht een vermoeden ook ten gronde te bewijzen.

• De leerkracht heeft enkel de taak om de teams gemotiveerd te houden. Hulp bieden is uit den boze. Opvragenvan formules aan de leerkracht kan wel (databank-functie). Om je de kans te geven informatie op te zoekenzullen we enkele boeken en cursussen ter beschikking stellen.

Pr-38

Page 52: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Richtlijnen bij het verslag

• Begin tijdig aan het verslag, je hoeft niet te wachten tot de vijf lesuren om zijn. Start met het maken van eenstructuur (of ‘kapstok’): welke onderverdelingen bespreek je in het hoofddeel van het verslag?

• Voor de vorm van het verslag volg je de opbouw en de schrijftips uit Practicum 7: Een wetenschappelijk verslagschrijven (zie pagina Pr-25).

• Let erop dat het verslag geen opeenvolging is van ‘antwoorden op de vraagjes’. Het kan zijn dat jebeter begint met de laatste opgave of een meer ingewikkelde opgave waarvan de vorige vragen een onderdeelvormen. Denk aan de a,b,c,. . . vraagjes die bij een toets op examen vaak bedoeld zijn om je naar het grotereprobleem te gidsen.

• Het is van groot belang dat het verslag helder leesbaar is. Het is niet altijd eenvoudig om in iemands redeneringte komen. Voor de beoordelaar is het erg belangrijk dat de stappen voldoende uitgewerkt en toegelicht zijn.

• We geven je de mogelijkheid om - bij wijze van illustratie - werkstukjes van vorige jaren in te kijken (uiteraardhandelen die over een ander onderwerp).

Beoordeling

Het geheel van deze onderzoeksopdracht wordt geevalueerd op 60 punten en herleid naar een totaal van 30 punten,het gewicht van anderhalve toets bij je tussentijdse evaluatie van het tweede semester.

De puntenverdeling op de kwaliteit van het verslag is als volgt:

• 10 punten op de redactie van het werk (opbouw en schrijfstijl van het verslag, inhoudstafel en referentielijst,lay-out, etc.),

• 40 punten op het eindresultaat (de uitwerking, de correctheid, originaliteit en/of creatieve vondsten, . . . ),

• 10 punten op de verdediging en antwoord op de gestelde vragen.

Na de evaluatie kunnen de punten op twee manieren aan de groepsleden worden toegekend.

1. Indien de leerkracht aanvoelt dat elk groepslid een gelijkwaardige inbreng heeft in het geleverde werk, wordt aanelk groepslid het zelfde cijfer toegekend.

2. Indien de leerkracht aanwijzingen en/of vermoedens heeft dat niet elk lid van de groep een gelijkwaardig aandeelheeft in het geleverde werk, worden de punten verdeeld aan de hand van een peer-evaluatie: elk groepslid vultin alle discretie een formulier in waarin hij/zij het aandeel van de overige groepsleden beschrijft. Items die aanbod komen:

• je denkt actief mee om de opdracht te verduidelijken en te analyseren,

• je discussieert mee over de goede aanpak van de opdracht,

• je legt je ideeen duidelijk uit,

• je luistert naar de anderen binnen de groep,

• je bent bereid je te verdiepen in alle aspecten van de opdracht,

• je hebt oog voor het geheel,

• je werkt op een constructieve manier samen,

• je doet aanpassingen na kritische reflecties van de andere leden van de groep.

Aan de hand van deze evaluatieformulieren kent de leerkracht tenslotte de individuele scores toe.

Pr-39

Page 53: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

3. Opdracht

• Voorbereiding. Inleiding, afspraken en tips en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

• Practicum en verslag (. . . lessen, thuis afwerken). Voor dit practicum werk je in groepen van vier. Inhet begin van de eerste les krijg je een bundel die het onderwerp en de onderzoeksopdracht beschrijft (pagina’sA-125 tot en met A-128). Tijdens de lessen voer je het onderzoek uit. Het eindresultaat is een werkstuk waarinje het onderwerp behandelt.

– Typen mag, maar hoeft niet (een getypt verslag kan een meerwaarde zijn). In elk geval nummer je debladen onderaan in het midden.

– Een diepere historische of wiskundige analyse, afbeeldingen, randinformatie en andere relevante creatievevondsten zijn een bonus.

– Per groep een verslag indienen. Het verslag zal verbeterd en gekopieerd worden door de leerkracht.

• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in,met daarin het verlag. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.

• Verdediging per groep. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Pr-40

Page 54: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatieform

ulierPracticum

10D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en4.Denk-en

redeneerv

aard

igheden.

•Je

kan

het

ond

ersc

hei

dm

aken

tuss

enh

oof

d-

enb

ijza

ken,

gege

ven

enge

vra

agd

e,ge

geve

nen

teb

ewij

zen

.

•Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eigen

sch

apte

beg

rijp

en.

•Je

kan

een

gege

ven

red

ener

ing

oph

aar

geld

igh

eid

ond

erzo

eken

.

•Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofd

eop

loss

ing

van

een

pro

ble

emop

bouw

en:

–je

kan

een

ver

moed

enfo

rmu

lere

nen

argu

men

tere

n;

–je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opb

asis

van

een

ond

erzo

ekop

een

aanta

lvo

orb

eeld

en;

–je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

geb

ruik

en.

6.Onderzoeksvaard

igheden

•Je

kan

een

ond

erzo

ekso

pd

rach

tfo

rmu

lere

nen

afb

aken

en.

•Je

kan

een

aanp

akp

lan

nen

enzo

nod

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

•Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

–d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

–d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

•Je

kan

doel

mat

igee

nw

isku

nd

igm

od

else

lect

eren

of

opst

elle

n:

–ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

ken

nen

als

een

wis

kun

dig

ofee

nst

ati

stis

chp

rob

leem

;–

vast

stel

len

ofee

nm

od

elvo

ldoet

enh

etev

entu

eel

bij

stel

len

;–

zon

od

igb

ijkom

end

ein

form

atie

verz

amel

enom

het

aan

gew

ezen

mod

elte

ku

nn

enh

ante

ren

.

•Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ings

met

hod

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

•Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

alu

eren

.

•Je

kan

refl

ecte

ren

oph

etge

hel

ep

roce

s,i.

h.b

.op

de

gem

aakte

keu

zen

voor

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

•Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

ond

erzo

ekzi

nvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

and

punt

arg

um

ente

ren

enve

rsla

gu

itb

ren

gen

van

het

pro

ces.

Att

itu

des

10.Zin

voorkwaliteit

van

dewiskundigere

pre

senta

tie.

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

11.Kritischezin.

Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaanva

ard

enen

over

ten

emen

.

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg.

•Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

•Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

15.W

aard

eringvoordewiskunde.

Je

toon

tin

zich

tin

de

bij

dra

geva

nd

ew

isku

nd

ein

cult

ure

le,

his

tori

sch

een

wet

ensc

hap

pel

ijke

ontw

ikke

lin

gen

.

Pr-

41

Page 55: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

PRACTICUM 11

ZELFSTANDIG OEFENINGEN MAKEN MET OPLOSSINGSSLEUTELS

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding1

In dit practicum maak je zelfstandig oefeningen tijdens de les, waarbij je gebruikmaakt van oplossingssleutels. Dat lijkt erg handig, maar je moet er wel verstandigmee omgaan. Dat kan het beste als volgt.

Ga ervan uit dat je het meeste leert door zelf de oefeningen uit de cursus te maken.Van de fouten die je daarbij maakt, leer je veel over de leerstof en over jezelf. Maakdie fouten dan ook eerst en bekijk pas daarna de oplossingen of oplossingssleu-tels. Lees dus nooit de oplossingen van tevoren door, want dan leer je zelf niet genoeg.

De modelvoorbeelden uit de cursus laten je zien hoe de aanpak, oplossingsroute(recept) en uitwerkingen van een type oefening er uit zien. Bij het herhalen van je les

wiskunde (elke dag!) bekijk je die voorbeelden dus goed en ga je bij elke stap na of je begrijpt waarom juist die stapgezet wordt.

2. Opdracht

• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

• Practicum (1 les, thuis afwerken). Tijdens de les maak je zelfstandig de reeks oefeningen op pagina A-130uit Deel Integralen (bepaalde integralen). Je doet dat aan de hand van de oplossingssleutels op de volgendepagina’s.

• Verslag. Je schrijft je oplssingen op cursusbladen, elke opgave start op een nieuw cursusblad. Je volgt devolgende structuur:

– “Oefening” met nr. opschrijven,

– “Oplossing”.

Het is belangrijk dat je je uitwerking op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlotkan lezen.

• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Op het einde van de les.wordt gezegd welke van devier reeksen oefeningen moet indienen. Dat cursusblad voeg je in deze practicumbundel. Nummer die paginaonderaan in het midden (eventuele volgende pagina’s nummeren met 2, 3, etc.). De overige drie oefeningen hoefje niet af te geven. Die kun je later zelf verbeteren.

1Gebaseerd op de studiewijzer uit T.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, wiskunde voor het hoger onderwijs:uitwerkingen, Noordhoff Uitgevers (2009).

Pr-42

Page 56: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Oefeningen - Oplossingssleutels

Oefening 1. Bereken algebraısch de term in de gevraagde Riemann-som, en duid deze aan op een schets:

f(x) =1

xvierde term in de rij van de linkersommen over interval [a, b] = [1, 2]

Oplossingssleutel.

1. Maak eerst een schets van de grafiek van f .Omdat [a, b] = [1, 2], kun je je voor het tekenen van de x-as beperken tot het interval [−1, 4] of zelfs [0, 3].

2. Er is gevraagd om een vierde term in een rij van Riemann-sommen te berekenen.Je moet het interval [1, 2] dus verdelen in vier lijnstukken van gelijke lengte.Dat wordt dus: [1; 1, 25], [1, 25; 1, 5], [1, 5; 1, 75] en [1, 75; 2].

3. Op elk van de vier deelintervallen teken je nu een rechthoek.Linkersom betekent: de hoogte van zo’n rechthoek is de functiewaarde van het getal links in het interval.Dus de eerste rechthoek heeft als basis [1; 1, 25] en als hoogte f(1).

4. Bereken nu de Riemann-som R4 met behulp van de formule op pagina A-131 (IV-7 midden):

R4 = f(1) · (1, 25− 1) + . . .

5. Controleer nadien je uitkomst met je grafisch rekenmachine: gebruik het programma curvatur.

Oefening 2. Gegeven is de grafiek van de functie f(x) = ex.

(a) Welke bijzondere soort Riemann-som (bovensom, ondersom, linkersom, rechtersom of middensom) is aangeduid?

(b) Bepaal algebraısch de waarde van de aangeduide oppervlakte

1

2

3

4

1 2 3 4−1

y

x

y = ex

Oplossingssleutel.

(a) 1. De hoogte van elke rechthoek is de functiewaarde van een bepaalde x-waarde.Welke x-waarde neemt men telkens?

2. Opgelet: misschien zijn er wel meerdere mogelijkheden voor je antwoord op (a).

(b) 1. Van elke rechthoek bereken je de oppervlakte.Nadien tel je die oppervlaktes op.

2. De basis van elke rechthoek is 0, 5.De hoogte is telkens de functiewaarde van een bepaalde x-waarde: f(−1), f(−0, 5), etc.

3. Om f(−1), f(−0, 5), etc. te berekenen: gebruik dat f(x) = ex.

4. Denk er aan dat men vraagt om de waarde algebraısch te bepalen.Je moet dus de exacte waarde geven.Zo stelt bijvoorbeeld

√2 een exacte waarde voor, en 1, 41 . . . slechts de decimale voorstelling van

√2.

5. Controleer nadien je uitkomst met je grafisch rekenmachine: gebruik het programma curvatur.

Pr-43

Page 57: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Oefening 3. Bereken telkens met behulp van je grafisch rekenmachine de volgende bepaalde integralen, en maak eenschets waarop je de meetkundige betekenis aanduidt.

(a)

∫ 1

−1x3dx

(b)

∫ 2

−12xdx

(c)

∫ π4

0

tanxdx

Aanwijzing. Indien we enkel interesse hebben in de bepaalde integraal (getal) en niet in de visuele voorstelling ervan,kunnen als volgt te werk gaan

MATH 9:fnInt fnInt(f(x),x,a,b)

Oplossingssleutel.

(a) 1. Volg de stappen in bovenstaande schermafdrukken om de bepaalde integraal te berekenen.

2. f(x) = x3 is een elementaire functie, er wordt dus verwacht dat je de grafiek van die functie zonder grafischrekenmachine kan schetsen.

3. Duid in je schets van de grafiek van f de relevante georienteerde oppervlakte aan.

4. Wees nauwkeurig: bij je schets de assen benoemen, grafiek benoemen, en de meetkundige betekenis ookaanduiden. Dat laatste kan met behulp van Romeine cijfers.

(b) Analoog aan (a).

(c) Analoog aan (a). De functie in het integrandum is een goniometrische functie, dus zorg ervoor dat je grafischrekenmachine “in radialen staat”, via mode.

Oefening 4. Gegeven is de functie f(x) = 3x.

(a) Bepaal de oppervlaktefunctie A(t) van f tussen x = −1 en x = 1.

(b) Bereken

∫ 1

−13xdx met behulp van de oppervlaktefunctie. Duid de meetkundige betekenis van de bepaalde

integraal aan in een schets.

Oplossingssleutel.Deze oefening maak je met behulp van Werkwijze 1 op pagina A-131 (IV-12).Ze is dan ook gelijkaardig aan de twee modelvoorbeelden op die pagina.

(a) 1. De oppervlaktefunctie A(t) bepaal je uit de voorwaarden A′(t) = f(t) en A(a) = 0.

2. Wat is f(t)? Wat is a? Vervang dit in de vorige regel.

3. Als je niet meteen weet voor welke functie A(t) geldt dat A′(t) = 3t, denk er dan aan dat de afgeleide van3t “bijna” zichzelf is.Als eerste poging probeer je dus A(t) = 3t uit.

(b) 1. Om de integraal te berekenen met behulp van de oppervlaktefunctie grijp je terug naar Werkwijze 1 oppagina A-131 (IV-12).

2. Wat is b? Vervang dit.

3. Maak een schets van de grafiek van f(x) = 3x, en duid de relevante georienteerde oppervlakte aan.

4. Wees nauwkeurig: bij je schets de assen benoemen, grafiek benoemen, en de meetkundige betekenis ookaanduiden. Dat laatste kan met behulp van Romeine cijfers.

Pr-44

Page 58: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatieform

ulierPracticum

11D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid.

•B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

•Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

2.M

eet-en

tekenvaard

igheid.

•G

rafi

eken

envo

orst

elli

nge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

•Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lin

gsve

rmog

en.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

iddel

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

ach

ine

ofee

nco

mp

ute

rrek

enp

akke

tge

past

insc

hakel

enom

een

figu

ur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

lin

gen

die

jem

etIC

Tb

ekom

enh

ebt.

3.W

iskundigeta

alvaard

igheid.

•Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eva

kta

alva

nd

ew

isku

nd

e:

–je

ken

td

eb

etek

enis

van

typ

isch

eva

kte

rmen

enge

bru

ikt

dez

evo

ldoen

de

corr

ect

(fu

nct

ie,

stel

sel,

etc.

);–

jeke

nt

de

bet

eken

isva

nsp

ecifi

eke

logi

sch

eke

rnw

oor

den

enge

bru

ikt

dez

evol

doen

de

corr

ect

(en

,of,

daaru

itvolg

t,vo

or

all

e,et

c.);

–je

ben

tin

staa

tom

een

omsc

hri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waard

ete

sym

boli

sere

n;

–je

han

teer

td

evis

uel

evo

orst

elli

nge

nw

aar

de

wis

ku

nd

ege

bru

ikva

nm

aakt

(gra

fiek

,ta

bel

,et

c.).

•Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eb

esch

rijv

end

eta

alw

aari

nov

erh

etw

isku

nd

igh

an

del

enge

spro

ken

word

t(d

efin

itie

,ei

gen

sch

ap

,ve

rkla

ar,

ber

eken

alge

bra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

•Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

isku

nd

ige

beg

rip

pen

her

ken

nen

enve

rtal

ennaa

rw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emati

sere

n).

•Je

kan

vis

uel

ein

form

atie

invo

ldoen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gr

afi

ek,

dia

gra

m).

•Je

ben

tle

esva

ard

igb

ijh

etle

zen

van

de

tekst

van

opga

ven

,p

rob

lem

enen

vra

agst

ukke

n.

Att

itu

des

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e.

•Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

•Je

heb

tee

nh

oud

ing

omor

del

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

12.Zelfvertro

uwen

en

zelfstandigheid.

•Je

toon

tze

lfver

trou

wen

,ze

lfst

and

igh

eid

,d

oor

zett

ings

ver

mog

enen

doel

mat

igh

eid

bij

het

aan

pakke

nva

np

rob

lem

enen

op

dra

chte

n.

•Je

ziet

ind

atfo

ute

nm

aken

inh

eren

td

eel

uit

mak

enva

nh

etle

erp

roce

s.

Pr-

45

Page 59: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

PRACTICUM 12

WERKEN MET EEN WISKUNDIG MODEL

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding1

Een wiskundig model is een wiskundige beschrijving van een systeem, vaak een waarneembaar verschijnsel. Het doelvan het model is in om met wiskundige technieken een systematische analyse te maken, om zo inzicht te verwervenin het verschijnsel, en om voorspellingen over het systeem te doen. Dat is de kern van de wetenschap. Het proceswaarbij men een model ontwikkelt noemt men modelleren.

Een model kan nooit een volledig beeld van de werkelijkheid geven. Het is altijd een vereenvoudiging. Een goed modelzoekt een evenwicht tussen eenvoud en nauwkeurigheid: het moet eenvoudig genoeg zijn om mee te kunnenrekenen en zinvolle conclusies te kunnen trekken, en het moet nauwkeurig genoeg zijn om die conclusies betrouwbaarte doen zijn. Als een eenvoudig model een even goede beschrijving van de waarnemingen geeft als een ingewikkeldmodel, dan verdient het eenvoudige model de voorkeur.

Wiskundige modellen worden zowel gebruikt in natuur- en ingenieurswetenschappen (fysica, elektrotechniek, biologie,geologie, meteorologie) als in sociale wetenschappen (economie, psychologie, sociologie, politicologie).

We sommen enkele voorbeelden op.

Italiaans raaigras(Lolium Multiflorum)

• Plantenteelt (Allometrie2). Bij grassen en granen is de groeisnelheid vande wortelmassa vaak anders dan die van de bladmassa. Dit leidt ertoe dat deverhouding tussen beide geleidelijk veranderd als de plant groeit. Observatieswijzen uit dat het verband tussen de wortelmassa w en de spruit s (de groenedelen) vaak gemodelleerd kan worden met de vergelijking

w(s) = c · sk waarbij c, k ∈ R+0

De parameter k noemt men de allometrische constante. Zo geldt voor Italiaansraaigras de waarde k = 1, 12 tot aan de bloei, daarna krijgt k een (lagere)waarde.

• Econometrie3. In een bedrijf beschouwt men volgende economische grootheden:

L het arbeidersinkomen,

Z het niet-arbeidersinkomen, kortweg ‘winst’ te noemen,

U de waarde der verkochte consumptiegoederen,

V de waarde der verkochte investeringsgoederen.

Als model neemt men de volgende betrekkingen tussen deze grootheden aan.

1. De winstvergelijking: Z = U + V − L2. Een vertraging aangenomen van een tijdseenheid: Vt = βZt−1

3. De uitgaven voor consumptiegoederen: Ut = Lt + ε1Zt−1 + ε2(Zt−1 − Zt−2)

1Gebaseerd op M. De Gee, Wiskunde in werking deel 2, Epsilon Uitgaven, Utrecht (2002).2Allometrie betekent: Verandering van de verhoudingen van de verschillende lichaamsdelen gedurende de groei.3Uit J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938). Econometrie is

de discipline binnen de economische wetenschap die zich richt op het kwantificeren (het in getallen uitdrukken) van de relaties tusseneconomische grootheden. Econometrie kan het beste worden omschreven als de wetenschap van het economisch modelleren, waarbij eengroot beroep wordt gedaan op technieken uit de wiskunde, de waarschijnlijkheidsrekening en de statistiek. Informatica neemt een belangrijkeplaats in, zowel bij het ontwerp als bij het toetsen en gebruiken van econometrische modellen.

Pr-46

Page 60: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Hierbij stellen β, ε1 en ε2 parameters die men kan schatten door de grootheden L,Z,U en V te oberveren overeen aantal tijdseenheden. Hieruit kan men achterhalen dat de winst Z op tijdstip t als volgt afhangt van dewinst op de twee voorgaande tijdstippen:

Zt = (β + ε1 + ε2)Zt−1 + ε2Zt−2

• Milieukunde. Op grond van waarnemingen vanaf 1970 voorspelde het IPCC (Intergovernmental Panel onClimate Change) dat zonder reductie van de uitstoot van broeikasgassen de gemiddelde temperatuur elke tienjaar met 0, 3◦C zou stijgen. In 1970 was de gemiddelde temperatuur 15◦ C. Een ander model voorspelt eenstijging van de zeespiegel met 65 cm ten opzichte van 1970 niveau als de gemiddelde temperatuur 19◦C is.

Marktpenetratie4van eenherbicide in Iowa

• Marktkunde. Een nieuw product wordt vaak gelanceerd met een reclame-campagne die de eerste gebruikers overhaalt. Daarna volgt vaak nog een fasewaarin het verbruik kan toenemen door mond-tot-mond reclame. Mond-tot-mond reclame werkt als een besmetting, waarin niet-gebruikers het gedrag vangebruikers waarmee ze sociaal contact hebben geleidelijk overnemen. Noemenwe p(t), met 0 ≤ p ≤ 1 de fractie gebruikers binnen de doelgroep op tijdstip t,dan wordt een eenvoudig model gegeven door een zogenaamde logistische functie

p(t) =1

1 + c e−r twaarbij c, r ∈ R+

0

De figuur hiernaast geeft de toename in het gebruik van een nieuw herbicideonder de graanboeren in de Amerikaanse staat Iowa weer, met t de tijd in jaren.De parameters bij deze data zijn geschat als r = 0, 8691 en c = 47, 2797.

Europese lariks(Larix decidua)

• Bosbouw. Een laboratorium aan een universiteit onderzoekt, in opdracht vande vereniging van bosuitbaters, het groeiproces van lariksen (ook wel lork ge-noemd, een geslacht van coniferen). Op 1 januari vorig jaar waren de bomen bijaanplant 80cm groot. Op basis van de hoogtegegevens die tijdens het afgelopenjaar op verschillende tijdstippen werden opgemeten, schat men dat de groei-snelheid (in centimeter per jaar) van de lariksen x jaar na de aanplant gelijk isaan

g(x) = 25 +40

(2 + x

20

)2

Hieruit kan men de hoogte van de lariksen t jaar na de aanplant bepalen, na-melijk als de oorspronkelijke hoogte vermeerdert met de toename van de hoogtesinds 1 januari vorig jaar:

h(t) = 80 +

∫ t

0

g(x) dx

• Toxicologie, milieuhygiene, veeteelt. Een koe heeft gras gegeten dat verontreinigd was met asdeeltjes uit eenafvalverwerkingsinstallatie. Het gif wordt in het vet opgeslagen en verlaat het lichaam weer via de melk. Dagelijkswordt de concentratie gif in de melk gemeten. De waargenomen concentraties in g/m3 zijn te modelleren met

c(t) = 4te−0,2 t

met t in dagen na het eten van het verontreinigde gras. De koe levert 15 liter melk per dag. De functie G(t)geeft de totale hoeveelheid uitgescheiden gif (in g) als functie van de tijd (in dagen).

UitG′(t) = 0, 06 te−0,2 t

kan men nagaan datG(t) = −0, 3 te−0,2 t − 1, 5 e−0,2t + c waarbij c ∈ R

De integratieconstante c bepaalt men via G(0) = 0.

4Marktpenetratie is de mate waaraan een product of dienst door potentiele klanten bekend is en/of gebruikt wordt, met als formule:aantal gebruikers

potentieel aantal gebruikers· 100. De marktpenetratie geeft dus een indicatie van de groeimogelijkheden in de markt.

Pr-47

Page 61: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

2. Opdracht

• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

• Practicum (. . . lessen, thuis afwerken). Dit practicum voer je uit in groepen van drie tot vier leerlingen.

1. In groep kies je een van de volgende onderwerpen (zie pagina’s A-133 tot en met A-138):

Onderwerp 1. Ruimtelijke ordening

Onderwerp 2. Milieukunde

Onderwerp 3. Celbiologie

Onderwerp 4. Visteelt

Onderwerp 5. Plantenteelt I (gewassen)

Onderwerp 6. Plantenteelt II (kamerplanten)

2. Van het gekozen onderwerp krijg je een model, voorzien van een opgave.

3. In groep los je de vragen op.

• Verslag (thuis afwerken). Iedereen dient een verslag in, dat bestaat uit cursusblad(en), met de volgendestructuur.

– Onderwerp en opgave netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken.

– “Oplossing.”

– Enkel recto schrijven, cursusbladen onderaan nummeren.

– Het is belangrijk dat je je uitwerking op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossingvlot kan lezen.

Je voegt de cursusbladen in deze practicumbundel.

• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Iedereen dient zijn/haar practicumbundel met verslagin.

Pr-48

Page 62: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatieform

ulierPracticum

12D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid.

•B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

•Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

2.M

eet-en

tekenvaard

igheid.

•G

rafi

eken

envo

orst

elli

nge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

•Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lin

gsve

rmog

en.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

iddel

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

ach

ine

ofee

nco

mp

ute

rrek

enp

akke

tge

past

insc

hakel

enom

een

figu

ur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

lin

gen

die

jem

etIC

Tb

ekom

enh

ebt.

5.Pro

bleemoplossendevaard

igheden.

•Je

kan

een

pro

ble

emon

tdek

ken

enh

etw

isku

nd

igb

ehoor

lijk

stel

len

.

•Je

kan

een

pro

ble

eman

alyse

ren

(on

der

sch

eid

mak

entu

ssen

gege

ven

enge

vra

agd

e,ve

rban

den

leggen

tuss

end

egeg

even

s,et

c.).

•Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

enn

aar

een

pas

sen

dw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emat

iser

en).

•Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nbij

het

wer

ken

aan

pro

ble

men

,en

daar

bij

een

pla

nop

stel

len

.

•Je

kan

refl

ecte

ren

opd

eke

uze

van

jezo

ekst

rate

giee

nen

jep

lan

.

•Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hu

nb

etro

uw

baa

rhei

den

vol

led

igh

eid

.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

geb

ruik

enom

wis

ku

nd

ige

info

rmat

iete

verw

erke

nen

wis

ku

nd

ige

pro

ble

men

teon

der

zoek

en.

7.Leerv

aard

igheden

•Je

kan

loss

ege

geve

ns

verw

erke

n.

•Je

kan

sam

enh

ange

nd

ein

form

atie

verw

erke

n.

•Je

kan

info

rmat

ieb

ron

nen

raad

ple

gen

.

•Je

kan

stu

die

tijd

pla

nn

en.

•Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

stu

ren

.

Att

itu

des

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e.

•Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

•Je

heb

tee

nh

oud

ing

omor

del

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg.

•Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

•Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

Pr-

49

Page 63: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

PRACTICUM 13

LEREN UIT OPGELOSTE PROBLEMEN

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

Schaum’s Outline of theory

and problems of differential

and integral calculus 2

Leren uit opgeloste problemen is een manier om je vaardigheid in het zelfstandig op-lossen van oefeningen aanzienlijk te verbeteren. Deze techniek werd gepopulariseerddoor de befaamde Schaum’s Outlines 1, een reeks van werkboeken over diverse onder-werpen in wiskunde, wetenschappen (chemie, natuurkunde, biologie) en talen. Voorwiskunde alleen al bestaan er ruim vijftig zo’n werkboeken, en elk werkboek bevatongeveer 1000 opgeloste problemen, varierend van gemakkelijke basisoefeningen totware hersenkrakers. Daarnaast zijn ook extra problemen opgenomen, met vermeldingvan het eindresultaat.

2. Opdracht

• Voorbereiding. Deze bundel lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

• Practicum (1 les, thuis afwerken). Uitvoeren in groepen van twee.

Op de volgende pagina’s staan een zestal opgeloste problemen2in verband meteenvoudige differentiaalvergelijkingen. De oplossing is echter wat beknopt op-geschreven (sommige tussenstappen zijn niet vermeld, er worden geen grafiekengemaakt die de redenering kunnen verduidelijken, etc.).

1. In het begin van de les toon je met behulp van een kladblad dat je de problemen 1 tot en met 5 thuisgelezen en verwerkt hebt.

2. Per twee krijg je een aantal extra problemen (zonder oplossing), zie pagina A-140.Door tossen wordt beslist welke reeks je oplost:

Reeks 1: Problemen 7(c) en 10 (biologie)

Reeks 2: Problemen 7(d) en 11 (natuurkunde)

Reeks 3: Problemen 7(b) en 12 (bevolkingsleer)

Reeks 4: Problemen 7(a) en 13 (economie)

Reeks 5: Probleem 14 (besmettingsleer)

Reeks 6: Probleem 15 (sociologie)

3. In groep los je die reeks op. De opgeloste problemen in deze bundel kunnen je daar uiteraard bij helpen!

• Verslag (thuis afwerken). Jullie verslag bevat een exemplaar van de reeks oefeningen. Elk probleem start opeen nieuw cursusblad, met de volgende structuur:

– opgave van het probleem netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken;

– oplossing, voorzien van minstens een grafiek die je redenering of oplossing verduidelijkt.

Schrijf je redenering duidelijk op, die gemakkelijk te lezen is. Dit houdt in dat je alle tussenstappen opschrijft.Je voegt de cursusbladen in deze practicumbundel. Nummer die pagina’s onderaan in het midden. De overigeproblemen bewaar je thuis.

• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elk groepslid dient zijn/haar practicum bundel in.Het verslag steekt in een bundel van een groepslid. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.

1Officiele website: http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145 . Schaum’s Outlines werd bezield door DanielSchaum in de jaren ’50.

1F.Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill (1990).

Pr-50

Page 64: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Toepassingen op onbepaalde integralen:eenvoudige differentiaalvergelijkingen

Als we de vergelijking van een kromme y = f(x) kennen, dan is de helling (i.e. rico van de raaklijn) in een puntP (x, y) aan de kromme gelijk aan m = f ′(x).

Omgekeerd, als de helling van een punt P (x, y) aan een kromme gegeven wordt door m =dy

dx= f ′(x), dan kunnen we

een familie van krommen y = f(x) + c vinden door te integreren. Om een specifieke kromme uit die familie te bepalenmoeten we een bepaalde waarde aan c toekennen. Dit kunnen we doen door bijvoorbeeld te eisen dat die specifiekekromme door een gegeven punt gaat (zie Problemen 1-3).

Opgeloste problemen

Probleem 1. Bepaal de vergelijking van de familie van krommen waarvoor de helling in elk punt gelijk is aan hettegengestelde van het dubbel van de abscis van dat punt. Bepaal bovendien de vergelijking van de kromme uit diefamilie die het punt A(1, 1) bevat.

Oplossing. We schrijven y = f(x) voor de vergelijking van zo’n kromme. De helling van een punt P (x, y) van de

kromme isdy

dx. De eis is dat die helling gelijk is aan −2x, met andere woorden

dy

dx= −2x. Dus dy = −2x dx, waaruit

∫dy =

∫−2x dx en dus y = −x2 + c . Dit is de vergelijking van een familie van parabolen.

Uit deze familie willen we nu de kromme bepalen die het punt A(1, 1) bevat. Stellen we x = 1 en y = 1 in devergelijking van deze familie dan bekomen we 1 = −1 + c, waaruit c = 2. De vergelijking van de kromme door het

punt A(1, 1) is dus y = −x2 + 2 .

Probleem 2. Bepaal de vergelijking van een familie van krommen waarvoor de helling in eender welk punt P (x, y)gelijk is aan m = 3x2y. Bepaal bovendien de vergelijking van de kromme uit die familie die het punt A(0, 8) bevat.

Oplossing. De voorwaarde is datdy

dx= 3x2y, zodat

dy

y= 3x2 dx. Hieruit volgt dat ln |y| = x3 + c. Als y > 0 dan is

ln |y| = x3 + c ⇒ ln y = x3 + c

⇒ eln y = ex3+c

⇒ y = ex3 · ec︸︷︷︸

noem c1

⇒ y = c1 ex3

waarbij c1 > 0

Als y < 0 dan vinden we analoog

ln |y| = x3 + c ⇒ ln(−y) = x3 + c

⇒ eln(−y) = ex3+c

⇒ −y = ex3 · ec

⇒ y = −ec︸︷︷︸noem c2

ex3 ⇒ y = c2 e

x3

waarbij c2 < 0

We kunnen beide gevallen dus samenvatten als y = C ex3

waarbij C ∈ R0 . In het vervolg zullen we dat meteen doen!

Uit deze familie willen we nu de kromme bepalen die het punt A(0, 8) bevat. Dan moet 8 = C e0, zodat C = 8.

De vergelijking van de kromme door het punt A(0, 8) is dus y = 8 ex3

.

Algemeen. Uit dit probleem onthouden we:

ln |y| = � + c ⇒ y = C e� waarbij C ∈ R0

Pr-51

Page 65: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Probleem 3. In elk punt P (x, y) van een kromme geldt dat y′′ = x2 − 1. Bepaal de vergelijking van die krommeals bovendien gegeven is dat Q(1, 1) behoort tot de kromme, en de raaklijn in Q aan die kromme gegeven wordt doorx+ 12y = 13.

Oplossing. Hier isd2y

dx2=

d

dx(y′) = x2 − 1. Dus

∫d

dx(y′) dx =

∫(x2 − 1) dx en y′ =

1

3x3 − x+ c1.

In het punt Q is de helling gelijk aan de helling van de gegeven rechte, en dus gelijk aan − 1

12. Dus − 1

12=

1

3− 1 + c1,

waaruit we vinden dat c1 =7

12. Dus y′ =

dy

dx=

1

3x3 − x+

7

12, en integreren levert

∫dy =

∫ (1

3x3 − x+

7

12

)dx waaruit y =

1

12x4 − 1

2x2 +

7

12x+ c2

Eisen dat Q tot de kromme behoort levert 1 =1

12− 1

2+

7

12+ c2 en dus is c2 =

5

6. De vergelijking van de gezochte

kromme is dus y =1

12x4 − 1

2x2 +

7

12x+

5

6.

Probleem 4. Een hoeveelheid q hangt af van de tijd t. Bovendien is op elk moment de mate waarin die hoeveelheidtoeneemt een vast veelvoud van de waarde van die hoeveelheid op dat moment. Voor t = 0 is q = 25, en voor t = 2 isq = 75. Bepaal q als t = 6.

Oplossing. De mate van de toename van q op tijdstip t is gelijk aan de afgeleide q′(t) =dq

dt. Voor elk moment t is dus

dq

dt= k q voor een zekere k ∈ R, waaruit

dq

q= k dt. Integreren levert ln |q| = kt + c. Wegens Algemeen op de vorige

pagina we dit herschrijven als q = C ekt waarbij C ∈ R0.

• Als t = 0 dan is q = 25 = C e0 dus C = 25.

• Als t = 2 dan is q = 75 = 25 e2k. Dus e2k = 3, waaruit volgt dat k =ln 3

2= 0, 54 . . ..

Uiteindelijk, als t = 6 dan is q = 25 e3 ln 3 = 675 .

Probleem 5. Een stof A wordt omgezet in een andere stof B aan een snelheid die evenredig is aan de hoeveelheidniet-omgezette stof A. Als de hoeveelheid van A oorspronkelijk gelijk is aan 50, en op t = 3 gelijk is aan 25, wanneer

zal er slechts1

10van de stof A overblijven?

Oplossing. Noem q de hoeveelheid (omgezette) stof B op tijdstip t. Dan isdq

dt= k(50 − q) voor een zekere k ∈ R,

waaruitdq

50− q = k dt zodat ln(50− q) = kt+ c of nog 50− q = C ekt

waarbij C ∈ R0. Dus q = 50− C ekt.• Als t = 0 dan is q = 0 = 50− C e0 en zo vinden we dat c1 = 50.

• Als t = 3 dan is q = 25 = 50− 50 e3k en dus is k =ln 2

3= 0, 23 . . .

We zoeken nu het tijdstip t waarvoor q = 5 = 50− 50 e(t ln 2)/3. Een eenvoudige berekening leert dat t = 16, 4755 . . . .

?Probleem 6. De snelheid waarmee water uit een “klein” gaatje in een watertank stroomt is gelijk aan√

2gh, metg = 9, 81m/s2 en h de afstand van het gaatje tot de oppervlakte van het water in de tank. Bepaal de tijd die eencilindervormige (rechtopstaande) tank met een hoogte van 5 meter en straal 1 meter nodig heeft om leeg te lopen, alsmen onderaan een gat met straal 1cm maakt.

Oplossing. Noem h de hoogte van het waterniveau op tijdstip t. In een tijdspanne dt ontsnapt er een kleine cilinderwater uit het gaatje, met hoogte v dt en straal 0, 01m. Zo’n kleine cilinder water heeft dus volume van π(0, 01)2v dt =π(0, 01)2

√2gh dt kubieke meter.

In een tijdspanne dt zal het waterniveau zakken met afstand dh. Het volume zal dus “toenemen” met −π · 12 dhkubieke meter. Hieruit volgt dat

π(0, 01)2√

2gh dt = −π · 12 dh waaruit dt = −10000√2g

dh√h

en dus t = −20000√2g

√h+ c

Voor t = 0 is h = 5 dus c ≈ 10096, 38. De tank is leeg als h = 0, en dan is t ≈ −20000√2g

√0 + 10096, 38 = 10096, 38 dus

ongeveer 168, 25 minuten .

Pr-52

Page 66: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatieform

ulierPracticum

13D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid.

•B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

•Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

2.M

eet-en

tekenvaard

igheid.

•G

rafi

eken

envo

orst

elli

nge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

•Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lin

gsve

rmog

en.

•Je

kan

ICT

-hu

lpm

iddel

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

ach

ine

ofee

nco

mp

ute

rrek

enp

akke

tge

past

insc

hakel

enom

een

figu

ur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

lin

gen

die

jem

etIC

Tb

ekom

enh

ebt.

4.Denk-en

redeneerv

aard

igheden.

•Je

kan

het

ond

ersc

hei

dm

aken

tuss

enh

oof

d-

enb

ijza

ken,

gege

ven

enge

vra

agd

e,ge

geve

nen

teb

ewij

zen

.

•Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eigen

sch

apte

beg

rijp

en.

•Je

kan

een

gege

ven

red

ener

ing

oph

aar

geld

igh

eid

ond

erzo

eken

.

•Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofd

eop

loss

ing

van

een

pro

ble

emop

bouw

en:

–je

kan

een

ver

moed

enfo

rmu

lere

nen

argu

men

tere

n;

–je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opb

asis

van

een

ond

erzo

ekop

een

aanta

lvo

orb

eeld

en;

–je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

geb

ruik

en.

7.Leerv

aard

igheden

•Je

kan

loss

ege

geve

ns

verw

erke

n.

•Je

kan

sam

enh

ange

nd

ein

form

atie

verw

erke

n.

•Je

kan

info

rmat

ieb

ron

nen

raad

ple

gen

.

•Je

kan

stu

die

tijd

pla

nn

en.

•Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

stu

ren

.

Att

itu

des

10.Zin

voorkwaliteit

van

dewiskundigere

pre

senta

tie.

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

13.Zelfre

gulatie.

•Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

•Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gsp

roce

ste

orie

nte

ren

,h

etp

roce

ste

pla

nn

en,

het

uit

tevo

eren

enh

ette

bew

ake

n.

Pr-

53

Page 67: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

PRACTICUM 14

EEN WETENSCHAPPELIJKE PRESENTATIE GEVEN

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

Het presenteren van resultaten is o.a. voor wetenschappers een belangrijk onderdeelvan hun werk. Een presentatie kan dienen om een uitgevoerd werk, project, ideeenof conclusies aan anderen kenbaar te maken. Evengoed kan het dienen om anderenvan je besluiten te overtuigen of zelfs om je eigen capaciteiten in de verf te zetten.Het mag duidelijk zijn dat een presentatie tot in de puntjes verzorgd moet zijn; nietalleen qua voorkomen, maar ook qua overzichtelijkheid, qua opbouw en uiteraard quainhoud. In je hogere studies en latere werkomgeving zul je meer dan waarschijnlijknog vaak (wetenschappelijke) presentaties moeten geven.

Wat is nu een wetenschappelijke presentatie? Het is een informatieve voor-dracht, waarbij je op een zakelijke manier rapporteert over een onderwerp met eenwetenschappelijke ondertoon: een statistisch onderzoek, een chemisch experiment,een wiskundig probleem, etc. Een presentatie moet

• een hoofdboodschap bevatten,

• eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn,

• een logische structuur hebben, en

• gemakkelijk te volgen zijn.

Hiermee bedoelen we dat het publiek snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van je verhaal. Het is nietaan de toehoorder om je voordracht verschillende keren te moeten horen om te achterhalen wat je bedoelt.

De vorm van een exact-wetenschappelijke voordracht is specifiek en verschilt van bijvoorbeeld een taalkundigepresentatie. In wat volgt leggen we o.a. de structuur van een wetenschappelijke voordracht uit, en tonen met enkeletips hoe je je optimaal kan voorbereiden en de slaagkansen van je presentatie kan vergroten.

Opbouw

In principe heeft een wetenschappelijke presentatie de volgende structuur 1:

Titel

Inleiding

Hoofddeel

Besluit

Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgediept en uitgelegd.

Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van de pre-sentatie kunnen halen. Een titel als ’Voordracht practicum ecologie’ is te algemeen. Formuleringen als ’studie van’ of’onderzoek naar’, maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden.

NIET: ‘Practicum 13 mei 2011’ of ‘Oefening 28 pagina 40’

WEL: ‘Het probleem van de 36 officieren’ of ‘Duiventilprincipe’

1Bij de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieelonderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag of presentatie uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methodeen materialen, hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: Anintroduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.

Pr-54

Page 68: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Inleiding In de inleiding wordt verduidelijkt wat het onderwerp of de probleemstelling is, en in welke context ofgeheel het kadert. In tweede instantie kun je de opbouw van je presentatie toelichten. De bedoeling is dat de toehoorderinzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan. Ideaal is dat je enkele vragen stelt die je in je het hoofddeelzal beantwoorden. Dat stimuleert de aandacht van het publiek.

Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van de voordracht. De andere delen dienen om te structureren,te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel vertel jemeer dan alleen de antwoorden op eerder gestelde vragen. Eventueel kun je een aspect wat meer doorgronden, en eenredenering maken die typisch is voor het onderwerp.

Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling, onderzoeksvraag of kernboodschap uit de inleiding. Jegeeft ook aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekenderesultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties voor verder onderzoek.

Voorbereiding

Een succesvolle presentatie begint met een goede voorbereiding. Om een presentatie in de steigers te zetten, doorloopje de volgende fasen2:

Ontwerp

1. Bepaal het doel.

2. Bepaal de hoofdboodschap.

3. Werk de structuur inhoudelijk uit.

4. Bepaal de verhaallijn.

Uitwerking

5. Ontwerp een structuurdia.

6. Maak een nieuwe presentatie aan.

7. Zet het geraamte op.

8. Maak beeldende dia’s.

Als extra ondersteuning bij het voorbereiden en aanmaken van je powerpoint bieden we je tien tips 3 aan. Sommigevan deze tips zal je herkennen in de bovenstaande structuur en de begeleidende cursustekst van het vak seminarie.

Tip 19. Ken je publiek. Het is essentieel om je presentatie af te stemmen op het niveau van de toehoorders.Probeer te ontdekken waar je boodschap samenvalt met de interesse van het publiek. Op dat raakvlak liggennamelijk de aanknopingspunten voor een boeiende presentatie. Breng je publiek in beeld met de volgende vragen:

• Wat weten de toehoorders van het onderwerp?

• Wat zijn de verwachtingen?

• Welk belang heeft het publiek bij je verhaal?

• Welk inhoudelijk niveau kunnen ze aan?

Pik in op wat de gemiddelde toehoorder weet, en breng hem als het ware naar een hoger niveau. Je publiek onder-schatten leidt tot verveling, overschatten zorgt ervoor dat ze afhaken.

NIET: ‘From somewhere to nowhere’ of ‘From nowhere to nowhere’

WEL: ‘From nowhere to somewhere’

Tip 20. Let je doelstellingen vast. Probeer je doelstelling te omschrijven in termen van eindresultaten. Bedenkwat het publiek na jouw presentatie minimaal moet onthouden. Wees realistisch in je ambities. Er is een grens aande hoeveelheid informatie die de toehoorders in korte tijd kunnen verwerken. Beperk je tot informatie die voor hetpubliek van belang is. Niet alles wat je weet, is van belang voor je publiek.

NIET: Wat wil ik kwijt?

WEL: Wat wil mijn publiek weten?

Tip 21. Leg een hoofdboodschap vast. Aan de hand van je doelstellingen formuleer je een kernboodschap. Diekun je al bij je eerste slides vermelden. Nuttig is om die hoofdboodschap enkele keren tijdens je presentatie herhalen.Uiteraard komt die ook nog eens op het einde van je presentatie aan bod.

TEST: Vraag een toehoorder drie dagen nadien: ‘Wat heb je van mijn voordracht onthouden?’

2M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2006).3Gebaseerd op Philip E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.

doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007). en http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .

Pr-55

Page 69: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Tip 22. Less is more. Een veelvoorkomende fout bij sprekers is dat ze teveel willen vertellen. Ze vinden het nodigom van meet af aan te bewijzen dat ze veel weten. Bijgevolg gaat de kernboodschap verloren, en kun je zelfs intijdsnood komen. Onthoud dat je kennis het best kan overbrengen door een heldere en bondige presentatie, die leidttot een dialoog tijdens het vragenmoment waarbij de toehoorders actieve deelnemers worden. Op dat moment zalwel duidelijk worden dat je veel over het onderwerp weet. Als er op het einde van je presentatie geen vragen gesteldworden, dan is dat eerder een slecht signaal: hoogstwaarschijnlijk was je presentatie dan onduidelijk of afgezaagd.

Tip 23. Maak je Powerpoint efficient. Een dia dient enkel

• om het publiek te prikkelen,

• om structuur te brengen in wat je zegt (kernwoorden),

• als aanvulling op wat je zegt.

Breng je teveel tekst op je dia’s aan, dan zal het publiek zich eerder bezig houden met het lezen van de tekst in plaatsvan naar jou te luisteren. Reken per dia minstens een minuut.Wat de lay-out van je dia’s betreft, opteer voor kleuren met maximaal contrast (donkere op wit of wit op zwart).Vermijd een gekleurde tekst op een gekleurde achtergrond. Om kernwoorden in de verf te zetten gebruik je bestcontrast en grootte in plaats van kleur.

NIET: Een Powerpoint vervangt de spreker.

WEL: Een Powerpoint ondersteunt de spreker.

Tip 24. Oefen je presentatie in. Zeker bij je allereerste voordrachten. Let daarbij ook op de timing. Even belang-rijk is om je te houden aan wat je voorbereid hebt. Helemaal uit den boze is spreken over zaken waar het publiek meervanaf weet dan jij. Een belangrijke voordracht geef je best eerst aan een kleine, informele groep (enkele medeleerlingenof ouders). Hou rekening met de kritiek die je krijgt.

TEST: Film jezelf tijdens het geven van een voordracht, en leer daaruit.

Presenteren

Of een presentatie slaagt, hangt niet alleen af van de inhoud van je betoog maar ook van de manier waarop je deboodschap overbrengt. De beste maatstaf hiervoor is de interactie met het publiek, tijdens en na de voordracht.Onthoud dat het hoofddoel van een presentatie is: het publiek doen nadenken over wat je brengt.

Tip 25. Wees jezelf. Presentaties horen onderhoudend en vermakelijk te zijn, maar overdrijf niet en ken je grenzen.Als humor je niet ligt, probeer dan niet om grappig te zijn. Als je niet goed bent in het vertellen van anekdotes,vertel er dan geen. Een goede entertainer is hij die erin slaagt het publiek mee te hebben en de kernboodschap kanoverbrengen.

Tip 26. Hou je aan de voorziene tijd. Het is onbeleefd om je niet aan de voorziene tijd te houden. Vaak wordtje in zo’n geval ook aangemaand om af te ronden, en dat kan je voordracht wat overschaduwen. Mocht je toch intijdsnood komen, klik je dia’s door en laat het publiek lezen.

Tip 27. Woord van dank. Vermeld de mensen met wie je samengewerkt hebt. Dat hoeft niet noodzakelijk op heteinde van de voordracht te gebeuren, vaak doet die gelegenheid zich ook voor bij de inleiding of tijdens het hoofddeelvan de presentatie. Is je voordracht er op uitnodiging gekomen, bedank dan ook de organisator of het instituut die jedie kans gegeven heeft.

Tip 28. Zijn er nog vragen? Eindigen in stijl betekent: na je besluitvorming het publiek bedanken voor de aan-dacht. Neem het applaus in ontvangst, en begin niet meteen op te ruimen. Indien je voordracht kadert in een reeksvoordrachten (zoals bij een congres), dan zal iemand van de organisatie het publiek uitnodigen om vragen te stellen.In het andere geval doe je dat zelf, na het applaus.

Hoe kun je omgaan met vragen?

• Herhaal of herformuleer de vraag. Niets is zo vervelend om na een antwoord te constateren dat de vraagstelleriets anders bedoelde.

• Hou je antwoord terzake, kort en bondig.

• Wees niet niet arrogant, stel je niet vijandig op. Dreigt de situatie te escaleren, zeg dan “Misschien koppelen wedit gesprek beter los van de voordracht, we praten straks verder.”

NIET: Dat weet ik niet.

WEL: Interessante vraag, daar moet ik langer over nadenken.

Pr-56

Page 70: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Verantwoording

De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkselestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer ‘onderzoekscompetenties’ worden gecatalogeerd:

1. De leerlingen kunnen zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenenen te bewerken;

2. De leerlingen kunnen een onderzoeksopdracht met wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren;

3. De leerlingen kunnen onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en confronteren met andere standpunten.

De eerste en tweede eindterm werd in vorige practica gerealiseerd. In dit practicum komt de derde eindterm aan bod.

onderzoekscompetenties

verzamelenordenenbewerken

︸︷︷

competentie 1

voorbereidenuitvoerenevalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporteren

confronteren ︸︷︷

︸ competentie 3

2. Opdracht

• Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Het wiskunde boek 4

• Practicum (1 les, thuis afwerken). Dit practicum wordt uitgevoerd in groe-pen van drie leerlingen. In het begin van de les krijgt elke groep 16 onderwerpenuit nevenstaand boek. Elk onderwerp is voorzien van een halve pagina tekst eneen (niet altijd relevante) foto. Een inkijkexemplaar van het boek zal vooraanin de klas liggen.

Jullie nemen de onderwerpen door, en beslissen in groep over welke van die 16onderwerpen jullie een presentatie willen maken (duur: 10 minuten).

Daarna doorlopen jullie de stappen bij het ontwerpen van een presentatie: welkedoelstellingen willen we bereiken, welke kernboodschap willen we meegeven, etc.

Jullie presentatie beantwoord aan de criteria uit de inleiding, waarbij je de tipszo goed mogelijk tracht na te leven.

Na deze les krijgen jullie vier weken de tijd om dit practicum buiten de lesuren afte werken. Afspreken buiten de schooluren kan moeilijk liggen. Daarom makenjullie naar het einde van de les toe enkele concrete afspraken, aan de hand van de volgende tabel (vul in):

Taak Wie? Tegen wanneer?

Extra informatie opzoeken (internet),in document plaatsen en doorsturen naar de anderen.

Uit dit document informatie selecteren voor presentatie,doorsturen naar de anderen.

Ontwerpen van een structuurdia,doorsturen naar de anderen.

Maken van een eerste versie van de presentatie,doorsturen naar de anderen.

Afdrukken van de finale versie van de presentatie,indienen in de practicumbundel (datum: zie practicum indienen).

Finale versie van de presentatie op stick zetten,meebrengen naar de les (datum: zie presentatie geven).

Geven van de presentatie.

• Practicum indienen. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid drukt de dia’s af en dient ze in.

• Presentatie geven. Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Maximaal 10 minuten.

4C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland (2010).

Pr-57

Page 71: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatieform

ulierPracticum

14D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en6.

On

derz

oeksv

aard

igh

ed

en

•Je

kan

een

ond

erzo

ekso

pd

rach

tfo

rmu

lere

nen

afb

aken

en.

•Je

kan

een

aanp

akp

lan

nen

enzo

nod

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

•Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

–d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

–d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

•Je

kan

doel

mat

igee

nw

isku

nd

igm

od

else

lect

eren

of

opst

elle

n:

–ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

ken

nen

als

een

wis

kun

dig

ofee

nst

ati

stis

chp

rob

leem

;–

vast

stel

len

ofee

nm

od

elvo

ldoet

enh

etev

entu

eel

bij

stel

len

;–

zon

od

igb

ijkom

end

ein

form

atie

verz

amel

enom

het

aan

gew

ezen

mod

elte

ku

nn

enh

ante

ren

.

•Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ings

met

hod

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

•Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

alu

eren

.

•Je

kan

refl

ecte

ren

oph

etge

hel

ep

roce

s,i.

h.b

.op

de

gem

aakte

keu

zen

voor

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

•Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

ond

erzo

ekzi

nvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

and

punt

arg

um

ente

ren

enve

rsla

gu

itb

ren

gen

van

het

pro

ces.

8.

Refl

ecti

evaard

igh

ed

en

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

aan

pak

van

jew

erk

enje

stu

die

s.

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

jele

erp

roce

sen

jein

zet

(lei

den

zeto

th

etb

erei

ken

van

de

doel

stel

lin

g?)

.

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

effici

enti

eva

nje

wer

ken

enje

lere

n.

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

ster

keen

de

zwak

keel

emen

ten

ind

eu

itvo

erin

gva

nje

opd

rach

t.

•Je

kan

jere

flec

tie

concr

eet

mak

end

oor

een

pla

nva

nve

rbet

erin

gop

test

elle

n(w

elke

elem

ente

nw

ord

engeb

ruik

tom

het

lere

nen

wer

ken

teve

rbet

eren

?).

•Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

geza

mel

ijke

aan

pak

enov

erle

gb

ijee

ngr

oep

sop

dra

cht.

Att

itu

des

10.

Zin

voor

kw

ali

teit

van

de

wis

ku

nd

ige

rep

rese

nta

tie.

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg.

•Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

•Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

15.

Waard

eri

ng

voor

de

wis

ku

nd

e.

Je

toon

tin

zich

tin

de

bij

dra

geva

nd

ew

isku

nd

ein

cult

ure

le,

his

tori

sch

een

wet

ensc

hap

pel

ijke

ontw

ikke

lin

gen

.

Evaluatiepunten:

zie

volgende

pagina

Pr-

58

Page 72: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Evaluatiepunten

A.Opbouw

01

23

45

Tit

el

De

keu

zeva

nd

eti

tel

isn

iet

onb

elan

grij

k.

De

leze

rm

oet

uit

de

tite

lon

mid

del

lijk

het

ond

erw

erp

van

de

pre

senta

tie

ku

nnen

hale

n.

Een

tite

lal

s’V

oor

dra

cht

pra

ctic

um

ecol

ogie

’is

teal

gem

een

.F

orm

ule

rin

gen

als

’stu

die

van

’of

’on

der

zoek

naar’

,m

aar

ook

afk

ort

ingen

,fo

rmu

les

of

mer

kn

amen

wor

den

bes

tve

rmed

en.

©©

©©

©©

Inle

idin

gIn

de

inle

idin

gw

ord

tve

rdu

idel

ijkt

wat

het

ond

erw

erp

ofd

ep

rob

leem

stel

lin

gis

,en

inw

elke

conte

xt

of

geh

eel

het

kad

ert.

Intw

eed

ein

stan

tie

ku

nje

de

opb

ouw

van

jep

rese

nta

tie

toel

ichte

n.

De

bed

oel

ing

isd

atd

eto

ehoor

der

inzi

cht

kri

jgt

inh

etges

teld

ep

rob

leem

end

eaan

pak

erva

n.

Idea

alis

dat

jeen

kele

vra

gen

stel

td

ieje

inje

het

hoof

dd

eel

zal

bea

ntw

oor

den

.D

atst

imu

leer

td

eaan

dach

tva

nh

etp

ub

liek

.

©©

©©

©©

Hoofd

deel

Inh

oud

elij

kis

dit

het

bel

angr

ijkst

ed

eel

van

de

voor

dra

cht.

De

and

ere

del

end

ien

enom

test

ruct

ure

ren

,te

duid

enen

het

over

zich

tte

bew

aren

.H

eth

oof

dd

eel

omva

th

etei

gen

lijk

gep

rest

eerd

ew

erk.

Ind

itd

eel

vert

elje

mee

rd

anal

leen

de

antw

oord

enop

eerd

erges

teld

evra

gen

.E

ventu

eel

ku

nje

een

asp

ect

wat

mee

rd

oor

gron

den

,en

een

red

ener

ing

make

nd

iety

pis

chis

voor

het

on

der

wer

p.

©©

©©

©©

Besl

uit

Inh

etb

eslu

itgr

ijp

jete

rug

naa

rje

pro

ble

emst

elli

ng,

ond

erzo

eksv

raag

ofker

nb

ood

sch

apu

itd

ein

leid

ing.

Je

gee

ftook

aan

op

wel

kem

an

ier

enin

hoev

erre

jege

slaa

gdb

ent

inje

opze

t.H

ier

hor

enook

verg

elij

kin

gen

met

geke

nd

ere

sult

aten

,op

mer

kin

gen

over

met

hod

iek,

tekort

kom

ingen

ofsu

gges

ties

voor

verd

eron

der

zoek

.

©©

©©

©©

Tota

al

op

bouw

:..

./

20

B.Voorb

ereiding

Ken

jep

ub

liek

Het

ises

senti

eel

omje

pre

senta

tie

afte

stem

men

oph

etniv

eau

van

de

toeh

oor

der

s.©

©©

©©

©H

oofd

bood

sch

ap

Ish

etac

hte

raf

du

idel

ijk

wat

de

hoof

db

ood

sch

apva

nd

ep

rese

nta

tie

was

©©

©©

©L

ess

ism

ore

Onth

oud

dat

jeke

nn

ish

etb

est

kan

over

bre

nge

nd

oor

een

hel

der

een

bon

dig

ep

rese

nta

tie,

die

leid

tto

tee

nd

ialo

og

tijd

ens

het

vra

gen

mom

ent

waa

rbij

de

toeh

oor

der

sac

tiev

ed

eeln

emer

sw

ord

en.

©©

©©

©©

Maak

jeP

ow

erp

oin

teffi

cie

nt

Pri

kke

len

van

het

pu

bli

ek,

nie

tte

veel

tekst

op

de

dia

’s,

lay-o

ut,

geen

verv

an

gen

de

maar

on

der

steu

nd

end

efu

nct

ie.

©©

©©

©©

Tota

al

voorb

erei

din

g:

...

/20

C.Presenteren

Wees

jezelf

Pre

senta

ties

hor

enon

der

hou

den

den

ver

mak

elij

kte

zijn

,m

aar

over

dri

jfn

iet

enke

nje

gre

nze

n.

Als

hu

mor

jen

iet

ligt,

pro

bee

rd

an

nie

tom

grap

pig

tezi

jn.

Als

jen

iet

goed

ben

tin

het

vert

elle

nva

nan

ekd

ote

s,ve

rtel

erd

ange

en.

Een

goed

een

tert

ain

eris

hij

die

erin

slaagt

het

pu

bli

ekm

eete

heb

ben

end

eke

rnb

ood

sch

apka

nov

erb

ren

gen

.

©©

©©

©©

Hou

jeaan

de

voorz

ien

eti

jdH

etis

onb

elee

fdom

jen

iet

aan

de

voor

zien

eti

jdte

hou

den

.V

aak

word

tje

inzo

’ngev

al

ook

aan

gem

aan

dom

af

tero

nd

en,

end

atka

nje

voor

dra

cht

wat

over

sch

aduw

en.

Moch

tje

toch

inti

jdsn

ood

kom

en,

kli

kje

dia

’sd

oor

enla

at

het

pu

bli

ekle

zen

©©

©©

©

Woord

van

dan

kV

erm

eld

de

men

sen

met

wie

jesa

men

gew

erkt

heb

t.D

ath

oef

tn

iet

nood

zake

lijk

op

het

ein

de

van

de

voord

rach

tte

geb

eure

n,

vaak

doet

die

gele

gen

hei

dzi

chook

voor

bij

de

inle

idin

gof

tijd

ens

het

hoof

dd

eel

van

de

pre

senta

tie.

©©

©©

©©

Zij

ner

nog

vra

gen

/om

gaan

met

vra

gen

Ein

dig

enin

stij

lb

etek

ent:

na

jeb

eslu

itvo

rmin

gh

etp

ub

liek

bed

an

ken

voor

de

aan

dach

t.N

eem

het

app

lau

sin

ontv

angs

t,en

beg

inn

iet

met

een

opte

ruim

en.

Ind

ien

jevoor

dra

cht

kad

ert

inee

nre

eks

voor

dra

chte

n,

dan

word

th

etp

ub

liek

uit

gen

od

igd

omvra

gen

test

elle

n.

Inh

etan

der

ege

val

doe

jed

atze

lf,

na

het

app

lau

s.

©©

©©

©©

Tota

al

pre

sente

ren

:..

./

20

Tota

al:

...

/60

Pr-

59

Page 73: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Appendix

Practicum wiskunde

Bijlagen voor de leerkracht

A

Page 74: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 2

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (1)

Inhoudsopgave

Lijst van opgaven

Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-62

Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-63

Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-66

Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-70

Niveau 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-72

Niveau 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-73

A-61

Page 75: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Niveau 1�

1p.Opgave 1. Als x2 = x+ 3, dan is x3 gelijk aan

© x+ 6

© 4x+ 3

© 4x2 + 3

© x2 + 3x+ 3

© x2 + 27�

1p.Opgave 2. Als alog b = 64, dan is a2

log (b3) gelijk aan

© 16

© 48

© 128/3

© 96

© 512�

1p.Opgave 3. Definieer de bewerking ∆ door a∆b = ab+ b. Dan is (3∆2)∆(2∆3) gelijk aan

© 72

© 73

© 80

© 81

© 90�

1p.Opgave 4. Het gemiddelde van a en 2b is 7, het gemiddelde van a en 2c is 8. Wat is het gemiddelde van a, b en c?

© 3

© 4

© 5

© 6

© 9�

1p. Opgave 5. Los de vergelijkingrs2a4

u=

√u

8sa2op naar u.

© 64r2s6a12

© 43√r2s2a4

© 43√r2s3a4

© 83√r2s2a4

© 43√r3s2a4

1p. Opgave 6. Bereken ln

(3√ab

a4b

)als gegeven is dat ln a = 2 en ln b = 6.

© −34

3

© −12

© 4

21

© −44

© 0�

A-62

Page 76: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Niveau 2�

2p.Opgave 7 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Uit a < b met a, b ∈ R volgt

© |a| < |b|© a2 < b2

© a3 < b3

© a4 < b4

©√|a| <

√|b|

2p.Opgave 8 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Als f(x) = 2x dan is f(x+ 2) gelijk aan

© 4

© f(x) + 2

© f(x) + 4

© 2f(x)

© 4f(x)�

2p.Opgave 9. Als x = −1 een oplossing is van ax2 + bx+ c = 0, wat is de andere oplossing dan?

© x = −ab

© x = − ba

© x =b

a

© x = − ca

© x =c

b�

2p.Opgave 10. Theo lost de vergelijking ax− b = c op, en Thea de vergelijking bx− c = a. Ze vinden beiden hetzelfde(correcte) antwoord voor x, waarbij a, b, c verschillend van elkaar en verschillend van nul zijn. Wat moet er gelden?

© a+ b+ c = 0

© a+ b+ c = 1

© a+ b = c

© b = a+ c

© a = b+ c�

2p. Opgave 11. Hoeveel asymptoten heeft de functie f(x) =x2 − 22x+ 40

x2 + 13x− 30

© 0

© 1

© 2

© 3

© 4�

2p.Opgave 12. Voor welk natuurlijk getal n > 0 is 3n

√2012 · n

√2012 = 3

√2012 ?

© 1

© 2

© 3

© 4

© geen enkel�

A-63

Page 77: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Niveau 2�

2p.Opgave 13. Als s(x) = sin(πx) en S(x) = (s(x))

2, dan is s(s(1/6)) + S(S(1/3)) gelijk aan

© 3/4

© 1

© 4/3

© 3/2

© 2�

2p.Opgave 14. De som van een geheel getal N met het kwadraat van 2N levert een geheel getal M . Voor hoeveelwaarden van N is M een priemgetal?

© 0

© 1

© 2

© Een eindig (groter dan 2) aantal waarden.

© Een oneindig aantal waarden.�

2p.Opgave 15. Zij m en n twee rechten, onderling loodrecht, die beiden raken aan een cirkel met straal 6. Dan is deoppervlakte van het gebied begrensd door de rechten en de cirkel gelijk aan

© 9π

© 36− 9π

© 144− 36π

© 18π

© 72− 18π�

2p.Opgave 16. Als a2 − b2 = 33 en a3 − b3 = 817 gehele oplossingen a, b hebben met a > b, dan is de waarde van a− bgelijk aan

© 1

© 3

© 7

© 10

© 11�

2p.Opgave 17. Een driehoek ABC heeft zijden met lengte 6, 7 en 8. Dan is de (exacte) waarde van (cosα+cosβ+cos γ)gelijk aan

© 51/35

© 47/32

© 31/21

© 49/33

© 119/80�

2p.Opgave 18. Een datum noemt vreemd als de dag en de maand grootste gemene deler 1 hebben. Wat is het kleinstaantal vreemde dagen dat kan voorkomen in een maand?

© 9

© 10

© 11

© 14

© 15�

A-64

Page 78: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Niveau 2�

2p.Opgave 19 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Beschouw de functies

f(x) =√x, g(x) =

x

4, h(x) = 4x− 8

Dan is (h ◦ g ◦ f)(x) gelijk aan

©√x− 2

©√x− 8

© 2√x− 8

© √x− 8

© √x− 2

2p.Opgave 20 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). De ruimtediagonaal van een kubus is 3. De oppervlakte van dezekubus is gelijk aan

© 3

© 3√

3

© 18

© 36

© 54

2p.Opgave 21 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). In een gelijkbenige driehoek met tophoek 120◦ beschouwen we allehoogtelijnen, zwaartelijnen en binnenbissectrices uit de drie hoekpunten. Hoeveel verschillende rechten zijn dit?

© 9

© 7

© 6

© 5

© 3

2p.Opgave 22 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Op de catwalk weegt een mannequin met haar kleren aan 59 kg.Ze blijkt 58 kg meer te wegen dan haar kleding. Hoe zwaar is haar kleding?

© 0, 25 kg

© 0, 50 kg

© 0, 75 kg

© 1, 00 kg

© 1, 25 kg

2p.Opgave 23. Een stock verliest 60% van zijn waarde. Om terug op de oorspronkelijke waarde te komen moet de stockstijgen met

© 60%

© 120%

© 150%

© 200%

© 400%

A-65

Page 79: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Niveau 3�

3p.Opgave 24. Vijf verdachten van een moord, waaronder de moordenaar, worden ondervraagd door de politie. Bijonderstaande verklaringen spreken drie van hen de waarheid, en twee van hen liegen.

• Verdachte A: “D is de moordenaar”

• Verdachte B: “Ik ben onschuldig”

• Verdachte C: “Het was niet verdachte E”

• Verdachte D: “A liegt”

• Verdachte E: “B zegt de waarheid”

Wie is de moordenaar?

© A

© B

© C

© D

© E�

3p.Opgave 25 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Zij x ∈ R en |x+ 1| < 3, dan geldt

© |x| < 2

© x < 2 of − x < 2

© x < 2 en − x < 2

© −2 < x < 2

© −4 < x < 2�

3p.Opgave 26. Als f(x) = e3x−2, wat is dan f

(1− ln( 1

x ))?

© e

x3

© ex3

© e+ x3

© e+1

x3

© 0�

3p.Opgave 27 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Gegeven zijn twee evenwijdige rechten a en b en punten P ∈ B,

Q ∈ A en R ∈ B zodanig dat |PQ| = 14 en RPQ = 110◦. Wat is de afstand tussen beide evenwijdige rechten?

© 14 cos 110◦

© 14 sin 110◦

© 14 cos 70◦

© 14

cos 110◦

© 14

sin 110◦

3p.Opgave 28. Toon aan dat

Z1 = 2Z0

(N1

N + 1

)

als

N =Z0 + 1

2 Z1

Z0 − 12 Z1

waarbij N 6= −1, Z0 6= 0

A-66

Page 80: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Niveau 3�

3p.Opgave 29. Susanne verdient tijdens weekdagen 10 euro per uur, op zaterdag 15 euro per uur en op zondag 20 europer uur. Als ze vorige maand 180 uren gewerkt heeft en in totaal 2315 euro verdiende, hoeveel keer meer uren tijdensweekdagen dan uren op zondag heeft ze vorige maand gewerkt?

© 75

© 77

© 80

© 82

© 85

3p.Opgave 30 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). De oplossingenverzameling van x3 < x < x2 is

© ∅

© ]−∞,−1[

© ]−∞, 0[

© ]0, 1[

© ]−∞, 1[ \ {0}�

3p.Opgave 31. Op welk van onderstaande intervallen is

2− xx− 3

steeds de sinus van een hoek?

© [1, 3[

© [0, 3[

© ]2, 3[

©]−∞, 5

2

[

©]−5

2,+∞

[

3p.Opgave 32. Duid in volgende reeks alle alternatieven aan waarbij Uitspraak (1) precies dezelfde betekenis heeft alsUitspraak (2).

© (1) Niet ale jongeren sporten en fuiven graag.(2) Er zijn jongeren die niet graag sporten en niet graag fuiven

© (1) Niet alle domme jongeren zijn blonde meisjes.(2) Er bestaan domme meisjes die niet blond zijn.

© (1) Het is zo dat sommige mensen ongezond eten.(2) Sommige mensen eten niet ongezond.

© (1) Alle kinderen die niet goed zijn in wiskunde, zijn jongens.(2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde.

© (1) Alle kinderen die goed zijn in wiskunde zijn meisjes.(2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde.

3p.Opgave 33. De bevolking van een stad groeit exponentieel in functie van de tijd, en dus ook het aantal autodiefstallen.Als f(t) het aantal autodiefstallen per persoon in functie van de tijd is, dan is f(t)

© een exponentiele functie.

© geen constante functie.

© geen lineaire functie.

© geen exponentiele groei.

© geen exponentiele daling.

A-67

Page 81: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Niveau 3�

3p.Opgave 34 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Het verschil van de twee oplossingen van de vierkantsvergelijkingx2 + ax+ b = 0 is gelijk aan 5. De discriminant van deze vergelijking is dan

© 5

© 6, 25

© 10

© 25

© niet te bepalen uit deze gegevens

3p.Opgave 35 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Bepaal de oppervlakte van het vierkant met twee hoekpunten opde x-as (symmetrisch t.o.v. de oorsprong) en twee andere hoekpunten op de parabool met vergelijking y = 1

3 x2 + 3.

© 9

© 16

© 24

© 27

© 36

3p.Opgave 36 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Twee rechten met vergelijking y = ax en y = bx met a, b > 0maken een scherpe hoek, respectievelijk α en β, met de x-as zodanig dat α+ β = 90◦. Hieruit volgt:

© a+ b = 1

© a+ b = 2

© ab = 1

© a = 2b

© a = 4b

3p.Opgave 37. Welk van de volgende functies is gelijk aan de functie f(x) = x?

©√x2

© x

sign(x)

© dbxce

© ln(ex)

© eln x

3p.Opgave 38. In een klas zijn 40% van de leerlingen meisjes. Wanneer 3 jongens vervangen worden door meisjes, danzijn er in die klas 44% van de leerlingen meisjes. Hoeveel meer jongens dan meisjes zijn er in de klas?

© 10

© 12

© 15

© 18

© 20

A-68

Page 82: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Niveau 3�

3p.Opgave 39. Twee driehoeken worden gevormd in het eerste kwadrant, de ene met hoekpunten O(0, 0), A(5, 0),B(0, 12) en de andere met hoekpunten O(0, 0), C(8, 0) en D(0, 6). Het geheel getal dat het dichtst bij de afstandtussen de zwaartepunten van de driehoeken ligt is

© 0

© 1

© 2

© 3

© 4

3p.Opgave 40 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een droogrek staat in een kamer en bevat 100 rode sokken, 80groene sokken, 60 blauwe sokken en 40 zwarte sokken. Iemand neemt een voor een de sokken van de draad. Aangezienhet echter donker is in de kamer, zijn de kleuren van de sokken onmogelijk te zien. Wat is het kleinste aantal sokkendat hij van de draad moet nemen om zeker te zijn dat hij ten minste 10 paar heeft gekozen? (Een paar sokken zijnelke twee sokken van dezelfde kleur. Uiteraard mag geen enkele sok in meer dan een paar geteld worden.)

© 21

© 23

© 24

© 30

© 50

3p.Opgave 41 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een park heeft de vorm van een regelmatige zeshoek waarvan delengte van de zijden gelijk is aan 2 km. Annie maakt een wandeling van 5 km langs de omtrek, vertrekkend van eenhoekpunt. Hoeveel kilometers (in rechte lijn) is ze dan van haar startplaats verwijderd?

©√

13

©√

14

©√

15

©√

16

©√

17

3p.Opgave 42 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Vader schrijft een testament dat zijn nalatenschap aan zijn dochtersregelt: “De oudste dochter krijgt 1000 euro en 10% van wat er nog rest. Als dit uitbetaald is, krijgt de tweede 2000euro en 10% van wat er dan nog rest. De derde krijgt 3000 euro en 10% van de rest, enzovoort.” Bij zijn dood krijgenalle dochters precies evenveel. Hoeveel dochters heeft vader?

© 9

© 10

© 11

© 12

© 13

A-69

Page 83: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Niveau 4�

4p.Opgave 43. Een bibliotheek heeft tussen 1000 en 2000 boeken. Van deze boeken is 25% fictie, 1/13 zijn bibliografieenen 1/17 zijn atlassen. Hoeveel boeken zijn een bibliografie of een atlas?

© 136

© 232

© 240

© 271

© 280

4p.Opgave 44 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Als sin6 α+ cos6 α =

1

4, dan is cos(2α) gelijk aan

© 0

© 1

2

©√

2

2

©√

3

3

© 1

4p.Opgave 45. Zij −→v , −→w en −→u drie verschillende vectoren uit de Euclidische vectorruimte R2 die voldoen aan

||−→v || = ||−→w || = ||−→u || = 2 en −→v · −→w = −→w · −→u = 2.

Dan is

© −→v · −→u = 2

© −→v · −→u = 4

© −→v · −→u = −2

© −→v · −→u = −4

© −→v · −→u is uit de gegevens niet te bepalen

4p.Opgave 46. Een verzameling S bevat getallen, en is volledig bepaald door de volgende regels:

• 2 ∈ S

• Als n ∈ S dan 3n ∈ S en n+ 5 ∈ S.

Welke van de volgende getallen is geen element van S?

© 2000

© 2001

© 2002

© 2003

© 2004

A-70

Page 84: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Niveau 4�

4p. Opgave 47. Voor elke n ∈ N0 en elke x ∈ R0 is

n∑

k=1

nkxk−1 gelijk aan

©n−1∑

k=0

(n− 1)kxk−1

©n−1∑

k=0

nk+1xk

©n−1∑

k=0

nk−1xk−2

© Geen van vorige.

4p.Opgave 48. Een fixpunt van een (reele) functie y = f(x) is een reeel getal r zodat f(r) = r. Hoeveel van de volgendefuncties hebben altijd een fixpunt?

• Een veeltermfunctie van de vorm y = xn met n ∈ N0.

• Een homografische functie.

• Een exponentiele functie.

• Een logaritmische functie f(x) = alog x.

© 0

© 1

© 2

© 3

© 4

4p.Opgave 49. Als x2 + xy + 15x = 12 en y2 + xy + 15y = 42, welke van de volgende getallen is dan een mogelijkewaarde voor x+ y?

© 0

© 3

© 15

© 18

© Meerdere van bovenstaande mogelijkheden.

A-71

Page 85: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Niveau 5�

5p.Opgave 50. Voor i = 1 tot 6 stellen we alog

(blog ( clog xi)

)= 0, waarbij a, b en c elke rangschikking van 2, 4 en 8

doorloopt. Dan kan het product x1x2x3x4x5x6 uitgedrukt worden als 2N voor een zeker geheel getal N . Bepaal N .

© 19

© 20

© 28

© 33

© 50�

5p.Opgave 51. Getallen worden gewoonlijk voorgesteld in het decimaal stelsel, waarbij elke decimaal vermenigvuldigdwordt met een macht van tien. Zo stelt de decimale ontwikkeling ‘0, 123’ het getal 1/10 + 2/100 + 3/1000 voor. Omaan te duiden dat we werken met machten van tien, schrijft men soms

(0, 123)10 = 1/10 + 2/100 + 3/1000

In het ternair stelsel wordt elke ‘tricimaal’ vermenigvuldigd met een macht van drie. Zo is de ternaire ontwikkelingvan 1/3 + 2/9 + 1/27 gelijk aan ‘0, 121’. We schrijven dan

(0, 121)3 = 1/3 + 2/9 + 1/27

De ternaire ontwikkeling van 77/81 is gelijk aan

© (0, 950617284)3

© (0, 2012)3

© (0, 1211)3

© (0, 1111)3

© (0, 2212)3�

5p.Opgave 52. Een man wandelt, eerst op een vlakke weg en daarna op een heuvel. Aan de top van de heuvel wandelthij onmiddellijk terug naar zijn vertrekpunt. Op de vlakke weg wandelt hij aan 4 km / u, bergop aan 3 km /u en bergafaan 6 km /u. Als volledige wandeling 6 u duurt, welke afstand heeft de man dan afgelegd?

© 16 km

© 20 km

© 34 km

© 28 km

© 32 km�

5p.Opgave 53. Twee rekenkundige rijen worden vermenigvuldigd, en leveren de rij 468, 462, 384, . . . Wat is de volgendeterm in deze rij?

© 250

© 286

© 300

© 324

© 336�

5p.Opgave 54. Twee gehele getallen noemt men relatief priem als hun grootste gemene deler gelijk is aan 1. Hoeveelpositieve gehele getallen kleiner dan 1000 zijn relatief priem met 105?

© 325

© 457

© 466

© 533

© 674�

A-72

Page 86: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Niveau 6�

6p.Opgave 55. Een cirkelvormige tafel wordt in de hoek van een rechthoekige kamer geduwd, zodat het raakt aan beidemuren. Een punt op de rand van de tafel ligt op 20 cm van de ene muur en op 90 cm van de andere muur. Wat is destraal van de tafel?

© 50 cm

© 120 cm

© 150 cm

© 170 cm

© 200 cm�

6p.Opgave 56. Het getal (102010 + 1)2 + (102010 + 2)2 −

(102010

)2is deelbaar door

© 102010 − 1

© 102010 + 3

© 102010 + 4

© 102010 + 5

© 102010 + 6�

6p.Opgave 57. Een vrouw woont op 8 km van haar werk. Op het moment dat ze met de fiets naar haar werk vertrekt,heeft ze 126 km op haar teller staan, aan een gemiddelde snelheid van 17, 2 km /u. Ze fietst naar haar werk, en terugnaar huis. Bij het thuiskomen duidt haar teller een afstand van 142 km aan, met een gemiddelde snelheid van 17, 6.Bepaal de gemiddelde snelheid van de vrouw over het traject van haar huis naar haar werk, en terug.

6p.Opgave 58. Voor een rij (an) = a1, a2, a3, . . . geldt a1 = 1, a2 = 2, a3 = 5 en an−1an−2 = 2anan−2− 2an−1an−1 voor

n ≥ 3. Dan isa2006a2005

gelijk aan

© 1002

© 1002, 5

© 1003

© 1003, 5

© 1004�

6p.Opgave 59. Bepaal de 1024ste machtswortel uit

(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) . . . (21024 + 1) + 1

© 1

©√

2

© 2

© 4

© 512�

6p.Opgave 60 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een klein muntstuk met straal r rolt zonder glijden rond een grootmuntstuk met straal R dat niet beweegt. De straal R is een geheel veelvoud van r. Het klein muntstuk maakt hierbijeen volledige omwenteling rond het groot muntstuk. Het aantal keer dat het klein muntstuk dan volledig om zijnmiddelpunt is gedraaid, is gelijk aan

© 1 +R

r

© R

r

© R+ r

R− r

© 2rR

r +R

© 1�

A-73

Page 87: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 3

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (2)

Inhoudsopgave

Tien problemen

Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-75

Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-76

A-74

Page 88: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Tien problemen - Opgave

Veeltermfuncties

Probleem 1.

(a) Stel f(x) = 3x3 − 4x2 + ax− 11 een reele veelterm zodat f(1) = 2. Bepaal de waarde van a.

(b) Stel (3x− 1)7 = a7x7 + a6x

6 + . . .+ a0 voor zekere a0, a1, . . . , a7 ∈ R. Bepaal a7 + a6 + . . .+ a1 + a0.

Probleem 2. Er is precies een veeltermA(x) van de vormA(x) = 7x7+a6x6+a5x

5+. . .+a1x+a0 met a0, a1, a2, . . . , a6 ∈R waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0).

Rationale functies

Probleem 3. Een keuken moet geverfd worden. Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze 7 uren meer nodig danwanneer Henk alleen werkt (Henk is een professionele schilder). Verven ze beiden samen, dan klaren ze de klus in 12uren. Hoe lang doet Henk er over als hij alleen schildert?

Probleem 4. Stel f(x) =5x2 − 4x+ 8

x2 + 1.

(a) Voor welke reele waarden van k bestaat er een reeel getal x waarvoor f(x) = k?

(b) Bepaal het bereik van de functie f .

Irrationale functies

Probleem 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de vergelijking 3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 =3√

2

Bewerkingen met functies

Probleem 6. Stel f(x) = x+√x en g(x) = x+1/4. Bepaal de exacte, vereenvoudigde waarde van g(f(g(f(g(f(7)))))).

Aanwijzing. Noem h = g ◦ f en schrijf h(x) als het kwadraat van een tweeterm.

Exponentiele functies

Probleem 7. De vergelijking 2x2

= 323x+8 heeft twee reele oplossingen. Bepaal algebraısch hun product.

Logaritmische functies

nieren in digitaal ontwerp

Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling van het bloed constant tehouden. Daarbij verwijderen ze opgeloste ongewenste stoffen, zoals afvalstoffen vande stofwisseling en via het voedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nierenelimineren een zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijdseenheid.

Cafeıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op het zenuwstelsel, dehartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat het je wakkerder maakt of dathet je gevoel van vermoeidheid verdrijft. Een grote dosis cafeıne kan giftig zijn.Gemiddeld verwijderen de nieren van een persoon per uur 13% van de in het lichaamoverblijvende cafeıne. Is de overblijvende dosis cafeıne groter dan 20mg, dan werkthet stimulerend.

We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafeıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikjecola drinkt, en je het laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafeıne die je uit deze blikjes opnam nietlanger stimulerend werken? Algebraısch oplossen, en je resultaat afronden op een minuut nauwkeurig.

Exponentiele en logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden

Probleem 9. Los algebraısch de volgende exponentiele vergelijking op:

8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0

Probleem 10. Bepaal algebraısch het grootste reeel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking

(210 log (x2b)

)2= 210 log x4

allen gehele getallen zijn.

A-75

Page 89: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Tien problemen - Oplossingen

Probleem 1.

(a) Stel f(x) = 3x3 − 4x2 + ax− 11 een reele veelterm zodat f(1) = 2. Bepaal de waarde van a.

(b) Stel (3x− 1)7 = a7x7 + a6x

6 + . . .+ a0 voor zekere a0, a1, . . . , a7 ∈ R. Bepaal a7 + a6 + . . .+ a1 + a0.

Oplossing.

(a) We eisen dat f(1) = 2, en bepalen zo de waarde van a:

f(1) = 2 ⇔ 3 · 13 − 4 · 12 + a · 1− 11 = 2

⇔ a = 14

We besluiten dat a = 14 .

(b) We kunnen (3x − 1)7 helemaal uitwerken, maar dat vergt veel werk. Echter, vraag (a) geeft ons het idee vooreen alternatief. Daar vonden we dat f(1) = 3 − 4 + a − 11, precies de som van de coefficienten van f(x). Webereiken dan ook a7 + a6 + . . .+ a0 door in de uitdrukking (3x− 1)7 = a7x

7 + a6x6 + . . .+ a0 de x-waarde gelijk

te stellen aan 1:

(3x− 1)7 = a7x7 + a6x

6 + . . .+ a0 ⇒ (3 · 1− 1)7 = a7 · 17 + a6 · 16 + . . .+ a0 stel x = 1

⇒ 27 = a7 + a6 + . . .+ a0

We besluiten dat a7 + a6 + . . .+ a0 = 128 .

Probleem 2. Er is precies een veelterm A(x) van de vorm

A(x) = 7x7 + a6x6 + a5x

5 + . . .+ a1x+ a0 met a0, a1, a2, . . . , a6 ∈ R

waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0).

Oplossing. We kunnen deze zeven voorwaarden uitschrijven, en dan bekomen we een stelsel met 7 vergelijkingen en 7onbekenden:

7 · 17 + 16 · a6 + 15 · a5 + 14 · a4 + 13 · a3 + 12 · a2 + 1 · a1 + a0 = 1

7 · 27 + 26 · a6 + 25 · a5 + 24 · a4 + 23 · a3 + 22 · a2 + 2 · a1 + a0 = 2

7 · 37 + 36 · a6 + 35 · a5 + 34 · a4 + 33 · a3 + 32 · a2 + 3 · a1 + a0 = 3

7 · 47 + 46 · a6 + 45 · a5 + 44 · a4 + 43 · a3 + 42 · a2 + 4 · a1 + a0 = 4

7 · 57 + 56 · a6 + 55 · a5 + 54 · a4 + 53 · a3 + 52 · a2 + 5 · a1 + a0 = 5

7 · 67 + 66 · a6 + 65 · a5 + 64 · a4 + 63 · a3 + 62 · a2 + 6 · a1 + a0 = 6

7 · 27 + 76 · a6 + 75 · a5 + 74 · a4 + 73 · a3 + 72 · a2 + 7 · a1 + a0 = 7

Zo’n stelsel algebraısch oplossen vergt erg veel werk. Daarom gaan we beter op een andere manier te werk.

We merken op dat de zeven voorwaarden ‘van dezelfde vorm’ zijn: we kunnen ze schrijven als

A(x) = x voor x = 1, 2, . . . , 7

Of, equivalent:A(x)− x = 0 voor x = 1, 2, . . . , 7

Anders gezegd, we kennen zeven nulpunten van de veelterm A(x) − x. Wegens de reststelling is A(x) − x deelbaardoor x− 1, x− 2, . . . , x− 7. Omdat grA(x)− x = 7, is deze veelterm noodzakelijk van de vorm

A(x)− x = a(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6)(x− 7) voor een zekere a ∈ R

Om de waarde van a te vinden, bedenken we dat de hoogstegraadsterm van A(x) gelijk is aan 7, terwijl de hoogste-graadsterm van a(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6)(x− 7) gelijk is aan a:

A(x)− x︸ ︷︷ ︸7x7+ veelterm graad <7

= a(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6)(x− 7)︸ ︷︷ ︸ax7+ veelterm graad <7

waaruit we vinden dat a = 7. Op die manier hebben we A(x) volledig bepaald, en vinden we eenvoudig de waardevan A(0):

A(x) = 7(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6)(x− 7) + x

⇒ A(0) = 7(0− 1)(0− 2)(0− 3)(0− 4)(0− 5)(0− 6)(0− 7) = −35 280

We besluiten dat A(0) = −35 280 .

A-76

Page 90: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Probleem 3. Een keuken moet geverfd worden. Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze 7 uren meer nodig danwanneer Henk alleen werkt (Henk is een professionele schilder). Verven ze beiden samen, dan klaren ze de klus in 12uren. Hoe lang doet Henk er over als hij alleen schildert?

Oplossing. Noem x de tijd die Henk er over doet als hij alleen schildert. We zoeken x.

Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze x+ 7 uur nodig om de ganse keuken te schilderen. Anders gezegd:

in een uur schildert Lydia1

x+ 7van de keuken (1)

Wanneer Henk alleen werkt, dan heeft hij x uur nodig om de ganse keuken te schilderen. Anders gezegd:

in een uur schildert Henk1

xvan de keuken (2)

Wanneer Lydia en Henk samen schilderen, dan hebben ze 12 uur nodig. Anders gezegd:

in een uur schilderen ze samen1

12van de keuken (3)

Anderzijds volgt uit (1) en (2) dat, wanneer Lydia en Henk samen werken, ze in een uur 1/(x+7)+1/x van de keukenschilderen. Gelijkstellen met (3) levert een rationale vergelijking:

1

12=

1

x+

1

x+ 7⇔ x(x+ 7)

12x(x+ 7)=

12(x+ 7)

12x(x+ 7)+

12x

12x(x+ 7)BV: x(x+ 7) 6= 0

⇔ x(x+ 7) = 12(x+ 7) + 12x

⇔ x2 + 7x = 12x+ 84 + 12x

⇔ x2 − 17x− 84 = 0

D = 172 − 4 · (−84) = 625 = 252

⇔ x =17± 25

2⇔ x = 21 of x = −4

In deze context is x positief. We besluiten dat Henk er 21 uren over doet als hij alleen schildert.

Controle. Als Henk er 21 uur over doet, dan heeft Lydia 21 + 7 = 28 uur nodig. In een uur schildert Henk dan 1/21van de keuken, en Lydia 1/28 van de keuken. Dus samen schilderen ze in een uur 1/21 + 1/28 = 1/12 van de keuken.Waaruit volgt dat ze 12 uur nodig hebben om de ganse keuken te schilderen, wat overeenkomt met het gegeven.

A-77

Page 91: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Probleem 4. Stel f(x) =5x2 − 4x+ 8

x2 + 1.

(a) Voor welke reele waarden van k bestaat er een reeel getal x waarvoor f(x) = k?

(b) Bepaal het bereik van de functie f .

Oplossing.

(a) Neem k ∈ R willekeurig. Dan geldt

er bestaat een reeel getal x waarvoor f(x) = k

⇔ de vergelijking f(x) = k heeft minstens een oplossing x

f(x) = k ⇔ 5x2 − 4x+ 8

x2 + 1= k BV: x2 + 1 6= 0

⇔ 5x2 − 4x+ 8 = k(x2 + 1)

⇔ (5− k)x2 − 4x+ 8− k = 0

⇔ de vergelijking (5− k)x2 − 4x+ 8− k = 0 heeft minstens een oplossing x

⇔ de discriminant van de vergelijking (5− k)x2 − 4x+ 8− k = 0 is groter of gelijk aan nul

D = (−4)2 − 4 · (5− k) · (8− k)= 16− 4(40− 5k − 8k + k2)= −4k2 + 52k − 144

⇔ − 4k2 + 52k − 144 ≥ 0

maak een tekentabel van − 4k2 + 52k − 144

. nulwaarden: los op − 4k2 + 52k − 144 = 0

D = 522 − 4 · (−4) · (−144) = 400 = 202

⇔ k =−52± 20

−8

⇔ k = 4 of k = 9

. tekentabel:x 4 9

−4k2 + 52k − 144 − 0 + 0 −

⇔ k ∈ [4, 9]

(b) Het bereik van de functie f is per definitie

ber f = {y ∈ R | ∃x ∈ R : f(x) = y}

= {k ∈ R | ∃x ∈ R : f(x) = k}

= {k ∈ R | er bestaat een reeel getal x waarvoor f(x) = k}

= {k ∈ R | k ∈ [4, 9]}

= [4, 9]

waarbij we in de voorlaatste gelijkheid steunen op het antwoord op vraag (a).

A-78

Page 92: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Probleem 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de vergelijking

3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 =3√

2

Oplossing. Noem a = 3√

13x+ 37 en b = 3√

13x− 37. We bieden twee manieren aan om de vergelijking op te lossen.

Eerste manier: (a+ b)3 uitwerken

We vinden

3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 =3√

2 ⇔ a− b =3√

2

⇔ (a− b)3 = 2

⇔ a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3 = 2

Er geldt

a3 =(

3√

13x+ 37)3

= 13x+ 37

b3 =(

3√

13x− 37)3

= 13x− 37

⇔ (13x+ 37)− 3a2b+ 3ab2 − (13x− 37) = 2

⇔ −3a2b+ 3ab2 = −72

⇔ a2b− ab2 = 24

⇔ ab(a− b) = 24

⇔ ab3√

2 = 24

⇔ ab =243√

2

⇔ (ab)3 =13 824

2

⇔ a3b3 = 6912

⇔ (13x+ 37)(13x− 37) = 6912

⇔ 169x2 = 8281

⇔ x = 7 of x = −7

Tweede manier: a3 − b3 ontbinden in factoren

We vinden

3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 =3√

2 ⇔ a− b =3√

2

Nu is enerzijds

a3 − b3 =(

3√

13x+ 37)3 −

(3√

13x− 37)3

= (13x+ 37)− (13x− 37) = 74 (1)

terwijl anderzijdsa3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2) =

3√

2 (a2 + ab+ b2) (2)

Gelijkstellen van (1) en (2) geeft dan

3√

2 (a2 + ab+ b2) = 74 ⇒ a2 + ab+ b2 =743√

2(3)

Het is opvallend dat het linkerlid van (3) erg gelijkaardig is aan

a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2 =(

3√

2)2

=3√

4 (4)

A-79

Page 93: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Uit (3) - (4) volgt dan

3ab =743√

2− 3√

4 =74− 3

√4 · 3√

23√

2=

723√

2

⇔ ab =243√

2

⇔ (ab)3 =13 824

2

⇔ a3b3 = 6912

⇔ (13x+ 37)(13x− 37) = 6912

⇔ 169x2 = 8281

⇔ x = 7 of x = −7

We hebben 3ab =743√

2− 3√

4 bekomen door een “enkele pijl” ⇒. Dus achteraf moeten we onze oplssingen controleren

door ze in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking.

Voor x = 7 vinden we

3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 = 3√

13 · 7 + 37− 3√

13 · 7− 37 =3√

128− 3√

54 =3√

43 · 2− 3√

33 · 2 = 43√

2− 33√

2 =3√

2

en voor x = −7 bekomen we

3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 = 3√

13 · (−7) + 37− 3√

13 · (−7)− 37 = 3√−54− 3

√−128 = − 3

√33 · 2+

3√

43 · 2 = −33√

2+43√

2 =3√

2

hetgeen betekent dat OplV = {−7, 7} .

Probleem 6. Stel f(x) = x+√x en g(x) = x+1/4. Bepaal de exacte, vereenvoudigde waarde van g(f(g(f(g(f(7)))))).

Aanwijzing. Noem h = g ◦ f en schrijf h(x) als het kwadraat van een tweeterm.

Oplossing. Alvast isf(7) = 7 +

√7

g(f(7)) = g(7 +√

7) = 7 +√

7 +1

4=

29

4+√

7

f(g(f(7))) = f(29

4+√

7) = 7 +

√29

4+√

7

hetgeen na enkele stappen al hopeloos ingewikkeld wordt. Daarom volgen we de aanwijzing.

Noemen we h = g ◦ f , dan is h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)), zodat gevraagd wordt om te berekenen

g(f(g(f(g(f(7)))))) = h(h(h(7)))

We proberen h(x) te schrijven als het kwadraat van een tweeterm:

h(x) = g(f(x)) = g(x+√x) = x+

√x+

1

4=√x2

+ 2 · 1

2· √x+

(1

2

)2

=

(√x+

1

2

)2

Op die manier wordt

h(7) =

(√7 +

1

2

)2

h(h(7)) = h

((√7 +

1

2

)2)=

(√(√7 +

1

2

)2

+1

2

)2

=(√

7 + 1)2

h(h(h(7))) = h

((√7 + 1

)2)=

(√(√7 + 1

)2+

1

2

)2

=

(√7 +

3

2

)2

=37

4+ 3√

7

A-80

Page 94: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Probleem 7. De vergelijking

2x2

= 323x+8

heeft twee reele oplossingen. Bepaal algebraısch hun product.

Oplossing. We hebben

2x2

= 323x+8 ⇔ 2x2

= (25)3x+8

⇔ 2x2

= 25(3x+8)

⇔ x2 = 5(3x+ 8)

⇔ x2 − 15x− 40 = 0

Dit laatste is een tweedegraadsvergelijking, met discriminant D = 152 − 4 · (−40) = 385 > 0 zodat er inderdaad twee(verschillende) oplossingen x1, x2 zijn. Herhaal dat voor een tweedegraadsvergelijking ax2 + bx+ c = 0 met positieve

discriminant de som S en het product P van de twee oplossingen gegeven wordt door S = − ba

en P =c

a, zodat in ons

geval het product van de twee oplossingen gelijk is aan P = −40.

nieren in digitaal ontwerp

Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling van het bloed constant tehouden. Daarbij verwijderen ze opgeloste ongewenste stoffen, zoals afvalstoffen vande stofwisseling en via het voedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nierenelimineren een zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijdseenheid.

Cafeıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op het zenuwstelsel, dehartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat het je wakkerder maakt of dat het jegevoel van vermoeidheid verdrijft. Een grote dosis cafeıne kan giftig zijn. Gemiddeldverwijderen de nieren van een persoon 13% van de in het lichaam overblijvendecafeıne. Is de overblijvende dosis cafeıne groter dan 20mg, dan werkt het stimulerend.

We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafeıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikjecola drinkt, en je het laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafeıne die je uit deze blikjes opnam nietlanger stimulerend werken? Algebraısch oplossen, en je resultaat afronden op een minuut nauwkeurig.

Oplossing. Noemen we

C1(t) de resterende hoeveelheid cafeıne (in mg) in het lichaam afkomstig van het eerste blikje, op t uur na 20 u.

C2(t) de resterende hoeveelheid cafeıne (in mg) in het lichaam afkomstig van het tweede blikje, op t uur na 20 u.

C3(t) de resterende hoeveelheid cafeıne (in mg) in het lichaam afkomstig van het derde blikje, op t uur na 20 u.

dan is

C1(t) = 45 · (0, 87)t voor t ≥ 0

C2(t) = 45 · (0, 87)t−1 voor t ≥ 1

C3(t) = 45 · (0, 87)t−2 voor t ≥ 2

zodat de resterende hoeveelheid cafeıne (in mg) in het lichaam afkomstig van de drie blikjes, op t uur na 20 u. gegevenwordt door

C(t) = 45 · (0, 87)t + 45 · (0, 87)t−1 + 45 · (0, 87)t−2 voor t ≥ 2

Gevraagd is het tijdstip t waarvoor

C(t) = 20 ⇔ 45 · (0, 87)t + 45 · (0, 87)t−1 + 45 · (0, 87)t−2 = 20

⇔ 45 · (0, 87)t−2(

(0, 87)2 + 0, 87 + 1

)= 20

⇔ (0, 87)t−2 =20

45 · ((0, 87)2 + 0, 87 + 1)

⇔ t− 2 = 0,87log

(20

45 · ((0, 87)2 + 0, 87 + 1)

)

⇔ t = 0,87log

(20

45 · ((0, 87)2 + 0, 87 + 1)

)+ 2 = 14, 7582097 . . . = 14u.45, 4925 . . .min

zodat de cafeıne niet langer stimulerend zal werken vanaf ongeveer 10.45 u. de volgende dag.

A-81

Page 95: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Probleem 9. Los algebraısch de volgende exponentiele vergelijking op:

8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0

Oplossing.

8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0 ⇔ 8(22x + 2−2x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0

noem t = 2x

⇔ 8(t2 + t−2)− 54(t+ t−1) + 101 = 0

noem y = t+ t−1

dan is y2 = (t+ t−1)2 = t2 + 2 + t−2

⇔ 8(y2 − 2)− 54y + 101 = 0

⇔ 8y2 − 54y + 85 = 0

⇔ y =17

4of y =

5

2

⇔ t+ t−1 =17

4of t+ t−1 =

5

2

⇔ 4t2 − 17t+ 4 = 0 of 2t2 − 5t+ 2 = 0

⇔ t = 4 of t =1

4of t = 2 of t =

1

2

⇔ 2x = 4 of 2x =1

4of 2x = 2 of 2x =

1

2⇔ x = 2 of x = −2 of x = 1 of x = −1

Probleem 10. Bepaal algebraısch het grootste reeel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking

(210 log (x2b)

)2= 210 log x4

allen gehele getallen zijn.

Oplossing. We hebben alvast

(210 log (x2b)

)2= 210 log x4 BV: x2b ∈ R+

0 en x2 ∈ R+0

⇔(

2b · 210 log x)2

= 4 · 210 log x BV: x ∈ R+0

noem t =210 log x

⇔ (2b · t)2 = 4 · t⇔ 4t · (b2t− 1) = 0

⇔ t = 0 of t =1

b2

⇔ 210 log x = 0 of 210 log x =1

b2

⇔ x = 1 of x =(210)1/b2

⇔ x = 1 of x = 210/b2

Willen alle oplossingen x gehele getallen zijn, dan moet 210/b2

een geheel getal zijn. In een lijst gaan we enkele gevalenna:

210/b2

10/b2 b

−1 | |0 | |1 0 |2 1

√10 = 3, 16 . . .

3 2log 3

√10

2log 3= 2, 51 . . .

4 2√

5 = 2, 23 . . .

Het verband dat bij elk geheel getal van de vorm 210/b2

het getal b weergeeft, is dalend. Het grootste reeel getal bwaarvoor alle oplossingen gehele getallen zijn, is dus b =

√10.

A-82

Page 96: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 4

TOEPASSINGEN IN GROEP VERWERKEN

Inhoudsopgave

Toepassing 1 en 2

Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-84

Ingevulde versie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-92

Oefeningen 1-4

Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-100

Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-101

A-83

Page 97: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Toepassingen op matrices - Opgave

Toepassing 1. Matrices en aantal verbindingen in grafen

• Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkseinternationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazilie en Canada. Hetgetal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld,van luchthaven b3 in Brazilie zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c3 in Canada, maar geen enkelevlucht naar c2 in Canada.

Bereken het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj met een tussenlanding in Brazilie (voor elke i en j).

Algerije Brazilie Canada

2

1

3

1

2

1

3

22

1

4

1

a1

a2

b1

b2

b3

b4

c1

c2

c3

Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merkenkunnen we zo’n soort problemen wat efficienter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennenover welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld:

aantal vluchten van a1 naar c1 via B is 2 · 3︸︷︷︸via b1

+ 1 · 2︸︷︷︸via b2

+ 0 · 1︸︷︷︸via b3

+ 1 · 0︸︷︷︸via b4

= 8 (∗)

Analoog bereken je bijvoorbeeld:

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is . . .

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is . . .

A-84

Page 98: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗) herkennen we:

aantal vluchten van a1 naar c1 via B is[2 1 0 1

3210

=

[8]

Analoog herken je:

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is[. . . . . . . . . . . .

. . .

. . .

. . .

. . .

= . . .

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is[. . . . . . . . . . . .

. . .

. . .

. . .

. . .

= . . .

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.

Om met een bewerking het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj via Brazilie te berekenen, maken we volgendematrixvermenigvuldiging:

[2 1 0 13 0 2 1

]

︸ ︷︷ ︸P

·

3 0 22 0 01 0 40 1 0

︸ ︷︷ ︸Q

= . . .

Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a2 naar c3 met een tussenlanding in Brazilie gelijk aan het (. . . , . . .)-de

element van de matrix P ·Q, en dat is gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilie voor, ook wel dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilie genoemd.

↗ b1 b2 b3 b3

a1 2 1 0 1a2 1 0 2 1

matrix P =

[2 1 0 11 0 2 1

]Pik = aantal directe wegen van ai naar bk

De notatie ‘a1 ↗ b1’ wijst op het aantal wegen van a1 naar b1, namelijk a1 ↗ b1 = 2.

Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazilie naar Canada voor.

↗ c1 c2 c3

b1 3 0 2b2 2 0 0b3 1 0 4b4 0 1 0

matrix Q =

3 0 22 0 01 0 40 1 0

Qkj = aantal directe wegen van bk naar cj

A-85

Page 99: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Metro van Londen

• Modelvoorbeeld. De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tus-sen vier stations s1, s2, s3 en s4.

(a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van si naar sjmet een tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j).

(b) Wat is het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop? Leesdit af uit je antwoord op (a).

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s4 naar s1met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafischrekenmachine.

(d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s1 naar s1 met tien tussenstops in willekeurigestations. Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.

s1

s2

s3

s4

Oplossing.

(a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld:

aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is

. . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s1

+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s2

+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s3

+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s4

= . . . (∗∗)

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗∗) herkennen we:

aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is

[. . . . . . . . . . . .

. . .

. . .

. . .

. . .

= . . .

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.

Om met een bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via een tussenstop te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging:

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

︸ ︷︷ ︸P

·

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

︸ ︷︷ ︸Q

= . . .

Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix Q gelijk aan de matrix P . Dat komt omdat het begin-station, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men P dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf.

(b) Het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de matrix

P 2, en dat is gelijk aan . . .

A-86

Page 100: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

(c) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met twee tussenstopsberekenen?

Het berekenen kan met behulp van het grafisch rekenmachine.

2ND MATRIX EDIT 1:[A] 4 ENTER etc. 2ND QUIT

2ND MATRIX ENTER ∧ . . . ENTER >

Zo is het aantal wegen van s4 naar s1 met twee tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de

matrix . . . en dus gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix . . . noemen we de tweestapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

(d) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met tien tussenstopsberekenen?

Het berekenen kan met behulp van het grafisch rekenmachine.

Zo is het aantal wegen van s1 naar s1 met tien tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de

matrix . . . en dus gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix . . . noemen we de tienstapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

A-87

Page 101: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Toepassing 2. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen

Jan Van Eyckplein,Brugge

• Op ontdekking. We beschouwen een eenvoudig model voor de veranderingvan het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland.

Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar hetplatteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizennaar de stad. Stel in 2011 wonen er 60000 mensen in de stad en 40000 mensenop het platteland.

(a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar enna vijf jaar. Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.

(b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.

Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf:

platteland stad

0, 05

0, 03

0, 97 0, 95

Ook hier kunnen we het probleem wat efficienter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen overwelke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld:

aantal mensen in de stadna een jaar:

0, 95 · 60000︸ ︷︷ ︸aandeel van stad

+ 0, 03 · 40000︸ ︷︷ ︸aandeel van platteland

= 58200 (∗)

Analoog bereken je bijvoorbeeld:

aantal mensen op plattelandna een jaar:

. . .

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗) herkennen we:

aantal mensen in de stadna een jaar:

[0, 95 0, 03

]·[6000040000

]=[58200

]

Analoog herken je:

aantal mensen op plattelandna een jaar:

[. . . . . .

]·[

. . .

. . .

]= . . .

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.

Om met een bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na een jaar te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging: [

0, 95 0, 030, 05 0, 97

]

︸ ︷︷ ︸P

·[6000040000

]

︸ ︷︷ ︸Q

= . . .

Opmerking. De matrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert vooreen andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix 1 (of migratiematrix) genoemd.

↙ stad platteland

stad 0, 95 0, 03platteland 0, 05 0, 97

matrix P =

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]Pij = proc. aandeel van plaats j naar i

De notatie ‘stad↙ platteland’ wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijkstad ↙ platteland = 0, 05.

1Een overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 100%.

A-88

Page 102: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

(a) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaarberekenen? En na vijf jaar?

(b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert?

A-89

Page 103: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Roodkopvuurkever(Pyrochroa serraticornis)

• Modelvoorbeeld. De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij be-schikt over 3000 eitjes, 2000 larven en 1000 insecten. Elke levensfase (ei, larveen insect) duurt een maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in eenafgesloten ruimte. Na een maand is de situatie als volgt:

∗ Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen.

∗ Van de larven heeft 20% zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood.

∗ Van de oorspronkelijke insecten is er niet een meer over. Maar ze hebbenelk gemiddeld 100 eitjes voortgebracht.

(a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf.

(b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten naeen maand, twee maanden en acht maanden.

(c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafischrekenmachine.

Oplossing.

(a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf:

eitje larve insect0, 05 0, 2

100

(b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld:

aantal eitjesna een maand:

. . . · . . .︸ ︷︷ ︸aandeel van eitjes

+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸aandeel van larven

+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸aandeel van insecten

= . . . (∗∗)

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗∗) herkennen we:

aantal eitjesna een maand:

[. . . . . . . . .

. . .. . .. . .

=

[. . .

]

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.

Om met een berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na een maand te kennen maken we devolgende matrixvermenigvuldiging:

. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .

︸ ︷︷ ︸P

·

. . .. . .. . .

︸ ︷︷ ︸Q

= . . .

Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ookwel een Lesie-matrix 2 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd.

2Een Lesie-matrix is een vierkante matrix P waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaalmogen verschillen van het getal 0. Het model van Leslie (beschreven door P.H. Leslie 1945) vereist een populatie die niet onderhevig is aanmigratie en waarbij slechts een sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd.

A-90

Page 104: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

(b) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? Enna acht maanden?

(c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft?

A-91

Page 105: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Toepassingen op matrices - Ingevulde versie

Toepassing 1. Matrices en aantal verbindingen in grafen

• Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkseinternationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazilie en Canada. Hetgetal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld,van luchthaven b3 in Brazilie zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c3 in Canada, maar geen enkelevlucht naar c2 in Canada.

Bereken het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj met een tussenlanding in Brazilie (voor elke i en j).

Algerije Brazilie Canada

2

1

3

1

2

1

3

22

1

4

1

a1

a2

b1

b2

b3

b4

c1

c2

c3

Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merkenkunnen we zo’n soort problemen wat efficienter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennenover welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld:

aantal vluchten van a1 naar c1 via B is 2 · 3︸︷︷︸via b1

+ 1 · 2︸︷︷︸via b2

+ 0 · 1︸︷︷︸via b3

+ 1 · 0︸︷︷︸via b4

= 8 (∗)

Analoog bereken je bijvoorbeeld:

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is 3 · 3 + 0 · 2 + 2 · 1 + 1 · 0 = 11

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is 3 · 2 + 0 · 0 + 2 · 4 + 1 · 0 = 14

A-92

Page 106: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗) herkennen we:

aantal vluchten van a1 naar c1 via B is[2 1 0 1

3210

=

[8]

Analoog herken je:

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is[3 0 2 1

3210

=

[11]

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is[3 0 2 1

2040

=

[14]

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.

Om met een bewerking het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj via Brazilie te berekenen, maken we volgendematrixvermenigvuldiging:

[2 1 0 13 0 2 1

]

︸ ︷︷ ︸P

·

3 0 22 0 01 0 40 1 0

︸ ︷︷ ︸Q

=

[8 1 411 1 14

]

Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a2 naar c3 met een tussenlanding in Brazilie gelijk aan het (2, 3)-deelement van de matrix P ·Q, en dat is gelijk aan 14.

Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilie voor, ook wel dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilie genoemd.

↗ b1 b2 b3 b4

a1 2 1 0 1a2 1 0 2 1

matrix P =

[2 1 0 11 0 2 1

]Pik = aantal directe wegen van ai naar bk

De notatie ‘a1 ↗ b1’ wijst op het aantal wegen van a1 naar b1, namelijk a1 ↗ b1 = 2.

Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazilie naar Canada voor.

↗ c1 c2 c3

b1 3 0 2b2 2 0 0b3 1 0 4b4 0 1 0

matrix Q =

3 0 22 0 01 0 40 1 0

Qkj = aantal directe wegen van bk naar cj

A-93

Page 107: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Metro van Londen

• Modelvoorbeeld. De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tus-sen vier stations s1, s2, s3 en s4.

(a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van si naar sjmet een tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j).

(b) Wat is het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop? Leesdit af uit je antwoord op (a).

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s4 naar s1met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafischrekenmachine.

(d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s1 naar s1 met tien tussenstops in willekeurigestations. Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.

s1

s2

s3

s4

Oplossing.

(a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld:

aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is

1 · 1︸︷︷︸via s1

+ 2 · 1︸︷︷︸via s2

+ 3 · 4︸︷︷︸via s3

+ 1 · 0︸︷︷︸via s4

= 15 (∗∗)

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗∗) herkennen we:

aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is

[1 2 3 1

1140

=

[15]

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.

Om met een bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via een tussenstop te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging:

1 2 3 12 0 0 13 0 0 41 1 4 0

︸ ︷︷ ︸P

·

1 2 3 12 0 0 13 0 0 41 1 4 0

︸ ︷︷ ︸Q

=

15 3 7 153 5 10 27 10 25 315 2 3 18

Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix Q gelijk aan de matrix P . Dat komt omdat het begin-station, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men P dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf.

(b) Het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop gelijk aan het (2, 3)-de element van de matrixP 2, en dat is gelijk aan 10.

A-94

Page 108: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

(c) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met twee tussenstopsberekenen?

We kunnen opnieuw starten met een voorbeeld. Stel we willen het aantal verbindingen van s1 naar s4 mettwee tussenstops kennen. Is de eerste tussenstop s1, dan levert dat 1 mogelijkheid van s1 naar s1, daarna15 mogelijkheden van s1 naar s4. Analoog met een andere eerste tussenstop levert:

aantal verbindingen van s1 naar s4via twee tussenstops is

1 · 15︸ ︷︷ ︸via eerst s1

+ 2 · 3︸︷︷︸via eerst s2

+ 3 · 7︸︷︷︸via eerst s3

+ 1 · 15︸ ︷︷ ︸via eerst s4

= 57

We herkennen hierin de vermenigvuldiging van de eerste rij van P met de eerste kolom van P 2:

aantal verbindingen van s1 naar s4via twee tussenstops is

[1 2 3 1

153715

=

[57]

Om met een bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via twee tussenstops te berekenen, makenwe dus de matrixvermenigvuldiging P · P 2 = P 3.

Het berekenen kan met behulp van het grafisch rekenmachine.

2ND MATRIX EDIT 1:[A] 4 ENTER etc. 2ND QUIT

2ND MATRIX ENTER ∧ . . . ENTER >

Zo is het aantal wegen van s4 naar s1 met twee tussenstops gelijk aan het (4, 1)-de element van de matrixP 3 en dus gelijk aan 46.

Opmerking. De matrix P 3 noemen we de tweestapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

(d) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met tien tussenstopsberekenen?

Analoog als in (c) doen we dat door P 11 te berekenen.Ter informatie: met behulp van het grafisch rekenmachine vinden we

P 11 =

149.869.761 75.960.622 175.822.703 139.575.04575.960.622 32.716.288 74.726.032 73.743.273175.822.703 74.726.032 170.475.048 171.209.552139.575.045 73.743.273 171.209.552 128.430.948

Zo is het aantal wegen van s1 naar s1 met tien tussenstops gelijk aan het (1, 1)-de element van de matrixP 11 en dus gelijk aan 149.869.761.

Opmerking. De matrix P 11 noemen we de tienstapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

A-95

Page 109: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Toepassing 2. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen

Jan Van Eyckplein,Brugge

• Op ontdekking. We beschouwen een eenvoudig model voor de veranderingvan het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland.

Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar hetplatteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizennaar de stad. Stel in 2011 wonen er 60000 mensen in de stad en 40000 mensenop het platteland.

(a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar enna vijf jaar. Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.

(b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.

Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf:

platteland stad

0, 05

0, 03

0, 97 0, 95

Ook hier kunnen we het probleem wat efficienter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen overwelke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld:

aantal mensen in de stadna een jaar:

0, 95 · 60000︸ ︷︷ ︸aandeel van stad

+ 0, 03 · 40000︸ ︷︷ ︸aandeel van platteland

= 58200 (∗)

Analoog bereken je bijvoorbeeld:

aantal mensen op plattelandna een jaar:

0, 05 · 60000 + 0, 97 · 40000 = 41800

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗) herkennen we:

aantal mensen in de stadna een jaar:

[0, 95 0, 03

]·[6000040000

]=[58200

]

Analoog herken je:

aantal mensen op plattelandna een jaar:

[0, 05 0, 97

]·[6000040000

]=[41800

]

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.

Om met een bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na een jaar te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging:

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]

︸ ︷︷ ︸P

·[6000040000

]

︸ ︷︷ ︸Q

=

[5820041800

]

Opmerking. De matrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert vooreen andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix 1 (of migratiematrix) genoemd.

↙ stad platteland

stad 0, 95 0, 03platteland 0, 05 0, 97

matrix P =

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]Pij = proc. aandeel van plaats j naar i

1Een overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 100%.

A-96

Page 110: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

De notatie ‘stad↙ platteland’ wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijkstad ↙ platteland = 0, 05.

(a) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar bere-kenen? En na vijf jaar?

We kunnen opnieuw starten met een voorbeeld. Stel we willen het aantal mensen in de stad na twee jaarkennen. Dat is een aandeel van 0, 95 keer het aantal mensen in de stad na een jaar, plus een aandeel van0, 03 keer het aantal mensen op het platteland na een jaar:

aantal mensen in de stadna twee jaar:

0, 95 · 58200︸ ︷︷ ︸aandeel van stad

+ 0, 03 · 41800︸ ︷︷ ︸aandeel van platteland

= 56544

We herkennen hierin een vermenigvuldiging van de eerste rij van P met de eerste kolom van P ·Q:

aantal mensen in de stadna twee jaar:

[0, 95 0, 03

]·[5820041800

]=[56544

]

Om met een bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na twee jaar te berekenen, makenwe dus de matrixvermenigvuldiging

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]

︸ ︷︷ ︸P

·[5820041800

]

︸ ︷︷ ︸P ·Q

=

[5654443456

]

Merk op dat we ook eerst P 2 kunnen berekenen en daarna vermenigvuldigen met Q:

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]

︸ ︷︷ ︸P

·[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]

︸ ︷︷ ︸P

·[6000040000

]

︸ ︷︷ ︸Q

=

[0, 904 0, 05760, 096 0, 9424

]

︸ ︷︷ ︸P 2

·[6000040000

]

︸ ︷︷ ︸Q

=

[5654443456

]

Analoog vinden we het aantal inwoners in de stad en op het platteland na vijf jaar (maak gebruik van jegrafisch rekenmachine): [

0, 95 0, 030, 05 0, 97

]5

︸ ︷︷ ︸P 5

·[6000040000

]

︸ ︷︷ ︸Q

≈[5232947671

]

(b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert?

Dat kunnen we door te berekenen wat het aantal mensen in de stad is na een groot aantal jaren, bijvoorbeeldna 50 of zelfs 100 jaar. Analoog als in (a) doen we dat door P 50 ·Q of P 100 ·Q te berekenen.

Met behulp van het grafisch rekenmachine vinden we:

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]50

︸ ︷︷ ︸P 50

·[6000040000

]

︸ ︷︷ ︸Q

≈[3784862152

]

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]100

︸ ︷︷ ︸P 100

·[6000040000

]

︸ ︷︷ ︸Q

≈[3750562495

]

Nemen we een nog groter aantal jaren (bijvoorbeeld 200 of 250) dan merken we dat het aantal mensen inde stad evolueert naar 37500.

A-97

Page 111: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Roodkopvuurkever(Pyrochroa serraticornis)

• Modelvoorbeeld. De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij be-schikt over 3000 eitjes, 2000 larven en 1000 insecten. Elke levensfase (ei, larveen insect) duurt een maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in eenafgesloten ruimte. Na een maand is de situatie als volgt:

∗ Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen.

∗ Van de larven heeft 20% zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood.

∗ Van de oorspronkelijke insecten is er niet een meer over. Maar ze hebbenelk gemiddeld 100 eitjes voortgebracht.

(a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf.

(b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten naeen maand, twee maanden en acht maanden.

(c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafischrekenmachine.

Oplossing.

(a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf:

eitje larve insect0, 05 0, 2

100

(b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld:

aantal eitjesna een maand:

0 · 3000︸ ︷︷ ︸aandeel van eitjes

+ 0 · 2000︸ ︷︷ ︸aandeel van larven

+ 100 · 1000︸ ︷︷ ︸aandeel van insecten

= 100.000 (∗∗)

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗∗) herkennen we:

aantal eitjesna een maand:

[0 0 100

300020001000

=

[100.000

]

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.

Om met een berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na een maand te kennen maken we devolgende matrixvermenigvuldiging:

0 0 1000, 05 0 0

0 0, 2 0

︸ ︷︷ ︸P

·

300020001000

︸ ︷︷ ︸Q

=

100.000150400

Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ookwel een Lesie-matrix 2 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd.

2Een Lesie-matrix is een vierkante matrix P waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaalmogen verschillen van het getal 0. Het model van Leslie (beschreven door P.H. Leslie 1945) vereist een populatie die niet onderhevig is aanmigratie en waarbij slechts een sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd.

A-98

Page 112: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

(b) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? Enna acht maanden?

Het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen we als volgt (maak gebruik van je grafischrekenmachine):

0 0 100

0, 05 0 00 0, 2 0

2

︸ ︷︷ ︸P 2

·

300020001000

︸ ︷︷ ︸Q

=

40000500030

Na twee maanden zijn er dus 40000 eitjes, 5000 larven en 30 insecten.

Het aantal eitjes, larven en insecten na acht maanden berekenen we als volgt (maak gebruik van je grafischrekenmachine):

0 0 100

0, 05 0 00 0, 2 0

8

︸ ︷︷ ︸P 8

·

300020001000

︸ ︷︷ ︸Q

=

40000500030

Ook na acht maanden zijn er 40000 eitjes, 5000 larven en 30 insecten.

(c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft?

Het is verleidelijk om uit onze resultaten in (b) te besluiten dat de populatie streeft naar 40000 eitjes, 5000larven en 30 insecten.

Echter, enkele berekeningen voor opeenvolgende maanden onthullen een ander patroon:

oorspronkelijk: Q =

300020001000

na een maand: P ·Q =

100.00015040

na twee maanden: P 2 ·Q =

40000500030

na drie maanden: P 3 ·Q =

300020001000

zelfde als oorspronkelijk!

na vier maanden: P 4 ·Q =

100.00015040

zelfde als na een maand!

na vijf maanden: P 5 ·Q =

40000500030

zelfde als na twee maanden!

De populatie herhaalt zich elke drie maanden. Het aantal eitjes evolueert dus niet naar een bepaalde waarde.Analoog voor het aantal larven en het aantal insecten.

A-99

Page 113: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Oefeningen - Opgave

Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een kleineilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjes vaart op regelmatigetijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op nevenstaande graaf.

(a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf.

(b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van Enaar C met een tussenstop op een willekeurig eiland.

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van Anaar C met twee tussenstops op een willekeurig eiland.

?(d) Is het mogelijk om via ten hoogste een tussenstop van om het evenwelk eiland naar om het even welk eiland te gaan? Los op metbehulp van matrices.

A

B

C

D

E

Oefening 2. Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde.Na een jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van hetjaar voordien, en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren hetjaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jongedieren zijn en 30 volwassen dieren.

(a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf.

(b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar.

(c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren?

Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen 1 de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van demarkt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgendewijzigingen voor:

∗ Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest.

∗ Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest.

∗ Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.

We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet.

(a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf.

(b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices.

Oefening 4. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en door eenlage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Lesie-model, de volgendegegevens zijn bekend:

∗ slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar,

∗ eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven,

∗ geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar,

∗ alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes.

(a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf.

(b) Stel de Lesie-matrix op.

(c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100000 eitjes. Hij laat zijnvangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?

1Enige gelijkenis met bestaande maatschappijen berust op toeval.

A-100

Page 114: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Oefeningen - Oplossingen

Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een kleineilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjes vaart op regelmatigetijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op nevenstaande graaf.

(a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf.

(b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van Enaar C met een tussenstop op een willekeurig eiland.

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van Anaar C met twee tussenstops op een willekeurig eiland.

?(d) Is het mogelijk om via ten hoogste een tussenstop van om het evenwelk eiland naar om het even welk eiland te gaan? Los op metbehulp van matrices.

A

B

C

D

EOplossing.

(a) We starten met een voorbeeld:

aantal wegen van A naar A is 0

aantal wegen van A naar B is 0

aantal wegen van A naar C is 1

aantal wegen van A naar D is 0

aantal wegen van A naar E is 0

dus de directe wegenmatrix is vermoedelijk

M =

0 0 1 0 01 0 0 1 10 1 0 1 00 0 1 0 11 1 0 1 0

Dat vermoeden zal in (b) bevestigd worden.

(b) We hebben:

aantal wegen van E naar C met een tussenstap is 1 · 1︸︷︷︸via A

+ 1 · 0︸︷︷︸via B

+ 0 · 0︸︷︷︸via C

+ 1 · 1︸︷︷︸via D

+ 0 · 0︸︷︷︸via E

= 2

We herkennen hierin een matrixproduct:

[1 1 0 1 0

]︸ ︷︷ ︸

vijfde rij van M

·

10010

︸︷︷︸derde kolom van M

=[2]

Of, meer algemeen:

M ·M =

0 0 1 0 01 0 0 1 10 1 0 1 00 0 1 0 11 1 0 1 0

·

0 0 1 0 01 0 0 1 10 1 0 1 00 0 1 0 11 1 0 1 0

=

∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ 2 ∗ ∗

(c) Het aantal verbindingen van A naar C met twee tussenstops is het (1, 3)-de element van de matrix M3. Weberekenen

M3 =

∗ ∗ 1 ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Het antwoord is dus 1.

A-101

Page 115: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

(d) De matrix M geeft het aantal verbindingen weer van X naar Y met nul tussenstops.De matrix M2 geeft het aantal verbindingen weer van X naar Y met een tussenstop.Dus de matrix M +M2 geeft het aantal verbindingen weer van X naar Y met ten hoogste een tussenstop. Weberekenen

M +M2 =

0 1 1 1 02 1 2 2 21 1 1 2 21 2 1 2 12 1 2 2 2

Omdat sommige elementen van deze matrix 0 zijn, is het niet mogelijk om via ten hoogste een tussenstap vanom het even welk eiland naar om het even welk eiland te gaan (bijvoorbeeld van A naar A).

Oefening 2. Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde.Na een jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van hetjaar voordien, en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren hetjaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jongedieren zijn en 30 volwassen dieren.

(a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf.

(b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar.

(c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren?

Oplossing.

(a) De graaf ziet er als volgt uit:

jong volwassen

0, 8

0, 5

0 0, 2

(b) Om de matrix te achterhalen, bepalen we eerst het aantal jonge en volwassen dieren na 1 jaar.

aantal jonge dieren na 1 jaar: 0 · 70 + 0, 5 · 30 = 15

aantal volwassen dieren na 1 jaar: 0, 8 · 70 + 0, 2 · 30 = 62

We herkennen hierin een matrixproduct:

[0 0, 5

0, 8 0, 2

]

︸ ︷︷ ︸P

·[7030

]=

[1562

]

Om het aantal dieren na vier jaar te berekenen:

P 4 ·[7030

]=

[14, 8415, 696

]

Na vier jaar zijn er ongeveer 15 jonge dieren en ongeveer 16 volwassen dieren.

(c) We berekenen bijvoorbeeld het aantal dieren na 25 jaar:

P 25 ·[7030

]=

[0, 022 . . .0, 033 . . .

]

Het aantal jonge en volwassen dieren evolueren beiden naar nul.

A-102

Page 116: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van demarkt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgendewijzigingen voor:

∗ Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest.

∗ Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest.

∗ Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.

We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet.

(a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf.

(b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices.

Oplossing.

(a) De graaf ziet er als volgt uit:

0, 85

B M

P

0, 05

0, 1

0.85 0, 55

0, 1

0, 1

0, 350, 05

(b) Om de overgangsmatrix M te achterhalen, bepalen we eerst het aantal klanten van B, P en M na 1 jaar.

aantal klanten van B na 1 jaar: 0, 85 · 0, 2 + 0, 1 · 0, 6 + 0, 1 · 0, 2 = ∗aantal klanten van M na 1 jaar: 0, 05 · 0, 2 + 0, 55 · 0, 6 + 0, 05 · 0, 2 = ∗aantal klanten van P na 1 jaar: 0, 1 · 0, 2 + 0, 35 · 0, 6 + 0, 85 · 0, 2 = ∗

We herkennen hierin een matrixproduct:

0, 85 0, 1 0, 10, 05 0, 55 0, 050, 1 0, 35 0, 85

︸ ︷︷ ︸M

·

0, 20, 60, 2

=

∗∗∗

Na bijvoorbeeld 100 jaar is de situatie als volgt:

M100 ·

0, 20, 60, 2

=

0, 40, 10, 5

Ook na 101 jaren, 102 jaren, etc. hebben we hetzelfde resultaat. Dus de markt bereikt een evenwicht: op denduur heeft maatschappij B 40% van de markt in handen, maatschappij M 10% van de markt en maatschappijP 50% van de markt.

A-103

Page 117: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Oefening 4. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en door eenlage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Lesie-model, de volgendegegevens zijn bekend:

∗ slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar,

∗ eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven,

∗ geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar,

∗ alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes.

(a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf.

(b) Stel de Lesie-matrix op.

(c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100000 eitjes. Hij laat zijnvangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?

Oplossing.

(a) De graaf ziet er als volgt uit:

eitjes eenjarigen tweejarigen0, 005 0, 4

800

(b) Om de Lesie-matrix M te achterhalen, bepalen we eerst het aantal eitjes, eenjarigen en tweejarigen na 1 jaar.

aantal eitjes na 1 jaar: 0 · 100 000 + 0 · 500 + 800 · 300 = ∗aantal eenjarigen na 1 jaar: 0, 005 · 100 000 + 0 · 500 + 0 · 300 = ∗aantal tweejarigen na 1 jaar: 0 · 100 000 + 0, 4 · 500 + 0 · 300 = ∗

We herkennen hierin een matrixproduct:

0 0 8000, 005 0 0

0 0, 4 0

︸ ︷︷ ︸Lesie-matrix M

·

100 000500300

=

∗∗∗

(c) Om de populatie na acht jaar te kennen, berekenen we

M8 ·

100 000500300

=

409 6003072512

Na acht jaar zijn er dus 409 600 eitjes, 3072 eenjarigen en 512 tweejarigen.

A-104

Page 118: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 5

HOE STUDEER JE EEN BEWIJS?

Inhoudsopgave

In te studeren bewijs (vijfde jaar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-106

In te studeren bewijs (zesde jaar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-107

A-105

Page 119: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

In te studeren bewijs (vijfde jaar)

Wat voorafging

Gevolg. Zij A een n× n matrix. Dan

het homogeen lineair stelsel A · x = 0 heeft een unieke oplossingm

rangA = nm

∀b ∈ Rn×1 : het lineair stelsel A · x = b heeft een unieke oplossing

Stelling met bewijs

Stelling. Zij A een n× n matrix. Dan geldt

A is inverteerbaar ⇔ rangA = n

Bewijs. Het bewijs bestaat uit twee delen.

Deel 1. Onderstel dat A inverteerbaar is. We moeten aantonen dat rangA = n.

Beschouw het homogeen lineair stelsel A ·

x1...xn

︸ ︷︷ ︸x

=

0...0

︸︷︷︸0

. Dan geldt

A · x = 0 ⇔ A−1 · (A · x) = A−1 · 0⇔ (A−1 ·A) · x = 0

⇔ En · x = 0

⇔ x = 0

Dus het lineair stelsel A · x = 0 heeft enkel de nuloplossing. Wegens het bovenstaand gevolg is rangA = n.

Deel 2. Onderstel dat rangA = n. We moeten aantonen dat A inverteerbaar is. Dus we moeten aantonen dat er eenmatrix B bestaat waarvoor

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

︸ ︷︷ ︸A

·

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

......

bn1 bn2 . . . bnn

︸ ︷︷ ︸B

=

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

......

0 0 . . . 1

︸ ︷︷ ︸En

Met andere woorden, we moeten aantonen dat er reele getallen bij bestaan waarvoor

A ·

b11b21...bn1

︸ ︷︷ ︸b1

=

10...0

︸︷︷︸e1

, A ·

b12b22...bn2

︸ ︷︷ ︸b2

=

01...0

︸︷︷︸e2

, . . . , A ·

b1nb2n...bnn

︸ ︷︷ ︸bn

=

00...1

︸︷︷︸en

Omdat rangA = n hebben de bovenstaande stelsels

A · b1 = e1, A · b2 = e2, . . . , A · bn = en

telkens een oplossing (wegens het bovenstaand gevolg). Dus er bestaat een matrix B waarvoor A ·B = En. Dus A isrechts-inverteerbaar. Wegens de vorige eigenschap is A inverteerbaar. Dit besluit het bewijs.

A-106

Page 120: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

In te studeren bewijs (zesde jaar)

Hoofdstelling 1 van de integraalrekening.Zij f een functie en a, b ∈ R zodat f continu is over [a, b]. Dan geldt

1. De oppervlaktefunctie A(t) tussen a en b is afleidbaar over ]a, b[ en A′(t) = f(t)

2.

∫ b

a

f(x)dx = A(b)

Schets van het bewijs.

1. Neem t ∈ ]a, b[. We moeten aantonen dat limh→0

A(t+ h)−A(t)

h= f(t)

Voor ‘kleine’ waarden van h wordt A(t + h) − A(t) gegeven door de gearceerde (georienteerde) oppervlakte opde linkerfiguur.

Anderzijds wordt h · f(t) gegeven door de gearceerde (georienteerde) oppervlakte op de rechterfiguur.

a t t+ h b

y

x

y = f(x)

A(t+ h)−A(t) = oppervlakte

a t t+ h b

h

f(t)

y

x

y = f(x)

f(t) · h = oppervlakte

Omdat h ‘klein’ is zal dus

A(t+ h)−A(t) ≈ h · f(t) waaruitA(t+ h)−A(t)

h≈ f(t)

Bij limietovergang vinden we (steunend op de continuıteit van f)

limh→0

A(t+ h)−A(t)

h= f(t)

waaruit blijkt dat de afgeleide A′(t) bestaat, en gelijk is aan f(t).

2. Omdat A(t) =

∫ t

a

f(x)dx is A(b) =

∫ b

a

f(x)dx.

A-107

Page 121: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 6

SAMENWERKEN

Inhoudsopgave

Toepassing 1 en 2

Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-109

Ingevulde versie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-111

Oefeningen 1-4

Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-113

Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-113

A-108

Page 122: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Toepassingen op lineaire stelsels en inverteerbare matrices - Opgave

Toepassing 1. Codeertheorie

We bespreken een eenvoudige manier om boodschappen te coderen en te decoderen.We willen bijvoorbeeld laten weten dat een vliegtuig geland is met behulp van deboodschap “NU GELAND”. We voegen aan elke letter een getal toe, namelijk zijnplaats in het alfabet

A B C D E F G H I J K L M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26�� ��Coderen

Om een boodschap te coderen gaan we als volgt te werk.

Stap 1. Groepeer de letters per twee, indien nodig vul je de booschap aan met een letter.In ons voorbeeld geeft dit

N U G E L A N D14 21 7 5 12 1 14 4

Stap 2. Kies een geheime 2× 2 matrix A die inverteerbaar is, bijvoorbeeld A =

[1 22 3

].

Stap 3. Codeer de getallen van de boodschap door te vermenigvuldigen met de matrix A.

In ons voorbeeld wordt “NU” gecodeerd als

[1 22 3

]·[1421

]=

[5691

]

Analoog voor “GE”, “LA”, “ND”. Dit geeft de gecodeerde boodschap

N U G E L A N D56 91 17 29 14 27 22 40�� ��Verzenden

We verzenden de code 56 91 17 29 14 27 22 40�� ��Decoderen

Om de code te decoderen dienen we over de matrix A te beschikken. Om het eerste paar cijfers 56 91 tedecoderen zoeken we de oplossingen van het stelsel

[1 22 3

]

︸ ︷︷ ︸A

·[x1x2

]=

[5691

]

Waarom heeft dit stelsel een unieke oplossing, en hoe kunnen we die oplossing vinden?

Het vliegtuig ontvangt de volgende instructie. Decodeer deze code.

41 67 41 68 19 33 70 115

Oplossing.

A-109

Page 123: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Toepassing 2. Vraagstukken

NiccoloFontanaTartaglia(1499 - 1557)

• Modelvoorbeeld 1 (Het probleem van Tartaglia). Drie jonge mensenhebben wat spaargeld. Zegt de eerste: “Als je mij elk de helft geeft van julliespaargeld dan kom ik aan 3400 euro”. Waarop de tweede: “Geef mij elk hetderde deel van jullie geld en dan kom ik ook aan 3400 euro”. De derde zegt:“Geef mij elk een vierde van wat jullie gespaard hebben dan kom ik ook aan3400 euro”. Hoeveel spaargeld heeft elk van hen?

Oplossing.

• Modelvoorbeeld 2. Een test bestaat uit 30 meerkeuzevragen. Om te quoterenvertrekt men met 30 punten. Een goed antwoord is 4 punten waard, antwoordje fout dan wordt 1 punt afgetrokken 1 en voor een blanco antwoord wordt niksaangerekend. Jan behaalde een score van 84 punten. In een nieuw systeemvertrekt men met 0 punten en krijg je voor een correct antwoord 5 punten.Voor een fout antwoord wordt niks aangerekend. Een blanco antwoord wordtgevalideerd met 2 punten. Jan behaalt in dit nieuw systeem een score van 93punten. Hoeveel vragen liet Jan blanco?

Oplossing.

1Het aftrekken van punten bij een foutief antwoord staat bij studenten bekend onder de term giscorrectie. Bij vragen met N keuze-mogelijkheden bestaat de meest rechtvaardige manier van giscorrectie erin om voor elk goed antwoord 1 punt te geven, voor elk blancoantwoord 0 punten te geven en voor elk fout antwoord 1/(N − 1) af te trekken.

A-110

Page 124: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Toepassingen lineaire stelsels en inverteerbare matrices - Ingevulde versie

Toepassing 1. Codeertheorie

We bespreken een eenvoudige manier om boodschappen te coderen en te decoderen.We willen bijvoorbeeld laten weten dat een vliegtuig geland is met behulp van deboodschap “NU GELAND”. We voegen aan elke letter een getal toe, namelijk zijnplaats in het alfabet

A B C D E F G H I J K L M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26�� ��Coderen

Om een boodschap te coderen gaan we als volgt te werk.

Stap 1. Groepeer de letters per twee, indien nodig vul je de booschap aan met een letter.In ons voorbeeld geeft dit

N U G E L A N D14 21 7 5 12 1 14 4

Stap 2. Kies een geheime 2× 2 matrix A die inverteerbaar is, bijvoorbeeld A =

[1 22 3

].

Stap 3. Codeer de getallen van de boodschap door te vermenigvuldigen met de matrix A.

In ons voorbeeld wordt “NU” gecodeerd als

[1 22 3

]·[1421

]=

[5691

]

Analoog voor “GE”, “LA”, “ND”. Dit geeft de gecodeerde boodschap

N U G E L A N D56 91 17 29 14 27 22 40�� ��Verzenden

We verzenden de code 56 91 17 29 14 27 22 40�� ��Decoderen

Om de code te decoderen dienen we over de matrix A te beschikken. Om het eerste paar cijfers 56 91 tedecoderen zoeken we de oplossingen van het stelsel

[1 22 3

]

︸ ︷︷ ︸A

·[x1x2

]=

[5691

]

Waarom heeft dit stelsel een unieke oplossing, en hoe kunnen we die oplossing vinden?

Het 2× 2 stelsel heeft een unieke oplossing omdat A inverteerbaar is (zie Gevolg pagina ??). Die oplossingkunnen we vinden door links te vermenigvuldigen met de inverse A−1

[x1x2

]= A−1 ·

[5691

]=

[−3 22 −1

]·[5691

]=

[1421

]NU

Het vliegtuig ontvangt de volgende instructie. Decodeer deze code.

41 67 41 68 19 33 70 115

Oplossing. We gaan te werk zoals hierboven:

A−1 ·[4167

]=

[1115

]KO

A−1 ·[4168

]=

[1314

]MN

A−1 ·[1933

]=

[95

]IE

A−1 ·[

70115

]=

[2025

]TY

Het vliegtuig ontvangt de instructie “KOM NIET”.

A-111

Page 125: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Toepassing 2. Vraagstukken

NiccoloFontanaTartaglia(1499 - 1557)

• Modelvoorbeeld 1 (Het probleem van Tartaglia). Drie jonge mensenhebben wat spaargeld. Zegt de eerste: “Als je mij elk de helft geeft van julliespaargeld dan kom ik aan 3400 euro”. Waarop de tweede: “Geef mij elk hetderde deel van jullie geld en dan kom ik ook aan 3400 euro”. De derde zegt:“Geef mij elk een vierde van wat jullie gespaard hebben dan kom ik ook aan3400 euro”. Hoeveel spaargeld heeft elk van hen?

Oplossing.

Noemen we

x1 = spaargeld eerste

x2 = spaargeld tweede

x3 = spaargeld derde

dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel

x1 +1

2x2 +

1

2x3 = 3400

1

3x1 + x2 +

1

3x3 = 3400

1

4x1 +

1

4x2 + x3 = 3400

We schrijven de geassocieerde matrix op, en bepalen de trapvorm met behulp van het grafisch rekenmachine.

[A | b] =

1 12

12 | 3400

13 1 1

3 | 340014

14 1 | 3400

∼ T =

1 0 0 | 10000 1 0 | 22000 0 1 | 2600

Antwoord. De eerste bezit 1000 euro, de tweede 2200 euro en de derde 2600 euro.

• Modelvoorbeeld 2. Een test bestaat uit 30 meerkeuzevragen. Om te quoterenvertrekt men met 30 punten. Een goed antwoord is 4 punten waard, antwoordje fout dan wordt 1 punt afgetrokken 1 en voor een blanco antwoord wordt niksaangerekend. Jan behaalde een score van 84 punten. In een nieuw systeemvertrekt men met 0 punten en krijg je voor een correct antwoord 5 punten.Voor een fout antwoord wordt niks aangerekend. Een blanco antwoord wordtgevalideerd met 2 punten. Jan behaalt in dit nieuw systeem een score van 93punten. Hoeveel vragen liet Jan blanco?

Oplossing.

Noemen we

g = aantal goede antwoorden

f = aantal foute antwoorden

b = aantal blanco

dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel

4g − f + 30 = 84

5g + 2b = 93

g + f + b = 30

4g − f = 54

5g + 2b = 93

g + f + b = 30

We schrijven de geassocieerde matrix op, en bepalen de trapvorm met behulp van het grafisch rekenmachine.

[A | b] =

4 −1 0 | 545 0 2 | 931 1 1 | 30

∼ T =

1 0 0 | 150 1 0 | 60 0 1 | 9

Antwoord. Jan liet 9 vragen blanco.

1Het aftrekken van punten bij een foutief antwoord staat bij studenten bekend onder de term giscorrectie. Bij vragen met N keuze-mogelijkheden bestaat de meest rechtvaardige manier van giscorrectie erin om voor elk goed antwoord 1 punt te geven, voor elk blancoantwoord 0 punten te geven en voor elk fout antwoord 1/(N − 1) af te trekken.

A-112

Page 126: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Oefeningen - Opgave

Calpe Costa Blanca,Spanje

Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 eenpersoonskamers geboektdoor Nederlanders, Fransen en Italianen. Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanderszijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlieten omde voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen alsNederlanders en Italianen samen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in hethotel?

Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de somvan de buitenste cijfers is 1 meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd danbekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.

Oefening 3. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkurennodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als devraag naar model B, en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elkmodel zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses?

?Oefening 4 (Het probleem van Bachet 2). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Een van hen verdubbeltmet een deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijncenten het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van deandere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?

Oefeningen - Oplossingen

Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 kamers geboekt door Nederlanders, Fransen en Italianen.Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanders zijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlietenom de voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen als Nederlanders en Italianensamen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in het hotel?

Oplossing.

Noemen we

n = aantal Nederlanders

i = aantal Italianen

f = aantal Fransen

dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel

n+ i+ f = 111

n = 2(f + i)

f = 2(n− 60 + i)

n+ i+ f = 111

n− 2f − 2i = 0

2n− f + 2i = 120

We schrijven de geassocieerde matrix op, en bepalen de trapvorm met behulp van het grafisch rekenmachine.

[A | b] =

1 1 1 | 1111 −2 −2 | 02 −1 2 | 120

∼ T =

1 0 0 | 740 1 0 | 340 0 1 | 3

Antwoord. In het hotel hadden 74 Nederlanders ingecheckt.

Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de som van de buitenste cijfers is 1meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd dan bekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.

Oplossing.

Een getal met drie cijfers kunnen we voorstellen als

x = a b c met a, b, c ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}

Merk op dat de waarde van het getal x dan gelijk is aan 100 · a+ 10 · b+ c.

Het vraagstuk vertaalt zich nu in het stelsel

a+ b+ c = 19

a+ b = c+ 1

100c+ 10b+ a = 100a+ 10b+ c− 198

a+ b+ c = 19

a− b+ c = 1

−99a+ 99c = −198

A-113

Page 127: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

We schrijven de geassocieerde matrix op, en bepalen de trapvorm met behulp van het grafisch rekenmachine.

[A | b] =

1 1 1 | 191 −1 1 | 1−99 0 99 | −198

∼ T =

1 0 0 | 60 1 0 | 90 0 1 | 4

Antwoord. Het getal is x = 694.

Oefening 3. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkurennodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als devraag naar model B, en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elkmodel zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses?

Oplossing.

Noemen we

a = aantal wagens van model A

b = aantal wagens van model B

c = aantal wagens van model C

dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel

52a+ 78b+ 94c = 260 · 32

a = 2b

c = 0, 1(a+ b+ c)

52a+ 78b+ 94c = 8320

a− 2b = 0

0, 1 a+ 0, 1 b− 0, 9 c = 0

We schrijven de geassocieerde matrix op, en bepalen de trapvorm met behulp van het grafisch rekenmachine.

[A | b] =

52 78 94 | 83201 −2 0 | 0

0, 1 0, 1 −0, 9 | 0

∼ T =

1 0 0 | 780 1 0 | 390 0 1 | 13

Antwoord. Per week moet men 78 wagens van model A, 39 wagens van model B en 13 wagens van model Cproduceren.

?Oefening 4 (Het probleem van Bachet). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Een van hen verdubbelt meteen deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijncenten het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van deandere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?

Oplossing.

We noemen

x1 = spaargeld eerste

x2 = spaargeld tweede

x3 = spaargeld derde

We stellen de evolutie van de spaarcenten voor:

begin 1 verdubbelt 2 en 3 2 verdubbelt 1 en 3 3 verdubbelt 1 en 2

x1 x1 − x2 − x3 2(x1 − x2 − x3)︸ ︷︷ ︸2x1−2x2−2x3

2(2x1 − 2x2 − 2x3)

x2 2x2 2x2 − (x1 − x2 − x3)− 2x3︸ ︷︷ ︸−x1+3x2−x3

2(−x1 + 3x2 − x3)

x3 2x3 4x3 4x3 − (2x1 − 2x2 − 2x3)− (−x1 + 3x2 − x3)

Op die manier verkrijgen we het stelsel

2(2x1 − 2x2 − 2x3) = 8000

2(−x1 + 3x2 − x3) = 8000

4x3 − (2x1 − 2x2 − 2x3)− (−x1 + 3x2 − x3) = 8000

4x1 − 4x2 − 4x3 = 8000

−2x1 + 6x2 − 2x3 = 8000

−x1 − x2 + 7x3 = 8000

We schrijven de geassocieerde matrix op, en bepalen de trapvorm met behulp van het grafisch rekenmachine.

[A | b] =

4 −4 −4 | 8000−2 6 −2 | 8000−1 −1 7 | 8000

∼ T =

1 0 0 | 130000 1 0 | 70000 0 1 | 4000

Antwoord. De eerste had 13000 euro, de tweede 7000 euro en de derde 4000 euro.

A-114

Page 128: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 7

EEN WETENSCHAPPELIJK VERSLAG SCHRIJVEN

Inhoudsopgave

Voorbeeld van een wetenschappelijk verslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-116

Onderwerp (taken 11.3, 11.4 en 11.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-118

Verslag dat een leerling enkele jaren terug gemaakt heeft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-120De leerlingen krijgen dit verslag, het kan hun helpen om de taken uit het handboek te maken. Omdat het verslagvan deze leerling niet zo goed is, ervaren ze hoe belangrijk het is om een goed verslag te kunnen schrijven.

A-115

Page 129: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Vijfbew

ijzenvoor

deirrationaliteitvan√2

Een

verslagtendienstevandeleerlingenvan5aGW

i8-5aLW

i8-5bW

Wi8

door

Koen

DeNaegh

el

Onze-Lieve-Vrouwecollege

Assebroek,27

februari2011

Samenvatting

Indit

verslagbespreken

ween

kele(alternatieve)

bew

ijzenvanhet

feit

dat√2eenirrationaalgetalis.

Inhoudso

pgave

1In

leid

ing

1

2K

lass

iek

bew

ijs

2

3G

ron

dst

ell

ing

van

de

geta

llen

leer

2

4O

nd

erl

ing

pri

em

3

5M

eetk

un

dig

bew

ijs

en

de

alg

eb

raıs

che

tegen

han

ger

35.

1A

lgeb

raıs

chb

ewij

s.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

35.

2M

eetk

undig

bew

ijs

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.3

6Ir

rati

on

ali

teit

van

an

dere

geta

llen

en

op

en

pro

ble

men

4

1In

leid

ing

Inee

nvie

rkan

tm

etzi

jde

1heb

ben

de

dia

gonale

nee

nle

ngt

ed

waar

voor

het

kw

adra

at

gelijk

isaa

n2.

Imm

ers,

sam

enm

ettw

eeaan

ligge

nde

zijd

envo

rmt

een

dia

gonaal

een

rech

thoek

ige

dri

ehoek

,en

uit

de

stel

ling

van

Pyth

agor

asvol

gt

12+

12

=d2⇒

d2

=2

Len

gte

isp

osit

ief,

dusd>

0.

Het

get

ald

noem

tm

ende

(posi

tiev

e)vie

rkants

wort

elva

n2,

ennot

eert

men

met√

2.D

edec

imal

evo

orst

elling

van√

2b

egin

tal

svo

lgt:

√2

=1,

414

213

562

373

095

048

801

688

724

209...

1

1

√2

De

Pyth

ago

reer

s1on

tdek

ten

dat

de

lengted

=√

2va

nzo

’ndia

gonaa

lzi

chnie

tra

tion

aal

ver

houdt

tot

de

lengt

esder

zijd

en.

Dit

isw

at

men

bed

oel

tm

et√

2is

een

irra

tionaa

lge

tal:

erb

esta

angee

nnatu

url

ijke

get

alle

nm,n

waar

voor

gel

dt

dat√

2=m n

.

1H

etee

rste

bew

ijs

van

het

bes

taan

van

irra

tion

ale

get

allen

word

tm

eest

al

toeg

esch

reven

aan

een

wis

ku

nd

ige

uit

de

Pyth

agora

eısc

he

sch

ool

(mogel

ijk

Hip

pasu

svan

Met

ap

ontu

m).

Hip

pasu

sw

erd

nie

tgep

reze

nvoor

zijn

bew

ijs:

volg

ens

een

legen

de

dee

dh

ijzi

jnontd

ekkin

gte

rwij

lh

ijop

zee

was,

enzi

jnco

lleg

aP

yth

agore

ers

zou

den

hem

ver

volg

ens

pro

mp

tover

boord

heb

ben

gek

iep

erd

.D

itvoor

het

feit

dat

hij

een

elem

ent

inh

etu

niv

ersu

mh

ad

gev

on

den

dat

de

leer

ontk

end

ed

at

alle

fen

om

enen

inh

eth

eela

lku

nn

enw

ord

ente

ruggeb

rach

tto

tgeh

ele

get

allen

enhu

nver

hou

din

gen

.

1

Waa

rom

vonden

de

Pyth

agor

eers

het

bes

taan

van

irra

tion

ale

get

allen

zoafs

tote

lijk

?O

mdat

zij

erva

nov

ertu

igd

ware

ndat

elk

lijn

stuk

[AB

]ka

nve

rgel

eken

wor

den

met

een

lijn

stuk

met

lengt

e1,

enw

elals

volg

t:

(1)

Tek

enon

der

lijn

stuk

[AB

]ee

nlijn

stuk

[CD

]m

etle

ngt

e1.

(2)

Als

jenam

her

halinge

nva

nhet

lijn

stuk

[CD

]de

lengte

van

het

lijn

stuk

[AB

]b

ekom

t,dan

is|AB|=

m·1

=m

.A

lsdat

nie

tzo

is:

verd

ubb

ellijn

stuk

[AB

].

(2.1

)A

lsje

nam

her

halinge

nva

nhet

lijn

stuk

[CD

]het

dubb

ele

van

de

lengte

van

het

lijn

stuk

[AB

]b

ekom

t,dan

is2|AB|=

m·1

,dus|AB|=

m 2.

(2.2

)A

lsdat

nie

tzo

is:

bes

chouw

het

dri

evoud

van

het

lijn

stuk

[AB

].

(2.2

.1)

etc.

AB

...

1keer

nkeer

1...

CD

1keer

mkeer

De

lijn

stukke

n[CD

]die

opdez

em

anie

rin

een

eindig

aanta

lst

app

enkunnen

gem

eten

wor

den

,vo

ldoen

aan

n·|A

B|=

m·1

,dus|AB|=

m nw

aar

bijn

het

aan

talher

hal

inge

nva

n[AB

]enm

het

aan

talher

hal

inge

nva

n[CD

]is

.T

ot

verb

azin

g

van

de

Pyth

agor

eers

war

ener

lijn

stukke

ndie

nie

top

dez

em

anie

rkunnen

gem

eten

word

en.

2K

lass

iek

bew

ijs

Het

kla

ssie

kb

ewij

sva

nde

irra

tion

alit

eit

van√

2gaa

tte

rug

naa

rA

rist

ote

les,

enve

rsch

een

inhet

boek

Elemen

ten

van

Eucl

ides

.

Eerstebewijs.

Onder

stel

uit

het

onge

rijm

de

dat

eree

nra

tion

aal

geta

lr∈Q

isw

aarv

oorr2

=2.

We

schri

jven

r=p/q

met

p,q∈Z

enw

em

ogen

onder

stel

len

datp

enq

onder

ling

pri

emzi

jni.e.

zeheb

ben

gee

ndel

ers

gem

een

(beh

alve

1en−

1).

Dan

isp2

=2q

2.

Om

dat

2ee

ndel

eris

van

2q2

isdus

2ook

een

del

erva

np2.

Om

dat

2ee

npri

emge

tal

is,

is2

met

een

ook

een

del

erva

np,

dusp

=2s

voor

een

gehee

lge

tals.

Subst

ituer

eninp2

=2q2

leve

rt4s2

=2q

2dus

2s2

=q2

.E

rvo

lgt

dat

2ee

ndel

eris

vanq2

endus

ook

vanq.

Een

stri

jdig

hei

dm

eton

zeon

der

stel

ling

datp

enq

gee

ndel

ergem

een

had

den

.W

eb

eslu

iten

dat√

2ir

rati

onaa

lis

.

Een

uit

bre

idin

gva

ndit

bew

ijs

lever

tdat√n

irra

tionaa

lis

voor

elk

nat

uurl

ijk

get

aln

dat

nie

thet

kw

adra

atis

van

een

nat

uurl

ijk

geta

l.

3G

rondst

ellin

gvan

de

geta

llenle

er

Het

volg

end

bew

ijs

steu

nt

op

de

eige

nsc

hap

dat

elk

geh

eel

geta

lte

schri

jven

isal

see

npro

duct

van

pri

emget

allen

.B

oven

die

nis

dez

esc

hri

jfw

ijze

,op

de

teke

ns

ende

volg

orde

van

de

pri

emen

na,

unie

k.

Voorbeeld.

−15

=(−

5).3

=5.

(−3)

=(−

3).5

=3.

(−5)

Dez

est

elling

staa

tb

eken

dals

de

Gro

ndst

elling

uit

de

get

allen

leer

enw

ordt

toeg

ewez

enaa

nE

ucl

ides

2.

Tweedebewijs.

Onder

stel

uit

het

onger

ijm

de

dat

eree

nra

tion

aal

geta

lr∈Q

isw

aarv

oorr2

=2.

We

schri

jven

r=p/q

met

p,q∈Z

Dan

isp2

=2q

2.

Nu

ontb

inden

wep

enq

inee

npro

duct

van

pri

emge

tallen

.E

lkpri

emge

tal

inde

ontb

indin

gva

np

kom

ttw

eem

aal

voor

inde

ontb

indin

gva

np2,

dusp2

hee

ftee

nev

enaa

nta

lpri

emfa

ctore

n.

Analo

og

hee

ftq2

een

even

aanta

lpri

emfa

ctore

n.

Maa

rdan

hee

ft2q2

een

onev

enaa

nta

lpri

emfa

ctor

en.

Str

ijdig

met

het

feit

datp2

=2q2

want

p2

hee

ftee

nev

enaa

nta

lpri

emfa

ctor

en.

2H

oew

elE

ucl

ides

dit

ner

gen

sex

plici

etn

eerg

esch

reven

had

.D

eze

eigen

sch

ap

wer

dvoor

het

eers

tgef

orm

ule

erd

door

Gau

ss1801

inzi

jnb

aanb

reken

de

doct

ora

ats

thes

isDisqu

isitiones

arithmeticae.

2

Page 130: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

4O

nderl

ing

pri

em

Het

der

de

bew

ijs

maa

kt

geb

ruik

van

de

volg

ende

eige

nsc

hap

:als

twee

gehel

eget

allen

geen

pri

emfa

ctor

enge

mee

nheb

ben

,dan

heb

ben

hun

kw

adra

ten

ook

geen

pri

emfa

ctor

enge

mee

n.

Derdebewijs.

Onder

stel

uit

het

onger

ijm

de

dat

eree

nra

tionaa

lge

talr∈Q

isw

aar

voorr2

=2.

We

schri

jven

r=p/q

met

p,q∈Z

enw

em

oge

non

der

stel

len

datp

enq

onder

ling

pri

emzi

jni.e.

zeheb

ben

geen

del

ers

gem

een

(beh

alve

1en−

1).

We

mog

ente

vens

onder

stel

len

datq6=

1en

q6=−

1,

ander

szo

uer

een

geh

eel

geta

lp

zijn

waa

rvoorp2

=2

wat

duid

elij

knon

sens

is.

Zeg

gen

datp

enq

geen

del

erge

mee

nheb

ben

bet

eken

t:al

sw

ede

pri

emontb

indin

gva

np

enq

nee

rsch

rijv

enals

p=p1·p

2·...·pk

enq

=q 1·q

2·...·ql

dan

iser

gee

nen

kelepi

(met

1≤i≤k)

gelijk

aan

eenq j

(voor

1≤j≤l)

.D

us

heb

ben

ookp2

enq2

geen

pri

emdel

ers

gem

een

heb

ben

inhun

pri

emon

tbin

din

g.M

etander

ew

orden

,w

ekunnen

nie

tsc

hra

pp

enin

de

bre

ukp2/q

2,

laat

staa

ndat

we

dez

ekunnen

schra

pp

ento

tw

e2

bek

omen

!

5M

eetk

undig

bew

ijs

en

de

alg

ebra

ısch

ete

genhanger

Hie

rb

espre

ken

we

een

mee

tkundig

eco

nst

ruct

iedie

de

irra

tion

alite

itva

n√

2aa

nto

ont.

Het

mee

tkundig

bew

ijs

gaat

teru

gnaar

de

Gri

ekse

oudhei

d.

Voor

de

duid

elij

khei

dvo

lgt

eers

tde

alge

bra

ısch

ete

genhan

ger.

5.1

Alg

eb

raıs

chb

ew

ijs

Vierdebewijs.

Onder

stel

uit

het

onge

rijm

de

dat

we

eenp′ ,q′∈

Nkunnen

vin

den

waar

voor√

2=p′ /q′

.V

an

al

zo’n

mog

elij

kepare

n(p

′ ,q′

)nem

enw

ehet

paa

r(p,q

)w

aar

voor

deq

min

imaa

lis

.M

etan

der

ew

oord

en,

noem

enw

eS

de

verz

am

elin

g

S={q

′∈N|

erb

esta

atee

np′∈N

waar

voor√

2=p′ q′}⊂

N

dan

is,

uit

het

onder

stel

de,S

nie

t-le

dig

endus

kunnen

we

het

min

imum

vanS

nem

en.

Dat

min

imum

noem

enw

eq.

Zijp∈N

een

bij

hor

end

nat

uurl

ijk

geta

lw

aarv

oor√

2=p/q

.D

an

vol

gtuit

de

ongel

ijkhed

en1<√

2<

2ge

makke

lijk

datq<p

enp<

2q.

Uit

dat

laats

tevol

gtp−q<q.

We

ver

kri

jgen

nu

2q−p

p−q

=2−

p qp q−

1dee

lte

ller

ennoem

erdoorq

=2−√

2√

2−

1w

ant√

2=p q

=(2−√

2)(√

2+

1)

(√2−

1)(√

2+

1)

verm

enig

vuld

igte

ller

ennoem

erm

et√

2+

1

=2√

2+

2−

(√2)2−√

2

(√2)2−

1

=√

2

Maar

dan

is2q−p

p−q∈S

,w

aar

bij

de

noem

erst

rikt

kle

iner

isdan

q.Str

ijdig

,w

antq

ishet

min

imum

vanS

.

5.2

Meetk

un

dig

bew

ijs

Hie

rvo

lgt

het

bew

ijs

waa

rmee

Gri

ekse

mee

tkundig

enb

ewez

endat√

2ir

rati

onaal

is.

Het

ach

terl

igge

nd

idee

is:

gege

ven

een

gel

ijkb

enig

ere

chth

oek

ige

dri

ehoek

waa

rvan

alle

zijd

ennatu

url

ijke

geta

llen

zijn

,dan

kan

men

stee

ds

een

kle

iner

ege

lijk

ben

ige

rech

thoek

ige

dri

ehoek

kan

const

ruer

enw

aarv

oor

alle

zijd

ennog

stee

ds

nat

uurl

ijke

get

alle

nzi

jn.

Vijfdebewijs.

Onder

stel

uit

het

onge

rijm

de

2=p2/q

2m

etp,q∈N

waar

bijq

teru

gm

inim

aal

is.

Sta

p1.

Er

bes

taat

een

rech

thoek

ige

dri

ehoek

waa

rbij

de

lengte

van

elke

rech

thoek

szij

dep

is,en

de

lengt

eva

nde

schuin

ezi

jdeq

is.

Inder

daad

,uit

2=p2/q2

volg

tq2

+q2

=p2,

enw

egen

sde

Ste

llin

gva

nP

yth

ago

ras

volg

thet

bes

taan

van

zo’n

dri

ehoek

.

Mer

kop

dat

zo’n

rech

thoek

ige

dri

ehoek

ook

gel

ijkb

enig

is,

endat

de

zijd

enals

lengte

nat

uurl

ijke

get

allen

heb

ben

.O

mdat

weq

min

i-m

aalheb

ben

gek

oze

n,is

dit

dez

edri

ehoek

de

kle

inst

ere

chth

oek

ige

gel

ijkb

enig

edri

ehoek

waar

voor

de

zijd

ennat

uurl

ijke

get

allen

zijn

.

q

q

p

3

Sta

p2.

Met

beh

ulp

van

een

pas

ser

ver

del

enw

ede

schuin

ezi

jde

intw

eelijn

stukke

n,

waar

van

de

lengt

eva

nhet

ene

gelijk

isaa

nq,

endus

isde

lengt

eva

nhet

ander

ege

lijk

isaa

np−q.

q

qq

p−q

Sta

p3.

Met

beh

ulp

van

een

pass

erve

rdel

enw

eee

nre

chth

oek

-sz

ijde

intw

eelijn

stukke

n,

waar

van

de

lengte

van

het

ene

gelijk

isaa

np−q,

endus

isde

lengt

eva

nhet

ander

egel

ijk

isaan

q−

(p−q)

=2q−p.

q

q

p−q

p−q

2q−p

Sta

p4.

Door

de

geco

nst

ruee

rde

punte

nte

verb

inden

vorm

tzi

chee

nnie

uw

e,kle

iner

edri

ehoek

.W

eb

ewer

endat

dez

edri

ehoek

een

rech

thoek

ige,

gel

ijkb

enig

edri

ehoek

isw

aarv

oor

de

zijd

ende

nat

uurl

ijke

geta

llen

zijn

enw

aar

voor

de

lengt

eva

nde

rech

thoek

-sz

ijde

stri

kt

kle

iner

datq

is.

Dit

zal

inst

rijd

zijn

met

het

feit

dat

datq

min

imaa

lis

.

Om

aan

teto

nen

dat

de

kle

ine

dri

ehoek

rech

thoek

igen

gelijk

be-

nig

is,

vols

taat

het

omaa

nte

tonen

dat

de

kle

ine

dri

ehoek

gel

i-jk

vorm

igis

met

de

gro

tedri

ehoek

.D

evra

ag

isdus

ofde

volg

ende

verh

oudin

gen

van

de

lengte

sva

nde

volg

ende

zijd

engel

ijk

zijn

:

kort

ezi

jde

gro

te

kort

ezi

jde

kle

ine

? =la

nge

zijd

egr

ote

lange

zijd

ekle

ine

dit

iseq

uiv

alen

tm

etde

vra

ag:

q

p−q

? =p

2q−p

q

q

p−q

p−q

2q−p

Maa

rdit

gelijk

waa

rdig

met

2=p2 q2

,pre

cies

onze

ver

onder

stel

ling!

We

bes

luit

endat

de

kle

ine

dri

ehoek

gelijk

vorm

igis

met

de

grot

e,en

dus

rech

thoek

igen

gelijk

ben

igis

.

6Ir

rati

onalite

itvan

andere

geta

llen

en

op

en

pro

ble

men

In17

61b

ewee

sL

am

ber

tdatπ

=3,

14...

ene

=2,

71...

irra

tionaa

lzi

jn,

also

oker

voorr∈

Q,r6=

0.D

itla

ats

tew

asnog

alee

ndubie

us

bew

ijs

enw

erd

oppunt

gez

etdoor

Leg

endre

in179

4.

Nadie

nw

erd

de

irra

tion

alite

itva

nander

ege

tallen

enco

mbin

ati

esaa

nget

oon

d,

zoal

sπr

(voorr∈

Q,r6=

0)en

eπ.

Een

gro

tesp

rong

voor

waar

tsw

erd

in1934

gem

aakt

door

Gel

fond

enSch

nei

der

.Z

ijto

onden

onafh

anke

lijk

van

elka

araa

ndatab

stee

ds

een

irra

tionaa

lget

al

is,

zola

ng

(1)a

enb

oplo

ssin

gen

zijn

van

een

verg

elij

kin

gm

etgeh

ele

coeffi

cien

ten

en,

(2)a6=

0en

a6=

1,en

(3)b

een

irra

tion

aal

geta

lis

.H

un

resu

ltaat

toont

de

irra

tion

alite

itaan

onder

ander

e

2√2

√2√

22π

2e...

Het

isec

hte

rnog

stee

ds

onb

eken

dofπ

+e

ofπ−e

irra

tionaa

lzi

jnof

nie

t.In

feit

eis

erge

enen

kel

paa

r(m,n

)va

nnie

t-nul

gehel

ege

tallen

m,n

bek

end

waar

voor

men

wee

tofmπ

+ne

irra

tionaa

lis

of

nie

t.V

erder

ishet

ook

onb

eken

d

of2e,πe

ofπ√2

aldan

nie

tir

rati

onaal

zijn

.

4

Page 131: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing
Page 132: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing
Page 133: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing
Page 134: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing
Page 135: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 8

ONDERZOEKSOPDRACHT (1)

Inhoudsopgave

Onderzoeksvraag - Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-123

A-122

Page 136: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Onderzoeksvraag - Oplossingen

Onderzoeksvraag. Zoek bewijzen met behulp van interferentieregels (dus niet met waarheidstabellen) voor devolgende logische wetten.

(a) P ∧Q ` P ∨Q

(b) (P ∨Q)⇒ (R ∧ S), P ` R

(c) ¬(¬P ), (P ∨Q)⇒ R,S ` R ∧ S

(d) P ⇔ Q,Q ∨R,R⇒ P ` P?(e) P ⇒ Q,¬Q ` ¬P?(f) P ⇒ (Q ∧R), P ⇒ ¬R ` ¬P

Oplossing.

(a) P ∧Q ` P ∨Q1 P ∧Q PREM

2 P 1;SIM

3 P ∨Q 2; ADD

(b) (P ∨Q)⇒ (R ∧ S), P ` R1 (P ∨Q)⇒ (R ∧ S) PREM

2 P PREM

3 P ∨Q 2; ADD

4 R ∧ S 1,3; MP

5 R 4; SIM

(c) ¬(¬P ), (P ∨Q)⇒ R,S ` R ∧ S1 ¬(¬P ) PREM

2 (P ∨Q)⇒ R PREM

3 S PREM

4 P 1; DN

5 P ∨Q 4; ADD

6 R 2,5; MP

7 R ∧ S 6,3; CONJ

(d) P ⇔ Q,Q ∨R,R⇒ P ` P1 P ⇔ Q PREM

2 Q ∨R PREM

3 R⇒ P PREM

4 Q⇒ P 1; GE

5 P 2,4,3; DIL

(e) P ⇒ Q,¬Q ` ¬P1 P ⇒ Q PREM

2 ¬Q PREM

3 P HYP4 ¬Q 2; REIT

5 P ⇒ (¬Q) 3,4;VB

6 ¬P 1,5; RAA

(f) P ⇒ (Q ∧R), P ⇒ ¬R ` ¬P1 P ⇒ (Q ∧R) PREM

2 P ⇒ ¬R PREM

3 P HYP4 P ⇒ (Q ∧R) 1; REIT5 Q ∧R 3,4; MP6 R 5; SIM

7 P ⇒ R 3,6;VB

8 ¬P 2,7; RAA

A-123

Page 137: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 10

ONDERZOEKSOPDRACHT (3)

Inhoudsopgave

Opdracht: Wiskundig door de bocht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-125

A-124

Page 138: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Wiskundig door de bocht1

Inleiding

Soms dringt wiskunde zich spontaan op, bijvoorbeeld in een stukje speelgoed. Je hoeft het alleen maar ter hand tenemen om uren te construeren en aan de hand daarvan te redeneren en te rekenen. Bij dit onderwerp gaan we datdoen aan de hand van een set van zogenaamde ‘elleboogjes’.

elleboogje

Een elleboogje is een kwartcirkel. Met een klik kunnen de elleboogjes worden geschakeld. Webekijken alleen gesloten schakelingen van elleboogjes (dus zonder begin- en eindpunt). Zo’ngesloten schakeling noemen we een circuit. Onderstaande foto’s tonen een aantal voorbeeldenvan circuits. Je ziet vier vlakke circuits, bestaande uit 8, 12, 16 en 28 elleboogjes: ze kunnenplat op tafel worden gelegd.

8-circuit 12-circuit 16-circuit 28-circuit

niet vlak

Maar hiernaast is ook een ruimtelijk circuit gegeven met 7 elleboogjes. Deze vorm kan nietplat op tafel gelegd worden. We noemen een circuit dus alleen vlak als alle elleboogjes vanhet circuit in hun geheel plat op tafel liggen. Om misverstanden te voorkomen: de tweeonderstaande foto’s tonen twee circuits met 8 elleboogjes. Links is sprake van een vlakcircuit; rechts ligt het circuit niet in zijn geheel plat op tafel en daarom is het dus niet vlak.

vlak niet vlak

Wiskundige representaties van elleboogjes

gezamelijke raaklijn

De elleboogjes kunnen we wiskundig representeren als kwartcirkels met straal 1.Bij deze wiskundige weergave verwaarlozen we de dikte van het materiaal vande elleboogjes. In de verbindingen zitten de kwartcirkels met hun eindpuntenaan elkaar en hebben daar een gezamenlijke raaklijn. Soms lijkt een plasticcircuit wel te kunnen (met een beetje wringen), maar als je het op bovenstaandewijze met kwartcirkels probeert weer te geven, blijkt het wiskundig gezien nietmogelijk. Wij zullen dat dan niet als ‘circuit’ erkennen. De raaklijneigenschapvan de wiskundige representatie betekent voor de concrete elleboogjes: vantwee geschakelde elleboogjes sluiten de grensvlakken naadloos op elkaar aan.Een wiskundige omschrijving van een circuit van n elleboogjes (met n ∈ N) luidt dus:

Een n-circuit is een gesloten kromme, bestaande uit n kwartcirkels die in alle verbindingspuntensteeds een gezamenlijke raaklijn hebben.

snavel en dubbelpunt

Het lijkt overbodig (omdat de elleboogjes het niet toelaten), maar wiskundigmoet het nog worden uitgesloten: in een gesloten kromme staan we geen ’sna-vels’ toe en ook geen ‘dubbelpunten’.

1Wiskunde B-dag opgave 2003, Freudenthal instituut 1991-2010.

A-125

Page 139: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Opgave

Bij deze onderzoeksopdracht ga je op zoek naar mogelijkheden en onmogelijkheden van vlakke en ruimtelijke circuitsvan elleboogjes en eigenschappen daarvan. Het setje van 24 elleboogjes is bedoeld om daadwerkelijk constructies uit tevoeren die het denken en redeneren over circuits in algemene zin (dus ook voor circuits met meer dan 24 elleboogjes)kunnen ondersteunen. De opdracht is gesplitst in drie delen.

In deel A worden de vlakke circuits onderzocht. In deel B worden ruimtelijke circuits bekeken die aan bepaaldevoorwaarden moeten voldoen; je krijgt daar dus maar beperkt de ruimte. Daarna krijg je in deel C de volledig vrijeruimte. De genummerde vragen in de delen A, B en C zijn bedoeld om richting te geven aan je onderzoekingen. Zehoeven niet in de gegeven volgorde bekeken te worden; het werk daaraan kan ook worden verdeeld binnen de groep.In elk deel worden ook algemene vragen gesteld. Dat zijn de onderzoeksvragen waarmee je jezelf kunt onderscheidenvan anderen in wiskundige diepgang en volledigheid.

Eindopdracht

Van je bevindingen in de delen A, B en C maak je een zelfstandig leesbaar werkstuk. Dit houdt in dat een lezer,die zelf beschikt over een setje elleboogjes, aan de hand van je verslag duidelijk zicht krijgt op de mogelijkheden,onmogelijkheden en eigenschappen van vlakke en ruimtelijke circuits. In het verslag speelt de volgorde van de vragenzoals ze in deze onderzoeksopdracht zijn gezet geen enkele rol. Zorg er wel voor dat je bevindingen bij de verschillendevragen aan bod komen, maar voorkom dat je verslag alleen maar een beantwoording is van de afzonderlijke vragen.

Deel A: Vlakke circuits

Duidelijk is dat het kleinst mogelijke vlakke circuit uit vier elleboogjes bestaat. We noemen dit een vlak 4-circuit.

Vlakke n-circuits

Een vlak n-circuit is dus een gesloten kromme zonder dubbelpunten van precies n elleboogjes, waarvan alle elleboogjesplat op tafel liggen. In dit deel bekijken we eerst welke vlakke n-circuits mogelijk zijn. Je hebt de beschikking over eensetje van 24 echte elleboogjes om mee te experimenteren. Bedenk dat een deel van de vragen ook gaat over waardenvan n die groter zijn dan 24.

1. Leg met 8 elleboogjes een vlak 8-circuit. Zijn er meerdere mogelijkheden? Geef ook alle mogelijkheden voor eenvlak 12-circuit. Toon daarbij overtuigend aan dat je ze allemaal hebt gevonden.

2. Circuits daadwerkelijk maken is een kwestie van proberen. Daarbij zal het setje elleboogjes zeker helpen. Maarop papier communiceren over een circuit, zonder dat je daarbij steeds zo’n circuit tekent, is een ander verhaal.Bij het beantwoorden van veel vragen is het daarom nuttig om een manier te hebben waarmee je een willekeurigcircuit kunt beschrijven. Dat kan op velerlei manieren. Aan jullie de taak om zelf een handige beschrijvingswijzete zoeken, waarmee je makkelijk kunt communiceren. Zorg er wel voor dat je de gekozen beschrijving preciesvastlegt voor de lezer.

3. Je kunt heel wat 16-circuits maken. Bedenk een systematiek om ze allemaal te vinden en beschrijf die systematiek.

4. Met een oneven aantal elleboogjes kun je nooit een vlak circuit leggen. Leg dat uit.

schakeling

5. Maak een schakeling van drie elleboogjes. De grenspunten nummeren we0, 1, 2 en 3 zoals hier schematisch is weergegeven. Houd nu de punten 0en 1 (dus het eerste elleboogje) vast. Beschrijf waar de eindpunten vanvolgende elleboogjes 2, 3, 4, . . . dan kunnen komen te liggen, inclusief derichting waarin een nieuw elleboogje in zo’n eindpunt moet aansluiten.

6. Is een vlak 6-circuit mogelijk?

Algemene vraag I. Voor welke waarden van n is een vlak n-circuit mogelijk? Kun je dit ook hard maken?

Bonusvraag. Gegeven een waarde n, stel een formule op die het aantal verschillende mogelijkheden geeft voorhet maken van een vlak n-circuit.

A-126

Page 140: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Omsloten oppervlakte van een vlak n-circuit

We bekijken nu alleen de wiskundige representatie van de elleboogjes, waarbij de materiele dikte van de elleboogjeswordt verwaarloosd. Dat zijn kwartcirkels met straal 1. De omsloten oppervlakte van het 4-circuit is dus π. Natuurlijkhangt de oppervlakte van een vlak n-circuit samen met de waarde van n, maar daarnaast is ook de vorm van hetcircuit van invloed op de omsloten oppervlakte.

7. Laat zien dat de oppervlakte binnen een vlak 8-circuit gelijk is aan π + 4.

Algemene vraag II. Wat is de maximale oppervlakte die kan voorkomen bij vlakke n-circuits? En wat is deminimale waarde? Bewijs dit.

Bonusvraag. Gegeven een willekeurig vlak n-circuit, stel een formule op die de oppervlakte geeft, eventueel infunctie van parameters die geassocieerd worden met de vorm van het n-circuit.

Deel B: Beperkte ruimte

Met de elleboogjes kunnen ook ruimtelijke circuits worden gevormd. In de ruimte heb je eindeloos veel constructie-mogelijkheden, omdat een elleboogje dat vast zit aan een ander in de ruimte over elke hoek kan worden gedraaid.Daarom leggen we in dit deel voorlopig een beperking aan de bewegingsruimte op:

De elleboogjes liggen in de vlakken van een kubisch rooster, met de eindpunten van de elleboogjessteeds op de middens van ribben van de kubussen van dat rooster.

deel van een circuit op een kubischrooster

Hiernaast is een klein deel van zo’n kubisch rooster getekend, met daarin eenvoorbeeld van 5 geschakelde elleboogjes die aan de eis voldoen. In principe zijnde kubussen van zo’n rooster ook stapelbaar.

8. Er zijn twee verschillende ruimtelijke 6-circuits mogelijk die aan de ge-stelde beperking voldoen. Probeer ze te maken en beschrijf ze met behulpvan het rooster. Onderzoek welke 8- en 10-circuits voldoen aan de opge-legde beperking.

9. Is het mogelijk een ruimtelijk n-circuit te maken, binnen de beperkingenvan het rooster, voor oneven waarden van n? Leg uit.

Algemene vraag III. Voor welke waarden van n is een ruimtelijk n-circuit op een kubisch rooster mogelijk? Kunje dit ook hard maken?

Deel C: De vrije ruimte

In dit deel krijg je echt vrije speelruimte. Zoals eerder is gezegd maakt dat het geheel veel complexer, omdat er zoveelbewegingsvrijheid is. Bij onbeperkte bewegingsruimte blijken ook ruimtelijke circuits mogelijk voor bepaalde onevenwaarden van n. Bij het experimenteren met de elleboogjes moet je bedenken dat het materiaal altijd wat spelingtoelaat. Daardoor kun je plastic circuits maken met wat wringen, die wiskundig niet als circuit mogelijk zijn. Houdje dus bij het construeren van ruimtelijke circuits aan de wiskundige beschrijving van een n-circuit zoals die in deinleiding is gegeven.

Een geval apart: n = 5

Het blijkt onmogelijk te zijn om, zonder vervorming bij de grensvlakjes, een ruimtelijk circuit te maken met 5 elle-boogjes. De volgende activiteit kan wellicht helpen om een idee te krijgen waarom het niet mogelijk is.

Leg 5 geschakelde elleboogjes op tafel. Houd het middelste elleboogje (CDin nevenstaande figuur) goed vast op zijn plaats en bekijk hoe eindpunt A inde ruimte kan bewegen door de twee elleboogjes CB en BA te draaien. Allemogelijke posities voor punt A blijken een zelfde karaktertrek te hebben: zeliggen allemaal op een vaste afstand van het snijpunt P van de raaklijnen inB en C. Hetzelfde geldt voor alle mogelijke posities van punt F : die liggenallemaal op een vaste afstand van punt Q.

10. Toon aan dat voor alle mogelijke posities van punt A steeds geldt dat de afstand tot punt P constant is. Berekenook die afstand.

A-127

Page 141: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

De laatste opdracht is weer een algemene en daarbij heb je ook nog eens vrijheid van keuze. De ruimtelijke circuitsgeven alle aanleiding tot het jezelf vragen stellen. Mogelijke vragen:

• Kun je het idee van vraag 10 gebruiken om aannemelijk te maken dat een 5-circuit niet mogelijk is?

• Er zijn twee ruimtelijke 6-circuits. De ene is flexibel (kan in verschillende vormen worden gedraaid zonder tewringen. De andere is star en kan dus niet worden overgevoerd in een andere vorm. Hoe zit dat? Zijn er nogmeer starre ruimtelijke circuits?

• Voor welke oneven waarden van n is een ruimtelijk circuit mogelijk?

Vragen van dit soort zijn beslist niet makkelijk te beantwoorden, maar wellicht kan het gericht experimenteren methet concrete materiaal je nog op goede gedachten brengen.

Algemene vraag IV. Doe nog wat onderzoek aan ruimtelijke vormen en probeer uitdagende problemen op hetspoor te komen die met het setje ellebogen kunnen worden aangepakt. Ook als je die problemen niet zelf oplost,kun je ze in het werkstuk van de eindopdracht beschrijven.

Ten slotte

Voer de eindopdracht uit op de manier die beschreven is op bladzijde 2. Bedenk daarbij nogmaals dat het niet debedoeling is dat je de afzonderlijke vragen van de delen A, B en C beantwoordt. Zorg dat je een samenhangendverslag geeft van de bevindingen rond vlakke en ruimtelijke circuits en schroom zeker niet om uitdagende problemenin je verslag op te nemen.

Veel succes!

A-128

Page 142: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 11

ZELFSTANDIG OEFENINGEN MAKEN MET OPLOSSINGSSLEUTELS

Inhoudsopgave

Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-130

Cursustekst waar naar verwezen wordt in de oplossingssleutels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-131

A-129

Page 143: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Opgave

Oefening 1. Bereken algebraısch de term in de gevraagde Riemann-som, en duid deze aan op een schets:

f(x) =1

xvierde term in de rij van de linkersommen over interval [a, b] = [1, 2]

Oefening 2. Gegeven is de grafiek van de functie f(x) = ex.

(a) Welke bijzondere soort Riemann-som (bovensom, ondersom, linkersom, rechtersom of middensom) is aangeduid?

(b) Bepaal algebraısch de waarde van de aangeduide oppervlakte

1

2

3

4

1 2 3 4−1

y

x

y = ex

Oefening 3. Bereken telkens met behulp van je grafisch rekenmachine de volgende bepaalde integralen, en maak eenschets waarop je de meetkundige betekenis aanduidt.

(a)

∫ 1

−1x3dx

(b)

∫ 2

−12xdx

(c)

∫ π4

0

tanxdx

Aanwijzing. Indien we enkel interesse hebben in de bepaalde integraal (getal) en niet in de visuele voorstelling ervan,kunnen als volgt te werk gaan

MATH 9:fnInt fnInt(f(x),x,a,b)

Oefening 4. Gegeven is de functie f(x) = 3x.

(a) Bepaal de oppervlaktefunctie A(t) van f tussen x = −1 en x = 1.

(b) Bereken

∫ 1

−13xdx met behulp van de oppervlaktefunctie. Duid de meetkundige betekenis van de bepaalde

integraal aan in een schets.

A-130

Page 144: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Er

isge

enen

kele

reden

waa

rom

we

de

rij

rech

ters

omm

enzo

uden

‘bev

oor

del

en’

(ten

opzi

chte

van

linke

rsom

men

,m

idden

som

men

,et

c.)

enen

kel

de

conver

genti

eva

nde

rij

rech

ters

omm

enzo

uden

bek

ijken

.D

aaro

mde

volg

ende

•A

lgem

en

ew

erk

wij

ze.

Zijf

een

beg

rensd

efu

nct

ieen

a,b∈R

zodatf

bes

taat

in[a,b

].E

en

rij

van

Rie

man

n-s

om

menR

1,R

2,R

3,...

wor

dt

als

volg

tb

ekom

en.

x0

x1

x1

x0

x1

x2

x1

x2

x0

x1

x2

x3

x1

x2

x3

∗V

erdee

l[a,b

]in

een

gelijk

dee

l:

V1

=[a,b

]=

[x0,x

1]

kie

sx

1∈

[x0,x

1]

R1

=geo

rt.o

pp.

=f

(x1)·(x

1−x

0)

∗V

erdee

l[a,b

]in

twee

gelijk

edel

en:

V2

=[x

0,x

1],

[x1,x

2]

kie

sx

1∈

[x0,x

1]

enx

2∈

[x1,x

2]

R2

=geo

rt.o

pp.

=f

(x1)·(x

1−x

0)

+f

(x2)·(x

2−x

1)

∗V

erdee

l[a,b

]in

dri

ege

lijk

edel

en:

V2

=[x

0,x

1],

[x1,x

2],

[x2,x

3]

kie

sx

1∈

[x0,x

1],x

2∈

[x1,x

2]

enx

3∈

[x2,x

3]

R3

=geo

rt.o

pp.

=f

(x1)·(x

1−x

0)

+f

(x2)·(x

2−x

1)

+f

(x3)·(x

3−x

2)

Den

-de

term

inee

nri

jva

nR

iem

ann-s

omm

enR

1,R

2,R

3,...

isdus

gelijk

aan

Rn

=f

(x1)·(x

1−x

0︸︷︷

︸∆x1

)+f

(x2)·(x

2−x

1︸︷︷

︸∆x2

)+...+f

(xn)·(xn−xn−

1︸

︷︷︸

∆xn

)

=

n ∑ i=1

f(xi)

∆xi

metxi∈

[xi−

1,xi]

Elk

ete

rmf

(xi)

∆xi

isde

geo

rien

teer

de

opp

ervla

kte

van

de

rech

thoek

met

basi

s∆xi=xi−xi−

1en

hoog

te|f

(xi)|.

Als

we

bij

elke

verd

elin

gdexi

telk

ens

opee

nbij

zonder

em

anie

rkie

zen,

dan

bek

omen

we

een

rij

van

rech

ters

om

-m

en,

linker

som

men

,b

oven

som

men

ofon

der

som

men

.D

itzi

jndus

bij

zonder

eri

jen

van

Rie

mann-s

omm

en.

Bij

de

funct

ief

hor

endus

onei

ndig

veel

rije

nva

nR

iem

ann-s

omm

en,

waa

ronder

enke

lebij

zonder

ezo

als

de

rij

rech

ters

om

men

,de

rij

linker

som

men

,de

rij

bov

enso

mm

enen

de

rij

onder

som

men

.

Als

elk

eri

jR

iem

ann-s

omm

enR

1,R

2,R

3,...

conve

rgee

rt,

dan

zegg

enw

edat

de

tota

lege

orie

nte

erde

opp

ervla

kte

van

het

gebie

dge

lege

ntu

ssen

de

grafi

ekva

nf

,dex

-as

ende

rech

tenx

=a

enx

=b

bes

taat

.A

lsdat

zois

,dan

kun

jege

mak

kelijk

inzi

endat

al

dez

eri

jen

noodza

kelijk

naa

rhet

zelf

de

geta

lco

nve

rger

en(z

ieoef

enin

g8).

Sam

engev

atm

etde

defi

nit

ieva

nb

epaa

lde

inte

gra

al

(zie

pag

ina

3)ve

rkri

jgen

we

Georg

Fried

rich

Bernhard

Riemann

(1826-1866)

Defi

nit

ie(I

nte

gre

erb

aarh

eid

).Z

ijf

een

funct

ieena,b∈R

zodatf

bes

taat

enb

egre

nd

isov

er[a,b

].D

efu

nct

ief

noem

t(R

iem

ann-)

inte

gre

erbaa

rov

er[a,b

]als

voor

elk

eri

jva

nR

iem

ann-

som

men

de

volg

ende

lim

iet3

bes

taat

inR

lim

n→

+∞

n ∑ i=1

f(xi)

∆xi

Indat

geva

lzi

jnal

dez

elim

iete

ngel

ijk,

ennoem

tm

ende

uit

kom

stva

ndez

e

lim

iet

de

bep

aal

de

inte

graa

lva

nf

tuss

enx

=a

enx

=b,

not

atie

∫b

a

f(x

)dx

.

3O

pd

itp

unt

veg

enw

eee

nte

chn

isch

eco

nd

itie

on

der

de

mat:

de

coll

ecti

evan

rije

nvan

Rie

man

n-s

om

men

moet

engel

ijkm

ati

gco

nver

ger

en.

De

form

ele

defi

nit

ielu

idt:∃s∈

R:∀ε>

0:∃N∈

N:∀

Rie

man

n-r

ijR

1,R

2,...

:n>N⇒|Rn−s|<ε.

IV-7

Werk

wij

ze1

om

een

bepaald

ein

tegra

al

teb

ere

kenen

Hoof

dst

elling

1va

nde

inte

graal

reke

nin

gla

aton

sto

eb

epaal

de

inte

gral

en(v

anco

nti

nue

funct

ies)

teb

erek

enen

:

Werk

wij

ze

1.

Geg

even

isee

nfu

nct

ief

(x),

conti

nu

over

[a,b

].O

mde

bep

aald

ein

tegra

al

∫b

a

f(x

)dx

teb

erek

enen

gaan

we

als

volg

tte

wer

k.

Sta

p1.

Zoek

de

opp

ervla

kte

funct

ieA

(t)

uit

de

voor

waa

rden

A′ (t)

=f

(t)

enA

(a)

=0.

Sta

p2.

Dan

is

∫b

a

f(x

)dx

=A

(b).

De

zoek

toch

tnaa

ree

nfu

nct

iew

iens

afge

leid

ef

(t)

is,

noem

tm

enook

wel

‘inte

gre

ren’.

functie

f(x)

deoppervlaktefunctie

A(t)

integreren

afleiden

bepaaldeintegraal

∫b

a

f(x)dx=

A(b)

invullen

ab

y

x

y=

f(x)

at

b

y

x

y=

f(x)

A(t)

ab

y

x

y=

f(x)

∫b

a

f(x)dx

•M

od

elv

oorb

eeld

1.

Geg

even

isde

funct

ief

(x)

=x

2.

(a)

Bep

aal

de

opp

ervla

kte

funct

ieA

(t)

vanf

tuss

enx

=0

enx

=2.

(b)

Ber

eken

∫2

0

f(x

)dx

met

beh

ulp

van

de

opp

ervla

kte

funct

ie.

Con

trol

eer

met

jegr

afisc

hre

kenm

achin

ezo

als

oppag

ina

9.

Oplo

ssin

g.

•M

od

elv

oorb

eeld

2.

Geg

even

isde

funct

ief

(x)

=1 4x

3.

(a)

Bep

aal

de

opp

ervla

kte

funct

ieA

(t)

vanf

tuss

enx

=1

enx

=2.

(b)

Ber

eken

∫2

1

f(x

)dx

met

beh

ulp

van

de

opp

ervla

kte

funct

ie.

Contr

olee

rm

etje

gra

fisc

hre

kenm

ach

ine.

Oplo

ssin

g.

•B

esl

uit

.H

oofd

stel

ling

1m

aakt

het

mog

elij

kom

bep

aal

de

inte

gra

len

teb

erek

enen

.M

aar

telk

ens

contr

ole

ren

ofA

(a)

=0

maa

kt

de

wer

kw

ijze

wat

omsl

ach

tig.

In§1

.5zi

enw

eee

ntw

eede

wer

kw

ijze

waar

bij

de

contr

ole

‘A(a

)=

0’ov

erb

odig

zal

blijk

en.

IV-1

2

Page 145: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 12

WERKEN MET EEN WISKUNDIG MODEL

Inhoudsopgave

Lijst van onderwerpen

Onderwerp 1 - Ruimtelijke ordening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-133

Onderwerp 2 - Milieukunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-134

Onderwerp 3 - Celbiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-135

Onderwerp 4 - Visteelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-136

Onderwerp 5 - Plantenteelt I (gewassen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-137

Onderwerp 6 - Plantenteelt II (kamerplanten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-138

A-132

Page 146: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Onderwerpen

Onderwerp 1. Ruimtelijke ordening

Bouw van woningen.

In een gemeente met 30 000 inwoners staan 10 000 woningen. De gemeente schat dathet gemiddeld aantal bewoners per woning gelijk blijft aan drie, en bouwt er 200woningen per jaar bij.

Uit gegevens uit het verleden wordt een empirisch model voor de veranderingen in debevolkingsomvang afgeleid. De prognose voor het aantal geboorten is

g(t) = 734 + 55t+ 2t2 per jaar,

en die voor het aantal sterfgevallen is

s(t) = 350 + 37t− t2 per jaar.

In beide formules is t uitgedrukt in jaren na het begin van de planningsperiode. De overige effecten, zoals migratie,houden elkaar volgens de schattingen in evenwicht.

Model. Het aantal inwoners als functie van de tijd geven we aan met N(t). De afgeleide van N(t) is de veranderingvan het aantal inwoners per tijdseenheid (jaar). De netto bevolkingstoename per jaar is het aantal geboorten minushet aantal sterfgevallen, ofwel

N ′(t) = g(t)− s(t)Opgave.

1. Bepaal het aantal inwoners als functie van de tijd.

2. Hoeveel inwoners kwamen er tijdens het eerste jaar bij?

Antwoord. 394

3. Wat is het aantal woningen W als functie van t?

4. Wanneer zal de woningbehoefte even hard groeien als de woningvoorraad?

Antwoord. Na 6 jaar.

5. Wanneer ontstaat er volgens de norm van de gemeente een woningtekort?

A-133

Page 147: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Onderwerp 2. Milieukunde

Lozing op open water.

Een chemische fabriek heeft een verguning voor het lozen van 1000 kg van een afvalstofper week op een rivier. De rivier heeft een constant debiet van 0, 2 m3/s. Per weekstroomt dan 120 960 m3 water voorbij. Een gelijkmatige lozing van 1000 kg per weekzou dus een constante concentratie

1000 kg/week

120 960 m3/week≈ 8, 267 · 10−3 kg/m3

in het water stroomafwaarts van de fabriek geven.

Ter controle wordt stroomafwaarts van de lozingpijp de concentratie afvalstof geme-ten, en die afvalstof wordt toegeschreven aan de fabriek. Het gemeten verloop wordtbeschreven door de functie

c(t) = c0 e0,0125 t kg/m3,

met t in weken na het begin van de metingen en c0 = 7 · 10−3 kg/m3. In het begin geldt c(0) = c0 = 7 · 10−3 kg/m3,dus op dat moment is de fabriek binnen de lozingsnorm. Blijft dat ook zo?

Model. We nemen t = 0 bij het begin van de metingen. De hoeveelheid gepasseerde afvalstof op tijdstip t sinds hetbegin van de metingen duiden we aan met G(t). De afgeleide G′(t) is dan de toename per tijdseenheid (week), endat is de hoeveelheid afvalstof die er (per tijdseenheid) in de rivier stroomt. Die hoeveelheid is het product van deconcentratie c(t), in kg/m3, en het debiet D = 120 960 m3/week.

Opgave.

1. Bepaal de hoeveelheid gepasseerde afvalstof op tijdstip t.

2. Hoeveel afvalstof is er in de eerste week geloosd?

Antwoord. 852, 0341 . . . kg

3. Hoeveel afvalstof is er in de vierde week geloosd?

Antwoord. 884, 5920 . . . kg

4. We duiden met H(t) de hoeveelheid afval aan die de week voorafgaand aan tijdstip t is geloosd. Geef eenuitdrukking voor H(t).

5. Op welk tijdstip T geldt H(T ) = 1000? Wat gebeurt er als t > T?

A-134

Page 148: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Onderwerp 3. Celbiologie

plantencel

Een vacuole is een met vocht gevuld blaasje, dat zich in het cytoplasma van eencel bevindt. Plantencellen bevatten meerdere kleine vacuolen. Deze vacuolen nemenwater op en verenigen zich later tot een grote vacuole. Het vocht in de vacuolen bestaatuit water met daarin opgeloste stoffen, o.a. reservestoffen, kleurstoffen en afvalstoffen.De kleurstoffen zorgen voor de kleur van bijvoorbeeld planten en bloemen.

Model. Een plantencel neemt water op in een vacuole, die aanvankelijk een volumeV (0) = 10µm3 heeft. De opnamesnelheid wordt gemodelleerd als

V ′(t) = 20 e−2t

met t de tijd in uren.

Opgave.

1. Bepaal het volume van de plantencel in functie van de tijd t.

2. Hoeveel water bevat de vacuole na een kwartier?

Antwoord. 13, 9346 . . . µm3

3. Wat wordt volgens dit model het volume van de vacuole op den duur?

4. Hoeveel water werd er door de vacuole in het eerste uur opgenomen?

5. Hoeveel water werd er door de vacuole in het derde uur opgenomen?

Antwoord. 0, 1583 . . . µm3

6. We duiden met H(t) de hoeveelheid water aan die het uur voorafgaand aan tijdstip t werd opgenomen.Geef een uitdrukking voor H(t).

7. Op welk tijdstip T geldt H(T ) = 0, 001?

A-135

Page 149: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Onderwerp 4. Visteelt

viskwekerij

Visteelt is een vorm van aquacultuur, waarbij vissen op een commerciele manier wor-den gekweekt voor consumptie. Door teruglopende visvangsten, veroorzaakt dooroverbevissing, wordt de visteelt een steeds belangrijkere tak in de visserij. Om eenoptimale visteelt te garanderen is het van belang de groei van vissen in kweek temodelleren.

Model. Veronderstel dat de massa van een vis groeit volgens de modelvergelijking

m′(t) =α√t

met m de massa uitgedrukt in gram, t de tijd in dagen en α = 2 g · d− 12 .

Opgave.

1. Ga na dat de eenheden in deze vergelijking met elkaar overeenstemmen.

2. Bepaal m(t) als m(0) = 1.

3. Wat gebeurt er volgens dit model op den duur met de massa van de vis?

4. Hoeveel gram nam de vis toe tijdens de eerste dag?

Antwoord. 4g

5. Hoeveel gram nam de vis toe tijdens de vijfde dag?

Antwoord. 0, 94427 . . . g

6. We duiden met V (t) het aantal gram aan waarmee de vis toeneemt op de dag voorafgaand aan tijdstip t.Geef een uitdrukking voor V (t).

7. Van zodra de aangroei van de vis per dag kleiner is dan 0, 5 gram per dag is het niet langer rendabel om devissen in kweek te houden. Op welke dag kan men het best deze vissoort oogsten?

A-136

Page 150: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Onderwerp 5. Plantenteelt I

zomertarwe

Een akker wordt op 1 april met zomertarwe ingezaaid. Aanvankelijk groeien de plan-ten vrijstaand op, ze beconcurreren elkaar niet op voedingsstoffen en licht.

Model. We modelleren deze eerste fase met een constante relatieve groeisnelheid,we krijgen dan een exponentiele functie. De groeisnelheid van de tarwe in het modelwordt gegeven door

y′(t) = 0, 0672 e0,2 t

in kg drooggewicht per ha per dag, t in dagen. Deze fase duurt 40 dagen, tot en met10 mei.

In de tweede fase, tot en met 19 juli (70 dagen) neemt de onderlinge concurrentie toe. De groeisnelheid is dan constant.In de laatste fase is de tarwe volgroeit, en alle energie wordt gebruikt voor het rijpen van het graan. De groeisnelheidneemt af. De laatste 10 dagen tot de oogst op 29 juli wordt de groeisnelheid gemodelleerd met

y′(t) = 200 e−0,53 (t−110)

Opgave.

1. Schets de grafiek van de groeisnelheid van de tarwe als functie van de tijd, voor 0 ≤ t ≤ 120.

2. Wat is het drooggewicht per hectare aan het eind van de eerste fase?

Antwoord. 1001, 2658 . . . kg/ha

3. Bereken de groeisnelheid aan het eind van de exponentiele fase.

4. Bereken de gewichtstoename van de tarwe in de fase van constante groei.

5. Bereken ten slotte de gewichtstoename in de derde fase, de rijping.

Antwoord. 375, 4748 . . . kg/ha

6. Schets een grafiek van het drooggewicht van de tarwe als functie van de tijd over de gehele periode. Neem daarbijaan dat het begingewicht te verwaarlozen is. Verklaar ook hoe je deze grafiek gevonden hebt.

7. Wat mag men verwachten voor de opbrengst van de oogst, als je weet dat de akker een oppervlakte heeft van80 hectare?

A-137

Page 151: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Onderwerp 6. Plantenteelt II

vrouwentongen(Sansevieria trifasciata)

Planten slaan door assimilatie energie in hun bladeren op. Hierbij wordt kooldioxide(C02) gebonden en komt zuurstof (O2) vrij:

CO2 + energie −→ suiker + O2

De assimilatiesnelheid is evenredig met de lichtintensiteit (fotosynthese), assimila-tie heeft dus alleen overdag plaats. Hierbij neemt het gewicht y van de plant (debiomassa) toe.

Model. De groei van de biomassa van een kamerplant door assimilatie modellerenwe met

y′a(t) = 10 sin

(1

12(t− 6)π

)(in mg/uur) voor 6 ≤ t ≤ 18

waarin t gemeten is in uren na middernacht. Buiten de genoemde uren is y′a(t) nul.Bij het omgekeerde proces, ademen of respiratie, komt de opgeslagen energie weervrij, en neemt het gewicht af. De ademhalingssnelheid veronderstellen we gedurendehet hele etmaal constant, de bijhorende gewichtsverandering is

y′r(t) = −1 (in mg/uur)Opgave.

1. Teken in een figuur de functies y′a(t) en y′r(t) voor t = 0 tot t = 24.

2. Bereken de gewichtstoename per dag door assimilatie en het gewichtsverlies door respiratie.Hoeveel neemt de plant per dag aan gewicht toe?

Antwoord. Gewichtstoename per dag is 52, 39 . . .mg

3. Voor respiratie is zuurstof nodig, elke milligram gewichtsvermindering verbruikt 1, 7 mg zuurstof. Een kubiekemeter lucht bevat 0, 4 kg zuurstof. Hoeveel kubieke meter lucht gebruikt deze plant per nacht (van 18.00 u. tot6.00 u.)?

Antwoord. 0, 000051m3

4. Moet je daarmee rekening houden als je tien van deze kamerplanten op een slaapkamer van 5m op 4m op 2mzet? Fundeer je antwoord.

A-138

Page 152: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 13

LEREN UIT OPGELOSTE PROBLEMEN

Inhoudsopgave

Extra problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-140

A-139

Page 153: Het practicum wiskunde - Webs · Het practicum wiskunde: co operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing

Extra problemen

Probleem 7. Bepaal telkens de vergelijking van de familie van krommen met de gegeven helling, en de kromme uitdie familie die het gegeven punt bevat.

(a) m =tanx

yen A(0, 2) (c) m = −2y lnx en C(2, 8)

(b) m =23x−1

y3en B(1,−1) (d) m =

xy

1 + x2en D(3, 5)

Probleem 8. Voor een kromme y = f(x) geldt dat y′′ = 2. Bovendien bevat die kromme het punt P (2, 6) en is dehelling in P aan de kromme gelijk aan 10. Bepaal de vergelijking van die kromme.

Probleem 9. Voor een kromme y = f(x) geldt dat y′′ = 6x − 8. Bovendien bevat die kromme het punt P (1, 0) enwordt de normaal in dat punt gegeven door 2x− 3y = 2. Bepaal de vergelijking van die kromme.

Probleem 10 (Biologie). Een kolonie bacterien wordt blootgesteld aan ultraviolet licht, die het DNA van de bac-terien aantast zodat de kolonie uitsterft. In een laboratorium-experiment heeft men ontdekt dat de mate van deafname van het aantal levende bacterien evenredig is met het aantal nog levende bacterien op dat moment. Na 7seconden leven er nog 70, 5% van hen.

(a) Hoeveel bacterien leven er nog na een 20 seconden?

(b) Hoe lang duurt het voordat 95% van de bacterien dood zijn?

Probleem 11 (Natuurkunde). De temperatuur van een fles melk daalt met een snelheid van 0, 0837 keer het ver-schil tussen de melktemperatuur op dat moment en de kamertemperatuur die 20◦ bedraagt. Onderstel dat de melkaanvankelijk 80◦ warm is. Na hoeveel tijd is de melktemperatuur tot 50◦ gezakt?

Aanwijzing. Als y(t) de melktemperatuur op tijdstip t is, zal y′(t) dan positief of negatief zijn? Dus schrijf je dany′ = . . . · (. . .− y) of y′ = . . . · (y − . . .)?Probleem 12 (Bevolkingsleer). Een gebied heeft een maximale bevolkingscapaciteit van 200 miljoen mensen. Opelk tijdstip t is de mate van de toename van de bevolking evenredig met het verschil van de bevolkingscapaciteit en debevolking op dat moment. Aanvankelijk leven er 50 miljoen mensen, en tien jaar later zijn er al 109 miljoen mensen.

(a) Bepaal de bevolking na 20 jaar.

(b) In welk jaar zal 90% van de bevolkingscapaciteit bereikt worden?

Probleem 13 (Economie). Bij het opstarten van een bedrijf verwacht men dat op elk ogenblik de mate van detoename van de jaarlijkse verkoopcijfers evenredig zal zijn met het verschil tussen de verkoopcijfers op dat ogenbliken een bovengrens van 20 miljoen euro. Initieel zijn de verkoopcijfers uiteraard 0 en ze zijn 4 miljoen voor het tweedeoperationele jaar.

(a) Welke verkoop mag men verwachten na 10 jaar?

(b) In welk jaar zullen de verkoopcijfers 15 miljoen euro bedragen?

Probleem 14 (Besmettingsleer). Een gemeenschap van 1000 mensen is homogeen samengesteld. Een persoonkeert uit het buitenland terug met een griepvirus. Onderstel dat de thuisgemeenschap niet ingeent is tegen griepen allen vatbaar zijn voor deze ziekte. Bovendien is de mate van de verandering van het aantal besmette personenevenredig met het product van het aantal besmette en het aantal niet besmette personen. Na 7 dagen zijn er tienpersonen besmet.

(a) Hoeveel mensen zijn na 20 dagen besmet door het virus?

(b) Hoeveel dagen duurt het tot de helft van de gemeenschap is aangetast door het griepvirus?

Aanwijzing. Om de integraal te berekenen gebruik je data

y(a− y)=

1

a− y +1

y.

Probleem 15 (Sociologie). Een groep van 800 mensen - studenten, vrienden, verloofden, ouders, etc. - zit op heteinde van het academiejaar gespannen te wachten op de proclamatie van de resultaten. Iemand uit deze groep beweertdat hij/zij het - uiteraard foutieve - gerucht heeft opgevangen dat slechts 15% van de studenten geslaagd is. Ditonrustbarende nieuws verspreidt zich als een lopend vuurtje. Sociologen beweren dat de mate van de toename van hetaantal mensen dat het gerucht vernomen heeft evenredig is met het product van het aantal mensen die het geruchtgehoord hebben en het aantal mensen die het gerucht nog niet gehoord hebben. Als na een minuut al 50 mensen hetgerucht opgevangen hebben, na hoeveel tijd heeft 95% van de aanwezigen het gerucht gehoord?

Aanwijzing. Om de integraal te berekenen gebruik je data

y(a− y)=

1

a− y +1

y.

A-140