Hemicompact spaceFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 a-paracompact space 11.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Binary relation 22.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.1 Is a relation more than its graph? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Special types of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.1 Difunctional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Relations over a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Operations on binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.1 Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.2 Restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.3 Algebras, categories, and rewriting systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Sets versus classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6 The number of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7 Examples of common binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.11 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Cartesian product 123.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 A deck of cards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2 A two-dimensional coordinate system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Most common implementation (set theory) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.1 Non-commutativity and non-associativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.2 Intersections, unions, and subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.3 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 n-ary product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.1 Cartesian power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.2 Finite n-ary product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

i

ii CONTENTS

3.3.3 Innite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Other forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4.1 Abbreviated form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.2 Cartesian product of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5 Denitions outside of Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5.1 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5.2 Graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Closed set 204.1 Equivalent denitions of a closed set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Properties of closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3 Examples of closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4 More about closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Closure (topology) 225.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.1.1 Point of closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.1.2 Limit point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.1.3 Closure of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 Closure operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4 Facts about closures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.5 Categorical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6 Compact operator 266.1 Equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.2 Important properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.3 Origins in integral equation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.4 Compact operator on Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.5 Completely continuous operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

CONTENTS iii

6.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7 Compact space 307.1 Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.2 Basic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.3 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7.3.1 Open cover denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.3.2 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.3.3 Compactness of subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.4 Properties of compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.4.1 Functions and compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.4.2 Compact spaces and set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.4.3 Ordered compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.5.1 Algebraic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 Compact-open topology 398.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.3 Frchet dierentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

9 Compactly embedded 419.1 Denition (topological spaces) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.2 Denition (normed spaces) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

10 Cover (topology) 4210.1 Cover in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4210.2 Renement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4210.3 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.4 Covering dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4410.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4410.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

11 Cuboid 45

iv CONTENTS

11.1 General cuboids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4511.2 Rectangular cuboid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

11.2.1 Nets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4611.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4611.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4611.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

12 Euclidean space 4712.1 Intuitive overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4712.2 Euclidean structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

12.2.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.2.2 Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012.2.3 Rotations and reections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012.2.4 Euclidean group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

12.3 Non-Cartesian coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5212.4 Geometric shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

12.4.1 Lines, planes, and other subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5312.4.2 Line segments and triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5412.4.3 Polytopes and root systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.4.4 Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.4.5 Balls, spheres, and hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

12.5 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.7 Alternatives and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

12.7.1 Curved spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.7.2 Indenite quadratic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.7.3 Other number elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.7.4 Innite dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

12.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.9 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

13 Exhaustion by compact sets 5813.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5813.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5813.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

14 Feebly compact space 59

15 First-countable space 6015.1 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6015.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

CONTENTS v

15.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6115.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

16 Function composition 6216.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6216.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6316.3 Composition monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6316.4 Functional powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6316.5 Alternative notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6616.6 Composition operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6616.7 In programming languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6616.8 Multivariate functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6616.9 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6716.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6716.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6816.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6816.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

17 Functional analysis 6917.1 Normed vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

17.1.1 Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7017.1.2 Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

17.2 Major and foundational results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7017.2.1 Uniform boundedness principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7117.2.2 Spectral theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7117.2.3 Hahn-Banach theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7117.2.4 Open mapping theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7217.2.5 Closed graph theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7217.2.6 Other topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

17.3 Foundations of mathematics considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7217.4 Points of view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7217.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7317.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7317.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7317.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

18 Glossary of topology 7518.1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7618.2 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7718.3 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7718.4 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7918.5 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

vi CONTENTS

18.6 F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7918.7 G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8018.8 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8018.9 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8118.10K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8118.11L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8218.12M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8218.13N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8318.14O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8418.15P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8418.16Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8518.17R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8618.18S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8618.19T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8718.20U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8818.21W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8918.22Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8918.23References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8918.24External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

19 H-closed space 9119.1 Examples and equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9119.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9119.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

20 Hasse diagram 9220.1 A good Hasse diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9320.2 Upward planarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9320.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9320.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9420.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

21 Hausdor space 9621.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9621.2 Equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9721.3 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9721.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9721.5 Preregularity versus regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9821.6 Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9821.7 Algebra of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9921.8 Academic humour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9921.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

CONTENTS vii

21.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9921.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

22 HeineBorel theorem 10022.1 History and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10022.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10022.3 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10122.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10222.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10222.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10222.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

23 Hemicompact space 10423.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10423.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10423.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10423.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

24 Interior (topology) 10624.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

24.1.1 Interior point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10724.1.2 Interior of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

24.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10724.3 Interior operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10824.4 Exterior of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10824.5 Interior-disjoint shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10924.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10924.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10924.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

25 k-cell (mathematics) 11125.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11125.2 Intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11125.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

26 Lebesgue covering dimension 11326.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11326.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11326.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11326.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11426.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

26.5.1 Historical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11426.5.2 Modern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

viii CONTENTS

26.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11426.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

27 Limit point compact 11527.1 Properties and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11527.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11527.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11627.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

28 Lindelf space 11728.1 Properties of Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11728.2 Properties of strongly Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11728.3 Product of Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11728.4 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11828.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11828.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11828.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

29 Locally compact space 11929.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11929.2 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

29.2.1 Compact Hausdor spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12029.2.2 Locally compact Hausdor spaces that are not compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12029.2.3 Hausdor spaces that are not locally compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12029.2.4 Non-Hausdor examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

29.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12129.3.1 The point at innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12129.3.2 Locally compact groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

29.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12229.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

30 Locally nite 123

31 Locally nite collection 12431.1 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

31.1.1 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12431.1.2 Second countable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

31.2 Closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12531.3 Countably locally nite collections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12531.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

32 Locally nite space 12632.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

CONTENTS ix

33 Manifold 12733.1 Motivational examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

33.1.1 Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12833.1.2 Other curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13133.1.3 Enriched circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

33.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13233.2.1 Early development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13233.2.2 Synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13333.2.3 Poincar's denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13333.2.4 Topology of manifolds: highlights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

33.3 Mathematical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13433.3.1 Broad denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

33.4 Charts, atlases, and transition maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13533.4.1 Charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13533.4.2 Atlases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13533.4.3 Transition maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13533.4.4 Additional structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

33.5 Manifold with boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13633.5.1 Boundary and interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

33.6 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13633.6.1 Charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13633.6.2 Patchwork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13733.6.3 Identifying points of a manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13833.6.4 Gluing along boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13833.6.5 Cartesian products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

33.7 Manifolds with additional structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13833.7.1 Topological manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13833.7.2 Dierentiable manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13933.7.3 Riemannian manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13933.7.4 Finsler manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14033.7.5 Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14033.7.6 Other types of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

33.8 Classication and invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14033.9 Examples of surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

33.9.1 Orientability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14133.9.2 Genus and the Euler characteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

33.10Maps of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14233.10.1 Scalar-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

33.11Generalizations of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14333.12See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

33.12.1 By dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

x CONTENTS

33.13Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14433.14References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14533.15External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

34 Mathematical analysis 15234.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15334.2 Important concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

34.2.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15434.2.2 Sequences and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

34.3 Main branches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15534.3.1 Real analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15534.3.2 Complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15534.3.3 Functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15534.3.4 Dierential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15534.3.5 Measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15634.3.6 Numerical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

34.4 Other topics in mathematical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15634.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

34.5.1 Physical sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15734.5.2 Signal processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15734.5.3 Other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

34.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15734.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15834.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15934.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

35 Mesocompact space 16035.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16035.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

36 Metacompact space 16136.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16136.2 Covering dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16136.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16136.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

37 Metric space 16337.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16337.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16337.3 Examples of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16437.4 Open and closed sets, topology and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16537.5 Types of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

37.5.1 Complete spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

CONTENTS xi

37.5.2 Bounded and totally bounded spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16637.5.3 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16737.5.4 Locally compact and proper spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16737.5.5 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16737.5.6 Separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

37.6 Types of maps between metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16737.6.1 Continuous maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16837.6.2 Uniformly continuous maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16837.6.3 Lipschitz-continuous maps and contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16837.6.4 Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16937.6.5 Quasi-isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

37.7 Notions of metric space equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16937.8 Topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16937.9 Distance between points and sets; Hausdor distance and Gromov metric . . . . . . . . . . . . . . 17037.10Product metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

37.10.1 Continuity of distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17037.11Quotient metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17137.12Generalizations of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

37.12.1 Metric spaces as enriched categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17137.13See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17237.14Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17237.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17337.16External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

38 Metrization theorem 17438.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17438.2 Metrization theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17438.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17538.4 Examples of non-metrizable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17538.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17538.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

39 Normal space 17639.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17639.2 Examples of normal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17739.3 Examples of non-normal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17739.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17839.5 Relationships to other separation axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17839.6 Citations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17839.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

40 Open set 179

xii CONTENTS

40.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18040.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

40.2.1 Euclidean space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18140.2.2 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18140.2.3 Topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

40.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18140.4 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18140.5 Notes and cautions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

40.5.1 Open is dened relative to a particular topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18240.5.2 Open and closed are not mutually exclusive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

40.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18240.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18240.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

41 Order theory 18441.1 Background and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18441.2 Basic denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

41.2.1 Partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18541.2.2 Visualizing a poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18541.2.3 Special elements within an order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18541.2.4 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18741.2.5 Constructing new orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

41.3 Functions between orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18741.4 Special types of orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18841.5 Subsets of ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18941.6 Related mathematical areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

41.6.1 Universal algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18941.6.2 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18941.6.3 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

41.7 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19041.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19041.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19041.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19041.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

42 Orthocompact space 19242.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

43 Paracompact space 19343.1 Paracompactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19343.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19343.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

CONTENTS xiii

43.4 Paracompact Hausdor Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19443.4.1 Partitions of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

43.5 Relationship with compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19643.5.1 Comparison of properties with compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

43.6 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19643.6.1 Denition of relevant terms for the variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

43.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19743.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19743.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19843.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

44 Partially ordered set 19944.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20044.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20044.3 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20044.4 Orders on the Cartesian product of partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20144.5 Sums of partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20144.6 Strict and non-strict partial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20244.7 Inverse and order dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20244.8 Mappings between partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20244.9 Number of partial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20344.10Linear extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20344.11In category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20444.12Partial orders in topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20444.13Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20444.14See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20444.15Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20544.16References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20544.17External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

45 Particular point topology 20645.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

45.1.1 Connectedness Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20645.1.2 Compactness Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20745.1.3 Limit related . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20745.1.4 Separation related . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

45.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20845.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

46 Partition of unity 20946.1 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20946.2 Variant denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

xiv CONTENTS

46.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21046.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21046.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21046.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

47 Product topology 21147.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21147.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21147.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21247.4 Relation to other topological notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21347.5 Axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21347.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21347.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21347.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21447.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

48 Pseudocompact space 21548.1 Properties related to pseudocompactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21548.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21548.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

49 Real line 21749.1 As a linear continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21749.2 As a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21849.3 As a topological space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21849.4 As a vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21949.5 As a measure space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21949.6 In real algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22049.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22049.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

50 Realcompact space 22150.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22150.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22150.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

51 Regular space 22351.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22351.2 Relationships to other separation axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22451.3 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22451.4 Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22551.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

52 Relatively compact subspace 226

CONTENTS xv

52.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22652.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

53 Second-countable space 22753.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

53.1.1 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22753.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22853.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

54 Sequence 22954.1 Examples and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

54.1.1 Important examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23054.1.2 Indexing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23154.1.3 Specifying a sequence by recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

54.2 Formal denition and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23254.2.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23254.2.2 Finite and innite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23354.2.3 Increasing and decreasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23354.2.4 Bounded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23354.2.5 Other types of sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

54.3 Limits and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23454.3.1 Denition of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23554.3.2 Applications and important results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23554.3.3 Cauchy sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

54.4 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23654.5 Use in other elds of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

54.5.1 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23754.5.2 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23754.5.3 Linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23854.5.4 Abstract algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23854.5.5 Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23954.5.6 Computing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23954.5.7 Streams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

54.6 Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23954.7 Related concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24054.8 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24054.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24054.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24054.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

55 Sequentially compact space 24255.1 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

xvi CONTENTS

55.2 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24255.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24255.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24255.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

56 Set (mathematics) 24456.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24556.2 Describing sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24556.3 Membership . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

56.3.1 Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24756.3.2 Power sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

56.4 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24856.5 Special sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24856.6 Basic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

56.6.1 Unions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24956.6.2 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25056.6.3 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25056.6.4 Cartesian product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

56.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25356.8 Axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25356.9 Principle of inclusion and exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25456.10De Morgans Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25456.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25556.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25556.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25556.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

57 Strictly singular operator 25657.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

58 Subset 25758.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25858.2 and symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25858.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25858.4 Other properties of inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25958.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25958.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25958.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

59 Subspace topology 26159.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26159.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26159.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

CONTENTS xvii

59.4 Preservation of topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26359.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26359.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

60 Supercompact space 26460.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26460.2 Some Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26460.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

61 Topological space 26661.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

61.1.1 Neighbourhoods denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26661.1.2 Open sets denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26761.1.3 Closed sets denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26861.1.4 Other denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

61.2 Comparison of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26861.3 Continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26861.4 Examples of topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26961.5 Topological constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27061.6 Classication of topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27061.7 Topological spaces with algebraic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27061.8 Topological spaces with order structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27061.9 Specializations and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27061.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27161.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27161.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27161.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

62 Topology 27362.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27462.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27562.3 Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

62.3.1 Topologies on Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27762.3.2 Continuous functions and homeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27862.3.3 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

62.4 Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27862.4.1 General topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27862.4.2 Algebraic topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27962.4.3 Dierential topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27962.4.4 Geometric topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27962.4.5 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

62.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

xviii CONTENTS

62.5.1 Biology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28062.5.2 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28062.5.3 Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28062.5.4 Robotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

62.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28062.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28162.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28262.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

63 Total order 28363.1 Strict total order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28363.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28463.3 Further concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

63.3.1 Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28463.3.2 Lattice theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28463.3.3 Finite total orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28563.3.4 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28563.3.5 Order topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28563.3.6 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28563.3.7 Sums of orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

63.4 Orders on the Cartesian product of totally ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28663.5 Related structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28663.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28663.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28663.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

64 Totally bounded space 28864.1 Denition for a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28864.2 Denitions in other contexts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28864.3 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28964.4 Relationships with compactness and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28964.5 Use of the axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29064.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29064.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29064.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

65 Tychono space 29165.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29165.2 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29165.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

65.3.1 Preservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29265.3.2 Real-valued continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

CONTENTS xix

65.3.3 Embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29365.3.4 Compactications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29365.3.5 Uniform structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

65.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

66 Tychonos theorem 29466.1 Topological denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29466.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29466.3 Proofs of Tychonos theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29566.4 Tychonos theorem and the axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29566.5 Proof of the axiom of choice from Tychonos theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29666.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29666.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

67 Union (set theory) 29867.1 Union of two sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29867.2 Algebraic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29967.3 Finite unions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30067.4 Arbitrary unions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

67.4.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30067.4.2 Union and intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

67.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30167.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30167.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

68 -compact space 30268.1 Properties and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30268.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30268.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30368.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30368.5 Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

68.5.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30468.5.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31268.5.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Chapter 1

a-paracompact space

In mathematics, in the eld of topology, a topological space is said to be a-paracompact if every open cover of thespace has a locally nite renement. In contrast to the denition of paracompactness, the renement is not requiredto be open.Every paracompact space is a-paracompact, and in regular spaces the two notions coincide.

1.1 References Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.

1

Chapter 2

Binary relation

Relation (mathematics)" redirects here. For a more general notion of relation, see nitary relation. For a morecombinatorial viewpoint, see theory of relations. For other uses, see Relation Mathematics.

In mathematics, a binary relation on a set A is a collection of ordered pairs of elements of A. In other words, it is asubset of the Cartesian product A2 = A A. More generally, a binary relation between two sets A and B is a subsetof A B. The terms correspondence, dyadic relation and 2-place relation are synonyms for binary relation.An example is the "divides" relation between the set of prime numbers P and the set of integers Z, in which everyprime p is associated with every integer z that is a multiple of p (but with no integer that is not a multiple of p). Inthis relation, for instance, the prime 2 is associated with numbers that include 4, 0, 6, 10, but not 1 or 9; and theprime 3 is associated with numbers that include 0, 6, and 9, but not 4 or 13.Binary relations are used in many branches of mathematics to model concepts like "is greater than", "is equal to", anddivides in arithmetic, "is congruent to" in geometry, is adjacent to in graph theory, is orthogonal to in linearalgebra and many more. The concept of function is dened as a special kind of binary relation. Binary relations arealso heavily used in computer science.A binary relation is the special case n = 2 of an n-ary relation R A1 An, that is, a set of n-tuples where thejth component of each n-tuple is taken from the jth domain Aj of the relation. An example for a ternary relation onZZZ is lies between ... and ..., containing e.g. the triples (5,2,8), (5,8,2), and (4,9,7).In some systems of axiomatic set theory, relations are extended to classes, which are generalizations of sets. Thisextension is needed for, among other things, modeling the concepts of is an element of or is a subset of in settheory, without running into logical inconsistencies such as Russells paradox.

2.1 Formal denition

A binary relation R is usually dened as an ordered triple (X, Y, G) where X and Y are arbitrary sets (or classes), andG is a subset of the Cartesian product X Y. The sets X and Y are called the domain (or the set of departure) andcodomain (or the set of destination), respectively, of the relation, and G is called its graph.The statement (x,y) G is read "x is R-related to y", and is denoted by xRy or R(x,y). The latter notation correspondsto viewing R as the characteristic function on X Y for the set of pairs of G.The order of the elements in each pair ofG is important: if a b, then aRb and bRa can be true or false, independentlyof each other. Resuming the above example, the prime 3 divides the integer 9, but 9 doesn't divide 3.A relation as dened by the triple (X, Y, G) is sometimes referred to as a correspondence instead.[1] In this case therelation from X to Y is the subset G of X Y, and from X to Y" must always be either specied or implied by thecontext when referring to the relation. In practice correspondence and relation tend to be used interchangeably.

2

2.2. SPECIAL TYPES OF BINARY RELATIONS 3

2.1.1 Is a relation more than its graph?According to the denition above, two relations with identical graphs but dierent domains or dierent codomainsare considered dierent. For example, ifG = f(1; 2); (1; 3); (2; 7)g , then (Z;Z; G) , (R;N; G) , and (N;R; G) arethree distinct relations, where Z is the set of integers and R is the set of real numbers.Especially in set theory, binary relations are often dened as sets of ordered pairs, identifying binary relations withtheir graphs. The domain of a binary relation R is then dened as the set of all x such that there exists at least oney such that (x; y) 2 R , the range of R is dened as the set of all y such that there exists at least one x such that(x; y) 2 R , and the eld of R is the union of its domain and its range.[2][3][4]A special case of this dierence in points of view applies to the notion of function. Many authors insist on distin-guishing between a functions codomain and its range. Thus, a single rule, like mapping every real number x tox2, can lead to distinct functions f : R ! R and f : R ! R+ , depending on whether the images under thatrule are understood to be reals or, more restrictively, non-negative reals. But others view functions as simply sets ofordered pairs with unique rst components. This dierence in perspectives does raise some nontrivial issues. As anexample, the former camp considers surjectivityor being ontoas a property of functions, while the latter sees itas a relationship that functions may bear to sets.Either approach is adequate for most uses, provided that one attends to the necessary changes in language, notation,and the denitions of concepts like restrictions, composition, inverse relation, and so on. The choice between the twodenitions usually matters only in very formal contexts, like category theory.

2.1.2 ExampleExample: Suppose there are four objects {ball, car, doll, gun} and four persons {John, Mary, Ian, Venus}. Supposethat John owns the ball, Mary owns the doll, and Venus owns the car. Nobody owns the gun and Ian owns nothing.Then the binary relation is owned by is given as

R = ({ball, car, doll, gun}, {John, Mary, Ian, Venus}, {(ball, John), (doll, Mary), (car, Venus)}).

Thus the rst element of R is the set of objects, the second is the set of persons, and the last element is a set of orderedpairs of the form (object, owner).The pair (ball, John), denoted by RJ means that the ball is owned by John.Two dierent relations could have the same graph. For example: the relation

({ball, car, doll, gun}, {John, Mary, Venus}, {(ball, John), (doll, Mary), (car, Venus)})

is dierent from the previous one as everyone is an owner. But the graphs of the two relations are the same.Nevertheless, R is usually identied or even dened as G(R) and an ordered pair (x, y) G(R)" is usually denoted as"(x, y) R".

2.2 Special types of binary relationsSome important types of binary relations R between two sets X and Y are listed below. To emphasize that X and Ycan be dierent sets, some authors call such binary relations heterogeneous.[5][6]

Uniqueness properties:

injective (also called left-unique[7]): for all x and z in X and y in Y it holds that if xRy and zRy then x = z. Forexample, the green relation in the diagram is injective, but the red relation is not, as it relates e.g. both x = 5and z = +5 to y = 25.

functional (also called univalent[8] or right-unique[7] or right-denite[9]): for all x in X, and y and z in Yit holds that if xRy and xRz then y = z; such a binary relation is called a partial function. Both relations inthe picture are functional. An example for a non-functional relation can be obtained by rotating the red graphclockwise by 90 degrees, i.e. by considering the relation x=y2 which relates e.g. x=25 to both y=5 and z=+5.

4 CHAPTER 2. BINARY RELATION

Example relations between real numbers. Red: y=x2. Green: y=2x+20.

one-to-one (also written 1-to-1): injective and functional. The green relation is one-to-one, but the red is not.

Totality properties:

left-total:[7] for all x in X there exists a y in Y such that xRy. For example R is left-total when it is a functionor a multivalued function. Note that this property, although sometimes also referred to as total, is dierentfrom the denition of total in the next section. Both relations in the picture are left-total. The relation x=y2,obtained from the above rotation, is not left-total, as it doesn't relate, e.g., x = 14 to any real number y.

surjective (also called right-total[7] or onto): for all y in Y there exists an x in X such that xRy. The greenrelation is surjective, but the red relation is not, as it doesn't relate any real number x to e.g. y = 14.

Uniqueness and totality properties:

2.3. RELATIONS OVER A SET 5

A function: a relation that is functional and left-total. Both the green and the red relation are functions. An injective function: a relation that is injective, functional, and left-total. A surjective function or surjection: a relation that is functional, left-total, and right-total. A bijection: a surjective one-to-one or surjective injective function is said to be bijective, also known asone-to-one correspondence.[10] The green relation is bijective, but the red is not.

2.2.1 DifunctionalLess commonly encountered is the notion of difunctional (or regular) relation, dened as a relation R such thatR=RR1R.[11]

To understand this notion better, it helps to consider a relation as mapping every element xX to a set xR = { yY| xRy }.[11] This set is sometimes called the successor neighborhood of x in R; one can dene the predecessorneighborhood analogously.[12] Synonymous terms for these notions are afterset and respectively foreset.[5]

A difunctional relation can then be equivalently characterized as a relation R such that wherever x1R and x2R have anon-empty intersection, then these two sets coincide; formally x1R x2R implies x1R = x2R.[11]

As examples, any function or any functional (right-unique) relation is difunctional; the converse doesn't hold. If oneconsiders a relation R from set to itself (X = Y), then if R is both transitive and symmetric (i.e. a partial equivalencerelation), then it is also difunctional.[13] The converse of this latter statement also doesn't hold.A characterization of difunctional relations, which also explains their name, is to consider two functions f: A Cand g: B C and then dene the following set which generalizes the kernel of a single function as joint kernel: ker(f,g) = { (a, b) A B | f(a) = g(b) }. Every difunctional relation R A B arises as the joint kernel of two functionsf: A C and g: B C for some set C.[14]

In automata theory, the term rectangular relation has also been used to denote a difunctional relation. This ter-minology is justied by the fact that when represented as a boolean matrix, the columns and rows of a difunctionalrelation can be arranged in such a way as to present rectangular blocks of true on the (asymmetric) main diagonal.[15]Other authors however use the term rectangular to denote any heterogeneous relation whatsoever.[6]

2.3 Relations over a setIf X = Y then we simply say that the binary relation is over X, or that it is an endorelation over X.[16] In computerscience, such a relation is also called a homogeneous (binary) relation.[16][17][6] Some types of endorelations arewidely studied in graph theory, where they are known as simple directed graphs permitting loops.The set of all binary relations Rel(X) on a set X is the set 2X X which is a Boolean algebra augmented with theinvolution of mapping of a relation to its inverse relation. For the theoretical explanation see Relation algebra.Some important properties of a binary relation R over a set X are:

reexive: for all x in X it holds that xRx. For example, greater than or equal to () is a reexive relation butgreater than (>) is not.

irreexive (or strict): for all x in X it holds that not xRx. For example, > is an irreexive relation, but is not. coreexive: for all x and y in X it holds that if xRy then x = y. An example of a coreexive relation is therelation on integers in which each odd number is related to itself and there are no other relations. The equalityrelation is the only example of a both reexive and coreexive relation.

The previous 3 alternatives are far from being exhaustive; e.g. the red relation y=x2 from theabove picture is neither irreexive, nor coreexive, nor reexive, since it contains the pair(0,0), and (2,4), but not (2,2), respectively.

symmetric: for all x and y in X it holds that if xRy then yRx. Is a blood relative of is a symmetric relation,because x is a blood relative of y if and only if y is a blood relative of x.

6 CHAPTER 2. BINARY RELATION

antisymmetric: for all x and y in X, if xRy and yRx then x = y. For example, is anti-symmetric (so is >, butonly because the condition in the denition is always false).[18]

asymmetric: for all x and y in X, if xRy then not yRx. A relation is asymmetric if and only if it is bothanti-symmetric and irreexive.[19] For example, > is asymmetric, but is not.

transitive: for all x, y and z in X it holds that if xRy and yRz then xRz. A transitive relation is irreexive if andonly if it is asymmetric.[20] For example, is ancestor of is transitive, while is parent of is not.

total: for all x and y in X it holds that xRy or yRx (or both). This denition for total is dierent from left totalin the previous section. For example, is a total relation.

trichotomous: for all x and y in X exactly one of xRy, yRx or x = y holds. For example, > is a trichotomousrelation, while the relation divides on natural numbers is not.[21]

Euclidean: for all x, y and z in X it holds that if xRy and xRz, then yRz (and zRy). Equality is a Euclideanrelation because if x=y and x=z, then y=z.

serial: for all x in X, there exists y in X such that xRy. "Is greater than" is a serial relation on the integers. Butit is not a serial relation on the positive integers, because there is no y in the positive integers (i.e. the naturalnumbers) such that 1>y.[22] However, "is less than" is a serial relation on the positive integers, the rationalnumbers and the real numbers. Every reexive relation is serial: for a given x, choose y=x. A serial relation canbe equivalently characterized as every element having a non-empty successor neighborhood (see the previoussection for the denition of this notion). Similarly an inverse serial relation is a relation in which every elementhas non-empty predecessor neighborhood.[12]

set-like (or local): for every x in X, the class of all y such that yRx is a set. (This makes sense only if relationson proper classes are allowed.) The usual ordering < on the class of ordinal numbers is set-like, while its inverse> is not.

A relation that is reexive, symmetric, and transitive is called an equivalence relation. A relation that is symmetric,transitive, and serial is also reexive. A relation that is only symmetric and transitive (without necessarily beingreexive) is called a partial equivalence relation.A relation t