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Interpolation Heinrich Voss [email protected] Hamburg University of Technology Institute for Numerical Simulation TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 1 / 49

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Interpolation

Heinrich [email protected]

Hamburg University of TechnologyInstitute for Numerical Simulation

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 1 / 49

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Interpolation

Interpolationsproblem

Gegeben seien eine Funktion

Φ (x ; a1, . . . ,an) : R ⊃ I → R,

die auf einem Intervall I erklärt ist und von n Parametern a1, . . . ,an abhängt,paarweise verschiedene Knoten (oder Stützstellen) x1, . . . , xm ∈ I,

Vielfachheiten r1, . . . , rm ∈ N mitm∑

i=1ri = n und Werte yij ∈ R, i = 1, . . . ,m,

j = 0, . . . , ri − 1.

Bestimme die Parameter a1, . . . ,an so, dass die Interpolationsbedingungenerfüllt sind:

Φ(j) (xi ; a1, . . . ,an) = yij , i = 1, . . . ,m, j = 0, . . . , ri − 1 .

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 2 / 49

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Interpolation

Interpolationsproblem

Gegeben seien eine Funktion

Φ (x ; a1, . . . ,an) : R ⊃ I → R,

die auf einem Intervall I erklärt ist und von n Parametern a1, . . . ,an abhängt,paarweise verschiedene Knoten (oder Stützstellen) x1, . . . , xm ∈ I,

Vielfachheiten r1, . . . , rm ∈ N mitm∑

i=1ri = n und Werte yij ∈ R, i = 1, . . . ,m,

j = 0, . . . , ri − 1.

Bestimme die Parameter a1, . . . ,an so, dass die Interpolationsbedingungenerfüllt sind:

Φ(j) (xi ; a1, . . . ,an) = yij , i = 1, . . . ,m, j = 0, . . . , ri − 1 .

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 2 / 49

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Interpolation

Interpolationsproblem

Ist Φ linear in den Parametern ai , d.h.

Φ (x ; a1, . . . ,an) =n∑

i=1

aiφi (x) ,

so heißt das Interpolationsproblem linear.

Gilt rj = 1 für alle j , so spricht man von Lagrange Interpolation, andernfallsvon Hermite Interpolation.

Bemerkung: Bei der Lagrange Interpolation werden nur Funktionswerte, aberkeine Ableitungen vorgeschrieben. Man beachte, dass bei der HermiteInterpolation alle Ableitungen der Ordnung 0, . . . , ri − 1 vorgeschriebenwerden. Lässt man Lücken bei den vorgeschriebenen Ableitungen zu, sospricht man von einem Hermite Birkhoff Interpolationsproblem. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 3 / 49

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Interpolation

Interpolationsproblem

Ist Φ linear in den Parametern ai , d.h.

Φ (x ; a1, . . . ,an) =n∑

i=1

aiφi (x) ,

so heißt das Interpolationsproblem linear.

Gilt rj = 1 für alle j , so spricht man von Lagrange Interpolation, andernfallsvon Hermite Interpolation.

Bemerkung: Bei der Lagrange Interpolation werden nur Funktionswerte, aberkeine Ableitungen vorgeschrieben. Man beachte, dass bei der HermiteInterpolation alle Ableitungen der Ordnung 0, . . . , ri − 1 vorgeschriebenwerden. Lässt man Lücken bei den vorgeschriebenen Ableitungen zu, sospricht man von einem Hermite Birkhoff Interpolationsproblem. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 3 / 49

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Interpolation

Interpolationsproblem

Ist Φ linear in den Parametern ai , d.h.

Φ (x ; a1, . . . ,an) =n∑

i=1

aiφi (x) ,

so heißt das Interpolationsproblem linear.

Gilt rj = 1 für alle j , so spricht man von Lagrange Interpolation, andernfallsvon Hermite Interpolation.

Bemerkung: Bei der Lagrange Interpolation werden nur Funktionswerte, aberkeine Ableitungen vorgeschrieben. Man beachte, dass bei der HermiteInterpolation alle Ableitungen der Ordnung 0, . . . , ri − 1 vorgeschriebenwerden. Lässt man Lücken bei den vorgeschriebenen Ableitungen zu, sospricht man von einem Hermite Birkhoff Interpolationsproblem. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 3 / 49

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Interpolation

Interpolationsproblem

1. Polynominterpolation

Φ (x ; a0, . . . ,an) =n∑

j=0

ajx j

2. trigonometrische Interpolation

Φ (x ; a0, . . . ,a2n) = a0 +n∑

j=1

(a2j−1 sin(jx) + a2j cos(jx))

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 4 / 49

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Interpolation

Interpolationsproblem

1. Polynominterpolation

Φ (x ; a0, . . . ,an) =n∑

j=0

ajx j

2. trigonometrische Interpolation

Φ (x ; a0, . . . ,a2n) = a0 +n∑

j=1

(a2j−1 sin(jx) + a2j cos(jx))

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 4 / 49

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Interpolation

Interpolationsproblem

3. rationale Interpolation

Φ (x ; a0, . . . ,an,b0, . . .bp) =

∑ni=0 aix i∑pj=0 bjx j

.

4. Spline Interpolation

Φ (x ; a1, . . . ,an) =n∑

i=1

aiφi (x) ,

wobei die φi auf Teilintervallen von I mit Polynomen übereinstimmen.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 5 / 49

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Interpolation

Interpolationsproblem

3. rationale Interpolation

Φ (x ; a0, . . . ,an,b0, . . .bp) =

∑ni=0 aix i∑pj=0 bjx j

.

4. Spline Interpolation

Φ (x ; a1, . . . ,an) =n∑

i=1

aiφi (x) ,

wobei die φi auf Teilintervallen von I mit Polynomen übereinstimmen.

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Interpolation

Interpolationsproblem

Wir werden uns nur mit der Polynominterpolation und der Interpolation mitSplines beschäftigen. Die trigonometrische und die rationale Interpolationwerden ausführlich in den Büchern von Braess, Stoer und Schwarz behandelt.

Man benötigt die Interpolation zur1 Bestimmung von Zwischenwerten aus Funktionstafeln (was seit der

Verbreitung von elektronischen Taschenrechnern an Bedeutung verlorenhat),

2 Herleitung von Formeln zur numerischen Integration,3 Konvergenzbeschleunigung durch Extrapolation,4 Numerische Behandlung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 6 / 49

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Interpolation

Interpolationsproblem

Wir werden uns nur mit der Polynominterpolation und der Interpolation mitSplines beschäftigen. Die trigonometrische und die rationale Interpolationwerden ausführlich in den Büchern von Braess, Stoer und Schwarz behandelt.

Man benötigt die Interpolation zur1 Bestimmung von Zwischenwerten aus Funktionstafeln (was seit der

Verbreitung von elektronischen Taschenrechnern an Bedeutung verlorenhat),

2 Herleitung von Formeln zur numerischen Integration,3 Konvergenzbeschleunigung durch Extrapolation,4 Numerische Behandlung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 6 / 49

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Interpolation

Polynominterpolation

Wir betrachten in diesem Abschnitt die Interpolation mit Polynomen. Dabeibehandeln wir vor allem das Lagrangesche Interpolationsproblem.

Gegeben seien n + 1 verschiedene Knoten xj ∈ R, j = 0, . . . ,n, undn + 1 nicht notwendig verschiedene Werte yj ∈ R.Gesucht ist ein Polynom p vom Höchstgrade n, so dass gilt

p(xj ) = yj für j = 0, . . . ,n.

Die Beweise werden zeigen, dass die Existenz- und Eindeutigkeitsresultateund die Algorithmen zur Berechnung des Interpolationspolynoms ohneÄnderungen für komplexe Knoten xj und komplexe Daten yj richtig bleiben.Nur die Fehlerabschätzungen beziehen sich auschließlich auf reelleProbleme.

Wir bezeichnen mit Πn die Menge der Polynome von Höchstgrad n (mitreellen oder komplexen Koeffizienten).

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 7 / 49

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Interpolation

Polynominterpolation

Wir betrachten in diesem Abschnitt die Interpolation mit Polynomen. Dabeibehandeln wir vor allem das Lagrangesche Interpolationsproblem.

Gegeben seien n + 1 verschiedene Knoten xj ∈ R, j = 0, . . . ,n, undn + 1 nicht notwendig verschiedene Werte yj ∈ R.Gesucht ist ein Polynom p vom Höchstgrade n, so dass gilt

p(xj ) = yj für j = 0, . . . ,n.

Die Beweise werden zeigen, dass die Existenz- und Eindeutigkeitsresultateund die Algorithmen zur Berechnung des Interpolationspolynoms ohneÄnderungen für komplexe Knoten xj und komplexe Daten yj richtig bleiben.Nur die Fehlerabschätzungen beziehen sich auschließlich auf reelleProbleme.

Wir bezeichnen mit Πn die Menge der Polynome von Höchstgrad n (mitreellen oder komplexen Koeffizienten).

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Interpolation

Polynominterpolation

Wir betrachten in diesem Abschnitt die Interpolation mit Polynomen. Dabeibehandeln wir vor allem das Lagrangesche Interpolationsproblem.

Gegeben seien n + 1 verschiedene Knoten xj ∈ R, j = 0, . . . ,n, undn + 1 nicht notwendig verschiedene Werte yj ∈ R.Gesucht ist ein Polynom p vom Höchstgrade n, so dass gilt

p(xj ) = yj für j = 0, . . . ,n.

Die Beweise werden zeigen, dass die Existenz- und Eindeutigkeitsresultateund die Algorithmen zur Berechnung des Interpolationspolynoms ohneÄnderungen für komplexe Knoten xj und komplexe Daten yj richtig bleiben.Nur die Fehlerabschätzungen beziehen sich auschließlich auf reelleProbleme.

Wir bezeichnen mit Πn die Menge der Polynome von Höchstgrad n (mitreellen oder komplexen Koeffizienten).

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Interpolation

Polynominterpolation

Wir betrachten in diesem Abschnitt die Interpolation mit Polynomen. Dabeibehandeln wir vor allem das Lagrangesche Interpolationsproblem.

Gegeben seien n + 1 verschiedene Knoten xj ∈ R, j = 0, . . . ,n, undn + 1 nicht notwendig verschiedene Werte yj ∈ R.Gesucht ist ein Polynom p vom Höchstgrade n, so dass gilt

p(xj ) = yj für j = 0, . . . ,n.

Die Beweise werden zeigen, dass die Existenz- und Eindeutigkeitsresultateund die Algorithmen zur Berechnung des Interpolationspolynoms ohneÄnderungen für komplexe Knoten xj und komplexe Daten yj richtig bleiben.Nur die Fehlerabschätzungen beziehen sich auschließlich auf reelleProbleme.

Wir bezeichnen mit Πn die Menge der Polynome von Höchstgrad n (mitreellen oder komplexen Koeffizienten).

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Interpolation

Lagrangesche Interpolationsformel

Satz 2.4 [Existenz und Eindeutigkeit]Zu beliebigen n + 1 Daten (xj , yj ) ∈ R2, j = 0, . . . ,n, mit xj 6= xk für j 6= k gibtes genau ein Polynom p ∈ Πn mit

p(xj ) = yj , j = 0, . . . ,n . (1)

BeweisEindeutigkeit: Angenommen es gibt zwei Polynome p1,p2 ∈ Πn mitpk (xj ) = yj , j = 0, . . . ,n, k = 1,2. Dann besitzt das Polynom p := p1 − p2 ∈ Πndie n + 1 Nullstellen x0, . . . , xn, und daher folgt aus dem Fundamentalsatz derAlgebra p ≡ 0.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 8 / 49

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Interpolation

Lagrangesche Interpolationsformel

Satz 2.4 [Existenz und Eindeutigkeit]Zu beliebigen n + 1 Daten (xj , yj ) ∈ R2, j = 0, . . . ,n, mit xj 6= xk für j 6= k gibtes genau ein Polynom p ∈ Πn mit

p(xj ) = yj , j = 0, . . . ,n . (1)

BeweisEindeutigkeit: Angenommen es gibt zwei Polynome p1,p2 ∈ Πn mitpk (xj ) = yj , j = 0, . . . ,n, k = 1,2. Dann besitzt das Polynom p := p1 − p2 ∈ Πndie n + 1 Nullstellen x0, . . . , xn, und daher folgt aus dem Fundamentalsatz derAlgebra p ≡ 0.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 8 / 49

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Interpolation

Lagrangesche Interpolationsformel

Existenz: Die Existenz zeigen wir konstruktiv. Es sei

`j (x) =n∏

i=0i 6=j

(x − xi )

/n∏

i=0i 6=j

(xj − xi ) , j = 0, . . . ,n. (2)

Dann gilt `j ∈ Πn und `j (xk ) = δjk für j , k = 0, . . . ,n, und daher erfüllt

p(x) :=n∑

j=0

yj`j (x) ∈ Πn (3)

die Interpolationsbedingungen (1) . �

Definition Die Darstellung (2), (3) des Interpolationspolynoms heißtLagrangesche Interpolationsformel.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 9 / 49

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Interpolation

Lagrangesche Interpolationsformel

Existenz: Die Existenz zeigen wir konstruktiv. Es sei

`j (x) =n∏

i=0i 6=j

(x − xi )

/n∏

i=0i 6=j

(xj − xi ) , j = 0, . . . ,n. (2)

Dann gilt `j ∈ Πn und `j (xk ) = δjk für j , k = 0, . . . ,n, und daher erfüllt

p(x) :=n∑

j=0

yj`j (x) ∈ Πn (3)

die Interpolationsbedingungen (1) . �

Definition Die Darstellung (2), (3) des Interpolationspolynoms heißtLagrangesche Interpolationsformel.

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Interpolation

Lagrangesche Interpolationsformel

Existenz: Die Existenz zeigen wir konstruktiv. Es sei

`j (x) =n∏

i=0i 6=j

(x − xi )

/n∏

i=0i 6=j

(xj − xi ) , j = 0, . . . ,n. (2)

Dann gilt `j ∈ Πn und `j (xk ) = δjk für j , k = 0, . . . ,n, und daher erfüllt

p(x) :=n∑

j=0

yj`j (x) ∈ Πn (3)

die Interpolationsbedingungen (1) . �

Definition Die Darstellung (2), (3) des Interpolationspolynoms heißtLagrangesche Interpolationsformel.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 9 / 49

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Interpolation

Lagrangesche Interpolationsformel

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−0.5

0

0.5

1

1.5Interpolationspolynom: (0,1), (1,−0.5), (2,0), (3,−0.5), (4,0)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 10 / 49

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Interpolation

Lagrangesche Interpolationsformel

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Basisfunktionen Lagrange Interpolation: (0,1), (1,−0.5), (2,0), (3,−0.5), (4,0)

l0

l1

l2

l3

l4

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 11 / 49

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Interpolation

Software

MATLAB stellt die Funktionen p=polyfit(x,y,n) zur Verfügung, durch die dieKoeffizienten p des Ausgleichspolynoms vom Grad n zu den Daten (x , y)bestimmt werden.

Ist dim x = n + 1, so erhält man das Interpolationspolynom.

Mit y=polyval(p,x) kann man das Polynom dann an der Stelle x (oder denStellen x(j), falls x ein Vektor ist) auswerten. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 12 / 49

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Interpolation

Software

MATLAB stellt die Funktionen p=polyfit(x,y,n) zur Verfügung, durch die dieKoeffizienten p des Ausgleichspolynoms vom Grad n zu den Daten (x , y)bestimmt werden.

Ist dim x = n + 1, so erhält man das Interpolationspolynom.

Mit y=polyval(p,x) kann man das Polynom dann an der Stelle x (oder denStellen x(j), falls x ein Vektor ist) auswerten. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 12 / 49

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Interpolation

Software

MATLAB stellt die Funktionen p=polyfit(x,y,n) zur Verfügung, durch die dieKoeffizienten p des Ausgleichspolynoms vom Grad n zu den Daten (x , y)bestimmt werden.

Ist dim x = n + 1, so erhält man das Interpolationspolynom.

Mit y=polyval(p,x) kann man das Polynom dann an der Stelle x (oder denStellen x(j), falls x ein Vektor ist) auswerten. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 12 / 49

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Interpolation

Newtonsche Interpolationsformel

Wir werden nun eine Form des Interpolationspolynoms herleiten, bei der1.5n(n + 1) flops zur Vorbereitung benötigt werden, die Auswertung an einerfesten Stelle dann aber nur noch 3n flops erfordert. Wir behandeln dazuzunächst die folgende Frage:

Das Polynom pn(x) ∈ Πn interpoliere die Daten (xj , yj ) ∈ R2, j = 0, . . . ,n. Wirnehmen ein weiteres Zahlenpaar (xn+1, yn+1) ∈ R2, xn+1 6= xj , j = 0, . . . ,n,hinzu.

Kann man dann das Interpolationspolynom pn+1(x) ∈ Πn+1 zu den Daten(xj , yj ), j = 0, . . . ,n + 1, schreiben als

pn+1(x) = pn(x) + f (x)

mit einer leicht berechenbaren Funktion f (x)?

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 13 / 49

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Interpolation

Newtonsche Interpolationsformel

Wir werden nun eine Form des Interpolationspolynoms herleiten, bei der1.5n(n + 1) flops zur Vorbereitung benötigt werden, die Auswertung an einerfesten Stelle dann aber nur noch 3n flops erfordert. Wir behandeln dazuzunächst die folgende Frage:

Das Polynom pn(x) ∈ Πn interpoliere die Daten (xj , yj ) ∈ R2, j = 0, . . . ,n. Wirnehmen ein weiteres Zahlenpaar (xn+1, yn+1) ∈ R2, xn+1 6= xj , j = 0, . . . ,n,hinzu.

Kann man dann das Interpolationspolynom pn+1(x) ∈ Πn+1 zu den Daten(xj , yj ), j = 0, . . . ,n + 1, schreiben als

pn+1(x) = pn(x) + f (x)

mit einer leicht berechenbaren Funktion f (x)?

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 13 / 49

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Interpolation

Newtonsche Interpolationsformel

Wir werden nun eine Form des Interpolationspolynoms herleiten, bei der1.5n(n + 1) flops zur Vorbereitung benötigt werden, die Auswertung an einerfesten Stelle dann aber nur noch 3n flops erfordert. Wir behandeln dazuzunächst die folgende Frage:

Das Polynom pn(x) ∈ Πn interpoliere die Daten (xj , yj ) ∈ R2, j = 0, . . . ,n. Wirnehmen ein weiteres Zahlenpaar (xn+1, yn+1) ∈ R2, xn+1 6= xj , j = 0, . . . ,n,hinzu.

Kann man dann das Interpolationspolynom pn+1(x) ∈ Πn+1 zu den Daten(xj , yj ), j = 0, . . . ,n + 1, schreiben als

pn+1(x) = pn(x) + f (x)

mit einer leicht berechenbaren Funktion f (x)?

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 13 / 49

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Interpolation

Newtonsche InterpolationsformelWegen pn(x) ∈ Πn, pn+1(x) ∈ Πn+1 gilt f (x) = pn+1(x)− pn(x) ∈ Πn+1, undwegen

yj = pn+1(xj ) = pn(xj ) + f (xj ) = yj + f (xj ), j = 0, . . . ,n,

gilt f (xj ) = 0, j = 0, . . . ,n.

Daher hat f (x) mit einem a ∈ R die Gestalt

f (x) = an∏

j=0

(x − xj ).

a kann man aus der Interpolationsbedingung

yn+1 = pn+1(xn+1) = pn(xn+1) + an∏

j=0

(xn+1 − xj )

ermitteln:a =

yn+1 − pn(xn+1)

(xn+1 − x0) · · · · · (xn+1 − xn).

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 14 / 49

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Interpolation

Newtonsche InterpolationsformelWegen pn(x) ∈ Πn, pn+1(x) ∈ Πn+1 gilt f (x) = pn+1(x)− pn(x) ∈ Πn+1, undwegen

yj = pn+1(xj ) = pn(xj ) + f (xj ) = yj + f (xj ), j = 0, . . . ,n,

gilt f (xj ) = 0, j = 0, . . . ,n.

Daher hat f (x) mit einem a ∈ R die Gestalt

f (x) = an∏

j=0

(x − xj ).

a kann man aus der Interpolationsbedingung

yn+1 = pn+1(xn+1) = pn(xn+1) + an∏

j=0

(xn+1 − xj )

ermitteln:a =

yn+1 − pn(xn+1)

(xn+1 − x0) · · · · · (xn+1 − xn).

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 14 / 49

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Interpolation

Newtonsche InterpolationsformelWegen pn(x) ∈ Πn, pn+1(x) ∈ Πn+1 gilt f (x) = pn+1(x)− pn(x) ∈ Πn+1, undwegen

yj = pn+1(xj ) = pn(xj ) + f (xj ) = yj + f (xj ), j = 0, . . . ,n,

gilt f (xj ) = 0, j = 0, . . . ,n.

Daher hat f (x) mit einem a ∈ R die Gestalt

f (x) = an∏

j=0

(x − xj ).

a kann man aus der Interpolationsbedingung

yn+1 = pn+1(xn+1) = pn(xn+1) + an∏

j=0

(xn+1 − xj )

ermitteln:a =

yn+1 − pn(xn+1)

(xn+1 − x0) · · · · · (xn+1 − xn).

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 14 / 49

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Interpolation

Satz 2.10 (Aitken Lemma)

Es sei zu (xj , yj ) ∈ R2, j = 0, . . . ,n, xi 6= xj für i 6= j , das Interpolationspolynomgesucht.

Seien p[0] ∈ Πn−1 durch die Interpolationsbedingungen p[0](xj ) = yj ,j = 0, . . . ,n − 1, festgelegt, und sei p[n] ∈ Πn−1 definiert durch p[n](xj ) = yj ,j = 1, . . . ,n.

Dann gilt

p(x) =p[0](x)(x − xn)− p[n](x)(x − x0)

x0 − xn.

BeweisDas angegebene Polynom erfüllt offenbar die Interpolationsbedingungenp(xj ) = yj , j = 0, . . . ,n. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 15 / 49

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Interpolation

Satz 2.10 (Aitken Lemma)

Es sei zu (xj , yj ) ∈ R2, j = 0, . . . ,n, xi 6= xj für i 6= j , das Interpolationspolynomgesucht.

Seien p[0] ∈ Πn−1 durch die Interpolationsbedingungen p[0](xj ) = yj ,j = 0, . . . ,n − 1, festgelegt, und sei p[n] ∈ Πn−1 definiert durch p[n](xj ) = yj ,j = 1, . . . ,n.

Dann gilt

p(x) =p[0](x)(x − xn)− p[n](x)(x − x0)

x0 − xn.

BeweisDas angegebene Polynom erfüllt offenbar die Interpolationsbedingungenp(xj ) = yj , j = 0, . . . ,n. �

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Interpolation

Satz 2.10 (Aitken Lemma)

Es sei zu (xj , yj ) ∈ R2, j = 0, . . . ,n, xi 6= xj für i 6= j , das Interpolationspolynomgesucht.

Seien p[0] ∈ Πn−1 durch die Interpolationsbedingungen p[0](xj ) = yj ,j = 0, . . . ,n − 1, festgelegt, und sei p[n] ∈ Πn−1 definiert durch p[n](xj ) = yj ,j = 1, . . . ,n.

Dann gilt

p(x) =p[0](x)(x − xn)− p[n](x)(x − x0)

x0 − xn.

BeweisDas angegebene Polynom erfüllt offenbar die Interpolationsbedingungenp(xj ) = yj , j = 0, . . . ,n. �

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Interpolation

Satz 2.10 (Aitken Lemma)

Es sei zu (xj , yj ) ∈ R2, j = 0, . . . ,n, xi 6= xj für i 6= j , das Interpolationspolynomgesucht.

Seien p[0] ∈ Πn−1 durch die Interpolationsbedingungen p[0](xj ) = yj ,j = 0, . . . ,n − 1, festgelegt, und sei p[n] ∈ Πn−1 definiert durch p[n](xj ) = yj ,j = 1, . . . ,n.

Dann gilt

p(x) =p[0](x)(x − xn)− p[n](x)(x − x0)

x0 − xn.

BeweisDas angegebene Polynom erfüllt offenbar die Interpolationsbedingungenp(xj ) = yj , j = 0, . . . ,n. �

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Interpolation

Rekursionsformel

Für 0 ≤ i ≤ j ≤ n sei nun pij ∈ Πj−i das Interpolationspolynom, daspij (xk ) = yk , k = i , . . . , j , erfüllt.

Dann folgt aus dem Aitken Lemma, dass die pij rekursiv berechnet werdenkönnen durch

pij (x) =pi,j−1(x)(x − xj )− pi+1,j (x)(x − xi )

xi − xj(4)

= pi+1,j (x) + (pi+1,j (x)− pi,j−1(x))x − xj

xj − xi

Diese Rekursionsformel kann verwendet werden, um den Wert desInterpolationspolynoms an einer festen Stelle x (nicht das Polynom selbst) zuberechnen:

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 16 / 49

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Interpolation

Rekursionsformel

Für 0 ≤ i ≤ j ≤ n sei nun pij ∈ Πj−i das Interpolationspolynom, daspij (xk ) = yk , k = i , . . . , j , erfüllt.

Dann folgt aus dem Aitken Lemma, dass die pij rekursiv berechnet werdenkönnen durch

pij (x) =pi,j−1(x)(x − xj )− pi+1,j (x)(x − xi )

xi − xj(4)

= pi+1,j (x) + (pi+1,j (x)− pi,j−1(x))x − xj

xj − xi

Diese Rekursionsformel kann verwendet werden, um den Wert desInterpolationspolynoms an einer festen Stelle x (nicht das Polynom selbst) zuberechnen:

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 16 / 49

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Interpolation

Rekursionsformel

Für 0 ≤ i ≤ j ≤ n sei nun pij ∈ Πj−i das Interpolationspolynom, daspij (xk ) = yk , k = i , . . . , j , erfüllt.

Dann folgt aus dem Aitken Lemma, dass die pij rekursiv berechnet werdenkönnen durch

pij (x) =pi,j−1(x)(x − xj )− pi+1,j (x)(x − xi )

xi − xj(4)

= pi+1,j (x) + (pi+1,j (x)− pi,j−1(x))x − xj

xj − xi

Diese Rekursionsformel kann verwendet werden, um den Wert desInterpolationspolynoms an einer festen Stelle x (nicht das Polynom selbst) zuberechnen:

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 16 / 49

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Interpolation

Algorithmus von Neville und Aitken

for j = 0 : n dot(j) = y(j);xj = x - x(j);if j > 0 then

for i = j-1 : -1 : 0 dot(i) = t(i+1) + (t(i+1) - t(i))*xj /(x(j) - x(i));

end forend if

end forp = t(0)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 17 / 49

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Interpolation

Bemerkung

Mit dem Algorithmus von Neville und Aitken wird das linke Tableau aufgestellt,das die Werte Pij der interpolierenden Polynome pij an der festen Stelle xenthält. Das rechte Tableau enthält die Reihenfolge, in der die Pij berechnetwerden.

x0 y0 = P00x1 y1 = P11x2 y2 = P22x3 y3 = P33x4 y4 = P44

P01P12P23P34

P02P13P24

P03P14

P04 = p(x)

1247

11

358

12

69

13

1014 15

Zur Auswertung des Interpolationspolynoms p an einer festen Stelle benötigtman mit dem Algorithmus von Neville und Aitken offenbar 5

2 n2 +O(n) flops. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 18 / 49

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Interpolation

Bemerkung

Mit dem Algorithmus von Neville und Aitken wird das linke Tableau aufgestellt,das die Werte Pij der interpolierenden Polynome pij an der festen Stelle xenthält. Das rechte Tableau enthält die Reihenfolge, in der die Pij berechnetwerden.

x0 y0 = P00x1 y1 = P11x2 y2 = P22x3 y3 = P33x4 y4 = P44

P01P12P23P34

P02P13P24

P03P14

P04 = p(x)

1247

11

358

12

69

13

1014 15

Zur Auswertung des Interpolationspolynoms p an einer festen Stelle benötigtman mit dem Algorithmus von Neville und Aitken offenbar 5

2 n2 +O(n) flops. �

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Interpolation

Bemerkung

Mit dem Algorithmus von Neville und Aitken wird das linke Tableau aufgestellt,das die Werte Pij der interpolierenden Polynome pij an der festen Stelle xenthält. Das rechte Tableau enthält die Reihenfolge, in der die Pij berechnetwerden.

x0 y0 = P00x1 y1 = P11x2 y2 = P22x3 y3 = P33x4 y4 = P44

P01P12P23P34

P02P13P24

P03P14

P04 = p(x)

1247

11

358

12

69

13

1014 15

Zur Auswertung des Interpolationspolynoms p an einer festen Stelle benötigtman mit dem Algorithmus von Neville und Aitken offenbar 5

2 n2 +O(n) flops. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 18 / 49

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Interpolation

Bemerkung

Natürlich erhält man für jede Anordnung der Knoten xi (beirundungsfehlerfreier Rechnung) dasselbe Interpolationspolynom pn(x).

Will man pn(x) nur an einer Stelle x (oder in deren Nähe ) auswerten, so kannman den Rundungsfehlereinfluss klein halten, indem man die Knoten sonumeriert, dass gilt

|x − xi | ≤ |x − xi+1| , i = 0, . . . ,n − 1 .

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 19 / 49

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Interpolation

Bemerkung

Natürlich erhält man für jede Anordnung der Knoten xi (beirundungsfehlerfreier Rechnung) dasselbe Interpolationspolynom pn(x).

Will man pn(x) nur an einer Stelle x (oder in deren Nähe ) auswerten, so kannman den Rundungsfehlereinfluss klein halten, indem man die Knoten sonumeriert, dass gilt

|x − xi | ≤ |x − xi+1| , i = 0, . . . ,n − 1 .

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 19 / 49

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Interpolation

Newtonsche Interpolationsformel

Die folgende Rekursionsformel wurde hergeleitet

p0n(x) =p1,n(x)(x − x0)− p0,n−1(x)(x − xn)

xn − x0,

wobei p0,n−1 bzw. p1,n die Daten (x0, y0), . . . , (xn−1, yn−1) bzw.(x1, y1), . . . , (xn, yn) interpoliert.

Da a der Koeffizient bei der hoechsten Potenz xn in p0n ist, folgt

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 20 / 49

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Interpolation

Newtonsche Interpolationsformel

Die folgende Rekursionsformel wurde hergeleitet

p0n(x) =p1,n(x)(x − x0)− p0,n−1(x)(x − xn)

xn − x0,

wobei p0,n−1 bzw. p1,n die Daten (x0, y0), . . . , (xn−1, yn−1) bzw.(x1, y1), . . . , (xn, yn) interpoliert.

Da a der Koeffizient bei der hoechsten Potenz xn in p0n ist, folgt

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 20 / 49

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Interpolation

Satz 2.13 Newtonsche Interpolationsformel

Das Interpolationspolynom p ∈ Πn aus hat die Gestalt

p(x) =n∑

j=0

[x0, . . . , xj ]

j−1∏k=0

(x − xk ),

wobei die dividierten Differenzen [x0, . . . , xj ] rekursiv definiert sind durch

[xj ] := yj ,

[xk , . . . , xj ] :=[xk+1, . . . , xj ]− [xk , . . . , xj−1]

xj − xk, j > k ≥ 0.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 21 / 49

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Interpolation

Satz 2.13 Newtonsche Interpolationsformel

Das Interpolationspolynom p ∈ Πn aus hat die Gestalt

p(x) =n∑

j=0

[x0, . . . , xj ]

j−1∏k=0

(x − xk ),

wobei die dividierten Differenzen [x0, . . . , xj ] rekursiv definiert sind durch

[xj ] := yj ,

[xk , . . . , xj ] :=[xk+1, . . . , xj ]− [xk , . . . , xj−1]

xj − xk, j > k ≥ 0.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 21 / 49

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Interpolation

Dividierte DifferenzenDie dividierten Differenzen cj := [x0, . . . , xj ] kann man mit folgendemAlgorithmus aus den Wertepaaren (xj , yj ) berechnen:

for k = 0 : n dot(k) = y(k);if k > 0 then

for i = k-1 : -1 : 0 dot(i) = (t(i+1) - t(i)) / (x(k) - x(i));

end forend ifc(k) = t(0);

end for

Danach kann man das Interpolationspolynom an jeder gewünschten Stelle x0mit einem Horner-ähnlichen Schema auswerten:

p = c(n);for i = n-1 : -1 : 0 do

p = p * (x0 - x(i)) + c(i);end for

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 22 / 49

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Interpolation

Dividierte DifferenzenDie dividierten Differenzen cj := [x0, . . . , xj ] kann man mit folgendemAlgorithmus aus den Wertepaaren (xj , yj ) berechnen:

for k = 0 : n dot(k) = y(k);if k > 0 then

for i = k-1 : -1 : 0 dot(i) = (t(i+1) - t(i)) / (x(k) - x(i));

end forend ifc(k) = t(0);

end for

Danach kann man das Interpolationspolynom an jeder gewünschten Stelle x0mit einem Horner-ähnlichen Schema auswerten:

p = c(n);for i = n-1 : -1 : 0 do

p = p * (x0 - x(i)) + c(i);end for

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 22 / 49

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Interpolation

Dividierte DifferenzenDie dividierten Differenzen cj := [x0, . . . , xj ] kann man mit folgendemAlgorithmus aus den Wertepaaren (xj , yj ) berechnen:

for k = 0 : n dot(k) = y(k);if k > 0 then

for i = k-1 : -1 : 0 dot(i) = (t(i+1) - t(i)) / (x(k) - x(i));

end forend ifc(k) = t(0);

end for

Danach kann man das Interpolationspolynom an jeder gewünschten Stelle x0mit einem Horner-ähnlichen Schema auswerten:

p = c(n);for i = n-1 : -1 : 0 do

p = p * (x0 - x(i)) + c(i);end for

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 22 / 49

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Interpolation

Aufwand

Man benötigt (wie für die Berechnung der Stützkoeffizienten bei derLagrangeschen Interpolationsformel) 3

2 n (n + 1) flops zur Berechnung aller cj ,zur Auswertung von p an einer festen Stelle x̂ zusätzlich 3n flops.

Die Newtonsche Interpolationsformel liefert also die effizienteste Methode zurAuswertung des Interpolationspolynoms.

Selbst wenn man nur an einem Funktionswert interessiert ist, ist der Aufwandgeringer als mit dem Algorithmus von Neville und Aitken.

Wegen seiner einfachen Gestalt wird der Algorithmus von Neville und Aitkendennoch in der Praxis verwendet.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 23 / 49

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Interpolation

Aufwand

Man benötigt (wie für die Berechnung der Stützkoeffizienten bei derLagrangeschen Interpolationsformel) 3

2 n (n + 1) flops zur Berechnung aller cj ,zur Auswertung von p an einer festen Stelle x̂ zusätzlich 3n flops.

Die Newtonsche Interpolationsformel liefert also die effizienteste Methode zurAuswertung des Interpolationspolynoms.

Selbst wenn man nur an einem Funktionswert interessiert ist, ist der Aufwandgeringer als mit dem Algorithmus von Neville und Aitken.

Wegen seiner einfachen Gestalt wird der Algorithmus von Neville und Aitkendennoch in der Praxis verwendet.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 23 / 49

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Interpolation

Aufwand

Man benötigt (wie für die Berechnung der Stützkoeffizienten bei derLagrangeschen Interpolationsformel) 3

2 n (n + 1) flops zur Berechnung aller cj ,zur Auswertung von p an einer festen Stelle x̂ zusätzlich 3n flops.

Die Newtonsche Interpolationsformel liefert also die effizienteste Methode zurAuswertung des Interpolationspolynoms.

Selbst wenn man nur an einem Funktionswert interessiert ist, ist der Aufwandgeringer als mit dem Algorithmus von Neville und Aitken.

Wegen seiner einfachen Gestalt wird der Algorithmus von Neville und Aitkendennoch in der Praxis verwendet.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 23 / 49

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Interpolation

Aufwand

Man benötigt (wie für die Berechnung der Stützkoeffizienten bei derLagrangeschen Interpolationsformel) 3

2 n (n + 1) flops zur Berechnung aller cj ,zur Auswertung von p an einer festen Stelle x̂ zusätzlich 3n flops.

Die Newtonsche Interpolationsformel liefert also die effizienteste Methode zurAuswertung des Interpolationspolynoms.

Selbst wenn man nur an einem Funktionswert interessiert ist, ist der Aufwandgeringer als mit dem Algorithmus von Neville und Aitken.

Wegen seiner einfachen Gestalt wird der Algorithmus von Neville und Aitkendennoch in der Praxis verwendet.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 23 / 49

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Interpolation

Fehlerbetrachtung

Wir behandeln nun die Frage, wie gut eine gegebene, auf einem reellenIntervall definierte Funktion f durch das Interpolationspolynom zuvorgegebenen Knoten xi in I approximiert wird (es sei also yi = f (xi )).

Beispiel 2.20Gegeben sei auf dem Intervall I = [−1,1]

f (x) = sinπx

und p8(x) ∈ Π8, das Interpolationspolynom zu den Knoten

xi = −1 + i · 0.25 , i = 0, . . . ,8 .

Dann erhält man die Fehlerkurve der folgenden Abbildung.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 24 / 49

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Interpolation

Fehlerbetrachtung

Wir behandeln nun die Frage, wie gut eine gegebene, auf einem reellenIntervall definierte Funktion f durch das Interpolationspolynom zuvorgegebenen Knoten xi in I approximiert wird (es sei also yi = f (xi )).

Beispiel 2.20Gegeben sei auf dem Intervall I = [−1,1]

f (x) = sinπx

und p8(x) ∈ Π8, das Interpolationspolynom zu den Knoten

xi = −1 + i · 0.25 , i = 0, . . . ,8 .

Dann erhält man die Fehlerkurve der folgenden Abbildung.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 24 / 49

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Interpolation

Fehlerkurve

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5

0

0.5

1

x 10−3

Fehlerkurve (äquidistante Knoten)TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 25 / 49

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Interpolation

Fehlerbetrachtung

Das Interpolationspolynom liefert also am Rande des Intervalls eine ziemlichschlechte Approximation für f , obwohl f sehr gutartig ist (beliebig oftdifferenzierbar).

Das gezeichnete Verhalten ist typisch für die Polynominterpolation mitäquidistanten Knoten bei größerem n.

Eine gewisse Erklärung hierfür gibt der folgende Satz.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 26 / 49

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Interpolation

Fehlerbetrachtung

Das Interpolationspolynom liefert also am Rande des Intervalls eine ziemlichschlechte Approximation für f , obwohl f sehr gutartig ist (beliebig oftdifferenzierbar).

Das gezeichnete Verhalten ist typisch für die Polynominterpolation mitäquidistanten Knoten bei größerem n.

Eine gewisse Erklärung hierfür gibt der folgende Satz.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 26 / 49

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Interpolation

Fehlerbetrachtung

Das Interpolationspolynom liefert also am Rande des Intervalls eine ziemlichschlechte Approximation für f , obwohl f sehr gutartig ist (beliebig oftdifferenzierbar).

Das gezeichnete Verhalten ist typisch für die Polynominterpolation mitäquidistanten Knoten bei größerem n.

Eine gewisse Erklärung hierfür gibt der folgende Satz.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 26 / 49

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Interpolation

Satz 2.21

Sei f ∈ Cn+1[a,b], seien xj ∈ [a,b], j = 0, . . . ,n, paarweise verschiedeneKnoten, und sei p ∈ Πn das durch p(xj ) = f (xj ), j = 0, . . . ,n, bestimmteInterpolationspolynom. Dann gilt:

Zu jedem x ∈ [a,b] existiert ξ = ξ(x) aus dem kleinsten IntervallI (x , x0, . . . , xn) , das alle xj und x enthält, so dass

f (x)− p(x) =ω(x)

(n + 1)!f (n+1)(ξ), (5)

gilt mit

ω(x) =n∏

i=0

(x − xi ) . (6)

Bemerkung 2.22 ω hat für äquidistante Knoten xj die Gestalt von f − p8 derSkizze aus Abbildung 1. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 27 / 49

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Interpolation

Satz 2.21

Sei f ∈ Cn+1[a,b], seien xj ∈ [a,b], j = 0, . . . ,n, paarweise verschiedeneKnoten, und sei p ∈ Πn das durch p(xj ) = f (xj ), j = 0, . . . ,n, bestimmteInterpolationspolynom. Dann gilt:

Zu jedem x ∈ [a,b] existiert ξ = ξ(x) aus dem kleinsten IntervallI (x , x0, . . . , xn) , das alle xj und x enthält, so dass

f (x)− p(x) =ω(x)

(n + 1)!f (n+1)(ξ), (5)

gilt mit

ω(x) =n∏

i=0

(x − xi ) . (6)

Bemerkung 2.22 ω hat für äquidistante Knoten xj die Gestalt von f − p8 derSkizze aus Abbildung 1. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 27 / 49

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Interpolation

Satz 2.21

Sei f ∈ Cn+1[a,b], seien xj ∈ [a,b], j = 0, . . . ,n, paarweise verschiedeneKnoten, und sei p ∈ Πn das durch p(xj ) = f (xj ), j = 0, . . . ,n, bestimmteInterpolationspolynom. Dann gilt:

Zu jedem x ∈ [a,b] existiert ξ = ξ(x) aus dem kleinsten IntervallI (x , x0, . . . , xn) , das alle xj und x enthält, so dass

f (x)− p(x) =ω(x)

(n + 1)!f (n+1)(ξ), (5)

gilt mit

ω(x) =n∏

i=0

(x − xi ) . (6)

Bemerkung 2.22 ω hat für äquidistante Knoten xj die Gestalt von f − p8 derSkizze aus Abbildung 1. �

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Interpolation

Beweis

Für x = xj , j = 0, . . . ,n, ist die Aussage trivial.

Für festes x 6= xj betrachten wir die Funktion

F (z) := f (z)− p(z)− αω(z) (7)

und bestimmen α ∈ R so, dass F (x) = 0 gilt.

Dann besitzt F in I (x , x0, . . . , xn) wenigstens n + 2 Nullstellen. Nach dem Satzvon Rolle besitzt F ′ dort wenigstens n + 1 Nullstellen, F ′′ wenigstens nNullstellen, . . . Schließlich hat F (n+1) mindestens eine Nullstelleξ ∈ I (x , x0, . . . , xn) .

Wegen p ∈ Πn erhält man aus (7)

F (n+1)(ξ) = f (n+1)(ξ)− 0− α · (n + 1)! = 0 .

Hiermit folgt wegen F (x) = 0 aus (7) die Behauptung. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 28 / 49

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Interpolation

Beweis

Für x = xj , j = 0, . . . ,n, ist die Aussage trivial.

Für festes x 6= xj betrachten wir die Funktion

F (z) := f (z)− p(z)− αω(z) (7)

und bestimmen α ∈ R so, dass F (x) = 0 gilt.

Dann besitzt F in I (x , x0, . . . , xn) wenigstens n + 2 Nullstellen. Nach dem Satzvon Rolle besitzt F ′ dort wenigstens n + 1 Nullstellen, F ′′ wenigstens nNullstellen, . . . Schließlich hat F (n+1) mindestens eine Nullstelleξ ∈ I (x , x0, . . . , xn) .

Wegen p ∈ Πn erhält man aus (7)

F (n+1)(ξ) = f (n+1)(ξ)− 0− α · (n + 1)! = 0 .

Hiermit folgt wegen F (x) = 0 aus (7) die Behauptung. �

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Interpolation

Beweis

Für x = xj , j = 0, . . . ,n, ist die Aussage trivial.

Für festes x 6= xj betrachten wir die Funktion

F (z) := f (z)− p(z)− αω(z) (7)

und bestimmen α ∈ R so, dass F (x) = 0 gilt.

Dann besitzt F in I (x , x0, . . . , xn) wenigstens n + 2 Nullstellen. Nach dem Satzvon Rolle besitzt F ′ dort wenigstens n + 1 Nullstellen, F ′′ wenigstens nNullstellen, . . . Schließlich hat F (n+1) mindestens eine Nullstelleξ ∈ I (x , x0, . . . , xn) .

Wegen p ∈ Πn erhält man aus (7)

F (n+1)(ξ) = f (n+1)(ξ)− 0− α · (n + 1)! = 0 .

Hiermit folgt wegen F (x) = 0 aus (7) die Behauptung. �

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Interpolation

Beweis

Für x = xj , j = 0, . . . ,n, ist die Aussage trivial.

Für festes x 6= xj betrachten wir die Funktion

F (z) := f (z)− p(z)− αω(z) (7)

und bestimmen α ∈ R so, dass F (x) = 0 gilt.

Dann besitzt F in I (x , x0, . . . , xn) wenigstens n + 2 Nullstellen. Nach dem Satzvon Rolle besitzt F ′ dort wenigstens n + 1 Nullstellen, F ′′ wenigstens nNullstellen, . . . Schließlich hat F (n+1) mindestens eine Nullstelleξ ∈ I (x , x0, . . . , xn) .

Wegen p ∈ Πn erhält man aus (7)

F (n+1)(ξ) = f (n+1)(ξ)− 0− α · (n + 1)! = 0 .

Hiermit folgt wegen F (x) = 0 aus (7) die Behauptung. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 28 / 49

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Interpolation

Aus Satz 2.21 erhält man die folgende Abschätzung für die Güte derApproximation einer Funktion durch das Interpolationspolynom

‖f − p‖∞ := maxx∈[a,b]

|f (x)− p(x)| ≤ K (f )

(n + 1)!‖ω‖∞ , (8)

wobeiK (f ) = ‖f (n+1)‖∞ . �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 29 / 49

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Interpolation

Satz von Faber

Zu jeder Folge von Zerlegungen

∆n : a ≤ xn0 < xn

1 < . . . < xnn ≤ b

von [a,b] mitmax

i=1,...,n

(xn

i − xni−1)→ 0 für n→∞

gibt es ein f ∈ C[a,b], so dass die Folge der zugehörigenInterpolationspolynome pn ∈ Πn, die f an den Knoten xn

j interpolieren, nichtgleichmäßig gegen f konvergiert.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 30 / 49

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Interpolation

Spline Interpolation

Die in den vorhergehenden Abschnitten behandelte Polynominterpolation istzwar leicht durchführbar, hat aber den Nachteil, dass bei Verfeinerung derZerlegung keine Konvergenz zu erwarten ist.

Bessere Konvergenzeigenschaften haben die nun zu besprechendenSpline-Funktionen.

Sei∆ : a = x0 < x1 < . . . < xn =: b

eine Zerlegung des Intervalls [a,b].Dann bezeichnen wir mit S(∆,p,q), p,q ∈ N0, 0 ≤ q < p, die Menge allerFunktionen s ∈ Cq[a,b], die auf jedem Teilintervall [xi−1, xi ], i = 1, . . . ,n, miteinem Polynom vom Höchstgrad p übereinstimmen.

Jedes s ∈ S(∆,p,q) heißt (Polynom-)Spline vom Grade p derDifferenzierbarkeitsklasse q zur Zerlegung ∆ .

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 31 / 49

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Interpolation

Spline Interpolation

Die in den vorhergehenden Abschnitten behandelte Polynominterpolation istzwar leicht durchführbar, hat aber den Nachteil, dass bei Verfeinerung derZerlegung keine Konvergenz zu erwarten ist.

Bessere Konvergenzeigenschaften haben die nun zu besprechendenSpline-Funktionen.

Sei∆ : a = x0 < x1 < . . . < xn =: b

eine Zerlegung des Intervalls [a,b].Dann bezeichnen wir mit S(∆,p,q), p,q ∈ N0, 0 ≤ q < p, die Menge allerFunktionen s ∈ Cq[a,b], die auf jedem Teilintervall [xi−1, xi ], i = 1, . . . ,n, miteinem Polynom vom Höchstgrad p übereinstimmen.

Jedes s ∈ S(∆,p,q) heißt (Polynom-)Spline vom Grade p derDifferenzierbarkeitsklasse q zur Zerlegung ∆ .

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 31 / 49

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Interpolation

Spline Interpolation

Die in den vorhergehenden Abschnitten behandelte Polynominterpolation istzwar leicht durchführbar, hat aber den Nachteil, dass bei Verfeinerung derZerlegung keine Konvergenz zu erwarten ist.

Bessere Konvergenzeigenschaften haben die nun zu besprechendenSpline-Funktionen.

Sei∆ : a = x0 < x1 < . . . < xn =: b

eine Zerlegung des Intervalls [a,b].Dann bezeichnen wir mit S(∆,p,q), p,q ∈ N0, 0 ≤ q < p, die Menge allerFunktionen s ∈ Cq[a,b], die auf jedem Teilintervall [xi−1, xi ], i = 1, . . . ,n, miteinem Polynom vom Höchstgrad p übereinstimmen.

Jedes s ∈ S(∆,p,q) heißt (Polynom-)Spline vom Grade p derDifferenzierbarkeitsklasse q zur Zerlegung ∆ .

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 31 / 49

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Interpolation

Spline Interpolation

Die in den vorhergehenden Abschnitten behandelte Polynominterpolation istzwar leicht durchführbar, hat aber den Nachteil, dass bei Verfeinerung derZerlegung keine Konvergenz zu erwarten ist.

Bessere Konvergenzeigenschaften haben die nun zu besprechendenSpline-Funktionen.

Sei∆ : a = x0 < x1 < . . . < xn =: b

eine Zerlegung des Intervalls [a,b].Dann bezeichnen wir mit S(∆,p,q), p,q ∈ N0, 0 ≤ q < p, die Menge allerFunktionen s ∈ Cq[a,b], die auf jedem Teilintervall [xi−1, xi ], i = 1, . . . ,n, miteinem Polynom vom Höchstgrad p übereinstimmen.

Jedes s ∈ S(∆,p,q) heißt (Polynom-)Spline vom Grade p derDifferenzierbarkeitsklasse q zur Zerlegung ∆ .

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 31 / 49

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Interpolation

Spline Interpolation

Am häufigsten treten in den Anwendungen (auf Randwertaufgaben) dieRäume S(∆,3,2) (kubische Splines) und S(∆,3,1) (kubische HermiteSplines) auf.

Daneben untersucht man für spezielle Aufgabenstellungen, bei denen Poleoder verschiedenes Wachstum in verschiedenen Teilen des Intervalls erwartetwird (Grenzschichtprobleme), nichtlineare Splines (rationale oderexponentielle Splines).

Wir behandeln nur S(∆,3,2).

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 32 / 49

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Interpolation

Spline Interpolation

Am häufigsten treten in den Anwendungen (auf Randwertaufgaben) dieRäume S(∆,3,2) (kubische Splines) und S(∆,3,1) (kubische HermiteSplines) auf.

Daneben untersucht man für spezielle Aufgabenstellungen, bei denen Poleoder verschiedenes Wachstum in verschiedenen Teilen des Intervalls erwartetwird (Grenzschichtprobleme), nichtlineare Splines (rationale oderexponentielle Splines).

Wir behandeln nur S(∆,3,2).

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 32 / 49

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Interpolation

Spline Interpolation

Am häufigsten treten in den Anwendungen (auf Randwertaufgaben) dieRäume S(∆,3,2) (kubische Splines) und S(∆,3,1) (kubische HermiteSplines) auf.

Daneben untersucht man für spezielle Aufgabenstellungen, bei denen Poleoder verschiedenes Wachstum in verschiedenen Teilen des Intervalls erwartetwird (Grenzschichtprobleme), nichtlineare Splines (rationale oderexponentielle Splines).

Wir behandeln nur S(∆,3,2).

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 32 / 49

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Interpolation

Kubische Splines

s ∈ S(∆,3,2) ist in jedem Teilintervall [xi−1, xi ] ein Polynom dritten Grades,also ist s durch 4n Parameter bestimmt.

Durch die Forderung s ∈ C2[a,b] werden in jedem inneren Knoten xi ,i = 1, . . . ,n − 1, drei Bedingungen gegeben:

s(j)(xi − 0) = s(j)(xi + 0), j = 0,1,2,

zusammen also 3(n − 1).

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 33 / 49

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Interpolation

Kubische Splines

s ∈ S(∆,3,2) ist in jedem Teilintervall [xi−1, xi ] ein Polynom dritten Grades,also ist s durch 4n Parameter bestimmt.

Durch die Forderung s ∈ C2[a,b] werden in jedem inneren Knoten xi ,i = 1, . . . ,n − 1, drei Bedingungen gegeben:

s(j)(xi − 0) = s(j)(xi + 0), j = 0,1,2,

zusammen also 3(n − 1).

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 33 / 49

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Interpolation

Vorbetrachtung

Daher besitzt ein kubischer Spline noch (wenigstens) n + 3 Freiheitsgrade,und wir können nicht erwarten, dass s durch die n + 1Interpolationsbedingungen

s(xi ) = yi , i = 0, . . . ,n,

festgelegt ist, sondern es müssen noch 2 “Randbedingungen”hinzugenommen werden.

Dies kann (je nach Aufgabenstellung) auf verschiedene Weise geschehen.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 34 / 49

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Interpolation

Vorbetrachtung

Daher besitzt ein kubischer Spline noch (wenigstens) n + 3 Freiheitsgrade,und wir können nicht erwarten, dass s durch die n + 1Interpolationsbedingungen

s(xi ) = yi , i = 0, . . . ,n,

festgelegt ist, sondern es müssen noch 2 “Randbedingungen”hinzugenommen werden.

Dies kann (je nach Aufgabenstellung) auf verschiedene Weise geschehen.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 34 / 49

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Interpolation

Satz 2.32

Es sei ∆ eine Zerlegung von [a,b], und es seien y0, . . . , yn ∈ R gegeben.

Dann gibt es für jede der vier folgenden Randbedingungen genau eineninterpolierenden kubischen Spline s ∈ S(∆,3,2) mit

s(xj ) = yj , j = 0, . . . ,n.

(i) s′(x0) = y ′0, s′(xn) = y ′n (y ′0, y′n ∈ R gegeben)

(ii) s′(x0) = s′(xn), s′′(x0) = s′′(xn).

(iii) s′′(x0) = s′′(xn) = 0.(iv) s′′(x0) = y ′′0 , s′′(xn) = y ′′n (y ′′0 , y

′′n ∈ R gegeben)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 35 / 49

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Interpolation

Satz 2.32

Es sei ∆ eine Zerlegung von [a,b], und es seien y0, . . . , yn ∈ R gegeben.

Dann gibt es für jede der vier folgenden Randbedingungen genau eineninterpolierenden kubischen Spline s ∈ S(∆,3,2) mit

s(xj ) = yj , j = 0, . . . ,n.

(i) s′(x0) = y ′0, s′(xn) = y ′n (y ′0, y′n ∈ R gegeben)

(ii) s′(x0) = s′(xn), s′′(x0) = s′′(xn).

(iii) s′′(x0) = s′′(xn) = 0.(iv) s′′(x0) = y ′′0 , s′′(xn) = y ′′n (y ′′0 , y

′′n ∈ R gegeben)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 35 / 49

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Interpolation

Bemerkung

Wird die Interpolation mit kubischen Splines verwendet, um eine Funktionf : [a,b]→ R zu approximieren, so wird

man die Randbedingungen (i) verwenden, wenn die Ableitung von f in denRandpunkten a und b des Intervalls bekannt sind,

die Randbedingung (ii), wenn die Funktion f periodisch mit der Periode b − aist,

und die Randbedingung (iv), wenn zusätzlich zu den LagrangeschenInterpolationsdaten am Rand des Intervalls die zweiten Ableitungen bekanntsind.

Erfüllt s ∈ S(∆,3,2) die Randbedingung (iii), so kann man s auf {x : x < x0}bzw. {x : x > xn} zweimal stetig differenzierbar als lineare Funktionfortsetzen. Kubische Splines, die man auf diese Weise erhält, heißennatürliche Splines.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 36 / 49

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Interpolation

Bemerkung

Wird die Interpolation mit kubischen Splines verwendet, um eine Funktionf : [a,b]→ R zu approximieren, so wird

man die Randbedingungen (i) verwenden, wenn die Ableitung von f in denRandpunkten a und b des Intervalls bekannt sind,

die Randbedingung (ii), wenn die Funktion f periodisch mit der Periode b − aist,

und die Randbedingung (iv), wenn zusätzlich zu den LagrangeschenInterpolationsdaten am Rand des Intervalls die zweiten Ableitungen bekanntsind.

Erfüllt s ∈ S(∆,3,2) die Randbedingung (iii), so kann man s auf {x : x < x0}bzw. {x : x > xn} zweimal stetig differenzierbar als lineare Funktionfortsetzen. Kubische Splines, die man auf diese Weise erhält, heißennatürliche Splines.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 36 / 49

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Interpolation

Bemerkung

Wird die Interpolation mit kubischen Splines verwendet, um eine Funktionf : [a,b]→ R zu approximieren, so wird

man die Randbedingungen (i) verwenden, wenn die Ableitung von f in denRandpunkten a und b des Intervalls bekannt sind,

die Randbedingung (ii), wenn die Funktion f periodisch mit der Periode b − aist,

und die Randbedingung (iv), wenn zusätzlich zu den LagrangeschenInterpolationsdaten am Rand des Intervalls die zweiten Ableitungen bekanntsind.

Erfüllt s ∈ S(∆,3,2) die Randbedingung (iii), so kann man s auf {x : x < x0}bzw. {x : x > xn} zweimal stetig differenzierbar als lineare Funktionfortsetzen. Kubische Splines, die man auf diese Weise erhält, heißennatürliche Splines.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 36 / 49

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Interpolation

Bemerkung

Wird die Interpolation mit kubischen Splines verwendet, um eine Funktionf : [a,b]→ R zu approximieren, so wird

man die Randbedingungen (i) verwenden, wenn die Ableitung von f in denRandpunkten a und b des Intervalls bekannt sind,

die Randbedingung (ii), wenn die Funktion f periodisch mit der Periode b − aist,

und die Randbedingung (iv), wenn zusätzlich zu den LagrangeschenInterpolationsdaten am Rand des Intervalls die zweiten Ableitungen bekanntsind.

Erfüllt s ∈ S(∆,3,2) die Randbedingung (iii), so kann man s auf {x : x < x0}bzw. {x : x > xn} zweimal stetig differenzierbar als lineare Funktionfortsetzen. Kubische Splines, die man auf diese Weise erhält, heißennatürliche Splines.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 36 / 49

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Interpolation

Bemerkung

Wird die Interpolation mit kubischen Splines verwendet, um eine Funktionf : [a,b]→ R zu approximieren, so wird

man die Randbedingungen (i) verwenden, wenn die Ableitung von f in denRandpunkten a und b des Intervalls bekannt sind,

die Randbedingung (ii), wenn die Funktion f periodisch mit der Periode b − aist,

und die Randbedingung (iv), wenn zusätzlich zu den LagrangeschenInterpolationsdaten am Rand des Intervalls die zweiten Ableitungen bekanntsind.

Erfüllt s ∈ S(∆,3,2) die Randbedingung (iii), so kann man s auf {x : x < x0}bzw. {x : x > xn} zweimal stetig differenzierbar als lineare Funktionfortsetzen. Kubische Splines, die man auf diese Weise erhält, heißennatürliche Splines.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 36 / 49

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Interpolation

Bemerkung

Im Buch von de Boor werden vier weitere Randbedingungen diskutiert, unterdenen die Existenz und Eindeutigkeit des interpolierenden Splines gesichertist.

Unter ihnen besonders wichtig ist die sog. not-a-knot Bedingung. Diese wirdverwendet, wenn nichts über das Verhalten der interpolierenden Funktion anden Rändern des Intervalls (außer den Funktionswerten) bekannt ist.

Man wählt dann als Knoten für den Spline die Punkte

x0 < x2 < · · · < xn−2 < xn.

Ein Spline zu diesen n − 2 Intervallen hat n + 1 Freiheitsgrade und ist durchdie n + 1 Interpolationsbedingungen s(xj ) = yj , j = 0, . . . ,n eindeutigbestimmt.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 37 / 49

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Interpolation

Bemerkung

Im Buch von de Boor werden vier weitere Randbedingungen diskutiert, unterdenen die Existenz und Eindeutigkeit des interpolierenden Splines gesichertist.

Unter ihnen besonders wichtig ist die sog. not-a-knot Bedingung. Diese wirdverwendet, wenn nichts über das Verhalten der interpolierenden Funktion anden Rändern des Intervalls (außer den Funktionswerten) bekannt ist.

Man wählt dann als Knoten für den Spline die Punkte

x0 < x2 < · · · < xn−2 < xn.

Ein Spline zu diesen n − 2 Intervallen hat n + 1 Freiheitsgrade und ist durchdie n + 1 Interpolationsbedingungen s(xj ) = yj , j = 0, . . . ,n eindeutigbestimmt.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 37 / 49

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Interpolation

Bemerkung

Im Buch von de Boor werden vier weitere Randbedingungen diskutiert, unterdenen die Existenz und Eindeutigkeit des interpolierenden Splines gesichertist.

Unter ihnen besonders wichtig ist die sog. not-a-knot Bedingung. Diese wirdverwendet, wenn nichts über das Verhalten der interpolierenden Funktion anden Rändern des Intervalls (außer den Funktionswerten) bekannt ist.

Man wählt dann als Knoten für den Spline die Punkte

x0 < x2 < · · · < xn−2 < xn.

Ein Spline zu diesen n − 2 Intervallen hat n + 1 Freiheitsgrade und ist durchdie n + 1 Interpolationsbedingungen s(xj ) = yj , j = 0, . . . ,n eindeutigbestimmt.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 37 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32

Der Beweis ist konstruktiv, er liefert also ein Verfahren zur Berechnung derjeweiligen interpolierenden Splines.

Sei hj+1 := xj+1 − xj , j = 0, . . . ,n− 1, und mj := s′′(xj ), j = 0, . . . ,n, die zweiteAbleitung der gesuchten Splinefunktion an der Stelle xj .

Wir wollen zeigen, dass der Vektor m := (m0, . . . ,mn)T für jede der vierRandbedingungen eindeutige Lösung eines linearen Gleichungssystems istund dass man aus den mj den Spline s(x) an jeder Stelle x ∈ [a,b] leichterrechnen kann.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 38 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32

Der Beweis ist konstruktiv, er liefert also ein Verfahren zur Berechnung derjeweiligen interpolierenden Splines.

Sei hj+1 := xj+1 − xj , j = 0, . . . ,n− 1, und mj := s′′(xj ), j = 0, . . . ,n, die zweiteAbleitung der gesuchten Splinefunktion an der Stelle xj .

Wir wollen zeigen, dass der Vektor m := (m0, . . . ,mn)T für jede der vierRandbedingungen eindeutige Lösung eines linearen Gleichungssystems istund dass man aus den mj den Spline s(x) an jeder Stelle x ∈ [a,b] leichterrechnen kann.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 38 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32

Der Beweis ist konstruktiv, er liefert also ein Verfahren zur Berechnung derjeweiligen interpolierenden Splines.

Sei hj+1 := xj+1 − xj , j = 0, . . . ,n− 1, und mj := s′′(xj ), j = 0, . . . ,n, die zweiteAbleitung der gesuchten Splinefunktion an der Stelle xj .

Wir wollen zeigen, dass der Vektor m := (m0, . . . ,mn)T für jede der vierRandbedingungen eindeutige Lösung eines linearen Gleichungssystems istund dass man aus den mj den Spline s(x) an jeder Stelle x ∈ [a,b] leichterrechnen kann.

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.

s ist in jedem Teilintervall [xj , xj+1] ein kubisches Polynom. Also ist s′′

stückweise linear, und man kann s′′ mit Hilfe der mj so beschreiben.

s′′(x) =1

hj+1(mj (xj+1 − x) + mj+1(x − xj )) , x ∈ [xj , xj+1].

Durch Integration erhält man für x ∈ [xj , xj+1], j = 0, . . . ,n − 1,

s′(x) = −mj(xj+1 − x)2

2hj+1+ mj+1

(x − xj )2

2hj+1+ αj (1)

und

s(x) = mj(xj+1 − x)3

6hj+1+ mj+1

(x − xj )3

6hj+1+ αj (x − xj ) + βj . (2)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 39 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.

s ist in jedem Teilintervall [xj , xj+1] ein kubisches Polynom. Also ist s′′

stückweise linear, und man kann s′′ mit Hilfe der mj so beschreiben.

s′′(x) =1

hj+1(mj (xj+1 − x) + mj+1(x − xj )) , x ∈ [xj , xj+1].

Durch Integration erhält man für x ∈ [xj , xj+1], j = 0, . . . ,n − 1,

s′(x) = −mj(xj+1 − x)2

2hj+1+ mj+1

(x − xj )2

2hj+1+ αj (1)

und

s(x) = mj(xj+1 − x)3

6hj+1+ mj+1

(x − xj )3

6hj+1+ αj (x − xj ) + βj . (2)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 39 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.

s ist in jedem Teilintervall [xj , xj+1] ein kubisches Polynom. Also ist s′′

stückweise linear, und man kann s′′ mit Hilfe der mj so beschreiben.

s′′(x) =1

hj+1(mj (xj+1 − x) + mj+1(x − xj )) , x ∈ [xj , xj+1].

Durch Integration erhält man für x ∈ [xj , xj+1], j = 0, . . . ,n − 1,

s′(x) = −mj(xj+1 − x)2

2hj+1+ mj+1

(x − xj )2

2hj+1+ αj (1)

und

s(x) = mj(xj+1 − x)3

6hj+1+ mj+1

(x − xj )3

6hj+1+ αj (x − xj ) + βj . (2)

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.

s ist in jedem Teilintervall [xj , xj+1] ein kubisches Polynom. Also ist s′′

stückweise linear, und man kann s′′ mit Hilfe der mj so beschreiben.

s′′(x) =1

hj+1(mj (xj+1 − x) + mj+1(x − xj )) , x ∈ [xj , xj+1].

Durch Integration erhält man für x ∈ [xj , xj+1], j = 0, . . . ,n − 1,

s′(x) = −mj(xj+1 − x)2

2hj+1+ mj+1

(x − xj )2

2hj+1+ αj (1)

und

s(x) = mj(xj+1 − x)3

6hj+1+ mj+1

(x − xj )3

6hj+1+ αj (x − xj ) + βj . (2)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 39 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.

Die Integrationskonstanten αj und βj erhält man aus denInterpolationsbedingungen

s(xj ) = mjh2

j+1

6+ βj = yj

s(xj+1) = mj+1h2

j+1

6+ αjhj+1 + βj = yj+1,

d.h.βj = yj −mj

h2j+16

αj =yj+1−yj

hj+1− hj+1

6 (mj+1 −mj ).(3)

Setzt man αj und βj aus (3) in (2) ein, so erhält man die gewünschteDarstellung von s in Abhängigkeit von den mj .

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 40 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.

Die Integrationskonstanten αj und βj erhält man aus denInterpolationsbedingungen

s(xj ) = mjh2

j+1

6+ βj = yj

s(xj+1) = mj+1h2

j+1

6+ αjhj+1 + βj = yj+1,

d.h.βj = yj −mj

h2j+16

αj =yj+1−yj

hj+1− hj+1

6 (mj+1 −mj ).(3)

Setzt man αj und βj aus (3) in (2) ein, so erhält man die gewünschteDarstellung von s in Abhängigkeit von den mj .

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 40 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.

Die Integrationskonstanten αj und βj erhält man aus denInterpolationsbedingungen

s(xj ) = mjh2

j+1

6+ βj = yj

s(xj+1) = mj+1h2

j+1

6+ αjhj+1 + βj = yj+1,

d.h.βj = yj −mj

h2j+16

αj =yj+1−yj

hj+1− hj+1

6 (mj+1 −mj ).(3)

Setzt man αj und βj aus (3) in (2) ein, so erhält man die gewünschteDarstellung von s in Abhängigkeit von den mj .

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 40 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.n − 1 Bestimmungsgleichungen für die mj erhält man, indem man dieStetigkeit von s′ ausnutzt: Setzt man αj aus (3) in (1) ein, so erhält man

s′(x) = −mj(xj+1 − x)2

2hj+1+ mj+1

(x − xj )2

2hj+1

+yj+1 − yj

hj+1−

hj+1

6(mj+1 −mj ), x ∈ [xj , xj+1]. (4)

Also liefert die Forderung s′(xj − 0) = s′(xj + 0)

yj − yj−1

hj+

hj

3mj +

hj

6mj−1 =

yj+1 − yj

hj+1−

hj+1

3mj −

hj+1

6mj+1 ,

d.h. für j = 1, . . . ,n − 1

hj

6mj−1 +

hj + hj+1

3mj +

hj+1

6mj+1 =

yj+1 − yj

hj+1−

yj − yj−1

hj. (5)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 41 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.n − 1 Bestimmungsgleichungen für die mj erhält man, indem man dieStetigkeit von s′ ausnutzt: Setzt man αj aus (3) in (1) ein, so erhält man

s′(x) = −mj(xj+1 − x)2

2hj+1+ mj+1

(x − xj )2

2hj+1

+yj+1 − yj

hj+1−

hj+1

6(mj+1 −mj ), x ∈ [xj , xj+1]. (4)

Also liefert die Forderung s′(xj − 0) = s′(xj + 0)

yj − yj−1

hj+

hj

3mj +

hj

6mj−1 =

yj+1 − yj

hj+1−

hj+1

3mj −

hj+1

6mj+1 ,

d.h. für j = 1, . . . ,n − 1

hj

6mj−1 +

hj + hj+1

3mj +

hj+1

6mj+1 =

yj+1 − yj

hj+1−

yj − yj−1

hj. (5)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 41 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.n − 1 Bestimmungsgleichungen für die mj erhält man, indem man dieStetigkeit von s′ ausnutzt: Setzt man αj aus (3) in (1) ein, so erhält man

s′(x) = −mj(xj+1 − x)2

2hj+1+ mj+1

(x − xj )2

2hj+1

+yj+1 − yj

hj+1−

hj+1

6(mj+1 −mj ), x ∈ [xj , xj+1]. (4)

Also liefert die Forderung s′(xj − 0) = s′(xj + 0)

yj − yj−1

hj+

hj

3mj +

hj

6mj−1 =

yj+1 − yj

hj+1−

hj+1

3mj −

hj+1

6mj+1 ,

d.h. für j = 1, . . . ,n − 1

hj

6mj−1 +

hj + hj+1

3mj +

hj+1

6mj+1 =

yj+1 − yj

hj+1−

yj − yj−1

hj. (5)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 41 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.

Die restlichen beiden Bedingungen für die mj erhält man aus denRandbedingungen (i), (ii), (iii) oder (iv).

Für die natürlichen Splines hat man in (5)

s′′(a) = m0 = 0 = mn = s′′(b)

zu setzen, im Fall (iv) die inhomogenen Gleichungen

m0 = y ′′0 und mn = y ′′n .

Im Fall (i) hat man wegen (4) das System (5) zu ergänzen durch

h13 m0 + h1

6 m1 = y1−y0h1− y ′0,

hn6 mn−1 + hn

3 mn = y ′n −yn−yn−1

hn.

(6)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 42 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.

Die restlichen beiden Bedingungen für die mj erhält man aus denRandbedingungen (i), (ii), (iii) oder (iv).

Für die natürlichen Splines hat man in (5)

s′′(a) = m0 = 0 = mn = s′′(b)

zu setzen, im Fall (iv) die inhomogenen Gleichungen

m0 = y ′′0 und mn = y ′′n .

Im Fall (i) hat man wegen (4) das System (5) zu ergänzen durch

h13 m0 + h1

6 m1 = y1−y0h1− y ′0,

hn6 mn−1 + hn

3 mn = y ′n −yn−yn−1

hn.

(6)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 42 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.

Die restlichen beiden Bedingungen für die mj erhält man aus denRandbedingungen (i), (ii), (iii) oder (iv).

Für die natürlichen Splines hat man in (5)

s′′(a) = m0 = 0 = mn = s′′(b)

zu setzen, im Fall (iv) die inhomogenen Gleichungen

m0 = y ′′0 und mn = y ′′n .

Im Fall (i) hat man wegen (4) das System (5) zu ergänzen durch

h13 m0 + h1

6 m1 = y1−y0h1− y ′0,

hn6 mn−1 + hn

3 mn = y ′n −yn−yn−1

hn.

(6)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 42 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.

Im Falle periodischer Randbedingungen gilt m0 = mn, und wegens′(a) = s′(b) erhält man aus (4)

h1

6m1 +

hn

6mn−1 +

hn + h1

3m0 =

y1 − y0

h1− yn − yn−1

hn. (7)

In jedem Fall ergeben sich also die mj als Lösung eines linearenGleichungssystems

Ax = b, (8)

wobei für alle Zeilen der Matrix A gilt:

|aii | >∑j 6=i

|aij | .

Die Koeffizientenmatrix ist also strikt diagonaldominant. Nach dem Satz vonGerschgorin ist sie dann regulär, und daher ist das Gleichungssystem (8) fürjede rechte Seite b eindeutig lösbar. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 43 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.

Im Falle periodischer Randbedingungen gilt m0 = mn, und wegens′(a) = s′(b) erhält man aus (4)

h1

6m1 +

hn

6mn−1 +

hn + h1

3m0 =

y1 − y0

h1− yn − yn−1

hn. (7)

In jedem Fall ergeben sich also die mj als Lösung eines linearenGleichungssystems

Ax = b, (8)

wobei für alle Zeilen der Matrix A gilt:

|aii | >∑j 6=i

|aij | .

Die Koeffizientenmatrix ist also strikt diagonaldominant. Nach dem Satz vonGerschgorin ist sie dann regulär, und daher ist das Gleichungssystem (8) fürjede rechte Seite b eindeutig lösbar. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 43 / 49

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Interpolation

Beweis von Satz 2.32 ctn.

Im Falle periodischer Randbedingungen gilt m0 = mn, und wegens′(a) = s′(b) erhält man aus (4)

h1

6m1 +

hn

6mn−1 +

hn + h1

3m0 =

y1 − y0

h1− yn − yn−1

hn. (7)

In jedem Fall ergeben sich also die mj als Lösung eines linearenGleichungssystems

Ax = b, (8)

wobei für alle Zeilen der Matrix A gilt:

|aii | >∑j 6=i

|aij | .

Die Koeffizientenmatrix ist also strikt diagonaldominant. Nach dem Satz vonGerschgorin ist sie dann regulär, und daher ist das Gleichungssystem (8) fürjede rechte Seite b eindeutig lösbar. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 43 / 49

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Interpolation

Konvergenzsatz 2.37

Sei f ∈ C3[a,b] und sei s ∈ S(∆,3,2) der interpolierende Spline, der eine derRandbedingungen (i) oder (ii) oder s′′(a) = f ′′(a), s′′(b) = f ′′(b) erfüllt.

Dann gilt mit den Konstanten C0 = 98 und C1 = C2 = 9

4

‖s(ν) − f (ν)‖∞ ≤ Cν |∆|3−ν ω(f ′′′, |∆|), ν = 0,1,2, (9)

wobeiω(g,h) := sup {|g(x)− g(y)| : x , y ∈ [a,b], |x − y | ≤ h}

den Stetigkeitsmodul von g bezeichnet.

Genügt f ′′′ einer Lipschitzbedingung

|f ′′′(x)− f ′′′(y)| ≤ L|x − y | für alle x , y ∈ [a,b],

so gilt‖s(ν) − f (ν)‖∞ ≤ L · Cν |∆|4−ν , ν = 0,1,2. (10)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 44 / 49

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Interpolation

Konvergenzsatz 2.37

Sei f ∈ C3[a,b] und sei s ∈ S(∆,3,2) der interpolierende Spline, der eine derRandbedingungen (i) oder (ii) oder s′′(a) = f ′′(a), s′′(b) = f ′′(b) erfüllt.

Dann gilt mit den Konstanten C0 = 98 und C1 = C2 = 9

4

‖s(ν) − f (ν)‖∞ ≤ Cν |∆|3−ν ω(f ′′′, |∆|), ν = 0,1,2, (9)

wobeiω(g,h) := sup {|g(x)− g(y)| : x , y ∈ [a,b], |x − y | ≤ h}

den Stetigkeitsmodul von g bezeichnet.

Genügt f ′′′ einer Lipschitzbedingung

|f ′′′(x)− f ′′′(y)| ≤ L|x − y | für alle x , y ∈ [a,b],

so gilt‖s(ν) − f (ν)‖∞ ≤ L · Cν |∆|4−ν , ν = 0,1,2. (10)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 44 / 49

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Interpolation

Konvergenzsatz 2.37

Sei f ∈ C3[a,b] und sei s ∈ S(∆,3,2) der interpolierende Spline, der eine derRandbedingungen (i) oder (ii) oder s′′(a) = f ′′(a), s′′(b) = f ′′(b) erfüllt.

Dann gilt mit den Konstanten C0 = 98 und C1 = C2 = 9

4

‖s(ν) − f (ν)‖∞ ≤ Cν |∆|3−ν ω(f ′′′, |∆|), ν = 0,1,2, (9)

wobeiω(g,h) := sup {|g(x)− g(y)| : x , y ∈ [a,b], |x − y | ≤ h}

den Stetigkeitsmodul von g bezeichnet.

Genügt f ′′′ einer Lipschitzbedingung

|f ′′′(x)− f ′′′(y)| ≤ L|x − y | für alle x , y ∈ [a,b],

so gilt‖s(ν) − f (ν)‖∞ ≤ L · Cν |∆|4−ν , ν = 0,1,2. (10)

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 44 / 49

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Interpolation

Bemerkung

Satz 2.37 zeigt, dass Spline Interpolationen geeignet sind, um Ableitungenvon Funktionen, von denen nur diskrete Werte bekannt sind, zuapproximieren. �

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 45 / 49

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Interpolation

Lokale Basis

Der Raum der kubischen Splines S(∆,3,2) besitzt eine lokale Basis.

Seien x−3 < x−2 < x−1 < a und b < xn+1 < xn+2 < xn+3 zusätzliche Knoten.Dann überzeugt man sich leicht (aber mit Hilfe einer längeren Rechnung),dass die Funktionen

φi (x) =

(x−xi−2)

3+∏i+2

j=i−1(xj−xi−2)+

(x−xi−1)3+∏i+2

j=i−2j 6=i−1

(xj−xi−1), x ≤ xi

(xi+2−x)3+∏i+1

j=i−2(xi+2−xj )+

(xi+1−x)3+∏i+2

j=i−2j 6=i+1

(xi+1−xj ), x ≥ xi

, i = −1, . . . ,n + 1

eine Basis von S(∆,3,2) bilden.

Dabei bezeichnet (x)+ die Funktion

(x)+ :=

{x für x ≥ 00 für x ≤ 0.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 46 / 49

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Interpolation

Lokale Basis

Der Raum der kubischen Splines S(∆,3,2) besitzt eine lokale Basis.

Seien x−3 < x−2 < x−1 < a und b < xn+1 < xn+2 < xn+3 zusätzliche Knoten.Dann überzeugt man sich leicht (aber mit Hilfe einer längeren Rechnung),dass die Funktionen

φi (x) =

(x−xi−2)

3+∏i+2

j=i−1(xj−xi−2)+

(x−xi−1)3+∏i+2

j=i−2j 6=i−1

(xj−xi−1), x ≤ xi

(xi+2−x)3+∏i+1

j=i−2(xi+2−xj )+

(xi+1−x)3+∏i+2

j=i−2j 6=i+1

(xi+1−xj ), x ≥ xi

, i = −1, . . . ,n + 1

eine Basis von S(∆,3,2) bilden.

Dabei bezeichnet (x)+ die Funktion

(x)+ :=

{x für x ≥ 00 für x ≤ 0.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 46 / 49

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Interpolation

Lokale Basis

Der Raum der kubischen Splines S(∆,3,2) besitzt eine lokale Basis.

Seien x−3 < x−2 < x−1 < a und b < xn+1 < xn+2 < xn+3 zusätzliche Knoten.Dann überzeugt man sich leicht (aber mit Hilfe einer längeren Rechnung),dass die Funktionen

φi (x) =

(x−xi−2)

3+∏i+2

j=i−1(xj−xi−2)+

(x−xi−1)3+∏i+2

j=i−2j 6=i−1

(xj−xi−1), x ≤ xi

(xi+2−x)3+∏i+1

j=i−2(xi+2−xj )+

(xi+1−x)3+∏i+2

j=i−2j 6=i+1

(xi+1−xj ), x ≥ xi

, i = −1, . . . ,n + 1

eine Basis von S(∆,3,2) bilden.

Dabei bezeichnet (x)+ die Funktion

(x)+ :=

{x für x ≥ 00 für x ≤ 0.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 46 / 49

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Interpolation

Fehlerkurve

xi−2

xi−1

xi x

i+1x

i+2 xi+3

xi+4

xi+5

φi

φi+1

φi+2

φi+3

Die Basisfunktionen φj heißen B-Splines.TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 47 / 49

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Interpolation

B-SplinesJeder B-Spline ist auf 4 Teilintervallen nichttrivial. Man kann zeigen, dass eskeine Basis von S(∆,3,2) mit kleinerem Träger gibt.

Man kann mit diesen φi den Ansatz

s(x) =n+1∑

i=−1

ciφi (x)

machen, und zur Lösung des Interpolationsproblems das lineareGleichungssystem

s(xi ) = yi + Randbedingungen

behandeln. Dieses besitzt ähnlich wie das für die mi wieder eine tridiagonale,diagonaldominante Koeffizientenmatrix, ist also problemlos lösbar.

Nicht benutzen sollte man jedoch für numerische Zwecke die folgende Basisvon S(∆,3,2), die bisweilen in Büchern angegeben ist:

1, x , x2, x3, (x − xi )3+, i = 1, . . . ,n − 1,

wegen der schlechten Kondition des entstehenden linearenGleichungssystems.

TUHH Heinrich Voss Kapitel 2 2010 48 / 49

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Interpolation

B-SplinesJeder B-Spline ist auf 4 Teilintervallen nichttrivial. Man kann zeigen, dass eskeine Basis von S(∆,3,2) mit kleinerem Träger gibt.

Man kann mit diesen φi den Ansatz

s(x) =n+1∑

i=−1

ciφi (x)

machen, und zur Lösung des Interpolationsproblems das lineareGleichungssystem

s(xi ) = yi + Randbedingungen

behandeln. Dieses besitzt ähnlich wie das für die mi wieder eine tridiagonale,diagonaldominante Koeffizientenmatrix, ist also problemlos lösbar.

Nicht benutzen sollte man jedoch für numerische Zwecke die folgende Basisvon S(∆,3,2), die bisweilen in Büchern angegeben ist:

1, x , x2, x3, (x − xi )3+, i = 1, . . . ,n − 1,

wegen der schlechten Kondition des entstehenden linearenGleichungssystems.

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Interpolation

B-SplinesJeder B-Spline ist auf 4 Teilintervallen nichttrivial. Man kann zeigen, dass eskeine Basis von S(∆,3,2) mit kleinerem Träger gibt.

Man kann mit diesen φi den Ansatz

s(x) =n+1∑

i=−1

ciφi (x)

machen, und zur Lösung des Interpolationsproblems das lineareGleichungssystem

s(xi ) = yi + Randbedingungen

behandeln. Dieses besitzt ähnlich wie das für die mi wieder eine tridiagonale,diagonaldominante Koeffizientenmatrix, ist also problemlos lösbar.

Nicht benutzen sollte man jedoch für numerische Zwecke die folgende Basisvon S(∆,3,2), die bisweilen in Büchern angegeben ist:

1, x , x2, x3, (x − xi )3+, i = 1, . . . ,n − 1,

wegen der schlechten Kondition des entstehenden linearenGleichungssystems.

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Interpolation

MATLAB

MATLAB stellt die Funktion yy=spline(x,y,xx) zur Verfügung.

Besitzen die Vektoren x und y gleiche Länge, so wird der interpolierendekubische Spline mit not-a-knot Randbedingungen bestimmt. Ist die Länge vony um 2 größer als die Länge n von x , so werden die erste und letzteKomponente von y als Steigungen von s in x(1) und x(n) gedeutet. DerVektor yy enthält in der j-ten Komponente yy(j) = s(xx(j)).

Zusätzlich wird von MATLAB die Toolbox SPLINES angeboten, in der auchandere Randbedingungen für S(∆,p,p − 1), Glättung von Daten durchAusgleich mit Splines und Tensorprodukte von Splines zur Darstellung vonFlächen realisiert sind. Im Rechenzentrum ist eine Lizenz der Toolboxverfügbar.

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Interpolation

MATLAB

MATLAB stellt die Funktion yy=spline(x,y,xx) zur Verfügung.

Besitzen die Vektoren x und y gleiche Länge, so wird der interpolierendekubische Spline mit not-a-knot Randbedingungen bestimmt. Ist die Länge vony um 2 größer als die Länge n von x , so werden die erste und letzteKomponente von y als Steigungen von s in x(1) und x(n) gedeutet. DerVektor yy enthält in der j-ten Komponente yy(j) = s(xx(j)).

Zusätzlich wird von MATLAB die Toolbox SPLINES angeboten, in der auchandere Randbedingungen für S(∆,p,p − 1), Glättung von Daten durchAusgleich mit Splines und Tensorprodukte von Splines zur Darstellung vonFlächen realisiert sind. Im Rechenzentrum ist eine Lizenz der Toolboxverfügbar.

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Interpolation

MATLAB

MATLAB stellt die Funktion yy=spline(x,y,xx) zur Verfügung.

Besitzen die Vektoren x und y gleiche Länge, so wird der interpolierendekubische Spline mit not-a-knot Randbedingungen bestimmt. Ist die Länge vony um 2 größer als die Länge n von x , so werden die erste und letzteKomponente von y als Steigungen von s in x(1) und x(n) gedeutet. DerVektor yy enthält in der j-ten Komponente yy(j) = s(xx(j)).

Zusätzlich wird von MATLAB die Toolbox SPLINES angeboten, in der auchandere Randbedingungen für S(∆,p,p − 1), Glättung von Daten durchAusgleich mit Splines und Tensorprodukte von Splines zur Darstellung vonFlächen realisiert sind. Im Rechenzentrum ist eine Lizenz der Toolboxverfügbar.

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