1

HARMONİK KUVVETLERLE ZORLANMIŞ SÖNÜMSÜZ SİSTEMİNTİTREŞİMİ

DENEY NO:5

HAZIRLAYAN

071155015LATİF EMRE ÇEVİK

Deney Yapılış Tarihi: 09.12.2011

Rapor Sunuş Tarihi: 16.12.2011

Grup No: 09

Grup Üyeleri: 071155015 LATİF EMRE ÇEVİK

071155017 FUAT DERİNGÖZ 071155022 ADEM GÜLAL 071155023 ERHAN ÇAY 071155030 SEFA KOCA

DENEY SORUMLUSUArş.Gör. CEYDA ÜNAL

GAZİ ÜNİVERSİTESİMÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ

MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

2

İÇİNDEKİLER

1 .Deneyin amacı……………………………………………………………..4

2. Titreşim…………………………………………………………………….4

3. Deney Düzeneğinin Tanıtılması ve Anlatılması………………………….9

4. Ölçüm sonuçları ve Hesaplamalar……………………………………….11

5.Hata Analizi……………………………………………………………….15

6. Sonuç………………………………………………………………………16

3

.SEMBOLLER:

θ = Açısal yer değiştirme..q =Açısal ivme

ω = Diskin dönme açısal hızı

a = Balanssız kütlenin dönme merkezine uzaklığı

mu = Balanssız kütle

n = Platform üzerindeki disk sayısıx =Titreşim genliği

m =Kütle

f = Frekans

T = Periyod

eqM =Çubuk+motor ünitesi+disk sisteminin kütlesi

AJ =Aynı sistemin kütlesel atalet momenti

eqk =Eşdeğer yay katsayısı

eqF =Eşdeğer kuvvet genişliği

r = Frekans oranı

w = Zorlayıcı kuvvet frekansı

nw = Sistemin doğal frekansı

R = Dinamik büyütme faktörü

x = Sistemin sönüm faktörü

4

1.DENEYİN AMACI

Mekanik titreşimler deneyi titreşim teorisi bilgilerinin daha iyi kavranmasına yardımcı

olmak ve deneysel beceri kazandırmak amacıyla yapılmaktadır.

Bir sistemin titreşimi sırasında sistem üzerine dış kuvvet uygulanırsa, sistemin titreşimi

zorlanmış titreşim olarak isimlendirilir.

Titreşen bütün fiziksel sistemlerde sürtünme ve sönümlenme etkisi az da olsa vardır. Bu

yüzden sistem hareketinin, homojen çözümden gelen kısmı zamanla yok olur. Kısa bir süre

sonra, sistem zorlama kuvvetinin frekansında titreşir.

Bu deneyde harmonik kuvvetle zorlanmış, dikdörtgen kesitli bir kirisin zorlanmış

titreşimi incelenecek ve analitik sonuçlarla karşılaştırılacaktır

2.TİTREŞİM

Titreşim dinamiğin bir alt kolu olup tekrarlanan hareketler ile ilgilenir. Bu konu içeriğinde

mekanik yapilar ile ilgili titreşim problemleri ele ahnmakla birlikte titreşim iletişimin

temelinde bulunmaktadır. (Kulak zarı ve ilişkili mekanizma işitme işlemini gerçekleştirmek

amacı ile titreşir, dil ve ses telleri konuşmak için titreşir). Müzikal enstrümanların birçoğunda,

özellikle telli enstrümanlarda, titreşim istenilen bir olaydır. Diğer taraftan titreşim birçok

mekanik sistem için istenmeyen, bazı durumlarda da yıkıcı bir durumdur. Örneğin uçak

gövdesindeki titreşimler yorulmaya neden olur ve sonuç olarak hasara yol açar. Deprem

kaynaklı titreşimler binalarda çatlaklara ve hasarlara sebep olabilir. Günlük hayatta titreşim

sıkça karşılaşılan bir etkidir ve genellikle titreşim seviyelerinin azaltılması temel ilgi alanıdır.

Titreşim, cisimlerin sabit bir referans eksene veya nominal bir pozisyona (denge konumu)

5

göre tekrarlanan hareketi olarak ifade edilir. Titreşim her yerde mevcut olan ve miihendislik

tasarımlarının yapısını etkileyen bir olgudur. Titreşim karakteristikleri miihendislik tasarımları

için belirleyici faktör olabilir. Titreşim bazen zararlı olabilir ve kaçınılmalıdır, bazen de oldukça

yararhdır ve istenilir. Her iki durumda da titreşimin nasıl analiz edileceği, ölçüleceği ve

kontrol edileceği miihendislik için önemli bir bilgidir.

TİTREŞİMİN SINIFLANDIRILMASI

Titreşim problemleri aşağıdaki şekilde sınıflandırılabilir.

1. Sönümsüz ve sönümlü titreşimler: Eğer sistemde sürtünme veya benzeri dirençler sebebi

ile enerji kaybı ve sönümüne sebep olacak bir etki yok ise titreşim problemi sönümsüz

(undamped) olarak adlandinhr. Eğer sistemde söniim mevcut ise sistem sönümlü (damped)

olarak adlandinhr. Titreşim problemlerini incelerken söniim ihmal edilerek çöziim

basitleştirilebilir, fakat söniim etkileri özellikle rezonans durumu için oldukça önemlidir.

2. Serbest ve zorlanmış titreşimler: Eğer sistem ilk şartlar neticesinde titreşiyor ise (t>0 için

sisteme etki eden dış zorlama yok) sistem titreşimlerine serbest titreşim adi verilir. Eğer

sistem dış zorlama etkisi ile titreşiyor ise oluşan titreşimlere zorlanmış titreşim adi verilir.

1. Lineer ve lineer olmayan (nonlinear) titreşimler: Eğer titreşim yapan sistemin turn

bileşenleri doğrusal (lineer) davranışa sahip ise oluşan titreşimlere lineer titreşim adı

verilir. Eğer sistem elemanlanndan herhangi bin doğrusal olmayan davranışa sahip ise

oluşan titreşimlere lineer olmayan (nonlinear) titreşim adı verilir. Bu tip sistemlerin

hareketini ifade eden diferansiyel denklemler lineer olmayan formdadır. Birçok titreşim

sistemi, büyük titreşim genlikleri için lineer olmayan davranışa sahiptir.

TİTREŞİM ANALİZİ

Bir titreşim sistemi cevabi zorlamalara (excitations) ve sistem parametrelerine (kiitle,

dirennlik ve sönüm) bağlı olan dinamik bir sistemdir. Zorlama ve cevap zamana bağlıdır.

Titreşim analizi belirtilen bir dış zorlamaya bağlı olarak sistem cevabının belirlenmesidir. Bu

analiz matemgeatik modelleme, hareket denklemlerinin oluşturulması (derivation of the

governing equations of motion), hareket denklemlerinin çözümü ve sistem cevabının

yorumlanması aşamalarını içerir.

6

Matematiksel modellemenin amaci hareket denklemlerini oluşturmak amaci ile sisteme ait

turn önemli karakteristik özellikleri sunmaktır. Matematik model, sistem özelliklerine göre

lineer veya lineer olmayan biçimde olabilir. Eğer sisteme ait matematik model lineer ise

siiperpozisyon prensibi uygulanabilir. Lineer sistemlerde fi(t) ve f2(t) şeklindeki bağımsız

girdilere verilen cevap sırasıyla xi(t) ve x2(t) ise, f(t)=fi(t)+f2(t) şeklindeki bir girdiye karşılık

sistem cevabi x(t)=xi(t)+x2(t) dir.

Matematik model oluşturulduktan sonra, dinamik prensipleri hareket denklemini oluşturmak

amaci ile kullamhr. Bu amaçla, turn dış zorlamalan, reaksiyon kuvvetlerini ve atalet

kuvvetlerini içerecek şekilde kütlelere ait Serbest Cisim Diyagramları oluşturulur. D'Alembert

prensibi, Newton'un 2. yasasi, Lagrange veya Hamilton prensibi gibi yöntemler hareket

denklemlerini oluşturmak amaci ile kullamhr. Sistem cevabını analitik (closed-form) veya

niimerik olarak elde etmek amaci ile hareket denklemleri değişik yöntemler kullamlarak

çözülür ve sonuç olarak sisteme ait yer değiştirme (displacement), hiz (velocity) veya ivme

(acceleration) cevaplan elde edilir.

Rezonans: Mühendislikte teknik olarak; “genliğin sonsuza gitmesi” şeklinde açıklanır.

Periyodik bir etkinin altında olan sistemde salınımlar olduğunu biliriz. Salınımlar esnasında

sistemin normal durumuna göre yaptığı yer değiştirme miktarına genlik denir. Bu salınımlar

eğer sistemin doğal frekansına eşit olursa, sistemin genliği sonsuza dek artma eğilimi

gösterir; bu olaya rezonans denir.

Salınıma neden olabilecek etkiler çok çeşitli olabilir. Örnek vermek gerekirse; kesintili rüzgar

etkisi altındaki bir köprü, deprem dalgaları nedeniyle oluşan salınım etkisi altındaki bir bina

veya alternatif gerilim etkisi altındaki elektriksel bir sistem rezonansa uğrayabilir. Doğrusal

sistemlerin rezonansa girebilmesi için, salınım genliğinin, uygulanan kuvvetle doğru orantılı

olması gerekir. Eğer uygulanan kuvvetin frekansı sistemin doğal frekansına eşitse rezonans

gerçekleşir. Kesintili rüzgar etkisi altındaki bir köprüyü ele alacak olursak, rüzgarın ani ve

değişken esmesinin neden olduğu titreşim ve salınımlar sonucunda köprünün doğal frekansı

ile köprünün maruz kaldığı periyodik rüzgar frekansı birbirine eşitlenebilir. Bunun neticesinde

salınım genliği sonsuza gitmeye başlayacağından köprü rezonansa uğrayarak bir süre sonra

yıkılacaktır. Bunun gerçek bir örneği 1940 yılında Washington’da yapılmış olan Tacoma

köprüsünde yaşanmıştır. Bu köprü rüzgar etkisiyle rezonansa girerek yıkılmıştır.

7

Depremlerde binaların yıkılmasına neden olan da rezonans olayıdır. Salınımlar binanın doğal

frekansına eşit olduğunda, bina artan genliğe ve bunun neden olduğu gerilime

dayanamayarak yıkılır. Rezonansa uğrayan bir nesnenin zarar görmemesi mümkün değildir.

Fakat nesnenin rezonansa girmesi alınacak önlemlerle engellenebilir. Bu önlem yapının

salınımlarıyla titreşimi sönümleyebilmesidir. Günümüzde inşa edilen mimari yapılarda, 9

şiddetine varan oranlarda depreme dayanıklı esneklik toleransı uygulanabiliyor. Bu sayede

binalar 9 şiddetine kadar depremin neden olduğu salınımları sönümleyerek, yapının doğal

frekansıyla titreşim frekansının eşitlenmesi engelleniyor. Özellikle Japonya‘da binalar 9

şiddetine dayanıklı inşa edilir çünkü bu bölgede çok büyük ve aktif fay hatları yer aldığından

sık sık depremler yaşanır.

Depremde sadece binalar değil, zemin de rezonansa girebilir. Örneğin, ıslak toprak bir

zeminde, depremin yol açtığı periyodik kuvvetler altında kum tanecikleri birbirleri üzerinden

kayarak ara boşluklara yerleşebilir. Bu durumda zemin ara boşlukları daha az olan bir kum

yığınına dönüşür ve boşlukları dolduran suyun bir kısmı yukarı çıkıp kum yığınının üzerini

kaplar. Eğer böyle bir zemine oturmuş binalar varsa, öne-arkaya yatabilir veya bütünüyle

kayabilirler. Bazı durumlarda bina depreme dayanıklı olsa dahi, zeminin rezonansa uğrayıp

kayması sonucu yıkılabilirler.

Periyodik Titreşim: Makinelerde karşılaşılan titreşimlerde hareket genellikle bir süre sonra

kendini tekrar eder. Bu türden titreşime 'periyodik titreşim' denir. Hareketin kendisini tekrar

ettiği zaman aralığına 'periyot' denir. Periyot T ile gösterilir. Periyodik titreşimin bir

periyotluk bölümüne 'salınım' denir. Birim zamandaki salınım sayısına O titreşimin 'frekansı'

denir. Frekansla periyot arasındaki ilişki, f = l/T şeklinde gösterilir. Frekans birimi salınım

sayısı/zaman olup SI birim sisteminde salınım/saniye'dir. Salınım/saniye olarak ifade edilen

frekans biriminin adı Herts (Hz)'dir.

Genlik: Titreşen cismin denge konumundan olan maksimum yer değiştirmesidir. (m)

Frekans:Titreşim hareketinin birim zamandaki tekrarlanan sayısına frekans denir. (Hz)

Periyot: Titreşim hareketinin kendini tekrarlama süresine periyot denir. (s)

Periyodik titreşim zaman içinde bütün özellikleri değişmeden kendisini tekrar ediyorsa buna

durağan periyodik titreşim denir. En basit durağan periyodik titreşim 'harmonik titreşim' dir.

Bu tür titreşimde hareket bir sinüs dalgası şeklinde değişir. Harmonik titreşim hareketi,

hareketi tanımlayan koordinat x ve zaman t cinsinden (t = O uygun zamanda seçilerek)

8

x = xo sin wt

Şeklinde bir sinüs fonksiyonu olarak yazılabilir. Burada xo titreşim genliğidir, l harmonik

titreşimde hareketin ortalama değerden en fazla ayrıldığı miktara 'genlik' denir. Dolayısı ile

denklem ile tanımlanan titreşimin genliği xo’dır. Harmonik titreşim matematiksel olarak

aşağıdaki formüllerle de tanımlanabilir.

x = A sin (wt + φ )

x = A cos wt

x = A cos (wt +φ)

x = 22 BA + sin (wt + φ )İlk üç ifade sinüs fonksiyonunun zamana göre kaydırılmış

halleridir. Son ifade ise:

φ = tan 1- )(AB

olduğundan bir sinüs fonksiyonu şeklinde yazılabilir.w terimine 'dairesel frekans' denir.Dairesel frekans (radyan/saniye) birimiyle ifade edilir

9

3. DENEY DÜZENEĞİNİN TANITILMASI

Şekil 1. Titreşim deneyi düzeneği

Deney düzeneği şekil l'de görüldüğü gibi bir ucundan taşıyıcı gövde çerçeveyerulmanlı bir yatak yardımıyla mafsallı bulunan ve diğer ucundan ise helisel bir yay yardımıylagövde çerçeveye asılı bulunan dikdörtgen kesitli bir çubuktan meydana gelmiştir. Çubuküzerine bir motor ünitesi tespit edilmiş bulunmaktadir. Zorlayici kuvveti sağlamak amacıylamotor tarafından kayışla tahrik edilen iki adet dengesizliğe sahip disk sistemi motor ünitesinebağlanmıştır. Ayrıca ünite üzerine ilave kütleler bağlanabilecek şekilde bir bağlama elemanıtakılmıştır. Zorlayici kuvvetin frekansı bir hız kontrol ünitesi yardımıyla ayarlanabilmektedir.Çubuğun ucunun titreşim hareketini kaydetmek amacıyla gövde çerçeveye bir kayıt ünitesitespit edilmiş bulunmaktadir. Kayıt ünitesi üzerine kayıt kağıdı takılı bulunan ve yavaşçadöndürülen silindir ile çubuğun ucuna bağlı bulunan ve kağıt ile temasta tutulan bir yazıcıkalemden oluşmuştur. Silindirin dönme hareketini veren motoru yine hız kontrol ünitesiyardımıyla işletilmektedir. Kayıt kağıdının serbest ucuna küçük bir ağırlık takılarak düşeydoğrultuda ilerlemesi gerçekleştirilmiştir. Deney düzeneğinin titrşim sistemi modeli Şekil 2'degösterildiği gibi kurulabilir.

Buna göre sistem elemanlarını açık olarak tanımlayacak olursak:

a) A noktasında mafsallı, boyu L, kütlesi m olan ve rijit kabul edilen çubuk elemanı.b) Çubuğun C noktasından asılı bulunduğu ve yay katsayisi k olan yay elemanı.c) Çubuğa D noktasında tespit edilmiş bulunan ve dengelenmemiş diskler taşıyan ve toplam

kütlesi M olan motor elemanı.

Sonuç olarak sistem, ideal titreşim elemanları cinsinden bir kütle-yay elemani sistemiolmaktadir.

Basit olarak bir dinamik sistemin statik denge konum etrafında yapacağı salınımhareketini "titreşim" olarak tanimlayabiliriz.

10

Bir titreşim sisteminin harekete (titreşime) geçirilmesi sisteme bir enerji girişi yapılarakgerçekleştirilebilir. Pratik olarak bu durum aşağıda sıralanan yollarla olabilir:

a) Bir başlangıç yer değiştirmesi verilerek; yani potansiyel enerji girişi yapılarak:"Deney düzeneğinde çubuk elemanı ucundan 10-15 mm çekilerek serbest bırakılır"

b) Bir başlangıç hızı verilerek; yani kinetik enerji girişi yapılarak: "Deneydüzeneğinde kütle üzerine vurularak yani bir darbe (ani kuvvet) uygulayarak"

c) Bir zorlayıcı kuvvet uygulayarak: "Deney düzeneğinde motor ünitesi çalıştırılarakbağlı disklerin döndürülmesiyle ortaya çıkan merkezkaç kuvvetle gerçekleştirilir".

Yukarıda sıralanan yollardan (a) ve (b) nin ayn ayn veya birlikte uygulanmasidurumunda sistemin yapacağı titreşim hareketi "serbest titreşim" olarak adlandinhr. Budurumda titreşim hareketi zamanla azalarak söner. Yani sistem başlangıçtaki statik dengekonumuna döner. Ancak (c) yolunun uygulanmasi durumunda ise sistem kuvvet etki ettiğisürece titreşimine devam eder. Bu durumdaki titreşim hareketi "zorlanmış titreşim" olarakadlandinhr. Zorlanmış titreşim durumunda sistemde ortaya çıkacak olan en önemli olay"rezonans"dir. Deney düzeneğinde (damper elemanı bağlı değilken yapılması daha uygun)zorlanmış titreşim gösterisi yapılarak rezonans hızı (d/dak olarak) ölçülecektir.

11

.4. ÖLÇÜM SONUÇLARI VE HESAPLAMALAR

Geometrik Buyuklukler

Çubuk elemanının boyu L = 0.75 mMotor Ünitesinin konumu L2 = 0.475 mYay elemanının konumu L3 =0.66 m

Kutlesel Buyuklukler

M = 4.930 + 0.4n kg = 6,53kgm = 1.922 kg

Yay Katsayisinin Tayini

Deneyde kullamlacak olan helisel yay elemaninin yay katsayısını belirlemek amaciylayay elemani düzenek çerçevesindeki tespit yerine bağlanır. Yayın diğer serbest ucu iseüzerine kütlelerin bağlanabileceği bir çubuğa bağlanır. Çubuk çerçevenin alt kısmı içerisindekayar şekilde yataklanmış bulunmaktadır. Bu düzenleme yayın uzama doğrultusununkorunması ve hassas uzama ölçümünün sağlanması için yapılmıştır. Uzama miktarını ölçmekiçin bir verniyer ölçeği (cetveli) mevcuttur.

Yay katsayısını belirlemek için mevcut kütleler kullanılarak yay yüklenir ve her biryükleme durumunda karşılık gelen uzama miktarı ölçülerek kaydedilir. Bu sonuçlarkullanılarak yay için kuvvet-uzama grafıği çizilir. Bu değişim grafıği elastik sınır içerisindekaldığından bir doğru olacaktır. Bu doğrunun eğiminden ilgili yay katsayısı elde edilir.

400 gr şeklinde 4 tane ağırlık koyarak (toplam 1.6 kg) yayın çizici ucundaki yer değişimi

ölçtük.

Çizici ucu ile ölçtüğümüz yer değiştirmeye bağlı olarak yayın eşdeğer yer değiştirmesini

hesapladık.

F= k.x denkleminden

12

Kütle (kg) Kuvvet (N) Yaydaki yer değişim (m)k:yay sabiti(N/m)

0,4 3,924 0,008 490,5

0,8 7,848 0,012 654

1,2 11,772 0,017 692,47

1,6 15,696 0,022 713,45

toplam: 2550,43

ortalama: 637,61

Ortalama değerden k sabitimizi 637.61olarak secebiliriz.

13

Doğal Frekans hesabı:

Hareket genliği sonsuza giderken yani rezonans durumunda D - ω2 = 0 şartı oluşur.2

2 2

2

113

kLDmL ML

=æ ö+ç ÷è ø

D=( 637,61x (0,66²)) / (⅓ (1,922 x (0,75²) +(6,53 x (0,475² )) = 151.46 2-s

D = ω2 ====> ω = √151.46 = 12.30 rad/s = teorikn ,w

motor hızı(rpm)

disk hızı(rad/sn)

frekans oranıgenlik

115,00 12,04 0,98 2,00

120,00 12,57 1,02 6,00

121,00 12,67 1,03 6,00

122,00 12,78 1,04 8,00

123,00 12,88 1,05 14,00

124,00 12,99 1,06 30,00

125,00*** 13,09 1,06 38,00***

126,00 13,19 1,07 26,00

127,00 13,30 1,08 17,00

130,00 13,61 1,11 8,00

135,00 14,14 1,15 3,50

Doğal frekans değeri genliğin en büyük olduğu 125,00 rpm dedir. .

14

Buna göre:

,125 2 13,09 /

60n deneyselx rad sp

w = = olur

İki frekans değeri arasındaki fark gerçekte sistemin sönümsüz olmamasındankaynaklanmaktadır. Sönüm oranı:

15

5. HATA ANALIZI

x 100= % 6

16

6.SONUÇ

Bu deneyde harmonik kuvvetle zorlanmış, dikdörtgen kesitli bir kirisin zorlanmış

titreşimi incelenecek ve analitik sonuçlarla karşılaştırıp gözlemler yaptık.

Deneyi yapmadan önce rezonans değerinin hızla doğru orantılı olduğu kanısıvardı.Deney sırasında krank milinin döndürülmesi esnasında bunun doğru olmadığınıgördük.

Kirişin üzerinde inceleme yaparken önce çizici yardımıyla k yay sabitini bulmayı

öğrendik. Sonra motor tarafından döndürülen ve kütle dengesizliğine sahip olan alüminyum

diskin hızını takometre yardımı ile tesbit ettik.Her hız için çizici yardımıyla ayrı ayrı genlikler

elde ettik.En yüksek genlik yani rezonans durumunu veren hız ortalarda bir değerde çıktı.

Teorik ve deneysel sonuçların aynı çıkmamasının birçok nedeni olabilir.Bunlardan bazıları:

-Çizideki hatalar: Bunlar kalemin ve kağıdın birbirine iyi tema etmemesi,kağıdın eğik

veya yanlış tutulması…

-Takometre ile hız ölçümündeki hatalar

-Motor devrinin yanlış değerde verilmesi,okunması

-Uzunluk ölçüm hataları: Bunlar çizici kağıdındaki uzunlukların yanlış ölçülmesi,kiriş

boyunun yanlış ölçülmesi

-Direçlerin ve sürtünmelerin hesaba katılmaması

-Ortam şartları ‘dır .

Ayrıca Deney Sorumlusu Arş.Gör. Ceyda Ünal hocamıza deneydeki yardımlarından

dolayı teşekkür ederiz.