Matematički fakultetBeograd

HARMONIJA I MATEMATIKA

U MUZICI

Milica Živanović ml03007

Sardžaj

Dijalektika ...................................................................................................... 4

Alikvotni tonovi .............................................................................................. 4

Harmonija i spirala ........................................................................................ 7

Alikvotni tonovi i harmonijska četvorka tačaka ......................................... 9

Logaritamska spirala ..................................................................................... 11

Logaritamska spirala i zlatni presek ........................................................... 13

Logaritamska spirala i Zenonovi paradoksi ……………………………... 17

Zaključak ........................................................................................................ 19

Imenik ............................................................................................................. 21

Literatura ........................................................................................................ 29

2

“Bliznakinje načela krsta, oplođene čistim

ukrštanjem, simetrija i armonija

su uspele da začnu vaselenu i da je rode,

razviju i nasele večnim životom.”

Laza Kostić

3

Veliki matematičar Leopold Kroneker je 1886. godine na Kongrsu u Berlinu rekao: “Die Ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk”. (“Cele brojeve je stvorio dragi Bog, a sve ostalo je delo ljudskih ruku.”) S druge strane, kineski filozof Li Pu Ve iz III veka pre Hrista, kaže da o muzici “može govoriti samo sa čovekom koji je shvatio sužtinu sveta”. I zaista, ove dve izjave između kojih je razmak od 2200 godina su dovedene u vezu!

Dijalektika

Dijalektika kao metoda pobijanja ili dokazivanja bila je poznata i pre Platona. No, sasvim je sigurno da niko pre njega nije poznavao reč dijalektika. Tu reč je sam Platon skovao kao ime za filozofsku istraživačku aktivnost. Neposredni uzor za konstrukciju Platonove dijalektike bili su sokratski razgovori, sokratska ispitivanja. Platon govori o uzdizanju i osvešćavanju duše na putu saznanja. On kaže da je taj put ulazni, progresivan, počinje od najnižeg stepena saznanja (od onoga što pokazuju čula), ide preko proučavanja i razumevanja matematičkih oblika i relacija, da bi dospeo do onog najvišeg (“do uvida u vrhunsko dobro, koje je dobro po sebi, a ne po nečemu drugom”). Platon, s jedne strane, pod rečju dijalektika podrazumeva učešće ljubavi jer “ni do čega vrednog se ne može stići bez tog zanosa”, a s druge strane, podrazumeva veštinu dolaženja do pojmnovnog saznanja.

Osnovni princip dijalektike glasi da se sve što zapažamo u prirodi i društvu, oko nas i u nama, razvija, menja i kreće. Međutim, obratićemo posebnu pažnju na jednu prirodnu pojavu koja, čini se, od iskona prkosi osnovnom principu dijalektike, a s druge strane objašnjava reči Leopolda Kronekera.

Alikvotni tonovi

Poznato je da svaki muzički ton predstavlja složenu zvučnu pojavu. U zvuku svakog tona sadržani su i njegovi tzv. alikvotni tonovi (parcijalni tonovi ili harmonici), čije se frekvencije odnose prema tonu u kojem se pojavljuju, tj. osnovnom tonu, kao 1:2:3:4:5:6:7:8:9 itd. do određene granične frekvencije. Ova granica kod nekih instrumenata iznosi:

Instrument Horna Flauta Violina Truba TrianglGranična frekvencija (kHz)

1.5 4 8 9 16

Tako su, na primer u tonu A, čija je frekvencija 110Hz, sadržani sledeći alikvotni tonovi:

Osnovni ton Alikvotni tonovi (Hz)

4

110 Hz 220 330 440 550 660 770 880 990 1100 1210 1320 1430

Približan ton a e1 a1 cis2 e2 g2 a2 h2 cis3 dis3 e3 f3

A u tonu C su sadržani naredni alikvoti:

Alikvotne tonove ne razabiramo sluhom kao samostalne tonove, nego samo kao prizvuk, odnosno boju glavnog, osnovnog tona. Takođe, što je manji broj alikvotnih tonova (tj. što je granična frekvencija niža) to je zvuk instrumenta “mekši” i obratno – što je alikvotnih tonova više, to je zvuk instrumenta oštriji. Na nekim instrumentima se, naročitim postupkom u sviranju, može postići da pojedini alikvoti zazvuče izdvojeno, kao tzv. flažoleti. Dovoljno je na odredjenom mestu žicu samo lagano dotaći, umesto čvrsto pritisnuti, usled čega nastaje specifična boja tona Slika ili dijagram odnosa tih tonova zove se zvučni spektar, a mogu se registovati i tzv. Helmholcovim rezonatorima, kojima je utvrđeno njihovo postojanje. Četvrti, peti i šesti alikvotni ton daju tonove durskog trozvuka, pa je na osnovu toga proistekla teorija nekih estetičara o prirodnoj osnovi durskog tonaliteta. Nemački muzikolig Hugo Riman postavio je hipotezu o postojanju niza alikvotnih tonova sa suprotnim kretanjem intervala – odozgo naniže. Fizičko postojanje donjeg alikvotnog niza nije eksperimentalno utvrđeno, ali prema Rimanu i četvrti, peti i šesti ton donjeg alikvotong niza obrazuju molski trozvuk. Na osnovu ovoga je izveden zaključak da i molski tonalitet ima u jednom akustičnom zakonu svoju prirodnu podlogu, što predstavlja tzv. Rimanovu hipotezu.

Zaključimo, dakle, da je još od najdavnijih vremena, od kada je čovek proizvodio muziku bilo svojim glasom, bilo na nekom od prvobitnih muzičkih instrumena, u osnovi svakog tona ležao i leži niz prirodnih brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9… i to upravo onaj kojeg nam je po rečima Kronekera podario dragi Bog. Njihove recipročne vrednosti obrazuju tzv. harmonijski niz 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… za čiji naziv postoji više razloga. Prvo, kao što je već pomenuto, ovi tonovi u akustici često nose naziv harmonici, a sami brojevi tačno označavaju deo žice koja treperi prilikom proizvođenja odgovarajućeg tona. Zatim, svaki član ovog niza predstavlja harmonijsku sredinu dva susedna člana koja se izračunava po formuli:

H(a, b) =

Pri tome treba imati u vidu da su još stari pitagorejci, a posebno Arhita, koristili aritmetičku i harmonijsku sredinu za podelu oktave na sve manje i manje intervale i tako dobili više različitih dijatonskih skala.

Recipročna funkcija (hiperbola) y = k/x ima svoju podlogu u prirodnom zakonu,

5

da je kod žice muzičkog instrumenta broj oscilacija obrnuto proporcionalan dužini dela žice koji treperi.

U nizu alikvotnih tonova poseban i izuzetan značaj zauzimaju oktave. Pre svega, njihove frekvencije se odnose kao 1:2:4:8:16…, tj. obrazuju geometrijsku progresiju, čiji je količnik 2. Ali i bez toga, oktava je za sve harmoničare najvažniji interval u muzici i najsavršeniji. Tokom mnogih vekova, od vremena pitagorejaca do današnjih dana, matematičari, akustičari, teoretičari muzike i graditelji muzičkih instrumenata proučavali su problem tonskog uređivanja, izjednačavanja i tempiranja muzičkih skala i tačnog određivanja položaja svakog tona u njima, ali teško da se iko usudio da dirne u svetinju oktave, jer su intuitivno osećali da se ona nalazi u “temeljima postanka sveta”. S jedne strane, osnovni ton i njegova oktava nisu identični, a s druge strane, oba tona u čoveku pobuđuju “kvalitativno isti subjektivni doživljaj”. Svaki ton je u stanju da iz sebe izvede, po pravilu geometrijske progresije, čitav jedan neograničen niz oktava ili tzv. oktavni prostor. Ali i svaki novonastali ton ima tu istu reproduktivnu moć.

Posmatrajmo sada uporedo dva pomenuta, možda najvažnija, na prirodnim zakonima zasnovana niza, i to:

oktavni niz: 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , ...

niz prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Prvi od njih raste eksponencijalno, a drugi linearno. Vidimo da se članovi drugog niza dobijaju logaritmovanjem prvog za osnovu 2. Zapravo, drugi niz je niz logaritama prvog, što nas vodi do Veber-Fehnerovog zakona. Oktavni brojevi predstavljaju podražaje u obliku frekvencija, a prirodni brojevi odgovaraju “subjektivno doživljenim tonskim visinama”. Osnovni psihofizički zakon prema Fehneru ima oblik

S = k * logR

gde je S jačina oseta (ili kako neki više vole intenzitet senzacije), k je konstanta karakteristična za određeni modalitet, i R je intenzitet stimulacije tj. podražaja. Dakle, Fehnerov zakon glasi da “jačina oseta jeste proporcionalna logaritmu odgovarajućeg podražaja”. To opet znači da “eksponencijalnom rastu veličine podražaja odgovara linerani rast veličine oseta”.

Veber-Fehnerov zakon je doživeo mnoge polemike i osporavanja, ali u oktavnom prostoru je dobio svoju najveću potvrdu. Oktava je fundamentalnan muzički interval koji “kao nijedan drugi tonski korak, u nama izaziva isti kvalitet oseta”. Koračanje duž niza oktava osećamo kao ravnomerno penjanje ili spuštanje, tako da se u ovom slučaju pomenuti zakon ostvaruje.

Bitno je spomenuti da Gustav Teodor Fehner (1801-1887) jeste čovek koji je težio jednoj sveobuhvatnoj psihološkoj slici sveta – “sveta u kome se duhovni i materijalni procesi od početka razvijaju uporedo i zajedno, jedni sa drugima, isto kao i fizičko i psihičko u njegovoj psihofizici”. Kažu da iz njegovih dela govori “jedno istinsko jedinstvo religije, umetnosti i nauke, u kome Bog i priroda, duh i materija, vera i nauka stoje u tesnoj međusobnoj povezanosti”, kao i da je njegova glavna preokupacija bila “naći most između srca i razuma”. A složićemo se svi da je ovo u izvesnom smislu i jedna od preokupacija harmonije.

6

Vratimo se sada na harmonijski niz koji predstavlja alikvotne tonove. Iz ovog niza možemo izdvojiti geometrijski podniz, odnosno oktavni podniz. Njegovim logaritmovanjem ponovo se dobija harmonijski niz, i ova igra uz pomoć logaritamske funkcije može po volji da se produži. Stoga se smatra da je logaritamska funkcija matematički izraz povezanosti fizičkog i psihičkog, objektivnog i subjektivnog.

Harmonija i spirala

Niz alikvotnih tonova, odnosno harmonijski niz, fascinirao je sve prave istraživače nauke o harmoniji, koji su u njemu doživljavali jedan od osnovnih “prafenomena univerzuma” i otkrivali različita i višeslojna značenja. Poznati nemački harmoničar Peter Nojbeker spontano je i intuitivno alikvotni niz predstavio u obliku jedne spirale (sl. 2) pri čemu svaka oktava označava jedan nov ciklus, a zatim je to dovedeno u vezu sa biblijskom Knjigom postanja.

“Broj 1 ukazuje da tonski prostor još nije u sebi struktuiran već haotičan, a jedina polazna tačka je osnovni ton – jedno – duh Božji koji sve obuhvata, odnosno kako Biblija kaže: “Beše tama nad bezdanom; i duh Božji dizaše se nad vodom.”

Broj 2 u tonskom prostoru izaziva prvu polarizaciju koja istovremeno vodi ka cikličkoj oktavnoj strukturi. Prvi akt stvaranja je polarizacija u svetlost i tamu koja istovremeno vodi ka cikličkom fenomenu dana i noći. “I reče Bog: neka bude svetlost. I bi svetlost. I vide Bog svetlost da je dobra; i rastavi Bog svetlost od tame.”

Broj 3 se pojavljuje u drugom ciklusu kao prvo novo biće u obliku kvinte. Istovremeno sa njom nastala je i mogućnost formiranja kvintnog kruga, a time i mnoštva tonova u njihovoj organskoj uređenosti. Trojka polarizuje oktavu na kvintu i kvartu, a kvinta simbolizuje prvog čoveka Adama.

Kvinta se kroz broj 5 dalje polarizuje u veliku i malu tercu. Pojavljuju se dur i mol – muško i žensko. Dok je u prvom ciklusu stvaranja čovek još bio androgeno biće, tek na ovom stepenu kroz polarizaciju na čoveka i ženu, dobija se istinski ljudski kvalitet.

Sedmi alikvotni ton sa prethodnim obrazuje septakord koji se doživljava kao pitanje kojim se stvoreni čovek obraća stvaraocu. Pitanje se postavlja o kušanju sa drveta saznanja i obećanju zmije da će čovek postati kao Bog.

Sa brojem 8 zatvara se još jedan oktavni ciklus, a sa brojem 9 počinje napredovanje i izgradnja tonske skale iz manjih elemenata. Posle broja 8 čovek mora da napusti rajski prostor i započne tegoban zemaljski život koji se u Bibliji opisuje rečima “Sa znojem lica svojega ješćeš hleb”.”

Peter Nojbeker nije dao nikakvo matematičko izvođenje, niti je precizirao o kom obliku spirale je reč. Postoje, tri glavna tipa spirala (Arhimedova, hiperbolička i

7

sl.2

logaritamska). I sva tri su u neposrednoj, živoj i organskoj vezi sa nizom alikvotnih tonova, ali pored toga imaju i mnoga druga značenja i ispoljavanja. Jednačine svih ovih spirala izražavaju se u tzv. polarnim koordinatama ρ i θ, gde je ρ poteg ili rastojanje neke tačke od koordinatnog početka ili pola, a θ ugao između potega ρ i polarne (horizontalne) ose (sl. 3).

Jedan od najvećih matematičara i naučnika helenističke epohe i celokupnog starog sveta bio je Arhimed (287 – 212. pre nove ere). U svojoj knjizi O spiralama, on definiše krivu koju mi danas nazivamo Arhimedova spirala kao “liniju opisanu tačkom koja se jednoliko kreće po pravoj, koja se pak sa svoje strane jednoliko obrće oko jedne stalne tačke”. Ako uzmemo da se početni položaj obrtne prave nalazi na polarnoj osi i da je početni položaj pokretne tačke u polu polarnog koordinatnog sistema, tada jednačina spirale ima oblik ρ = aθ, gde konstanta a predstavlja faktor proporcionalnosti. Na slici 4 imamo spiralu nacrtanu za dva suprotna smera obrtanja pokretne prave.

Ova kriva u muzičkom smislu predstavlja krivu frekvencija alikvotnih tonova. Uobičajeno je da se njihov redosled obeležava rednim brojevima (prvi, drugi, treći…) odozdo naviše. Ako je frekvencija osnovnog tona a, tada će frekvencije alikvotnih tonova dalje biti 2a, 3a, 4a, 5a, 6a… I to su tačno one brojne vrednosti i apscise tačaka u kojima spirala seče polarnu osu. Spomenimo da i gramofonska igla krećući se po ploči opisuje putanju koja tačno predstavlja Arhimedovu spiralu.

Hiperboličku spiralu definišemo jednačinom ρ = a/θ. Primetimo da se poteg ρ neograničeno smanjuje kada ugao θ neograničeno raste, kao i da se odgovarajuća linija zavija kod pola i asimptotski mu se približava. S druge strane, ordinata ove krive je određena sa y = ρ·sinθ, pa imamo

y = ρ·sinθ = jer je .

Spirala se odavde nalazi ispod prave y = a i asimptotski joj se približava (videti sl. 5), jer je

= 1

Ovu spiralu pominje i Isak Njutn u prvoj knjizi svojih Principia pri razmatranju zakona gravitacije i mogućeg obilaska

8

sl.3 sl.4

planeta oko Sunca.

Ova kriva u muzičkom smislu upravo predstavlja krivu samih alikvotnih tonova. Ukoliko izaberemo a = 2π dobićemo presečne tačke sa polarnom osom 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6... To znači da jedinični interval [0,1] možemo da posmatramo kao dužinu žice muzičkog instrumenta, pa će spirala prolaziti tačno kroz one tačke na žici u kojima se stvaraju alikvotni tonovi. Svaki alikvotni ton predstavlja harmonijsku sredinu dva susedna alikvotna tona.

Alikvotni tonovi i harmonijska četvorka tačaka

Pokušajmo da dovedemo alikvotne tonove iliti harmonike u vezu sa tzv. harmonijskom četvorkom tačaka, na šta nas sam termin “harmonijski” navodi.

Poznato je da 4 tačke A, B, C i D jedne prave linije obrazuju harmonijsku četvorku tačaka ako tačka C deli odsečak AB iznutra u istom odnosu u kome ga tačka D deli spolja:

: = : (1)

Pitanje je da li bilo koja 4 alikvotna tona na žici muzičkog instrumenta prikazana kao tačke na brojnoj osi, mogu da predstavljaju harmonijsku četvorku tačaka.

Označimo apscise ovih tačaka sa

i

pri čemu n označava redosled alikvotnog tona od koga počinjemo formiranje četvorke, a a, b i c su za sada nepoznati prirodni brojevi uz uslov a < b < c. Dvostruka proporcija (1) svodi se na

(2)

9

sl.5

Posle kraćeg računanja, relacija (2) svodi se na relaciju

a · (c-b) = (b-a) · c (3)

Primetimo da se u relaciji (3) više ne pojavljuje n, što znači da je svejedno od kog alikvotnog tona ćemo početi formiranje harmonijskih četvorki. Ovu relaciju posmatrajmo sada kao jednu tzv. Diofantovu jednačinu sa tri nepoznate veličine a, b, c uz uslov 0<a<b<c. Inače, u matematici se pod Diofantovom jednačinom podrazumeva svaka algebarska jednačina sa celim koeficijentima, čija se rešenja traže u skupu celih brojeva. Neposrednim računanjem dolazimo do prvih nekoliko rešenja:

1) a = 2, b = 3, c = 6

Za n = 2 dobijamo alikvotne tonove 1/2, 3/4, 4/5, 7/8, tj. prvu oktavu, drugu oktavu, veliku tercu i treću oktavu.

2) a = 3, b = 4, c = 6

Za n = 1 dobijamo alikvotne tonove 0, 3/4, 5/6, 15/16, tj. osnovni ton, drugu oktavu, kvintu i četvrtu oktavu, itd.

Vidimo da problem ima beskonačno mnogo rešenja, jer svaka uređena trojka (a, b, c) kao rešenje generiše još beskonačno mnogo rešenja oblika (αa, αb, αc), gde je α proizvoljan prirodan broj.

Veza između alikvotnih tonova i harmonijskih četvorki mnogo se jasnije uočava ako se tonovi izraze preko svojih frekvencija. Tako, na primer, pitagorejska četvorka 6, 8, 9, 12 poznata kao Harmonia perfecta koja odgovara tonovima c, f, g, c’ može se smatrati osnovnom harmonijskom četvorkom u okviru oktave. Postoje još dve harmonijske četvorke u okviru kvinte:

c e f g

1/1 5/4 4/3 3/2

kao i dve u okviru kvarte:

Logaritamska spirala

Poznati švajcarski matematičar Jakob Bernuli (1654-1705) proučavao je veći broj krivih linija čije se jednačine izražavaju u polarni koordinatama, a najveću pažnju pritom

f g as c’

4/3 3/2 8/5 2/1

c es e f

1/1 6/5 5/4 4/3

g as a c’

3/2 8/5 5/3 2/1

10

posvetio je logaritamskoj spirali, određenoj jednačinom ρ = e (a ≠0). Ako polarni ugao θ uzima vrednosti koje obrazuju aritmetičku progresiju 0, θ , 2θ , 3θ , 4θ … onda odgovarajuće vrednosti potega čine geometrijsku progresiju: 1, ρ, ρ , ρ , ρ … Na sl. 6 prikazan je grafik ove krive za a > 0 i a < 0.

Postoji veliki broj zanimljivih osobina ove krive koje su fascinirale Brnulija. Pre svega, svaka prava koja prolazi kroz pol, seče spiralu pod istim uglom (videti sl. 7).

Ova osobina ukazuje na bliskost spirale i kruga kod koga je presečni ugao 90º. Krug i nije ništa drugo nego logaritamska spirala sa brzinom rasta 0. Jednačina ρ = e za a = 0 prelazi u ρ = e = 1, tj. u jednačinu jediničnog kruga u polarnim koordinatama.

Ako pođemo od bilo koje tačke P na spirali ka njenoj unutršnjosti, treba izvesti beskonačno mnogo obrtaja u cilju dostizanja pola. Ipak, Evangelista Toričeli (1608-1647), učenik Galileja, otkrio je 1645. godine da je dužina ove putanje konačna i jednaka dužini odsečka tangente iz tačke P do preseka sa y-osom (sl. 8). Ovaj rezultat predstavlja prvu poznatu rektifikaciju, odnosno odeđivanje dužine luka jedne nealgebarske krive.

11

sl.6

sl.7 sl.8

Primenom raznih geometrijskih transformacija, spirala ostaje invarijantna, tj. nepromenjena. Na primer, primenom inverzije spirala ρ = e prelazi u ogledalno simetričnu spiralu ρ = e .

Interesantno je i njeno ponašanje u odnosu na tzv. evolutu. Za neku datu krivu, evoluta je geometrijsko mesto svih centara krivine koje se dobija pri kretanju duž prvobitne krive. Najčešće, evoluta je nova kriva koja se znatno razlikuje od polazne krive koja je generiše. Međutim, Jakob Bernuli je otkrio da je logaritamska spirala sama sebi sopstvena evoluta.

Sve ovo, kao i neke druge osobine, učinile su da Jakob Bernuli svoju omiljenu krivu nazove Spira mirabilis i napiše: “Uvek se rađa sama iz sebe i sama sebi slična, uvek ista ako je uvijemo ili odvijemo, reflektujemo ili podelimo; može se smatrati simbolom snage, istrajnosti i nepromenljivosti kod protivurečnih i konfliktnih stanja i prilika, ali i simbolom ljudskog tela koje posle svih svojih promena, čak i posle smrti vaskrsava u svome pravom i savršenom obličju.” Bernuli je izrazio želju da se logaritamska spirala sa natpisom Eadem mutate resurgo (preobražena vraćam se opet ista) stavi na njegov grob. Želja mu je u neku ruku ispunjena, ali se umesto logaritamske, verovatno zbog neznanja, našla Arhimedova spirala.

Sigurno je da nijedna druga kriva za naučnike, umetnike i filozofe prirode nije imala veću privlačnu snagu od logaritamske spirale. Zbog svog dopadljivog oblika javljala se još od vremena antike kao omiljeni dekorativni motiv, a s druge stane, uočavana je na neočekivanim mestima u prirodi. Osobinu da ravnomernom prirastu ugla odgovara eksponencijalni prirast potega uočen je i kod ljušture amonita (sl. 9).

Engleski filozof prirode D’Arcy W. Thompson (1860-1948) razmatrao je u svom delu O rastu i obliku ulogu logaritamske spirale kao pokretačkog oblika rasta prirodnih formi kao što su: školjke, rogovi, nizovi zuba ili suncokret (cl. 10). Tome se mogu još pridodati i spiralne galaksije (sl. 11).

Logaritamska spirala i zlatni presek

Spomenućemo sada još jednog izuzetno značajnog matematičara stare ere Euklida, o kome se vrlo malo zna, osim da je živeo u vreme prvog Ptolemaja. Njegovo

12

sl.10 9999999999999 9

sl.11

sl.9

najveće delo jesu Elementi napisani oko 300. godine stare ere. Ali možemo reći i da su Elementi kapitalno delo celokupnoga staroga sveta. U svojoj drugoj knjizi Elemenata, u jedanaestom stavu, Euklid deli datu duž “tako da pravougaonik obuhvaćen celom duži i jednim odsečkom bude jednak kvadratu na drugom odsečku”(sl. 12). Kasnije, u VI knjizi pod definicijom 3 Euklid piše da “cela duž stoji prema većem delu kao veći prema manjem”. Ovo razlaganje Euklid naziva “podelom u srednjoj i krajnjoj razmeri”, a kasnije su joj pripisivani i nazivi poput “božanstvena proporcija” “neprekidna proporcija”, da bi se danas ustalio naziv “zlatni presek”.

Navedimo samo ideju za konstrukciju zlatnog preseka. Euklid kaže:

“Neka je AB data duž. Treba AB podeliti tako da pravougaonik obuhvaćen celom duži i jednim odsečkom bude jednak kvadratu na drugom odsečku.Nacrta se kvadrat ABCD na AB, i prepolovi se AC tačkom E, povuče se BE, produži se CA do H, i odmeri se EH jednako BE; nacrta se kvadrat HG na AH, i produži se FG do K. Tvrdim da je AB podeljeno tačkom G tako da je pravougaonik obuhvaćen dužima AB i BG jednak kvadratu na AG.”

Moguće je uspostaviti vezu između zlanog preseka i logaritamske spirale. Prvo spomenimo da odnos o kome Euklid govori ima i svoju

brojnu vrednost, obeležimo je sa

= 1, 6180339887...

Neki umetnici su smatrali da najsavršenije mere i proporcije od svih pravougaonika ima tzv. “zlatni pravougaonik”, koji ima važnu ulogu u arhitekturi.

“Tačkama H, C, D pridružujemo tačku L takvu da je HCDL pravougaonik. Odnos veće ivice ovog pravougaonika prema manjoj je pa, stoga, ovaj pravougaonik možemo nazvati zlatnim. Duž AB razlaže zlatni pravougaonik HCDL na kvadrat ABCD i pravougaonk ABLH kojem je odnos veće ivice prema manjoj takođe pa je, stoga, i on zlatni pravougaonik. Slično, duž GF razlaže ABLH na kvadrat AGFH i zlatni pravougaonik GBLF, a duž MN pravougaonik GBLF na kvadrat MNFL i zlatni pravougaonik GBMN, itd. Kako je BLFG pravougaonik homotetičan pravougaoniku DLHC, teme G pripada dijagonali CL. Na isti način, teme N zlatnog pravougaonika GBMN pripada dijagonali HB njemu sličnog pravougaonika ABLH. Štaviše, DLHC će biti slika zlatnog pravougaonika ABLH u dilativnoj rotaciji za prav ugao, sa koeficijentom , te će prave CL i HB biti međusobno upavne. U istoj dilativnoj rotaciji slika pravougaonika FGBL biće ABLH, a slika pravougaonika MNGB pravougaonika FGBL itd. Središte ove dilativne rotacije biće presek O dijagonala CL i HB, pa će i odgovarajuće prave DF i AM u ovoj dilativnoj rotaciji da sadraže središte O. Kako je OC : OH = : CA i CA : AH = , OA je bisektrisa ugla COH. Slično, OF je bisektrisa ugla HOL pa su prave DF i AM međusobno upravne isto kao i prave CL i HB te, stoga, ove četiri prave razlažu ravan na

13

sl.12

osam međusobno podudarnih uglova i sadže sva temena svih zlatnih pravougaonika u ovom nizu (sl. 13).

Ovi pravougaonici opisuju jednu logaritamsku spiralu zadatu jednačinom

ρ = a , gde je a = τ .Ova spirala seče ivice zlatnog pravougaonika pod veoma malim uglom tako da se može aproksimirati unijom četvrtina krugova upisanih u kvadrate koji pripadaju zlatnim pravougaonicima.”

Stoga se ova spirala naziva još i zlatnom, i pojavljuje se u mnogim dekorativnim mustrama (sl. 14).

Zamislimo sada četiri bube koje se nalaze u uglovima jednog kvadrata. U jednom trenutku svaka buba kreće prema svom susedu udesno. Može se pokazati da njihovi putevi predstavljaju podudarne logaritamske spirale koje konvergiraju prema centru. Na slici 15 prikazana je jedna mustra proizašla iz pomenutog problema četiri bube.

14

sl.13

sl.14

Najzad, osim svih navedenih, ova čudesna spirala svakako ima najsnažnije

izraženo muzičko značenje. Ako izaberemo da je a = , dobićemo jedan specijalan

oblik logaritamske spirale ρ = e koju ćemo zvati oktavna ili Nojbekerova spirala.

Ona seče polarnu osu redom u tačkama 1, 2, 4, 8… koje odgovaraju uzastopnim oktavama (sl. 16).

To dalje znači da interval [0,1] može da se zamisli kao žica muzičkog instrumenta, pri čemu tačka 1 označava početak žice. Idući po spirali ka unutra dobijamo preseke sa polarnom osom u tačkama 1/2, 1/4, 1/8, 1/16… koje tačno odgovaraju uzastopnim oktavama na žici. Međutim, to nije sve. Polazeći od toga da je kvinta treći ton u alikvotnom nizu, iz jednačine

ρ = e = 3

logaritmovanjem se dobija rešenje θ = 210º, koje ćemo nazvati kvintni ugao. Odgovarajući krak ugla, tj. kvintni zrak seče spiralu u tačkama 3, 6, 12… koje dakle odgovaraju trećem, šestom, dvanaestom alikvotnom tonu itd.

Peti ton u alikvotnom nizu je jedna terca. Iz jednačine

ρ = e = 5

dobija se tercin ugao θ ≈ 116º, a na tercinom zraku peti, deseti i dvanaesti alikvotni ton. Slično se dobija i septimni ugao θ ≈ 291º i odgovarajući tonovi 7, 14, 28 itd. Na taj način

15

sl.15sl.16

utvrđeno je da prvobitna Nojbekerova ideja mora biti donekle modifikovana i da oktavni, kvintni, tercni i septimni zrak ne mogu biti međusobno normalni, već moraju zahvatati tačno određene uglove od 0º, 210 º, 116 º i 291 º u odnosu na polarnu osu, da bi se njegova spirala tačno uklopila u univerzalnu Spira mirabilis.

Da bi se uočilo još jedno važno muzičko značenje ove čudesne spirale, treba zadržati pažnju na problemu temperovanja tonskih skala. Kroz istorijski razvoj muzike, stvaranje temperovanih sistema nametnulo se zbog toga što se prirodni tonovi ne mogu uvek upotrebiti u muzici. Ovaj problem je rešio halberštatski orguljaš i teoretičar muzike Andreas Verkmajster 1691. godine. Johan Sebastijan Bah je svoje instrumente naštimovao na jedan nov način i zatim napisao svojih čuvenih 48 preludijuma i fuga za Dobro temperovani klavir i time na delu pokazao da na ravnomerno temperovanom instrumentu mogu da se izvode sve tonske skale i rodovi, a da se pri tome ne pojavljuju falševi u melodiji.

Unutar jedne oktave umetnuto je 12 tonova tako da je količnik broja oscilacija dva bilo koja susedna tona isti i iznosi

q =

Tako dobijamo sledeći brojni niz:

c cis d dis e f fis g dis a ais h c’

1 2

Ali ovaj niz zapravo predstavlja jedan logaritamski sistem sa osnovom , a logaritmi su eksponenti 0, 1, 2, 3, … 12. Smenjivanje niza tonova lestvice ima svoju aritmetičku sliku u logaritmima. Formiranje logaritamskih tablica i sukcesivno izračunavanje logaritama ima isto značenje kao i ravnomerno temperovanje jednog muzičkog instrumenta.

Na taj način ova naša spirala postaje i spirala temperovanog tonskog sistema. Dovoljno je pun ugao od 360º podeliti na 12 jednakih delova od po 30º i svakom zraku dati značenje po jednog tona iz lestvice (sl. 17).

Ako sada želimo da, na primer, C-dur lestvicu transponujemo u bilo koju drugu, dovoljno je da spiralu okrećemo dotle dok se osnovni ton nove lestvice ne poklopi sa polarnom osom. Svi preostali tonovi doći će svaki na svoje mesto i svi brojni i tonski odnosi ostaće sačuvani.

Na taj način spirala kao “oličenje harmonije uzdiže se do univerzalnog simbola

16

sl.17

nastajanja, trajanja, prošlosti i budućnosti”. Iz iskona dolazi i nestaje u beskrajnim daljinama. Ona je simbol dvojstva u čoveku, koji se, s jedne strane, širi i otvara ka spoljnjem svetu, a s druge, povlači u svoju najdublju unutrašnjost da bi izvršio svoj osnovni zadatak “Upoznaj samoga sebe”, zapisan na Apolonovom hramu sa Pitijinim proročištem u Delfima. Ta njena dvostruka usmerenost ka zvezdanom nebu nad nama i moralnom zakonu u nama, predstavljala je i dva objekta najvećeg divljenja za Imanuela Kanta.

Logaritamska spirala i Zenonovi paradoksi

Vratimo se opet u stari vek, tačnije oko 2450 godina unazad, u vreme antičkog filozofa Zenona Helenskog, učenika Parmenida. Zenonovi paradoksi su došli u protivrečnost sa nekim starim i intuitivnim predstavama beskonačno malih i beskonačno velikih veličina. Zenonova kritika bila je uperena protiv takvih predstava i njegova četiri paradoksa izazvala su takvo uzbuđenje koje se, takoreći, ni do danas nije potpuno smirilo. Ti paradoksi su nam poznati zahvaljujući Aristotelu, i to pod nazivima Ahil, Dihotomija, Strela i Stadion. U formulacijama ovih paradoksa naglašene su protivrečnosti u shvatanjima kretanja i vremena, ali se nije nastojalo da se one otklone. Obratimo pažnju na prva dva paradoksa.

Ahil: “Ahil i kornjača kreću se istim putem u istom smeru. Ahil je brži od kornjače, ali da bi je stigao, on mora najpre da pređe tačku P iz koje je kornjača počela kretanje. Kada Ahil stigne u tačku P, korjača će se pomeriti u tačku P . Ahil ne može da stigne kornjaču dok ne stigne u tačku P , ali kornjača će se za to vreme pomeriti u tačku P itd. Prema tome, Ahil nikada ne može da stigne kornjaču.”

Dihotomija: “Pretpostavimo da ja hoću da pređem od tačke A do tačke B po nekom putu. Da bih stigao u B treba najpre da pređem polovinu puta, tj. do B ; da bih stigao u B moram najpre da stignem u B , koje se nalazi na sredini puta između A i B i tako do beskonačnosti, što znači da kretanje nikada ne može početi. ”

Već vekovima stotine filozofa, matematičara i drugih “mislećih” ljudi obračunava se sa Zenonom, trošeći svoje najbolje umne snage i tražeći grešku u njegovom rasuđivanju. Pri tome je predmet napada njčešće podela konačnog intervala na beskonačan broj delova. Međutim, za sve ovo vreme, jedva da je zapamćeno ime nekog od njegovih kritičara, a njegovo ime nikako da izbledi. Postavlja se pitanje da li je Zenon možda bio u pravu, i da li postoji neka realna situacija i neki prostor u kome njegov model funkcioniše. Matematičkom laiku i tvrđenje Lobačevskog, da je kroz tačku van prave moguće konstruisati dve i više prava paralelnih datoj, može izgledati netačno i apsurdno. Međutim, geometriju Lobačevskog treba shvatiti veoma ozbiljno, pogotovu kada se zna da postoji Poenkareov model u kome ova geometrija savršeno funkcioniše.

Zamislimo da Ahil juri kornjaču po logaritamskoj spirali, dva puta većom brzinom i da je krenuo iz tačke 1, a kornjača iz 1/2 na polarnoj osi. Kada Ahil stigne u tačku 1/2, kornjača će biti u tački 1/4 i čini se da se sve dešava onako kako je Zenon

17

opisao, jer spirala obrazuje beskonačno mnogo obrta idući ka svom fokusu. Sada bi neko mogao konstatovati – “zašto se uopšte zamajavamo ovom neugodnom spiralom, kada se ona može ispraviti, kao konac zategnuti i pokazati da je njena dužina konačna i tačno jednaka odgovarajućem odsečku tangente do preseka sa osom. A idući po tom odsečku, Ahil će svakako stići kornjaču!?”

Nevolja je u tome što logaritamska spirala nije samo matematička kriva, već ima i mnoga druga značenja i kvalitete koje smo imali priliku da dotaknemo. Videli smo da interval [0,1] označava žicu muzičkog instrumenta. Ako svakodnevno kretanje shvatimo kao koračanje i prelaženje rastojanja, manjom ili većom brzinom, onda kretanje u muzici možemo opisati, na primer “sviranjem skala na žici violine ili nekog drugog gudačkog instrumenta i prelaženje oktave za oktavom, bilo naviše ili naniže”. Već vekovima mnogobrojni virtuozi proizvode muziku sastavljenu od ulaznih i silaznih melodija, krećući se prstima po žici naviše i naniže i prelazeći oktavu za oktavom. A na kraju žice, “tamo gde violina kao da je urasla u telo umetnika koji je oživljava”, u toj tački možemo zamisliti kornjaču koja se smeši i čeka svoga Ahila. Dok Ahil, svirajući niz tonova muzičke skale i prelazeći oktavu za oktavom naviše, krećući se u smislu muzike, smanjivaće rastojanje na 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 dužine itd., ali nikada ne može dostići kraj žice, jer na putu treba da savlada sve moguće oktave, a njih ima beskonačno mnogo. Za žicu muzičkog instrumenta važi objektivan fizičko-akustički zakon ƒ = K/l, tj. da je frekvencija tona obrnuto proporcionalna dužini žice, pa se u krajnjoj tački ona beskonačno uvećava. Ova tačka je za izvođača na muzičkom instrumentu očigledno nedostižna, mada je “svako može videti okom i dotaći prstima”. A iz tačke koja je nedostižna ne može se ni početi kretanje, što objašnjava i drugi paradoks o dihotomiji. U Zenonovo vreme su postojali žičani instrumenti i tonske skale, a znalo se da se ton oktave proizvodi tačno na polovini dužine žice i da nizu oktava odgovara niz polovljenja.

18

Zaključak

Dozvolimo sebi i malo poetike, jer čovek je sklon ulepšavanju. Dakle, kornjača je dugovečna životinja, a Ahil hrabar i istrajan. Ako kornjaču uzmemo za simbol večnosti, a Ahila kao izraz uzvišenih ljudskih težnji, onda Zenonovu priču možemo shvatiti kao istoriju ljudske kulture, nauke, umetnosti i težnje ka saznanju. Kroz oktavni prostor, preko žice muzičkog instrumenta, uzdižući se na simbličku ravan, ova priča otkriva nam neke nove horizonte. Nije li svako od nas pomalo Ahil u težnji ka večnosti, savršenstvu i beskonačnosti, i nije li beskonačnost tu negde oko nas i u nama, a ne samo u beskrajno dalekoj ravni našeg prostora!?

19

“Jedne večeri posadih Lepotu na krilo.

I nađoh je gorku.

I prokleh je!”

Artur Rembo

Imenik

Arhimed je rođen u Sirakuzi na Siciliji oko 287. godine stare ere. Bio je rođak i prijatelj Hijerona II. Smatra se jednim od najgenijalnijih matematičara staroga veka. Celim svojim nizom otkrća otvorio je u nauci nove discipline. Od svojih rezultata, sam se najviše ponosio izračunavanjem površine i zapremine lopte i valjka, izloženim u spisu O sferi i cilindru. Stoga su mu, po njegovoj želji prijatelji i srodnici, na nadgrobnom spomeniku

20

uklesali valjak s loptom u njemu. Isto tako važan rezultat njegovih izračunavanja je vrednost broja π, izračunatog kao odnos obima i prečnika kruga u spisu O merenju kruga. Velike su njegove zasluge u mehanici i astronomiji. Otkrio je zakon poluge, prvi egzaktno dokazao zakone ravnoteže, jasno shvatio pojam specifične težine i u spisu Ο plutajućim telima utvrdio principe hidrostatike. Proslavio se sjajnim izumima u mehanici, na osnovu kojih je Sirakuza dugo odolevala rimskom opsedanju. Sin astronoma Fidije, on je vršio i astronomska posmatranja da bi utvrdio tačnu dužinu godine, te je našao da ona iznosi 365 1/4 dana. Kad je završio svoje školovanje u Aleksandriji i vratio se u otadžbinu, veze s aleksandrijskim naučnicima produžio je naučnom prepiskom. Spomenimo još da je iz jednog jerusalimskog palimpsesta iz 1907. godine izvučen spis u kojem se Arhimed pojavljuje kao prethodnik integralnog računa. Sačuvani su sledeći njegovi spisi: O ravnoteži površina, Kvadratura parabole, O sferi i cilindru, O spiralama, O konoidama i sferoidama, O plutajućim telima, O merenju kruga, Prebrojavanje zrna peska i Metod; zatim prevodi sa arapskog: Knjiga lema, Problem volova boga Sunca. A izgubljena njegova dela su: Poliedri, O polugama, Principi, O težištu, Katoptika, Kalendar.

Arhita iz Tarenta (428-347 godine stare ere) bio je antički filozof , pripadnik pitagorejske škole, državnik, vojni strateg, teoretičar muzike, matematičar, fizičar i astronom. Rodio se u gradu Tarentu, na jugu Apenskog poluostrva, gde je kasnije postao i pritan (izvršni magistrat), sprovodeći takvu razvojnu politiku koja je Tarent učinila najbogatijom metropolom u Velikoj Grčkoj. Podizanjem spomenika, hramova i javnih građevina dao je gradu novi sjaj. Pružio je novi podstrek trgovini razvijajući i učvršćujući odnose s drugim trgovačkim centrima, kao što su Istra, balkanska Grčka i Afrika. Takođe je pokušao da sve gradove Velike Grčke ujedini u neku vrstu saveza uperenog protiv tamošnjih autohtonih naroda. Bio je prijatelj Platona, s kojim se upoznao na Siciliji, i 361. godine stare ere, kada je Dionisije Mlađi utamničio Platona, Arhita je pomogao njegovo oslobađanje iz zatvora. Arhita je bio učenik pitagorejca Filolaja iz Krotona, a zatim je učio matematiku kod Eudoksa iz Knida. On sam i Eudoks bili su Menehmovi učitelji. Arhiti se tradicionalno pripisuju mnogi spisi, od kojih su, međutim, sačuvani samo malobrojni fragmenti za koje se sa sigurnošću može utvrditi njegovo autorstvo. Među njegovim delima su O umu i o počelima, O umu i čulima, O mudrosti, O deset kategorija, O kraljevstvu, O kraljevima, O rađanju, i O čuvanju. Arhita je bio prvi koji je predložio da se grupišu tradicionalne discipline: aritmetika, geometrija, astronomija i muzika – koje će u srednjem veku činiti "kvadrivij". Arhita se udavio kada je brod kojim je plovio potonuo u Jadranskom moru. Njegovo je telo ležalo nepokopano na obali sve dok ga neki mornar nije simbolično posuo sa malo peska, kako njegova duša ne bi narednih sto godina lutala s ove strane Stiksa.

Bah, Johan Sebastijan (Johann Sebastian Bach, 1685 - 1750) bio je nemački kompozitor i orguljaš iz doba baroka, i široko priznat kao jedan od najvećih kompozitora svih vremena. Njegova dela su zapažena zbog intelektualne dubine, tehničkog savršenstva i umetničke lepote. Tvorac je velikog broja oblika koji karakterišu barok kao razdoblje. Betoven je

21

za Baha rekao: “Ne Bah (Bach - potok) već more trebao bi se zvati zbog svoga beskrajnog znanja i umeća, zbog nepresušnog vrela iz kojih je crpeo svoje melodije i harmonije.” Jednom prilikom, Gete je izjavio: “Kad slušam izvođenje Bahove muzike čitavo je moje biće potreseno i čini mi se kao da mi ne trebaju uši, oči, niti ostala čula.”

Bernuli, Jakob (Jacob Bernoulli, 1654 - 1705) je bio švajcarski matematičar i naučnik, prvi iz čuvene porodice matematičara, profesor Univerziteta u Bazelu. Svojim radovima doprineo je razvoju infinitezimalnog računa (izmedju ostalog, otkrio je lemniskatu i lančanicu). Sa bratom Johanom započeo je izgradnju varijacionog računa, uticao je na razvoj teorije verovatnoće i njenih primena. Poznat je Bernulijev zakon velikih brojeva i Bernulijeva nejednakost koju je dokazao za sve prirodne brojeve veće ili jednake od dva. Kasnije je dokazano da Bernulijeva nejednakost važi za sve realne brojeve veće ili jednake od -1, a danas je poznato da ta nejednakost važi za sve realne brojeve veće ili jednake od -2. Vrlo je zanimljivo istaći da je porodica Bernuli u svojim dvema generacijam dala čak osam matematičara, među kojima su najistaknutiji Jakob, Johan i Danijel Bernuli.

Diofant iz Aleksandrije (živeo oko 250. godine nove ere) uprkos tome što je bio istaknuti grčki matematičar, vrlo se malo zna o njegovom životu. Njegov rad je sačuvan u šest poglavlja Aritmetike koja su dospela do nas, dok je šest poglavlja izgubljeno. Ovo je najverovatnije bio najstariji sistematski trakt o algebri. Diofant se prvenstveno interesovao za teoriju brojeva i rešavanje jednačina, i mnogo doprineo napretku algebre upotrebom simbola za veličine, matematičke operacije i odnose, pre toga su ove veličine bivale opisivane rečima. Možda je najpoznatiji po svom otkriću Diofantovih jednačina, neodređenih jednačina s racionalnim koeficijentima za koje se traži racionalno rešenje.

Euklid (živeo je u periodu od 330 - 275.godine stare ere) je bio antički matematičar poznat po svojim delima Elementi, Data, Optika i algoritmu za izračunavanje najvećeg zajedničkog delioca (NZD) koji je po njemu nazvan Euklidov algoritam. Živeo je i radio u Aleksandriji gde je stvorio matematičku školu. U odnosu na druge naučne oblasti, geometrija je dostigla zavidan nivo oko 300. godine stare ere pojavom dela Elementi. Tada u matematici geometrija dominira, pa su i brojevi interpretirani geometrijski. Euklid je pokušao da izlaganje bude stogo deduktivno i upravo zbog te doslednosti Elementi su vekovima smatrani najsavršenijim matematičkim delom. Mnoge generacije matematičara i drugih naučnika su učili iz ove knjige kako se logički zaključuje i novo povezuje sa ranije utvrđenim činjenicama. Kasnije su Elementi analizirani i dopunjavani. Posebnu pažnju su privlačili aksiomi i postulati. U ovoj knjizi su sadržana sva saznanja i otkrića do kojih su došli Euklid i njegovi prethodnici i savremenici u geometriji, teoriji brojeva i algebri. Takođe, dokazane su i 464 teoreme na način koji je i danas besprekoran.

Fehner, Gustav Teodor (Gustav Theodor Fechner, 1801 - 1887) bio je nemački psiholog, tačnije pionir eksperimentalne psihologije i osnivač psihofizike. Inspirisao je mnoge naučnike i filozofe dvadesetog veka, uključujći i Gerardus Heymans-a, Ernst Mach-a, Wilhelm Wundt-a i G. Stanley Hall-a. Otac mu je bio sveštenik.

22

Studirao je u Drezdenu i na Univerzitetu u Lajpcigu, gradu u kom je proveo ostatak svog života. 1834. godine postavljen je za profesora fizike, ali 1839. godine usled proučavanja fenomena boje i vida, gubi vid na jednom oku, i nakon mnogo patnje, posustaje. Nakon oporavka, okrenuo se proučavanju duha i njegove veze sa telesnim.

Kant, Imanuel (Kant Immanuel, 1724 - 1804) profesor Univerziteta u Kenigsbergu, rodonačelnik klasične nemačke idealističke filozofije. Njegovo filozofsko učenje nosi

naziv transcendentalni idealizam, što znači da je za njega svet objektivno realan samo u granicama iskustva, dok je preko tih granica transcendentalno idealan, dat samo u misli. Iskustvo je sjedinjena delatnost čulnosti i razuma, dvaju stupnjeva ljudske saznajne moći, koji pomoću svojstvenih, datih im a priori formi - prostora, vremena, uzročnosti, supstancijalnosti i drugih kategorija sređuju i prerađuju haos utisaka koji u našoj svesti izaziva dejstvo objektivnog sveta stvari po sebi (Ding an sich). Van okvira tih formi svet je principijalni nesaznajan

i mi o njemu niti šta znamo niti možemo znati. Prema tome, metafizika kao nauka o svetu kakav je on van granica iskustva (mogućeg samo u okviru pomenutih formi saznanja) je nemoguća i nemoguće je dokazati npr. postojanje boga i besmrtnosti duše, ali čovek kao nosilac moralnog zakona, kategoričkog imperativa ima mogućnost da se uveri u postojanje boga i besmrtnosti duše, jer mu taj zakon potvrđuje njegovu pripadnost višem, noumenalnom svetu. Sistem te svoje transcendentalne filosofije Kant je izložio u poznatim delima: Kritika čistog uma, Kritika praktičnog uma i Kritika moći suđenja, napisanim u toku poslednjih 30 godina života (u tzv. kritičkom periodu). Opšta crta tog njegovog kriticizma je idealizam i agnosticizam. Pre toga, u tzv. doktričkom periodu, Kant je dao niz drugih dela, većinom prirodno-naučnog i daleko manje agnostičkog karaktera, među koja se osobito ističe Opšta istorija prirode i teorija neba, u kojoj je izneo svoju hipotezu o prirodnom postanku Zemlje i nebesnih tela (Kantova kosmologijska hipoteza).

Kostić, Laza (1841 - 1910) je rođen 1841 god. u Kovilju, u Bačkoj, u vojničkoj porodici. Osnovnu školu je učio u mestu rođenja, gimnaziju u Novom Sadu, Pančevu i Budimu, a prava i doktorat prava na peštanskom univerzitetu. Službovanje je počeo kao gimnazijski nastavnik u Novom Sadu; zatim postaje advokat, veliki beležnik i predsednik suda. Sve je to trajalo oko osam godina, a potom se, sve do smrti, isključivo bavi književnošću, novinarstvom, politikom i javnim nacionalnim poslovima. Dvaput je dopao zatvora u Pešti: prvi put zbog lažne dostave da je učestvovao u ubistvu kneza Mihaila i drugi put zbog borbenog i antiaustrijskog govora u Beogradu na svečanosti prilikom proglašenja punoletstva kneza Milana. Kad je oslobođen, u znak priznanja, bio je izabran za poslanika Ugarskog sabora, gde je, kao jedan od najboljih saradnika Svetozara Miletića, živo i smelo radio za srpsku stvar. Potom živi u Beogradu i uređuje Srpsku nezavisnost, ali pod pritiskom reakcionarne vlade morao je napustiti Srbiju. Na poziv kneza Nikole odlazi u Crnu Goru i tu ostaje oko pet godina, kao urednik zvaničnih crnogorskih novina i politički saradnik knežev. No, i tu

23

dođe do sukoba, pa se vratio u Bačku. U Somboru je proveo ostatak života relativno mirno. Umro je 1910 god. u Beču.

Leopold, Kroneker

Ve, Li Pu

Lobačevski, Nikolaj Ivanovič (Лобачевский Николай Иванович, 1793 - 1856) je ruski matematičar; sin arhitekte, rođen u Novogordskoj oblasti, koji je postavio temelje

neeuklidske geometrije. Kada mu je bilo šest godina, Lobačevskom je umro otac i pošto je njegova majka porodicu preselila u Kazanj, tamo je 1807. pohađao novootvoreni univerzitet. Studije završava 1811., docent postaje 1814., vanredni profesor 1816., redovni 1822., a 1827. postaje rektor što ostaje sve do penzionisanja. Njegova vlada ga je odlikovala, ali je 1846, iz nejasnih razloga, pao u nemilost; tada se penzioniše iz zdravstvenih razloga. Za života, Lobačevski je kao i Kopernik, bio nepoznat i nepriznat čak i u svojoj domovini. Poznati nemački matematičar Gaus, jedini je obratio pažnju na njegova velika otkrića i

pomagao njegov izbor za dopisnog člana Naučnog udruženja u Getingenu. Ali tek kada je nakon Gausove smrti objavljeno da je on prihvatao teorije i dostignuća Lobačevskog, tada je iznenađena matematička javnost prvi put čula za ime velikog ruskog matematičara. Lobačevski je autor jednog postupka za numeričku aproksimaciju korena algebarske jednačine. Na zapadu je ovaj postupak poznat pod imenom metoda Dandelin-Grafe, ali ga ruska škola matematike ipak zove po Lobačevskom. Lobačevski je takođe definisao funkciju kao odnos između dva skupa realnih brojeva (Dirihle daje istu definiciju nezavisno nešto kasnije). U svojoj knjizi Geometrija iz 1823. godine on sistematski proučava posledice postojanja geometrije bez V Euklidovog postulata. Međutim iste godine, potpuno nezavisno od njega, mladi Boljai (Bolyai, 1802-1860) napisao je u jednom pismu da je došao do zanimljivih otkrića, ali koje će prvi put objaviti u knjizi tek dve godine kasnije. Zna se i da je veliki Gaus istraživao dotičnu oblast, ali takođe i zapisao “da je to mrtvo more po kome je i on sam bezuspešno plovio”. Prvo objavljeno delo u kome je celokupna teorija predstavljena je rad Lobačevskog objavljen u Kazanskom glasniku 1829. godine. Ali s obzirom da je ova publikacija bila lokalnog karaktera, a Imperatorska akademija nauka u Sankt Peterburgu nije želela objaviti rad (čemu je značajno doprineo Ostrogradski) to je ovaj rad ostao nepoznat sve do 1837. i objavljivanja u Parizu. Lobačevski je uporno radio na popularizaciji svojih rezultata, ali je ipak dočekao da umre nepriznat. Veličine kao Ostrogradski ili Ležandr su bile nepremostiva prepreka.

Nojbeker, Peter

Njutn, Isak (ser Isaac Newton, 1643 - 1727) bio je engleski fizičar, matematičar, astronom, alhemičar i filozof prirode, koji je danas za većinu ljudi jedna od najvećih ličnosti u istoriji nauke. Njegova studija Matematički principi filozofije prirode (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), objavljena 1687. godine, koja opisuje

24

univerzalnu gravitaciju i tri zakona kretanja, postavila je temelje Klasične (Njutnove) mehanike i poslužila kao primer za nastanak i razvoj drugih modernih fizičkih teorija. Izvodeći iz ovog svog sistema Keplerove zakone kretanja planeta, on je bio prvi koji je pokazao da se kretanja tela na Zemlji i kretanja nebeskih tela potčinjavaju istim fizičkim zakonima. Ujedinjujuća i deterministička moć njegovih zakona dovela je do revolucije u nauci i do daljeg napretka i uzdizanja heliocentrizma. U mehanici, Njutn je takođe ukazao na jedan novi, veliki značaj principa održanja impulsa i momenta impulsa. U optici, on je izumeo refleksioni teleskop i otkrio da se propuštanjem bele svetlosti kroz staklenu prizmu ona razlaže u spektar svih boja. Njutn se snažno zalagao u prilog čestične prirode svetlosti. On je takođe formulisao empirijski zakon hlađenja, proučavao brzinu zvuka i predložio teoriju o poreklu zvezda. U matematici, Njutn deli zasluge sa Gotfridom Lajbnicom za otkriće infinitezimalnog računa. On je takođe izložio i uopštenu binomnu teoremu, razvijajući na taj način tzv. Njutnov metod za aproksimacije nula funkcije i doprinoseći proučavanjima razlaganja funkcija u redove. Francuski matematičar Žoze-Luj Lagranž često je izjavljivao da je Njutn najveći genije koji je ikada živeo, dodajući jednom da je on, takođe, i “najsrećniji, jer se sistem sveta ne može otkriti i ustanoviti više nego jednoga puta”.

Pitagora se rodio oko 568. godine pre nove ere kao sin Mnesarha, rezača dragoga kamena, na ostrvu Samu. Verovatno je da je po naređenju samskoga tiranina Polikrata putovao u Egipat, da bolje upozna ustanove egipatskih sveštenika. Zbog nesuglasica s Polikratom, a možda i samo zbog odvratnosti prema njegovoj tiranidi, preselio se u Kroton u južnoj Italiji ili Velikoj Heladi, gde su se, otkako je Jonija pod persijskom vlašću počela da opada, stvorila nova središta helenske prosvete i moći. U Krotonu je osnovao Pitagora moralno-religiozno bratstvo, kome je bio zadatak moralno vaspitanje članova. Kao kakav kaluđerski ili viteški

red, ono je imalo svoja pravila i negovalo strog način života. U ovaj savez primani su i žene i muškarci pod istim uslovima. Imovina je bila zajednička, a postojala su zajednička životna pravila kojih su svi bili obavezni da se drže. Kao i sve ostalo, i matematička otkrića smatrana su zajedničkim. Političko mišljenje pitagorejaca bilo je konzervativno-aristokratsko, i zato su ih u toku V veka demokrati više puta gonili, domove im spaljivali i rasturanjem sinedrija uništavali im savez. Te partijske borbe primorale su starog Pitagoru da se preseli u Metapontiju 509. gdine stare ere, gde je, veoma slavljen i duboko poštovan, umro 493. godine stare ere. Pitagora se sam bavio muzikom i matematikom, ali se čini da nije ništa napisao. Učenje koje se vezuje za Pitagoru i njegovu školu razvili su tek njegovi naslednici. Pomicanjem kobilice na monohordu — taj ogled pripisuje se Pitagori — našlo se da visina tona zavisi od dužine žice, tj. da muzički intervali zavise od određenih matematičkih proporcija.

Platon (427 – 347. godine pre nove ere) je potomak jedne od atičkih plemićkih porodica, kojoj je po majci šest generacija unazad pripadao atinski zakonodavac, pesnik i jedan od “sedmorice mudraca”- Salon. Po očevoj porodičnoj liniji, govorilo se da je Platonov daleki predak bio legendarni atički kralj Kodrus. Pošto se dan Platonovog rođenja poklapao sa praznikom rođenja Apolona delfijskog, stvoren je u potonjim

25

vremenima mit da je Apolon bio pravi Platonov otac. Platon se rodio godinu dana pre Periklove smrti, a Sokrat je tada imao nešto više od četrdeset godina. Živeo je dugo: osamdeset i jednu godinu. Njegovi antički biografi kažu da se Sokratu pridružio kao dvadesetogodišnji mladić, da je pre toga pisao tragedije i hteo da učestvuje u takmičenju tragičkih pesnika, ali da je, prisustvujući po prvi put jednom sokratskom razgovoru, spalio svoje tragedije. Posle Sokratove smrti, kažu isti biografi, pridružio se Heraklitovom sledbeniku Kratilu, a slušao je izlaganja i jednog Parmenidovog sledbenika. Tvrdi se, takođe, da je putovao u severnu Afriku i Juznu Italiju i da je tamo izučavao matematiku i obaveštavao se o pitagorejskom učenju. Tvrdnja da je putovao u Egipat i razgovarao sa egipatskim sveštenicima ne može se uzimati kao previše verodostojna; tako nešto je pripisivano gotovo svim slavnim ljudima, jer se verovalo da su egipatski sveštenici bili čuvari najstarije mudrosti. Ali o Platonovim putovanjima na Siciliju svedoče njegova pisma, kojih što autenticnih, što sumnjive autentičnosti ima 13 na broju.

Rembo, Artur (Jean Nicolas Arthur Rimbaud, 1854 - 1891) je preteča simbolizma i nadrealizma, inače je kao ličnost najparadoksalniji fenomen u istoriji umetnosti. Pred njegovom pojavom je i nauka ostala zbunjena. Jedni su ga proglašavali bogomdanim vizionarom, drugi katoličkim mistikom, treći samo nezrelim buntovnikom, a četvrti zanimljivim kliničkim slučajem, peti pesničkim genijem. Počeo je pisati u ranim gimnazijskim godinama i to vrlo zrelim pesmama. Sa 16 godina napisao je svoju najpoznatiju pesmu – Pijani brod, u kojoj se identifikovao sa napuštenim brodom koji tone u najbajkovitijem okeanu. U 17-oj godini već je uživao glas jednog od najvećih francuskih pesnika. Rembo je verovao da kao umetnik može da stvori takav svet umetnosti koji će proizvesti “totalnu obnovu”, ako ne društva, onda bar umetnika. Ali kada je ustanovio da se taj njegov eksperimen izjalovio, raskrstio je s pisanje. Tada je imao 21. godinu. Nastavlja da živi kao putnik lutalica zauvek napustivši stvaralaštvo. U svojoj knjizi pesama u prozi – Boravak u paklu (1873) ispisao je svoju duhovnu biografiju. U drugoj i poslednjoj zbirci, opet pesama u prozi – Iluminacje, koja je završena 1874., a objavljena tek 1886., poezija se potpuno oslobodila pesnikovog “Ja” i postala objektivna. Saglasan sa Bodlerovom univerzalnom analogijom, Rembo je sačinio registar boja koje odgovaraju samoglasnicima: A – crno, E – belo, I – crveno, U – zeleno, O – plavo. Ples reči i muzika rečenica u ovoj knjizi budućnosti oživljavaju, ne stvarni, nego jedan novi svet koji je sam pesnik stvorio: “Napeo sam užad od zvonika do zvonika, vence od prozora do prozora, zlate lance od zvezda do zvezda, pa plešem…”

Sokrat (470 – 399. godina pre nove ere) je bio grčki filozof i jedan od najbitnijih predstavnika zapadne filozofske tradicije. Sokrat je mišljenje iznosio u razgovorima sa omladinom na Atenskim trgovima. Nije bio sofist - kritikuje njihov skepticizam. Njegov najveći doprinos zapadnjačkoj misli su njegovi dijalozi, koje je puno koristio u istraživanju moralnih koncepta i prvi put su opisani u Platonovim dijalozima. Radi toga, Sokrat se smatra ocem i osnivačem etike ili moralne filozofije, i filozofije uopše. Aristotel je Sokrata proglasio pronalazačem metode definicije i

26

indukcije, koje je on video kao esencijalne u naučnim metodama. Međutim, čudno, Aristotel je tvrdio da ova metoda nije pogodna za etiku. Sokrat je tvrdio da je svesnost neznanja prvi stupanj sticanja znanja. Sokrat nije ostavio pisana djela. Bio je izložen zlobnoj satiri u Aristofanovoj komediji Oblaci koja je prikazana kada je Sokrat bio u četrdesetim godinama. Prikazivan je i u drugim dramama, gdje je bio kritikovan zbog “moralnih opasnosti za savremeno mišljenje i literaturu”. Glavni istorijski izvori o Sokratu su u pisanim delima njegovih učenika, Ksenofona i Platona. Drugi važan izvor su Aristotelova pisanja o njemu.

Tompson, D’Arsi (D'Arcy Wentworth Thompson, 1860 - 1948) je bio biologičar, matematičar i autor knjige O rastu i obliku iz 1917. godine. Nobelovac Peter Medawar rekao je za ovu knjigu da je “najlepši književni rad od svih naučnih anala ikada napisanih na engleskom jeziku”. Tompson je nazivan i “prvim biomatematičarom”. Dobio je i Darvinovu medalju 1946. godine, a vitezom je proglašen 1937. Rođen je u Edinburgu u Škotskoj, a umro je u St. Anreji, takođe u Škotskoj.

Toričeli, Evangelista (Evangelista Toriccelli, 1608 - 1647) je bio italijanski fizičar i matematičar, najpoznatiji po izumu barometra. Rano je ostao bez oca, pa ga je obrazovao ujak koji je bio monah. Prvo ga je upisao na Jezuitski koledž 1624. godine da studira matematiku i filozofiju do 1626., nakon toga ga šalje u Rim 1627. da izučava nauke kod Benedeta Kastelija (Benedetto Castelli), profesora matematike u Pizi. Umro je u Firenci nekoliko dana pošto je dobio tifusnu groznicu, a sahranjen je u San Lorenu. Jedan asteroid nosi naziv Toričeli u njegovu čast.

Verkmajster, Andreas (Andreas Werckmeister, 1645 - 1706) bio je orguljaš, teoretičar muzike i kompozitor baroknog doba. Rođen je u Benekenštajnu, u Nemačkoj. Muzičko obrazovanje dobio je od stričeva Hajnriha Kristijana i Hajnriha Viktora Verkmajstera. U 1664-oj postaje orguljaš u Haselfildu, a deset godina kasnije u Eldbingerodu. Od njegovih kompozicija ostala je samo brošurica. Verkmajster je danas najviše poznat kao teoretičar na osnovu zapisa Musicae mathematicae hodegus curiosus... iz 1687. i Musikalische Temperatur, oder... iz 1691., u kojima upotrebljava termin dobrog temperovanja, i opisuje sistem dobro temperovanih tonskih skala, koji je danas poznat pod nazivom Verkmajsterovo temperovanje.

Zenon iz Eleje (490 – 430. godine pre nove ere) bio je antički filozof , pripadnik elejske škole, koju je osnovao Parmenid. O njegovom životu ne zna se mnogo. Glavni izvor obaveštenja o njegovom životu predstavlja Platonov dijalog Parmenid, napisan nekih stotinu godina nakon Zenonove smrti. U tom dijalogu Platon opisuje kako su Parmenid i Zenon posetili Atinu, u doba kada je Parmenidu bilo oko 65 godina, Zenonu gotovo 40 godina, a Sokrat je bio veoma mlad. U istom odeljku Platon kaže da je Zenon bio visok i lep čovek te da je kao mladić bio Parmenidov miljenik. Ostala manje-više pouzdana obaveštenja o Zenonovom životu daju nam doksografski zapisi Diogena Laertija pod naslovom Životi i mišljenja znamenitih filozofa, gde se kaže

27

da je Zenon bio rođeni sin Teleutagore, ali da ga je posvojio Parmenid, te da je Zenon imao „veštinu raspravljanja u prilog obe strane nekog pitanja“. Diogen Laertije takođe kaže da je Zenon bio uhapšen i možda ubijen po naređenju elejskoga tiranina

Literatura

[1] D. Strojk, Kratak pregled istorije matematike, Beogrd, 1969

[2] S. Barker, Filozofija matematike

[3] N. Devičić, Harmonija, Zagreb, 1975

[4] V. Perčić, Razvoj tonalnog sistema, Beograd, 1958

28

[5] N. Turkalj, Historija muzike, Zagreb, 1980

[6] D. Despić, Harmonska analiza, Beograd, 1970

[7] K. Segan, Kosmos, Beograd, 2001

[8] N. Marjanović, http://www.znanje.org/i/i22/02iv06/02iv0615/platon.htm

[10] S. Vlajić, http://www.zlatnipresek.co.yu/SpasojeVlajic/OSvetlosnojFormuli.htm

[11] http://beleskepsi.50megs.com/psifizintenzitet.htm

[12] http://www.resolutionmag.com/pdfs/MAKER/PETERN~1.PDF

[13] School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland, http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/Biographies/Torricelli.html

[14] http://cscs.umich.edu/~crshalizi/notebooks/darcy-thompson.html

[15] http://en.wikipedia.org/wiki/Zenon

[16] S. Grujić,http://www.prezimenik.co.yu/KNJIZEVNE_SITNICE/Velikani_koji_su_obelezili_civilizaciju_9.htm

[17] http://www.znanje.org/i/i24/04iv04/04iv0429/johan_sebastijan_bah.htm

[18] http://en.wikipedia.org/wiki/Andreas_Werckmeister

[19] K. Anderson & V. Gagnon,http://mendeleiev.cyberscol.qc.ca/Chimisterie/2001-2002/andersonk.html

[20] http://agentcities.cs.bath.ac.uk/~bwillkie/list_arch.php?display=thd&thdId=4327

[21] http://www.mag4.net/Rimbaud/Biography.html

29