handout fix

7/26/2019 Handout Fix

1/44

1

Pendahuluan

1.

Sistem Koordinat Tegak Lurus

Sebagaimana layaknya titik pada bidang, letak suatu titik pada ruang juga

dapat dinyatakan dalam urutan bilangan-bilangan tertentu yang lebih dikenal

dengan istilah sistem koordinat.

Suatu system koordinat tegak lurus di dalam ruang ditentukan dengan memilih

suatu satuan panjang serta tiga buah garis lurus yang masing-masing saling

tegak lurus dan berpotongan di suatu titik, dan ditentukan pula oleh himpunan

semua tripel-tripel terurut dari bilangan-bilang nyata.

Dengan melukis sebarang dua garis XOX dan YOY yang saling tegak lurus,

maka akan tertentu sebuah bidang XOY. Melalui titik O kemudian dilukis

sebuah garis ZOZ yang tegak lurus bidang XOY sedemikian sehingga ketiga

garis tersebut masing-masing saling tegak lurus. Ketiga garis XOX, YOY, dan

ZOZ disebut sebagai sumbu-sumbu koordinat tegak lurus. Selanjutnya

disingkat sebagai sumbu X, Y, dan Z.

Ketiga sumbu diambil sepasang-sepasang , menentukan tiga buah bidang XOY,

XOZ, dan ZOX atau secara singkat ditulis bidang XY, XZ, dan YZ. Masing-

masing disebut bidang-bidang koordinat tegak lurus.

Q

A

X

Y

Z

O

P

R

S

B

C


2/44

2

Jika diambil salah satu titik sudut dari balok di atas, misalkan titik P. Titik P

merupakan sebarang titik pada ruang. Melalui P dapat dilukis tiga buah bidang

yang masing-masing sejajar dengan bidang koordinat dan tentu akan tegak

lurus dengan sumbu-sumbu koordinat. Misalkan memotong sumbu-X di A,sehingga OA = x, memotong sumbu-Y di C sehingga OC=y, dan memotong

sumbu-Z di R, sehingga OR = z. Ketiga bilangan x, y, dan z dengan urutan

(x,y,z) disebut koordinat dari titip P dan dapat dituliskan P(x,y,z) dengan x

disebut absis, y disebut ordinat, dan z disebut aplikat.

Oleh karena itu, setiap titik pada ruang dapat diwakili oleh satu dan hanya satu

bilangan-bilangan nyata (x,y,z), begitu juga sebaliknya setiap tripel terurut

bilangan-bilangan nyata (x,y,z) memiliki satu dan hanya satu titik di dalam

ruang. Masing-masing satuan x, y, dan z dapat bernilai positif atau negative

tergantung arah pengukurannya.

Dengan diterapkannya system tegak lurus, maka ruang akan terbagi menjadi 8

bagian. Masing-masing bagian disebut Oktan dan diberi nomor menurut

aturan sebagai berikut:

Oktan I berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, dan z > 0

Oktan II berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, dan z > 0

Oktan III berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, dan z > 0

Oktan IV berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, dan z > 0

Oktan V berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, dan z < 0

Oktan VI berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, dan < 0

Oktan VII berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, dan z < 0

Oktan VIII berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, dan z < 0

2. Jarak Antara Dua Titik di Ruang

Jika diketahui sebarang dua titik pada ruang, misalkan titik K(x1, y1, z1) dan

titik Q(x2, y2, z2) maka jarak antara kedua titik dapat ditentukan.

Perhatikan gambar balok pada ruang berikut:

Perhatikan bahwa:

LM = |x2-x1|

KL = |y2-y1|

K L

MN

O

PQR


3/44

3

MQ = |z2-z1|

Sehingga, menurut aturan Phytagoras akan diperoleh:

KM

2

= LM

2

+ KL

2

= |x2-x1|

2+ |y2-y1|2

KQ2 = KM2+ MQ2

= |x2-x1|2+ |y2-y1|

2+ |z2-z1|2

Dengan demikian, diperoleh:

Jika titik K merupakan titik asal O (0, 0, 0), maka jarak antara titik K dan Q

ditentukan oleh rumus:

Contoh:

1. Tentukan jarak antara dua titik berikut:

a. P(7, 3, 0) dan Q(5, 1, -1)

b.

K(0, 0, 0) dan R(4, 3, 0)

Penyelesaian;

a. Jarak antara titik P dan Q, yaitu:

3

144

0131)75( 222

PQ

b. Jarak antara titik K dan R, yaitu:

5

0916

0003)04( 222

KR

3. Koordinat Titik yang Membagi Ruas Garis atas Perbandingan m : n

Misalkan sebarang dua titik P(x1, y1, z1) dan Q(x2, y2, z2). Jika terdapat titik

R(x, y, z) membagi ruas garis PQ atas dua bagian dengan PR : RQ = m : n,maka koordinat dari titik R dapat ditentukan sebagai berikut:

KQ = 2122

12

2

12 zzyyxx

KQ = 222

2

2

2 zyx


4/44

4

Gambarlah PL, QM, dan RN

tegak lurus bidang XOY. LNM

adalah perpotongan bidangXOY dengan bidang PRQMNL.

Tarik HRK//LNM. HPR

sebangun dengan KQR.

nm

nzmz

zz

zzz

NRMQ

LPNR

KQ

HP

QR

PR

n

m

12

12

1

Dengan cara yang analog, maka akan diperoleh:

nm

nxmxx

12

nm

nymyy

12

Jadi, koordinat titik R, yaitu:

Dengan demikian, koordinat titik tengah (m : n = 1 : 1), yaitu:

Secara umum, kita tulis perbandingan m : n = k, dimana k boleh positif

ataupun negative. Tanda positif atau negative tergantung apakah R terletang

diantara P dan Q atau pada perpanjanganya. Berikut ini beberapa

ketentuannya:

Jika: k > 0, R terletak diantara P dan Q

-1 < k < 0, R terletak di perpanjangan QP

k = -1 , R terletak di tak berhingga

k < -1, R terletak di perpanjangan PQ

dalam hal ini, koordinat R menjadi:

Z

X

Y

L NM

P

HK

Q

m

nR

nm

nzmz

nm

nymy

nm

nxmxR 121212 ,,

2,

2,

2

121212 zzyyxxR

k

zkz

k

yky

k

xkxR

1,

1,

1

121212


5/44

5

dimana k -1

Contoh:

Tentukan koordinat titik R yang membagi ruas garis PQ denganperbandingan -4 : 1, dimana P(-4, 5, -6) dan Q(2, -4, 3).

4.Vektor

Vektor didefinisikan sebagai ruas garis lurus yang mempunyai arah.

Notasi:Vektor dituliskan dengan dua huruf kapital serta satu strip atau tanda

panah di atas huruf-huruf tersebut. Huruf pertama menyatakan titik awal dan

huruf kedua menyatakan titik ujungnya. Vektor juga sering diberi nama

dengan hurup kecil yang dicetak tebal.

Vektor diatas dinotasikan denga:AB atau a

Panjang vektor

AB dinotasikan dengan AB atau

a

Vektor Nol, jika titik awal dan titik ujungnya berimpit.

Kesamaan vector-vektor.Vektor-vektor disebut sama jika mereka segaris

serta mempunyai panjang dan arah yang sama. Jika sebuah vektor arahnya

berlawanan dengan a tetapi memiliki panjang yang sama maka dinyatakan

dengana.

Jumlah dari dua Vektor

A

B

a

a

a

b

ba

a


6/44

6

Jumlah dari vektor-vektor a dan b adalah vektor c = a + b yang dapat

ditentukan dengan metode segitiga atau dengan metode jajar genjang.

Metode Segitiga. Tempatkan titik ujung vektor a berimpit dengan titik awal

vektor blalu hubungkan titik awal vektor a dengan titik ujung vektor b.

Metode Jajar genjang. Tempatkan titik-titik awal vektor a dan b secara

berimpit, lalau membentuk sebuah jajar genjang dengan dua buah sisinya a

serta b. Jumlah kedua vektor adalah diagonal jajargenjang tersebut yang

bertitik awal pada titik awal adan b.

Selisih Dua Vektor: absama artinya dengan menjumlahkan adenganb.

jadi

ab = a + (-b)

Jika a, b,dan cvektor serta m, n skalar-skalar, maka beberapa Hukum yang

berlaku pada operasi vektor adalah sebagai berikut:

1) a + b= b+ a

2) a+ (b+ c) = (a+ b) + c

3) ma= am

a

b

a

b

bac

a

b

a

b

bac

a

b

a

b

bac


7/44

7

4) m(na) = (mn)a

5) (m + n) a= ma+ na

6) m (a+ b) = ma+ mb

1.

Vektor dan Sistem KoordinatSuatu vektor dikatakan vektor satuan jika panjangnya satu. Sekarang coba

perhatikan sistem koordinat Cartesian berikut;

Vektor di atas dapat dituliskan:

i = 1i + 0j + 0k

j = 0i + 1j + 0k

k = 0i + 0j + 1k

Atau:

i = [1, 0, 0]

j = [0, 1, 0]

k = [0, 0. 1]

Pandang sebarang vektor ayang titik awalnya (0, 0, 0) dan titik ujungnya titik

(a1, a2, a3). Maka menurut metode segitiga diperoleh:

a = a1i + a2j + a3k = [a1, a2, a3].

Bilangan-bilangan a1, a2, a3disebut komponen-komponen dari vektor a. Vektor

a disebut sebagai vektor posisi

X

Y

Z

i

j

k


8/44

8

Panjang (besar) vektor a:

Jika titik pangkalnya tidak di (0, 0, 0). Misalkan titik pangkalnya pada titik P

(p1, p2, p3) dan titik ujungnya pada titik Q (q1, q2, q3), maka vektor

PQ= [(q1-

p1),( q2-p2), (q3p3)]

2.

Perkalian Titik (Dot Product)

Jika adan bvektor, adalah sudut antara vektor adan vektor bdengan

0 , maka hasil kali titik antara vektor adan vektor bmemenuhi:

Vektor adan vektor bjuga memenuhi operasi:

1)

a . b = b . a

2) a. (b + c) = ab+ ac

3) m (a. b) = (ma).b= a(mb) = (ab) m

4) Jika a = [a1, a2, a3] dan b = [b1, b2, b3] maka:

a . b= [a1i+ a2j+ a3k] . [b1i+ b2j+ b3k]

= (a1b1) i.i + (a2b1)j.i + (a3b1)k.i + (a1b2)i.j + (a2b2)j.j +

(a3b2)k.j

+ (a1b3)i.k+ (a2b3)j.k+ (a3b3)k.k

X

Y

Z

a1i

a2j

a3k

[a1, a2, a3]


9/44

9

= a1b1+ a2b2+ a3b3

=

3

1j

jjba

5)

a.a= a1+ a2+ a3= |a|2

6) a.b = 0 (a 0, b 0) a tegak lurusb

Contoh:

Tentukan a.bdan cosinus sudutnya jika diketahui a= [3, 4, 6] dan b= [-1, 4,

8].

Solusi:

a.b= (3)(-1) + (4)(4) + (6)(8)

= -3 + 16 + 48

= 61

|a| = 222 643

= 36169

= 61

|b| = 222 841

= 64161

= 81

= 9

ba

baCos

.

. =

)9(61

61

3.

Pekalian Silang (Cros Product)

Jika adan bvektor, adalah sudut antara vektor adan vektor bdengan

0 , maka hasil kali siang antara vektor adan vektor bmemenuhi:

Dimana u adalah vektor satuan yang tegak lurus bidang (a,b).

Vektor adan vektor bjuga memenuhi operasi:

1)a x b = -b x a


10/44

10

2) ax (b + c) = a x b+ a x c

3) m (ax b) = max b= ax mb= (a x b)m

4) i x i = j x j = k x k = 0

i x j = k, j x k = i, k x i = j5) Jika a = [a1, a2, a3] = a1i + a2j + a3k

b = [b1, b2, b3] = b1i + b2j + b3k

maka:

a x b=

21

21

13

13

32

32,,

bb

aa

bb

aa

bb

aa

=

321

321

bbb

aaa

kji

6) Panjang a x b yaitu |a x b|= |a||b| sin menyatakan luas jajar

genjang yang dua buah sisinya a dan b

7) Panjang ax b= 0 dan a 0, b 0 maka asejajar dengan b

Contoh:

Jika a= [2, 1, 1] dan b= [-3, 6,7] tentukan ax b!

Latihan Soal:

1. Jika ruas garis yang menghubungkan P (3, 1, -1) dan P2(-1, 2, 1) tegak

lurus dengan ruas garis yang menghubungkan titik P3 (-3, 2, 4) dengan titik

P4(x, -2, 3). Tentukan nilai x!

2. Hitunglah luas segitiga ABC dengan A (1,3,2), B(2, -1, 1) dan C (-1, 2, 3)!

4.Arti Suatu Pesamaan

Hubungan di antara koordinat-koodinat x, y, z yang dinyatakan oleh suatu

persamaan f (x, y, z) = 0 merupakan suatu persamaan (bidang lengkung

ataupun bidang rata).

Persamaan yang bebas dari suatu peubah (variabel):

Persamaan f (x, y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan

semua garis pelukisnya sejajar Z


11/44

11

Persamaan f (x, z) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan

semua garis pelukisnya sejajar Y

Persamaan f (y, z) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan

semua garis pelukisnya sejajar X

Contoh:

1 Persamaan 5x + 2y + 4z = 0 menyatakan permukaan bidang datar

2 Persamaan x2+ y2 + z2= 9 menyatakan suatu permukaan yang berbentuk

bola.

5.

Proyeksi Garis Lengkung Pada Bidang Koordinat

Jika pada garis lengkung c: f(x, y, z) = 0 dan g(x, y, z) = 0 salah satu

variabelnya dieliminasi (misalnya variabel z) maka akan diperoleh persamaan:

F (x, y) = 0 merupakan silinder yang garis pelukisnya sejajar sumbu Z serta

melalui c, berarti merupakan silinder proyektor dari garis lengkung c ke bidang

XOY. Jadi proyeksinya mempunyai persamaan F (x,y) = 0 ; z = 0. Untuk

proyeksi ke bidang YOZ dan XOZ dapat dijelaskan analog dengan cara di atas.

Contoh:

Tentukan proyeksi garis lengkung (lingkaran) perpotongan bola-bola:

x2+ y2+ z2= 1(1)

x2+ (y1)2+ (z1)2= 1..(2)

ke bidang XOY!

Penyelesaian:

Kita tentukan silinder proyektor dengan mengeliminasi z dari persamaan (1)

dan (2), diperoleh: z = 1y (3)

Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (1) atau (2), diperoleh:

x2+ y22y = 0 merupakan persamaan silinder proyektor.

Jadi persamaan proyeksi: x2+ y22y = 0

z = 0


12/44

12

yang dapat dijabarkan menjadi: 0,1

41

)2

1(

21

22

zyx

merupakan persamaan

ellips dengan pusat (0, , 0) dan direktrik 22

1dan

2

1


13/44

13

II

Bidang Rata Dan Garis Lurus

2.1

Persamaan Vektoris Bidang Rata

Suatu bidang rata akan tertentu apabila diketahui tiga buah titik (yang tidak

segaris) yang terletak pada bidang rata tersebut.

Misalkan diketahui tiga titik pada bidang rata V:

P (x1, y1, z1)

Q (x2, y2, z2)

R (x3, y3, z3)

PQ = [x2x1, y2-y1, z2-z1]

PR = [x3-x1, y3-y1, z3-z1]

Untuk setiap titik sebarang X (x, y, z) pada bidang rata V berlaku:

PX = PQ + PR ; (-


14/44

14

2.2 Persamaan Linier Bidang Rata

Jika dan di eliminasi dari persamaan (3) dan (4) akan diperoleh:

C

xxyyyx

C

yyxxxy

aa

bb

)()(

)()(

11

11

Dengan C= xaybyaxb=bb

aa

yx

yx..(6)

Dimana C 0

Kemudian, jika dan di atas disubstitusikan ke persamaan (5) maka akan

diperoleh:

C (zz1)za{yb( xx1)xb(yy1)}- zb{xa(yy1)ya(xx1)} = 0

C (zz1)zayb( xx1) + zaxb(yy1)- zbxa(yy1) + zbya(xx1)= 0

C (zz1)zayb( xx1) + zbya(xx1)+ zaxb(yy1)- zbxa(yy1) = 0

(yazbzayb)( xx1) + (zaxb -xazb) (yy1) + C (zz1)= 0

(yazbzayb) x(yazbzayb) x1+ (zaxb -xazb)y(zaxb -xazb) y1+ C zC z1=

0

(yazbzayb) x + (zaxb -xazb)y + Cz(yazbzayb) x1(zaxb -xazb) y1C z1=

0 (7)

Jika:

yazbzayb =bb

aa

zy

zy=A

zaxb -xazb=bb

aa

xz

xz= B

Ax1+ By1+ Cz1= -DMaka persamaan (7) dapat dituliskan:

..(8)

yang merupakan persamaan linier ( Persamaan Umum)bidang rata.

2.3 Vektor Normal dari Bidang Rata V : Ax + By + Cz + D = 0

Perhatikan kembali persamaan (8). Terlihat bahwa Vektor [A, B, C]:

Ax + By + Cz + D = 0


15/44

15

[A, B, C] = kyx

yxj

xz

xzi

zy

zy

bb

aa

bb

aa

bb

aa

=bbb

aaa

zyxzyx

kji

= ax b

Merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh adan

b, dalam hal ini bidang rata V: Ax + By + Cz + D = 0

n = [A, B, C] disebut vektor normaldari bidang rata V = 0 tersebut.

Dari persamaan (7) di atas, suatu bidang rata yang diketahui melalui satu

titik (x1, y1, z1) dengan vektor normal [A, B, C] persamaannya berbentuk:

..(9)

Beberapa hal khusus dalam persamaan bidang rata (V: Ax + By + Cz + D =

0), diantaranya:

a.

Jika D = 0 maka bidang rata V melalui titik O (0, 0, 0) dan sebaliknya

b. Jika D 0 maka persamaan bidang V: Ax + By + Cz + D = 0 akan

memotong sumbu X pada titik (A

D, 0, 0), memotong sumbu Y pada titik

(0,B

D,0), dan memotong sumbu Z pada titik (0, 0,

C

D)

c. Bila A = 0, bidang V sejajar sumbu X

Bila B = 0, bidang V sejajar sumbu YBila C = 0, bidang V sejajar sumbu Z

d. Bila A = B = 0 , bidang V sejajar bidang XOY

Bila A = C = 0, bidang V sejajar bidang XOZ

Bila B = C = 0, bidang V sejajar bidang YOZ

Contoh:

A (x x1) + B (y y1) + C (z z1) = 0


16/44

16

Tentukan Persamaan vektoris, persamaan parameter, dan persamaan linier

(umum) dari bidang rata yang diketahui melalui titik P (1, 2, 2), Q (2, 4, 5), dan

R(1, 2,6)!

Penyelesaian:

Persamaan vektoris:

[x, y, z]= [1, 2, 2]+[2-1, 4-2, 5-2]+ [1-1, 2-2, 6-2]

=[1, 2, 2] + [1, 2, 3] + [0, 0, 4]

Persamaan parameternya:

x = 1 +

y = 2 + 2

z = 2 + 3+ 4

Persamaan Linier (umum):

Untuk menentukan persamaan Liniernya, dapat dilakukan dengan mencari

vektor normalnya terlebih dahulu:

[A, B, C]= [1, 2, 3] x [0,0,4]=[(2)(4)-(0)(3), (3)(0)-(4)(1), (1)(0)-(0)(2)] = [8,

-4, 0]

Sehingga persamaan bidang yang melalui titik P (1, 2, 2) dengan vektor

normal [8, -4, 0] yaitu:

8 (x -1) + (-4)(y -2) + 0 (z2) = 0

8x84y + 8 = 0

8x4y = 0

2xy = 0

Dengan melakukan manipulasi aljabar dari persamaan (7) maka:

1. Persamaan bidang rata yang melalui titik P(x1, y1, z1) dengan vektor arah a

= [xa, ya, za] dan b= [xb, yb, zb] dapat ditentukan dengan rumus:

0

111

bbb

aaa

zyx

zyx

zzyyxx

.(10)


17/44

17

2. Persamaan bidang rata yang diketahui melalui tiga titik yang berbeda P (x1,

y1, z1), Q (x2, y2, z2), R (x3, y3, z3), yaitu:

0

131313

121212

111

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

..(11)

3. Empat buah titik P (x1, y1, z1), Q (x2, y2, z2), R (x3, y3, z3), dan S(x4, y4, z4)

akan sebidang jika dan hanya jika:

0

141414

131313

121212

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

.(12)

Contoh:Tentukan Persamaan Linier bidang rata yang melalui titik-titik: (2, -1, 1), (3, 2,

1), dan (-1, 3, 2).

Penyelesaian:

Dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh:

0

131313

121212

111

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

0

121321

111223

112

zyx

0

143

031

112

zyx

((3)(1)-(4)(0))(x -2) + ((0)(-3)-(1)(1))(y + 1) + ((1)(4)-(-3)(3))(z -1) = 03 (x2) - 1 (y + 1) + 13 (z1) = 0

3x6 - y - 1 + 13z13 = 0

3x - y + 13z20 = 0

Latihan Soal

1. Tentukan titik-titik potong bidang rata: 3x 4y + 2z + 8 = 0 tehadap

ketiga sumbu koordinat!


18/44

18

2. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter bidang rata yang

melalui (1, 2, 1), (3, 2, 1), dan (4, 1, -1)!

3. Tentukan persamaan Linier (umum) bidang rata pada soal nomor 2!

4.

Tuliskan persamaan linier bidang rata yang melalui P1(-1, 2, 3), P2(3, 1,1), dan P3(1, 3, -2)

5. Tuliskan persamaan parameter bidang rata yang melalui A (4, 3, 1), B(-2,

3, 5), dan C (6, 2, 5)!

2.4 Persamaan Normal Bidang Rata

Diketahui sebuah bidang rata H: Ax + By + Cz + D = 0, maka n= [A, B, C]

merupakan vektor normal dari bidang H. Jika , , berturut-turut merupakan

sudut antara n dengan sumbu koordinat ( yang arahnya ditentukan oleh

vektor i, j , dan k)

Dengan menggunakan aturan

cosines, maka diperoleh:

Cos =n

A

Cos =

n

B ..(13)

Cos =n

C

Dengan menggunakan (13), dapat dijabarkan vektor berikut:

[cos, cos , cos ]=n

n

n

CBA

],,[..(14)

Merupakan vektor satuan yang searah dengan n.

Vektor

n= [cos, cos , cos ]disebut vektor cosinus dari bidang H, atau

disebut juga vektor normal yang panjangnya satu.

Misalkan p adalah jarak antara titik O(0. 0. 0) ke bidang H (tentu p 0),

dan X (x, y, z) sebarang titik pada bidang H maka p adalah proyeksi OX pada

n, sehingga:

p = OX .

n = [x, y, z][ cos, cos , cos ]= x cos+ y cos+ z cos


19/44

19

atau:

. (15)

Persamaan (15) merupakan persamaan Normal (HESSE)bidang H.

Jika diketahui persamaan umum dari bidang rata H: Ax + By + Cz + D = 0,

maka persamaan ini dapat diubah ke persamaan normal dengan

menggunakan formula berikut:

n (x cos+ y cos+ z cos )= - D.(16)

Karena jarak (p) tidak pernah negative, maka:n

D= p positif sehingga:

Jika D negatif, bagi masing-masing ruas persamaan (16) dengan+n

Jika D positif, bagi masing-masing ruas persamaan (16) dengan - n

Contoh:

1. Tentukan persamaan Normal dari bidang rata H: 6x + 3y2z - 6 = 0.

Penyelesaian:

Diketahui D =- 6 (negatif)

Vektor normal dari H: n= [6, 3, -2] maka n = 74936

Jadi persamaan normalnya:7

6

7

2

7

3

7

6 zyx

2. Tentukan Persamaan Normal (HESSE) dari bidang rata K: x + 4y + 8 z

+ 25 = 0. Berapa satuan jaraknya dari Titik O (0, 0, 0)?

2.5 Sudut Antara Dua Bidang Rata

Sudut antara dua bidang rata adalah sudut antara vektor-vektor normalnya.

Jika diketahui dua bidang rata

H1 : A1x + B1y + C1z + D = 0 dan H2: A2x + B2y + C2z + D = 0, maka sudut

antar kedua bidang tersebut adalah sudut antara vektor n1= [a1, b1, c1]dan

n2= [a2, b2, c2] yaitu:

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

121

21

.

212121.cos

CBACBA

CCBBAA

nn

nn

.(17)

Contoh:

x cos

+ y cos

+ z cos

= p


20/44

20

Tentukan sudut antara 2x + y + z + 4 = 0 dan 3x + 4y + z10 = 0

Penyelesaian:

n1= [2, 1, 1] dan n2= [3, 4, 1]

sehingga:15611

266146

1169.114)1)(1()4)(1()3)(2(]1,4,3[.]1,1,2[cos

21

nn

Catatan:

1. Jika dua bidang rata V1 dan V2 sejajar, maka n1 sama dengan n2 atau

berkelipatan. Dengan kata lain [A1, B1, C1] = [A2, B2, C2] dengan 0

2. Jika dua bidang rata V1 dan V2 saling tegak lurus maka hasil kali titik

dari vektor normalnya sama dengan nol. Dengan kata lain n1.n2= A1A2

+ B1B2+ C1C2= 0

Contoh:

1. Tentukan persamaan bidang rata yang melalui titik P (1, 2, -1) dan

sejajar dengan bidang rata 2x + 3y + - 10 = 0

Penyelesaian:

2. Tentukan persamaan bidang rata yang melaui O (0, 0, 0) dan P (1, 2, 3)

serta tegak lurus dengan bidang rata 2x + 3y + 4z10 = 0

Penyelesaian:

2.6 Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Datar dan Jarak

Antara Dua Bidang yang Sejajar

Misalkan sebuah bidang datar V1 = p. Akan

ditentukan jarak sebuah titik sebarang R(x1, y1, z1) ke bidang V1. Langkah

pertama, lukislah sebuah bidang V2 sejajar dengan bidang V1. Dengan

demikian, vector normal dari bidang V1 dan V2sama. Disisi lain, jarak V2 ke

titik asal koordinat O (0,0,0) adalah pd (tergantung letak V1dan V2terhadap

titik O.


21/44

21

V2 = pd. Karena titik R(x1, y1, z1) pada V2, maka

cos -p| yang merupakan jarak antara titik R(x1, y1, z1) ke bidang V1

+ y cos + z cos = p.

Jika bidang datar V1 dinyatakan dalam persamaan Ax + By + Cz + D = 0,

maka jarak titik R(x1, y1, z1) ke bidang V1dirumuskan sebagai berikut:

..(18)

Contoh:

Hitunglah jarak titik R (1, 2, 4) dengan bidang 2x + 3y + 6z + 3!

Penyelesaian:

Diketahui: x1= 1, y1= 2, z1= 4, A = 2, B = 3, C = 6, dan D = 3, sehingga:

77

35

3694

32462

632

3)4)(6()2)(3()1)(2(

222

d

Untuk mencari jarak dua bidang V1dan V2yang sejajar, maka pilih sebarang

satu titik pada V2 kemudian hitung jarak titik tersebut ke bidang V1 dengan

menggunakan rumus yang telah disajikan sebelumnya.

Contoh: Hitunglah jarak antara bidang V1 x 2y + 3z -6 = 0 dan dengan

bidang V2 x 2y + 3z + 12 = 0 !

Penyelesaian:

Ambil sebarang titik pada V2, misalkan titik P(0,0,-4). Dengan demikian,

menghitung jarak bidang V1 dengan V2 analog dengan menghitung jarakantara bidang V1dengan titik P, sebagai berikut:

222

111

CBA

DCzByAxd


22/44

22

41

4130

41

30

3641

62400

6)2(1

6)4)(3()0)(2()0)(1(

222

d

2.7

Berkas Bidang Datar

Jika diketahui dua buah bidang V1= A1x + B1y + C1z + D1dan bidang V2= A2x

+ B2y + C2z + D2yang saling berpotongan menurut sebuah garis lurus, maka

setiap titik yang terdapat pada garis tersebut akan memenuhi persamaan 1V1

+ 2V2= 0 (dengan 1 dan 2merupakan sebuah parameter). Persamaan di ats

merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui garis potong V1 dan V2. Bila

1 0, dapat dituliskan V1+1

2

V2= 0, atau dapat dituliskan dalam bentuk: V1

+ V2= 0 merupakan persamaan berkas bidang melalui garis potomg bidang-

bidang V1= 0 dan V2= 0.

Jika kedudukan antara V1 dan V2sejajar, maka berkas bidang V1+ V2= 0

merupakan himpunan bidang-bidang yang sejajar V1 = 0 dan V2 = 0, dan

dapat ditulis sebagai berikut:

Dengan k suatu parameter.

Contoh:

Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik (0, 0, 0) serta melalui

garis potong bidang-bidang:

V1 = 2x + 3y + 24 = 0

V2 = xy + 2z = 12

Jawab:

Misalkan bidang yang diminta adalah V dengan persamaan: V1+ V2= 0, oleh

karena itu diperoleh:

2x + 3y + 24 + (x y + 2z - 12) = 0

2x + 3y + 24 + x y + 2z - 12 = 0

(2 + )x + (3 - )y + 2z + (24-12)= 0

Karena V melalui titi (0, 0, 0), maka:

(2 + )(0) + (3 - ) (0) + 2(0) + (24-12)= 0

-12 = -24

A1x + B1y + C1z= k


23/44

23

= 2

Jadi persamaan bidang yang diminta adalah: V 4x y + 4z = 0.

2.8

Jaringan Bidang DatarMisalkan terdapat bidang V1 = 0, V2 = 0, dan V3 = 0 yang tidak saling

berpotongan pada satu garis dan tidak saling sejajar satu sama lainnya.

Himpunan bidang-bidang yang melalui titik potong ketiga bidang di atas (titik

T) memenuhi persamaan:

.(19)

yang selanjutnya disebut jaringan bidang.

Contoh:

Tentukan persamaan bidang datar V yang sejajar bidang U x + y + z = 1

serta melalui titik potong bidang-bidang V1 x 3 = 0, V2 y -4 = 0, V3 z =

0.

Penyelesaian:

Bidang V yang diminta memenuhi persamaan:

V1+ V2+ V3 = 0 (x-3) + (y 4) + (z) = 0 x3 + y - 4 + z =

0 1x + y + z = 4 + 3.

Normal bidang ini adalah [1, , ]. Karena sejajar bidang U, berarti [1, , ]

kelipatan dari [1,1, 1], sehingga = = 1.

Jadi persamaan bidang yang diminta yaitu 1x + y + y - 4 3= 0 x + y +

z7 = 0

2.9 Persamaan Vektoris Garis Lurus

Sebuah garis lurus akan tertentu jika dikatahui dua titik pada garis tersebut.

Misalkan titik P(x1, y

1, z

1) dan Q(x

2, y

2, z

2) terletak pada garis lurus g, maka:

OP = [x1, y1, z1]

V1+ V2+ V3 = 0

T


24/44

24

OQ = [x2, y2, z2]

PQ = [x2-x1, y2-y1, z2-z1]

Untuk setiap titik sebarang X (x, y, z) pada g berlaku PX = PQ, dengan - r.

Contoh:

Bagaimanakah kedudukan bola Sx2+ y2+ z2+ 2x + 4y + 4z 16 = 0

dan bidang x + 2y + 2z = 0?

Jika berpotongan, tentukan pusat dan jari-jari lingkaran perpotongannya!

Penyelesaian:Sx2+ y2+ z2+ 2x + 4y + 4z16 = 0


42/44

42

Pusat Bola M (-1, -2, -2)

Jari-jari bola = 5

BidangV = x + 2y + 2z = 0 ..(1)

39

441

441

0)2(2)2(2)1(1

d

Karena d < r yaitu 3 < 5 maka bidang V = 0 memotong Bola S 0.

Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa perpotongan antara bola dan

bidang berbentuk lingkaran dengan pusat N (x, y, z) dan jari-jari NO.

Perhatikan segitiga MNO. Dengan menggunakan teorema phytagoras,

diperoleh:

4

9252

222

222

NO

NO

drNO

MNMONO

Ruas garis MN tegak lurus dengan bidang V sehingga arah garis MN =

vektor normal bidang V, yaitu: MN = [1,2, 2]. Dengan demikian, persamaan

vektoris dan persamaan parameter garis MN adalah sebagai berikut:

(x, y, z) = (-1, -2, -2)+[1, 2, 2] atau x = -1 + , y = -2 + 2, z = -2 +

2..(*)

Titik N(x,y,z) terletak pada ruas garis MN dan bidang V= x+ 2y + 2z = 0,

sehingga:

x+ 2y + 2z = 0

(-1 + ) + 2 (-2 + 2)+ 2(-2 + 2) = 0

-1 + -4 + 4- 4 + 4= 0

9= 9

= 1

Substitusi = 1 ke persamaan (*), diperoleh x = 0, y = 0, dan z = 0.

Jadi pusat lingkaran: N (0,0,0).

Persamaan Bidang singgung di N (x1, y1, z1) pada Bola.

Diketahui sebuah bola Sx2+ y2+ z2+ Ax + By + Cz + D = 0

dengan pusat M( CBA2

1,

2

1,

2

1 ) titik singgung N(x1, y1, z1), maka

persamaan bidang singgung dapat diturunkan sebagai berikut:

M

N O


43/44

43

Perhatikan gambar di atas:

MN =

CzByAx2

1,

2

1,

2

1111

MN adalah garis yang tegak lurus dengan bidang V=0, sehingga arah

vektor MN merupakan vektor normal dari bidang V=0, yaitu:

CzByAxn2

1,

2

1,

2

1

111

Bidang V=0 melalui titik N(x1, y1, z1) dengan vektor arah n, sehingga

persamaannya adalah:

)1..(02

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

02

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

02

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

02

1

2

1

2

1

111

2

1

2

1

2

1111111

111

2

1

2

1

2

1111

1

2

111

2

111

2

11

111111

CzByxzyxCzByAxCzyBAxzzyyxx

CzByAxzyxCzyBAxzzyyxx

zAAzzzzyAAyyyyxAAxxxx

zzCzyyByxxAx

Perhatikan bahwa titik N(x1, y1, z1) selain terletak pada bidang V=0 juga

terletak pada bola S0, sehingga:

)2....(

0

111

2

1

2

1

2

1

111

2

1

2

1

2

1

DCzByxzyx

DCzByxzyx

Dengan mensubstitusi persamaan (3) ke persamaan (2) diperoleh persamaan (3)

yang merupakan persamaan bidang yang diharapkan:)3..(0)(

2

1)(

2

1)(

2

1111111 DzzCyyBxxAzzyyxx

Contoh 1:

Tentukan persamaan bidang singgung pada bola Sx2+ y2+ z2- 4x + 2y -

6z- 11 = 0 di titik N (2,4,3)

Penyelesaian:

Diketahui bola dengan persamaan:

S x2 + y2 + z2 - 4x + 2y - 6z- 11 = 0 dan titik N (2,4,3) pada bola,

sehingga:A = -4, B = 2, C= -6, D= -11

M

N


44/44

x1= 2, y1= 4, z1= 3

Persamaan bidang yang diharapkan memenuhi persamaan berikut:

..(*)0)(2

1)(

2

1)(

2

1111111 DzzCyyBxxAzzyyxx

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai A = -4, B = 2, C= -6, D=-11,x1=2, y1=4, z1=3

ke persamaan (*), diperoleh persamaan bidang singgung sebagai berikut:

0205

01193442342

011)3(3)4()2(2342

011)3)(6(2

1)4()2(

2

1)2)(4(

2

1342

y

zyxzyx

zyxzyx

zyxzyx

handout fix

Documents