h09 doğrusal kontrol sistemlerinin kararlılık...

Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören

H09 Doğrusal kontrol sistemlerinin kararlılık analizi

2• Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören

H01 İçerik ve Otomatik kontrol kavramıH02 Otomatik kontrol kavramı ve devrelerH03 Kontrol devrelerinde geri beslemenin önemiH04 Aktüatörler ve ölçme elemanlarıH05 Kontrol elemanları ve kontrol elemanlarının dinamik özellikleriH06 Örnek kontrol devreleriH07 1. Ara SınavH08 Sınav soru çözümleriH09 Doğrusal kontrol sistemlerinin kararlılık analizi (Michailow ve Routh

Hurwitz)H10 Doğrusal Kontrol sistemlerinin kararlılık analizi (yer eğrisi)H11 Bode diyagramları ile faz ve genlik marjı kavramları H12 2.Ara SınavH13 Sınav Soru çözümleriH14 Durum Değişkenleri ile kontrol

MAK 3026 - Ders Kapsamı


Stabilite

Ref: http://exp-aircraft.com/library/heintz/stabilty.html

Sistemin dinamik davranışı, geçici durum davranışından bulunur. Geçici durum davranışı ise sistemin transfer fonksiyonu ile incelenebilir. Bir sistemin kararlı, hızlı cevap veren ve hassas olması beklenir. Bir kontrol sisteminin en önemli özelliği kararlı olup olmadığıdır. Sistem, limitli bir referans girdiye ve bozucu girdiye karşılık limitli bir cevap veriyorsa, kararlıdır (stabildir).

Stabilite

Yrd. Doç. Dr. Aytaç GörenRef: http://exp-aircraft.com/library/heintz/stabilty.html

Şekildeki bilyalara sağa ya da sola doğru verilecek hareket, bilyaların eski konumuna geri gelip gelmemesine göre kararlı olup olmadığı belirlenebilir. Dinamik bir sistemin kararlılığı da benzer şekilde gözlemlenebilir. Sistemin ani darbe cevabı, sistem sonsuza giderken artıyorsa veya büyüyen genlikli titreşim şeklinde ise, sistem kararsızdır. Kararsız bir sistemde genlik devamlı artar, ancak sonsuza kadar artamayacağından belirli bir yerde sabit kalır. Durdurulmazsa, tahrip olabilir.Kararlı bir sistemin cevabı ise düzgün veya küçülen genlikli titreşim şeklinde azalır.


Karmaşık Düzlemde Stabilite Çözümlemesi

Bir sistemin kutupları, transfer fonksiyonunun paydası olan özyapısal denklemininkökleridir. Kapalı çevrim bir kontrol sisteminin stabil olması için gerek ve yeter şart,sistem transfer fonksiyonunun kutuplarının negatif gerçek kısımlara sahip olmasıdır.Kutupların karmaşık düzlemdeki yeri, sistemin dinamik davranışı hakkında fikir deverir. Denklemin genel hali;

Özyapısal denklemde kökler, s=0, s=-σk veya s= αn ± jωn karmaşık kök çifti olur. N=0durumunda sistemin birim impuls (anidarbe) giriş cevabı aşağıdaki gibidir. Birsistemin mutlak olarak kararlı olabilmesi için tüm kutuplarının sol yarı düzlemdeolması gerekir.


Karmaşık Düzlemde Stabilite Çözümlemesi

Sistemin karmaşık düzlemdeki yeri incelenirse, kutuplardan bir tanesi dahi sağ yarıdüzlemde yer alırsa, sistem kararsız (instabil) olur. Im-Re eksen takımından sola doğruuzaklaşıldığınsa stabilite bağıl olarak artar. Gerçek eksen üzerinde yer alan kökler sisteminkararlılık sınırını işaret eder.Sanal eksenüzerindeki eşlenik kök çifti, sönümsüz sabit genliklititreşim cevabını gösterir.


Routh Hurwitz Stabilite Kriteri

Routh-Hurwitz kriteri, bir polinom denklemini çözmeden pozitif gerçel kısımlı kökleribulunup bulunmadığını belirlemek için kullanılır. Aşağıdaki özyapısal denkleminnormalize edildiğini, dolayısıyla da an > 0 olduğunu varsayarsak, sistemin kararlıolduğunu tespit için iki şart aranır.

(i) Gereklilik şartı: Denklemin tüm katsayılarının,ai > 0 (i=0,1,2,3,…,n)olması gerekir. Aksi durumda, sistem ya kararsız ya da sınırlı kararlıdır.

Örn: s2+1=0 denkleminde s teriminin katsayısı 0 olduğundan s= ±j sanal köklerivardır. Bu durum sınırlı kararlılığı ifade eder.s4-3s3-22s+6s+4=0 denkleminde ise negatif katsayılar olduğundan kararsızsistemleri ifade eder.



(ii) Yeterlilik Şartı: Routh tablosu aşağıdaki şekilde oluşturulur.



(ii) Yeterlilik Şartı:

Tablonun birinci sütunundaki katsayılar boyunca hiçbir işaretdeğişikliği olmuyorsa bütün kökler sol yarı düzlemdedir vebu nedenle sistemimiz kararlıdır.

Yukarıdan aşağıya doğru ilk sütundaki katsayılar kaç kereişaret değiştirmiş ise sağ yarı düzlemde o kadar sayıda kökvardır. Dolayısıyla sistem kararsızdır.

İşaret değiştirmenin sınırına kadar gelinmiş ise yani ilksütundaki katsayılardan biri sıfır olmuş ama daha ilerigidilmemiş yani hiç işaret değişikliği olmamışsa sistemsınırda kararlıdır.

Ancak ilk sütunda birden fazla sıfır var ise bu durumda sistemyine kararsızdır.



Örnek: Özyapısal denklemi aşağıdaki gibi olan sistemin kararlılığını Routh-Hurwitz Kriteri’ne göre araştırınız.

s4+2s3+s2+4s+2=0

Çözüm: Denklemin tüm katsayıları aynı işaretli (ya da normalize edilmişhalindeki katsayıların hepsi pozitif )olduğuna göre sistem için gereklilikşartı sağlanır.Yeterlilik şartı için:

2

08

21

042

211

0

1

2

3

4

s

s

s

s

sBirinci sütunda biri +2 ‘den -1’e geçerken ve diğeri de -1’den +8’e geçerken iki işaret değişimi vardır. Buna göre sistemin sağ yarı düzlemde iki adet kökü vardır. Dolayısıyla, sistem kararsızdır.



Örnek: Özyapısal denklemi aşağıdaki gibi olan sistemin kararlılığını Routh-Hurwitz Kriteri’ne göre kararlılık koşulunu bulunuz.

a3s3+a2s2+a1s+a0=0

Çözüm: Denklemin tüm katsayıları aynı işaretli (ya da normalize edilmişhalindeki katsayıların hepsi pozitif )olduğuna göre sistem için gereklilikşartı için a3 >0 , a2 >0, a1 >0, a0 >0 ‘dır.

Yeterlilik şartı için:

2

02/)0321(

02

1

0

1

2

3

a

aaaaa

aa

aa3

s

s

s

s

Birinci sütunda hiçbir işaret değişimi olmaması için a1a2-a0a3>0 olmalıdır.



Özel Durumlar

1. Sütunda yalnızca bir elemanın sıfır olması:Bu durumda sıfır yerine sonlu küçük bir pozitif ε değeri konulur ve tablo buna göre oluşturulur. Tablo tamamlandıktan sonra ε yerine sıfır koyulur. Bu duruma göre, birinci sütunda sıfırın altındaki ve üstündeki elemanlarda bir işaret değişimi olup olmadığı incelenir. İşaret değişimi yoksa, sistemin bir sanal kök çifti vardır. Eğer işaret değişimi varsa, sağ yarı düzlemde işaret değişimi sayısı kadar kök vardır.

Örnek: s3+2s2+s+2=0 denkleminin kökleriniaraştırınız.



Çözüm

2/2

00

22

1

0

1

2

3

EE

E~

1

s

s

s

s

0~E yaparsak, bunun altında +2 olduğu görülür. Buna göre sağ yarıdüzlemde kök yoktur ve bir sanal kök çifti mevcuttur.



2. Routh tablosunda aradaki bir satırın tüm elemanlarının sıfır olması:Bu durumda sistem ya kararsız ya da sınırlı kararlı olur. Tüm elemanları sıfır olan bir satır, orijine göre simetrik olarak yerleşmiş köklerin varlığını ifade eder. Bu kökler aynı büyüklükte fakat zıt işaretli gerçel kökler, (± p), sanal kök çifti (± jw) veya iki adet karmaşık kök çifti (a ± jb, -a ± jb)şeklinde olabilir. Bu durumda tüm elemanları sıfır olan satırın üstündeki satır elemanlarından bir yardımcı polinom elde edilir. Bu polinom orijin etrafında simetrik yerleşen kökleri içerir. Yardımcı polinomun türevi alınarak, bu türevin katsayıları sıfırlı satırın sıfırları yerine konulur. Daha sonra Routh tablosunun geri kalan kısmı tamamlanır. Eğer yardımcı polinom tek değerli ve ‘2m’ nci derecen ise “m” adet eşit ve zıt işaretli kök mevcut demektir. Yardımcı polinomun köklerinin bilinmesi halinde sentetik bölme yolu ile özyapısal denklemin tüm kökleri bulunabilir.


Bağıl Kararlılık

Kararlı bir sistemin kararsızlık durumuna ne oranda yakın olduğunun bilinmesi önemlidir. Routh – Hurwitz kriterinde sistemin özyapısal denkleminin katsayıları değer olarak hesaplanmadığından yapılan işlemlerde kararlı çıkan sistem, gerçekte kararsız olabilir. Köklerin sanal eksene yakınlığının bir ölçüsü olan bağıl kararlılığın bilinmesi bu noktada önem arz eder.

Karmaşık düzlemde aynı düşey çizgi üzerinde bulunan kökler aynı zaman sabitlerine sahiptir. Düşey çizginin sağında yer alan herhangi bir kökün zaman sabiti çizgi üzerindeki köke göre daha büyük olacak ve bu kökün kararsızlığa yatkınlığı, düşey çizginin solunda yer alan köklere göre daha fazla olacaktır.

Sistemin en büyük zaman sabiti bağıl kararlılığın ölçüsüdür ve baskın köke ait zaman sabitidir.



Sanal ekseni sola kaydırılarak yeni bir polinom elde edilip yeni sanal eksenin sağında kaç tane kökün olduğu Routh – Hurwitz StabiliteKriteri’ne göre incelenebilir.

s=-σ kökünün sağında yer alan kökleri incelemek için sistemin özyapısal denkleminde(alttaki denkleme bakınız) s yerine s=p- σkonularak Routh – Hurwitz SK uygulanabilir.

Örn: Bir sistem özyapısal denklemi s3+9s2+26s+K=0 olarak verildiğine ve baskın zaman sabitinin 0.5 ‘ten az olması istendiğine göre, K sabiti bulunuz.



Çözüm: En büyük zaman sabiti 0.5 ise, s=-2 kökünün sağında herhangi bir kökün bulunmaması gerekir. Buna göre, σ=2 olup, verilen denklemde s=p- σ yerine konulursa, denklem

(p-2)3+9(p-2)2+26(p-2)+K=0 halini alır.p3+3p2+2p+K-24=0 olur.

Gereklilik şartı için, K>24’tür.Yeterlilik şartı için:

24

3/10

243

21

0

1

2

3

K

K

K

s

s

s

s1.Sütunda değişim olmaması için24 < K ≤ 30 olur.



K=24 olursa, son satır sıfır olur ve p eksen takımının orijininde veya s=-2 de bir kök ortaya çıkar. Eğer K=30 ise, p eksen takımı (s=-2 ekseni), üzerinde sanal kök çifti ortaya çıkar. Buna göre K=30 için, s=-2 ± bj olup, b bilinmemektedir. Bu durumda K=30 değeri , baskın zaman sınırlaması içinde titreşimli dinamik davranış gösteren tek değerdir. B ve sönüm oranını hesaplamak için;

p3+3p2+2p+K-24=(p+a)(p2+b2) = p3+ap2+b2p+ab2

Her iki tarafın eşitliğinden, a=3, b2=2, ab2=6 veya a=3, b=√2 çıkar.s cinsinden yazarsak, s=p-2=-a-2, ±ib-2 veya s=-5, s=-2 ± √2 j bulunur.Buradan sanal kökler için sönüm

oranı, ξ = (1/2)(a/ √(a2+b2))=0,57 çıkar.


Denetim Sistemlerinde Uygulanması

RHSK ‘nin kontrol sistemlerine uygulaması sınırlıdır. Çünkü, bu kriter, bağlı kararlı bir sistemin kararlılığının ne şekilde iyileştirebileceğini yada kararsız bir sistemin ne şekilde kararlı hale getirilebil eceğini hakkında pek fazla bir fikir ileri sürmez. Ancak, kararsızlığa neden olan bir iki parametre değerleri değişim etkilerini belirlemek mümkündür. Özellikle sistem kazancı K nın kararlı bir sistemde hangi sınırlar içerisinde kalmasının belirlenmesinde yararlı olmaktadır. Örn:


Denetim Sistemlerinde Uygulanması


Mikhailov – Leonhard - Cremer Stabilite KriteriKapalı devre sistem karakteristik polinomu (özyapısal denklemi)

Ansn+An-1sn-1+An-2sn-2+…+ A2s2+A1s1+A0=M(s) olduğu hatırlanırsa,

M(jw)=U(jw)+j V(jw) şeklinde gösterilen Michailow Eğrisi’ninkompleks koordinat sisteminde (karmaşık düzlemde) w=0 ‘dan başlayarak,w=∞ ‘a kadar verilen değerlerine karşılık, pozitif reel eksen üzerindenbaşlayarak saat ibrelerinin ters yönünde spiral şeklinde açılıp tümkoordinat çeyreklerini sıra ile geçip karakteristik polinomun derecesineeşit olan çeyrekte + ∞ ‘ a gitmesi halinde sistem kararlıdır(stabildir).

1. çeyrek2. çeyrek

3. çeyrek 4. çeyrek


Mikhailov – Leonhard – Cremer Stabilite KriteriÖrn: Karakteristik polinomu 3. dereceden olan doğrusal bir sistemin stabil olması için katsayıları arasındaki ilişkiyi bulunuz.

Çözüm:Sistemin karakteristik polinomu A3s3+A2s2+A1s+A0 ‘dır.Mikhailov polinomunuA3(jw)3+A2(jw)2+A1(jw)+A0= M(jw) olarak yazılır. M(jw)=(A0 -A2w2)+jw(A1- A3w2) çıkar. Bu polinomun eğrisinin stabiliteşartlarını sağlaması için 1.çeyrekten 2.çeyreğe geçerken sanal ekseni pozitif kolunda kesmesi gerekir. Bu noktadaki frekans w1 ile gösterilirse, sanal ekseni kesen noktada ReM(jw)=0 olacaktır. Bu durumda, ReM(jw1) > 0 ; (A0 -A2w1

2)= 0 w1 = √(A0 /A2) olarak bulunur.Bu frekansta ImM(jw1) > 0 olması gerekliliğinden, Jw1(A1-A3w1

2)> 0; w1>0 ; A1-A3(A0/A2)=0 A1A2>A3A0


Mikhailov – Leonhard – Cremer Stabilite Kriteri

Örn:

Özyapısal denklemi (karakteristik polinomu) s3+9s2+26s+K olarak verilen bir

kontrol sisteminin stabil (kararlı) olması için K ne olmalıdır?

Çözüm:

M(jw)=(K-9w2)+jw (26-w2); ReM (jw)=0 ; w1= √(K/9)

ImM (jw1) = w1(26-w12)>0; w1= √(K/9) >0 K>0

26 – (K/9) >0 K<234 0<K<234 olmalıdır.

28• Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören

h09 doğrusal kontrol sistemlerinin kararlılık...

Documents