guiacalculo utpl

Titulaciones Ciclo

Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Físico Matemáticas Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Físico Matemáticas*

VIII

Cálculo Guía didáctica

6 Créditos

Departamento de Geología y Minas e Ingeniería CivilSección Matemáticas

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJALa Universidad Católica de Loja

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Autor:Marlon Agustín Carrión Martínez

Asesoría virtual:www.utpl.edu.ec

* Pénsum por asignaturas

CÁLCULOGuía didácticaMarlon Agustín Carrión Martínez

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

CC Ecuador 3.0 By NC ND

Diagramación, diseño e impresión:

Primera edición

ISBN: 978-9942-08-103-2

Tercera reimpresión

EDILOJA Cía. Ltda.Telefax: 593 - 7 - 2611418San Cayetano Alto s/[email protected]

Esta versión impresa, ha sido acreditada bajo la licencia Creative Commons Ecuador 3.0 de reconocimiento -no comercial- sin obras derivadas;

ni se realicen obras derivadas. http://www.creativecommons.org/licences/by-nc-nd/3.0/ec/

Abril, 2013

2. Índice

3. Introducción ........................................................................................................ 6

4. Bibliografía ......................................................................................................... 7

4.1Básica .......................................................................................................... 7 4.2 Complementaria ........................................................................................... 85. Orientaciones generales para el estudio .................................................................. 96. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de

competencias ...................................................................................................... 11

PRIMER BIMESTRE

6.1 Competencias genéricas 6.2 Planificación para el trabajo del alumno 6.3 Sistema de evaluación de la asignatura

6.4 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias

UNIDAD 1: FUNCIONES ............................................................................................................................. 12

1.1 Definición de funciones ........................................................................................... 12 1.2 Gráfica de una función ............................................................................................ 141.3 Operaciones con funciones ...................................................................................... 181.4 Funciones trigonométricas ....................................................................................... 19

AUTOEVALUACIÓN 1. ................................................................................................................................ 20

UNIDAD 2:LÍMITES....................................................................................................................................... 21

2.1 Introducción a límites ............................................................................................. 212.2 Teoremas de límites ............................................................................................... 222.3 Límites que involucran funciones trigonométricas ........................................................ 232.4 Límites al infinito, límites infinitos ............................................................................. 242.5 Continuidad de funciones ........................................................................................ 24

AUTOEVALUACIÓN 2 ................................................................................................................................. 25

SEGUNDO BIMESTRE

6.5 Competencias genéricas ....................................................................................... 266.6 Planificación para el trabajo del alumno................................................................... 26 6.7 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias .................................. 28

UNIDAD 3: DERIVADAS ............................................................................................................................. 28

3.1 La recta tangente ................................................................................................... 283.2 La derivada ........................................................................................................... 293.3 Reglas para encontrar derivadas ............................................................................... 293.4 Derivadas de funciones trigonométricas ..................................................................... 303.5 La regla de la cadena ............................................................................................. 313.6 Derivadas de orden superior..................................................................................... 323.7 Derivación implícita ................................................................................................ 323.8 Diferenciales y aproximaciones................................................................................. 33

AUTOEVALUACIÓN 3 ................................................................................................................................. 34

UNIDAD 4: INTEGRALES ............................................................................................................................ 35

4.1 Integrales indefinidas .............................................................................................. 354.2 Introducción a ecuaciones diferenciales ...................................................................... 354.3 Introducción al área ................................................................................................ 374.4 La integral definida ................................................................................................ 384.5 El primer teorema fundamental de cálculo ................................................................. 394.6 El segundo teorema fundamental de cálculo y el método de sustitución .......................... 40

AUTOEVALUACIÓN 4 ................................................................................................................................. 42

7. Solucionario ........................................................................................................ 43

PRELIMINARES Guía didáctica: Cálculo

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 5

Una parte importante de la Matemática es el Cálculo, que nos ayuda resolver problemas relacionados a pendientes, áreas, volúmenes, velocidad, aceleración , etc. Ésta asignatura proporciona la formación específica y propia de la carrera; se ubica al final de nuestra malla curricular, es decir en octavo ciclo de la Escuela de Ciencias de la Educación Mención Físico Matemáticas en la Modalidad Abierta y a Distancia de la UTPL, por lo tanto estamos preparados con bases fundamentales de matemática, álgebra, geometría y trigonometría que se estudió en los ciclos precedentes preparándonos así para enfrentar este nuevo reto.

El Cálculo nos invita a conocer, investigar o explícitamente hablando a calcular; esta asignatura busca que el alumno comprenda los principios y aplicaciones del estudio matemático, de las razones de cambio e incrementos infinitesimales y los aplique a la resolución de problemas.

La presente guía es nuestro punto de partida, que lo llevará a recorrer su bibliografía básica por los contenidos propuestos para la aprobación de ésta asignatura, siendo altamente importante revisarla en su totalidad, tomando muy en cuenta la resolución de ejercicios propuestos y de sus autoevaluaciones al final de cada unidad. Tenga siempre presente que de tener alguna dificultad o cualquier inquietud, tiene el respaldo de su profesor tutor a través de los diferentes medios de contacto; nunca se sienta sólo.

Revisaremos los conocimientos básicos o generales de cálculo, los mismos que se encuentran agrupados en cuatro unidades, distribuidos dos por cada bimestre. En el primer bimestre nos introduciremos con el estudio de las funciones seguido por el tema de Límites y en el segundo bimestre Derivadas e Integrales.

Estamos a un paso de conseguir nuestra meta final, siga con ese espíritu de superación, sabemos que puede lograrlo.

3. Introducción


PRELIMINARESGuía didáctica: Cálculo

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja6

4.1 Básica

• Purcel, Edwin; Verberg, Dale y Rigdon, Steven (2007). Cálculo diferencial e integral. Novena edición. Pearson Educación. Impreso en México. 774p

Este libro lo utilizamos por su total claridad en la resolución de ejercicios, por su ayuda de gráficas y demostraciones de conceptos, suposiciones y leyes. Así como de una introducción revisando los conocimientos básicos para la materia.

• Carrión, Marlon (2011). Guía Didáctica de Cálculo. Loja-Ecuador. Editorial UTPL

Tiene la finalidad de orientar al estudiante dónde debe centrar su estudio.

4.2 Complementaria

• Stewart, James (2008). Cálculo Trascendentes Tempranas. Sexta edición. Cengage LearningPara complementar y ampliar nuestro estudio, he sugerido revisar en este libro las aplicaciones de la derivada y de la integral.

• National Repository of online courses. Universidad de Guadalajara. Mexico. Disponible en: http://www.cucsh.udg.mx/sitios/calculo/CalculoGralI/coursestart.html [Consulta 01-04-2011]

Altamente recomendable visitar esta web; es un curso abierto en el que podrá encontrar videos, explicación, evaluaciones y ejercicios propuestos de forma dinámica e interactiva, referente a funciones, límites, derivadas e integrales.

4. Bibliografía



Estimado estudiante:

El camino recorrido a través de los diferentes semestres, han inculcado en usted la metodología de estudio adecuada para conseguir la aprobación de las materias precedentes; por lo que me remito solicitarle que en base a estas orientaciones consolide o fortalezca aún más su forma de aprendizaje, teniendo como sugerencias para el desarrollo de ésta materia las siguientes:

• Tener a disposición el material básico con el que se va a trabajar (Texto básico y Guía didáctica con su evaluación a distancia), aclarando que es importante para un óptimo desempeño reforzar sus conocimientos revisando el material complementario.

• Tenga presente que la asignatura está dividida en dos partes, para el primer bimestre estudiaremos las unidades correspondientes a funciones y límites; mientras que el segundo bimestre abordaremos los temas referentes a la derivada y la integración.

• Empiece revisando su guía didáctica; aquí conocerá las unidades y partes del libro base a tratar, actividades (ejercicios y preguntas) a desarrollar direccionando su aprendizaje.

• En caso de que tenga dudas o inquietudes, recuerde que puede consultar a su profesor tutor por medio del teléfono en los horarios de tutoría o a través del Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA).

• Ingrese al EVA por lo menos una vez a la semana, ahí encontrará información que le será de gran ayuda para la comprensión de la materia.

• Para trabajar en la evaluación a distancia: en la parte objetiva conforme vaya avanzando en la revisión de su texto básico, conteste los ítems propuestos, no es aconsejable buscar las respuestas de forma directa. En la prueba de ensayo, se sugiere tener predispuestas las reglas, teoremas y fórmulas en conjunto (formulario), también puede ayudarse revisando ejercicios desarrollados que tengan una propuesta similar.

• Entre más ejercicios desarrolle, mayor será su dominio de los temas tratados; trate de entender casos especiales que se presenten en los mismos.

• Recuerde desarrollar todas las autoevaluaciones propuestas en su guía didáctica; ya que ello le ayudará a medir el nivel de conocimiento adquirido en cada tema estudiado, permitiéndole estar plenamente preparado para rendir sus pruebas presenciales.

Seguro de su buen desempeño, le anhelo éxitos en su desarrollo.

5. Orientaciones generales para el estudio



6.1 Competencias Genéricas

Capacidad para plantear y resolver problemas.Capacidad de abstracción, análisis y síntesis.

6.2 Planificación para el trabajo del alumno

COMPETENCIAS ESPECIFICAS

INDICADORES DE APRENDIZAJE

CONTENIDOS ACTIVIDADES DE APREN-DIZAJE

CRONOGRAMA ORIENTATIVO

tiempo estimadoUnidades/TemasCapacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma que se faciliten, su análisis, solución e interpretación en sus contextos

originales.

1. Formular2. Traducir3. Analizar4. Resolver5. Interpretar

1. Relaciona la definición de funciones.

2. Plantea funciones a partir de sus características

3. Traduce de forma simbólica y gráfica las car-acterísticas de las funciones.

4. Aplica las operaciones de funciones.

UNIDAD 1: FUNCIONES 1.1. Definición de

funciones1.2 Gráfica de una

función 1.3 Operaciones con

funciones1.4 Funciones trigono-

métricas

Autevaluación 1.

Lectura comprensiva de la primera unidad de la guía didactica y bibliografía complemetaria referente al tema.

Revisar y participar costan-temente en el EVA.

Practicar realizando gráfi cas de funciones.

Analizar los ejercicios desarrollados en la guia y en el texto base.

Resolver la autoevaluación

al final de la unidad e ini-cie el desarrollo del trabajo a distancia.

Semana 1,2,3 y 4:8 horas de au-toestudio4 horas de inter-acción

PRIMER BIMESTRE

6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias


PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Cálculo


1. Realciona teoremas de

límites.

2. Determin los límites de una función

3. Determina los límites infinitos.

4. etermina contiui-dad a discontinui-dad de funciones.

UNIDAD 2: LÍMITES

2.1 Intrducción a los límites2.2. Teoremas de límites.2.3 Límites que involucran funciones trigonometricas.2.4 Limites al infinito, limites infinitos.2.5 Continuidad de funcionesAutoevaluación 2

1. Lectura comprensiva del texto básico

correspondiente a la unidad.

2. Revisar y participar constantemente en el

EVA.

3. Desarrollar un formulario.

4. Analizar los ejercicios desarrollados en la guia y en el texto.

5. Resolver la autoevaluación al final de la unidad y finalice el desarrollo del trabajo a distancia.

Semana 5,6,7 y 8:8 horas deautoestudio4 horas de interacción

Repaso de las unidades de la 1 al 2

Preparación para la evaluación presencial para el primer bimestre

PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo


3. C

oeva

luac

ión

xx

xx

xx

xx

xx

Activ

idad

es P

rese

ncia

-le

s y

en e

l eva

Para aprobar la asignatura se requiere obtener un puntaje mínimo de 28/40 puntos, que equivale al 70%.

* Son estrategias de aprendizaje, no tienen calificación; pero debe responderlas con el fin de autocomprobar su proceso de aprendizaje.

** Recuerde: que la evaluación a distancia del primer bimestre y segundo bimestre consta de dos partes: una objetiva y otra de ensayo, debe desarrollarla y entregarla en su respectivo Centro Universitario.

2. Heteroevaluación

Evaluación Presencial

Prue

ba

Obj

etiv

a y

de E

nsay

o

xx

xx

70%

14

20 Puntos

Evaluación a Distancia**

Inte

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ión

en

el E

VA

xx

xx

xx

xx

xx

x

Máx

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1. A

utoe

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n*x

xx

xx

xx

xx

xx

xEs

trate

gia

de

Apre

ndiz

aje

Formas de Evaluación

Competencia: Criterio

Comportamiento ético

Cumplimiento, puntualidad y responsabilidad

Esfuerzo e interés en los trabajos

Respeto a las personas y a las normas de comu-nicación

Creatividad e iniciativa

Contribución en el trabajo colaborativo y de equipo

Presentación, orden y ortografía

Emite juicios de valor argumentadamente

Dominio del contenido

Investigación (cita fuentes de consulta)

Aporta con criterios y soluciones

Análisis y profundidad en el desarrollo de los temas

PORCENTAJE

Puntaje

Actit

udes

Hab

ilida

des

Con

ocim

ient

os

Señor estudiante:

Tenga presente que la finalidad de la valoración cualitativa es principalmente formativa.

6.3 Sistema de evaluación de la asignatura (Primero y segundo bimestre)



Como punto de partida para nuestra visión del cálculo básico, hemos creído conveniente iniciar nuestro estudio con el tema de las funciones, para introducirnos posteriormente con el estudio de los límites, derivadas e integrales. Solicito a usted por favor revisar su texto base en el apartado relacionado al tema funciones y sus gráficas

1.1. Definición de funciones

Una función f es una regla de correspondencia o de asignación, en donde a cada valor que ingresa le corresponde uno de salida.

Representación:

1

-1

a

4

-2

3a + 1

x F(x) = 3x+1 f (x)

Ejemplos:

Relacionar la definición de funciones en el siguiente ejemplo:

1) Sea f(x) = x2 + 2 encontrar f(5); f (1/2 ); f(2b)

Bien aquí tenemos nuestro primer ejemplo, reemplazamos los valores 5, 1/2 y 2b en la función f(x) = x2 + 2.

- Se ingresa el valor 5 a la ecuación x2 + 2, obtenemos como salida 27.- Se ingresa el valor 1/2 a la ecuación x2 + 2, obtenemos como salida 9/4.- Se ingresa el valor 2b a la ecuación x2 + 2, obtenemos como salida 4b2 + 2.

6.4 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias

UNIDAD 1: FUNCIONES




Tenemos:

f(5) = (5)2 + 2 = 25 + 2 = 27

f 12

12

2 14

2 94

2

+

+

f(2b) = (2b)2 + 2 = 4b2 + 2

¿Qué pasa si le doy valores negativos, es decir (-5), (-1/2) y (-2b)?

Representándolo en los diagramas tenemos:

x F(x) = x2 + 2 f (x)

s

12

b

27

94

b2+2

Bien; una vez que hemos entendido la definición de función, vamos a denotar sus características:En una función encontramos:

Dominio: Son todos los valores que le damos a nuestra función, enmarcados en un conjunto que caracteriza la similitud de los mismos.

Por ejemplo; en la siguiente función f(x) = 1/(x-3)

Cualquier valor se puede ingresar en la función; excepto el número 3 porque tendríamos una división paracero;porlotantoelconjuntoquecaracterizaaestedominioes:{x:x≠3}x→ R.

Descripción del dominio, el dominio de la función f(x) = 1/(x-3) es el conjunto de las x, tal que x es diferente de 3; en donde x pertenece a los números Reales.

Rango: Son todos los valores que obtenemos como respuesta al realizar las operaciones indicadas en nuestra función con los diferentes valores que ingresan.

Por ejemplo en la siguiente función f(x) = x2

Cualquier valor que ingrese a la función nos dará como respuesta un valor positivo; por lo tanto el conjuntoquecaracterizaaesterangoocodominioes:{x:x}x→ R+.



Descripción del rango, el rango, contradominio o codominio de la función f(x) = x2 es el conjunto de las x, tal que x pertenece a los números Reales Positivos.Variable dependiente: Es la variable que se encuentra dependiendo del valor que ingresa en la función, es decir en la ecuación de la forma y = f(x); su variable dependiente sería y.

Variable independiente: Es la variable que no se sujeta a cambios en base a operaciones que se representan en una función, es decir en la ecuación de la forma y = f(x); su variable independiente sería x.

1.2. Gráfica de una función

Para elaborar la gráfica de una función, debemos tomar en cuenta el siguiente procedimiento:

1. Construir una tabla de datos en la que conste las variables dependiente e independiente.2. Dar valores a la variable independiente para encontrar los valores de salida. 3. Representación de un par ordenado en el plano cartesiano.4. Tener en cuenta que en algunas funciones existen asíntotas.5. Dibujar la gráfica, alineando o suavizando todos los puntos representados.

Por ejemplo; graficar f(x) = x² + 1

Graficar g(x) = 2/(x-1)

x g(x) = 2/(x-1)

-3 2/ (-3-1) = -1/2-2 2/ (-2-1) = -2/3-1 2/ (-1-1) = -10 2/ (0-1) = -2

12/ (1-1) = ∞

(asíntota)2 2/ (2-1) = 23 2/ (3-1) = 1

x f(x) = x² + 1

-3 (-3)² + 1 = 10-2 (-2)² + 1 = 5-1 (-1)² + 1 = 20 (0)² + 1 = 11 (1)² + 1 = 22 (2)² + 1 = 53 (3)² + 1 = 10




Cuál es el dominio y el rango de las anteriores funciones?

Función Par Función ImparSi f(-x) = f(x)

Su gráfica es simétrica con el eje y

Si f(-x) = -f(x)

Su gráfica es simétrica con respecto al origen

Para comprender mejor, vamos a revisar los siguientes ejemplos:

Especifique gráfica y analíticamente si las siguientes funciones son par, impar o ninguna de las dos.

1.- f (x) = 2 x + 1

Analíticamente:

Reemplazamos –x por x f (-x) = 2 (-x) + 1

f (-x) = -2 x + 1

Pregunta: ¿ f (-x) = f (x) ? ó ¿ f (-x) = - f (x) ?

Verificamos-2x+1≠2x+1-2x+1≠-(2x+1)

-2x+1≠-2x–1

Conclusión: Como ninguna de las dos igualdades son correspondientes, decimos que la función no es par ni impar.

Gráficamente:



Tabla Gráfica Conclusión

x f(x) = 2 x + 1 -3 2 (-3) + 1 = -5-2 2 (-2) + 1 = -3-1 2 (-1) + 1 = -10 2 (0) + 1 = 11 2 (1) + 1 = 32 2 (2) + 1 = 53 2 (3) + 1 = 7

- La gráfica no es simétrica con el origen.

- La gráfica no es simétrica con el eje y.

- La gráfica es una recta.

- La función no es par ni impar.

2.-

Analíticamente:

Reemplazamos –u por u

f u u( ) =3

8

f u u( ) ( )− =

− 3

8 Pregunta: ¿ f (-u) = f (u) ? ó ¿ f (-u) = - f (u) ?

Verificamos − ≠

u u3 3

8 8 − = −

u u3 3

8 8

Conclusión: De las igualdades correspondientes vemos que f (-u) = - f (u), por consiguiente

f u u( ) =3

8 es una función impar.

f u u( ) =3

8




Gráficamente:

TABLA GRÁFICA CONCLUSIÓN

u f u u( ) =

3

8

-3

( ) ,−= − = −

38

278

3 43

-2

( )−=−

= −28

88

13

-1

( ) ,−=−

= −18

18

0 1253

-0

08

08

03

= =

1

( ) ,18

180 125

3

= =

2

( )28

881

3

= =

3

( ) ,38

278

3 43

= =

• La gráfica es simétrica con respecto del origen.

• La gráfica no es simétrica con el eje y.

• La gráfica es una curva.• La función no es par, es

impar.

¿Cuál es el dominio y el rango de las anteriores funciones?. Explique gráfica y analíticamente si la siguiente función es par: h (x)

Existen otro tipo de funciones que le sugerimos revisar (función valor absoluto, función máximo entero, función constante, función identidad y función polinomial).

Función Simbología Gráfica

Valor absoluto



Máximo entero [x]

Constante f (x) = k , k es una constante

Identidad f (x) = x

Polinomial( ) ...x a x a x a x an

nn

n= + + + +−−∫ 11

11

0

Lineal (Primer grado) f (x) = ax + b

Recta

Cuadrática (Segundo grado) f (x) = ax2 + bx

Parábola

¿Cuál es el dominio y el rango de las anteriores funciones?

1.3 Operaciones con funciones

Operación SimbologíaAplicación : f (x) = x + 2 ;

g (x) = x

Suma f (x) + g (x) (x+2) + x = 2x + 2Diferencia f (x) - g (x) (x+2) - x = 2Producto f (x) . g (x) (x+2) . x = x² + 2xCociente f (x) / g (x) (x+2) / xPotencia f²(x) (x+2)² = x² + 2x + 4

Composición g o f (x) = g (f(x)) g (x+2) = x+2

La función constante f(x) = 4

La función identidad f(x) = x




Composición de funciones:

La composición de funciones la explicamos a través del siguiente ejemplo.

Tenemos las siguientes funciones:

f (x) = x + 2 ; g (x) = x

- Composición de f en g f o g (x) = f (g(x)) = f ( x ) = x + 2

- Composición de g en f g o f (x) = g (f(x)) = g (x+2) = ( x + 2)

- Composición de f en f

f o f (x) = f (f(x)) = f (x+2) = x + 2 + 2 = x+4

- Composición de g en g g o g (x) = g (g(x)) = g x x x( ) = =

4

¿Cuál es el dominio y el rango de las funciones compuestas?

Investiguemos:

¿Cuándo una función es creciente o decreciente?. Puede ayudarse revisando en el texto complementario.

1.4 Funciones Trigonométricas

Para un completo entendimiento de este tipo de funciones, remítase al apartado 0.7 del texto base y sobre todo es importante graficar las funciones trigonométricas en donde debe tener en cuenta sus diferentes propiedades como su dominio, rango, periodo, amplitud, simetría.

A continuación se detallan algunas identidades trigonométricas, que nos servirán para resolver diferentes operaciones en el transcurso de nuestro estudio de esta asignatura. Teniendo en cuenta que en los ciclos precedentes, sobre todo en la materia de Trigonometría se revisó minuciosamente este tema.



Identidades par-impar Identidades de las cofunciones

sen ( -x ) = - sen x sen π2−

x = cos x

cos ( - x ) = cos x cos π2−

x = sen x

tan ( - x ) = - tan x tan π2−

x = cot x

Identidades pitagóricas Identidades para la suma de ángulos

sen ² x + cos ² x = 1 sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y

1 + tan ² x = sec ² x cos (x + y ) = cos x cos y - sen x sen y

1 + cot ² x = csc ² x tan (x + y ) = tan tantan tanx yx y+

−1

Identidades del ángulo doble Identidades del medio ángulo

sen 2x = 2 sen x cos x sen x x2

12

=≠

− cos

cos 2 x = cos ² x - sen ² x sen x x2

12

=≠

+ cos

= 2 cos ² x - 1

= 1 - 2 sen ² x

Identidades aditivas

sen x + sen y = 2 sen x y+

2

cos x y−

2

cos x + cos y = 2 cos x y+

2

cos x y−

2




A. Conteste con una V si es verdadero o F si es falso, cada uno de los enunciados siguientes.

1. Dominio, son todos los valores que le damos a nuestra función.

2. De y=f(x), x es la variable dependiente.

3. El rango de la función y = x2es[0,∞).

4. La función ( )x x xx x

3

4 2

33 4+

+ +∫ es una función par.

5. Si f(-x) = -f(x) para toda x, la gráfica es simétrica con respecto al origen. A tal función la llamamos función impar.

B. Resolver los siguientes enunciados.

6. Dado que f es la función definida por f(x) = x2 + 3x – 4. Determine f(x-h).

7.Dadoquefygsonlasfuncionesdefinidasporf(x)=√(x+1)yg(x)√(x-4)=defina(f.g)y determine el dominio de las funciones resultantes.

8.Dadoquefygestándefinidasporf(x)=√xyg(x)=x²-1calculefo g.

9. Trace la grafica de la función y a partir de la gráfica conjeture si la función es par, impar o ninguno de los dos tipos; después confirme la conjetura analíticamente. f(x) = 3x⁴- 2x²+7.

10. Demostrar si la suma de dos funciones pares, su resultado también es una función par.

En nuestra bibliografía complementaria, recomendamos visitar la siguiente página web http://www.cucsh.udg.mx/sitios/calculo/CalculoGralI/coursestart.html que es un curso abierto que le ayudará de manera interactiva y minuciosa revisar los temas tratados en este capítulo. Así mismo, esté pendiente de los anuncios que se irán colocando en el EVA.

Como habrá visto, hemos revisado un tema que ya se ha tratado en las materias precedentes, el dominio del mismo es requisito indispensable para el entendimiento de los siguientes temas a revisar en esta asignatura.

Autoevaluación 1



2.1 Introducción a límites

La idea de un límite se ilustra mediante líneas secantes que se aproximan a una línea secante1.

Revise el apartado problemas que conducen al concepto de límite del texto base, para que se vaya formando una idea intuitiva del ¿el por qué del estudio de los límites?.

Para precisar el concepto, proponemos los siguientes ejercicios:

Encuentre el lim ( )x x→ −1 5 2

Procedemos a remplazar el valor que tiende a -1 en la función;

Cuando x, está cerca de -1; estará cerca de 5 (-1) – 2 = -7. Por tanto:

lim ( )x x→− − = −1 5 2 7

Resolver lim ( )x

xx→

−−2

4

3

168

En este tipo de ejercicios, no podemos aplicar directamente el remplazo en la función. Tenemos que factorar con el fin de que al momento de remplazar encontremos el límite de la función.

Entonces: xx

x xx x x

x x x4

3

2 2

2

2168

4 42 2 4

2 2 4−( )−

=− +

−( ) + +=

−( ) +( ) +�

( )( )( )

( )��

xx xxx−( ) +

=++( )2 2422

2

( )�( )

En este momento observamos que, la expresión ya no puede ser más reducida; por lo que procedemos a remplazar el valor de 2, quedando:

1 Stewart, James (2008). Cálculo Trascendentes Tempranas. Sexta edición. Cengage Learning. pp82

UNIDAD 2: LÍMITES




Actividad complementaria

Revisar el tema de los límites laterales.

2.2 Teoremas de límites

Sea n un entero positivo, k una constante y f, g funciones que tengan límites en c. Entonces:

La aplicabilidad de este teorema principal de límites y otros más, los vemos reflejados y explicados detalladamente en el apartado teoremas de límites de nuestro texto base.

Determine

Aplicación del teorema principal de los límites.



Los círculos representan la justificación de los teoremas de límites expuestos en el inicio de este apartado.

Desarrolle el ejercicio anterior probando cuando el límite tiende a -4.

2.3 Límites que involucran funciones trigonométricas

Para todo número real c, en el dominio de la función

Determine

lim tansinx

x xx→0

3

Desarrollo

lim tansin

lim (sin / cos )sin

limcosx x x

x xx

x xx

xx→ → →

= =

= =

0 0 0

3 3 3

01

0


Revisar el tema de límites trigonométricos especiales.

2.4 Límites al infinito, límites infinitos

Límites al infinito: limx kx→∞ =1 0

Encuentre el limxx

x→∞ −5




limxx

x

xx

xx x

→∞ −=

−=

−=

−=

5 51

1 511 0

1

Encuentre el limtt

t→∞ −

2

27

limtt

t

tt

tt t

→∞ −=

−=

−=

−=

2

2

2

2

2

2 27 7

17 1

10 1

1

Límites infinitos:

lim ( )x c

x→ + = +∞∫ ;

lim ( )x c

x→ − = −∞∫

Encuentre el lim ( )( )x

xx x→ +

− −5

2

5 3 ; lim( )( )x

xx x→ −

− −5

2

5 3

lim( )( )

; ; ; ;x

xx x

x x x→

++

− −→ − → − → − = −∞

5

22

5 325 5 0 3 2

lim( )( )

; ; ; ;x

xx x

x x x→

−−

− −→ − → − → − = ∞

5

22

5 325 5 0 3 2

Para que clarifique el entendimiento de límites al infinito y límites infinitos, es necesario que revise la teoría como los ejercicios desarrollados en el apartado correspondiente del texto base.

2.4 Continuidad de funciones

Una función es continua si cumple las siguientes condiciones:

- lim ( )x c f x→ existe

- f (c) existe (es decir c está en el dominio de f)

- lim ( ) ( )x c f x f c→ =

Para una mejor comprensión, veremos si la siguiente función es continua o discontinua:

f (x) = (x-3) (x-4) ; probamos las condiciones

- lim ( ) ( )( )x f x→ = − − =3 3 3 3 4 0 entonces existe para cualquier valor de c



- f(3) existe (es decir c está en el dominio de f)

- lim ( ) ( );x f x f→ = =3 3 0 0 La función cumple con las tres condiciones, entonces concluimos que es una función continua.

Ahora probemos con la siguiente función:

h xx

( ) 35− ; probamos la condiciones

- lim ( )( ) ( )x h xx→ −

=535

30 entonces no existe

- f(5) no existe (es decir c no está en el dominio de f)

La función no cumple con las tres condiciones, entonces concluimos que es una función discontinua.

Para referirse a la continuidad de diferentes funciones remítase al apartado 1.6 del texto base, en las que incluso se denotan algunos teoremas que le servirán para concluir si una función en un determinado intervalo o si la función resultante de una composición cumple con esta característica de continuidad.

Autoevaluación 3


1. La idea de un límite se ilustra mediante líneas secantes que se aproximan a una línea secante.

2. El lim ( )x x→− − =1 5 2 3

3. Sea n un entero positivo, k una constante y f y g funciones que tengan límites en c. Entonces el limx c x→

es igual a k.

4. El lim ( ) cos( )t c sen t c→ =

5. El limx kx→∞ =1 0


6. Resolver el ejercicio 10 del texto guía, página 73 del texto base.




SEGUNDO BIMESTREGuía didáctica: Cálculo

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja28 UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 29




10. ¿Cuándo una función es continua?

Hemos revisado nuestro primer tema propiamente relacionado a la materia; si usted tubo inconvenientes en su entendimiento, recuerde que su profesor tutor está siempre disponible en los horarios de tutoría o a través del EVA para que le manifieste sus inquietudes. Es importante que usted desarrolle los ejercicios propuestos en el texto guía para un mejor adiestramiento en el tema.

- Siempre obtiene respuestas el que persevera -


SEGUNDO BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo




6.5 Competencias Genéricas

Capacidad para plantear y resolver problemas.Capacidad de abstracción, análisis y síntesis.

6.6 Planificación para el trabajo del alumno

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

INDICADORES DE APRENDIZAJE

CONTENIDOS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

CRONOGRAMA ORIENTATIVO

Unidades/Temas Tiempo estimado

Capacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma que se faciliten, su análisis, solución e interpretación en sus

contextos originales.

1. Relaciona las reglas de la

derivada.

2. Traduce simbólicamente problemas reales.

3. Aplica la simplicación y

equivalencia de funciones

trigonométricas.

4. Dtermina la derivada de una función.

UNIDAD 3:DERIVADAS 3.1. La recta tangente3.2 La derivada3.3 Reglas para encontrar derivadas3.4 Derivadas de

funciones trigonométricas3.5 La regla de la

cadena3.6 Derivadas de

orden superior3.7 Derivada implícita3.8 Diferenciales y aproximaciones Autevaluación.3

Lectura comprensiva

de la primera unidad del texto basico y

bibliografía complemetaria correspondiente a la unidad.

Revisar y participar costantemente

en el EVA.

Desarrollar un formulario.

Analizar los ejercicios desar-rollados en la guia y en el texto base.

Resolver la

autoevaluación al final de la unidad e inicie el desarrollo del trabajo a distancia.

Semana 1,2,3 y 4:8 horas de autoestudio4 horas de interacción

SEGUNDO BIMESTRE




1. Relaciona las reglas de la

integración.

2. Calcula el área de uan región

determinada.3. resuelve ejercicios

con la integral definida.

UNIDAD 4: INTEGRALES

4.1 Introducción a área.

4.2 La integral definida.

4.3 El primer teorema fundamental de

cálculo4.4 El segundo teorema

fundamental de cálculo y el método de sustitución

4.5 El teorema del valor medio para integrales y el uso de la simetría.

4.6 Integración numérica.

Autoevaluación 4

1. Lectura comp-rensiva del texto básico corre-spondiente a la unidad.

2. Revisar y par-ticipar constan-temente en el EVA.

3. Desarrollar un formulario.

4. Analizar los ejercicios desar-rollados en la guia y en el texto.

5. Resolver la autoevaluación al final de la unidad y finalice el desarrollo del trabajo a distancia.

Semana 5,6,7 y 8:8 horas de au-toestudio4 horas de inter-acción

Repaso de las unidades de la 3 y 4.

Preparación para la evaluación presencial para el primer bimestre





Resolver el repaso del capítulo 1 del texto base.

3.1 La recta tangente

En un solo punto. En más de un punto.

El concepto de límite proporciona la mejor manera de obtener una descripción de la tangente en una curva.

m m f c h f chh htan seclim lim ( ) ( )

= =+ −

→ →0 0

En el apartado correspondiente del texto base, usted encontrará ejercicios referentes a este tema, destacando los problemas en los que se referencia a la velocidad promedio y la velocidad instantánea.

Ejemplo:

Si una partícula se mueve a lo largo de un eje coordenado, de modo que su distancia dirigida (medida desde el origen) después de t segundos es (-t2 + 4t) pies, ¿cuándo la partícula está momentáneamente detenida? (Es decir, ¿en qué momento su velocidad instantánea es cero?).

Relación y planteamiento:

f(t) = - t² + 4t

Aplicación de la fórmula de la velocidad instantánea:

vc h c h c c

hh=− + + + − − +

→lim( ) ( ) ( )

0

2 24 4

Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias

UNIDAD 3: DERIVADAS




=− − − + + + −

→limhc ch h c h c c

h0

2 2 22 4 4 4

=− − +( )

= − +→limh

h c hh

c0

2 42 4

-2c + 4 = 0 cuando c = 2

La partícula está momentáneamente detenida cuando t = 2.

Tomando este ejercicio como punto de partida, revisemos en nuestro texto guía los ejercicios que están desarrollados en el apartado 2.1 y pongamos nuestro conocimiento en prueba desarrollando los ejercicios propuestos.

3.2 La derivada

La derivada f ´ de una función es otra función.

f x f x h f xhh'( ) lim ( ) ( )

=+ −

→0

f c f x f cx cx c'( ) lim ( ) ( )

=−−→

Determinar la derivada de: s (x) = 2x + 1

s x s x h s xhh'( ) lim ( ) ( )

=+ −

→0

=+ +[ ]− +

→lim( ) ( )

h

x h xh0

2 1 2 1

Para mejor comprensión de la aplicabilidad de estas fórmulas la observamos en los ejercicios desarrollados en el apartado respectivo de nuestro texto básico. Así mismo, poner mucha atención en el teorema que expresa que derivabilidad implica continuidad.

3.3 Reglas para encontrar derivadas.

Función constante: f (x) = k ; f ' (x) = 0

Función identidad: f (x) = x ; f ' (x) = 1

Potencia: f (x) = x ⁿ; f ' (x) = n x ⁿ⁻¹

Múltiplo constante: ( k f' ) (x) = k f ' (x)

Suma: (f + g )' (x) = f ' (x) + g' (x)

= =→limhh

h02 2





Resta: (f - g)' (x) = f ' (x) - g' (x)

Producto: (f . g)' (x) = f (x) g' (x) + g (x) f ' (x)

Cociente: fg

x g x f x f x g xg x

=

−'( ) ( ) '( ) ( ) '( )( )2

Determine la derivada de 1

3 12x +

Dx 13 12x +

Justificación Aplicación

Cociente ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )( )

(

3 1 1 1 3 13 1

3 1 0 63 1

6

2 2

2 2

2

2 2

x D D xx

x xx

x x+ − ++

+ −+

xxx)

( )3 12 2+

Potencia e Identidad

Simplificación

ACTIVIDAD: Ahora usted determine la derivada de x xx x

2

2

2 52 3

− +− −

Dx x xx x

2

2

2 52 3

− +− −

Justificación Aplicación

Cociente ________________

Potencia e Identidad ________________

Simplificación ________________

3.4 Derivadas de funciones trigonométricas

Dx (sen x) = cos Dx (cos x) = - sen xDx (tan x) = sec2 x Dx (cot x) = - csc2 xDx (sec x) = sec x . tan x Dx (csc x) = - csc x . cot x




Para pensar:

Determine Dx (csc x)

Con las igualdades anteriores podemos sacar directamente el resultado que es:

Dx (csc x) = - csc x . cot x

¿Podríamos obterner el resultado anterior, si no tuviéramos esa igualdad?

Pruebe con csc x = 1/sen x

Si obtuvo la respuesta comprenderá que éstas reglas en conjunto con las identidades trigonométricas que revisamos en el capítulo 1, nos servirán para entender los ejercicios desarrollados en el texto base y así mismo para resolver los ejercicios propuestos. He, aquí la importancia que tiene la revisión del tema de funciones en esta materia.

3.5 La regla de la cadena

Antes de iniciar con la aplicación de la regla de la cadena es muy importante revisar la Notación de Leibniz, respecto de la derivada.

Cuando tenemos inconvenientes para calcular la derivada de una función con las reglas anteriormente expuestas; la regla de la cadena es nuestro camino a seguir. La regla de la cadena es tan importante que rara vez derivaremos una función sin utilizarla.

Si y = f (u) ; y, u = g (x)Dxy = Duy . Dxu

dydx

dydu

dudx

= .

Por ejemplo:

Encontrar la derivada de la siguiente función:

y = (2x2 - 4x + 1)60

u = 2x2 - 4x + 1

Dxy = D (u)60 . D(2x2 - 4x + 1)

Dxy = 60 u59 (4x - 4)

Dxy = 60 (2x2 - 4x + 1)59 (4x - 4)





Ahora inténtelo, encuentre la derivada aplicando la regla de la cadena en el siguiente ejercicio:

Dx [sen4 (x2 + 3x)]

Si tiene problemas en el desarrollo solicite tutoría a su profesor a través de los diferentes medios de comunicación (correo, teléfono, EVA).Para ampliar su estudio le invito a revisar el apartado 2.5 del texto base.

3.6 Derivadas de orden superior

Recuerde que al iniciar el estudio de la derivada mencionamos que: la derivada de una función es otra función; por lo tanto, si yo vuelvo a derivar esa derivada (función resultante) tendré mi segunda derivada y si vuelvo a derivar esa segunda derivada (segunda función resultante) obtendré una tercera derivada y así sucesivamente.

Por ejemplo:

Encontrar la tercera derivada de la siguiente función f(x) = 3x3 + 2x2 - 4x + 1

Primera derivada f ´ (x) = 9x2 + 4x – 4

Segunda derivada f ´´ (x) = 18x + 4

Tercera derivada f ´´´ (x) = 18

A partir de la cuarta derivada podemos representar de la siguiente manera, refiriéndonos al ejercicio anterior tenemos:

Cuarta derivada f (4) = 0

Quinta derivada f (5) = 0

La aplicabilidad de las derivadas de orden superior (segunda derivada) está presente en la fórmula de la aceleración para lo cual le solicito remitirse a el apartado 2.6 del texto base para revisar el tema.

3.7 Derivación implícita

Para derivar una función con dos variables, podemos proceder de la siguiente manera:

1. Despejando una variable en función de la otra, y resolver la derivada como hemos venido trabajando.

2. Ó aplicando derivación implícita, por ejemplo:

De 3x3 + 2x2 - 4x + 1 = 2y3 + y2 + 2, encontrar dydx




dydx (3x³ + 2x² - 4x +1) =

dydx (2 y³ + y² +2)

(9x² + 4x - 4 ) = 6y² dydx

+ 2y dydx

(9x² + 4x - 4 ) = dydx

(6y² + 2y )

dydx =

9 4 46 2

2

2

x xy y+ −+

Usted puede revisar con más detalle este tema en el apartado 2.7, revise los ejercicios desarrollados y ponga en prueba su conocimiento realizando los ejercicios propuestos. Ánimo sabemos que puede lograrlo.


Para ampliar su conocimiento referente al tema de aplicabilidad de las derivadas, le sugiero revisar el apartado 2.8 razones de cambio relacionadas.

3.8 Diferenciales y aproximaciones

Si sabemos como calcular derivadas, también sabemos como calcular diferenciales. Basta con calcular la derivada y multiplicarla por dx.

Por ejemplo:

Dado 9x² + 4x - 4 encuentre dy,

dy = (18x + 4) dx





Reglas de derivación Reglas de diferenciación

1 0

2

3

4

.

. ( )

. ( )

. ( )

dkdx

d kudx

k dudx

d u vdx

dudx

dvdx

d uvdx

u dvdx

=

=

+= +

= ++

=−

= −

v dudx

d u vdx

v du dx u dv dxv

d udx

nu dudx

nn

5

6

2

1

. ( / ) ( / ) ( / )

. ( )

En base a los conocimientos, proceda a realizar la autoevaluación correspondiente a ésta unidad.

-Siga siendo perseverante -

1 0

2

3

4

5

.

. ( )

. ( )

. ( )

.

dk

d ku kdu

d u v du dv

d uv udv vdu

d uv

=

=

+ = +

= +

=vvdu udvv

d u nu dun n

−

= −

2

16. ( )




Autoevaluación 3


1. El concepto de límite proporciona la mejor manera de obtener una descripción de la tangente en una curva.

2. La derivada f ´ de una función es otra función.

3. Si f(x) = x , f´(x) es igual a 0

4. La velocidad en el tiempo t se la puede determinar con la relación v(t) = ds/dt

5. La derivada del Cos x es Sen x


6. ¿Cuál es la fórmula para la regla de la cadena?

7. Encuentre la cuarta derivada de, f(x) = 2x5 + 4x3 + 8

8. Determine dx xx

=++

2 41

3

2

9. Encuentre la derivada de ysenx x

x=

+

coscos

10. Encontrar la derivada de la siguiente función polinomial y t e tt( ) cos( )= +1


Resolver el repaso del capítulo 2 del texto base .





UNIDAD 4: INTEGRALES

4.1 Integrales indefinidas o antiderivadas

Para resolver ecuaciones que incluyan derivadas necesitaremos su operación inversa, que es la antiderivada.

Potencia: x dxxr

crr

=+

++

∫1

1∫1dx=x+c(casor=0)

Trigonométricas∫senxdx=-cosx+c

∫cosxdx=senx+c

OperadorLineal∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx

∫[f(x)-g(x)]dx=∫f(x)dx-∫g(x)dx

Regla generalizada de la potencia g x g x dx

g xr

crr

( ) '( )( )[ ] =

[ ]+

++

∫1

1 Ejemplo:

Encuentre la antiderivada de f(x) = (3/x2) – (2/x3)

3 2 3 2

3 2

31

2

2 32 3

2 3

1 2

x xdx x x

x dx x dx

x x

−

= −( )

= −

=−

−−

∫ ∫

∫∫

− −

− −

− −

22

3 12

+

= − + +

C

x xC

Equivalencia de potencias Operador lineal

Regla de la potencia

La aplicación de estas reglas en ejercicios resueltos usted podrá revisar en el apartado 3.8 del texto base, en las que incluso existen ejercicios propuestos por el autor para su adiestramiento en este tema. Recuerde al final del libro existe un formulario que describe una amplia gama de fórmulas que usted dependiendo del ejercicio, puede utilizar.

4.2 Introducción a ecuaciones diferenciales

Ecuación diferencial es una igualdad que contiene derivadas o diferenciales. A continuación detallamos algunas ecuaciones diferenciales simples, con la finalidad de que reconozcan el orden de la misma.




dydx

= x + 3 (primer orden)

d ydx

x2

2 3= + (segundo orden)

En el estudio de esta asignatura sólo tomaremos las ecuaciones diferenciales de primer orden o primera derivada.

Tener muy en cuenta la notación de Leibniz para la solución de este tipo de ejercicios, ya que se encuentran representados en función de esa notación.

Para una mejor comprensión resolveremos el siguiente ejercicio:

dydx

xy

=32

2

2

Sólo por explicación señalaremos que la ecuación es de primer orden.

2y² dy = 3x² dx

Antidiferenciamos en cada miembro así:

∫2y² dy = ∫ 3x² dx

Aplicando las reglas de antiderivación escritas al inicio de esta unidad tenemos:

2∫y² dy = 3 ∫ x² dx

23

33

3 3y xx

c= +

2y3 = 3x3 + C

Continúe su estudio revisando los ejercicios desarrollados en el apartado 3.9





4.3 Introducción al área

Comencemos nuestro estudio de áreas revisando su introducción en las páginas 215 y 216 de nuestro texto base.

Tenga presente que para determinar el área de una región curva R, implica los siguientes pasos:

1. Dividir el área a través de rectángulos inscritos que estén contenidos en R

o en rectángulos circunscritos que contengan a R

2. Determinar el área de cada rectángulo, en las gráficas anteriores está detallado el cálculo.




3. Sumar las áreas de los n rectángulos. (Revisar notación sigma )

i n n n

i n n n n

i

n

i

= + + + + =+

= + + + =+ +

=

=

∑ 1 2 2 12

1 2 1 2 16

1

2 2 2 2

1

... ( )

... ( )( )nn

i

n

i n n n

i n n n

∑

∑ = + + + =+

= + + + =+

=

3 3 3 3

1

2

4 4 4 4

1 2 12

1 2

... ( )

... ( 11 2 1 3 3 130

2

1

)( )( )n n ni

n + + −

=∑

4. Tomar el límite cuando n→∞.

A R A Rn n( ) lim ( )= →∞

Es requisito primordial, revisar los ejercicios desarrollados en el texto base para que pueda comprender el tema apartado 4.1; cualquier inconveniente en su comprensión comuníquese con su profesor tutor.

4.4 La integral definida

Sumas de Riemann.- Comprendido el tema anterior estamos listos para calcular áreas bajo una curva delimitada o de una función definida en un intervalo cerrado.

Revisemos el siguiente ejemplo del texto base:

f (x) = x3 – 5x2 + 2x + 8





- El intervalo cerrado comprende de 0 a 5.- En la gráfica observamos las subdivisiones dentro del intervalo.- Los puntos que se tiene de la subdivisión no son necesariamente equidistantes.- Estos puntos los remplazamos en la suma de Riemann

f x dx f x x

f x x f x x f x

a

b

P ii

n

( ) lim ( )

( ) ( ) (

|| ||∫ ∑=

= + +

→

−

=

− − −

0 1

1 2 2 3

∆

∆ ∆ )) ( ) ( )

( , )( , ) ( , )( , ) ( ,

∆ ∆ ∆x f x x f x x

f f f

3 4 4 5 5

0 5 1 1 0 1 5 2 1 1 2

+ +

= − + − +

− −

55 3 2 2 3 6 4 3 2 2 5 5 4

7 875 1 1 3 125

)( , ) ( , )( , ) ( , )( )

( , )( , ) ( , )(

− + − + −

= +

f f

00 9 2 625 1 2 2 944 0 8 18 1

23 9698

, ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( )( )

,

+ − + − +

=

Recuerde que esta guía tiene como objetivo delimitar y centrar su estudio en el texto base en ciertos temas. Referente a la integración definida le sugiero analizar minuciosamente el apartado 4.2 de su texto base.

4.5 El primer teorema fundamental de cálculo

Este teorema relaciona las dos clases más importantes de límites que son la derivada y la integral definida.

Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea x un punto variable en [a, b], entonces

ddx

t dt f xx

= =∫ ( )( ) ( )0




Ejemplo:

Plantee una fórmula y haga la gráfica de la función de acumulación A (x) que es igual al área indicada.

Planteamiento:

¿Cómo quedaría la ecuación si tengo la siguiente gráfica:?

En el apartado 4.3 se encuentra detalladamente explicado lo que es una función de acumulación y la demostración de este teorema. Además, usted encontrará información de otros teoremas que le ayudarán en el desarrollo de sus ejercicios. Si en alguna parte de su revisión no tiene claro, solicite tutoría por parte de su profesor a través de los diferentes medios de comunicación que se dispone para el acompañamiento en su estudio.





4.6 El segundo teorema fundamental de cálculo

Es estrictamente necesario el aprendizaje y utilización de este teorema, por ser una herramienta poderosa para evaluar integrales definidas.

Sea f una función continua en [a, b] y sea F cualquier antiderivada de f en [a, b].

Entonces

ab f x dx F b F a∫ = −( )( ) ( ) ( )

Ejemplo:

Determine la integral de:

( )3 2 32

1

2x x dx− +

−∫

Aplicación del segundo teorema fundamental :

( ) [ ]

( ) ( )

3 2 3 3

8 4 6 1 1 3 15

2 3 212

1

2x x dx x x x− + = − +

= − + − − − − =

−

−

∫

Para profundizar en el análisis y estudio de este teorema en conjunto con la regla de sustitución tanto para integrales indefinidas y definidas le sugiero revisar los ejercicios desarrollados y propuestos en el apartado 4.4 del texto base.

-Si usted se ha mantenido constante, la meta se avisora con gran visibilidad-Felicitaciones


SOLUCIONARIOGuía didáctica: Cálculo





1. La operación inversa de la derivada, es la antiderivada.

2. Una antiderivada es una familia de funciones.

3. ∫senxdx=cosx+c

4. La siguiente ecuación diferencial dydx

xy

=32

2

2 es de segundo orden

5. Para encontrar el área bajo una curva, se procede primero dividiéndola en rectángulos inscritos o circunscritos.


6. ¿Por qué para calcular el área de una región determinada, no se recurre únicamente a las

fórmulas deducidas por geometría?

7. Escriba la fórmula del segundo teorema fundamental de cálculo





Resolver el repaso del capítulo 4 del texto base .

Hasta aquí hemos llegado a revisar los conocimientos generales o básicos de Cálculo, estoy seguro de que si usted ha realizado ejercicios referentes a los temas tratados está plenamente preparado para rendir su prueba presencial.

Una vez más le felicito por la culminación de su carrera, deseándole el mejor de los éxitos en el desempeño posterior de su tema de tesis y aplicación en el campo laboral.

Ha sido un gran gusto, compartir ésta asignatura con usted.

Autoevaluación 4

SOLUCIONARIO Guía didáctica: Cálculo






Primer BimestreAutoevaluación 1.

A. 1. V ; 2. F; 3. V; 4. F; 5. V

B. 6. x2 – 2xh + h2 + 3x – 3h – 4

7. ( )( )x x+ −1 4 [4,∞)

8. f o g= x2 1− -1≥x≥1

9.

La gráfica es simétrica con el eje y, por lo tanto es una función par. f(-x) =f (x) function par.

10. f(–x) + g(–x) = f(x) + g(x)

Autoevaluación 2.

A. 1. V ; 2. F; 3. F; 4. F; 5. V

B. 6.2√13

7. 3

8. 1

9.−∞

10. Cuando cumple lo siguiente:

- limx c→f (x) existe

- f (c) existe (es decir c está en el dominio de f)

- f (x) = f (c)

7. Solucionario

limx c→



Segundo Bimestre

Autoevaluación 3.

A. 1. V ; 2. V; 3. F; 4. V; 5. F

B. 6. Dxy = Duy . Dxu

7. 240x 8. 2 3 4

1

3

2 2

x x x

x

( )

( )

+ −+

9. sen2x

10. et+1 (cos t + sen t)

Autoevaluación 4.

A. 1. V ; 2. V; 3. F; 4. F; 5. V

B. 6. Porque resultan insuficientes e inexactas, el único camino es a través del cálculo.

7. ab f x dx F b F a( )( ) ( ) ( )= −∫

8.

27

8 2

45

4

2

2

8 6 4 2x x x xc+ − + +

9. 481

280

10. 22

5

MACM/gnpr/2011-07-18/48ks/2013-03-18

guiacalculo utpl

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