guia matemáticas 3. segundo semestre. 2012

Pgina 1 Enrique Troyo del Valle

COLEGIO

MIRAFLORES

GUIA FINAL

MATEMTICAS III

ENRIQUE TROYO DEL VALLE


Gua para examen final. Terceros. En esta gua hay ejercicios y desarrollo de algunos temas similares a lo que se ha hecho en

clase. El orden no es perfectamente lgico y es porque no te pongo en la mano un libro de

texto para explicar el tema; ms bien me he permitido tomar en cuenta que ya hemos visto

todo en clase, por lo que te doy algunos ejercicios con ejemplos y en ocasiones encontrars el

desarrollo de alguna(s) parte(s) del tema. Es una gua pensada para que intelectualmente

puedas recorrer los contenidos del ao y pases por los puntos que seguramente te preguntar

en examen final.

TEMA. Ecuacin lineal. Funcin lineal. Sistemas de ecuaciones lineales.

HABILIDADES.

H1. Cambiar una ecuacin de su forma general a su forma ordinaria

y a su forma pendiente-ordenada al origen .

H2. Realizar la grfica de una ecuacin lineal en su forma general , en su

forma ordinaria o en su forma pendiente-ordenada al origen . Puede

hacerlo en una tabla en la que dos puntos son suficientes; o bien pueden sustituirse

EJERCICIO. Simplifique, grafique, y exprese las otras dos formas de las siguientes ecuaciones,

de acuerdo al ejemplo siguiente:

Ejemplo: construir la representacin grfica de la ecuacin, 3x 1 = x + 3

- Se resuelve la ecuacin.

- Se representa la solucin de la ecuacin mediante una funcin lineal,

igualando a cero la solucin algebraica y sustituyendo posteriormente el

cero por .

- Se construye una tabulacin asignndole valores arbitrarios a la variable

independiente (x) que se sustituyen en la funcin lineal para obtener los

valores de la variable dependiente (y), y as formar puntos de pares

ordenados que al unirlos en el plano, dan lugar a una lnea recta.

x y = x 2 y P(x,y)

1

0

1

2

3

4

5

y = 1 2

y = 0 2

y = 1 2

y = 2 2

y = 3 2

y = 4 2

y = 5 2

3

2

1

0

1

2

3

P1(1,3)

P2(0,2)

P3(1,1)

P4(2,0)

P5(3,1)

P6(4,2)

P7(5,3)


- Se grafican los puntos P(x,y) en el plano cartesiano uniendo cada uno de ellos.

La solucin o raz de la ecuacin es el valor de la abscisa (x) en la interseccin de

la recta con el eje de las abscisas del plano, es decir x = 2 ; las coordenadas del

punto solucin S(x,y) correspondiente a dicha interseccin, es S(2,0).

EJERCICIO. Simplificar, resolver y graficar:

1.

2.

3.

EJERCICIO. Resuelva los siguientes problemas:

1. Hace 5 aos la edad de una persona era el triple de la de otra, y dentro de

5 aos ser el doble. Halla las edades de cada una de las personas.

2. Calcula las dimensiones de un rectngulo cuyo permetro mide 80 m. y la

altura es de la base.

3. Un jurado est compuesto por hombres y mujeres. El nmero de mujeres

es igual al doble de hombres menos 4. Con dos mujeres menos el jurado

tendra el mismo nmero de hombres que de mujeres. Cuntos hombres

y mujeres habra en el jurado?

4. En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y

196 patas. Halla el nmero de conejos y de gallinas.

Determinar la ecuacin de una recta que pasa por dos puntos y .

EJEMPLO. Diga las tres formas de la ecuacin que pasa por y por

. Grafique.

Usando la frmula


Sustituyendo, tenemos

Simplificando

forma general

forma ordinaria

forma ordenada al origen-pendiente

Ejercicio. Grafique y halle las 3 formas de las ecuaciones de las rectas que pasan por A y B, por

A y C, por B y C ( y , respectivamente).

EJEMPLO. Grafique a la ecuacin . Sustituyendo separadamente

en la ecuacin , .

Tenemos que si

entonces ,

de donde .

Hay un punto

Del mismo modo, si ,

entonces ,

por lo que .

Hay un punto en


Por dos puntos diferentes pasa una y slo una recta. Dos puntos son suficientes

para construir una recta. Graficando y uniendo con , tenemos:

FUNCIONES LINEALES.

El mismo procedimiento para la obtencin de la regla de correspondencia o ecuacin puede

usarse para funciones lineales en las que se apliquen relaciones similares. Tambin se puede

encontrar esta regla de asociacin conociendo la pendiente y la ordenada al origen.

Un procedimiento es idntico al mostrado en el ejemplo de la seccin ecuacin que pasa por

dos puntos. Se coloca la ecuacin en la forma ordenada al origen-pendiente y se sustituye

por , quedando as:

Si quiere encontrar la regla de asociacin usando pendiente y ordenada al origen, como ya se

hizo durante el ao escolar, revise los prrafos siguientes. El ejemplo ilustrativo ser el de los

costos. Mencionamos por lo pronto que el costo es la expresin cuantitativa monetaria

representativa del consumo necesario de factores de la produccin que se emplean para

producir un bien o prestar un servicio. Los costos de produccin de un bien o de prestacin de

un servicio tienen componentes que para ser entendidos de la manera ms sencilla se les

atribuir un comportamiento lineal. Las funciones lineales son importantsimas en el anlisis

de fenmenos econmicos. Hay costos fijos y costos variables. Los costos fijos no dependen

de cunto se produzca: la renta, el pago de servicios y/o impuestos, la depreciacin, etc.). Los

costos variables se asocian a la produccin (insumos y mano de obra). El costo total es la

suma de los costos fijos y variables.

=

Si a los costos fijos los llamamos pesos y suponemos que el costo por produccin de unidad

es de pesos, entonces los costos totales dependen (estn en relacin funcional) de la

cantidad de unidades producidas. El costo por producir unidades es de pesos. Entonces la

funcin C del costo total se define as:


EJEMPLO: El costo variable de fabricar juntas para motor es de $2 por unidad y

los costos fijos por da son de $30. Escriba la frmula de costo total y construya su

grfica. Cunto cuesta fabricar 25 juntas para motor por da?

Solucin El costo total de fabricar x juntas para motor en un da es

El costo total de fabricar 25 juntas para motor por da es de $ 80.

Los ejemplos que se trabajaron en clase trataban sobre tarifas de telefona fija tales

que cobraban renta y una cantidad por cada minuto de uso de la lnea. Se ocupaba

ms de una compaa con la finalidad de comparar costos y encontrar en cuanto

tiempo stos eran iguales. Se encontraba esto resolviendo un sistema de

ecuaciones, utilizando cualquiera de los mtodos (igualacin, sustitucin, pero

sobre todo eliminacin por suma y resta, determinantes).

EJERCICIOS.

1. Encuentre la funcin del costo de las compaas A y B dado que los costos fijos

de renta ascienden a $290 y $185, respectivamente; el costo por minuto de

llamada es de $0.75 y de $1.10, respectivamente. Grafquelas en el mismo plano

utilizando geogebra1 o wolfram alpha2 introduciendo la ecuacin en la lnea

correspondiente. Posteriormente encuentre por el mtodo de igualacin el tiempo

en minutos en el cual los costos son los mismos en las dos compaas; diga el

costo. Relacione el tiempo y el dinero con coordenadas especficas de la grfica.

1 http://www.geogebra.org/cms/en/download

2 http://www.wolframalpha.com/


2. Los costos diarios de produccin de una fbrica de componentes electrnicos,

para x nmero de unidades, son de

Cada componente se vende en $2.35. Encuentre el punto de equilibrio3 y la facturacin diaria

correspondiente. Grafique en wlfram alpha o en geogebra.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Como pueden ver, ya estamos tocando el tema de Sistemas de Ecuaciones lineales. No

tocaremos la teora ni el desarrollo de cada mtodo. Slo los mencionaremos: igualacin,

sustitucin, eliminacin por suma y resta, determinantes y grfico (aproximado, abordado en

el apartado anterior). La nica idea central a desarrollar es que a cada una de las ecuaciones

y le corresponde una grfica, una recta si es lineal. Toda grfica est compuesta de puntos

P cuyas coordenadas al ser sustituidas en la ecuacin la hacen verdadera. Si las rectas

se cruzan por no ser paralelas, entonces existe un punto tal que pertenece a las dos

rectas; satisface entonces a ambas ecuaciones. Los valores de las coordenadas son la solucin

del sistema.

La grfica de una ecuacin se hace en un plano o espacio con tantas dimensiones como

incgnitas tiene la ecuacin. No podemos graficar espacios con ms de 3 dimensiones.

Algo muy importante es que una ecuacin no se altera en su grfica o en sus soluciones si se le

multiplica a sus dos miembros por el mismo nmero. Se obtiene un mltiplo de la ecuacin.

Como les he dicho coloquialmente en clase: es la misma, pero disfrazada.

Revisando las grficas, tenemos:

3 El punto de equilibrio, en trminos de contabilidad de costos, es aquel punto de actividad (volumen de

ventas) donde los ingresos totales son iguales a los costos totales, es decir, el punto de actividad donde no existe utilidad ni prdida. (http://www.crecenegocios.com/el-punto-de-equilibrio/, consultado el 5 de mayo de 2011)


Ejercicio. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones/funciones lineales. Uno por cada

mtodo. Grafique nicamente los de dos variables (2 a mano, 3 a computadora).

EJERCICIO.

Encuentre las ecuaciones y la interseccin de sus grficas, las rectas , que pasa por

y , y la recta , con y . Grafique por computadora y

coloque el punto sobre la grfica en la posicin de la solucin.

Los problemas regularmente se presentan de manera verbal y describen relaciones que

pueden ser escritas en formato matemtico como ecuaciones. A cada ecuacin le corresponde

una grfica, y el punto donde se cortan estas tiene coordenadas que son la solucin del

sistema.

PROBLEMAS.

Procedimiento: Definir variables, plantear ecuaciones, resolver por un mtodo diferente cada

vez. Grafique cuatro que Ud. escoja, nombre los ejes adecuadamente con la variable utilizada:

1. Un mecnico gana $45 por cada cambio de aceite y $100 por cada

cambio de balata. Si necesita $705 diarios y tiene que hacer el triple de cambios

de aceite que de balatas, entonces cuntos servicios de cada tipo debe hacer?

2. Juan Topo abri una tienda y le invirti $5000.00 para poder abrir.

Adems compr metros cuadrados de alfombra a un costo de $8.00/m. El vende

al pblico cada metro a $18.00 cada metro cuadrado. Cuntos metros cuadrados

de alfombra debe vender para recuperar el monto de su inversin inicial y su

compra de material?

3. Si eres el director de RRHH y debes hacer los horarios de los

trabajadores, se deben cumplir ciertas condiciones. Tres trabajadores deben

acumular 110 horas de trabajo semanales. El trabajador A debe trabajar 5 horas

ms que el trabajador B y ste a su vez debe trabajar 15 horas ms que el

trabajador C. Cuntas horas debe trabajar cada uno?


4. Los costos de renta de auto por un da de dos proveedores se describen

por las ecuaciones en las que c es el costo en dlares y n es el nmero de

kilmetros recorridos

A:

B:

Describe cada plan verbalmente. Cuntos kilmetros se recorren en ambos

planes para que se pague lo mismo por cualquiera? Cunto se pagara en dicho

caso ? Cul plan escogeras si necesitas manejar unos 90 km?

5. Un cargamento de 20 televisiones pesa 880kg. Algunas pesan 5okg y

otras 30kg Cuntas hay de cada tipo?

6. Tu examen tiene 100 aciertos en 29 preguntas. Las de opcin mltiple

valen 2 aciertos, y los problemas 5aciertos. Cuntas preguntas de cada tipo hay?

7. Se te presentan dos ofertas de trabajo en ventas en EU. La opcin A te

ofrece un salario anual de 30,000USD y un bono del 1%de tus ventas. La otra

opcin te da sueldo fijo de 24,000 anuales y un bono del 2%de tus ventas del ao.

Cunto tienes que vender para ganar lo mismo con cualquier trabajo? Por otra

parte, si t crees que puedes vender de 500,000 a 800,000 de mercanca en un

ao, cul trabajo te conviene?

8. En la pista de atletismo corres y trotas durante hora y media. El trote es

a 4 mi/h y el sprint a 6 mi/h. Al final sabes que recorriste 7 millas. Cunto tiempo

corriste y cunto tiempo trotaste?

9. Se invierten $250,000.00 en tres fondos de inversin cuyas tasas de

inters anuales son, respectivamente 5%, 7% y 9% En el primer instrumento se

pone el doble de dinero que en el segundo. Los rendimientos despus de un ao

son de $17,700.00 Diga cunto se deposit en cada fondo.


CRECIMIENTO EXPONENCIAL Es aquel que se describe con una ecuacin o funcin en la cual la variable acta como

exponente. Sirve para describir cosas tan comunes e importantes como los intereses bancario

(compuesto), el crecimiento de las poblaciones de cualquier especie, el crecimiento econmico

de un pas, etc.

EJEMPLO

En una cuenta hay un capital de $25,000.- Se invierte a un rdito anual del 7%. Slo se

consideran capitalizaciones anuales para simplificar y eliminar la variable n4 convirtindola en

1. Calcular y graficar el monto alcanzado cuando el tiempo t es igual a

Datos:

Frmula:

tiempo Monto 0 25000 1 26750 3 30626.08 5 35063.79 -2 49178.78 15 68975.79 20 96742.11

4 La frmula del inters compuesto es . Simplificando con , queda as:


PROBLEMAS.

1. Una cuenta tiene recursos por $50,000. Cada mes tiene rendimientos del 0.6% por concepto

de intereses. Diga el monto despus de 1, 5, 10, 15, 20 aos. Extra: diga la tasa de inters

anual. Grafique.

2. Un coche se compra en la agencia por $275,000.- Cada ao pierde el 20% de su valor5. Diga

su costo cada 2 aos, hasta 10 de antigedad. Grafique.

3. Compare el Producto Interno Bruto (en adelante PIB) de EEUU y China con los siguientes

datos:

Si cada ao crecen al 2.5% y 9%, calcule sus PIB dentro de 1, 5, 10, 15, 20 aos. Grafique.

4. Las bacterias se reproducen muy rpido, siempre que tengan alimento suficiente. En un

instante determinado sembramos 50 bacterias en un cultivo. Estas bacterias se reproducen,

duplicandose cada 25 minutos. Haga una tabla donde hayan 10 valores bien distribuidos y que

el mayor dato se aproxime a 10 millones de bacterias. Grafique.

5 En problemas de devaluacin la tasa se resta del 1 que es el 100%


ECUACION DE SEGUNDO GRADO.

El grado de una ecuacin depende del mayor exponente al que est elevada la variable. Se

asocia a cada grado de la variable un trmino constante que se multiplica. Se les nombra

tpicamente Cuando se ordenan por grado y se igualan a cero tenemos la forma general

de la ecuacin de segundo grado:

La solucin de la ecuacin son los valores que se le pueden dar a la variable para que al ser

sustituidos por sta, hagan verdadera a la ecuacin. Por ejemplo, s es solucin de

, pero no lo es. Veamos:

Hay varios mtodos para resolver la ecuacin de segundo grado: frmula general aplica

siempre, factorizacin slo da soluciones que sean enteros o fracciones, completar cuadrados

aplica siempre. Revsalos en tu cuaderno y estdialos por favor.

Por teorema fundamental del lgebra se sabe que la ecuacin de segundo grado puede tener

hasta dos soluciones reales diferentes, dos soluciones reales iguales (tambin se podra decir

que es una solucin), o bien dos soluciones complejas diferentes. Revisa las ideas relativas al

discriminante. Relacinalas con la forma de la grfica cuando se iguala la forma general con ,

quedando del siguiente modo . Entonces se puede saber si la grfica corta

(2 puntos), toca (1 punto) o no (0 puntos) al eje x. No olvides que al hacer la grfica de una

ecuacin de segundo grado la direccin en la que abre la grfica llamada parbola depende del

signo del coeficiente cuadrtico. Si es positivo, abre hacia arriba; si es negativo, hacia abajo.

Como ejercicio de aplicacin te puede servir el siguiente


EJERCICIO. Relacione las

siguientes grficas con las

ecuaciones tomando en cuenta

el valor del discriminante y el

signo del coeficiente

cuadrtico.

Ecuaciones:

Resuelve las siguientes ecuaciones. Una por cada mtodo. Anota la comprobacin

sustituyendo 1 de los valores. Grafica al sustituir en lugar de 0 en la forma general de la

ecuacin.

EJEMPLO.

Resolver, comprobar y graficar:

, completando cuadrados

Aplicando raz a ambos miembros de la

ecuacin

Comprobacin. Sustituir 7 en la ecuacin original.


Graficando:

Como se ve, los valores de la coordenada de x de los puntos en los que corta la grfica corta al

eje x, son los valores de las soluciones halladas.

Resolver, comprobar y graficar. Puede hacer la grfica manualmente o bien usar geogebra (hay

que igualar con y) o wolfram|alpha (se puede introducir sin igualar con y). Usar un mtodo

diferente para cada ecuacin.

a)

b)

c)

d)

d)

e)

Para algunos casos en que se quiere obtener coeficientes enteros para ecuaciones

cuadrticas con coeficientes fraccionarios o decimales se usa el principio que afirma que si

una ecuacin es mltiplo de otra, entonces sus soluciones son las mismas. El otro efecto

que produce la multiplicacin de una ecuacin en su forma general puede ser la

expansin, compresin o reflexin del resto de su grfica en el sentido vertical, pero

conservando los puntos donde corta al eje x.

EJEMPLO: Resuelva para eliminar los denominadores 5 y 3, se le

aplica a toda la ecuacin la operacin contraria, que es multiplicarla por el mcm de los

denominadores, como se muestra:

La ecuacin ya tiene coeficientes enteros que son mucho ms sencillos de factorizar o para

sustituir en ecuacin general. Se redujo a una forma que ya se sabe como manejar.


Se aplicara la misma tcnica si los coeficientes son decimales

Y como todos los coeficientes son mltiplos de 5, entonces se puede simplificar antes de

aplicar cualquier otro mtodo:

PROBLEMAS. Grafique siempre que sea posible.

1. La base de un rectngulo es mayor que su altura por 4 unidades. Halle sus dimensiones

si su rea es de 96 unidades cuadradas.

2. Si la medida del lado de un cuadrado es disminuida en 2 y el otro es aumentado en 2,

entonces el rea del rectngulo es de 32 unidades cuadradas. Halle el lado del

cuadrado original.

3. El jardn de Joe mide 4 por 6 metros. Quiere duplicar su rea aumentando la misma

medida al largo y al ancho. Cunto debe ser esta medida?

4. Despus de t segundos, una pelota lanzada al aire desde el piso alcanza una altura h

dada por la ecuacin .

a. Cul es la altura de la bola 3 segundos despus del lanzamiento?

b. Diga el nmero de segundos que la bola lleva en el aire cuando alcanza la

altura de 224m.

c. Despus de cunto tiempo la bola caer de Nuevo al piso (h=0)?

5. Se lanza una roca desde lo alto de un edificio. La distancia en pies entre la roca y el

piso despus de t segundos del lanzamiento est dada por la ecuacin descrita abajo.

Despus de cunto tiempo la roca se encontrar a 370 pies del piso?


TRIGONOMETRA.

Las razones trigonomtricas relacionan los lados de un tringulo rectngulo. Los lados

perpendiculares son llamados catetos (Del lat. cathtus, y este del gr. ,

perpendicular)6; el lado opuesto al ngulo recto, siempre el mayor en longitud, es llamado

hipotenusa. El truco mnemotcnico para recordar la definicin de las 3 razones

trigonomtricas iniciales es SohCahToa:

S SENO

O OPUESTO

H HIPOTENUSA

C COSENO A ADYACENTE

H HIPOTENUSA

T TANGENTE O OPUESTO

A ADYACENTE

Tenga en cuenta que y cambian su lugar cuando el ngulo de referencia tiene su

vrtice en o en . La hipotenusa no vara por la referencia del ngulo.

6 http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=cateto,

consultado el 12 de mayo de 2011.


No olvidar tampoco que al acomodar las 6 razones trigonomtricas del tringulo

rectngulo como se muestra, las razones del mismo rengln son recprocas.

EJERCICIO:

Diga las 6 razones trigonomtricas para los tringulos siguientes, para cada ngulo agudo.

Si slo se dan 2 medidas de longitud, calcule Ud. la tercera por Pitgoras. Si la raz no es

entera, djela indicada. Aunque se debera, no les ense a racionalizar denominador, as

que no se molesten en hacerlo. Pueden dejar raz indicada en el denominador. Si slo se

da una longitud y ngulo entonces despeje de la correspondiente funcin trigonomtrica.

Los valores de las funciones con 4 decimales de precisin; los de longitudes y ngulos con

2 decimales. Calcule los ngulos con funcin inversa como se ha visto en clase.

EJEMPLO

Resuelva el siguiente tringulo:

El lado conocido es la hipotenusa, que

aparece en seno y coseno. Se plantean estas

razones con respecto a B que es al ngulo de

medida conocida, para luego despejar

realizando las operaciones indicadas, como

se muestra enseguida:

El ngulo A por suma y resta

El tringulo est resuelto porque se conoce la medida de cada ngulo y lado.


EJEMPLO. En el siguiente slo se mostrar cmo conocer ngulo desconocido en presencia

de dos lados conocidos

Se conocen los catetos, y estos se

relacionan en tangente.

Resuelve los siguientes tringulos.


PROBLEMAS. Haga los correspondientes diagramas.

Un dirigible que est volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ngulo de

depresin de 12. A qu distancia del pueblo se halla?

Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una

cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de

70 (Hint: tringulos issceles).

Calcula la altura de un rbol, sabiendo que desde un punto

del terreno se observa su copa bajo un ngulo de 30 y si

nos acercamos 10 m, bajo un ngulo de 60.

La longitud del lado de un octgono regular es 12 m.

Hallar los radios de la circunferencia inscrita y

circunscrita .

De un tringulo rectngulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7. Resolver el tringulo

De un tringulo rectngulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el tringulo.

Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octgono regular inscrito en una circunferencia de 49 centmetros de radio.

Calcule x e y en el siguiente tringulo


El mstil de un velero se halla unido a la proa y a la popa por dos cables que forman con la cubierta ngulos de 45 y 60, respectivamente. Si el barco tiene una longitud de 100 m, cul es la altura del mstil?


RESOLUCIN DE TRINGULOS OBLICUNGULOS.

Representemos al tringulo :

Para resolver estos tringulos

se usan la ley de senos

y la ley de cosenos

que es una generalizacin del teorema

de Pitgoras.

La ley de cosenos se puede escribir de

tres maneras, dependiendo del ngulo buscado, y (obviamente) es vlida en todos los

casos. Lo nico que debe hacerse es un intercambio de letras. Observe:

LEY DE SENOS Se aplica cuando se conoce un lado, su

ngulo opuesto y cualquier otra

medida, sea lado o ngulo. Por

ejemplo:

En este tringulo se conocen lado y

ngulo opuestos B y b, adems del

ngulo A. Sustituyendo en los datos

conocidos:

tenemos


En todo tringulo se cumple que de donde

Sustituyendo nuevamente en ley de senos, para las medidas C, tenemos:

El tringulo est resuelto.

EJERCICIOS. Resuelva los siguientes tringulos:


LEY DE COSENOS Existen 2 casos:

CASO 1. Cuando se conocen dos lados y el ngulo comprendido entre estos.

Se toma la frmula

Sustituyendo: de donde

Con este dato se puede usar ley de senos y se obtienen lados y ngulos faltantes

Por sumas y restas se obtiene El tringulo est resuelto.

CASO 2. Cuando se conocen las longitudes de los tres lados y se quiere conocer el valor de

los ngulos.

En este caso de la frmula se despeja la funcin relativa al ngulo, as:

posteriormente se sustituye y se opera, obteniendo que

.

Teniendo la medida de C, por ley de senos o de cosenos se obtienen las faltantes, que son:

, El tringulo est resuelto.


EJERCICIO. Resuelva los siguientes tringulos.


VECTORES Y SUMA DE VECTORES Definicin: Un vector es una magnitud fsica que tiene mdulo y direccin.

Se representa como un segmento orientado, con una direccin, dibujado de forma similar a una "flecha". Para escribirlo en su forma polar se debe anotar su longitud tambin llamada modulo del vector, la "punta de flecha" que indica su direccin, y tambin el ngulo que determina su direccin. Estos elementos se escriben en un parntesis donde los valores se separan con punto y coma.

Llamemos al valor del mdulo, y al ngulo que define su direccin. El vector se puede representar grficamente como muestra la figura.

Note adems que la punta del vector llega, de acuerdo con la siguiente figura, hasta el hasta un punto en el plano cartesiano .

Para obtener las componentes y , y dado que las

componentes con el vector forman un tringulo rectngulo, se usan las siguientes frmulas, obtenidas por trigonometra:

Observe que e estn en orden alfabtico; igual que y . Los ngulos de pueden incrementarse respectivamente en dependiendo de la direccin del

vector. Esto se determina de acuerdo con el valor que arroje la calculadora al introducir el valor; si es negativo, se agregan los dichos . Revisemos las componentes del vector

Con las componentes del vector, podemos escribir el vector en su forma cartesiana, es decir, anotando cules son las coordenadas del plano cartesiano que alcanza cuando su punto de aplicacin es en el origen. Aqu no se anota ni el mdulo ni el ngulo, sino el resultado de la longitud o mdulo de las componentes. En general se anota:

En particular se ejemplifica:

La primera notacin es de la forma polar, donde se anotan dentro del parntesis, separados por punto y coma el mdulo o longitud y el ngulo o direccin; la segunda es la forma cartesiana, donde se anotan dentro del parntesis, separados por coma, los valores de las componentes de x e y.


SUMA DE VECTORES.

El PROCEDIMIENTO para la suma de dos vectores , tales que , y , es el siguiente. Observe conforme se desarrolla la imagen.

1. Se hace la grfica y se traslada cualquiera de los vectores para que manteniendo su direccin se aplique desde la punta del otro vector. es el vector trasladado al final de

es la suma de .

2. Transformar cada ngulo a la notacin cartesiana.

3. Sumar las coordenadas cartesianas de cada eje separadamente.

4. Transformar de la notacin cartesiana a la notacin polar el resultado de la suma. De acuerdo con el siguiente procedimiento:

La explicacin. Si x e y son perpendiculares, el mdulo del vector es la hipotenusa, por eso se calcula como tal:

Por la misma perpendicularidad x e y son considerados como catetos adyacente y opuesto, respectivamente. Entonces para saber el ngulo que forman se les relaciona en tangente y se aplica funcin inversa:

EJEMPLO.

Halle es vector suma de , y

1. Graficar. Se muestra imagen a la derecha.

2. Pasar cada vector a notacin cartesiana:

3. Sumar coordenadas en forma cartesiana:


4. Pasar a coordenadas polares

Como ven el resultado de la operacin tangente inversa es un ngulo negativo. Eso requiere interpretacin o al menos arreglo. Smele 180 o alguno de sus mltiplos al ngulo; todo depende de su diagrama. Tendremos en este caso Un ngulo que corresponde perfectamente con lo que la imagen muestra.

EJERCICIOS.

Dados los siguientes vectores, realice las sumas indicadas. Dibuje cada grfica con el vector suma en sus dos formas:


PROBLEMAS.

Los problemas con distancias inaccesibles pueden resolverse por sistemas de ecuaciones

trigonomtricas o por leyes de senos y cosenos. Resolver los siguientes por los dos mtodos:

1. Se miden los ngulos de elevacin de la pirmide roja de Egipto desde dos puntos de

observacin que distan 136m. En la imagen se muestran los ngulos obtenidos. Calcule la

medida de su altura y su base.

2. Resolver el siguiente tringulo.

guia matemáticas 3. segundo semestre. 2012

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