UNIVERSIDAD DEL VALLE DE MÉXICO

GUIA DE ESTUDIOS DE LA ASIGNATURA

MATEMATICAS IV

PREPARATORIA UNAM 100201405

1

Estimado estudiante:Estos son los tipos de reactivo que componen tus exámenes. Para responderlos es importante que leas cuidadosamente toda la pregunta, así como las opciones de respuesta antes de contestar1. Formato Simple¿Quién descubrió América?A) Hernán CortesB) Américo VespucioC) Cristóbal ColónD) Martín Alonso PinzónTODAS las siguientes ciudades son capitales EXCEPTO:A) ParisB) MadridC) LisboaD) Italia2.- Jerarquización u ordenamientoIndica la secuencia en la que se ordenan cronológicamente los siguientes presidentes de la República Mexicana.1. Vicente Fox Quesada2. Miguel de la Madrid Hurtado3. Carlos Salinas de Gortari4. Ernesto Zedillo Ponce de LeónA) 2, 3, 1, 4B) 1, 2, 4, 3C) 2, 3, 4, 1D) 4, 1, 3, 23. Selección de elementos de un listadoDe los siguientes animales mencionados en la lista, elige los cinco que pertenecen a la clase de los mamíferos.1. Cocodrilo2. Ratón3. Oso4. Ardilla5. Rana6. Puma7. Perro

A) 1, 3, 4, 5, 7B) 2, 3, 4, 6, 7C) 1, 2, 3, 6, 7D) 2, 3, 4, 5, 64. Formato de relación de columnasEJEMPLO:Relacione los conceptos con sus definiciones y ejemplos

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Concepto1. Cambio físico2.Cambio químico

Definicióna) Son aquellos que alteran la estructura interna de la materia. b) Son aquellos que no alteran la estructura interna de la materia

Ejemploc) Combustiónd) Evaporación

OPCIONES: A) 1 a, c; 2 b, d B) 1 b, d; 2 a, c C) 1 b, c; 2 a, d D) 1 c, d; 2 a, b

5.- MultirreactivosI.- Analiza la siguiente gráfica y responde las dos preguntas siguientes:

PROMEDIO DEL PRIMER PARCIAL

0123456789

10

MATEMATICAS ESPAÑOL C. NATURALES C. SOCIALES

PROMEDIO

1. La denominación de la gráfica anterior es:A) ColumnasB) LinealC) HistogramaD) Pastel

2. ¿Cuál es la asignatura que obtuvo mayor promedio en el primer parcial?A) MatemáticasB) EspañolC) C. NaturalesD) C. Sociales

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INTRODUCCIÓN:

Esta guía ha sido elaborada con el propósito de que sirva como apoyo a los estudiantes que cursan el IV grado de preparatoria, ya que es un auxiliar útil y didáctico para el entendimiento de los contenidos teóricos de la materia de:

MATEMATICAS IV.

Aquí encontrarás ejercicios que te servirán de herramientas para el estudio previo de los exámenes que se aplicarán durante el curso.

La presente guía esta apegada al programa oficial de la Universidad Nacional Autónoma de México, por lo que su contenido pretende cumplir los siguientes objetivos.

OBJETIVOS GENERALES:

Por medio de los contenidos propuestos, el alumno conocerá, comprenderá y aplicará la simbología de los conjuntos, las diferentes bases numéricas, las propiedades de los números reales y las operaciones fundamentales con expresiones algebraicas; el planteamiento, la resolución e interpretación de problemas de ésta y otras disciplinas, principalmente de la Física, la Química y la Economía que se resuelven en términos de una ecuación, una desigualdad o un sistema de ecuaciones o un sistema de desigualdades.

OBJETIVOS GENERALES DEL CURSO

4

UNIDADES DEL PROGRAMA DE ESTUDIOS PESO PORCENTUAL

I CONJUNTOS 14%

II. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 11%

III. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES 21%

IV. OPERACIONES CON MONOMIOS Y

POLINOMIOS EN UNA VARIABLE

11%

V. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN 11%

VI. OPERACIONES CON FRACCIONES

ALGEBRAICAS Y RADICALES

7%

VII. ECUACIONES Y DESIGUALDADES 14%

VIII. SISTEMA DE ECUACIONES Y

DESIGUALDADES

11%

TOTAL 100%

5

UNIDAD I

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

Conocer la noción de conjuntos. Comprender las operaciones entre conjuntos, para que el alumno sea capaz de

resolver problemas de su entorno.

TEMARIO:

Idea intuitiva de un conjunto.

Se abordarán ejemplos para llegar al concepto de conjunto y su notación.Se definirá por extensión y por comprensión, estableciéndose la pertenencia y no pertenencia.

II. Cardinalidad.

Se establecerá la cardinalidad de un conjunto como el número de elementos que lo componen.

III. Conjuntos.

Universal. Iguales.Vacío. Equivalentes.Finito. Ajenos.Infinito.

Subconjuntos

Se definirá: el conjunto universal, el conjunto vacío, cuándo dos conjuntos son iguales, equivalentes y ajenos. Cuándo un conjunto es subconjunto de otro.

IV. Operaciones. Diagrama de Venn - Euler.

Se establecerán las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento entre conjuntos y se considerarán diagramas de Venn - Euler para representarlas.

V. Producto cartesiano de dos conjuntos. Plano cartesiano. Gráfica.

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Se definirá el producto cartesiano de dos conjuntos particularmente  X  que determina el plano cartesiano. Se establecerán nombres, sentido y origen en los dos ejes perpendiculares.Se definirán las coordenadas de un punto y se establecerá una correspondencia biunívoca entre parejas ordenadas de números reales y puntos del plano así definido.Se establecerá cuál es la gráfica de un producto cartesiano.

ACTIVIDADES:

Idea intuitiva de un conjunto.

1. Define conjunto _________

2 La notación de un conjunto es:

3 Utilizando la notación de conjunto escribe 5 ejemplos

Ejemplos

a)b)c)d)e)

4.- Definirá conjunto por extensión, por comprensión y su notación.

7

Conjunto definido por

Definición Notación

Por

extensión

Por comprensión

5.- Identifica utilizando la definición y notación de conjuntos, por extensión y por comprensión, y escribe en la columna según corresponda:

A = {x / x es un mes del año} E ={4,8,12,16,20,24,28,32,36,40}

B = {x / x es país de Norteamérica} F = {x / x es día de la semana}

C = {Juan, Pedro, Manuel, Raúl} G = {Bogota}

D = {x/x es un numero par, mayor a 4 y menor a 20}

H = {enero, febrero}

Conjuntos

Por extensión Por comprensión

6.- Completa el siguiente cuadro de conjuntos anotando la pertenencia, no pertenencia y su notación.

8

Definición Notación

Pertenencia

No pertenencia

7. Considerando los conjuntos G y J, escribe el símbolo y según corresponda en cada caso.

G = {Suecia, Francia, Camerún, Argentina, Nigeria, Egipto}J = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

a) Suecia G d) Argentina

J

b) 12 J e) 14 Gc) Franci

aJ f) 10 G

8. Considerando los conjuntos D y E, escribe el símbolo y según corresponda en cada caso.

D = {0, 1, 2, 4, 7, 9,11,} E = {estudiante, profesor, biblioteca, aula, pizarrón}

a) Biblioteca D d) Aula Eb) 4 E e) Profesor Dc) 11 D f) 2 E

Cardinalidad9. Define cardinalidad: ___________________

9

10. Establece la cardinalidad de cada conjunto.

Conjunto Cardinalidad

a) A = {x / x es mes del año}

b) B = {x / x es número par, menor o igual a 18 y mayor a cinco}

c) C = {x / x es país de Norteamérica}

d) D = {x / x es día de la semana}

e) E = {10, 20, 30, 40}

f) F = {x / x es vocal}

g) G = {4, 5, 6}

h) H = {x / x es capital de Brasil}

i) I = { x / x es moneda de Inglaterra}

10

11. Completa la siguiente tabla de tipos de conjuntos:

CONJUNTOS DEFINICIÓN SÍMBOLO EJEMPLOS

a) Universal

b) Vacío

c) Finito

d) Infinito

e) Iguales

f) Equivalentes

g) Ajenos

12. Dados los tipos de conjuntos:

11

R = {2, 4, 6, 8, 10}

S = {x / x es número par mayor o igual a 2 y menor a 11}

T = {1, 3, 5, 9}

W = { }, Y = {x/ x es un número impar positivo}

Determina:

¿Qué tipos de conjunto son R y T?

¿Cuáles son equivalentes?

¿Cuál es vacío?

¿Cuál es infinito?

13.- Completa la siguiente tabla de subconjunto, no es subconjunto y su símbolo.

CONCEPTO DEFINICIÓN SIMBOLO

SUBCONJUNTO

NO ES SUBCONJUNTO

14. Dados los siguientes conjuntos escribe el símbolo ó según corresponda

12

L = {x / x es vocal}, M = {x / x es letra del alfabeto}, Q = {f, g, h, j, k}

a) Q L d) M Qb) L Q e) Q Mc) M L f) L M

15. Completa la siguiente tabla de operaciones de conjuntos.

NOMBRE DE LA OPERACIÓN DEFINICIÓN SÍMBOLO

a) Unión

b)Intersección

c)Diferencia

d) Complemento

16. Define diagrama de Venn-Euler: _ __

17. Representa (iluminar) en el diagrama de Venn-Euler las operaciones.

a) Unión b) Intersección:

13

U U

c) Diferencia d) Complemento

18. Dados los siguientes conjuntos.

A = {0, 5, 7, e, f, w } B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, a, m}

14

A B B D

E BB

UU

D = {1, 2, 3, 4, 6, f, m, w} E = { 0, 1, 2, 5, 7, c, d, e, f, w, g }

F = { } U = {}

Resuelve las siguientes operaciones de conjuntos:

a) b)

c) AC = d)

e) f)

g) h)

19. Dados los siguientes conjuntos.

A = {x / x es número impar menor a ocho}

B = {x / x es número par menor o igual a cinco y mayor a dos}

C = {x / x es número primo mayor o igual a uno y menor o igual a seis }

D = {0, 4, 5, 6, 7}

E = {1, 3, 6, 10}

15

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Resuelve las siguientes operaciones de conjuntos:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

20. Efectúa y Representa, en un diagrama de Venn-Euler, las siguientes operaciones:U= {a, b, c, d, e, f, j, k, m, t}, A = {a, b, k, m, t}, B = {c, k, t}, C= {a, f, m} D= {c, d, j, k, t}, E = {t, k, c, m, j}

a) Unión

b) Intersección:

16

A B B D

U

UU

c) Diferencia d) Complemento

21. Define producto cartesiano de dos conjuntos:

22. Dibuja el plano cartesiano y establece los nombres de sus partes: Ejes, sentido, cuadrantes y origen.

23. Define las coordenadas de un punto (par ordenado) en el plano cartesiano:

24. Relaciona las columnas para lo cual será necesario identificar las características de los pares ordenados según su ubicación en los cuadrantes del plano cartesiano,

17

E BB

U

que permite establecer la correspondencia biunívoca entre parejas ordenadas de números reales y puntos en el plano.

( ) Señala el cuadrante en el que se ubica un par ordenado con abscisa positiva y ordenada negativa

M.

F.

Segundo cuadrante

Tercer cuadrante

( ) Identifica el cuadrante en el que se ubica un par ordenado con abscisa negativa y ordenada negativa

H. Primero cuadrante

( ) Señala el cuadrante en el que se ubica un par ordenado con abscisa positiva y ordenada positiva

L. Cuarto cuadrante

( ) Identifica el cuadrante en el que se ubica un par ordenado con abscisa negativa y ordenada positiva

K. Origen

25. Ubica los pares ordenados (X, Y) en el plano cartesiano

a) A(-2, 3) d) D(0, -2) g) G(-1, 6) j) J(3, 8) m) M(-7/2, 3/2)b) B(1, -5) e) E(-1, -4) h) H(8, 0) k) K(-7, 0) n) N(3, 4)c) C(-3, 5) f) F(-8, 1) i) I(0, 6) l) L(1/2, -4) o) Z(-2, -5)

18

Y

26. Obtén la gráfica del producto cartesiano entre los conjuntos que se indican en cada caso.

a) A X B, si B = { 1, 3, 5} y A = {-2, -1, 1, 2}

19

X

B

b) Q X T, si ,

20

A

Q

T

21

REACTIVOS TIPO EXAMEN:1. A la agrupación de elementos que comparten la misma característica, se le llama: a. Subconjunto b. Equivalentes c. Conjunto d. Cardinalidad

2. TODAS las siguientes son operaciones entre conjuntos EXCEPTO: a) Unión b) Intersección c) Diferencia d) Subconjunto

3. Del siguiente listado, elige las cuatro que pertenezcan a los tipos de conjuntos. 1. Unión2. Universal3. Diferencia4. Vació5. Iguales6. Ajenos

a. 1, 3, 4,5 b. 2, 4, 5,6 c. 1, 2, 3,4 d. 2, 3, 5,6

4. Relaciona los tipos de conjuntos con su definición y ejemplos.TIPOS DE

CONJUNTOSDEFINICION

1. Conjunto finito 2. Conjunto vació

a. Es el conjunto que carece de elementosb. Es el conjunto que tiene un número limitado de elementos

EJEMPLOS c. Ø d. {1, 2, 3, 4, 5}

A. 1ac, 2bd B. 1bd, 2ac C. 1ad, 2bc D. 1bc, 2ad

Dados los siguientes conjuntos U = { }

22

A= {0, 1, 6, 8, 10}, B = {1, 3, 5, 7}, C= {2, 4, 7, 8} , D= {1,4,6,8,10} 5- Calcular C U D y traza el diagrama de ven Euler

23

BIBLIOGRAFIA:1.- Martínez, Jorge. Conjuntos. Editorial Trillas, México, 1992.2.- Eduardo Carpinteyro Vigil, Sánchez Rubén, Algebra, Ed. Publicaciones Culturales, México 2002

UNIDAD II

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

Comprender cómo surgieron los sistemas de numeración en diferentes culturas de la antigüedad hasta llegar al sistema decimal adoptado universalmente.

Operar con sistemas de numeración de diferentes bases para que el estudiante comprenda los algoritmos de las operaciones en el sistema decimal.

TEMARIO: I. Breve reseña histórica

Se abordará una breve reseña histórica de la evolución de las Matemáticas; desde sus comienzos hasta su indiscutible influencia en el desarrollo tecnológico de nuestros días.

II. Sistemas de numeración

Se señalarán las condiciones con las que se establecieron los distintos sistemas de numeración, abordando los principios de posición y aditivo.

III. Sistema decimalSe revisará detalladamente el sistema decimal enfatizando que es un sistema posicional y aditivo.

IV. Sistemas de diferentes bases

Se considerarán diferentes bases para expresar un número, por ejemplo 7 y 13.

V. Sistema de base 2

Se enfatizará en el sistema de base 2 y su importancia en la computación.

VI. Operaciones en distintas basesSe hará hincapié en el razonamiento de los algoritmos y se abordarán las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división en distintas bases.

ACTIVIDADES:

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Breve reseña histórica

1. Realizara una investigación de la evolución de los sistemas de numeración; desde sus comienzos hasta nuestros días de: egipcia, romana, maya y Babilónica, su notación, simbología, sus bases de numeración, tipo de posición, sus operaciones etc.

2. Utilizando la investigación anterior, escribe lo que corresponda en cada caso.

Cultura Base Existencia del cero

Numerales o guarismos

EgipciaRomana

MayaBabilónic

o

3. Los siguientes números arábigos escríbelos en el sistema romano:

a) 19 _________________ f) 154 ______________________b) 28 ________________ g) 1120 ______________________c) 39 _________________ h) 2399 _______________________d) 65 _________________ i) 10330 ______________________e) 99 _________________ j) 1, 300, 250 __________________

Sistemas de numeración.

4. En que consiste el principio de posición_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. En que consiste el principio aditivo____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Representa los números del sistema decimal, como suma de potencias de diez.

a) 37______________________________________________________________b) 124_____________________________________________________________c) 583_____________________________________________________________

25

d) 1340____________________________________________________________e) 5857____________________________________________________________f) 0.983____________________________________________________________g) 0.0735__________________________________________________________h) 0.00979_________________________________________________________i) 0.000538_________________________________________________________j) 0.0000652________________________________________________________k) 3249.166_________________________________________________________l) 10596.6394________________________________________________________

Sistemas de diferentes bases

7. Anota la regla para expresar un número de base 10 a cualquier base 8. Expresar los números dados en base 10 a la base indicada:

a) 81 a base 3 e) 539 a base 7

b) 52 a base 2 f) 1330 a base 8

c) 712 a base 4 g) 2970 a base 9

d) 239 a base 5 h) 425 a la base 6

9. Anota la regla para expresar un número de cualquier base a base diez:

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10. Expresar los números en la base indicada a la base 10

a) 10112 b) 610347

c) 21013 d) 76548

e) 30214 f) 520489

g) 304215 h) 31526

11. Expresa los números escritos en diversas bases a la base indicada:

a) 10102 a base 4 e) 576 a base 4

b) 21023 a base 2 f) 2167 a base 5

c) 1134 a base 3 g) 1678 a base 6

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d) 4035 a base 6 h) 5189 a base 7

Sistema de base 2

12. Investigar el sistema binario y su importancia en los sistemas de cómputo de la actualidad _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

13. Expresa a base 2 los siguientes números, dados en base 10.

a) 18 d) 35

b) 21 e) 73

c) 93

14. Convierte a base 10 los siguientes números:

a) 1012 c) 11012

28

b) 1112 d) 101002

e) 10112 f) 1011012

Operaciones en distintas bases

15. Efectúa las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división en distintas bases:

a) 2145 + 3045

b) 6517 + 4367

c) 101034 – 30124d) 10126 - 3526

e) (101012) (10102)

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f) (1013) (2023)

g) (21124) (224)

h) (22608) (628)

i) 10123 + 10203

j) (2014) (1104)RACTIVOS TIPO EXAMEN:1. Es el principio, que representa la suma de los valores de cada uno de los símbolos usados. a. Principio de posición b. Principio exponencial c. Principio aditivo d. Producto cartesiano

2. TODAS las siguientes son operaciones que se pueden realizar en binario EXCEPTO: a) Suma

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b) Resta c) División d) Radicación

3. Del siguiente listado, elige las cuatro tipos de numeración estudiados en la unidad:

1. Maya2. Egipcio3. Ingles4. Romano5. Argentino6. Babilónico

a. 1, 3, 4,5 b. 2, 4, 5,6 c. 1, 2, 4,6 d. 2, 3, 5,6

3. Relaciona las cantidades con su sistema de numeración.CANTIDAD SISTEMA DE NUMERACIÓN

1. 1523 en sistema romano

2. 5 en sistema maya

a. ______ b. <c. MDXX111

a.1c, 2b b.1a, 2c c.1c, 2a d.1b, 2c

4.- Expresa los números siguientes a la base indicada a) 276 de base 10 a base 4

b) 10211 de base 3 a base 10

c) 20113 de base 4 a base 7

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BIBLIOGRAFIA 1. Flores Meyer, M. Temas selectos de matemáticas. Ed.

Progreso. México, 1971.2. Vargas Eusebio, Hernández Marleny, Algebra, Ed. Santillana,

México 2006

UNIDAD III

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

Comprender que los conjuntos numéricos fueron creciendo para resolver problemas de aplicación práctica. Aplicar los conocimientos adquiridos previamente para que el alumno desarrolle habilidades que le permitan operar correctamente.

TEMARIO:

I Propiedades de las operaciones binarias en los númerosSe definirán los conceptos de operación y operación binaria.

Se enfatizará que los sistemas numéricos se fueron ampliando para dar solución a problemas cotidianos.

II Naturales

Se revisará el conjunto de los naturales. Se representarán en la recta numérica señalándose la propiedad de orden.

Se establecerán las propiedades: conmutativa y asociativa, en operaciones de adición y multiplicación.

Se abordará la propiedad distributiva para la adición y la multiplicación repasándose los criterios de divisibilidad así como, la descomposición de un número en sus factores primos

Se definirá el mcm, mínimo común múltiplo, de dos o más números.

III Algoritmo de Euclides

Se abordará el algoritmo de Euclides en la obtención del máximo común divisor de dos o más números.

Se planteará un problema que no tenga solución en N.

IV Enteros

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Se localizarán los números enteros en la recta numérica.Se establecerán las propiedades: de orden, conmutativa, asociativa, existencia del neutro y existencia del inverso aditivo enfatizando que no hay inverso multiplicativo y, por lo tanto, se requerirá de un sistema numérico más amplio; el de los racionales.V Racionales

Se definirá el conjunto de los números racionales.

Se construirán y localizarán en la recta numérica.

Se revisarán las propiedades de orden, conmutativa, asociativa, existencia del neutro y de los inversos en las operaciones de adición y multiplicación. Se definirá el máximo común divisor de dos o más números. Como caso especial de números racionales se abordarán expresiones decimales exactos y periódicos.

Se revisarán razones y proporciones con sus propiedades.

Se planteará un problema que no tenga solución en Q.

VI Irracionales

Se definirá el conjunto de los números irracionales haciendo hincapié en que no cumple con la propiedad de cerradura (al multiplicar dos irracionales, algunas veces, se obtiene un racional), pero debe tomarse en cuenta porque forma parte de los números reales y completa la recta numérica.

Se construirán números irracionales y se localizarán en la recta.

Se clasificarán los números irracionales en algebraicos y trascendentes entre éstos a ¡Error! y e.

VII Reales

Se definirá el conjunto de los números reales y se representarán en la recta numérica.

Se establecerán las propiedades que cumplen en las operaciones de adición y multiplicación, así como las de orden.

Se planteará un problema que no tenga solución en Â.VIII Imaginarios y Complejos

Se abordará la existencia de los números imaginarios definiéndose su unidad y sus potencias.

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Se mencionará que la adición formal de un número real con uno imaginario forma un número complejo.

Más adelante se definirán con detalle.IX Valor absoluto de un número real

Se abordará el concepto de valor absoluto de un número real y se enfatizará que:

X Intervalo

Se definirá intervalo: abierto, cerrado, semiabierto, semicerrado e infinito.Se abordará su notación y se representarán en la recta numérica.

XI Leyes de los exponentes

Se revisarán las leyes de los exponentes, se abordará el concepto de potencia entera y fraccionaria de un número, revisando el significado del signo del exponente y, a partir de ellas, se calcularán productos, cocientes y potencias.Se justificará que a0 = 1 siendo “a” cualquier número real finito y distinto de cero.

XII Notación Científica

Se abordará el concepto de notación científica, considerando exponentes positivos y negativos.

XIII Logaritmos

Se definirán logaritmo y sus propiedades, estableciendo que cualquier número real positivo, diferente de uno, puede ser la base de un sistema de logaritmos. Se enfatizará que el logaritmo de uno es cero en cualquier base y que el logaritmo de la propia base es uno.Se establecerá que la base de uso más frecuente es diez, dando origen a los logaritmos comunes o decimales y que se abrevia Log.Se definirán característica y mantisa de ellos.Se informará que e es la base de los logaritmos naturales, que en ellos no se habla de característica y mantisa, que se representa por L o Ln. Se operará con ellos sin olvidar obtener el antilogaritmo.

ACTIVIDADES:Propiedades de las operaciones binarias en los números

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1. Define operación: _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Define operación binaria: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Escribe los 4 conjuntos de números que se utilizan para dar solución a problemas cotidianos. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Naturales

4. Define los números naturales: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Señala la propiedad de orden en los números naturales: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Representa en la recta numérica el conjunto de números naturales señalando la propiedad de orden.

N = {10, 3, 25, 2, 6, 7, 8, 20, 13, 9, 17, 11, 5, 18}

7. Establece las propiedades conmutativa y asociativa en las operaciones de adición y multiplicación de números naturales: _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Escribe 3 ejemplos de las propiedades conmutativas y asociativas

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9. Define la propiedad distributiva: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. Escribe 3 ejemplos de la propiedad distributiva

11. Define a un número primo: __________________________________________________________________________________________________________________

12. Escribe los números primos que hay entre 0 y 50

13. Define los criterios de divisibilidad: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________14. Define la descomposición de un número en sus factores primos __________________________________________________________________________________________________________________________________

15. Cuál es el método para descomponer un número en sus factores primos: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

16. Descomponer en sus factores primos los números:

a) 24 = _________________________________________________________

b) 520 = _________________________________________________________

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c) 125 = _________________________________________________________

d) 416 = _________________________________________________________

e) 50 = _________________________________________________________

f) 783 = _________________________________________________________

17. Define el mínimo común múltiplo (m c m): ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Algoritmo de Euclides

18. Define el algoritmo de Euclides: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

19. Determinar el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides

a) 27, 21 _____________________________________________________

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b) 64, 26 _____________________________________________________

c) 51, 18, 24 _____________________________________________________

d) 24, 18, 48 _____________________________________________________

e) 120, 216, 360 _________________________________________________________

f) 1440, 3600, 8400 ________________________________________________________

g) 100, 60, 150 _________________________________________________________

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20. Determina si el siguiente problema tiene solución en los Naturales y explica por qué es o no la solución.

Si en un terreno de 3500 m2 de superficie un campesino siembra 3/8 con verdura ¿Cuántos m2 ocupa este tipo de cultivo?

Enteros21. Define los números enteros: __________________________________________________________________________________________________________________________________

22. Localiza en la recta numérica el conjunto de números enteros, señalando la propiedad de orden.

Z = {10, 3, 25, -2, -6, 7, -8, -20, 13, -9, 17, 0, -11, 5}

23. Define las propiedades: de orden, de cerradura, conmutativa, asociativa, existencia del neutro, existencia del inverso aditivo y ladistributiva: _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

24. Para cada una de las expresiones dadas, escribe la propiedad de campo que corresponda de tal manera: (AS) si es asociativa de la suma, (CS) si es conmutativa de la suma, (AM) si es asociativa de la multiplicación, (CM) si es conmutativa de la multiplicación, (D) si es distributiva, (NM) si es neutro multiplicativo o (NA) si es neutro aditivo:

a) _________________________________

b) ____________________________

c) _______________________________________

d) ____________________________

e) __________________________________

39

f) _____________________________________________

g) ____________________________________________

h) ___________________________________

i) __________________________________________

j) ____________________________

l) _________________________

m) _______________________________

n) _______________________________

o) ________________________________________

p) _____________________________________25. ¿Explica si existe o no, el elemento inverso multiplicativo en el conjunto de los números enteros? __________________________________________________________________________________________________________________

26. Resuelve las siguientes operaciones.

a)

b)

c)

d)

40

e)

f)

g)

h)

i)

Racionales

27. Define los números racionales: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

28. En el conjunto B = {2, -3/4, 1.5, 0, ¾, ½, -.5, -3, -10, 6, 532}, cuales pertenecen a los números racionales y localizarlos en la recta numérica.

41

29.Define las propiedades: de orden, conmutativa, asociativa, existencia del neutro y de los inversos en las operaciones de adición y multiplicación: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

30. Realiza las siguientes operaciones con números racionales.

a)

b) c)

d)

e)

f)

g)

42

h)

j)

31. Definir el máximo común divisor de dos o más números: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

32. Obtén el máximo común divisor (MCD) de los siguientes números:

a) 48, 120 MCD: _________

b) 30, 50 MCD: _________

c) 27, 36 y 45 MCD: _________

43

d) 17, 39 y 42 MCD: _________

e) 210, 520 y 830 MCD: _________

33. De las siguientes proposiciones, señala cuáles son verdaderas o falsas.

a) 3 N _________________________________________________________b) 5/6 Q _________________________________________________________c) 9/2 Z _________________________________________________________d) 5.3 Z _________________________________________________________e) 0 N _________________________________________________________f) 0.1 Q _________________________________________________________g) 2 Q _________________________________________________________h) 8/4 N

_________________________________________________________

34. Define las expresiones decimales exactas: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

35. Define las expresiones decimales periódicos: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 36. Convierte los números en lo que se indica.

a) 7 en quintos =

b) 10 en sextos =

44

c) en octavos =

d) en doceavos =

e) 4 en tercios =

37. Transforma los números mixtos en fracciones impropias.a) =

b) =

c) =

d) =

e) =

f) =

38. Define razón: __________________________________________________________________________________________________________________

39. Define proporción: ______________________________________________________________________________________________

40. Encuentra el valor de la incógnita en las proporciones.

a)

b)

45

c)

d)

e)

41. Explica si el siguiente problema tiene solución en el conjunto de los números racionales:

Determina la relación que existe entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro.

Irracionales

42. Define los números irracionales: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

43. Menciona al menos tres ejemplos donde los números irracionales no cumplen la propiedad de cerradura. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

44. ¿Cuál es la diferencia entre los números irracionales algebraicos y trascendentes?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 45. Indica cuales de los números del conjunto C = {5, √2, 0, e,-8,√5,3/4} pertenecen a los números irracionales y localizarlos en la recta numérica (aproximadamente)

46

Reales

46. Define los números reales: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

47. Del conjunto C = {-7/3, 3, -16, 0.56, 4, -/6, 0.25, 64, 364}, ordena cada elemento en las siguientes clasificaciones: N, Z, Q, Q’, R y representarlos en la recta numérica

48. En la siguiente tabla, indica el inciso que corresponde a cada número.

a) ENTERO b) RACIONAL c) IRRACIONAL d) POSITIVOe) NEGATIVO

120 2/7√2/2-92-3/5 + 1√2 - √2√4 - √2

49. Determina si el siguiente problema tiene solución en el campo de los números reales

Resolver la siguiente ecuación x2 + 1 = 0

Imaginarios y complejos

47

50. Define los números imaginarios __________________________________________________________________________________________________________________

51. Define la unidad y las potencias de los números imaginarios: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

52. ¿Qué resulta de la adición formal de un número real con uno imaginario __________________________________________________________________________________________________________________

53. Escribe 5 ejemplos de números imaginarios: _________________________________________________________

54. Escribe 5 ejemplos de números complejos: _________________________________________________________

Valor absoluto de un número real

55. Define el valor absoluto de un número: __________________________________________________________________________________________________________________

56. Determinar el valor absoluto de cada expresióna) │3-5-6 │=

b) 2│ 10 │+│10-15│-2│-6│+4│-3+12│=

c) -3│3-6│-│-4-2│+3│-4+7│=

d) -4│-5+1-5│-3│-4-1│-6│+14-2│=

48

e) │-200│+│-14+11-12│ -5│-2│=

f) │-2+20-5-18│=

g) │6 (-3)│- 5│-4│ -2│-2│+ 2│11│- 5│-4-1-2│=

h) │-4│- 7│12│- 2│-12│- 4│-4│- 8│-2│=

i) │-3-4+15-10│- │-4+11+2│=

57. Define los tipos de intervalos y escribe su notación:

a) Abierto __________________________________________________________________________________________________________________

b) Cerrado __________________________________________________________________________________________________________________

c) Semiabierto por la derecha __________________________________________________________________________________________________________________

d) Semiabierto por la izquierda __________________________________________________________________________________________________________________

49

e) Semicerrado por la derecha __________________________________________________________________________________________________________________

f) Semicerrado por la izquierda __________________________________________________________________________________________________________________

g) Infinito __________________________________________________________________________________________________________________

58. Representa los intervalos en la recta numérica:

a) (5,10)

b) ( -1, 3]

c) [-5, 1)

d) [-3, 6]

e) (-2, 2)

f) [-4, 1)

g) ( -7, 5]

h) [ -2,+∞)

i) (-∞,-3)

59. Completa el cuadro:

NOTACIÓN[a, b ]

EXPRESION GRAFICA INTERVALO

50

(-3, 5] -3 5 Semiabierto por la izquierda

-2 4

(-1, 4)

60. Indica las leyes de los exponentes: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

61. Utilizando las leyes de exponentes da un ejemplo de cada una

62. Define una potencia entera: __________________________________________________________________________________________________________________

63. Define una potencia fraccionaria:

64. ¿A qué es igual a0, siendo a cualquier número real? _________________________________________________________

65. Utilizando las leyes de los exponentes calcula:a)

b)

51

c)

d) =

e)

f)

g)

Notación científica

66. Define la notación científica: __________________________________________________________________________________________________________________

67. Expresa las cantidades en notación científica:

a) 0.10265 = ____________________________________________________b) 0.03066 = _____________________________________________________c) 850000 = ______________________________________________________d) 0.00045 = _____________________________________________________ e) 4500000 = _____________________________________________________

68. Escribe los números en forma desarrollada:

52

a) 8 x 10-5 = _____________________________________________________

b) 29.98 x 108 = __________________________________________________

c) 4.8 x 10-3 = ____________________________________________________

d) 12 x 10-6 = ____________________________________________________e) 0.23 x 106= ______________________________________________________

69. Realiza las operaciones en notación científica.

a) =

b) =

c) =

d) =

e) =

Logaritmos

70. Define logaritmo:

71. ¿A que es igual el logaritmo de 1 (uno) en cualquier base?

72. ¿A qué es igual el logaritmo de la propia base?

73. Define:

53

a) característica de un logaritmo b) mantisa de un logaritmo

74. Indica cuál es la base del: a) logaritmo natural (Ln) _____________________________

b) logaritmo vulgar o común (Log)______________________

75. Escribe las propiedades de los logaritmos:

i) ii) iii)

76. Utiliza la calculadora para obtener los logaritmos:

a) log 150 =

b) log 0.701=

c) log 57=

d) log 3.428=

e) log 1=

f) ln 10 =

g) ln 49.45=

77. Utiliza las propiedades de los logaritmos para reducir las siguientes expresiones como un solo logaritmo:

a) log x + log (3x) - log 9 =

b) log2 2 - log2 4 + log2 3 =

54

c) log 7 + log 2 =

d) Ln 15 – 2Ln3 =

e) Ln x2 + Ln (2x) + Ln 5 =

f) Log XY + Log Z - Log K =

78. Utiliza las propiedades de los logaritmos ampliar las siguientes expresiones en forma de varios logaritmos:

a) log (p3n2k3) =

b) Ln (7xy3) 6 =

c) Log [(2x2y) / 5x] =

d) Ln (a3b/c) =

79. Transformar a su forma logarítmica las expresiones exponenciales.

a) 172 = 289 __________________b) __________________

c) ________________

d) ________________e) __________________

55

f) __________________

80. Transforma a su forma exponencial las expresiones logarítmicas:

a) ______________

b) ____________

c) _____________

d) _____________

e) _____________

81. Define antilogaritmo___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

82. Aplicando el antilogaritmo, calcular el valor de N

a) Log N = 5.074 N =

b) Log N = 1.8750 N =

c) Log N = 0.5611 N =

d) Log N = 0.6065 N =

e) Log N = 2.0312 N =

56

REACTIVOS TIPO EXMEN:1. La base de los logaritmos naturales es: A. 1 B. e C. 0 D. π

2. TODOS los números son irracionales, EXCEPTO:A. B. C. D.

3. Del siguiente listado, elige las cuatro que pertenezcan a los tipos de intervalos. 1. Abierto2. Universal3. cerrado4. infinito5. Iguales6. abierto por la derecha

a. 1, 3, 4,6 b. 2, 4, 5,6 c. 1, 2, 3,4 d. 2, 3, 5,6

4. Relaciona los conceptos con su definición y ejemplosCONCEPTO DEFINICION

1.Razón2. Proporción

a. Es la igualdad de 2 razonesb. Es el cociente de 2 números EJEMPLOS c.

d. A. 1ad, 2bc B. 1bd, 2ac C. 1ac, 2bd D. 1bc, 2ad5. Resuelve la siguiente operación con números enteros.

57

BIBLIOGRAFIA1.- Dociani, Mary P. Álgebra Moderna 1 y 2. Ed. Publicaciones Culturales S. A. México, 1993.2.-Eduardo Carpinteyro Vigil, Sánchez Rubén, Algebra, Ed. Publicaciones Culturales, México 20023. Vargas Eusebio, Hernández Marleny, Algebra, Ed. Santillana,

México 2006

UNIDAD IV

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

Comprender las operaciones con monomios y polinomios, para que el estudiante sea capaz de aplicarlas correctamente en el planteamiento y solución de problemas que surjan en su entorno.

TEMARIO:

I. Monomio

Se revisará el concepto de término algebraico haciendo hincapié en el reconocimiento de los elementos que lo constituyen: coeficiente, variable y exponente o grado. El grado de una constante es cero excepto el del propio cero que no puede tener grado.

Se abordará el concepto de términos semejantes.

II. Polinomio

Se establecerá que la adición de un número finito de monomios o términos algebraicos, determinan un polinomio; que el grado de éste lo determina el monomio de mayor grado en la adición con coeficiente diferente de cero.

III. Adición de monomios y polinomios

Se revisará la simplificación de términos semejantes; para sumar monomio con monomio, monomio con polinomio y polinomio con polinomio.

Se revisará cómo suprimir el paréntesis precedido de un signo menos.

IV. Multiplicación de monomios y polinomios

Se revisarán y aplicarán las leyes de los signos y de los exponentes en la multiplicación de monomio por monomio, enfatizando en la propiedad distributiva al efectuar la multiplicación de monomio por polinomio y la aplicación de la misma, en la multiplicación de polinomio por polinomio.

58

Se operará con monomios y polinomios que contengan signos de agrupación, donde se requiera efectuar multiplicaciones de: monomio por monomio, monomio por polinomio y polinomio por polinomio para reducirlas a su mínima expresión.

V. Semejanza con los enteros

Se establecerá la analogía que guardan las operaciones con polinomios y las operaciones con los números enteros.

VI.Factor común

Se revisará el concepto de factor común de un polinomio.

VII. División de monomios y polinomios

Se revisarán y aplicarán las leyes de los signos y de los exponentes para dividir monomio por monomio y polinomio por monomio. Se revisará el algoritmo de la división de polinomio por polinomio.

VIII. Valor de un polinomio

Se calculará el valor de un polinomio con coeficientes racionales y exponentes naturales, se considerarán para x, valores numéricos y literales.

IX. Polinomio como

Se darán diferentes valores para x en el mismo polinomio, éstos se consignarán en una tabla y se graficarán en el plano cartesiano.

Se enfatizará en la diferencia entre base fija y exponente variable y exponente fijo y base variable.

Se abordará que un polinomio puede igualarse con introduciéndose el concepto de variable dependiente e independiente.

ACTIVIDADES:

59

1. Define “término algebraico”: 2. Menciona los elementos que constituyen a un término algebraico: __________________________________________________________________________________________________________________3. Indica el grado de un constante: ____________________________

4. Define término semejante: _______________________________________________________________________________________5. Utilizando la definición de términos semejantes, indica qué términos son semejantes a las siguientes expresiones algebraicas.

4m2n3, 5x3y6, , 10t4w8, -8m2n3, 15x3y6,

a) _______________________________________________b) ¾ m2n3 ____________________________________________c) – ½ x3y6 _____________________________________________

Polinomio

6. Define monomio:

7. ¿Qué condición determina el grado de un monomio? __________

8. Define “polinomio”: 9. ¿Qué condición determina el grado de un polinomio?

10. Identifica el grado del polinomio con respecto a la variable que se indica

60

Grado del polinomioPolinomio Con respecto a

“x”Con respecto a

“y”a) - 7xb)c)d)

e)f)g)

Adición de monomios y polinomios

11. Suprimir los signos de agrupación (si los hay), para simplificar y reducir los términos semejantes

a)

b)

c)

d)

e)

f)

61

Multiplicación de monomios y polinomios

12. Escribe la regla para efectuar monomio por monomio:

13. Resuelve los siguientes productos de monomios

a)

b)

c)

d)

e)

14. Escribe la regla para efectuar monomio por polinomio (enfatizando la propiedad distributiva):

15. Resuelve los siguientes productos de monomio por polinomio:

a)2x (3x3-5x2-8x+6) = b) 5n3m2 (-7n6m+ 8n4m7 – 5n2m3 +3nm5)=

c) -8y4 (3y-5-7y2+ 8y4-5y)=

16. Escribe la regla para efectuar polinomio por polinomio: 17. Resuelve los siguientes productos de polinomios

a)

b)

c)

62

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

18. Suprimir los signos de agrupación (si los hay) para simplificar y reducir los términos semejantesa)

b)

c)

63

d)

e) =

Semejanza con los enteros

19. Establece la analogía que guardan las operaciones con polinomios y las operaciones con los números enteros:

Factor común20. Define que es un “factor común de un polinomio”: 21. Indica el factor común de los polinomios:a) -4x2y5z4 -12x3y9z10 +24x5z12

b)

c) 56x4y3z2 + 72x3y4z5 + 80xy2z3 _____________________________

d) -9x3y4 + 18x2y2 + 6y5 ___________________________________

e) ________________________________

22. Escribe la regla para dividir monomios:

64

_________________________________________________________

División de monomios y polinomios23. Resuelve las divisiones de monomios.

a)

b)

c)

d)

e)

24. Escribe la regla para efectuar polinomio entre monomio

25. Resuelve las siguientes divisiones de polinomio entre monomio

a)

b)

c)

d)

65

e)

26. Escribe la regla para efectuar polinomio entre polinomio ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

27. Realiza las siguientes divisiones de polinomio entre polinomio señalando el cociente y el residuo:a

b)

c)

d)

66

e)

f)

Valor de un polinomio

28. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas; observa que x adquiere valores numéricos y literales.

a) si (Valor numérico)

b) si (Valor numérico)

c) si (Valor numérico)

d) si (Valor numérico)

67

e) si (Valor numérico)

f) si (Valor literal)

g) si (Valor literal)

h) si (Valor literal)29. Define que es una “variable independiente”: 30. Define que es una “variable dependiente”:

68

31. traza la grafica de cada uno de los siguientes polinomios

a) f(x) = x2-2x +1, para x =-2,-1, 0, 1, 2

x f (x) = x2 – 2x + 1 (x,f(x))21012

69

b) f(x) = - 3x + 2, para x = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2

x f(x) = - 3x + 2 (x, f(x))-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

70

c) f(x) = , para x = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2

xf(x) =

(x, f(x))

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

71

32. Traza la grafica de cada uno de los siguientes polinomios, con base fija y exponente variable

a) f(x) = 2x, para x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

x f (x) = 2x (x, f(x))-3

-2

-1

0

1

2

3

4

72

b) f(x) = - 4x, para x = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1

x f(x) = - 4x (x, f(x))-5

-4

-3

-2

-1

0

1

73

33. Traza la grafica de cada uno de los siguientes polinomios, con exponente fijo y base variable.

a) f(x) = X2, para x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

x f(x) = X2 (x, f(x))-3

-2

-1

0

1

2

3

4

74

b) f(x) = x3 +1, para x = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1

x f(x) = x3 +1 (x, f(x))-5

-4

-3

-2

-1

0

1

75

76

REACTIVOS TIPO EXAMEN:1. El valor numérico del polinomio P(x)= x2 -7x -3, si x= -2 es A. -13 B. 7 C. 15 D. -7

2. TODOS los siguientes son elementos de un término algebraico, EXCEPTO:A. variableB. signoC. BinomioD. Exponente

3. Del siguiente listado, elige las cuatro operaciones que se aplican entre polinomios. 1. suma2. Radical3. resta4. producto5. Potencias6. división

A. 1, 3, 4, 6 B. 2, 4, 5,6 C. 1, 2, 3,4 D. 2, 3, 5,6

4. Elabora la gráfica del polinomio y = x 2 -2x -3 si

77

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

XY2

1

0

-1

-2

78

BIBLIOGRAFIA1.- Dociani, Mary P. Álgebra Moderna 1 y 2. Ed. Publicaciones Culturales S. A. México, 1993.2.- Eduardo Carpinteyro Vigil, Sánchez Rubén, Algebra, Ed. Publicaciones Culturales, México 20023.-Vargas Eusebio, Hernández Marleny, Algebra, Ed. Santillana,

México 2006

UNIDAD V

OBJETIVO DE LA UNIDAD: Operar con productos notables y factorizaciones, para que el estudiante sea

capaz de plantear y resolver problemas de otras disciplinas, que sean significativos para él.

TEMARIO: I. Factor común

Se abordará el factor común de dos o más monomios como el máximo común divisor de ellos.

II. Cuadrado de un binomioA partir del producto de dos binomios iguales se establecerá la regla para obtener el cuadrado de un binomio, enfatizando que el trinomio resultante se denomina “trinomio cuadrado perfecto” y que éste por lo tanto se puede descomponer en dos factores iguales.

III. Factorización de un trinomio cuadrado perfectoSe considerarán binomios de la forma a2x2 + bx y se abordará la operación “completar a un trinomio cuadrado perfecto” para descomponer en dos factores iguales. (Enfatizar que “a” es fija en cada problema y que “x” es la variable).

IV. Cubo de un binomio y factorización de un cubo perfectoA partir del cuadrado de un binomio se calculará el cubo de éste, considerando tres factores iguales.

Se definirá la regla para desarrollar el cubo de un binomio.

Se señalará que el desarrollo consta de cuatro términos de características precisas, y dado un polinomio que las cumpla se factorizará como el cubo de un binomio.

79

V. Productos de dos binomios con un término comúnA partir de: (x + a) (x +b) = x2 + (a + b) x + ab se determinará cuando un trinomio de segundo grado es el producto de dos factores lineales.

VI. Descomponer en factores un trinomio de segundo grado de la forma x2 + px + q

El trinomio anterior, en general, se expresa como:x2 +b x+c; en donde p=a+b y q = ab con sus respectivos signos, advirtiéndose que el proceso opuesto al seguido para obtener el producto conduce a su factorización.

VII. Producto de dos binomios conjugados y descomposición de una diferencia de cuadrados

Se revisará el concepto de conjugado de un binomio, y a partir de obtener varios productos de éstos se generaliza para obtener la regla y determinarlos. Asimismo, se efectuará la operación inversa, es decir, dada una diferencia de cuadrados se factorizará como el producto de dos binomios conjugados. Se establecerá que la regla es válida para toda diferencia de potencias pares.

VIII. Factorización por agrupación de términosSe operará con polinomios de la forma: ax + ay + bx + by cuya factorización por agrupación es igual a: (a + b) (x + y).

IX. Descomposición en factores de la suma o diferencia de dos potencias iguales

Se abordará como factorizar expresiones de la forma:xn + yn ; con n impar siempre tendrá como uno de sus factores a x + y.xn - yn con n par o impar siempre tendrá como uno de sus factores a x - y.xn - yn con n par, tiene el factor x + y.

X. Mínimo Común Múltiplo de dos o más polinomiosSe abordará el concepto de mínimo común múltiplo (M.C.M.) de dos o más polinomios expresados en forma factorizada, señalando que es conveniente conservarlo en esta forma (observar la analogía con el M. C. M. de números enteros).

XI. Otras factorizacionesSe abordarán factorizaciones de trinomios que no sean el resultado de un producto notable por ejemplo 5x2 + 7x - 6.

Se abordarán factorizaciones en las cuales se combinen diferentes métodos por ejemplo 6z4 - 12z3; -x3 + 10x2 - 25x; 9x2 - 4y2 + 4y - 1; 2x5 +7x3 - 4x.

80

XII. Fórmula del binomio de NewtonAplicando una multiplicación directa se desarrollará hasta la sexta o séptima potencia de un binomio. Se analizará el comportamiento de los coeficientes de los términos del desarrollo y se establecerá el triángulo de Pascal.

Se definirán factorial de un número y coeficientes binomiales mostrando que la definición de coeficiente binomial coincide con los números colocados en el triángulo de Pascal. Se establecerá el teorema del binomio enfatizando como obtener el r-ésimo término.ACTIVIDADES:

1. Encuentra el factor común o Máximo Común Divisor de:

a) , y

MCD =

d) , , y

MCD =

b) , y

MCD =

e) , y

MCD =

c) , y

MCD =

f) , , y

MCD =

g) , y

MCD =

2. Escribe la regla para obtener el cuadrado de un binomio.

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Ejemplo: Resuelve el cuadrado de un binomio (3x + 7) =

81

a) El cuadrado del primer término es: (3x)(3x) = 9xb) El doble del producto de ambos términos es: 2(3x)(7) = 42xc) El cuadrado del segundo término es: (7)(7) = 49

Entonces: (3x + 7) = 9x + 42x + 49 1° 2° 3° TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Ejemplo: Resuelve el cuadrado de un binomio (5x – 4y) =

a) El cuadrado del primer término es: (5x)(5x) = 25xb) El doble del producto de ambos términos es: 2(5x)(4) = 40xyc) El cuadrado del segundo término es: (4y)(4y) = 16y

Entonces: (5x – 4y) = 25x - 40xy + 16y 1° 2° 3° TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

3. Obtener los cuadrados de un binomio.

a)

b)

c) =

d)

e)

82

f) =

g) =

h) =

4. Define trinomio cuadrado perfecto:

5. Escribe la regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto:

6. Utilizando la regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, verifica si son o no T.C.P en caso afirmativo, factorízalos:

Ejemplo: Factorizar x + 10x + 25 = (x + 5) (x + 5) = (x + 5)

2 (x 5) Binomio al Cuadrado

a) Reconocemos que x es el cuadrado de : xb) Reconocemos que 25 es el cuadrado de: 5c) Reconocemos que 10x es el doble producto de: 5x

Entonces: Si es un Trinomio Cuadrado Perfecto

83

x + 10x + 25 = (x) +2(x)(5)+(5) = (x + 5)

Binomio al Cuadrado

Trinomio Operaciones Si o Noes un T.C.P

Factorización(factores iguales)

a) ________

b) ________

c) ________

d) ________

e) ________

f) ________

g) ________7. Completar a un Trinomio Cuadrado Perfecto, considerando los binomios de la forma a2x2 + b x:

1er. Caso: En donde el coeficiente de a2 es 1.

Ejemplo: x2 – 6x “el cuadrado de la mitad del coeficiente de x”

x2 – 6x + (3) 2

x2 - 6x + 9

2o. Caso: En donde el coeficiente de a2 no es 1.

Ejemplo: 3x2 + 13x = 0, se divide todo entre 3

84

X2+ + ( )2= ( )2

X2+ + ( )2= ( )2

X2+ + =

a) x2+ 4x _______________

b) y4- 10y2 _______________

c) 3m2 + 15m _______________

d) a2 – 7a _______________

8. Define la regla para desarrollar el cubo de un binomio:

9. Aplicando la regla anterior, calcula los binomios cúbicos:

Ejemplo: (m + 4) = 1° 2° 3° 4°

(m) + 3(m) (4) + 3(m)(4) + (4)

m + 12m + 48m + 64

85

Polinomio dado es el cubo Perfecto

a) _____ __ _________ __ ________ _______

b) _____ __ _________ __ ________ _______

c) _____ __ _________ __ ________ ______

d) _____ __ _________ __ ________ ______

e) _____ __ _________ __ _______ ______

f) _____ __ _________ __ _______ _______

g) _____ __ _________ __ _______ _____

10. Define que es un cubo perfecto:

11. Factoriza los siguientes cubos perfectos:

Ejemplo: Comprobar si el polinomio es cubo perfecto

86

8x + 36x y + 54xy + 27y

1° 2° 3° 4° El polinomio tiene cuatro términos.

La raíz cúbica de 8x es 2x (primer término) La raíz cúbica de 27y es 3y (segundo término) El triple del cuadrado del primero por el segundo 3(2x) (3y)= 36x y El triple del primero por el cuadrado del segundo 3(2x) (3y) = 54xy

Si es un cubo perfecto y su factorización es:

a)

b) =

c)

d)

e)

f)

g)

h)

87

12. Escribe la regla del producto de binomios con un término común:

(x + a) (x + b) = x + (a + b) x + (a) (b)

= x2 + p x + q13. Aplicando la regla anterior, realiza los siguientes productos de binomios con término común:

TÉRMINO DIFERENTE TÉRMINO COMUN

Ejemplo: (x – 1) (x + 3) = (x) + (-1+3) x + (-1)(3)

= x + 2x - 3 TÉRMINO COMÚN

Trinomio de la forma x2+ p x +q

Ejemplo: (3x + 2)(3x –5) = (3x) + (2-5)3x + (2)(-5)

= 9x – 9x – 10

Trinomio de la forma x + p x + q

Procedimiento Trinomio de la formax + px + q

a) =

b) =

c) =

d) =

e) =

f) =

88

g) =

h) =

14.Escribe la regla para factorizar un trinomio de la forma x2+px+q _____________________________________

x2+ p x +q = ( x + a)(x + b)

Donde: a + b = p(a) (b) = q

15. Factoriza los siguientes trinomios de la forma x2+ p x +q, aplicando la regla anterior:

que sumados den p: _________a) que multiplicados den q: _______

que sumados den P: _________b) que multiplicados den q: _______

que restados den P:__________c) que multiplicados den q: _______

que restados den P: _________d) que multiplicados den q: _______

que restados den P:__________e) que multiplicados den q: _______

que restados den P:_________f) que multiplicados den q: ______

que restados den P: _________g) que multiplicados den q: ______

89

que restados den P:_________h) que multiplicados den q: ______

16. Escribe la regla para el producto de binomios conjugados: _____________________________________

(b)(b)

(a + b) (a – b) = a - b

Diferencia de cuadrados (a)(a)

17. Aplicando la regla anterior, realiza los siguientes binomios conjugados:

a) ______ ___ _______ Binomio Conjudado Diferencia de cuadrados

b) ______ ___ _______ Binomio Conjudado Diferencia de cuadrados

c) ______ ___ _______ Binomio Conjudado Diferencia de cuadrados

d) ______ ___ ______Binomio Conjudado Diferencia de cuadrados

e) ______ ___ ______Binomio Conjudado Diferencia de cuadrados

Binomio Conjudado Diferencia de cuadrados

g ______ ___ _______ Binomio Conjudado Diferencia de cuadrados

18. Define la regla para factorizar una diferencia de cuadrados:

90

f) _____ ____ _____

_____________________________________ 19. Dada una diferencia de cuadrados, factoriza como el producto de dos binomios conjugados.

a) Diferencia de Binomio Conjugado Cuadrados

b) Diferencia de Binomio Conjugado Cuadrados

c)

d)

e)

f)

g)

h)

20. Define la regla para factorizar por agrupación de términos:

Ejemplo: Polinomios de la forma: ax + ay + bx + by

(ax + ay) + (bx + by)

a ( x + y ) + b ( x + y )Cuya factorización por agrupación es igual a: (a + b) (x + y) .

91

21. Aplicando la regla anterior, factoriza los siguientes polinomios por agrupación de términos:

a) 3m2-6mn+4m-8n = _____________________

b) 3m2 – 12m + mn – 4n = _____________________

c) 20ax – 5bx – 2by + 8ay= _____________________

d) 2ac – 4bc + ad – 2bd = _____________________

e) 3ax – 2by – 2bx – 6a + 3ay +4b= _____________________

f) 3x3 + 2axy + 2ay2 – 3xy2 – 2ax2 – 3x2y =_____________________

g) 2ab – 2ac + 2a – b + c –1 = _____________________

h) _____________________

92

22. Escribe las reglas de la suma o diferencia de cubos:

_______________________________________________

_______________________________________________

________________________________________________

23. Aplicando la formula anterior, Factoriza las siguientes sumas o diferencias de cubos:

Ejemplos: r + 8p = (r + 2p) ( r – 2rp + 4p )

64p - 125w = (4p - 5w ) ( 16p + 20p w + 25w )

a)

b)

c)

d)

93

e)

f)

g)

h)

24. Da el concepto de mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más polinomios:

__________________________________________________________________________________________

25. Utilizando el concepto anterior, determina el m c m de los polinomios siguientes:

Ejemplo:Hallar el m.c.m de x - x - 6; x + 3; x - 9

Factorizamos los polinomios: x - x – 6 = (x-3) (x+2)

x + 3 = x+3

x - 9 = (x+3)(x-3)

El m.c.m es : (x-3)(x+3)(x+2)

a) , m.c.m = ______________

94

b) , , m.c.m = ______________

c) x + 1, x, x - 1 m.c.m = ______________

d) , , x + 2 m.c.m = ______________

e) , x - 3, m.c.m = ______________26. Factoriza los siguientes trinomios de segundo grado ax + bx + c:

Ejemplos: Factorizar el trinomio 2x –7x –15 = (x - 5)(2x + 3)

Dos números y una letra que multiplicados me den 2x , (1x)(2x) (primer término) Dos números que multiplicados me den –15, (-5)(3) (tercer término)

Aplicando la ley de los extremos y medios obtenemos –7x (segundo término)

(x - 5)(2x + 3) =

La factorización es: (x - 5)(2x + 3)

a) =Trinomio de la forma ax + bx + c

b) =

95

-10x+3x

- 7x

Trinomio de la forma ax + bx + c

c) =Trinomio de la forma ax + bx + c

d) =

e) =

f) 2a 4 +a 2 -10

g)

27. Define Triángulo de Pascal: ______________________________________________

________________________________________________

_______________________________________________

28. Utilizando el triangulo de pascal, desarrollar y simplificar los siguientes binomios:

a) _____ __ _____ __ _____ __ _____ __ _____Términos 1° 2° 3° 4° 5°

b) _____ __ _____ __ _____ __ _____ __ _____Términos 1° 2° 3° 4° 5°

c) _____ __ _____ __ _____ __ _____ __ _____Términos 1° 2° 3° 4° 5°

d) _____ __ _____ __ _____ __ _____ __ _____Términos 1° 2° 3° 4° 5°

96

e) _____ __ _____ __ _____ __ _____ __ _____ __ ____Términos 1° 2° 3° 4° 5° 6°

f) _____ __ _____ __ _____ __ _____ __ _____ __ _____Términos 1° 2° 3° 4° 5° 6°

g) _____ __ _____ __ _____ __ _____ __ _____ __ _____Términos 1° 2° 3° 4° 5° 6°

h) ____ _ ____ _ ____ __ ____ _ ____ _ ____ _ _____ Términos 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7°

REACTIVOS TIPO EXAMEN:

1. ¿Cuál es la factorización correcta del trinomio x – 6x + 8 = 0?: A. (x - 4)(x - 2) B. (x - 2)(x + 4) C. (x + 2)(x - 4) D. (x - 2)(x + 4)2. Todas las siguientes opciones son Trinomios cuadrados perfectos, EXCEPTO:A. B. C. D. .

3. Del siguiente listado, elige las cuatro tipos de productos notables vistos en clase: 1. Binomios con termino comun2. Binomios cuadrados3. Binomio cubico4. Producto de terminos5. Binomios conjugados6. división de polinomios

A. 1, 3, 4, 6 B. 2, 4, 5,6 C. 1, 2, 3,5 D. 2, 3, 5,6

4.- Factorizar por agrupación de términos 3m2 – 12m + mn – 4n

97

98

BIBLIOGRAFIA1.- Dociani, Mary P. Álgebra Moderna 1 y 2. Ed. Publicaciones Culturales S. A. México, 1993.2.-Eduardo Carpinteyro Vigil, Sánchez Rubén, Algebra, Ed. Publicaciones Culturales, México 20023.-Vargas Eusebio, Hernández Marleny, Algebra, Ed. Santillana,

México 2006

UNIDAD VI

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES

OBJETIVO DE LA UNIDAD: Comprender las operaciones con fracciones algebraicas y radicales, para que el

alumno sea capaz de plantear y resolver problemas de su entorno en términos de una fracción algebraica o de un radical.

TEMARIO: Teorema del Residuo y del Factor

Se abordará el teorema del residuo y se establecerá el método de la división sintética. Se enunciará el teorema del factor.

II Operaciones con fracciones algebraicas

Se revisarán las propiedades de las fracciones algebraicas y se aplicarán para simplificarlas a su mínima expresión.Se revisarán y se enfatizarán las operaciones con ellas.Se operará con “fracciones complejas” simplificándolas a su mínima expresión.

III Radicales

A partir de las leyes de los exponentes y enfatizando que un radical es un exponente fraccionario se simplificarán, considerando los siguientes casos: - Sacando factores del subradical.

- Incluyendo un factor dentro de un radical.- Expresándolo como un radical de orden más bajo.

Se efectuarán operaciones con ellos. Se considerarán radicales de órdenes iguales y diferentes. El resultado de la operación se expresará en la forma más simple. Se racionalizará el numerador o el denominador de una fracción según convenga a la solución del problema.

IV Introducción a los números complejos

Se definirá el conjunto de los números imaginarios, revisando que un número imaginario es tal que: Se hará hincapié en:

99

Para que se genere un número imaginario

Se establecerá que un número complejo es de la forma es la parte real del complejo y la parte imaginaria.

El conjunto de los números complejos( C), se define simbólicamente como:C=¡Error! Marcador no definido.Se enfatizará que el conjunto de los reales y el de los imaginarios puros son subconjuntos de los complejos.

ACTIVIDADES:Define el teorema del residuo:

2. Utilizando el teorema del residuo, obtener el residuo en.

a) El residuo es: ___________

b) El residuo es: _____________

c) El residuo es: _____________

d) El residuo es: _____________

e) El residuo es: _____________

100

3. Define la división sintética: _______________________________________

_________________________________________________________

4. Realizar las siguientes divisiones de polinomios aplicando el método de división sintética, indicando el cociente y el residuo.

a) (4x4 + 3x2 +2) (x + 4)

b) (x4 – 3x3 + 7x2-2x + 1) (x + 2)

c) (5x2 +2x + 6) (x - 5)

4 0 3 0 2 - 4

101

COCIENTE: ___________________________________

RESIDUO: ___________

COCIENTE: ___________________________________

RESIDUO: ___________

d) (4x5 - x3 - 3x2 + 2) (X+ 1)

5. Define el teorema del factor:

6. Determina si el binomio propuesto es factor de cada polinomio.

a)

102

COCIENTE: ___________________________________

RESIDUO: ___________

COCIENTE: ___________________________________

RESIDUO: ___________

b)

c)

d)

e)

7. Define fracciones algebraicas:

8. Realiza las operaciones con las siguientes fracciones algebraicas y simplifícalas a su mínima expresión:

Ejemplo: Realiza la siguiente suma algebraica

El m.c.m de los denominadores es: x

Ejemplo: Realiza la siguiente diferencia algebraica

Factorizamos los denominadores para obtener el m.c.m. 3x – 6 = 3(x-2)

2x – 4 = 2(x-2)

103

El m.c.m. es 6(x-2)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

104

h)

i)

j)

k)

l)

m)

9. Define que es un radical:

10. Indica las propiedades o leyes de los radicales:

______________________________________________

______________________________________________

105

_______________________________________________

_______________________________________________

11. Expresa los siguientes radicales en exponentes fraccionarios.

Ejemplo: Expresa en exponentes fraccionarios positivos.

= aa)

b)

c)

d)

e)

12. Expresa los siguientes exponentes fraccionarios a la forma de radical.

Ejemplo: Expresa a a la forma de radical.

a =

a)

b)

c)

106

d)

e)

13. Simplificar los siguientes radicales.

Ejemplo: Simplificar

= a b = a b = 5 a b

Ejemplo: Simplificar = = x y x y = x y(4)x y

= 4x y a) b)

c)

d)

e)

107

14. Introduce al radical el factor que se encuentra fuera de éste.

Ejemplo:

Introducir en el signo radical todos los factores que no están dentro de él.

3a = = =

Ejemplo:

Introducir en el signo radical todos los factores que no están dentro de él.

3x = = =

a)

b)

c)

d)

108

15. Realiza las siguientes operaciones entre radicales y reduce los términos semejantes.

1)

3)

+ - -=

6) *

7)

16. Define método de Racionalización en fracciones algebraicas con radicales:

109

Ejemplo: Racionalizar

=

17. Utiliza el método de Racionalización para simplificar las siguientes fracciones algebraicas con radicales:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

18. Define que es un número imaginario:

19. Define un número complejo:

110

20. Define el conjunto de los números complejos:

21. Realiza las siguientes operaciones (puedes emplear la calculadora):

a) =

b) =

c)

d) =

e)

f)

22. Simplifica los siguientes números imaginarios:

a) i =

b) i2 =

c) i28 =

d) i38 =

e) i85 =

e) i79 =

Reactivos tipo examen:1. Al dividir el polinomio 3x2+x-10 entre x-2, según el teorema del factor, el binomio: A. Si es factor del polinomio

111

B. No es factor del polinomio C. No se sabe si es factor del polinomio D. Si es factor del polinomio pero bajo ciertas condiciones

2. Todos los siguientes son números complejos, EXCEPTO:A.- 7-5iB.- 8iC.- 4-2iD.- 5+3i

3. Relaciona los conceptos con su definición y ejemplos CONCEPTO DEFINICION

1.Numero imaginario2. Numero complejo

a. Es el número que tiene una parte real y una parte imaginaria. b. Es el número que solo tiene una parte imaginaria EJEMPLOS c. 5 – 7i d. 3i

A. 1bd, 2ac B. 1ac, 2bd C. 1bc, 2ad D. 1ad, 2bc

4. Resolver y simplificar los siguientes radicales - - + =

112

BIBLIOGRAFIA1.- Dociani, Mary P. Álgebra Moderna 1 y 2. Ed. Publicaciones Culturales S. A. México, 1993.2.-Eduardo Carpinteyro Vigil, Sánchez Rubén, Algebra, Ed. Publicaciones Culturales, México 20023.-Vargas Eusebio, Hernández Marleny, Algebra, Ed. Santillana,

México 2006

UNIDAD VII ECUACIONES Y DESIGUALDADES

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

Plantear problemas del entorno cuya solución se obtenga a partir de la resolución de una ecuación o de una desigualdad de primer y segundo grado, para que el alumno interprete el resultado obtenido.

TEMARIO: I. Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad

Se abordará el concepto de ecuación distinguiéndose entre identidad o ecuación idéntica y la igualdad condicional o ecuación.

Se establecerán sus propiedades.

II. Ecuaciones de primer grado en una variableSe resolverán ecuaciones de la forma ax + b = 0 o que sean reducibles a ella con a, b Q y a 0.

Se enfatizará en el grado de la ecuación y para resolverla se indicará paso a paso la propiedad aplicada (esto será suficiente con dos o tres ejemplos).

III. Ecuación de segundo grado. Resolución de una ecuación de segundo grado

Se abordará el concepto de ecuación cuadrática y se resolverá: por factorización, completando trinomio cuadrado perfecto o aplicando la fórmula general que se demostrará a partir del método de completar el cuadrado.

Se enfatizará en la importancia del signo del discriminante y lo que ello significa; así como en la relación que existe entre los coeficientes y las raíces si el polinomio es de la forma ax2 + bx+ c.

Se comprobarán las soluciones.

IV. Desigualdad de primer grado en una variable y sus propiedades

Se revisarán las propiedades de orden y se abordará el concepto de desigualdad.

Se resolverán desigualdades de primer grado, indicando paso a paso la propiedad aplicada.

Se graficará el conjunto solución que las satisface.

113

Resaltar que la solución de una ecuación es uno o varios puntos mientras que para una desigualdad la solución es un intervalo.

V. Desigualdad de segundo grado. Resolución de una desigualdad de segundo grado

Se abordará el concepto de desigualdad de segundo grado y se establecerán las condiciones para resolverla. La solución, que podrá ser por factorización o a partir de las propiedades de orden, se graficará en la recta numérica.

Se abordará que otra manera de encontrar la solución es resolverla como igualdad e ir probando que valores la satisfacen.

Se determinará en la recta el conjunto solución que puede ser un punto, uno o dos intervalos o el conjunto vacío

ACTIVIDADES:1) Define que es una Ecuación:

2) Define que es una Identidad:

3) Define que es una Igualdad:

4. Indica las propiedades de la igualdad:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. De las siguientes expresiones, indica cuáles son ecuaciones y cuales son identidades:

114

Ecuacióno

identidad

Ecuacióno

identidad

Ecuaciones de primer grado

6. Define que es una ecuación de primer grado.

7. Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado

115

a) 5n +3 = 33 f) x+ 3(x-1) = 6 -4( 2x+)

b) 2p - 8 = 10 – 4p g)

c) t - (2t+1)= 8 - (3t-5) h)

d) i)

e)

Ecuación de segundo grado.

8. Define que es una ecuación de segundo grado:

116

n =

x =

p = x =

t = x =

k = x =

m =

______________

9. Define que es una ecuación cuadrática incompleta: _______________________

10. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas (factorización):

a) e)

b) f)

c) g)

d)

11. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completas por Factorización

117

X = _____

X = _____

m = _____

m = _____

t = _____

t = _____

y = _____

y = _____

k = _____

k = _____

p = _____

p = _____

a = _____

a = _____

a) x + 6x +5 = 0 e)

b) f)

c) g)

d) h)

12. Define trinomio cuadrado perfecto:

______________________________________

13. Completa trinomio cuadrado perfecto para las siguientes Ecuaciones cuadráticas (no resolverlas):

a)

b)

118

X = _____

X = _____

X = _____

X = _____

X = _____

X = _____

X = _____

X = _____

a = _____

a = _____

y = _____

y = _____

X = _____

X = _____

a = _____

a = _____

c) 3

d)

14. Resuelve completando el trinomio cuadrado perfecto las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) d) m2 -5m -6=0

b) e)

c) -x = -10x + 25 f)

15. Escribe la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:

_________________________________________________________16. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas o de segundo grado utilizando la fórmula general:

a) c)

119

k = ____ k= ____

m = ___ m= ____

p = ____ p= ____

a = ____ a= ____

x = ____ x= ____

x = ____ x= ____

x = ____ x= ____

a = ____ a= ____

b) d)

17. Define discriminante de una ecuación cuadrática:

_____

____________

18. Observa el siguiente cuadro:

VALOR DEL DISCRIMINANTE TIPO DE SOLUCIONESReales y Diferentes

Reales e IgualesNO tiene soluciones reales (sino complejas)

19. Usando el cuadro anterior, escribe mediante el valor del discriminante, el tipo de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones de segundo grado (no resolverlas):

Ecuación Tipo de solución Ecuación Tipo de solución

a) d)

b) e)

120

m=____ m=____

a = ____ a= ____

c) f)

Desigualdad de primer grado en una variable

20. Define que es una desigualdad de primer grado:

21. Indica las propiedades de orden de una desigualdad.

22. Aplicando las propiedades, comprueba la de suma y resta al sumar el número indicado en ambos lados de las desigualdades siguientes:

a) Sumar 9 en ambos lados de la desigualdad - 5 < 2

b) Restar 7 en ambos lados de la desigualdad 15 > 3

c) Sumar -10 en ambos lados de la desigualdad 12 > 9

d) Restar 5 en ambos lados de la desigualdad –15 < - 3

e) Sumar 16 en ambos lados de la desigualdad 35 ≥ 10

121

23. Aplicando las propiedades, comprobar la de multiplicación y división en las desigualdades siguientes:

a) Multiplica por 2 ambos lados de la desigualdad 10 > -1

b) Dividir entre 3 ambos lados de la desigualdad -18 ≥ - 36

c) Multiplicar por -3 ambos lados de la desigualdad -9 ≤ -6

d) Dividir entre -5 ambos lados de la desigualdad 15 > 10

e) Multiplicar por -10 ambos lados de la desigualdad -6 < 10

24. Escribe cómo se lee cada expresión:

a) -1 ≥ - 3 _____________________________________________________

b) -6 < 8 _____________________________________________________

c) 5 > 1 _____________________________________________________

25. ¿Cómo se le llama al conjunto solución de una desigualdad de primer grado? ______

26. Resolver las siguientes desigualdades de primer grado y expresar el resultado en forma de gráfica:

a) 5x-6≤ 10x + 9

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

122

b) 5x – 3 <27

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

c)

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

d) x- 4(2x+1) ≥ 8- (3x-5)

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA

123

GRÁFICA

e)

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

f)

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

g)

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

124

h) <

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

Desigualdad de segundo grado

27. Define que es una desigualdad de segundo grado:

28. Establece los valores críticos de las siguientes desigualdades de segundo grado:

a) ________________________________________

b) ________________________________________

c) ________________________________________

d) ________________________________________

125

29. Resuelve las siguientes desigualdades de segundo grado, expresando el conjunto solución en forma grafica:

a) x2 > 16

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

b)

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

c) x 2 ≤ 4

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

126

d) x2 – 7x +10 ≥ 0

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

e) <0

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

f)

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

127

g) x2 – 2x -8 < 0

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

h)

SOLUCIÓN RESULTADO EN FORMA GRÁFICA

REACTIVOS TIPO EXAMEN:1. ¿Qué le sucede a una desigualdad si se multiplican ambos lados por un número negativo? A. El sentido de la desigualdad se invierte B. El sentido de la desigualdad no cambia C. La desigualdad se convierte en identidad D. La desigualdad se convierte en ecuación

2.-. Del siguiente listado, elige las cuatro formas de resolver una ecuación cuadrática.

128

1. Formula general2. Sustitución3. Factorización4. Reducción5. completar cuadrados6. grafico

A. 1, 3, 5,6 B. 2, 4, 5,6 C. 1, 2, 3,4 D. 2, 3, 5,6

3. Relaciona concepto, definición y ejemplo.

CONCEPTO DEFINICIÓN

1. Ecuación

2. Desigualdad

a. Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades Desconocidas llamadas incógnitas y cuyo valor sólo se verifica para determinados valores de ellas. b. Es una expresión matemática que determina si un número real es mayor o menor que otro

EJEMPLOc. 2m – 5 7 + md. 3a + 1 = 5 – a

A. 1bc, 2ad B. 1ad, 2bc C. 1bd, 2ac D. 1ac, 2bd

4. Resuelve por factorización o por fórmula general, la sig ecuación de segundo grado: (2 puntos)

La fórmula gral. (si es que la utilizas) es:

129

BIBLIOGRAFIA 1.-Dociani, Mary P. Álgebra Moderna 1 y 2. Ed. Publicaciones Culturales S. A. México, 1993.2.-Eduardo Carpinteyro Vigil, Sánchez Rubén, Algebra, Ed. Publicaciones Culturales, México 20023.-Vargas Eusebio, Hernández Marleny, Algebra, Ed. Santillana,

México 2006

UNIDAD VIII SISTEMA DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

Plantear problemas del entorno cuya solución se obtenga a partir de resolver un sistema de ecuaciones o de desigualdades, para que el estudiante interprete el resultado obtenido.

TEMARIO: I. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.

Se abordarán los conceptos de sistemas de ecuaciones consistentes e inconsistentes.

II. Métodos de solución.

Se revisarán los métodos de eliminación por: suma o resta, igualación y sustitución y los métodos gráfico y por determinantes, para determinar el conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables.

III. Solución de un sistema de dos desigualdades de primer grado en dos variables.

Se abordará el método gráfico para resolver un sistema de dos desigualdades de primer grado en dos o más variables.

IV. Resolución de un sistema de tres ecuaciones lineales.

Se revisarán y aplicarán los métodos de eliminación: suma o resta, igualación, sustitución y por determinantes, para obtener el conjunto solución de un sistema de tres ecuaciones en tres variables.

V. Resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables formado por una de primer grado y la otra de segundo grado.

Se establecerá que en la solución de un sistema de dos ecuaciones, una de primer grado y la otra de segundo, en dos variables se aplicará alguno de los métodos, algebraicos, ya descritos en apartados anteriores; eligiéndose, para cada caso, el más conveniente.

VI. Método gráfico.

130

Se representarán ambas ecuaciones en un mismo plano de coordenadas, enfatizando que la solución corresponde a los puntos de intersección.

Se abordará, como caso particular, la solución de un sistema cuyas ecuaciones sean de la forma: x2 + y2 = r2 y ax + by + c = 0.

ACTIVIDADES:Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.

1. Define sistema de ecuaciones lineales: ______________

2. Escribe 4 ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales

3. ¿Cuando un sistema de ecuaciones es consistente? __________________________________________________________________________________________________________________

4. ¿Cuando un sistema de ecuaciones es inconsistente? __________________________________________________________________________________________________________________

Métodos de solución.

5. Define el conjunto solución de un sistema de ecuaciones:

131

6. En que consiste el método de eliminación por suma o resta.

______

7. Utilizando el método de eliminación por suma o resta, resolver:

a)

X + Y = 2-X + Y = 0

b)

-4a – 8b = 20 3a – 2b = 23

c) d)

X + 2Y = -7-X + 3Y = - 3

8. En qué consiste el método de igualación:

132

X = _______

Y = _______

a = _______

b = _______

X = _______

Y = _______

m = _______

n = _______

9. Utilizando el método de igualación, resolver:

a) X + 6y =277x – 3 y = 9

b)

c)

x + 3y = 65x -2y = 13

d)

10. En qué consiste el método de sustitución:

__ __

11. Utilizando el método de sustitución, resolver:

a)

2x + 3y = 7- x +y=4

b)

-2X + Y – 5 = 03X – 5Y = -4

133

X = _____ Y = _____

A=______B=_______

M=_____N=_______

X = _____ Y = _____

X = _____ Y = _____

X = _____ Y = _____

c)

5 a +6b = 204 a– 3b = -23

d)

12. En qué consiste el método grafico: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

13. Determina, por el método gráfico, la solución de los sistemas de ecuaciones.

a) x + y = 1 2x – y = 2

X Y = (x, f(x))

X Y = (x, f(x))

134

A=______B=_______

M=_____N=________

b) 6x – 5y = -94x + 3y = 13

X Y = (x, f(x))

X Y = (x, f(x))

135

14 En qué consiste el método por determinantes:

15. Utilizando el método por determinantes, resolver:

a) X + Y = 42X – Y = 2

136

b) 11x - 9y = 213x - 15y = -2

c) -7x + 8 y = 25 x - 5y = 8

137

d) 2X + 2Y = -183X – 2Y = -32

Sistema de dos desigualdades de primer grado en dos variables. 16. Define el conjunto solución de un sistema de dos desigualdades de primer grado 17. Encontrar gráficamente el conjunto solución de los siguientes sistemas de desigualdades a) 2x – y 2......... (1) x + 2y < 8........ (2)

138

b) 3x + 2y > 1........... (1) x - y < 6......... (2)

139

c) x – 3y < 2........ (1) .......(2)

140

18. En qué consiste el método de suma y resta para un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas

19. Obtener el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de suma y resta.

a)

2X + Y + Z = 6X – Y – 3Z = -4-X + Y – Z = 5

141

X = ________

Y = ________

Z = ________

b) x +2y +z = 8 2x + 2y +z = 9 3x +3y +5z= 24

c) 2X + 4Y + 5Z = 7-X – 3Y – 2Z = -14-5X + 6Y – 8Z = 88

142

X = ________

Y = ________

Z = ________

X = ________

Y = ________

Z = ________

20. En qué consiste el método de sustitución para un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas:

21. Obtener el conjunto solución de los siguientes sistemas por el método de sustitución.

a) x + y + z = -6 2x + y - z = 5 x – y - z = 8

143

X = ______________

Y = ______________

Z = ______________

b) 3x + 2y –2z= 1 2x – y – 10z= -5 x + 4y + 8z =1

c) x + y + z = -6 2x + y - z = 5 x – y - z = 8

22. En qué consiste el método por determinantes para un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas:

144

X = ______________

Y = ______________

Z = ______________

23. Obtener el conjunto solución de los siguientes sistemas, utilizando el método por determinantes, resolver:

a) -2X - 3Y + 2Z = -32 5X + 4Y – 3Z = 59 3X + 5Y + 5Z = -7

b) 3x + 2y –2z= 1 2x – y – 10z= -5 x + 4y + 8z =1

c)

x + y + z = 4

145

X = ______________

Y = ______________

Z = ______________

X = ______________

Y = ______________

Z = ______________

X = ______________

Y = ______________

Z = ______________

X = ______________

Y = ______________

Z = ______________

2x -3 y +5 z = -53x +4 y +7 z = 10

d) x +y + z = 5 3x +2y +z = 8 2x +3y +3z= 14

146

Sistema de dos ecuaciones con dos variables formado por una de primer grado y la otra de segundo grado.

24. Establece los métodos para resolver un sistema de ecuaciones, una de primer grado y la otra de segundo grado con dos variables:

25. En qué consiste el método de sustitución para un sistema de ecuaciones, una de primer grado y la otra de segundo grado _________________________________________________________ _________________________________________________________

26. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución

a)

x 2 = 9 yx – y = 3

147

b)

x 2 + y2 =13x + y =1

c)

4x2 + y2 = 5x - 2y + 1=0

d)

x 2 = 9 yx – y = 0

e)

2y2 – x2 = 1x – y = -1

148

27. En qué consiste el método grafico para un sistema de ecuaciones, una de primer grado y la otra de segundo grado: __________________________________________________________________________ _________ 28. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método grafico

a)

x 2 - y =0x + y = 3

149

b)x 2 = yx – 2y = 1

150

Método gráfico.29. Representa ambas ecuaciones, la de primer grado (de la forma ax+by+c=0) y la de segundo grado (de la forma x2 + y2 = r2), en un mismo plano de coordenadas, y obtén la solución del sistema de ecuaciones (la cual corresponde a los puntos de intersección).

a) 2x - y -1 = 0 (de la forma ax + by + c = 0). x2 + y2 =13 (de la forma x2 + y2 = r2).

151

b)

4x - 2y + 1=0 (de la forma ax + by + c = 0).4x2 + 4y2 = 5 (de la forma x2 + y2 = r2).

152

c)

x + y = -1 (de la forma ax + by + c = 0). 2y2 – 3x2 = 1 (de la forma x2 + y2 = r2).

153

154

RÚBRICA PARA LA EVALUACIÓN DE LA ACTIVIDAD INTEGRADORA

CONTENIDOS 2 PUNTOS 1.5 PUNTOS 1 PUNTO .5 PUNTOS

Reconoce diferentes tipos de conjuntos

Reconoce los 4 tipos de conjuntos -Universal-Finitos-Ajenos-Vacío

Reconoce solo tres tipos conjuntos -Universal-Finitos-Ajenos-Vacío

Reconoce solo dos tipos conjuntos -Universal-Finitos-Ajenos-Vacío

Reconoce solo uno tipos conjuntos -Universal-Finitos-Ajenos-Vacío

Realiza operaciones con conjuntos

Realiza operaciones de conjuntos y traza el diagrama de ven – Euler

Realiza operaciones y no interpreta de manera general, los diagramas de ven- euler

Realiza los diagramas de ven- Euler pero no efectúa las operaciones correctas de conjuntos

Solo presenta operaciones y diagramas no correctos en los planteamientos

PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL

Reconoce diferentes tipos de números positivos

Reconoce todo los tipos de números positivos-enteros-fracciones racionales-fracciones decimales-proporciones

Reconoce solo tres tipos de números positivos-enteros-fracciones racionales-fracciones decimales-proporciones

Reconoce solo dos tipos de números positivos-enteros-fracciones racionales-fracciones decimales-proporciones

Reconoce solo uno tipos de números positivos-enteros-fracciones racionales-fracciones decimales-proporciones

Realiza operaciones con números en forma de proporción o razón

Realiza operaciones y métodos para obtener e interpretar resultados en proporción o razón

Realiza operaciones y métodos para obtener y no interpreta de manera general resultados en proporción o razón

Realiza operaciones y métodos para obtener y no interpretar resultados en forma de proporción

Solo presenta operaciones y resultados no correctos en proporción o razón

SEGUNDA EVALUACIÓN PARCIAL

CONTENIDOS 2 PUNTOS 1.5 PUNTOS 1 PUNTO .5 PUNTOS

155

Reconoce modelos de variación lineal,

Reconoce y construye modelos lineales entre el tema e infiere resultados con base en estas, en parejas (x,y)

Solo reconoce y construye modelos lineales entre cantidades numéricas del tema

Solo reconoce modelos lineales entre cantidades numéricas del tema

Solo presenta modelos lineales

Realiza operaciones con expresiones binomiales, donde crese en forma exponencial

Reconoce y ejecuta 4 productos notables, para resolver una expresión binomial-binomio al exponente 1 -binomio al cuadrado- binomio al cubo-binomio a la cuarta

Reconoce y ejecuta 3 productos notables, para resolver una expresión binomial-binomio al exponente 1 -binomio al cuadrado- binomio al cubo-binomio a la cuarta

Reconoce y ejecuta 2 productos notables, para resolver una expresión binomial-binomio al exponente 1 -binomio al cuadrado- binomio al cubo-binomio a la cuarta

Reconoce y ejecuta 1 productos notables, para resolver una expresión binomial-binomio al exponente 1 -binomio al cuadrado- binomio al cubo-binomio a la cuarta

TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL

Reconoce modelos de variación lineal

Reconoce y construye modelos lineales del tema e infiere resultados con base en estas, en forma ax +by=c

Solo reconoce y construye modelos lineales entre cantidades numéricas del tema

Solo reconoce modelos lineales entre cantidades numéricas del tema

Solo presenta modelos lineales

Reconoce y ejecuta, métodos de solución en un sistema de ecuaciones lineales

Reconoce y ejecuta 4 métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales -Igualación-Sustitución-Reducción -Determinante

Reconoce y ejecuta 3 métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales -Igualación-Sustitución-Reducción -Determinante

Reconoce y ejecuta 2 métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales -Igualación-Sustitución-Reducción -Determinante

Reconoce y ejecuta 1 métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales -Igualación-Sustitución-Reducción -Determinante

CUARTA EVALUACIÓN PARCIAL

156

REACTIVOS TIPO EXAMEN:1. ¿Cómo se le llama al sistema de ecuaciones que tiene solución?A. Sistemas de segundo gradoB. Sistemas consistentesC. Sistemas inconsistentesD. Sistemas de primer grado

2. Del siguiente listado, elige los cuatro métodos para resolver un sistema de ecuaciones.

1. Sustitución2. Universal3. Diferencia4. Reducción 5. Igualación 6. Determinantes

A. 1, 3, 4,5 B. 1, 4, 5,6 C. 1, 2, 3,4 D. 2, 3, 5,6

3. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales, por el método que prefieras a + 2b =6 5a - 3b =12

157

BIBLIOGRAFIA BÁSICA.

1.- Martínez, Jorge. Conjuntos. Editorial Trillas, México, 1992.

2.- Oteyza et al. Álgebra, segunda edición. Editorial Pearson Prentice Hall, México, 2003.

3.-Flores Meyer, M. Temas selectos de matemáticas. Ed. Progreso. México, 1971. 4.- Dociani, Mary P. Álgebra Moderna 1 y 2. Ed. Publicaciones Culturales S. A. México, 1993.

5.-Eduardo Carpinteyro Vigil, Sánchez Rubén, Algebra, Ed. Publicaciones Culturales, México 2002

6.-Vargas Eusebio, Hernandez Marleny, Algebra, Ed. Santillana,México 2006

COMPLEMENTARIA:

1. Chávez Ochoa, Alejandro. Práctica Matemática 1.

CARTA DE RENUNCIA PARA PRESENTAR PRIMER EXAMEN DE RECUPERACIÓN

México, D.F. a _____ de __diciembre_____ de 2014

P R E S E N T E

Por medio de la presente, yo _______________________________________, con número de

cuenta __ ___, solicito la aplicación del examen de recuperación de la materia ___

____, aceptando que la calificación que obtenga en dicho examen será promediada con mi

promedio parcial considerando que este puede verse afectado.

ATENTAMENTE.

CARTA DE RENUNCIA PARA PRESENTAR PRIMER EXAMEN DE RECUPERACIÓN

158

México, D.F. a _____ de __diciembre_____ de 2014.

P R E S E N T E

Por medio de la presente, yo _______________________________________, con número de

cuenta __ ___, solicito la aplicación del examen de recuperación de la materia ___

____, aceptando que la calificación que obtenga en dicho examen será promediada con mi

promedio parcial considerando que este puede verse afectado.

ATENTAMENTE.

CARTA DE RENUNCIA PARA PRESENTAR SEGUNDO EXAMEN DE RECUPERACIÓN

México, D.F. a _____ de __mayo_____ de 2015.

159

P R E S E N T E

Por medio de la presente, yo _______________________________________, con número de

cuenta __ ___, solicito la aplicación del examen de recuperación de la materia ___

____, aceptando que la calificación que obtenga en dicho examen será promediada con mi

promedio parcial considerando que este puede verse afectado.

ATENTAMENTE.

CARTA DE RENUNCIA PARA PRESENTAR SEGUNDO EXAMEN DE RECUPERACIÓN

160

México, D.F. a _____ de __mayo_____ de 2015.

P R E S E N T E

Por medio de la presente, yo _______________________________________, con número de

cuenta __ ___, solicito la aplicación del examen de recuperación de la materia ___

____, aceptando que la calificación que obtenga en dicho examen será promediada con mi

promedio parcial considerando que este puede verse afectado.

ATENTAMENTE.

161