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INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA SAGRADO CORAZÓN Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE 108758000490

SOLEDAD – ATLÁNTICO.

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PA_00_SGC_13012016 00 GUIAS Última revisión: 13/01/2019

GUÍA N° 1

ÁREA: Matemáticas GRADO:10

DOCENTE: María Teresa Ospino

Fernández

PERIODO: I IH (en horas): 30

EJE TEMÁTICO: ANÁLISIS FUNCIONAL

Competencias Ciudadana para evaluar en el área:

Se comunica a través del diálogo constructivo con los otros Considera las consecuencias de los propios actos

Cuidar de sí mismo y de los demás respetando las diferencias e sus compañeros

DESEMPEÑO: Analiza las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de

funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas

NÚCLEOS TEMÁTICOS:

FUNCIÓN:

Concepto de función Representación de funciones

Dominio y Rango de una función Propiedades

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES: Función lineal

Función cuadrática Función cúbica

Función exponencial Función logarítmicas

Traslación y dilatación (*) Razón de cambio (*)

Límite de una sucesión (*)

INDICADOR(ES) DE DESEMPEÑO(S)

Determina con precisión si una relación es una función Representa de forma algebraica y grafica una función

Identifica claramente los elementos (dominio, rango) de una función Halla el domino y el rango de una función

Comprende característica y propiedades de la función de variable real Identifica las características generales de las diferentes clases de funciones y

completa sus tablas de valores. Diferencia las expresiones algebraicas y las gráficas de las funciones lineales,

cuadráticas, cubicas, exponenciales y logarítmicas Resuelve situaciones que presentan información que se comporta como una

función

SITUACIÓN(ES) PROBLEMA(S):



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La matemática es útil para los veterinarios cuando se trata de hallar la dosis de

medicamento que se debe suministrar a cada mascota. Por ejemplo un medicamento

tiene una dosis médica de 50𝑚𝑔

𝑘𝑔 Ya sea en una tableta o en suspensión y la

concentración para cada tableta es de 500𝑚𝑔

𝑡𝑎𝑏 .

La expresión que permite hallar la Dosis en tabletas que se debe dar vía oral a un perro

o gato de acuerdo con su peso es:

Dosis=𝑝𝑒𝑠𝑜∗𝑑𝑜𝑠𝑖𝑠 𝑚é𝑑𝑖𝑐𝑎

𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛

RESPONDE: La expresión antes vista se puede expresar como una función

Cuál es la variable dependiente y la variable independiente de dicha función

Si un perro de raza pinscher miniatura tiene un peso normal de 5kg ¿Qué dosis del medicamento se le puede aplicar a esta mascota?

Prueba diagnóstica:

a. ¿Cómo se grafica un punto (x, y) en el plano cartesiano? b. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano:

(0,1)(-2,0)(2,5)(-1,-3)(6,1)(1

2,

5

2)

c. ¿Qué forma tiene la gráfica una función lineal y una cuadrática? d. Haga una representación gráfica de una función lineal y una función cuadrática

e. ¿qué propiedades de los números reales se utilizan para resolver ecuaciones lineales? f. El volumen v de una esfera, conociendo el valor de su radio r, está dado por la

expresión 𝑣 =4𝜋

3𝑟

¿A qué es igual el radio si se despeja la ecuación volumen?

1. FUNCIÓN

1.1 Concepto De Función:

Una función es una regla o correspondencia que asigna a cada elemento de un conjunto A uno y sólo un elemento B

𝑓: 𝐴 → 𝐵 se lee la función f del conjunto A en el conjunto B y su ecuación es

𝑓(𝑥) = 𝑦 A la variable x se le llama variable independiente, y la variable y se le llama

variable dependiente; ya que su valor se obtiene dependiendo del valor que

tome x ; el valor de 𝑓(𝑥) se obtiene se obtiene al reemplazar el valor de x, se le

denomina la imagen de x y se lee: f de x

Por ejemplo:

Si se tiene la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 que va de A en B, para determinar las

imágenes de la función (elementos del conjunto B) se debe reemplazar cada

valor de x en la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑥2



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Sea A={-3,-2,-1,0,1,2,3}

X=-3

𝑓(−3) = (−3)2 = 9 Se realiza el mismo procedimiento con cada uno de los elementos del conjunto A

Luego el conjunto B estaría conformado por B={0,1,4,9}

Relación y función.

Una relación R de un conjunto A en B es un subconjunto de pares ordenados del producto cartesiano (AXB), que cumplen con una característica en particular

Por ejemplo: Sea A={1,2,3,4} B={-2,-1,0,1,2,3} la relación R de A en B es

R:x es menor que y R={(1,2)(1,3)(2,3)}

Una función es un tipo particular de relación, toda función es una relación; pero

no toda relación es una función.

A continuación tendremos 2 ejemplos en particulares que representan una relación a través de diagramas sagitales, pero sólo uno de ellos es una función

1.2 representación de funciones una función se puede representar de diferentes formas entre ellas tenemos:

Expresión verbal: Es la descripción de una función por medio de palabras, donde se explica como

una variable depende de otra. Por ejemplo: p (t), es la población mundial en el

instante t. Expresión algebraica:

Es la fórmula o ecuación mediante la cual se expresa una función, la conforman la constante, la variable independiente x, la variable dependiente y



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Tabla de valores:

Es un arreglo de dos filas o dos columnas, en donde se escriben los valores de la variables independiente en la primera fila o columna y sus

respectivas imágenes en la segunda

Representación gráfica; Es la representación en el plano cartesiano de los pares ordenado o grafo

de la función

Ejemplo Realiza las diferentes representaciones de la función que describe el área de un

rectángulo cuyo largo es el doble de su ancho.

2x

X

Solución

a. 𝐴(𝑥) = 2𝑥2 esta sería la representación gráfica de la función que representa la

situación anterior b. Tabla de valores :

Como el área depende de los valores que tome x entonces x es nuestra variable independiente y el área seria la variables dependiente que en el plano cartesiano está

representada por los valores del eje y. Le asignamos valores a x

𝑥 0 1 2 3 4

𝐴(𝑥) 0 2 8 18 32

c. Representación gráfica

Actividad N° 1

Realiza en tu cuaderno.



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Señala cuales de las siguientes relaciones son funciones



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1.3 Dominio Y Rango De Una Función

Domino de una función: es el conjunto de elementos para los cuales la función está

definida, es decir siendo 𝑓: 𝐴 → 𝐵 una función real su dominio está representado por

todos los elementos 𝑥 ∈ 𝐴.

Dom (f)= { 𝑥 ∈ 𝐴: ∃ 𝑦 𝜖 𝐵 ∧ (𝑥, 𝑦) 𝜖 𝑓 }.

Rango De Una Función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 : es el conjunto formado por todos los elementos

del conjunto de llegada que son la imagen de al menos un elemento del dominio Ran (f) = { 𝑦 ∈ 𝐵: ∃ 𝑥 𝜖 𝐴 ∧ (𝑥, 𝑦) 𝜖 𝑓 }.

El rango es el conjunto de imágenes de la función y a los elementos del dominio se les

denominan como pre imagen

Ejemplos : a. En la función f que representa el siguiente diagrama sagital, los elementos son:

b.



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c.



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Actividad N° 2 Realiza en tu cuaderno



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2. Propiedades De Las Funciones Las funciones pueden tener diversas propiedades, las cuales facilitan su análisis y

solución en muchos problemas de aplicación o para tomar decisiones. Veamos algunas:

2.1 Función Inyectiva: Una función es Inyectiva o uno a uno si para todo par de elementos del dominio,

sus imágenes son diferentes; es decir, ningún elemento del conjunto de llegada es imagen de dos elementos de dos o más elementos del dominio

Ejemplos:

Para determinar si una función es Inyectiva se representa de forma gráfica y luego se utiliza el criterio de la recta horizontal, que consiste en trazar rectas

horizontales que intersequen la función, si la intersección de cada recta con la gráfica es un punto la función es Inyectiva, si la intersección con la gráfica es de

dos o más puntos entonces la función no es Inyectiva.



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2.2 Función Sobreyectiva: una función es Sobreyectiva cuando el rango es igual

al conjunto de llegada, es decir cuando todos los elementos del conjunto de llegada son imágenes de por los menos un elemento del dominio.

Ejemplos:

2.3 Función Biyectiva: una función es Biyectiva si es Inyectiva y es Sobreyectiva; es decir, cuando todos y cada uno de los elementos del conjunto de llegada es

imagen a lo sumo de un elemento del conjunto de partida. Ejemplo:




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2.4 Función creciente: una función es creciente en un intervalo[𝑎, 𝑏] si al

aumentar los valores de x aumentan los valores de f(x); es decir, si: 𝑥1 < 𝑥2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) Gráficamente se puede interpretar que una función es creciente en un intervalo cuando la gráfica sube. Ejemplo:

2.5 Función decreciente: una función es decreciente en un intervalo [𝑎, 𝑏]si al

aumentar los valores de x disminuyen los valores de f(x); es decir, si:

𝑥1 < 𝑥2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) Gráficamente se puede interpretar que una función es decreciente en un

intervalo cuando la gráfica baja. Ejemplo:

2.6 Función constante : una función es constante en un intervalo [𝑎, 𝑏] cuando

no crece ni decrece; es decir, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥1, 𝑥2 ∈ [𝑎, 𝑏] Gráficamente se puede interpretar que una función es constante si su gráfica es una recta o segmento horizontal. Ejemplo:



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2.7 Función par e impar:

Función par: una función es par si 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo x que pertenece al

dominio de la función. Para determinar si una función es par se reemplaza –x

por x en f, luego se resuelven las operaciones indicadas que sean posible

efectuar da como resultado 𝑓(𝑥) Función impar: una función es impar si 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) para todo x que

pertenece al dominio de la función. Para determinar si una función es impar se reemplaza –x por x en f, y se resuelven las operaciones indicadas que sean

posible efectuar; luego se determina −𝑓(𝑥) y se compara 𝑓(−𝑥), 𝑐𝑜𝑛 − 𝑓(𝑥) Si se cumple que 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) entonces 𝑓(𝑥) es una función impar

Ejemplos:

2.8 Funciones periódicas: son funciones en las que se cumplen que sus

imágenes se repiten exactamente en el mismo orden en ciertos intervalos del

dominio de la función; es decir, una función 𝑦 = 𝑓(𝑥)es periódica si existe un

número positivo p tal que 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥) para todos los valores de x en el

dominio de f. el menor número p que cumple con la condición 𝑓(𝑥 + 𝑝) =𝑓(𝑥) se le llama periodo de f.



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3. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES: lineales, polinómicas(cuadrática, cúbica), exponencial y logarítmicas

Las funciones se pueden clasificar de diversas maneras, en este curso las analizaremos de acuerdo al tipo de ecuación.

3.1 Función Lineal

Es una función de variable real de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 donde m y b son

números reales constantes; sus principales características son: El dominio y el rango de la función es el conjunto de los números reales

La grafica de una función lineal es una línea recta



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Para determinar la gráfica de la función lineal es suficiente conocer dos

puntos del plano cartesiano que satisfagan su ecuación. La pendiente está representada por m y b indica el punto de corte de la

gráfica de la función con el eje y Si m es un numero positivo la función es creciente en todos los reales, si m

es un número real negativo la función lineal es decreciente en todos los reales, si m=0 la función es constante.

3.2 Función cuadrática Es una función de variable real cuya expresión algebraica es

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Donde a, b, y c son números reales y a≠0.

El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales La grafica es una parábola

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como se ve en la figura

f(x) = 2x2 − 3x – 5

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3



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El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como

un espejo que refleja la mitad de la parábola.

La función es par si b=0, y eje de simetría es el eje y

Las coordenadas del vértice v se representan (ℎ, 𝑘) y se determinan mediante las

expresiones ℎ = −𝑏

2𝑎 𝑦 𝑘 = 𝑓(−

𝑏

2𝑎) la ecuación de su eje de simetría es 𝑥 = ℎ

El rango de la función si a > 0 entonces 𝑟𝑎𝑛𝑓 = [𝑘, ∞), mientras que si a < 0

entonces 𝑟𝑎𝑛𝑓 = (−∞, 𝑘]

Ejemplos:



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3.3 función cúbica: Es una función de variable real cuya expresión algebraica es

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 donde a, b, c y d son números reales y a≠0.

El dominio y el rango de esta función está representado por el conjunto de los

números reales.

La función es impar por lo tanto es simétrica con respecto al origen. A partir de la gráfica también es posible determinar si la función es creciente,

decreciente, impar ya que no todas las funciones cubicas tienen las mismas características y propiedades.




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3.3 función exponencial:



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Actividad N°6

Realiza en tu cuaderno

FASE SOCIAL:

Los estudiantes deben dar respuesta a la situación problema inicial y socializar Resaltar con un ensayo que tan importante son las funciones en la vida cotidiana,

pueden apoyarse en las páginas38, 39 del texto los caminos del saber de 10 que está a su disposición en la institución



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Realizar mapa conceptual de lo visto durante el periodo

Evaluación:

Al finalizar cada una de las actividades se realizara una evaluación ya sea de manera escrita o sustentada en forma oral.

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