guía 108: mi proyecto y mi probabilidad de éxito

Guía 108: Mi proyecto y mi probabilidad de éxito

CH-FyA-0524

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Guía

108 Meta 36

GRADO 11

GUÍA DEL ESTUDIANTE

MI PROYECTO DE VIDA Y MI

PROBABILIDAD DE ÉXITO

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Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas

Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia

Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 108

Jhon Jairo Pinto, Colegio Antonio Nariño

Franklin Rafael Lozano Madera, I. E. Los Colores MONTERÍA

Coordinación pedagógica

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

http://www.grupolema.org/

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Guía

108 GRADO 11

MI PROYECTO DE VIDA Y MI

PROBABILIDAD DE ÉXITO

GRADO 11 - META 36 - PENSAMIENTO ALEATORIO

Guía 106 (Duración 13 h)

● Asociaciones positivas y negativas

entre variables aleatorias.

● Medidas de dispersión: varianza,

desviación estándar (para variables

discretas y continuas).

● Coeficiente de correlación entre

variables aleatorias)


• Dispersión de un

conjunto de datos (ideas

fundamentales).

• Varianza y desviación

estándar.


ACTIVIDAD 1

• Profundización: probabilidad condicional.

• Teorema de Bayes. ACTIVIDAD 2

• Varianza y desviación estándar.

• Cálculo de probabilidades usando el

teorema de Bayes, junto con árboles y

modelos de área.

META DE APRENDIZAJE N. 36

Analizo a partir de la estadística inferencial las posibilidades de éxito de mi proyecto de vida al escoger una carrera

universitaria o laboral, según las oportunidades de mi contexto y las variables estadísticas implicadas. Para ello, hago

estudios estadísticos analizando cómo relacionar estas variables (asociaciones positivas y negativas, coeficiente de

correlación); identifico el grado de dispersión de un conjunto de datos, utilizando el promedio, la varianza y la desviación

estándar; profundizo en las nociones de probabilidad condicional e independencia de eventos usando el Teorema de Bayes,

áreas y árboles para calcular probabilidades. Así, aprendo a analizar la dependencia entre fenómenos que impactarán mi

vida después de la escolaridad.

PREGUNTAS ESENCIALES GUIA 108

Actividad 1

● ¿Qué situaciones de mi cotidianidad son susceptibles de ser cuantificadas a partir de los conceptos de

probabilidad?

● ¿Qué tanto sabes acerca de las instituciones educativas técnicas, tecnológicas y profesionales en el municipio, y

sobre los programas que ofrece cada una de ellas para la continuidad de tus estudios?

● Con la temática vista y la diferente información recolectada, ¿clarificaste el paso a seguir en tu proyecto de vida?

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EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE GUIA 108

Actividad 1:

● Interpreto y analizo críticamente los resultados y las inferencias presentadas en el estudio estadístico de mi

proyecto de vida.

● Propongo y realizo experimentos aleatorios en contextos de azar de mi entorno y analiza la ocurrencia de eventos,

en los cuales el espacio muestral es indeterminado.

● Deduzco bajo las condiciones anteriores cuál es el resultado más probable para llevar a cabo mi proyecto de vida.

● Me apoyo en diversas herramientas digitales para realizar los procesos investigativos e inferenciales de la

probabilidad de éxito de mi proyecto de vida.

● Reconozco los diferentes elementos de la estadística inferencial que tienen incidencia en mi contexto y los

comunico,

Actividad 2:

● Interpreto, valoro y analizo críticamente los resultados y las inferencias presentadas en el estudio estadístico de

su proyecto de vida.

● Propongo y realizó experimentos aleatorios en contextos de azar y predice la ocurrencia de eventos, en casos para

los cuales el espacio muestral es indeterminado.

● Deduzco bajo las condiciones anteriores cuál es el resultado más probable para llevar a cabo mi proyecto de vida.

● Me apoyo en diversas herramientas digitales para realizar los procesos investigativos e inferenciales de la

probabilidad de éxito en su proyecto de vida.

● Reconozco los diferentes elementos de la estadística inferencial que tienen incidencia en su contexto.

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno

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ACTIVIDAD

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ACTIVIDAD 1: LA PROBABILIDAD

Asumimos el concepto de la probabilidad y la teoría de

fenómenos aleatorios a partir de muestras probabilísticas.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y ESPACIOS MUESTRALES

Un experimento es una observación de un fenómeno que ocurre en la naturaleza.

Experimentos determinísticos:

Son aquellos en los que no hay incertidumbre acerca del resultado que ocurrirá cuando estos son

repetidos varias veces.

Experimentos aleatorios:

Son aquellos en donde no se puede anticipar el resultado que ocurrirá, pero si se tiene una completa

idea acerca de todos los resultados posibles del experimento cuando este es ejecutado.

Ejemplos de experimentos aleatorios:

1. De los siguientes experimentos cuales se denominan aleatorios y cuales

determinísticos

a. Número de personas que suben a un autobús en una parada.

b. Aplicar el teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo.

c. Acertar el número de la lotería.

d. Calcular la raíz cuadrada de un número.

e. Averiguar la distancia que recorre un vehículo cuando circula a 80 km/h


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ACTIVIDAD

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f. Conocer si la próxima persona con la que me cruce es hombre o mujer.

Solución:

a. Aleatorio.

b. Determinista.

c. Aleatorio.

d. Determinista.

e. Determinista.

f. Aleatorio.

2. Calcular el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios

a. Lanzar una moneda y anotar la cara superior.

b. Extraer dos bolas de una urna que contiene 4 bolas negras y tres rojas

Solución:

b)

PRINCIPIO BÁSICO DE CONTEO

El principio básico o fundamental de conteo

se puede utilizar para determinar los

posibles resultados cuando hay dos o más

características que pueden variar.

Ejemplo: El helado puede venir en un cono o

una tasa y los sabores son chocolate, fresa y

vainilla


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ACTIVIDAD

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PRACTICA

1. Identifica el espacio muestral del siguiente experimento aleatorio

a. Lanzamiento de tres monedas.

b. Extraer sin reemplazamiento dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas negras, dos

blancas y una roja.

2. Un estudiante va a contestar un examen de matemáticas, en el cual hay cuatro preguntas de

verdadero o falso. ¿De cuántas formas puede contestar el examen?

3. Al llegar a una intersección de carreteras, un vehículo puede dar vuelta a la derecha (D), puede

dar vuelta a la izquierda (I), o puede seguir de frente (F). El experimento consiste en observar el

movimiento de tres vehículos al llegar al cruce.

a) Obtener el espacio muestral

b) Determinar los elementos del siguiente evento: por lo menos dos o más vehículos siguen

de frente en el cruce.

B) Conceptos

La probabilidad es un mecanismo que permite

el uso parcial de la información, o sea la que

se encuentra contenida en la MUESTRA, lo que

le va a permitir inferir sobre la naturaleza o

características de un conjunto de

observaciones mayor denominado POBLACIÓN.

https://youtu.be/9LNLBEm3wow

https://www.youtube.com/watch?v=6pSmv0Q

mckc

https://youtu.be/9LNLBEm3wow

https://www.youtube.com/watch?v=6pSmv0Qmckc

https://www.youtube.com/watch?v=6pSmv0Qmckc


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ACTIVIDAD

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En una pastelería hay 28 hombres y 32 mujeres. Se sabe que 15 de esos hombres y 20 de esas mujeres

prefieren tortas de piña y el resto prefiere lúcuma. Si eligen una persona al azar. ¿Cuál es la

probabilidad de que esa persona sea mujer y prefiera las tortas de lúcuma?

Con dicha información, se puede construir la siguiente tabla:

De la cual, teniendo en cuenta la fórmula clásica

de la probabilidad, se obtiene:

P(sea mujer y prefiera tortas de lucuma)

= P(Solo hay 12 mujeres que les guste la torta

de lucuma) / P(En total hay 60 personas en la

pastelería).

Ahora reemplazando por los valores que nos da

la tabla de contingencia

(sea mujer y prefiera tortas de lucuma) =

( 12 )/(60 )=0.2 ;

𝟏𝟐

𝟔𝟎= 0,2

2. suponga el lanzamiento de una moneda lo

normal sería obtener cara(C) y sello (S)

P de obtener cara = 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 =

𝟏

𝟐 =

0,5 = 50 %

3. Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que en la cara superior salga cada número del 1 al 6?

Compruebo, a través de una operación, la respuesta.

Solución: analizo cada uno de los eventos posibles.

Suceso A= que salga 1 Suceso B= que salga 2 Suceso C= que salga 3


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ACTIVIDAD

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Suceso D= que salga 4 Suceso E= que salga 5 Suceso F= que salga 6

Por lo tanto: P(A)=1/6, P(B)=1/6, P(C)=1/6, P(D)=1/6, P(E)=1/6, P(F)=1/6

Esto se debe a que cada número sólo aparece una vez en el dado y son seis números los que tiene en

total el dado.

Ahora, para comprarlo al sumar todas las probabilidades debe dar como resultado 1, ya que esa es una

característica de la probabilidad, así:

1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6 = (1+1+1+1+1+1)/6 = 6/6 = 1

4. si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0.65, cuál es la probabilidad de que este suceso no

ocurra

Sabemos que la probabilidad de que ocurra un suceso es uno por lo tanto tenemos la siguiente

expresión

P (total) = 1 = P(ocurra un suceso) + P(no ocurra un suceso)

sabiendo esto reemplazamos los valores que conocemos y si es necesario despejamos si hay la

necesidad.

P (total) = 1 = P(ocurra un suceso) + P(no ocurra un suceso)

P (total) = 1

P(ocurra un suceso) = 0,65

P(no ocurra un suceso)= ?

1 = P(0,65) + P(no ocurra un suceso); despejamos P(no ocurra un suceso)

P(no ocurra un suceso) = 1 - P(0,65)

P(no ocurra un suceso) = 0,35

MINI-EXPLICACIÓN: FUNCIÓN O DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA

Así como con datos agrupados como con datos no agrupados es posible estimar, calcular e interpretar

su comportamiento mediante diversas medidas “estadígrafos” de posición como la media, la mediana y

la moda; con eventos provenientes de experimentos aleatorios también es posible describir y

establecer su comportamiento.

por ejemplo:

Si de los resultados de un experimento aleatorio “ Lanzamiento de un dado no cargado una vez” ,

interesa “sacar u obtener un par”, entonces definimos la variable, X: obtener un número par.

Luego los valores para esta variable son:


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ACTIVIDAD

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X = 0 se relaciona con los eventos (opciones) 1, 3, 5 o lo que es lo mismo con el evento

A = se obtiene un número impar.

X = 1 que corresponde al evento 2, 4, 6 o con el evento B

B = se obtiene un número par

acorde con lo definido anteriormente tenemos que:

● P⦋X = 0] = P⦋A] = 3/6

● P⦋X = 1] = P⦋B] = 3/6

Los resultados obtenidos los podemos resumir en un tabla llamada distribución de probabilidad

X 0 1

P = P⦋X = x] 3/6 3/6

si se suman los valores debe cumplir que esta suma es igual a 1

P⦋X = 0] + P⦋X = 1] = P⦋A] + P⦋B] = 3/6 + 3/6 = 6/6 = 1

LEYES DE LA PROBABILIDAD

1. Eventos mutuamente excluyentes

Si dos sucesos son tales que sólo uno de ellos se puede ocurrir o dar en un solo ensayo se dicen que

son eventos mutuamente excluyentes, se denomina probabilidad aditiva y será igual a la suma de las

probabilidades de cada suceso.

𝑃 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + ⋯ + 𝑃𝑛−1 + 𝑃𝑛.

Sea la probabilidad de obtener un As o un Rey, sacando una carta en la baraja de 40 cartas.

En las cuarenta cartas hay 4 Ases y 4 Reyes.

Probabilidad de un as P1 = 4/40 = 1/10

Probabilidad de un Rey P2 = 4/40 = 1/10

La probabilidad será la suma de las probabilidades P (1) + P (2)

P = P (1) + P (2) = 1/10 + 1/10 = 2/10 = ⅕

2. Eventos no mutuamente excluyentes


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ACTIVIDAD

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Sea el suceso E1, extracción de un as de una baraja y E2 el suceso de extracción de una espada,

podemos decir que el E1 y E2 no son mutuamente excluyentes, puesto que puedes ser extraído el As de

espadas. Así la probabilidad de extraer un As o una espada o ambas queda determinada así.

P ⦋E (1) + E (2)] = P (E1) + P (E2) - P⦋ (E1) * (E2)] =

P (E1) = 4/52

P (E2) = 13/52

P⦋ (E1) * (E2)] = 4/52 * 13/52 = ( 4*13)/ (52*52) = 52/ 2704 = 1/52

P ⦋E (1) + E (2)] = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 17/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13

3. Eventos independientes

Se dice que dos o más eventos son independientes si la probabilidad de presentación de alguno de

ellos queda influenciado por la presentación del otro.

P = P1 * P2* P3 * P4 * P5 * P6 *……………………* Pn

Ej. Se lanza una moneda que no se encuentre cargada, durante tres veces. Caclulemos P, la

probabilidad de que los resultados sean sello:

Sean: P1 = Probabilidad de sacar sello en el primer lanzamiento;

P2 = Probabilidad de sacar sello en el segundo lanzamiento;

P3 = Probabilidad de sacar sello en el tercer lanzamiento;

P1 = ½; P2 = ½; P3= ½

P = P1•P2•P3

P = ½•½•½ = ⅛.

4. sucesos dependientes

Decimos que los sucesos son dependientes o eventos compuestos, si la ocurrencia o no de un evento en

cualquier prueba afecta la probabilidad de otros eventos en otras pruebas, es decir, que la probabilidad


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ACTIVIDAD

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del segundo suceso depende del primero, el tercero depende de que haya ocurrido el primero y segundo

y así sucesivamente.

MINI-EXPLICACIÓN: PROBABILIDAD CONDICIONAL

Diversos eventos o sucesos probabilísticos tienen información que reducen el espacio muestral original

a uno de los subconjuntos.

Las probabilidades asociadas al subconjunto determina la probabilidad condicional, su fórmula es:

“Probabilidad de B dado A” = P(B|A) = P(B n A) / P(A)

Ej. El 20% de los empleados de la granja Triple A tienen vehículo, el 23% tienen apartamento propio y

el 15% tienen vehículo y apartamento.

Queremos saber cuál es la probabilidad de que un empleado tenga apartamento si posee vehículo.

Z = (Empleado con vehículo)

Y = (Empleado con Apartamento)

Z´ = (Empleado sin vehículo)

Y´ = (Empleado si Apartamento)

Probabilidades: Y Y´ Total

Z 0,15 0,05 0,20

Z´ 0,08 0,72 0,80

Total 0,23 0,77 1,00

P (Y|Z) = P(Y n Z) / P(Z)


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ACTIVIDAD

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P (Y|Z) = 0,15/0,20 = 0,75

La probabilidad de que los empleados tengan apartamento dado que ya poseen vehículo es del 75%.

Ejemplo

1. Probabilidad de seleccionar bombillas fundidas

Se dispone de tres cajas con bombillas.

La primera contiene bombillas, de las cuales a y cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas,

estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho.

¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté

fundida?

2. Chicos y chicas que estudian lenguas extranjeras

En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés.

En un determinado curso, el % de los alumnos estudia inglés y el resto francés.

El % de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos él %.

Al elegir un alumno al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica?


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ACTIVIDAD

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RECUERDA

P (ocurra el evento A o no) = 1 = P(ocurra el

evento A) + P(no ocurra el evento A)

La suma de las probabilidades es igual a 1

La probabilidad de un evento poco probable “

imposible” es cero(0)


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ACTIVIDAD

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C) Resuelve y practica

1. Se lanza simultáneamente dos monedas; hallar la probabilidad de obtener dos caras.

2. De una urna que contiene 3 bolas rojas y 6 bolas azules se extraen simultáneamente dos bolas; a.

Hallar la probabilidad de que las dos bolas sean rojas.

b. Hallar la probabilidad que las dos bolas sean azules.

3. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio

muestral y hallar la probabilidad de:

a. Extraer las dos bolas con reemplazamiento

b. Sin reemplazamiento

4. Una clase consta de hombres y mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen

los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga

los ojos castaños.

se lanza un dado una vez. sea la variable X: número par mayor a cinco y la variable Y: número par menor a

cinco

5. construye el espacio muestral S.

6. Obtén la distribución de probabilidad de la variable discreta X: número par mayor a cinco.

7. Obtén la distribución de probabilidad de la variable discreta Y: número par menor a cinco.

8. De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas Calcular la probabilidad de que:

a. Las dos sean copas

b. Al menos una sea copas

c. Una sea copa y la otra espada

9. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del

mismo. Este se realiza al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado

del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

10. Se lanza una moneda cuatro veces y se anotan los resultados obtenidos:

a. Hallar el espacio muestral.

b. Si el evento A consiste en que por lo menos dos de los cuatro lanzamientos sean cara, enunciar el

evento A


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ACTIVIDAD

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c. Enumerar el evento que consiste en tener en el resultado a lo sumo tres sellos .

d. Considere el evento en el que se tiene al menos una cara y un sello. enumerar sus elementos.

11. se lanza un dado balanceado dos veces

a. construye el espacio muestral.

b. cual es la probabilidad de obtener menos de 8.

c. cual es la probabilidad de obtener más de 5

d. cual es la probabilidad de obtener entre 10 y 12

e. Elabora la distribución de probabilidad de X: se obtiene un número par

f. Elabora la distribución de probabilidad de Y: se obtiene un número impar.

g. Calcula la suma de las probabilidades de la variable discreta X: se obtiene un número impar

h. Calcula la suma de las probabilidades de la variable discreta X: se obtiene un número par

12. El mundo sufre en la actualidad un problema global conocido como cambio climático. Si la emisiones

contaminantes en estado sólido, líquido, gaseoso o gel que se hacen al ambiente no se disminuyen, se

elevará la temperatura de la tierra. Lo cual afectará la vida del planeta debido al efecto invernadero y

el descongelamiento de las reservas acuíferas de los polos, entre otros. Busca en internet

información relacionada con la variación de la temperatura y el nivel del agua en los mares en los

últimos 10 años.

a. Cual es la probabilidad de que en el año 2020 la temperatura se incremente medio grado.

b. Cual es la probabilidad de que en ese mismo año el nivel del mar se incremente en 3 milímetros.

c. Es posible calcular o predecir con certeza este tipo de situaciones.

d. Qué hacer para disminuir o mitigar este tipo de impacto sobre el ambiente.

KHAN ACADEMY

https://es.khanacademy.org/math/ap-statistics

https://es.khanacademy.org/math/probability/probability-geometry

Probabilidad y teoría estadística

https://youtu.be/w1o62wHxKZI

https://www.youtube.com/watch

?v=NfiLhigoF6w

https://youtu.be/0lxZMaoeUno https://youtu.be/FBRAWqFgPqc

https://es.khanacademy.org/math/ap-statistics

https://es.khanacademy.org/math/probability/probability-geometry

https://youtu.be/w1o62wHxKZI

https://www.youtube.com/watch?v=NfiLhigoF6w

https://www.youtube.com/watch?v=NfiLhigoF6w

https://youtu.be/0lxZMaoeUno

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D) Resumen

https://www.mindmeister.com/folders

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ACTIVIDAD

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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Evidencias ⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien el

tema

Comprendo el

significado

de la

probabilidad

y lo

explicó en

términos

cotidianos

Juzgo la

importancia

de la

probabilidad

y su

aplicabilidad

en mi

contexto.

Evaluó el

concepto de

probabilidad

condicional y

lo comunico

en mi

contexto.

Reconozco

las leyes de

probabilidad

e identifico

su

ii) Preguntas de comprensión

1) La probabilidad de un evento puede ser un

valor

a,Mayor que 0

b. menor que 1

c. 0 < P < 1

2) ¿En Eventos mutuamente excluyentes se

cumple que la probabilidad es igual a la suma

de las probabilidades.

[ ] Sí. [ ] No.

3) ¿Uno de los siguientes eventos no hace

parte de las leyes de la probabilidad

a.Eventos mutuamente excluyentes

b. Eventos asociados

c. Eventos no mutuamente excluyentes

4) use los conocimientos de la unidad para

completar las frases:

a. En todo experimento aleatorio debe

identificar el conjunto de ________ _____ este conjunto debe ser _______

y sus elementos ____________________

b. El conjunto de sucesos posibles es

completo si __________________

c. Los elementos del conjunto de sucesos

posibles debe ser mutuamente

excluyente, es decir ______________

d. En la definicion clasica de probabilidad,

la probabilidad de ocurrencia de un

suceso se obtiene dividiendo

______________________________

______________________________


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ACTIVIDAD

1

20

importancia

en mi diario

vivir

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema

1. Un fabricante de pinturas de Ibagué tiene un envío de 2500 latas cuyo peso es de 7

kilos c/u encontrándose doscriminacion según el color de la siguiente manera:

900 latas son de pintura negra, 500 latas son de pintura blanca, 400 latas son de

pintura roja, 250 latas son de pintura amarilla y 450 latas son de pintura verde.

Determina:

a. El espacio muestral

b. La probabilidad de sacar una lata de pintura roja.

c. La probabilidad de elegir al azar una lata de pintura roja, negra y amarilla.

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GRADO 11

ACTIVIDAD

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ACTIVIDAD 2: VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Aprendamos a identificar y calcular en una serie de datos agrupados y no agrupados, la varianza

y la desviación estándar de una muestra y una población.

A) Activando saberes previos

Varianza de la población (σ2)

La varianza de un conjunto de datos se define como la media aritmética de los cuadrados de las diferencias

de los datos con su media aritmética.

Desviación estándar de la población (σ)


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ACTIVIDAD

2

22

La desviación estándar de un conjunto de datos es la raíz

cuadrada positiva de la varianza.

Te recomendamos calcular primero la varianza de la población

y luego sacar su raíz cuadrada para obtener la desviación estándar.

Ten en cuenta que, si tienes una serie de valores de una población y necesitas calcular su varianza y su

desviación estándar, deberás calcular primero la media poblacional µ con la siguiente fórmula:

Varianza de la muestra (s2)

La fórmula de la varianza de la muestra es diferente a la de la varianza de la población.

Desviación estándar de la muestra (s)

Recuerda que la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Ten en cuenta que, si tienes una serie de valores de una muestra y necesitas calcular su varianza y su desviación estándar, deberás calcular primero la media poblacional x̄ con la siguiente fórmula:

Puedes visitar la siguiente página web para obtener mayor información sobre varianza y desviación

estándar. kYhttps://www.youtube.com/watch?v=oZRaDwnpX

https://www.youtube.com/watch?v=oZRaDwnpXkY


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ACTIVIDAD

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Si necesitamos calcular la varianza y la desviación estándar de un conjunto de datos agrupados por

intervalos en un tabla de frecuencias, usaremos las siguientes fórmulas:

Ejemplo ilustrativo:

Calcular la varianza y la desviación estándar de una población de niños a partir de la siguiente tabla:


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GRADO 11

ACTIVIDAD

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Solución: En este caso, nos dicen que los datos pertenecen a una población de niños, por lo tanto, usaremos

las fórmulas de la población. Primero calculamos el número de elementos de la población N:

Con ayuda de la tabla, calculamos la suma de las frecuencias fi.

Ahora si, calculamos N.

Como segundo paso, calcularemos las marcas de clase. Recordemos que la marca de clase xi, es el punto

medio del límite inferior y el límite superior de cada intervalo. Se calcula con la siguiente fórmula:

Agregamos una columna más a nuestra tabla para la marca de clase xi:


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ACTIVIDAD

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Como tercer paso, calculamos la media poblacional µ:

Agregamos una columna más a nuestra tabla, dónde colocaremos los valores de xi・fi:

Aplicamos la fórmula: La media poblacional µ tiene un

valor de 4 años.

Como cuarto paso, calculamos la varianza de la población:

Agregamos más columnas a nuestra tabla, buscando la forma de la fórmula de la varianza:


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ACTIVIDAD

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Aplicamos la fórmula de la varianza de la población:

Recuerda que la varianza queda expresada en unidades al cuadrado, por ello, nos queda en años al cuadrado.

Como último paso, calculamos la desviación estándar, recordando que es la raíz cuadrada positiva de la

varianza.

El valor de la desviación estándar poblacional σ es de 2,175 años.

RECUERDA QUE...

En los ejercicios, se siguen los siguientes pasos:

1. Se calcula la media.

2. Se calcula la varianza.

3. Se calcula la desviación estándar, que es la raíz cuadrada positiva de la varianza.


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ACTIVIDAD

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B) Conceptos

Varianza y Desviación Estándar

La desviación simplemente significa qué tan lejos de lo normal.

Desviación estándar

La desviación estándar de un conjunto de datos es un valor no negativo que mide cuánto se separan los

datos. Su símbolo es σ (la letra griega sigma en minúscula).

La fórmula es fácil: es la raíz cuadrada de la varianza. Así que, "¿qué es la varianza?"

Varianza

La Varianza es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.

Para calcular la Varianza sigue estos pasos:

● Calcula la media (el promedio de los números)

● Ahora, para cada número resta la media y eleva el resultado al cuadrado (la diferencia elevada al

cuadrado).

● Ahora calcula la media de esas diferencias al cuadrado. (¿Por qué al cuadrado?)

Ejemplo

Tú y tus amigos han medido las alturas de sus perros (en milímetros):

Las alturas (hasta el lomo de cada perro) son: 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430mm y 300mm.

Calcula la media, la varianza y la desviación estándar.

Respuesta:

Media = 600 + 470 + 170 + 430 + 3005

https://www.disfrutalasmatematicas.com/media.html

https://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/desviacion-estandar.html#WhySquare


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ACTIVIDAD

2

28

= 19705

= 394

Así que la altura media es 394 mm. Vamos a dibujar esto en el gráfico:

Ahora calculamos la diferencia de cada altura con la media:

Para calcular la varianza, toma cada diferencia, elévala al cuadrado, y calcula la media:

Varianza

σ2 = 2062 + 762 + (−224)2 + 362 + (−94)2 5

= 42436 + 5776 + 50176 + 1296 + 88365

= 1085205

= 21 704

Así que la varianza es 21.704.

Y la Desviación Estándar es la raíz cuadrada de la Varianza, así que:

Desviación Estándar

σ = √21 704


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2

29

= 147,32…

= 147 (redondeado a mm)

Y lo bueno de la desviación estándar es que es útil: ahora podemos ver qué alturas están dentro de una

desviación estándar (147mm) de la media:

Así que usando la desviación estándar tenemos una manera "estándar" de saber qué es normal, o extra

grande o extra pequeño.

Algunos problemas:

1. Determina la desviación estándar de los siguientes datos no agrupados para población y

muestra.

a) Los salarios por hora de una muestra de empleados de una tienda son: $15, $20, $22, $18 y $19.

Calcular la varianza y la desviación estándar.

b) Considere una muestra con los datos 29, 28, 20, 15, 40, 36, 28 y 20. Calcular la varianza y la

desviación estándar.

c) La media y la varianza de los tiempos x1, x2, ... , xN utilizados en realizar N tareas similares, son:

17 y 4,8 respectivamente. El costo por realizar cada tarea es yi = 20 + 0,5xi + 0,1xi 2. Hallar la

media de los costos.

d) Si el conjunto de datos formado por 12, 6, 7, 10, 11, 12, 6, 11, 14 y 11 corresponde a una población,

calcular la varianza y la desviación estándar.

2. Para los siguientes datos agrupados, calcular la varianza y desviación estándar de las edades de

una población de niños a partir de la siguiente tabla:


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2

30

3. Investiga cómo se interpreta la desviación estándar de forma gráfica. Realiza un ejemplo

ilustrativo.

C) Resuelve y practica

1. Determinar:

a) Se tiran 10 veces seguidas un dado, con resultados: 2, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 3, 3. Calcula la varianza y

la desviación estándar de las tiradas.

b) Si el conjunto de datos formado por 13, 6, 7, 12, 10, 12, 7, 13, 14 y 12 corresponde a una población,

calcula la varianza y la desviación estándar.

c) Considere una muestra con los datos 27, 25, 20, 15, 30, 34, 28 y 25. Calcula la varianza y la

desviación estándar.

2. CONTESTA (V) VERDADERO O (F) FALSO, SEGÚN CORRESPONDA:

a) ( ) La fórmula de la varianza de la muestra es diferente a la de la varianza de la población.

b) ( ) La desviación estándar es la raíz cuadrada negativa de la varianza.

c) ( ) Podemos usar las mismas fórmulas para calcular la varianza de datos agrupados con la de no

agrupados.

d) ( ) Es correcto afirmar que el proceso analítico para determinar desviación estándar y varianza para

datos agrupados es el mismo?

e) ( ) La varianza queda expresada en unidades al cuadrado.

3. COMPLETA:

a) La varianza se define como___________________________________________________

_________________________________________________________________________


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31

b) La desviación estándar es la ______________________ positiva de la ________________.

c) El símbolo de la desviación estándar es la letra griega ______ y se lee __________________

d) Con esta fórmula podemos hallar la varianza para una población:

___________________________

(Explica cada variable o parámetro de tu fórmula.)

3. CALCULAR:

a) Halla la varianza y desviación estándar de las edades de una población de niños a partir de esta tabla:

i Edad (años)

Xi

Frecuencia Fi

1 6 9

2 7 12

3 8 9

PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY (u otros portales)

En estos enlaces puedes encontrar explicaciones a diferentes ejercicios sobre varianza que nos servirán

para reforzar el tema anteriormente visto.

https://es.khanacademy.org/math/statistics-probability/summarizing-quantitative-data/variance-standard-

deviation-population/v/variance-of-a-population

https://es.khanacademy.org/math/statistics-probability/summarizing-quantitative-data/variance-standard-

deviation-population/v/population-standard-deviation

https://es.khanacademy.org/math/statistics-probability/summarizing-quantitative-data/variance-standard-deviation-population/v/variance-of-a-population

https://es.khanacademy.org/math/statistics-probability/summarizing-quantitative-data/variance-standard-deviation-population/v/variance-of-a-population

https://es.khanacademy.org/math/statistics-probability/summarizing-quantitative-data/variance-standard-deviation-population/v/population-standard-deviation

https://es.khanacademy.org/math/statistics-probability/summarizing-quantitative-data/variance-standard-deviation-population/v/population-standard-deviation


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ACTIVIDAD

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D) Resumen


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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Evidencias ⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien el

tema

1.

2.

3.

4.

ii) Preguntas de comprensión

1) La desviación estándar se puede

representar gráficamente.

[ ] Sí. [ ] No.

2) ¿Podemos utilizar la fórmula de la

varianza de la muestra para hallar la de la

población?.

[ ] Sí. [ ] No.

Completa:

3) La varianza se simboliza de la forma

________

4) La varianza y la desviación estándar son

medidas de _____________.

5) La siguiente ecuación ____________

sirve para determinar la varianza de una

muestra.

iii) Resuelvo un problema

a) ¿Es posible utilizar la misma ecuación de la varianza de la muestra para hallar la varianza de la

población?. Justifica tu respuesta.

b) ¿Para qué nos sirven estas 2 medidas de dispersión vistas?

c) ¿Por qué es importante la media o promedio en el proceso analítico de la desviación estándar y la

varianza?

d) ¿Por qué es importante identificar los datos agrupados o no agrupados en estas medidas de

dispersión?

guía 108: mi proyecto y mi probabilidad de éxito

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