graficando con gnuplot. armónicos cilíndricos
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Partıcula en un pozo cilındrico
Graficas parametricas con GNUPlot
Marcelo Videa
17 de febrero de 2014
Los armonicos cilındricos son soluciones a la ecuacion de Schrodinger para una partıcula en un
pozo cilındrico de diametro a que, en coordenadas cilındricas se expresa como:
Hψ(r, θ) = − h2
2m∇2ψ(r, θ) = Eψ(r, θ)
− h2
2m
(∂2
∂r2+
1
r
∂
∂r+
1
r2∂2
∂θ2
)ψ(r, θ) = Eψ(r, θ) (1)
y donde, aplicando separacion de variables, ψ(r, θ) = R(r)Θ(θ). Resolviendo la ecuacion 1 se ob-
tienen las siguientes funciones:
Θ(θ) =1√2πeinθ n = 0,±1,±2, . . .
R(r) = CJn
(zmnra
)m = 1, 2, 3, . . .
donde Jn es una funcion de Bessel de orden n y zmn corresponde a la m-esima raız de dicha funcion
y C es una constante.
Los valores de zm,n se tabulan a continuacion:
zmn n = 0 n = 1 n = 2 n = 3
m = 1 2.4048 3.8317 5.1356 6.3804
m = 2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610
m = 3 8.6537 10.173 11.620 13.015
m = 4 11.792 13.324 14.796 16.223
Graficando con GNUPlot
Para graficar ψ(r, θ) en GNUPlot es necesario seleccionar el mapeo en coordenadas cilındricas
y el uso de las variables parametricas u y v
x = v cos(u)
y = v sin(u)
z = z
lo que se logra con los comandos
gnuplot> set mapping cylindrical
gnuplot> set parametric
gnuplot> set vrange[-1:1]
gnuplot> set urange[0:2*pi]
las dos ultimas lıneas establecen el rango de v y de u, respectivamente. En particular, esto implica
que el radio de la caja, a, es 1.
Para m = 1, n = 0 y m = 2, n = 0 las funciones ψ(r, θ) son CJ0
(z10ra
)y C ′J0
(z20ra
),
respectivamente. Entonces
gnuplot> set isosamples 50,50
gnuplot> set hidden3d
gnuplot> splot v*cos(u), v*sin(u), besj0(2.4048*v) title ‘m=1,n=0’
gnuplot> splot v*cos(u), v*sin(u), besj0(5.5201*v) title ‘m=2,n=0’
lo que produce la imagen siguiente. El numero de isosamples determina la finura de la malla con la
que se dibuja la superficie y hidden3d permite distinguir la parte superior e inferior de la superficie.
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Para m = 1, n = 1 la funcion ψ(r, θ) es CJ0
(z11ra
)eiθ. Es decir, la funcion tiene una parte real
y una parte imaginaria. Utilizando la relacion de Euler
eiθ = cos θ − i sin θ
se pueden graficar las funciones escribiendo
gnuplot> splot v*cos(u), v*sin(u), besj1(3.8317*v)cos(u) title ‘m=1,n=1’
gnuplot> splot v*cos(u), v*sin(u), besj0(3.8317*v)sin(u) title ‘m=1,n=-1’
gnuplot> set contour base
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donde el comando set contour permite graficar un mapa de contornos en la base. En este caso, en
ambas graficas se observa la presencia de un nodo angular. Cada grafica se puede interpretar como
la representacion de cada uno de los estados degenerados correspondientes a los numeros cuanticos
n = +1 y n = −1, con nodos en las direcciones x y y.
Para graficar las funciones con n = 2 o superior es necesario recurrir a la propiedad de las
funciones de Bessel
Jn+1(x) =2n
xJn − Jn−1(x)
es decir que, para m = 1, n = 2 y m = 2, n = 2
gnuplot> splot v*cos(u), v*sin(u),
(2*besj1(5.1356*v)/(v*5.1356)-besj0(v*5.1356))*cos(2*u) title ‘m=1,n=2’
gnuplot> splot v*cos(u), v*sin(u),
(2*besj1(8.4172*v)/(v*8.4172)-besj0(v*8.4172))*cos(2*u) title ‘m=2,n=2’
se obtiene
En las graficas de contorno se pueden apreciar dos nodos angulares para el estado m = 1, n = 2 o,
con la notacion de Dirac, |12〉 y un nodo radial y dos nodos angulares para m = 2, n = 2 o |22〉.Se puede deducir que el numero total de nodos para una funcion de onda en este caso es igual a
m+ n− 1.
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Una alternativa para representar estas funciones en dos dimensiones es relacionar el valor de z
con un determinado color dentro de una escala de color. Los comandos son los siguientes:
gnuplot> set pm3d map
gnuplot> set palette rgb 34,35,36
gnuplot> splot v*cos(u), v*sin(u),
(2*besj1(5.1356*v)/(v*5.1356)-besj0(v*5.1356))*cos(2*u) title ‘m=1,n=2’
gnuplot> splot v*cos(u), v*sin(u),
(2*besj1(8.4172*v)/(v*8.4172)-besj0(v*8.4172))*cos(2*u) title ‘m=2,n=2’
para obtener
Como la grafica es una proyeccion en el plano xy, puede ajustarse el rango de os ejes con
gnuplot> set xrange[-1:1]
gnuplot> set yrange[-1:1]
gnuplot> set isosamples 200, 200
y modificar el numero de isosamples para tener una imagen con mejor resolucion.
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