grafica de las variaciones de presiÓn que … · efecto de la presiÓn atmosferica sobre la ......

VOLUMEN DE PRESIONES .- las presiones son perpendiculares a la superficie de aplicación

GRAFICA DE LAS VARIACIONES DE PRESIÓN QUE EJERCEN LOS FLUIDOS Y

ACTUAN SOBRE LA COMPUERTA AB

EFECTO DE LA PRESIÓN ATMOSFERICA SOBRE LA FUERZA RESULTANTE

ACTUANDO SOBRE UNA SUPERFICE PLANA HORIZONTAL

EFECTO DE LA PRESIÓN ATMOSFERICA SOBRE LA FUERZA RESULTANTE

ACTUANDO SOBRE UNA SUPERFICE PLANA VERTICAL

( )( ) AhbhhvolumeFR ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛===22

1γγ

PRISMA DE PRESION PARA UNA AREA RECTANGULAR VERTICAL

FUERZA HIDROSTATICA SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS

dF =γhdAFR = ∫ γ hdA= ∫ γ ysenqdA=γ senq ∫ ydA; ∫ ydA = LcApor lo tantoFR =γ ALc senq =γ hc A

Ahora hay que conocer el punto donde debe estar actuando la fuerza resultante. Ese punto es el centro de presión.

FR Lp = ∫ ydF = ∫ y γ senθ ydA[ ] = ∫ γ senθ y2dA"# $%

y por lo tan to siFR = γ ALc senθ

Lp =∫ γ senθ y2dAγ ALc senθ

=∫ y2dALcA

La integral en el numerador es el segundo momento de inercia Ix con respecto al eje x formado por la intersección del plano que contiene la superficie plana con la superficie libre del liquido. Asi que esto se puede escribir.

ALILc

xp ==

Si usamos la teoría de los ejes paralelos sabremos que 2cxcX ALII +=

Donde Ixc es el segundo momento del área con respecto a un eje pasando a través de su centro y paralelo al eje x. asi

cc

xcp L

ALIL +=

Determinar la fuerza resultante total actuando sobre la compuerta rectangular inclinada que de un lado esta en contacto con el agua, asi como el centro de presión (R=18.07)

Calculando primero la fuerza resultante

( )

( )

( )( ) ( ) fR

aguaaguaR

aguaaguaR

lbF

yydyyF

dyydyhF

112322460cos4854.62

260cos8560cos85

560cos85

2

24

0

4

0

4

0

4

0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+=

+==

∫

∫∫

γγ

γγ

Calculando ahora el centro de presión

Zcp =∫ yc

2dAZcgA

=y+ 8cos60( )

2

0

4

∫ 5dy

8cos60+ 2( ) 5( ) 4( )

=5 u( )20

4

∫ dy

360=5u

3

3360

=5 o

4

y+ 8cos60( )3"

#$%&'

3360

Zcp =5 4+16( )3

1080= 37.037

B

A

cg

FR

4 ft 2 ft

Sabiendo que Fr = (Presion) (A) Y que Presión = ( γagua) (hcg) ,

h

3 sen 45 (4 sen 45)/2

h = γhg (0.4m)/γh2o

Pcg = PHg – Pagua= (13.6)(62.4 lbf/ft3)(0.4 ft)+(62.4 lbf/ft3)(h-0.5 ft) h = 20 + (3 sen 45) + (4 sen 45)/2= 23.535 ft Pcg= 339.456 lbf/ ft2 +1437.334 lbf/ ft2 = 1776.79 lbf/ ft2

cg Necesitamos conocer la Presion en el CG

FR = (1776.79 lbf/ ft2) (8 ft2) = 14214.321 lbf

cp.

CP CG

Z

Z

θ

hcg

Ycp’

d

d = 2 + 0.033 = 2.033 m

Encuentre FR sobre la compuerta AB producida por los fluidos de adentro y de afuera. Determine la distancia “d” por debajo de B de la posición de FR.(Ref. Prob. 3.46, “Mecánica de Fluidos”, Irving Shames. Pag.94, R, F=14,195 lbf, d=2.0332 ft).

La compuerta AB de la figura tiene una anchura de 7 ft y pesa 3000 lbf cuando esta sumergida. La compuerta está articulada en el punto B y se apoya sobre una pared lisa en A. Determine el mínimo nivel de agua “h” que abrirá la compuerta.(Referencia Problema P2.81, “Mecánica de fluidos”, Frank White. Pag.114, R=-0.833ft)

Como tenemos liquido de ambos lados por lo tanto vamos a tener dos fuerzas que van a estar actuando en cada uno de los lados de la compuerta, mas el peso de la compuerta. AhF cgagua 22 γ=

AhF cgagua 11 γ=

fthcg 8442 =+=

41 += hhcg( )( ) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=θsen

ftftlb

F f 8784.62 32

flbF 349442 =Ahora calculando el centro de presión Donde esta actuando la FR1

AyIycg

xcp

22=

( )( )

( )ft

sen

ycp 833.0708

12107 3

2==

θ

Ahora calculando FR1 con su centro De presión.

( )( )2131 704.62 fthftlb

F cgf=

11 4368 cghF =

AyIycg

xcp

11=

( )( )

( ) 11

3

1

67.6

70

12107

cgcgcp h

senhy ==

θ

Ahora hacemos suma de momentos en B

θ 13.53

681 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= −tagθ

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

fthh

fth

hhM

WyFyFM

cg

cg

cgcgB

cpcpB

41.44

412.821840183720

13.53cos53000833.053494467.65.4368

13.53cos555

1

1

11

2211

=−=

==

−−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−−−−=

∑

∑

FR = FH + FV

φ = tan-1⎜⎜ ⎟⎟

FUERZA HIDROSTATICA SOBRE SUPERFICIES CURVAS Si sumamos las fuerzas de ambos lados , nos daremos cuenta que F2b es igual a FH.

F2b =γliq hcg A y como F2b = FH

FH =γliq hcg A La cual se calcula de la misma manera que para las superficies Planas. Donde el área, será el área de la proyección de la superficie Curva en un plano vertical y hcg , será la profundidad al centroide del área proyectada.

Ix

ycg A + ycg ycpFH =

La componente vertical de la fuerza que ejerce la superficie sobre el Fluido se encuentra con la suma de fuerzas en la dirección vertical Hacia abajo solo actúa el peso del fluido, y así arriba solo la componente Vertical FV , así:

FV =W =γliq (Volumen)=γliq(Aw)

⎞

⎠⎛ FV

⎝ FH

2 2

SUPERFICIE CURVA QUE DETIENE UN FLUIDO POR DEBAJO DE ELLA FH =γliq hcg A

FV =W =γ liq (Volumen)FV =γ liq(Aw)A= A1+ A2

A1

A21

A22

A2 A

B C

D A2 = AcuadradoABCD - A21- A22 Fv va ha estar actuando en el Centroide del área A

XcgA= XcgA1+ XcgAcuadradoABCD - XcgA21- XcgA22

FUERZA HIDROSTATICA SOBRE SUPERFICIES CURVAS

FH =γhcgA=(0.88)(9.81)⎜2+2+ ⎟(2.5)(1)=113.3kN

12 = 0.099 mts ycpʹ = =

4⎜ ⎟⎝ 2 ⎠ = 0.531mts = =

3π 3π

FR = FH + FV =

FV =(0.88)(9.81)⎢ (1)⎥ = 21.188kN ⎣ ⎦

θ = tag -1⎜⎜ ⎟⎟ = tag -1⎜

Calcular la fuerza hidrostática y su línea de acción sobre una identación semicilindrica ABC por metro de ancho perpendicular al papel.

hcg = 2+2+2.5/2 Ycp=0.099 mts

⎛ 2.5⎞ ⎝ 2 ⎠ (1.5)(2.5)3 Ix ycg A (5.25)(2.5)

Como se observo en la teoría tenemos una fuerza Originada por el liquido que actúa hacia abajo, otra Que actúa hacia arriba.

A A A

B B

C C

Por lo que la fuerza Fv será el peso de la columna del fluido en el volumen delimitado por ABC.

FV =γ liq Volumen =γ liq AsemicirculoABC .w

⎡π(1.25)2 ⎤ 2

B

Como la forma geométrica de la columna de agua viene siendo la mitad de un circulo, por lo tanto Fv estará actuando en

2 2

⎟⎠ ⎝ 113.3 ⎠⎞ ⎛ 21 .188⎞

FR =115.264 kN

(113.3)2 +(21.188)2

el centroide de la mitad del circulo

⎛2 .5⎞ 4r X FV

⎛ FV

⎝ FH

θ =10.59o

La compuerta mostrada es anclada en el punto O y tiene un ancho constante w = 5m. La ecuación de la superficie es donde a = 4m. La

profundidad de la compuerta del lado derecho es D = 4m. Encontrar la magnitud requerida de la fuerza fa para mantener la compuerta en equilibrio. despréciese el peso de la compuerta. SOLUCION: se puede tomar suma de momentos en el punto O después de encontrar las magnitudes y direcciones de la fuerza Horizontal y vertical debido al peso del agua. Para Fv se necesita calcular el peso del agua encima de la compuerta para lo cual se define una columna diferencial de area, para multiplicar por el ancho e integramos.

y2

a x =

where pc and A are the pressure at the center and the area, respectively, of a verticalplane surface of the same projected area, and V--- is the volume of fluid above thecurved surface.

It can be shown that the line of action of the vertical force component passesthrough the center of gravity of the volume of liquid directly above the curved surface(see Example 3.7).

We have shown that the resultant hydrostatic force on a curved submerged surfaceis specified in terms of its components. We recall from our study of statics that theresultant of any force system can be represented by a force-couple system, i.e.,the resultant force applied at a point and a couple about that point. If the forceand the couple vectors are orthogonal (as is the case for a two-dimensional curvedsurface), the resultant can be represented as a pure force with a unique line of action.Otherwise the resultant may be represented as a “wrench,” also having a unique line ofaction.

Example 3.7 FORCE COMPONENTS ON A CURVED SUBMERGED SURFACE

The gate shown is hinged at O and has constant width, w5 5 m. The equation ofthe surface is x5 y2/a, where a5 4 m. The depth of water to the right of the gate isD5 4 m. Find the magnitude of the force, Fa, applied as shown, required tomaintain the gate in equilibrium if the weight of the gate is neglected.

Given: Gate of constant width, w5 5 m.Equation of surface in xy plane is x5 y2/a, where a5 4 m.Water stands at depth D5 4 m to the right of the gate.Force Fa is applied as shown, and weight of gate is to be neglected. (Notethat for simplicity we do not show the reactions at O.)

Find: Force Fa required to maintain the gate in equilibrium.

Solution:We will take moments about point O after finding the magnitudes and locations of the horizontal and vertical forcesdue to the water. The free body diagram (FBD) of the system is shown above in part (a). Before proceeding we need tothink about how we compute FV, the vertical component of the fluid force—we have stated that it is equal (in mag-nitude and location) to the weight of fluid directly above the curved surface. However, we have no fluid directly abovethe gate, even though it is clear that the fluid does exert a vertical force! We need to do a “thought experiment” inwhich we imagine having a system with water on both sides of the gate (with null effect), minus a system with waterdirectly above the gate (which generates fluid forces). This logic is demonstrated above: the system FBD(a)5 the nullFBD(b)2 the fluid forces FBD(c). Thus the vertical and horizontal fluid forces on the system, FBD(a), are equal andopposite to those on FBD(c). In summary, the magnitude and location of the vertical fluid force FV are given by theweight and location of the centroid of the fluid “above” the gate; the magnitude and location of the horizontal fluidforce FH are given by the magnitude and location of the force on an equivalent vertical flat plate.

D = 4 m

Fay

x

x = y2___a

l = 5 m

O

(a) System FBD

x

yFa

FHFV

(b) Null fluid forces (c) Fluid forces

x

yFa

l = 5 m

xx'

y

y'

FHFV

–O

78 Chapter 3 Fluid Statics

where pc and A are the pressure at the center and the area, respectively, of a verticalplane surface of the same projected area, and V--- is the volume of fluid above thecurved surface.

It can be shown that the line of action of the vertical force component passesthrough the center of gravity of the volume of liquid directly above the curved surface(see Example 3.7).

We have shown that the resultant hydrostatic force on a curved submerged surfaceis specified in terms of its components. We recall from our study of statics that theresultant of any force system can be represented by a force-couple system, i.e.,the resultant force applied at a point and a couple about that point. If the forceand the couple vectors are orthogonal (as is the case for a two-dimensional curvedsurface), the resultant can be represented as a pure force with a unique line of action.Otherwise the resultant may be represented as a “wrench,” also having a unique line ofaction.

Example 3.7 FORCE COMPONENTS ON A CURVED SUBMERGED SURFACE

The gate shown is hinged at O and has constant width, w5 5 m. The equation ofthe surface is x5 y2/a, where a5 4 m. The depth of water to the right of the gate isD5 4 m. Find the magnitude of the force, Fa, applied as shown, required tomaintain the gate in equilibrium if the weight of the gate is neglected.

Given: Gate of constant width, w5 5 m.Equation of surface in xy plane is x5 y2/a, where a5 4 m.Water stands at depth D5 4 m to the right of the gate.Force Fa is applied as shown, and weight of gate is to be neglected. (Notethat for simplicity we do not show the reactions at O.)

Find: Force Fa required to maintain the gate in equilibrium.

Solution:We will take moments about point O after finding the magnitudes and locations of the horizontal and vertical forcesdue to the water. The free body diagram (FBD) of the system is shown above in part (a). Before proceeding we need tothink about how we compute FV, the vertical component of the fluid force—we have stated that it is equal (in mag-nitude and location) to the weight of fluid directly above the curved surface. However, we have no fluid directly abovethe gate, even though it is clear that the fluid does exert a vertical force! We need to do a “thought experiment” inwhich we imagine having a system with water on both sides of the gate (with null effect), minus a system with waterdirectly above the gate (which generates fluid forces). This logic is demonstrated above: the system FBD(a)5 the nullFBD(b)2 the fluid forces FBD(c). Thus the vertical and horizontal fluid forces on the system, FBD(a), are equal andopposite to those on FBD(c). In summary, the magnitude and location of the vertical fluid force FV are given by theweight and location of the centroid of the fluid “above” the gate; the magnitude and location of the horizontal fluidforce FH are given by the magnitude and location of the force on an equivalent vertical flat plate.

D = 4 m

Fay

x

x = y2___a

l = 5 m

O

(a) System FBD

x

yFa

FHFV

(b) Null fluid forces (c) Fluid forces

x

yFa

l = 5 m

xx'

y

y'

FHFV

–O

78 Chapter 3 Fluid Statics

ycp =IxycgA

+ ycg

Ix = bh3

12=5.43

12= 26.66 m4

ycg = hcg = 2

ycp =26.662.20

+ 2 = 2.66m

D1

D2

D3

Como el sistema esta en equilibrio ΣF = 0 y ΣM = 0, por lo tanto para encontrar Fa Utilizaremos ΣM en O. Para evitar las reacciones que se producen por el anclamiento de la compuerta.

ΣMo = FH.D1+FV.D2−Fa.D3

FH = γ.hcgA

FH = γ. D2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟DW

FH = 9.81kNm3 2m( ) 4m( ) 5m( )

FH = 392.4 KN

D1= 4− ycp = 4− 2.66 =1.34 m

FV = γ.volumenAOBFV = λ.AAOB.w

AAOB = x dy = y2

a∫∫ dy = y2

4dy∫

AAOB =14

y2 dy0

4

∫ =14. y

3

3=14. 4

3

3AAOB = 5.33m

2

FV = 9.81kNm3 5.33m

2( ) 5m( )

FV = 261.4 KN

A B

O

D2= es igual al centroide xcg del area AOAB por lo calculamos el centroide del area.

AAOB.D2 = 4 x dx − 2 x32

0

4

∫0

4

∫ dx

AAOB.D2 = 4x2

2− 2 2.x

52

5= 4 4

2

2− 2 2.4

52

5AAOB.D2 = 32− 25.6 = 6.4

D2 = 6.45.33

=1.2m

AAOB.D2 = xcg∫ dA.

dA = y'dx = 4− y( )dx

y = 2 x.

AAOB.D2 = x 4− 2 x( )dx0

4

∫

AAOB.D2 = 4 x dx − 2 x x0

4

∫0

4

∫ dx

Ahora que ya se conocen las magnitudes podemos tomar suma de momentos en O

Fa =FHD1+FVD2

D3=392.4kN( ) 1.34m( )+ 261.4kN( ) 1.2m( )

5mFa =167.89kN

ΣMo = FH.D1+FV.D2−Fa.D3

CG

HCG

FH = (γagua) (Hcg) (A)

FH = (9.81 KN/mt3) (10m)(20m)(50m) FH = 98100 KN.

Ahora calculando la ubicación de la componente horizontal

CG Cp

13.33 m

Ahora calculando Fv , que es igual al peso de la columna de agua

FV = 154095.119 KN Ahora calculando la ubicación de la componente vertical La cual va ser igual al centroide del cuarto del circulo.

FH

8.48 m

A

B C

A

B C Cp

FLOTABILIDAD: un cuerpo que se encuentre en un fluido, ya sea flotando o sumergido, es empujado hacia arriba por una fuerza igual al peso del fluido desplazado. La fuerza boyante ( o flotante) actúa verticalmente hacia arriba a través del centroide del volumen desplazado y se le puede definir de manera matemática mediante el principio de Arquímedes. Cuando un cuerpo flota libremente, desplaza un volumen suficiente de fluido para equilibrar justo su propio peso.

Las fuerzas de flotación que actúan sobre un cuerpo solido sumergido en un fluido y sobre una masa del fluido de la misma forma, a la misma profundidad, son idénticas. La fuerza de flotación FB actúa hacia arriba pasando por el centroide C del volumen dezplazado y es igual en magnitud al peso W del fluido desplazado, pero en la dirección opuesta. Para un solido de densidad uniforme, su peso Ws también actúa pasando por el centroide, pero su magnitud no es necesariamente igual a la del fluido que desplaza (aquí Ws>W y, donde Ws>FB; este cuerpo se hundiría.)

FLOTACION

!! = !!"#(!"# !"#$"%&!!"#$%&#&!' ) Fb = Fuerza de flotación

Un cuerpo solido cuando cae dentro de un fluido puede hundirse, o flotar o quedar en reposo en cualquier sitio de este, dependiendo sobre su densidad relativa a la densidad del fluido

Ws >W, donde Ws > Fb;este cuerpo solido se hundiria

Un cubo homogeneo de 12 cm de lado es balanceado por una masa de 2 kg sobre una bascula cuando el cubo es sumergido en etanol a 20 oC. Cual es la gravedad especifica del cubo (Prob. P2116, Mecanica de Fluidos, White R:)

La barra uniforme cilíndrica es sujetada en el punto B sobre la superficie del agua y esta en equilibrio estático cuando 2 kg de plomo se sujetan en la punta de la barra (s.g = 11.4) como se muestra en la figura. ¿Cual es la gravedad especifica del material de la barra? ,¿Qué hay de peculiar acerca del ángulo de descanso θ = 30° (R = 0.636 )

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