b y : C r i s t i a n P é re z P a l m a

GOTTLOB FREGE

• Estudio en la Universidad de Jena y en la de Gotinga.• Estudio filosofía, física, y química.• Entre sus influencias estaban Leibnitz, Kant y

Lotze.• Es considerado el padre de la Lógica Moderna.

carnap cuenta su encuentro con frege:

EL FUNDAMENTO DE LA ARITMETICA

• La lógica para Frege (influencia de Lotze) debe ser considerada como una ciencia a priori y, por lo tanto, mas fundamental que la matemática.• Con este fundamento, comienzan a reducir la

aritmética y el algebra a la lógica, en el sentido según el cual todo el contenido de las verdades matemáticas podría ser reducido de los primeros principios lógicos usando solo inferencias de tipo lógico.

Frege tenia 3 formas de encarar los problemas y han influido en la filosofía analítica posterior.

• GICO LINGÜÍSTICO: En primer lugar Frege traducía los problemas centrales de la filosofía en problemas sobre el lenguaje.• PRIMACIA DE LOS ENUNCIADOS: En segundo lugar

en Frege el análisis del lenguaje esta gobernado por el principio según el cual lo principalmente explicativo es la función que las distintas componentes de un enunciado cumplen en ella.• ANTIPSICOLOGISMO: Finalmente, Frege dice que

estas explicaciones no deben ser confundidas con relatos psicológicos sobre los estados mentales de los hablantes. La investigación acerca de la naturaleza no debe basarse en las experiencias individuales.

• Estas 3 ideas han influido en filósofos analíticos como Wittgenstein, Russell y Carnap.

• texto 16: • Siempre separar claramente lo psicológico

de lo lógico, lo subjetivo de lo objetivo; Nunca preguntar el significado de una proposición aisladamente, sino sólo en el contexto de una proposición; Nunca perder de vista la distinción entre concepto y objeto.

LA NUEVA LÓGICA

• Se fundo con la introducción de la noción de la función que había sido tomada analógicamente de la correspondiente noción matemática.

• En algebra podemos tener una variable x y una función x, por ejemplo:  x2 + 2, o en general f(x), le damos valor a la variable (1), entonces el valor de la función es 3 y así sucesivamente, o en un enunciado, ejemplo: «me duele el cuello», podemos decirlo como una función «me duele x » y x podría ser cuello, cabeza, pie, etc. De esta forma la noción de función y variable sustituirán en la nueva lógica la de sujeto y predicado de la aristotélica.

• EN 1884 FREGE PUBLICA DIE GRUNDLAGENDER ARITMETIK (FUNDAMENTOS DE LA ARITMETICA) DONDE UTILIZA SU NUEVA LOGICA PARA DAR FUNDAMENTO A LA ARITMETICA. 

SENTIDO Y REFERENCIA

• Frege, en su ensayo «Uber Sinn und Bedeutung» (1892) distingue el sentido (Sinn) de una expresión y su referencia (Bedeutung), ejemplos: «El lucero matutino» y «El lucero vespertino», tienen la misma referencia pues los 2 se refieren al mismo sujeto, pero tienen un sentido distinto pues uno hace referencia a la mañana y el otro a la tarde.

• texto 17: • Es natural pensar que con un signo (un nombre, una

combinación de palabras) está conectado, además de lo designado por él, que puede llamarse la denotación del signo, lo que yo denominaría el sentido del signo, en el cual está contenido el modo de presentación.

• Frege no da una respuesta clara de que es el sentido.• En primer lugar el sentido de una expresión determina

la identidad de la referencia, pero lo contrario no vale.• texto 19: • La conexión normal entre un signo, su sentido y

su denotación es de tal tipo que al signo corresponde un sentido determinado, y a éste, a su vez, una denotación determinada, mientras que a una denotación dada (un objeto) no corresponde solamente un único signo. El mismo sentido tiene expresiones diferentes en lenguajes diferentes, o aun en el mismo lenguaje.

ANTI PSICOLOGISMO Y OBJETIVIDAD

• Cuando uno piensa, por ejemplo, que las “las mujeres son bellas”, emergen una gran cantidad de eventos psicológicos, recuerdos, imágenes o sensaciones. Estos pertenecen al mundo psicológico y no son compartidos. Es imposible experimentar lo que otro ah experimentado. Pero es un serio error –dice Frege- No distinguir el proceso psicológico del pensamiento (privado) con lo pensado (puede compartirse) es el pecado psicologismo. Los pensamientos entonces (lo que Frege llama ideas) son compartibles. El negarlo, según Frege, hace imposible la comunicación.

texto 25:

• La denotación y el sentido de un signo deben ser distinguidos de la imagen asociada a este último. Si la denotación de un signo es un objeto perceptible por medio de los sentidos, mi imagen de él es algo interno3 que surge de recuerdos de impresiones sensoriales que he tenido, y de actos, internos y externos, que he llevado a cabo. Tal imagen está impregnada a menudo de sentimientos, y la claridad de sus partes componentes varía y oscila. El mismo sentido no está siempre asociado, aun en la misma persona, con la misma imagen. La imagen es subjetiva: la imagen que posee una persona no es la que posee otra. De todo esto resulta una variedad de diferencias entre las imágenes asociadas al mismo sentido. Un pintor, un jinete y un zoólogo probablemente asociarán imágenes diferentes al nombre "Bucéfalo". De esta manera la imagen se distingue esencialmente del sentido del signo, que puede ser propiedad común de muchos y que, en consecuencia, no es parte o modo de la mente individual. Es difícil negar que la humanidad posee un tesoro común de pensamientos [Gedanke] que son transmitidos de una generación a otra. De acuerdo con esto no debemos tener escrúpulos en hablar sencillamente de el sentido, mientras que en el caso de una imagen, uno debe agregar, estrictamente hablando, a quién pertenece y en qué momento.

•  • Para Frege los pensamientos son objetivos no solo en

el sentido de ser intersubjetivos (compartibles) sino en uno mas fuerte. Son objetivos porque existen independientemente del sujeto que los piensa. Las propiedades y existencia de los pensamientos existen independientemente de la actividad humana.

• texto 26:• Por "pensamiento" no entiendo el proceso

subjetivo del pensar sino su contenido objetivo, que puede ser propiedad común de muchos sujetos.

LA PARADOJA DE RUSSELL

• En 1902 Frege estaba a punto de publicar el segundo volumen de “Grundgesetze der Aritmetik” cuando recibió una carta de Russell que le decía sobre un grave error que había en su análisis de la matemática en términos lógicos:

• Una paradoja que se derivaba de la consideración de ciertos problemas en la teoría de las clases. Frege solo agrego un breve comentario sobre la objeción de Russell.

• Poincare no estaba nada de acuerdo con el intento de justificar la matemática a partir de la lógica. Al conocer la paradoja de Russell, dijo con satisfacción:

• texto 27: • Los logicistas finalmente han probado que su intento

no es estéril. Al menos han logrado engendrar una contradicción.

• Russell descubrió su paradoja hacia fines de la primavera de 1901 y le escribió a Frege el 16 de junio de 1902, sobre su descubrimiento.

ASI CUENTA RUSSELL EL DESCUBRIMIENTO DE LA PARADOJA:

texto 28: Al final de la Cuaresma, Alys y yo regresamos a Femhurst donde me puse a trabajar para escribir la deducción lógica de matemática que después se convirtió los Principia Mathematica. Yo pensé que el trabajo estaba casi concluido, pero en el mes de mayo tenía casi un juego intelectual tan severo como el juego emocional que había tenido en febrero. Cantor tenía una prueba de que no existe el número más grande posible, pero a mí me parecía que el número de todas las cosas en el mundo debería ser el más grande posible. De acuerdo con eso, examiné su prueba con detalle y esfuerzo para aplicarlo a la clase de todas las cosas existentes. Esto me llevó considerar las clases que no son miembros de sí mismas, y a preguntarme si la clase de tales clases es o no es un miembro de sí mismo. Encontré que cualquier respuesta implica su opuesto. Al principio supuse que podría superar la contradicción con bastante facilidad, y que había probablemente algún error trivial en el razonamiento. Sin embargo, gradualmente fue claro que no era así. Burali-Forti ya había descubierto una contradicción similar, y resultó mediante el análisis lógico que había una afinidad con la antigua contradicción griega de Epiménides el Cretense que dijo que todos los cretenses son mentirosos.35 Una contradicción esencialmente similar a la de Epiménides puede crearse dándole un pedazo de papel a una persona en el que está escrito: "La declaración en el otro lado de este papel es falsa". La persona da vuelta el papel y encuentra escrito del otro lado: "La declaración del otro lado de este papel es verdad". Parecía indigno de un hombre grande perder el tiempo en tales trivialidades, pero ¿qué tenía yo para hacer? Había algo mal, ya que tales contradicciones eran inevitables en las premisas ordinarias. Trivial o no, el tema era un desafío. A lo largo de la última la mitad de 1901 yo supuse la solución sería fácil, pero al finalizar ese período había llegado a la conclusión de que se trataba de un gran trabajo. Decidí terminar los Principia Mathematica, dejando en suspensión la solución. En el otoño Alys y yo regresamos a Cambridge, puesto que había sido invitado a dar las conferencias plenarias sobre lógica matemática. En estas conferencias presenté un bosquejo de los Principia Mathematica, pero sin ningún método para tratar las contradicciones.

LA CARTA DE RUSSELL DICE LO SIGUIENTE:

• texto 29:• Conozco su Grundgesetze der Arithmetik desde hace un año y un medio,

pero recién ahora he podido encontrar el tiempo para el cuidadoso estudio que pretendo consagrar a sus escritos. Me encuentro absolutamente de acuerdo con usted en todos los puntos principales, especialmente en su rechazo de cualquier elemento psicológico en la lógica y en el valor que usted ata a un Begriffsschrift para los fundamentos de las matemáticas y de lógica formal que, a propósito, apenas pueden distinguirse. En muchas cuestiones de detalle, encuentro discusiones, distinciones y definiciones en sus escritos que uno busca en vano en otros lógicos. En las funciones en particular (S9 de su Begriffsschrift) he llevado independientemente a las mismas posiciones incluso en los detalles. He encontrado una dificultad en un punto. Usted afirma (p.17) que una función también podría constituir el elemento indefinido. Esto era lo que yo creía, pero esto me parece ahora dudoso debido a la siguiente contradicción: sea a w el predicado de ser un predicado que no puede ser predicado de sí mismo. ¿Puede W ser predicado de sí mismo? De cualquier respuesta se sigue su opuesto. Debemos concluir por consiguiente que W no es un predicado. De la misma manera, no hay ninguna clase (tomada como un todo) de estas clases que, tomadas como todos, no son miembros de sí mismas. A partir de esto concluyo que bajo ciertas circunstancias un conjunto definible no forma un todo.

• Esta carta llego a manos de Frege, cuando su segundo volumen de “Grundgesetze der Aritmetik” (1892,1903) estaba en la imprenta. Frege solo agrego un apéndice donde la comento. Pero el 22 de junio de ese año, 6 dias después de haber Russell escrito su carta, Frege le respondio:

• texto 30: Estimado Colega, ... Su descubrimiento de la contradicción me ha sorprendido más allá de cualquier palabra y, casi debería decir, me dejó atónito, porque ha estremecido el cimiento en el que yo quise construir la aritmética.... Es el más serio de todos en tanto que el colapso de mi ley V parece minar no sólo los fundamentos de mi aritmética sino de toda posible fundación de la aritmética como tal.... Su descubrimiento es desde todo punto de vista muy notable, e, indeseable como puede parecer a primera vista, puede llevar quizás a un gran adelanto en la lógica.

• Para solucionar la paradoja, Russell primero propuso la teoría del zig-zag, luego la teoría de la sustitución pero ninguna satisfizo.• La solución que si lo hizo fue la teoría de los tipos

que adopto en 1906

• A continuación nuestro siguiente compañero lo explicara: