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Goldener Schnitt
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Der goldene Schnitt
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Der goldene Schnitt
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Der goldene Schnitt
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Der goldene Schnitt
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Der goldene Schnitt
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Altes Rathaus in Leipzig
Der goldene Schnitt
2 Experimentier- dateien
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Der goldene SchnittEuklid, zweites Buch der „Elemente“ 11. Satz: Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem kleineren Teil gleich ist dem Quadrat über dem größeren Teil.
Experimentier- datei
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a b = 1-a
1
Major Minor
Der goldene Schnitt
a2 = 1 · b = 1− aDas Quadrat aus dem Major soll so groß sein wie das Produkt aus 1 und dem Minor.
a a2 1− a23≈ 0,667 4
9≈ 0,444 0,333
35= 0,6 0,36 0,4
58= 0,625 ≈ 0,391 0,375
Keiner der „künstlerischen“ Brüche erfüllt die Definition des goldenen Schnitts!
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a b = 1-a
1
Major Minor
Der goldene Schnitt
Andere Definition Das Verhältnis Major : ganze Strecke soll gleich sein zum Verhältnis Minor : Major.
a2 = 1− a | :a
a = 1− aa
a1= 1− a
a
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Der goldene Schnitta2 = 1− a Das ist eine quadratische Gleichung in a.
a2 + a −1= 0
a = − 12± 1
4+1 = − 1
2± 5
4= − 1
2± 125
a = 12
−1± 5( )Ein negatives a ist keine Lösung des geometrischen Problems.
a = 12
−1+ 5( ) = 5 −12
≈ 0,618
ϕ = 5 −12
≈ 0,618
Praktische Anwendung Man multipliziert die Länge der Strecke mit 𝜑 und erhält so die Länge des Majors für die Teilung im goldenen Schnitt.
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Der goldene Schnitt
a2 = 5 −12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
=5 −1( )24
= 5 − 2 5 +14
= 6 − 2 54
= 3− 52
Probe für die Lösung a = 5 −12
1− a = 1− 5 −12
= 22− 5 −1
2= 2 − 5 +1
2= 3− 5
2
Probe mit a ≈ 0,618
a2 ≈ 0,6182 = 0,3819241− a ≈1− 0,618 = 0,382
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Der goldene SchnittEine Strecke zu teilen ist ein geometrisches Problem. Gibt es dafür auch eine geometrische, eine konstruktive Lösung?
Wurzelspirale Man kann zu jeder natürlichen Zahl die Wurzel konstruieren.
Experimentier- datei
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Der goldene SchnittGegeben ist eine Strecke mit der Länge s. Dann erhält man die Länge des Majors für den goldenen Schnitt, wenn man s mit 𝜑 multipliziert.
s ⋅ϕ = s 5 −12
= s2
5 −1( ) = s25 − s
2
D.h. man muss zu s/2 die -fache Länge konstruieren und davon s/2 abziehen.
5
Experimentier- datei
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Das Fünfeck und der goldene Schnitt
a
a
a
Raute
ad= d − a
ad
a
d-ad-aa
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ad= d − a
a=
da−1
1 Setze a
d= x
x =
1x−1
1⇔ x = 1
x−1⇔ x2 = 1− x
x = a
d= 5 −1
2= ϕ
Das Fünfeck und der goldene Schnitt
a =ϕ ⋅d D.h. die Kantenlänge a des regelmäßigen Fünfecks ist der Major für die Teilung der Diagonalen d im Goldenen Schnitt.
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goldener Schnitt
da
Das Fünfeck und der goldene Schnitt
a =ϕ ⋅dDie Kantenlänge a des regelmäßigen Fünfecks ist der Major für die Teilung der Diagonalen d im Goldenen Schnitt.
a ⋅ 1ϕ= d
1ϕ= Φ die Goldene Verlängerung
Finde zum Major die ganze Strecke
a
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Die goldene VerlängerungNäherungsrechnung: ϕ ≈ 0,618 ⇒ 1
ϕ= Φ ≈1,618
genaue Rechnung: ϕ 2 = 1−ϕ | :ϕ
ϕ = 1ϕ−1 | +1
1+ϕ = 1ϕ= Φ
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Der Ikosaeder und der goldene Schnitt
Experimentier- datei
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Der Ikosaeder und der goldene Schnitt
Goldenes Rechteck Die kürzere Kante ist der Major in Bezug auf die längere Kante.
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Der Dodekaeder und der goldene Schnitt
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Die Normalparabel und der goldene Schnitt
y = x2
y = x +1
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Eine neue klassische Konstruktion zum goldenen Schnitt
D und E sind die Seitenmitten im gleichseitigen Dreieck ABC. E teilt DF im goldenen Schnitt !
veröffentlicht 1982
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Experimentier- datei
Polynom 4. Grades und goldener Schnitt