getal en ruimte.pdf
DESCRIPTION
RekenenTRANSCRIPT
getal en ruimtegetal en ruimte
www.getalenruimte.epn.nl
eerste druk, eerste oplage, 2005
L.A. ReichardS. RozemondJ.H. DijkhuisC.J. AdmiraalG.J. te VaarwerkJ.A. VerbeekG. de JongN.J.J.M. BrokampH.J. HouwingR. de VroomeJ.D. KuisF. ten KloosterF.G. van LeeuwenS.K.A. de WaalJ. van Braak
uitwerkingenuitwerkingen
vwo B 4
���������� ������� ��� �������� �����������
����������� �� ������ ����� ������������ �������
������ ���� �� ����!���� ���
" #$$% ����&� ����! ��!������
�!� ��� � �� �' ��(!��� � � � ��� )��*+*# ����� ��,���������� ���� �� �, ����) ���� ))�)� ����� �������� �� �
�� �������� ��)�������� �' ������������� �� ��� )�� �' �� ��� ��-,� !�,�- �������(!� �(!����(!� ��� '�������. �� ����/
�� �' ��� ��� ����� ,��� )���'����� �(!�'���-� ��������� )�� � ���)�0��,�) !� ���� )�� ����'��(! ))�)� ��/
����� �� �, ����) �� �������� �� ���� )�� ����� *1! � � ���*+*# ���� �� � ���)�� )�(! ����� )������� � )����� ���
���(!���� ���(!� 2����� � 3$%*� #*3$ 4� &��'����� ������(!����5�0�� !� �)��� )�� ��� ����2�5 �� �, ����) �� �����/
,����� ��� � ��� (����������� 2����� *1 � � ���*+*#5 ����� ,�(!���� ��� ���(!���� ��� 2���(!���� � ���(���/ � ���� (/
��(!�� ���������� ����� � 3$1$� #*3$ 4�&��'����� ����(�����6��5�0�� !� �)��� )�� ���/��� ����2�5 ���� �� ,�(!
(!����� � ���� ��� � ���)�
��� ������ ����� � ���� �� ���� �������������� � ��������� ����� �� � ������ ������ �� ����������� �� ��� ���� �� �� �������� ���������
���������� ������������� �������� �� ������� ������� ����� ������ ��������� �� ��
���������
���� +$ ** $73+% 8
������
�� ������������ ��������� �
�� � ���������� � � ��
�� ��������� � ������ ��������� ��
�� �� �������� ��
������� ���
���� ��� ������ ���
���� ������� ������ �� ��� � ������ ���� ��� !�"� ������ "�# �� ���$�� ��� % ������� �� ��� ����� ��� �� ��������� �� � ������� ������# "�#
����,�-� #
� &��� ��� ' � ���� ��� () �$� *�
� �� *
�
� �� �+ ��$���
���� ,�#� � �� �� ���� �- �- ��$�� &����� � �* � ��
� ���� �� ,$��� ��� ,�#�� �� �� ������ �- �- ��$��) ���� �� ��������� "�# �� �+ � &����� �� ��� ��$��� �� ��+ � � +�� *.�
���� ��� ��������� ,�#� "�# �� �+�+
� �� ��� .*� ��$���
!$� ���� ��� ��������� ,�#� ������� #� ��� .*�� +�� *.�
� �+ +++ � *��� ����
���� �� ,$��� ��� ,�#�� ������� #� �� +�� *.�
� �+ +++ � + ����
� �� �
���� 4����������
����,�-� 8
� � /�� ��� �������
����� �� �+� � ���� +)+��
, ����� �� �+� � ��� � ��
���
� ���
� � � ��*� +)+�.
!� � � �� ��� � ������ �� ����� �
6
5
4
3
2
1
7 8 9 10 11 12
6 7 8 9 10 11
5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8
2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6
SOM
0� ��,� ����) �� ��� ,�# ��� ����� ��� ����,,������ ) �� ��� ��� ���� ������$������
�������
�� ���������������������
� &��'��� �*3
����,�-� %
� /�� ��� ������� ,�# ������ �
� ����� �� ��� *� � �� ����� �� *� � �� ���� +)���
, ����� �� �� ��� � �� � �� ����� �� �� ��� �� �� � �� ���� +)��.
����� �� �� ��� � �+� � ���� +)��.
� ����� �� ������� � �+� � �� ����� �� ���� �� �+� � �� ���� +)��.
� � ����� �� ������� � ��� � �� ����� �� �� �� ��� �� ������ �� ��1 ���* �� ��*� �� �*�� �� *������ �� ��1 ����2�� �� ��� �$ ����� $������� �� �� � � * 2�� �� ��� ������#� $������� �� �� �� �� � � ����
����� �� ������� � ��� � �� *����
� +)���
, ����� �� �� ��� � .� � �� ����� �� � �� ��� �� * �� ��� �� ����� �� �1 ������� �� *1 ���� �� ���� �� ���� �� ������� �� �1 ���� �� ���� �� ���� �� ���� �� ���� �� ���� �� ���� �� ���� �� ���� �� ����2�� �� ��� �$ ����� $������� �� �� �� �+ � �*
����� �� �� ��� � .� � �� �*����
� +)���
� � /�� ��� �������
����� �� ���� �� �� � �+��� +)��*
, ��� �� �1 ���) ���) ���) ���) ���) ���) ���) ���)���) ���
��� �� �+1 ���) ���) ���) ���) ���) ���
4
3
2
1
5 6 7 8
4 5 6 7
3 4 5 6
2 3 4 5
1 2 3 4
SOM
��� �� ��1 ���) ���) ������ �� ��1 ���2�� �� ��� �$ ����� $������� �� �+� �� �� � � �+
����� �� ���� �� �� � �+�� �� �
� �+��� +)���
��� �� ��1 ����) ����) ����) ����) ����) ����) ����) ����) ����) ����
����� �� ��� � �+�� �
�+�*�� +)+��
� � "� ��� ���$������ , ��� ���$������ ��� ���$������
!$� ��� � ����,���� ,�# �
9��!�����(! ��������� �
����,�-� 1
� � ���� ��� � �- �- ��������#�� � �� ����� ��������#�� � ��.��
� ��+�
� � � +)+��
, ���- �- ��������#� � �- �- ���������#�� ���
� � �
�
� � .+
�
� ��+�
� � � +)+��
����� ��������#� � ������� � ���� ���������#"� �� ����� ���#�� � ���- �- ���������#�3������� ���������#"� �
�.+�
� ��+�
� ����
� � .+
�
� ��+�
� � ���
� � .+
�
� ��+�
� � � +)���
� � �� ���� �� � � ����
� �*+�
� � � +)��+
, ���++ �$��� � ���� �++� � ���� *+� ���
� � ��
�
� �*+�
� � ���
� � ��
�
� �*+�
� � � +)+��
���� ��� � �+ �$���������� ��� �� �+ �$��� � �� �� ����� � ���+ �$��� � ���+ �$���� �
� �����
� �*+�
� ����
� � ��
�
� �*+�
� � ���
� � ��
�
� �*+�
� ����
��� � +)�.�
� � ���� ��� � ���� #� �� �� � �� ����� #� �� � �� �- �- #� �� �
� ��.�
� ����
� �����
� � .
*
� ����
� ����
��� � +)��.
, ����� ���� #� �� � ��� ����#��� ����
� � .
�
� ����
� � � +)���
����,�-� :
� ��"�� ������� ��� �� �� �+� ����
� ����
� � � +)++�
, ���+ �� ��� �������� ������ ���
� � ��
*
� ����
� � � +)+��
������� ���#�� ���
� � ��
�
� ����
� � � +)++�
� �������� ���#�� ���
� � �
�
� � �.
�
� ����
� � � +)++�
� &��'��� �*3
� � ���� ��� � ���� ,���$$������ � � �� ��+ �� � ,���$$������� �� ���+ ,���$$������ � � ��� ,���$$�������
� ��*�*
� ��**
� ����
� � *�
�
� ��**
� ����
��� � +)+��
, ���� ��� � �- �- �� �� �$�������� � � �� ����� �� �� �$�������� �
� ��*.*
� ��**
� � � +)���
4� "�# �*� ��� �� � *� ���� ��� ��� �� �� �$������� "�# � �� ��� � ��� ,���$$�"����
����� �� �$������� � ,���$$�� �*�*
� ��**
� � � +)��.
�� � ������ � ��� �
�� �
�� +)+��* � +)+��
, ���� ���� ��� �� ���� � �- �- ��� �� ����� "�# �� ������#���� ���) ��� � ��� !$� ��"� � � �� � ������ � � +)+��* � +)��.* � +)���
����,�-�*$
�� � ����� � ��� �� � �*
� ��� +)���
, �������� �- �- �� � ��
� � �* �
*
� �.� +)+�+
���� ��� � �- �- �� � �� ����� � ��� �� � �� �*
� ��� +)���
� ����#� ��� � � ���� ��� �� � �*
� � �
*
� �* �
*
� ��� +)++*
� ������ ��� � � �- �- ��� � � ���� ��� �� � ��
� � �
�
� � �
*
� �� �* �
*
� ��� +)+��
�� � ����� � ��� ����,������ � �*
� �*� +)���
, ���� ��� � �- �- ����,������ � �� ����� ����,������ � �� �*
� ��� +).��
�������� �- �- ����,������ � ��
� � �* �
*
� �.� +)���
�� � 5�# ���������� ������� � � +)��� � +)�.+5�# ���������� ,������ � � +)�� ��� +)+��� � +)��+5�# ���������� ������ � � �� +)+�� � �)+++
9��!�����(! ��������� �
, 5�# ���������� ������� � � �� +)+�� � �)+++5�# ���������� ,������ � � �� +)+� ��� +)���� � �)+++5�# ���������� ������ � � +)��� � +)�.+
/�� �� ����� � � , 5�# ����������� � �� ,�# ��� � � �6�� ������ � � +)�.+ � ,�# ��� � ���� �6�� �� ������ � � �)+++�5�# �������������� � "�# ��"� � �� #$��� ����������
����,�-�**
�� � ����� � ��� �7!8� � +)���+ � +)�**
, ������ �7!8� � �+�
� � +)�.� +)��. � +)��+
��"��� ������� � ���� �,��� � �+.
� � +)*�. +)��� � +)+��
� ���� ��� � ���� �,�������� $� �� �- �- �,������ +).��+� �+�
� � +)�� +).��
� �� +).��
� ������ �7!8 � ���� �,�� � ���� ������� � � �+�
� � �
�
� � +)�.� +)��� +)*�� � +)+�.
�� � ������ ��� � � �- �- ��� � � ��� ��� ��� � �� �� � ���
� � �
�
� � �
�
� �� �� �
�
� ��� +)+�+
, ���� ��� �� ��� ���� ���� � ���
� � �+
�
� � �
�
� � �
�
� � �
�
� � �
�
� ���� +)++�
������#� � ���
) �$� ����������� ��� � �+��
) �$� ��,�# ��� ���� �� ��� � �*��� +)��.
� ������ ��� ����� � � ���������� � *�
� �� ��� +)+��
� ���� ��� � ��#� ���� � �� ��� �� � �� � �� � ����� �� �
�� *
� ��� *
�
� �� ��� *
�
� �� ��
� +)���
�� � ��,�� �#�� � ��,� � +)�+) ����� ,�� �#�� � ���,� � +)�+������ �� ������ $$�� � ���� � +)�*����� ,�� �#� ���� �� ��� �� ������ $$�� � ���� � +)�*
������ �, � �� � � ��#� �� � �+�
� � �.
��
� � +)�+� +)�*�� +)�** � +)++�
, ���� ��� � ��#� ��� ,���� � � �� ��� �� � �� � �� � ����� �� �+)�*� +)�* +)�*� +)�*� +)�*� +)�*� +)�*� � +)*��
��,) *� � ��� ��� �� � �.
������ ������ �� ,���� � � �.�� ���. �*�� ���*� +)+��
� &��'��� �*3
���� ;)��(!���������
����,�-�*3
� !� ��,�� ��� ��� ��� �� �+++� � * � � *+++ !� $��,����� � ��� ��� �� � �+++� �++� � �+ � � �+++ !� �� �� ��� ��� �� � *+++� � �+++ � � �+++ !�� �� ��������� ��� ��� � �
����,�-�*8
� � � � $��,����� �
��� � *+� � ��++� +)+�
��� � �+� � ��++� +)+�
��� � +� � ���++� +)��
� + �+ *+
��� � �� +)�� +)+� +)+�
, ���� � + +)��� �+ +)+�� *+ +)+� � +)�+!� �� ���������� � �� +)�+� � � �� �)�+ ��� ���
4� ��� ���� �� � +)�+ ����
�� � � $��,����� � ��� �� �
��� � �++� � ��� ���� � ���
� ��+�
� � � ���+
��� � �+� � ��� ���� � � ,��$��3� ���
� � �
�
� ��+�
� � � ���+
� �++ �+ +
��� � �� ���+
���+
�����+
���� � �++ ���+� �+ �
��+� + ���
��+� ��+
��+� � �)�.
����,�-�*%
�� � � � �� �� ��� ����
7������$���� � ��� � �� � ����� � .� � �*��
���� � � �*��� � ��
��� � �
��� � �
�
7������$���� � ���� � � �*��� � ��
��� � �
��� � �
�
7������$���� � ���� � � ���� � �+
��� � �
��� � �
�
9��!�����(! ��������� �
, 7��� �� $��,����� � �� � ������
0� ��#�� ���� � ��� �� ���� � �+
��� ��� �� �+
��� ��� ��
��
4����# ����) �$� ���� � + !�� ����� ��� �� � +
�� � ��� � �
!$� �� $��,����� � �� � ������
�� � ������ ����#� ��� � � � �� ��� �
��
�������� ���� � � � � � ��
� �� *�
) �$�
������ ����#� �� ����� ��� � � � � ��
� �� *�� �*
��� *
��� � $��,����� �
� �++ �* +
��� � �� ���
*��
*�
���� � �++ ���� �* *
��� + *
�� � �
��
!� �� ���������� � ��� ���� ���� �� ���� ������ �� �+� � ���� �*
���$��� � +)�.
, 7��� � ���#"� �� � �++)9 !���,�# ���� �*� ���#"� �� � �*)9 �++�� �* �*� � ���+�++�� ��*� � ���+��*� � ���+� � ��)�!$� �� ���#"� �� � �++)9 �� ��� ����� �������# ��#
�� � � � ��,�� ��� ,�# �� ����
�+�� .��
��� � � +)� +)�
���� � �+�� +)�� .�� +)� � ���:���� ��� � ��� "�� ��# �� ������ ���� �� ���������#� �� � ���)9 ������
, 7��� ��� ���� ���� ��
�+�� .��
��� � � �� +)+� +)+�
���� � �+����� +)+�� � .�� +)+�� �+��� �+)��� .)��� �+��� �)*
'�� �� �+��� �)* � �����)* � ��*+ � �+
2�# ������� �� ��� �� �+; �� �� �� �� � ���� #��� ���$�
�� &��'��� �*3
����,�-�*1
�� � ��� � �� � +)���* � +)...���� � ��� � �� ��� � �� � �� +)...� � +)�������� � � +)...�� �� +)���� � �)*�
, �+++ �� �+ ������ �� �*0� ������� �+ �)*� � ��� ����� !� ,������ � �� .�� �����) ��� �� .�)�;
��� � �� � +)���+ � +)��.���� � ��� � �� ��� � �� � �� +)��.� � +)�������� � � +)��.�� �� +)���� � �)���+++ �� *+ ������ �� �+ 0� ������� *+ �)�� � ��� �����
� � � ������ � � � � �� ��� ��� � �� � +)�� � ��� � � �� � �� +)��
� ��� � � � +)�� � � � �� ��� +)�� �� +)�� � � +)�� � �� +)��
� � �� +)��
�+++ �� �+++
������ ��
0� ������� �+++ � � �� +)�� � � �+++� �+++
� �+++ +)�� �����
� ���� � �� � �+++� �+++�� �+++ +)���
8��� <�� � +) <��= � �*) >�� � ��+ � >��= � �*+ !� ����� �� ��$� ����� � � �+)*� � � � ��*)� !$� �� �� ����� �
10,52
195,4
n
aantal tests
5�# � �� ���� � ������ ��� ����� !� ,������ � �� �+� �����) �$� �+)�;
�� � ��� � �� � ���� �
��
� � � � * � . � � �+ �� ��
��� � �� ���
���
���
���
*��
���
*��
���
���
���
���
���� � � ���� � �
��� � �
��� � � �� �� �
��� .
���� � ���� � � ��� � �
�� � �
�� � �
�� * �
�� � �
�� �)*
��� � �� � ���� � .���� � ���� � �)*� �)* � .
��$� ��� � � � � ���� � ����
9��!�����(! ��������� ��
����,�-�*:
�� � ���� � �� � �� ������ � +)� +)� +)� � +)���, ����) �� � �� ���� � �� � ���# ������ � +)� +)� +)� +)� +)� � +)+�� � � � ,���� � ��� ��� �� ���� �� �� ��#� ���� ���� �
4� "�# *�
� �� �+ ������#���� ������ �� � � ,���� � ���� �����
� �� ���� � ������ � ������ � � � �� ������ � +)�� +)�� +)�� +)�� +)� � �).
�� � ��������� � �- �- �� �� $�� � ���- �- �� +)�* +)�+ +)�* +)��� +)+* +)�+ +)�* +)��� +)�* +)�+ +)�* +)��� +)�* +)�+ +)+* +)��� +)�* +)�+ +)�* +)+� � +)���
, ���� ���� � +)+*� +)�+� +)+*� +)+� � +)�� &� �������� ������������� ��� #��� "�# �� +)�� � **+ � � ����)9
����,�-�*7
� � ���� � � +)+*� � +)�*� � +)�� � +)�*� * +)+* � ���� � � � +)�� � +)�*� � +)�� � +)�*� * +)� � �
, � ��� ��������� ,�# �
����,�-�*+
� � ���� � ��#�� � � �� �� �� �� *� � ��#�� � � +�+*� +��*� +��� +��*� +�+*� !� ����� �9��� 7���� �� ���( ����� ���� � � � �� � +)��
, ���� � ��#�� � � �� �� �� �� *� � ��#�� � � +��� +��*� +��� +��*� +��� !� ����� �9��� 7���� �� ���( ����� ���� � � � �� � �)��
�� � � � . � �
��� � �� �*
�*
�*
�*
���� � ��#�� � � �� .� �� �� � ��#�� � � +��� +��� +��� +��� !� ����� �9��� 7���� �� ���( ����� ���� � .)� � �� � �)+�+
, � + �
��� � �� ��
��
���� � ��#�� � � +� �� � ��#�� � � �� �
���
!� ����� �9��� 7���� �� ���( ����� ���� � +)��. � �� � +)��� 5�#����,���� ,�# � � � ���� �� ����#�� � + � � + ) ��� "�# � �� �� �*
���� � ��#�� � � �� .� �� �� �+� ��� � ��#�� � � ��* �
��* �
*�* �
��* �
��� �
��*�
!� ����� �9��� 7���� �� ���( ����� ���� � �)��. � �� � �)��� � ��� � �� � ���� � �)��.
���� � ��� � � .)�� +)��. � �)��.!$� ��� � �� � ���� � ��� � ���� � �� � �)����� � �� � �)+�+� +)��� � �)���!$� ���� �� ��� ����# �� �� � ��
� ����� � ��
� � �)���� � �)����� � ��
� � �)+�+� � +)���� � �)��!�� ����
� &��'��� �*3
����,�-� #$
�� � ���� � ���� � ���� � ��� �+ � �� ��� ��
, �� ���������������������� � ��
�
� ���������������
�� � ��� � �����
��� � �)� ��� ��
�� ���� � ���� � ���� � ��+� �+ � ��+ ����
�� ���������������������� � ��
�
� �����������������
��� � *�� � ��������
���� � �� ����
�� � !� ��� � � � �� ������ .) �$� �� ��� ���������#� � �� + , � � � "�# ��� � ���� ���#
���� 0 ��������-������)�����
����,�-� ##
�� � 4� �� $������� �� �**����+� ��+����*� � � � � ��*����+ , !� ����� ,������ $�� �*� �+� ��*� �.+� ��+� �+� �+ � �+++ ����� � ���� � ��#�� � � �*.�*� ����*� ��.�*� �.��*� �..�*� ����*� ��.�*� �
��#�� � � �*� �+� ��*� �.+� ��+� �+� �+� !� ����� �9��� 7���� �� ���( ����� �� � �.�)� � � � *). !$� ��� ���������� �� �.�)� � � �� ��� ���������#� � �� *). �
� ��+ �� ��; � �*+ �� �*;
�� � !� ����� ,������ �� � � , !� ���?$� ��� �� �� ����� �.����.� �� � ������ �.* 8��) ,�# ���$$� �� �� �� �� ����� ���� ������
� ���$$� �� �� �� ��� �� ��� �� � ��� �� �� ��� �.+ � �.* �� � ������ * �*+ � �.*+
����,�-� #8
�� 8������ ������� � ,�# ,) �) �) � �
�� � ��;� ��;� �� �� ; � �� �
� ;, � �
� ; �� �
� ;� � �� ; � ��;
� �� �� ;� ��; � �. �
� ;
170165160 175 180
34% 34%
2 %12 2 %1
213 %12 13 %1
2
9��!�����(! ��������� �
� � �� �� ;� ��;� ��; � �� �
� ;!$� +)��* *+++ � �+.* ��$��� ����
, ��;) �$� +)�� *+++ � ��++ ��$��� ����
��* �� ��**+++
� �++; � �)*;
!$� "������� �� �+� ���� 180169158 191 202
34% 34%
2 %12 2 %1
213 %12 13 %1
2
� � ��� ���#�� �� ������#� ���� ���� �� ��������#� ��� 5�# �� ��9#����� ����� ����� �@��� ��� ����������3) ,�# �� �+9#����� ����� ����� � @�������� ����������3
, 5�# ����� � ����� �� �������� ��� ���������#� �) �$� ,�# �+9#����� �� �� �� ����� � ���� �������
����,�-� #%
�� A����� �1 � � �* � � � �)* A����� �1 � � ��)* � � � � A����� �1 � � �.)* � � � � A����� �1 � � .+ � � � +)*
����,�-� #1
�� � '��� �� ,�# *+; 0� ��#�� � � .)� , 5�# �� � ����� *+;� ��; � ��;
����"� ����� �� � � �)� � � �)�� .)� � �)�
����,�-� #7
�� 8������9�������# ��#����������� �� ��,������ �� �� ����������� ������ ������� � ����,�#�� $�$������� ����������� �� ��6������ ����� �� ������ �++ !� ��������� $�$����������?$� ��� �++ ��� �$� ��� ����
�� � ���?$� ��� $�$����������?$� ���
���������$�$����������?$� ���
� � �)�* � �)*�� �� �+)��� �� �*)��� *� ��)��� .. ��)��� �+ �*).� �� �++)+
17,5 19,518,5 20,5 25,526,5+µ σµ0,01
0,10,20,5
12
5
10
20304050607080
90
95
98
99,5
99,9
99,99
99,8
99
breedte in mm
relatieve cumulatieve frequentie
!� �$ �� ����� ������# �� �� ����� ��# )�$� �� ������ ,� ����� � �� ���������
, � � ��)� ���� � � ��).) �$� � � ��).� ��)� � �)� ��
�� &��'��� �*3
����,�-� #+
�� � ���?$� ��� $�$������� ���?$� ��� ��������� $�$������� ���?$� ���
� � +)*� �+ �)*�� �� �)+.� �+� ��)+��� ��+ **)+�+� ��� ��)+*� ��+ �*)+�� ��� ��)*� �++ �++
1,58 1,61 1,67 1,731,64 1,70 1,76 1,79 1,82diameter in mm
0,01
0,10,20,5
12
5
10
20304050607080
90
95
98
99,5
99,9
99,99
99,8
99
relatieve cumulatieve frequentie
, � � �)�� ���� � � �).� ��) �$� � � �).�� �)�� � +)+� ��
1,681,65
2,5%
� � �)�� �� �� �� � �)�* ��) �$� �� � +)+� � � � +)+�* ��
�� � 5�# �+ �� ����� ��; 5�# �� �� ����� .�; !$� .�;� ��; � ��;
, '��� �� ,�# �+; ����� � ������ ��)� �� !$� �� �������� �+; �� �� ���#�� ����� �� �������� �� ���� �� ��)� ��
9��!�����(! ��������� ��
5�# �� ���� � ���#�� �� � � �� �� '��� �� ,�# ��; ��� �� � � ��)� ��) �$� � � �)� �� !$� ,�# �� "����� ���#�� �� � � �� �� � � � +)� �� &�� �$� �� ��# ���� @��) *+3 � @��)�B ��3
8 9 10 11 12 13 14 15 16diameter in mm
zwar
te o
lijve
n
0,5
1
2
5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
95
98
99
99,5
� ������ � ����� �������� ���� �� �� ��� � +)�+ ��"����� ����� �������� ���� �� �� ��� � +)*+ !$� ��������� � �� +)�+ +)*+ � +)+*
����,�-� 3$
�� � 4�� ��#��� ,���� � ��"����� ��� ���������#� � , !�� �� ,����� ��� �� ����� � �� ��� ��� ��� ���������#� � ����� �� ��� �� ����� � !�� "���� ,�# ����� � ��� ,�# ����� � �+; �� �� ,������ ����� �� �� �* �� � !� ��# � ,�# � � � ����� ����� �� � �#�� �� �� ������ �� *+
�� &��'��� �*3
���� ���)�������������������
����,�-� 3*
�� � !�� ����� $�� �� �$��������� �� �� ������ ������� � , � ����������� +)��*
, ����������� +)�.* ����������� +)+*� ����������� +)��
����,�-� 3#
� � ��� � ����������+��� *� ��*� ���� � +)���, ��� � ��������.++� �+��� �*+� ��+� � +)��� ��� � ����������+��� ��� �.��� ���� � +)�.�� ��� � ���������+++� ��++� �+�+� �+� � +)*��
����,�-� 33
� � ��� � ����������+��� ��+� *�+� ��� � +)+��, ��� � ��������*�+� �+��� *�+� ��� � +).��
520480
σ = 18µ = 520
�� � ��� � ����������+��� *��� *��� +��� � +)+�+!$� �)+;
, ��� � ��������*��*� �+��� *��� +��� � +)��*!$� ��)*;
��� � ������������ ���� *��� +��� � +)��+!$� ��)+;
�� !�"� ���������� �� � � +)�* � +)�*
����,�-� 38
�� � � � � �8����+��� ��� �� � �*)+, ��� ����� � +).) �$� ��� �� � � �� +). � +)�
� � � �8����+��� *+� �� � �*)� � � � �8����+���� �++� .+� � �.�� ��� ����� � +)+�) �$� ��� �� � � �� +)+� � +)��
� � � �8����+���� +��� +��� � �)+�
����,�-� 3%
�� � !� ���������� �� ��� ��,��� �� � �� � �� ��
, � � � �8������ � �+� *� � �.)�� � � �8������ � �+� *� � ��)�
9��!�����(! ��������� ��
�� � � � �8�����* � �+++� *+� � �*�� � � �8�����* � �+++� *+� � ��.� � � �8�����* � �+++� *+� � �+��� � � �8�����* � �+++� *+� � �+��
�� � �� +)* � +)* � +)*�� +)�*) �$� � � � �8����+��*� ��� �� � ��).
� � � �8����+�.*� ��� �� � ��)�
, �� +)�� � +)�� � +)���� +)+�) �$� � � � �8����+�+�� �*+� �*� � ���)�
� � � �8����+���� �*+� ��� � ���)�
+)���� +)+�) �$� � � � �8����+�+�� *�� �� � ��).
� � � �8����+���� *�� �� � �.)�
����,�-� 31
�� ����������+��� �*� �+� �� � +).����� � �� � ����������+��� �*� �+� �� � �� � +).���� �� ���� <�� � +) <��= � �+) >�� � + � >��= � � !� ����� � ������ ����� � � �)�.* !$� � � �)*
:C @D����3
E �*� �+�
� �� +).�
���� � �� � E ��*� �+� � �� � � �� � +).���� �� ���� <�� � +) <��= � �+) >�� � + � >��= � � !� ����� � ������ ����� � � �)�.* !$� � � �)*
����,�-� 3:
�� � ���� � �� � ����������+��� �.+� �� ��� �� �� � E ��.+� �� � ��� � � �� � +)+� , 4� ������ � �� � �� �++) �$� ��� <�� � �.+ � <��= � �*+
:���� �� � +)+� ��� � >�� � + � >��= � +)� !� ����� � ������ ����� � � ���)��) �$� � � ��.
�
17
σ = 3,8µ
opp = 0,28
= ?
���������.� �+��� �� ���� � +)������ � �� � ���������.� �+��� �� ���� � �� � +)����� �� ���� <�� � �+) <��= � �.) >�� � + � >��= � +)* !� ����� � ������ ����� � � ��).�*) �$� � � ��)�
�� &��'��� �*3
:C @D����3
E �.� �
�)�
� �� +)��
���� � �� � E���.� �� � �)�� � �� � +).���� �� ���� <�� � �+) <��= � �.) >�� � + � >��= � � !� ����� � ������ ����� � � ��).�*) �$� � � ��)�
� �� +)�� � +)��
��� �� � �� �+�+ �� +)���� +)��
����������+��� �+�+� ��++� �� � +)��
23202080
σ = ?µ
opp = 0,62
= 2200
���� � �� � ����������+��� �+�+� ��++� �� � �� � +)�� ��� �� ���� <�� � �++) <��= � �++)>�� � + � >��= � +)* !� ����� � ������ ����� � � ���)��) �$� � � ��+ 8 5 0� $ � �� �� �������#� � ���������+�+� ���+� ��++� �� � +)�� �������
:C @D����3
E �+�+� ��++�
� �� +)��
���� � �� � E ��+�+� ��++� � �� � � �� � +)����� �� ���� <�� � �++) <��= � �++) >�� � + � >��= � +)* !� ����� � ������ ����� � � ���)��) �$� � � ��+
�� � ��� � ����������� �+��� .*� ���� � +)+.�, ��� � ��������.+� ��� .*� ���� � +)�+� ��� ����� � +)��) �$� ��� �� � � �� +)�� � +)�.
� � � �8����+��.� .*� ���� � .+)��
σ = 4,8µ = 75
c db
� � � � �8����+��*� .*� ���� � .�).�� � .*� � � �8����+�.*� .*� ���� � .�)��
�� � ������������� �+��� �� ��*� � +)������ � �� � ������������� �+��� �� ��*� � �� � +)�� ��� �� ���� <�� � �+) <��= � �*)>�� � + � >��= � +)* !� ����� � ������ ����� � � ��)�+) �$� � � ��)�
σ = 3,5µ
opp = 0,41
= ?
14,6:C @D����3
E ��)�� �
�)*
� �� +)�� � +)*�
���� � �� � E ���)�� �� � �)*� � � �� � +)*���� �� ���� <�� � �+) <��= � �*) >�� � + � >��= � � !� ����� � ������ ����� � � ��)�+) �$� � � ��)�
9��!�����(! ��������� ��
, ������������� �+��� ����� �� � +)��σ = ?µ
opp = 0,41
= 12,3
14,6
���� � �� � ������������� �+��� ����� �� � �� � +)�� ��� �� ���� <�� � +) <��= � �*)>�� � + � >��= � +)* !� ����� � ������ ����� � � �+)� �$� � � �+)�
:C @D����3
E ��)�� ��)��
� �� �� +)�� � +)*�
���� � �� � E ���)�� ��)�� � �� � � �� � +)*���� �� ���� <�� � +) <��= � �*) >�� � + � >��= � � !� ����� � ������ ����� � � �+)�) �$� � � �+)�
�� !� ���������� �� � �� �)�� �� ����������+��� ����� ���� +�+�� � +)+��� !� ���������� �$��� �)�� � �)�� �� ������������� ����� ���� +�+�� � +).+��
!$� �� ���������� �� � �� � �� +)+���� +).+���� +)��+
!�� ����� � � � �8����+���+� ���� +�+�� � �)���
����,�-� 37
�� � 8��� ,�#����,���� �� ������ ������� � ��� � � + � � � � 0� ��#�� ��� � ����������� �� +� �� � +)���. !$� ��� ���� ���� �� ��)�.;
, �� ���� $�� �� � � + � � � � 0� ��#�� ��� � ����������� �� +� �� � +)�*�* !�� ���� ���� �� �*)�*;
���� ����������)��������)�����
����,�-� 3+
�� � ��� � ������������ �+��� �.�� *��� � +)���
182
σ = 5,4µ = 178
, �� �� #� �� � �� ��)�; �� ��� �� ��� � !� ��������� � � �� +)���
����,�-� 8*
�� � ��� � ����������+��� ��� �*� �� � +)�*�!$� �*)�;
23
σ = 3µ
opp = ?
= 25
� &��'��� �*3
, ��� � ������������� �*��� �*� �� � +)��*!� � � �� +)��*
25,323,8
σ = 3µ
opp = ?
= 25
��� � ����������� �+��� �*� �� � +)���0� ������� +)��� ��+ � ��
26
σ = 3µ
opp = ?
= 25
� ��� � � ����������+��� ���*� �*� �� � +)��.!$� ��).;
23,5 26,5
σ = 3µ
opp = ?
= 25
�� � ��� � ���������+� �+��� .�� ��� � +)����
60
σ = 12µ
opp = ?
= 78!$� +)���� ��++ � ���� "�# "������� �� �+ � ��� � ����������+��� �*� .�� ��� � +)����!$� +)���� ��++ � ��� "�# ������ �� �* �
, ��� � ��������.+� ��� .�� ��� � +)�.�!� � � �� +)�.�
��� � ���������+*� �+��� .�� ��� � +)+���!$� +� +��� ��++ � �+
� ��� �� � � �� +)� � +)�� � � �8����+��� .�� ��� � ��!$� �� �� �� �
a
σ = 12µ
opp = 0,1
= 78
�� � ��� � ����������+��� .�� �*� *� � +)+��
78
σ = 5µ
opp = ?
= 85!$� �)�;
, ��� � ����������+��� .�� �*� �� � +)+�+!$� �)+;
� � ��� � � ����������+��� �� ���*� ���� � +)+����� �� � ���������� ��� ���*� ���� � +)�+���� ��� � ����������� ��� ���*� ���� � +)�+.
119 13
IIIIVI
σ = 1,8µ = 11,5
II��� �� � ����������� �+��� ���*� ���� � +)�+�!� ���� ����� "�# �)�;) �+)�;) �+).; � �+)�;
9��!�����(! ��������� �
, � � � �8������ � ���*� ���� � �+).
ba
σ = 1,8µ = 11,5
13
13
13
� � � �8������ � ���*� ���� � ��)�!� ��� "� "�# �+). � ��)� �
����,�-� 8#
� � ��� � ���������.� ��� ��� +��� � +)���!$� ��)�;
1917
σ = 0,4µ
opp = ?
= 18
, ��� � � ����������+��� �.��� ��� +��� � +)+�+!� � � �� +)+�+
18,717,3
σ = 0,4µ
opp = ?
= 18
� � � �8����+�+�� ��� +��� � �.)�� � � �8����+���� ��� +��� � ��)�!� �������� �� �� ��� �� �.)� �� ������ �� ��)� ��
a b
σ = 0,4µ
opp = 0,02
= 18
�� � ��� �� � � �� +)� � +)�� � � �8����+��� ��*��� ����� � ���!$� �� �� �� �F �� ���
a
σ = 13,1µ
opp = 0,1
= 115,2
, � � � �8����+��*� ��*��� ����� � ��+0� ��#�� �� ���� �� � ,�# �� �F �� ��� ���� ��� ���
ab
0,65
0,25 0,10
σ = 13,1µ = 115,2
�� � ��� � ����������+��� *++� *+�� �� � +)���!$� ��)�; σ = 3
µ
opp = ?
= 501
500
&��'��� �*3
, &� ����������+��� *++� �� �� � +)+*���� � �� � ����������+��� *++� �� �� � �� � +)+* ��� �� ���� <�� � *++) <��= � *�+)>�� � + � >��= � +)�
σ = 3µ
opp = 0,05
= ?
500
!� ����� � ������ ����� � � *+�)� !$� �� �� ���������� �� �� ��� � *+�)� ����
D����
E *++� �
�
� +)+*
���� � �� � E �*++� �� � �� � � �� � +)+*��� �� ���� <�� � *++) <��= � *�+) >�� � + � >��= � +)� !� ����� � ������ ����� � � *+�)�!$� �� �� ���������� �� �� ��� � *+�)� ����
�� �� ��� "���� ,�# ����� , 0� ��#�� � � *+.)+ ���� :���� �� �$����� � ��� ��=����� *+* ������������� � ����� � �� ���������� �� *+.)+ ���� ��� � ������� �����
σ = 3µ
opp = 0,01
= ?
500
�� � &� ����������*� �**� �*+� �� � +)�+���� � �� � ����������*� �**� �*+� �� � �� � +)�+ ��� �� ���� <�� � +) <��= � *)>�� � +)* � >��= � � !� ����� � ������ ����� � � �)+� !$� ��=����� � � �)+� ����
σ = ?µ
opp = 0,90
= 250
245 255
D����
E ��*� �*+�
� �� +)+*
���� � �� � E ���*� �*+� � �� � � �� � +)+*��� �� ���� <�� � +) <��= � *) >�� � + � >��= � +)� !� ����� � ������ ����� � � �)+� !$� ��=����� � � �)+� ����
, &� ����������+��� �*+� �� �� � +)�+���� � �� � ����������+��� �*+� �� �� � �� � +)�+ ��� �� ���� <�� � �*+) <��= � ��+)>�� � + � >��= � +)� !� ����� � ������ ����� � � �**)� !$� �� �� ���������� �� �** ����
σ = 4µ
opp = 0,10
= ?
250
D����
E �*+� �
�
� +)�+
���� � �� � E ��*+� �� � �� � � �� � +)�+��� �� ���� <�� � �*+) <��= � ��+) >�� � + � >��= � +)� !� ����� � ������ ����� � � �**)� !$� �� �� ���������� �� �** ����
9��!�����(! ���������
����,�-� 83
�� � ��� � ����������� �.� �*� �� � +)�*���*)��; �� �+ +++) �$� �� ��,��� � ����
�++�*)��
� �+ +++ � �+ �.� � �+ *++ ����� ���
, ��� � ����������� ��� �*� �� � +)��*�!$� +)��*� �+ *++ � ���* ��$�
σ = 3µ
opp = ?
= 35
31 37
�� � �� ,���� � ���� � ������������ ���� �� +��� � +)�*�*
!�� ��� �$� �++�*)�*
� .)*+ � � .)��
��� �++ ,�$�,��� �����#��
σ = 0,2µ
opp = ?
= 4
3,6 4,4
�� ,���� � ���� � ������������ ���� �� +��� � +)��.�
!�� ��� �$� �++��).�
� �)*+ � � .)�*
��� �++ ,�$�,��� �����#�� !$� �� �� ,���� � � �� ��� �� ������#��
σ = 0,3µ
opp = ?
= 4
3,6 4,4
, &� ������������ �+��� �� +��� � +)+����� � �� � ������������ �+��� �� +��� � �� � +)+� ��� �� ���� <�� � �) <��= � �)>�� � + � >��= � +)� !� ����� � ������ ����� � � �)� !� ���������� ���� �� �)� ��
3,8
σ = 0,4µ
opp = 0,04
= ?
D����
E �)�� �
+)�
� +)��
���� � �� � E ��)�� �� � +)�� � � �� � +)����� �� ���� <�� � �) <��= � �) >�� � +)� � >��= � � !� ����� � ������ ����� � � �)� !� ���������� ���� �� �)� ��
&� ����������*� *��� ���� �� � +)�*���� � �� � ����������*� *��� ���� �� � �� � +)�* ��� �� ���� <�� � +) <��= � +)�)>�� � +)� � >��= � � !� ����� � ������ ����� � � +)�*� !$� �� �� ��� ���������#� � �� +)�* ��
4,5 5,1
σ = ?µ
opp = 0,95
= 4,8
� &��'��� �*3
D����
E �)*� �)��
� �� +)+�*
���� � �� � E ��)*� �)�� � �� � � �� � +)+�*��� �� ���� <�� � +) <��= � +)�) >�� � + � >��= � +)+* !� ����� � ������ ����� � � +)�*� !$� �� �� ��� ���������#� � �� +)�* ��
�� � ��� � ����������+��� ��*� ��*�� +���� � +)���!� � � �� +)���
2,5
σ = 0,12µ
opp = ?
= 2,52
, ��� � � ����������+��� ����� ��*�� +���� � +)+��!$� �)�;
2,26 2,86
σ = 0,12µ
opp = ?
= 2,56
&� ����������+��� ��*� �� +���� � +)+����� � �� � ����������+��� ��*� �� +���� � �� � +)+� ��� �� ���� <�� � �)*) <��= � �)>�� � + � >��= � +)� !� ����� � ������ ����� � � �).� !� �$����� � ���� ����� � ������� �� �� ���������� �� �).� � �� ����
2,5
σ = 0,12µ
opp = 0,04
= ?
D����
E �)*� �
+)��
� +)+�
���� � E ��)*� �� � +)��� � � �� � +)+���� �� ���� <�� � �)*) <��= � �) >�� � + � >��= � +)� !� ����� � ������ ����� � � �).� !� �$����� � ���� ����� � ������� �� �� ���������� �� �).� � �� ����
� ���*�� +)+���
&� ����������.�� �+��� �� +���� � +)+������� � �� � ����������.�� �+��� �� +���� � �� � +)+��� ��� �� ���� <�� � �)�)<��= � �)�) >�� � + � >��= � +)+� !� ����� � ������ ����� � � �)�. !� �$����� � �� � ������� �� �� ���������� �� �)�. �
2,72
σ = 0,12µ
opp = 0,0188
= ?
9��!�����(! ��������� �
D����
E �).�� �
+)��
� �� +)+��� � +)����
���� � �� � E ��).�� �� � +)���� � � �� � +)������� �� ���� <�� � �)�) <��= � �)�) >�� � +)�* � >��= � � !� ����� � ������ ����� � � �)�. !� �$����� � �� � ������� �� �� ���������� �� �)�. �
����,�-� 88
�� � ����*� +)+���
&� ��������.+� �+��� ��� �� � +)+������� � �� � ��������.+� �+��� ��� �� � �� � +)+��� ��� �� ���� <�� � �) <��= � �)>�� � +)+* � >��= � +)� !� ����� � ������ ����� � � �)��� !$� � � �)��;
70
σ = ?µ
opp = 0,0892
= 68
D����
E .+� ���
� �� �� +)+��� � +)��+�
���� � �� � E �.+� ��� � �� � � �� � +)��+���� �� ���� <�� � �) <��= � �) >�� � +)� � >��= � +)�* !� ����� � ������ ����� � � �)��� !$� � � �)��;
, ��� � ����������+��� �*�*� ��� ����� � +)+��.!�� "�# �� +� +��. *++ � ��
65,5
σ = 1,49µ
opp = ?
= 68
�� � � � � $$� � � �� $�� � �� �+ � �.�+ ��� �� � �� $�� � ��+ ��� �� �.�+� ��+ � �*�+�.�+� ��+ � �+�+��� � ���������*�+� �+�+� �.�+� ��*� � +)��*!� � � �� +)��* 3540 4020
σ = 125µ
opp = ?
= 3780
, �)* �� $�� � �*+ ��� �� �.�+� �*+ � ���+�.�+� �*+ � ���+
3620 3930
σ = ?µ
opp = 0,30
= 3780
� &��'��� �*3
&� �����������+� ���+� �.�+� �� � +).+���� � �� � �����������+� ���+� �.�+� �� � �� � +).+ ��� �� ���� <�� � �++)<��= � �++) >�� � +)* � >��= � � !� ����� � ������ ����� � � ���). !$� � � ��* ��� ��
D����
E ���+� �.�+�
� �� +)�+
����� � �� � E ����+� �.�+� � �� � � �� � +)�*��� �� ���� <�� � �++) <��= � �++) >�� � +)� � >��= � +)� !� ����� � ������ ����� � � ���). !$� � � ��* ��� ��
�*++.+++
� +)����
�� �� $�� � �� �+ � ���+ ��� ��
3960
σ = ?µ
opp = 0,2143
= 3780
&� �����������+� �+��� �.�+� �� � +)�������� � �� � �����������+� �+��� �.�+� �� � �� � +)���� ��� �� ���� <�� � �++)<��= � �++) >�� � + � >��= � +)* !� ����� � ������ ����� � � ��.)� !$� � � ��. ��� ��
D����
E ���+� �.�+�
� �� �� +)���� � +).�*.
���� � �� � E ����+� �.�+� � �� � � �� � +).�*.��� �� ���� <�� � �++) <��= � �++) >�� � +)* � >��= � � !� ����� � ������ ����� � � ��.)� !$� � � ��. ��� ��
���� ;�����)������� � (��� �
����,�-� 8%
� � �, '��� ��1 A� � ������ +)++��) �$� +)�; '��� ��1 A� � ����� � +)����) �$� ��)�; � '��� ��1 A� � �� �� +)�*��) �$� �� � � �� +)��+ � '��� ��1 A� � �� �� +)�+*�) �$� ,�# �+)�; �� �� ��� � '��� ��1 A� � ������� +)�*��) �$� �*)�;
9��!�����(! ��������� �
����,�-� 81
� �
, ���� ��� � �� ��� �*+� � +)����) �$� ��� � �*+� � +).��� ���� ��� 5 �� ��� �*+� � +)��*.) �$� ��� � �*+� � +)�+�� ��� 5 �� ��� �� �����$�) �� � +)�+�� � +).���
�� � A� � ������ +)�* ����� ��� �� ���)+�.�) �$� �� �� �F� ��� , A� � �� �� +).* ����� ��� �� ���)�..�) �$� �� �� �F� ��.
�� � � � *++) ��� �� ��* � A� � �� �� +)�+ ����� � � �)�+�* !$� � � �)� ���� �� �� �����,��
, � � *++) '� ����� �� ���) (�������� �� *+. � A� � ������� +)+�* ����� � � �)*.�* !$� � � �)� ���� �� �� �����,��
�� � � � +)�) ��� �� ��)* � A� � ������ +)+* ����� � � ��)���� !$� �������� �� � � ��)�� �
, � � +)�) ��� �� ��)� � A� � �� �� +)+� ����� � � ��)+��� !$� ��� ���������� ��� ��)+� �
����,�-� 8:
�� � �, '��� �� � �� ��,��1 ,�# ���� ** �� ��� �� �� +)+���+.) �$� �).; �� �� ����� �� ����� �� **
'��� �� � �� ��,��1 ,�# ���� .� �� ��� ������ +)+�����) �$� �)�; �� �� ����� �� ����� �� .�
'��� �� � �� ��,��1 ��� �� �� +)�+���� ,�# ���� *�) �$� #� ���� �� ,�# ����� ��� � ��� *�
� &��'��� �*3
�� � ������� �� �
�� � ���$��
������� �
�����������
����� �
��������
�����������
����� �
��������
*+ +)++++ +)++++ �)++++ +)+++� +)++�� +)���.
*� +)++++ +)++++ �)++++ +)++�+ +)++�� +)��.�
*� +)++++ +)++++ �)++++ +)++�� +)++�� +)���.
*� +)++++ +)++++ �)++++ +)++�� +)++*� +)����
*� +)++++ +)++++ �)++++ +)++�+ +)++.� +)����
** +)++++ +)++++ �)++++ +)++�� +)+��� +)����
*� +)++++ +)++++ �)++++ +)++*. +)+��� +)����
*. +)++++ +)++++ �)++++ +)++.. +)+��� +)�..�
*� +)++++ +)++++ �)++++ +)+�+� +)+��� +)����
*� +)++++ +)++++ �)++++ +)+��� +)+��� +)�*��
�+ +)+++� +)+++� +)���� +)+��� +)+*�+ +)���+
�� +)+++� +)+++� +)���� +)+�+* +)+.�� +)����
�� +)+++� +)+++� +)���. +)+��� +)+��� +)�++.
�� +)+++* +)+++. +)���� +)+��. +)���* +)�.�*
�� +)+++� +)++�� +)���. +)+��� +)�*�. +)����
�* +)++�� +)++�� +)��.� +)+��* +)��*. +)�+��
�� +)++�. +)++�. +)��*� +)+��� +)��.* +).��*
�. +)++�* +)++�� +)���� +)+��� +)���� +).���
�� +)++.� +)+��� +)���� +)+*�+ +)���� +)��*�
�� +)+�+� +)+��� +)�..� +)+*�. +)��.* +)���*
.+ +)+�*� +)+�*� +)���� +)+*�� +)���� +)**��
.� +)+��� +)+*�� +)��*� +)+*.+ +)*+++ +)*+++
.� +)+��� +)+�+� +)���� +)+*�� +)**�� +)����
.� +)+��� +)��*� +)���� +)+*�. +)���* +)��.*
.� +)+��� +)�*�. +)���� +)+*�+ +)��*� +)����
.* +)+*.� +)���� +).��� +)+��� +).��� +)����
.� +)+��� +)�.�� +).�*. +)+��� +).��* +)��.*
.. +)+.�. +)���� +)�**� +)+��* +)�+�� +)��*.
.� +)+.�� +)��+. +)*.�� +)+��� +)���� +)�*�.
.� +)+.�� +)*+++ +)*+++ +)+��. +)�.�* +)���*
�+ +)+.�� +)*.�� +)��+. +)+��� +)�++. +)+���
�� +)+.�. +)�**� +)���� +)+�+* +)���� +)+.��
�� +)+��� +).�*. +)�.�� +)+��� +)���+ +)+*�+
�� +)+*.� +).��� +)���� +)+��� +)�*�� +)+���
�� +)+��� +)���� +)�*�. +)+�+� +)���� +)+���
�* +)+��� +)���� +)��*� +)++.. +)�..� +)+���
�� +)+��� +)���� +)+�+� +)++*. +)���� +)+���
�. +)+��� +)��*� +)+*�� +)++�� +)���� +)+���
�� +)+�*� +)���� +)+�*� +)++�+ +)���� +)++.�
�� +)+�+� +)�..� +)+��� +)++�� +)���� +)++*�
�+ +)++.� +)���� +)+��� +)++�� +)���. +)++��
�� +)++�* +)���� +)++�� +)++�+ +)��.� +)++��
�� +)++�. +)��*� +)++�. +)+++� +)���. +)++��
�� +)++�� +)��.� +)++�� +)+++� +)���� +)+++�
�� +)+++� +)���. +)++�� +)+++� +)���* +)+++*
�* +)+++* +)���� +)+++. +)+++� +)���. +)+++�
�� +)+++� +)���. +)+++� +)+++� +)���� +)+++�
�. +)+++� +)���� +)+++� +)+++� +)���� +)+++�
�� +)+++� +)���� +)+++� +)++++ +)���� +)+++�
�� +)++++ �)++++ +)++++ +)++++ �)++++ +)++++
�++ +)++++ �)++++ +)++++ +)++++ �)++++ +)++++
9��!�����(! ��������� �
,gewicht mannen en vrouwen
0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500
0,0600
0,0700
0,0800
0,0900
50 60 70 80 90 100kg
'��� �� � �� ��,��1 ,�# .� � �� ,�# �� �� � ��� ������ +)��*� !�� "�# �$� +� ��*� ��++ � �.++ �� �
� '��� �� � �� ��,��1 ,�# �* � �� ,�# �� �� � ��� ������ +)��*� � ,�# �� ���$�� ��� ������ +� +����
!�� "�# �$� +)��*� ��++� +)+��� �*++ � ��� ����� � � ���� � ��� *+) 5�� ��++ �8:(� �4(!@��B .�B *B �3)
D�� �*++ �8:(� �4(!@��B .�B .B �3 � !�� 5��D� 0� ��#�� �� ����� �� ��,��
������� ��� �
��� ����������� �� � �
��� � ����������� �� � �
��� �� ����������� �� � �
*+ + � �
*� + * *
*� + � �
*� + �� ��
*� + �� ��
** + �� ��
*� + �+ �+
*. + *. *.
*� + .� .�
*� + �+� �+�
�+ + ��* ��*
�� + ��� ���
�� � ��� ���
�� � ��� ���
�� � ��. ���
�* * ��� ���
�� � *�� �+�
�. �* .�+ .��
�� �* ��* ��+
�� �� ��� �+�+
.+ �* ��+� ��.�
.� �� ��*+ ����
.� ��* ���� �*�.
.� �+. �*�� �.��
.� ��� ���* ��*+
.* ��� �.�+ ��.�
� &��'��� �*3
������� ��� �
��� ����������� �� � �
��� � ����������� �� � �
��� �� ����������� �� � �
.� ��� ��+� ��++
.. ��+ �+�� ����
.� .*. ��+� ����
.� �++ ���� �+��
�+ �+�� ��*� ����
�� ���+ ��+� ����
�� ��+� ��** ����
�� ���� ���� ����
�� �*�� ���� ���*
�* �*�� ���� �+��
�� ��** ���+ ����
�. �.+� ��.� ��.�
�� �.�* ���� ����
�� �.*� ���. ����
�+ �..* ���� ���.
�� �.�* ���* ���+
�� �.�� ���. ����
�� �.�* ���� ����
�� �.�� ���� ����
�* �.�� ���� ����
�� �.�� �*++ ����
�. ��++ �*++ ����
�� ��++ �*++ ��++
�� ��++ �*++ ��++
�++ ��++ �*++ ��++
� A�# � �� ��,�� 4� "�# �+� ����� � ������ �� �� �) �$� �� ������� �++ ����� � "�# �������� �� �
� �+; �� ��++ �� ��+ ��++� ��+ � ��.+ 4� "�# ���� ����� � ������ �� �� � � �� "�# ���* ����� � ������ �� �� � !$� �� �+; "������� ����� � "�# "������� �� �$�� ���
;���������(! ����
����,�-� %$
� � ��� �� �1 ��� �� ��� �� ��� ������� �� ��� �� � �� ����� �� �� � �� �+
���� +)�*�
, ��� �� �� �+� "�� ����� ���� �� *� ��� �� ��� ����� �� �� ��� ����� �� �� ��� ��
������� �+ ������#����
����� �� �� ��� � .� � �� ����� �� �� ��� �� .� � �� �+���� +)�+.
9��!�����(! ��������� �
� � �� ���� � $�� G����������� ���*
� ���*
� � � +)�++
, ������ $�� �� ��� � ���� $�� (���� � ����
� � �
�
� ���*
� � � +)���
���� ��� � ���� $�� (���� � � �� �� $� �� �- �- $�� (���� �
� ���+*
� ���*
� ����
� � �+
�
� ���*
� ����
��� � +)���
� � ����� � ��� �� � *�
� ��� +)���
, ����#� ��� ���� �� � � ���� ��� �� � �*
� � �
�
� �* �
�
� ��� +)++�
���� ��� � ���� ��� �� � �� �� $� �� �- �- ��� �� � �� *�
� ��� �
�
� � �� *
�
� �.
� +)��*
� ������ ��� �) ���� ��� � � ���� ��� * �� �� � ��
� � �
�
� � �
�
� �� �
�
� �� �
�
� ��� +)++�
� � �������� ���� �� ������ �� �+ ����� � ��� ���� +)�+*
, �������� ���� �� ������ �� �+ ����� � ��� ��� .�+ ��� +)��.
!� � ��� ������#���� �� �+) �+) �+) �+) �+) �+) �+
!� � � �� ��� ��� ��+ �� .� �. ��� +)++*
� ���� �� ��� �� ����� � ��� � ����
���� �. ��* �� ����� � �.� � ����
���� �� ��� �� ����� � ��� � ����
�** ��
� � $��,����� �
� �++ �* * +
��� � �� ����
����
����
�+����
���� � �++ ����� �* �
���� * �
���� + �+�
���� �.*
���� +)��
!� �� ���������� � ��� ���� �� +)��� � � � � +)��
� � ���� ��� � �- �- ������ � �� ����� � ��� ������ � �� +)�. +).* +)�* +)�+ +)�� � +)���, ���� ��� �� ����� ���������� ��� #���� � +)��� +)�*� +)�*� +)�+� +)+. � +)�
�@$�� �� ,����� ,�����3� +)� �* � ��)* ���#�� �$��
&��'��� �*3
����,�-� %*
� ���� � ���� � ���� � �).*� �)�* � �)�+ �
�� ���������������������� � ��
�
�
���������������������������+)�*� � +)+��
�� +)�. �
� � ��; �� .*+ �� *�+, �.)*; �� .*+ �� .�� ��)*; �� .*+ �� �+�� �.)*; �� .*+ �� �*�
46045244413,5% 13,5%
2,5%2,5%
34%34%
468 476 gram
� ����� ���?$� ��� $�$������� ���?$� ��� ��������� $�$������� ���?$� ���
���� . . �)�����+ �+ �. .)��+���� �� .� ��)������� �+ �*� �+)������� �� �*� ��)������� �� ��� ��)������* �� ��� �*)+�*���� �* �.� ��)������. � ��+ �++
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17µ
0,01
0,10,20,5
12
5
10
20304050607080
90
95
98
99,5
99,9
99,99
99,8
99
relatieve cumulatieve frequentie
lengte in cm
!� �$ �� ����� ���#��� �� �� ����� ��# ) �$� �� ������� � �� ,�# ,� ����� � ������ , � � ��)� � �� � � ��)+ �$� � � �)�
9��!�����(! ���������
� � ��� �� �� �� +).*�
� +)��*
� � � �8����+���*� �*�� ��� � ���)�, &�
������������ �+��� �� ��� � +).����� � �� � ������������ �+��� �� ��� � �� � +).���� �� ���� <�� � ���) <��= � ��+) >�� � +)* � >��= � � !� ����� � ������ ����� � � ��+)�*!$� � � ���
D����
E ���� �
��
� �� +).�
���� � �� � E ����� �� � ��� � � �� � +)����� �� ���� <�� � ���) <��= � ��+) >�� � + � >��= � +)* !� ����� � ������ ����� � � ��+)�* !$� � � ���
&� ����������� ��� ��� �� � +).����� � �� � ����������� ��� ��� �� � �� � +).���� �� ���� <�� � +) <��= � �+) >�� � +)* � >��= � � !� ����� � ������ ����� � � �)**�!$� � � �)**
D����
E ��� ���
� �� �� +).�
����� � �� � E ���� ��� � ��� � � �� � +)����� �� ���� <�� � +) <��= � �+) >�� � + � >��= � +)�* !� ����� � ������ ����� � � �)** !$� � � �� **
�� � ��� � ���������+ +++� �+��� �* +++� �.++� � +)+��!$� �)�;
30 000
σ = 2700µ
opp = ?
= 25 000
, � � � �8����+�+�� �* +++� �.++� � �� ��+8� �� ��+ $$�
a
σ = 2700µ
opp = 0,03
= 25 000
� &��'��� �*3
�� &� ����������+��� �*+� �� �� � +)�+���� � �� � ����������+��� �*+� �� �� � �� � +)�+ ��� �� ���� <�� � �*+) <��= � �*�)>�� � + � >��= � +)� !� ����� � ������ ����� � � �**)��!$� ,�# �� ���������� �� �**)� ����
250
σ = 4µ
opp = 0,10
= ?
D����
E �*+� �
�
� +)�+
���� � �� � E ��*+� �� � �� � � �� � +)�+��� �� ���� <�� � �*+) <��= � �*�) >�� � + � >��= � +)� !� ����� � ������ ����� � � �**)� !$� ,�# �� ���������� �� �**)� ����
9��!�����(! ��������� �
����,�-� %#
� !� ���������� � ��� �� ������ �� � ������ �+* ��#��) �$� �� �� � ������ �+ *++ �� ��� 9����� ���� ���
���� ������/�����
����,�-� %8
� � � ���$$� �� � ,��#�� � ��� �� ������ ��������#�� ,��� �� �������� ���� ��� ��� ����� �������� � � ���$$� �� � ���� �� �������� ,��� �� ������ $��
, /�� �� ���$$� ���� ���� 4� "�# $ ,�$����� �� ��������#�� ���� � �����
4� ������ � ��� � , ��� ���� �������� �� �� �$��$�����
ƒ
x
y
1
2
3
4
O 1 2
�������
�� ���� ����������
� &��'��� �*8
����,�-� %:
� � ��� � +�� �� � +�� � �� � ��++ �������#�� �$��� + � � ƒ
V
x
y
4
8
12
O 2 4
���� � ������1 +)+� +)+� +)+� � � �
����� �� ��# � � +)+�� +)+�
: �����������
�+
+)+� �� �+)+�� +)+� ��� �
� ��)�*��
���� ,��� ���1 + +)+� +)+� +)+� � � � ����� �� ��# � � +)+�
5��� ��������
�+
+)+� �� �+)+� ��� �
� ��)+���
!$� ��)�*�� ���������� � ��)+���
� � ��� � +������������������� �+� � +��� �+ � +�� � ��+� � �*
ƒ
V
x
y
O–2–4*++ �������#�� �$��� �* � + ���� � ������1 �* � �)�� � �)�� � � � ����� �� ��#� � �*� +)+�
: �����������
�+
+)+��������������������������������������������*� +)+� � � �+
�� �+)*���
���� ,��� ���1 ��)�� � �)�� � �)�. � � � ����� �� ��# � � ��)��� +)+�
5��� ��������
�+
+)+���������������������������������������������������)��� +)+� � � �+
�� �+)**��
!$� �+)*��� ���������� � �+)**��
� � ��� � +
��� ���� �
� +
��� �� � +�� � ��� � �
ƒ
Vx
y
O 6
3
�++ �������#�� �$��� + � � ���� � ������1 +)+� +)+� +)+� � � �
����� �� ��# � � +)+�� +)+�
: �����������
�+
+)+� ��� ��+)+�� +)+� �+)+�� +)+� � �
� �)��*�
���� ,��� ���1 + +)+� +)+� � � � ����� �� ��# � � +)+�
5��� ��������
�+
+)+� ��� � +)+� +)+� � �
� �)�**�
!$� �)��*� ���������� � �)�**�
� � !� ,������ �� �� ������� �� +)� !� ������ �� �� ������� �� � ��)�� � �)�� � �)��!� ���������� �� �� ������� �� +)� �)�� � +)���
, !� ��# �)� �)� �)* �). �)�) �$� � � �)�� +)�
������������ �
���������� � ���
�+
+)� ��)�� +)� �� � �)��
� !� ,� ����� � �� ,���� �� ��� �� � ������ �� ,��� ��� 4� ������ � � ���� ���� ����9���� ��� �� ,���� �������
����,�-� %+
� � ��� � + ����� � � � @"�� ������ �3 �++ �������#�� �$��� + � � !� ����� � �� �� � �������� "�# +)++* +)+�* +)+�* +)+�* !�� ����� � � +)++*� +)+�
���� �����
�+
+)+� �� �+)++*� +)+� ��� �
� ��)++++*ƒ
Vx
y
O 2
8
� � ��� � + ����� � � �* @"�� ������ �3 *++ �������#�� �$��� �* � + !� ����� � �� �� � �������� "�# ��)��* � �)��* � �)�.* � � � !�� ����� � � ��)��*� +)+�
���� �����
�+
+)+� �����������������������������������������������������)��*� +)+� � � �+
�� �+)*��+
ƒ
V
x
y
O–2–4
� � ��� � + ����� � � � @"�� ������ �3 �++ �������#�� �$��� + � � !� ����� � �� �� � �������� "�# +)+� +)+� +)+* � � �
!�� ����� � � +)+�� +)+�
���� �����
�+
+)+� ��� ��+)+�� +)+� �+)+�� +)+� � �
� �)��*�
ƒ
Vx
y
O 6
3
����,�-� 1$
W
x
y = 3
y
O 1 2 9
1
2
3
xƒ(x) =
� ��� � � ���������� � �� � �
���� � � ��� �
+
����� �� � �.� �� � �
� &��'��� �*8
�
W
x
y = 8
y
ƒ(x) = x2 + 1
O 1–1
1
8
77–
� ��� � � ����� �� � � � ��� � .� � � ���
.� � � � ���
.�
���� � ����.� ��
� ��.�
� ��.� ��� � ���� � ��)��
��
V
x
y = 5
y
ƒ(x) = 6x – x 2
O 1 5 6
1
5
9
������������ �
� ��� � * ����� ��� �� � *��� � ��� * � +�� � ��� * � +��� ����� *� � +� � � � � � *
���� �� *
����� ������ � * � �+)�.� �+ � �+)�.
����,�-� 1*
�� �
V
W
x
y = 1
y
ƒ(x) = x 3 – 5x 2 + 6x + 1
O 1 2 3
1
� ��� � � ����� �� � *�� � ��� � � ��� � *�� � �� � +���� � *�� �� � +���� ����� �� � +� � + � � � � � � � �
���� � � ��� �
���� � *�� � ��� ���� � +)��
, ���� �� �
+��� � *�� � ��� ����� � � � �)�.
�� 2�� �� ��� �� �� �� ���� ����� ����� ����� ���*� !� (���� ��� ��
�*
���
� ����+� ��
!� � ������� ��� *�*
+�*����+� ����
���� ���)������ ��!� ��
����,�-� 1#
�� � � ��� � ����+�� �� � �� ���� � ��� � � +�� � ��� � � +��� ����� �� � +� � � � � � ��$� � � � � � � �
�� &��'��� �*8
,� �
���+�� ����� � ��� �
�� �
���� ���� � �.)*
���������� ��� �� �
�� ������
� �
� �����
����,�-� 18
�� ���� � �� � �� ������
� �� � ��
x
y
ƒ
g
O 1
1
!� ����� � ������ ����� � � + � � � �
���� �� �
+��� � ����� � +)��
�� ���� � �� � �� ��� � �� � �� �
x
y
ƒ
O
1
π2,50
y = x14
!� ����� � ������ ����� � � �)�.��
���� �� �
+�� ����� � �� ���.��
+��� ��� � �
� ���� � �)+� �� ������
!� ��# � � �� � �������� � ��� � ���� ���� ��� ����#� ����������
������������ ��
�� ���� � �� � �� � �� � �� � �� �� �
x
y
ƒ
l2
1,75–0,43–1,32 O
!� ����� � ������ ����� � � ��)��) � � �+)�� � � � �).*
������������ �+���
�������� � ��� �� �
� ������ ��.*
�+������ �
� �� �� � ����� � �).*
�� ��� ,��$�� �� �� (���� ���
���� � ������+
� ��
��+
�� ���� ��� � � ������+
�� ��
��+
� ���� ��
� �
� � ������+
� ��
��+
� ���� �� � �� �
�� �����
� �� ��
+� ����� � +
� �
+� ����� � � �
� ��
�
� ����� � �� �$�
� ��
+� ����� �
� �
+� ������
� ��
�
� ����� � �� ���� � +
,� ��
��
���
� ����� � +
� ��
+� � ��� � �� � � !� $������ �� ���� �����
����,�-� 1%
� ���������� @������ ��,���3�� �
+�*� � ��� � �� � �)���
����,�-� 11
�� ���������� @������ ��,���3�� �
+� �� � *�� � �� � �� � �)+��
�� � � ��$� �� ��� ��� ��� ������ � � ������ �� � � � � �� � �� � � ��� � ��$� �� ��� ��� ��� ������ � � ������ �� � � � � �� � �� � � ��
, !�"� � ����� ���� �� � ���� � *��
� &��'��� �*8
����,�-� 1:
�� � ��$��� �
�� �
�
� ���� � �)*.
����,�-� 17
�� � ��$��� �
��� ��� ������ � �.�)��
�� ���� � �� � �+)��� � �� � �� �
x
y
ƒ
3,83–3,14 O
!� ����� "��� ����� � � ��)�� � � � �)��
!�"� �� ����
��������+)��� � �� � �� ���� � ��.)��
�� � ���� � �� � �� ��
x
y = 1
y
ƒ
41O
!�"� �� �
�� �� �
�
� �����
� �
�� ���� � ��)+.
������������ �
, � ��� � �� ��� �� �
�G� ���� �� �� ��# � � � ����� ���"����� ������ ��� ��� �� ���� �� �� ������ ��
��� � ��
�� �� �9��
!�"� �� �
�� �
�
� ���� � �)��
�� 2�� ���� ,�# �� (���� ����� �� �� ��������� �� �� � ��$�� �� ���� ��� ����#��) �$������� ��� ������ � �� ������ �� �� ������ � ��� ������ !� ����$��� ,�# � � "�# �$� ����
����,�-� 1+
�� ���� � �� ������
� �� � �� �
x
y
ƒ
l
41O
V
!� ����� � ������ ����� � � + � � � �
!�"� �� �
+� ����� � ������ �
�� � �)��
� ���� � �� � �� � *�����
� �� � �� �
x
y
ƒy = x – 4
1O
V
!� ����� � ������ ����� � � � � � � �)��
!�"� �� ����
�� ����� � ������ �
�� � �+)��
�� &��'��� �*8
� � ���� � �� � � ��� � �� � *� �
x
y
ƒ
y = 5 – x
1 3,69 5O
!� ����� � ������ ����� � � �)��
���� �� ����
������
� *
�������� � �)��� +)�* � �)��
, � ��$��� ����
����������
� *
������������ � �)��� �)�� � �).*
����,�-� :$
�� � 4� ���� ����� � ��� � ��� � + ����� �� H+� ��I) �$� ��� ������� �$ ��� ���� �� �� ,��� �� �9��
, 4� ���� ����� ��� � ��� + ����� �� H+� ��I) �$� ��� ������� �$ � �� �� ������ �� � ���� �� �� � ��� �� �9��
x
y
A
B
C D E
ƒ
g
���� ������) ' �(���
����,�-� :*
�� E��,��� ��� �� �( ������
+���� � �+ ���� � �)�
������������ ��
�� � ���� � �� �
� � ��
�
, ���� � �� �
�
���� � �� ��
�
����,�-� :3
�� � ���� � � � �
� �� � � ����� � ���� � � � �� � � �
� � ��
���� ������ � ����� � ���� � � ��� !$� ���� ������ � �� ���� �� ���������� �� � ���
, ���� � �� ,������ � ��� � � � �
� �� � � ���
!��� ���� $� �� ��� ���������
�� � � ��� � ��� ����� � ��� � � �� �
� � � � ��� � �
, � ��� � ��� � *�� ����� ���� � � �� �
� � * �* �
* � � � �� �
� � �* � �
� ��� � �� � �� ����� � ��� � �� �
� � � ���
� � � � �� �
� � � �� �
� � �
� � ��� � ���� ����� � ��� � � ���
��� � � � ���� � �
� � ��� � ����� ����� ���� � �� ���
��� � � � �� ��� � �
� � ��� � ��� � ���� ����� � ��� � � �
����� � � � ����� � � � ��
�� � �
�� � � ��� � �� � ����� � �
��� ��� ����� � ��� � �� �
��� � ���
��� � � � �� �
� � ��� �
, ��� � �� � ���� � �
��� ���� ����� #��� � �� �
� �� � � �
����� � � � �
� �� � �
��� � �
$��� � ��� � ��� ��� � ���� � ���� � ���� �����
%��� � � ���
��� � � ���
��� � � ���
��� � � � ��� ��� �
��� � �
�� � ���� � ��
� ��� � � ����� � ���� � �� ��� �
� � ��� � ��
, � ��� � �+� ����� ���� � �+�
� ��+� � �
��� � * �� ����� #��� � * ��
� ��� � � � * ��� ��� � �
$��� � �� � �� ����� %��� � ��
� ��� ��� �
� � �
�� � ���� � �� ����� � � ����� � ���� � �
� ������ � �����
, � ��� � ��� ����� ���� � �� ��� � �
��� � �� ����* ����� #��� � �
� �� ����* � � � �
� ����* � �
$��� � �� � ���� � ��� � ����� ����� %��� � ���� � � �
������ � � � � �
��� �
��� � �
�� &��'��� �*8
� � ���� � ��
� � ��� � � �� ����� � ���� � �� ���� �
� � ���� �
, � ��� � ���� �
����� ���� � � �� � ���� �� � � � � �
� � ���� �� � �
��� � *�� �
� � ����� #��� � * � ��� �� � ��� �
$��� � �� � ��� � �
�� ���� ����� %��� � � ��� � � �
����� � � � � ��� � �
��� � �
� � ���� � � � ��� � �� � ����� � ���� � � � ��� � � ��� � � � ��� � �� � � � ���
, � ��� � � � ��� ����� ���� � ��� � ��� � �� � � � �� � ��� � ��� � ��� � � ���� � � ��� � � ��� ����� #��� � � � ��� � � � ��� � �� �$��� � � �� ����� � � � ����
�� � � �� � ��� �����
%��� � � �� �� � ��� � �� � � � � �
�� � ��� � � �� �� �
����,�-� :8
�� � � ��� � ������ � � ���� � � ����� ���� � �
� � � �� � ��� � �� � �
, � ��� � ������ ����� � ��� � �� ��+� �� � ��� � �� � �
��� � ���� ��
� �� ��������� � � ������� ����� #��� � � �
� ��� �� � ��� � �� � �
$��� � * ������� � * ������ � * ������ �����
%��� � *� ������ � * �� ��+� �� � ��� � �� � �
� *� ������ � *� ��+� �� � ��� � �� � �
�� � ��� � ��� � ��� � �� � ��� � � �����
� ��� � �* �
* � �� �
� � �� ���� .� �� �� ������ �� �
�. � �
*� ��� �� �
� .�* � �
!$� � ��� � �* �
* � �� �
� � �� � .�*
�� � � ��� � �� ����� � ��� � �� �
� � �, ��+� � + ����� � �+� � �
� +� � � � + �$� � � + ���� � �
� ��
��� � �+
���
� � �+
� � �+ � �����
�+��
� �)�+.��
������������ ��
����,�-� :1
�� ����� �� � + ����� � � + � � � �
���� �� �
+����� ����
�� �
+���� � ����� � �� � �
� ��
� ��+
� ��.� �� ��� � + � � �
�
x
y
ƒ
41 2 3O
V
�� �
x
y = 6 – x
y
ƒ
O
V
�� � �� � ����� �� � �� � � +��� ����� �� � +� � �� � � � �
���� �� �
����� �� � ��� �
�� �� �
������ � �� ����
� � �� �
� � ���
� � ��� ��
��� � ��� �� ��
� �� �� � ��� ��
� � � �+ *�
,�
����� �� � ��� �
�� � �� �+ *
��
������ � �� ���� � �+ *
��
� ���
� � �� �
� � ��� �
��� �+ *��
� ��
� � ��
� � �� �� �� � �
�� ��� � � �+ *
��
� ��
� � ��
� � �� �� �� � �+ *
��
���� � �� � � �� �
� � �� �
� � ��� �� �� � �� � �+ *
��
!� ����� � ������ ����� � � �+)*+ �$� � �+)*+
�� &��'��� �*8
�� � �� � �� ��
� �� ��
�� � �� � � �� �� �
�� � � �� �� � � +
��� ����� ��� � +
� � �� � � � � ��
���� �� ��
�
��
�� � �� ��
� �� ��
� � ��
�� ��
�
���� �� �
�� � �
�
� ���
�� ��
�
���� �
�� � �
�
� ���
� �� �
� � � ��� � � �� �
� ������
� ��� � ���� � � �
�� � ��� � ��� � *��� � .
�� � ���� � � ��� � � .�� � � ���� �
, ���� � � ���� � ��
�
�� � �� ��
� ��� ��
�� � ��
��� �� �
�� �� �
� ��� � ��
�
��
�� � �
�� ����� � �� �� � � ��� � �� �� � � � ��
x
y x = 1
y = x + 1
x = p
ƒ
1O
W
���� + � � ����� � �� �
�� � �� ��
� ��� ��
�� � �� �
�� �� �
�� �� �
� ��� � �� �
��
�� � �
x
y x = 1
y = x + 1
ƒ
1
x = p
O
W�� ����� � �� ��� � � �� � �� �� � ��
� ��� � ���
!$� � �� � � ���
������������ ��
�� � �� �� � + ����� � � � � � � ��
���� �� �
+��� ����� � ��� �
� ��
� ��+� �.� � � ��
����� �� �
+��� ����� � ��� �
� ��
� ��+� ��� �
� ��
����� � � ����� ��� �� �
� � � ���� � �� � ��� �
� �� � �� � �
!� ����� � ������ ����� � � �)+� !$� � � �)+�
x
y x = a
ƒ
1 3O
V1 V2
9
, !�"� � "�� �� �
+���� ������ �
� �
+����� ���� � �����
� ������� ��� � �* �
*���+ � ������ ���� �� �*� � ��� �
* �
!�"�� �� �
+���� ������ �
� �
+����� ���� � �����
� ������� ��� � �* �
*���+ � ������ ��� � �* �
*�!�"�� � �
� ��� �* � � �� �
* � �����
������ ��� � �* �
*� � �� �* �
���� ��� � �* �
* � �� �*
���� � �� � ���� ��� � �*�
* � �� � �� �*
!� ����� � ������ ����� � � +)��) �$� � � +)��
�� �
x
y = 8
y x = 8
ƒ
1 8O
V
8
��� � � ����� � � � � � � �� @� 3
���� � � ��� �
�
��� �� � ��
� �
������� � �� ���������
� �� ���
� ���� �� ���� � ���� � �*
�� &��'��� �*8
,
x
y = 8
y x = 8x = a
ƒ
1 8O
V1 V2
8
� � � �������� � � ���� ��$� ��� "�� �����$�� ��� � � �)�$� ����� � * �� ����� � �+����� � * ����� �� � *
� � *�
����� � �+ ����� ��� �
�
��� �� � �+� �
������� � �
��������� � �
���
� ���� �
���� ���� � �
���� � � �
���� ��
� � ����� �
�!$� � � *
� � � � ��
������������ ��
� � �� � ��
x
y x = p
ƒ1 g
1O
V
W
1
�� � �� � +����� �� � +� � + � � � �
���� �� �
+��� � �����
� �� �
� � ���
�� ��
+� ��� �
� � ���
���� ��
���� � ����� � �
� �� � �
� ��
� ��
� ��
� � ��
�� � ��� �
�
� � � ��
� � ��
� � ���
����� � ���� ����� �
� � � �
� � � �
�� � ���
��
� � ��
� � +
���� � ��� � +
� � + � �� � �
� � +
� + � � ��
� , ��� � ��
��� � �� � +����� �� � +� � + � � � �8��� � � +
� �� �
+���� � ����� � ��� ��� � �
� ����+ � �
� �� � �
� �� � �
�� ��
� � �� ����� ��� �
� � ��
�� � ���� � +
�� �
�������������
8��� $ � � +
� �� +
���� � ������ � ��
��� � �
�����+�
� +� ��� �� � �� �
�� � ��� �
�
x
y
ƒa
ga O
� � �� ����� ��� �
� � ��
�� � ���� � +
�� � �
�������������
!$� � � ������������� � � � � ��������
�����
� &��'��� �*8
����,�-� ::
� � �� � �� ����� � � �
���� �� �
+���� �����
� ���� ��
� ���� ��
+
� ���� ��� ���
� � �
� ���
� ���� �+� ���
x
y = 81
yƒ
4O
V
, � �� �
+���� ����� � ���� ��
� ���� ��
+
� ���� ��
� ���
� � �� ���
� ���� ��
� ��� ��
� ���� � �
����� ����� ���� ��
� ��� ��
� ��� � ���� �+� ���
���� � �� � ���� ��
� ��� ��
� ��� � �� � ���� �+� ���
!� ����� � ������ ����� � � �)�+ !$� � � �)�+
�� !��� �� ��
���������������� ��
����
�� ��
����� ����
� ����� �� � �������
� ���� ��� ����� � �+ �
� �x
y x = 11
ƒ
2O
V1V2
x = a
!���� �� �
���������������� ��
���� �� �
����� ����
� ����� �� � ������ � � ��� �� � ��� � ����� � ���� �� � ��� ���!���� � �
� !��� ��������� �� � ��� �� � �
� �+ �� �
�� �
� � ��� � � �+ ��
���� � �� � �� �
� � ��� � � �� � �+ ��
!� ����� � ������ ����� � � �)�� !$� � � �)��
���� ��-,��� �������
����,�-� :7
�� � " �� �� ����
, !�"� �� �
+���� ����� �
� �
+� �
� ���� � �� �
�� ����+ � ���� + � ���
������������ �
�� � ! �� $
+�������� �
� $
+������� � ���� �
� ���$+ � ��� �
� $� � �
� ���$�
, � � $ � �$��� ,�# � � �� ����� � � �$) �$� & � �$ ! � �
����$� � �
� ���$� $ � �
� ���$�� $ � �� �&
�$
����,�-� :+
�� /�� �� ���$$� ���� ����
AC'
B
C
2r
r r
2r8
60°
���� �� ����#"�#��� ��� � �
J�� ��� � � �����
��� � ������ � �
�
�����
!������ � ���&
�$ � �� � ���
����� �� � � �
� � ��� � � *��
� �
a
2a
60˚
30˚
3a
��
–4
x = 3 x = 6
x
y
O
V
y = x + 212
!� � ��$� �� ��� ������ �� ��� ������� �� ���� ����� !� ����� ���� ����� ������ �+ � ������ ��� ����� * !� ��� ��� ���� ����� ������ . � ������ ��� ����� � �
� ! � �
�� *� �+� ��� �� �
��� . � *� �� �
�� � 4� ,�� ��� ������ � , �� � �� � � � � � + ����� � �
��������������� ���
!�,��� �� �
������������������� ���
���� �� �
������ �����
� ������ �� �
������ � � ��.� �� � ���.� ��� � � ���
�� &��'��� �*8
�� � 4� ,�� ��� ������ & , �� � �� � &� ����� �� � &� � ��
!�,��� � � !������ ,��� � � � &
+�����
� �� &
+��&� � ����� � ����&� �� �
� ����&+
� ����&� � �� &
�� � +� � �� �� &
� � �� �&
�
�� !�,��� � �� �&
�
!�,��� � �+
����&
� � �+
&� � �+�� �
&� � �+��
& ��������+��
�
& � �)�
� !������ ,��� � �� �
� � �� � ����!������ � �
� � �� � � ����� ��$� � ����� ���� � ����
� !�,��� � �� �&
�
!����� �� �� &
�� &����� �
� &
�� &��&� � �����
� ���&��� �� �
���&�� &� � �&� � �
� &�� � ��� &� � �
�� &��� � � ��
�� �&�
!����� ��3 � �� �&
� � ���� �&
� � �+�� �&
�
����,�-� 7$
�� � !� � ��$� �� �� ���� �� � ������ �� ���������� �� �� ���� ���� �� ���� �� �� ���� !� � ��$� �� �� ���� �� �� !������ � !��� !������ � !������ � !��� � �!���!������ � ���� ��
����� �� � �!���
, ���� �� � �!��� ����� ���� � �!�����
������+
�!�����
� ! ����) �$� ���� � ! ����!��� � �
����
����� � ����
�� � ��,��� � �� �+� � �++�
!�,��� � �� � �+� � �+++
� �
, ������� ,��3 � �� �++�� � �+� � �++�
������������ ��
�� !�,��� � �� �&
�
!�,��� � �++
����&
� � �++
&� � �++�� �
&� � �++��
& ����������++��
�
��,��� � ��&� � �� ���������++��
�
�
� �+�)��
�� � �� � ����������������� � ��� � �����
�+� � �)��
, �� � �� ������������������������ � �� �
���
������������������������ � �� �
���
� �)��
!�"� ,� ����� � �� ,���� ����� �� � �� � �� � ,��� �� 2���� ��#�� ���� ���������� �������� ��� ��������"�#�� �� � ���
!� �� ��� �� �� ��$� � "�#�� ��������������������������������������� � ������
!� ��� �� �� ��$� � "�#�� ����
��+
������������������������������������� � ������
)
�$� ,����� ��� �� ���
��+
������������������������������������� � ������
� ,����� ��� �� ���
��+
������������������������������������� � ������
���
��+
����������������������������������������������������� � ������
����� �����!
���
��+
������������������������������������������������������ � ���
��
�
�����!
���
��+
������������������������������������������������������� � � ������ �������
����,�-� 7*
�� � ��� � �� �
� ����� � ���� � � ���� � �� �
��������������� ���
,����� ��� �� �
����� � �)��*.
�� � ��� � �� ����� � ���� � �� � ������� � �� �
���������������������������������� ��� � �����
,����� ��� �� *
+���� � ��)����
����,�-� 7#
�� � ��� � �� � ��� � �+ ����� � ���� � ��� � ��
���� � �� ����������������������������������� ���� � ����
,����� ����� �
+���� � �)*��+
�� &��'��� �*8
�� !� ����$�� �� �� �,�� �� � � ��� � �
x
y
O
160
5640–640
���� @+) *3 ����� � � *
� � ��� � *���� ���+� ��+�
���+ � � ��+� � *� ��+� � �**� � +)+++�.��
� � +)+++�.���� � * ����� �� � +)+++.*��
���� � �� ����������������������������������������� �+)+++.*�����
�� ����� ��+
���+���� � ���� �
� � � � ���+�+��� � ��+�+����
x
y
O 20–20
� � �+ ����� � � �*)+ �!$� �� �� ������ �� �*)+ �
, �� � ��+)+���+�+��� � +)+����+�+����� +)����+�+�� � +)�����+�+��
���� � �� ������������������������������������������������������������������������ �+)����+�+��� � +)�����+�+�����
,����� ����� �+
��+���� � ��)� �
������������ �+
��+���+�+��� � ��+�+������ � �+� ��
;���������(! ����
����,�-� 71
� � �++ �������#�� �$��� � � ����� � ������1 �)+* �)�+ �)�* ����� �� ��# � � �)+*� +)+*
: ����������
�+
+)+* �+��)+*� +)+* �� � �)+���
���� ,��� ���1 � �)+* �)�+ ����� �� ��# � � �� +)+*
5��� �������
�+
+)+* �+��� +)+* �� � �)*�+*
!$� �)+��� ���� �)*�+* , *++ �������#�� �$��� � � �
�)++* �)+�* �)+�* ����� �� ��# � � �)++*� +)+�
���� �����
�+
+)+� �+��)++*� +)++� �� � �)����
���� �� �
�
�+�� �� � �)����
������������ ��
� �� ����� � � �����
����� � �� �� � �� ��� ��
�� � *�� � � +��� ����� �� � +� � � � � � �� � � �
���� � � ��� �
+��� ���
�� ��� � +)����
x
ƒ
y = 2
y
O 1
W
� �� �� � �� ���� � �� � � +�� � �� � � +��� ����� �� � +�� � � + � �� � � +� � �� � � � �
���� �� �
����� ��� � ��� ��� �
��
�� �
������ � �� ���� � �+)��
ƒ y = x + 3
x
y
O–3 2
V
� �������� ��,���� �� �
+� �� �� � ����� � �).*
� � ���� � �� � ��� �����
� �� � � � ��� !� ����� � ������ ������ � +)��
ƒ
g
x
y
O 0,63
x = 1
1
V
W
! �� �
+�������
� � ������ � +)*.�
, �� � +!� ����� "��� ����� � � + � � � +)�*
!��� �� +���
+��*���
����� �
+������
��� � +)+�+� +)+.� � +)�*�
� � � ��� � �� � � ����� � ��� � �� �
� � ��� �
, ��� � �� ���� � ���� � �
������ #��� � ����� � � � ��� � � � ��
�� � ��� � �
$��� � *����� ����� %��� � * �� ����� � � � *
� ����� � �
� '��� � ���� �
����� (��� � � �� � ���� �� � � � �
� � ���� �� � �
� ���� � � � ��� ����� )��� � ��� � ��� � �� � � � �� � ��� � ��� �
� *��� � ��� � ���� � ����� � ���� ����� "��� � � �
������ � �
������ � � � ����� � �
� ���� � �
�� &��'��� �*8
����,�-� 7:
� � � ��� � �� � ��� �� �
������ ���� � �
� �� � � ��� � �
���� ��� ��
�� � �
�� � ��� � �
�� �� � �
!$� � ��� � �� �
� � � ��� � �� ��
, ���� �� �
�
�� � ��
�� �� �
��� �
�
� ��� � ��� �� � � ������
� ��� � ���� � �� � � �
�� � ��� �� � �
�� �
��� � � � ��� � �� � �� � � � ��
ƒ
g
W
x
y
O 1
x = 2
1
! �� �
�� �� � �
�
�
�� ��
� ��� �
��
�� �
�� �� � ��� � �
�� � � ���
��
�� �
����� � �� ��� � �������
�� �
����� � �� ������� � ����� �� � ��� ��������
� � �� �
� � ��� ��
� �� ���� � �
�� �� ��� � ����� �� �� � �.
� ��
� ���� �� �
����� ������ � *)*��
������ �� ��
����� ������ � ��� �� � ������
� ��� � � ��� � ��� ��� � ��
� � �� � �� � �
������ �� � ������ ����� �
� � � �� � �� � � � �).�
���� � �� � �� �
� � ��� � �� � � � �� � �).� !� ����� � ������ ����� � � ��)���) �$� � ��)���
�������������������� ���
� + ����� � � + � � � � !� ������ �� �� ,�� �� � ��,��� � �� �� � ���
!�,��� � �� � �� � �*�
� �
x
y
O 84
������������ ��
, !������ �� �� �
+��������������������� ���
����
�� �
+����� ����� � ������ � �
� �����+
� ����� ��� � � + � �� �
� �
/�� �� ���$$�
x
y
O M
C
A BD
4
24
r
& � �� ������������������ � ���
� ��������
$ � �! � �
�� � ��������� �� � ���
� �� � �� � +���� �� � +� � + � � � ��� � �� � �� ����� �� � ��� �
,����� ����� +
��
������������������������������ ���� ���
�� � �)�� x
y = x 2 + 2xy
O–2
�� � � ��� � �� ����� �� � ���� � ��
�� ����� *
�*
������������������������������������� ����� � ����
�� � ��� �
�� &��'��� �*8
����,�-� 77
� +�+� � *� �K$� �* �K� !� ���������� � ��� �� ������ �� + �� +)�* �� �* � � +)�*
� � +)�*.)*� +)+� �
t
V
15
0,45
O
� � � �*+)+�
� �*+ �K��
� � ������ �*+�)�� �*)* ��� "� �����
� �� �* � � �)�+� � +)�� �
� � �*+)��
� ��).* �K��
!� ���� ���� � �� ��� �*+� ��).*�*+
� �++; � ��)*; ���� ���
���� ������-����������
����,�-� +$
� � �� � ����� � � +
� � +� �
, � � �� ����� �� � ��
�� � ����
� ���� �
�
� �
�� �
� ��$� ���� ��
�������
�� �� ������ �������� �� ������
�� � �(����# ���� �) �$� �� � � ��
�'���� � ��� �'���� ��
� � �* � ����� �, � ����
�, � +� �- � �
-
, � ��� � �� ����� � ���� � ��
�* � � ��-� � �-
!$� �* � �- � �-
� �* � �-
�- � �-� �-
���� � �� � �- � �-
� �� � �-
!� ����� � ������ ����� � � �)�� �$� - � �)�� �* � � ���)��� � �)��
!��� ��+����) �$� *� � � �)���� �
� � �. � � ����. � ��
��� � ��
��� � ��� � � ��
, � ��� � � ��� ����� � ���� � ��
� ��� � � ��
�� � ��
� �� � � � �� � � ��� � � �$� ���� ���. � � ���� � �
�) �$� .� � � �
��
����,�-� +3
� � ��� � �����
����� � ���� � �������
(����# ���� ����� +�) �$� �9��L ��� ��� �� ��� ����$ � ����� $�� � ���� � � ����� �
!�� ����� ������� �
������� �
�� � �� �� � �
� ��� � � �$� � � ��� ���� � � ���� � �
�
7��� �1 � � �� �� �
����� +��
+ � ��� �� � �
����
!$� �� � � �� �� �
� &��'��� �*%
� � � ��� � �� � � ����� � ���� � ��(����# � ���� �) �$� �9��L ��� ��� �� �� ����$ �� ����� $�� � ���� � � ���
�
!�� ����� �� � �� � ��
��� � �� � ��� � �� � � � � � ��
�� � � ���� � �) �$� �� � � ���* � � ����� � ��) �$� *� � � ���
, (����# � ���� ���� +�) �$� �9��L ��� ��� �� �� ����$ �� ����� $�� � ���� � � ����� �
!�� ����� �� � �� � ��� �
��� � �� � �� � ��� � ��� � � +
� � �� �����
�� � � �� ���
��
�� � �� ���
�� � � � �� ���
��
� ��� ����� � � ��� ���
�� �� � � � �� �
����� � �� � � �� �
�����
� ��� ����� � � ��� ���
�� �� � � � �� �
����� � �� � � �� �
�����
!� ����$ �� "�# ��� �����
� �� ������ � � ��� ���
��
� �� ������ ��
� �
x
ƒ
y
O
� ���� �� �
�� ��� � � ���� �
�� � �� �� � � ����� � �� � ���
��
� ���� � + ����� �� � ��� � +� ��� � +� � �
��= �� � ��� � �5� � ��� ��
, (����# ���� �) �$� �9��L ��� ��� �� ��� ����$ � ����� $�� � ���� � � ����
!�� ������� � ���
�� � �� � � �����
�� � ��� � �� � � ����� � ��� � �� ��� � � �
�
� � ����
�� � � ������� � �� � �
�
��� � �) �$� �� � � ��
�'���� � ��� �'���� �
x
y = ex
y = ax
ƒ
y
O
�� � � ����
� �� ����� ���� ������� �� ���� + � � � �
� � � ��� � ���� ���� ����� � ���� � ��� � ���� ���� � ���� ����
(����# � ���� �) �$� �� �9��L ��� ��� �� �� ����$ �� ����� $�� � ���� � � ����
���� ���� � ���� �����
��� � � ��� ��
��� � �� � ��� ���� � �� � � +�� � �
��� �� � +
��� ����� ��� � +
� � �� � � � ��
�� � � ����� � ��� � ��
�$� �����# �1 � � ���
�� � � ����� � ���� � �
�����
�$� �����# �1 � � ������
�, /�� �� ���$$� ���� ���� � �� ����� ���� ������� ��
��� + � � � ��
�� � � ������
y = axƒ
x
y
O
exy = 4
y = x1e
(����# ���� ���� ��) �$��� �9��L ��� ��� �� ��� ����$ �
����� $�� � ���� � � ��� � ��� �
���� � �� � ���� ���� �
�� � ���� ���� � ��� �
!� ����� � ������ ����� � � �+).* � ��+).*� � �+)�� �$� ���+).*��+)���
�� &��'��� �*%
� � � ��� � � � ��� � � ����� � ���� � � � ��� � � ��� � � � ���
(����# ���� ��+�����) �$� �9��L ��� ��� ����$ � ����� $�� � ���� � � ��� � ��
�
� ��� � � � ��� � �� ��
�
� � ��� � � � ��� � �� ��
� � ��
�� � � ����� � � ���� � �7��� �1 � � ��� �
��+������� �� � �
����!$� �� � � ��� ��
,
x
y = –1
raaklijn door (b, –1)
(b, –1)
y
O
ƒ(x) = x ln(x) – x
� ���� � � ���� ���� � + ����� � � � �$� ��� � ���� � ������ �� �� ��� ���� � � �� �� ��� �����# ���� ������� �� �� ������ �� ���� ��� + � ��� � � � ���� � �� ��� � �� � �� ��� � �� � � + !$� �� �����# ���� @�) +3 ����� � � � !� �������#� � �� ��"� �����# �� � � �� � !� �����# ���� @�) +3 � �#�� ��� � � �� ������� � � ��� � �� � !� �����# ���� ��� ����� �� �� ������ �� � ����� � � � !$� � � � � � � �� � ����� � � � � �� �
(����# ���� ���� +� �$� �� �9��L ��� ��� �� ��� ����$ � ����� $�� � ���� � � ����� �
���� � �� � � ��� � �� � � � ��� � ��� �
!� ����� � ������ ����� � � �)*� � � � �)�� (����# � � � � ���� *�� � � ��� *�� � �)*�7��� � � �)*��� ����� ��� +�
�+ � �)*� �� ���)*� � �
!$� � � �)*��� �)*�
�'���� � ��� �'���� ��
(����# � � � � ���)��� � � ��)��� � +)��7��� � � +)���� ����� ��� +�
�+ � +)�� �� ���)�� � �
!$� � � +)���� �)��
ƒ(x) = x e1 – x
x
y
1
2
–1
–2
O 1 2–1–2
!� ��# � � ���� ��� ����� � � � � ���� ���� �� �
� � +� J�� �� ����� �� �� �� ��"� ��� � ��� � ���� �
�� ������ �- �- ������� � ����� ��� � + �� ����� ��# � � ���� �
�� ���� �� �� ������ �� � � ��� � ����� ����� � ���� � � ������� � � ���� � ��� ������ (����# ���� �� �
� � +� !� �9��L ��� ��� �� ��� ����$ � ����� $��1
� ���� � � ����� �� �
����� ������ � �����
�� ��
�� ��� �
�� ��
� � �� �� � ��� �
� ��� � �
��� �� � +
��� ����� ��� � +
� � �� � � � ��
� � � ����� � ��� � � � � ����� � ��
�����
D� �$���1 � + � � � ��
����� � � � ���
�� &��'��� �*%
����,�-� +8
� �
ƒ
A
2e raaklijn
3e raaklijn
x
y
O
�� �����# �� �� �9�� �� �����# 1 "�� ���$$� �� �����# 1 "�� ���$$� @��# �������� 3
, E$ � �1 �- �- �����# ) �� �9�� E$ � �1 ��� �����# � E$ � �1 ���� �����# � /�� �����
ƒ
D
2e raaklijn
1e raaklijn
x
y
O
E$ � �1 �- �- �����# @"�� �����3
ƒ
E
x
y
O
�'���� � ��� �'���� ��
4� "�# ���� �$ �� �� �� �9�� �� ����$�� #� ������ ���� �����# � �� �� ������ $ ���� � 2�� ������ �$ � �� � !� ������ �����# �� �� �9�� !� ������ �����# ����� � �� �����
2e raaklijn
ƒ
x
y
O
2�� ������ �$ � �� ��� � �#�$ � � �� �� �����# � ��� �� �� ,$���$ � �� �� ������ �� ���� �� �9�� !� ���� �����# � "�# �� ,$�������# � �� �9�� /�� �� ����� ����� ���
A
ƒx
y
O
2�� ����� �$ � �� ��� � �#�$ � � �� �� �����# � ��� ������ ,$���$ � �� �� ������ �� ���� �� �9�� !� ���� �����# � "�# �� ,$�������# � �� �9�� /�� �� ����� ����� ���
B
C
ƒx
y
O
� /�� �� ����� ����,��� �� $�� � �� ������ �- �- �����# �� �� ������ �� � �� ��� �
�� &��'��� �*%
�� ���� � �� � ��
� �� � �
�����
�� ��� �
�����
�� + ����� ��� � � +
�� � �� � � p
Vgem
O 3!� ���������� � ������ �� ��=������ �K�� ��)� �K$ ���� � �
�� � � � �+++��+�+*�������
� � � ����� � � �+++��+�+*������� � ��
, ����� �+++��+�+*������� �+)���� ��� � ��++��� �����+�+*�������
����� + ����� � � ��
t
N
O 112
2�� �� ��� ��$�� ,������� �� �� ��=����� �� ��� ��
2�� ���������� �� ��� �� ���� � ��� �+++��+�+*�������
�
���� � �� � �+++��+�+*�������
�
!� ����� ��=��$� ����� � � �+ � � � �* !$� ���� �� ��=����� ���� � � �+
t
Ngem
O 202
����,�-� +%
�� � % � ��� ����+��� �����
�%��� ��� ����+�+��� +� � �� ��+��� ��+)��
��� ����+����� � �)���+���
��� ����+������%��
� + ���� ��� ������ �� �) �$� % �� �� ���#�� �� �$ ���
, ���� ����� ������ �� � ����� ��+��� ��� +
!� ��� ������� �� % �� �$� ��� �� + � �
�*++ �� �� �+ +++ �� �$� % � +)�*
���� � �� � ��� ����+��� � �� � +)�*
!� ����� � ������ ����� � � �+)�) �$� � �� #���
t
dHdt
O 20� ���� � �� � �)���+���
��� ����+�����
!� ����� ��=��$� ����� � � �*)� � � � +)+*) �$� � �� #���
�'���� � ��� �'���� ��
� � � � ����� % � +)�� !� ���������� ��� ���� +)���� +)+� ��K#���
� %��� � %�
���� ��=����� "�#
���� � �� � ����� ����+����
!� ����� ��=��$� ����� � � ��)+ � � � +)+�*
t
Ht
O 30
!� ���������� ��� ��� �� ��=����� ���� � � �� !� ��=����� ��,�� ��� �� �+ +++ �� +)+�* � ..�� ��
���� �������'���
����,�-� +1
�� � � ��� � +)* �� � �� �)* � � ��� � ��� � � � � �
����� �� ���� �� �� ������ �� �� �� �� ������ �� �
, � ��� � +)*�� � �� �)* ����� � ���� � �� � 7��� �� � � ��� � ��� � � � ���� � ��� � � ��� ����� ���� ��
�� � �� �� � �
!$� �� � � ��� � ��� � ��� � �� ����� ���� � ���� �7��� *� � � ��� � ��� � � ���� � � *� � � ��� ����� ���� ��
�� � �� �� � �
!$� *� � � ��� � � �� ��� �$ � ���� �� �����# � �� �� ������� �� � � ���� �����
����,�-� +7
�� � !� ������ �� ��� � � �� �� �����# �� �� ������ �� � ��� ���� � ����
(����# ���� �) �$� �9��L ��� ��� �� ��� ����$ � ����� $�� � ���� � � ����
!�� ����� �� ��� �� � ���
��� � � �� � ���� ��� � �� � �
��� � � ���� � �� ��) �$� � �� �
�
� ��� � �� � ��� � �� �) �$� ��� ����$ � �� @�) ���3 !�� �$� ��� ,�# ��� � ���� ����,���� ����� �� ������ �� ��� �
�����
��� ����� ��# ��
�� &��'��� �*%
, J�� �� � ��� � � � �����
����� ����� � �� � ��� � �
� ������ � � ������
�� � ����
��
� ����� � � ������
�� � ����
��
J�� �� ���
������ �����
������ � �� �
�
� ������ � �
������
� ������ � ����
��
���� � �� ������ � � ������
�� � ����
�� � �� � �
����� � ����
��
!� ����� � ������ ����� � � �)�� � � � �)�* !$� � �)�* 2�� �������� �� ��"� �� �� �� ��� ����,�# ����$��� �� �������# ��� ��� �� �� �( "�# � �� ����� � ����,�# ���������� �� �� ,���� �
�� � ��� � ��� � � ���� � ���� �������� � ��� �� � �� � � � ���� � � ��� ��� � ��� �� � �� � � � ���� � � ��� � ��� �� � �� � ����� ������ � ��� �� � �� � ��� � ����� � ���� � �� � ���
�� � � � � ���
��
� � �����
� ���� �
� � ��
������ �
� � � �����
� ���� �
� � �
������ �
�� � ��� � ��� � � ���� � ������ �� � �� � � � �� �� � ��� � � �� �� � �� � � �� �� � ��
� �� ��
�� � � � �� �� � ��
���� � �� � �� ��
�� � � �� � �� �� � ��
!� ����� � ������ ����� � � �+)��� � � � �)�*� � � � +).�� � � � ��)*.� !$� � �)�*� � � ��)*.�
�<��������0� =��>��4���
� ��� � ��� � � ���� � ������ �� � �� � � � �� �� � ��� �� �� � �� � � � �� �� � �� � �� �� � �� � ��� �� � ��� ��� �� � �� � �� ��� � ���
�� � �� � ���
�'���� � ��� �'���� ��
���� � �� � �� � �� � �� � � �� !� ����� � ������ ����� � � +).�� � � � �+)��� � � +).�� � �� �� � ��
� � ��)*.�
� � �+)��� � �� �� � ��
� � �)�*�
�� � ����� � -��� � � ����� � �-���� � ��� � �� � �� � - � �
�� � � ��
� � ��� � ��� �� � - � �� �� � ���
�� �� � ���
��� � ��� � � +�� � � �
��� � � +��� ����� �
�� � +� � � � � � � �
�
� � � �- � � � ��� � ��� ��
�- � �� � � ���
, ���� � ���� � � ���� � ������ � ��� � � � �� � � � �
�� � ��
� � �� � �� � � ��� � � ��� ��
� �� ��� � � ���
�� � ��� �
�
���� � �� � �� ��� � � ���
�� �� � ��� �
�
!� ����� � ������ ����� � � �).�� � � � �)�*� !$� � �)�*�
�<��������0� =��>��4���
���� � ���� � � ���� � ������ � ��� � � � �� � � � �
�� � ��
� � ��� � � � �� � � � � ��� ��
� � ��� � ��� ��
� � � � �� � �
� � ��� � ��� � � � �� � �� � ��� � �� ��
���� � �� � � � ��� � �� � �� �� !� ����� � ������ ����� � � �).��� � �).��
� ��� ��
� � �)�*�
� &��'��� �*%
����,�-� ++
� � ���� � + � � ���� � +��
�� � � � + � ���� ��� � � +
���� � �� � ��
�� ��� � � +�� ��� � � +���� � � � +�� � �
�
� �����
� � � �
����
��
�� � ��� �
����
��
��� � �
����
��� ������� �
���� � ��� � �
����
��
��� �
����
��� � � �
����
�
� � ��� � �
����
�
2�� ����$ � �� ������
� +�
, ������ � -��� � � ������ � �-�����
��� � � � � ��� � - � ����� ��� � � �
���
��� � �� � ��� � - � �������� � � � �
���� � �� � �������� � � � �� � �
!� ����� � ������ ����� � � +).�� � � � ��)��+�
� � +).��- � ��
��� � �� � ����
- � �)�.*
� �* � ����� � �
�
����,�-�*$$
�� ���� � ��� � � ���� ��� � �� �����
����� � �
��
������ ��
�� � ��
� ������� � � �� �����
�
������� � �� �����
�
�� � ��
� � ��������� � ���
� � ������� � � � � �����
����
������� ���
� ������� � �
����� ��
��������
�� ��
��*�� ���
� � �������
�� ������ � � �
����� ��
����� ���
� � �������
2�� � �#�$ � �� �� ������
� ������� �
�'���� � ��� �'���� �
�� � � ��� � �� � �� ����� � ���� � ��� � � ��*� � �+� � � ��� � � �� �$� �� � ��
�
7��� �1 � � � �� �� �
��*� *��
* � � *�� �
* *� � �
����
!$� �1 � � � �� �� * *
� , ��� � �*�� � ���� �* � ��
��� ��� �
� �*�� � *��� ��� �* � ��
� *�� ��� ��� �
� �*��� ��� � �
��� ��� � �*�� � � * � �� � � �*� � � � � � �.
� � � � *�� ��� �
�� �
� � �*� *
*� ��
� � �. � *�� ��� �
�� �
� � ��*���*
�*� ���
!$� � �� � � ���
$��� � ����������������� � �� ����� $���� �
��������������� � �� �� �� �
���������������� � �� ��
� ��������������� � �� ��
����������������� � �� � ����������������
�� � ��
�� � �� ���� � �� � ���
��� � �� ��������������� � �� � �
��� � �� ��������������� � ��
$��� � ���� - � $���� �. � ��
����������������� � �� � ���� - � �
��� � �� ��������������� � �� �� � ��
- � ��� ����������������� � �� � ���
��� � ������ ��
��� � ����� � ��
�� � � � ���� � ��� � �����
��� � � � � �����
���
� � ��������
- � ��� ����������������� � ��
��� - � �
��������
� ��������������
��� � � �
�
�������� � �.
�����
� � � ��������
- � ��� ����������������� � ��
��� - � ��
��������
������������������� � �� �
�
��������
� ��.�����
�� &��'��� �*%
�� �� � � � �� �� �
� � �#�� �� ������ �� ���� � ��� � ��� ��������� �
� �� �� � ��� � ��� � � �
� � ���� � ��
������ �
���� �� � � � ���� � �
� �� � ����� �
���� ��� � ��� ��� � �
� �� � �� ����
� �� � ��� � ���
� �� � �� ����
� � �� � ��� ���
���� � �� � �� � �� ����
� �� � �� � ��� ���
!� ����� � ������ ����� � � +).+�� � � � +)��� � � � �*)��� � � � ����)�+.� � +).+*� � � �
� �� ��
�� � �+)�*�
� � �*)���� � � �
� �� ��
�� � �)+��
!$� ��+).+��+)�*� �� ���*)��� �)+��
�<��������0� =��>��4���
���� � ��� � ��� ����� � ���� � �� �� � ��� � ��� � ��� � ��� ������� � � �
� �� �� � � ���� �� � ��
��� � ��� � � �� �� �
� � ��� � ��� ��� � �� � ��
���� � �� � � �� �� �
� � ��� � ��� ��� � �� �� � ����� � �
� �� �� � ���� � �� �� � �� � �
�� � ���� � �� �� �
� � �� � ���� � �� �� � ����� � �
� �� �� � ���� � �� �� � �
�� �� � �� �� � �
� � +���� � �� � �� �� � �
� �� � ��
!� ����� "��� ����� � � +).+ � � � �*)�� �� � +).+�� � � �
� �� � ��
��� � �+)�*
�� � �*)���� � � �
� �� � ��
��� � �)+�
!$� ��+).+��+)�*� �� ���*)��� �)+��
����,�-�*$*
�� � � ��� � ��� � � ���� � ������ � � �
�� ��� � � � �
��
�� � �� � � ��� � �� � � � �� � �� � � ���� � ��
�� � �� � ���� � ��
��� � ��� � +������ � �� � +�� � + � ��� � �� � + � �� � �
�
� � + � � �����
� � � �
����
�
�'���� � ��� �'���� ��
� �����
� �� � ��
� � �
�� �� � � �
�
� � �����
� �� � ��
� � �
�� �� � � �
�
� �����
�� � ��
� � ��
��� � �
�
����
�����
� � �
�
����
� � �����
�� � ��
� � ��
��� � � �
�
����
�����
� �
�
����
!$� ������
�� �
�
����
� �� ���
����
� �
�
����
� � � � �
�
, � ��� � ��� � � ���� ���� � ��
�� � � � �� ���� � �� �
�� � ��
�� � �� � � ���� � �� � ��
��� � ������� � �� � ��
��� � ������ � �� � ���� � ��� � � � ���� � ��� � +������ � �
�� � +� � � �� � �
�
�
� � �����
� � �
����
� ��
� � �� � �
� � ��� � �
� � ��
!$� ��� � ���
�����
� �� �
� ����
� �������
� �
�������� �
�
�����
����
� �� � �
�
�����
!$� �������
� �
�
����� � �� ��
����
�� �
�
����� � � � �
�
�� &��'��� �*%
���� � ��� ���
����,�-�*$#
�� �
2–3 x
ƒ
y
O
, !� ����� ��=��$� ����� � � � � � � �+ ��
!� ����� �� ��$� ����� � � �� � � � ��+ ��
���� � �� ������ � ��������#�� � �� ���� ����� ��� � ���#�� � �� ����� �
���� ��� � ���#�� � �� �� �
� � �� � ���� � ��� � �� �
2–3x
ƒ '
y
O
� � � ��� ��
� � ��
� 5�# � � � ���� �� ������ ���� �� ��� ��� � ���#�� � � �� ��� � ���#�� �
�� � ��� � �� �
� � � �� �
� � � �� � ����� ���� � �
� �� � ��� � �
�
� �� + � � � � * � .
��� �� �� + � �
��� �� �
� �� �� �� �
� �� � ��
���� � � �� + �� �
� �� �� �� + � �
� �
�'���� � ��� �'���� ��
,
g
x
y
O
!� �����# � ��� �� �� ,��� � � ���� � � � � !� ������ � �� �� ������ � ����� �
�� � � ���
,���
����,�-�*$8
�� A�� ��,�$�� �� ����$�� ����� � � ������J�� ��"� ����$�� ����� � � ����� � � � ���
�� � �� � ���
����,�-�*$%
�� � ��� � � �� ����� � ���� � � �� � � �� � ��� ����� ����� � � �� � ��� ���� � ��� ����� ����� � + ����� ��� ���� � +
�� � � +� � ��
� ���� � ����� � � ���
� ����� � ���� � � ���
7��� �� � � � ��� �� �
,$���$ � ���� ���
� ���� � �
�� � ���� ��� �
� ��� � �
!$� �� ,$�������# �� �� � � � ��� ��
���
�� &��'��� �*%
�� �
ƒ
x
y
O
, � ��� � � ��� �
� � �� �
� ����� � ���� � � �� �
� � ��
� ����� � ��� � ��� ����� � + ����� ��� � �� � +
����� �� � +� � + � � � ��
� �+� � + � � ���� � � ��
!� ,$���$ �� "�# �+� +� � ���� � ���
� ��+� � � �� +� � +� � + �$� �� �����# � @+) +3 �� ����"� ����
� � � ��� � ��� � ��� � ��� �� ���� � ���� � ���� �� ����� � ���� ��
� ���� � + ����� �� � ����������������������������� � �����
��� �� � ����
������������������������� � �����
��
�� � ���
�����
������������������������� � �����
�������
������������������������� � �����
���
�������� � �
��� � � � � � � � � � � � � � � ���
� ����� � + ����� �� � ������ � �
��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
J�� @�3 � @�3 ����� �� � �� � ���
:����� �1:���� ������ �� ��� �� ������ ���� ����� �����) � ��� � ���� ��� ��� �� �� �� ����#�� $� "�#
, � ��� � ��� � ��� � ��� � �� �� +�� ���� � ���� � ���� �� ����� � ���� ��� ����� � + ����� ���� �� � +
� � ������ � �
��!$� � ����� � + ����� ������ �- �- ������� � �� � � �� +) �$� � ���� ����� ������ �- �- �=������ �$� ����� �� ������ �� � ������ �- �- ,$���$ � :����� �1��� � � +) �� �� � ��� ������������$ ���
�'���� � ��� �'���� ��
� � �*��� � �� �
� � ��� � *�� � *�� *� �*��� � �� � ��� � �+�� *� ��* ��� � ��� � ���� �+� ��* ��� � + ����� ��� � ���� �+ � +
� � ������ � � � �+ � ���� ��+ � �� � +�
ƒ5'
x
y
O
!� ������ �� �* ����� ���� ,$���$ �� ����� � �* ���� �=����� ����� , ����� � �
� �� � ��� � ��� � *�� *
� ����� � �� � ��� � ���� *� ��� ��� � ��� � ���� ��� ��� ��� � + ����� ��� � ���� �� � +
� � ������ � � � �� � ���� ��� � +!� �������#� � � ��� ��� � + ����� �- �- ������� �
ƒ6'
x
y
O
!� ������ �� �� ����� ��� ,$���$ �� ����� � �� ��� �=����� ����� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� �
� ���� � ���� � ���� � ���� �� ����� � ����� � ���� ��
� � ����� ��� �=����� ) �$� �� �������� � ����� ��� ,$���$ ��
ƒ ''
x
ƒ ''
x
� � ����� ��� �=����� ) �$� �� �������� � ����� ��� ,$���$ ��
ƒ ''
x
ƒ ''
x
� � ����� ���� �=����� ) �$� �� �������� � ����� ���� ,$���$ ��
ƒ ''
x
ƒ ''
x
!� ������ �� � ����� �$� �- � ���� �- � ��� ,$���$ ��
�� &��'��� �*%
����,�-�*$1
�� ���� � �� � �� � �� �
� � �+� ���� � ��� � ��� � � �
��� �� ��� � ���� � ��� � �
�
� � ���� � � �� � �� � ��� � .�
� + ����� ��� � .� +� � � +
p2– 2
y = p 2 – 2
!� ������ �� � ����� ��� ,$���$ �� ��� � ����� ���
��
�� �
x
ƒ
y
O
x
g
y
O
, �� ��$� �� � ��� � +
� ��� � ��� ���� ����� � ���� � �� ��� ����
� � � �������������������� ���
� �$� � ���� �� ��� ������ �����
� � �� ��� � �����������
�� ��� � ��� ���� ����� ���� � �
� ��� ����� � � �
��������������������� ����
���� �� ��� ������ ����� ���� � � ���� �� �) �$� �� �����# � @�) +3 �� ��������
�� � � ��� � *� �+ � ����
�����
� ���� �� �+
�� �*� �+ � ���� �
�� � �+� *� �+ � ����� � *� �+ � ���
��
� ����� ��� ��+
�� �*� �+ � ���� ��
�� � ��+�� �+�� �+� � �����
� �+� � ��� � �+��� � �+ � ��� � �+
��
� ����� � + ������+ � ��� � �+
�� � +
�+ � ��� � �+ � +� ��� � �� � �
� ��� � *� �+ � ����
� �*�
2�� ,$���$ � �� �� �*�
� �
�'���� � ��� �'���� ��
, �&&���./ !� ������ ���� "�# 14� "�# ���� ��# � ���� ��+� �� ��� �� ������ �� � ��� &�� �� ��� ���� �� �9��L ��� ��� �� �� ����$ �� ����� � � �+ � ���
(����# ���� @+)�3) �$� �� �9��L ��� ��� �� �� ����$ � ����� $��
� ���� � � ��� � ��
*� �+ � ����� �
*� �+ � ����
� �
�
*� �+ � ����� � *� �+ � ��� � ��
��
*� �+ � ��� � *� �+ � ��� � ���� � �+ � ���� � �+ � ���
�� � � ��� � ��+��������� ��
��
����+�+� �� � �
�+��������� ��
��++�����+�� � �
�+��������� ��
��++� ��� � � ��� ��+��
� ���� � ��+��������� ��
��++� � �
�++ ���� ��+� � � �
�+++��������� ��� ��+� �� �
�++�
� ����� � � ��+++
��������� � �� �
�++� � ��� ��+��� ��++� � �
�++ ���� ��+�
� �
� � ��+++
��������� �� �
�++��� ��+��
� ���
��++�����+��
� ����� � + ����� � � ��++ ��� ��+��
��� ��+�� � �++�� ��+ � ��+ � �� ��+ � �+� � �.+ � � � ��+
x180 190170
!$� �� �9��L ��� ��� �� �� ,$���$ �� "�# � � �.+ � � � ��+
� &��'��� �*%
, � ��� � ����������� ��
��
����� �� � �
���������� ��
���������� � �
���������� ��
����� ��� � � ��� ���
� ���� � ����������� ��
����� � �
��� ���� �� � � ������������ ��� ���� �
����
� ����� � � ������������ � �� �
���� � ��� �� �� ����� � �
��� ���� ��� �
� � ������������ �� �
�� ��� ���� �
���
���������
� ����� � + ����� � � ��� ��� ���
��� ��� � ��
�� � � �� � �� � � �
� � �� � � � � �� �
x
ƒ
µ – µ σ + µ σ
y
O
!$� �� �9��L ��� ��� �� �� ,$���$ �� "�# � � �� � � � � �� �
�� �
ƒ
x
y
O
, � ��� � �� ����� � � � ��� � � ����� � ���� � � � ��� ��� � �
�� �
��� � ���� �
� ���� � + ����� �� �� � ���� � � +
� ��� � ��
� � ��� � ��
� ��
� �� �� �� � � ��
!� ��� �� ��� �$ � �����
� �
�'���� � ��� �'���� �
� ����� � ���� �� � ���� � � �
� ��� ��
�� ���
� ��� � ��� �
���� � ���
� ����� ����� ���� � ��� � +
� ��� � +� � �
������# � � ���� � �7��� � � ��� �� ��� � �� �$� ,$���$ � ������
��� � �� ��� � �
!� ,$�������# �� � � ��� �
� (����# ���� �) �$� �� �9��L ��� ��� �� ��� ����$ � ����� $�� � ���� � � ����
����� � ���� � � ���� ���� � ��� � �
��� � � ���
�� � ���� ���� � ��� � �
��� � � ��� � � ���� ���� � ��� � �� ���� ��� �
� ��� � � � � ��� � ��
� � �� � � � ��� � ���
� ����� � ��� � � ������ � ��
��� � ����
!� �����# � "�# � � ��� � � � � �����
��� � ��� � �� ��
����
������
� ���� � �������
� � �� ������
� � �� �
�
� ��� �� �
���� ����
�
� ���� � + ����� ��� �� �
���� ����
� � +�� �
��� � +
�� �
� � ��� � �� � �
ƒ
x
y
O 2
!� �9��L ��� ��� �� �� ��� �� �
�� &��'��� �*%
, � ����� � � �� �
�������
� � ��� �� �
�� �� ����
� � �� �
�
� � �� �
�������
� � �� �� �
� � ��� �
*��� ����
�
� ����� � ��� �
*��� ����
�
� ����� � + ����� ���� � ��� �
* � +���� �
�� �� � �� � +
��� � + � ��� �
� � � � +� � + � �� � ��� � + � � � �����
����
�
ƒ
x
y
O 323
!� �9��L ��� ��� �� ��� ,$���$ � �����������
(����# ���� ����� +�) �$� �� �9��L ��� ��� �� ��� ����$ � ����� $��
� ���� � � ����� �
��� �� �
���� ����
� � �� ������
�
�� ���� ����� �
� ��� �� �
���� � �� ��
����
�
��� ����� �� �
�� � ������ � �� � ��� ����� �
���� � �� � ��
!� ����� � ������ ����� � � �� � � � �)�.�!$� �� � ��)+++ � �� � �)�.�
�� 01�$�1 25���� ��� �� ����� ��=��$� �� �� ��$� �� �� �( �� �=����� �� � � �$� �� ���� �� �9��L ��� ��� � ,�# �
01�$�1 35���� �� �� �( �� �9��L ��� ��� �� �� � �#�$ �� �� �� ������ �� � �� ��� �� �9�� �$� �� ���� �� �9��L ��� ��� � ,�# �
���� ����������)��� ����'����
����,�-�*$7
�� �
t
C
O
, ���� � �� � �+)++��� � +)+��� � +)��� !� ����� ��=��$� ����� � � .+ � � � .�)� � �� ��=����� .� ��K� � .+ �� $��
�'���� � ��� �'���� ��
����� �+)++���� � +)+��� +)��
����
�� �� � ������ � ��K�����K�� $$� ������� � ���� ����
���� � �� � �+)++���� � +)+��� +)�� !� ����� ��=��$� ����� � � ��)�� � � � �)��
����
�� ��=����� � � ������ �� �� $��
����,�-�*$+
� � ����� ���+�+�� � + ����� � � + � ��+�+�� � +
���
����
� �� �+)+���+�+�� � + ����� �+)+� � + � ��+�+�� � +
, J�� ����
� + ����� ��� � �� ���#�� �� �$ ��� ��
J�� ���
����
� �� + ����� ��� ��
���� ���� �� �$ ��� ��
� ���#������
�����
�� �� �� ��� � ���#�� � �
����
� + � ���
����
� �� +
� ����
� +
���
����
� �� +
����� � �� �� ��� � ���� �
����
� +
���
����
� �� +
����� � �� ��� ��� � ���� �
� � � �+� �+��+��� ����� ����� �+��+��� ��+)�� � �����+���
���
����
� �� �����+��� �+)� � �)���+���
����� �����+��� � +
���
����
� �� �)���+��� � +
����� � �� �� ��� � ���� �
����,�-�**$
�� �
t
V
O
�� &��'��� �*%
, ���� � �� � �++��+�+���� �� � *+
!� ����� � ������ ����� � � �)�� 8� � ������ *++ ��� �� �� �� ����� ������������
����� �++ ��+�+��� �+)+�� � ��� ��+�+���
���
����
� �� ����+�+��� � ����� ��+�+��� �+)+��
� ����+�+��� � +)+�����+�+��� � �+)+��� � ����+�+���
���
����
� �� + ����� �+)+��� � ����+�+��� � +
+)+��� � � � +�� � *+� � �����
*+� � � � � �����
*+�
������� ���!� $��������� ������ �� ��=����� �
�����*+�
�� $�� ) �$� � � ������ ��� ��� ��
� ����
� ��� ����*+� � ��)*�
!� ��=����� $��������� ������ �� �$� �)*� �K�� $$� !� ����� �� �� ��=����� � ������ �� �)�� �K�� $$� ���� � �� � ��� ��+�+���
� �� � ��)�� !� ����� � ������ ����� � � �)�� � � � ��)*�
� 8� � ������ ��)*�� �����
*+� � �)*� �� $�� � ��� ��� �� �� �� $��������� ������ ���� �9
�� ��� �� ����� �� �� ��=����� � ������
�� �
t
N
O 3 13
6
� � ��+�����+�*�� ����� ����� ��+�����+�*�� ��+)��� � �� � ��+)��� � ����+�����+�*��
����� + ����� ��+)��� � ����+�����+�*�� � +
�+)��� � � � +���+)��� �� � +�� � + � +)��� � � +� � + � � � � �
�
� 8� � �
� �� � �+ $$� �� ��� �� ��� ,������L ��=����� , ���� � �� � ��+)��� � ����+�����+�*��
!� ����� ��=��$� ����� � � �)�� � � � �)++ !� � ������ �� ��=����� � �)�� �� � *� $$� !� ��=����� � ������ �� � ������ � ���#�� K��� ����� ��* +++ ,������L ��� $$�
�'���� � ��� �'���� ��
����
� ����++
��
� ��)�� ���#�� K���
2�� �� ��� ,������L ���� �� ��� � ������ �)�� �+�
�� �+� �+.� ,������L K�� $$�
� ����� ��+)��� � ����+�����+�*��
�����
���
����
� �� ��+)��� �� ��+�����+�*�� � ��+)��� � �� ��+�����+�*�� ��+)��� � ��
� ��+)��� ����+�����+�*�� � ��+)��� � �����+�����+�*��
� ��+)��� �� ��+)��� � ������+�����+�*��
���
����
� �� �����+
��
� �)�� � +
����
� �����+
��
� ��)�� � +
������� � �� �� ��� � ���� � � ��+ $$��
�� � ����� � + ���� ��� � � ���� � + ���� ��� � !� ������ �� � ����� ��� � ���#�� �
� ����� � + ���� ��� � � ���� � + ���� ��� � !� ������ �� � ���� ��� � ���#�� �
� ����� � + ���� ��� � � ���� � + ���� ��� � !� ������ �� � ����� ��� � ���� �
� ����� � + ���� ��� � � ���� � + ���� ��� � !� ������ �� � ���� ��� � ���� �
x
ƒ
y
Ox
ƒ
y
Ox
ƒ
y
Ox
ƒ
y
O
x
ƒ '
y
O
ƒ '
x
y
O
ƒ '
x
y
O
ƒ '
x
y
O
x
ƒ ''
y
O
ƒ ''
x
y
O
ƒ ''
x
y
O ƒ ''
x
y
O
5�#����,����1� ��� � ��
� ���� � ��
� ����� � ��
5�#����,����1� ��� � ���� � �� ���� � ���
� ����� � ����
5�#����,����1� ��� � ��� � �� ���� � ���
� ����� � ���
5�#����,����1� ��� � ���
� ���� � ����
� ����� � ���
�� &��'��� �*%
�� � +��� � 4��� � 4����� �
� �)�� +)��
� +)� �K�
, +��� � �4��� +)��� +)� �K�
+��� � �). �K�+�*� � �)� �K�
� !� � ������ �� ��� �)�� �). � +)� �K� ����� ��� �� ��� � ������ H�) *I +��� � �)* �K�:� H*) �I �� �� � ������ ����� ��� ��� �)*� �)� � +)� �K�
� +��� �� � +��� � +)���� �� � +)�� �+)��� +)�� � +)��� +)�� +)�� +)��� +)� � +)� :� �� � ������ ��� �� �� �� �� ��� ��� +)� �K�
����,�-�***
�� � � � ��� � ��+�+� � +
�+��� � � �
� �� � ���
+��� � � �� �� � � �� � �� �K�
, +��� � � �� �
� � ���
4�+� � +
�4��� � � �
�� �� � ��
4��� � � ��� �� � �� � �+� �
+��� � �� �K�4��+� � 4��� � � +��� � �+�� � �� � �*� �
� ���� � � � ����� 4��� � 4��� � ��� �� +��� 4��� � *++ ����� �+�� ��� �� �� � *++
���� �+� � *++��� � �+�� � �� �
�
:� � � �� �� �� *++ � ��������
����,�-�**#
�� � +�+� � �+� �K$ � �+ �K�+��� � +
����� � �* �K��
���� � �*+�+� � �+
�+��� � �*�� �+ �K�
+��� � �*�� �+4�+� � +
�4��� � ��)*�� � �+� �
4��� � �+ �!� ������ �� �+ �
, 7��� ���� � � �K��
���� � �+�+� � �+
�+��� � ��� �+
+��� � ��� �+4�+� � +
�4��� � �
� ��� � �+�
+��� � + ����� ��� �+ � +
� � ��+�
4 ��+�
� �� �
����+�
� ����+ ��+
�� �*+
�� �++
�� ��*+
�
�'���� � ��� �'���� ��
4 ��+�
� �� �+ ����� ��*+
�� �+
� � ��*+�+� �.)* �K��
� � ��+�� ��+�.)*
� �
!� �����#� �� � ��� ��
�� � ���� �� �$�� �����1���� � �)*+��+� � +
�+���� � �)*�
+���� � �)*�4��+� � +
�4���� � +).*��
���� �� ,������ �����1 4���� � �+� 4���� � 4���� ����� +).*�� � �+�
+).*�� � �+� � +��+).*�� �+� � +� � + � +).*� � �+� � + � � � �� �
�
!� �$�� ����� �� ,������ � �� �� ��� �� � �������
, +���� ��� � �)* �� �
� � �+ �K�� .� �K$$�
����,�-�**3
�� � +���, ���� � ��
+�+� � �*
�+��� � ���� �*
+��� � + ����� ���� �* � +��� � ��*� � � �
�
!$� � � �� �� � +�
+�+� � �* �$� � � �+� �*� ��������� � �
� �* � �� � ��*
��� �� �
��
��������� �� �� ��������� ����� �
�� &��'��� �*%
;���������(! ����
����,�-�**1
� � ��� � ��
� � ��� ����� � ���� �� � ��� ��� �� � �
��� � ����� � �� � ��� � ��
�� � �����
(����# ���� � �$� �� �9��L ��� ��� �� ��� ����$ � ����� $�� � ���� � � ����
�� � ��� � ���� � ����� � ��
�� � �������� ����� � ��� � ��� � ����� ���������� ����� � ��� � ��� � +��� � ����� ��� � �� � +��� � + � � ��� � + � � ��� � � � +� � + � � � � � � ��� � �� � � � �
� ��� � ��
� � ��� ��� ��
2�� ����$ � �� ��� �� ���
� � � ��� � �� � ��� ����� � ���� � �� ��
(����# ���� �+���� �$� �� �9��L ��� ��� �� ��� ����$ � ����� $�� � ���� � � ��� � ��
�� ��� �� � ��� � �
��� � � �� � ��� � �� ��� � �� � ��
�� � � ����� � �� ���
���� ��+����
��� � � �� �
��
� ��� �
,
ƒ
x
y = ax
y
O
(����# ���� � �$� �� �9��L ��� ��� �� ��� ����$ � ����� $�� � ���� � � ����
�'���� � ��� �'���� ��
�� ��� �� � ���
��� � � �� � ���� ��� � �� � �
������# � � ���� � �� ��
!� �������#� � �� � ��� � �� ����� ��� ������� �� ��� � � �� ��
� 4 � � ��� �
� � �� �
�
+��� � 4�� �
��� �
� � �� �
�
�� � �
�� �� � �
� �
�+���
��� � �
� �� ��
�+���
��� + ����� � �
� �� �� � +
� �� � � � �
�
� � � ��
:� � � � �� �� �� ���������� � ������ �� �� � � + ��=�����
� !� ������� �� � � ��� ����� ��� � ��� � ��� � � ���� � ���� �� � �� � �� �� � ��� � � � �� � �� � �� �� � � ��� � ��� � �� � ���� � ���� ���� � �� � ��� � ��� ������ � ���� � ��� � �� � ��� � � � ��� � � �
����,�-�**:
� !� ������� �� �� � � �#�� ����� �������� �$������ � ��� � � ����� ���� � ����� �� � �
� �� � ��� ��� � � ��
��� �� � �� �
� � ��� ��� � ���� � � �
� �� � �� � ��� � �
��� � � � � �� �
�
�� �
� � ��� � �� � ���
�� � � � � ���
��
J�� �� � � �� �
� ����� � � � �� �
� � �����
� � � �� �
�� � � �
�
�����
� � � �����
� � � �� �
�� � �� �
�
�����
!� ������� �� �� � � �#�� ����� �������� ���� � � �� ��
�����
� � � � ��
�����
� &��'��� �*%
� � ���� � ��� � � ���� � ���� �� � � � ��� � �� � � � ��� � � �
�
� � � ���� � � ��� � �
��
���� � �� � � � �����
� �� � � ��� � ���
!� ����� � ������ ����� � � �+)�. � � � +)�� !$� � �+)�. �� � +)��
�<��������0� =��>��4���
���� � ��� � � ���� � ���� �� � � � ��� � �� � � � ��� � � �
� �� � � � ��� � �� � � ��� � �� � ��� � � ��� � ����� � �� � � � ��� � �� � � ��� � � !� ����� � ������ ����� � � +)�� � � � �)��
J�� �� � � � ��� ����� � � � �����
� � +)��
� � � �����
��� � �+)�.
� � �)��
� � � �����
��� � +)��
, �� � � � ��� � ����� � ���� � ��
� � � �����
� � ������� � ����
���� � �� � ������� � ����
x
y
y1
y3
y3
O
!� ������� �� �� � �� ��,,� ��� ����� ��������#� �$ �� ) �$� �� "�# ��� ����9�� �� �������� �� ������� �� � � ����� �������� � �#��
�<��������0� =��>��4���
���� � ��� � � ���� ���� � �� �� � � � ��� � �� �� ��� � �� � ��
�� � � � ��� � �� � ��� ��� � �
� � ��� � ��� ��� � �
� � ��� �� ��� � �� � ��
�'���� � ��� �'���� �
���� � �� � � � ��� �� ��� � �� � �� � ��
x
y
O
y1
y2
�� � �� ����� ��� ������� �� ) �$� �� "�# ��� ������ �� �������� �� ������� ����� �������� � �#��
� � ��� � �� � �� � ��� � *�� ���� � ��� � ��� � ���� *� ����� � ���� � ��� ��� ����� � + ����� ���� � ��� �� � +
�� � �� �� � �
� � +��� � �
����� �� � +� � � �
� � � � ��7��� �1 � � ��� �� � � ��� �
�� � ��* ��
�$� �� � � ��* �� �� �
� �� ��� � ��� �
�� � �$� ,$���$ � �� �� ���� �
���
���� �
�� � ��* �� � �
�� �
�� ���� � �
!$� �1 � � ��* �� �� �� ��
��
7��� *1 � � ��� �� � � ����� � ��$� *� � � ��� �
� ���� � �� �$� ,$���$ � ���������� � � ��� �� � �
�$� *� � � ��� �!� ,$�������# � "�# � � ��* �
� �� �� ���� � � � ��� �
�� &��'��� �*%
� � ��� � �� �����
������ � ���� � ���
���
� � �� �����
� ��� � � ��� �
� ������
���
� ����� � � �� � ��
���
� � ��� �� �
�������
� ��� � � �� �
� �� �� �� �
� ������
��� � ����� �
� ������
���
� ����� � + ����� ����� �� �
�������
� � +
���� �� �
� � +
����� �� � �� � +
�� � + � �� �
� � � � +
� � + � �� � �
� � + � � � � � � � ��
� �+� � + � ��� � �������� � ���� � ���
������
x
y
O
ƒ
!� ,$���$ �� "�# ������������
) @+) +3) � �� ��
������
��� � � ����
����� ���� �� �
�� � ��� ��� � �� � ���
��
���� � + ������� � ���
�� � +
� ��� � �� � �
��� � ��
x
y
O
g
e
!� ��� �� �� ��
� �
�'���� � ��� �'���� ��
����� ��� ��
�� ��� � ���� ��
�� � ��� ��� �� � ����� � �� � ��� � ��
��
����� � + ����� �� � ��� � �� � +���� ��� � � �
�� � +�� � + � � ��� � � �
� � +� � + � � ��� � � �
�
� � + � � � ���� � �
�����
�
�� ����� � � � �� ����� ������� � � �
�
������ � �
�������
2�� ,$���$ � �� ������
� ��������
� � � ��+�� � �+�� ����� ����� ��+�� ��+��
���
����
� �� ��+� ��+�
���
����
� �� + ����� ��+� ��+� � +
��+� � ��+� � �
4t
N
O
:� �� ++ $$� �� �� � ������ ������� ��� �� ��� ,�"����� ��� ���� ��=�����
�� ���� � ��)� �K��
+�+� � �+ �K�
�+��� � ��)��� �+ �K�
+��� � ��)��� �+4�+� � +
�4��� � ��)��� � �+� �
4��� � ��*+ ����� ��)��� � �+� � ��*+���� � �� � ��)��� � �+� � �� � ��*+ !� ����� � ������ ����� � � �)�* 8� � ������ �)�* ��� �� ���� �� ���� �� �� ,���� �� �� ����
�� &��'��� �*%
����,�-�**7
� 8��� � � �� �
π16
M
T
P
75
80
P '
�� �� �� ��������� ���#���� �� � �� �0 ��� � .* ����� �� � ��)�*��� � .* �� ��� �� � �.)*
0�� ��������������������������+� � �.)*�
�� .+)�.
" � ��� �0�� � ��)�*� .+)�. � ��� �
8��� � � �� �
��� � .* ����� �� � *�)+���� � .* �� ��� �� � *�)+�
0�� ����������������������������+� � *�)+��
�� *�)�+
" � ��� �0�� � *�)+�� *�)�+ � ��� �� ��� � .* �����
��� � .* �� ���0�� �
�������������������������������0� � ������
�
��������������������������������������+� � �.* �� �����
�
�������������������������������������������++� *��* �� ����
" � ��� �0�� � .* ����� �
�������������������������������������������++� *��* �� ����
M
T
P
x
75
80
P '
�������
�� �����������
�������� ��
� ���� � �� � .* ����� ��������������������������������������������++� *��* �� ����
� �� � �++
x
y = 100
y155
O 0,91 π
!� ����� � ������ ����� � � +)�� �$� �0 �� ������ �� �++ ���� + � � +)��
� ���� � �� � .* ����� ��������������������������������������������++� *��* �� ����
� �� �� �� $������ ��������� �� ��
x
y
O1,16
–119,1
!� ����� �� ��$� ����� � � �)�� � � � ����)� !�� ,���� � ��� ���)� �K��� �� �������� � ������ �� ������� �0 �� ����
�������������(! '�� ��
����,�-�*#$
� � ���� � �� � �� ���� � �� � � �� ���
, ���� � �� � ������ � �� � �����
�� &��'��� �*1
���� � �� � �� ��� �� ��
� ������� �� ��� �� �� � �����
2�� �������� �� #$��� � ���� � �� � ����� �� ��
� ������� ����� �� �� � �� ���
2�� �������� �� #$���
����,�-�*#*
� � J�� �� �6������� �� �� ���$$� �����
xα
π – αα
AB
y
O 1
1�� � ���� ��� � �� ��� ��J�� �� �6������� �� �� ���$$� ������� � �������� �� � � �����
�������� ��
, J�� �� ������ � �� E6�������� �����1
xα
A
y
O 1
1
yA
xA
��� � ��
� � ��
�� ���� � ������ � �
� � J�� �� �6������� �� �� ���$$� ������� � ����� ��� �� � � �� ���J�� �� �6������� �� �� ���$$� ������� � �������� �� � � ����� x
α
A
B
y
O 1
1
–1
–1
π + α
, :���� �� �������� ���� � ���� ����# "�# ������� � �� � �� � ��� �� ��� �� �� � ����� � ����� �� �� � � �� ���
xα
A
B
y
O 1A'B '
1
–1
–1
π + α12
� � �� ��� � ������ ��� �� ���� � � �� ��� ����� � ������� �� ���� � ������ � � �� ��� ����� � �� � �� ��� �����
,� �� ���� � ������
������ � � �� ���������� �
������������ � �
�� �������� �
�� � � �� ���� � �
��� �� ������ ������� � �� �� ������������
�������
� ������� � �� ������������ ������� � ������� � �� ����� � �
� � �� ���� � � ����� � �� ������ � � ����� � � ������ � � ����� � �, � ������ � �� ��� � � � ���� �� ����� � �� ��� � �� �� � �� ���� � �� ��� � � � �� �� ���� � �� ���
� �� ���� � ������ � ����� � ���� ������� � ������ � ������ �� � ������ � ������ � ����� � � ������ � ����� � �
��� &��'��� �*1
� � �� ��� � ��
�� ���� � ������ � �
������ � ������ � �
������ � ��
����� � ��
����� � ����� � � �
�
�����
, ����� � � �� ����� ���� � ������ � �
��� ���� � �� �� ����� � ��� ���� � � �� ���� � �* �� ���� � ��� ���� � �
*
�� ��� ����*
� �� ��� � �
���*
�� ��� � �
*
���*� � �� ��� � � �
*
���*�
����,�-�*##
� � �� ����� ����� � �� ���� �
� �� � �� ��� �� ������� ������� � ������
, � ������� ��� � � ������ �� � � �� ��� �� ���� ���� � �� ��� �� ��� �� � � �� �� �
� �� ���� �� ���� � �
� �� � �� ����� � ����
� � � �� ����� �� ��� � � �� ���� �
� �� � � ����� �� ���� ����� � � ����� �� ��� �
� ��� � ������� � �
� �� � � ������ � �� �� � � ������� .
�� ���, � �� ����� �
� ��� � � �� ���� �� �� � �� �� ����� �
� �� � �� ����� �� ����� �� ���
� �� ����� �� ��� �� �� � �� ������ �
� �� � �� ������� ��� ���
� �� � ����� � �� ���
��� � � �� ���
, !� ��� $������ � ���� �������� � ��� ���� � � �� �� �� ������ �� ����� � �� �� � � � ������� �� ���� � �� � ������� ������ � �� � �� ���������� � �� � �� ����
����,�-�*#3
� � ����� �� � ����� ����� � ����� ������ � �� ��� �� ���� � ����� ����� � �� ��� �� ���, �� ��� �� � ����� �� ��� ��� � ����� �� �� �� � ����� �� �� ����� � �� ��� �� �� �� ���� �� ��� ����� � ����� �� ���
�� ��� �� � �� ��� ����� � �� ��� ������ � ����� �� ���� � �� ��� ����� � ����� �� ���
�� �� ���� � �� ��� �� � �� ��� ����� � ����� �� ���� �� ��� ����� � �� ��� ����� � � �� ��� ����������� � ����� �� � ����� ����� � �� ��� �� ��� � ������ � �� ���������� � ������ � �� ���� � ������ � ��� �������� ������ � �� ������ � � ������ � ������� � ������ � �� ���� � �� �� ���� � �� ���� � �� � �� ����
�������� ���
�� � ������ � � ������ � �� ������ � � � ������������ � �
� � �� ������
������ � �� ������ � �
�
, ������ � �� � �� ����� �� ���� � �� �������� ���� � �
�� �� ������
�� ������ � �� � �� ���� � �� � ����� � �� �� � �
�
�� ����� � ������� � ������� � �
�
��� ����� � �
�� � �
�� ����� � �+��
�� ���� ������+��
� �� ���� � �
�����+��
�� � � � � � ����� � � � � �� �$� �� ���� �
�����+��
������� ���
!$� �� ���� � ������+��
� � �
�
���*�
!$� �� ���� � � ��
���*�
� ������ � ��
�<��������0� =��>��4���
�� ���� � ������ � ���� ������ � ������� � *
�
����� ���*�
� ����� � �
��*�
������� ��� ����� � � �
�
���*�
��� � � � � ���� ���� � � �� ��� ����� � � �
� � ��
���*� � � �
�
���*�
������ � �� � �� ���� � �� � ����� � �� �� � �
�
�� � ������ � � ������ � �� � ��
������� � � ������� � �� ������� � �� ������������� � �
�� �� ������
, ��� �
� ������ � ��� �
� �� ��� �� ��� � ��� �
� �� ���� �� �� � �
�� �� �� ����� �
� ���
�� �
��� �������� � ��
x
y
1
O 2ππ
������$�� ��
������� �
��=��$� � ���� � � +) � � � � � � ���$� � � �
�� �� ������
, ������ � �� � �� ���� ����� �� ���� � ��� �
� ������� � �� ���� � ������ � �
�� �� ������ � ������ � �
�� �� ������
�� &��'��� �*1
�� ������ � �� � �� ����� � �
� �
������ � �� � �� ���� ��� �� ���� �� � �� ������� ���� �� � �
�� �� �����
� � �� ����� � �� ���� �� � �� ����� � ���� �� ������
� �� ����� � ��� �
� ����� � ��� �
� �����
�� � �� ���� � �� ���� �� � �� ���� ����� � ������ �� ���� � �� ��� ����� ����� � ��� � �� ����� �� �� � �� ��� ������ � �� ��� � � �� ����� � �� ��� ��� �� ����� � �� ��� � � �� ����� � �� ��� � � �� ���� � �� ��� � � �� ����� � �� ��� � � �� ����
, ������ � ������ �� � ������ ����� � �� ���� �� ���� �� ������ � �� ����� � � �� ��� ����� �� ���� � ������ � ����� � � �� ���� �� �� � ������ � ����� � ���� ������� �� �� � ������ � ����� � � ����� � � ������� � ������ � � �����
����,�-�*#8
�� � 0� $ � �� ���� ����� �� ���� �� ������ 0� $ � ����� ��� ���� �� �� $� ����� �� ���� ��� �� �� �� ��� �� ��) ���� �� ��, #�� � �� ���� � ����� ��� � �� ��� $������$�
, � � �� ��� � ������ $ #� ��� � �� ��� ���� ��� � ����� $����$� � � � �� ���� � � ������ $ #� "���� � �� ��� ��� � ����� $����$�
� � � ����� � ����� ��, �� ��� � ����� �� �� �� ���� � �
�� �� ������
� ������ � ��� �
� ������� ����� � �� ��� �� ��
�������� ��
���� ���������(!)���-�����
����,�-�*#%
� �
,
x
y = 0,8
y
O
1
–1
2 4 6 8 10–2–4–6–8–10
:� ���+� �+� ����� �� ������ �� � ��� � �� ��� "�� � �#�$ �� ��� �� ��# � � +)�
x
y = 0,8
y
O
1
–1
2 4 6 8 10–2–4–6 a c e fdb
–8–10
�� �� � ��� �� � 1�� �� � �� � �� � �
� � � �� �
����,�-�*#1
�� � �� ��� � �+)�*!� �( ����� �� ����+ �*� � ��)+�� !$� � � ��)+��� � �� � � � �� ��)+��� � ��
� � ��)+��� � �� � � � �)�*�� � ��, ����� �� � +)�*
!� �( ����� �����+ �*� � �)��� !$� �
� � � �)���� � �� � �� � � ��)���� � ��
� � �)���� � �� � � � ��)���� � �� �� ��� �� � +)�
!� �( ����� �� ���+��� � �)��+ !$� �� � � �)��+� � �� � �� � � �� �)��+� � ��
� � �+)��+� � �� � � � +)+��� � ��
��� &��'��� �*1
� ������ �� � �+)�!� �( ����� ������+��� � �)��� !$� ��� � � �)���� � �� � ��� � � �)���� � ��
�� � +)���� � �� � �� � ��)���� � ��� � +)���� � � � � � ��)���� � �
�� � A���� ����� �� ��� �� � ��
�����
, �� ��� � �
�
�����
� � �� �� � �� � � � �� �
� �� � ��� � �
� �� � �� � � � �� �� � ��
����,�-�*#:
�� � � �� ��� �� � ��� ��� �� � �
�
�� ��� �� � �� ��� ���� � � �
� �� � �� � �� � � �� �
� �� � ��� � �
� �� � �� � � � *� �� � ��
, � ����� �� �� � �
����� �� �� � �
�
����� �� �� � ����� ��
�� �� � � �
� �� � �� � �� �� � � � �
� �� � ��� � �
� �� � �� � � � � �� � �� ���� �
� �� ������
�� ���� �� �� � �
�
�����
�� ���� �� �� � �� ��� ��
��� �� � � �
� �� � �� � ��� ��� � �� �
� �� � ���� � *
�� �� � �� � �� � ���� �� � ��
� � *�� �� � � � � � ��
�� �� � �� ������ �� � �
�
�����
������ �� � ����� ����� � � �
� �� � �� � ��� � � � �� �� � ��
�� � � �� �� � �� � �� � *
� �� � ��� � .
�� �� � ��� � � � *
�� �� � �� �
�� � �� ���� � � �� ����� ��� �� � �
�
�� �
� � � �� ��� �� � �� �� �� ��
, �� ���� � � ��
�� ���� � �� �� �� ��
�� � � ���� � �� � �� � �� � �
� �� � ��� � � �
�� �� � � � � � .���� � �
�� � �� ���� �� �� � � �
�
�����
�� ���� �� �� � �� �� �
� ����� �
� � � � �� �� � �� � ��� �
� � � �� � �� �� � ��
�� � � ��� �� � �� � �� � � .
�� �� � ��� � � �
�� �� � � � � � ������ � �
�������� ���
, ����� �� � � ��
�����
����� �� � � ����� ������� �� � ���*� ���� � � *
� �� � �� � �� � � � *
��� � ��� � *
� �� � �� � � � � *� �� � ��
� �� ��� �� � ������
�� ��� �� � � ��
�����
�� ��� �� � �� �� �� ��
�� � � � �
� �� � �� � �� � � �� � �
��� � ��� � ��� � �� � � � *�� � ��
� � ������ �� � �������� �� � � �
�
������ �� � � ����� �������� �� � ����� ����� � � �
� �� � �� � ��� � � � �� �� � ��
�� � � �� �� � �� � �� � �
� �� � ��� � *
� �� � �� � � � � �
� �� � �� �
�� � � �� ���� � ��� ���� � �
�
�� ��� �����
� �
�
����� � �� ��� � � �
�
�����
�� ��� � �� ��� �� � �� ��� � �� �� �� ��
� � �� �� � �� � � � �� �
� �� � �� � � � � �� �� � �� � � � �� � �
� �� � ��� � �
� �� � �� � � � �� �� � �� � � � � �
� �� � �� � � � � �� �� � ��
, � �������� � ������� �� � �
�
����� �� � ��
����� � ����� �� � � �
�
�����
����� �� � ����� �� � ����� �� � ����� ���� � � �
� �� � �� � �� � � � �
��� � �� � �� � � �
� �� � �� � �� � � � �
��� � ��� � �
� �� � �� � � � � �� �� � �� � � � � �
� �� � �� � � � �� �� �� � ��
� �� ���� �� �� � �
�� ���� �� �� � �
�
�� ��� �� �� � �
� � �� ��� �� �� � � �
�
�� ��� �� �� � �� ��� �� � �� ��� �
� �� � �� �� �� ��
�� �� � � �
� �� � �� � �� �� � � �� �
� �� � �� � �� �� � � � �
� �� � ��� �� �
�� � �� � �� �� � ��
� � �� �� � �� � � � �� � �� � � � � �� � � � �
� �� � ��� � ������ �
� �� � ������� �
� �� � ��
����� �� �� � �
�
����� � ����� �
� �� � � ��
�����
����� �� �� � ����� �� � ����� �
� �� � ���*� ���� �
� � � �� �� � �� � �� �
� � � � �� �� � �� � �� �
�� � *� �� � ��
� �� ��� � � *
� �� � ��� � � �
�� �� � �� � � � � .�� �� � �� � � � .
�� �� � �� � � � � ������ � ��
�� � � +� � �� ����� � � � � +� ��� ��� � � �� � �� +� � �� ����� � � � � �� ��� *�� � � �� � � � ����� � � � � +� �� ��� ��� � � �
��� � � +� � �� � � � �� +� � ��
��� �� ���"����� ��� ��� � � � �
��� &��'��� �*1
����,�-�*#7
�� � �� ���� �� �� � +
��� �� � � � �
�� � �� �� � �
� � �� �� � �
� �
, ����� �� �� �� � +
�� �� �
� � � �� �� � �
�� � � �
� �� � �� � �
� �� � �� �� ����� � �
�� ���� � � � �� ���� � ���� � �
� �� � �� � �� � � �� �� � ��
� � �� �� � � � � � �
� �� � �� � �
� �� � �� �
� ������ �* �� � �
����� �* �� � � � ����� �
* �� � ���� �
* � � � �� � �� �* � � �� � ��
� � �* �� � �� � � � � �
* �� � ��� � �
* �� � �
� � �� ���� � �� ��� � +�� ������ ��� � �� � +�� � � + � �� ��� � �� � � � � � � �
� �� � ��, � �� ���� � �� ��� � +
� �� ������ ���� � ��� � +
�� ��� � + � �� ���� � ��
� � � � � �� ��� � �� � �� ��� � � �
�
� � � � � �� ��� � �� ��� �� � �� ��� � �� �� �� ��
� � � � � � � �� �� � �� � � � *
� �� � �� � � � � �� �� � �� � � � � �
� �� � �� � ������ � ����� � �
� ������ � ����� � � � +������ � �
� ����� � �� � +
������ � �������� � ��� � +
����� � � � ����� � � ��
� � � �� � ����� � �� �� �� �
� � � �� � � � �� �� � �� � � � � �
� �� � ��� � � �
� �
� ������ � ����� � �� � +
������ � ���� � +
����� � ��
����� � ����� ��� � �
� �� � �� � � � � �� �� � ��
� � �� ��� �� � �� ���� ���� � � ��� �� � �� � �� � � �� ���� �� � � ���� � �� � �� � �� � � �� ��� �� � ��� � ��� � �� � �� � ��� �� � ��� � ��� � �� � � � �� �
�� ���� � �
� �
�������� ���
, ������ �� � ����� ����� � � �� �� � �� � ��� � � ���� �� � � ��� � �� � �� � ��� � � ��� �� � ��� � �� � �� � �� � � ��� � �� � �� � � � � �
� �
�� ���� �� �� � �� ��� �
������ �
� � � �� �� �� � �� � ��� �
� � � �� ��� ���� � � ��
� � *� �� � �� � ��� �
� � � �� �� �� �� � ��
� � *� �� � �� � �� � � �
� �� � ��� � *
� �� � �� � � � .�� �� � �
� �
� ����� �� �� � ������
�� �� � � ��� � �� � �� �
�� � ���� � ���� � �
� �� � �� � �� � �� �� � ��
� � � ���� � �� � � � �
� �� � �� �
� �� ����� � �� ����� ����� ����� � �� ���� ����� � ��� �� � �� � ��� � �� ���� �� � � ���� � ��� � �� � ��� � �� ��� �� � ��� � ��� � � � ��� � ��� � ��� � ��� � � � � � �
�� � ��
� � ��� � � � � � � ��
� ����� ��� � ������� �������� ��� � ������ ����� �� � ��� ��� � �� � �
� �� � ����� ��� � � ��� �
� �� � ���� � �� � �� �� � ���� ��� � ��
� � �� � � � � �� �� � ��� � ��
� � � � � � � ��� � �
�
� � � ��
����,�-�*3$
�� �� ���� �� �� � � ����� �
� ������� �� ���� �
� ��� � ����� ��� �� ���
����� �� ��� �� �� � ����� �� �
������*� �� ��� � ����� �� ��*� �� �� � �
� �� �� � �� � *� �� �� � ���� �� �� � � ��
�� � � �� �� � �� � *
� �� �� � � �� �� �� � ��
� � �� �� � �� � ��� � �� �
� �� � ��� � �
� �� � �� � � � �� �� � �
� �
�� � �� ��� �� �� � ������
�� ��� �� �� � �� ��� �� ���
�� �� � � �
� �� ��� � �� � �� �� � � �� ��� �� ��� � � ��
�� � � �� � �� �� � � �� �
� �� ��� � ��� � � �
� � � �� � � ��� � � �
� � � � � � ��� �� �+� ��� �$� � � + � � � �
� � � � � �� � � � � ��
��� &��'��� �*1
, �� ���� � � ������� ���� � � �� ��� �� ���� ���� � �� ��� �
� ���� � �� �
� �� � �� � �� � �� ��� �� �� � � ��
�� � � ���� � �� � �� � �� �� �
� �� � ��� � � �
��� � � � �� � � �� �� � ��
� � � ���� � � � � � �
� �� � �� �
� �� �+� ��� �$� � � �� � � � � �
� � � � � .� � � � � � �
� � � � � � �� � � � � � .
� � ����� �� � � ������ ��
����� �� � ����� ���� �������� �� � ����� ��� ���� � � �� ��� �� � �� � �� � � ���� ��� �� � � ���� � �� � �� � �� � � ��� ��� �� � ��� � �
� �� � �� � � �� � ��� �� � ��
� � �� �� � �
� � � � � �� �� � ��� �� �+� ��� �$� � � �
� � � � � �� � � � � � � � � � �� �
� � �� ��� ����� � �� ��� ���� ���� � �� ��� ���� � �� �� � �� � �� � �� ��� �� � � ��� � ��� � �� � �� � �� �� �� � ��� � ��� � �� � �� � �� �� � ��� � ��� � �� � � � �
� �� ��� � �
� �
� �� �+� ��� �$� � � �� �� �
� � � � �� �� � � � ��� �� � � � � �
� �� ��
�� � ������� � �� ��� ���������� � ����� �� �
� ������ � �
� �� ����� � �� � ��� � ������ �
� ��� � � ��� �
� �� � �� �� � �� � ��� � � �
� �� �� ��� � ��
� � �*� � �
* � � �� �� � � �
��� � ��� � �
*� � �* � � � ��
� � � ��
� �� �+� �� �$� � � �* � � � � � � � � �
* � � � � �� � � � � �
*
, �� ���
� �� � ������
�� ���
� �� � �� ��� �� ���
�� ���
� �� �� ���� �
� ��
���� ��� �
��� � �� � ���� �� ���� �
��� � � ���� � ���� ��� � ��� � �� � ��� ���� ��� � ����*�� � ���� � ��� � .�� � ��� � ���� � �
*� � ��* � � � �
.� � ��.
� �� �+� �� �$� � � �* � � � � �
. � � � �
�������� ���
�� �
x
ƒ
y
O 2ππ
y = 12
, �� ���� � ��
�� ���� � �� ��� ���� � �
� �� � �� � �� � �� �� �� � ��
� � ��� �� � � � �� � *
� �� � ��� � �
�� �� � � � � � *�� �� � �
� �� �+� ��� �$� � � ��� � � � � *
�� � � � � � ��� � � � � � *
���
����"� ����� �� ���� � �� ���� �
�� � � � � *�� � � � �
�� � � � � � *�� �
�� �
x
ƒ g
y
O 2ππ
, � ��� � ����� ��� � � �������� ��� � � �� ��� �� ����� ��� � �� ���� �
� ��� � ��� �
� �� � �� � � � �� ���� �� �� � � ��
�� � � �� �� � �� � � � �� ��� �
� �� � ��� � �
� �� � �� � �� � � �� �� � ��
� � �� �� � �� � � � �
� �� � �� �
� �� �+� ��� �$� � � �� � � � � � �
� � � � � � *� �
!� ����� ��������#� �$ �� "�# ��� �� ��) �� �� ��� �
�� � �� *� ��� �
�� ����"� ����� �� ��� � ������ ���� � � �
�� � � �� � � � *
� �
�� � � ��� � +�� ���� �
� �� � +��� �
� � � � ��� � �
� �� � �� � �
� �� � �� �
� �� �+� � �� �� �$� �� $��$ �� �� � "�# � � �
� �) � � �� � � � � � �
� �
��� &��'��� �*1
��� � +� ����� �
� �� � +����� �
� �� � +�� �
� � � �� �� � �
� � �� �� � �
� �� �+� � �� �� �$� �� $��$ �� �� "�# � � �
� � � � � � �� �
, � ��� � ��
�� ���� �� �� � �� ��� ��
��� �� � � �
� �� � �� � ��� ��� � �� �
� �� � ���� � �
� �� � �� � �� � � �� �� � ��
� � �� �� � � � � � .
�� �� � �� �� �+� � �
� �� �$� � � �� � � � � .
�� � � � � � �� �
x
ƒ
y
O π 1 π12
y = 12
����"� ����� � ��� � �� ���� �
� � � � � .�� � � � �
� � � � � �� �
� ��� � ����� ���� �
� �� � � ����� �� ��
�� ���� �� �� � � �� ��� �� ��� �
� ����� ���� �
� �� � � �� ��� �� �� ����
�� ���� �� �� � �� ��� �
������ �
� � � �� �� �� � �� � ��� �
� � � �� ��� ���� � � ��
� � � �� � ��� �� � � �� �� �
� �� � ��� � � �� � �� � � �
� �� � ��� � � �� � � � *
� �� � �� �
� �� �+� � �� �� ����� � � + � � � *
� � � � � ��� �
����"� ����� � ��� � ��� ���� *� � � � � ��
� �
�� � � �� ��� � �� ����� ��� � +
, �� ���� � �� ����� � �� � �� � �� � �� �� � ��
��� �=�� �� �� ����� � ��� �=�� �� �� ����� � �� ���� � �� ��� �
� ���� � �� �
� �� � �� � �� � �� ��� �� �� � � ��
� � �� ��� � �� ����� �� ��� � � �� ��� �����
�������� ���
���� ���������(! ' �(�����''���. �
����,�-�*3#
�� �
, � � �����
� � � �� ���
� � 5�# �� ������ ����� � ������� � �� �� ��������� ����� �� ����,��� ��� �� ��� � !$� ,�# �� ������ ����� � � ������� � �� �� ��������� ����� �� ,��� ��� �� ��� � �
, 5�# �� ��� � ��� ���� �� ����� ���#��� ���� ��� �� ,�#,����� �� ����,���) �$�,��� �� � ����� ��
���� �
� �� +) �$� � �
����� � �
����,�-�*33
� ��� � ����� � �� ��� �� ��� � �� ��� �� �� � �� ������ � � �
� �� � �����
���� � ����� ��
�� ����� ����� �� � � ������� �� � � �� ���
�� &��'��� �*1
����,�-�*38
�� � � ��� � ������ � ����� ��� � � �� �����
� ���� � ����� ��
�� ����� � �� ��� � � �� �� ����
, ��� � � ����� ����� ���� � � ����� � � � �� ��� � ����� � � �� ��� $��� � �� � �� ���� �
� �� � �� � �� ��� ��� � � ��� ��� �����
$���� � ����� ��
�� ����� � ����� � � � ������ �
� ��� '��� � �+� �� �� ��� ��� ��� � �+� �� �� ��� ��� � � �
� ��� �� �����
'���� � ����� ��
�� ����� �� ����� �
� � � ����� ��� ���
�� � � ��� � �� ���� �� � �� ��� ��� � � ��� � �����
� ���� � ����� ��
�� ����� ����� � � � ������ ��
, � � ������ �� � ����� ��� � � ��� � �����
���� � ����� ��
�� ����� � �� ��� � � �� �� ���� ��
�� � � � ��� � � �� ����� � �� ���� � �� ��� ��� � � �� ����� ��
��� ����� � � � ������
� ���� � � �� ���� � � � ������ � �� ���� � �� �������� � ��� � � �� ���� ����� � ���� � � �� ���� � � � ������ � �� ���� � �� ������
, ������� �� ����� �� �����$�) ��"� ������� ����� � �- �- ��� �� ���������
�� � � ��� � � ������ ����� � ���� � � ������ � � �� �� ���� � ������ � �� �� ����, ��� � �� �� ���� ����� ���� � �� �� ���� � �� � ������ � �� �� ���� � ��� ������ $��� � �� �� ���� �� �����
$���� � � �� ���� �� � �� � ������ �� � � �� ���� �� � �� ������ ��� '��� � �� �� ����� �� ����� '���� � � ������� � �� � �
� �� ��� �� � � ����� �� � � �� � �� ��� ��
�� � � � ��� � �� ��� �� ��� ����� � ���� � ����� �� ��� � �� ��� ����� � � �� ��� ������� � � �� ���� � �� ��� � � �� ��� �����
� ���� � ����� ��
�� ����� �� ����� � � �� ��� �����
��� � ��� � �� ���� � ��� �
� ������ ����� � ���� � � �� �� �� ���� � �� ����
, ������� ��� ��� #� �� ����$�� �� ���� � ��� �
� ������ ������ ��,� � ���� �����$� ���� �� �� �� ������� � � ��
�� � � ��� � ������ � ��� �
� ������ ����� � ���� � �� �� �� ���� � � �� ����
, ��� � � �� ���� � ����� �� ������� � �� ������ ����� ���� � � �� ����
$��� � �� � ������ � �� ����� �� ������� � �� ������ ����� $���� � �� �� ����
� '��� � �� � �� ���� � �� ����� �� ������� � �� � �
�� � �� ������ �����
'���� � �� � �� �� �� ���� � �� � �� ����
�<��������0� =��>��4���
� � ��� � ������ � �� ��� � � ����� ������ ���� � �� � �� ��� � �� ����� �� ��� � � �� ����
�������� ��
, ��� � � �� ���� � ��� ��� � � �� ��� ����� ���� � �� ����� � � �� ��� ����� � � �� ����
$��� � �� � ������ � �� ��� ��� � � ����� �����$���� � �� � �� ��� � � ����� � �� ��� � �� �� ����
� '��� � �� � �� ���� � �� � �� ��� �� ��� �����'���� � �� � ����� �� ��� � � �� ��� �� � � �� � �� ��� ����� � �� � �� ����
����,�-�*3%
�� � � ��� � �� ���� � �� ��� � � �� ��� ����� � ���� � ��� ����� � � �� ���� �����, ��� � � �� ���� ����� ���� � � �� ���� � � ��� ������
� � �� ���� � �� ��� � � �� ��� ����� ����� �� ����� � � �� ��� ����� � �� ����
���
���� � �� ���� � � �� ���� � � ���������������������
�� �� ���� � �����
��� � � �� �� ��� ����� $���� � ������� ����� � �����
������������������������ �� ����
� � � ������ � ����� ��� � � �� ����� ����� � �� ��� �� � ��� �� ����
'��� � �� ������ ����� '���� � � ������ � �� ��� �� ���� � � ������ � ��� �� ����
�� � � ��� � ������ � �� ��� � � ����� ������ ���� � ��� � �� ��� � �� ������ �� ���
� ����� �� ����� �� ��� � �� �� ��� � � �� ����, � ��� � �� ���� � �� ��� � �� � � ��� � � �� ��� �����
� ���� � ���� � �� ����� � �� �� ���� � �� ����� � � �� ���� ����� � ������ ���� ������� ����� � ����� � � ����� � � ������ � ������ � ����� � � ������
� � �� ���� � �� ��� � � �� ��� ����� �� � �� ����� � � �� ��� ������ ��� � �� ���� ����� ������ ���� � � �� ��� ����� ����� � �� ���� � �� ���
� � �� ��� ������ � �� ���� � � �� ������ �� ����� � �� ����� � �� ��� � � �� ���� � �� ���� � � �� ��� � � �� ����
� � � ��� � �� � � �� �������� �����
� ���� � ����� ����� � �� ��� � �� ��������� � ������ � �� ����
������ � �������
� ��� � �� ��� � �� �������� �����
� ���� � ����� ����� � �� ��� � �� ���������
� ������������ �
�� ���������� � �� �� ���
����� �
� �� �� ����
, ��� � �� ���� � �� ��� ��� � � �� ����� ���� � ������� � �
��������
$��� � �� ���� � �� ��� � � �� ��� ����� $���� � �� ������� �
� �� ���������
��� &��'��� �*1
����,�-�*31
� � � ��� � ������ � � �� ��� � � ����� � ���� � �� �� ���� � � �����7��� �� � � ��� � � � � ���� � �� �� ���� � � ����� � �!$� �� � � ��� �� ��� � � �$� ���� ��
�� � ��� ��� �� � �
!� �����# �� �� � � ��� �� �� , � ���� � +�� �� ���� � � ����� � +� �� ���� � ������� ����� � �� ��� �� ����� � �
� �� �� � �� � ��� � �� ��� �� �� � � ���� � �
� �� � �� � ��� � �� �� �� �� � ��
� � � ���� � �� � ��� � �
� �� � ��� � � �
��� � �� � � � � ���� � �
� �
� �� �+� ��� �$� � � �� � � � � � �
� � � � � � �� � � � � � *
� � � ����� � ��� �� � � �� �$� ���� ������ �� �
� �� � ��� �� � � � �
� �$� ��� �� �� �
���
� �� �� �� � ��� �� � � � �$� ��� �
� �� ��� �� *
� �� � ��� �� � � � �
� �$� ��� *� �� �
���
� �+� � � ���� � �����"� � ��� � ����� ���� ������� �� ���� � � � �
�
�� � � ��� � �� �� ����� ����� � ���� � �
�� �� ���� ���� � + ����� �
�� �� ��� � +�� ��� � �
�
�� ��� � �� ��� ��� � �
� �� � �� � � � �� �� �� � ��
� � �� �� � �� � � � *
��� � ��� �� �+� .� �$� � � �
� � � � � *� � � � � � �
� � , � ���� � � ����� �
�� �� ��� � ��� ��� � � �
�
�� ��� � �� �� �� ��
� � � �� �� � �� � � � �� �� �
� �� � � ��� � � �
� �� � �� � � � � �� �� � ��
� �� �+� .� �$� � � � �� � � � � � *
� �
�� � ��� � � �� ���� � ��� ��� � � �� ��� ������ ���� � �� ����� � � �� ��� ����� � � �� ����� ����� � � ������� ����� � + ����� � ������ � +
������ � +�� � �
� �� � �� � �
��� � �� �
� �� �+� ��� �$� � � �� � � � � �
� � � � � � �� � � � � � �
� �
�������� ���
� ���� �� � � �� ��� �� � �� � ��� �� ��� �� � � �$� ��� �� ��
�� � �� ��� � � �
,$�������# 1 � � ��� �� �
� ���� �� � � �� �� �� �� � ��
� � ���� �� ��� �� � � �$� ��� �� ��
�� � ���� ��� �� � �
,$�������# 1 � � ���� �� ��� ��� �
� �� � �� � ��� �� �� �
� �� � � �$� �� �� �� ��
�� � *�� ��� *� � �
,$�������# 1 � � ��� �� *�� ��� �
� �� � ��� � ���� �� �� �
� �� � � �$� �� �� �� ��
�� � �.�� ��� .� � �
,$�������# 1 � � ���� �� .�
�� � � ��� � + ������ �����
�� �� ��� � +
� ����� � +����� � +� � �
� �� � �� �� �+� ��� �$� � � �
� � � � � � �� �
!� � �#�$ �� ��� �� �9�� "�# ��� �� +� � �� ���� +�
� ��� � � ������� �� ��� ����� � ���� � ��� �� ���� �� �� ��� � � ����� � �����
��� �� �����
� �� �� ��� � � �� ���� � � ��������� �� ����� � �� �� ��� � �
��� �� �����7��� � � ��� �
� � � ���� �� � ��� ���� ��� � ��
� � ���� ����� ��� �� +�
�+ � �� �
� �� �� �
� � � �
�����# 1 � � ���� � �� �
7��� � � ��� �
� � � ��� �� �� � �� �
��� ���� ��� � �
� � �� ����� �� �
� �� +��
+ � � �� �� �
�� �� � � �
�����# 1 � � �� � �� �
��� &��'��� �*1
, � ���� � + ������� �� ��� � ���� �� ����� � +
�� �� ��� � � � +�� ��� � �
�
�� ��� � �� ��� ��� � �
� �� � �� � � � *��� � ��
� �� �+� ��� �$� �� � ��� � �� � *
� � � �+� � � ���� � �
� � � ��
����"� ����� � ��� � ����� ���� ������� �� ���� � � ��
�� 5�# � � �� � �� ����� ��� ��#� #� �� ��� ������� �� � �
� �� � ��� � � �
���� � �
�
� � � � ���
�� � ��
5�# � � �� � ������� ��� ��#� #� �� ��� ������� �� � � ��� � � � �
�
� � � � � ��
���� ���������(! ' �(��� �����
����,�-�*37
�� � � ��� � � ������ ����� � ���� � � �� �� ���� � ��� �� ����� ���� � � ��� � �� ����
���� � �� � � �
�
, #��� � � �� �*�� ����� #���� � � * ���*�� � *� ���*��#���� � ��� � ���*��
�*� � �� � �
*
�� � � ��� � � �� ���� ����� ���� � � � �� ������ � � � � �
� ������ � �, ��� � �� � * ������ ����� #��� � �
� �� � * �
� �� ���� � � � �� �
� � � �� �� ���� � �
$��� � �� ���� �� �� ����� %��� � � �
� ������ �� �� � �
� '���� � ����� �� �� �� ����� (��� � � ��
�
�� ��� �� �� �� � � � � �� ��� �� �
� �� � �
�� � �� �
��
+���� ����� ����� � ��� � � �� ��� ���
���
� ���� ��� � � �� ��� ��� � + � �� �
� � �
,� �
��
���
��� � � �� ��� �� ����� � ��� �� � � ����� �
� ���������
� ��� ��� ��� � � ����� ��� � ��� ��� ��� � � ���+��� �
�� �� � ���
�� � �
��� �� � � � .
��� �� � ���
�� � �
�������� ���
����,�-�*3+
�� �
x
ƒ
y
O π 2π
1
2
, � ��� � + ����� �� � �� ��� �� �� � +
� �� ��� �� �� � ��
�� ��� �� �� � � �
�
�� ��� �� �� � �� �� �
� ���� �
� � � � �� �� � �� � �� �
� � � � �� �� � ��
� � �� �� � �� � � � � �
� �� � ��� �� �+� ��� �$� � � �
� � � � � � �� �
��� �� ��
��
���
�� � �� ��� �� ��
� ��� � �� � ����� �
� ��� ���
�����
� � �� �� � ���� �
���� �� �
� �� � ���� �� ��
� �� � �
� �� � � ��
����� � �
��� � ��
����� � � �
� �� ������
� � 8��) �� � ��� �� ������ � �� ���� �����, ������ � �� � �� ���� ����� �� ���� � �
�� �� ������
� ��� � �� ���� � ��� �
� ������ ����� � ��� � �� �� �
� �� �� ���� � �
� ���� �
� �� ���� � �
� � � ��� � ������ � ��� �
� ������ ����� � ��� � �� �� �
� �� �� ���� � � � �
� �� �� �� ���� � �
, ��� � �� ����� � ��� �
� ������ ����� #��� � �� �� �
� �� �� ���� � � � �
� �� ��� �� ���� � �
�� �� *
���
+�� ��� ������� �
� *���
+
�� �� ������ � �
� � �� ������� � *
���
+
� � �� ������� � *
���
+ � � �� ���*� ��
� �� � �� ���+�� �
� � �� � �
�
����� � �� �
� �� � ��
����� � �
�
,� �
���
��� �� �� ����� �
�� �� �
���
��� �� ���� �
� ����������
�� �
���
� ��� �
� ������� ��� � � �
� �� �� �� ����� ��
���
� � �� �� �
� �� ����� �� .�� �� �
� �� ��� ��� � � .
� �� ���
�����
��� &��'��� �*1
����,�-�*8$
�� � ��� � + ����� �� ���� � �� ��� � �� � +
�� ��� � ��
� ��� +�� ��� � �
� � +�� ��� � � �
�
�� ��� � �� �� �� ��
� � � �� �� � �� � � � � �
��� � ��� �� �+� ��� �$� � � � �
�� � � � � *� �
���� �� ��
��
+��� ���� � �� ��� � �
����
�� ��
��
+
��� �
� ������ � �� ��� � ��
� ���
�� ��
��
+
��� �
� ������ � �� ���� ���
� �� �� �
� �� ���� � ������ �����
+
� .� �� �
� �� �.� �� � ���.� ��� � ������ .
��� ��
����� � �
�
����� � � � .
� �� ��
����� � �
�� � � ��� � � �� ���� � �� ��� � � ����� � ���� � � �� ��� ����� � ������ ���� � + ����� � �� ��� ����� � ����� � +
� ����� �� ��� � ��
� � � +����� � + � �� ��� � � �
�
� � �� � � � � � �
� � � � � �� � � � ��� ��� �� � �� �� � � �� �� �
� �� � �� �� � � +� ���� � � ���� � � �� �
��� � �� ��� � � � �� �
�
��� 5� � ��� �
� � ��
, 7��� �1 � � ��� � � � � ���� �� � � �
�
����� �
�� �� �
����� � �
�
� � � ����� � ����� �
� ��� �� � ��� �
�
�����
�$� ���� �� ��� �
�
������
��� �
�
����� � � ����� � �
�� �� �� �
��� �
�
����� � �
������� � �
�� � �
!$� �1 � � � ����� � ����� �
�� ��
����� � �
� ������ � �
� � � ��� � + ����� � �� ���� � �� ��� � � � +
�� ���� � �� �� ��� � �
� � +��� ��� � ����� ��� � �
�� � +�� ��� � �� � �� ��� � �
�
� � � ���� � �� � �� ��� � �� ��� ��
� � � ���� � �� � � � �
� �� � �� � � � *� �� � ��
� �� �+� ��� �$� � � �� � � � � *
� � � � � � �� �
������������ *
��
���
� �� ���� � �� ��� � �� �
��
�� *
��
���
����� �� ������� �� �� ��� � ����
�� *
��
���
� ������ � �� ���� ��� � � �� �� ���� � ������ �*
�����
� ��
����� � �� �
�
����� �� �� �� �
�
����� � �
�
����� � � � �
�
�����
�������� ���
�� � ��$��� �
��
���
� �� ����� ���� �� �
��
���
����� �� ���������
� � �� �� �
� �� ����� �� �������� ������ �
� � ��
����� �� �� �� �
�� �� �� �
�
����� �� �
� � �� �� �
��
����� � �
�� �� ���
������ � � �� �
�� �� ��
����� � � �
�� �� � �
�������
�� �
x
ƒ
y
O π 2π–2π –π
, � ��� � + ����� � ��� � �� ��� �� � +
�� ��� �� � ��
�� ��� �� � �� ��� ���� ��� � �
� �� � �� � �� � � *
� �� � ��� � �
� �� � �� � � � *� �� � ��
� �� ����� ��� �$� � � �� � � � � *
� �
���� � �� *
��
���
� ��� � �� ��� ��
� ��� � � � �
� �� � ����� ��� �*
�����
� � � �� �� � ���*� ��
� �� �� �� � ����� ��� � � �� �
��� ������ � �
� �� ������ � �
����� � ��
(��� �� *
��
���
� � ��� � �� ��� ��
� ����
�� *
��
���
� � ��� � �� ��� �� � � �� ���� ��
� ���
�� *
��
���
� � ��� � �� ��� �� � � �
�� � �� ������ �
��
�� *
��
���
� � ��� � �� ��� �� � � �
� ������ ���
� � � �� �� �� ����� �� � � �
� �� ���� �*�����
� � ��� �� �� �� ���*� �� � � �
� �� �*� ��� �� � �
� �� �� ����� �� � � �� �� ��� ��
� �� � �� �
� �� ������ � � �
�
����� � � �
� �� ������ � � �
�
������ � � ��� � �� �
� ������
�� � � ��� � �� ���� � �� �� ���� � � ����� ���� � �� ��� � �� �
, ��� � �� �� ���� � �� �� �� ���� � � ����� #��� � �� �
� � �� ��� � �� �
$��� � �� �� ������ � �� �
� ������� ����� %��� � �
� �� � �
� �� ��� � �
�� &��'��� �*1
;���������(! ����
����,�-�*88
� � � �� ��� �� �� ��� �� �� � �
� �� ����� � �� ��� ����� � ����� �� ���� � �� ��� ����� �� � ����� �� ��� ��
� �� �� �� ����
� �� �� ��� � ����� � �� �� ���� � � �� ��� ����� � �
� �� ���� � �� ���� � �� �� ���� � �
� �� ����, �� ������ � � ������ � �� � ������ � �� � ������ � � � �� ��� ����� �� ��� �� ��� � �� ���� � � � �� ��� ����� ������ � �� ����� � �� ���� ������ � �� ���� � �� ���� � �� ���� � � �� ����
� �� ��� �� � �� ��� �� � �� ��� ����� � ����� �� ��� � �� ��� ����� � ����� �� ���� � �� ��� �����
� �� ���� ����
� � � �� ���� � �� �� � �� ���� ���� �
� �� � ������ �� �� �� ��
� �� ���� +� ������ �� � ������
� ����� � ��.
�� ���� � ������ � �
��� ���� � ��
���� �
�� ���� � ��*���
�� ��� � �*�. � �� ��� � � �*
�.
� � �� ��� � � ��
�� ���� � ������ � �
���� ������ � ������� � �
������ � �
�
����� � ����� � � �
�
�����
� �� �� �� �� ��� �$� ����� � �
�
�����
, �� ��� � �� �������� �
� ��
��
����� � �����
�� � � �
�
�����
�� ���� � � �� ��� ����� � � � �� � �
�
����� � �
�
�����
� ������ �� � �� �� ������ � � � ������� � � ������ � � �� � �� ����� �� ��� � �� ���� � ��� � �� �
��� � ��� �� � � �
�
� �� ���� � �� ���������� �
� �� ��� ����������� � �� ���� �
� �� ��� �����������
������ � �� ����������
��
�� ��������
�� �� ����������
� � �� ����� �� ����
� � �� ��� �� �� � +)�*�� ��� �� �� � �� �+)�*���� �� � � +)�*�� � �� � �
� �� � � �� +)�*�� � ���� � � �+).�.� � �� � �
� � � �)���� � ��� � ��)��*� � �� � � � �)..�� � ��
, ������ � �+)�*������ � ����)������ � �)���� � �� � �� � ��)���� � ��� � +)���� � �
� � � � � �+)���� � �� �
�������� ��
� � � �� ��� �� �� �
�����
�� ��� �� �� � �
�
�����
�� ��� �� �� � �� ��� ��
�� �� � � �
� �� � �� � �� �� � � �
� �� � ��� � *
�� �� � �� � � � ���� �� � ��
, � ����� � � � +����� � � �
�
����� � ����� ��� � �
� �� � �� � � � � �� �� � ��
�� ���� �� �� � � �
�
�� ���� �� �� � �� �� �
� ����� �
� � � � �� �� � �� � ��� �
� � � �� �� �� �� � � ��
�� � �� �� � �� � �� � � �
� �� � ��� � �
� �� � �� � � � � *
� �� � �� �
� ������ �� �� � ��
����� �� �� � ��
����� � ������� �� � � �
�
�����
����� �� �� � ����� �� � ����� �� �� � ���*� ���� �� � � �
� �� � �� � �� �� � � � �
� �� � �� � �� �� � � *
� �� � �� � �� �� � � � *
� �� � ���� � � �� � �� � � �
� �� � �� � �� � �� �� � �� � �� � ��� � ��
� � � �� � � � �� �� � �� � � � � �
� �� � �� � � � �� � ��� � � � � � � �
� �� � �
� � �� ��� �� �� ��� � �� � +�� � � + � � �� ��� � � � +�� ��� � + � �� ��� � �
�
�� ��� � + � �� ��� � �� ��� ��� � � � � � � �
� �� � �� � � � *� �� � ��
, ����� �� ��� � +�� �� �� � �
� �� � ����� � � �� � � �
� �
������ � ��
�����
����������� � �
�
�����
����� � +����� ����� � �
�
������ � � +
����� � + � ����� � ��
����� � +
����� � + � ����� � ��
�����
����� � + � ����� � ����� ��� � �
� �� � � � � � �� �� � �� � � � � �
� �� � ��� �� ���� � �� ��� � �
� � +��� ��� � �
��� � +�� ��� � �
� � +�� ��� � �
�
�� ��� � �� ��� ��� � �
� �� � �� � � � *� �� � ��
� &��'��� �*1
� �� ���� � ������� ���� � �� ��� �� ���� � �
� �� �� � �� � �� � �� ��� �� �� � � ���� � �
� �� � �� � �� � �� �� �� �� � ��
� � �� �� � �
� � � � � �� �� � ��
� �� �+� ��� �$� � � �� � � � � �
� � � � � *� � � � � � �
� � , ������ �
� �� � � ����������� �
� �� � ����� ����� �
� � � �� �� � �� � ��� �� � � ���� �� � � ��
�� � � �� �� � �� � ��� �
� � � ��� �� � ��� � �
� �� � �� � � � � � �
��� � ��� �� �+� ��� �$� � � �
� � � � � .� � � � � � �
� � � � � ��� �
�� ��� �� �� � ����������� � ������� � ��� � �� � � � ���� � ����� � � �� � �� � � ��� � � � � � � � �
� �
� �� �+� ��� �$� � � + � � � �� � � � � � � � � � �
� � � � � �� � �� ��� �
� �� � � �� ���� �������� ��� �
� �� � �� ������ �
� � � ��� � �� � �� ��� � �� ��� � ��
��� � � �� �� � �� � *� � �
��� � ��� � �
� �� � �� � � � � �
�* �� � �* �
� �� �+� ��� �$�� � �
� � � � � ��* � � � � �
�* � � � � .� � � � � ��
�*� � � � �+�* � � � � ��
� � � � � ���* �
����,�-�*8%
� � � ��� � ������ � �� ���� ����� � ���� � �� �� ���� � � ������, ��� � � ������ � ��� ��� � � ����� �����
���� � ����� ��
�� ����� ��� � �� ��� � �� �� ��� ������
$��� � � ������ � � �� ���� � � ������ � �� ����� � � � ������ �����$���� � � �� �� ���� � �� �� ����
� ���� � ������� ��� ����� ����� � �� ��� � �� ��� � ����� �����
�� ����� � �� ���� � ������
�� ���� � � �� ���� � ������� ��� ���� � ��
�� ����
�� � � ��� � �� ���� � � �� ��� ����� � ���� � � ������ � � �����7��� �� �����# �� � � ��� � � � � ���� � � ������ � � ����� � �� � � �
� � ��� �� ��� � �� ���� � � �� ��� � + �$� ���� +�
�+ � ��� ���� � �
!� �����# �� � � ��� �� , � ���� � + ����� � ������ � � ����� � +
������ � ������� � �� � �� � �� � ��� � ��� � � �� � �� � � ��� � � �� � � � � �
� �
!$� �� � �� � � �� � �
� �
�������� �
�� � � ��� � � �� �� ���� �
� �� ����� ���� � � �� � �
� ������ �� �� � � � �
� ������ �� �� � �
, ��� � �� ������ �� �� ����� #��� � �� �
�� ��
������ ���� � � � ��
�� ��
������ ���� � �
�� �� �
��
+�� ��� � ������ ��� � � ����� � �� ���� ����+
� � ����� �� � �� ��� ��� �� � ���+� � �� �+�� � � �� �
�
����� � �
�
����� � � ���� +� � �
,� �
��
+�� ���� �
� ���� � � �� ������ �
� ��� ��
��
+
� � �� ����� �� � � �
� ���� �� ��
� � � +� + � +
��
x
y
O π12– π1
2
1
� ��� � + ����� ������ � +����� � +� � �
� �� � �� �� �� �
� ���� �� �$� � � � �
� � � � � �� �
���� �� �
��
����
�������� �� �
��
����
���� �� ���������
� �� �� �
� �� �� ����� ��
��
����� �
� �� �� �� ���� �� � �
� �� �� �� ����� �
� � �� �� �
� � � �� �
�� &��'��� �*1
� ��-�
����,�-�*%+
� � �� ��� � � �* � + � �) �$� � � � � �* , �� ��� � � �++ � + � ���) �$� � � ��� � �++� �� ��� � � �++ � & � �)�) �$� � � �++ �)� � �� ��� � � �++ � & � �
�) �$� � � �++ ����
� � �� ��� � � �*+ � + � +)�) �$� � � � �� � +)� ��� �+ � �*+ , �� ��� � � .++ � + � � �
�) �$� � � � �� � �� ��� �+ � .++
�� ��� � � �++ � & � �) �$� � � �� �� ��� �+ � �++ � �� ��� � � ��++ � & � � �
*) �$� � � � �* � �� ��� �+ � ��++
� � �� ��� � � ��+ � + � �* �$� ������ ����$�� � � �* � ��+ � ��$������ ����$��� � � �� � �* ��� �+ � ��+
, �� ��� � � ��+ � & � �)* �$� ������ ����$�� � � ��+ ��)*� � ��$������ ����$��� � �)*� �� ��� �+ � ��+
�� ��� � � ��++ � + � ��+ �$� ������ ����$�� � � ��+ � ��++ � ��$����������$�� � � � �� � �+ ��� �+ � ��++
� �� ��� � � ��++ � & � �� �$� ������ ����$�� � � ��++ ���� � ��$������ ����$��
� � �� � �� ��� �+ � ��++
� � !� �*� ���� �� ��� � ��� +�� , !� �*� ���� �� ��� � �+. +�* !� ������ ����$�� �� �� ��# �� � � � � �
!� �*� ���� �� ��� � ��� � � � ���� � � ��� � !� ������ ����$�� �� �� ��# �� � � � � �
!� �*� ���� �� ��� � ��� � � � �.�*
���������
0������� ��
� ����-�
����,�-�*1#
� � &����� � � � �� � �� � �
�+ � �++ � +� � �� � �++ � �+
!� ������ "��� ����� "�# �+) ��) ��) �++) ��+) ��+) �*�
D�7�:���� � � �� � � � �� � �� ��� �+ � �+ �
"!�����6 �� :
!� ������ "��� ����� "�# �+) ��) ��) �++) ��+) ��+) �*� , &�
���� � �� � +� � �� � �� � �� � ���� �� � � �� *�+ � +� � �� � �+� �� � � ��� *�
!� ������ "��� ����� "�# *) ��) ��) ��) �.) ���) ��*
D�7�:���� � � �� � � �� � � ��� �+ � * � �� � � �
"!�����6 �� :
!� ������ "��� ����� "�# *) ��) ��) ��) �.) ���) ��* &�
���� � � � �� � ���+ � �++ � +� � �� � �++ � �+
!� ������ "��� ����� "�# �+) �+) �+) �++) ��+) �*�+) �.�+
D�7�:���� � � �� � � � ��� ��� �+ � �+ �
"!�����6 �� :
!� ������ "��� ����� "�# �+) �+) �+) �++) ��+) �*�+) �.�+ � &�
���� � � � � � � � � ��+ � �+ � +� � �� � �++ � �
!� ������ "��� ����� "�# �) *) �+) �+) ��*) �+�) *�+
D�7�:���� � � � � � � � � � �
"!�����6 �� :
!� ������ "��� ����� "�# �) *) �+) �+) ��*) �+�) *�+
�� 0�������
� � &����� � � � � � *
+ � +� � �� � �++ � +
0� ��#�� +�+ � ��+ �$���+
�+
� � � * � � ��+
D�7�:���� � � � � � * �
"!�����6 �� :
0� ��#��"
��+ � ��+ �$���+
�+
� � � * � � ��+
, &����� � � � * �� � ��
+ � + �� � �++ � +
0� ��#�� +�+ � ��).. �$���+
�+
* � �
� ��)..
D�7�:���� � � � * �� � �� �
"!�����6 �� :
0� ��#��"
��+ � ��).. �$���+
�+
* � �
� ��)..
&����� � �� � �+
� � � � � ���* � �+�+ � +� � �� � �++ � ��+� � �+���* �� �+�
0� ��#�� +�+ � �.)�� �$���+
��+
� � * � �+
� �.)��
D�7�:���� � � � � � � ���* � �+� ��� &�,�� 7���� � �+ �
"!�����6 �� :
0� ��#��"
��+ � �.)�� �$���+
��+
� � * � �+
� �.)��
� &����� � �� � *
� � �� � �+���� � �+�+ � +� � �� � �++ � ��* � �+����* � �+�
0� ��#�� +�* � ��)�� �$���*
�*
� � �+� � �+
� ��)��
D�7�:���� � � � �� � �+���� � �+� ��� &�,�� 7����� * �
"!�����6 �� :
0� ��#��"
��* � ��)�� �$���*
�*
� � �+� � �+
� ��)��
0������� ��
����,�-�*13
� � � �� �� �� ��* � �
� �� ��+� ��+� � ���+, ��� � �
� �* ��+� � ��� �+� � ��++
� � � �� �� �� ��+ � �
� �� ��+� ��� � �**�, ��� � �
� �+ ��+� ��)�� � ����
� �� �� �� � � + ����� �*+� � � +
� � �*+ � �.)*
��. � � � + � ��� � �� � +��. � �
� �� ��*+� �� � ����!� ��� �� �� ��������� ����� �� �� ��# �� ����
� � � �� �� ��
��+ � �++ ��� +)������ +)�
� ���)�+
, ��� � �++ ��� +)��*��� +)�
� ���)��
�� � �� �� �� ��� � � � � & � �)�*
�� � ���� &�+��� &
� � ��� �)�*�+��� �)�*
� ���)��
�� � � �� �� �� ��� � � ��+ � + � �� ��+� � � ����� � ��� � ����� � �
� �� ���+� ���� � ����, � �� �� �� ��� � � �+�� � & � � �
� �+�� �� �
�� � �
�� ��� � �
�+�� � �+
��+ ��+����� �� �
������� �� �
��� ���
�� � � �� �� �� ��� � � �+ � & � �)� �+ �)� � �*)����+��)� � �)*����+� � .
�. � �+��� �)����� �)�
� ���)���
, � �� �� �� ��� � � �)+� � & � �)+� � � �)+� �)+� � �)+� ��
�)+� �� � �)+��* ����� � � � �* � ��
��� � �)+���� �)+��*��� �)+�
� ��)���
�� 0�������
��9��!�����(! ���������
����,�-�*18
� � � $��,����� �
� *+++ �+++ *+ * +
��� � �� +)+++� +)+++� +)+++. +)+��+ +)�*++
���� � *+++ +)+++�� �+++ +)+++�� *+ +)+++.� * +)+��+� + +)�*++� +)*� +)�� +)+�*� +)��*� + � +)��
!� �������� $��,����� � �� � +)��) �$� �� �������� �������� �� �� �� �� �� �� �)*� ������
, �@�� ��� � �- �- ���#� � � �� � @��� ���#� 3
� ���*++
.
� ��+ +++
.
� � � +)�+� @� ��#� ������� +)�+�.�3
:C �@�� ��� � �- �- ���#� � � �� +)�*. � +)�+�
� @�� ��� � �- �- ���#� � � ���*++��
� ��+ +++
��
� � � +)*��
:C �@�� ��� � �- �- ���#� � � �� +)�*�� � +)*��:���� +)*�� �� � +)�+� ����� 8�� ��� ����#
� � � @�� ��� � �- �- ���#� ,�# � ��� � � +)�+�.� � +)�+���7��� �� ��� � ���� ���
� @�� ��� � �- �- ���#� � � ���*++
� ��+ +++
� �&����� � �� � �� �*++ D� � � �+ +++ D� � !� ��,�� ��������� � �� �� �� � +)�+������� � �� �� �� � +)����� !$� �� ��� � �� ����
����� �� �� ����
����� ����)� ��
D����E��,��� ��������� � �� �� �@�� ��� � �- �- ���#�3� +)�+��� ���� � �� �� �@�� ��� � �- �- ���#�3� +)����� !$� �� ��� � �� ����
� � � !� ���� "�# � �� � � � ��)��@ �������3� +)�*� � +)���*
� �@���������3� �� �@ �������3� �� +)�*� � +)��**!� ������ ���� "�# � ��)�� � � �)� � � ��)�
� ) "�# �� ���� ,�# �� ����,� ����� ���� �� ���� �� �����
� �� ��
��) � �� +)���* +)��**
��)� � �� +)���*� �� +)��** � ��)�� �$��
E�� �� ���� �� ��� ��)���� � *)��
, 5�# ������� $������� "�# �� ���� * �� � � � ��)� � �� �@ �������3� +)�** � +)..�� 5�# ��������� ���� "�# �� ������ ���� � ��)�� * � �)� � � *�)� !� � � �� �@��������3� �� +)�** � +)���� ��)� � �� +)..��� *� +)���� � �.)+* �$��
E�� �� ���� �� ��� �.)+**� � *)��
5�# ������� $������� "�# �� ���� �� � � � � � �$�� !� ,�#,����� �� � � �� +)�* 5�# ��������� ���� "�# �� ���� � � �� � � �+ � � �$�� !� ,�#,����� �� � � �� �� +)�* ��)� � �� � �� +)�* � ��+ � ����� +)�* �
� � +)�* � � +)�* � �+ � �+ +)�* � �� � +)�*
� �+ � � +)�* � �
!$� � � ��)� � �+ � � +)�* � �
� �+� � +)�* � �
� ���� � �� � �+� � +)�*� � ��
!� ��,�� ��������� � � �� � � *)������ � * �� � � *)������ � � �� � � *)�*!$� � �� �� ����� ���� � *
����,�-�*1%
� � ����� A���� ����������+��� **� �+� �� � +)�+*�*!$� +)�+*�* *+++ � *�� ����� ����� �
σ = 4µ
opp = ?
= 60
M
K55 63
���� ��������**� ��� �+� �� � +)��..!$� +)��.. *+++ � ���� �����
, � ����� � "���� *+++� *��� ���� � ���� ����� :�,�� ��� �� *�� +)+�� ���� +)�+� ���� +)�� � � *+�)+* !� ���� "�# �++� *+++ +)+�* � � �.*)�!� �� �� �� �$� *+�)+*� �.* � � ���)+*
�� ����� ����)�
����� ���?$� ��� $�$������� ���?$� ��� ��������� $�$������� ���?$� ���
��++9���� � � �)*���+9���� * . �)����+9��*� �� �� ��)����+9��.� �� �� **)+���+9���� �* �� ��)�*+++9*+�� �* .� ��)**+�+9*+�� * .� ��)�*+�+9*+*� � �+ �++
– µ – σ
0,10,05
0,01
0,2
0,51
2
5
10
20
30
405060
70
80
90
95
98
9999,5
99,899,9
99,95
99,99relatieve cumulatieve frequentie
µ50405020500049804960494049204900
aantal eieren per dag
E$ �� ����� ������# �� ����� ��# ) �$� �� ������ ,� ����� � �� ��������� � J�� �� ���$$�1 � � ��.� � �� � � ���� �$� � � ��.�� ���� � ��
� � ���� ����������+��� *+� ..� ��� � +)+���!$� �� ����� � ������ +)+��� �� +++ � ��.��"� �����$��
σ = 13µ
opp = ?
= 77
50
, � ����� � ��������*+� �*� ..� ��� �� +++
�+� �* ,����
� ����� �� ���������*� �+� ..� ��� �� +++
�+� ��� ,����
� ����� ��� ���������+� �+��� ..� ��� �� +++
�+� ��* ,����
!� ��,�� ��� �� �* *� ��� .)*+� ��* �).* � �*++ �$��
����� ����)� ��
� � � .��+ � �)� $$�
���� ���������+� �+��� �� � �� � ���*+
���� � �� � ���������+� �+��� �� � �� � �� � ���*+
!� ����� � ������ ����� � � .)�+ �$� � � .)�+ ������ ��$$� � � $$�� � ���������� �+��� . �+� � �� � +)�.��� �� ,������#� ��� �*+ +)�.� � �� �� ��� ��� �� � $$�
����,�-�*11
#$$3/� <���
� � ���� ����������+��� �++� ��+� �� �� � +)���σ = 12,8µ = 180
200
�@���� ���� ����� �� �++3� +)���� � +).��
, ���� ���������..� �+��� ��.� �� � +)�.�σ = ?µ
opp = 0,278
= 167
177167
���� � �� � ���������..� �+��� ��.� �� � �� � +)�.� !� ����� � ������ ����� � � ��)�� !$� � � �.)+
#$$#/�� ?� ��- @����
� � ���� ����������+��� �� *� *�� ��� � +)��+)σ = 16,0µ
opp = ?
= 52,0
44,5 52
�$� � ������ ��)+;
, � � �8����+ �*� *�� ��� � ��)�σ = 16,0µ
opp = 0,25
= 52,0
g
!$� �� ��$$� �� ��K��
����,�-�*1:
4� ���� ��� � ������ �*; �� ��� �� ������"� ����� �� ��$$� �.K��) �� � �� $�$������� ���?$� ��� �� �. �� �+
� ����� ����)�
� �� � � ��)*�� � � �*)*
��+�� �* � ��� � ������ � ��)�;�
�� �� � ���� �� � ��
����� � � ��� � ������ � �*)*;�
!� �������� � ��� ��; � �*;) �$� �� ������� � ������� ������# �� �� �$��������� �� �� ������ ������� �
����,�-�*17
#$$*/�� �����
� � � � �� ��� ������� � �� � +)* +)�� +)* +)� � +)�
� � �
��� � �� +)� +)�
���� � � +)�� � +)� � �)�!� �������� �������� �� �)�
, !��� �����#� � ��=����� "��� ����) �$� $� �� �- �- �����# �� � ���� �� $�� � +)�� � +)+�����- �- � � � +)�� +)� � +)��� �
� � � +)�*� !� � � ��� G�� � ���= ����� � �� ����� �� ��� $ � � ������ �� � �
. � �.
!� � � ��� G�� � ���= ,���� �� � � �� ������ �� �� �� �� �
� � ��
!� � � ��� G�� � �� ����� �� ��� ���= � ����� �� �$� �. �
� � ���
�� ������������
����,�-�*1+
� � ��� � � ��
�� � ���
� � ��
�� � � � � �� �
�� � � �� �� � � +
��� ����� ��� � +
� � � � � � ��
x
ƒ
y = 314
y
O
V
612
���� �� �
��
���� �� � �
��
��
�� �
��
���� �
���� �
�
�
��
� � �� �� �
� �� � � �
� � ���� ����� �� �
�� �� � �� � ���� �� �� *
�� ���� � �
� � ������ � �*
��� � �� � ��� � � �
� � ���� � � �*��� � �
� � ����
����� ����)� �
, ���������� � �� �
�
�� � ���
�� �� �
�
����
� ��
�
��
� �� �
� � � �� � ���� ��
�
� � ��� � �
� � ���� �� ��� � �
� � ���� �� �� � �
� � ���
x
y = p
y
O
1
2
1
x = 1 x = 3
2 3
� �
�� ����� � �
� ������������ � �
� � ��� � �� �
�$� � �� � �� � ���
� � ���� � �� �
� � �� � ��� ����� � ���� � �� � ��� �7��� �� �����# �� � � ��� � � � � ��+� � �� �$� � � ���� ���+� � �$� ���� �+� �
� � +� � � �
!� �����# �� � � ���� ���� � ���� �� �
� � �� � ��� � ���� �� �
� � �� � +����� �� �� � +� � + � � � ��
x
ƒp
P
y
O–3
V
���� �� +
������ � ����� �� �
��
�� +
����� �� � �� � ��� � ��� ���
�� +
����� �� � ����� � � ��� �
� � �� �
��+�� � +� ������ �� � � �
�
, � ���� � + ����� �� � ��� � � +��� ����� �� � +� � �� � � � �
�� � + �$� �� � ����� � + ����� �
� �� � �� � � �� � + � � �
�
���� � �� � �� �
� � �� � ��� � ��
!� ����� "��� ����� � � �* � � � �
���� �� �
�*���� � ��)+++
�� ����� ����)�
�� �� � �� � &� ����� �� � &� � ��
!�,�����#�� �� �
�&
��&
�����
�� �
�&
��&
��&� � �����
� ��&��� �� �
��� ���&��&
x = r12
x = r34
x
y
O r
r
–r
–r
� ���� &� � ��� &
�� � ���� &� � ��� &
��� � ��
��� &� � ��
��� �&�
!�,��� � �� �&
�
!�,�����#��!�,��� � �++; �
������&
�
�� �&
� �++; � ��)�;
�$� � ��)�
�� � � �� �� ���#���� �� � �� ��
32
60˚A
CD
E B22
4
44
�� � � �� ��+�� � ������
�� � � ����+�� � �!�������� � !������ � !���� ���� � !������� !���� ���� � � � �� ���
�� �� � ���
, �0 � � �� ��+�� � �
30˚30˚
A
CD
B
M
2
4
44
�0 � � ����+�� � ������
!�������� � � !������� � �
� � �� � ����� � * �
� ������
���� ��&� � �� 0�� � �� �� ����� �� � ���
� ! � ��� �0� � �
� � �0�
� ��� ��
����� �� � �
� � ��
� ��� ��
����� � �+ �
� � � �������� � �+ �
� �
�� � �+��� � + ����� � �� �
� � �� � +� �
� ���� � ��� � +� � + � � � �����
��� � � � � �����
���
x
y
ƒ0
O12– 12
x = p
V
����� ����)� ��
���� ��
+�� �
� �� � ����� � �� �
�� �� � ����+
� �� ���
� � ��� � + � � ���
� � ��
���� � �+ ����� � ���
� � �� � �+ ���� � �� � � �
�� �� � ��� � �� � �+
!� ����� � ������ ����� � � �)�� �$� � �)��
,� �
+�� �
� �� � ��� ����
� �� ��� �
� � ��� � ����+� ��� �
�� ��� ��� � +� ��� �� �
�
x
y
O 3
ƒ–7 1
12
ƒ– 5
12
���� � �+ �$���� �� �
� � �+ � ��� �� �� � ��+
�� � �� �� � �� � ��� �
�
� � � *�� � � � �. �
��
������� ���
����,�-�*:$
�� � /�� �� ���$$�
12
1220
MN T
A
16
�� � ����������������������� � ���� � �+
���� �0��
�$� �0��� ��
��
�0��� �+
��
�0 � �+ ����
� �*
!� ������ �� �� ,�� �� �*
, 0� ����������������������*� � ����
� �������� � �
A��� ��� ������� � ��� �$ � 0 !� �������#� � �� �� ���� �� �� � �� � ��*) �$� �� � ��*� ��
!����� �� �� ,��� �� �
��*����*� �����
���� � �� � ����*� ��� � �
��*���� � �� ��.
!������ � �� � ��� �� � �
� � ��� �� � ����!�"� � �� ��.� ���� � �* +�+
�
�� ����� ����)�
#$$*/����)����
�� � � ��� � ��� �
� � ����� � ���� � ��� �� +� � ���� ��� � ��
��� ���
� ��+� � ���� �� �
� �$� � � �� �� � �� �� �����# �� �� ������ �� � � �
� � �� �� � � �#�� ��� �� ��# �� �����
�� �� � � ��
� � ��
� � �� ���� �
��������� � * � � �+�������� � �
� � �� � �
�
xA
BCD y = –2
y
O
x = 5y = –1 x12
!� ���������� �����$�� "�� ��� �� � � �
�
����� � � �� , ����,5� � ��� �
+� ����� �
� �
+
��� �
� �
�� � �� � ��� �� � ����+
� � � ��� �� � ��� � � � � ���� � � � � ��� �� � ��� � � ��� �� �
+� �����
� �� �� ����� �� � ��� �� � ��� � � ��� � � �
� ����� � �� � �� � ��� �� � ��� � � ��� � �� � � �
� � !� ����� � ������ ����� � � *)+� �$� � � *)+�
����,�-�*:*
#$$*/���������� ���,��
�� � ���� ���� ������
ckI
IIck + 1
tk tk + 1∆t
� �� �� �� � �
� �� ����
� �� ��� � ����� ��
, �JD � �� ��+ � ��� ��� �
� ��� � ��� ��� � � �� �� �� �� � � � ��
� ������+ � �� � �� � �� � �� � � � �� � �� � � �� � � �
� ������+ � � � ��� � ��� � � � �� �� ���
� ������+ � � � � �
������� � ��� � � � �� �� ���� �
�����+ � � � ��� ��� � �� � � � �� � ���
� ������+ � � � ���
� ��
��
�
� �� ��+ � � � �
� ��
��
�
� ���
����� ����)� ��
�JD �� *
�����
�����
��� � �����������
��*�
� �������� � �����+� � ��� ����
� �JD � ��� ���� � **)���*�
��� �� ����$�� �� ,1
�JD � �� ����+ � ������� �� ����
�� � ����
�� � � � �� ������
�
� � �
�
� ��+ � ���� � ������� � ��
�� � � � �� ����
��� ��+ � ���� � �� ��� � ��
��
���� � �
� **)�����
����#� � � **)������ **)���*�**)���*�
�++; � +)*�;
����,�-�*:#
#$$3/������� ' �(��
�� � � ��� � �� ��� �� ���� ����� � ���� � �� ���� � �� �
��
� ���� � + ����� �� ��� � +
�� � �� � � � � � ��
� ��� � � �$� ��� @�) �3� ���� � �� �$� ��� �������
, � ��� � * �����
�� ��� *
�� � � � *��� � *�� � � +��� ����� �� � +� � � � � � �
x
y
1
2
3
4
5
O 1 2 3 4 5
����� �
�*� �� �
�
� �� ���
�� �
�*� �� �
�
� ��� � �*�� �
��� � � � ������
� �+� �� � � ���� � � �*� ��� � . �
�� � � ��� !� ����� ��� ���# ����� �� ��� "� � �� � � �
!� ��,��� ��� ���# ����� �� ���
"� �� �
�
�������������������������� �� ������
�� �
� �
�
������������������������������� �� �
��
� ��
��
���� � �� ������������������������������ ��� �
����
� �
��� �� � �).�
:���� � "� � "� � �).�
�� ����� ����)�
#$$3/�� ���)�����
�� � � ��� � �� �
� ����� � ���� � �� �
� ���� � ��� � � �� � � �$� ����$ � ���� ��� � �� ����� ��
�� � �� ��� � �
!$� � � �� �
��� � � ��� � ����� ����� ���� � ���� � �
��
���� � �
��� � �
�� � �� � � �$� ����$ � �������� � �� ��������
��� � �� ��� � �
!$� � � �� � !� �����# � � �#�� �� �9�� � �+���� � �+���� !� ����� ��� �� ��� ����� � �� �$� �
, � ��� � �� �
� �$� ���� �� �
�� � ����� �� �
�� ��� � � �
�� �$� � ��� ���
� �� � ���� �
��
� �
��������� � �� �� �
� � ���
� �� �
� �� � �
�
���@������� ,��� �� ������ �� � 3� � ��+
�� �
� � �� �
�� �
�� � � �� �
��� ��� �
�� ��
+
� � �� �
� � ��� �
�� � � �
� ��
���@������� ,��� �� ������ �� � 3� �� ��������� �����
�� �
� � �� �
� � ��
��� �
� � ��
�� � ��� � �����
����
����� ����)� ��
���'���� � ����'����
����,�-�*:3
� � � ��� � ��� � �� ���� �����
� ���� � ���� ����� � ��� � �
� ���� � ��� � �� �� � �
����� ��+� � �� �
�
� ��+� �� � �� ����� �� �� �� � ��
�� � ��
!$� �1 � � �� �
���� � �� � ��� � �� ���� � �� � �
� � !� ����� � ������ ����� � � �)�� � � � �)+� �$� �@�)��B �)+�3
,
x
l
m
y
1
2
O 1 2 3–1–2–3
� �� ��� � + �$� �� �
� � +� ��� �� �� ������ �� � � ��� �
�� � �� ��� �
�� � ������
� � � �� ������
7��� � � � �
� ������
�� ����� �� �
� � +��
+ � � �� ������ � �
�� �� ������ � �
!$� *� � � � �� ������
�� � �� ������
�� �� ������ ��"���� ��#
(����# ���� �� �� � +�) �$� �� �9��L ��� ��� �� ��� ����$ � ����� $�� � ���� � � ���
�� � ��
��� � �� �� � �
���� ���� � �
� ������ � �
��� � �
��� � ��
�� �� � �
���� � �
�
�� �� � ���
��� � �� �� � �
����� � ��� � �� � �
� ���� � �
� �� � ������ � �
�� � ���� � ���
�� � ���� � �
� � ���� � �
� �� � �� � +
��� � ������ �� � +
� � � �� � � � ��
�
�. � � ����� � ��� ��� � �
����� � ���
7��� .� � � ���
�� �
���� �� �� � +�
��� + � �� �
�
�� �
���� �
!$� .1 � � ���
�� ���
�� �� ������ ��"���� �����#
��� ����� ����)�
� � � ��� � �� � ������� � �� � ��
�� ����� � ���� � ��� ��
�� � ��� ������
����
�� � � ��+� �� ��� ������ �����) �$� � �� �� �������� ��# ���� � !�� �� �� �9�� �* � � ���� � �� �
� � �7��� � � ��� �� ��� � �� �$� ���� ��
�� � �� �� � �
!$� *1 � � ��� ��. � � ����� � ��� �
� � ��7��� � � ��� �� ���� � �� � � �� �$� ��������
��� � �� ��� � �
!$� .1 � � ��� �
x
k m
l
y
O
* � . � �#�� ����� � ������� � � * � �#�� ����� � @+) �3� � . � �#�� ����� � �+����!� ���������� �� �
� � � � �
, (����# ���� �) �$� �� �9��L ��� ��� �� ��� ����$ � ����� $�� � ���� � � ����
��� ���������� � �� � �
������
����� � 1 �� � ��� ��
�� � �� � ��� � ��
�����
!� ����� � ������ ����� � � �)*�� � � � �).�� !� � �� �� �����# �� � ������ �).��
�� � � ��� � � ����� ����� � ���� � � ����� � � ����� �� � ��� �������
� ����� � �� ����� � ��� ������� �� � ���� �������
� ����� � + ����� ���� ������� � +��� � � +� � �
� ��� � ���� � ��
�$� ��� ,$���$ � �� �� ��
� �
����� ����)� ���
, � ��+� � �
ƒ
x
y = ax
y = exy
O
/�� �� ���$$� � ����� � �� ����� �- �- ������� � ���� � + � � � �
� � ���� �� ����� � � � � ���� ���� ���� +�
ƒ
x
y
O
4� "�# ���� �����# � �� �� ��������� ���� ���� +� ��� !� �9��L ��� ��� �� ��"� ����$ �� ����� $��
� ���� � � ����� �
��� ������� � � �����
�� ���� ����� �� � ����� � �� � ��� ����� �� � �� � � !� ����� � ������ ����� � � +)�� � � � ��)�� ������# � � � ��+� ��� � +)*�������# � � � ����� ��� � �*)������"� 1 � ����� � ���� �� ����� ��� ������� � ���� +)*� � � � �*)��
� (����# ���� ���� +� �$� �� �9��L ��� ��� �� ��� ����$ � ����� $�� � ���� � � ����� �
��� ������� � � �����
�� ���� ����� �� � ��� �� �� � �� � ��� � ��� � � +!� �������#� � ����� ������� �� �$�� � +����� � � � � � +�� � �� � +���� �� � +
0 4
�$� � + � � � �
�� ����� ����)�
�� � ���� + � * ����� ���� � �� �$�+��� � �� � +�+� � �� � � +�*� � �*� � � �� �K� ���� * � �� ����� ���� � �+ �$�+��� � �+�� �+�*� � ��
��� � *+� ���� � �
!$� +��� � �+�� �� +���� � ��+� �� � �� �K�
,� *
+��� � ���� � ��� �� � ���*+ � *� �
�� ��
*��+�� ����� � �*�� � ������
* � �*�� �* � ���
���� �� � �� ����� ���� � �*�� .+) �$� +��� � �� �� �
� � .+�� � +���� � �� ����� �� � ���+� ��+� �
���� � ��$� +��� � �� �
� �� � .+�� ���
���� � �� � �� �� �
� � .+�� ��� � ��
������ � �+� �
�
!� ��������� ��� �� *� ��� ���� �+� �
� � .+.)+ � �� �� � � �� ����� +��� � �� �
� �� � .+�� ���
���� � �� � �� �� �
� � .+�� ��� !� ����� "��� ����� � � �+)*. !� ,����� � �$$�� � ������ �+)� ��� �� � �+�*.
������ � �.�)�
2�� �����#� ����� � ������ .+.)+� �.�)� � ���+)� � ��������
����,�-�*:8
�� ����� � �� � ��� � � ����� � ����� � ��� � �� � � ��� ��� � ��� � � ��� ��� � + ����� ��� � � +
�� � �� � �
�
�,$�������# � � ����� � � ����� � � �� � �* �
�
5$�������# ���� �) �$� �� �������#� � �� � � �* �� �
!� �9��L ��� ��� �� ��� ,$���$ � �� � � �* �� �
� � �. ��
� ���� � �. �� ����� ����� � � ����� � � � �. �
�
� � �. ��� ��
�.� � ��� � � ��
�.
�� � !� ������� �� � � ��� ��� ���� ��� � ��� � � ���� � ������
��� �
����� � � �
� ����� �
������
���������� � � � ��
��� ����� �
!�� ������� ����� ��� ������� �� �����
���������� � + � ���
��� ����� +
4� �� �$� ��� ������ �� �������� �� ������� ����� ���
����� ����)� ��
, !� ������� �� � � � �#�� ����� ��������) �$�� ��� � ��� � � ���� ���� � ��
����� �
����� � � �
� �����
������ � ��
� ���������� � � �
�����
�����
���� � �� � ���������� � �� � �
�����
�����
!� ����� � ������ ����� � � +)�+�� � � � �
� ���������� � �) �$� ���� � � � �#�� �� ������� ����� ��������
�<��������0� =��>��4���
!� ������� � �#�� ����� �������� �$�� ��� � ��� � � ���� ���� � ��
����� �
����� � � �
� �����
������ � ��
7$,����$��� �� ����� �
�����
� � �� ��
���
������ � �� �����
� �� �����
������ � ��
��
�� ��
� � � � �� � � ��
���� � � � �#�� �� ������� ����� ��������
�� � ����� � ������ � � ��� �����
� ����� � ������� � �
�� ����
�� � �
�� ��
�� � ���
� ��� ��� � � �� ����
� � ��� � ��������� � �
��
� ��� ��� � + ����� ��������� � �
�� � +
��� �
��������
�� � �������
�� � ���
�� � ��� � +����� �� � +� � + � � � ��
x
ƒ2
y
O����� � �� � ���2�� ,$���$ � �� ��� �� � ����
��� ����� ����)�
, ���� � ����� � � ��� ����� � ���� �
������ � �
�
� ���� � + ����� ������ � �
�� +
������ � �
�
� �������� ����
��
7$,����$��� �� � ������ � � �
����� � � ��� �����
� � ������ ����� � � ���
� � �� � ���!� ����� ����� �� �� ������ �� � � �� � ���
#$$#/� ��� ����
�� � +�+� � �� ��+ � �� �K�+��� � �� ���� � �)�* �K�
���� � �)�*� �����
� �)�� �K��
!� ���������� ���� ���� � ���$�� �� �� ������ ���� ��� �� �� �)�� �K�� , :� ��� ������� �$ � �� �� � ������ ����# �� $�
+��� � + ����� �� ����� � +����� � ����� � �
�
��� � � ����� � � �
� � ����� � � �����
��
� �� � ���
!� ,�� ,����� � � ��� ��� �� ��� ������� �$ �
� � ���
+�� ������� � ���� ������� ���+ � �� � ��� � ���� � ���� � � � � � ��� � �� � � ��)��
!� ,�� ��� ��=����� ��� � ����
����������
����,�-�*:%
�� �� �� ��� �����
�� � �� ���� ��� ���������� � �� ����
, ������ � �� ���� � ������ � �� ����� �������� � �� ������ ������ �� ���� � ������� � � ������ � � ������
�� ����
�� ������ �� �� ��� �����
�� � ������ � �� � �� ��� �����
� ������ � �� �������� � �� ���
� ����� �� ����� � �� ��� �� �� ��� � ����� �� �� � �����
����� ����)� ���
�� � �� ��� ����� � ��
� �� ��� ����� � ��
�� ���� � �� ��� ���� � �
� �� � �� � �� � *� �� � ��
� � ��� �� � � � � � *
�� �� � �, ����� �
� �� � �� ��������� �
� �� � ����� �� ����� �
� � � �� �� ��� � �� � �� �
� � � ���� �� ��� � � ���� � *
� �� � �� � �� �� � � � �
� �� ��� � ��� � *
�� �� � ��� � �� � � �
��� � ��� � *
�� �� � ��� � � � �
� �� � �� ����� �
� �� � � �� �������� �
� �� � �� ��������� �
� �� � �� �� �� ����� �
����� �� �� � ����� �
� ���� �
� � � �� �� �� � �� � �� �
� � � ���� �� �� � � ��
+ � �� �� � �� � �� �
� � � ��� �� �� � ��
��� ������� � �� � � *� �� � ��
� � � *�� �� � �
� ������ � �� ���� � ��
�� � �� ���� � �� ���� � ��
�� �� ���� � � ��
�� ���� � ��
�� ��� � �� � �� ��� � � �
�
�� ��� � �� ��� �� � �� ��� � �� �� �� ��
� � �� �� � �� � � � *
� �� � �� � � � � �� �� � �� � � � � �
� �� � ��
� � � ��� � � ������ � �� ���� ������ ���� � � ����� � �� ��� � � ������ � �� �� ��� ����� � � ������7��� �� �����# �� � � ��� � � � � ���� � �!$� � � ��� �� ��� � � �$� ���� ��
�� � ��� ��� �� � �
!� �����# �� � � ��� �� �� , � ��� � ���� ����� � ������ � �� ���� � � �� ����
� ������ � �� ���� � +� ������ � � �� ��� ����� � +� ����� ����� � �� ���� � � +����� � + � ����� � �� ���� � �
� �� � �� � �� ��� �� �� � �� ���� � �
� �� � �� � �� �� � � �� � �� � �
� �� � � �� �� � ��� � �
� �� � �� � ��� � � �� �� � �� ��� ������� �
� � �� �� � �� � � � �
� �� � �� �� �+� �� �$� � � �
� � � � � �� �
��� ����� ����)�
���� �� �
��
���
� �� ���� � � ������ � �� ������ ���
�
�� �
��
���
� �� ���� � � ������ � �� ����� ���
�� �
��
���
�� ���� � ����� �� ������� � �
�� �
��
���
�� ���� � ������ � �� ��� � � �� ������ � �
� �� ���� � �� ��
�����
� ���� �� �� � �� �
�� �� �� � �� �
� �
� ���� �� � �� ��� � �� ���� ����� ���� � � ������ �$� ���� �� � � �� � ���(�� �$� � ����� � ��� �� � � ������ � ���� ��
+ � + � �� � ������ � �
!$� � �
� � !� �� ��� �� �� �� �� � �$� �� �9��L ��� ��� �� � �� �
� � � �� ��� �� � �
� , 7��� �� � -
���� � � ������ ��-
-��� ��� � �� �-���� � �
�� ����� � � �� �-����-- � �� ����� -� � ��� -� �� �-� � ���-� � - �� �-� � ����� � �� � � ����� �� � ��� ����� ��� � ����� � � �� ��� � �� � � !� ����� � ������ ����� - � +)��� � ��� ����� � �� �-� � +)��
�<��������0� ��<������
J�����,��� �� �� �(
� +)�+ ������ ��+��+�.
+��+�.��� ��� � +)�+��� � �)�*
� +)�* ������ ��+��*.�
+��*.���� ��� � +)�*��� � �)+���
� +)�� ������ ��+�����
+�������� ��� � +)����� � �)+++�
� +)�. ������ ��+��.�+
+��.�+��� ��� � +)�.��� � +)�.�
�$� � +)��
����� ����)� ���
2�� ����� �� �� ���� �� �� �9�� �$�� �-� � �-� � +�� �-� � ���-� � +�� �-� � � ���-��� �-� � � �� ��� �� -��� �-� � �� �-� �
� ��- � -� �
� �� � �� � - � �� �-� �� �� � � ��
��� ������� �� - � �� -� �� �� � ��
�- � � �� �� � ��
- � �� �� � �
- �� �+� �� �$� - � ���
����,�-�*:1
�� � � ��� � ��
��� ��� � ��
�� ��� � � ��
�� ��� � �� �� �� ��
� � � ���� � �� � � � � �
� �� � ��+ � � � � � � � � � �� �$� � � � �
� � � � � � *� �
x
y = –2
y
O π 2π
1
2
–1
–2
����"� ����� � ��� � �� ���� + � � � � � � �� � � � � � *
� �
, � ��� � ��� ��� ����� � ���� � +� ����� �
�� ���� � � ������� ����
� ���� � + ����� ����� � +� � �
� � � � � � �� �
!� ����� "�# ��� �� �� � �� �� �����
�* � � ��
7��� *1 � � � ���� �
���� ��� �� ��
��� � � � �
� �
� �� �
� � ��� �
� � �
!$� *� � � � ���� � 2�� � �#�$ � ��� �� �9�� �� @+) �3
��� ����� ����)�
π 2πx
ƒ
y
O
y = sin(x)12
( π, 1)12
( π, )12
12
(1 π, – )12
12
(1 π, –1)12
/�� �� ���$$� !� ������ �� ��� � � �� �� ��� � ����� $�� �� ������ �� � � �
� �� ��� � ��� ������ ���� +
����"� ����� ��� �� ���� � �#�$ �� "�# ���� � � �� � � �
�
�� � � ��� � ��� ����� ����� � ���� � +� � � �� ���
��� ������� �� �� ���
��� �������
� ���� � + ������ �� ���
��� ������� � +
�� ��� � +� � � �
� �� �+� ��� �$� � � + � � � �� � � � ��� �+� � �� ��� � �� ���� � �2�� ,���� �� ��� ��
π 2πx
y
2
6
O
�<��������0� =��>��4���
�� ����� �� �� ����� �
�� �
�� ����� �
� ��� ����� �
!$� 5� � ��� ��
����� ����)� ���
, � ��� � ������
��� ����� � � �
�� �������� �������� �
�� ������ � ������� � � �
� ����� � � � ������� � � �
� ����� � � � +����� � �� � ����� � �
�
� � � +����� � �� � ����� � � �
�
��� ������� �� ����� � ����� ��� � �
� �� � �� � � � � �� �� � ��
� �� �+� ��� �$� � � �� � � � � � �
� �
� ���� � � �
� ��
� � � � � �� �
� � � �� �
�
� �
!� � �#�$ �� "�# ��� �� �� � �� �� �� ��
�� � � ��� � +� �� ���� � �� ��� � +�� ��� � �� ��� � �� � +��� ��� � + � �� ��� � � �
�
� � � � � �� ��� � �� �� �� ��
� � � � � � � � ���� � �� � � � � �
� �� � ��� �� �+� ��� �$� � � + � � � � � � � � �
� � � � � � *�� � � � ��
, ��� �� �
+� �� ���� � �� ���� �
�� �� �
+����� �
� ������� � �� ������ ��� �
+�� ������ � �� ���� ��� � �� �
� �� ���� � ������ ��+
� ��� ��� � ���� � �� �� � � �� �
� ��� � � �� ���� � �� ��� � �� ������ � �� ��� ������ ���� � � �� ���� � ����� � � �� ��� ����� � ����� � ���� � + ����� � �� ��� ����� � ����� � +
����� � �� ��� � �� � � +����� � + � �� ��� � � �
�
� �� �+� ��� �$� � � �� � � � � � �
� � � � � � � � � �� ����� � �� � � �� �� �
� �� � �� � � �
� ��� � � �� ���� � � �
� � ��� �
� � � ��
� ��� � � �� ���� � � �
� � ��� �
� � � ��
π 2πx
ƒ
y = p
y
O
����"� 1 � ��� � ����� ���� ������� �� ���� � �� � � + � + � � �
��� ����� ����)�
�� � ��� � � �� ��� � ������ ����� ���� � � ����� � � �� ���� ���� � + ����� � ����� � � �� ���� � +
����� � �� ��������� � ����� �� ���� � �
� �� ��� � �� � � � ������ ��� � � ���� � �
� �� � �� � � � � �� �� ��� � ��
� � �� �� � �
� � � �� � � �� �� � ��
� � �� �� � �
� � � � � �� �� � ��
� �� �+� ��� �$� � � �� � � � � �
� � � � � *� � � � � � �
� �
��� �� � � ��� �
� � � ��
� ��� �� � � �������� �� � � �
� � � ��
��� ��� ��� �� � �
�� ���� �� �� ������ �� �
��� �� � � �� � � �
� ��� �� � ��
���� �� �� ���� ��� �� �� ������ �� �
�*� �� � � ��� �
� � � ��
� �*� �� � � �� ��
����� �� � � �
� � � ��
��� ��� �*� �� � �
�� ���� �� �� ������ �� �
�� �� �� � ��� � � ��
� �� �� �� � �
��� ��� �� �
� �� �� ���� ��� �� �� ������ �� �
!$� ���� ����� �� �� ������ �� ����� �� �� ������ �� � , � ��� � ���
ƒ
g
π 2πx
y
O
� ������ � � �� ��� � � �� ��� � ������� �� �� ����� �� � �� ��� � � �� ��� � �� � �� ������ � �� ���� � � �� ��� � � �� ��� � �� � �� ������ �� ���� � * �� ��� � � � +�� ���� � � �
� �� ��� � � �� � +
�� ��� � �� � �� ��� � ��
� � � +�� ��� � �� � �� ��� � �
�
������� ��� �� ��� � �� ��� ��� � �
� �� � �� � � � *� �� � ��
� �� �+� ��� �$� � � �� � � � � *
� �
���� �� *
��
���
� �� ��� � ������ � � ������ � � �� ���� �� ���
�� *
��
���
� �� ��� � ������ � � ��� �
� ������� �� � �� ���� ���
�� *
��
���
* �� ��� � ������ � �� ��� � �* ����� � �� �� ���� � ��
� �*�����
� � ��
����� � �
�
����� � *
� �� � ��� ��
����� � �
�
����� � �
� �� � * ��
����� � � �
� ��
����� ����)� ���
� ��� � � ������ � � �� ��� � �� � ������ � � �� ��� ����� � ���� � �� �� ���� � � ����� ���� � �� �
������������������������������������������������������������ �� �� ���� � � ������ ��
"� �� *
��
���
���� � �)���*
���� � � ����� � � �� �������� � �� �
�������������������������������������������������������� � ����� � � �� ����� ��
"� �� *
��
���
���� � �)����
:���� �� � � "� � "� � ��).�
����,�-�*::
�� � ���� � �� ���� � ������ � �� ���� � �� � �� ����� �� �� ���� � � � �� ���� � ��� �� �� ���� � !� �$ ��� �� � ��� � ��� �� � � +
� � � � �
�
, ���� � �� ���� � ������ � ��� �
� ������ � ������ ������ ���� � �� ���� � � �� ���� � ��� �� �� ����� ���� � � ����� ��� ������� �� ����� � �� � � ��� � �� � ++ � � � �+ � � �4� "�# �$� ��� �����# � ��� ��#��� ��� �� ��# � � � ��� + � � �
� �
+������ �
� �
+�� ���� � ������ � � � �
+
��� �
� ������ � ������� ���
� �� �� �
� �� ���� � �� �� ����� ��
+� �� �� �
� �� ���� � �� �� ���� � + � �
� �� ��� � ��� �� ����
!� $������ �� � ���� ���# �� ����� ���� � +�� � � �� � � �
� �
� �� �+� �� �$� � � + � � � ��� � � � �
�� ����� ����)�
�� � � ��� � � ������� �� ��� �����
� ���� � �� �� ���� � �� �� ��� � � ����� ������� �� ���� �� � �� �� ��� � � �� ���� � � ������
�� �� ���� ��
� �� �� ��� � � �� ���� � ������� ��� �� ���� �� � �� �� ��� � �
�� �� ���� ��
� ���� � + ������� �� ��� � ��� �� ���� �� � +
�� �� ��� � � � +�� ��� � � �
�
�� ��� � �� �� �� ��
� � � ���� � �� � � � � �
� �� � ��� �� ���� �� �$� � � � *
� � � � � � �� �
� ���� � ���� �� �
�
� �� *� �� �
�� ��
�����
� ��
� ������
� �� �� �� �
� ��
�����
� ��
������
� ��� � ���� �� �
�
π–πx
y
O
2�� ,���� �� � �� �� �����
������ �
����� ����)� ��
, � ��� � ���� � �.
� ������� �� ���
� �������� �� ���� �
�.
� ������� �� ���
� ������� �� ��� �
�.
� �������� �� ���� �
�.
�������� �� ���� �
�.
. ������ � �� �� ����
. ������ � �� �� ������� �
. ������ � �� �� ������� ������ � ������� � �
�
����� � ��
����� � ����� � � �
�
�����
����� � ����� �� � ����� � �������� � �
� �� � �� � � � � �� �� � �� � � � �
� �� � �� � � � � �� �� � ��
� �� ���� �� �$� � � � �� � � � � � �
� � � � � �� � � � � �
� �
��� ����� ����)�
��*�.�