geriden kestirme hesabı

Geriden Kestirme Hesabı

1.Kaestner Yöntemine Göre ÇözümN1, N2 ve N3 sabit noktalarının koordinatları veriliyor. N noktasında α ve β açıları ölçülmektedir. N yeni noktasının koordinatı aranıyor.

1. Kaestner Yöntemine Göre Çözüm

bulunur. Bir kez de ve açılarının farkının yarısı hesaplanabilirse bu değerler birbirleri ile bir kez toplanıp, bir kez de çıkarılarak aranan açılar bulunabilir.

(-)/2 değerini bulabilmek için N2N=s kenarının hesabından yararlanılır. N1N2N ve N2N3N üçgenlerinden sinüs teoremine göre,

2321

23

23

23

2323

23

2323

21

21

21

2112

21

2121

tt

tcos

xx

tsin

yys,

xx

yyatnt

tcos

xx

tsin

yys,

xx

yyatnt

gon400ψφγβα )( 400

2400

2)(

Kaestner Yöntemine Göre Çözüm

(-)/2 değerini bulabilmek için N2N=s kenarının hesabından yararlanılır. N1N2N ve N2N3N üçgenlerinden sinüs teoremine göre,

sin

sins

sin

sin sin

sinsin

sin

sinsin

sinsin

12

232312

23

12

s

ss

ss

ss

tan

1

sin

sins

sin

sin

12

23

s

sins

sinstan

23

12

dc

dc

ba

b-a

d

c

b

a

tan1

tan1

sinsin

sinsin


cotcot

1cotcot)cot(

tan1

tan1

tan

tan1tan

tan1

1tan

1

1tan

1

1cot

1cot

50cotcot

1cot50cot)50cot( g

)50cot(2

cot2

tan )50cot(

2sin

2cos2

2cos

2sin2

gg

)μ50(cot2

ψtan

2

ψφtan 2/)(

2222

,


ve açılarının bulunması ile problem önden kestirme şekline dönüşür. Önce sabit noktalardan yeni noktaya olan açıklık açıları ve kenarlar hesaplanır.

αsin

γsinss,φ200tt

)ψβ(200γ,)φα(200γ

112N121N1

21

β

ψ

αγγ

sin

sin

sin

sin, 231222231212 sssttt NN

βsin

γsinss,ψtt 2

32N332N3

N3N33N2N22N1N11

N3N33N2N22N1N11

tsytsytsyy

tsxtsxtsxx

sinsinsin

coscoscos


Uygulama 7.04: 8, 7 ve 115 sabit noktalarının koordinatları ile 22 numaralı yeni noktadan sabit noktalara yapılan doğrultu ölçüleri verilmiştir. Yeni noktanın koordinatlarını hesaplayalım.


m9731.928sgon,177.482059129.460

3370.961atnt

m5321.227sgon,280.001541644.227

5060.827atnt

gon95.636970.0000095.63697β

gon62.56577337.434230.00000α1

7878

11581158

gon69.638885)102.51949)95.63697(62.56577(4002

1ψ)(

2

1

gon102.51949177.48205280.00154γ


.dur'gon45.27325ψgon,94.00452

dan'gon48.73128ψgon,139.27777ψ

gon24.36564ψ)(2

1

170.4025869436.94366)cot(5069.638885tanψ)(2

1tan

gon36.9436691.5252943895.63697sin5321.227

62.56577sin9731.928

tan

12

gon102.51949γγγ:kontrol

gon59.0897845.27325)(95.63697200γ

gon43.4297162.56577)(94.00452200γ3

21

2

1


305.41493357183.236sin034.6367082.418393y

041.454807357183.236cos034.6367045.4553418x

m034.636763697.95sin

27325.45sin928.9731

56577.62sin

00452.94sin227.5321s

gon57183.23608978.5948205.17742971.4300154.280t4

228

228

Collins Yöntemine Göre Çözüm

Sabit noktalar N1, N2 ve N3 ’ün koordinatları veriliyor. Yeni nokta N’de α ve β açıları ölçülüyor. N noktasının koordinatı aranıyor.

Collins yöntemine göre geriden kestirme hesabında, sabit noktalardan ikisi ile yeni nokta N’den geçen daireden yararlanılır.


213

21313

133113

1313

yyxxs

gon200ttxxyy

atnt

)()(

,

δ

βα

δ

αβ

δβαδ

sin

sin,

sin

sin,

:,

133313

131131

31 200

sstt

sstt

gonkontroltt

QQ

QQ

QQ


QQQQQ

QQQQQ

tsytsyy

tsxtsxx

333111

333111

sinsin

coscos

δδδ:Kontrol,ttδ,ttδ

ttxx

yyatn

213QQN2QN1Q1

Q2QN2Q

2Q

, t2Q

)(sin

sin

sin

sin,

)(sin

sin

sin

sin,

βα

δ

δ

δδ

βα

δ

δ

δδ

213

21331313

113

11312131

ssstt

ssstt

NN

NN


Hesaplanan bu değerlerden N noktasının koordinatları önden

kestirme yöntemi ile belirlenir.

N3N33N1N11

N3N33N1N11

tsinsytsinsyy

tcossxtcossxx


Uygulama 7.05: Uygulama 7.04’deki verileri kullanarak aynı

noktanın konumunu bu kez Collins yöntemi ile hesaplayalım.


m11274.917s

gon146.218607485.233

8431.788atnt1

7115

7115

gon41.7972695.63697)(62.56577200

gon8.7843762.56577346.21860t

gon50.5816395.63697146.21860t2

Q7

Q115

δ

m18428.37041.79726sin

95.63697sin11274.917s

m15369.27941.79726sin

62.56577sin11274.917s

Q7

Q115

1424298.8128.78437sin18428.370421764.043

4424298.81150.58163sin15369.279413332.255y

74562541.798.78437cos18428.37054544288.58

74562541.793cos50.581615369.27984551773.81x

Q

Q


gon41.7971527.7874714.00968δ:Kontrol

gon27.78747208.78437236.57184δ

gon208.7843718253.212

2534.769atnt

2534.769dy,18253.212dx

gon14.00968236.57184250.58152δ

gon250.5815210767.979

10966.517atnt

10966.517dy,10767.979dx

gon236.571849123.752

5905.730atnt

5905.730424298.812418393.082dy

9123.75274562541.7954553418.04dx3

2

7Q

7Q7Q

1

115Q

115Q115Q

8Q

8Q

8Q


414933.29692sin332.2087809.058421764.043

414933.29507sin174.0064032.234413332.255y

44548073.0692cos332.2087809.05854544288.58

44548073.0607cos174.0064032.23484551773.81x

m7809.05841.79715sin

27.78747sin11274.917s

m4032.23441.79715sin

14.00968sin11274.917s

gon332.2089214.00968346.21860t

gon174.0060727.78747146.21860t4

22

22

22-7

22115

227

22115

Cassini Yöntemine Göre ÇözümN1, N2 ve N3 ’ün koordinatları veriliyor. Yeni nokta N’de α ve β açıları ölçülüyor. N noktasının koordinatı aranıyor. Cassini, problemin çözümü için N1N2N ve N2N3N noktalarından geçen iki daireden yararlanmıştır.

Cassini Yöntemine Göre Çözüm


gontttan

s

)(tt,sin

s

)(tt,sin

s

s

s

gontttan

s

S

S

RR

R

100 , s s

stan

100 s s

ssin

100 s sin

100 , s s

stan

32323

3S3S

23

23223

2S2S

23

21212

2R2

12

12112

1R1R

12

ββ

ββ

β

αα

α

αα

R2R22R1R11R

R2R22R1R11R

tsytsyy

tsxtsxx

sinsin

coscos

S3S33S2S22S

S3S33S2S22S

tsytsyy

tsxtsxx

sinsin

coscos

gon100tt,xx

yyatnt RS2N

RS

RSRS


sin

sin,t

sin

sin,t

2233323N

1121121N

sst

sst

N

N

N3N33N1N11

N3N33N1N11

tsytsyy

tsxtsxx

sinsin

coscos

232121

223N22

1N2211

2NN2

ttγγ:Kontrol

)βγ(200ψ,ttγ

)αγ(200φ,ttγ

gon200tt


Uygulama 7.06: Uygulama 7.04’deki verileri kullanarak aynı noktanın konumunu bir kez de Cassini yöntemi ile belirleyelim.

m668.01795.63697tan

9731.928s

m3547.58462.56577tan

5321.227s1

S7

R115

βtan

s

αtan

s

78

1158

gon277.48205100377.48205100-t

gon184.0015410080.00154t

S7

R115

87

8115

t

100t

gon181.8450895.63697)(100177.48205)-(100t

gon242.5673162.56577)(100280.00154)-(100-t

m9754.82895.63697sin

9731.928s

m6395.37462.56577sin

5321.227.s

S8

R8

S8

R8

βt

αt

βsin

s

αsin

s

78

1158

78

1158


414428.437242.56731sin6395.374418393.082

414428.437180.00154sin3547.584413332.255y

24548399.84242.56731cos6395.37454553418.04

94548399.8354cos180.0013547.58484551773.81x2

R

R

421137.38008sin181.8459754.828418393.082

421137.38105sin277.482663.017421764.043y

64544057.19181.84508cos9754.82854553418.04

64544057.1905cos277.482663.01754544288.58x

S

S


m6367.03495.63697sin

45.27324sin9731.928

62.56577sin

94.00453sin5321.227s 228

414933.305236.57184sin6367.034418393.082y

14548073.0484cos236.5716367.03454553418.04x

gon102.51949ttγγ

gon59.08979177.48205236.57184t-γ

gon43.42970236.57184280.00154t-γ

gon236.5718420036.57184t

gon36.57184100136.57184100-t

gon136.57184ttt

gon136.57184054548399.84604544057.19

0414428.4375421137.380atnt3

78115821

7-82

22-81

228

822

RSS2222R

RS

228

1158

S22

RS

RS

t

t

t

xx

yyatn

gon45.2732459.08979)(95.63697200)ψ

gon94.0045343.42970)(62.56577200)4

2

1

γβ(200

γα(200φ

Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm

N1, N2 ve N3 noktaları verilmekte N noktasının koordinatını belirlemek için r1, r2 ve r3 doğrultuları ölçülmektedir. Aranan ise ölçülen doğrultuların yönlendirilerek N noktasının koordinatının

belirlenmesidir.

N

N1111

1N1 ttan)xx(yy

xx

yyttan

N2222

2N2 ttan)xx(yy

xx

yyttan

N3333

3N3 ttan)xx(yy

xx

yyttan

2N22

1N113N33

ttan)x(xy

ttan)x(xyttan)x(xyy


Problemin çözümü için üç doğrunun kesim noktasının belirlenmesi yöntemi uygulanabilir. Buna göre

eşitlikleri yazılabilir. Çözümü basitleştirmek için doğrultular ve koordinatlar N3 noktasına göre tanımlanır.

Yukarıdaki bağıntı yerine yerel sisteme göre aşağıdaki bağıntı yazılabilir.

2N22

1N113N33

ttan)x(xy

ttan)x(xyttan)x(xyy

βtt,αtt

yyy,xxx,βrr,αrr

3N2N3N1N

ıi3i

ıi3i3231

β)tan(t)x(xy

α)(ttan)x(xyttanxy

3Nı2

ıı2

3Nı1

ıı13N

ıı


Bu bağıntının ikinci tarafındaki eşitliklerin birbirine eşitlenmesi ile xı için aşağıdaki bağıntı elde edilir.

veya α)tan(tttan

α)tan(txyx

3N3N

3Nı1

ı1ı

β)tan(tttan

β)tan(txyx

3N3N

3Nı2

ı2ı

tanttan1

tanttan)tan(t

3N

3N3N

tanβttan1

tanβttanβ)tan(t

3N

3N3N

3N2

ı1

ı13N

ı1

ı1ı

ttan1

α)coty(xttanα)cotx(yx

3N2

ı2

ı23N

ı2

ı2ı

ttan1

β)coty(xttanβ)cotx(yx


bağıntıları elde edilir. Bu bağıntılarda geçen t3N açıklık açısı bilinmemektedir. Bu açıklık açısı, son iki bağıntının birbirine eşitlenmesi ile aşağıdaki şekilde elde edilir.

Sonuç olarak yeni nokta N’nın koordinatları hesaplanır.

)y(yβcotxαcotx

)x(xβcotyαcotyttan

ı1

ı2

ı2

ı1

ı1

ı2

ı2

ı1

3N

3ı yyy

3ı xxx


Uygulama 7.07: 8, 7 ve 115 sabit noktalarının koordinatları ile 22 numaralı yeni noktadan sabit noktalara yapılan doğrultu ölçüleri

verilmiştir. Yeni noktanın koordinatlarını hesaplayalım.


440.432625686011988.4014-

75186.49038tant

5060.827)-(8431.788-74cot158.202)(-7485.233-62.56577cot1644.227

1644.227)7485.233(74cot158.2028431.788-62.56577cot5060.827tant

)yy(cotxcotx

)xx(cotycotyttan

)y(yβcotxαcotx

)x(xβcotyαcotyttan

233.7485-xxxx ,788.8431yyyy

1644.227xxxx ,827.5060yyyy

0xx ,0yy

gon158.20274337.4342395.63697rrrrβ

gon62.56577337.434230.00000rrrrα1

22-115

22-115

ı8

ı7

ı7

ı8

ı8

ı7

ı7

ı8

22115

ı1

ı2

ı2

ı1

ı1

ı2

ı2

ı1

3N

1157ı7

ı21157

ı7

ı2

1158ı8

ı11158

ı8

ı1

ı115

ı3

ı115

ı3

115732

115831


776474.37001871649828.1

432239.4393752013.1729680226.2663

752013.1729

680226.2663

2k1k

ttan1

)αcotyx(ttan)αcotxy(x

2

221152

ı8

ı822115

ı8

ı8ı

244)0.43262568(1

- ıx

62.56577)cot5060.827(1644.227K2

44)0.43262568(62.56577)cot1644.227(5060.827k1

244)0.43262568(1

ttan1

α)coty(xttanα)cotx(yx

3N2

ı1

ı13N

ı1

ı1ı


53700.776471871649828.1

432241.4393

1871649828.1

43456.7383757850.17061x

738374.3456158.20274)cot8431.788-(-7485.2334k

170615.785044)0.43262568(158.20274)cot)(-7485.233(8431.7883k

244)0.43262568(1

4k3k

ttan1


ttan1


:Kontrol

ı

22-1152

ı7

ı722-115

ı7

ı7ı

3N2

ı2

ı23N

ı2

ı2ı

1601.05144)0.43262568(3700.7755)(ttanxttanxy3 22-115ı

3Nıı

414933.3061601.051413332.255yyyyy

24548073.043700.77684551773.81xxxxx4

ı115

ı3

ı115

ı3

Geriden Kestirmenin DoğruluğuBir doğru parçasını aynı açı altında gören noktaların geometrik yeri çemberdir. Geriden kestirmede s12 kenarını α, s23 kenarını da β açısı altında gören iki çember vardır. Geriden kestirme ile konumlandırılan yeni nokta, bu iki çemberin kesim noktasıdır.

Özel hal olarak N1, N2 ve N3 sabit noktaları ile N yeni noktanın aynı çember üzerinde olduğunu varsayalım. Bu durumda s12 kenarını α, s23 kenarını da β açısı altında gören noktaların geometrik yerleri iki çember yerine bir çember olur. N noktası çember üzerinde nereye hareket ederse etsin s12 ve s23 kenarlarını gören α ve β açıları değişmez. Bu durumda problemin sonsuz çözümü vardır. Bu nedenle bu çembere tehlikeli çember ya da alışılmış söylemiyle tehlikeli daire denir.

Geriden Kestirmenin Doğruluğu

N

N1

N2

N3

gon200

tt 232121

Geriden Kestirmenin DoğruluğuN noktasının tehlikeli çember üzerine düşmemesi için çember üzerinden içeri ya da dışarı doğru kaydırılması gerekmektedir. N noktası için en uygun yer, sabit noktaların ortalarında bir yerdir.


Geriden kestirmenin doğruluğu için ölçüt olarak konum standart sapması kullanılır.

Geriden kestirmede doğruluk ölçütü için yardımcı üçgen

13

2

13

s1

s2

s3

Geriden Kestirmenin Doğruluğusi : Yeni noktadan sabit noktalara olan kenar uzunlukları

i = 1/si

: Küçük üçgenin kenar uzunlukları: Küçük üçgenin alanı

r : Doğrultuların standart sapması : Açıların standart sapması N : N noktasının konum standart sapması= 200/π

Açılara göre

Bu eşitlik incelendiğinde konum hatasının minimum olması için yardımcı üçgen alanının büyük olması gerektiği görülür. Bu ise üçgen kenarlarının yani ters uzunlukların büyük, yeni nokta ile sabit noktalar arasındaki kenarların küçük olması gerektiğini gösterir.

2

2232

2212

2N

4

1

Geriden Kestirmenin Doğruluğu ve açıları doğrultu ölçüleri ile de ifade edilebilir. Bu durumda doğrultu ölçülerinin standart sapmasına göre geriden kestirme yöntemi ile belirlenen noktanın konum standart sapması

eşitliği ile ifade edilir.

r2

23

22

21

N4

321 r,r,r

Karışık Kestirme

Karışık kestirmede hem koordinatı bilinen noktalara hem de kestirme noktasına alet kurularak , β ve açıları ölçülmektedir. Bir üçgende üç açı birden ölçüldüğü zaman; bu üç açının toplamının 200 gon olup olmadığı, jeodezik çalışmalarda daima kontrol edilir. Bunun için üçgen kapanmaları,

bağıntısı ile hesaplanır ve kapanma hatası üç açıya da eşit olarak son hane biriminde ters işaretli dağıtılır.

β

N1

N

N2

gonw 200 γβα

Karışık KestirmeKapanma hatası kalansız olarak dağıtılamıyorsa, açılardan birine veya ikisine 1 birim daha fazla düzeltme getirilir. Düzeltilmiş açıların toplamı mutlaka 200 gon olmak zorundadır.

Karışık kestirme hesabı, düzeltilmiş açılarla önden kestirmede olduğu gibi yapılır.

Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

Kenar Ölçüleri İle Kestirme HesabıKenar ölçüleri ile nokta konumlamada N yeni noktanın belirlenmesinde yeni nokta ile bir çok Ni sabit nokta arasında si kenarları ölçülür. N noktası merkezleri N1 ve N2, yarıçapları s1 ve s2 olan iki daire yayının kesişimi ile geometrik olarak belirlenir. Eğer en az iki kenar ölçülmüş ise bu problem çözülebilir. Yalnız iki kenarın ölçülmesi durumunda ölçülen kenarların ölçeğinin sabit nokta alanından farklı olup olmadığı kontrol edilemez. Yeni noktanın koordinatları ve λ ölçek faktörü sabit noktalar arasında en az bir kenar ölçülmüş ya da yeni nokta ve sabit noktalar arasındaki diğer kenarlar hesaplanabiliyorsa belirlenebilir.

Kenar Ölçüleri İle Kestirme Hesabıİki sabit noktadan yapılan kenar ölçüleri ile basit daire yaylarının kesişimi şeklinde nokta konumlama, doğrultu ölçüleri ile yapılan önden ve geriden kestirmede olduğu gibi sınırlı olarak uygulanır. Uygun geometrik yapı olmaması durumunda bu şekilde konum belirlemede gerekli nokta konum doğruluğuna ulaşılamaz.

Basit Yay Kesişimi İle Nokta Konumlama

N1 ve N2 gibi iki sabit noktanın koordinatları ile s1 ve s2 projeksiyon düzlemine indirgenmiş kenarlar verilmiş olsun. Yeni nokta N’nin koordinatları N1 merkezli s1 yarıçaplı ve N2 merkezli s2 yarıçaplı iki daire yayının kesim noktası olarak aşağıdaki bağıntılar ile hesaplanabilir.

Önce kenarı ve açıklık açısı hesaplanır.

N222N111

N222N111

tsinsytsinsyy

tcossxtcossxx

12

1212

212

212

*12 xx

yyatnt,)yy()xx(s

*122

21

2*12

22

*121

22

2*12

21

122121N212N1

ss2/)sss(acs

ss2/)sss(acs

gon200tt,tt,tt

*12s 12t


N noktası N1-N2 doğrultusunun diğer tarafında ise ve açılarının işareti değişir. Eğer s12 kenarı da ölçülmüş ise ölçek faktörü λ’da işlemlere katılmalıdır. Ölçek faktörünün de göz önüne alınması ile yeni noktanın koordinatları aşağıdaki şekilde hesaplanır.

alınarak ve açıları hesaplandıktan sonra yeni nokta koordinatları belirlenmelidir. ve açıları ya yukarıdaki şekilde hesaplanır ya da yalnızca ölçülen kenarlar kullanılarak hesaplanır. Üçgen kenarlarının ölçek faktörüyle çarpılması sonucunda, kenarlarının aynı oranda büyümesi veya küçülmesi, üçgen açılarını değiştirmez.

2*21

*1

12

*12

ss,ss

üzereolmaks

s

Basit Yay Kesişimi İle Nokta KonumlamaUygulama 7.13 : 7 ve 8 numaralı noktaların ülke koordinat değerleri ve bu noktalardan 22 noktasına olan kenar ölçülerinin projeksiyon düzlemine indirgenmiş değerleri aşağıda verilmiştir. 22 noktasının koordinat değerlerini hesaplayalım.

msms

gonatnt

ms

msmsms

872678088447808016463679936366

0000036681892973192779731

482051774609129

961337092779731961337046091291

892973184478089936366

227228

78

2278

78227228

..,..

.)./.(

..

....

.,.,.

**

*

,

λλ

λ


gon

acsss

sssacs

gon

acsss

sssacs

2732045 92779731872678082

0164636792779731872678082

0881359 92779731016463672

8726780892779731016463672

2

222

22778

2228

2227

278

222

22878

2227

2228

278

..*.*

...

..*.*

...

β

β

α

α

m 4544149332088533287267808043421764m 967454807220885332872678085854544288

4m 4534149335701823601646367082418393m 9664548072570182360164636704545534183

2088533227320454820537757018236088135948205177

87227

78228

..sin....cos..

:..sin....cos..

......

yxKontrolyx

gonttgontt

βα

Basit Yay Kesişiminin DoğruluğuYay kesişiminin doğruluğu, ölçülen kenarların s standart sapmasına ve N1N2N üçgeninin geometrisine bağlıdır. Kenarların kesişme açısı olmak üzere ve kenarların standart sapması s uzunluğa bağımlı değilse N noktasının konum standart sapması,

eşitliği ile ifade edilir.

sN sin

2

geriden kestirme hesabı

Documents