Corso di Laurea a ciclo Unico in Ingegneria Edile-Architettura

Geotecnica e Laboratorio

Prof. Ing. Marco Favaretti

e-mail: marco.favaretti@unipd.it

website: www.marcofavaretti.net1

Distribuzione delle tensioni nel terreno per effetto di carichi in superficie - Cedimenti

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Con il termine cedimento si intende uno spostamento verso il basso di unafondazione superficiale o profonda, di un'opera in terra (rilevato stradale oferroviario, rilevato arginale, diga in terra, ecc.) o di una qualsiasi opera civile.Il cedimento totale viene schematizzato come somma di tre differenti contributi

scit ssss ++=si: cedimento elastico (?) immediato (distorsione)

sc: cedimento di consolidazione primaria (funzione del tempo)

ss: cedimento per compressione secondaria (funzione del tempo)

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Il cedimento immediato si verifica subito dopo l'applicazione di un carico

esterno; pur essendo dovuto a deformazioni di natura sia elastica (reversibile

qualora il carico venga rimosso) sia plastica (irreversibile), viene generalmente

calcolato ricorrendo alla teoria dell'elasticità, ipotizzando il terreno come un

mezzo omogeneo, elastico ed isotropo. In tal modo il cedimento immediato è

dovuto ad una distorsione del terreno sottostante il carico, che si deforma e

cambia forma a volume costante.

Il cedimento immediato coincide pressoché con il cedimento totale nei terreni

granulari (ghiaie, sabbie e mescolanze di ghiaia e sabbia), mentre è

generalmente una parte trascurabile del cedimento totale nel caso di terreni

coesivi (argille e limi).

CEDIMENTI

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Il cedimento di consolidazione primaria è dovuto all'espulsione di una parte

dell'acqua interstiziale (l'acqua che riempie i vuoti del terreno) per effetto

dell'eccesso di pressione neutrale (pressione dell'acqua) prodotto da una

variazione di tensione efficace nel terreno.

Nei terreni coesivi inorganici costituisce generalmente la parte più rilevante del

cedimento; a causa della modesta permeabilità dei terreni coesivi il cedimento

di consolidazione primaria si sviluppa più o meno lentamente nel tempo.

Il processo è tanto più lento quanto maggiore è la plasticità del terreno.

CEDIMENTI

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Il cedimento di compressione secondaria è dovuto a fenomeni di natura

viscosa, a scorrimenti interparticellari ed alla riorientazione dei grani; è

caratteristico dei terreni coesivi organici e dei terreni torbosi. Si sviluppa a

tensione verticale efficace costante ed è indipendente dal processo di

consolidazione primaria.

Di direzione opposta al cedimento è il rigonfiamento, dovuto ad un eventuale

scarico tensionale conseguente allo scavo fino al piano di fondazione.

CEDIMENTI

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Calcolo del cedimento - sequenza

Determinazione delle condizioni inizialiprofilo stratigrafico e stato tensionale iniziale (σv0 – u0 - σ’v0)proprietà dei terreni (cc – cR – cv – cα)

Determinazione della geometria e dell’entità dei carichi agenti sulla fondazione

Valutazione delle variazioni delle tensioni negli strati compressibili1-D: ∆σv = q03-D: teoria dell’elasticità/metodo 2:1

Stima della pressione di preconsolidazione σ’p e del rapporto OCR

Calcolo del cedimento di consolidazione primaria sc

Stima dei tempi di consolidazione

Stima dell’entità e della velocità dell’eventuale cedimento per comprex secondaria ss

Stima del cedimento immediato (o per distorsione) siterreno coesivo: teoria dell’elasticitàterreno granulare: metodi empirici

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Metodo empirico 2:1

(1) Fondazione continua (2) Fondazione isolata

( )( )

( ) 1zB1Bq

1zBP

areacarico 0

z ⋅+⋅⋅

=⋅+

==σ

( ) ( )( )

( ) ( )zLzBLBq

zLzBP

areacarico 0

z +⋅+⋅⋅

=+⋅+

==σ

1

2

8

Esempio 01

2 metri di riempimento di terra vengono stesi e compattati (ρ = 2.04 Mg/m3). Sopra del riempimento viene realizzata una fondazione rettangolare (3 m x 4 m) che trasmette sul terreno un carico di 1.200 kN. Ipotizza una densità iniziale del terreno di fondazione di 1.68 Mg/m3. Non sia presente falda freatica.

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Esempio 01

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Teoria di Boussinesq (1885)

La teoria dell’elasticità viene usata per stimare le tensioni nel sottosuolo. Il terreno non deve presentare necessariamente un comportamento elastico, almeno per quel che concerne la valutazione delle le tensioni verticali. Le deformazioni sono considerate all’incirca proporzionali alle tensioni.

( )( ) B22/522

3z N

zQ

zr2

z3Q⋅=

+⋅π⋅

⋅⋅=σ

SEMISPAZIO LINEARMENTE ELASTICO OMOGENEO, ISOTROPO

Carico puntiforme

La tensione verticale è indipendente dalleproprietà del terreno.Boussinesq ha ricavato anche i valori delletensioni radiali, tangenziali e di taglio.

B = BoussinesqW = Westergaard

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Area di forma circolare (raggio R) caricata uniformemente

12Striscia continua (larghezza 2a) caricata uniformemente

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Newmark (1935)

Integrando l’espressione della dia 10 su una superficie uni-formemente caricata di forma rettangolare si ottiene:

zyn

zxm

Iq0z

=

=

⋅=σ

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Esempio 02

Sia caricata un’area di forma rettangolare (5 m x 10 m) con una pressione uniforme di 100 kPa.

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Superficie di forma circolare caricata con una pressione uniforme q0

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Carico trapezoidale di lunghezza infinita

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Carico triangolare di lunghezza finita

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Abaco di Newmark, 1942

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Esempio 03

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Teoria di Westergaard (1938)

Altra teoria utilizzabile, specie in presenza di terreni stratificati, è quella di Westergaard, che considera le tensioni su un mezzo elastico, nel quale le deformazioni orizzontali sono impedite.

Essa conduce a valori della tensione verticale minori di quelli ottenuti da Boussinesq.

La soluzione di Boussinesqfornisce tuttavia risultati soddisfacenti anche in presenza di terreni stratificati e caratterizzati da costanti elastiche molto diverse.

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Confronto tra

teorie di

Boussinesq e di

Westergaard

Per r/z < 1.5 i valori di (B) sono maggiori di quelli di (W).

Per r/z ≥ 1.5 le teorie forniscono valori confrontabili

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Confronto tra

teorie di

Boussinesq e

di

Westergaard

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Pressione di contatto

Finora è stato esaminato il problema del calcolo dei cedimenti quasi semprenell’ipotesi che l’area caricata sia flessibile.

Il calcolo dei cedimenti nell’ipotesi di area caricata flessibile e facendoriferimento ad una distribuzione delle tensioni verticali alla Boussinesq, indicadei cedimenti del piano di fondazione sottoposto a carico uniforme, distribuiticon i valori massimi nella zona centrale e i valori minimi ai bordi, poiché questa èanche la distribuzione delle tensioni verticali sui piani orizzontali.

In realtà l’area è spesso caricata da un’opera che ha una sua rigidezza data dallastruttura di fondazione e da quella in elevazione.

L’opera con la sua rigidezza influisce sulla distribuzione dei carichi sullefondazioni e sull’entità e distribuzione della pressione di contatto, cioè dellapressione unitaria esistente in ciascun punto di appoggio di una fondazione sulterreno.

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La pressione di contatto è generalmente considerata uniforme per i calcoli distrutture sotto carichi di esercizio, cioè per carichi lontani dal carico di rottura.

Ma qual è l’andamento della distribuzione reale di questa pressione con i carichidi esercizio e al momento della rottura, limitandosi al caso di fondazione rigida,cioè di fondazione che dà luogo ad un cedimento uniforme?

Poiché il cedimento della base di una struttura perfettamente rigida ènecessariamente uniforme, la ripartizione della pressione sulla base è identicaalla ripartizione del carico che produce una distribuzione delle tensioni verticalinel terreno, tale da dar luogo ad un cedimento uniforme della superficiecaricata.

Per ottenere un cedimento uniforme è quindi necessario spostare parte delcarico dal centro ai bordi in modo che la pressione di contatto sulla base di unastruttura rigida vada aumentando dal centro ai bordi.

Pressione di contatto

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Per una fondazione rigida di larghezza B, su terreno elastico ed omogeneo fino agrande profondità, e sottoposta a un carico uniforme q, la pressione di contattodeterminata con la teoria di Boussinesq, indica valori un po’ inferiori a 0,76q alcentro ed un valore infinito al bordo. Nel caso di una piastra circolare al centro lapressione di contatto è pari a 0,5q.

Pressione di contatto

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Se la fondazione poggia su un materiale reale la pressione sul bordo non puòoltrepassare un certo valore finito qc a partire dal quale il materiale passa allostato plastico. La ripartizione corrispondente a materiale coesivo in assenza didrenaggio (τ = cu) è rappresentata in figura dalla curva c.

Pressione di contatto

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Se si aumenta il carico, lo stato di equilibrio plastico si propaga a partire daibordi e la ripartizione della pressione di contatto si modifica. Se la base dellafondazione è liscia, la ripartizione diviene uniforme quando il terreno cede perscorrimento plastico. La curva c rappresenta la pressione di contatto in questomomento e la curva c2 la pressione in un momento intermedio.

Pressione di contatto

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Se una fondazione rigida poggia su un materiale non coesivo l’intensità dellapressione di contatto per un carico q diminuisce, a partire da un valore massimo,al centro della fondazione per annullarsi ai bordi come indicato in figura. Inrealtà, abbastanza spesso, la fondazione è più o meno flessibile e ladistribuzione della pressione di contatto non è uniforme, ma ha un andamentomeno marcato di quello corrispondente ad una fondazione rigida.

Pressione di contatto

Questa ripartizione dipende dall’intera-zione tra terreno e fondazione ed èquesto che rende difficile lo studio dellapressione di contatto. Come è stato detto,l’ostacolo in genere viene superatoadottando una ripartizione uniforme, chepuò essere in parte giustificata tenendoconto dell’elasticità non lineare delterreno e della non completa rigidità dellastruttura.

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La distribuzione della pressione di contatto influenza quindi il comportamentodella struttura di fondazione e della sovrastruttura. Il problema viene spessosemplificato considerando solo l’interazione fondazione-terreno, trascurando larigidezza della struttura in elevazione. Tale ipotesi è accettabile se la rigidezzadella sovrastruttura è < di quella della fondazione. Nell’interazione fondazione-terreno le condizioni di equilibrio e di congruenza devono essere soddisfattenella struttura di fondazione, nel terreno e all’interfaccia.E perciò necessario rappresentare la fondazione ed il terreno con modellisemplici. Nello scegliere il modello si deve tenere conto principalmente dellepossibilità di analisi con i vari metodi a disposizione (analitici, numerici, ecc.), delsignificato fisico dei parametri che caratterizzano il modello e delle possibilità dideterminarli e del fatto che le risposte del modello siano sufficientementeaderenti al comportamento reale. La fondazione è solitamente formata da unelemento strutturale abbastanza semplice (trave, piastra) per il quale in generesi ha a disposizione l’equazione differenziale che ne descrive il comportamentoelastico. A questa equazione se ne deve associare un’altra che rappresenti ilcomportamento del terreno, cioè indichi gli spostamenti all’interfaccia infunzione della distribuzione della pressione di contatto.

Pressione di contatto

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Un modello semplice è quello di Winkler che caratterizza il terreno con unarelazione lineare tra la pressione di contatto p in un punto ed il cedimento s delpunto stesso:

Modello alla Winkler

sKp r ⋅=

Kr è una costante detta “modulo o coefficiente di reazione” e la reazione delterreno (pressione di contatto p) è proporzionale al cedimento s. La relazione sibasa sull’ipotesi che il cedimento di ogni elemento dell’area caricata siaindipendente dal carico sugli elementi vicini (serie di molle indipendentiaccostate). Nella realtà, per una fondazione di dimensioni usuali, poggiante sulterreno, il rapporto tra pressione/cedimento (p/s) diminuisce all’aumentare delcarico e può variare per punti diversi della base di fondazione.

L’utilizzazione del modello di Winkler richiede quindi una valutazione di Krappropriata al singolo caso; appare accettabile fare riferimento ad un Kr dato dalrapporto tra la pressione media p e il cedimento s calcolato per il caso in esame.

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Modello alla Winkler

Terzaghi ha proposto di fare riferimento ad un modulo Kp corrispondente ad unapiastra quadrata di 0,3 m di lato ed ha indicato per Kp i valori medi riportati nellatabella per sabbie e per argille.

Kp

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Modello alla Winkler

Ha poi proposto per le sabbie la relazione

Con “b” larghezza della piastra e “B” la larghezza della fondazione continua e per le argille la relazione

2

pr B2bBKK

+⋅=

B5,1bK

K pr ⋅

⋅=

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Cedimento immediato

Avviene immediatamente dopo l’applicazione del carico, principalmente per

distorsione (variazione di forma ma non di volume) del terreno di fondazione.

La maggior parte del cedimento di un terreno granulare è del tipo immediato.

Nei terreno coesivi il cedimento per distorsione non è elastico, sebbene esso

venga spesso valutato mediante espressioni basate sulla teoria dell’elasticità.

( ) s2

u

0i I1

EBqs ⋅ν−⋅⋅

=

B: dimensione caratteristica della superficie caricata con pressione q0

ν: rapporto di Poisson

Eu: modulo di Young non drenato

Is: fattore di forma e di rigidezza

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Cedimento immediato

Il coefficiente Is prende in considerazione la forma e la rigidezza dell’area caricata e

dipende dalla posizione dal punto su cui si desidera valutare il cedimento

immediato. Nella tabella 10.4 a e b sono indicati i valori di Is per due casi distinti:

(A) Strato di spessore infinito

(B) Strato di spessore illimitato soprastante un substrato rigido

Dobbiamo ovviamente considerare a quale dei due casi virtuali la applicazione in

esame più si avvicina. E’ necessario valutare i parametri elastici Eu e ν.

Per argille sature ν = 0.5 (distorsione senza variazione di volume), mentre ν

=0.25÷0.33 per argille non sature.

Difficile la stima di Eu. Il disturbo arrecato ai provini per prove di resistenza lal taglio

in laboratorio (es.: TX UU)può determinare una sottostima del parametro e quindi

una sovrastima del cedimento.

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Cedimento immediato

Campo di valori del modulo non drenato delle argilleConsistenza Eu/pa

Molle 15÷40Media 40÷80Elevata 80÷200

Campo di valori del modulo drenato delle sabbieDensità Ed/pa

Bassa 100÷200Media 200÷500Elevata 500÷1000

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Cedimento immediato

37

Cedimento immediato

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Cedimento immediato

Per aree caricate ad una certa profondità D dal piano campagna si può usare l’abaco riportato a fianco.

ui E

Bqs ⋅⋅µ⋅µ= 0

10

Effetto della profondità del piano di posa

Effetto della distanza tra piano di posa e substrato rigido

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Cedimento di consolidazione

Le usuali espressioni utilizzate per il calcolo dei cedimenti di consolidazione si

basano su coefficienti derivati sperimentalmente da prove edometriche (prove di

consolidazione ad espansione laterale impedita). Nella realtà il terreno il più delle

volte può deformarsi anche lateralmente, essendo le tensioni tangenziali molto più

elevate di quelle agenti sui provini in laboratorio. Nelle argille OC l'incremento di

pressione dei pori ∆u, prodottosi dopo il carico, e le variazione di volume ∆V,

conseguenti alla consolidazione, sono fortemente ridotti dall'aumento di

deformazioni di taglio: questo tipo di terreni presenta un comportamento

dilatante, ossia tende ad aumentare di volume per effetto delle tensioni di taglio.

Conseguentemente la variazioni di volume che si verificano sono molto minori di

quelle stimate con metodi edometrici, specialmente nella zona immediatamente al

di sotto della fondazione (tensioni tangenziali molto elevate).

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Cedimento di consolidazione

Skempton e Bjerrum hanno così suggerito di utilizzare un coefficiente correttivo µ, pari al rapporto tra cedimento reale e cedimento edometrico, e funzione del coefficiente della pressione dei pori A e della geometria della fondazione e del rapporto H/B

S Sc ed= ⋅µ

B

H