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A n O b j e c t M o d e l o f D i r e c t i o n A n d I t s I m p l i c a t i o n s

S h a s h i S h e k h a r , X u a n L i u , S a n j a y C h a w l a

C o m p u t e r S c i e n c e D e p a r t m e n t , U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a

E E / C S 4 - 1 9 2 , 2 0 0 U n i o n S t . S E . , M i n n e a p o l i s , M N 5 5 4 5 5

t e l e p h o n e : ( 6 1 2 ) 6 2 4 - 8 3 0 7

s h e k h a r j x l i u ] @ c s : u m n : e d u

h t t p : / / w w w . c s . u m n . e d u / r e s e a r c h / s h a s h i - g r o u p

A b s t r a c t

D i r e c t i o n i s a n i m p o r t a n t s p a t i a l c o n c e p t t h a t i s u s e d i n m a n y e l d s s u c h a s g e o g r a p h i c i n f o r -

m a t i o n s y s t e m s ( G I S ) a n d i m a g e i n t e r p r e t a t i o n . I t i s a l s o f r e q u e n t l y u s e d a s a s e l e c t i o n c o n d i t i o n i n

s p a t i a l q u e r i e s . P r e v i o u s w o r k h a s m o d e l e d d i r e c t i o n a s a r e l a t i o n a l p r e d i c a t e b e t w e e n s p a t i a l o b -

j e c t s . C o n v e r s e l y , i n t h i s p a p e r , w e m o d e l d i r e c t i o n a s a n e w k i n d o f s p a t i a l o b j e c t u s i n g t h e c o n c e p t s

o f v e c t o r s , p o i n t s a n d a n g l e s . T h e b a s i c a p p r o a c h i s t o m o d e l d i r e c t i o n a s a u n i t v e c t o r . T h i s n o v e l

v i e w o f d i r e c t i o n h a s s e v e r a l o b v i o u s a d v a n t a g e s : B e i n g m o d e l e d a s a s p a t i a l o b j e c t , a d i r e c t i o n o b -

j e c t c a n h a v e i t s o w n a t t r i b u t e s a n d o p e r a t i o n s e t . S e c o n d l y , n e w s p a t i a l d a t a t y p e s s u c h a s o r i e n t e d

s p a t i a l o b j e c t s a n d o p e n s p a t i a l o b j e c t s c a n b e d e n e d a t t h e a b s t r a c t o b j e c t l e v e l . F i n a l l y , t h e

o b j e c t v i e w o f d i r e c t i o n m a k e s d i r e c t i o n r e a s o n i n g e a s y a n d a l s o r e d u c e s t h e n e e d f o r a l a r g e n u m b e r

o f i n f e r e n c e r u l e s . T h e s e f e a t u r e s a r e i m p o r t a n t i n s p a t i a l q u e r y p r o c e s s i n g a n d o p t i m i z a t i o n . T h e

a p p l i c a b i l i t y o f t h e d i r e c t i o n m o d e l i s d e m o n s t r a t e d b y g e o g r a p h i c q u e r y e x a m p l e s .

K e y w o r d s : D i r e c t i o n , O r i e n t a t i o n , O p e n o b j e c t , O r i e n t e d s p a t i a l o b j e c t

1

T h i s w o r k i s s p o n s o r e d i n p a r t b y t h e A r m y H i g h P e r f o r m a n c e C o m p u t i n g R e s e a r c h C e n t e r u n d e r t h e a u s p i c e s o f t h e

D e p a r t m e n t o f t h e A r m y , A r m y R e s e a r c h L a b o r a t o r y c o o p e r a t i v e a g r e e m e n t n u m b e r D A A H 0 4 - 9 5 - 2 - 0 0 0 3 / c o n t r a c t n u m b e r

D A A H 0 4 - 9 5 - C - 0 0 0 8 , t h e c o n t e n t o f w h i c h d o e s n o t n e c e s s a r i l y r e e c t t h e p o s i t i o n o r t h e p o l i c y o f t h e g o v e r n m e n t , a n d n o

o c i a l e n d o r s e m e n t s h o u l d b e i n f e r r e d . T h i s w o r k w a s a l s o s u p p o r t e d i n p a r t b y N S F g r a n t # 9 6 3 1 5 3 9

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1 I n t r o d u c t i o n

1 . 1 M o d e l i n g D i r e c t i o n

D i r e c t i o n i s a c o m m o n s p a t i a l c o n c e p t t h a t i s u s e d e v e r y w h e r e i n d a i l y l i f e . W h e n p e o p l e c o m m u n i c a t e

a b o u t a g e o g r a p h i c s p a c e , f o r e x a m p l e , g i v i n g r o u t e d e s c r i p t i o n s , d i r e c t i o n i s n e c e s s a r y t o c o n v e y t h e

i n f o r m a t i o n . D i r e c t i o n i s a l s o f r e q u e n t l y u s e d a s a s e l e c t i o n c o n d i t i o n i n s p a t i a l q u e r i e s 1 1 ] o r u s e d f o r

s i m i l a r i t y a c c e s s i n g i n i m a g e d a t a b a s e s 1 8 ] . E x a m p l e q u e r i e s u s e d i n a r m y b a t t l e e l d v i s u a l i z a t i o n 1 0 ]

a r e \ I s t h e r e a n y t h i n g o v e r t h e r i d g e ? , " \ L i s t t h e s w a m p s i n f r o n t o f t h e t a n k . " a n d \ L e t ' s m o v e t o t h e

n o r t h o f t h e t r e e . " T h e r s t e x a m p l e r e f e r s t o a v i e w e r - b a s e d o r i e n t a t i o n , t h e s e c o n d c a n b e d e n e d o n

e i t h e r t h e i n t r i n s i c o r i e n t a t i o n o f t h e t a n k ( o b j e c t - b a s e d ) o r o f a v i e w e r , a n d t h e t h i r d e x a m p l e r e f e r s t o

t h e a b s o l u t e d i r e c t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e t r e e . I n o r d e r t o p r o c e s s q u e r i e s i n v o l v i n g d i r e c t i o n c o n s t r a i n t s

i n t h e s e l e c t i o n c r i t e r i a , a s p a t i a l d a t a b a s e s y s t e m s h o u l d p r o v i d e a w a y f o r u s e r s t o f o r m a l i z e d i r e c t i o n s .

T h e c o m m o n m e a n s o f h a n d l i n g d i r e c t i o n i s t o m o d e l d i r e c t i o n a s a s p a t i a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n

o b j e c t s 4 , 2 0 , 8 , 2 6 , 3 , 1 6 , 9 , 6 , 2 2 , 1 5 ] . I n t h i s p a p e r , w e f o r m a l i z e d i r e c t i o n f r o m a d i e r e n t p e r s p e c t i v e :

a s a s p a t i a l o b j e c t . T h e b a s i c a p p r o a c h i s t o m o d e l d i r e c t i o n a s a u n i t v e c t o r a n d o r i e n t a t i o n a s a s e t o f

d i r e c t i o n s . A s a s p a t i a l o b j e c t , d i r e c t i o n c a n h a v e i t s o w n a t t r i b u t e s , a n d i t s o w n o p e r a t o r s , a n d a r i c h e r

s e t o f p r e d i c a t e s a n d o p e r a t o r s o n d i r e c t i o n a n d o r i e n t a t i o n c a n b e d e n e d . S e c o n d , n e w s p a t i a l d a t a

t y p e s s u c h a s o r i e n t e d s p a t i a l o b j e c t s a n d u n b o u n d e d s p a t i a l o b j e c t s c a n b e e a s i l y d e n e d i n t h e a b s t r a c t

o b j e c t l e v e l . T h e o b j e c t v i e w o f d i r e c t i o n a l s o m a k e s i t e a s y t o p e r f o r m d i r e c t i o n r e a s o n i n g b y u s i n g

o n l y s i m p l e v e c t o r a l g e b r a , w h i c h a l s o r e d u c e s t h e l a r g e n u m b e r o f i n f e r e n c e r u l e s c o m m o n l y n e e d e d .

T h i s i s u s e f u l i n t h e p r o c e s s i n g a n d o p t i m i z a t i o n o f s p a t i a l q u e r i e s t h a t c o n t a i n d i r e c t i o n c o n s t r a i n t s .

W e m o d e l t h e d i r e c t i o n f o r t h r e e f r a m e s o f r e f e r e n c e : a b s o l u t e , o b j e c t a n d v i e w e r - b a s e d o r i e n t a t i o n

W e w i l l n o t d i s c u s s t h e p h i l o s o p h i c a l i s s u e o f w h e t h e r d i r e c t i o n s a r e o b j e c t / e n t i t i e s o r n o t i n t h e

s t r i c t e s t s e n s e . A b s o l u t e d i r e c t i o n s s u c h a s N o r t h , S o u t h , E a s t , o r W e s t c a n b e d e n e d u s i n g a c o o r d i n a t e

s y s t e m w . r . t . t h e e a r t h , a n d t h u s t h e s e c a n b e c o n s i d e r e d t o b e o b j e c t s i n t h e i r o w n r i g h t . T h e o b j e c t

v i e w f o r r e l a t i v e d i r e c t i o n s ( e . g . l e f t , f r o n t ) n e e d s f u r t h e r t h o u g h t , b e c a u s e t h e s e d i r e c t i o n s a r e d e n e d

w i t h r e s p e c t t o c o o r d i n a t e s y s t e m s a t t a c h e d t o o t h e r o b j e c t s . T h e i s s u e n e e d s t o b e e x p l o r e d f u r t h e r .

1 . 2 R e l a t e d w o r k a n d o u r c o n t r i b u t i o n s

T h e r e s e a r c h w o r k o n d i r e c t i o n m o d e l i n g h a s b e e n c a r r i e d o u t i n s e v e r a l a r e a s s u c h a s g e o g r a p h i c i n -

f o r m a t i o n s y s t e m s a n d i m a g e a n a l y s i s . M o s t o f t h e s t u d i e s i s o n h o w t o c a p t u r e t h e s e m a n t i c s o f

d i r e c t i o n r e l a t i o n s , a n d f u r t h e r , h o w t o d o s p a t i a l r e a s o n i n g o n t h e d i r e c t i o n 3 , 4 , 6 ] . T h e r e a r e t w o

m a j o r d i r e c t i o n r e f e r e n c e f r a m e s u s e d t o m o d e l d i r e c t i o n i n 2 D s p a c e : t h e c o n e - b a s e d m o d e l 1 6 ] , a n d

t h e p r o j e c t i o n - b a s e d m o d e l 4 , 6 ] . F r a n k 1 ] c o m p a r e d t h e s e t w o m o d e l s a n d f o u n d t h e p r o j e c t i o n - b a s e d

r e f e r e n c e f r a m e t o b e b e t t e r i n m a n y a s p e c t s . T h e m o s t c o m m o n w a y t o m o d e l d i r e c t i o n s b e t w e e n e x -

t e n d e d o b j e c t s i s t h r o u g h t h e o b j e c t ' s M i n i m u m B o u n d i n g R e c t a n g l e ( M B R ) , w h e r e d i r e c t i o n r e l a t i o n s

a r e o b t a i n e d b y a p p l y i n g A l l e n ' s 2 ] i n t e r v a l r e l a t i o n s a l o n g t h e x a n d y a x i s , i n w h i c h c a s e , 1 6 9 d i e r e n t

r e l a t i o n s 3 ] c a n b e d i s t i n g u i s h e d . S o m e w o r k b a s e d o n M B R h a s b e e n p r o p o s e d o n p i c t u r e i n d e x i n g

i n p i c t o r i a l d a t a b a s e s 1 8 , 2 6 ] , a n d s o m e w o r k a l i g n s e a c h b o u n d a r y b o x t o t h e o b j e c t ' s m a j o r a x i s 1 4 ] ,

1

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w h i c h m a k e s i t p o s s i b l e t o s a t i s f y d i e r e n t r e f e r e n c e f r a m e s 9 ] . O n t h e o t h e r h a n d , F r e s k a 5 ] p r o p o s e d

a n a l t e r n a t i v e m e t h o d : s e m i - i n t e r v a l s t o f o r m a l i z e t h e o n e - d i m e n s i o n a l t e m p o r a l r e l a t i o n b a s e d o n i n -

c o m p l e t e k n o w l e d g e o f t h e o b j e c t . G o y a l a n d E g e n h o f e r 8 ] i n t r o d u c e d a D i r e c t i o n - R e l a t i o n M a t r i x t o

r e p r e s e n t c a r d i n a l d i r e c t i o n s . B a s e d o n t h e p r o j e c t i o n - b a s e d f r a m e , i t p a r t i t i o n s t h e s p a c e a r o u n d t h e

r e f e r e n c e o b j e c t a n d r e c o r d s i n t o w h i c h d i r e c t i o n t i l e s a t a r g e t o b j e c t f a l l s . B u t t h i s m o d e l s t i l l h a s

l i m i t a t i o n s i n t h e m o d e l i n g o f l i n e o b j e c t s , a n d i t i s l i m i t e d t o 2 D s p a c e . L i t t l e w o r k h a s b e e n d o n e o n

d i r e c t i o n s i n 3 D s p a c e 7 ] .

T h e p r e v i o u s w o r k m o d e l e d d i r e c t i o n a s a s p a t i a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s p a t i a l o b j e c t s . T h i s s e e m s

t o b e a n a t u r a l m a p p i n g o f t h e d i r e c t i o n a l r e l a t i o n s h i p t h a t i s u s e d i n g e o g r a p h i c s p a c e . B u t t h i s

m o d e l i n g m e t h o d h a s s o m e l i m i t a t i o n s . O p e r a t i o n s o n d i r e c t i o n a r e l i m i t e d . O r i e n t e d ( d i r e c t e d ) o b j e c t s

a n d u n b o u n d e d o b j e c t s c a n n o t b e r e p r e s e n t e d i n t h e s p a t i a l d a t a m o d e l .

T h i s p a p e r m o d e l s d i r e c t i o n a s a s p a t i a l o b j e c t : a u n i t v e c t o r . T h i s n o v e l v i e w o f d i r e c t i o n h a s

s e v e r a l a d v a n t a g e s o v e r t h e b i n a r y b o o l e a n r e l a t i o n s h i p v i e w . B e i n g m o d e l e d a s a s p a t i a l o b j e c t , a

d i r e c t i o n o b j e c t c a n h a v e i t s o w n a t t r i b u t e s a n d o p e r a t i o n s e t . T h e i m p l e m e n t a t i o n o f o p e r a t o r s c a n

u s e v e c t o r a l g e b r a , m a k i n g a r i c h e r s e t o f p r e d i c a t e s a n d o p e r a t o r s o n d i r e c t i o n f e a s i b l e . S e c o n d l y ,

n e w s p a t i a l d a t a t y p e s s u c h a s o r i e n t e d o b j e c t s a n d u n b o u n d e d o b j e c t s c a n b e d e n e d a t t h e a b s t r a c t

o b j e c t l e v e l . T h e o b j e c t v i e w o f d i r e c t i o n a l s o m a k e s d i r e c t i o n a l r e a s o n i n g e a s y . B a s i c v e c t o r a l g e b r a i s

s u c i e n t f o r i n f e r e n c i n g n e w d i r e c t i o n s , a n d n o s p e c i a l o r n e w q u a l i t a t i v e r u l e s a r e n e e d e d . T h i s r e d u c e s

t h e c o m p l e x i t y o f d i r e c t i o n a l r e a s o n i n g , a n d i n v o l v i n g a p p r o p r i a t e q u a n t i t a t i v e i n f o r m a t i o n i s u s e f u l i n

s p a t i a l q u e r y p r o c e s s i n g a n d o p t i m i z a t i o n i n s p a t i a l d a t a b a s e s .

M o r e d i s c u s s i o n o n d i r e c t i o n o b j e c t s , f o r m a l p r o o f s , a n d t h e i r a p p l i c a t i o n s a p p e a r i n 2 4 ] , w h e r e a n

a l g e b r a o n t h e e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f d i r e c t i o n o b j e c t s i s d e n e d . T h e a l g e b r a u n i e s d i e r e n t m e t h o d s

f o r d i r e c t o n a l q u a l i t a t i v e r e a s o n i n g t h a t h a v e a p p e a r e d i n p r e v i o u s w o r k 4 ] . T h e s e i s s u e s a r e o u t s i d e t h e

s c o p e o f t h i s p a p e r w h i c h f o c u s s e s o n d e n i n g t h e b a s i c c o n c e p t s a n d i m p l i c a t i o n s o f t r e a t i n g d i r e c t i o n s

a s o b j e c t s .

1 . 3 S c o p e a n d O u t l i n e o f t h e P a p e r

T h e o r g a n i z a t i o n o f t h i s p a p e r i s a s f o l l o w s : I n s e c t i o n 2 , w e d e n e a m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k a n d

p r o p o s e n e w A D T s f o r d i r e c t i o n s a n d o r i e n t a t i o n s . A n e w s p a t i a l d a t a t y p e h i e r a r c h y i s a l s o p r o p o s e d

i n t h i s s e c t i o n . I n s e c t i o n 3 , a n o r i e n t e d s p a t i a l o b j e c t i s d e n e d u s i n g t h e o r i e n t a t i o n o b j e c t , a n d i t s

a p p l i c a t i o n i n s p a t i a l q u e r i e s i s d i s c u s s e d . O p e n g e o m e t r y a n d i t s a p p l i c a t i o n s a r e i l l u s t r a t e d i n s e c t i o n 4 .

F i n a l l y , t h e p a p e r c o n c l u d e s w i t h d i s c u s s i o n s a n d r e c o m m e n d a t i o n s f o r f u t u r e w o r k .

2 B a s i c C o n c e p t s

2 . 1 P o i n t s , V e c t o r s , A n g l e s

T h e b a s i c c o n c e p t s w e u s e h e r e a r e p o i n t s , v e c t o r s a n d a n g l e s , a s i l l u s t r a t e d i n g u r e 1 . A p o i n t

h a s a p o s i t i o n i n s p a c e , w h i c h c a n b e d e s c r i b e d u s i n g c o o r d i n a t e s i n a c o o r d i n a t e s y s t e m . T h e o n l y

c h a r a c t e r i s t i c t h a t d i s t i n g u i s h e s o n e p o i n t f r o m a n o t h e r i s i t s p o s i t i o n . A v e c t o r , i n c o n t r a s t , h a s b o t h

2

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u

P

t

v

Qvectors u and v are same, and

Points P and Q are different,

is the angle between vector v and t

F i g u r e 1 : D i a g r a m o f p o i n t s , v e c t o r s a n d a n g l e s

m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n b u t n o x e d p o s i t i o n i n s p a c e . A n a n g l e b e t w e e n t w o v e c t o r s r e p r e s e n t s t h e

d i r e c t i o n d e v i a t i o n f r o m o n e v e c t o r t o t h e o t h e r . H e r e , b y a n g l e , w e m e a n t h e s m a l l e r o n e b e t w e e n t w o

v e c t o r s , l i k e i n d i a g r a m 1 . I n t h i s p a p e r , w e d e n o t e p o i n t s b y c a p i t a l i z e d l e t t e r s , s u c h a s P , a n d d e n o t e

v e c t o r s a s l o w e r c a s e l e t t e r s w i t h a n a r r o w a b o v e , s u c h a s ~v .

F o r s i m p l i c i t y w e w i l l u s e t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m t o r e p r e s e n t p o i n t s a n d v e c t o r s i n t h i s

p a p e r . T h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m i n 3 D i s a r i g h t - h a n d e d r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s y s t e m , w i t h

t h r e e a x e s x , y a n d z p e r p e n d i c u l a r t o e a c h o t h e r a n d i n t e r s e c t i n g a t t h e o r i g i n . A p o i n t P i n s p a c e i s

r e p r e s e n t e d a s a n o r d e r e d t r i p l e ( x y z ) , w h e r e x , y a n d z a r e r e c t a n g u l a r c o m p o n e n t s o f P o n t h e x , y

a n d z a x e s , r e s p e c t i v e l y . L e t

~

U

x

~

U

y

a n d

~

U

z

r e p r e s e n t t h r e e u n i t v e c t o r s w h i c h a r e t h e b a s i s v e c t o r s o f

t h e c o o r d i n a t e s y s t e m . A v e c t o r ~v c a n b e d e n e d a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e s e b a s i s v e c t o r s i n t h e

f o r m o f : ~v = a

~

U

x

+ b

~

U

y

+ c

~

U

z

, w h e r e a , b a n d c a r e s o m e n u m b e r s .

O p e r a n d s O p e r a t i o n s D e n i t i o n

P o i n t ( s ) - ~p q = Q ; P = ( x

q

; x

p

)

~

U

x

+ ( y

q

; y

p

)

~

U

y

+ ( z

q

; z

p

)

~

U

z

+ ~a +

~

b = ( x

a

+ x

b

)

~

U

x

+ ( y

a

+ y

b

)

~

U

y

+ ( z

a

+ z

b

)

~

U

z

V e c t o r ( s ) ~a

~

b = j a j j b j c o s = x

a

x

b

+ y

a

y

b

+ z

a

z

b

~a

~

b = j a j j b j s i n ( ) ~u , w h e r e ~u i s a u n i t v e c t o r , p e r p e n d i c -

u l a r t o ~a a n d

~

b

s c a l e m ~a = m x

a

~

U

x

+ m y

a

~

U

y

+ m z

a

~

U

z

, w h e r e m i s a n u m b e r

P o i n t , V e c t o r + R = P + ~a = R ( x

p

+ x

a

y

p

+ y

a

z

p

+ z

a

) , a p o i n t a w a y

f r o m P w i t h d i s t a n c e j ~a j a l o n g t h e d i r e c t i o n o f ~a

T a b l e 1 : O p e r a t i o n s o n v e c t o r s a n d p o i n t s

T a b l e 1 s u m m a r i z e s r e p r e s e n t a t i v e o p e r a t i o n s o n p o i n t s a n d v e c t o r s . H e r e P ( x

p

y

p

z

p

) a n d

Q ( x

q

y

q

z

q

) a r e t w o p o i n t s , i s t h e a n g l e b e t w e e n v e c t o r s ~a a n d

~

b , w h e r e ~a = x

a

~

U

x

+ y

a

~

U

y

+ z

a

~

U

z

a n d

~

b = x

b

~

U

x

+ y

b

~

U

y

+ z

b

~

U

z

. W e c a n s e e t h a t t h e s u b t r a c t i o n o p e r a t i o n ( - ) i s a p p l i e d t o p o i n t p a i r s , r e -

s u l t i n g i n a v e c t o r . T h e o p e r a t i o n s o f a d d i t i o n ( + ) , s u b t r a c t i o n ( - ) , s c a l e m u l t i p l i c a t i o n , d o t p r o d u c t ( ) ,

a n d c r o s s p r o d u c t ( ) a r e a v a i l a b l e b e t w e e n v e c t o r o p e r a n d s . T h e d e n i t i o n s a r e g i v e n i n t e r m s o f t h e

c o m p o n e n t s i n t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m . T h e r e i s o n l y o n e o p e r a t i o n ( + ) a v a i l a b l e b e t w e e n a

p o i n t a n d a v e c t o r w h i c h a c t u a l l y p r o d u c e s a n o t h e r p o i n t . T h e a s s o c i a t i v i t y , c o m m u t a t i v i t y a n d d i s -

t r i b u t i o n p r o p e r t i e s o f t h e s e o p e r a t o r s w i l l b e e x a m i n e d i n t h e f u t u r e w o r k t o w a r d s i n t e g r a t i n g v e c t o r

o b j e c t s i n q u e r y l a n g u a g e s .

3

8/6/2019 geoModel-2

5/21

2 . 2 D i r e c t i o n a n d O r i e n t a t i o n

D i r e c t i o n i s d e n e d a s a u n i t v e c t o r , i . e . , a v e c t o r w i t h m a g n i t u d e e q u a l t o 1 . T a b l e 2 d e n e s t h e

o p e r a t i o n s o n d i r e c t i o n s .

O p e r a t i o n s D e n i t i o n

c o m p o s i t i o n

~

d 1 +

~

d 2 =

~

d 1 +

~

d 2

j

~

d 1 +

~

d 2 j

d e v i a t i o n c o s =

~

d

1

~

d

2

r e v e r s e ( ; 1 )

~

d 1

b e t w e e n

1

~

d b e t w e e n

~

d

1

a n d

~

d

2

i f 9 c

1

> 0 c

2

> 0 s . t .

~

d = c

1

~

d

1

+ c

2

~

d

2

a m o n g

2

~

d a m o n g

~

d

1

,

~

d

2

a n d

~

d

3

i f 9 c

1

> 0 c

2

> 0 c

3

> 0 s . t .

~

d = c

1

~

d

1

+ c

2

~

d

2

+ c

3

~

d

3

T a b l e 2 : O p e r a t i o n s o n D i r e c t i o n s

T h e o p e r a t i o n s o n d i r e c t i o n s c a n b e c l a s s i e d i n t o t h r e e c a t e g o r i e s . T h e r s t c a t e g o r y c o n t a i n s t h e

o p e r a t i o n s t h a t p r o d u c e n e w d i r e c t i o n s . C o m p o s i t i o n a n d r e v e r s e a r e o p e r a t i o n s i n t h i s c a t e g o r y . T h e

c o m p o s i t i o n o p e r a t i o n i s a c t u a l l y a c h i e v e d b y v e c t o r - a d d i t i o n , a n d t h e r e s u l t i n g v e c t o r i s s c a l e d d o w n b y

i t s m a g n i t u d e t o b e a u n i t v e c t o r , w h i c h r e p r e s e n t s t h e n e w d i r e c t i o n . T h e r e v e r s e o p e r a t o r p r o d u c e s

t h e r e v e r s e d i r e c t i o n v e c t o r . T h e s e c o n d c a t e g o r y o f t h e o p e r a t i o n s i s t o c a l c u l a t e t h e d e v i a t i o n b e t w e e n

t w o d i r e c t i o n s . O p e r a t o r d e v i a t i o n c a l c u l a t e s t h e c o s i n e o f t h e a n g l e b e t w e e n t w o d i r e c t i o n s , a n d h e n c e

g i v e s t h e d e v i a t i o n o f o n e d i r e c t i o n f r o m t h e o t h e r . A p a i r o f v e c t o r s a r e o r t h o g o n a l i f t h e i r d o t - p r o d u c t

r e t u r n s z e r o , i . e . , t h e y h a v e 9 0

0

d e v i a t i o n . T h e l a s t c a t e g o r y o f t h e o p e r a t i o n s i s t o t e s t t h e r e l a t i o n s h i p s

a m o n g d i r e c t i o n s . T h e o p e r a t o r s b e t w e e n a n d a m o n g b e l o n g t o t h i s c a t e g o r y . I n g u r e 2 ,

~

d i s b e t w e e n

~

d

1

a n d

~

d

2

h o w e v e r ,

~

d

1

i s n o t b e t w e e n

~

d a n d

~

d

2

. A s w e w i l l s e e i n l a t e r s e c t i o n s , t h e s e t h r e e c a t e g o r i e s

dd1

d2

F i g u r e 2 : b e t w e e n o p e r a t o r

o f d i r e c t i o n o p e r a t i o n s m a k e t h e m o d e l i n g o f d i r e c t i o n c o n c i s e a n d e x i b l e .

O r i e n t a t i o n i s m o d e l e d a s a s p a t i a l o b j e c t w h i c h c o n s i s t s o f a p o i n t o f o r i g i n a n d N p a i r - w i s e o r t h o g -

o n a l d i r e c t i o n s , w h e r e N i s t h e d i m e n s i o n o f t h e e m b e d d i n g s p a c e . T h e o r i g i n p o i n t a n d t h e N d i r e c t i o n s

f o r m a C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m . I n 3 D s p a c e , t h e t h r e e d i r e c t i o n s m a y b e l a b e l e d t h e B a c k - F r o n t ,

L e f t - R i g h t , a n d B e l o w - A b o v e d i r e c t i o n s o f t h e o r i e n t a t i o n . F o r m a l l y , w e c a n d e n e o r i e n t a t i o n a n d i t s

o p e r a t i o n s i n 3 D s p a c e a s f o l l o w s :

1

T h i s d e n i t i o n w o r k s w e l l a s l o n g a s v e c t o r

~

d

1

i s n o t p a r a l l e l t o v e c t o r

~

d

2

. T h e p a r a l l e l c a s e c a n b e h a n d l e d i n a u s e r

d e n e d m a n n e r .

2

H e r e

~

d

1

~

d

2

, a n d

~

d

3

a r e n o t i n t h e s a m e p l a n e .

4

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6/21

O r i e n t a t i o n i s a q u a d r u p l e O = h O P ,

~

f r o n t ,

~

r i g h t ,

~

a b o v e i , w h e r e O P i s a p o i n t , a n d

~

f r o n t ,

~

r i g h t ,

~

a b o v e

a r e t h r e e o r t h o g o n a l d i r e c t i o n s . I t h a s t w o o p e r a t i o n s :

t r a n s l a t e ( O ~ v ) = O r i e n t a t i o n O

0

= h t r a n s l a t e ( O P ~ v ) ,

~

f r o n t ,

~

r i g h t ,

~

a b o v e i

r o t a t e ( O r o t a t i o n M a t r i x ) = O r i e n t a t i o n O

0

= h O P

~

f r o n t

n

~

r i g h t

n

~

a b o v e

n

i , w h e r e

(

~

f r o n t

n

~

r i g h t

n

~

a b o v e

n

) = (

~

f r o n t

~

r i g h t

~

a b o v e ) r o t a t i o n M a t r i x

A n e x a m p l e o f t h e r o t a t i o n M a t r i x w h i c h r o t a t e s t h e o r i e n t a t i o n a l o n g t h e

~

a b o v e a x i s f o r a n a n g l e

i s 1 9 ] :

R

~

a b o v e

=

2

6

6

4

c o s ( ) ; s i n ( ) 0

s i n ( ) c o s ( ) 0

0 0 1

3

7

7

5

T a b l e 3 g i v e s a n i l l u s t r a t i o n o f t h e s e o p e r a t i o n s .

t r a n s l a t e ( O , ~v ) r o t a t e ( O , R

1 8 0

0

~

a b o v e

)

above

front

right

front

right

above

v

front_n

right_n

above_n

above

front

right

T a b l e 3 : O p e r a t i o n s o n o r i e n t a t i o n

A b s t r a c t D a t a T y p e s f o r M o d e l i n g D i r e c t i o n

A s a s u m m a r y o f t h e a b o v e d i s c u s s i o n , t h e d e n i t i o n o f A D T s f o r v e c t o r , d i r e c t i o n a n d o r i e n t a t i o n i s

g i v e n i n T a b l e 4 . T h e C + + l i k e s y n t a x i s u s e d h e r e . T h e c o l u m n l a b e l e d a t t r i b u t e s d e c l a r e s t h e m e m b e r

v a r i a b l e s o f e a c h c l a s s , a n d t h e r e p r e s e n t a t i v e o p e r a t i o n s c o l u m n d e c l a r e s t h e i n t e r f a c e s o f o p e r a t i o n s f o r

e a c h c l a s s . T h e v e c t o r c l a s s h a s t h r e e m e m b e r v a r i a b l e s o f t h e r e a l t y p e . T h e s e v a r i a b l e s r e p r e s e n t t h e

t h r e e c o e c i e n t s w h e n t h e v e c t o r i s w r i t t e n a s t h e l i n e a r c o m b i n a t i o n o f b a s i s v e c t o r s o f t h e c o o r d i n a t e

s y s t e m . T h e c o n s t r u c t o r c o n s t r u c t s a v e c t o r o b j e c t , g i v e n t h r e e r e a l a r g u m e n t s . T h e v e v e c t o r o p e r a t o r s

a r e d e c l a r e d a s m e m b e r o p e r a t o r f u n c t i o n s . D i r e c t i o n i s d e n e d a s a s u b c l a s s o f t h e v e c t o r c l a s s . I t c a n

b e c o n s t r u c t e d e i t h e r f r o m a v e c t o r o r f r o m a n o r d e r e d t r i p l e . B e s i d e s i n h e r i t i n g a t t r i b u t e s a n d o p e r a t o r s

f r o m t h e v e c t o r c l a s s , d i r e c t i o n a l s o a d d s n e w o p e r a t o r s s u c h a s b e t w e e n a n d a m o n g . T h e o r i e n t a t i o n

c l a s s h a s f o u r m e m b e r v a r i a b l e s w h i c h f o r m a C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m . T r a n s l a t e a n d r o t a t e a r e

d e c l a r e d a s t h e m e m b e r o p e r a t o r f u n c t i o n s o f t h e o r i e n t a t i o n c l a s s .

2 . 3 F r a m e o f R e f e r e n c e : A b s o l u t e , O b j e c t / V i e w e r - b a s e d D i r e c t i o n s

I n t h i s s e c t i o n , w e w i l l d e a l w i t h p o i n t - b a s e d o b j e c t s f o r s i m p l i c i t y . T h e r e a r e t h r e e d i e r e n t p e r s p e c t i v e

s y s t e m s . W e d e n e a b s o l u t e d i r e c t i o n s ( e . g . n o r t h , s o u t h ) , o b j e c t - b a s e d d i r e c t i o n s ( e . g . l e f t , a b o v e ) , a n d

5

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7/21

A D T a t t r i b u t e s r e p r e s e n t a t i v e o p e r a t i o n s

v e c t o r x - c o m p : o a t v e c t o r ( o a t , o a t , o a t ) / / c o n s t r u c t o r

y - c o m p : o a t o a t m a g n i t u d e ( )

z - c o m p : o a t v e c t o r o p e r a t o r + ( v e c t o r )

v e c t o r o p e r a t o r s c a l e ( )

o a t o p e r a t o r d o t - p r o d u c t ( v e c t o r )

v e c t o r o p e r a t o r ( v e c t o r )

d i r e c t i o n ( o a t , o a t , o a t ) / / c o n s t r u c t o r

d i r e c t i o n ( v e c t o r ) / / c o n s t r u c t o r

D i r e c t i o n i n h e r i t e d f r o m v e c t o r d i r e c t i o n o p e r a t o r C o m p o s i t i o n ( d i r e c t i o n )

s u b c l a s s o f v e c t o r c o n s t r a i n t = u n i t m a g n i t u d e d i r e c t i o n o p e r a t o r r e v e r s e ( )

o a t o p e r a t o r d e v i a t i o n ( d i r e c t i o n )

b o o l e a n b e t w e e n ( d i r e c t i o n , d i r e c t i o n )

b o o l e a n a m o n g ( d i r e c t i o n , d i r e c t i o n , d i r e c t i o n )

O r i e n t a t i o n O P : p o i n t o r i e n t a t i o n ( o a t , d i r e c t i o n , d i r e c t i o n , d i r e c t i o n )

/ / c o n s t r u c t o r

~

f r o n t : d i r e c t i o n o r i e n t a t i o n o p e r a t o r t r a n s l a t e ( v e c t o r )

~

r i g h t : d i r e c t i o n o r i e n t a t i o n o p e r a t o r r o t a t e ( r o t a t e - m a t r i x )

~

a b o v e : d i r e c t i o n

T a b l e 4 : A b s t r a c t D a t a T y p e s f o r d i r e c t i o n a n d o r i e n t a t i o n

v i e w e r - b a s e d d i r e c t i o n s .

A b s o l u t e D i r e c t i o n

A b s o l u t e d i r e c t i o n i n e m b e d d i n g s p a c e i s d e n e d a s a r e l a t i o n s h i p a m o n g o b j e c t s b a s e d o n t h e i r l o c a t i o n s

i n e m b e d d i n g s p a c e . F o r s i m p l i c i t y h e r e , w e w i l l i g n o r e t h e e l e v a t i o n a n d e a r t h ' s c u r v a t u r e a n d u s e a

p r o j e c t i o n - b a s e d m o d e l t o m a p t h e s p a c e t o a 2 D l o c a l c o o r d i n a t e s y s t e m w i t h n o r t h u p a n d e a s t r i g h t

1

.

W e m o d e l a b s o l u t e d i r e c t i o n s i n t w o w a y s : c o n s t a n t d i r e c t i o n o b j e c t s a n d d i r e c t i o n a l p r e d i c a t e s .

C o n s t a n t d i r e c t i o n o b j e c t s a r e c r e a t e d f o r f r e q u e n t l y a s k e d d i r e c t i o n s , e . g :

~

e a s t ,

~

w e s t ,

~

n o r t h ,

~

s o u t h ,

~

N W ,

~

N E ,

~

S E ,

~

S W . T a b l e 5 i l l u s t r a t e s h o w w e c a n d e n e t h e c o n s t a n t d i r e c t i o n s i n t e r m s o f c o o r d i n a t e s

i n l o c a l e m b e d d i n g s p a c e . T h e u n i t v e c t o r i s d e n o t e d b y a n o r d e r e d p a i r ( a b ) w h i c h r e p r e s e n t s v e c t o r

a

~

U

e a s t

+ b

~

U

n o r t h

.

u n i t v e c t o r ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( - 1 , 0 ) ( 0 , - 1 ) (

1

p

2

1

p

2

) ( ;

1

p

2

1

p

2

) ( ;

1

p

2

;

1

p

2

) (

1

p

2

;

1

p

2

)

d i r e c t i o n s

~

e a s t

~

n o r t h

~

w e s t

~

s o u t h

~

N E

~

N W

~

S W

~

S E

T a b l e 5 : c o n s t a n t a b s o l u t e d i r e c t i o n

I n t r o d u c i n g c o n s t a n t d i r e c t i o n o b j e c t s p r o v i d e s m u c h e x i b i l i t y i n d e s c r i b i n g a n d d e c i d i n g a n y d i -

r e c t i o n . B y u s i n g t h e o p e r a t o r d e v i a t i o n , w e c a n c a l c u l a t e h o w m u c h d e v i a t i o n i s f r o m o n e d i r e c t i o n t o

a n o t h e r d i r e c t i o n . W e c a n a l s o p r o d u c e a n e w d i r e c t i o n , g i v e n t h e d e v i a t i o n f r o m a s p e c i c c o n s t a n t

d i r e c t i o n . T h i s i s v e r y u s e f u l i n t h e l a y o u t o f f a c i l i t i e s .

S e c o n d , w e a l s o p r o v i d e c o r r e s p o n d i n g d i r e c t i o n a l p r e d i c a t e s t o m a k e i t c o n v e n i e n t f o r u s e r s t o

1

F o r a g l o b a l v i e w , w e c a n e x t e n d t o t h e e l l i p s o i d a l c o o r d i n a t e s y s t e m 1 3 ]

6

8/6/2019 geoModel-2

8/21

s p e c i f y t h e d i r e c t i o n r e l a t i o n b e t w e e n t w o o b j e c t s . T h e y a r e E a s t , W e s t , S o u t h , N o r t h , N o r t h w e s t ,

N o r t h E a s t , S o u t h W e s t , S o u t h E a s t . F o r a n y t w o o b j e c t s , a s s u m i n g t h e i r c e n t r o i d s a r e P

1

, P

2

, w e

r e p r e s e n t t h e r e l a t i o n s h i p " P

1

i s t o t h e e a s t o f P

2

" b y p r e d i c a t e E a s t ( P

1

P

2

) . T h e p r e d i c a t e i s t r u e i f

a n d o n l y i f e q u a t i o n

~

e a s t

~

P

2

P

1

j

~

P

2

P

1

j

= 1 h o l d s . O t h e r p r e d i c a t e s c a n b e d e n e d s i m i l a r l y .

T h e a b o v e c o n s t a n t d i r e c t i o n s a n d p r e d i c a t e s g i v e p r e c i s e d i r e c t i o n a l c a l c u l a t i o n , t h a t i s , o n l y o n e

a n g l e m a t c h e s e a c h c a s e . S o m e t i m e s u s e r s m a y b e i n t e r e s t e d o n l y i n a p p r o x i m a t e d i r e c t i o n , s u c h a s a

d i r e c t i o n r a n g e : b e t w e e n n o r t h a n d n o r t h w e s t . T h e o p e r a t o r b e t w e e n m a k e s t h i s a p p r o x i m a t e d i r e c t i o n a l

p r e d i c a t e p o s s i b l e . I f w e w a n t t o t e s t w h e t h e r P

1

i s b e t w e e n n o r t h a n d n o r t h w e s t o f P

2

, w e c a n u s e t h e

b e t w e e n o p e r a t o r i n C + + n o t a t i o n a s :

~

P

2

P

1

: b e t w e e n (

~

n o r t h

~

N W ) .

O b j e c t - b a s e d d i r e c t i o n

O b j e c t - b a s e d d i r e c t i o n i s t h e d i r e c t i o n o f t h e t a r g e t o b j e c t w i t h r e s p e c t t o t h e o r i e n t a t i o n o f t h e r e f e r -

e n c e o b j e c t . T h e r e f e r e n c e o b j e c t i s a n o r i e n t e d o b j e c t , w h i l e t h e t a r g e t o b j e c t m a y o r m a y n o t h a v e

o r i e n t a t i o n . I n g u r e 3 , t h e p e r s o n a n d t h e d e s k a r e o r i e n t e d o b j e c t s t h e p e r s o n i s b e h i n d t h e d e s k

a n d t h e d e s k i s b e h i n d t h e p e r s o n a l s o . W e w i l l u s e O

B

t o r e p r e s e n t t h e o r i e n t a t i o n o f o b j e c t B , a n d

O

B

:

~

f r o n t , O

B

:

~

r i g h t a n d O

B

:

~

a b o v e a r e t h e t h r e e d i r e c t i o n s o f B ' s o r i e n t a t i o n . B y u s i n g t h e d i r e c t i o n o p -

e r a t o r r e v e r s e , t h e d i r e c t i o n s o f B ' s b e h i n d , l e f t a n d b e l o w c a n b e d e s c r i b e d a s ; O

B

:

~

f r o n t , ; O

B

:

~

r i g h t

a n d ; O

B

:

~

a b o v e , r e s p e c t i v e l y .

The flag is to the left of the deskThe desk is to the right of the flag

F i g u r e 3 : V i e w e r / O b j e c t - b a s e d d i r e c t i o n

G i v e n a t a r g e t p o i n t o b j e c t A , a n d a r e f e r e n c e p o i n t o b j e c t B , t h e d i r e c t i o n o f A r e l a t i v e t o B c a n

b e c a l c u l a t e d b y u s i n g t h e d e v i a t i o n o p e r a t i o n o f t h e d i r e c t i o n o b j e c t s . F i r s t , a d i r e c t i o n o b j e c t

~

B A i s

c o n s t r u c t e d f r o m t h e v e c t o r A ; B . T h e n t h e d i r e c t i o n o f p o i n t o b j e c t A w i t h r e s p e c t t o p o i n t o b j e c t

B ' s o r i e n t a t i o n i s d e c i d e d b y t h e d e v i a t i o n o f d i r e c t i o n o b j e c t

~

B A f r o m t h e t h r e e d i r e c t i o n s O

B

:

~

f r o n t ,

O

B

:

~

r i g h t a n d O

B

:

~

a b o v e . T h e v e c t o r d o t - p r o d u c t i s t h e m e t a o p e r a t i o n f o r d i r e c t i o n d e v i a t i o n o p e r a t i o n .

T a b l e 6 i l l u s t r a t e s t h e c a l c u l a t i o n o f t h e o b j e c t - b a s e d d i r e c t i o n . T h e r s t c o l u m n c o n s i s t s o f t h e

d i r e c t i o n a l p r e d i c a t e s a n d t h e r e m a i n i n g t h r e e c o l u m n s a r e t h e c o n d i t i o n s n e e d e d t o s a t i s f y t h e p r e d i c a t e s .

7

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9/21

D i r e c t i o n p r e d i c a t e s

~

B A O

B

:

~

f r o n t

~

B A O

B

:

~

r i g h t

~

B A O

B

:

~

a b o v e

A i n f r o n t o f B = f r o n t ( A B ) > 0 0 0

A b e h i n d o f B = b e h i n d ( A B ) 0 0

A l e f t t o B = l e f t ( A B ) 0 0

A b e l o w B = b e l o w ( A B ) 0 0 0 > 0 0

~

B A : b e t w e e n ( O

B

:

~

f r o n t ; O

B

:

~

r i g h t ) > 0 0 0 0 > 0

~

B A : a m o n g ( O

B

:

~

f r o n t ; O

B

:

~

a b o v e O

B

:

~

r i g h t ) > 0 > 0 0

8/6/2019 geoModel-2

10/21

t h e o p e r a t o r a m o n g . A s c a n b e s e e n f r o m t h e t a b l e , b y u s i n g d i r e c t i o n o b j e c t

~

B A , t h e c h e c k i n g o f

d i r e c t i o n a l p r e d i c a t e s c o n v e r t s t o t h e c a l c u l a t i o n o f d i r e c t i o n d e v i a t i o n w h i c h i s e a s i l y p e r f o r m e d b y t h e

d o t - p r o d u c t o p e r a t i o n .

V i e w e r - b a s e d d i r e c t i o n

V i e w e r - b a s e d d i r e c t i o n r e f e r s t o t h e d i r e c t i o n a l r e l a t i o n s h i p w h i c h i s m e a s u r e d f r o m t h e v i e w e r ' s p e r -

s p e c t i v e . I n g u r e 3 , t h e a g i s t o t h e l e f t o f t h e d e s k f r o m t h e v i e w e r ' s p e r s p e c t i v e .

T h e r e a r e t h r e e r e l a t e d c o m p o n e n t s i n t h i s s y s t e m : t a r g e t o b j e c t A , r e f e r e n c e o b j e c t B , a n d t h e

v i e w e r . T h e v i e w e r h a s h i s / h e r o w n o r i e n t a t i o n , w h e r e a s o b j e c t s A a n d B m a y o r m a y n o t b e o r i e n t e d

o b j e c t s . G i v e n t h e s e t h r e e c o m p o n e n t s , w e c a n e s t i m a t e t h e d i r e c t i o n o f o b j e c t A r e l a t i v e t o o b j e c t B

f r o m t h e v i e w e r ' s p e r s p e c t i v e , i n a w a y s i m i l a r t o t h a t u s e d w i t h t h e o b j e c t - b a s e d s y s t e m . T h e s i m i l a r

p r e d i c a t e s b u t w . r . t . t h e v i e w e r a r e d e n e d a n d a r e c a l c u l a t e d b y t h e d o t - p r o d u c t b e t w e e n v e c t o r

~

B A a n d

t h e t h r e e d i r e c t i o n s o f t h e r e f e r e n c e o r i e n t a t i o n . T h e r e f e r e n c e o r i e n t a t i o n h e r e i s t h e v i e w e r ' s o r i e n t a t i o n

O

V

, a n d h e n c e t h e t h r e e d o t - p r o d u c t s n e e d e d t o b e c a l c u l a t e d a r e

~

B A O

V

:

~

f r o n t ,

~

B A O

V

:

~

r i g h t ,

a n d

~

B A O

V

:

~

a b o v e . A s i m i l a r t a b l e c a n b e o b t a i n e d a s i n T a b l e 7 .

D i r e c t i o n p r e d i c a t e s

~

B A O

V

:

~

f r o n t

~

B A O

V

:

~

r i g h t

~

B A O

V

:

~

a b o v e

f r o n t ( A B ) > 0 0 0

b e h i n d ( A B ) 0 0

l e f t ( A B ) 0 0

b e l o w ( A B ) 0 0 0 > 0 0

~

B A : a m o n g ( O

V

:

~

f r o n t O

V

:

~

a b o v e O

V

:

~

r i g h t ) > 0 > 0 > 0

T a b l e 7 : V i e w e r - b a s e d o r i e n t a t i o n

I n t h e v i e w e r - b a s e d d i r e c t i o n s y s t e m , t h e v i e w e r m a y c h a n g e h i s / h e r o r i e n t a t i o n o r p o s i t i o n ( u n l i k e

o b j e c t s , w h i c h a r e s t i l l ) . U s i n g t h e o p e r a t o r s r o t a t e a n d t r a n s l a t e o n t h e o r i e n t a t i o n , w e c a n e a s i l y

g e n e r a t e n e w o r i e n t a t i o n s .

V i e w e r - b a s e d d i r e c t i o n s a r e h e a v i l y u s e d i n r o u t e n a v i g a t i o n . T h e r o u t e i n s t r u c t i o n s c a n b e g i v e n

i n t e r m s o f a b s o l u t e d i r e c t i o n , i . e . , n o r t h , s o u t h , e t c . . B u t i n f a c t , s i n c e m a n y p e o p l e h a v e n o i d e a

o f t h e a b s o l u t e d i r e c t i o n , p a r t i c u l a r l y i n a n a r e a n e w t o t h e m , r o u t e i n s t r u c t i o n s i n a b s o l u t e d i r e c t i o n

h a v e l i t t l e m e a n i n g . T h e d i r e c t i o n s w o u l d b e m u c h e a s i e r t o u n d e r s t a n d i f t h e i n s t r u c t i o n s w e r e g i v e n

b y v i e w e r - b a s e d d i r e c t i o n . M a n y w e b r o u t i n g s e r v e r s s u c h a s M a p s O n U s u s e a s m a n y v i e w e r - b a s e d

d i r e c t i o n s a s p o s s i b l e i n t h e i r r o u t e i n s t r u c t i o n s . F i g u r e 4 i s a n e x a m p l e o f a r o u t e m a p t h a t s t a r t s

f r o m t h e C o m p u t e r S c i e n c e B u i l d i n g o f t h e U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a t o a U M a p a r t m e n t o n t h e S t . P a u l

c a m p u s . T h e t u r n - b y - t u r n i n s t r u c t i o n s a r e g i v e n i n t a b l e 8 . A s c a n b e s e e n f r o m t h e t a b l e , v i e w e r - b a s e d

d i r e c t i o n s a r e u s e d a t e v e r y t u r n t o m a k e i t e a s y f o r u s e r s t o f o l l o w t h e d e s c r i p t i o n s i n t u i t i v e l y .

9

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11/21

280

S

Como AV

2

SE Como Av

Washington Av

Knapp Av

Cleveland AV

E

1

2

3

4-5

N

ERaymond Av

University Avenue ( US52)

F i g u r e 4 : R o u t e P l a n n i n g

G o A n d T h e n T o t a l m i l e s

S t a r t H e a d S o u t h o n U n i o n S T S E , F r o m S t a r t

p o i n t ( 2 0 0 U n i o n S T S E , M p l s , M N )

0 . 0

1 L e s s t h a n . 1 m i T u r n L E F T o n t o W a s h i n g t o n A v e . S E 0 . 0

2 0 . 5 m i C o n t i n u e o n t o U S 5 2 E 0 . 5

3 1 . 4 m i T u r n L E F T o n t o R A Y M O N D A v e . 1 . 9

4 1 . 1 m i C o n t i n u e o n t o N C l e v e l a n d A v e 3 . 0

5 0 . 2 m i T u r n R I G H T o n t o K n a p p s t r e e t 3 . 2

E n d L e s s t h a t . 1 m i E n d P o i n t ( 2 0 5 1 K n a p p A v e , S t . P a u l ,

M N )

3 . 2

T a b l e 8 : T u r n - b y - t u r n D i r e c t i o n s

2 . 4 N e w S p a t i a l D a t a T y p e H i e r a r c h y

S o m e w o r k h a s b e e n d o n e o n m o d e l i n g s p a c e i n t o a s p a t i a l g e o m e t r y h i e r a r c h y . T h e O p e n G I S

C o n s o r t i u m 1 2 ] p r o p o s e d a s p a t i a l o b j e c t h i e r a r c h y f o r i n c o r p o r a t i n g 2 D s p a t i a l A D T s i n S Q L , a s i l l u s -

t r a t e d i n g u r e 5 .

T h i s h i e r a r c h y c o n s i s t s o f P o i n t s , C u r v e s , a n d S u r f a c e a n d t h e c l a s s G e o m e t r y C o l l e c t i o n . T h e

b a s i c o p e r a t i o n s a r e c o n n e d t o t o p o l o g i c a l a n d m e t r i c o p e r a t i o n s . S i n c e t h e s e d a t a t y p e s m o d e l o n l y

b o u n d e d s h a p e o b j e c t s , t h e h i e r a r c h y h a s l i m i t a t i o n s i n m o d e l i n g o b j e c t s f o r e x a m p l e , m a p s , r i v e r s ,

r o a d s a n d b u i l d i n g s w h i c h h a v e t h e i r o w n d i r e c t i o n s / o r i e n t a t i o n s . F o r e x a m p l e , w i t h f e w e x c e p t i o n s ,

p r i n t e d m a p s a r e a l l o r i e n t e d w i t h n o r t h u p . T h i s i s n o t o n l y f o r b e t t e r v i s u a l i z a t i o n , b u t f o r m o r e

e x i b i l i t y w i t h s p a t i a l q u e r i e s . I t a l l o w s q u e r i e s s u c h a s " W h i c h s t a t e i s t o t h e l e f t o f M i n n e s o t a ? " t o b e

a s k e d b y n o n - g e o g r a p h e r s w h o m a y n o t u s e g e o g r a p h i c c o n c e p t s l i k e n o r t h , w e s t , e t c .

S p a t i a l q u e r i e s s u c h a s " I s M i n n e s o t a i n t h e n o r t h p a r t o f t h e U S A ? " c a n b e a n s w e r e d b y c o m p a r i n g

t h e l o c a t i o n o f M i n n e s o t a w i t h t h e c e n t e r o f t h e U S A a n d i t s d i r e c t i o n t o t h e c e n t e r , w i t h o u t t h e n e c e s s i t y

o f g e t t i n g t h e i n f o r m a t i o n o n t h e b o u n d a r y o f t h e U S A . B u t i n t h e O G I S h i e r a r c h y , s p a t i a l o b j e c t s c a n

o n l y b e m o d e l e d a s b o u n d e d o b j e c t s , s o n o r t h p a r t o f U S A s h o u l d b e r e p r e s e n t e d i n a p o l y g o n w h i c h

n e e d s a c c u r a t e b o u n d a r y i n f o r m a t i o n t h a t a c t u a l l y h a s l i t t l e e e c t o n t h e q u e r y .

A n e w s p a t i a l d a t a t y p e h i e r a r c h y i s p r o p o s e d i n g u r e 6 . T h i s h i e r a r c h y i n c l u d e s o r i e n t e d o b j e c t s a n d

u n b o u n d e d ( o p e n ) o b j e c t s , w h i c h c o u l d b e d e n e d u s i n g t h e d i r e c t i o n a n d o r i e n t a t i o n o b j e c t s d i s c u s s e d

1 0

8/6/2019 geoModel-2

12/21

1+

1+

1+

2+1+

MultiLineStringMultiPolygonLinearRingLine

MultiPointMultiCurveMultiSurfacePolygonLineString

CurvePoint

SpatialReferenceSystemGeometry

GeometryCollectionSurface

F i g u r e 5 : S p a t i a l D a t a T y p e H i e r a r c h y 1 2 ]

a b o v e . I n t h e n e w s p a t i a l h i e r a r c h y , m a p s a n d r o a d s c a n b e d e n e d a s o r i e n t e d o b j e c t s .

N e w S p a t i a l D a t a T y p e H i e r a r c h y

F i g u r e 6 i l l u s t r a t e s t h e e x t e n d e d s p a t i a l d a t a t y p e h i e r a r c h y w h i c h c o n s i s t s o f s h a p e o b j e c t s , v e c t o r s a n d

o r i e n t e d ( d i r e c t e d ) o b j e c t s . T h e s p a t i a l d a t a t y p e s a n d t h e i r o p e r a t o r s c a n b e e m b e d d e d i n a n e x t e n d e d

q u e r y l a n g u a g e t o i m p l e m e n t a s p a t i a l q u e r y l a n g u a g e .

Vector objectOriented

Spatial

Surface

Curve

Solid

direction

Geometry Orientation

......

open geometry

open line

open rectangle

......

......

oriented

directedline

orientedsolid

Point

closed geometry point

classical type

F i g u r e 6 : E x t e n d e d S p a t i a l D a t a T y p e H i e r a r c h y

M a n y n e w o p e r a t o r s a r e a v a i l a b l e i n t h e e x t e n d e d s p a t i a l o b j e c t m o d e l . B e t w e e n v e c t o r o b j e c t s a n d

s h a p e o b j e c t s , a n e t r a n s f o r m a t i o n s c a n b e p e r f o r m e d . T h e a d d i t i o n o f t h e s e o p e r a t i o n s m a k e s s o m e

1 1

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G I S a p p l i c a t i o n s e a s y . F o r e x a m p l e , U r b a n p l a n n i n g n e e d s i n t e r a c t i v e p l a c e m e n t / o r i e n t a t i o n o f f a c i l i t i e s ,

l o c a t i o n - b a s e d q u e r y e x p l o r a t i o n c a n u s e a n e o p e r a t i o n s , a n d u s i n g t h e s e o p e r a t i o n s c a n a l s o i m p r o v e

v i e w e r e x i b i l i t y , s o t h a t w e d o n o t h a v e t o l o o k d o w n o n e a r t h f r o m s p a c e . I n s t e a d , a v i e w e r c a n v i e w

f r o m a n y d i r e c t i o n b y p e r f o r m i n g r o t a t i o n t r a n s f o r m a t i o n s .

I n t h e l a t e r s e c t i o n s , t h e n e w s p a t i a l d a t a t y p e s a r e d i s c u s s e d i n d e t a i l . T h e i r a p p l i c a t i o n s i n g e o -

g r a p h i c s p a c e a r e a l s o d e s c r i b e d .

3 D e n i n g O r i e n t e d ( d i r e c t e d ) S p a t i a l O b j e c t

T h e r e a r e m a n y o b j e c t s i n g e o g r a p h i c s p a c e t h a t h a v e i n t r i n s i c d i r e c t i o n s / o r i e n t a t i o n s i n a d d i t i o n t o

t h e i r l o c a t i o n s a n d s h a p e s , s u c h a s b u i l d i n g s , r i v e r s a n d r o a d s . A s w e d i s c u s s e d a b o v e , m o d e l i n g m a p s a s

o r i e n t e d o b j e c t s p r o v i d e s u s e r s m o r e e x i b i l i t y i n q u e r y s p e c i c a t i o n . I t a l s o a l l o w s u s e r s w h o h a v e l i t t l e

k n o w l e d g e o f g e o g r a p h i c s p a c e t o q u e r y d i r e c t i o n s i n t u i t i v e l y , b a s e d o n t h e i r o w n o r i e n t a t i o n s . A s i n t h e

r o u t i n g e x a m p l e g i v e n i n g u r e 4 , t h e t u r n - b y - t u r n d i r e c t i o n s i n t a b l e 8 m o s t l y u s e v i e w e r - b a s e d d i r e c t i o n

t o m a k e t h e i n f o r m a t i o n m o r e m e a n i n g f u l t o n o n - g e o g r a p h i c a l u s e r s . B u t s i n c e t h e r e i s n o i n f o r m a t i o n

o n t h e o r i e n t a t i o n o f t h e s t a r t i n g a d d r e s s , t h e r s t d i r e c t i o n a l i n s t r u c t i o n i s b a s e d o n a b s o l u t e d i r e c t i o n

S O U T H . I f w e k n o w t h e o r i e n t a t i o n o f t h e e x i t o f t h e b u i l d i n g , t h e n w e c a n u s e v i e w e r - b a s e d d i r e c t i o n

i n s t e a d , s i n c e i n t h i s c a s e t h e v i e w e r ' s o r i e n t a t i o n i s a l i g n e d w i t h t h e b u i l d i n g e x i t ' s o r i e n t a t i o n . T h e

i n s t r u c t i o n t h e n m a y b e " T u r n R i g h t o n t o U n i o n S t r e e t S E " , w h i c h i s v e r y e a s y f o r a n y u s e r t o f o l l o w .

T a b l e 9 s h o w s s o m e q u e r i e s t h a t c a n o n l y b e a n s w e r e d w h e n t h e r e f e r e n c e o b j e c t s a n d / o r v i e w e r s a r e

m o d e l e d a s o r i e n t e d o b j e c t s .

Q u e r i e s

L i s t t h e s w a m p s i n f r o n t o f t h e t a n k .

L i s t t h e f a r m e l d s s u i t a b l e f o r t a n k m o v e m e n t , a n d a r e l e f t t o L a k e A a s v i e w e d b y V i e w e r 1 .

L e t ' s m o v e b a c k a l i t t l e .

H o w f a r i s t h e n e x t i n t e r s e c t i o n d o w n t h i s r o a d ?

T a b l e 9 : Q u e r i e s N e e d O r i e n t a t i o n I n f o r m a t i o n

I n t r o d u c i n g t h e O r i e n t a t i o n c l a s s i n t o t h e s p a t i a l o b j e c t h i e r a r c h y m a k e s i t e a s y t o f o r m a l i z e o r i e n t e d

o b j e c t s . I n a d d i t i o n t o t h e a t t r i b u t e s s u c h a s l o c a t i o n a n d s h a p e f o r t h e g e o m e t r i c s h a p e o b j e c t s , a n

o r i e n t e d o b j e c t h a s a n a t t r i b u t e o r i e n t a t i o n , w h i c h i s a n i n s t a n c e o b j e c t o f c l a s s o r i e n t a t i o n . T h e

o p e r a t o r s a v a i l a b l e f o r o r i e n t e d o b j e c t s i n c l u d e b o t h t o p o l o g i c a l o p e r a t o r s a n d d i r e c t i o n a n d o r i e n t a t i o n

o p e r a t o r s .

T h e A D T f o r o r i e n t e d o b j e c t s c a n b e s p e c i e d i n O r a c l e 8 . 0 2 5 ] . W e r s t d e n e t h e d i r e c t i o n o b j e c t

t y p e a n d o r i e n t a t i o n o b j e c t i n O r a c l e 8 . 0 . I n t h e f o l l o w i n g , w e a s s u m e G e o m e t r y i s t h e s p a t i a l t y p e

d e n e d b y O G I S 1 2 ] . I t c o u l d b e a p o i n t , a l i n e , a p o l y g o n , a n d e t c .

1 2

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C R E A T E T Y P E D i r e c t i o n T y p e A S O B J E C T (

x N U M B E R ,

y N U M B E R ,

z N U M B E R ,

M E M B E R F U N C T I O N c o m p o s i t i o n ( a D i r e c t i o n I N D i r e c t i o n T y p e ) R E T U R N D i r e c t i o n T y p e ,

M E M B E R F U N C T I O N r e v e r s e R E T U R N D i r e c t i o n T y p e ,

M E M B E R F U N C T I O N d e v i a t i o n ( a D i r e c t i o n I N D i r e c t i o n T y p e ) R E T U R N N U M B E R ,

M E M B E R F U N C T I O N b e t w e e n ( a D i r e c t i o n I N D i r e c t i o n T y p e , b D i r e c t i o n I N D i r e c t i o n T y p e )

R E T U R N N U M B E R ,

P R A G M A R E S T R I C T R E F E R E N C E S ( d e f a u l t , W N D S )

)

C R E A T E T Y P E O r i e n t a t i o n T y p e A S O B J E C T (

o p P o i n t T y p e ,

d 1 D i r e c t i o n T y p e ,

d 2 D i r e c t i o n T y p e ,

d 3 D i r e c t i o n T y p e ,

M E M B E R F U N C T I O N t r a n s l a t e ( a V e c t o r I N V e c t o r T y p e ) R E T U R N O r i e n t a t i o n T y p e ,

M E M B E R F U N C T I O N r o t a t e ( d e g r e e I N N U M B E R ) R E T U R N O r i e n t a t i o n T y p e ,

P R A G M A R E S T R I C T R E F E R E N C E S ( d e f a u l t , W N D S )

)

C R E A T E T Y P E O r i e n t e d O b j e c t A S O B J E C T (

s h a p e G e o m e t r y ,

o r i e n t a t i o n O r i e n t a t i o n T y p e ,

M E M B E R F U N C T I O N l e f t ( o b j I N G e o m e t r y ) R E T U R N N U M B E R ,

/ * o t h e r f u n c t i o n s c a n b e d e f i n e d s i m i l a r i l y * /

P R A G M A R E S T R I C T R E F E R E N C E S ( d e f a u l t , W N D S )

)

C R E A T E T Y P E V i e w e r T y p e A S O B J E C T (

n a m e V A R C H A R 2 ( 2 0 ) ,

o r i e n t a t i o n O r i e n t a t i o n T y p e ,

M E M B E R F U N C T I O N l e f t ( o b j 1 I N G e o m e t r y , o b j 2 I N G e o m e t r y ) R E T U R N N U M B E R ,

/ * o t h e r f u n c t i o n s c a n b e d e f i n e d s i m i l a r i l y * /

P R A G M A R E S T R I C T R E F E R E N C E S ( d e f a u l t , W N D S )

)

W e c a n u s e t h e s e d a t a t y p e s t o s o l v e s p a t i a l q u e r i e s i n v o l v i n g o r i e n t e d o b j e c t s . A s a n e x a m p l e ,

w e w i l l s h o w h o w t o w r i t e t h e r s t t w o q u e r i e s i n t a b l e 9 u s i n g t h e s e d a t a t y p e s . T h e r s t q u e r y

c o n t a i n s o b j e c t - b a s e d d i r e c t i o n a n d t h e s e c o n d o n e f o c u s e s o n v i e w e r - b a s e d d i r e c t i o n . W e r s t c r e a t e

a d a t a b a s e s c h e m e c o n s i s t i n g o f f o u r t a b l e s , F a r m F i e l d , L a n d C o v e r , T a n k , a n d V i e w e r . T h e q u e r i e s

a r e p e r f o r m e d o n t h i s d a t a b a s e s c h e m a .

C R E A T E T A B L E F a r m F i e l d ( n a m e V A R C H A R 2 ( 2 0 ) , t y p e V A R C H A R 2 ( 2 0 ) , e x t e n t G e o m e t r y )

C R E A T E T A B L E L a n d C o v e r ( n a m e V A R C H A R ( 2 0 ) , t y p e V A R C H A R 2 ( 2 0 ) , e x t e n t G e o m e t r y )

C R E A T E T A B L E T a n k ( t a n k i d V A R C H A R ( 2 0 ) , t i m e T i m e , e x t e n t O r i e n t e d O b j e c t )

C R E A T E T A B L E V i e w e r O F V i e w e r T y p e

Q u e r y 1 : L i s t t h e s w a m p s i n f r o n t o f t h e t a n k .

S E L E C T L . n a m e , L . e x t e n t

F R O M L a n d c o v e r L , T a n k T

W H E R E T : e x t e n t : f r o n t ( L : e x t e n t ) = 1 A N D

T . t a n k i d = ' T A N K I D ' A N D L . t y p e = ' s w a m p s '

E x p l a n a t i o n : f r o n t i s a n o b j e c t - b a s e d d i r e c t i o n p r e d i c a t e w i t h r e s p e c t t o t h e o r i e n t e d o b j e c t

T a n k . L a n d c o v e r i s a p a r t i t i o n o f t h e s p a c e b a s e d o n l a n d c o v e r t y p e . W e s e a r c h f o r p a r t i -

t i o n s w h i c h l i e i n f r o n t o f t h e t a n k a n d c h e c k t h e i r t y p e . E x a m p l e o f p o s s i b l e t y p e s i n c l u d e

\ s w a m p s " , \ w a t e r " , \ h i l l " .

Q u e r y 2 : L i s t t h e f a r m e l d s s u i t a b l e f o r t a n k m o v e m e n t , a n d a r e l e f t t o L a k e A a s v i e w e d b y V i e w e r 1 .

S E L E C T F . n a m e , F . e x t e n t

F R O M F a r m F i e l d F , L a n d c o v e r L , V i e w e r V

W H E R E V . l e f t ( F . e x t e n t , L . e x t e n t ) = 1 A N D

L . n a m e = ' L a k e A ' A N D V . n a m e = ' V i e w e r 1 ' A N D F . t y p e = 1

1 3

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E x p l a n a t i o n : A f a r m e l d i s s u i t a b l e f o r t a n k m o v e m e n t i f t h e c r o p g r o w i n g i n s i d e i s s o f t a n d

l o w . T h e t y p e e l d i n t h e F a r m F i e l d t a b l e i d e n t i f y t h i s p r o p e r t y . l e f t i s a v i e w e r - b a s e d

d i r e c t i o n p r e d i c a t e w i t h r e s p e c t t o t h e o r i e n t a t i o n o f a v i e w e r . T h e d a t a b a s e w i l l s e a r c h f o r

F a r m F i e l d s t h a t a r e l e f t o f t h e l a k e f r o m V i e w e r 1 ' s p e r s p e c t i v e , a n d l i s t a l l t h e s a t i s f y i n g

e l d s s u i t a b l e f o r t a n k m o v e m e n t .

4 O p e n G e o m e t r y

O p e n o b j e c t s m e a n t h o s e g e o m e t r i e s w h o s e b o u n d a r i e s a r e p a r t i a l l y d e n e d , o r e x t e n d i n g b e y o n d t h e

d a t a w i n d o w , o r i n n i t e . T o t h i n k o f a q u e r y e x a m p l e r s t :

Q u e r y : G i v e n t h e m a p o f M i n n e s o t a a s o u r d a t a w i n d o w , w h a t ' s t h e l e n g t h o f t h e M i s s i s s i p p i

r i v e r ?

Q u e s t i o n s : W h a t s h o u l d t h e G I S s y s t e m a n s w e r ?

( a ) T h e l e n g t h o f t h e M i s s i s s i p p i r i v e r i n s i d e M i n n e s o t a .

( b ) A t l e a s t t h e l e n g t h o f t h e M i s s i s s i p p i r i v e r i n s i d e M i n n e s o t a , b u t I d o n ' t k n o w e x a c t l y .

S i n c e t h e M i s s i s s i p p i r i v e r e x t e n d s o u t s i d e M i n n e s o t a , w e c a n n o t c o m p u t e t h e e x a c t l e n g t h o f t h e

r i v e r g i v e n o n l y t h e M i n n e s o t a m a p , s o w e p r e f e r a n s w e r ( b ) . M o d e l i n g t h e r i v e r a s a c l o s e d o b j e c t

c a n o n l y r e t u r n a n s w e r ( a ) w h i c h i s n o t p r e c i s e h o w e v e r , i f w e m o d e l t h e r i v e r a s a n o p e n o b j e c t , t h e n

a n s w e r ( b ) w i l l b e o b t a i n e d , w h i c h i s m o r e a c c u r a t e .

4 . 1 C a t e g o r i e s o f O p e n G e o m e t r y

T a b l e 1 0 c a t e g o r i z e s t h e o p e n o b j e c t s b a s e d o n t w o f a c t o r s : t h e e x t e n t o f t h e o b j e c t a n d o u r k n o w l e d g e

o f t h e o b j e c t . F i g u r e 7 g i v e s e x a m p l e s o f e a c h c a t e g o r y o f o p e n o b j e c t s .

K n o w l e d g e

O p e n O b j e c t

w i t h i n w i n d o w b e y o n d w i n d o w

E x t e n t

O p e n - G c o m p l e t e n o n e n i t e

O p e n - I c o m p l e t e c o m p l e t e i n n i t e

O p e n - P p a r t i a l p a r t i a l

T a b l e 1 0 : D e n i n g o p e n o b j e c t s

I f t h e o b j e c t i s n i t e a n d i t s b o u n d a r y i s w e l l d e n e d w i t h i n t h e d a t a w i n d o w , t h e n t h i s i s a c l o s e d

o b j e c t . T y p e O p e n - G r e f e r s t o t h e o b j e c t t h a t h a s a n i t e b o u n d a r y b u t e x t e n d s b e y o n d t h e d a t a

w i n d o w a n d t h e p o r t i o n o f t h e o b j e c t w i t h i n t h e d a t a w i n d o w i s f u l l y k n o w n , b u t t h e p o r t i o n o u t s i d e

t h e d a t a w i n d o w i s o n l y p a r t i a l l y k n o w n . T h i s t y p e o f o p e n o b j e c t i s u s e f u l i n G I S a p p l i c a t i o n s . F o r

e x a m p l e , i f w e c o n s i d e r t h e m a p o f M i n n e s o t a a s o u r d a t a w i n d o w , t h e n t h e M i s s i s s i p p i r i v e r f a l l s i n t o

t h e c a t e g o r y o f O p e n - G . O p e n - I r e f e r s t o t h e o b j e c t t h a t h a s a n i n n i t e b o u n d a r y , b u t w e h a v e c o m p l e t e

k n o w l e d g e o f t h e o b j e c t e i t h e r w i t h i n t h e d a t a w i n d o w o r o u t s i d e . E v e n t h o u g h i t s e e m s o f l i t t l e i n t e r e s t

t o G e o g r a p h i c s c i e n c e s i n c e t h e e a r t h h a s a n i t e s u r f a c e , t h e c a t e g o r y i s u s e f u l i n m o d e l i n g d i r e c t i o n

f o r e x t e n d e d o b j e c t s , a s w e w i l l d i s c u s s i n a l a t e r s e c t i o n . M o r e o v e r , O p e n - I a n d O p e n - G h a v e s i m i l a r

1 4

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F i g u r e 7 : E x a m p l e s o f o p e n s h a p e s

t o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s . T y p e O p e n - P r e f e r s t o a n o b j e c t o f w h i c h w e h a v e o n l y i n c o m p l e t e i n f o r m a t i o n .

D e a l i n g w i t h t h i s k i n d o f o b j e c t i s o u t o f t h e s c o p e o f o u r d i s c u s s i o n . I n t h i s p a p e r , w e w i l l f o c u s o n

t h e c a t e g o r y o f O p e n - G a n d O p e n - I , a n d w i l l u s e t h e t e r m O p e n o b j e c t i n t h e p l a c e s w h e r e d i e r e n c e

b e t w e e n t h e t w o i s u n n e c e s s a r y . t o b e d i e r e n t i a t e d .

4 . 2 G e o m e t r i c a n d T o p o l o g i c a l O p e r a t i o n s o n O p e n O b j e c t s

I n t h i s s u b s e c t i o n , w e w i l l e x a m i n e t h e e e c t s o f o p e n o b j e c t s o n g e o m e t r i c a n d t o p o l o g i c a l o p e r a t i o n s .

T a b l e 1 1 a n d t a b l e 1 2 g i v e t h e r e s u l t s f o r b a s i c g e o m e t r i c a n d t o p o l o g i c a l o p e r a t i o n s , r e s p e c t i v e l y . H e r e

" C l o s e d " r e p r e s e n t s a c l o s e d o b j e c t a n d " O p e n " r e f e r s t o a n o p e n o b j e c t . T h e r s t c o l u m n o f e a c h

s m a l l t a b l e c o n t a i n s t h e r s t a r g u m e n t t y p e , a n d t h e r s t r o w c o n t a i n s t h e s e c o n d a r g u m e n t t y p e . F o r

e x a m p l e , D i f f e r e n c e ( C l o s e d , O p e n ) = C l o s e d , a n d D i f f e r e n c e ( O p e n , C l o s e d ) = O p e n . I f t h e t w o

a r g u m e n t s o f d i f f e r e n c e a r e O p e n o b j e c t s , t h e r e s u l t t h e n c o u l d b e e i t h e r a c l o s e d o b j e c t ( I f t h e t w o

o p e n o b j e c t s e x t e n d i n g t o t h e s a m e s p a c e ) o r a n o p e n o b j e c t .

I n t e r s e c t i o n C l o s e d O p e n U n i o n C l o s e d O p e n D i e r e n c e C l o s e d O p e n

C l o s e d C l o s e d C l o s e d C l o s e d c l o s e d o p e n C l o s e d C l o s e d C l o s e d

O p e n / O p e n /

O p e n C l o s e d

C l o s e d

O p e n O p e n o p e n O p e n o p e n

C l o s e d

T a b l e 1 1 : D o m a i n s a n d R a n g e s f o r G e o m e t r i c O p e r a t i o n s o n O p e n O b j e c t s

E T D O C C l o s e d O p e n W i t h i n C l o s e d O p e n

C l o s e d b o o l e a n b o o l e a n C l o s e d b o o l e a n b o o l e a n

b o o l e a n / b o o l e a n /

O p e n b o o l e a n

d o n ' t k n o w

O p e n F a l s e

d o n ' t k n o w

T a b l e 1 2 : D o m a i n a n d R a n g e s f o r L o g i c a l O p e r a t i o n s o n O p e n O b j e c t . E T D O C s t a n d s f o r o n e o f

f E q u a l s T o u c h e s D i s j o i n t O v e r l a p C r o s s e s g

F i g u r e 8 i l l u s t r a t e s t h e f o u r c a s e s o f o p e r a t i o n D i f f e r e n c e w i t h a n o p e n s h a p e i n v o l v e d . T h e p a t t e r n

p a r t s r e p r e s e n t t h e d i e r e n c e b e t w e e n t w o o b j e c t s . I t i s w o r t h t o m e n t i o n i n g h e r e t h a t s i n c e t h e o p e n

s h a p e s E a n d F e x t e n d t o t h e s a m e r e g i o n , s o D i f f e r e n c e ( E F ) i s a c l o s e d s h a p e .

1 5

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0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 0 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 10 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 1B

C D Y X

A

A-B

C-DX-Y

E

F

E-F

Data window

F i g u r e 8 : O p e r a t i o n D i f f e r e n c e o n o p e n s h a p e s

I n t a b l e 1 2 , w e c o m b i n e o p e r a t i o n s t h a t h a v e t h e s a m e r e s u l t s i n t o o n e t a b l e . H e r e E T D O C r e p r e s e n t s

o n e o f t h e o p e r a t i o n s i n t h e s e t o f f E q u a l , T o u c h e s , D i s j o i n t , O v e r l a p , C r o s s e s g . T h e r e s u l t o f t h e

o p e r a t i o n s c o u l d b e e i t h e r b o o l e a n o r d o n ' t k n o w . d o n ' t k n o w i s a s p e c i a l v a l u e w h i c h h a s p r o p e r t i e s

s i m i l a r t o t h e n u l l v a l u e i n a d a t a b a s e . A u s e f u l o b s e r v a t i o n i s t h a t t o p o l o g i c a l o p e r a t i o n s i n v o l v i n g

c l o s e d o b j e c t s a l w a y s h a v e b o o l e a n r e s u l t s .

4 . 3 D e n i n g O p e n l i n e , O p e n R e c t a n g l e

E x a m p l e s o f o p e n s p a t i a l o b j e c t s a r e o p e n l i n e s , o p e n p l a n e s , a n d o p e n s p a c e s . A c o m m o n w a y t o

d e n e t h e s e i n 3 D C a r t e s i a n g e o m e t r y i s i n t e r m s o f e q u a t i o n s s u c h a s t h e p a r a m e t r i c e q u a t i o n s 1 7 ] :

x = x

0

+ a t y = y

0

+ b t z = z

0

+ c t f o r a l i n e t h r o u g h t h e p o i n t ( x

0

y

0

z

0

) , A x + B y + C = 0 f o r a p l a n e ,

a n d A x + C = 0 f o r a 3 D s p a c e . I t w o u l d b e m o r e c o n v e n i e n t i f t h e r e w e r e c o r r e s p o n d i n g o b j e c t c l a s s e s s o

t h a t u s e r s c o u l d d e s c r i b e t h e m a t a n a b s t r a c t l e v e l a n d u s e t h e m t o d e s c r i b e t h e s p a c e . T h e d i r e c t i o n

o b j e c t c o u l d b e u s e d f o r t h i s p u r p o s e .

W e d e n e o p e n l i n e s a n d o p e n r e c t a n g l e r e g i o n s h e r e u s i n g d i r e c t i o n s a n d p o i n t s . T a b l e 1 3 s h o w s

h o w t o f o r m a l i z e e a c h o p e n o b j e c t w i t h e x a m p l e s i n g u r e 9 .

(d)(c) (e)(b)

P1

P2

v

P

u

v(a)

P u P v P

u

v

F i g u r e 9 : E x a m p l e s o f o p e n s h a p e s

T h e r e a r e s e v e r a l s u b t y p e s i n e a c h t y p e . F o r a n o p e n l i n e , i t c o u l d b e 1 - e n d o p e n ( g u r e 9 a ) , w h i c h

n e e d s a s t a r t p o i n t a n d a d i r e c t i o n t o d e n e i t , o r i t c o u l d b e 2 - e n d o p e n ( g u r e 9 b ) , w h i c h n e e d s a n

i n t e r m e d i a t e p o i n t a n d a d i r e c t i o n t o d e s c r i b e i t . T h e o p e n r e c t a n g l e a l s o h a s t h r e e s u b t y p e s : a 1 - s i d e

o p e n r e c t a n g l e ( 9 c ) , d e s c r i b e d b y t w o v e r t i c e s o f t h e r e c t a n g l e a n d o n e d i r e c t i o n w h i c h i s p e r p e n d i c u l a r

t o t h e e d g e c o n n e c t e d b y t h e t w o v e r t i c e s . A 2 - s i d e o p e n r e c t a n g l e i s d e s c r i b e d u s i n g t w o 1 - e n d o p e n

l i n e s w h i c h s t a r t f r o m t h e v e r t e x o f t h e r e c t a n g l e . A l s o a 3 - s i d e o p e n r e c t a n g l e c o u l d b e d e n e d b y a

1 6

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T y p e S u b t y p e D e s c r i p t i o n s E x a m p l e s

o p e n l i n e o p e n l i n e 1 ( 1 - e n d o p e n l i n e ) s t a r t - p o i n t , d i r e c t i o n ( a )

o p e n l i n e 2 ( 2 - e n d o p e n l i n e ) i n t e r m e d i a t e - p o i n t , d i r e c t i o n ( b )

o p e n r e c t 1 : 1 - s i d e o p e n r e c t a n g l e v e r t e x

1

, v e r t e x

2

, d i r e c t i o n , w h e r e

d i r e c t i o n p e r p e n d i c u l a r t o s e g m e n t

f o r m e d b y t h e t w o v e r t i c e s

( c )

o p e n r e c t a n g l e o p e n r e c t 2 ( 2 - s i d e o p e n r e g i o n ) t w o 1 - e n d o p e n l i n e s f r o m t h e o n l y

v e r t e x

( d )

o p e n r e c t 3 ( 3 - s i d e o p e n r e c t a n g l e ) 2 - e n d o p e n l i n e , d i r e c t i o n ( e )

T a b l e 1 3 : D e n i n g o p e n o b j e c t s

2 - e n d o p e n l i n e a n d a d i r e c t i o n . I t i s o b v i o u s t h a t e x t e n d i n g t o a n o p e n c u b e i s e a s y .

A b s t r a c t D a t a T y p e f o r o p e n l i n e s a n d o p e n r e c t a n g l e s

T h e A D T s f o r o p e n o b j e c t s a r e g i v e n i n t a b l e 1 4 u s i n g C + + n o t a t i o n . T h e e n t i r e o p e n o b j e c t c l a s s

i s d e n e d a s a s u b c l a s s o f g e o m e t r y . G e o m e t r i c a n d t o p o l o g i c a l o p e r a t i o n s a v a i l a b l e f o r o p e n o b j e c t s

i n c l u d e o p e n U n i o n , o p e n I n t e r s e c t i o n , o p e n D i e r e n c e , o p e n W i t h i n , o p e n E q u a l s , o p e n T o u c h e s , o p e n D i s -

j o i n t , o p e n O v e r l a p , a n d O v e r C r o s s e s . T h e d e n i t i o n o f t h e o p e r a t o r s s h o u l d b e o v e r l o a d e d f o r o p e n

o b j e c t s , a c c o r d i n g t o t a b l e 1 1 a n d t a b l e 1 2 . H e r e , w e o n l y s h o w t h e a t t r i b u t e s a n d c o n s t r u c t o r s o f e a c h

o p e n o b j e c t c l a s s , a n d a s a n i l l u s t r a t i o n , w e r e p r e s e n t t h e s p a t i a l o b j e c t s i n g u r e 9 .

A D T a t t r i b u t e s c o n s t r u c t o r s e x a m p l e s i n g u r e 9

O p e n l i n e 1 s P o i n t : P o i n t o p e n l i n e 1 ( p o i n t , d i r e c t i o n ) ( a ) : o p e n l i n e 1 ( P ~ v )

d i r : D i r e c t i o n

O p e n l i n e 2 i P o i n t : P o i n t o p e n l i n e 2 ( p o i n t , d i r e c t i o n ) ( b ) : o p e n l i n e 2 ( P ~ v )

d i r : D i r e c t i o n

O p e n r e c t 1 v e r t e x

1

: P o i n t o p e n r e c t 1 ( p o i n t , p o i n t , d i r e c t i o n ) ( c ) : o p e n r e c t 1 ( P

1

P

2

~v )

v e r t e x

2

: P o i n t

d i r : D i r e c t i o n

O p e n r e c t 2 l i n e

1

: O p e n l i n e 1 o p e n r e c t 2 ( o p e n l i n e 1 , o p e n l i n e 1 ) ( c ) : o p e n r e c t 2 ( o p e n l i n e 1 ( P ~ u )

o p e n l i n e 1 ( P ~ v ) )

l i n e

2

: O p e n l i n e 1 o p e n r e c t 2 ( p o i n t , d i r e c t i o n , ( c ) : o p e n r e c t 1 ( P ~ u ~ v )

d i r e c t i o n )

O p e n r e c t 3 l i n e : O p e n l i n e 2 o p e n r e c t 3 ( o p e n l i n e 2 , d i r e c t i o n ) ( d ) : o p e n r e c t 3 ( o p e n l i n e 2 ( P ~ u ) ~v )

d i r : D i r e c t i o n

T a b l e 1 4 : A b s t r a c t D a t a T y p e s f o r O p e n L i n e s a n d O p e n R e c t a n g l e s

4 . 4 M o d e l i n g D i r e c t i o n B e t w e e n N o n - p o i n t O b j e c t s u s i n g o p e n o b j e c t s

W e c a n u s e o p e n s h a p e s t o m o d e l t h e d i r e c t i o n s b e t w e e n e x t e n d e d o b j e c t s b y c o n v e r t i n g t h e c a l c u l a t i o n

o f d i r e c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s t o t h e c a l c u l a t i o n o f t o p o l o g i c a l r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n o b j e c t s .

G i v e n t w o o b j e c t s T O a n d R O , w e w a n t t o d e c i d e t h e d i r e c t i o n o f t a r g e t o b j e c t T O r e l a t e d t o

r e f e r e n c e o b j e c t R O . U s i n g t h e a p p r o a c h i n 8 ] , r s t w e o b t a i n t h e M B R o f o b j e c t R O a n d p a r t i t i o n t h e

s p a c e a r o u n d o b j e c t R O i n t o n i n e d i r e c t i o n t i l e s b a s e d o n t h e M B R o f o b j e c t R O , w h i c h i s a r e c t a n g l e

1 7

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A B C D a s i n g u r e 1 0 . W e r e p r e s e n t e a c h d i r e c t i o n t i l e a s a s p a t i a l o b j e c t , a s i n t a b l e 1 5 .

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 N ENEOW S SESWNW A BCD u vTO ROF i g u r e 1 0 : O b j e c t T O a n d R O R e c t a n g l e r e p r e s e n t a t i o n f o r g u r e 1 0

N W o p e n r e c t 2 ( o p e n l i n e 2 ( A ~ u ) o p e n l i n e 2 ( A ; ~v ) )

N o p e n r e c t 1 ( A B ~u )

N E o p e n r e c t 2 ( o p e n l i n e 2 ( B ~ u ) o p e n l i n e 2 ( B ~ v ) )

E o p e n r e c t 1 ( B C ~ v )

S E o p e n r e c t 2 ( o p e n l i n e 2 ( C ; ~u ) o p e n l i n e 2 ( C ~ v ) )

S o p e n r e c t 1 ( C D ; ~v )

S W o p e n r e c t 2 ( o p e n l i n e 2 ( D ; ~u ) o p e n l i n e 2 ( D ; ~v ) )

W o p e n r e c t 1 ( A D ; ~v )

O r e c t a n g l e ( A , B , C , D )

T a b l e 1 5 : D i r e c t i o n t i l e

E i g h t o f t h e n i n e d i r e c t i o n t i l e s a r e o p e n r e c t a n g l e s . N W , N E , S E , a n d S W a r e 2 - s i d e o p e n r e c t a n g l e s ,

a n d N , W , E , a n d S a r e 1 - s i d e o p e n r e c t a n g l e s . I n o r d e r t o t e s t t h e d i r e c t i o n o f o b j e c t T O r e l a t e d t o

o b j e c t R O , w e c a n t e s t i n t o w h i c h d i r e c t i o n t i l e T O f a l l s . T h e c a l c u l a t i o n i s t h e n c o n v e r t e d t o t h e o v e r l a p

r e l a t i o n s h i p b e t w e e n o b j e c t T O a n d t h e d i r e c t i o n t i l e s . F o r e x a m p l e ,

N o r t h ( T O R O ) o p e n O v e r l a p ( T O N )

N o r t h W e s t ( T O R O ) o p e n O v e r l a p ( T O N W )

T h e o t h e r d i r e c t i o n a l r e l a t i o n s h i p c a n b e t e s t e d s i m i l a r l y . A s w e c a n s e e i n t a b l e 1 2 , t h e t o p o l o g i c a l

o p e r a t i o n s i n v o l v i n g c l o s e d o b j e c t s p r o d u c e b o o l e a n v a l u e s . T h e u n i o n o f a l l t h e t i l e s t h a t o v e r l a p w i t h

A i s t h e r e g i o n w h e r e t h e t a r g e t o b j e c t T O i s l o c a t e d w . r . t . t h e o b j e c t R O . F o r e x a m p l e , i n g u r e 1 0 ,

T O i s N o r t h a n d N o r t h w e s t a n d W e s t o f o b j e c t R O .

5 D i s c u s s i o n

I n t h i s p a p e r , w e m o d e l d i r e c t i o n a s a n e w k i n d o f s p a t i a l o b j e c t u s i n g t h e c o n c e p t s o f v e c t o r s , p o i n t s

a n d a n g l e s . T h e b a s i c a p p r o a c h h e r e i s t o m o d e l d i r e c t i o n a s a u n i t v e c t o r . T h i s n o v e l o b j e c t v i e w o f

d i r e c t i o n h a s s e v e r a l o b v i o u s a d v a n t a g e s : I t a l l o w s u s e r s t o d e n e t h e o r i e n t a t i o n o f s p a t i a l o b j e c t s i t

a l s o g i v e s a r i c h e r s e t o f p r e d i c a t e s a n d o p e r a t o r s o n d i r e c t i o n a n d o r i e n t a t i o n . N e w s p a t i a l d a t a t y p e s

1 8

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s u c h a s o r i e n t e d s p a t i a l o b j e c t s a n d u n b o u n d e d s p a t i a l o b j e c t s c a n b e d e n e d a s w e l l . F i n a l l y , d i r e c t i o n

r e a s o n i n g , w h i c h i s u s e f u l i n s p a t i a l q u e r y p r o c e s s i n g a n d o p t i m i z a t i o n , c a n b e i m p l e m e n t e d s i m p l y b y

b a s i c v e c t o r a l g e b r a .

T h e b e n e t s o f t h e n e w v i e w p o i n t a r e o b v i o u s a n d p r o m i s i n g . I n f u t u r e w o r k , w e w o u l d i n t e g r a t e

v e c t o r a b s t r a c t d a t a t y p e s w i t h a n e x t e n s i b l e q u e r y l a n g u a g e t o e v a l u a t e t h e i r e c i e n c y i n t h e c o n t e x t

o f v a r i o u s G I S a p p l i c a t i o n s 2 1 , 2 3 ] . W e w o u l d a l s o l i k e t o e x p l o r e t h e u s e o f v e c t o r s t o m o d e l v a l u e s o f

s p a t i a l a t t r i b u t e s s u c h a s w i n d - v e l o c i t y , t h e m a g n e t i c e l d o f t h e e a r t h , e t c .

A c k n o w l e d g m e n t s

T h i s w o r k i s s p o n s o r e d i n p a r t b y t h e A r m y H i g h P e r f o r m a n c e C o m p u t i n g R e s e a r c h C e n t e r u n d e r t h e

a u s p i c e s o f t h e D e p a r t m e n t o f t h e A r m y , A r m y R e s e a r c h L a b o r a t o r y c o o p e r a t i v e a g r e e m e n t n u m b e r

D A A H 0 4 - 9 5 - 2 - 0 0 0 3 / c o n t r a c t n u m b e r D A A H 0 4 - 9 5 - C - 0 0 0 8 , t h e c o n t e n t o f w h i c h d o e s n o t n e c e s s a r i l y

r e e c t t h e p o s i t i o n o r t h e p o l i c y o f t h e g o v e r n m e n t , a n d n o o c i a l e n d o r s e m e n t s h o u l d b e i n f e r r e d . T h i s

w o r k w a s a l s o s u p p o r t e d i n p a r t b y N S F g r a n t # 9 6 3 1 5 3 9 T h a n k s t o t o C h r i s t i a n e M c C a r t h y f o r h e l p i n g

t o i m p r o v e t h e r e a d a b i l i t y o f t h e p a p e r .

R e f e r e n c e s

1 ] A . F r a n k . Q u a l i t a t i v e S p a t i a l R e a s o n i n g : C a r d i n a l D i r e c t i o n s a s a n E x a m p l e . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f G e o g r a p h i c a l

I n f o r m a t i o n S y s t e m s , 1 0 ( 3 ) : 2 6 9 { 2 9 0 , 1 9 9 6 .

2 ] J . A l l e n . M a i n t a i n i n g K n o w l e d g e a b o u t T e m p o r a l I n t e r v a l s . C o m m u n i c a t i o n s o f t h e A C M , 2 6 ( 1 1 ) : 8 3 2 { 8 4 3 , 1 9 8 3 .

3 ] D . P a p a d i a s , M . E g e n h o f e r , a n d J . S h a r m a . H i e r a r c h i c a l R e a s o n i n g a b o u t D i r e c t i o n R e l a t i o n s . I n F o u r t h A C M

W o r k s h o p o n A d v a n c e s i n G e o g r a p h i c I n f o r m a t i o n S y s t e m s , p a g e s 1 0 5 { 1 1 2 . A C M , 1 9 9 6 .

4 ] A . F r a n k . Q u a l i t a t i v e S p a t i a l R e a s o n i n g a b o u t C a r d i n a l D i r e c t i o n s . I n A u t o c a r t o 1 0 , D . M a r k a n d D . W h i t e , e d s . ,

B a l t i m o r e , M D , p a g e s 1 4 8 { 1 6 7 , 1 9 9 1 .

5 ] C . F r e k s a . T e m p o r a l R e a s o n i n g B a s e d o n S e m i - I n t e r v a l s . A r t i c i a l I n t e l l i g e n c e , 5 4 : 1 9 9 { 2 2 7 , 1 9 9 2 .

6 ] C . F r e k s a . U s i n g O r i e n t a t i o n I n f o r m a t i o n f o r Q u a l i t a t i v e S p a t i a l R e a s o n i n g . T h e o r i e s a n d M e t h o d s o f S p a t i o - T e m p o r a l

R e a s o n i n g G e o g r a p h i c S p a c e , 6 3 9 : 1 6 2 { 1 7 8 , 1 9 9 2 .

7 ] K l a u s - P e t e r G a p p . B a s i c M e a n i n g s o f S p a t i a l r e l a t i o n s : C o m p u t a t i o n a n d E v a l u a t i o n i n 3 D s p a c e . A A A I , 2 : 1 3 9 3 { 1 3 9 8 ,

1 9 9 4 .

8 ] R . G o y a l a n d M . E g e n h o f e r . T h e D i r e c t i o n - R e l a t i o n M a t r i x : A R e p r e s e n t a t i o n o f D i r e c t i o n R e l a t i o n s f o r E x t e n d e d

S p a t i a l O b j e c t s . I n U C G I S A n n u a l A s s e m b l y a n d S u m m e r R e t r e a t , B a r H a r b o r , M E , 1 9 9 7 .

9 ] G . R e t z - S c h m i d t . V a r i o u s V i e w s o n S p a t i a l P r e p o s i t i o n s . A I M a g a z i n e , 9 ( 2 ) : 9 5 { 1 0 5 , 1 9 8 8 .

1 0 ] J o h n G u r n e y a n d E l i z a b e t h K i l p p l e . C o m p o s i n g C o n c e p t u a l S t r u c t u r e f o r S p o k e n N a t u r a l L a n g u a g e i n a V i r t u a l

R e a l i t y E n v i r o n m e n t . 1 9 9 7 .

1 1 ] R . H . G u t i n g . A n I n t r o d u c t i o n t o S p a t i a l D a t a b a s e S y s t e m s . V L D B , 3 : 3 5 7 { 3 9 9 , 1 9 9 4 .

1 2 ] O p e n G I S C o n s o r t i u m I n c . O p e n g i s s i m p l e f e a t u r e s s p e c i c a t i o n f o r s q l . h t t p : / / w w w . o p e n g i s . o r g .

1 3 ] O p e n G I S C o n s o r t i u m I n c . S p a t i a l r e f e r e n c e s y s t e m s . h t t p : / / w w w . o p e n g i s . o r g / t e c h n o / s p e c s . h t m .

1 4 ] E . J u n g e r t . T h e o b s e r v e r ' s p o i n t o f v i e w : A n E x t e n s i o n o f S y m b o l i c P r o j e c t i o n s . T h e o r i e s a n d M e t h o d s o f S p a t i a l -

T e m p o r a l R e a s o n i n g i n G e o g r a p h i c S p a c e , 6 3 9 : 1 7 9 { 1 9 5 , 1 9 9 2 .

1 5 ] D . P a p a d i a s a n d T . S e l l i s . Q u a l i t a t i v e r e p r e s e n t a t i o n o f S p a t i a l K n o w l e d g e i n T w o - D i m e n s i o n a l S p a c e . V L D B J o u r n a l ,

3 ( 4 ) : 4 7 9 { 5 1 6 , 1 9 9 4 .

1 6 ] D o n n a J . P e u q u e t a n d Z h a n C i - X i a n g . A n A l g o r i t h m t o D e t e r m i n e t h e D i r e c t i o n a l R e l a t i o n s h i p B e t w e e n A r b i t r a r i l y -

s h a p e d P o l y g o n s i n t h e p l a n e . P a t t e r n R e c o g n i t i o n , 2 0 ( 1 ) : 6 5 { 7 4 , 1 9 8 7 .

1 7 ] M . H . P r o t t e r a n d C . B . M o r r e y . M o d e r n M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s . A d d i s o n - W e s l e y P u b l i s h i n g C o m p a n y , I n c . , 1 9 9 6 .

1 8 ] P . W . H u a n g a n d Y . R . J e a n . U s i n g 2 D C

+

- S t r i n g A s S p a t i a l K n o w l e d g e R e p r e s e n t a t i o n F o r I m a g e D a t a b a s e S y s t e m s .

P a t t e r n R e c o g n i t i o n , 3 0 ( 1 0 ) : 1 2 4 9 { 1 2 5 7 , 1 9 9 4 .

1 9

8/6/2019 geoModel-2

21/21

1 9 ] D a v i d F . R o g e r s . M a t h e m a t i c a l E l e m e n t s f o r C o m p u t e r G r a p h i c s . M c G r a w - H i l l P u b l i s h i n g C o m p a n y , 1 9 9 0 .

2 0 ] S . S h e k h a r , S . R a v a d a A . F e t t e r e r , X . L i u , a n d C . T . L u . S p a t i a l D a t a b a s e s : A c c o m p l i s h m e n t s a n d R e s e a r c h N e e d s .

U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a t e c h n i c a l r e p o r t , C s c i T R 9 7 - 0 1 6 , 1 9 9 7 .

2 1 ] S . S h e k h a r , S . R a v a d a , V . K u m a r , a n d e t c . P a r a l l e l i z i n g a G I S o n a S h a r e d - A d d r e s s S p a c e A r c h i t e c t u r e . I E E E

C o m p u t e r , 2 9 ( 1 2 ) : 4 2 { 4 8 , D e c e m b e r 1 9 9 6 .

2 2 ] S h a s h i S h e k h a r , M a r k C o y l e , a n d e t c . D a t a M o d e l s i n G e o g r a p h i c I n f o r m a t i o n S y s t e m s . C A C M , 4 0 ( 4 ) : 1 0 3 { 1 1 1 , 1 9 9 7 .

2 3 ] S h a s h i S h e k h a r a n d D u e n - R e n L i u . C C A M : A C o n n e c t i v i t y - C l u s t e r e d A c c e s s M e t h o d f o r N e t w o r k s a n d N e t w o r k

C o m p u t a t i o n s . T K D E , 9 ( 1 ) : 1 0 2 { 1 1 9 , 1 9 9 7 .

2 4 ] S h a s h i s h e k h a r , X u a n L i u , a n d S a n j a y C h a w l a . E q u i v a l e n c e C l a s s e s o f D i r e c t i o n O b j e c t s a n d A p p l i c a t i o n s . T e c h .

R e p o r t T R 9 9 - 0 2 7 , U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a , M i n n e a p o l i s , M N 5 5 4 5 5 .

2 5 ] J e r e y D . U l l m a n a n d J e n n i f e r W i d o m . A F i r s t C o u r s e i n D a t a b a s e S y s t e m s . P r e n t i c e H a l l , 1 9 9 7 .

2 6 ] Y . I . C h a n g a n d B . Y . Y a n g . A P r i m e - N u m b e r - B a s e d M a t r i x S t r a t e g y f o r E c i e n t I c o n i c I n d e x i n g o f S y m b o l i c P i c t u r e s .

P a t t e r n R e c o g n i t i o n , 3 0 ( 1 0 ) : 1 { 1 3 , O c t o b e r 1 9 9 7 .

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