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  • Geometrie 5.1 Jürgen Roth

    Geometrie

    Homepage zur Veranstaltung: http://www.juergen-roth.de ► Lehre ► Geometrie

  • Geometrie 5.2 Jürgen Roth

    Inhaltsverzeichnis

    Geometrie

    0 Geometrie!?

    1 Axiome der Elementargeometrie

    2 Kongruenzabbildungen

    3 Längen-, Winkel- und Flächenmessungen

    4 Elementare Anwendungen

    5 Ähnlichkeitsabbildungen

  • Geometrie 5.3 Jürgen Roth

    Kapitel 5:

    Ähnlichkeitsabbildungen

    Geometrie

  • Geometrie 5.4 Jürgen Roth

    Inhaltsverzeichnis

    Kapitel 5:

    Ähnlichkeitsabbildungen

    5.1 Zentrische Streckung

    5.2 Ähnlichkeitsabbildungen – Ähnlichkeit

  • Geometrie 5.5 Jürgen Roth

    Abbildungsgruppen

  • Geometrie 5.6 Jürgen Roth

    5.1 Zentrische Streckung

    Kapitel 5: Ähnlichkeitsabbildungen

  • Geometrie 5.7 Jürgen Roth

    Pantograph

    http://www.juergen-roth.de/dynageo/pantograph/

    http://www.juergen-roth.de/dynageo/pantograph/

  • Geometrie 5.8 Jürgen Roth

    Dilatation

    Definition 5.1

    Eine Abbildung der Ebene  auf sich heißt genau dann Dilatation, wenn sie jede Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade abbildet.

    Bemerkung: Verschiebungen sind also Dilatationen und nach Satz 2.47

    sogar die einzigen, die keinen Fixpunkt besitzen.

    Satz 5.1

    Bei Dilatationen mit Fixpunkt ist jede Gerade

    durch einen Fixpunkt eine Fixgerade.

    Beweis: Annahme: Die Gerade g durch einen Fixpunkt Z ist keine Fixgerade.

    Dann wird g auf eine von g verschiedene Parallele abgebildet, auf der auch

    das Bild von Z liegt. Folglich wäre Z im Wiederspruch zur Voraussetzung kein

    Fixpunkt.

    Satz 5.2

    Eine von der Identität verschiedene Dilatation

    hat höchstens einen Fixpunkt.

  • Geometrie 5.9 Jürgen Roth

    Zentrische Streckung

    Definition 5.2

    Eine Dilatation mit einem Fixpunkt Z heißt zentrische Streckung.

    Der Fixpunkt Z heißt Streckungszentrum.

    Bemerkung:

    Man kann zeigen, dass die

    Definition 5.2 gleichwertig zu

    folgender Definition 5.3 ist.

    Definition 5.3

    Eine Abbildung der Ebene  auf sich heißt genau dann zentrische Streckung ZZ, k mit dem Zentrum Z und dem

    Streckungsfaktor k  R\{0}, wenn jedem Punkt P genau

    ein Bildpunkt P‘ so zugeordnet wird, das gilt:

    Z  PP‘  ZP‘  k  ZP

  • Geometrie 5.10 Jürgen Roth

    Zentrische Streckung

    Bemerkungen

    Das Bild P‘  ZZ, k(P) von P wird konstruiert, indem man auf der

    Geraden ZP von Z aus die |k|-fache Länge der Strecke [ZP]

    abträgt, für k  0 auf der Halbgeraden, auf der P liegt, für

    k  0 auf der entgegengesetzten Halbgeraden.

    Es gibt zwei wichtige Sonderfälle von Definition 5.3:

    k  1: Jeder Pfeil wird auf sich selbst abgebildet. Folglich ist die

    Identität eine zentrische Streckung mit Streckungsfaktor 1.

    k  1: Jeder Pfeil ZP wird auf den Gegenpfeil ZP‘ abgebildet. Also ist

    die Punktspiegelung eine spezielle zentrische Streckung mit

    Streckungsfaktor 1.

    Satz 5.3

    Die zentrische Streckung ZZ, k bildet jeden Pfeil AB so auf den Pfeil

    A‘B‘ ab, dass gilt:

    A‘B‘  k  AB

  • Geometrie 5.11 Jürgen Roth

    Zentrische Streckung

    Bemerkung

    Eine Strecke wird durch die zentrische Streckung ZZ, k also auf

    eine Strecke abgebildet, die die |k|-fache Länge besitzt und deren

    Trägergerade für k  0 gleichorientiert, für k  0 entgegengesetzt

    orientiert zur Trägergeraden der Originalstrecke ist.

    Beweis zu Satz 5.3

    ZZ, k ist eine zentrische Streckung mit A‘  ZZ, k(A) und B‘  ZZ, k(B).

    1. Fall: Z  AB

    A‘B‘ || AB

    ZP  AB  ZP  AB

     PB || ZA

    ZP‘A‘B‘  ZP‘  A‘B‘

     P‘B‘ || ZA‘

     PB || P‘B‘

    (Def. 5.2)

     P‘  ZZ, k(P)  ZP‘  k  ZP (Def. 5.2)

     A‘B‘  k  AB (*) (**)

    (*)

    (**)

    ZA  Z‘A‘

    geogebra/zentrische_streckung.ggb

  • Geometrie 5.12 Jürgen Roth

    Zentrische Streckung

    Beweis zu Satz 5.3 (Fortsetzung)

    2. Fall: Z  AB

    Zurückführen auf den 1. Fall!

    #

  • Geometrie 5.13 Jürgen Roth

    Folgerungen aus Satz 5.3

    Satz 5.4: Erster Strahlensatz

    Werden zwei von einem Punkt ausgehende

    Halbgeraden (oder deren entgegengesetzte

    Halbgeraden) von parallelen Geraden ge-

    schnitten, dann verhalten sich die Längen

    der Abschnitte auf der einen Halbgeraden,

    wie die Längen der Abschnitte auf der an-

    deren Halbgeraden.

    Mit den Bezeichnungen in der Abbildung

    ergibt sich:

    |ZA‘|  |ZA|  |ZB‘|  |ZB|

    Beweis

    Da AB || A‘B‘ folgt mit Definition 5.2: A‘  ZZ, k(A)  B‘  ZZ, k(B)

    Mit Satz 5.3 ergibt sich: |ZA‘|  |k|  |ZA|  |ZB‘|  |k|  |ZB|

    Damit ergibt sich: |ZA‘|  |ZA|  |k|  |ZB‘|  |ZB| #

  • Geometrie 5.14 Jürgen Roth

    Folgerungen aus Satz 5.3

    Satz 5.5: Zweiter Strahlensatz

    Werden zwei von einem Punkt aus-

    gehende Halbgeraden (oder deren

    entgegengesetzte Halbgeraden) von

    parallelen Geraden geschnitten, dann

    verhalten sich die Längen der Abschnitte

    auf den Parallelen wie die Längen der

    Abschnitte auf einer Halbgeraden.

    Mit den Bezeichnungen in der Abbildung

    ergibt sich:

    |A‘B‘|  |AB|  |ZA‘|  |ZA|

    Beweis

    Da AB || A‘B‘ folgt mit Definition 5.2: A‘  ZZ, k(A)  B‘  ZZ, k(B)

    Mit Satz 5.3 ergibt sich: |A‘B‘|  |k|  |AB|  |ZA‘|  |k|  |ZA|

    Damit ergibt sich: |A‘B‘|  |AB|  |k|  |ZA‘|  |ZA| #

  • Geometrie 5.15 Jürgen Roth

    Folgerungen aus Satz 5.3

    Satz 5.6: Verhältnistreue der zentrischen Streckung

    Das Längenverhältnis zweier Bildstrecken bei einer zentrischen

    Streckung ist gleich dem Längenverhältnis ihrer Urbildstrecken.

    Beweis

    [AB] und [CD] sind Strecken und [A‘B‘] sowie [C‘D‘]

    ihre Bildstrecken bei der zentrischen Streckung ZZ, k.

    Mit Satz 5.3 ergibt sich: |A‘B‘|  |k|  |AB|  |C‘D‘|  |k|  |CD|

    Damit ergibt sich:

    |A‘B‘|  |C‘D‘|  (|k|  |AB|)  (|k|  |CD|)  |AB|  |CD|

    #

    Satz 5.7: Orientierungstreue der zentrischen Streckung

    Bei einer zentrischen Streckung wird ein Dreieck auf

    ein Dreieck mit gleicher Orientierung abgebildet.

  • Geometrie 5.16 Jürgen Roth

    Folgerungen

    Bemerkung

    Da Dilatationen Geraden auf parallele Geraden abbilden,

    sind sie geraden- und winkelmaßtreu. Folglich bilden alle

    Dilatationen Dreiecke auf Dreiecke ab.

    Beweisidee zu Satz 5.7

    Es genügt den Fall k  0 zu betrachten,

    da für k  0 die Situation mit einer

    Punktspiegelung, die eine gleich-

    sinnige Abbildung ist, auf den Fall

    k  0 zurückgeführt werden kann.

    Der Beweisgang lässt

    sich aus der Abbildung

    ablesen.

    geogebra/zentrische_streckung_orientierungstreue.ggb

  • Geometrie 5.17 Jürgen Roth

    Folgerungen

    Satz 5.8: Änderung des Flächeninhalts bei zentrischer Streckung

    Bei einer zentrischen Streckung ZZ, k wird der Flächeninhalt

    eines Polygons auf das k2-fache vergrößert bzw. verkleinert.

    Beweis

    Da jedes einfach zusammenhängende Polygon trianguliert,

    also in endlich viele Dreiecke zerlegt werden kann, genügt es,

    den Satz für Dreiecke zu beweisen.

     ist ein Dreieck und ‘ sein Bilddreieck bei einer zentrischen

    Streckung ZZ, k. Nach Satz 3.15 gilt dann:

    A  ½  g  h und A‘  ½  g‘  h‘

    Wegen g‘  ZZ, k(g) und h‘  ZZ, k(h) folgt mit Satz 5.3:

    g‘  |k|  g und h‘  |k|  h

    Also folgt: A‘  ½  g‘  h‘

     |k|2  ½  g  h

     ½  (|k|  g)  (|k|  h)

     k2  A #

  • Geometrie 5.18 Jürgen Roth

    Folgerungen

    Satz 5.9

    Sind zwei parallele Pfeile AB und A‘B‘ gegeben, die nicht gleichzeitig

    gleichorientiert und kongruent zueinander sind, dann gibt es genau

    eine zentrische Streckung die AB auf A‘B‘ abbildet.

    Satz 5.10

    Wenn in zwei Dreiecken die Seiten auf paarweise parallelen Geraden

    liegen, dann gibt es entweder genau eine zentrische Streckung oder

    genau eine Parallelverschiebung, also genau eine Dilatation, die das

    eine Dreieck auf das andere abbildet.

    Man sagt: Die Dreiecke sind in perspektiver Lage.

    Satz 5.11: Inverses einer zentrischen Streckung

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