geometrie diferentiala

Download geometrie diferentiala

Post on 06-Jun-2015

6.287 views

Category:

Documents

5 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

III C CU UP PR RI IN NS S Prefa Capitolul 1. E EL LE EM ME EN NT TE E D DE E G GE EO OM ME ET TR RI IE E D DI IF FE ER RE EN N I IA AL L A A C CU UR RB BE EL LO OR RP PL LA AN NE E ......1 1.1. Reprezentarea analitic a curbelor plane.....................................................1 1.2. Stabilirea ecuaiilor unor curbe plane..........................................................2 1.2.1. Cisoida lui Diocles............................................................................2 1.2.2. Cicloida............................................................................................4 1.2.3. Epicicloida. Cardioida.......................................................................5 1.2.4. Hipocicloida. Astroida......................................................................8 1.2.5. Ecuaia unei drepte n coordonate polare.........................................10 1.2.6. Spirale .............................................................................................10 1.2.6.1. Spirala lui Arhimede..........................................................10 1.2.6.2. Spirala hiperbolic.............................................................11 1.2.6.3. Spirala logaritmic .............................................................12 1.2.7. Lemniscata......................................................................................12 1.2.8. Concoide .........................................................................................13 1.2.8.1. Concoida cercului..............................................................13 1.2.8.2. Concoida unei drepte (concoida lui Nicomede)..................14 1.3. Tangenta i normala la o curb plan ntr-un punct ordinar ............................14 1.4. Subtangenta, subnormala, segmentul tangent, segmentul normal .......18 1.5. Lungimea unui arc de curb plan. Elementul de arc....................................20 1.6. Curbura i raza de curbur a unei curbe plane ..........................................24 1.7. Contactul ntre dou curbe plane ................................................................28 1.8. Cercul osculator al unei curbe plane............................................................31 1.9. Puncte multiple ale unei curbe plane............................................................35 1.10. nfurtoarea unei familii de curbe plane..................................................40 1.11. Evoluta (desfurata) unei curbe plane.......................................................46 1.12. Evolventa (desfurtoarea) unei curbe plane.............................................48 1.13. Teorema fundamental a teoriei curbelor plane ...........................................53 1.14. Clase remarcabile de curbe plane. Curbe speciale.......................................54 1.15. Cteva consideraii asupra curbelor n reprezentare polar ...........................58 1.16. Probleme propuse .....................................................................................63 Capitolul 2. E EL LE EM ME EN NT TE E D DE E G GE EO OM ME ET TR RI IE E D DI IF FE ER RE EN N I IA AL L A A C CU UR RB BE EL LO OR R N N S SP PA A I IU U............................................................................................................................... 66 2.1. Reprezentarea analitic a curbelor n spaiu ...............................................66 2.2. Lungimea unui arc regulat de curb. Element de arc.....................................69 2.3. Tangenta la o curb n spaiu.......................................................................76 2.4. Planul normal la o curb n spaiu................................................................81 2.5. Planul osculator la o curb n spaiu..........................................................84 2.6. Normala principal la o curb n spaiu........................................................87 A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.A-PDF.com to remove the watermarkIV 2.7. Binormala la o curb n spaiu ...................................................................91 2.8. Planul rectificant la o curb n spaiu...........................................................94 2.9. Triedrul lui Frenet......................................................................................96 2.10. Indicatoare sferice. Curbur. Torsiune.......................................................99 2.11. Formulele lui Frenet...............................................................................103 2.12. Aplicaii ale formulelor lui Frenet ............................................................107 2.13. Calculul curburii i al torsiunii................................................................113 2.14. Forma local a unei curbe n spaiu n vecintatea unui punct ordinar .........122 2.15. Clase remarcabile de curbe n spaiu........................................................126 2.16. Contactul ntre dou curbe n spaiu. Contactul ntre o curb i o suprafa..............................................................................................137 2.17. Probleme propuse ...................................................................................151 Capitolul 3. E EL LE EM ME EN NT TE E D DE E G GE EO OM ME ET TR RI IE E D DI IF FE ER RE EN N I IA AL L A A S SU UP PR RA AF FE E E EL LO OR R....... 155 3.1. Reprezentarea analitic a unei suprafee..................................................155 3.2. Curbe trasate pe o suprafa. Curbe coordonate..........................................157 3.3. Planul tangent la o suprafa ......................................................................165 3.4. Normala la o suprafa. Orientarea unei suprafee.......................................170 3.5. Prima form fundamental a unei suprafee................................................175 3.6. Aplicaii ale primei forme fundamentale: elementul de arc;lungimea unui arc; msurarea unghiurilor; aria unei poriuni de suprafa....180 3.7. A doua form fundamental a unei suprafee..............................................191 3.8. Curbura unei curbe trasate pe o suprafa...................................................195 3.9. Seciune normal. Teorema lui Meusnier. Curburi normale i tangeniale .....197 3.10. Curburi principale. Direcii principale. Curbur total. Curbur medie. Clasificarea punctelor unei suprafee....................................................201 3.11. Linii asimptotice. Linii de curbur. Linii geodezice..................................212 3.12. Clase remarcabile de suprafee................................................................225 3.12.1. Suprafee riglate.......................................................................225 3.12.2. Suprafee desfurabile.............................................................228 3.12.3. Suprafee cilindrice ...................................................................231 3.12.4. Suprafee conice.......................................................................232 3.12.5. Suprafee conoide.....................................................................233 3.12.6. Suprafee de rotaie...................................................................234 3.12.7. Suprafee minimale...................................................................235 3.12.8. Suprafee de curbur total constant........................................237 3.12.9. Suprafee ieica .......................................................................240 3.12.10. Suprafee elicoidale................................................................240 3.13. Invariani pe o suprafa ..........................................................................241 3.14. Probleme propuse ...................................................................................248 Bibliografie.........................................................................................................................253 V P PR RE EF FA A nceputurilegeometrieidiferenialesegsescnlucrrileluiLeibniz(1646-1716)i sunt indisolubil legate de nceputurile analizei matematice. Teoria curbelorplaneafostelaboratnadouajumtateasecoluluial XVII-lea i n prima jumtate a secolului al XVIII-lea. L. Euler (1707-1783) a studiat curburile seciunilor normalealesuprafeelor,adatdefiniiadireciilorprincipaleiacurburiiuneisuprafee, proprietile suprafeelor desfurabile i unele proprieti ale curbelor n spaiu. A doua etap n dezvoltarea geometriei difereniale a fost inaugurat de G. Monge, care n lucrarea Application de lanalyse a la geometrie, publicat n 1795, construiete teoria curbelor n spaiu. S-a ocupat, de asemenea, cu studiul generrii suprafeelor prin curbe. A treia etap n dezvoltarea geometriei difereniale o inaugureaz K. Gauss (1777-1855), care s-a ocupat de teoria suprafeelor, pornind de la geodezie. Contribuii la dezvoltarea acestei teorii au avut de asemenea: J. Schouten, G. Darboux, E.J.Cartan,G.Fubini,I.N.Lobacevski,I.Bolyai,E.Beltrami,F.Klein,H.Poincar,B. Riemann i alii. PrimalucraredegeometriediferenialdinaranoastrestescrisdeE.Bacaloglu, care n 1859 a considerat o alt curbur a unei suprafee pe lng curbura total i medie. Primul geometru romn, ale crui lucrri de geometrie diferenial s-au impus ateniei matematicienilor din ntreaga lume, este Gh. ieica (1873-1939). Deoarece el a introdus i studiatoclasdecurbeiunadesuprafee,careastziipoartnumele,elesteconsiderat unul dintre creatorii geometriei centro-afine. Contribuii importante la dezvoltarea geometriei difereniale proiective i afine a curbelor i a suprafeelor au adus i: acad. Al. Myller i acad. O. Mayer. Un alt geometru roman, Al. Pantazi (1896-1948), format n coala geometrului francez E.J. Cartan, a adus prin lucrrile sale contribuii importante n domeniul geometriei difereniale proiective a curbelor i a suprafeelor. Unlocproeminentntregeometriiromni,locupacad.G.Vrnceanu,creatoral teorieispaiilorneolonomeialuneiteoriiunitarerelativiste,careaaduscontribuii importante n aproape toate ramurile geometriei difereniale moderne. n

View more