Geometrická posloupnost (4.část)

VY_32_INOVACE_ 22-19

Kontrola výsledků domácí práce Předpokládejme, že pro strany trojúhelníku platí

Potom můžeme psát

(nevyhovuje)

Závěr: Úloha nemá řešení, protože vypočtené délky stran nesplňují tzv. trojúhelníkové nerovnosti.

V praxi se často setkáváme se vzrůstem nebo poklesem číselných údajů, které jsou členy geometrické posloupnosti. Změna jednotlivých členů takovýchto posloupností se obyčejně udává v procentech. Napříkladpočet obyvatel ve státě roste v určitém časovém období tak, že každým rokem přibývá p procent obyvatel;

obdobně vzrůstá např. v určitém časovém úseku ve státě výroba elektřiny nebo přirůstá dřevo v lese apod.;

naproti tomu ztrácí rádium rozpadem každý rok určité procento své hmotnosti, atd.

Užití geometrické posloupnosti

Vzrůst (pokles) původní hodnoty a0

na hodnotu an

pro n období

při p % změně za jedno období:

Úloha 1

Dle Českého statistického úřadu žilo v městě Karviná k 1.1.2011 celkem 59 688 obyvatel. Poslední statistická data ukázala, že k 31.12.2011 se počet obyvatel snížil na 58 823 osob (*).

a)Kolik procent obyvatel ubylo v městě během roku 2011?

b)Určete počet obyvatel k 1.1.2021, pokud by úbytek obyvatelstva v Karviné postupoval stejným tempem.

(*) Dostupné z <http://www.czso.cz/csu/2011edicniplan.nsf/t/BF0029A8F5/$File/400111q415.pdf>.

[cit. 2012-04-18]

Řešení úlohy 1a)Absolutní úbytek obyvatel v r. 2011:

Vyjádřeno v procentech:

b)

Závěr: Během roku 2011 se počet obyvatel snížil o 1,45%.

Za deset let se tímto tempem sníží počet obyvatel na

51 577 osob.

Úloha 2

Na konci roku 2005 dosáhl hrubý objem výroby ve firmě 10 miliónů Kč, v roce 2010 to bylo již 14 miliónů Kč.

a)Jak velký byl průměrný roční přírůstek objemu výroby (v %) ?

b)Za kolik let se objem výroby zvedne o polovinu, jestliže tempo růstu zůstane zachováno?

Řešení úlohy 2

a)

b)

Závěr: Průměrný roční přírůstek výroby byl přibližně 7%.Výroba se zvedne o polovinu přibližně za 6 let.

Úloha 3

Jak velký finanční obnos měl klient uložen v bance, jestliže jeho vklad za 20 let při roční úrokové míře 2,5 % vzrostl na 30 000 Kč. Úrokovací období je 1 rok. Úroky z vkladů jsou zdaňovány 15%. (Zaokrouhlete na stovky.)

Řešení úlohy 3

Ve finanční matematice je nutno započítat i zdanění úroků z výnosů. Je-li zdanění 15 %, znamená to, že zisk z úroků je 85%. Ve výpočtu pak užijeme tzv. zdaňovací koeficient k = 0,85.

Závěr: Původní vklad klienta byl 19 700 Kč.

Samostatná práce

Na začátku roku vložil klient do banky na vkladní knížku částku 17 000 Kč s úrokovou mírou 2,1%. Banka úročí jednou ročně, a to vždy na konci kalendářního roku. Úroky z vkladů jsou zdaňovány 15%.

Určete, za kolik let bude mít klient na vkladní knížce částku 20 000 Kč? (Zaokrouhlete na celé číslo.)

Kontrola výsledků samostatné práce

Závěr: Částku 20 000 Kč bude mít klient na svém účtu za 9 let.

Domácí úkol

a) Průměr drátu se po osmi taženích snížil o jednu třetinu. O kolik procent se průměr drátu snížil při každém tažení? (Zaokrouhlete na desetiny.)

b) Po kolika taženích bude průměr drátu poloviční, jestliže procentuální zmenšení poloměru při každém tažení zůstává stejné?

Upozornění

Další úlohy na téma

GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST

naleznete zde.

Děkuji za pozornost.

Autor DUM: RNDr. Ivana Janů

Autor příkladů: RNDr. Ivana Janů