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Geometria Plana I

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Geometria Plana I

1.Primeiros conceitos2.Ângulos3.Triângulos4.Quadriláteros5.Polígonos6.Ângulos na circunferência7.Congruência de triângulos8.Teorema de Tales9.Semelhança de polígonos10.Semelhança de triângulos11.Relações métricas no triângulo retângulo

3

Conceitos Primitivos: São conceitos aceitos semuma definição no campo da Geometria. De cada umdestes termos temos um conhecimento intuitivodecorrente da experiência e observação.

Enquadram-se nessa categoria os conceitosde ponto, reta e plano.

1. Primeiros conceitos

4

Letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, …

Letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, …

Letras minúsculas do alfabeto grego: α, β, π, …

1.1. Ponto, reta e plano

5

Além dos conceitos primitivos, aceitos semdefinição, há propriedades geométricas aceitassem demonstração. Tais propriedades sãochamadas postulados ou axiomas. Por exemplo, umdos postulados da Geometria afirma que:

“Por dois pontos distintos A e B passa uma únicareta”.

Essa reta é denotada pelo símbolo , quese lê “reta AB”.

AB

1.2. Postulados ou axiomas

6

1.3. Posições de duas retasdistintas num plano

7

1.4. Subconjuntos da reta

8


A medida de será denotada por AB.Desse modo, se é um segmento de reta de 3cm, escrevemos AB = 3cm.

ABAB

9


Dois segmentos que possuem medidas iguaissão chamados congruentes. Se e sãosegmentos congruentes, escrevemos .

AB CDCDAB ≡

Lê-se é congruente a .AB CD

10

A medida de um ângulo AOB será denotadapor . Assim, se AOB é um ângulo de 60o

(60 graus), escrevemos:

2. Ângulos

BOA⌢ <)

60OAOB =⌢

11

Dois ângulos de medidas iguais sãodenominados congruentes.

2. Ângulos

ABC DEF ABC DEF≡ ⇔ ≡⌢ ⌢

∢ ∢

12

Bissetriz é a semi-reta de origem no vérticede um ângulo e que o divide em dois ânguloscongruentes.

2.1. Bissetriz de um ângulo

,Se OC é bissetriz de AOB

Então AOC BOC

≡

��∢

⌢ ⌢

13

2.2. Ângulos notáveis

180oAOB ≡⌢

360oAOB ≡⌢

90oAOB ≡⌢

14

2.3. Ângulos opostos pelo vértice

Duas retas concorrentes determinam doispares de ângulos chamados opostos pelo vértice(o.p.v.).

15


Dois ângulos são chamados complementaresse a soma de suas medidas é igual a 90o. Cada um échamado complemento do outro.

Dois ângulos são chamados suplementares sea soma de suas medidas é igual a 180o. Cada um échamado suplemento do outro.

16

Exercício 1: Calcule x, em graus, na figura abaixo:


17

Exercício 2: Na figura, sabe-se que é o dobrode . Calcule as medidas desses ângulos, saben-do que = 81o.

ABC⌢

CBD⌢

ABD⌢


18

Exercício 3: Na figura seguinte, é bissetrizde e é bissetriz de . Calcule .

Observação: AOC é um ângulo de meia-volta.

OX��

⌢AOB∢ OY

�� ⌢BOC∢

⌢XOY


19

Exercício 4: Dois ângulos são chamadoscomplementares se a soma de suas medidas é iguala 90o. Cada um é chamado complemento de outro.Calcule a medida de dois ângulos complementares,sabendo que:

a) elas são expressas por 3x e 7x;

b) uma delas é o quádruplo da outra;

c) a diferença entre elas é 18o.


20

Exercício 5: Dois ângulos são chamadossuplementares se a soma de suas medidas é igual a180o. Cada um é chamado suplemento do outro.Calcule a medida de dois ângulos suplementares,sabendo que:

a) eles são congruentes;

b) uma delas é o quíntuplo da outra;

c) a diferença entre elas é 36o.


21

Exercício 6: Calcule a medida de um ângulo,sabendo que o seu suplemento é o triplo de seucomplemento.


22

2.4. Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal

Nomenclatura Propriedade

Correspondentes: a e e; b e f; c e g; d e h Congruentes

Colaterais internos: c e f; d e e Suplementares

Colaterais externos: a e h; b e g Suplementares

Alternos internos: c e e; d e f Congruentes

Alternos externos: a e g; b e h Congruentes

23

Exercício 7: Calcular x e y na figura.


24

Resolução: Inicialmente vamos imaginar a reta rdeslocando-se até coincidir com s.


25

Fica claro que os ângulos de medidas 2x e 3x sãosuplementares.

Por outro lado, temos y = 2x (ângulos o.p.v.). Logo,y = 72o.


3 2 180 36o ox x x+ = ⇒ =

26

Exercício 8: Calcule x e y nas figuras, sabendo quer // s.


27

Exercício 9: Sabendo que a // b // c, calcule asmedidas dos ângulos indicados na figura.


28

Exercício 10: Calcule x na figura, sabendo quer // s.


29

Exercício 11: Qual é o valor de a + b + c?


30

3. Triângulos

A soma das medidas dos ângulos internos deum triângulo qualquer é igual a 180o.

Se são as medidas dos ângulosinternos de um triângulo ABC, vamos provar que:

,A B e C⌢⌢ ⌢

180oA B C+ + =⌢⌢ ⌢

31

3. Triângulos

Para isso, traçamos pelo vértice A a reta rparalela ao lado , determinando os ângulos demedidas e .

BC

180 (1)oA X Y+ + =⌢ ⌢ ⌢

X⌢

Y⌢

Então temos:

32

3. Triângulos

Por outro lado, sabemos que:

=

=

⌢ ⌢

⌢⌢(ângulos alternos internos)

(ângulos alternos internos)

X B

Y C

33

3. Triângulos

Substituindo por e por na igualdade(1) obtemos:

180oA B C+ + =⌢⌢ ⌢

X⌢

Y⌢

B⌢

C⌢

34

3.1. Classificação em função dos ângulos

Seus três ângulos são agudos, isto é,menores do que 90o.

90 , 90 90o o oA B e C< < <⌢⌢ ⌢

35


Um de seus ângulos é reto. O lado oposto aoângulo reto é a hipotenusa . Os lados adjacen-tes ao ângulo reto são os catetos e .

ACAB BC

36


Um de seus ângulos é obtuso, isto é, maiordo que 90o.

90oB >⌢

37

3.2. Classificação em função dos lados

Seus três lados têm medidas diferentes.

, ,AB AC AB BC BC AC≠ ≠ ≠Os três ângulos internos têm medidas

diferentes.

, ,A B A C B C≠ ≠ ≠⌢ ⌢⌢ ⌢ ⌢ ⌢

38


Possui dois lados congruentes (AB = AC).O ângulo formado pelos lados congruentes é

denominado ângulo do vértice .O lado oposto ao ângulo do vértice é

denominado base .Os ângulos da base são congruentes, isto é,

( )A∢

B C=⌢⌢

BC

39


Seus três lados são congruentes (AB = BC =AC).

Os três ângulos internos são congruentes.A B C= =

⌢⌢ ⌢

E, uma vez que a soma dos três ângulos éigual a 180o, conclui-se que cada um deles mede60o.

40

Exercício 12: Calcule as medidas dos ângulos deum triângulo isósceles em que o ângulo do vértice éo triplo de um ângulo da base.


41

Exercício 13: Calcule x, sabendo que ABC é umtriângulo equilátero e que AC = AD.


42

Exercício 14: Se AB = AC = CD, calcule x e y.


43

3.3. Teorema do ângulo externo

Num triângulo, o prolongamento de um ladoqualquer determina com um outro lado um ângulodenominado externo.

44


Em todo triângulo, a medida de um ânguloexterno qualquer é igual à soma das medidas dosdois ângulos internos não adjacentes a ele.

Vamos provar que:

e A B= +⌢ ⌢

45


180 180 , :o oComo e C e A B C temos+ = + + =⌢ ⌢⌢ ⌢

e A B= +⌢ ⌢

e C+⌢

A B C= + +⌢⌢ ⌢

46

Exercício 15: Calcule x.


47

Exercício 16: Calcule m – n, sabendo que a // b.


48

Exercício 17: Na figura, calcule x em função de α.


49

Exercício 18: Se na figura seguinte AB = AF,calcule x em função de a, b e c.


50

Exercício 19: Na figura a seguir, qual é o valor dea + b + c + d + e?


51

3.4. Cevianas do triângulo

Ceviana é qualquer segmento de reta quetem uma extremidade num vértice de um triânguloe a outra num ponto qualquer da reta suporte dolado oposto a esse vértice.

Na figura, são cevianas do tri-ângulo ABC.

1 2 1,AA AA e BB

52

3.4. Cevianas do triângulo

As cevianas são relativas ao vérti-ce A, ou relativas ao lado BC. A ceviana é re-lativa ao vértice B ou relativa ao lado AC.

1 2AA e AA

Os pontos A1, A2 e B1 são os pés dascevianas.

1BB

53

3.5. Cevianas notáveis

É qualquer ceviana que divide um ângulointerno em dois ângulos congruentes.

54


É qualquer ceviana que tem como pé o pontomédio de um lado.

55


É qualquer ceviana perpendicular a um lado.

56


De um modo geral, bissetriz interna,mediana e altura são cevianas distintas.

AH é altura

AS é bissetriz

AM é mediana

57

é bissetriz, mediana e altura simulta-neamente.


Porém, as três coincidem num únicosegmento se forem relativas à base de umtriângulo isósceles.

AM

58

Exercício 20: Na figura, e são a bissetriz ea altura relativas ao vértice A do triângulo ABC.Calcule α.


AS AH

59

Exercício 21: Num triângulo escaleno ABC, emque = 36o, as bissetrizes internas relativas aosvértices A e B interceptam-se no ponto I.Calcule .


⌢C

AIB⌢

60

Exercício 22: Na figura, e são alturas dotriângulo. Calcule x.


BB′ CC′

61

3.6. Mediatriz de um segmen-to de reta

Mediatriz de um segmento AB é a retaperpendicular a conduzida pelo seu pontomédio.

AB

62

3.7. Pontos notáveis do triân-gulo

É o ponto de encontro das bissetrizesinternas.

O incentro é o centro da circunferênciainscrita no triângulo.

63


É o ponto de encontro das medianas.O baricentro divide cada mediana em dois

segmentos que estão na razão de 2 para 1.

21

AG BG CGGM GN GL

= = =

64


É o ponto de encontro das alturas.

65


É o ponto de encontro das mediatrizes doslados.

O circuncentro é o centro da circunferênciacircunscrita ao triângulo.

66


No triângulo eqüilátero, o incentro, obaricentro, o ortocentro e o circuncentrocoincidem num único ponto O, chamado centro dotriângulo eqüilátero.

67


Como O é também o baricentro do triângulo,esse ponto divide a altura em segmentosproporcionais a 2 e 1. Assim, se r e R são os raiosdas circunferências inscrita e circunscrita, e h é aaltura, é imediato que:

AH

1 23 3

r h e R h= =

68

Exercício 23: Se I é o incentro de um triânguloABC e = 116o, calcule .BIC

⌢ ⌢A


69

Exercício 24: Na figura, G é o baricentro dotriângulo. Calcule x, y e z, sabendo que AM = 12cm, BN = 15 cm e CL = 18 cm.


70

Exercício 25: Na figura seguinte, ABC é umtriângulo equilátero de lado igual a 6 cm, M é oponto médio de e CD = BC. Calcule AN.


AB

71

Exercício 26: O ponto I da figura é o centro dacircunferência inscrita no triângulo ABC e a reta r,conduzida por I, é paralela a . a) Mostre que otriângulo PIB é isósceles e b) se AB = 7 e AC = 9,qual é o perímetro do triângulo APQ?


BC

72

4. Quadriláteros

A soma das medidas dos quatro ângulosinternos de um quadrilátero é igual a 360o.

73

4. Quadriláteros

Seja ABCD um quadrilátero qualquer.Traçando a diagonal , decompomos o quadri-látero em dois triângulos. Como em cada triânguloa soma das medidas dos ângulos é igual a 180o,deduz-se que:

AC

360oA B C D+ + + =⌢⌢ ⌢ ⌢

74

Exercício 27: Calcule x e y.

4. Quadriláteros

75

Exercício 28: ABC é um triângulo no qual = 52o

e = 72o. Calcule a medida do ângulo obtuso for-mado pelas mediatrizes dos lados e .

4. Quadriláteros

⌢A⌢

CAB BC

76

4.1. Trapézios

Trapézio é todo quadrilátero que possui umpar, e somente um par, de lados opostos paralelos.

//AB CDAB e CD são as bases do trapézio

AC e BD são os lados transversais

77

4.2. Classificação dos trapé-zios

Trapézio escaleno: os lados transversos têmmedidas diferentes.

AD BC≠

O trapézio escaleno não possui ânguloscongruentes.

78


Trapézio isósceles: os lados transversos têmmedidas iguais.

AD BC=Os ângulos de uma mesma base de um

trapézio isósceles são congruentes.A B e C D= =

⌢⌢ ⌢ ⌢

79


Trapézio retângulo: um dos ladostransversos é perpendicular às bases.

90oA D= =⌢ ⌢

80

Exercício 29: Calcule as medidas dos ângulos dotrapézio da figura.


81

Exercício 30: Num trapézio ABCD isósceles, debases e (AB M CD), sabe-se que = 10x + 7o

e = 4x + 5o. Calcule as medidas dos quatro ângu-los desse trapézio.


AB CD⌢A⌢

C

82

Exercício 31: ABCD é um trapézio retângulo em Ae em D. Se = 100o, calcule a medida do ânguloobtuso formado pelas bissetrizes de e .


C∢

⌢B

D∢

83

4.3. Paralelogramos

Paralelogramo é todo quadrilátero quepossui os lados opostos respectivamente paralelos.

84

4.4. Propriedades válidas para todos os paralelogramos

Os ângulos opostos são congruentes.

Quaisquer dois ângulos adjacentes a ummesmo lado são suplementares.

A C e B D= =⌢⌢ ⌢ ⌢

180oα β+ =

85

4.4. Propriedades válidas para todos os paralelogramos

Os lados opostos são congruentes.

As diagonais dividem-se ao meio pelo seuponto de intersecção.

AB CD e BC AD= = AM MC e BM MD= =

86

4.5. Paralelogramos notáveis

É todo paralelogramo que possui seus quatroângulos retos.

As diagonais são congruentes.

87


É todo paralelogramo que possui quatrolados congruentes.

As diagonais são perpendiculares e sãobissetrizes dos ângulos internos.

88


É todo paralelogramo que é retângulo elosango simultaneamente, isto é, seus ângulos sãoretos e seus lados são congruentes.

As diagonais são congruentes, são perpen-diculares e são bissetrizes dos ângulos internos.

89

Exercício 32: Uma diagonal de um retângulo formacom um dos lados um ângulo de 35o. Calcule amedida do ângulo agudo formado pelas duasdiagonais.


90

Exercício 33: Uma diagonal de um losango formacom um dos lados um ângulo de 25o. Calcule asmedidas dos ângulos desse losango.


91

Exercício 34: Na figura seguinte, ABDE e ACMNsão quadrados e ABC é um triângulo equilátero.Calcule e .


⌢CBN �BNE

92

5. Polígonos

Um polígono é convexo se, quaisquer quesejam os pontos X e Y do seu interior, o segmentode reta XY está inteiramente contido em seuinterior.

Polígono convexo

Polígono côncavo

93

5.1. Soma dos ângulos internos de um polígono

Sejam i1, i2, i3, …, in as medidas dos ângulosinternos de um polígono de n lados.

94


Tomando um ponto I qualquer no interior dopolígono e unindo esse ponto a cada vértice, opolígono fica decomposto em n triângulos (cadalado do polígono dá origem a um triângulo).

95


Então, a soma das medidas dos ângulos dos ntriângulos é igual a: 180on ⋅

Subtraindo os ângulos do vértice I dessasoma, o que resta é a soma dos ângulos do polígono.Assim,

96


180 360

180 ( 2)

o oi

oi

S n

S n

= ⋅ −

= −

97

Exercício 35: A soma das medidas dos ângulosinternos de um polígono é igual a 2340o. Quantoslados tem esse polígono?


98

Exercício 36: Na figura, calcule x e y.


99

5.2. Soma dos ângulos externos de um polígono

Em todo polígono convexo, a soma dasmedidas dos ângulos externos é constante e iguala 360o.

360oeS =

100


Sejam e1, e2, e3 … en as medidas dos ângulosexternos de um polígono de n lados.

101


1 1

2 2

3 3

180

180

180

180

180

o

o

o

on n

oe i

e i

e i

e i

e i

S S n

+ =

+ = + = + =

+ = ⋅

⋮ ⋮

180 ( 2) 180

180

o oe

oe

S n n

S n

↓

+ − = ⋅

+ ⋅

��

360 180o on− = ⋅

360oeS =

102

Exercício 37: Calcule x.


103

Exercício 38: Qual é o polígono em que a soma dosângulos internos é o dobro da soma dos ângulosexternos?


104

5.3. Polígonos regulares

Um polígono é regular se, e somente se:

1o) todos os seus lados são congruentes;

2o) todos os seus ângulos internos são congruentes.

Hexágono regular

105


Da definição decorre que os ângulosexternos de um polígono regular também sãocongruentes.

106


Desse modo, como a soma das medidas dosângulos externos de um polígono é igual a 360o, amedida de um ângulo externo de um polígonoregular de n lados é igual a .

360o

en

=

360o

n

107

Exercício 39: Num polígono regular, um ângulointerno é o quádruplo de um ângulo externo. Qual éesse polígono?


108

Exercício 40: Na figura ABCDE é um pentágonoregular. Calcule as medidas dos ângulos dotriângulo ACD.


109

6. Ângulos na circunferência

Corda: Segmento de reta que une dois pontos quaisquerde uma circunferência.Diâmetro: Qualquer corda que passa pelo centro de umacircunferência.Arco: Qualquer uma das partes em que umacircunferência fica dividida por dois quaisquer de seuspontos. Esses dois pontos são as extremidades dosarcos.

AB é uma corda

CD é um diâmetro

110


.A própria circunferência é chamada arco devolta inteira e sua medida é 360o.

Um arco de extremidades A e B é chamadoarco AB. A medida de um arco AB será denotadapelo símbolo .�AB

111


Quando necessário, para diferenciar os doisarcos determinados pelos pontos A e B de umacircunferência, marcamos um ponto C qualquerpertencente a um deles (de um modo geral aomaior deles) e o denominamos arco ACB.

�AB medida do arco AB=

112

6.1. Ângulo central

Um ângulo é central em relação a umacircunferência se o seu vértice coincide com ocentro da mesma.

O arco interceptado por um ângulo central édenominado arco correspondente ao ângulo.

113


A medida de um ângulo central é igual àmedida do arco correspondente a ele.

�AOB AB=⌢

�EOF EF=⌢

114

Exercício 41: Calcule x, nas figuras abaixo.


115

Exercício 42: Calcule as medidas dos ângulosinternos do pentágono ABCDE.


116

6.2. Ângulo inscrito

Um ângulo é inscrito numa circunferência seo seu vértice é um ponto da circunferência e cadaum de seus lados contém uma corda dessacircunferência.

117


Na figura, em vez de dizer que o ângulo estáinscrito na circunferência, pode-se dizer que eleestá inscrito no arco ACB.

O arco interceptado por um ângulo inscritotambém é chamado arco correspondente ao ângulo.

118


A medida de um ângulo inscrito é igual àmetade da medida do arco correspondente a ele.

A demonstração completa abrange os casosem que o centro pertence a um lado, está nointerior ou está no exterior do ângulo.

119


Traçando o raio OA, obtemos o triânguloisósceles OAC. Então, se teremos .Como é ângulo externo desse triângulo,temos . E, como é um ângulocentral, temos:

C α=⌢

OAC α=⌢

2AOB α=⌢AOB∢

AOB∢

1o Caso:

120


1o Caso:

�2 2AOB ABα α= ⇒ =⌢

�

2ABα =

121


Traçando o diâmetro CD, fica divi-dido em dois ângulos inscritos de medidas α1 e α2.Como esses dois ângulos têm um dos ladospassando pelo centro, pelo 1o caso temos:

ACB∢

2o Caso:

122


2o Caso:

� �

� �

1 2

1 2

2 2

2

AD DBe

AD DB

α α

α α

⇒ ⇒

++ ⇒

�

2ABα∴ =

123


Traçando o diâmetro CD, os ângulosinscritos ACD e BCD, de medidas α1 e α2, têmambos um dos lados passando pelo centro. Então,novamente pelo 1o caso, teremos:

3o Caso:

124


3o Caso:

� �

� �

1 2

1 2

2 2

2

AD DBe

AD DB

α α

α α

⇒ ⇒

−− ⇒

�

2ABα∴ =

125


Dois ou mais ângulos inscritos num mesmoarco são congruentes.

�

2ABβ γα = = =

126


Todo ângulo inscrito numa semicircunfe-rência é reto.

� 180 90o oAB ACB= ⇒ =⌢

127


É possível demonstrar também que: todoângulo reto e, portanto, todo triângulo retângulo éinscritível numa semicircunferência.

128


Note que a hipotenusa é o diâmetro dasemicircunferência.

129

Exercício 43: No triângulo ABC da figura, o ladoBC e o raio da circunferência são congruentes.Calcular .


⌢BAC

130

Resolução:

Unindo-se o centro O aos vértices B e C obtém-seo triângulo equilátero OBC. Como é um ân-gulo central, temos:

Então, como é um ângulo inscrito,


OBC∢

⌢�60 60o oBOC BC= ⇒ =

BAC∢

⌢ � ⌢30

2oBC

BAC BAC= ⇒ =

131

Exercício 44: ABC é um triângulo retângulo em A.Calcular o ângulo formado pela altura e a medianarelativas à hipotenusa, sabendo que = 20o.


⌢C

132

Resolução: Inicialmente, note que o triângulo ABCé inscritível numa semicircunferência de centro Me diâmetro . Então, o triângulo AMC é isósceles,pois (por serem raios da semicircunfe-rência). Logo, conclui-se que:


⌢ ⌢20 20o oC MAC= ⇒ =

BCMA MC=

133

Por outro lado, é um ângulo externo do tri-ângulo AMC. Logo,


AMH∢

� 20 20 40o o oAMH = + =

134

Por fim, no triângulo AMH temos:


090 40 180

50

o o

o

x

x

+ + ==

135

Exercício 45: Na figura seguinte, BC é umdiâmetro da circunferência. Calcule , sabendoque = 70o.


⌢APB⌢

ABC

136

Exercício 46: Na figura seguinte, ABCD é umquadrilátero qualquer inscrito numa circunferência.Prove que α + γ = 180o.


137

Exercício 47: Num triângulo ABC, retângulo em A,sabe-se que = 26o. Calcule a medida do ânguloformado pela bissetriz e a mediana relativas aovértice A.


⌢C

138

Exercício 48: Um dos catetos de um triânguloretângulo é a metade da hipotenusa. Qual é amedida do ângulo oposto a esse cateto?


139

7. Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes se os seuslados e ângulos forem ordenadamente congruentes.

AB DE A D

ABC DEF BC EF e B E

C FAC DF

≡ ≡ ∆ ≡ ∆ ⇔ ≡ ≡ ≡≡

∢ ∢

∢ ∢

∢ ∢

140

7.1. Critérios de congruência de triângulos

Embora a definição de triânguloscongruentes exija seis congruências, três entrelados e mais três entre ângulos, há situações emque a congruência de dois triângulos fica garantidacom apenas três determinadas congruências. Taissituações constituem os critérios de congruênciade triângulos.

141


Dois triângulos são congruentes se os lados de um sãorespectivamente congruentes aos lados do outro.

A DAB DE

BC EF ABC DEF B E

AC DF C F

== = ⇔ ∆ ≡ ∆ ⇒ =

= =

⌢ ⌢

⌢ ⌢

⌢ ⌢

Critério L.L.L.

142


Dois triângulos são congruentes se dois lados de umsão congruentes a dois lados do outro e os ânguloscompreendidos entre esses lados são também congruentes.

AB DE A D

B E ABC DEF AC DF

BC EF C F

= =

= ⇔ ∆ ≡ ∆ ⇒ = = =

⌢ ⌢

⌢ ⌢

⌢ ⌢

Critério L.A.L.

143


Dois triângulos são congruentes se dois ângulos de umsão congruentes a dois ângulos do outro e os ladosadjacentes a esses ângulos são também congruentes.

AB DEB E

BC EF ABC DEF A D

AC DFC F

= =

= ⇔ ∆ ≡ ∆ ⇒ = ==

⌢ ⌢

⌢ ⌢

⌢ ⌢

Critério A.L.A.

144


Dois triângulos são congruentes se um lado e umângulo adjacente são congruentes a um lado e um ânguloadjacente do outro e os ângulos opostos a esses lados sãotambém congruentes.

BC EF AB DE

C F ABC DEF B E

AC DFA D

= =

= ⇔ ∆ ≡ ∆ ⇒ = ==

⌢ ⌢ ⌢ ⌢

⌢ ⌢

Critério L.A.Ao

145


Dois triângulos retângulos são congruentes se ahipotenusa e um cateto de um deles são respectivamentecongruentes à hipotenusa e a um cateto do outro.

Critério L.L.Ar

90o

B EBC EF

AC DF ABC DEF F C

AB DEA D

= = = ⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒ =

== =

⌢ ⌢

⌢⌢

⌢ ⌢

146


Quando escrevemos, por exemplo, ∆PXQ ≡ ∆LTU, aordem das letras (P, X, Q e L, T, U) indica que, sepudéssemos deslocar um desses triângulos até fazê-locoincidir perfeitamente com o outro, os vértices queficariam sobrepostos seriam P e L, X e T, Q e U.

147


Com isso, a linguagem escrita já informa quais lados equais ângulos são congruentes, isto é, escrevendo

∆PXQ ≡ ∆LTU

já sabemos que e, ,P L X T Q U= = =⌢⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢

, ,PX LT PQ LU XQ TU= = =

148

Exercício 49: A figura seguinte apresenta um parde triângulos em que elementos congruentes sãoidentificados por marcas iguais.


149

A partir das informações contidas na figura épossível concluir que os triângulos são congruentese deduzir congruências que não constam nos dados.Tudo isso pode ser feito de forma resumida nesteesquema:


�⌢

⌢ ⌢�⌢==

= →∆ ≡ ∆ → ===

. . .( ) ( )

( )( )

A L ACritério Conclusão

ConsequênciasDados

MN KOM K

MT KR MTN KRO N O

NT ORT R

150

Estabeleça esquemas semelhantes para cada umdos seguintes pares de triângulos.


151

8. Teorema de Tales

Se um feixe de paralelas determinasegmentos congruentes sobre uma transversal,então esse feixe determina segmentoscongruentes sobre qualquer outra transversal.

152

8. Teorema de Tales

Por D e E traçamos e paralelos àreta AC. Então os quadriláteros ABD’D e BCE’E sãoparalelogramos e, consequentemente, DD’ = AB eEE’ = BC.

'DD 'EE

153

8. Teorema de Tales

E já que AB = BC (por hipótese), conclui-seque DD’ = EE’. Além disso, temos: (ânguloscorrespondentes em ) e (ânguloscorrespondentes em ).

1 1D E=⌢ ⌢

' '//DD EE 2 2E F=⌢ ⌢

//s t

154

8. Teorema de Tales

Assim, pelo critério L.A.Ao, conclui-se que

' 'DED EFE∆ ≡ ∆

Logo, DE = EF.

155

8. Teorema de Tales

Um feixe de paralelas separa, sobre duastransversais quaisquer, segmentos de uma proporcionaisaos segmentos correspondentes na outra.

// // ,AB DE

Se r s t entãoBC EF

=

156

8. Teorema de Tales

Seja u um segmento que divide em m partesiguais e em n partes iguais. Logo,

(1)AB m u AB mBC n u BC n

⋅= ⇒ =⋅

BCAB

157

8. Teorema de Tales

Tracemos, agora, as retas que passam por essespontos de divisão e são paralelas a r, s e t. Pelo teoremaanterior, as retas traçadas dividem em m partesiguais a u’ e em n partes iguais a u’. Então,

'

' (2)DE m u DE mEF n u EF n

⋅= ⇒ =⋅

EFDE

158

8. Teorema de Tales

Então, de (1) e (2),

AB DEBC EF

=

159

Exercício 50: Nas figuras, sabe-se que r // s // t.Calcule x.

8. Teorema de Tales

160

Exercício 51: Na figura, a reta r é paralela a .Calcule AD, sabendo que AB = 18, AC = 27 eEC = 12.

8. Teorema de Tales

BC

161

Exercício 52: Calcule x e y, sabendo que r // s // t.

8. Teorema de Tales

162

Exercício 53: Se r // s // t, calcule a, b e c.

8. Teorema de Tales

163

9. Semelhança de polígonos

Dois polígonos ABCDE … e A’B’C’D’E’ … com omesmo número de vértices, são semelhantes se, esomente se,

1o) seus ângulos correspondentes (ou homólogos) sãocongruentes, isto é:

' ' ', , ,A A B B C C= = =⌢ ⌢⌢ ⌢ ⌢ ⌢

…

164


Dois polígonos ABCDE … e A’B’C’D’E’ … com omesmo número de vértices, são semelhantes se, esomente se,

2o) seus lados homólogos são proporcionais, isto é:

' ' ' ' ' '

AB BC CDK

AB BC C D= = = =…

165


A constante k, de proporcionalidade entre oslados, é chamada razão de semelhança dos polígonos.

166

Exercício 54: Na figura, sabe-se que ABCD ∼ LMNP.Calcular: a) a razão de semelhança entre ABCD eLMNP e, b) x, y e u.


167

Resolução:

a) Para calcular a razão de semelhança, basta obtera razão de semelhança entre dois lados homó-logos quaisquer de medidas conhecidas. No caso,entre os lados AB e LM.


28 720 5

ABk k k

LM= ⇒ = ⇒ =

168

Resolução:

b) Já que a razão entre quaisquer dois ladoshomólogos é igual à razão de semelhança, temos:


749

35 57

5640 535 7

255

xx

yy

uu

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

169

Exercício 55: Sabendo que os pentágonos ABCDE eKLMNO são semelhantes, calcule: a) a razão desemelhança e b) u, v, x e y.


170

Exercício 56: Na figura, os retângulos ABCD eBCFE são semelhantes. Se AEFD é um quadrado,calcule o valor de m/n.


171

10. Semelhança de triângulos

Conforme visto anteriormente, para que doispolígonos sejam semelhantes são necessárias duascondições: 1o) os ângulos correspondentes têm de sercongruentes; 2o) os lados homólogos têm de serproporcionais.

172


Apenas uma dessas duas condições não garanteque dois polígonos sejam semelhantes. Por exemplo, osquadriláteros da figura acima possuem seus ângulosrespectivamente congruentes, mas não são semelhantes,pois seus lados não são proporcionais.

173


Porém, exclusivamente no caso dos triângulos, asemelhança fica garantida com um menor número deinformações sobre eles. Tais informações constituem oscritérios de semelhança de triângulos.

174

10.1. Critérios de semelhança de triângulos

Critério A.A. (Ângulo, Ângulo)

Dois triângulos são semelhantes se dois ângulosde um são congruentes a dois ângulos do outro.

'' ' '

'. .

B BA A ABC ABC

C C

= ∆ ∆=

⌢ ⌢

∼⌢ ⌢ ��

‘

‘ ‘

‘

‘

‘

175


Critério L.L.L. (Lado, Lado, Lado)

Dois triângulos são semelhantes se os lados deum são proporcionais aos lados do outro.

' ' '' ' ' . . .

a b cL L L ABC ABC

a b c= = ∆ ∆∼��

‘

‘ ‘

‘

‘

‘

176


Critério L.A.L. (Lado, Ângulo, Lado)

Dois triângulos são semelhantes se possuem umpar de ângulos congruentes compreendidos entre ladosproporcionais. '

' ' '

' '

. . .A A

L A L ABC A BCb cb c

= ∆ ∆

=

⌢ ⌢

∼��

‘

‘ ‘

‘

‘

‘

177


No reconhecimento dos lados homólogos emtriângulos semelhantes, deve-se identificar os pares deângulos congruentes por meio de marcas iguais, ou comletras do alfebeto grego. Esse procedimento visafacilitar o reconhecimento dos lados homólogos.

178


BC AC ABLM LN MN

= =

179

Exercício 57: Calcule x e y nas figuras abaixo.


/ /r BC / /r AB

180

Exercício 58: Na figura seguinte, observe os dadoscom atenção e calcule x e y.


181

Exercício 59: Qual é a medida do lado do quadradoABCD da figura?


182

Exercício 60: Calcule x nas figuras abaixo:


183

Exercício 61: Na figura, sabe-se que AD = BD e queAB = AC = CD = 2. Calcule os valores de αααα e x.


184

10.2. Razão entre elementos lineares de figuras semelhantes

Até agora trabalhamos com a proporcionalidadedos lados de polígonos semelhantes. Porém, essaproporcionalidade não ocorre apenas entre os lados esim entre quaisquer dois elementos lineares homólogosde figuras semelhantes.

‘

185


Por exemplo, para dois triângulos semelhantes, sea razão de semelhança é igual a k, então: (a) a razãoentre lados homólogos é k; (b) a razão entre alturashomólogas é k; (c) a razão entre medianas homólogas ék; (d) a razão entre os perímetros é k; etc …

' ' ' ' ' '

a h m a b ck

a h m a b c+ += = = = =+ +

…

‘

186

Exercício 62: Na figura, LMNP é um quadradoinscrito no triângulo ABC. Calcular x em função dea e h.


187

Resolução: Como

Então, como a razão entre alturas homólogas é igualà razão entre lados homólogos, temos:


/ /LM BC ALM ABC⇒ ∆ ∆∼

188


( )

x h xhx ah ax ax hx ah

a hah

a h x ah xa h

−= ⇒ = − ⇒ + =

+ = ⇒ =+

189

Exercício 63: Os quadriláteros ABCD e A’B’C’D’ dafigura são semelhantes. Se o perímetro do segundoé igual a 32, calcule as medidas de seus lados e desua diagonal B’D’.


190

Exercício 64: A figura seguinte mostra umretângulo inscrito no triângulo ABC. Calcule asmedidas dos lados do retângulo, sabendo que suabase é o dobro de sua altura.


191

10.3. Propriedade decorrente do Teorema de Tales

Pelo teorema de Tales, verifica-se de imediatoque: “A reta que passa pelo ponto médio de um lado deum triângulo e é paralela a um outro lado intercepta oterceiro lado em seu ponto médio.”

192


Se e M é ponto médio de , então N é oponto médio de .

Note então que a reta que passa pelos pontosmédios de dois lados de um triângulo é paralela aoterceiro lado.

//r BC ABAC

193


Observando ainda que ∆AMN R∆ABC, pois ,podemos escrever:

//r BC

MN AMBC AB

=

E como AM é a metade de AB, conclui-se que MNé a metade de BC.

194


Resumindo, o segmento que une os pontos médiosde dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro ladoe sua medida é a metade da medida do terceiro lado.

195


Se M e N são pontos médios de e .AB AC

1) //

2)2

MN BCentão BC

MN

=

196

Exercício 65: Na figura dada, ABC é um triânguloequilátero de lado l = 6 e M é o ponto médio de .Calcular NC, sabendo que CD = 8.


AB

197

Resolução: Unindo M ao ponto P, médio de , te-mos:

isto é, MP = 3.

Mas, se


BC

/ / e 2

ACMP AC MP =

/ / , então MP AC NCD MPD∆ ∆∼

198


83 11

2411

NC CD xMP PD

x

= ⇒ =

=

199

Exercício 66: Os lados de um triângulo retângulomedem 10, 12 e 16. Os pontos médios dos ladosdesse triângulo são vértices de um novo triângulo.Calcule as medidas dos lados do segundo triângulo.


200

Exercício 67: Na figura, L, M e N dividem emquatro partes iguais e as retas r, s e t são paralelasa . Calcule o valor de a + b + c.


AB

BC

201

11. Relações métricas no triân-gulo retângulo

Se ABC é um triângulo retângulo em A, traçando-se a altura AH, relativa à hipotenusa, ficam definidos osseguintes elementos: a → hipotenusa; b e c → catetos;h → altura relativa à hipotenusa; m → projeção de csobre a hipotenusa; n → projeção de b sobre ahipotenusa.

202


203

Note que a altura AH divide o triângulo ABC nostriângulos HBA e HAC.

Então, ∆ABC R ∆HBA, pois e éângulo comum.

Além disso ∆ABC R ∆HAC, pois eé ângulo comum. Logo,


ABC HBA HAC∆ ∆ ∆∼ ∼

90oA H= =⌢ ⌢

B∢90oA H= =⌢ ⌢

C∢

204


ABC HBA∆ ∆∼

2

(1)

(2)

a bb c a h

c ha c

c a mc m

= ⇒ ⋅ = ⋅

= ⇒ = ⋅

205


ABC HAC∆ ∆∼

2 (3)a b

b a nb n

= ⇒ = ⋅

HBA HAC∆ ∆∼

2 (4)h m

h m nn h

= ⇒ = ⋅

206


Teorema de Pitágoras

2

2

2 2

2 2 2

(2) (3)

( )

(5)

a

b a n

c a m

b c a m n

b c a

= ⋅+ += ⋅

+ = ⋅ +

+ =

��

207


Resumindo:

2 2 2

2

2

2

a b c

b a n

c a m

h m n

b c a h

= +

= ⋅= ⋅= ⋅

⋅ = ⋅

208


Se x, p e q são números ou segmentos quesatisfazem a equação

dizemos que x é a média geométrica entre p e q. Dessemodo, há três médias geométricas entre as relaçõesmétricas no triângulo retângulo.

2x p q= ⋅

209


Cada cateto é média geométrica entre ahipotenusa e a sua projeção sobre ela.

A altura é média geométrica entre as projeçõesdos catetos sobre a hipotenusa.

2 2b a n e c a m= ⋅ = ⋅

2h m n= ⋅

210

Exercício 68: Os catetos de um triângulo retângulomedem e . Calcular: a) a hipotenusa, b) as pro-jeções dos catetos e c) a altura relativa àhipotenusa.

5 2 5


211

Resolução:

a) Calculamos a hipotenusa pelo teorema dePitágoras.

( ) ( )2 22 2 2 2

2 2

5 2 5

5 4 5 25

5

a b c a

a a

a

= + ⇒ = +

= + ⋅ ⇒ =

=


212

b) Podemos determinar m pela fórmula c2 = a ⋅ m,pois já calculamos a hipotenusa.

( )22 5 5

5 5

1

c a m m

m

m

= ⋅ ⇒ = ⋅

= ⋅

=


213

Por outro lado, como m + n = a, temos:

1 5 4m n a n n+ = ⇒ + = ⇒ =


214

c) Finalmente, podemos calcular h por meio dequalquer uma das relações h2 = m ⋅ n ou b ⋅ c = a ⋅ h.

2 2 1 4 2h m n h h= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =


215

Exercício 69: Os catetos de um triângulo retângulomedem e . Calcule: a) a hipotenusa; b) asprojeções dos catetos; e c) a altura relativa àhipotenusa.

2 13 3 13


216

Exercício 70: Na figura, AB é o diâmetro dasemicircunferência. Calcule AP e PB.


217

Exercício 71: O perímetro de um losango é igual a40 e sua diagonal mede 16. Calcule o raio dacircunferência inscrita nesse losango.


218

Exercício 72: O triângulo ABC da figura é retânguloem A. AH e AM são a altura e a mediana relativas àhipotenusa. Calcule b e c.


219

Exercício 73: No plano cartesiano são dados ospontos A(2; 1) e B(6;4). Calcule a distância de A e B.


220

Exercício 74: Na figura, as circunferências decentros O e O’ têm raios R e r, são tangentes entresi e tangenciam a reta t nos pontos A e B. CalculeAB em função de R e r.


221

Exercício 75: Na figura seguinte, ABCD é umtrapézio retângulo de bases AB e CD. Asemicircunferência de diâmetro AD tangencia olado BC em T. Calcule o raio da semicircunferência.


222

Exercício 76: Vista de trás, a carroceria de umcerto caminhão tem forma retangular. Sua altura,medida desde o solo, é de 3,6 m. O caminhão sedirige a um clube, cuja entrada é um arcosemicircular de 3,9 m de raio. Para que ele possapassar pelo arco, é necessário que sua largura sejamenor que um certo valor l. Calcule l.


223


224

Exercício 77: Na figura seguinte, O é o centro dacircunferência, AB = 30 e MP = 9. Calcule o raio dacircunferência.


225

Exercício 78: Qual é o comprimento da diagonal deum quadrado de lado l?


226

Exercício 79: Calcule os raios das circunferênciasinscrita e circunscrita num quadrado de lado l = 4.


227

Exercício 80: Calcule a área de um triânguloequilátero de lado l.


228

Exercício 81: Calcule os raios das circunferênciasinscrita e circunscrita num triângulo equilátero delado l = 6.


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