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Geometria: algumas noções Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico Escola Superior de Educação Universidade do Algarve Fundo Social Europeu União Europeia

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Geometria: algumas noções

Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico

Escola Superior de Educação Universidade do Algarve

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Linha Poligonal Linha poligonal é uma linha formada por sucessivos segmentos de recta, tendo os segmentos consecutivos um extremo comum, não estando na mesma recta dois segmentos consecutivos e não tendo os segmentos de recta pontos comuns para além dos extremos. Exemplos: A linha

é uma linha poligonal aberta, enquanto que as linhas

e são linhas poligonais fechadas De acordo com a definição, as seguintes linhas não são consideradas linhas poligonais: A B Nas linhas A e B, há segmentos que têm um ponto em comum para além dos extremos. POLÍGONO Polígono é uma região plana limitada por uma linha poligonal fechada.

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Classificação de polígonos Convexidade

Um polígono diz-se convexo quando, quaisquer que sejam os dois pontos que

considerarmos no seu interior ou na sua fronteira, o segmento de recta que os une

também está contido no interior do polígono. Quando tal não acontece, o polígono diz-se

não convexo (ou côncavo): Polígono convexo Polígono não convexo Número de lados Alguns polígonos são designados consoante o número de segmentos de recta que formam a sua fronteira. A esses segmentos de recta chamamos lados do polígono:

Nº de lados do polígono

Designação Nº de lados do polígono

Designação

3 Triângulo 9 Eneágono

4 Quadrilátero 10 Decágono

5 Pentágono 11 Undecágono

6 Hexágono 15 Pentadecágono

7 Heptágono 20 Icoságono

8 Octógono � 20 n-ágono

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Regularidade Um polígono diz-se regular quando tem os lados e os ângulos todos iguais:

Triângulo regular Quadrilátero regular Pentágono regular Heptágono regular

(equilátero) (quadrado)

ÂNGULO Chama-se ângulo convexo à intersecção de dois semi-planos do mesmo plano, cujas origens se intersectam. Na figura abaixo está representado a verde o ângulo convexo BVA que é a intersecção de dois semi-planos, um a azul e o outro a amarelo.

Chama-se ângulo côncavo à reunião de dois semi-planos do mesmo plano.

Ao ponto V chama-se vértice do ângulo. Os lados do ângulo são as semi-rectas VA e VB.

B

V

B’

A A’

A V

B

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No caso dos lados do ângulo serem semi-rectas opostas (da mesma recta) com origem comum, o ângulo diz-se raso. As semi-rectas são os lados do ângulo e a sua origem comum é o vértice. O ângulo da figura acima é raso porque as semi-rectas BA e BC sã o opostas. BA e BC são os lados do ângulo e B é o seu vértice.

Um ângulo recto é o que é igual a metade de um ângulo raso. No caso dos lados do ângulo serem semi-rectas coincidentes temos um ângulo nulo e um ângulo giro. A um ângulo, não nulo, menor que um ângulo recto chama-se ângulo agudo. A um ângulo maior que um ângulo recto e menor que um ângulo raso chama-se obtuso. TRIÂNGULOS Um polígono com três lados (e com 3 ângulos) chama-se trilátero ou triângulo.

Os triângulos podem ser classificados quanto à grandeza relativa dos lados ou atendendo à natureza dos seus ângulos.

Se os comprimentos dos lados de um triângulo forem todos diferentes, este diz-se escaleno. Um triângulo com dois lados com o mesmo comprimento diz-se isósceles. Se, além disso, o terceiro lado de um triângulo isósceles tiver o mesmo comprimento que os outros dois lados, diz-se equilátero.

Se um triângulo tiver todos os ângulos agudos, diz-se acutângulo. Se tiver um ângulo recto, trata-se de um triângulo rectângulo e, se tiver um ângulo obtuso é um triângulo obtusângulo.

É possível encontrar os seguintes tipos de triângulos:

A B C

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Escaleno Isósceles Equilátero Acutângulo

Rectângulo

Obtusângulo

QUADRILÁTEROS Um quadrilátero é um polígono com 4 lados (e quatro ângulos). Uma classificação possível: Quadrilátero – Polígono de quatro lados

Quadrilátero Não Convexo Quadrilátero Convexo

Trapézio: Quadrilátero com lados paralelos

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Paralelogramo: Quadrilátero com dois pares de lados paralelos

Rectângulo: Quadrilátero com todos os lados consecutivos perpendiculares (ou com 4 ângulos rectos)

Losango ou Rombo: Quadrilátero com todos os lados iguais

Quadrado: Rectângulo com lados iguais ou losango com os lados consecutivos perpendiculares.

Papagaio: Quadrilátero com dois lados consecutivos congruentes

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Podemos sintetizar a classificação no seguinte diagrama de Venn:

Se pretendêssemos classificar os quadriláteros de acordo com as propriedades das suas

diagonais, poderíamos averiguar quais os quadriláteros cujas diagonais se bissectam

(intersectam-se no ponto médio dessas diagonais). Esta propriedade é verificada por todos

os paralelogramos (e só por esses quadriláteros):

Quadrados

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Em todos os outros quadriláteros, as diagonais não se bissectam:

SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS e CILINDRO Chama-se superfície cilíndrica à superfície gerada por uma recta que se move, paralelamente a si mesma, sobre uma linha.

A recta móvel é a geratriz e a linha é a directriz.

Todas as posições particulares da geratriz têm ainda o nome de geratriz.

Uma superfície cilíndrica diz-se aberta ou fechada conforme é aberta ou fechada a sua directriz.

Na figura ao lado está representada uma superfície cilíndrica fechada cuja geratriz é, por exemplo, a recta HB e a directriz é a linha fechada representada na figura que passa pelos pontos A, B, C, D, E, F e G.

Como caso particular das superfícies cilíndricas temos as superfícies prismáticas em que a directriz é uma linha poligonal.

Na figura ao lado está representada uma superfície prismática cuja geratriz é a recta EF e a directriz é a linha poligonal [ABCD].

As geratrizes que passam pelos vértices das linhas poligonais denominam-se arestas e as porções planas determinadas por duas arestas consecutivas denominam-se faces. Cilindro é o sólido limitado por uma superfície cilíndrica fechada e por dois planos paralelos que intersectam as geratrizes da superfície.

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As porções dos planos que limitam o cilindro são as bases. Como caso particular do cilindro temos o prisma, em que as bases são polígonos e a superfície lateral é formada por paralelogramos que tomam o nome de faces laterais. Exemplos de prismas:

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SUPERFÍCIES CÓNICAS E CONES Chama-se superfície cónica à superfície gerada por uma recta que

passa por um ponto fixo e se move apoiando-se numa linha.

Na figura ao lado está representada uma superfície cónica fechada

cujo vértice é o ponto V, a geratriz é, por exemplo, a recta VA e a

directriz é a linha fechada representada na figura que passa pelos

pontos A, B, C e D.

O ponto fixo é o vértice, a recta móvel a geratriz e a linha a directriz.

Uma superfície cónica é dividida em duas partes pelo vértice, chamando-se cada uma

delas folha da superfície cónica.

Uma superfície cónica diz-se aberta ou fechada conforme é aberta ou fechada a sua

directriz.

Como caso particular das superfícies cónicas temos as superfícies

piramidais em que a directriz é uma linha poligonal.

Na figura ao lado está representada uma superfície piramidal cujo

vértice é o ponto V, a geratriz a recta VE e a directriz a linha poligonal

[ABCD].

As geratrizes que passam pelos vértices das linhas poligonais

denominam-se arestas e as porções planas determinadas por duas arestas consecutivas

denominam-se faces.

Cone é o sólido limitado por uma folha de superfície cónica fechada e por

um plano que intersecta todas as geratrizes.

À porção de plano que limita o cone chama-se base, ao vértice da

superfície chama-se vértice do cone e às porções das geratrizes

compreendidas entre o vértice e a base dá-se o nome de geratrizes.

Como caso particular do cone temos a pirâmide em que a base é um polígono e a

superfície lateral é composta por triângulos.

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POLIEDROS

Poliedros são sólidos limitados por polígonos. Os polígonos são as faces do poliedro (são as figuras planas que o limitam), os lados dos polígonos são as arestas do poliedro (são os segmentos de recta que limitam as faces), e os vértices dos polígonos são os vértices do poliedro (são os pontos de encontro das arestas). Os vértices, as arestas e as faces de um poliedro dizem-se os elementos do poliedro.

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Os poliedros podem ser Convexos ou Côncavos. Os poliedros são convexos quando se encontram todos para o mesmo lado em relação ao plano de qualquer uma das suas faces, ou seja, quando as suas faces deixam sempre as demais no mesmo semi-espaço. São exemplos de poliedros convexos: o cubo, o paralelepípedo, os prismas e as pirâmides. Caso contrário, os poliedros dizem-se côncavos.

Exemplo de poliedros convexos:

Exemplo de poliedros côncavos:

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Em qualquer poliedro convexo verifica-se a relação de Euler:

V + F =A + 2 Um poliedro diz-se regular quando as faces são polígonos regulares geometricamente iguais e, em cada vértice, convergem o mesmo número de arestas e de faces.

POLIEDROS REGULARES CONVEXOS (SÓLIDOS PLATÓNICOS)

NÃO POLIEDROS Os sólidos limitados, no todo ou em parte, por superfícies curvas chamam-se Não Poliedros. São exemplos de não poliedros os cilindros e os cones já referidos anteriormente, bem como a esfera. De entre estes são particularmente importantes os Sólidos de Revolução. São sólidos de revolução a esfera e alguns cilindros e cones.

Cilindro de revolução é o sólido gerado por um rectângulo (rectângulo gerador) que roda em torno de um dos seus lados (eixo) até dar uma volta completa.

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O lado do rectângulo paralelo ao eixo é a geratriz do cilindro.

Os dois lados perpendiculares ao eixo são chamados raios do cilindro e geram dois círculos que são as bases do cilindro.

A altura de um cilindro de revolução é dada pela medida do seu eixo ou de qualquer das suas geratrizes.

Cone de revolução é o sólido gerado por um triângulo rectângulo (triângulo gerador) que roda em torno de um dos seus catetos (eixo) até dar uma volta completa.

A hipotenusa do triângulo gerador é a geratriz.

O outro cateto é o raio do cone e gera um círculo que é base do cone.

A altura de um cone de revolução é dada pela medida do seu eixo.

Esfera é o sólido gerado por um semicírculo (semicírculo gerador) que roda em torno do seu diâmetro (eixo) até dar uma volta completa. O centro e o raio do semicírculo tomam, respectivamente, o nome de centro e raio da esfera.