geometría castillo
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GEOMETRÍA
Miguel A. Castillo
ESTÁNDARES DE CONTENIDO Y
EXPECTATIVAS
9.G.4.1 Demuestra teoremas sobre rectas y ángulos. Incluye los
siguientes teoremas: los ángulos rectos son congruentes; cuando
una transversal se corta por rectas paralelas, los ángulos internos
alternos son congruentes y los ángulos correspondientes son
congruentes; los puntos sobre una bisectriz perpendicular de un
segmento de recta son exactamente equidistantes de los puntos
extremos del segmento.
OBJETIVOS
El estudiante :
Repasará los términos básicos de geometría para reforzar el
vocabulario de geometría necesario para las lecciones de geometría.
Probar teoremas sobre rectas y ángulos.
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Cuando una recta transversal cruza dos o más una línea paralela, los
ángulos internos alternos son congruentes y los ángulos
correspondientes también son congruentes.
Índice
Conceptos básicos
Definición de Geometría
El punto
La recta
El plano
Solución de Problemas
Segmento
Rayo
Espacio
Puntos Colineales
Puntos Coplanarios
Ángulo
Bisectríz
Clasificación de Angulos
Rectas Paralelas y
transversales
Definición de Geometría
La geometría trata de la medición y
de las propiedades de puntos, líneas,
ángulos y sólidos, así como de las
relaciones que guardan entre sí.
Índice
En geometría los términos punto, recta
y plano se consideran términos primitivos
o no definidos porque solo tienen
explicación a través del uso de ejemplos y
descripciones. Sin embargo, ellos sirven
para definir otros términos y propiedades
geométricas.
El punto
Los puntos no tienen medida. Son representados por letrasmayúsculas y no tienen dimensión(largo, alto, ancho).
A B
C
Índice
La recta
Una recta se extiende al infinito en
ambas direcciones y carece de ancho. Las rectas se nombran con
minúscula.
b
C
A
¿Cómo identificar las rectas?
La recta que aparece abajo es la recta b. Si se
conocen los nombres de dos puntos de una recta,
entonces esta recta puede identificarse por estos dos
puntos. En este ejemplo, los puntos A y C estan sobre la
recta b, por tanto se pueden hacer referencia a la recta b
de varios modos:
palabra recta AC recta CA
símbolo AC CA
C b
A
Índice
palabra recta AC recta CA
Símbolo matemático AC CA
El plano
Un plano se extiende al infinito en
toda dirección y no tiene grosor
alguno. Los planos se representan
regularmente con una figura de
cuatro lados y se nombran con letras
mayúsculas o tres puntos colineales.
¿Cómo identificar el plano?
B
A C
R
La figura de arriba puede denominarse
plano R o plano ABC.
Índice
Solución de Problemas
a. Recta
Los puntos T y U pertenecen a la recta RS. Escoge dos letras
de las cuatro dadas en la figura,
para nombrar esta recta.
1)FU 2) RU 3) R 4)TE
U
T
S
R
Correcto!!!
El punto RU está en la recta.
Incorrecto!!
Los puntos de la recta son R, S, T, U. El
punto FU no pertenece a la recta.
Incorrecto!!
Recuerda…Siempre se nombra la recta
con dos puntos.
Incorrecto!!
El punto TE no pertenece a la recta.
Solución de problemas
b. Plano M
Sean los puntos A, B y C del
plano M. Utiliza estas letras en
orden diferente para nombrar el
plano.
A C
B
M 1)YJ 2)CFE 3)N 4)BCA
Correcto!!
Los puntos BCA pertenece al plano M.
Incorrecto!!
Los puntos YJ no pertenece al plano.
Incorrecto!!
La letra N no pertenece al plano M.
Incorrecto!!
Los puntos CFE no pertenece al plano
ABC.
Segmento
El segmento es la parte de una recta
que consiste de dos puntos, llamados
extremos y de todos los puntos que estan
dentro de ella.
A
B
Ejemplo:
En el dibujo anterior El segmento se
identificaría como:
o
AB BA
Índice
Rayo
– Un rayo tiene un punto de comienzo y
– se extiende hacia el infinito en el otro
– Extremo.
Ejemplo:
El comienzo de RT es el punto R.
T
R
Cada punto en una recta determina dos rayos que
comparten un mismo extremo. Por ejemplo, el
punto A determina los rayos AB, y AC. AB y AC
se llaman rayos opuestos.
A C
B Índice
El espacio
El espacio es infinito, es tridimensional,
es el conjunto de todos los puntos.
Índice
Los puntos colineales o alineados
Son aquellos contenidos en una línea o
recta. Los puntos que no se encuentran
contenidos en una recta se dice que son
no colineales.
Ejemplo:
Observe que los puntos A, B y C estancontenidos en la recta i. Estos puntos se diceque son colineales. El punto D no es un puntocolineal ya que no pertenece a la recta i.
C i
B
A D
P
Índice
Los puntos (o rectas) coplanarios
Son aquellos puntos (o rectas) que se
encuentran contenidos en un plano.
Ejemplo:
Los puntos Q, R, S y T son coplanarios ya que cada uno esta en el plano E. Las rectas m y k
son coplanarias al estar las dos en el plano E.
U
m k T
Q R S
E
Puntos o rectas que no estan contenidos en el
mismo plano son no coplanarios. El punto U es
no coplanarios.Índice
Comprueba lo aprendido
1. Encuentra el segmento correcto:
M R
L S Q
N
1) LQ 2) RQ 3) LS 4) MR
Muy bien!
El segmento LQ pertenece a una
misma recta.
Incorrecto!
El segmento LS no pertenece a una
misma recta.
Incorrecto!
El segmento RQ no pertenece a una
misma recta.
Comprueba lo aprendido
2. ¿Serán QP y QR rayos opuestos?Q
P R
a) Si, porque el punto Q esta entre medio.
b) No, solamente si el punto P esta entre Q y R.
c) No, porque no son puntos colineales.
d) No, porque son mas de dos rayos.
¡Excelente!
Recuerda… que los puntos deben ser
colineales (que pertenecen a una misma
recta) en este caso lo son, y el punto entre
medio tiene que ser P. Sería, QP y PR.
¡Incorrecto!
El punto Q no esta entre medio, es el
punto P.
¡Incorrecto!
Los puntos si son colineales porque
pertenecen a una misma recta.
¡Incorrecto!
Solamente se esta identificando dos
rayos y buscar si son opuestos.
Vamos a Practicar….
3. Identifíca los puntos colineales y puntos o
rectas coplanarios:
J w F p
H G T
e
Puntos colineales
Puntos coplanarios
Rectas coplanares
4. Indíca los puntos colineales:
a) D,U J w F p
b) A,B E H G T
c) G,F
d) J,T
¡Correcto!
Los puntos G,F están contenidos en una
misma recta o línea.
¡Incorrecto!
Los puntos D,U no aparecen en el dibujo.
¡Incorrecto!
Los puntos A,B no aparece en el bibujo.
¡Incorrecto!
Los puntos J,T estan contenidos en el
dibujo, pero el punto J pertenece a una
recta y el punto T no está en la misma
recta, ni esta contenida dentro del plano.
5. Indíca los puntos coplanarios:
a) Q,T,R,S p
b) H,N,V,M J w G
c) I,O,F,L H F T e
d) H,G,J,F
¡Correcto!
Los puntos H,J,G,F estan contenidos en
el plano.
¡Incorrecto!
Los puntos Q,T,R,S no están contenidos
dentro del plano, ya que el punto T no está
dentro del plano.
¡Incorrecto!
Los puntos H,N,V,M no se encuentran en el
dibujo.
¡Incorrecto!
Los puntos I,O,F,L no se encuentran en el
dibujo.
C DO
A
B
ANGULO.Es la abertura formado por dos rayos
divergentes que tienen un extremo común que se
denomina vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO:
51© copywriter
Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas:
Por las letras mayúsculas correspondientes a las semirectas, colocando en medio la letra vértice: ABC ó CBA.
Por una letra o número colocado en la abertura a.
Por la letra del vértice B.
Índice
Bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la
semirecta que divide al ángulo en dos
partes iguales. Un ángulo tiene
exactamente una bisectriz.
Ejemplo:
La semirecta OA es bisectriz del ángulo
O si se cumple que: 1= 2
Índice
A
Mayor que 0, pero menor
de 180 grados.
Mayor que 0, pero
menor de 90 grados.B
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
a) ÁNGULO CONVEXO
a.1) ÁNGULO AGUDO
55© copywriter
Angulo de 90 grados
B
Mayor de 90 grados. Pero
meno de 180 grados.
A
a.2) ÁNGULO RECTO
a.3) ÁNGULO OBTUSO
56© copywriter
PAREI. Resuelve. Halla la medida de cada ángulo:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
B
AO
C
F
G
H
20
120
140
m BOC
m FOG
m GOH
m COF
m GOB
m HOA
m GOC
m GOF
Solución:
= 70
= 50
= 10
= 30
= 150
= 180
= 80
= 50 57© copywriter
PAREII. Resuelve. Halla la medida de cada ángulo.
50
B
F
O
C
A
ED
m FOB1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
m DOC
m AOC
m AOC m BOC
m AOE
m COF
m AOF
m FOD
Solución:
= 50
= 180
= 90
= 50
= 40
= 130
= 140
58© copywriter
PRÁCTICA ADÍCIONAL: (RELACIÓN DE
ÁNGULOS):
`125
xyz
Solución:
X = 125
Y = 55
Z = 55
Opuestos por el vértice.
Par lineal con 125 o con x.
Opuesto por el vértice o par lineal.
59© copywriter
TEMA: RELACIÓN ENTRE ANGULOS
60© copywriter
A B = 90º
C + D = 180º
DC
AB
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
61© copywriter
AB A B
C
A B
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Son congruentes
Puede formar más ángulosUn lado común
62© copywriter
Transportador: instrumento que se utiliza para medir ángulos.
63© copywriter
EJEMPLO NÚMERO 1: HALLA EL VALOR DE X Y LA MEDIDA DEL ÁNGULO
16 20x
13 7x
16 20 13 7x x
Son congruentes64
© copywriter
EJEMPLO NÚMERO 2: HALLA EL VALOR DE X
Y LA MEDIDA DEL ÁNGULO:
1 2
Si la medida del <1 = 2x – 40, y la m<2 es 40 entonces <1 es?
Son suplementarios
65© copywriter
I. es la bisectriz del y es la bisectriz del . Calcula la medida de cada ángulo.
CF ECA CD
ECB
1
B
D
C
E
A
G
234
5
F
1)
2)
3)
4)
5)
Halla la si
4 2 3, 90m x m ECA
3 5 10, 135m x m ACD
90 , 160m FCD x m ACD
140, 4 10 10m FCB m x
4 9 9 , 3 9 2, 2 5 2.m x m x m x
,m DCA 120 .m DCA x
66© copywriter
II. EN CADA UNA DE LAS SIGUIENTES SITUACIONES HALLA
EL VALOR DE LA VARIABLE Y LA MEDIDA DE CADA
ÁNGULO.
5x
x + 16
1)
2)
(7x + 10) 3x
3)
(4x + 3)
(x – 8)
4)
26
64
4x
Opuestos por el vértice
Suplementarios
Complementarios
Opuestos por el vértice
67© copywriter
III. EN CADA UNA DE LAS SIGUIENTES SITUACIONES HALLA
LA MEDIDA DE CADA ÁNGULO.
(5x + 10)(7x + 20)
(3x + 18)
1)
2)
A
B
C
D(5y + 5)
(7x – 11)(6x – 3)
Para hallar X; suplementarios
Para hallar X
Para hallar Y
complementarios
Opuesto por el
vérticePara hallar la segunda X; sustituir
68© copywriter
PRÁCTICA ADICIONAL:IV. En cada una de las siguientes situaciones halla la medida de
cada ángulo.
X
85
1) 2)
2X3X
X
3)100
xyz
Complementarios Suplementarios Opuestos por el vértice
4)
145 k + 5
Suplementarios
5)
1352x – 5
Opuestos por el vértice
X
6)
4x – 10
Complementarios
O
Suplementarios69
© copywriter
Índice
TEMA:
RECTAS PARALELAS &
TRANSVERSALES
70© copywriter
INTRODUCCIÓN
Cuando dos planos no se intersecan, reciben
el nombre planos paralelos. De la misma
manera son paralelas las rectas en un mismo
plano que no se intersecan. Pero cuando
estas no estan en el mismo plano y no se
intersecan reciben el nombre de rectas
alabeadas o rectas oblicuas. Una recta que
interseca dos o más rectas en un mismo
plano y en puntos distintos recibe el nombre
de transversal.
71© copywriter
RECTAS PARALELAS
Son dos rectas o segmentos que no se intersecan. Estos van en la misma dirección.
Ejemplo: dos rectas paralelas
n
m A B
C D
E F
G H
Ejemplo: planos paralelos
Utilizar plasticina y los segmentos dados para construir cada figura.
Se recomienda que cada segmento tenga la misma medida. Esto
para construir un cuadrado. 72© copywriter
RECTAS OBLICUAS
Ejemplo:
A B
C D
E F
G H
73© copywriter
01. Ángulos alternos internos:
m 3 = m 5; m 4 = m 6
02. Ángulos alternos externos:
m 1 = m 7; m 2 = m 8
03. Ángulos internos consecutivos:
m 3+m 6=180
m 4+m 5=180°
04. Ángulos NO definidos:
m 1+m 8=180 m 2+m 5=180
m 2+m 7=180 m 2+m 7=180
m 2+m 5=180 m 1+m 6=180
m 3+m 8=180 m 4+m 7=180
05. Ángulos correspondientes:
m 1 = m 5; m 4 = m 8
m 2 = m 6; m 3 = m 7
DOS RECTAS PARALELAS
CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL
1 2
34
5 6
78Construir con segmentos
74© copywriter
M
N
P Q
O
R
Ejemplo 1: Identifica los planos y rectas paralelas
Contesta las siguientes preguntas:
Construir la figura utilizando plasticina
1) Identifica dos pares de segmentos paralelos.
2) Identifica dos transversales de las rectas NO y PQ.
3) Identifica un segmento paralelo al plano MRQO.
4) Identifica un par de planos paralelos.
5) Menciona todos los planos paralelos posibles. 75© copywriter
EJERCICIOS
DE PRÁCTICA:
A B
F GE C
D J H
IContesta las siguientes preguntas:
1) Identifica TODOS los segmentos paralelos posibles.
2) Qué segmento es paralelo con BG.
3) Que segmento es paralelo con GH.
4) Identifica un plano paralelo con el plano FGHJI.
76© copywriter
EJEMPLO 2:
RECTAS PARALELAS Y
TRANSVERSALES
1 2
3 4 5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
15 16
Suplementarios
Opuestos por el vértice
Correspondientes
Correspondientes
Internos consecutivos
Angulos Alternos Externos
Relación de ángulos:
1) <1 y <2
2) <2 y < 3
3) <9 y <13
4) <2 y <6
5) <2 y <5
6) <1 y <8
7) <9 y <16
8) <12 y <15
Alternos Externos
Internos consecutivos77
© copywriter
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal entonces
los siguientes pares de ángulos son congruentes.
ANGULOS Y RECTAS PARALELAS
78© copywriter
RELACION
SEGUN SU MEDIDA(CONGRUENCIA)
Angulos que tienen la misma medida:
Angulos alternos internos
Angulos alternos externos
Angulos correspondientes
Angulos opuestos por el vértice
79© copywriter
RELACION
SEGUN SU MEDIDA(SUPLEMENTARIOS)
Angulos que la suma de sus medidas es 180:
Par lineal
Internos consecutivos
Angulos NO Definidos
80© copywriter
EJERCICIO DE PRÁCTICA: EN LA FIGURA, N ES PARALELO CON O. HALLA LA MEDIDA DE CADA ÁNGULO:
o
n
t
1 8
2 7
3 6
4 5
Resuelve:
1) Si la m<7 = 100, halla la m<3.
2) Si la m<7 = 95, halla la m<6.
3) Si la m<1 = 120, halla la m<5.
4) Si la m<4 = 20, halla la m<7.
5) Si la m<3 = 140, halla la m<8.
6) Si la m<4 = 30, halla la m<1.
7) Si la m<4 = 40, halla la m<2.
8) Si la m<7 = 125, halla la m<4.
9) Si la m<1 + m<3 = 230, halla
la m<6.
Alternos Internos
Consecutivos
Alterno Externos
No Definidos
No Definidos
No Definidos
Correspondientes
No definidos
Par lineal o Suplementario
81© copywriter
CONTESTA LAS SIGUIENTES
PREGUNTAS
115
12
3
4
32
1) M<1 =
2) M<2 =
3) M<3 =
4) M<4 =
s
t
Alternos Internos
Opuestos por el vértice
Internos consecutivos
Opuestos por el vértice
115
115
148
148 82© copywriter
HALLA LA RELACIÓN DE ÁNGULOS
1 2 3 4
8 7 6 5
15 16 9 10
14 13 11 12
1) Angulos Alternos Externos
2) Angulos Internos Consecutivos
3) Angulos Alternos Internos
4) Angulos Correspondientes
r
s
l m
Opcional:
3 y 12; 4 y 11; 1 y 13; 2 y 14;
8 y 15; 7 y 16; 6 y 9; 5 y 10; 7 y 6; 16 y 9; 2 y 3; 13 y 11
8 y 16; 7 y 15; 6 y 10; 5 y 9
1 y 15; 8 y 14; 2 y 16; 7 y 13; 3 y 9; 6 y 11; 4 y 10; 5 y 12
1 y 3; 2 y 4; 8 y 6; 7 y 5; 15 y 9; 16 y 10; 14 y 11; 13 y 12
83© copywriter
Halla el valor de la variable:
r
s
(3x – 15)
(2x + 7)
Paso 1: Establecer relación de ángulos.
Angulos correspondientes
Paso 2: Establecer la ecuación algebraica.
3x – 15 = 2x + 7
Paso 3: Resolver para hallar x:
OBSERVAR PROCESO EN LA PIZARRA PARA
HALLAR EL VALOR DE LA VARIABLE
Ejemplo1:
84© copywriter
EJERCICIO DE PRACTICA: (1)
1)
120 x
(3y + 6)
2)4z 2x
H T 72
(5y + 2) K
M (3w + 20)
(2w + 40)
3)
85© copywriter
EJERCICIO DE PRACTICA: (2)
(4x – 10)
(2x + 20)
1) 2) 2x
(3x + 40)
3)(5x – 10)
(8x – 5)
4)
(½ x + 40)
5)(4x)
100
86© copywriter
EJERCICIO DE PRACTICA: (3)
(3x + 5)
(x – 5)
1)
Opcional
2) 105
k
87© copywriter