GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO. ÍNDICEGEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO. ÍNDICE

• Sistema de referencia en el plano.• Vectores.

Definición. Suma y resta de vectores, analítica y geométricamente

• Ecuaciones de la recta. Vectorial. Paramétricas. Continua. General o implícita. Punto- pendiente. Explícita

•Paralelismo y perpendicularidad.•Posiciones relativas de dos rectas.•Cálculo de distancias.

SISTEMA DE REFERENCIA EN EL PLANOSISTEMA DE REFERENCIA EN EL PLANO

Un sistema de referencia está formado por un punto y una base:

SISTEMA DE REFERENCIA EN EL PLANOSISTEMA DE REFERENCIA EN EL PLANO

En el plano consideramos el sistema de referencia cartesiano, dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto O(0, 0).

OX es el  eje de abscisas y OY es el eje de ordenadas.

En el siguiente ejemplo, hemos representado en el eje cartesiano los puntos (2,3) y (-3,2).

Con este sistema cada punto del plano, P, se puede representar por dos números que llamamos  coordenadas y representamos entre paréntesis, P(x, y). La primera coordenada, x,  se llama abscisa. La segunda coordenada, y, se llama ordenada. En el primer cuadrante las dos coordenadas son positivas, en el segundo la abscisa es negativa y la ordenada positiva, en el tercero las dos son negativas y en el cuarto la abscisa es positiva y la ordenada negativa.

Un vector es un segmento orientado. Para indicar que es un vector, se pone una flecha encima del nombre del vector. Un vector se caracteriza por: •MÓDULO: La longitud del vector.

•DIRECCIÓN: definida por la recta que lo contiene. •SENTIDO: indicado por la punta de la flecha.

Ejemplo. Sea el vector . Es un vector que tiene una componente horizontal de 3 unidades y una componente vertical de 4 unidades. Para dibujar el vector  es necesario dibujar el punto B(3,4). A continuación, unimos el origen de coordenadas A(0,0) con B y obtenemos el vector.

VECTORES. DEFINICIÓNVECTORES. DEFINICIÓN

Analíticamente, el módulo del vector se calcula utilizando el Teorema de Pitágoras. Así, como el módulo es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son 3 y 4 unidades, entonces:

SUMA Y RESTA DE VECTORESSUMA Y RESTA DE VECTORES

• Para sumar vectores, éstos se suman componente a componente.

• Para restar dos vectores , se suma a  el opuesto de , es decir: • Para restar vectores, éstos se restan componente a componente.

FORMA GEOMÉTRICA

FORMA ANALÍTICA

•colocamos  

•La diagonal cuyo origen es el de  

es el vector suma. •La diagonal que va del extremo de  al extremo de  es el vector resta.

Ejemplo:

=(1,2)+(4,-1) = (5,1)- =(1,2)+(-4,1) = (-3,3)

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTAECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTAECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

Si en la ecuación vectorial se sustituyen los vectores por sus coordenadas, se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta r:

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTAECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA

Si despejamos t de ambos lados e igualamos, obtenemos la ecuación continua de la recta r. Observa:

ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DE LA RECTAECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DE LA RECTA

Si en la ecuación continua operamos en cruz e igualamos a cero, obtenemos la ecuación general o implícita. Observa:

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTAECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA

Si en la ecuación continua operamos como se muestra a continuación, obtenemos la ecuación punto-pendiente.

Si despejamos de la ecuación punto-pendiente la incógnita y, obtenemos la ecuación explícita:

ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTAECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA

Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDADPARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

Dos rectas son perpendiculares si tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo o si sus ángulos forman 90º.

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTASPOSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

Sean r: Ax + By + C = 0 y s: A’x + B’y + C’= 0 dos rectas. Entonces las rectas r y s son:

• Secantes si tienen un punto en común. Se cumple que:

En este caso, para calcular el punto de corte, se debe resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas x e y. La solución del sistema será el punto de corte de las rectas r y s.

• Paralelas si no tienen ningún punto en común. Se cumple que:

• Coincidentes si son la misma recta. Se cumple que:

CÁLCULO DE DISTANCIASCÁLCULO DE DISTANCIAS

a) Distancia entre dos puntos.

La distancia entre dos puntos A(a1, a2) y B(b1, b2) es el módulo del vector

 d (A,B) =

Ejemplo. Vamos a calcular la distancia entre los puntos A(-3,4) y B(10,2).

CÁLCULO DE DISTANCIASCÁLCULO DE DISTANCIAS

b) Distancia de un punto a una recta.Sea P(a,b) y r la recta r: Ax + By + C = 0 entonces:

 

Veamos un ejemplo. Vamos a calcular la distancia de P(-5,8) a la recta r: 2x-6y+7 = 0.

HASTA PRONTO, CHAVALES. ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO.COMPROBAD VUESTRO APRENDIZAJE CON LAS ACTIVIDADES QUE APARECEN EN LA

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