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ESCUELA CLAUDINA THÉVENET

PREPARATORIA

Ciclo Escolar 2015-2016

GEOMETRÍA

An al í t icaCu ad er n o d e Ejer cicio s

5º d e Pr ep ar ato r ia

Prof. Ricardo Rodríguez Alatriste

4

Este libro está escrito con todo respeto y cariño para las

alumnas del “COLEGIO CLAUDINA THEVENET”.

Este cuaderno de ejercicios está escrito en base a la

experiencia de tantos años de impartir esta materia, que

me ha permitido identificar las necesidades de las

alumnas.

Y que en base en esto la idea es proporcionar un cuaderno

de ejercicios donde la alumna practique lo visto en clase.

El cuaderno está apegado a las 11 unidades que se tienen

que ver durante el ciclo escolar, tal como señala la DGIRE.

También tiene el propósito de que sirva de guía a la

alumna para que prepare sus exámenes con anticipación.

Mucho agradezco a las Madres y a VICKY ALVARADO

Directora de preparatoria, el que me permitan trabajar con

este cuaderno de ejercicios

Atte. Prof. Ricardo Rodríguez

5

Contenido

UNIDAD I “ FUNCIONES Y RELACIONES” ......................................................... 6

UNIDAD II “FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS” ............................................... 17

UNIDAD III “FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS” ....................... 28

UNIDAD IV “SISTEMAS DE COORDENADAS Y ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS”

...................................................................................................................... 37

UNIDAD V “DISCUSIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS” ............................... 43

UNIDAD VI “ECUACIÓN DE PRIMER GRADO” ................................................. 47

UNIDAD VII “ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO” ............................ 52

UNIDAD VIII “CIRCUNFERENCIA” ................................................................... 55

UNIDAD IX “PARÁBOLA” ................................................................................ 61

UNIDAD X “ELIPSE” ........................................................................................ 64

UNIDAD XI “HIPÉRBOLA” ............................................................................... 66

Formulario oficial de Geometría Analítica ..................................................... 70

UNIDAD I FUNCIONES Y RELACIONES PROF. RICARDO RODRIGUEZ

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UNIDAD I “ FUNCIONES Y RELACIONES”

Actividad 1. Escribe el producto cartesiano en

cada caso.

Definición.- El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado por AxB, es el conjunto de todas las parejas ordenadas cuyo primer componente pertenece a A y cuya segunda componente pertenece a B.

Si A={a,e,i,o,u} y B={b,c,d}. calcula AxB

Sea E={x∈ ℝ/ 3≤ 𝑥 ≤ 10} 𝑦 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ /1 ≤ 𝑥 ≤ 7}. Calcula E x D

Definición.- Una relación entre un conjunto A y un conjunto B es cualquier conjunto de parejas ordenadas de AxB. Se llama dominio de la relación al conjunto de las primeras componentes de las parejas, y rango o imagen de la relación al conjunto de las segundas componentes.

Sea A={x/ -2< x <2] y B={y/ -1<y<2}. Calcula AxB

Si A={Ana, Rosa, Luisa] y B={Juan,B Pepe]. Calcula Ax

Actividad 2. Escribe en cada caso si se trata de una función o no.

Definición.- Una función f de A en B es un conjunto de parejas ordenadas de AxB con la siguiente propiedad, para cada x ∈A hay exactamente una y ∈B tal que la pareja (x,y) está en la función.

x 1 2 3 4 5

y 3 5 7 9 11

A={ (círculo,Pir2), (rectángulo, l*a), (triángulo, (b*a)/2), (cuadrado, l*l), (pentágono, (P*a)/2)}

7

Ten en cuenta que en una función es posible que un mismo valor “y” se asigne a diferentes valores de “x”. lo que no es posible es que a una misma “x” se le asigne diferentes valores de “y”.

A={(5,6), (0,8), (-3,10), (0,2), (-3,-1), (0,0)}

A={ (1,1), (2,4), (3,9), (4,16),(5,25), (6,36)}

Cuando al mismo valor “y” se asigna a todas las “x”, la función se denomina constante. Si en cada pareja el valor de “x” es igual al de “y”, la función se llama identidad

A={ (velocidad, m/s), (aceleración, m/s2), (fuerza, newton), (energía,joules), (densidad,kg/m3)}

A={ (2x=4,2), (x+5=1, -4), (5x-1=4, 1), (8x+4=-12,-2), (x2=1, 1)}

Actividad 3.-Identifica en cada una de las siguientes gráficas si se trata de una función o una relación:

8

Actividad 4. En cada una de las siguientes graficas determina el dominio y

rango de la función y exprésalo en intervalos:

D= R= D= R=

9

D= R= D= R=

D= R= D= R=

D= R= D= R=

10

D= R= D= R=

D= R= D= R=

Actividad 5. Dadas las siguientes funciones, encuentra su dominio.

3x

2

y

153

x

xy

y = √3𝑥 − 9

y = x2 + x + 1

11

Y= 2𝑥+5

𝑥2−16

Y= 𝑥+6

𝑥2+5𝑥−36

Y=3𝑥+8

2𝑥2+7𝑥+6

Y= 8

3𝑥2+𝑥−10

Y= √𝑥2 − 25

Y= √9 − 𝑥2

Actividad 6. Determina si se trata de una función inyectiva, suprayectiva o

biyectiva

y= 3x3 + 5x – 1

y= x2 -3

y= 𝑥

𝑥+4

y= 7x + 3

y= √𝑥 − 1

y= x5 + x3 + x -2

12

Actividad 7. Grafica las siguientes funciones.

y =2x + 5

y= x2 + 2x -3

13

y= x3

y= 𝑥+3

𝑥−2

14

y= ex

Actividad 8. Calcula la función inversa. De las siguientes funciones.

y= 5x-3

y=

2𝑥−3

𝑥+5

y=3𝑥+5

3𝑥−4

y= x2 + 4x -2

y= x2 – 6x +1

y= √3𝑥 + 9

y=√𝑥 − 8

Y= -2-x

Actividad 9. Con las funciones que se te proporcionan contesta lo que se te pide.

1) Sea f(x)= -3x2 + 2x – 3. Calcula f(-1), f(.5), f(0), f(-2)

2) Sea f(x)= 3𝑥+4

5𝑥−1. Calcular f(3), f(-1), f(4), f(1/2)

3) Sea f(x)=- 2x3 + 4x2 – 2x +3. Calcular f(-2), f(1), f(1/3), f(0).

4) Sea f(x)= 3x + 6 y g(x)= 3x+6. Calcular f(3) + g(-2).

5) Sea f(x)= - x2 + x+ 1, y g(x)= -4x+3. Calcular f(-1) – g(0).

15

6) Sea f(x)= 3𝑥+5

−2𝑥+3 𝑦 𝑔(𝑥) =

3+𝑥

4. Calcular f(-2) * g(-1).

7) Sea f(x)= 4x +12 y g(x)= 6x + 10. Calcular f(5) / g(-2).

8) Sea f(x)= 3x2 + 3x y g(x)= 𝑥+5

3. Calcular fog (-3)

9) Sea f(x)=-5x2 – 6x +2 y g(x)= 15x -13. Calcular fog (-2).

10) Sea f(x)= 10x + 3 y g(x)= -2x2 + 3x -3. Calcular fog (3).

11) Sea f(x)=𝑥+

1

𝑥

4 𝑦 𝑔(𝑥) =

𝑥+7

𝑥+1

𝑥

. calcular fog (1/3)

12) Traza la gráfica de cada una de las funciones que se te dan a continuación. Esta

actividad hay que realizarla completamente en el cuaderno.

F(x)= -3x+2 f(x)= 5x – 5 f(x)= x2

F(x)= x2 + 3x -1 f(x)= 2x2 + 2x -1 f(x)= -x2+5x +3

F(x)=3+𝑥

𝑥−1 f(x)=

5𝑥+1

𝑥−2 f(x)=

𝑥+3

𝑥+2

F(x)= x3 + 3x f(x)= -x3 -2 f(x)= x3 + 2x -1

F(x)= √𝑥 + 2 f(x)= √2𝑥 + 1 f(x)= √5 − 3𝑥

16

UNIDAD II FUNCIONES TROGONOMETRICAS PROF. RICARDO RODRIGUEZ

17

UNIDAD II “FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS”

Actividad 1. Relaciona las siguientes

columnas.

1) Ángulo agudo ( )Es el ángulo que mide 90° 2) Ángulo Recto ( )Es el ángulo que mide 180° 3) Ángulo Obtuso ( )Son dos ángulos cuya es 90° 4) Ángulo Llano ( )Son dos ángulos cuya suma es 180° 5) Ángulos

Complementarios ( )Es el que mide 360°

6) Ángulos Suplementarios ( )Es el ángulo que mide menos de 90° 7) Ángulo Perígonal ( )Es el ángulo que mide más de 90° y

menos de 180°.

Actividad 2. Relaciona las columnas.

1) Triángulo Equilátero ( )Es el triángulo que tiene sus tres ángulos agudos

2) Triángulo Isósceles ( )Es el triángulo que tiene sus tres lados diferentes

3) Triángulo Escaleno ( )Es el triángulo que tiene un ángulo recto

4) Triángulo Rectángulo ( )Es el triángulo que tiene sus tres lados iguales

5) Triángulo Acutángulo ( )Es el triángulo que tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos

6) Triángulo Obtusángulo ( )Es el triángulo que tiene dos lados iguales y uno diferente

18

Actividad 3. Conversiones de grados a radianes y viceversa.

grados radianes grados radianes

75° 120°

210° 310°

520° 720°

𝜋

5

𝜋

8

𝜋

10

𝜋

12

Actividad 4. Encuentra el valor del ángulo que se desconoce.

19

Actividad 5. Encuentra las 6 funciones trigonométricas con respecto al ángulo “x”

20

Actividad 6. Con el empleo del teorema de Pitágoras encuentra el lado faltante

Actividad 7. Encuentra el valor de “x”

21

Actividad 8. Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones, empleando los

triángulos especiales.

𝑐𝑠𝑐245° tan 45° 𝑐𝑜𝑠230° 𝑠𝑒𝑛2 45°

𝑠𝑒𝑛260° 𝑐𝑠𝑐245° cot 45°=

2𝑡𝑎𝑛260° 𝑠𝑒𝑛 30° cos 45°

cos 60° cot 30°=

cot 45° + 10 tan 45° − 𝑠𝑒𝑛 45°

3𝑡𝑎𝑛260° + 2 sec 60° − sec 60°+cos45°

sec 60°=

𝑠𝑒𝑛2 (𝜋

4) + 𝑐𝑜𝑠2 (

𝜋

4) =

𝑠𝑒𝑛 60° + 𝑐𝑠𝑐60°

𝑠𝑒𝑛230° + 𝑐𝑜𝑠230°=

−𝑠𝑒𝑛 30° + 𝑠𝑒𝑛260° − 𝑡𝑎𝑛260°

𝑡𝑎𝑛245° + cos 60° − 𝑐𝑠𝑐245°=

𝑠𝑒𝑛 30° 𝑠𝑒𝑐60°

𝑐𝑜𝑠230°𝑐𝑠𝑐245° tan 45°=

𝑠𝑒𝑛 (𝜋3)+ 𝑐𝑠𝑐 (

𝜋3)

𝑠𝑒𝑛2 (𝜋6) + 𝑐𝑜𝑠

2 (𝜋6) + 𝑡𝑎𝑛

2 (𝜋6)=

Actividad 9. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos

1) Una escalera de 10m descansa sobre una pared de 8m, ¿hallar la distancia de la pared

al pie de la escalera

2) Una persona se encuentra a 150m de un edificio y el ángulo de elevación que se

forma entre la persona y el piso al subir la vista a la parte superior del edificio es de

60°, ¿hallar la altura del edificio?

3) Un barco se encuentra a 460 m de un faro que mide 36m, ¿hallar el ángulo de

depresión que se forma con el faro y el barco?

4) Un hombre de 1.80m se encuentra a 15m de un árbol y el ángulo de elevación que se

forma la cabeza del hombre y el árbol es de 20°, ¿hallar la altura del árbol?

5) Desde una ventana localizada a 4m sobre una avenida, el ángulo de elevación a la

parte superior de un edificio que está frente a la ventana es de 60°, el ángulo de

depresión a la base de este edificio es de 30°. Determina la altura de dicho edificio.

22

Actividad 10. Soluciona los siguientes triángulos Oblicuángulos.

1) b=6, c=8, A=95°, hallara=?, B=? y C=?

2) A=45°, C=105°, a=10cm, hallar c=?, b=?, B=?

3) B=30°, C=50°, a=8cm, hallar b=?, c=? y A=?

4) A=135°, B=30°,b=15 cm, hallar a=?, c=? y C=?

5) A=68.41°, B=54.23°, a=12.75 cm, hallar a=?, b=? y C=?

6) A=60°, B=40°, b= 6cm, hallar C=?, a=? y c=?

7) Un helicóptero está directamente por encima de una carretera recta de 1.5 Km de

longitud que une dos pueblos. El pueblo más cercano está a un ángulo de

depresión de 35° y el más lejano a un ángulo de depresión de 31°. ¿A qué altura

arriba del suelo está el helicóptero?

8) Un topógrafo localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Desde

un punto C a 500 metros de A y a 750 metros de B, el ángulo ACB mide 30°.

¿Cuál es la distancia entre A y B?

9) Se desea determinar la distancia entre dos puntos A y B que se encuentran en las

orillas opuestas de un río. Se traza un segmento de recta AC de una longitud de

240 yardas y se encuentra que los ángulos BAC y ACB miden 63° y 54°,

respectivamente. Aproxime la distancia AB.

10) El ángulo de las esquinas de un terreno en forma triangular mide 73°. Si los lados,

entre los cuales se encuentra dicho ángulo, tienen una longitud de 175 y 150 pies,

determine la longitud del tercer lado.

Actividad 11.- Con el empleo del teorema de tales, resuelve los siguientes problemas.

1) De desea saber la altura de un árbol si se sabe que proyecta una

sombra de 15m y al mismo tiempo un hombre que mide 1.80m

proyecta una sombra de 0.60m. hallar la altura del árbol.

2) Javier mide 1.60m de altura, en un momento dado proyecta una sombre

de 0.50m de largo. En ese instante el asta-bandera del patio de su

colegio proyecta una sombra de 1.40m. Calcular la altura del asta.

3) Una regla de 1 metro de largo se coloca verticalmente en el piso y vemos

que proyecta una sombra de 85 cm de largo. En ese momento el poste

de luz proyecta una sombra de 4.80m. calcular la altura del poste.

4) Para medir lo ancho de un río, un hombre tomó las medidas indicadas

en la figura siguiente. AC es perpendicular a AD y BD perpendicular a

DE, si AB mide 8m, BD mide 6m, DE de 12 m, calcular la anchura del

río.

23

5) La sombra de un arbusto de 123 cm de altura es de 0.75 m; en ese

momento un árbol proyecta una sombra de 24m. calcular la altura del

árbol.

6) Dos buitres acechan a un conejo en su madriguera, parados en dos

árboles que se encuentran a una distancia de 25 m uno de otro. El árbol

del primer buitre mide 15m de altura, y el del segundo 9m. al salir el

conejo a tomar el sol, ambos buitres se lanzan sobre él cogiéndolo al

mismo tiempo entre sus garras. ¿a qué distancia estaba el conejo de

ambos buitres?

Actividad 12. Demuestra las siguientes identidades trigonométricas

1) 𝐶𝑂𝑆 𝑋

1−𝑇𝐴𝑁𝑋+

𝑆𝐸𝑁 𝑋

1−𝐶𝑂𝑇 𝑋= 𝐶𝑂𝑆 𝑋 + 𝑆𝐸𝑁 𝑋

2) 𝑡𝑎𝑛 𝑥+sec𝑥

sec𝑥− tan𝑥=𝑠𝑒𝑛 𝑥+1

1−𝑠𝑒𝑛 𝑥

3) tan𝑥+𝑠𝑒𝑛 𝑥

1+cos𝑥= tan 𝑥

4) tan𝑥+𝑠𝑒𝑛 𝑥

1+cos𝑥 = tan x

5) 𝑡𝑎𝑛𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑠𝑒𝑛3𝑥=

sec𝑥

1+cos𝑥

6) 𝑠𝑒𝑛 2𝑥

1−cos2𝑥+1−cos𝑥

cos𝑥= tan

𝑥

2

7) cosx * cscx * tanx = 1

8) 𝑠𝑒𝑛 𝑥

csc𝑥+

cos𝑥

sec𝑥= 1

9) tanx + cotx = secx * cscx

10) 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑠𝑐𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑐𝑥= 1

24

Actividad 13. Encontrando amplitud, periodo, frecuencia, desface y grafica.

y= ¼ sen 2x

y= 1/3 sen (2x/5 )

y= -4 sen (3x+𝜋/4)

25

y= -2 tan(2x-3 𝜋/6)

y= 8 cos (6x- 𝜋)

y= -5 sen (2x+ 𝜋/2)

26

y= 3 cot (2x- 𝜋/3)

y= -5 sec(3x+ 𝜋/8)

y= 3 cot(4x+ 𝜋/3)

27

y= -4 tan (3x+ 𝜋/4)

UNIDAD IV FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS PROF. RICARDO RODRIGUEZ

28

UNIDAD III “FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS”

Actividad 1. Grafica las

siguientes funciones

exponenciales.

y=3x

y= 5-x

29

y=- 4x

y= 2-x y= ex +2

y= e-x-1

30

y= 5-x – 3

y= -6-x +4

y= 7-x – 1

31

y= -3x – 5

Actividad 2. Resuelves las siguientes ecuaciones exponenciales.

92x =27

e1-x =9

51-2x =7x

5x+1 = 92x

ex-1 = 7

4x-3 = 84-x

e2x + 7ex -18 =0 3𝑥+2

34−𝑥= 1

2x+2= 4x

92-3x = 27x-4

32

Actividad 3. Grafica las siguientes funciones logarítmicas.

y= log (x+2)

y= log (x-3)

y= - log (-x-2)

33

y= -log2 (x-3)

y= -log5 (x+1)

y= log (2x-3) +1

34

y= log2 (5x-2) -3

y= -log4(3x-5) + 1

Actividad 4. Soluciona las siguientes ecuaciones logarítmicas.

Log(x+2)=log(3x-1)

Log2(5-3x)=3

Log(x – 1) = 3 – log(x)

Log4(3x+1)=3

35

Log(x2 + 1)=1

Log(x+3)+logx=1

Log3(x+2)-log3(x-6)=2

Log6(4x+4)=log6(64)-log6x

Log4(x-3)+Log4(x+3)=2

Lnx+4=3

Actividad 5. Escribe un modelo matemático que represente cada situación.

Para probar los efectos de un antibiótico en un estreptococo patógeno que infecta las heridas, un químico bacteriológico cultiva una cepa, de tales microorganismos. Con el fin de determinar la rapidez de reproducción de las bacterias, el investigador las coloca en un medio altamente favorable para su desarrollo. La población inicial es de 600 bacterias y observa que cada hora se duplica la cantidad existente.

a) Escribe un modelo exponencial que describa el crecimiento de la colonia.

b) ¿cuántas bacterias habrá acabo de 12 horas?

c) Hallar el modelo donde la población se triplique cada hora. R=

Para probar los efectos de un antibiótico en un estreptococo patógeno que infecta las heridas, un químico bacteriológico cultiva una cepa, de tales microorganismos. Con el fin de determinar la rapidez de reproducción de las bacterias, el investigador las coloca en un medio altamente favorable para su desarrollo. La población inicial es de 600 bacterias y observa que cada hora se duplica la cantidad existente.

d) Escribe un modelo exponencial que describa el crecimiento de la colonia.

e) ¿cuántas bacterias habrá acabo de 12 horas?

f) Hallar el modelo donde la población se triplique cada hora. R=

En enero del 2014 adquiriste un auto en $65 000. Si cada año disminuye 13% su valor inicial, ¿Cuánto valdrá en el año 2021? R=

Inviertes $1 500 en una cuenta bancaria que proporciona 23% de interés anual a plazo fijo de 5 años. ¿Cuál es el monto que recibirás al concluir el plazo del depósito? R=

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Las vitaminas son compuestos orgánicos que contribuyen al metabolismo del cuerpo. La vitamina C participa en la formación del colágeno que interviene en la estructura de huesos y dientes. Esta vitamina se oxida rápidamente, por lo que los jugos cítricos, hay que consumirlos enseguida para aprovechar al máxima esta vitamina. Si un cuarto de litro de jugo de naranja contiene 200mg de vitamina C y está se oxida a razón de 12.5mg cada minuto, ¿cuántos mg de vitaminas habrán en el jugo si lo consumes después de transcurridos 35 minutos desde su elaboración? R=

Proporción de un rumor. En una ciudad, de 9 000 habitantes se esparce un rumor de modo que cada hora se duplica la cantidad de personas que se enteran del mismo. ¿Cuántas personas conocerán el rumor al cabo de 12 horas? R=

Ecología. En América Latina, la deforestación avanza a un ritmo de 0.75% anual. Si en México actualmente hay 3,000 hectáreas de bosque, ¿cuántas hectáreas se perderán en tres años?

Vitamina B1. Útil para el funcionamiento del sistema nervioso, la tiamina se destruye por el calor, a razón de 0.01mg de tiamina, ¿cuánta vitamina B1 habrá en la espinaca después de 15 minutos de cocción? R=

Interés compuesto. ¿Cuál será el monto en 4 años, de $1 200 depositados en una cuenta bancaria que otorga 18% de interés anual, compuesto trimestralmente? R=

Antibiótico. Un cultivo de |0 mil bacterias disminuye por efecto de un antibiótico, como muestra la tabla.

a) Escribe un modelo para esta situación y calcula cuántas bacterias estarán vivas,

transcurridas 24 horas.

b) ¿En que porcentaje disminuye la población de bacterias cada hora?

c) ¿Cuántas sobreviven después de una semana?

Horas 1 2 3 4

Bacterias 9,500 9,05 8,574 8,145

R=

Deposita $7,500 en una cuenta bancaria que te produce intereses compuestos a 15% anual. Calcula el saldo en tu cuenta al cabo de 3 años, si los intereses se capitalizan:

a) Anual

b) Mensualmente

c) Trimestralmente R=

UNIDAD IV SISTEMAS DE COORDENADAS Y ALGUNOS CONCEPTOS BASICOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ

37

UNIDAD IV “SISTEMAS DE COORDENADAS Y ALGUNOS

CONCEPTOS BÁSICOS”

Actividad 1. Localiza los puntos que se te dan en el plano cartesiano y sigue las indicaciones:

La figura principal abarca del punto A al punto 6 y del 7 al 17 es aparte.

A(0,8) B(0,12) C(3,15) D(5,15) E(5,14) F(3,12) G(2,12) H(2,9) I(4,11) J(6,11)

K(8,9) L(8,13) M(10,11) N(14,11) Ñ(16,13) O(16,7) P(15,6) Q(13,5) R(11,5) S(9,6)

T(8,7) U(8,4) V(9,4) W(9,2) X(6,2) Y(6,6) Z(4,6) 1(3,5) 2(3,4) 3(5,4)

4(5,2) 5(1,2) 6(0,8) 7(9,8) 8(9,10) 9(11,10) 10(11,8) 11(13,10) 12(15,10) 13(15,8)

14(13,8) 15(13,7) 16(12,8) 17(11,7)

x

y

38

Actividad 2. Localiza los siguientes puntos en el plano cartesiano.

A(10,0), B(5,2), C(7,7), D(2,5), E(0,10), F(-2,5), G(-7,7), H(-5,2), I(-10,0), J(-5,-2), K(-7,7), L(-2,-5), M(0,-10),

N(2,5), Ñ(7,-7), 0(5,-2), P(10,0). Y únelos por orden alfabético.

39

Actividad 3. Conversiones de coordenadas cartesianas a polares y viceversa.

(3,-4)

(4,60°)

(-1,6)

(-5,30°)

(7,3)

(10,130°)

(-2,-1)

(3,60°)

(-2,6)

(3,135°)

Actividad 3. Encuentra la distancia entre dos puntos dados.

A (-2,3) y B (-5,6)

A (-3,0) y B (0,-2)

A (0,0) y B (10,10)

A (4,5) y B (-4,-5)

A(-3,6) y B(2,-2)

Calcula el perímetro y determina qué tipo de triángulo se trata.

A(-6,-2) , B(-1,-2) y C(-1,3)

A(2,2), B(4,2) y C(3,3)

A(2,-1), B(7,-1) y C(0,3)

A(1,-2), B(4,-2) y C(4,2)

40

Actividad 4. Hallar en cada segmento el punto medio y las coordenadas dada una razón.

A(2,5) y B(-3,-4)

A(-3,1) y B(3,2)

A(7,1) y B(1,-2)

A(-3,4) y B(0,0)

A(3,2) y B(6,-1) r= 2

A(-3,3) y B(4,5) r= 3

A(3,5) y B(10, 12) r= ½

A(4,3) y B(5,12) r= -2

Da solución a los siguientes problemas.

Un extremo de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3,-2). Si la abscisa del otro extremo es 6 hallar su ordenada.

Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio (4,3). Hallar el otro extremo

Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5), (4,2) y (1,1). Hallar las coordenadas de los vértices.

Los extremos de un segmento son los puntos A(7,4) y B(-1,-4). Hallar la razón en el que el punto (-1,2) divide al segmento.

Si (x,4) es equidistante de (5,-2) y (3,4). Hallar x.

Actividad 5. Calcula el área de cada una de las figuras dadas.

A (1,2), B(2,5) y C (6,3)

A (4,4), B (2,3) y C(5,1)

A (8,3), B (2,-4), C(7,-6) y D(4,4)

A (-1,-6), B (-3,5), C(7,0), D(3,7) y E(5,0)

41

A (0,0), B(5,8) y C (4,10)

A (3,-4), B (1,6) y C(-2,3)

A (-2,1), B (1,5), C(10,7) y D(7,3)

A (1,1), B (2,4), C(5,6), D(7,2) y E(4,0)

Actividad 6. Con pendientes indica si son paralelas, perpendiculares u oblicuas.

A(-1,-6) y B(4,5)

A(-2,2), B(7,10)

A(-10,10), B(15,10)

A(2,0), B(2,13)

A(-2,1) y B(7,3); C(1,5) y D(10,7)

A(4,3) y B(1,3); C(2,0) y D(2,5)

A(4,-4) y B(0,0); C(4,4) y D(0,0)

A(-1,2) y B(3,-6); C(-2,-2) y D(1,2)

Actividad 7. Calcula los ángulos interiores de los triángulos.

A(-1,1), B(-1,4) y C(3,4)

A(2,-1), B(4,2) y C(5,0)

42

A(0,0), B(5,-2) y C(-3,3)

A(0,-3), B(3,0) y C(0,-4)

A(4,3), B(-2,-2) y C(-7,8)

A(6,2), B(2,-3) y C(-2,2)

UNIDAD V DISCUSION DE ECUACIONES ALGEBRAICAS PROF. RICARDO RODRIGUEZ

43

UNIDAD V “DISCUSIÓN DE ECUACIONES

ALGEBRAICAS”

Actividad 1.Hallar las intersecciones con los ejes de cada una

de las ecuaciones.

xy-2y-3=0

xy-9x-y-1=0

5x+4y-20=0

x+2y=6

9x2+4y2=36

Actividad 2. Encuentra la simetría con los ejes y con el origen de cada ecuación.

2xy + 3x +2y +8=0

-5xy +7x -2y +1=0

5x + 3y +xy -5=0

6x + 8y -3xy + 9=0

2x + 3y +6xy – 4=0

44

Actividad 3. Encuentra el dominio y rango de cada ecuación.

3x

2

y

y = x2 + x + 1

y = 42

x

x2 + y2 = 4

153

x

xy

Actividad 4. Encuentra las asíntotas de cada ecuación.

3x + 4y – xy + 8=0

2x +2xy +5y – 10=0

4xy + 3x -6y +2=0

5x + 6y – 7xy -3=0

3x + 7y – 2xy + 6=0

45

Actividad 5. Grafica cada una de las ecuaciones.

6xy + 8x – 2y + 6=1

3x + 4y + xy – 3 =2

46

5x + 6y – 2xy + 2=8

8x + 6y – 4xy + 10=4

7x + 6y – 3xy + 12=0

UNIDAD VI ECUACIONES DE PRIMER GRADO PROF. RICARDO RODRIGUEZ

47

UNIDAD VI “ECUACIÓN DE

PRIMER GRADO” Actividad 1. Encuentra la ecuación del lugar

geométrico.

P(x,y) es equidistante de (-2,4) y (1,-5)

P(x,y) es equidistante de (-3,0) y (3,-5)

P(x,y) esta a doble distancia de (4,-4) que de (1,-1)

P(x,y) forma con (0,3) y (0,-3) los vértices de un triángulo rectángulo con P como vértice del ángulo recto.

La suma de las distancias de P(x,y) a (-4,0) a (4,0) es igual a 12

Actividad 2. Encuentra la ecuación de la recta de acuerdo a los datos que se dan.

La recta que pasa por (4,2) con pendiente 1.

La recta que pasa por (-3,2) con pendiente ¼

La recta horizontal que pasa por (-2,4)

La recta vertical que pasa por (3,-1)

48

La recta vertical que pasa por (3,-1)

La recta que pasa por (2,-3) con pendiente 0.

La recta de pendiente m= 2 y ordenada al origen -3

La recta de pendiente m= -3 y ordenada al origen 5/3

La recta que pasa por (-1,3) y (5,-4)

La reta que pasa por (-1,-6) y (-1,4)

Encuentra la pendiente y la ordenada al origen de la ecuación x – 4y =8

Encuentra la pendiente y la ordenada al origen de la ecuación 8x – 2y = 12

Encuentra la pendiente y la ordenada al origen de la ecuación 4x – 3y = 5

Encuentra la ecuación de la recta cuya intersección x es 3 y cuya intersección y es -5.

Los extremos de un segmento son C(7,-2) y D(1,6). Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento CD.

Hallar la ecuación de la recta paralela a 3x+4y-1=0 y que pasa por el punto (2,4)

Hallar la ecuación de la recta perpendicular a 5x+3y-2=0 y que pasa por (-3,5)

Hallar la ecuación de la recta perpendicular a 5x+3y-2=0 y que pasa por (-3,5)

Hallar las coordenadas del punto de intersección de las rectas 4x - 5y = 26 y 3x + 7y = -2

Hallar las ecuaciones de dos rectas que pasen por A(1,4), una paralela y la otra perpendicular a la recta definida por la ecuación 3x -2y +40=0

49

Hallar las ecuaciones de dos rectas que pasen por A (2,-1), una paralela y la otra perpendicular a la recta definida por la ecuación x-2y-5=0

Actividad 3. Encuentra las ecuaciones de las rectas que se te piden.

Los vértices de un triángulo son A(-2,3), B(6,-5) y C(8,5) encuentra. Encuentra la mediatriz con respecto al lado AB.

Hallar la ecuación de la bisectriz del par de ángulos agudos formados por las rectas 4x – 3y = 8 y 12x – 5y = 10.

Hallar la ecuación de la bisectriz de los ángulos agudos y también la ecuación de la bisectriz de los ángulos obtusos formados por las rectas x+y+2=0 y x+2y=3

Hallar la distancia de la recta 5x= 12y + 26 a los puntos P(3,-5) , Q(-4,1) y R(9,0)

Hallar la distancia entre las rectas paralelas 15x + 8y +68=0 y 15x + 8y – 51=0.

Hallar las ecuaciones de los lados del triángulo cuyos vértices son A(2,3), B(-1,9) y C(-5,-2).

50

Los lados de un triángulo están sobre las rectas 2x+3y+4=0, x-y+3=0 y 5x+4y-20=0, encontrar las coordenadas de los vértices.

1) Encontrar la ecuación general, normal y lineal de acuerdo a los datos que se dan.

datos general normal lineal

A(1,-1) y m= -2

A(4,5) y m= -1/3

A(3,-2) y B(-2,5)

A(5,6) y B(-3,-4)

m=-3 y b=-5

m= ½ y b= 2

a= 2 y b= 4

a=-3 y b= -5

51

2) Dado el triángulo con vértices en M(-2,1), N(4,7) y L(6,-39, encuentra:

la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado BC

la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de MN y por el vértice L (mediana)

La ecuación de la mediatriz del lado MN La ecuación de la altura que pasa por M

La ecuación de la mediatriz con respecto al lado NL

La ecuación de la mediana con respecto al vértice N

UNIDAD VII ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO PROF. RICARDO RODRIGUEZ

52

UNIDAD VII “ECUACIÓN GENERAL DE

SEGUNDO GRADO”

Actividad 1. Con el criterio visto en clase determina de

clase de cónica se trata.

7x2 + 2xy + y2 +x + y -1=0

x2 + 5y2 + 4x – 2y +2=0

2x2 + 2y2 +x – y +12=0

9x2 + 8y2 + 2x – 14y + 9=0

3x2 + 4xy + 3y2 + 2x – y -1=0

3y2 – 2x – 4y + 2=0

5x2 + 2x – 7y -12=0

3x2 – 5xy + 2y2 + 4x + 4y – 4=0

Actividad 2. Determina las coordenadas que debe tener el nuevo origen, para que al

trasladar los ejes, se eliminen los términos lineales en las siguientes cónicas:

4x2 + y2 – 8x – 6y + 9=0

x2 + y2 + 8x – 6y + 16=0

x2 + 4y2 – 8x – 8y + 5=0

x2 + 4y2 +10x – 12y -3=0

53

2x2 + 3y2 – 8x + 6y – 7=0

3x2 – 4y2 + 6x + 24y – 135=0

3x2 + 4y2 – 12x + 4y + 13=0

4x2 + 5y2 +16x + 20y + 16=0

Actividad 3. Usa ejes de rotación y elimina el término “xy” en las siguientes ecuaciones.

4xy + 3y2 – x =0

13x2 -6√3xy + 7y2 – 16 =0

4x2 – 4xy + y2 - 8√5 x - 16√5 y =0

16x2 + 24xy + 9y2 – 130x + 90y =0

3x2 – 4y2 + 6x + 24y – 135=0

54

Actividad 4. Encuentra la nueva ecuación de la curva después de rotar los ejes al ángulo

que se indica.

x2 – xy – 2x + y – 2=0, 𝜃 = 45°

x2 – 2xy + y2 + 2x – 4y + 3=0, 𝜃 = 45°

7x2 - 6√3 xy + 13y2 – 16=0, 𝜃 = 30° X2 – y2 =4 ; 𝜃 = 45°

UNIDAD VIII CIRCUNFERENCIA PROF. RICARDO RODRIGUEZ

55

UNIDAD VIII “CIRCUNFERENCIA”

Actividad 1.- grafica la circunferencia de acuerdo a los datos.

C(-2,3) y r= 3

C(0,0) y r=4

56

C(3,2) y r= 2

C(0.5,1.5) y r= 1

Actividad 2. Encuentra la ecuación de la circunferencia en su forma general y ordinaria.

C(2,-3) y r=2

C(-1,5) y r= 4

57

Puntos extremos del diámetro A(3.4)y B(9,-3)

Puntos extremos del diámetro A(-2,4) y B(3,-5)

Encuentra la ecuación de la circunferencia sabiendo que los extremos de diámetro son t(3,0) y el punto de intersección de las rectas 2x – 3y -4=0 y 5x – 3y – 1=0

Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el punto de intersección de las rectas x + 2y – 2=0 y 4x + 2y – 5=0, y como radio la distancia de dicho punto a x – 2y + 5=0

Encuentra la ecuación de la circunferencia si se sabe que el diámetro está sobre la recta x – y=3. Los extremos del diámetro están sobre los ejes coordenados.

Encuentra la ecuación de la recta que contiene al diámetro con pendiente -5/2 de la circunferencia x2 + y2=0.

Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene como centro (-2,-2) y que pasa por el punto p(3,1)

Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene como centro (-3,2) y que pasa por el punto p(-5,-1).

58

Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro (1,-1) y que pasa por el punto de intersección de las rectas 4x – 3y – 1=0 y 3x – 2y -2=0

Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por p(0,0) y que tiene de r=10. Se sabe que la abscisa del centro es igual a 6.

Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro (-3,-2) y que sea tangente a la recta –x + 2y + 6=0

Encuentra la ecuación de la recta con centro (-6,3) y que sea tangente a la recta x + 2y – 10=0

Actividad 3.- En los siguientes ejercicios encuentra coordenadas de centro y el radio.

(x-3)2+(y-1)2=16 (x-6)2+(y+5)2=25

x2+y2+2x+2y-2=0

x2+y2-12x-10y+12=0

3x2+3y2-9x+12y-21=0

x2 + y2 + 6x – 4y + 5=0

59

2x2 + 2y2 + 8x – 12y – 10 =0

Encuentra la ecuación de la circunferencia con r=5 y centro en la intersección de las rectas 8x+5y-2=0 y x-2y+5=0

Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en (2,3) y como recta tangente 2x-y+2=0

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos A(1,2), B(3,-4) y C(5,-6)

Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el punto de intersección de las rectas -3x – 2y + 2 = 0 y -2x – 3y +3 = 0 y como radio la distancia de dicho punto a x + y +13=0

Los lados de un triángulo están sobre las rectas 4x – 3y – 65=0, 7x – 24y + 55=0 y 3x + 4y – 5=0 encuentra la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo. Gráfica

60

Encuentra la ecuación de la circunferencia con r=5 y centro en la intersección de las rectas 8x + 5y – 2=0 y x – 2y + 5=0.

Encuentra la ecuación con centro en el punto de intersección de las recta 3x + y +2=0 y x- 2y +3=0 y r=4

Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene de centro (2,4) y recta tangente a 4x + 5y -3=0

Dado el triángulo con vértices en A(5,1), B(2,6) y C(-1,1), encuentra la ecuación de la circunferencia circunscrita a los vértices

Dado el triángulo con vértices en A(-1,2), B(1,3) y C(3,0), encuentra la ecuación de la circunferencia inscrita en él .

Encuentra la ecuación de la circunferencia tangente a 4x + 3y – 4=0 en el punto P(4,-4), se sabe que la recta que contiene al centro es x – y – 7=0

UNIDAD IX PARÁBOLA PROF. RICARDO RODRIGUEZ

61

UNIDAD IX “PARÁBOLA”

Actividad 1. En cada caso encuentra la ecuación de la

parábola en su forma ordinaria y general.

datos ordinaria general V(0,0) y F(0,-2)

V(0,0) y directriz x=3

V(2,3) y F(2,5)

V(-3,-1) y F(-1,3)

F(2,5) y directriz x=-4

62

vértices en V(1,-1) y p=- 2

V(-3,-1) y que pasa por el punto P(1,-4)

Encuentra la ecuación de la parábola vertical que pasa por los tres puntos C(0,0), D(-5,4) y f(5,6)

Encuentra la ecuación de la parábola vertical con vértice en V(2,2) y que pasa en el punto H(6,4).

Encuentra la ecuación de la parábola con directriz y -1=0 y foco en el punto de intersección de la circunferencia x2 + y2 – 2x – y – 20=0 con la recta 6x + 7y + 33=0

Encuentra la ecuación de la parábola con directriz y -1=0 y foco en el punto de intersección de la circunferencia x2 + y2 – 2x – y – 20=0 con la recta 6x + 7y + 33=0

63

Encuentra la ecuación de la parábola con foco en F(2, -4) y directriz x + 2=0.

Encuentra la ecuación de la parábola horizontal que pasa por M(-3,4), H(0,-2) y T(5,-4)

Actividad 2.- De las siguientes ecuaciones calcula los elementos que se te piden.

ecuación vértice foco directriz y2-12x=0

x2+6y=0

x2-12x+4y+12=0

y2-4x-12y+12=0

2x2-8x-8y-32=0

UNIDAD X ELIPSE PROF. RICARDO RODRIGUEZ

64

UNIDAD X “ELIPSE”

Actividad 1.Encuentra la ecuación de la elipse en su forma

ordinario y general.

datos ordinaria general v1(0,3) y v2(0,-3), F1(0,2) y f2(0,-2)

v1(0,3) y v2(0,-3), F1(0,2) y f2(0,-2)

v1(5,0) y v2(-5,0), f1(3,0) y f2(-3,0)

f1(0,4) y f2(0,-4) y e=2/3

v1(3,1) y v2(3,7) y lr= 9/2

f1 (4,6) y f2(4,-2) se sabe que el eje menor tiene longitud igual a 10.

v1 (-5,0) y v2(5,0), se sabe que el semieje menor es igual a 4.

f1(-7,1) yf2 (5,1) y excentricidad a igual a 2/3.

lado recto igual a 18/5 y centro en C(-2,-3). Los focos están alineados de manera horizontal y el eje mayor es igual a 10.

extremos del eje mayor son (-4,2) y (6,2), y los extremos del eje menor son (1,6) y (1, -2).

elipse horizontal con centro en c(0,0), sabiendo que el eje mayor es igual a 20 y que el eje focal es igual a 12.

65

Actividad 2.- Obtener todos los elementos de la elipse.

ecuación centro vertices focos Lado recto

excentricidad

(x−3)2

9 + (y+4)2

4= 1

(𝑥 + 5)2

4+ (𝑦 + 1)2

16= 1

(𝑥 + 5)2

4+ (𝑦 + 1)2

16= 1

(𝑥 − 5)2

6+ (𝑦 + 1)2

2= 1

(𝑥 + 3)2

9+ (𝑦 − 3)2

25= 1

UNIDAD XI HIPÉRBOLA PROF. RICARDO RODRIGUEZ

66

UNIDAD XI “HIPÉRBOLA” Actividad 1. Encuentra la ecuación ordinaria y

general.

datos ordinaria general V1(0,3) y v2(0,-3) y f1(0,4) y f2(0,-4)

V1(3,0) y v2(-3,0) y e= 3/2

a=4, b=3 eje focal sobre el eje “y”

V1(5,0) y v2(-5,0) asíntotas

y=+

−𝑥

F1 (-1,4) y F2(7,4). El eje transversal es 4/3.

V1 (-3,11) y V2 (-3, -13). El eje focal es igual a 30.

67

Actividad 2.- Encuentra todos los elementos de las siguientes hipérbolas:

ecuación centro vértices focos Lado recto excentricidad

(𝑥 + 2)2

16− (𝑦 + 2)2

4= 1

(𝑥 + 2)2

16− (𝑦 + 2)2

4= 1

(𝑥 + 5)2

4− (𝑦 − 3)2

16= 1

(𝑦 − 2)2

25− (𝑥 − 5)2

9= 1

68

(𝑦 − 4)2

5− (𝑦 − 1)2

6= 1

Actividad 3.- Hallar los elementos de cada hipérbola que se te da:

ecuación centro vertices focos Lado recto excentricidad

2x2-9y2-18=0

2x2-9y2-18=0

9x2-4y2-36=0

5x2-4y2-20x+8y-4=0

69

-3x2+4y2-6x-24y+21=0

FORMULARIO PROF. RICARDO RODRIGUEZ

70

Formulario oficial de Geometría Analítica

Distancia entre dos puntos

d= √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏) + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)

División de un segmento dada una razón

x=𝒙𝟏+𝒓 𝒙𝟐

𝟏+𝒓 𝒚 =

𝒚𝟏+𝒓 𝒚𝟐

𝟏+𝒓

Punto medio:

𝒙 =𝒙𝟏 + 𝒙𝟐𝟐

𝒚 =𝒚𝟏 + 𝒚𝟐𝟐

Área de un triángulo y un polígono

A=𝟏

𝟐 |

𝒙𝟏𝒚𝟏𝒙𝟐𝒚𝟐𝒙𝟑𝒚𝟑𝒙𝟏𝒚𝟏

| A=𝟏

𝟐 |

|

𝒙𝟏𝒚𝟏𝒙𝟐𝒚𝟐𝒙𝟑𝒚𝟑..

𝒙𝟏𝒚𝟏

|

|

Pendiente

m=𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

rectas paralelas: m1 = m2 rectas perpendiculares: m1 * m2 = -1

Ángulo entre dos rectas

Tan ø=𝒎𝟐−𝒎𝟏

𝟏+𝒎𝟏∗𝒎𝟐

Distancia entre 2 rectas paralelas:

𝒅 =|𝒃𝟏 − 𝒃𝟐|

√𝟏 +𝒎𝟐

Baricentro de un triángulo

𝒙 =𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑

𝟑

Pendiente y ordenada al origen

m=−𝒂

𝒃 𝒃 =

−𝒄

𝒃

Ecuación de la normal x cosw + y senw-p=0

𝑨𝒙

√𝑨𝟐 + 𝑩𝟐+

𝑩𝒚

√𝑨𝟐 +𝑩𝟐+

𝑪

√𝑨𝟐 +𝑩𝟐= 𝟎

Distancia de un punto a una recta

𝒅 = |𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪

√𝑨𝟐 + 𝑩𝟐|

Ecuaciones de la recta y-y1= m(x-x1) pto. -pendiente y= mx+b pendiente-ordenada 𝒙

𝒂+𝒚

𝒃= 𝟏 simetrica

Ecuaciones del círculo (x-h)2 + (y-k)2= r2 x2+y2+dx+ey+f=0

h=−𝒅

𝟐 𝒌 =

−𝑬

𝟐

r=𝟏

𝟐 √𝒉𝟐 + 𝒌𝟐 − 𝑭

Trigonometría Identidades Sen2x+cos2x=1; 1+tan2x=sec2x ; 1+cot2x=csc2x

𝒕𝒂𝒏𝒙 =𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝐜𝐨𝐬 𝒙 cot x=

𝐜𝐨𝐬𝒙

𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝒔𝒆𝒏 𝒙 =𝟏

𝐜𝐬𝐜𝒙; 𝐜𝐨𝐬 𝒙 =

𝟏

𝐬𝐞𝐜𝒙 ; 𝐭𝐚𝐧𝒙 =

𝟏

𝐜𝐨𝐭 𝒙

Mediciones de ángulos en un círculo:

Ángulo central Valor de arco AB

Ángulo inscrito 𝑨𝑩⏞

𝟐

Ángulo formado por una tangente y una cuerda

𝑨𝑩⏞

𝟐

Ángulo formado por dos cuerdas que se cortan

𝑨𝑪+𝑩𝑫

𝟐 donde AC y BD son arcos

71

Ángulo formado por dos secantes 𝑩𝑪⏞−𝑫𝑬⏞

𝟐 donde BC y DE son arcos

Ángulo formado por una secante y una tangente

𝑩𝑪−𝑩𝑫⏞

𝟐 donde BC y BD son arcos

Fórmulas de ángulo interno, externo, diagonal x vértice, etc.

Si S es la suma de los ángulos internos de un polígono de n lados S= 180°(n-2)

La suma de los ángulos externos de cualquier polígono es igual a 360°

Si un polígono regular de n lados tiene un ángulo interior i y uno exterior e, entonces:

𝒊 =𝟏𝟖𝟎°(𝒏 − 𝟐)

𝒏

e=𝟑𝟔𝟎°

𝒏

El número de diagonales que se trazan desde un vértice es: (n-3)

Total de diagonales de un

polígono es: 𝒏(𝒏−𝟑)

𝟐

Ángulos notables

funcion 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

sen 0 1/2 1 /√𝟐 √𝟑 / 2 1 0 -1 0

cos 1 √𝟑 /2 1 / √𝟐 1 / 2 0 -1 0 1

Tan 0 1 / √𝟑 1 √𝟑 infinito 0 infinito 0

Parábola: (y – k)2 = 4p (x – h) ------ horizontal foco(h+p,k) ecua. Direc. X=h-p Lado recto: |𝟒𝒑| (x – h)2 = 4p (y – k) ------ vertical foco (h,k+p) ecu. Dierc. Y=k - p

Elipse: (𝒙−𝒉)𝟐

𝒂𝟐 +

(𝒚−𝒌)𝟐

𝒃𝟐= 𝟏 ----- horizontal

(𝒙−𝒉)𝟐

𝒃𝟐+

(𝒚−𝒌)𝟐

𝒂𝟐= 𝟏 ---------- vertical

lado recto: 𝟐𝒃𝟐

𝒂 ; eje mayor = 2 a; eje menor = 2b y eje focal= 2c; relación c2= a2 – b2; e=

𝒄

𝒂

Hipérbola: (𝒙−𝒉)𝟐

𝒂𝟐 −

(𝒚−𝒌)𝟐

𝒃𝟐= 𝟏 ------- horizontal

(𝒚−𝒌)𝟐

𝒂𝟐−

(𝒙−𝒉)𝟐

𝒃𝟐= 𝟏 ----------- vertical

e= 𝒄

𝒂 ; 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒐 =

𝟐𝒃𝟐

𝒂 ; 𝒆𝒋𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒍 = 𝟐𝒂; 𝒆𝒋𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒈𝒂𝒅𝒐 = 𝟐𝒃;

𝒆𝒋𝒆 𝒇𝒐𝒄𝒂𝒍 = 𝟐𝒄

ecuación asíntotas: (y – k)= +−

𝒃

𝒂 (x – h) ------- hipérbola horizontal

Ecuación asíntotas. (y – k)= +−

𝒂

𝒃 (x – h) ------- hipérbola vertical relación: c2 = a2 + b2