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Geometría y Trigonometría Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo 83 7. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 7.1 Concepto de trigonometría Trigonometría La palabra trigonometría es un vocablo latino compuesto por trígono, que significa “triángulo” (tres ángulos) y metria, “proceso de medir” o “medida”. Rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los distintos elementos de las figuras geométricas, haciendo énfasis en los ángulos y los lados de los triángulos. La trigonometría se divide en: Trigonometría plana: También es conocida como trigonometría rectilínea porque estudia los triángulos rectilíneos y, en general, los triángulos construidos en los planos. Trigonometría del espacio o esférica: Su objeto de estudio son los triángulos esféricos; esto es la región de la superficie de una esfera limitada por los arcos de tres circunferencias máximas. 7.2 Relaciones Trigonométricas La trigonometría se fundamenta en algunas relaciones, que se llaman funciones trigonométricas, que se definen como “las razones entre elementos rectilíneos ligados a un ángulo, cuya variación depende de la variación del ángulo”. Las razones que existen entre los lados de un triángulo rectángulo varían al variar el ángulo de que se trate; es decir que las razones son funciones del ángulo. A estas razones se les llaman funciones trigonométricas. Entre los pares de lados se forman seis razones que dan lugar a seis relaciones.

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Geometría y Trigonometría Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

83

7. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

7.1 Concepto de trigonometría Trigonometría La palabra trigonometría es un vocablo latino compuesto por trígono, que significa “triángulo” (tres ángulos) y metria, “proceso de medir” o “medida”. Rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los distintos elementos de las figuras geométricas, haciendo énfasis en los ángulos y los lados de los triángulos. La trigonometría se divide en:

• Trigonometría plana: También es conocida como trigonometría rectilínea porque estudia los triángulos rectilíneos y, en general, los triángulos construidos en los planos.

• Trigonometría del espacio o esférica: Su objeto de estudio son los triángulos esféricos;

esto es la región de la superficie de una esfera limitada por los arcos de tres circunferencias máximas.

7.2 Relaciones Trigonométricas La trigonometría se fundamenta en algunas relaciones, que se llaman funciones trigonométricas, que se definen como “las razones entre elementos rectilíneos ligados a un ángulo, cuya variación depende de la variación del ángulo”. Las razones que existen entre los lados de un triángulo rectángulo varían al variar el ángulo de que se trate; es decir que las razones son funciones del ángulo. A estas razones se les llaman funciones trigonométricas. Entre los pares de lados se forman seis razones que dan lugar a seis relaciones.

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Unidad dos Geometría y Trigonometría

7.3 Funciones trigonométricas de ángulos agudos

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Nombre de la función

Abreviación

Definición

Seno sen Es la razón entre cateto opuesto y la hipotenusa.

Coseno cos Es la razón entre cateto adyacente y la hipotenusa.

Tangente tan Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Cotangente cot Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.

Secante sec Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

Cosecante csc Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se definen: Para el ángulo A: c es la hipotenusa. a es el cateto opuesto. b es el cateto adyacente. Para el ángulo B: c es la hipotenusa. a es el cateto adyacente. b es el cateto opuesto.

B

A C

a

b

c

De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas para el ángulo A y B se designan como:

Para el ángulo agudo A

Para el ángulo agudo B

casenA =

abA =cot

cbsenB =

baB =cot

cbA =cos

bcA =sec

caB =cos

acB =sec

baA =tan

acA =csc

abB =tan

bcB =csc

84

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Geometría y Trigonometría Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

85

Ejemplos: Expresa las funciones trigonométricas, correspondientes al ángulo señalado con letra mayúscula. Caso 1 Dados los tres lados. De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas sus valores son:

Datos Cateto Opuesto

C.O Cateto Adyacente

C.A Hipotenusa

H 15 20 25

6.02515.

===hocsenM 333.1

1520

.

.cot ===ocacM

8.02520.cos ===

hacM 25.1

2025

.sec ===

achM

75.02015

.

.tan ===acocM 667.1

1525

.csc ===

ochM

M

15

20

25

Caso 2 Dados los dos catetos. Primero se debe encontrar el dato que falta, en este caso utilizaremos el Teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa. ( ) ( ) 3691442251215 22 =+=+=h De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas nos queda:

Datos Cateto Opuesto

C.O Cateto Adyacente

C.A Hipotenusa

H 15 12 369

78125.036915.

===hocsenR 8.0

1512

.

.cot ===ocacR

62469.036912.cos ===

hacR 60078.1

12369

.sec ===

achR

25.11215

.

.tan ===acocR 28062.1

15369

.csc ===

ochR

R

15

12

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Unidad dos Geometría y Trigonometría

Caso 3 Dada una función trigonométrica.

Dado 178

=senA , calcula el valor de las demás funciones trigonométricas.

-Primero debemos recordar la definición de la función, en este caso de seno.

hocsenA .

= y comparar con el dato que nos da 178.

==hocsenA , entonces tenemos c.o = 8 y h = 17

- Segundo lugar encontraremos el dato que falta, utilizando el Teorema de Pitágoras. ( ) ( ) 1522564289817. 22 ==−=−=ac

De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas:

Datos Cateto Opuesto

C.O Cateto Adyacente

C.A Hipotenusa

H 8 15 17

4705.0178.===

hocsenA 875.1

815

.cot ===

occaA

8823.01715.cos ===

hacA 1333.1

1517

.sec ===

achA

3533.0158

.

.tan ===acocA 125.2

817

.csc ===

ochA

A

178

86

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Geometría y Trigonometría Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

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EJERCICIO 7-1 INSTRUCCIONES.- Expresa las funciones trigonométricas, correspondientes a los ángulos

señalados con letras mayúsculas. 1)

sen M =

cos M =

tan M =

cot M =

sec M =

csc M =

45

M

3

6

2)

sen P =

cos P =

tan P =

cot P =

sec P =

csc P =

3)

P4

52 6

sen A =

cos A =

tan A =

cot A =

sec A =

csc A =

5

A24

1

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Unidad dos Geometría y Trigonometría

4)

sen Q =

cos Q =

tan Q =

cot Q =

sec Q =

csc Q =

Q

2524

7

5)

sen B =

cos B =

tan B =

cot B =

sec B =

csc B =

6)

sen R =

cos R =

tan R =

cot R =

sec R =

B

108

6

csc R =

R

7

9

130

88

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Geometría y Trigonometría Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

89

7)

sen A =

cos A =

tan A =

cot A =

sec A =

csc A =

8)

sen B =

cos B =

tan B =

cot B =

sec B =

csc B =

9)

sen P =

A

15

8

B

13

5

cos P =

tan P =

cot P =

sec P =

csc P =

P

2 3

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Unidad dos Geometría y Trigonometría

EJERCICIO 7-2 INSTRUCCIONES.- Dada las siguientes funciones, determina los valores de las demás

funciones trigonométricas.

1) 23

=TanA

A

2) 5

12=SecB

3) 52

=SenC

B

4) 5517

=CosA

C

A

90

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Geometría y Trigonometría Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

91

5) 4

18=CscB

6) 79

=CotC

7) 34

=CotA

B

C

8) 47

=SecB

A

B

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Unidad dos Geometría y Trigonometría

EJERCICIO 7-3 INSTRUCCIONES.- Utiliza la calculadora para obtener el valor de las funciones

trigonométricas del ángulo que se te indica. Redondea el resultado a cuatro cifras decimales.

Angulo θSen θCos θTan θCot θSec θCsc

o48

o56

o5.23

6223 ′o

0345 ′o

6240 ′o

8562 ′o

0367 ′o

92

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Geometría y Trigonometría Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

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7.4 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 7.4.1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Recordando un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (90˚). Resolver un triángulo es determinar las medidas de los lados y ángulos. Sin considerar el ángulo recto, los tres lados y los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo pueden variar de valor y se pueden presentar los siguientes casos:

• Si conocemos los dos catetos. • Si conocemos un cateto y la hipotenusa. • Si conocemos un cateto y un ángulo agudo. • Si conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo.

Ejemplos: Resuelve los siguientes triángulos rectángulo. 1) Si conocemos los dos catetos. -Primero calcularemos el lado que falta utilizando el Teorema de Pitágoras en este caso la hipotenusa “c”. 744925)7()5( 2222 =+=+=+= bac -Después calcularemos los ángulos A y B haciendo uso de las funciones trigonométricas (ya sea seno, coseno o tangente para seleccionar la función que debemos aplicar, ésta debe de contener solo datos del problema original, recuerda que no puedes aplicar una función que contenga más de una incógnita).

)7142.0(tan7142.075

.

.tan 1 ===== −AacocA

°−°−°=−−°=°=++ 9053.35180180180 BCABCBA

Datos Incógnitas a = 5 c = b = 7 A = C =90° B =

B

AC

a

b

c

c = 8.6

A =35.53°

B =54.47°

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Unidad dos Geometría y Trigonometría

2) Si conocemos un cateto y la hipotenusa. -Primero calcularemos el lado que falta utilizando el Teorema de Pitágoras en este caso el cateto “a”. 651681)4()9( 2222 =−=−=−= bca -Después calcularemos los ángulos A y B haciendo uso de las funciones trigonométricas (ya sea seno, coseno o tangente para seleccionar la función que debemos aplicar, ésta debe de contener solo datos del problema original, recuerda que no puedes aplicar una función que contenga más de una incógnita).

)4444.0(cos4444.094.cos 1 ===== −A

hacA

°−°−°=−−°=°=++ 9061.63180180180 BCABCBA

Datos Incógnitas b = 4 a = c = 9 A = C =90° B =

B

AC

a

b

c

a = 8.06

A =63.61°

B = 26.39°

3) Si conocemos un cateto y un ángulo agudo. -Primero encontraremos el ángulo A.

°−°−°=

−−°=°=++9035180

180180A

CBACBA

- Para encontrar los lados b y c debemos utilizar las funciones trigonométricas (para seleccionar la función que debemos aplicar, ésta debe de contener solo datos del problema original, recuerda que no puedes aplicar una función que contenga más de una incógnita).

2..35tan2.35cos.35 bacoc

chac

cb

hocsen ==°==°==°

Despejar

8191.02

35cos2235cos =

°==° c

c

)7002.0(235tan22

35tan =°==° bbb

Datos Incógnitas a = 2 b = B =35° c = C =90° A =

b = 1.40

c = 2.44

B

AC

a

b

c

A =55°

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Geometría y Trigonometría Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

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4) Si conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo. -Primero encontraremos el ángulo A.

°−°−°=−−°=°=++ 9038180180180 BCABCBA - Para encontrar los lados b y c debemos utilizar las funciones trigonométricas (para seleccionar la función que debemos aplicar, ésta debe de contener solo datos del problema original, recuerda que no puedes aplicar una función que contenga más de una incógnita).

ba

acocb

haca

hocsen ==°==°==°

.

.38tan20

.38cos20

.38

Despejar

)6156.0(20382020

38 =°==° asenaasen

)7880.0(2038cos2020

38cos =°==° bbb

Datos Incógnitas c = 20 a = A =38° b = C =90° B =

B

AC

a

b

c

B =52°

a = 12.31

b = 15.76

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Unidad dos Geometría y Trigonometría

EJERCICIO 7-4 INSTRUCCIONES.- Con los datos que se proporcionan, traza el triángulo y calcula los

elementos que faltan.

1)

Lados Ángulos a = 25 A = ? b = 40 B = ? c = ? C = 90°

2)

Lados Ángulos a = 4 A = ? c = 25 B = ?

b = ? C = 90° 3)

Lados Ángulos b = 40 A = 32°

a = ? B = ? c = ? C = 90° 4)

Lados Ángulos c = 16 A = ? a = B = 62.75°

b = C = 90°

a = 7.32 b = 14.22 A = 27.25°

a = 24.99 c = 47.16 B = 58°

b = 24.67 A = 9.20° B = 80.8°

c = 47.16 A = 32° B = 58°

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Geometría y Trigonometría Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

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EJERCICIO 7-5 INSTRUCCIONES.- Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, según la información

proporcionada. 1)

A = ?

B = ?

c = ?a = 3

Cb = 6

c = 6.70 A = 26.56° B = 63.44°

2)

CA = ?

B = ?

c = ?a = 85

b = 70

c = 110.11 A = 50.52° B = 39.48°

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Unidad dos Geometría y Trigonometría

3)

c = 18

B = ?

a = 12

A = ?C

b = ?

4)

b = 13.41 A = 41.81° B = 48.19°

B = ?

c = 25a =?

A = ? C

b =12

a = 21.93 A = 61.31° B = 28.69°

98

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Geometría y Trigonometría Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

99

5)

c = ?

C

B = ?

a = ?39.41°

6)

b = 20A

B

c = ?

a = 16.43 c =25.88 B = 50.59°

26.8° a = 35.5

A = ?C b = ?

b = 17.93 c = 39.77 A =63.2°

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Unidad dos Geometría y Trigonometría

7)

c = 2.54

a = ?

b = ?

54.46°

B

A = ?

8)

a = 1.47 b =2.06 A =35.54°

c = 140

C

a = ?

b = ?

30.6°

B = ?

A

a = 71.26 b = 120.50 B = 59.4°

100

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Geometría y Trigonometría Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

101

EJERCICIO 7-6 INSTRUCCIONES.- Resuelve los siguientes problemas de aplicación. 1) Un albañil desea construir una escalera de 18 m; ¿qué ángulo debe formar dicha escalera con el piso, si tiene que alcanzar una altura de 8 m? 2) El pie de una escalera de 12 m, apoyada contra la pared, queda a 5 m de ésta, suponiendo que el piso es horizontal, ¿qué ángulo forma la escalera y el piso? 3) El ángulo en la base de un triángulo isósceles es 40°, la altura mide 22cm. Determina la longitud de sus lados iguales.

34.22cm

65.37°

26.38°

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Unidad dos Geometría y Trigonometría

4) Un rectángulo mide 31cm de longitud por 18 cm de ancho. Calcula la longitud de la diagonal y el ángulo formado por ésta. 5) Una persona cuya altura es de 1.78m, proyecta una sombra de 3.5m. Calcula el ángulo de elevación del sol. 6) A 87.5 m de la base de una torre el ángulo de elevación a su cúspide es de 37° 20’, calcular la altura de la torre, si la altura del aparato con que se midió ángulo es de 1.50m.

68.22m

26.95°

35.84cm 30.14º

102

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Geometría y Trigonometría Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

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7.- ¿Qué altura alcanza sobre un muro una escalera de 5 m de largo, si forma con el piso un ángulo de 65° 10´?

4.53m

8.- Un ingeniero construye una rampa de 125 m de largo con una elevación de 25°. ¿Qué altura alcanza sobre la horizontal? 9.- Un niño sostiene un papalote cuya cuerda forma un ángulo de elevación de 15° con el suelo, si la longitud que le ha soltado a la cuerda es de 230 m, ¿a qué altura volará el papalote?

52.82m

59.52m