geologia estructural reduca

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural. 2 (1): 110, 2010. ISSN: 19896557 1 Problemas de Geología Estructural 1. Conceptos generales Rosa Blanca Babín Vich 1 . David Gómez Ortiz 2 . 1 Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas. Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040Madrid. [email protected] 2 Área de GeologíaESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933Móstoles. [email protected] Resumen: La proyección estereográfica es una de las mejores técnicas para resolver problemas geométricos en Geología Estructural. Trabaja con líneas y planos sin tener en cuenta sus relaciones espaciales, por tanto, solo se pueden representar valores angulares. Palabras clave: Proyección estereográfica. Circunferencia primitiva. Falsillas de proyección. PRÓLOGO El tratamiento cuantitativo de la geometría en tres dimensiones puede ser a veces muy arduo, mediante fórmulas trigonométricas que en ocasiones provocan que el problema no pueda ser resuelto rápidamente por los alumnos. El resultado, a menudo, es que la manipulación de los datos puede llevar a errores y a un desconocimiento de cuáles son las ecuaciones que se deben utilizar en cada caso. Afortunadamente y como ayuda para simplificar las técnicas gráficas, se utiliza en Geología Estructural la proyección estereográfica, que requiere en principio que el alumno tenga una buena visión de los procesos de proyección. El crear una imagen proyectada en la mente puede parecer difícil al comienzo, pero con una cierta práctica, el alumno puede llegar a ser casi un experto. Se recomienda hacer dibujos en tres dimensiones para plasmar la imagen pensada y pasar a continuación la misma imagen a dos dimensiones. De esta forma se relaciona la estructura en tres dimensiones con la que vamos a ver proyectada, ya sea mediante proyección ortográfica o estereográfica. Este tipo de proyección es ideal para analizar relaciones angulares y trabajar con datos de orientaciones. Las aplicaciones más generales incluyen la determinación de ángulos entre líneas, entre planos y entre ambos. También se utiliza para el análisis y clasificación de superficies curvadas (pliegues), orientación de planos a partir de testigos de sondeos y obtención de orientaciones poco visibles en el campo a partir de

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 1‐10, 2010.                                              ISSN: 1989‐6557 

 

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 Problemas de Geología Estructural 

1. Conceptos generales  

Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.  

1Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas. Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid. 

[email protected] 2Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles. 

[email protected] 

  

Resumen: La proyección estereográfica es una de  las mejores  técnicas para  resolver problemas geométricos en Geología Estructural. Trabaja con  líneas y planos sin tener en  cuenta  sus  relaciones  espaciales,  por  tanto,  solo  se  pueden  representar  valores angulares.  Palabras  clave:  Proyección  estereográfica.  Circunferencia  primitiva.  Falsillas  de proyección.   

PRÓLOGO   

El  tratamiento  cuantitativo  de  la  geometría  en  tres  dimensiones  puede  ser  a veces muy arduo, mediante fórmulas trigonométricas que en ocasiones provocan que el  problema  no  pueda  ser  resuelto  rápidamente  por  los  alumnos.  El  resultado,  a menudo,  es  que  la  manipulación  de  los  datos  puede  llevar  a  errores  y  a  un desconocimiento de cuáles son las ecuaciones que se deben utilizar en cada caso.  

Afortunadamente y como ayuda para  simplificar  las  técnicas gráficas,  se utiliza en Geología Estructural la proyección estereográfica, que requiere en principio que el alumno  tenga una buena visión de  los procesos de proyección. El  crear una  imagen proyectada en la mente puede parecer difícil al comienzo, pero con una cierta práctica, el  alumno  puede  llegar  a  ser  casi  un  experto.  Se  recomienda  hacer  dibujos  en  tres dimensiones para plasmar la imagen pensada y pasar a continuación la misma imagen a dos dimensiones. De esta forma se relaciona la estructura en tres dimensiones con la que vamos a ver proyectada, ya sea mediante proyección ortográfica o estereográfica.  

Este tipo de proyección es ideal para analizar relaciones angulares y trabajar con datos de orientaciones. Las aplicaciones más generales  incluyen  la determinación de ángulos entre  líneas, entre planos y entre ambos. También se utiliza para el análisis y clasificación  de  superficies  curvadas  (pliegues),  orientación  de  planos  a  partir  de testigos de sondeos y obtención de orientaciones poco visibles en el campo a partir de 

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distintos conjuntos de datos. En combinación con la proyección ortográfica, se pueden resolver  muchos  problemas  típicos  de  la  Geología  Estructural  y  de  la  Ingeniería Geológica.  

Este manual está estructurado en varios artículos Babín y Gómez (2010 a, b, c, d, e,  f, g y h). Cada uno de ellos comienza con una definición somera de  los conceptos más  básicos,  como  pueden  ser  las  orientaciones  de  planos  en  el  espacio  y  su representación,  para  terminar  analizando  cada  una  de  las  principales  estructuras geológicas.  Al  principio  de  cada  artículo  se  ofrece  una  introducción  referente  a  los conceptos  fundamentales  necesarios  para  la  comprensión  y  resolución  de  los problemas que se desarrollan a continuación. Nuestro deseo es que este trabajo sirva como orientación a  futuras generaciones de estudiantes, que, dentro de  las Ciencias Geológicas, han elegido esta especialidad para desarrollar su futura vida laboral.   

INTRODUCCIÓN   

El  objetivo  de  este manual  es  introducir  al  alumno  en  el  conocimiento  de  las técnicas básicas de proyección estereográfica,  indispensables para cualquier geólogo que vaya a desarrollar su  trabajo en  relación con Geología Estructural  (orientaciones de  planos  y  líneas  en  el  espacio),  Cartografía  (relaciones  angulares  entre  estratos, discordancias,  etc), Geotecnia  (cálculo  del  factor  de  seguridad  de  un  talud),  etc.  En cada uno de los artículos se van resolviendo ejercicios sencillos a partir de una serie de definiciones consideradas de conocimiento  imprescindible para  los problemas que se van a desarrollar a continuación.  

Aunque este método de proyección está explicado en muchos libros con mayor o menor extensión, nuestra experiencia como profesores de Geología Estructural es que muchos estudiantes son capaces de representar los datos estructurales sin entender el principio  del  método  que  están  empleando.  Este  manual  pretende,  mediante ilustraciones  y  ejercicios  resueltos,  visualizar  el  problema  que  concierne  a  las  tres dimensiones y a su representación bidimensional.  

Es bien sabido, que  la representación de datos estructurales mediante métodos geométricos se dificulta en gran manera cuando es necesario analizar un gran número de medidas. En este  sentido  se  introduce el  concepto de proyección estereográfica, herramienta utilizada ampliamente por los geólogos desde la mitad del siglo XIX, como una  alternativa  sencilla  y  simple  para  representar  datos  tridimensionales  en  dos dimensiones.  

Aunque en un principio este tipo de proyección pueda parecer abstracta, con su uso el alumno se dará cuenta de la facilidad y rapidez de resolución de distintos tipos de problemas en Geología Estructural. Actualmente,  los ordenadores son capaces de proyectar  datos  estructurales  en  proyección  estereográfica,  pero  no  sabremos interpretar el resultado si no aprendemos a proyectar datos manualmente. La  falsilla 

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de proyección se puede llevar al campo fácilmente y los datos pueden ser proyectados, interpretados y en su caso, corregidos, directamente en el afloramiento.  

El material necesario para  llevar a cabo este tipo de proyección, es muy simple. Únicamente se necesita una falsilla de proyección (Anexo  I) que aparece en  la mayor parte de  los  libros de Geología Estructural, una chincheta,  lápiz y goma de borrar, así como grandes  cantidades de papel  transparente o de  calco. Se  recomienda  resolver cada  problema  en  un  papel  transparente  distinto,  para  poder  repasarlo  después  y corregir si fuera necesario.   

LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA. CONCEPTOS GENERALES   

Imaginemos  un  observador  situado  en  el  centro  de  una  esfera  de  cristal transparente.  Cualquier  dirección  supuesta,  estará  representada  por  un  punto determinado,  situado en  la  superficie de  la esfera. Por ejemplo,  la dirección “oeste” estará  indicada  por  un  punto  en  el  ecuador  de  la  esfera,  situado  al  oeste  del observador.  

Los  primeros  astrónomos  definieron  las  posiciones  relativas  de  las  estrellas proyectándolas como puntos blancos en  la superficie de una esfera de color negro. A esta representación se  le dio el nombre de “esfera celestial”, en  la que  las distancias relativas de la tierra a las estrellas no podían ser representadas en su magnitud real.  

Una superficie esférica en la cual las posiciones de los elementos característicos están indicadas, se denomina proyección esférica, siempre teniendo en cuenta que se representan orientaciones, no distancias entre los elementos proyectados.  

Las  proyecciones  esféricas  se  utilizan  para  representar  orientaciones  de  líneas y/o planos, siempre que la línea o el plano pase a través del centro de la esfera. En ese caso, una  línea  intersecta a  la  superficie de  la esfera en dos puntos diametralmente opuestos, mientras que la intersección de un plano con la esfera será un círculo mayor (Fig. 1). La intersección de la línea o el plano con la esfera es su proyección esférica.  

  

Figura 1. Proyección de una línea y un plano en el hemisferio inferior de la esfera. 

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Una  proyección  de  este  tipo,  representa  el  elemento  proyectado  en  tres dimensiones.  Afortunadamente,  una  esfera  puede  ser  proyectada  en  un  plano bidimensional. Las proyecciones planares más comunes de una esfera se denominan proyecciones azimutales, que  se  construyen haciendo pasar  las  líneas de proyección desde  un  punto  común  hasta  la  esfera,  intersectando  el  plano  de  proyección.  Este puede ser tangente a  la superficie de  la esfera, estar a una determinada distancia de ella o pasar a  través del  centro de  la esfera. Un  cambio en  la posición del plano de proyección, da  lugar a un cambio de escala en  la proyección. El plano de proyección puede tener cualquier orientación, y esto determina que la proyección sea ecuatorial, polar u oblicua (Fig. 2).   

  Figura  2.  Proyecciones  polar  y  oblicua,  como  ejemplos  de  posibles  orientaciones  del  plano  de proyección. 

  

La proyección estereográfica es un caso especial de proyección azimutal, que en su principio fue desarrollada por los cristalógrafos. Su característica principal es que el punto  fuente usado en  su construcción está situado en  la  superficie de  la esfera. En geología,  el  plano  de  proyección  usado  para  construir  la  proyección  estereográfica pasa por el centro de la esfera, y se corresponde con su plano ecuatorial. 

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  Figura 3. A. Plano en  tres dimensiones, orientado mediante dirección  y buzamiento. B. Proyección esférica del plano, en el hemisferio inferior de la esfera. C. Estereograma del plano. 

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Vamos  a  visualizar  la  construcción  de  una  proyección  estereográfica  (Fig.  3). Imaginemos un punto marcado en el hemisferio  inferior de nuestra esfera de cristal, que  representa  la  proyección  esférica  de  un  punto  en  el  espacio.  La  proyección estereográfica  de  este  punto  se  construye  dibujando  una  línea  de  proyección  que conecte el punto situado en el hemisferio inferior, con el zenit de la esfera colocado en la parte superior de  la misma. La  intersección de  la  línea de proyección con el plano ecuatorial  (plano de proyección) de  la esfera, es  la proyección estereográfica de ese punto. En Geología Estructural siempre proyectamos desde el hemisferio inferior de la esfera y el elemento  representado  (línea o plano) pasa por el centro de  la esfera de referencia, mientras que en Cristalografía se utiliza el hemisferio superior. Los planos intersectan el hemisferio  inferior  como  círculos mayores,  y  las  líneas,  como puntos. Cada punto de un círculo mayor en el hemisferio  inferior, unido con el zenit, da a su vez un punto en el círculo ecuatorial de proyección. La unión de  todos estos puntos muestra la proyección estereográfica (estereograma) del plano que pasa por el centro de  la esfera  y que  corresponde  a un  círculo mayor. Hemos  reducido una  geometría tridimensional a dos dimensiones.  

La  intersección  del  plano  ecuatorial  (plano  de  proyección)  con  la  esfera,  se denomina “circunferencia primitiva”, mas abreviado, la primitiva. Tiene el mismo radio que la esfera de proyección original y todos los puntos en la superficie del hemisferio inferior quedan proyectados como puntos en o dentro de la primitiva.  

La  proyección  estereográfica  es  una  de  las  mejores  técnicas  para  resolver problemas  geométricos  en  Geología  Estructural.  Se  diferencia  de  la  proyección ortográfica en un punto fundamental: ésta preserva las relaciones espaciales entre las estructuras, mientras  que  la  estereográfica  trabaja  con  planos  y  líneas  sin  tener  en cuenta sus relaciones espaciales, únicamente las angulares.  

El uso de  la proyección estereográfica es, en muchos  casos, preferible al de  la proyección  ortográfica,  ya  que  es  capaz  de  resolver  gran  cantidad  de  problemas geométricos  con mayor  facilidad  y  rapidez,  siempre  que  en  ellos  solo  intervengan valores angulares. Ambos tipos de proyecciones son complementarios, de  forma que los datos angulares se tratan con proyección estereográfica y  los escalares, mediante proyección ortográfica o de planos acotados.  

En la práctica, la proyección estereográfica de líneas y planos se lleva a cabo con ayuda de una falsilla de proyección (stereographic net). Esta falsilla o estereoneta está formada por un conjunto de proyecciones de círculos mayores y menores que ocupan el  plano  ecuatorial  de  proyección  de  la  esfera  de  referencia.  Ambos  conjuntos  de círculos  están  espaciados  con  intervalos  de  2º,  apareciendo marcados  con  un  trazo más grueso los que corresponden a valores múltiplos de 10 (Fig. 4).  

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  Figura 4. Falsilla de proyección estereográfica (Falsilla de Wulff) o estereoneta. Conserva los ángulos. 

  

Los círculos mayores representan una familia de planos con dirección norte‐sur, cuyos buzamientos varían desde 0º a 90º en ambos sentidos. Estos planos se cortan según una línea horizontal representada por el norte o el sur de la falsilla.  

Los círculos menores son aquellos a través de los cuales medimos las direcciones de  los  distintos  planos  y  líneas  en  la  proyección.  También  se  utilizan  para  hacer rotaciones  de  distintos  elementos  estructurales  alrededor  de  ejes  horizontales, verticales  o  inclinados.  Representan  la  proyección  sobre  el  plano  ecuatorial  de  un conjunto de planos que no pasan por el centro de  la esfera, espaciados de 2º en 2º. Cada círculo menor corresponde al corte de una superficie cónica con  la esfera, cuyo ápice  está  situado  en  el  centro  de  la  esfera  y  su  altura  coincide  con  el  radio  de  la falsilla.  La  combinación  de  círculos  mayores  y  menores  constituye  un  ábaco perfectamente apto para la proyección estereográfica de líneas y planos.  

Existen dos tipos distintos de estereoneta: la falsilla de Wulff y la de Schmidt (Fig. 5).  La primera  conserva  ángulos,  como  se explicará  a  continuación, mientras que  la segunda  conserva  áreas  y por  tanto,  se utiliza para  realizar  contajes estadísticos de elementos  (planos  de  falla,  ejes  de  cuarzo,  lineaciones,  etc).  La  forma  de  proyectar planos  y  líneas  en  cualquiera  de  estas  falsillas,  es  exactamente  la misma,  y  se  irá aprendiendo una vez que se vayan desarrollando los distintos artículos del manual.  

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    Figura 5. Falsillas utilizadas en la proyección estereográfica. Falsilla de Wulff (izquierda) y falsilla de Schmidt (derecha).   

BIBLIOGRAFÍA  

 Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  a.  Problemas  de  Geología  Estructural.  2. 

Orientación  y  proyección  de  planos  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie Geología Estructural, 2 (1): 11‐23. 

 Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  b.  Problemas  de  Geología  Estructural.  3. 

Orientación  y  proyección  de  líneas  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 24‐40. 

 Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  c.  Problemas  de  Geología  Estructural.  4. 

Proyección polar de un plano. Proyección  π Reduca  (Geología).  Serie Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 41‐56. 

 Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  d.  Problemas  de  Geología  Estructural.  5. 

Rotaciones Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 57‐73.  Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  e.  Problemas  de  Geología  Estructural.  6. 

Cálculo  de  la  orientación  de  la  estratificación  a  partir  de  testigos  de  sondeos. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 74‐94. 

 Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  f.  Problemas  de  Geología  Estructural.  7. 

Pliegues. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 95‐123.  Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 g. Problemas de Geología Estructural. 8. Fallas 

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 124‐147.  

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 1‐10, 2010.                                              ISSN: 1989‐6557 

 

9  

Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  h.  Problemas  de  Geología  Estructural.  9. Análisis estructural mediante diagramas de  contornos Reduca  (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 148‐192. 

  

BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA   Davis, G. H. 1984. Structural Geology of rocks and Regions. Wiley & Sons. 492 pp.  Lheyson,  P.  R.;  Lisle,  R.  J.  1996.  Stereographic  projection  techniques  in  Structural 

Geology. Butterworth‐Heinemann Ltd. Oxford. 104 pp.  Marshak, S & Mitra, G. 1982. Basic methods of structural geology. Prentice & Hall. 446 

pp.  Phillips, F. C. 1971. The use of stereographic projection  in Structural Geology. Edward 

Arnol. London. 90 pp.  Ragan, D. M. 1987. Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona. 210 pp.  Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw 

Hill. New York. 545 pp. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 1‐10, 2010.                                              ISSN: 1989‐6557 

 

10  

ANEXO I FALSILLA DE WULFF 

        

          Recibido: 18 noviembre 2009. Aceptado: 22 diciembre 2009. 

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11  

 Problemas de Geología Estructural 

2. Orientación y proyección de planos en el espacio  

Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.  

1Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas. Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid. 

[email protected] 2Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles. 

[email protected] 

  

Resumen:  Los  elementos  planares  en  Geología  Estructural  (superficies  de estratificación, discordancias, fallas, flancos de pliegues, planos axiales, etc.) son muy comunes  y  por  tanto  deben  saber  representarse  correctamente  en  proyección estereográfica.  Comprender  y  manejar  correctamente  conceptos  como  dirección, buzamiento y sentido de buzamiento de un plano es fundamental.  Palabras  clave:  Dirección.  Buzamiento  real.  Buzamiento  aparente.  Sentido  de buzamiento.   

 INTRODUCCIÓN 

  

En  primer  lugar  y  de  forma  muy  concisa,  recordaremos  los  conceptos  de dirección,  buzamiento  real  y  aparente  y  sentido  de  buzamiento  de  un  plano,  con objeto  de  que  el  alumno  conozca  perfectamente  todos  estos  términos  y  no  haya confusión a la hora de proyectar cualquiera de ellos.   

DEFINICIONES   

Las estructuras geológicas que observamos en los afloramientos (fallas, pliegues, discordancias,  etc)  pueden  ser  consideradas  en  dos  dimensiones  como  planos  o estructuras  planares.  La  orientación  de  cualquiera  de  estos  planos  en  el  espacio  se realiza con ayuda de una brújula que mide la dirección del plano en la horizontal y con respecto  al norte,  y el buzamiento en el plano  vertical perpendicular  a  la dirección. Para orientar perfectamente el plano, por  tanto, es necesario medir ambos ángulos, dirección y buzamiento.  

Otra posibilidad para definir este mismo plano en el espacio, es medir su ángulo de buzamiento y el sentido de buzamiento del mismo con respecto al norte, o sea,  la 

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orientación de la línea perpendicular a la línea de dirección. Nuevamente es necesario conocer los dos ángulos para saber exactamente la orientación del plano.  Dirección y buzamiento real del plano  

Dirección del plano  

Una línea horizontal inscrita en el plano recibe el nombre de línea de dirección y corresponde a la intersección entre el plano y un plano horizontal imaginario. El ángulo de dirección del plano corresponde al ángulo formado entre esta línea horizontal  y  el norte  geográfico.  En  el  afloramiento  se mide  con  la brújula  y 

generalmente se representa con la letra griega .  En el bloque diagrama correspondiente a la figura 1, la línea XY representa una línea de dirección del plano. Su dirección es el ángulo que forma con respecto al norte geográfico y como cualquier dirección tiene dos sentidos, que difieren entre si 180º. Para describir esta dirección existen dos alternativas:   Mediante una notación por cuadrantes, contando desde el norte hacia el 

este  o  hacia  el  oeste.  En  este  caso  debemos  decir  el  punto  del  que partimos (norte), a continuación el valor del ángulo y seguidamente hacia donde estamos contando  (este u oeste). Una dirección  sería por ejemplo N32ºE, N20ºO, etc. 

  O bien asignando a la dirección norte un valor de 000º o 360º, siempre con 

tres dígitos. En el caso de que no se especifique, se entiende que el ángulo de dirección está contado desde el norte hacia el este, en el sentido de las agujas del reloj. Las direcciones anteriores en este caso serían 032º y 340º. 

 

Buzamiento real del plano  Se  define  como  el  ángulo  que  forma  este  plano  con  la  horizontal, medido según la línea de máxima pendiente del plano, por tanto, medido en el plano vertical  que  es  perpendicular  a  la  línea  de  dirección  del  plano  (Fig.  1).  Se 

representa con  la  letra . Para que el valor de este ángulo  sea  correcto, es necesario especificar su sentido: 34ºS, 45ºE, 82ºN, etc, ya que cualquier plano con una dirección dada puede buzar en dos sentidos opuestos. Por ejemplo, un plano con dirección 000º, puede buzar al este o al oeste, por tanto hay que especificar el sentido de buzamiento. 

 

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Figura 1. Representación de un plano en tres dimensiones. 

  Buzamiento y sentido de buzamiento de un plano. Buzamiento aparente 

 

Sentido de buzamiento (en algunos textos, dirección de buzamiento)  Es el ángulo que  forma  la proyección en  la horizontal de  la  línea de máxima pendiente del plano con el norte geográfico. Por  tanto,  su valor angular está situado  a  90º  del  valor  angular  correspondiente  a  la  dirección  del  plano.  Se 

representa con las letras s (Fig. 2).  

Figura.2. Plano orientado en el espacio mediante sentido de buzamiento y ángulo de buzamiento. 

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A partir de esta definición se deduce que cualquier plano se puede orientar en el espacio mediante su sentido de buzamiento y su ángulo de buzamiento. En este caso, no es necesario añadir al valor del ángulo de buzamiento su sentido, ya que este es conocido. Tomando como ejemplo un plano de estratificación, según  la primera posibilidad (caso a) el plano sería N32ºE‐25ºSE y tomando  la segunda  (caso  b),  el mismo  plano  sería  122º‐25º,  siendo  122º  el  sentido  de buzamiento y 25º el ángulo de buzamiento. Su  sentido es al SE, ya que es el cuadrante que  contiene  el  ángulo  de  valor  122º.  En  el  caso de que  el plano buzara en sentido contrario, hacia el NO, su sentido de buzamiento sería 302º, en ambos casos a 90º de  la dirección del plano, bien en un sentido o en otro según hacia donde se incline el plano. 

 

Buzamiento aparente  

Es el ángulo que forma el plano con la horizontal medido en un plano vertical, según una dirección cualquiera que no sea perpendicular a la línea de dirección del  plano.  Su  valor  angular  siempre  es  menor  que  el  correspondiente  al 

buzamiento real. Se representa con la letra ´ (Fig. 1).  El valor del ángulo de buzamiento, sea este real o aparente, está comprendido entre 0º (horizontal) y 90º (vertical). El máximo valor del buzamiento aparente estará  situado  sobre  la dirección que  coincida  con  el  sentido de buzamiento real, mientras  que  el  valor mínimo  del  buzamiento  aparente  será  cuando  se mida este sobre una dirección que coincide con la dirección del plano.   

PROYECCIÓN CICLOGRÁFICA DE UN PLANO (PROYECCIÓN )   

Tomemos un plano orientado en el espacio mediante su dirección y buzamiento, por ejemplo el plano N60ºE‐40ºSE. Para hallar su proyección estereográfica, haremos lo siguiente: 

 

Colocamos  la  chincheta  en  el  centro  con  la  punta  hacia  nosotros, superponemos un transparente sobre  la falsilla, dibujamos en él  la primitiva y los cuatro puntos cardinales (Fig. 3 A).  

Señalamos sobre la primitiva el valor angular correspondiente a la dirección del plano y giramos el transparente hasta que este valor coincida con el diámetro norte‐sur de la falsilla (Fig. 3 B). 

 

En esta posición, contamos el valor del buzamiento sobre el diámetro E‐O de la falsilla,  teniendo  en  cuenta  su  sentido,  siempre  desde  la  primitiva  hacia  el centro de  la falsilla, y pintamos el círculo mayor que tiene esa dirección y ese ángulo de buzamiento (Fig. 3 C). 

 

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Giramos el  transparente  sobre  la  falsilla hasta que coincidan otra vez  los dos polos  norte  (de  transparente  y  falsilla  de  proyección),  y  hemos  obtenido  la representación del plano en proyección estereográfica, o sea, el estereograma del  plano  o  bien  la  proyección  ciclográfica  del  plano  (plano  representado mediante un círculo mayor de la falsilla) (Fig. 3 D). 

 Como se puede observar, el procedimiento es sencillo y rápido. Las direcciones 

se colocan sobre la primitiva (plano horizontal) y se llevan al diámetro N‐S de la falsilla y  de  esta  forma,  los  buzamientos,  siempre  en  el  plano  vertical  perpendicular  a  la dirección, se cuentan en el diámetro E‐O de  la falsilla. Ambos diámetros representan dos planos  verticales  y perpendiculares  entre  si, por  tanto  cumplen  las definiciones anteriores. 

 A  continuación,  vamos  a  resolver  distintos  tipos  de  problemas  referentes  a 

planos, explicando paso a paso el proceso seguido.  

Figura 3. Representación estereográfica de un plano. Ver texto para su explicación. 

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CONCLUSIONES   

De  lo anteriormente expuesto, se puede deducir que un plano en el espacio se orienta mediante:  

Dirección y buzamiento real del plano  Para  proyectar  este  plano,  colocamos  la  dirección  sobre  el  diámetro  (plano vertical) norte‐sur de la falsilla, y leemos el valor correspondiente al ángulo de buzamiento sobre el diámetro este‐oeste, desde la primitiva hacia el centro de la  falsilla.  Dibujamos  el  círculo mayor  correspondiente  y  este  representa  el estereograma del plano. (Fig. 1).  

Sentido de buzamiento y ángulo de buzamiento real del plano  El sentido de buzamiento es siempre perpendicular a la dirección, luego en este caso  colocamos  el  sentido  de  buzamiento  en  la  primitiva,  sobre  el  diámetro este‐oeste  de  la  falsilla.  Sobre  este  mismo  diámetro  contamos,  desde  la primitiva  hacia  el  centro,  el  valor  del  ángulo  de  buzamiento  y  pintamos  el estereograma (Fig. 2).  

Dos buzamientos aparentes o dos líneas contenidas en el plano  Cada  uno  de  estos  dos  buzamientos  aparentes  nos  dará  un  punto  en  la proyección, que equivale a la proyección de una línea que está contenida en el plano que estamos buscando. Moviendo el transparente sobre  la falsilla hasta que  los dos puntos estén situados en un círculo mayor, dibujamos este círculo que corresponde al estereograma del plano buscado (Fig. 1). 

  

PROBLEMAS   

Problema 1  

Dibujar los estereogramas correspondientes a los planos siguientes: a)360º‐30ºE, b)270º/60º, c)090º‐24ºS, d)045º‐56ºSE, e)horizontal, f)080º‐90º (Fig. 4).  

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Figura 4. Proyección estereográfica (estereograma) de los planos del problema 1 del texto. 

  

Colocar el transparente sobre  la  falsilla, dibujar  la circunferencia primitiva y  los puntos cardinales.  

Para cada uno de los planos, el procedimiento es el siguiente:  

Hacer una señal en la primitiva indicando la dirección dada.  

Llevar esta dirección sobre el diámetro N‐S.  

Contar el buzamiento sobre el diámetro E‐O.  

Dibujar el círculo mayor correspondiente.  

Observar  con  atención  los  datos  que  da  el  problema.  ¿Son  todos  ellos  de dirección  y buzamiento, o alguno de  los planos está orientado mediante  sentido de buzamiento y buzamiento? 

 En el plano con orientación 270º/60º, a continuación del ángulo de buzamiento 

no hay ninguna indicación acerca del sentido de este buzamiento. O bien el plano está mal  indicado  o  está  orientado  mediante  sentido  de  buzamiento  y  buzamiento.  El ángulo de buzamiento del plano es de 60º y su sentido, 270º (oeste de la falsilla), luego este plano está buzando hacia el oeste y su dirección es 000º o 180º (perpendicular a 270º). 

 

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Para hallar su estereograma, colocamos la dirección 270º sobre el diámetro E‐O de la falsilla y contamos directamente desde la primitiva hacia el centro, los 60º. En ese punto dibujamos el círculo mayor correspondiente a este plano. 

 El  último  plano  es  vertical  (su  buzamiento  es  de  90º),  por  tanto  vendrá 

representado  por  un  diámetro  de  la  falsilla  o  lo  que  es  lo mismo,  el  círculo mayor correspondiente es una  línea  recta que pasa por  el  centro de  la  falsilla  y  tiene una dirección de 80º.  Problema 2  

Para una superficie de estratificación cuya orientación es 080º‐24ºS, deducir  las orientaciones de su máxima pendiente y de una pendiente de 0º. Calcular  los valores de los buzamientos aparentes según los sentidos 100º, 120º, 190º y 260º. 

 

Dibujar  la  circunferencia  primitiva  en  el  transparente  y  colocar  los  puntos cardinales. Marcar sobre ella la dirección 80º y girar el transparente hasta que esta dirección coincida sobre el diámetro (plano vertical) N‐S de la falsilla.  

Sobre el diámetro E‐O de la falsilla, a partir de la primitiva hacia dentro y desde el extremo del diámetro más próximo al sur (el plano buza al sur), contamos el valor  correspondiente al ángulo de buzamiento  y dibujamos el estereograma del plano (círculo mayor). 

 

Giramos nuevamente el transparente hasta ponerlo en su posición original.  

Por definición,  la orientación de  la  línea de máxima pendiente de un plano es perpendicular  a  la  dirección  del  plano,  por  tanto  estará  situada  sobre  la  dirección 80º+90º=170º, luego la línea de máxima pendiente del plano (sentido de buzamiento) está  orientada  según  los  170º.  La  pendiente  correspondiente  a  0º  (buzamiento aparente de 0º) se encontrará según una dirección que coincida con al dirección del plano, bien 80º o 260º. 

 Para  calcular  cualquier  valor  de  buzamiento  aparente  según  un  sentido 

determinado, marcamos sobre  la primitiva el sentido deseado,  lo colocamos sobre el diámetro  E‐O  de  la  falsilla  y  contamos  sobre  él  el  ángulo  entre  la  primitiva  y  el estereograma.  Este  valor  es  el  buzamiento  aparente  medido  según  el  sentido requerido. La misma operación se repite para cada uno de los buzamientos aparentes. 

 Si estos problemas los resolvemos con la falsilla de Wulff que conserva ángulos, 

podemos hacer medidas de buzamientos aparentes,  inmersiones de  líneas, etc, sobre cualquiera de los diámetros (planos verticales), tanto el N‐S como el E‐O. 

 En la figura 5 está resuelto el problema y las soluciones son las siguientes:  

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Según el sentido 100º, el buzamiento aparente es de 10º; según el sentido 120º, es de 17º, según el sentido 190º es de 22,5º y según el sentido 260º es de 0º, ya que 260º corresponde a la dirección del plano.  

  

Figura 5. Resolución del problema 2. Ver texto para su explicación. 

  Problema 3  

La  orientación  de  un  estrato  es  220º‐70ºS.  Hallar  los  sentidos  en  los  que  se encontrarán buzamientos aparentes de 30º, 50º y 70º.  

Colocar el transparente sobre la falsilla y dibujar la circunferencia primitiva y los puntos  cardinales.  A  continuación,  representar  el  estereograma  del  plano colocando la dirección (220º) sobre el diámetro N‐S de la falsilla y contando el buzamiento desde el sur sobre el diámetro E‐O.  

Una  vez  dibujado  el  estereograma,  vamos  moviendo  el  transparente  y buscando los valores de los ángulos de buzamiento aparente sobre el diámetro E‐O. Cada vez que encontramos uno de estos valores,  los sentidos  los  leemos directamente sobre la primitiva. Hay que tener en cuenta que siempre existirán dos sentidos en  los que se cumple que el buzamiento aparente es del mismo valor. 

 El problema resuelto aparece en la figura 6 y las soluciones son:  

Buzamiento aparente de 30º, según los sentidos 207º y 053º.  

Buzamiento aparente de 50º, según los sentidos 194º y 067º 

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El buzamiento de 70º es el buzamiento  real, dato que nos da el enunciado del problema. El sentido correspondiente a este buzamiento real será 220º‐90º=130º, no existiendo buzamiento aparente según ese sentido.  

  

Figura 6. Resolución del problema 3. Ver texto para su explicación. 

  Problema 4  

El plano axial de un pliegue tiene una dirección de 160º y se ha podido medir un buzamiento aparente de 18º según la dirección 030º. Calcular el valor del buzamiento real del plano axial (Fig. 7).  

Colocar  sobre  la primitiva una marca en  la dirección del plano  axial, en este caso, 160º. 

 

A continuación marcar la dirección 30º, llevarla a un plano vertical de la falsilla de Wulff y contar desde  la periferia hacia el  centro el ángulo de buzamiento aparente de 18º. Este buzamiento aparente viene representado por un punto dentro de  la  falsilla de proyección, como  se  indica en Babín y Gómez  (2010), referente a las líneas.  

El plano buscado se obtendrá llevando la dirección 160º sobre el diámetro N‐S de la falsilla y trazando el círculo mayor que contiene el punto que representa el  buzamiento  aparente  dado.  El  buzamiento  real  del  plano  leído  en  el estereograma, es de 23º al E o SE, o bien 23º/070º. 

 

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Figura 7. Resolución del problema 4. Ver texto para su explicación. 

  Problema 5  

En un afloramiento se observa una serie terciaria discordante sobre el Cretácico. De esta discordancia se han medido dos buzamientos aparentes: 140º/15º y 078º/30º. Calcular la orientación del plano.  

Como  ya  es  costumbre,  dibujar  la  circunferencia  primitiva  y  los  puntos cardinales.  

Representar  la  falsilla  cada uno de  los buzamientos aparentes medidos en el campo. Como  se ha visto en el problema anterior, para cada uno de ellos  se coloca su dirección sobre uno de  los diámetros verticales de  la falsilla y sobre él, directamente,  se  cuenta el  valor  correspondiente  al buzamiento  aparente (15º y 30º respectivamente).  

De  esta  forma  se  obtienen  dos  puntos  (líneas)  dentro  de  la  falsilla  de proyección. Se mueve el transparente hasta que los dos puntos estén situados sobre un círculo mayor y se dibuja este. Corresponde al estereograma del plano 

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buscado y  leemos su orientación, que resulta ser 168º‐30ºE. Observar que en este  caso,  uno  de  los  supuestos  buzamientos  aparentes,  en  realidad corresponde con el buzamiento real del plano (Fig. 8).  

  

Figura 8. Resolución del problema 5. Ver texto para su explicación. 

  Problema 6  

Un  estrato  tiene  un  buzamiento  de  40ºN.  ¿En  qué  dirección  el  buzamiento aparente será máximo? ¿Se mantendrá  la misma dirección de buzamiento si el valor del ángulo de buzamiento varía? Razonar la respuesta.  

Si un estrato tiene un valor de buzamiento, sea cual sea este, en sentido norte, es en esa dirección donde el buzamiento aparente será máximo, ya que es el sentido  de buzamiento  real  del  plano.  Esto  quiere  decir que  la  dirección  del estrato  debe  ser  la  perpendicular  al  sentido  de  buzamiento,  por  tanto  esta dirección necesariamente es E‐O, o 90º o 270º. 

 

Se dibuja el estereograma correspondiente a este plano (Fig. 9), y se observa, como es lógico, que el valor máximo de buzamiento aparente coincidirá con el buzamiento real del plano, según el sentido norte (000º o 360º). Sea cual sea el valor correspondiente al buzamiento real del plano, siempre el sentido de este buzamiento será perpendicular a la dirección, por lo tanto será hacia el norte. 

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Figura 9. Resolución del problema 6. Ver texto para su explicación.  

BIBLIOGRAFÍA   

Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010.  Problemas  de  Geología  Estructural.  3. Orientación  y  proyección  de  líneas  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie Geología Estructural, 2 (1): 24‐40. 

  

BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA  Davis, G. H. 1984. Structural Geology of rocks and Regions. Wiley & Sons. 492 pp.  Lheyson,  P.  R.;  Lisle,  R.  J.  1996.  Stereographic  projection  techniques  in  Structural 

Geology. Butterworth‐Heinemann Ltd. Oxford. 104 pp.  Marshak, S & Mitra, G. 1982. Basic methods of structural geology. Prentice & Hall. 446 

pp.  Phillips, F. C. 1971. The use of stereographic projection  in Structural Geology. Edward 

Arnol. London. 90 pp.  Ragan, D. M. 1987. Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona. 210 pp.  Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw 

Hill. New York. 545 pp.   Recibido: 18 noviembre 2009. Aceptado: 22 diciembre 2009. 

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 Problemas de Geología Estructural 

3. Orientación y proyección de líneas en el espacio  

Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.  

1Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas. Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid. 

[email protected] 2Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles. 

[email protected] 

  

Resumen:  la orientación y  representación estereográfica de elementos  lineales  tales como ejes de pliegues, lineamientos minerales, estrías de falla, etc. presentan algunas diferencias  importantes  respecto  a  los  elementos  planares  que  hay  que  conocer. Conceptos como  inmersión y cabeceo son descritos en detalle,  junto con numerosos ejemplos de representación.  Palabras clave: dirección. Inmersión. Cabeceo. Sentido de buzamiento.  

 INTRODUCCIÓN 

  

En  primer  lugar  y  de  forma  muy  concisa,  recordaremos  los  conceptos  de dirección,  inmersión  y  cabeceo  de una  línea,  con  objeto  de  que  el  alumno  conozca perfectamente  todos  estos  términos  y  no  haya  confusión  a  la  hora  de  proyectar cualquiera de ellos.   

DEFINICIONES   

Las  estructuras  lineares  en  rocas  aparecen  con  gran  variedad  de  formas  y orígenes.  Pueden  ser  estructuras  primarias  desarrolladas  durante  la  sedimentación, como sucede con aquellas estructuras de corriente que en ocasiones se observan en los  planos  de  estratificación  que  ahora  se  ven  basculados,  o  bien  estructuras relacionadas  con  la  deformación.  En  el  primer  caso,  la  proyección  estereográfica permite conocer la dirección de dicha corriente en el momento de su actuación.  

Más  interesantes  para  al  geólogo  estructural  son  las  estructuras  lineares  de origen  tectónico.  Líneas  de  charnela  o  líneas  de  máxima  curvatura  del  pliegue, lineaciones  minerales  en  tectonitas  metamórficas,  estrías  de  falla  que  nos  dan información de  la dirección de movimiento de  la  falla  y un  largo etcétera.  También 

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podemos obtener datos de  las estructuras a partir de  las  líneas de  intersección entre dos planos no paralelos. 

 De la misma manera, deben ser tenidas en cuenta otro tipo de líneas que no se 

manifiestan  en  el  afloramiento  como  estructuras  visibles,  pero  que  pueden  ser construidas geométricamente. Líneas alrededor de las cuales otras son giradas (ejes de rotación),  líneas perpendiculares a un plano dado (normal al plano o polo del plano), ejes principales de esfuerzos, ejes de pliegues, etc. 

 Desde  el  punto  de  vista  de  la  proyección  estereográfica,  las  líneas  vienen 

representadas en el plano ecuatorial de la esfera de proyección por un punto, tanto si nos referimos a líneas que podemos observar físicamente (cantos estirados, estrías de falla,  etc.)  como  aquellas  que  resultan  de  la  intersección  de  planos  (clivaje  y estratificación, dique y esquistosidad, etc.). Todas estas líneas se orientan en el espacio en función de los ángulos que se enuncian a continuación.  Dirección  

Es el ángulo que  forma  la proyección en  la horizontal de  la  línea, con el norte geográfico. Normalmente se representa con la letra δ (Fig. 1). 

 Inmersión (plunge)  

Es el ángulo que forma la línea con su proyección en la horizontal, medido en el plano vertical que contiene a la línea y a su proyección. Se representa con la letra i (Fig. 1). 

 

  

Figura 1. Ángulos utilizados para orientar líneas en el espacio. 

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Por  ejemplo,  una  línea  con  orientación  068º/30º  tiene  una  inmersión  (“se inclina”) 30º hacia  la dirección 068º,  luego el sentido de  inmersión es 068º o NE. La línea  125º/00º  puede  también  ser  escrita  como  305º/00º  ya  que  es  horizontal (inmersión 00º),  luego su sentido de  inmersión puede ser cualquiera de  los dos. Una línea con una inmersión de 90º es vertical sin sentido de inmersión definido. 

 Cabeceo (pitch, rake)  

Muchas estructuras lineares se desarrollan dentro de planos estructurales. En el caso de que una  línea esté contenida en un plano  inclinado, el cabeceo es el ángulo, entre la línea y la dirección del plano inclinado que la contiene, medido en este plano inclinado. Se representa con la letra c (Fig. 1). 

  

ORIENTACIÓN DE LÍNEAS EN EL ESPACIO   

Para  orientar  una  línea  en  el  espacio,  es  necesario  conocer  su  dirección  y  un segundo  ángulo  que  puede  ser  la  inmersión  o  bien  el  cabeceo  sobre  un  plano conocido. Si utilizamos la inmersión, hemos de imaginar un plano vertical que contiene a  la  línea y a  su proyección.  La dirección de este plano vertical es  la dirección de  la línea y el ángulo que forman la línea y su proyección, es el ángulo de inmersión. De las dos posibilidades de dirección (a 180º una de otra), se escoge aquella hacia la cual se dirige la inmersión de la línea (sentido de inmersión). 

 Si  la  línea está  contenida en un plano  visible  (estrías en un plano de  falla),  se 

puede  utilizar  para  la  orientación  de  ésta,  el  ángulo  de  cabeceo  además  de  su dirección. El valor del ángulo de cabeceo puede variar desde cero cuando  la  línea es horizontal  hasta  90º,  cuando  se mide  paralelamente  al  sentido  de  buzamiento  del plano. Para describir correctamente el cabeceo es necesario dar el valor del ángulo y su sentido, así como la orientación del plano en el que se ha medido. 

  

PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE UNA LÍNEA  

Línea orientada mediante dirección e inmersión  

El principio básico es similar a  la proyección de un plano. La  línea L pasa por el centro de  la esfera y se extiende hasta cortar al hemisferio  inferior en un punto  (P). Este punto se une con el zenit de  la esfera mediante una  línea recta, y  la proyección estereográfica de  la  línea L se  localiza donde esta recta corta al plano de proyección, por  tanto,  en  un  punto  (P´)  (Fig.  2  A).  Las  líneas  se  proyectan  como  puntos  en proyección estereográfica. El procedimiento es el siguiente suponiendo una  línea con orientación 060º/40º. 

  

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Figura 2. A. Proyección esférica de una  línea. B. Representación estereográfica de  líneas: horizontal, vertical e inclinada. 

  

Marcar en  la circunferencia primitiva  la dirección  (sentido de  inmersión) de  la línea, 060º en este ejemplo (Fig. 3 A). 

 

Girar  el  transparente  hasta  que  esta  marca  esté  situada  en  uno  de  los diámetros principales, norte‐sur o este‐oeste siempre que se utilice la falsilla de Wulff. Si se utiliza la de Schmidt, sobre el diámetro este‐oeste únicamente (Fig. 3B). 

 

Contar el ángulo de  inmersión a  lo  largo de este radio desde  la circunferencia primitiva hacia el centro, y marcar el punto que representa la proyección de la 

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línea (Fig. 3 C). La posición final de la línea en el estereograma, se aprecia en la figura 3 D. 

 

Figura 3. Proyección estereográfica de una línea. Ver texto para su explicación. 

 Cuando existe una línea horizontal, con una dirección determinada, por ejemplo, 

N‐S,  su  orientación  sería  00º/360º  o  bien  00º/180º,  de  forma  que  teóricamente vendría  representada en  la proyección por dos puntos  situados en  la  circunferencia primitiva,  justamente  sobre  los puntos cardinales norte y  sur de  la  falsilla. Estos dos puntos están representando la misma línea y cualquiera de ellos define su orientación. Con dibujar uno de ellos, es suficiente. 

 De la misma manera, podemos obtener a partir del estereograma la orientación 

de una línea. Imaginemos una situación como la que aparece en la figura 2 B.  

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Las  líneas vienen  representadas por  los  tres puntos marcados. Para conocer su orientación, hacemos lo siguiente: 

 

Giramos  el  transparente  hasta  que  el  punto  que  representa  la  línea  quede sobre uno de  los diámetros N‐S o E‐O de  la  falsilla. Sobre este plano vertical leemos la inmersión de la línea, desde la primitiva hacia el centro de la falsilla. 

 

En esta misma posición, hacemos una marca en la primitiva, donde esta corta al diámetro elegido. 

 

Colocamos el norte del transparente coincidiendo con el de la falsilla.  

Leemos el ángulo sobre la primitiva desde el norte hasta la marca anterior. Este ángulo  es  la  dirección  de  la  línea  que  nos  está  marcando  su  sentido  de inmersión. 

 

La misma operación se repite para cada una de las líneas.  

Línea orientada mediante dirección y cabeceo sobre un plano conocido  

En este caso el dato que hemos obtenido en el campo se refiere, por ejemplo, a la orientación de un plano de falla y el cabeceo de una familia de estrías que aparecen en este plano. El plano de falla está orientado N40ºE‐20ºSE y la estría tiene un cabeceo de 45ºS medido en este plano (Fig. 4). 

 Para representar el estereograma correspondiente, el proceso es como sigue: 

 

Dibujar sobre el transparente el círculo mayor que representa el plano medido, como ya se ha indicado anteriormente. 

 

Dentro de este círculo mayor, está  la  línea representada por su cabeceo. Si el cabeceo  es  el  ángulo  entre  la  línea  y  la  dirección  del  plano  inclinado  que  la contiene, solo tenemos que medir el ángulo de 45º en el plano (círculo mayor) colocado sobre un círculo mayor de la falsilla, desde el sur, contando con ayuda de los círculos menores. 

 

Este  punto,  situado  sobre  el  estereograma  del  plano  de  falla,  representa  la orientación de la estría.  

De la misma manera, podemos resolver el problema inverso. En el estereograma de  la  figura 5 se han representado dos planos N40ºE‐30ºNO y 116º‐50ºS, ambos con una  línea  inscrita,  L y  L´  respectivamente. ¿Cuál  será el valor del ángulo de  cabeceo para cada una de las líneas? 

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Figura  4.  Representación  estereográfica  de  una  línea, mediante  su  cabeceo  en  un  plano conocido. 

  

Figura 5. Medida de dirección, inmersión y cabeceo para dos líneas L y L´ contenidas en dos planos de orientación conocida. 

 Colocamos  uno  de  los  planos  coincidiendo  con  un  círculo mayor  de  la  falsilla. 

Contando desde el norte o desde el sur a partir de  los círculos menores, sabremos 

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cual es el ángulo de cabeceo de esa línea medido sobre ese plano. A continuación del valor, colocamos su sentido, que corresponderá al cuadrante donde esté situada  la línea.  Al  mismo  tiempo,  podemos  medir  su  dirección  e  inmersión,  como  se  ha explicado en el problema anterior. Los resultados son los siguientes: 

 L: cabeceo.  36ºS;  dirección.  252º;  inmersión.  18º  252º/18º L´: cabeceo.  40ºE;  dirección.  144º;  inmersión.  38º  144º/38º  El mismo proceso se seguirá para cualquiera de las líneas del estereograma.   

CONCLUSIONES   

Las  líneas  en  el  espacio  se  orientan  mediante  dos  ángulos,  que  pueden  ser sentido de inmersión (dirección) e inmersión, o bien dirección y cabeceo medido sobre un  plano  inclinado  que  contiene  a  la  línea.  En  este  caso,  es  necesario  indicar  la orientación del plano en el que se ha medido el ángulo de cabeceo de la línea. 

 A partir de las explicaciones y los ejercicios resueltos, se deduce que es bastante 

rápido  y  sencillo proyectar  líneas en proyección estereográfica, y que  su proyección siempre es un punto dentro del estereograma. 

 También se pueden relacionar con facilidad planos y  líneas en  la proyección, de 

forma  que  conocidos  datos  referentes  a  unos  y  a  otras,  podemos  llegar  a  obtener mucha información, a menudo difícil de encontrar directamente en el afloramiento. 

 Todos estos problemas se pueden a su vez combinar con resoluciones propias de 

proyección ortográfica, de  tal manera que  todo  lo  referente a  la medida de ángulos puede ser tratado en proyección estereográfica y los datos obtenidos por este método añadirlos  a  aquellos que necesariamente necesitan un  tratamiento mediante planos acotados.   

PROBLEMAS   

Problema 1  

Proyectar las siguientes medidas de líneas y planos:  

Planos. a)030º/20º; b)040º/70º; c)270º‐20ºS; d)020º‐54ºE  Líneas. a)290º/10º; b)120º/70º; c)080º/00º;d)vertical. 

 

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Figura 6. Estereograma correspondiente al problema 1. Ver texto para su explicación. 

 Al proyectar  los planos, hay que tener en cuenta aquellos cuya orientación está 

expresada como sentido de buzamiento y buzamiento (los dos primeros), en cuyo caso el sentido de buzamiento se colocará en el diámetro E‐O de la falsilla y sobre el mismo, contamos el buzamiento, mientras que  los dos últimos, orientados según dirección y buzamiento, la dirección ha de colocarse sobre el diámetro N‐S de la falsilla y contar el buzamiento en la perpendicular, sobre el diámetro E‐O, a partir de la primitiva según el sentido del buzamiento. En este caso, ambos desde el oeste. 

 En la figura 6, se puede ver el estereograma resultante. 

  Problema 2  

Contestar  las  siguientes  preguntas  tomando  como  referencia  el  estereograma del problema anterior.  

a)  ¿Cual  es  la  diferencia  entre  los  círculos mayores  que  representan  planos  de buzamiento elevado y los que representan planos de menor buzamiento? 

 b) ¿Cual es  la diferencia entre una  línea con bajo ángulo de  inmersión y otra con 

ángulo de inmersión alto?  c) ¿Cómo se puede deducir la dirección de un plano a partir de su estereograma? 

 

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a) Observando  el  estereograma  del  problema  anterior,  es  evidente  que  los círculos mayores  que  corresponden  a  un  plano  con  poco  buzamiento  están situados más cerca de la primitiva que aquellos que tienen buzamiento mayor. Estos últimos están más próximos a la parte central de la falsilla. En el caso de que  el  plano  sea  vertical,  vendrá  representado  por  un  círculo mayor  que  se corresponde con un diámetro de la circunferencia primitiva. 

 b) Una línea con bajo ángulo de inmersión estará situada cerca de la primitiva (a). 

Si  la  línea es horizontal  (c), se situará sobre  la primitiva. Cuanto mayor sea el ángulo de  inmersión, más cerca estará  la  línea del centro de  la  falsilla  (b). Se situará exactamente en el centro en el caso de una línea vertical (d). 

 c) Simplemente contando el ángulo sobre  la primitiva entre el norte y el círculo 

mayor que representa el plano.  

 Problema 3  

Un plano de estratificación está  orientado 080º‐60ºS. Calcular:  

a) El ángulo y el sentido de inmersión de la normal al plano (línea perpendicular al plano dado). 

 b) Dibujar la normal al plano como un punto en el estereograma. 

 Representar  el  plano  mediante  su  círculo  mayor  correspondiente.  La  línea 

perpendicular  al  plano  será  aquella  que  está  situada  a  90º  del  plano,  por  tanto, colocado el plano sobre el círculo mayor de la falsilla, se cuentan sobre el diámetro E‐O los 90º en  cualquiera de  los dos  sentidos y  se marca el punto  correspondiente, que representa una  línea que es perpendicular al plano (N). El sentido de  inmersión de  la línea es 350º o N10ºO y su ángulo de  inmersión será de 30º hacia el norte, hacia  los 350º. La notación de la línea sería 350º/30º o bien N10ºO/30º. 

 La resolución del problema se puede ver en la figura 7. 

  Problema 4  

Un plano tiene una orientación 124º/40º.  

a)  Dibujar el estereograma del plano.  

b)  Dibujar una  línea L contenida en el plano, con un sentido de  inmersión según los 180º. 

 c)  Dibujar una línea T en el plano, con un ángulo de inmersión de 40º. 

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Observar que el plano está orientado mediante sentido de buzamiento y ángulo de buzamiento, por tanto se coloca el sentido de buzamiento (124º) sobre el diámetro E‐O  de  la  falsilla  para  dibujar  el  círculo  mayor  que  corresponda  a  los  40º  de buzamiento. 

 

  

Figura 7. Resolución del problema 3. Ver texto para su explicación. 

 

  

Figura 8. Estereograma correspondiente al problema 4. Ver texto para su explicación. 

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Movemos el transparente hasta llevar el norte del transparente a coincidir con el norte de  la  falsilla. En esta posición y a  lo  largo del diámetro norte‐sur de  la  falsilla, pintamos  el  punto  donde  el  plano  dibujado  corta  a  este  diámetro  N‐S.  Ahí  estará situada la línea L y su inmersión será de 25º/180º. 

 La  segunda  línea,  tiene  una  inmersión  de  40º,  valor  que  coincide  con  el  de 

buzamiento del plano. Con el plano  coincidiendo  con un  círculo mayor de  la  falsilla, observamos que el valor del buzamiento real contado sobre el diámetro E‐O es de 40º. El punto donde el plano  (círculo mayor)  intersecta  al diámetro  E‐O,  representa  a  la línea T, con una orientación de 40º/124º. 

 El estereograma correspondiente se observa en la figura 8. 

  Problema 5  

Dados  dos  planos  con  orientaciones  N30ºE‐30ºSE  y  20º/250º,  hallar  la orientación de su línea de intersección dando el valor de la inmersión y de los ángulos de cabeceo sobre cada uno de los planos (Fig. 9).  

Dibujar  los  círculos mayores  correspondientes a  los dos planos. Observando el estereograma, vemos que los dos planos se cortan en un punto. Este punto representa la  proyección  de  la  línea  de  corte  de  los  dos  planos,  que  debe  ser  orientada  en  el espacio convenientemente. 

 Si estamos trabajando con la falsilla de Wulff, giramos el transparente hasta que 

la  línea de  intersección esté situada sobre uno de  los dos diámetros principales de  la falsilla. En esta posición  leemos el ángulo de dirección de  la  línea  sobre  la primitiva (ángulo entre el norte y  la proyección horizontal de  la  línea) y su  inmersión sobre el diámetro elegido. La solución es 11º/191º. 

 Para  medir  los  ángulos  de  cabeceo,  colocamos  el  plano  correspondiente 

coincidiendo  con  un  círculo mayor  y  contamos  sobre  él, desde  la  primitiva  hasta  la línea, a partir de los círculos menores. El ángulo es de 22ºS para el plano de dirección N30ºE y de 34ºS para el segundo plano. 

  

Problema 6  

Un estrato aparece cortado por una zanja de dirección 67º y paredes verticales. La línea de corte del estrato con la zanja, vista en una de sus paredes, forma un ángulo con la horizontal de 40º hacia el SO. 

 En  una  cantera  cercana  y  en  una  de  sus  superficies,  orientada  98º‐26ºS,  se 

observa la línea de corte de esta superficie con el estrato con una orientación de 60ºO. Calcular la orientación del estrato. 

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Figura 9. Estereograma correspondiente al problema 5. Ver texto para su explicación. 

  

Los datos que nos da el problema son los siguientes:  Un primer dato que se refiere a una  línea de corte entre un plano vertical y un 

estrato de orientación desconocida. El ángulo de 40º al SO, es un ángulo medido en un plano vertical entre la línea de corte y su proyección en la horizontal, por tanto es un ángulo de inmersión de una línea que tiene de dirección 67º. Esta línea está contenida en el estrato de orientación desconocida, por tanto será un buzamiento aparente de este estrato: 067º/40ºSO o bien 247º/40º. 

 Un segundo dato se refiere a otra  línea de corte, esta vez entre el estrato y un 

plano inclinado de orientación conocida. El ángulo que forma esta línea de corte con la dirección  del  plano  que  la  contiene,  es  de  60ºO  y  por  definición,  es  el  ángulo  de cabeceo de esta línea, medido sobre este plano. 

 Una vez conocidos los datos disponibles, los llevamos a la proyección. En primer 

lugar el buzamiento aparente haciendo una marca en  la primitiva  sobre  la dirección 247º,  llevándola  sobre  un  plano  vertical  de  la  falsilla  y  contando  los  40º  desde  la primitiva hacia el centro. Obtenemos un punto (línea) del estrato, representado por P en el estereograma (Fig. 10). 

 A continuación, proyectamos el plano mediante su círculo mayor y contamos el 

ángulo  de  cabeceo  desde  el  oeste  a  lo  largo  del  plano.  Esta  línea  Q  proyectada pertenece también al estrato. 

 

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Giramos  el  transparente hasta que  estas dos  líneas  se  sitúen  sobre un  círculo mayor que corresponde al estrato cuya orientación estamos buscando. Pintamos ese círculo  y  leemos  la  dirección  y  buzamiento  correspondiente  que  resulta  ser  022º‐ 50ºO.  

  

Figura 10. Resolución del problema 6. Ver texto para su explicación.   

Problema 7  

En  un  área  de  estratificación  pobremente  definida,  se  han  podido medir  los siguientes buzamientos aparentes: 23º/330º; 36º/208º; 16º/184º; 290º/46º; 276º/30º; 230º/18º; 234º/47º; 262º/70º. Hallar la orientación de la estratificación y comprobar si todos estos buzamientos aparentes pertenecen a esta superficie. 

 Como ya sabemos, los buzamientos aparentes dados con sentido de buzamiento 

y  ángulo  de  buzamiento,  son  equivalentes  a  líneas  orientadas  según  sentido  de inmersión  y  ángulo  de  inmersión,  por  tanto,  los  buzamientos  aparentes  vienen representados por puntos en la proyección estereográfica. 

 Hemos  visto  en  los  problemas  anteriores  que  dos  puntos  (dos  buzamientos 

aparentes o dos líneas) contenidos en un plano, son suficientes para dibujar el círculo mayor  que  nos  define  la  orientación  de  ese  plano.  En  este  caso,  se  han medido  8 buzamientos aparentes en el campo, que en el supuesto de que correspondan todos a la misma superficie de estratificación, todos ellos deben estar contenidos en un círculo mayor que define la orientación de este estrato. Aquellos que se alejen de este círculo, no son buzamientos aparentes pertenecientes a esta superficie. 

 

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Proyectamos  cada  uno  de  los  buzamientos  aparentes  utilizando  la  falsilla  de Wulff, llevando el sentido de buzamiento a coincidir con un plano vertical de la falsilla, y sobre este, contamos el ángulo de buzamiento aparente correspondiente. 

 Una vez obtenidas todas las proyecciones de los datos de buzamientos aparentes 

(Fig. 11), giramos el transparente para hacerlos coincidir en un círculo mayor. Como se observa  en  el  estereograma,  los  tres  buzamientos  aparentes  30º/276º;  18º/230º  y 70º/262º se alejan bastante del resto. Los demás se ajustan a un círculo mayor que nos da una orientación para esta superficie de estratificación de N10ºO‐50ºO o bien 170º‐50ºO o 262º/50º (sentido de buzamiento y buzamiento). 

 

  

Figura 11. Estereograma correspondiente al problema 7. Ver texto para su explicación. 

  Problema 8  

Sobre un estrato de orientación N10ºE‐55ºO, aparecen cuatro lineaciones con los siguientes  sentidos  de  inmersión:  010º;  220º;  300º  y  360º.  Calcular  los  ángulos  de cabeceo para cada lineación, medidos en el plano de estratificación. 

 El problema nos pide medir una  serie de ángulos de  cabeceo para unas  líneas 

que están contenidas en un plano. Observar que el sentido de inmersión de la primera línea, coincide con la dirección del plano en el que está contenida, por tanto, el ángulo de cabeceo en este caso será de 0º. 

 Dibujar el círculo mayor que representa el plano y marcar sobre  la primitiva  los 

sentidos de  inmersión dados. Cada uno de estos  sentidos de  inmersión  los  llevamos 

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sucesivamente a un diámetro vertical de la falsilla y pintamos la línea (punto) que está sobre  el  plano  y  tiene  ese  sentido  de  inmersión  (Fig.  12). Una  vez  proyectadas  las líneas, contamos el valor del cabeceo sobre el mismo círculo mayor que representa el plano, desde la primitiva hasta la línea. Observar que cuanto más cerca estamos de la dirección del plano, menor es el ángulo de cabeceo de esa  línea, hasta  llegar a ser 0º cuando las direcciones de plano y línea coinciden. 

 Los valores de cabeceo obtenidos son los siguientes:  Para 010º, el cabeceo es de 0º. Para 220º, el cabeceo es de 44ºS. Para 300º, el cabeceo es de 78ºN. Para 360º, el cabeceo es de 18ºN. 

 

  

Figura 12. Estereograma correspondiente al problema 8. Ver texto para su explicación. 

 Problema 9  

¿Cuál  es  el  ángulo  que  forman  entre  sí  las  líneas  cuyas  orientaciones  son 010º/30º y 106º/42º? (Fig. 13). 

 Proyectar  las  dos  líneas  en  la  falsilla.  Para medir  el  ángulo  que  forman  estas 

líneas entre si se inscriben en un plano, o sea, se busca el círculo mayor que contiene a las dos  líneas y se mide el ángulo buscado a  lo  largo de ese círculo mayor. De  los dos ángulos posibles, se suele dar el menor de 90º.  

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En  este  caso  y  como  se  observa  en  el  estereograma,  el  valor  del  ángulo  que forman entre si las dos líneas, es de 75º. 

  

  

Figura 13. Estereograma correspondiente al problema 9. Ver texto para su explicación. 

  

BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA  

 

Davis, G. H. 1984. Structural Geology of rocks and Regions. Wiley & Sons. 492 pp.  Lheyson,  P.  R.;  Lisle,  R.  J.  1996.  Stereographic  projection  techniques  in  Structural 

Geology. Butterworth‐Heinemann Ltd. Oxford. 104 pp.  Marshak, S & Mitra, G. 1982. Basic methods of structural geology. Prentice & Hall. 446 

pp.  Phillips, F. C. 1971. The use of stereographic projection  in Structural Geology. Edward 

Arnol. London. 90 pp.  Ragan, D. M. 1987. Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona. 210 pp.  Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw 

Hill. New York. 545 pp.   Recibido: 18 noviembre 2009. Aceptado: 22 diciembre 2009. 

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 Problemas de Geología Estructural 

4. Proyección polar de un plano. Proyección π  

Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.  

1Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas. Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid. 

[email protected] 2Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles. 

[email protected] 

  

Resumen: la representación estereográfica de planos puede llevarse a cabo también si se proyecta únicamente el polo del plano en lugar de su intersección con la esfera de proyección  (ciclográfica),  de  manera  que  se  simplifica  de  manera  importante  la representación  de  grandes  volúmenes  de  datos,  facilitando  así  su  interpretación. También es esencial para  resolver algunos problemas  como  la obtención del ángulo entre dos planos.  Palabras clave: polo de un plano. Diagrama de polos. Proyección π.  

 INTRODUCCIÓN 

  

Con el estudio de  los artículos anteriores  (Babín  y Gómez, 2010 a, b  y  c),  y  la repetición de los problemas ya resueltos, el alumno debe haber aprendido a visualizar y proyectar  líneas y planos en el espacio mediante proyección estereográfica. Ahora vamos  a  introducir un nuevo  concepto, polo  de un plano o proyección polar de un plano, que va a ser muy útil para calcular ángulos entre estructuras. 

 Una vez comprendido el concepto de polo de un plano y su proyección, veremos 

que  cualquier  estructura  puede  ser  girada  fácilmente  en  el  espacio,  y  cambiada  de orientación en una falsilla de proyección. Tanto la proyección polar de planos como las rotaciones  en  el  espacio,  nos  permiten  resolver  muchos  problemas  prácticos  en Geología Estructural.   

CONCEPTO DE POLO DE UN PLANO   

Cuando  en  un  estereograma  aparecen  gran  cantidad  de  círculos  mayores correspondientes a proyecciones  β de planos, es difícil hacer una  lectura y posterior 

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interpretación,  ya  que  las  trazas  de  los  diferentes  planos  se  cruzan  entre  si  y  son difíciles de separar e identificar. 

 Afortunadamente, es posible representar la orientación de un plano mediante la 

normal a ese plano (Fig. 1). La normal es la línea perpendicular al plano y por tanto se proyecta como un punto que recibe el nombre de polo del plano y por definición, se sitúa a 90º del centro del círculo mayor que representa al plano. 

  

  Figura 1. a) Proyección en el hemisferio inferior de la esfera, de un plano y su polar. b) Estereograma del plano anterior y de su polo. 

 

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En  la  proyección  esférica  de  la  figura  1  A,  se  observa  la  relación  entre  la proyección  ciclográfica  del  plano  (representada  por  un  círculo mayor)  y  su  normal (representada  por  un  punto).  Este  corresponde  al  punto  de  corte  del  hemisferio inferior de  la esfera con  la  línea de esa orientación que pasa por su centro, y que es perpendicular al plano. El estereograma de la figura 1 B, muestra la relación ortogonal del plano y su polo. 

 La  distancia  del  polo  al  centro  de  la  primitiva  es  r∙tan(β/2)  siendo  β  el 

buzamiento del plano y r el radio del estereograma. Cada plano tiene una única normal que  se  proyecta  como  un  único  punto  en  la  proyección,  por  tanto  podemos representar  la  orientación  de  cualquier  plano mediante  su  polo.  Los  diagramas  que representan polos de planos se conocen como diagramas π o diagramas de polos. 

 La  relación  de  perpendicularidad  entre  normal  y  plano  ha  de  ser  recordada 

siempre.  Esto  significa  que  si  el  plano  tiene  un  buzamiento  de  20º,  su  línea perpendicular (la normal al plano) tendrá una inmersión de 90‐20 = 70º. La normal de un plano vertical  será una  línea horizontal que  se proyectará  sobre  la circunferencia primitiva. La normal de una superficie horizontal será una  línea vertical, por  tanto el polo se proyectará en el centro de la falsilla. Las relaciones ortogonales plano/normal significan  que  la  dirección  de  la  normal  está  a  90º  de  la  dirección  del  plano,  en  el sentido opuesto al buzamiento del plano.  

 MÉTODO PARA PROYECTAR EL POLO DE UN PLANO 

  

Conocemos  la  orientación  de  un  plano  definido  mediante  dirección  y buzamiento,  y  vamos  a  proyectar  este  plano  tanto  en  proyección  ciclográfica  como polar, para visualizar  las relaciones entre  los dos tipos de proyección. El plano es, por ejemplo, N40ºE‐30ºS. 

 En  primer  lugar  y  como  es  costumbre,  marcar  la  dirección  del  plano  en  la 

primitiva y girar el transparente hasta que esta marca esté situada sobre el diámetro N‐S  de  la  falsilla.  Podemos  dibujar  el  círculo  mayor  correspondiente  (proyección ciclográfica) en primer lugar, como ya sabemos (Fig. 2). 

 En esta misma posición, (dirección del plano sobre el diámetro N –S de la falsilla), 

el polo vendrá representado por la perpendicular al plano, situada sobre el diámetro E‐O. Contamos desde el  centro de  la  falsilla  y en  sentido  contrario  al buzamiento del plano el valor del ángulo de buzamiento, y este punto representa el polo (P), o bien, desde  la  primitiva  hacia  dentro  el  ángulo  complementario  al  valor  del  buzamiento (ángulo de inmersión del polo, en este caso 60º, ya que 90º‐30º = 60º) y obtenemos el mismo punto anterior. Para comprobar que efectivamente esta línea es perpendicular al  plano,  contamos  sobre  el  diámetro  E‐O  el  ángulo  entre  el  plano  y  su  polo,  y efectivamente es de 90º. La forma más rápida para dibujar directamente el polo, una vez  colocada  la dirección del plano  sobre el diámetro N‐S de  la  falsilla, es  contar el 

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buzamiento del plano desde la chincheta hacia la primitiva, en sentido contrario al del buzamiento del plano. 

 Una vez conocido el concepto de polo del plano, podemos resolver una serie de 

problemas que explicamos a continuación.  

  

Figura 2. Proyección de un plano mediante un círculo mayor (ciclográfica) y su normal (polar). 

  

MEDIDAS DE ÁNGULOS ENTRE LÍNEAS Y PLANOS  

Medida del ángulo diedro entre dos planos  

Un ángulo diedro es el ángulo formado por dos planos que se cortan, medido en un tercer plano que es perpendicular a  los anteriores  (Fig. 3). Se puede medir  fácilmente mediante el ángulo entre los polos de los planos en un estereograma, o bien dibujando el plano perpendicular a la línea de corte de los dos planos, que es el plano perpendicular a los dos planos y contiene ambos polos. Como  los polos son  líneas, el ángulo entre dos líneas  se mide en el plano que  las  contiene, por  tanto, en el estereograma, el  ángulo entre los dos polos se mide a lo largo del círculo mayor en el cual están contenidos. 

 En muchos casos, el ángulo diedro se especifica como un ángulo agudo (Ej.: entre 

diaclasas conjugadas), pero no siempre es así, ya que el ángulo buscado puede ser mayor de 90º (Ej.: ángulo entre un dique y una superficie de estratificación). 

 Caso  especial  es  la medida  del  ángulo  interlimbo  (ángulo  formado  por  los  dos 

flancos de un pliegue), en ocasiones no muy claro. El estereograma ofrece dos posibles ángulos, uno agudo y otro obtuso. El problema principal es que no siempre es obvio cual 

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de los dos ángulos es el idóneo si no conocemos suficientes datos acerca del pliegue. En el capítulo de pliegues (Babín y Gómez, 2010 d) intentaremos resolver este problema.  

Figura 3. Medida del ángulo entre dos planos, utilizando la proyección ciclográfica (a, b) y polar (c). 

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Medida usando círculos mayores ( proyección ciclográfica)   Proyectar ambos planos como círculos mayores a partir de sus orientaciones.   La  línea  de  intersección  (L)  de  estos  dos  planos,  corresponde  al  punto  de 

intersección de los círculos mayores (Fig. 3 A).   Dibujar el plano perpendicular a esta línea. Es el plano cuyo polo es la línea de 

intersección, por tanto es el plano perpendicular a los dos planos anteriores. (Fig. 3 B). 

  Medir en este tercer plano el ángulo diedro.  Tener en cuenta que existen dos posibilidades. En la Figura 3 B se observa que hay un ángulo agudo y otro obtuso entre los dos planos. La suma de ambos es 180º.  Si  se mide el ángulo en otro plano que no es perpendicular a  los anteriores, el resultado  obtenido  es  distinto  y no  corresponde  al  verdadero  valor  del  ángulo diedro.  

Medida usando polos de planos (proyección polar)  Este método se basa en el hecho de que el ángulo diedro entre dos planos es igual al ángulo formado por las normales a estos planos.   Proyectar los dos planos anteriores mediante sus polos.   Mover el transparente hasta que los dos polos coincidan en un círculo mayor.   Dibujar el círculo y medir el ángulo entre los polos (agudo y obtuso) (Fig. 3 C).  

Medida del ángulo entre un plano y una línea  El ángulo entre una línea y un plano es el mismo que el formado por la línea y la perpendicular al plano (normal o polo del plano). Este ángulo se mide (Fig. 4) en un segundo plano que contiene la línea y la perpendicular al plano. En proyección estereográfica, el ángulo entre una  línea y un plano se mide en el círculo mayor que contiene a la línea (L) y al polo del plano (P). 

 Cálculo del plano bisector del ángulo entre dos planos  

El plano bisector del ángulo entre dos planos, es aquel que contiene a  la  línea de intersección de  los dos planos y a  la  línea que bisecta el ángulo diedro formado por  los dos planos. En el caso de algunos pliegues angulares  (kinks, chevron,.etc.) es razonable asumir que el plano que bisecta el ángulo entre los dos flancos del pliegue y contiene a la línea de charnela, es el plano axial del pliegue. 

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Figura 4. Medida del ángulo entre un plano de orientación conocida y una línea L. 

Cálculo utilizando círculos mayores (proyección ciclográfica)  

Partimos de dos planos  cuyas orientaciones  son: 095º‐60ºN  y 330º‐30ºSO. El método a seguir es el que se explica a continuación (Fig. 5).    Proyectar ambos planos como círculos mayores. Su punto de corte define la 

línea de intersección de los planos L, cuya orientación es: 288º/21º.   Dibujar el plano perpendicular a la línea de intersección.   Contar en este plano el ángulo que forman los dos planos y hallar su punto 

medio (A).   Dibujar el plano que contiene  la  línea de  intersección L y el punto medio 

del ángulo A. Este plano será bisector del ángulo entre los planos, bien del agudo o del obtuso, según el que se haya elegido. 

 En la figura 5, el plano bisector elegido es el correspondiente al ángulo obtuso (100º)  y  su  orientación  es  115º‐74ºSO.  El  punto  medio  correspondiente  al ángulo agudo es el punto B. Uniendo B y L podemos dibujar el plano bisector correspondiente al ángulo agudo.  Comprobar  que  los  planos  bisectores  de  los  ángulos  agudo  y  obtuso,  son perpendiculares entre sí. 

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Figura  5.  Cálculo  de  la  orientación  del  plano  bisector  entre  dos  planos  conocidos,  utilizando  la proyección ciclográfica. 

 

Cálculo utilizando los polos (proyección polar)   Proyectar los polos de los planos (P1 y P2) (Fig. 6).   Dibujar el círculo mayor que contiene a los dos polos.   La  línea de corte de  los dos planos (L), corresponde al polo del plano que 

contiene a los dos polos anteriores.   Contar  los ángulos ente polos y hallar sus puntos medios respectivos (A y 

B). Trazando el círculo mayor que contiene la línea de corte y cada uno de los puntos medios, obtenemos los planos bisectores agudo y obtuso. 

  

CONCLUSIONES   

Es posible proyectar cualquier plano en proyección estereográfica mediante un punto  que  representa  su  normal  (línea  perpendicular  al  plano).  Este  hecho  es especialmente  importante cuando se  trabaja con un número elevado de planos y en aquellos casos en los que es necesario conocer valores angulares entre planos, líneas o planos y líneas. La mecánica de estos problemas es sencilla y rápida como se ha visto, por ello es la proyección más utilizada por los geólogos estructurales para la resolución de casos semejantes. 

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  Figura 6. Cálculo de la orientación del plano bisector entre dos planos conocidos, mediante proyección polar. 

  

PROBLEMAS   

Problema 1  

Proyectar mediante proyección ciclográfica y polar,  las siguientes orientaciones correspondientes a superficies de estratificación (Fig. 7).  

a)  360º‐40ºE; b) N90ºE‐26ºS; c) 045º‐90º; d) horizontal.  

Marcar la dirección dada en la primitiva y hacerla coincidir con el diámetro N‐S de  la falsilla. Contar el buzamiento desde  la primitiva hacia el centro, sobre el diámetro E‐O. Dibujar el círculo mayor correspondiente. 

 

Sin mover el  transparente,  con  la dirección del plano  sobre el diámetro N‐S, contar  sobre el diámetro E‐O el ángulo de buzamiento, desde el  centro  y en  dirección opuesta al sentido de buzamiento del plano. Colocar el polo del plano en ese lugar. 

 

Comprobar  que  el  polo  tiene  un  ángulo  de  inmersión  cuyo  valor  es complementario al de buzamiento. 

 

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Comprobar que el plano y su polo están a 90º uno de otro, contando el ángulo entre ellos a lo largo del diámetro E‐O de la falsilla. 

 

Comprobar  que  la  dirección  de  la  línea  (polo)  está  a  90º  de  la  dirección  del plano. 

 Seguiremos el mismo procedimiento para proyectar cualquiera de  los datos del 

problema.  Todos  ellos  se  pueden  proyectar  en  una  misma  hoja,  visualizando  la orientación de cada uno en el espacio. 

 

  

Figura 7. Resolución del problema 1. Ver texto para su explicación. 

  Problema 2  

Dados  dos  planos  con  orientaciones  N30ºE‐30ºSE  y  20º/250º,  hallar  la orientación de su línea de intersección, dando el valor de la inmersión y de los ángulos de cabeceo sobre cada uno de los planos. 

 Visualizar el problema  (Fig. 8). La  línea de  intersección de  los dos planos  (L), si 

estos se representan en proyección ciclográfica, será el punto en la proyección donde se cortan los dos círculos mayores. Si la representación es en proyección polar, la línea buscada será el polo del plano que une los polos de los planos dados. 

 

En  este  caso,  dado  que  el  problema  nos  pide  los  valores  de  los  ángulos  de cabeceo,  lo  resolveremos  mediante  círculos  mayores  para  hacer  la  medida directamente. 

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Dibujar los círculos mayores para cada uno de los planos.  

La  línea  de  intersección  se  lleva  a  un  diámetro  vertical,  y  en  él  se mide  la dirección e inmersión de la línea, 189º/11º. 

 

Se coloca cada uno de los planos alternativamente sobre un círculo mayor, y se mide según los círculos menores el valor correspondiente al ángulo de cabeceo de la línea sobre cada uno de los planos, 21ºS y 34ºS. 

 

  

Figura 8. Estereograma correspondiente al problema 2. Ver texto para su explicación. 

  Problema 3  

Utilizando  los  datos  del  problema  anterior,  calcular  el  valor  del  ángulo  que forman entre si los dos planos y la orientación del plano bisector de dicho ángulo.  

Utilizar  un  nuevo  papel  transparente  y  proyectar  nuevamente  los  dos  planos anteriores, bien mediante sus círculos mayores o mediante sus polos. 

 Si hemos proyectado los círculos mayores (Fig. 9 A):  

Dibujar  el  plano  perpendicular  a  estos  dos  planos,  colocando  la  línea  de intersección sobre el diámetro E‐O de la falsilla.  

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Contar  a  lo  largo  de  este  nuevo  plano,  los  valores  correspondientes  a  los ángulos agudo y obtuso, 56º y 134º. Hallar y marcar el punto medio de cada uno de ellos (puntos A y B). 

 

Trazar  los planos que contienen respectivamente a  la  línea de  intersección y a cada  uno  de  los  puntos  medios  del  ángulo  elegido.  Estos  nuevos  planos representan los planos bisectores agudo y obtuso. 

 

Leer  las  orientaciones  correspondientes  a  estos  planos  bisectores,  que  son 010º‐84ºO y 080º‐11ºS. 

 Si hemos representado los planos en proyección polar (Fig. 9B): 

 

Dibujar el plano que contiene  los dos polos. Este plano es perpendicular a  los dos planos anteriores. 

 

Contar  a  lo  largo  de  este  plano  los  valores  correspondientes  a  los  ángulos agudo y obtuso. Marcar los puntos medios de dichos ángulos (A y B). 

 

Dibujar  la  posición  del  polo  de  este  plano.  Corresponde  a  la  línea  de intersección de los dos planos anteriores (L).  

Los  planos  bisectores  pedidos  serán  aquellos  que  contienen  a  la  línea  de intersección y a cada uno de los dos puntos medios. 

 Observar  que  en  este  tipo  de  problemas,  siempre  que  no  haya  más  datos, 

existirán dos soluciones, sin que podamos decidir cuál de ellas es  la válida. En el caso de  que  hayamos  resuelto  el  problema  en  dos  transparentes  distintos,  colocar  uno sobre otro y estudiar la relación entre polos y planos. 

  

Problema 4  

Calcular el valor del ángulo  formado entre el plano de orientación 224º/36 y  la lineación mineral 010º/26º.  

Como ya  se ha explicado anteriormente, el valor del ángulo  formado entre un plano y una  línea, es el mismo que el  formado entre  la  línea y el polo del plano. El proceso a seguir se detalla a continuación (Fig. 10). 

 

Proyectar la línea en el transparente (L).  

Proyectar el polo del plano (P1).  

Dibujar el círculo mayor que contiene el polo del plano y la línea. 

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Contar  el  valor  del  ángulo  a  lo  largo  de  este  círculo  mayor,  utilizando  los círculos menores. En la figura se ha calculado el valor correspondiente al ángulo agudo, que es de 37º.   

 

  

Figura  9.  Estereograma  correspondiente  al  problema  3.  A)  mediante  proyección  ortográfica.  B) mediante proyección polar. 

 

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Figura 10. Resolución del problema 4. Ver texto para su explicación. 

  Problema 5  

Un  plano  de  falla  de  orientación  N16ºE‐32ºSE,  muestra  unas  estrías  de deslizamiento  con  un  ángulo  de  cabeceo  de  30ºN.  En  el mismo  plano  aparece  un conjunto de escalones con dirección 150º. Orientar ambas líneas mediante dirección e inmersión y calcular el ángulo que forman medido sobre el plano de falla, así como los ángulos entre el plano de falla y cada una de las líneas.  

Proyectar el plano de falla mediante su círculo mayor correspondiente.  

Colocar en este plano la línea correspondiente a las estrías, contando desde el norte el ángulo de cabeceo. 

 

Llevar  la  dirección  150º  sobre  un  diámetro  vertical  de  la  falsilla  y  colocar  la posición de los escalones dentro del plano de falla.  

En este momento, ya están proyectados todos  los elementos del problema (Fig. 11). A partir de aquí, vamos obteniendo las soluciones. 

 

Colocamos  cada  una  de  las  líneas  sobre  un  plano  vertical  de  la  falsilla,  y medimos el ángulo de inmersión. En el caso de las estrías medimos su dirección sobre  la  primitiva  que  es  042º  y  su  inmersión,  16º.  La  inmersión correspondiente a los escalones es de 24º según los 150º. 

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Proyectamos el polo del plano de  falla  (F) y dibujamos el plano que contiene este polo y las estrías y el plano que contiene el mismo polo y los escalones. En cada uno de estos planos medimos el ángulo entre el plano de falla y estrías / escalones y resulta ser de 90º en ambos casos.  

  

Figura 11. Estereograma correspondiente al problema 5. Ver texto para su explicación. 

  

BIBLIOGRAFÍA   Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  a.  Problemas  de  Geología  Estructural.  1. 

Conceptos generales. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 1‐10.  Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  b.  Problemas  de  Geología  Estructural.  2. 

Orientación  y  proyección  de  planos  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie Geología Estructural, 2 (1): 11‐23. 

 Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  c.  Problemas  de  Geología  Estructural.  3. 

Orientación  y  proyección  de  líneas  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie Geología Estructural, 2 (1): 24‐40. 

 Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  d.  Problemas  de  Geología  Estructural.  7. 

Pliegues. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 95‐123, 2010.    

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                              ISSN: 1989‐6557 

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BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA   Davis, G. H. 1984. Structural Geology of rocks and Regions. Wiley & Sons. 492 pp.  Lheyson,  P.  R.;  Lisle,  R.  J.  1996.  Stereographic  projection  techniques  in  Structural 

Geology. Butterworth‐Heinemann Ltd. Oxford. 104 pp.  Marshak, S & Mitra, G. 1982. Basic methods of structural geology. Prentice & Hall. 446 

pp.  Phillips, F. C. 1971. The use of stereographic projection  in Structural Geology. Edward 

Arnol. London. 90 pp.  Ragan, D. M. 1987. Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona. 210 pp.  Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw 

Hill. New York. 545 pp.   Recibido: 18 noviembre 2009. Aceptado: 22 diciembre 2009. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 57‐73, 2010.                                              ISSN: 1989‐6557 

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 Problemas de Geología Estructural 

5. Rotaciones  

Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.  

1Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas. Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid. 

[email protected] 2Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles. 

[email protected] 

  

Resumen:  la  rotación de  líneas o planos  representa un ejercicio  común en Geología Estructural que puede  realizarse más  fácilmente mediante proyección estereográfica que utilizando oras técnicas. Sin embargo, para ello es preciso conocer  los diferentes métodos existentes en  función de  las características del eje de rotación, es decir, en función  de  que  éste  sea  horizontal,  vertical  o  inclinado.  Se  describen  aquí  los diferentes procedimientos acompañados de numerosos ejemplos prácticos.  Palabras clave: Eje de rotación. Ángulo de rotación. Sentido de rotación.  

 INTRODUCCIÓN 

  

Para resolver algunos problemas en Geología Estructural, es necesario simular la rotación  física  en  el  espacio  de  un  elemento  estructural  alrededor  de  un  eje  de orientación conocida. Esta rotación puede ser necesaria, por ejemplo, para conocer la orientación  original  de  una  serie  plegada  que  actualmente  está  aflorando  bajo  una superficie de discordancia basculada. Será necesario rotar  los elementos geométricos de  la  discordancia  y  del  pliegue  un  ángulo  determinado    alrededor  de  un  eje  de rotación conocido, y de esta forma hallar la orientación inicial de la serie plegada. 

 Este  proceso  es  bastante  diferente  a  todo  lo  que  se  ha  explicado  hasta  el 

momento,  Babín  y  Gómez  (2010  a,  b,  c  y  d),  donde  simplemente  se  movía  el transparente alrededor de la chincheta colocada en el centro de la falsilla, para medir y proyectar  los  distintos  datos  estructurales.  En  este  transparente  teníamos  un  norte fijo, por tanto las orientaciones de líneas y planos nunca cambiaban con respecto a la falsilla de referencia. 

 Cuando rotamos una  línea o un plano en el espacio, su orientación cambia con 

respecto a nuestra  falsilla de  referencia y este elemento estructural  se  reorienta en función  de  la  rotación  sufrida.  Para  efectuar  una  rotación  o  bien  para  definirla,  es necesario  conocer  el  ángulo  de  rotación,  el  sentido  de  la  rotación  (agujas  del  reloj, 

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contrario  a  las  agujas  del  reloj),  desde  donde  se  está mirando  ese  sentido  de  giro (punto de vista) y la orientación del eje de giro. Por ejemplo: giro de 60º en sentido de las  agujas  del  reloj,  visto  desde  el  norte,  del  plano  con  orientación  170º‐25ºE, alrededor de un eje inclinado orientado 32º/225º. 

 Existen distintos métodos para efectuar rotaciones de elementos estructurales. 

Aquí  se  va  a  utilizar  el  que  se  considera más  sencillo  de  comprender  y  al mismo tiempo, más  fácil  de  visualizar,  aunque  el  alumno  puede  consultar  otros  libros  de Geología Estructural donde se explican los pasos para llevar a cabo las rotaciones con distintos métodos. 

 En general, se usan dos procedimientos básicos para llevar a cabo una rotación:  

rotación alrededor de un eje vertical (la inmersión del eje es de 90º).  

rotación alrededor de un eje horizontal (la inmersión del eje es de 00º).  La rotación alrededor de un eje  inclinado (inmersión del eje entre 00º y 90º) es 

más fácil de  llevar a cabo mediante una combinación de rotaciones alrededor de ejes horizontales y/o verticales.   

ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE VERTICAL   

Es el tipo de rotación más sencillo. El eje de rotación se sitúa en el centro de  la falsilla,  que  corresponde  a  la  posición  de  cualquier  línea  vertical  dentro  del estereograma. Podemos hacernos una idea de lo que representa este tipo de rotación observando la figura 1. La rotación de una línea alrededor de un eje vertical da lugar al movimiento del punto que representa  la  línea a  lo  largo de un círculo menor que es coaxial con la primitiva. Este círculo menor no se corresponde con los círculos menores representados en la falsilla. 

 Para visualizar la situación, imaginar una línea inclinada con uno de sus extremos 

fijo en el eje de rotación vertical. Si esta  línea gira alrededor de este eje, su extremo libre describe un cono vertical y circular que  intersecta a  la semiesfera  inferior según un círculo menor. Esta  línea  tiene una nueva orientación después del giro, de  forma que ha variado su sentido de  inmersión, pero el ángulo de  inmersión sigue siendo el mismo. En el caso de un plano, el ángulo de buzamiento se mantiene y solo cambia la dirección del plano después de efectuar el giro. 

 Para especificar el sentido de rotación, podemos indicar sentido de las agujas del 

reloj, dextral, derecho, etc. intuitivamente, cuando el giro es de derecha a izquierda, y al contrario cuando el giro es de  izquierda a derecha (contrario a  las agujas del reloj, sinestral, izquierdo,.etc.). 

 

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  Figura 1. Rotación de una línea L un ángulo de 40º alrededor de un eje vertical, visto en el hemisferio inferior de la esfera. 

  Procedimiento 

 

Proyectar la línea, plano o polo correspondiente.  

Girar  sobre  la  circunferencia  primitiva  la  dirección  del  elemento  elegido, contando el ángulo de rotación en el sentido indicado, a partir de la dirección. Marcamos la nueva dirección obtenida. 

 

Colocar  la nueva dirección  sobre un plano  vertical de  la  falsilla  (caso de una línea)  o  sobre  el  diámetro  N‐S  (caso  de  un  plano  o  su  normal),  y  contar  la misma  inmersión  anterior  en  el  caso  de  línea  o  polo  o  bien  el  mismo buzamiento  en  el  caso  de  un  plano. Dibujar  y  leer  la  orientación  del  nuevo elemento después de la rotación. 

 Ejemplo:  la  orientación  de  una  línea  es  40º/220º. Hallar  su  nueva  orientación 

después de efectuar un giro de 50º en sentido de las agujas del reloj, alrededor de un eje vertical (Fig. 2). 

 

Marcar sobre la primitiva la dirección de la línea.  

Proyectar  el  punto  que  representa  la  línea  (L). Mover  sobre  la  primitiva  la marca de la dirección 50º siguiendo el sentido que indica el problema. La nueva dirección de la línea será 270º (220º + 50º). Si el giro fuera en sentido contrario, se restarían los 50º. 

 

Colocando esta dirección sobre uno de los diámetros verticales, contar el valor de la inmersión (40º) y colocar la línea en su nueva posición (L´). Su orientación será 270º/40º. 

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ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE HORIZONTAL   

Como  ayuda  para  visualizar  la  rotación  de  una  línea  alrededor  de  un  eje horizontal, coger un lápiz con las dos manos y dejando fijo uno de los extremos, girar el otro alrededor de  la horizontal. La  línea que rota va cambiando de orientación según va rotando y va formando un cono en el espacio. Este cono tiene un eje horizontal que corresponde al eje de rotación. 

 

  

Figura 2. Rotación alrededor de un eje vertical. Ver texto para su explicación. 

  Como  ya  sabemos,  los  conos  se  proyectan  como  círculos menores.  El  eje  de 

rotación ocupa el centro del círculo menor definido por la línea que rota, por tanto, si la rotación se efectúa a lo largo de los círculos menores de la falsilla, el eje de rotación debe estar situado en su centro, que corresponde a cualquiera de los polos norte o sur de la falsilla. 

 Cualquier  línea horizontal, en este caso el eje de rotación, está situada sobre  la 

circunferencia  primitiva.  Cuando  al  rotar  un  elemento  estructural  un  ángulo determinado se pasa la primitiva y hay que continuar contando (“se sale de la falsilla”), el  elemento  estructural  reaparecerá  en  el  extremo  diametralmente  opuesto  del estereograma. Para efectuar una rotación alrededor de un eje horizontal, el camino a seguir es el indicado en la figura 3 A, donde se explica el giro de un plano alrededor del eje N‐S de  la  falsilla, que a su vez coincide con  la dirección del plano que queremos rotar. El camino a seguir es el siguiente: 

 

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Procedimiento  

Proyectar sobre la primitiva la posición del eje de rotación.  

Proyectar la línea, polo o plano que se va a rotar.  

Girar el transparente hasta que el eje de rotación coincida con el diámetro N‐S de la falsilla. Este eje estará situado sobre el polo norte o sur. En esta posición, el elemento estructural objeto del giro queda situado sobre un círculo menor de la falsilla. 

 

Mover  sobre este  círculo menor el  ángulo  indicado  y en el  sentido  indicado. Marcar la nueva posición de la línea, polo o plano después del giro. 

 En  el  caso  de  que  la  rotación  sea  de  un  plano  proyectado  en  proyección 

ciclográfica, el procedimiento es el mismo. Cuando el eje de giro está situado sobre el diámetro N‐S, movemos puntos individuales del círculo mayor (plano) a lo largo de los círculos menores sobre  los que se encuentran. Con estos nuevos puntos, buscando el círculo mayor que los contiene (moviendo el transparente sobre la falsillla) y hallamos la posición del plano rotado. Con mover dos puntos del plano inicial, es suficiente. 

 Si giramos un plano alrededor de un eje horizontal cuya dirección coincide con la 

del plano, solo cambiará el buzamiento del plano (Fig. 3 B). Si el eje de rotación no es paralelo  a  la  dirección  del  plano,  cambiarán  tanto  dirección  como  buzamiento  del plano después de la rotación. 

 Durante la rotación, el polo de un plano se mueve la misma “distancia” angular y 

en el mismo sentido que  los puntos correspondientes del círculo mayor, por tanto  la rotación de un plano se puede hacer también moviendo su polo a  lo  largo del círculo menor  correspondiente.  Una  estructura  linear  que  tiene  una  orientación  fija  con respecto al plano también se moverá la misma “distancia” angular en el mismo sentido a  lo  largo  de  su  círculo menor,  de  forma  que  está  contenida  en  el  plano  antes  y después de la rotación. 

 En  las  rotaciones  es  crítico  visualizar  el  sentido  de  la  rotación.  Si  rotamos  un 

plano con dirección N‐S y buzando al este, 60º en  sentido contrario a  las agujas del reloj visto desde el norte, su buzamiento decrece (Fig. 3 A), mientras que si giramos en sentido de las agujas del reloj con el mismo punto de vista, el buzamiento aumenta. La rotación de una capa invertida debe pasar primeramente por la posición vertical antes de ser rotado hacia la posición horizontal.  

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Figura 3. Rotación de un plano y de su polo alrededor de un eje horizontal con la misma dirección del plano (N‐S). a) Visto en tres dimensiones. b) Estereograma en dos dimensiones. 

  Ejemplo: Girar el plano N20ºE‐40ºE alrededor de un eje horizontal de dirección 

020º, una cuantía de 50º en sentido de las agujas del reloj visto desde el sur.  

Dibujar el plano y  su polo y  colocar  su dirección  sobre el diámetro N‐S de  la falsilla, de forma que estemos mirando desde el sur. 

 

En esta posición, mover al menos dos puntos del plano en el sentido indicado, a lo largo de los círculos menores en los que estén situados. Según el enunciado, debemos mover 50º de derecha a izquierda (Fig. 4). 

 

Con los nuevos puntos obtenidos, dibujar el plano rotado y leer su orientación: 020º‐90º.  La  dirección  del  plano  no  ha  cambiado  después  de  efectuar  la rotación, ya que el eje de giro y el plano coinciden en dirección. 

 

Repetir el mismo proceso con el polo y verificar que plano y polo rotado están a 90º  entre  sí.  El  polo  P´  está  sobre  la  primitiva  (plano  horizontal)  como corresponde al polo de un plano vertical. Su dirección, 290º, está a 90º de  la dirección del plano. 

  

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ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE INCLINADO   Cuando  se  gira  una  línea  alrededor  de  un  eje  inclinado  (eje  de  rotación)  su 

orientación cambia, de forma que define un cono representado en el estereograma como un círculo menor. Una línea o un plano con una orientación inicial determinada, sufrirán un cambio completo de orientación después de la rotación. 

 Es  posible  efectuar  esta  rotación  directamente,  pero  el  método  es  difícil  de 

visualizar. Es bastante más sencillo efectuar esta rotación en tres estadios sucesivos que son los siguientes: 

 

  

Figura 4. Rotación de un plano alrededor de un eje horizontal, coincidente con su dirección. 

  1º.  Rotar  el  eje  inclinado  a  la  horizontal  alrededor  de  un  segundo  eje,  que  es 

horizontal  y  ortogonal  al  eje  inclinado.  Para  ello,  colocamos  el  eje  de  giro  sobre  el diámetro E‐O de la falsilla y lo movemos hasta la circunferencia primitiva,  sobre el plano horizontal. Todos los elementos estructurales existentes en el estereograma, rotarán los mismos grados y en el mismo sentido a lo largo de su círculo menor, para mantener las relaciones angulares entre ellos. 

 2º. Efectuamos el giro pedido, en este caso alrededor de un eje horizontal, como se 

ha  explicado  anteriormente.  Nuevamente,  todos  los  elementos  del  estereograma  se mueven los mismos grados y en el mismo sentido. 

 

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3º. El eje de giro  se  rota a  su posición  inclinada original  llevándolo nuevamente sobre el diámetro E‐O y una vez más,  todos  los elementos proyectados se mueven  los mismos grados y en el mismo sentido a lo largo de sus círculos menores. 

 Ejemplo:  la  orientación  del  flanco de un  pliegue  es N60ºO‐40ºSO.  ¿Cuál  será  su 

orientación después de una rotación de 40º en sentido contrario a  las agujas del reloj, mirando  hacia  el  sentido  de  la  inmersión,  alrededor  del  eje  del  pliegue,  orientado 30º/S80ºO? (Fig. 5). 

 

Dibujar el estereograma del eje del pliegue (eje de rotación) y el flanco.  

Girar el transparente y colocar el eje de giro sobre el diámetro E‐O de la falsilla. En esa posición, llevarlo a la horizontal. El giro efectuado ha sido de 30º. El eje E pasa a la posición E´, sobre la circunferencia primitiva.  

Girar los mismos 30º y en el mismo sentido, el flanco del pliegue, con dos puntos elegidos al azar. En el estereograma se han utilizado el eje del pliegue y un punto A que pasa a la posición A´. Obtenemos la nueva orientación del flanco, con el eje del pliegue ya horizontal (Fig. 5 A). 

 

Llevar el eje de giro E´  (ya horizontal) al diámetro N‐S de  la  falsilla y efectuar  la rotación de 40º en el sentido indicado, alrededor de un eje horizontal. Los puntos elegidos llegan a la circunferencia primitiva y entran por el punto diametralmente opuesto. Obtenemos la nueva posición del flanco del pliegue después de giro (Fig. 5 B). 

 

Una  vez  terminada  la  rotación,  colocar  nuevamente  el  eje  de  giro  sobre  el diámetro  E‐O  de  la  falsilla  y  volverlo  a  su  posición  inclinada  original.  El  flanco anteriormente  obtenido  se  moverá  los  mismos  grados  en  el  mismo  sentido, nuevamente a partir de dos puntos, uno de ellos el eje del pliegue. Esta posición del flanco nos da la nueva orientación, después de efectuar el giro: N20ºE‐31ºO. En el diagrama corresponde al plano nombrado como “4 solución”. 

 

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Figura 5. Rotación alrededor de un eje inclinado. Ver texto para su explicación. 

  

CONCLUSIONES   

Las rotaciones alrededor de un eje de orientación conocida, sea este horizontal, vertical o inclinado, son sencillas de resolver utilizando la proyección estereográfica. Se 

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pueden restituir series a su posición original, deducir antiguas direcciones de corriente e  incluso,  como  se  verá  en  el  capítulo  de  fallas,  conocer  posiciones  de  elementos estructurales en el bloque girado de una falla rotacional. 

 Para definir correctamente una rotación en el espacio es necesario dar el valor 

del ángulo de rotación, su sentido y el punto de vista desde el cual estamos efectuando ese giro.   

PROBLEMAS  

Problema 1  

Hallar  la  nueva  orientación  del  plano N30ºO‐40ºNE  y  de  su  polo,  después  de girarlo 40º en el sentido de las agujas del reloj, alrededor de un eje vertical.  

Dibujar el estereograma correspondiente a ambos, polo (P) y plano (Fig.6).  

Contar  sobre  la  primitiva  los  40º  correspondientes  al  giro,  a  partir  de  la dirección del plano y del sentido de inmersión del polo respectivamente. 

 

Con  las nuevas direcciones obtenidas, pintar el plano  rotado,  conservando el buzamiento anterior y el polo, con su inmersión correspondiente. 

 

Leer las nuevas orientaciones  del polo y el plano: 280º/50º y 010º‐40ºE.  

  

Figura 6. Resolución del problema 1. Ver texto para su explicación. 

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Problema 2  

La  orientación  de  una  línea  es  35º/S50ºE.  ¿Cuál  será  su    nueva  orientación después de haber girado 40º en sentido contrario a  las agujas del reloj, alrededor de un eje vertical? (Fig. 7). 

 

Dibujar la proyección de la línea (L) en el transparente.  

Contar sobre  la primitiva a partir del sentido de  inmersión de  la  línea,  los 40º correspondientes a  la rotación. El nuevo sentido de  inmersión de esta  línea es de 090º. 

 

Colocado el nuevo sentido de  inmersión sobre un diámetro vertical, contar el ángulo  de  inmersión  correspondiente  (35º)  y dibujar  la  nueva  posición  de  la línea (L´). Su orientación es 090º/35º.  

  

Figura 7. Resolución del problema 2. Ver texto para su explicación. 

  Problema 3  

En una serie sedimentaria (SS) orientada 34º/132º se observa una estratificación cruzada  planar  (EC),  de  orientación  244º/20º.  Calcular  la  orientación  de  la estratificación cruzada antes del basculamiento de la serie sedimentaria.  

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Dibujar  la proyección de ambos planos, bien en ciclográfica o en polar (Fig. 8). En este caso, se ha resuelto en proyección polar. 

Antes  del  basculamiento,  la  serie  sedimentaria  estaba  horizontal.  Si  rotamos esta serie hasta ponerla horizontal, la estratificación cruzada rotará los mismos grados  y en el mismo  sentido que  la  serie  sedimentaria. Esta nueva posición será la que tenía antes del basculamiento. 

 

Colocar la dirección de la serie sedimentaria sobre el diámetro N‐S de la falsilla. Su polo se situará sobre el diámetro E‐O (SS). 

 

Rotar  la  serie  sedimentaria  alrededor  de  un  eje  de  giro  que  coincide  con  su dirección, un ángulo de 34º que es el valor del buzamiento. De esta  forma el plano está horizontal y coincide con  la circunferencia primitiva y su polo está vertical en el centro de la falsilla (SS´). 

 

En esta misma posición, rotar  la estratificación cruzada  (EC)  los mismos 34º y en el mismo  sentido, moviendo dos puntos del plano a  lo  largo de  su círculo menor, o bien el polo del plano hasta la posición EC´. 

 Dibujar en proyección ciclográfica  la posición de  la estratificación cruzada antes 

del basculamiento, y medir su orientación: 018º‐48ºO.  

  

Figura 8. Resolución del problema 3. Ver texto para su explicación. 

   

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Problema 4  

Una secuencia estratificada invertida está orientada N30ºO‐40ºSO. En uno de los planos de estratificación aparece una  lineación con un cabeceo de 30ºNO. Calcular  la orientación de la lineación cuando la estratificación estaba horizontal.  

Antes  de  resolver  el  problema,  pensar  en  la  posición  de  la  línea  cuando  la estratificación estaba horizontal. ¿Cuál será la inmersión de la línea en este supuesto?. 

 

Dibujar el plano de estratificación  y  la posición de  la  lineación  (L) dentro del plano (Fig. 9). 

 

La secuencia está  invertida. Para poner este plano horizontal primero hay que ponerlo vertical y después, con la secuencia ya en posición normal, llevarla a la horizontal. Rotamos el plano a la horizontal, pasando primero por la vertical. El polo del plano se coloca en el centro de la falsilla (P´). 

 

La misma rotación se aplica a la lineación, que se moverá a lo largo del círculo menor en que está contenida, y se lee su posición inicial en el estereograma: L´: 360º/00º, por tanto la lineación está horizontal y su sentido de inmersión será de 360º o bien, 000º.   

  

Figura 9. Resolución del problema 4. Ver texto para su explicación. 

  

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Problema 5  

Una  lineación mineral  tiene  una  inmersión  de  30º  hacia  los  220º.  Calcular  su nueva orientación después de una rotación de 30º en el sentido de las agujas del reloj, mirando desde el sur, alrededor de un eje horizontal de dirección N10ºE.  

Colocar  en  el  estereograma  la  lineación  mineral  y  el  eje  de  giro  sobre  la primitiva (Fig. 10). 

 

Con el eje de giro sobre el diámetro N‐S de  la  falsilla, efectuar el giro con  los datos del problema. La línea L pasa a la posición L´. 

 

Leer la orientación de la nueva línea: 229º/12º.  

  

Figura 10. Resolución del problema 5. Ver texto para su explicación. 

  

Problema 6  

La orientación de un plano es N20E‐20ºSE. ¿Cuál será su orientación después de una  rotación  de  30º  en  sentido  contrario  a  las  agujas  del  reloj,  visto  desde  el  sur, alrededor de un eje paralelo a la dirección? ¿Cuál será su orientación si la rotación es en sentido contrario?  

Dibujar el plano en el estereograma (Fig. 11).  

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Dado que el eje de  rotación  tiene  la misma dirección que el plano,  se coloca esta  dirección  sobre  el  diámetro N‐S  de  la  falsilla,  y  se  hace  la  rotación  que indica el problema. 

 

En el primer caso, visto desde el sur, el movimiento correspondiente al giro es de  izquierda a derecha, por  tanto pasamos  la primitiva y  seguimos  contando hasta  completar  los  30º.  En  el  segundo  caso,  la  rotación  es  al  contrario,  de derecha a izquierda. 

 

Leer las soluciones correspondientes a cada uno de los casos y observar que la dirección del plano no varía después de la rotación, únicamente cambia el valor del ángulo de buzamiento.  

Primer caso: 020º‐10ºO o bien N20ºE‐10ºO  Segundo caso: 020º‐50ºE  

  

Figura 11. Resolución del problema 6. Ver texto para su explicación. 

  Problema 7  

La  serie  situada  sobre  una  discordancia  angular,  tienen  una  orientación  de N10ºE‐50ºO. La serie inferior está orientada N40ºE‐80ºE. ¿Cuál era la orientación de la serie inferior antes del basculamiento de la discordancia?  

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Considerar en primer lugar, que las capas por encima de una discordancia, tienen la misma orientación que esta, y que  la superficie de discordancia originalmente era horizontal.  Para  ponerla  en  su  posición  original,  rotaremos  la  discordancia  a  la horizontal un ángulo igual al valor de su buzamiento, alrededor de un eje paralelo a la dirección de la discordancia. 

 

Proyectar  la discordancia  y  la  serie  inferior mediante  círculos mayores o  con polos  (Fig. 12). En este caso, el problema se ha resuelto mediante proyección ciclográfica. 

 

Colocar  la  dirección  de  la  discordancia  (eje  de  giro)  coincidiendo  con  el diámetro N‐S de  la  falsilla. Hacer una  rotación de 50º  (valor del buzamiento) alrededor de un eje horizontal que es  la dirección del plano de discordancia, y poner  este  plano  horizontal,  coincidiendo  con  la  circunferencia  primitiva.  Si trabajamos con polos,  tener en cuenta que el polo de un plano horizontal es una línea vertical, situada en el centro de la falsilla. 

 

Rotar  la  serie  inferior  el  mismo  ángulo  y  en  el  mismo  sentido  que  la discordancia. Este nuevo plano nos da  la orientación de  la serie  inferior antes del basculamiento de la discordancia: 045º‐58ºNO. 

  

  

Figura 12. Resolución del problema 7. Ver texto para su explicación. 

  

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BIBLIOGRAFÍA  

 Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  a.  Problemas  de  Geología  Estructural.  1. 

Conceptos generales. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 1‐10.  Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  b.  Problemas  de  Geología  Estructural.  2. 

Orientación  y  proyección  de  planos  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie Geología Estructural, 2 (1): 11‐23. 

 Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  c.  Problemas  de  Geología  Estructural.  3. 

Orientación  y  proyección  de  líneas  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 24‐40. 

 Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  d.  Problemas  de  Geología  Estructural.  4. 

Proyección polar de un plano. Proyección  π. Reduca  (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 41‐56. 

  

BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA   Davis, G. H. 1984. Structural Geology of rocks and Regions. Wiley & Sons. 492 pp.  Lheyson,  P.  R.;  Lisle,  R.  J.  1996.  Stereographic  projection  techniques  in  Structural 

Geology. Butterworth‐Heinemann Ltd. Oxford. 104 pp.  Marshak, S & Mitra, G. 1982. Basic methods of structural geology. Prentice & Hall. 446 

pp.  Phillips, F. C. 1971. The use of stereographic projection  in Structural Geology. Edward 

Arnol. London. 90 pp.  Ragan, D. M. 1987. Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona. 210 pp.  Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw 

Hill. New York. 545 pp.   Recibido: 18 noviembre 2009. Aceptado: 22 diciembre 2009. 

 

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 Problemas de Geología Estructural 

6. Cálculo de la orientación de la estratificación a partir de testigos de sondeos 

 Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2. 

 1Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas. 

Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid. [email protected] 

2Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles. [email protected] 

  

Resumen:  las muestras de  roca obtenidas en  los  sondeos proporcionan  información fundamental acerca de los materiales geológicos que no llegan a aflorar en superficie. Además, mediante  la aplicación de  la proyección estereográfica se puede conocer  la orientación de las estructuras planares atravesadas por el sondeo. Este proceso no es sencillo  e  implica  realizar  rotaciones  alrededor  de  ejes,  y  combinar  la  proyección estereográfica con la ortográfica. Cuanto mayor sea el número de sondeos que cortan una misma estructura planar, mayor será el grado de fiabilidad de la solución obtenida.  Palabras clave: sondeo. Eje de rotación. Proyección ortográfica.  

 INTRODUCCIÓN 

  

Desde  hace  décadas,  los  sondeos  en  rocas  sólidas  se  han  utilizado  para  el conocimiento y la explotación de reservorios de petróleo, minería, etc. y para obtener datos  acerca  de  la  geología  del  subsuelo,  como  puede  ser  determinar  el  tamaño  y extensión de un yacimiento mediante  la ubicación de sondeos a  intervalos  regulares en una malla de terreno determinada. Estos datos ayudan a la construcción de mapas a todas las escalas e incluso al conocimiento de la composición de la corteza en suelos oceánicos. 

 En muchos casos,  la roca se pulveriza y retorna a  la superficie transformada en 

forma de lodo. Sin embargo, en aquellas ocasiones en las que se obtienen testigos de sondeo  intactos,  se  pueden  utilizar  para  conocer  datos  de  orientaciones  de  planos estructurales de  la región y orientación de capas no aflorantes, siempre  teniendo en cuenta  las  limitaciones geométricas de estos datos. El propósito de este  capítulo es mostrar  de  qué manera  se  pueden  utilizar  los  datos  obtenidos  de  los  testigos  de sondeo para conocer la orientación de capas que no afloran, o al menos, poder llegar a definir un posible rango de orientaciones. Naturalmente, será más  fácil alcanzar este 

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fin cuanto mayor sea el número de  testigos de sondeo en  los que se aprecien datos estructurales y siempre que se conozca la orientación del eje del sondeo.   

DATOS A PARTIR DE UN TESTIGO DE SONDEO   

Un  testigo  de  sondeo,  teóricamente,  puede  dar  información  acerca  de  la orientación  de  un  plano,  equivalente  a  la  obtenida  midiendo  un  afloramiento  en superficie  con  una  brújula.  Desafortunadamente,  la  rotación  sufrida  durante  la recuperación  del  testigo  hace  que  esto  no  sea  posible  de  forma  directa.  La  única información  que  se  puede  usar  es  la  profundidad  (distancia medida  a  lo  largo  del sondeo)  hasta  un  horizonte  particular  y  la  inclinación  de  las  estructuras  planares (estratificación, foliación, etc.) con respecto al eje del sondeo. Únicamente podremos determinar en parte la orientación de una estructura planar si ésta es perpendicular al eje  del  sondeo,  ya  que  en  este  caso,  la  inclinación  de  los  planos  en  el  testigo corresponde al buzamiento real, pero debido a  la rotación,  la dirección de  la capa no se  conoce.  Otros  planos  con  orientaciones  distintas  respecto  al  citado  eje,  no  se pueden orientar en el espacio a partir de un único testigo de sondeo. 

 Para  comprender  el  concepto,  vamos  a  imaginar  un  testigo  de  sondeo  que 

contiene un plano de  fractura  inclinado con  respecto al eje del  testigo. Si giramos el testigo  360º  alrededor  de  su  eje,  el  rango  de  orientaciones  posibles  de  la  fractura describe  un  cono  circular  cuyo  eje  es  el  eje  del  testigo  y  su  ángulo  de  apertura corresponde al ángulo de buzamiento  (Fig. 1). Dependiendo de  la  inclinación del eje del sondeo, el cono que define las posibles orientaciones de la fractura intersecta a la superficie  de  la  tierra  según  un  círculo,  una  elipse,  una  parábola  o  una  hipérbola. Existen dos casos especiales: plano vertical en el que el cono pasa a  ser una  línea y plano horizontal,  cuyo  cono pasa a  ser un plano. Este  caso es el único en el que  se puede conocer la orientación de una superficie con un solo sondeo. 

 En sondeos poco profundos, es posible dibujar una marca de orientación en el 

testigo,  de  manera  que  la  orientación  del  testigo  respecto  al  sondeo  siempre  es conocida,  incluso  si  el  testigo  se  rompe  o  gira  un  ángulo  desconocido  durante  el proceso.  Se  indica  con  una marca  orientada  en  la  parte  superior  del  testigo,  si  el sondeo es vertical o mediante una línea en el lateral del testigo, si es inclinado. 

 Es fácil determinar la orientación de una estructura planar a partir de un sondeo 

vertical. El ángulo entre una  línea de dirección del plano  y  la marca de orientación, indica  la  dirección  del  plano  y  el  ángulo  entre  el  plano  y  el  eje  del  testigo  es  el buzamiento real del plano. 

 Si el sondeo es inclinado, los planos que se observan en el testigo no representan 

el  buzamiento  real  del  plano  estructural.  La  orientación  real  será  tangente  a  la superficie  del  cono  generado  por  la  rotación  del  testigo  y  queda  perfectamente 

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determinada si el plano es perpendicular al eje del sondeo. En el resto de los casos, se puede calcular usando la proyección. Este cálculo requiere dos estadios: 

 

Hallar la orientación del plano respecto al eje del testigo, como si este eje fuera vertical. 

 

Girar el eje del sondeo a su posición real.   

  Figura 1. Rango de posibles orientaciones de un plano estructural, definidas mediante un cono cuyo eje tiene la misma orientación que el eje del sondeo. 

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En  la  figura  2,  la  línea  de  dirección  aparente  se  define  como  una  línea  que pertenece al plano estructural y es perpendicular al eje del sondeo. El ángulo Ф es el ángulo que forma la línea de dirección aparente y una línea de referencia inscrita en un plano  perpendicular  al  eje  del  sondeo.  El  ángulo  µ  es  el  ángulo  entre  el  plano estructural y el eje del sondeo medido en un plano que contiene al eje del sondeo y que es perpendicular a la línea de dirección aparente. 

 Ejemplo  1.  Un  testigo  de  sondeo  inclinado  corta  a  una  vena  pegmatítica.  La 

marca de orientación en un  lateral del  testigo es 40º/220º. ¿Cuál será  la orientación real de la vena? 

 El problema no  tiene  suficientes datos para que pueda  ser  resuelto. Podemos 

marcar la orientación de la vena en el testigo y cortar este por encima y por debajo de la vena, perpendicularmente al eje del sondeo. 

 

  

Figura 2. Marcas de orientación, líneas de referencia y ángulos utilizados en un sondeo inclinado. Ver texto para su explicación. 

 Marcamos  la  línea  AB  de  referencia  en  la  parte  superior  del  testigo, 

perpendicular a AC que es  la marca de orientación  lateral. Ambas  líneas definen un plano que contiene el eje del sondeo (Fig. 3 A). 

 La  línea  de  dirección  aparente  de  la  vena  se  determina  tomando  dos  puntos 

diametralmente opuestos (D y E) en la vena, que están a la misma distancia de la parte superior del testigo. Proyectamos en  la parte superior del testigo  la  línea que une  los dos puntos D´E´ y se cumple que DD´ y EE´ son paralelas al eje del sondeo. El ángulo entre la dirección aparente y la línea AB es el mismo que entre D´E´ y AB. Se mide este ángulo Ф y es de 20º en sentido de las agujas del reloj, luego la dirección aparente de la vena es de N20ºE. 

 

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A continuación buscamos el ángulo µ entre el eje del sondeo y la vena. Giramos el  testigo  de  forma  que  estamos  mirando  a  lo  largo  de  la  dirección  aparente  y medimos su valor que es de 30º. 

  

  

Figura 3. a). Disposición en tres dimensiones, de  los datos del sondeo. b). Resolución estereográfica del problema. Ver texto para su explicación. 

 

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Ahora  conocemos  la orientación de  la  vena  con  respecto  al eje del  sondeo. A partir  de  aquí  es  fácil  visualizar  el  problema  imaginando  que  el  eje  del  sondeo  es vertical  y  que  la  línea  AB  representa  el  norte,  por  tanto  se  ha  obtenido  una “orientación aparente” de  la vena que será N20ºE‐70ºSE  (30º+40º). Con estos datos, pasamos  a  la  proyección  estereográfica  y  resolvemos  el  problema  mediante  dos rotaciones para llevar el testigo y la vena a su posición original. 

 Proyectamos la orientación relativa de la vena y su polo (Pv). Giramos 40º en el 

sentido de las agujas del reloj alrededor de un eje vertical. Durante esta operación, la dirección aparente cambiará y el buzamiento permanecerá constante. Proyectamos el polo (Pv´) y el plano resultantes de la rotación (Fig. 3 B). 

 A continuación giramos 50º (90º‐40º) en sentido de las agujas del reloj, mirando 

hacia  el  norte,  alrededor  de  un  eje  horizontal  que  es  perpendicular  al  plano  AB  y corresponde a una dirección 220º‐90º=130º. Con este giro conseguimos que el testigo del sondeo recupere su verdadera inclinación. Colocamos el eje de giro sobre el norte o sur de la falsilla y giramos el polo y el plano 50º según los círculos menores. El plano y su polo (P´´), obtenidos después del giro, nos dan la orientación real de la vena que resulta ser N36ºE‐62ºSE. 

 Como podemos ver, en general y con un  solo  sondeo  los  resultados obtenidos 

suponiendo una serie de condiciones, pueden ser poco fiables. La seguridad se amplía  cuando tenemos dos sondeos disponibles, o mejor tres.  

 DATOS A PARTIR DE DOS TESTIGOS DE SONDEO 

  

Si el mismo plano del problema anterior se pudiera observar en dos testigos de sondeo, se puede reducir considerablemente el rango de posibles orientaciones para este plano. Dependiendo de la inclinación de los sondeos y de la presencia o ausencia de un marcador en el testigo, los caminos a seguir son distintos. 

 Si existe un marcador en  ambos  testigos, es posible usar una  combinación de 

proyecciones ortográfica y estereográfica. En el caso de que no exista tal marcador, la proyección estereográfica nos ofrece más de una posible orientación para este plano. 

 El eje de un  sondeo es una  línea, por  tanto  se proyecta en  la  falsilla  como un 

punto. El cono que define las posibles orientaciones de la estratificación alrededor del eje  del  sondeo,  intersecta  el  hemisferio  inferior  de  la  proyección  esférica  según  un círculo, que se representa en el plano ecuatorial por un círculo menor de la falsilla. 

 Caso de dos sondeos verticales 

 Ejemplo 2  (Fig. 4).  En dos  sondeos  verticales,  situados  a  lo  largo de una  línea 

horizontal de dirección N70ºE y separados entre sí 400 m, se ha podido recuperar el 

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testigo. En el sondeo más occidental se aprecia una capa guía a 200 m de profundidad, y  la misma  capa a 300 m de profundidad en el oriental.  La estratificación  forma un ángulo de 40º con el eje del sondeo en ambos casos. Hallar las posibles orientaciones de la estratificación. 

 

Dibujar  un mapa  con  la  localización  de  ambos  sondeos  (A  y  B)  a  una  escala conveniente. Sobre  la  línea horizontal que  los une, realizar un corte vertical y situar  los  sondeos  con  sus profundidades  correspondientes  (A´ y B´).  La  línea A´B´ representa el buzamiento aparente de la capa según la dirección 070º. Su valor es de 13º/070º (Fig. 4 A). 

 

Dibujar  las  secciones  verticales  de  los  conos  que  definen  las  orientaciones posibles de  la capa en cada  sondeo. Las  intersecciones de estos conos con  la superficie, definen  los extremos de  los diámetros de círculos que representan posibles  orientaciones  de  la  estratificación.  El  buzamiento  real  es  el complementario del ángulo formado por la estratificación con el eje del testigo, en este caso 50º (90º‐40º). 

 

Completar  las  secciones  circulares  de  los  conos  usando  los  diámetros obtenidos.  Las  tangentes  comunes  a  estos  círculos  definen  las  posibles direcciones de la capa. La medida de la dirección de cada una de las tangentes, nos da dos posibles soluciones: N60ºE y N80ºE (Fig. 4 B). 

 

Proyectar  el  buzamiento  aparente  (β´)  en  un  estereograma.  Usando  las direcciones obtenidas, dibujar  los círculos mayores que pasen por este punto. Cada  uno  de  estos  círculos mayores  representa  una  posible  orientación  del plano (Fig. 4 C). 

 

Las soluciones posibles son: N80ºE‐50ºN y N60ºE‐50ºS.  Caso de dos sondeos no paralelos 

Un  segundo  sondeo  hasta  el  mismo  plano  estructural,  reduce  las  posibles 

orientaciones a un máximo de cuatro, y en algunos casos, se puede llegar a la solución real.  Se  plantean  casos muy  distintos  en  función  de  la  existencia  de  un  nivel  guía identificable y de la inclinación de ambos sondeos. 

 Como ya se ha explicado, para un sondeo inclinado los conos que representan las 

posibles orientaciones de  la estratificación, cortan a  la esfera de proyección según un círculo. Las posibles orientaciones de las normales a la estratificación también generan un  cono  alrededor  del  eje  del  sondeo  y  el  ángulo  apical  de  este  cono  es  el complementario del ángulo apical del cono formado por las posibles orientaciones de la estratificación (Fig. 1). 

 En la práctica, se utiliza el cono generado por las posibles orientaciones de polos 

de estratificación. Este cono  intersecta  la esfera de proyección según un círculo y se 

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proyecta en el esterograma como un círculo de posibles polos. Dos círculos de posibles polos  para  dos  sondeos  inclinados,  se  cortan  en  puntos  que  dan  las  posibles orientaciones de polos de estratificación. 

 

  

Figura  4.  a) Mapa  de  localización  de  los  sondeos.  b)  Secciones  circulares  de  los  conos  y  posibles direcciones de la capa. C) Estereograma con las dos posibles soluciones. Ver texto para su explicación. 

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Ejemplo 3. Sobre una línea horizontal de orientación 160º, se han recuperado los testigos de dos sondeos inclinados, separados entre sí 100 m. El eje del primer sondeo, orientado 030º/50º, encuentra una capa guía a 25 m de profundidad y el ángulo eje de sondeo–estratificación es de 48º. El eje del segundo, orientado 220º/55º, encuentra la misma  capa  guía  a  45 m  de  profundidad,  y  el  ángulo  eje‐estratificación  es  de  54º. Hallar la orientación de la estratificación. 

 

Proyectar los ejes del primer y segundo sondeo, puntos 1 y 2 en el esterograma (Fig. 5 A). 

 

El ángulo entre el polo de  la estratificación y el eje del sondeo será 90º‐48º = 42º y 90º‐54 = 36º para el primer y segundo sondeos, respectivamente. 

 

Colocar  cada  sondeo  sobre  el  diámetro  E‐O  de  la  falsilla,  y  contar  el  ángulo correspondiente en ambas direcciones. Así obtenemos el diámetro del círculo de posibles polos para cada sondeo. Calculamos su punto medio y dibujamos con el compás los círculos correspondientes a cada sondeo. 

 

Ambos  círculos  se  cortan  en  dos  puntos  (A  y  B),  que  corresponden  a  las  orientaciones  de  los  polos  de  estratificación.  Por  tanto,  hay  dos  posibles soluciones: N30ºE‐18ºSE  y N40ºE‐14ºNO,  sin  que  esta  proyección  nos  pueda decir cuál de las dos corresponde al plano buscado. 

 El mismo problema  y  todos  los problemas de  sondeos,  se pueden  resolver en 

proyección esterográfica, mediante el siguiente método (Fig. 5 B).  Una vez proyectados los dos ejes de los sondeos en el estereograma, si llevamos 

estos  ejes  a  la  horizontal,  podemos  dibujar  directamente  los  círculos  menores correspondientes  a  los  conos,  y  no  es  necesario  utilizar  el  compás.  La  forma  de proceder es la siguiente: 

 

Proyectamos los ejes de los sondeos (1 y 2) y los llevamos a la horizontal (1´ y 2´ sobre  la primitiva). Para colocarlos en  la horizontal, en el caso de dos ejes, se hacen coincidir en un círculo mayor y este se pone horizontal. En el caso de más de dos ejes, se van poniendo horizontales por parejas. 

 

Llevamos el primer eje, ya horizontal, al diámetro N‐S de la falsilla, contamos el valor del ángulo apical (ángulo formado entre el eje del sondeo y el polo de la estratificación)  correspondiente  y  dibujamos  el  círculo menor  tanto  desde  el norte como desde el sur. 

 

La misma operación para el segundo eje.  

Los  círculos menores  obtenidos  se  cortan  en  dos,  tres  o  cuatro  puntos  que corresponden  a  la  posición  de  los  polos  del  plano  buscado,  pero  girados  un ángulo igual al que hemos rotado para poner los ejes en la horizontal. 

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Figura 5. a) Cálculo de las dos posibles orientaciones de los polos de estratificación (A y B). b) El mismo cálculo  anterior,  mediante  rotación  alrededor  de  ejes  inclinados.  c)  Comprobación  mediante proyección ortográfica, y búsqueda del resultado válido entre los dos obtenidos. 

 

Llevamos  los  ejes  nuevamente  a  sus  posiciones  originales  1  y  2.  Los  polos obtenidos A y B, se mueven los mismos grados y en el mismo sentido hasta A´ y B´ respectivamente, que corresponden a las posibles orientaciones de los polos del  plano  estructural.  Hemos  efectuado  una  rotación  alrededor  de  un  eje inclinado, que es el eje del sondeo. 

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Este mismo método  se  repite  en  los  problemas  de  tres  o más  testigos  de sondeos. 

 El problema anterior, resuelto por este método, se observa en la figura 5 B.    Para  decidir  cuál  de  las  dos  orientaciones  es  la  válida,  podemos  resolver  un 

sencillo  problema  en  proyección  ortográfica,  utilizando  los  datos  del  terreno  y  los obtenidos en la proyección estereográfica (Fig. 5C). 

 

Dibujar en un papel un mapa a escala conveniente, definir un norte y colocar las localizaciones de los sondeos y sus orientaciones. 

 

Para cada sondeo, abatir la sección vertical a la horizontal y dibujar el ángulo de inmersión del sondeo y la distancia de este al plano estructural:  

 AC = 25 m; BD = 45 m. 

 

Completar los triángulos rectángulos para obtener las proyecciones (A´y B´) de las  intersecciones  sondeo‐capa  y  las  profundidades  a  las  que  se  encuentran: A´C = 19m; B´D = 37 m. 

 

Usando  A´B´  como  línea  de  abatimiento,  construimos  una  sección  vertical llevando  las  profundidades  anteriores.  Obtenemos  los  puntos  A´´  y  B´´.  La pendiente  de  la  línea  que  une  estos  dos  puntos,  nos  indica  un  buzamiento aparente (β´): 8º según la línea A´B´ de dirección 177º. 

 

Este  buzamiento  aparente  solo  es  compatible  con  el  plano  de  orientación N30ºE‐18ºSE, luego este será el resultado buscado. 

  

DATOS A PARTIR DE TRES TESTIGOS DE SONDEOS   Tres  sondeos  no  paralelos  nos  pueden  llevar  a  determinar  la  orientación  de  un 

plano estructural, independientemente de que haya o no un nivel guía presente. Como se ha  visto,  si  existe  un  nivel  guía,  solo  necesitamos  dos  sondeos  para  conocer  su orientación. Cuando un nivel guía está presente, el tercer sondeo da poca  información, pero se puede usar para comprobar la solución obtenida. El punto de intersección de los círculos de polos de  los  tres  sondeos en un estereograma, da un único polo del plano estructural cuya orientación se busca. 

 Ejemplo 4. Tres sondeos no paralelos tienen las siguientes orientaciones y ángulos 

eje‐estratificación: A: N45ºO/29º; 39º.   B: 193º/51º; 41º y C: N55ºE/46º; 51º. Hallar  la orientación de la estratificación. 

 

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Proyectar  los  ejes  de  sondeo  en  un  estereograma.  Observar  que  los  tres corresponden a ejes inclinados (Fig. 6 A). 

 

  Figura 6. Cálculo de  la orientación de un plano a partir de  tres  sondeos  inclinados. a) El punto de intersección de los tres círculos correspondientes a los tres sondeos, es el polo del plano buscado. b) Resolución mediante rotación alrededor de ejes inclinados, para los sondeos A y B. 

 

Para cada uno de ellos, el ángulo entre el polo de  la estratificación y el eje del sondeo,  será  el  ángulo  complementario  al  medido  entre  eje  del  sondeo  y estratificación. Para A, 90º‐39º=51º. Para B, 49º y para C, 39º. 

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Colocar  sucesivamente  cada  uno  de  los  sondeos  sobre  el  diámetro  E‐O  de  la falsilla  y  contar  a  ambos  lados el  ángulo  correspondiente. Con el diámetro del círculo obtenido, pintamos el círculo para cada uno de los tres sondeos. 

 

Los  tres  círculos de polos  se  cortan en un punto, que  representa el polo de  la estratificación. La orientación del plano es N75ºE‐13ºS. 

 Podemos  resolver  el  mismo  problema  mediante  rotaciones  alrededor  de  ejes 

inclinados, sin necesidad de compás, como se ha explicado antes (Fig. 6 B).  

Una vez proyectados  los ejes de  los sondeos, colocamos en un círculo mayor  los correspondientes a A y B. Rotamos este círculo a  la horizontal y obtenemos  los puntos A´ y B´. 

 

Colocamos  A´  sobre  el  diámetro  N‐S  y  dibujamos  el  círculo  menor  de  51º. Colocamos B´ sobre el mismo diámetro y pintamos el círculo menor de 49º. Estos dos círculos se cortan en cuatro puntos (1, 2, 3 y 4). 

 

Rotamos  el  plano  que  contiene  a  A´  y  B´  a  su  posición  original.  A´  pasa nuevamente a su posición A y B´ a B. Los polos 1, 2, 3 y 4 se mueven a lo largo de sus círculos menores los mismos grados y en el mismo sentido. 

 

La misma operación para B y C y para A y C. Vamos obteniendo sucesivos puntos de corte. (Fig. 6 C y D). 

 

Al  final,  superponiendo  los  transparentes  de  los  tres  diagramas  (haciendo coincidir  el  norte),  se  observa  que  hay  puntos  coincidentes  situados prácticamente en el centro del estereograma, que dan  la posición del punto de intersección de  los círculos de polos para  los tres sondeos  (Fig. 6 E). Este punto (P),  tomado  como  orientación media  de  los  polos  obtenidos,  es  el  polo  de  la estratificación  y  su  orientación,  la misma  que  hemos  obtenido  por  el método anterior. 

  

CONCLUSIONES   

De  lo  anteriormente  explicado  se  deduce,  que  con  un  solo  sondeo,  es  casi imposible  llegar a conocer  la orientación de una capa, a no  ser que  tengamos datos adicionales.  Sin  embargo,  la  existencia  de  dos  sondeos  hasta  el  mismo  plano estructural,  reduce  las posibles  orientaciones  a  un máximo  de  cuatro,  y  en muchos casos se puede establecer  la real. La existencia de tres sondeos, permite conocer con una mayor fiabilidad la orientación del plano estructural buscado. 

    

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Figura 6 (cont.). c) Rotación alrededor de ejes inclinados, para los sondeos B y C. d) Rotación alrededor de ejes inclinados, para los sondeos A y C. 

  

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Figura  6  (cont.).  e)  Estereograma  con  la  posición  del  polo  del  plano  buscado.  Ver  texto  para  su explicación. 

  En ocasiones, la resolución de estos problemas pasa por un primer estudio de los 

datos  mediante  proyección  ortográfica.  Los  ángulos  obtenidos  mediante  esta proyección, se utilizan posteriormente en la proyección estereográfica para resolver el problema o bien para decidir cuál es la solución válida.  

 PROBLEMAS 

  

Problema 1  

Sobre un terreno horizontal de dirección E‐O, se realizan dos sondeos verticales con una distancia de 350m entre ambos. En el  sondeo occidental  se encuentra una capa guía a 100 m de profundidad y la misma capa, en el oriental, a 250 m. En ambos sondeos,  la estratificación  forma un  ángulo de 30º  con el eje del  sondeo. Hallar  las posibles orientaciones de la capa guía.  

La resolución del problema mediante proyección ortográfica, sería la siguiente:  

En una hoja de papel, situar los sondeos (A y B) con una escala adecuada.  

Abatir el plano vertical a  la horizontal, utilizando como eje de abatimiento  la línea  que  los  une.  Dibujar  la  sección  vertical  para  cada  sondeo  con  las 

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profundidades a las que aparece la capa guía (Fig. 7 A). Obtenemos los puntos A´ y B´. 

 

Dibujar  la  línea  que  conecta  los  dos  puntos  de  la  capa  guía  y  medir  el buzamiento aparente según esa dirección. Su valor es de 25º. 

 

Dibujar  el  corte  transversal  del  cono  formado  al  rotar  la  estratificación alrededor  del  eje  del  testigo.  El  buzamiento  real  es  el  complementario  del ángulo formado por la estratificación con el eje del testigo. 

 

Dibujar  los  círculos  correspondientes  a  estos  conos.  Las  tangentes  a  estos círculos definen las dos orientaciones posibles de la capa guía, que en este caso son: N75ºE‐ 60ºS y 105º‐60ºN. 

 Para resolver el mismo problema mediante proyección estereográfica, partimos 

del valor del buzamiento aparente obtenido mediante proyección ortográfica (Fig. 7 B).  

Proyectamos en el estereograma este buzamiento aparente, 090º/25º.  

Sabiendo que el buzamiento real es de 60º, movemos el transparente sobre la falsilla  hasta  obtener  un  plano  que  tenga  este  buzamiento  y  contenga  al buzamiento aparente anterior. 

 

Se repite el mismo proceso para el otro posible plano.  

Obtenemos las mismas orientaciones que ya se han indicado.   Problema 2  

La distancia entre dos sondeos, medida en la horizontal según una dirección E‐O, es  de  350  m.  El  sondeo  occidental  es  vertical  y  el  ángulo  formado  entre  la estratificación y el eje del sondeo es de 25º. El sondeo oriental está inclinado 45ºO y el ángulo  entre  el  eje del  sondeo  y  la  estratificación  es de 15º.  En  el  afloramiento no aparece ninguna capa guía. Hallar las posibles orientaciones de la estratificación. 

 

En una hoja de papel construimos el corte vertical donde se observe el sondeo inclinado. 

 

No  existe  capa  guía,  por  tanto  cualquier  sondeo  vertical  nos  da  la  misma información. Elegimos una posición arbitraria que corte al sondeo  inclinado a una profundidad determinada (D). (Fig. 8 A). 

   

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Figura  7.  Resolución  del  problema  1.  a) Mediante  proyección  ortográfica.  b) Mediante  proyección estereográfica. Ver texto para su explicación. 

  

La intersección del cono correspondiente al sondeo vertical con la superficie, es un círculo, que se puede dibujar directamente a partir del corte vertical. 

 

La  intersección del  cono  inclinado con  la  superficie es una elipse. Para poder dibujarla  hay  que  conocer  las  longitudes  de  sus  ejes mayor  y menor.  El  eje mayor es AC,  centrado en el punto medio B entre A y C.  La  longitud del eje menor corresponde a  la medida de  la  línea XY, que pasa por B. Esta  línea está 

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en la sección circular que se dibuja utilizando como centro el eje del cono (R) y como diámetro la longitud EF, que pasa por B y es perpendicular a R (Fig. 8 B). 

 

Conocida la longitud de ambos ejes, se dibuja la elipse.  

  

Figura 8. Resolución del problema 2. Ver texto para su explicación.  Como se observa en el dibujo  final, hay cuatro posibles soluciones. El valor del 

ángulo  de  buzamiento  será  el  complementario  de  25º,  o  sea,  65º.  Trazamos  las tangentes  tanto  al  círculo  como  a  la  elipse  y  obtenemos  las  cuatro  posibles orientaciones  de  la  capa,  que  son: N86ºO‐65ºS; N86ºE‐65ºN; N26ºO‐65ºO  y N26ºE‐65ºO (Fig. 8 A). 

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Esta  técnica de  construir  las  trazas  superficiales de  los  conos  resultantes de  la rotación  de  la  estratificación,  se  puede  utilizar  para  todos  los  casos  posibles  de sondeos.  Siempre  que  tengamos  dos  sondeos,  las  tangentes  comunes  a  las  dos secciones cónicas, definen las orientaciones posibles del plano buscado. 

 Hay cuatro posibilidades (Fig. 9):   

Una sola orientación:  las dos elipses y/o círculos (uno está  inscrito en el otro), tienen un punto de tangencia. 

 

Dos  orientaciones:  las  dos  elipses  y/o  círculos  se  cortan  y  se  obtienen  dos tangentes a ellas. 

 

Tres orientaciones:  las dos elipses y/o círculos  tienen un punto de  tangencia. Existe una tangente en ese punto y dos tangentes externas. 

 

Cuatro orientaciones: dos  tangentes externas y dos  internas a  las dos elipses y/o círculos. 

  Problema 3  

En el afloramiento se observa una superficie de estratificación orientada N50ºE‐50ºNO.  Al  efectuar  un  sondeo  inclinado  45ºE,  ¿cuál  será  el  ángulo  entre  la estratificación y el eje del sondeo?  

Situar en el estereograma el sondeo y el polo de la estratificación.  

Trazar el círculo mayor que contiene a estos dos puntos y medir el ángulo que forman entre ellos. Su valor es de 36º, por tanto el ángulo que forma el eje del sondeo con la estratificación, será el complementario de 36º, o sea, 54º.  

Con este dato y si fuera necesario para posteriores cálculos, podemos dibujar en el estereograma el cono que  representa el polo de  la estratificación en el  testigo. A partir del punto que define el sondeo, contamos 36º a ambos lados, sobre el diámetro vertical E‐O de la falsilla. Hallamos el punto medio de la distancia entre estos puntos y trazamos el círculo correspondiente, que debe pasar por el polo de  la estratificación (Fig. 10). 

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Figura 9. Posibles orientaciones del plano estructural buscado, a partir de los datos obtenidos en dos sondeos. Ver texto para su explicación. 

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Figura 10. Resolución del problema 3. Ver texto para su explicación. 

  

BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA   Davis, G. H. 1984. Structural Geology of rocks and Regions. Wiley & Sons. 492 pp.  Lheyson,  P.  R.;  Lisle,  R.  J.  1996.  Stereographic  projection  techniques  in  Structural 

Geology. Butterworth‐Heinemann Ltd. Oxford. 104 pp.  Marshak, S & Mitra, G. 1982. Basic methods of structural geology. Prentice & Hall. 446 

pp.  Phillips, F. C. 1971. The use of stereographic projection  in Structural Geology. Edward 

Arnol. London. 90 pp.  Ragan, D. M. 1987. Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona. 210 pp.  Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw 

Hill. New York. 545 pp.   Recibido: 18 noviembre 2009. Aceptado: 22 diciembre 2009. 

 

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Problemas de Geología Estructural

7. Pliegues

Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.

1Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas.

Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040-Madrid. [email protected]

2Área de Geología-ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933-Móstoles.

[email protected]

Resumen: Las estructuras plegadas constituyen la deformación dúctil más frecuente en Geología, y por tanto es uno de los elementos más representados en Geología Estructural. El empleo de la proyección estereográfica para representar elementos tales como flancos del pliegue, líneas de charnela o planos axiales resulta muy útil por su facilidad para obtener las relaciones angulares entre estos elementos. Además, cuando existe superposición de diversas fases de plegamiento y/o el número de pliegues a representar es elevado, la proyección estereográfica constituye la técnica de mayor utilidad. Palabras clave: Pliegue. Flanco. Charnela. Plano axial. Superposición de pliegues.

PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS SUPERFICIES PLEGADAS. DEFINICIONES

Una superficie plegada se caracteriza por su forma continua curvada, cóncava o convexa. Esta estructura será visible en todas aquellas rocas que presenten superficies planares, como es la estratificación en rocas sedimentarias o la foliación en rocas metamórficas, y hayan sufrido una o varias fases de plegamiento.

Los pliegues son manifestaciones de la deformación dúctil en la superficie de la

tierra, y se forman en rocas ígneas, sedimentarias y metamórficas como respuesta a los esfuerzos aplicados asociados con movimientos de placas y formación de cinturones montañosos. Su geometría es variable y refleja la reología de la roca, las condiciones de deformación y el radio de la deformación.

Aparecen a todas las escalas como estructuras aisladas o formando parte de un

sistema de plegamiento, y son el resultado de una deformación continua. Su afloramiento en una topografía determinada da lugar a gran diversidad de formas, siendo un problema a menudo difícil el reconocer los distintos diseños de corte obtenidos para el mismo pliegue, según sea la dirección del corte. Como ejemplo, podemos considerar un conjunto de pliegues aproximadamente cilíndricos (Fig. 1). Un

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corte perpendicular al eje del cilindro, dibuja una sección circular de curvatura constante. Un corte vertical, produce en dos dimensiones una sección elíptica y un corte horizontal, equivalente a un mapa, dibuja otra sección elíptica de distinta amplitud y curvatura que la anterior.

Figura 1. Secciones circulares y elípticas, resultantes de cortes del pliegue con planos de distinta orientación.

Dado que existe variación de curvatura según la orientación del corte efectuado,

la dificultad para el análisis de pliegues en tres dimensiones puede ser importante. La proyección estereográfica ayuda a este análisis mediante el estudio de las orientaciones de los distintos elementos determinantes en la descripción de los pliegues, que junto con su forma, van a definir completamente el pliegue. Estos elementos son los siguientes:

Flancos. Partes de la superficie plegada comprendidas entre dos zonas de charnela sucesivas.

Línea de charnela. Línea de máxima curvatura de la superficie plegada.

Eje de pliegue. Línea imaginaria, que moviéndose paralelamente a sí misma en el espacio, genera la superficie plegada. Tiene orientación, pero no localización. En pliegues cilíndricos coincide con la línea de charnela.

Superficie axial o Plano axial. Superficie que contiene a las sucesivas líneas de charnela de todos los estratos plegados. Para su estudio, se asimila a un plano.

Ángulo interflancos. Ángulo que forman entre si los dos flancos del pliegue, medido en un plano perpendicular a ellos. De los dos ángulos posibles, agudo y

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obtuso, el ángulo interflancos es el que contiene al plano axial del pliegue. Si no se conoce la orientación del plano axial, se asimila al plano bisector de este ángulo en una de sus dos posibilidades: mayor o menor de 90º. Se elegirá el que proceda en función de las características del pliegue.

Conocidas las orientaciones de estos elementos geométricos, podemos definir

perfectamente el pliegue, su vergencia, simetría, forma, etc. Es importante tener en cuenta que la proyección estereográfica no va a distinguir entre un anticlinal y un sinclinal que tengan flancos con la misma orientación, simplemente nos va a definir su forma y la orientación de sus elementos en el espacio.

Para orientar en el espacio los flancos del pliegue, mediremos en el campo

dirección y buzamiento como hacemos con cualquier plano, o bien sentido de buzamiento y buzamiento. De la misma forma orientamos la superficie axial del pliegue, ya que para nuestro estudio se va a asimilar a un plano.

En un pliegue cilíndrico, la línea de charnela y el eje del pliegue tendrán la misma

orientación, que vendrá definida bien mediante dirección e inmersión, dirección y cabeceo sobre el plano axial del pliegue, como línea de intersección de los flancos del pliegue, etc. Son válidos todos los métodos conocidos para determinar la orientación de una línea en el espacio.

A continuación, se van a exponer los procedimientos para obtener la orientación

de los distintos elementos del pliegue, utilizando los datos obtenidos en el campo y su representación en proyección estereográfica.

MEDIDA DE LA ORIENTACIÓN DE LA LÍNEA DE CHARNELA DEL PLIEGUE

En muchas ocasiones, el afloramiento no permite medir directamente la línea de charnela, porque el pliegue no está expuesto de forma tridimensional. Si existe algún relieve local que permita la exposición del pliegue en tres dimensiones, se podrá medir directamente la orientación de la línea de charnela.

En pliegues cilíndricos, la orientación de la línea de charnela y del eje del pliegue

coinciden, por tanto se habla de eje de pliegue como concepto más universal dentro del propio pliegue. En el caso de los pliegues cónicos, no existe el concepto de eje de pliegue tal como se ha enunciado, por tanto se hablará de orientación de línea de charnela a la hora de definir la geometría del pliegue.

Para obtener la orientación de la línea de charnela/eje de pliegue, se miden en el

campo superficies de estratificación (dirección y buzamiento) correspondientes a los dos flancos, como mínimo, una medida de cada flanco. El procedimiento es el siguiente:

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Proyectamos las medidas obtenidas en el campo para los flancos del pliegue.

Estos planos se cortan en un punto. Este punto representa su línea de corte, por tanto es la línea de charnela del pliegue. Medimos su dirección, inmersión y/o cabeceo sobre cada uno de los planos de estratificación proyectados.

Si resolvemos el problema mediante proyección polar:

Proyectamos los polos correspondientes a las medidas de los dos flancos.

Buscamos el círculo mayor que contiene a los polos.

El polo de este círculo mayor corresponde a la línea de charnela del pliegue. Medimos su orientación.

Cuando existen muchas medidas de estratificación en ambos flancos y zona de

charnela, es posible que todos los círculos mayores correspondientes a estas medidas no se corten exactamente en el mismo punto, pero sí en puntos muy próximos que nos definen un área muy pequeña. Tomamos como línea de charnela el punto medio de esta área. En proyección polar, no todos los polos van a estar exactamente en el mismo plano. Ajustamos los polos lo más aproximadamente posible a un círculo mayor, y su polo definirá la línea de charnela.

Ejemplo 1. En un área de escaso afloramiento, se observan dos flancos de un

pliegue con orientaciones: 090º-24ºS y N30ºE- 42ºNO. Hallar la orientación de la línea de charnela del pliegue.

Siguiendo el procedimiento anteriormente enunciado, proyectamos ambos flancos, bien mediante sus círculos mayores o en proyección polar (Fig. 2).

El punto de corte de ambos círculos (línea de corte de ambos flancos), es la línea de charnela, o bien el polo del plano que contiene a los dos polos de los flancos.

Leemos la orientación correspondiente y los ángulos de cabeceo sobre los flancos.

Línea de charnela (β): 234º/14º Cabeceos sobre los flancos: 38ºO y 29ºS.

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Figura 2. Resolución del ejemplo 1 del texto, mediante proyección ciclográfica. Ver texto para su explicación.

MEDIDA DE LA ORIENTACIÓN DEL PLANO AXIAL DEL PLIEGUE

Hay que recordar que para dibujar un plano en proyección estereográfica cuando su orientación no es conocida, es necesario partir de dos líneas perfectamente orientadas pertenecientes a este plano, bien sean dos buzamientos aparentes u otra dos líneas contenidas en el plano. Proyectadas estas dos líneas, el plano buscado será aquel círculo mayor que las contenga.

En el caso del plano axial de un pliegue, sabemos que contiene a la línea de

charnela, pero es necesario conocer una segunda línea para poder orientar el plano en el espacio. Si no podemos obtener este dato en el afloramiento, suponemos, aunque no siempre es cierto, que el plano axial es el plano bisector del ángulo formado por los dos flancos del pliegue (ángulo interflancos). Conocido este ángulo y su punto medio, el plano axial será aquel que contenga a la línea de charnela y a este punto medio. La forma de proceder es la siguiente:

Proyectamos los dos flancos del pliegue como en el caso anterior, y la línea de charnela (β) será la línea de corte de los dos flancos.

Dibujamos el plano perpendicular a los dos flancos para poder medir el ángulo entre ellos, de la siguiente manera:

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Colocamos la línea de charnela sobre el diámetro E-O de la falsilla y dibujamos el plano que está a 90º de ella, contados sobre este diámetro, o bien.

Dibujamos los polos correspondientes a los dos flancos y el plano que los

contiene. Este plano es perpendicular a los dos flancos.

En este plano, colocado sobre un círculo mayor, contamos el valor del ángulo interflancos. Hay que tener en cuenta que siempre van a existir dos ángulos, uno agudo y otro obtuso. El estilo del pliegue nos dirá cual de los dos ángulos es el válido en cada caso.

Marcamos el punto medio del ángulo. Con este punto y la línea de charnela dibujamos el plano que los contiene, que corresponde al plano axial del pliegue, y medimos su orientación.

Ejemplo 2. Con los mismos datos del problema anterior, hallar la orientación del

plano axial del pliegue. En el campo se ha visto que los planos axiales tienden a la vertical.

Continuamos con el estereograma anterior, y dibujamos el plano perpendicular a los dos flancos por cualquiera de los procedimientos expuestos (Fig. 3).

A lo largo de este plano contamos el valor del ángulo interflancos, en este caso para el ángulo obtuso, ya que el plano axial se acerca a la vertical.

Con el punto medio de este ángulo (133º) y la línea de charnela, dibujamos el plano axial del pliegue, que tiene una orientación de 054º-82ºSE.

Observar en la figura, que el plano axial correspondiente al ángulo interflancos

agudo, tiene un ángulo de buzamiento pequeño, está próximo a la horizontal, por tanto no satisface las condiciones del problema.

ESTEREOGRAMAS CORRESPONDIENTES A PLIEGUES CILÍNDRICOS Si dividimos la superficie de un pliegue cilíndrico en porciones, cada una de ellas

contiene una línea que es paralela al eje del pliegue. Dos planos tangentes a la superficie plegada, se cortarán según una línea paralela al eje del pliegue.

Todas las medidas de estratificación tomadas en la superficie plegada,

corresponden a una serie de círculos máximos que representan las orientaciones de esta superficie en diferentes puntos del pliegue, y todos ellos se cortan en un punto común que representa el eje del pliegue. Este punto se identifica con la letra griega β.

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Figura 3. Resolución del ejemplo 2 del texto, mediante proyección ciclográfica. Ver texto para su explicación.

En la práctica, los pliegues reales no son perfectamente cilíndricos, por tanto los

círculos máximos no se cortan en un punto común y la orientación del eje del pliegue puede ser subjetiva. En este caso, es aconsejable realizar un diagrama de polos con las medidas obtenidas en el afloramiento, conocido como diagrama π. El círculo mayor que contiene a todos los polos, se conoce como círculo π.

En un pliegue cilíndrico, cada uno de los polos es perpendicular al eje del pliegue,

por tanto los polos son paralelos a un plano perpendicular al eje del pliegue. Todos los polos se disponen aproximadamente sobre un mismo círculo mayor, cuyo polo representa la orientación del eje del pliegue / línea de charnela (Fig. 4).

Un diagrama π puede darnos más información acerca de la forma del pliegue.

Por ejemplo, en un pliegue con charnela redondeada, la densidad de puntos será uniforme a lo largo del círculo π. En el caso de un pliegue con flancos planares y charnela angular, aparecerán dos concentraciones máximas de puntos correspondientes a los dos flancos y el ángulo entre estos máximos nos define el valor del ángulo interflancos. Los modelos de estereograma pueden ser muy variados según la forma y geometría del pliegue (Babín y Gómez, 2010).

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Figura 4. a) Pliegues cilíndricos en tres dimensiones, con un conjunto de líneas perpendiculares a la superficie de estratificación en esos puntos. b) Representación estereográfica de dichas líneas (polos), para hallar la orientación del eje del pliegue.

ESTEREOGRAMAS CORRESPONDIENTES A PLIEGUES NO CILÍNDRICOS Si la superficie plegada es cónica con un valor µ (ángulo apical para el cono)

conocido, cada polo forma un ángulo de (90º - µ/2) con respecto al eje del cono, por tanto, los polos de las superficies de estratificación generan un cono coaxial con un ángulo apical de (180º-µ). Esto quiere decir que los polos definen un círculo menor cuyo centro representa el eje del cono. Este eje puede ser rotado a la primitiva y los círculos menores de la falsilla se usan para analizar las relaciones angulares en el pliegue (Fig. 5 A y B).

En pliegues no cilíndricos y no cónicos, tanto la superficie axial como el eje del

pliegue varían de orientación y la construcción de los diagramas π da como resultado varias orientaciones posibles para el eje del pliegue. Esta geometría es frecuente en áreas de plegamiento superpuesto, donde para analizar los pliegues es conveniente subdividir la zona en dominios de pliegues cilíndricos. En pliegues no cilíndricos planos, la superficie axial es un plano de orientación constante, mientras que la orientación del eje del pliegue es variable. La orientación del plano axial se define como la correspondiente al círculo mayor que contiene los ejes de los distintos dominios de pliegues cilíndricos.

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PLEGAMIENTO SUPERPUESTO. ANÁLISIS CON DIAGRAMAS π Hablamos de plegamiento superpuesto cuando existe una fase de plegamiento

que pliega a otra anterior. Dependiendo de su orientación, esta última puede dar lugar a reorientación de los pliegues anteriores.

Figura 5. a) pliegue cónico con un valor de ángulo apical de µ. b) El mismo pliegue con el eje del cono rotado a la primitiva. En ambos casos, los polos de la estratificación están contenidos en un círculo menor de la falsilla.

En áreas de plegamiento superpuesto, hay múltiples generaciones de pliegues

acompañados por distintos conjuntos de clivajes (esquistosidad, foliación). Cada uno de estos conjuntos, definido por una orientación determinada, nos muestra la orientación del plano axial de una generación de pliegues en particular. Analizando un área de plegamiento superpuesto, el primer paso es reconocer y definir dominios de plegamiento cilíndrico para una foliación. La foliación analizada puede tener diferente orientación en distintos dominios.

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La primera orientación que debe ser medida en el área, es la correspondiente a la estratificación, que generalmente se nombra como S0. Las foliaciones sucesivas se nombran S1, S2, etc., de forma que la segunda ha plegado a la primera y a la estratificación y la primera ha plegado únicamente a la estratificación. La letra S nos define un plano (estratificación, foliación, esquistosidad, clivaje) y el subíndice la fase de plegamiento correspondiente dentro del conjunto de fases de plegamiento en una orogenia.

La geometría de las estructuras resultantes de la superposición de dos conjuntos de

pliegues, puede ser muy compleja, y su análisis resulta relativamente sencillo utilizando métodos basados en la proyección estereográfica.

Vamos a considerar una primera generación de pliegues de S0 (Fig. 6 A). La

estratificación tiene diferentes orientaciones en ambos flancos del pliegue. La línea de charnela de esta primera fase es la línea de intersección de los dos flancos y la foliación desarrollada durante este plegamiento será S1, con la misma orientación que el plano axial del pliegue.

El plegamiento de segunda fase tiene un plano axial S2, con la orientación que se

observa en la figura 6 B. Los pliegues de segunda fase pueden ser de dos tipos: pliegues F2 de la estratificación y pliegues F2 de una foliación de plano axial. Para conocer su geometría, debemos tener en cuenta:

Superficies axiales. S1 es una superficie curvada plegada durante F2, sin embargo S2 tiene una orientación constante. Este criterio nos sirve de ayuda para distinguir las edades relativas de dos fases de plegamiento superpuestas.

Líneas de charnela. La correspondiente al primer plegamiento está curvada, deformada por F2. Las líneas de charnela correspondientes a la segunda fase desarrollada en la estratificación, tienen una variedad de orientaciones dependiendo del flanco del pliegue de primera fase en el que se han formado.

Si llevamos a la proyección todos los datos correspondientes a una estructura

polideformada, pueden dar lugar a figuras complejas difíciles de analizar. Por ejemplo, los polos de estratificación pueden aparecer dispersos, sin dibujar un círculo máximo característico de estructuras de geometría cilíndrica. En general, existen dominios dentro de la estructura en los que los elementos estructurales muestran una orientación constante. La interpretación estructural es mucho más sencilla si se separan los estereogramas por dominios o subáreas donde se cumplen estas características.

Límites de dominios

La figura 6 A muestra el mapa geológico de una estructura después de un primer

plegamiento y en la figura 6 B se observan las pautas de un plegamiento superpuesto de forma sencilla. La estratificación S0 se deforma dando lugar a pliegues F1 con planos axiales y clivaje (S1) asociados, de dirección N-S. Las trazas axiales sirven para dividir el

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área mediante las orientaciones de los dos flancos de los pliegues F1 en dos subdominios: un flanco buza al este y el otro al oeste.

Figura 6. a) Serie plegada y estereograma resultante. b) Segunda fase de plegamiento, reorientación de los elementos estructurales y definición de dominios.

Después de la segunda fase de plegamiento (Fig. 6 B), las superficies de

estratificación, planos axiales y superficies de clivaje aparecen replegados. Los pliegues F2 tienen un plano axial S2 con dirección E-W y las trazas axiales, en combinación con las de F1, dividen cada uno de los dominios anteriores en dos subdominios. En ambos casos,

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para F1 y F2, los límites de los dominios están definidos por las trazas axiales de los diferentes conjuntos de pliegues. Podemos diferenciar cuatro dominios nombrados en el dibujo como 1, 2, 3 y 4.

Dominios homogéneos respecto a un elemento estructural

S2 es constante a lo largo de toda la estructura correspondiente a la figura 6 B, por

tanto los cuatro dominios definidos anteriormente, son homogéneos con respecto a S2. Las líneas de charnela de los pliegues F2 de la estratificación, tienen una orientación dada por la intersección de S0 y S2. Hay dos dominios con respecto a la orientación de la línea de charnela, como se observa en los estereogramas: en los dominios 1 y 3 la orientación de la charnela es la misma, con inmersión hacia el N, mientras que en los dominios 2 y 4, la inmersión es hacia el S. El mismo razonamiento se puede hacer para los restantes elementos del pliegue final, buscando dominios homogéneos con respecto a un elemento geométrico definido.

CONCLUSIONES

Los problemas de relaciones angulares entre líneas y planos, aunque pueden resolverse por métodos de geometría descriptiva, son obvias las ventajas obtenidas al utilizar la proyección estereográfica. El método es mucho más rápido, sencillo y no necesita gran cantidad de dibujos con abatimientos, proyecciones sobre el plano horizontal, etc., propios de la proyección ortográfica. En el caso de superposición de plegamientos, la proyección estereográfica es el método más utilizado por los geólogos estructurales para definir los elementos geométricos de los distintos pliegues y ordenar las fases de plegamiento en el tiempo.

PROBLEMAS

Problema 1

En un pliegue cilíndrico, se ha podido medir un conjunto de superficies de estratificación que corresponden a los dos flancos del pliegue y zona de charnela. Hallar la orientación del eje del pliegue.

360º-30ºE; N30ºE-28ºSE; 336º-40ºE; N68ºE-36ºSE; 315º-60ºNE; N95ºE-56ºS.

Si resolvemos el problema mediante proyección ciclográfica (Fig. 7 A),

observamos que todos los círculos mayores se cortan en un punto. Este nos define la orientación del eje del pliegue y de la línea de charnela (β).

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Si proyectamos los polos de los planos de estratificación, todos ellos están contenidos en un plano (círculo mayor) cuyo polo corresponde al eje del pliegue pedido (Fig. 7 B). En ambos casos, el eje del pliegue tiene una orientación de 116º/27º.

Figura 7. Resolución del problema 1. a) Mediante proyección ciclográfica. b) Mediante proyección polar.

Problema 2

En un estudio de campo, aparece un anticlinal tumbado con inmersión. La traza axial del pliegue tiene una orientación de N45ºO y las medidas de estratificación se detallan a continuación. Calcular la orientación del eje del pliegue y de su plano axial.

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Medidas de estratificación: N62ºO-44ºNE; N60ºO-41ºNE; N65ºO-42ºNE; N74ºO-40ºN; N70ºO-38ºN; N90ºE-44ºN; N80ºO-42ºN; N16ºE-vertical; N0ºE-74ºE; N5ºO-65ºE; N10ºO-63ºE; N30ºO-52ºNE; N20ºO-55ºE; N23ºO-50ºE.

Recordar que la traza axial del pliegue es la línea de corte del plano axial con otro

plano. Siempre que sea posible, este otro plano es el perpendicular al eje del pliegue, por tanto, la dirección de plano y traza axiales, coinciden.

Proyectar las medidas de estratificación, bien en proyección ciclográfica o polar.

Si se ha utilizado la proyección ciclográfica, todos los círculos se cortan en un punto, que define la orientación del eje del pliegue (β).

Si se ha utilizado la proyección polar, todos los polos coinciden aproximadamente en un círculo mayor. El polo de este círculo mayor es el eje del pliegue (Fig. 8).

El plano axial tiene una dirección de N45ºO. Para hallar su buzamiento, se coloca esta dirección sobre el diámetro N-S de la falsilla y se traza el círculo máximo que con esa dirección, contiene al eje del pliegue deducido anteriormente. Eje del pliegue: 016º/42º

Plano axial: N45ºO-46ºNE o bien 133º-46ºNE

Problema 3

Sobre un flanco de un anticlinal de orientación 120º-22ºSO, se observa una lineación con un cabeceo de 50ºO. Sobre el flanco opuesto, orientado 083º-40ºN, aparece una lineación casi horizontal. ¿Podría ser esto interpretado como que la lineación existía previamente sobre el plano sometido a posterior plegamiento?

Si la lineación es anterior al plegamiento y ahora aparece plegada, al “deshacer” el anticlinal y llevar los flancos a su posición horizontal original, las dos lineaciones deberían tener la misma dirección, o sea, sería una única lineación que ha sido plegada posteriormente. Por tanto, vamos a llevar el pliegue a su posición horizontal original para comprobar si esto se cumple.

Para llevar el pliegue a su posición original, primero se pone horizontal el eje del

pliegue y a continuación, cada uno de los dos flancos.

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Representar en proyección ciclográfica los dos flancos del anticlinal con sus respectivas lineaciones. Los flancos se cortan en un punto (β), que representa el eje del pliegue (Fig. 9).

Llevar el eje del pliegue a la horizontal, colocándolo sobre el diámetro E-O de la falsilla. El eje β pasa a la posición β´, sobre la primitiva.

Figura 8. Resolución del problema 2. Ver texto para su explicación.

El mismo movimiento sufrirán cada uno de los flancos. Para hallar su nueva posición movemos dos puntos, uno de ellos la lineación y otro punto cualquiera. Hallamos la nueva posición de los flancos y de las dos lineaciones. L1 pasa a la posición L1´ y L2 a L2´.

Dibujamos los círculos mayores que corresponden a los nuevos flancos, obteniendo un pliegue de charnela horizontal.

Colocamos β´ sobre el diámetro N-S de la falsilla, para hacer una rotación alrededor de un eje horizontal. Cada uno de los flancos pasa a la horizontal según su ángulo de buzamiento y las lineaciones L1´ y L2´ pasan a situarse sobre la primitiva, en las posiciones L1´´ y L2´´.

Ambas son horizontales, la primera con un sentido de 254º y la segunda de 78º. Observar que estos dos sentidos corresponden prácticamente a la misma

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dirección, (180º+78º=258º). Podemos concluir que efectivamente, la lineación es anterior al plegamiento.

Figura 9. Resolución del problema 3. Ver texto para su explicación.

Problema 4

La orientación de los flancos de un pliegue angular es de N15ºE-32ºSE y N10ºO-72ºSO. Hallar la orientación de la línea de charnela y del plano axial, así como la orientación de la traza axial según un plano horizontal.

Dibujar los dos flancos del pliegue y hallar la orientación de la línea de charnela (Fig. 10). Esta es 174º/12º.

Dibujar el plano perpendicular a los dos flancos y contar el valor del ángulo interflancos. En este caso no tenemos datos para saber cuál de los dos ángulos es el válido, si el agudo o el obtuso. Elegimos uno de ellos o bien resolvemos el problema con ambos.

Con el punto medio del ángulo y la línea de charnela, dibujamos el plano axial del pliegue cuya orientación es 000º-70ºE.

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Cualquier línea situada sobre el plano horizontal, tendrá una inmersión de 0º ya que es horizontal. En este caso, la traza axial tendrá la misma dirección del plano axial, 000º y su inmersión será de 0º.

Problema 5

Una serie plegada aflora bajo un plano de discordancia de orientación 150º/54º. Las orientaciones de los flancos del pliegue son: 054º/50º y 290º/40º. Hallar la posición de la línea de charnela del pliegue así como su orientación antes del basculamiento de la discordancia, indicando el sentido y cuantía del giro realizado. Calcular la orientación del plano axial antes y después del basculamiento de la discordancia (Fig. 11).

Figura 10. Resolución del problema 4. Ver texto para su explicación.

Dibujar los círculos mayores correspondientes a la discordancia y a los dos flancos del pliegue.

La línea de corte de los dos flancos, será la línea de charnela del pliegue (β), de orientación 348º/26º.

Con el punto medio del ángulo interflancos, se dibuja el plano axial del pliegue, de orientación 170º-82ºO.

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Para hallar las orientaciones de línea de charnela y plano axial antes del basculamiento, colocamos la discordancia coincidiendo con un círculo mayor, por tanto su dirección está sobre el diámetro N-S de la falsilla.

En esta posición, rotamos alrededor de un eje horizontal un ángulo equivalente al buzamiento de la discordancia, hasta que esta esté horizontal. La rotación es de 54º hacia los 150º.

La misma rotación sufren tanto la línea de charnela como el plano axial. Antes del basculamiento de la discordancia, las orientaciones pedidas eran: Línea de charnela (β´): 030º/70º Plano axial: 170º-82ºE.

Figura 11. Resolución del problema 5. Ver texto para su explicación.

Problema 6

El flanco oriental de un pliegue tiene una orientación de 128-30ºNE. Sobre él, la línea de charnela presenta un cabeceo de 38ºNO. El flanco occidental del pliegue viene definido por un buzamiento aparente de 19º según la dirección N69ºO. Hallar la orientación del flanco occidental, de la línea de charnela y del plano axial del pliegue (Fig. 12).

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Representar el flanco oriental del pliegue y la línea de charnela (β).

El flanco occidental será aquel que contenga al buzamiento aparente (β´) y a la línea de charnela. Dibujarlo haciendo coincidir estos dos puntos en un círculo mayor. Su orientación es N42ºE-21ºNO.

Orientar la línea de charnela mediante dirección e inmersión: 341º/18º.

Hallar el plano perpendicular a los dos flancos y contar el ángulo interflancos (146º). Hallar su punto medio.

Con este punto y la línea de charnela, dibujar el plano axial del pliegue y orientarlo en el espacio: N17ºO-82ºO, suponiendo que es el que corresponde al ángulo obtuso.

Figura 12. Resolución del problema 6. Ver texto para su explicación.

Problema 7

Los flancos de un pliegue tienen las siguientes orientaciones: N50ºO-35ºNE y N30ºE-60ºSE. Si un dique de orientación N30ºE-30ºSE corta al pliegue, ¿Cuál será el cabeceo de cada una de las líneas de corte del dique con ambos flancos, medido sobre cada flanco? (Fig. 13).

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Representar los flancos del pliegue y el dique mediante sus círculos mayores.

Observar que el dique y uno de los flancos del pliegue, tienen la misma dirección (N30ºE) y distinto buzamiento. Al tener la misma dirección, la línea de corte de ambos planos (A), es horizontal. Su orientación es 030º/00º y el ángulo de cabeceo sobre este flanco es de 0º.

Para el otro flanco, la línea de corte (B) tiene una orientación de 086º/26º y el ángulo de cabeceo medido sobre el flanco, es de 48ºSE. El cabeceo de esta línea de corte medido sobre el dique, seria de 60ºNE.

Problema 8

Las siguientes orientaciones corresponden a los flancos opuestos de pliegues sin inmersión. Determinar el ángulo interflancos para cada pliegue y razonar el tipo de pliegue que corresponde a cada caso.

Figura 13. Resolución del problema 7. Ver texto para su explicación.

Flanco A Flanco B Plano Axial 1) 360º-50ºO 360º-30ºE 360º-10ºO 2) 360º-50ºO 360º-30ºE 360º-70ºE 3) 360º-10ºO 360º-50ºO 360º-30ºO 4) 360º-10ºO 360º-70ºE 360º-70ºO

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Dibujar cada uno de los pliegues en un transparente por separado, para poder compararlos después.

Una vez dibujados los estereogramas correspondientes, observamos que las

líneas de charnela de los cuatro pliegues son horizontales, todas ellas con la misma orientación: 360º/00º.

El primer pliegue (Fig. 14 A) corresponde a un pliegue asimétrico con el plano

axial situado en el ángulo agudo entre los flancos. El valor del ángulo interflancos es de 80º. Si este pliegue corresponde a un anticlinal, este tendrá un flanco invertido que corresponde al A en la figura 14 A. Si se trata de un sinclinal, el flanco invertido sería el A en la misma figura.

El pliegue número 2, corresponde a un pliegue más simétrico que el anterior, con

un plano axial de buzamiento grande. Su ángulo interflancos es de 100º y los posibles pliegues anticlinal o sinclinal se muestran en la figura 14 B.

En el tercer pliegue, tanto los flancos como el plano axial buzan en el mismo

sentido, todos hacia el oeste. El estereograma muestra un ángulo interflancos de 40º, un pliegue asimétrico y con un flanco invertido, como se muestra en la figura 14 C.

Por último, el cuarto ejemplo, muestra un pliegue asimétrico con un ángulo

interflancos de 100º, cuyo dibujo se muestra en la figura 14 D, al lado del estereograma correspondiente.

Observar que en cualquiera de los casos, el valor del ángulo interflancos nos

aproxima a la geometría del pliegue, aunque no sepamos a partir del estereograma si se trata de un anticlinal o un sinclinal.

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Figura 14. Resolución del problema 8. Ver texto para su explicación.

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Figura 14 (Cont.). Resolución del problema 8. Ver texto para su explicación.

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Problema 9

En una roca milonítica se han medido planos de foliación (N22ºO-72ºSO) en los que se observa una lineación mineral con un cabeceo de 20ºN. La cartografía indica que la milonita y su foliación fueron plegadas con posterioridad. En localidades cercanas esta roca aparece como una gran antiforma, donde la foliación localizada sobre el otro flanco tiene una orientación de N64ºO-48ºNE.

Asumiendo que la lineación se formó cuando la milonita estaba horizontal, hallar

su orientación antes del plegamiento, así como la orientación actual de la lineación sobre el flanco que buza hacia el noreste (Fig. 15).

Dibujar el estereograma correspondiente con los dos flancos de la antiforma y la lineación L.

El eje del pliegue será el punto de corte de los dos círculos mayores (β).

Hay que poner el pliegue en la horizontal para medir la orientación de la lineación. Primero se pone el eje del pliegue horizontal (β´) llevándolo al diámetro E-O, y se mueven los dos flancos y la lineación los mismos grados y en el mismo sentido. La nueva posición para la lineación es L´.

Con el eje del pliegue horizontal y colocado sobre el diámetro N-S de la falsilla, llevamos ambos flancos a la horizontal según su buzamiento. Observar que la lineación (L´´) ya en la horizontal, tiene una dirección de 158º o bien 338º, sin que sepamos cual de los dos sentidos es el correcto.

Para hallar la orientación de la lineación sobre el otro flanco, reconstruimos el pliegue nuevamente, moviendo la lineación (338º) sucesivamente. Su posición final sobre el flanco (LIV) nos da una orientación de 340º/36º o bien un cabeceo sobre el flanco de 54ºNO.

Problema 10

En la región polideformada de la figura 16 A, aparece una serie plegada donde se observa un conjunto de pliegues en gancho. Una vez dividida la región en los dominios necesarios, deducir lo mas aproximadamente posible su historia deformativa, orientando en el espacio las distintas fases de plegamiento.

Dominio 1. Zona occidental del pliegue, con una traza axial de dirección 140º y

las siguientes medidas de S0: 080º-46ºN; 055º-34ºO; 015º-30ºO; N34ºO-46ºSO; N50ºO- 62ºSO

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Figura 15. Resolución del problema 9. Ver texto para su explicación.

Dominio 2. Zona intermedia del pliegue. Su traza axial tiene una dirección de 040º y las medidas de So en el afloramiento son:

025º-32ºO; 005º-20ºO; N40ºO-13ºS; N70ºO- 14ºS; 085º-20ºS Dominio 3. Zona oriental del pliegue. La traza axial tiene una dirección de 120º y

las orientaciones de So son: N6ºO-52ºO; 004º-38ºO; 060º-20ºN; N70ºO-27ºNE; N55ºO-33ºNE

En la figura 16 A, se ha tomado un pliegue en gancho para ilustrar el método a

seguir en este tipo de problemas. En él se han medido directamente en el afloramiento, la orientación de las trazas axiales a lo largo de su recorrido, que se ha dividido en tres dominios principales, en función de la orientación de estas trazas. Cada uno de los dominios, viene definido por una serie de orientaciones de estratificación que se indican en el enunciado del problema, por una S1 que aparece plegada y por una S2 que corresponde a un segundo plegamiento. Con todos estos datos, vamos a representar un estereograma para cada uno de los dominios, con las medidas obtenidas, la traza axial y la posición de la línea de charnela del pliegue en cada caso.

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Figura 16. Resolución del problema 10. a): Estructura presente en la zona. b): Estereograma correspondiente al dominio 1.

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Figura 16 (Cont). Resolución del problema 10. c): Dominio 2. d): Dominio 3.

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Figura 16 (Cont.). Resolución del problema 10. e): Orientación del eje de pliegue de la segunda fase de plegamiento.

Para el dominio 1 cuyo estereograma se representa en la figura 16 B, los polos

correspondientes a las medidas de estratificación se sitúan en un círculo mayor cuyo polo corresponde a la línea de charnela para este dominio (β1). Esta línea está orientada 294º/32º. El plano axial de este pliegue será el que tenga una dirección de 140º (traza axial) y contenga a la línea de charnela, como se observa en el estereograma. Su orientación es 140º-50ºSO.

Para el dominio 2, el proceso a seguir es el mismo. Todos los polos se disponen

en un círculo mayor (Fig. 16 C). Las orientaciones de línea de charnela (β2) y del plano axial son respectivamente de 226º/12º y 040º-64ºNO.

Lo mismo para el dominio 3, representado en la figura 16 D. La línea de charnela

(β) tiene una orientación de 338º/20º y el plano axial 120º-30ºNE.

Para conocer cuál es la orientación de la línea de charnela correspondiente al segundo plegamiento, pasamos a un nuevo diagrama las orientaciones obtenidas de las tres líneas de charnela correspondientes a cada uno de los tres dominios. En la figura 16 E, se observa como las tres se disponen según un círculo mayor. El polo de este círculo mayor corresponde a la posición de la línea de charnela del segundo plegamiento dentro de esta área polideformada. Su orientación es de 110º/60º.

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BIBLIOGRAFÍA

Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010. Problemas de Geología Estructural. 9. Análisis

estructural mediante diagramas de contornos. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 148-192.

BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA Davis, G. H. 1984. Structural Geology of rocks and Regions. Wiley & Sons. 492 pp. Lheyson, P. R.; Lisle, R. J. 1996. Stereographic projection techniques in Structural

Geology. Butterworth-Heinemann Ltd. Oxford. 104 pp. Marshak, S & Mitra, G. 1982. Basic methods of structural geology. Prentice & Hall. 446

pp. Phillips, F. C. 1971. The use of stereographic projection in Structural Geology. Edward

Arnol. London. 90 pp. Ragan, D. M. 1987. Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona. 210 pp. Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw

Hill. New York. 545 pp. Recibido: 18 noviembre 2009. Aceptado: 22 diciembre 2009.

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 124‐147, 2010.                                              ISSN: 1989‐6557 

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 Problemas de Geología Estructural 

8. Fallas  

Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.  

1Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas. Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid. 

[email protected] 2Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles. 

[email protected] 

  

Resumen: Las fallas constituyen la deformación frágil más frecuente en Geología, y por tanto, al  igual que en el caso de  los pliegues,  se  trata de uno de  los elementos más representados en Geología Estructural. La proyección estereográfica resulta muy útil a la  hora  de  resolver  los  numerosos  problemas  asociados  al  estudio  de  las  fallas, especialmente  en  el  caso  de  determinar  la  orientación  de  los  ejes  principales  de esfuerzos,  así  como  de  obtener  el  ángulo  de  rotación  asociado  a  una  falla  de  tipo rotacional.  Se muestran  numerosos  ejemplos  de  resolución  de  problemas  de  fallas mediante el uso de la proyección estereográfica.  Palabras clave: Falla. Ejes de esfuerzos. Deslizamiento neto. Separación. Plano de falla.   

 DEFINICIONES 

  

Se  pueden  definir  las  fallas  como  discontinuidades  en  rocas  a  lo  largo  de  las cuales existe un desplazamiento diferencial significativo. Aunque generalmente se han formado  durante  etapas  de  deformación  frágil,  existen  todas  las  transiciones  entre fallas  frágiles  características  de  rocas  situadas  en  niveles  superiores  de  la  corteza, donde el desplazamiento ha tenido lugar a lo largo de un plano de falla bien definido, y zonas de cizalla dúctil, caracterizadas por una deformación importante y rodeadas por rocas que muestran un estado deformativo menos  intenso que el presentado por  la zona de cizalla propiamente dicha. 

 Estas  discontinuidades  cortan  y  desplazan  distintas  litologías  y  la  intersección 

entre  la  superficie  cortada  y  el  plano  de  falla  se  conoce  como  línea  cutoff.  Fallas expuestas  en  el  afloramiento  son  más  visibles  en  regiones  de  relieve  topográfico acusado, en zonas donde la erosión es especialmente activa y en aquellas áreas donde existe  en  el  presente  inestabilidad  tectónica.  La  exposición  de  un  plano  de  falla  es importante  para  el  geólogo  estructural,  ya  que  puede  contener mucha  información acerca de  las condiciones de formación de  la falla, de su sentido de movimiento y de las orientaciones de los esfuerzos principales responsables de su génesis. 

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Para orientar en el espacio un plano de  falla,  lo haremos mediante dirección y buzamiento, sentido de buzamiento y buzamiento o con dos buzamientos aparentes. Si  queremos  conocer  la  historia  de  esta  falla,  deberemos  calcular  siempre  que  sea posible, el valor del desplazamiento neto. 

 Se entiende por desplazamiento neto  (net slip), el vector que mide  la distancia 

en  la superficie de  la  falla entre dos puntos originariamente adyacentes, situados en labios opuestos de la falla (Fig. 1) y por tanto nos define el movimiento verdadero de la falla.  Esta  magnitud  no  se  puede  conocer  directamente  a  partir  de  la  proyección estereográfica, necesariamente ha de ser obtenida por geometría descriptiva, pero  la construcción se simplifica mucho si las relaciones angulares entre varios planos y líneas se  obtienen  estereográficamente,  así  como  las  rotaciones  necesarias  en  el  caso  de fallas  rotacionales.  Con  la  información  obtenida,  resolvemos  el  resto  del  problema mediante planos acotados o geometría descriptiva. 

 

  

Figura 1. Desplazamiento neto de una  falla  (AE), orientado en  función de  su ángulo de  cabeceo  (c) medido  en  el  plano  de  falla.  β:  Buzamiento  del  plano  de  falla.  AB:  Separación medida  según  la dirección  de  la  falla.  BE:  Separación  medida  según  el  buzamiento  de  la  falla.  BC:  Componente horizontal de la separación de buzamiento. CE: Componente vertical de la separación de buzamiento. 

  El desplazamiento  (deslizamiento,  salto) neto es un  vector, por  tanto desde el 

punto de vista de la Geología Estructural se considera una línea y como tal se orientará en  el  espacio mediante  sentido  de  inmersión  e  inmersión,  o  bien  cabeceo  sobre  el plano  de  falla  o  sobre  cualquiera  de  los  planos  conocidos  desplazados  por  ella.  Su magnitud  se  definirá  con  una  escala  adecuada.  Conocidos  estos  datos,  sabemos perfectamente cómo y cuanto se ha movido esta falla: 

 En ocasiones no es posible observar, y por tanto medir, el desplazamiento neto. 

En  este  caso,  se  puede medir  la  separación  entendiendo  por  separación  (offset)  la distancia entre las partes desplazadas de una superficie geológica reconocible, medida según  una  dirección  determinada  (Fig.  2).  Esta  medida  no  permite  conocer  el verdadero movimiento de la falla, ya que la separación únicamente informa acerca del movimiento aparente según una dirección escogida. En la figura 2 están representadas las separaciones más utilizadas. Una vez conocidas  las dos definiciones anteriores, es 

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importante no  confundir deslizamiento  con  separación en una  falla  y  saber en  cada caso cual es la medida que estamos efectuando en relación con el plano de falla. 

 

  

Figura  2. Distintas  separaciones que  se pueden medir  en  relación  con  el plano de  falla  y/o  con  el elemento  desplazado  por  ella.  V:  separación  vertical;  h:  separación  horizontal;  d:  separación  en dirección; b: separación en buzamiento. 

  CÁLCULO  DEL  DESPLAZAMIENTO  NETO  EN  UNA  FALLA  TRASLACIONAL  (NO ROTACIONAL)   

En  cualquier  libro  de  Geología  Estructural  el  alumno  puede  repasar  como  se resuelve este problema mediante geometría descriptiva. La ayuda que proporciona  la proyección estereográfica se aprecia en el ejemplo siguiente. 

 Ejemplo  1.  Una  falla  de  dirección  270º  y  buzamiento  40ºS  corta  a  una  serie 

sedimentaria  y  a  un  dique  según  aparece  en  el  esquema  de  la  figura  3.  La estratificación  está  orientada  N30ºE‐60ºO  y  el  dique,  120º‐35ºNE.  Determinar  la magnitud y orientación del deslizamiento neto, su cabeceo medido en el plano de falla y el movimiento relativo de la falla. 

 Visualizar el problema construyendo un bloque diagrama con  la disposición de 

falla, estrato y dique, y sus respectivas cutoff (Fig. 3 A). En la figura 3 B, se observa la disposición de  los  tres planos en proyección esférica, en el hemisferio  inferior de  la esfera. 

 Construimos el estereograma proyectando la falla, el dique y el estrato (Fig. 3 C). 

El punto de intersección de los círculos mayores que corresponden a la falla y el dique, representa  la  traza del dique en el plano de  falla  (línea de corte del dique y  la  falla, vista  en  el  plano  de  falla).  El  punto  de  intersección  de  falla  y  estrato  representa igualmente la traza del estrato en el plano de falla. 

 

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Figura 3. Cálculo del desplazamiento neto en una  falla traslacional. Resolución del ejemplo nº 1 del texto. Ver el mismo para su explicación. 

  Para  determinar  la magnitud  del  desplazamiento  neto,  necesitamos  construir 

una sección paralela al plano de falla. En esta sección, todas las líneas contenidas en el plano  de  falla  (incluidas  las  trazas  anteriores)  se  pueden  representar mediante  los ángulos de cabeceo medidos respecto a la línea de dirección de la falla. Estos ángulos para  el  dique  y  el  estrato,  se miden  directamente  en  el  estereograma  (Fig.  3  C), llevando el círculo mayor que representa el plano de falla al diámetro N‐S de la falsilla y  contando  el  ángulo  correspondiente  ayudándonos  de  los  círculos  menores.  Los valores de los cabeceos son: 34º E para el dique y 48º O para el estrato. 

 En  la figura 3 D se aprecia  la disposición en dos dimensiones de  los tres planos, 

falla, dique y estrato. Dibujamos una sección paralela al plano de falla (Fig. 3 E) con las trazas  del  dique  y  el  estrato  con  sus  orientaciones,  usando  los  ángulos  de  cabeceo medidos  en  el  estereograma.  Las  trazas  que  pasan  por  los  puntos  A  y  B correspondientes al  labio sur de  la falla (labio  inferior o muro), se cortan en el punto S´. Las que pasan por A´ y B´, correspondientes al labio norte (labio superior o techo), se  cortan  en  el  punto  N´.  Observar  que  las  trazas  correspondientes  al  dique  son paralelas en ambos labios de la falla, ya que esta no es rotacional. Lo mismo sucede en el caso del estrato. 

 La  línea N´‐S´ define  la magnitud del desplazamiento neto, medido  a  la escala 

utilizada  en  el  problema.  En  este  caso  es  de  25 m.  Observamos  que  el  punto  N´, correspondiente  al  labio  norte,  está  por  encima  (tiene  mayor  cota)  del 

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correspondiente al  labio sur, S´. Como  la  falla buza hacia el sur, su movimiento en  la vertical  es  de  falla  normal  (el  labio  superior  o  techo,  desciende). Asimismo,  S´  está situado a la derecha de N´, lo que indica que el labio sur se ha movido hacia la derecha con respecto al  labio norte, por tanto y respecto al movimiento en  la horizontal de  la falla, es de tipo sinestral. 

 Medimos  el  cabeceo  del  deslizamiento  neto  en  el  plano  de  falla  con  un 

transportador, midiendo el ángulo agudo entre la línea de dirección de la falla y la línea correspondiente al desplazamiento neto, que resulta ser de 66ºE. Llevamos este valor al estereograma (Fig. 3 C) y colocamos el punto que representa el desplazamiento neto (X).  La dirección e  inmersión de esta  línea nos da  la orientación del desplazamiento neto en el espacio: 150º/35º. 

  CÁLCULO DEL DESPLAZAMIENTO NETO EN UNA FALLA ROTACIONAL 

  

En  los extremos o partes finales de  las fallas es frecuente  la existencia de áreas en  las que el desplazamiento de  la  falla decrece  y  llega a  ser nulo en una distancia pequeña. En estas zonas puede existir una componente de desplazamiento rotacional. 

 Para  una  falla  con movimiento  rotacional,  la magnitud  del  desplazamiento  se 

puede  conocer  si  previamente  se  conoce  el  polo  de  rotación.  Suponiendo  que  a  lo largo de  la  falla no existen gaps  (vacíos) u overlaps  (solapes), el polo de  rotación de una  falla  rotacional  es  la  línea  perpendicular  al  plano  de  falla.  Con  esta  premisa, podemos  resolver  problemas  de  fallas  rotacionales  directamente  con  la  proyección estereográfica, en  función de  rotaciones alrededor de ejes horizontales,  verticales o inclinados, como ya se ha explicado en Babín y Gómez (2010). 

 Ejemplo 2. Una falla de orientación 150º‐40ºE corta a un estrato y a un dique. La 

orientación del estrato es N20ºE‐30ºO en el labio oeste de la falla. Si la falla ha sufrido una rotación de 40º en sentido contrario a las agujas del reloj ¿cuál será la orientación del estrato en el labio este? 

 En  esta  primera  parte  del  problema  proyectamos  los  círculos  mayores 

correspondientes a la falla y el estrato en el labio oeste de la falla, así como sus polos F y  E  (Fig.  4  A).  Recordar  que  el  polo  de  rotación  en  una  falla  rotacional  es  la perpendicular al plano de falla, o sea, su polar. 

 Colocar la dirección de la falla sobre el diámetro norte‐sur de la falsilla. Rotamos 

la falla 40º hasta la horizontal (llevamos el plano de falla a la horizontal) y su polo pasa a la posición F´, en el centro de la falsilla. El polo del estrato se mueve a lo largo de su círculo menor los mismos grados y en el mismo sentido, hasta E´ (Fig. 4 B). El plano de falla está ahora horizontal y su polo, vertical, por tanto podemos aplicar una rotación alrededor  de  un  eje  vertical,  de  40º  en  sentido  contrario  a  las  agujas  del  reloj  y obtenemos el punto E´´. 

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 Figura 4. Cálculo del desplazamiento neto en una  falla  rotacional. Resolución del ejemplo nº 2 del texto. Ver el mismo para su explicación. 

  Rotar la falla nuevamente 40º alrededor del eje horizontal N‐S para colocarla en 

su posición  inclinada original. El polo de  la estratificación se mueve  los mismos 40º y en el mismo  sentido a  lo  largo de  su círculo menor, hasta  la posición E´´´. Al mismo tiempo  el  polo  de  la  falla  vuelve  a  su  posición  original  F.  Se  coloca  E´´´  sobre  el 

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diámetro  E‐O  de  la  falsilla  y  se  lee  la  orientación  correspondiente  del  estrato  en  el labio este de la falla, que resulta ser de 120º‐28ºSO (Fig. 4 B y C). 

 El dique, de orientación N80ºE‐60ºS, está expuesto como indica el dibujo en W´ 

en el lado oeste de la falla y en E´ en el lado este (Fig. 4 E). ¿Cuál será la orientación y magnitud del deslizamiento neto y la posición del polo de rotación de la falla? 

 Seguimos el mismo método anterior para determinar la orientación del dique en 

el labio este de la falla. Esta orientación es N50ºE‐80ºS (Fig. 4 D).  Para resolver esta segunda parte del problema, partimos del dibujo anterior que 

muestra las posiciones relativas de dique y estrato en ambos labios de la falla (Fig. 4 E).  Los ángulos de cabeceo de  las trazas de estrato y dique en ambos  labios este y 

oeste de la falla, se calculan a partir del estereograma. Pasamos esta información a un plano paralelo al plano de falla, colocando cada uno de  los elementos en su posición apropiada (Fig. 4 F). La  línea XY resulta de  la unión de  las  intersecciones de estrato y dique en ambos  labios de  la  falla, por tanto representa el desplazamiento neto de  la falla,  cuya  magnitud  medida  a  escala  es  de  370  m.  La  orientación  de  este desplazamiento neto viene dada por el cabeceo de la línea medido en el plano de falla, que resulta ser de 18ºS. 

 El  polo  de  rotación  de  la  falla  (P)  está  situado  en  el  bisector  perpendicular  al 

deslizamiento neto, y debe tener un ángulo de rotación de 40º en este polo. Los otros dos ángulos del triángulo son iguales, cada uno de valor 70º. Construimos esos ángulos en X y en Y, y hallamos  la posición de P, que está a una distancia de 520 m sobre el bisector perpendicular a la línea de deslizamiento neto. 

 En  este  caso,  la  magnitud  y  orientación  de  la  rotación  está  perfectamente 

definida. En el supuesto de que esto no sea así, habrá dos posiciones posibles para el polo de rotación y sería necesario disponer de  información adicional para resolver el problema, como estrías u otros marcadores desplazados. 

  

CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES DE ESFUERZOS EN SISTEMAS DE FALLAS CONJUGADAS 

 Conceptos teóricos 

 Se  entiende  por  fallas  conjugadas  aquellas  fallas  contemporáneas  que  se  han 

formado  en  condiciones  de  esfuerzos  similares.  Estas  fallas  se  disponen  de  forma simétrica  en  relación  con  los  ejes  principales  de  los  esfuerzos  aplicados  (Fig.  5).  La dirección de deslizamiento en cada falla del sistema conjugado, suele ser normal a  la línea de intersección de las dos fallas. 

 

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Figura 5. Disposición de los ejes de esfuerzo en un sistema de fallas conjugadas, según el modelo de Anderson, para el caso de fallas normales. Los ejes principales de la deformación son X, Y y Z. El eje de esfuerzos máximo es vertical. 

  Anderson (1951) reconoció que  las propiedades de  las direcciones de esfuerzos 

principales en  combinación  con  la  ley de Mohr‐Coulomb,  requieren que  cerca de  la superficie de la tierra solo se puedan formar fallas de deslizamiento según la dirección (desgarres), y fallas de deslizamiento según el buzamiento (normales e inversas). 

 Considerando  que  la  tierra  es  una  esfera  perfecta,  este  autor  supone  que  la 

discontinuidad entre aire y suelo en cualquier punto de la superficie de la tierra, es un plano a lo largo del cual el esfuerzo de cizalla es cero. Si las direcciones principales de esfuerzos  cumplen  que  la  componente  de  cizalla  es  cero,  se  puede  considerar  la superficie de la tierra como un plano principal que contiene dos de las tres direcciones principales de esfuerzos.  La  tercera,  sería perpendicular a este plano principal,  y en cualquier punto, es perpendicular a la superficie de una tierra teóricamente esférica. Si las  direcciones  principales  de  esfuerzos  son  verticales  u  horizontales  cerca  o  en  la superficie de la tierra, y si el ángulo de fricción interna para muchas rocas es cercano a 30º, solo se pueden formar cerca de la superficie fallas normales, inversas y desgarres. Fallas inversas cuando σ3 es vertical, desgarres cuando σ2 es vertical y fallas normales cuando es vertical σ1. 

 

Modelo de deslizamiento (Modelo de Reches)  Los trabajos de Reches (1983) muestran que, en el caso más general,  las fallas en  una  región  se  disponen  en  cuatro  familias  con  dos  direcciones  y buzamientos contrarios, como resultado natural de un campo de deformación tridimensional  (Fig.  6).  Las  relaciones  entre  fallas  formadas  de  esta manera dependen no  solo del ángulo de  fricción  interna de  la  roca,  sino del  radio de deformación a  lo  largo de  los ejes principales de  la deformación, X, Y y Z. Este modelo  intenta  explicar  el  hecho  de  que  en  condiciones  triaxiales  de deformación  frágil,  las  fracturas se disponen según una simetría ortorrómbica con  respecto  a  los  ejes  fundamentales del  elipsoide de deformación.  Incluye 

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como  caso  particular  (deformación  plana)  el  modelo  de  fracturación  de Anderson, que presenta una simetría de los planos de falla de tipo monoclínico. 

 

  

Figura  6.  Modelo  de  deslizamiento  de  Reches  para  fallas  conjugadas,  utilizado  para  obtener  la orientación del máximo acortamiento horizontal. Ver texto para su explicación. 

 El  modelo  de  deslizamiento  se  utiliza  para  obtener  de  forma  directa,  la orientación  del máximo  acortamiento  horizontal  y  la  forma  del  elipsoide  de deformación. 

 

 Método de los diedros rectos  La  teoría  de  Mohr‐Coulomb  predice  la  formación  de  fallas  en  sistemas conjugados,  con  simetría  ortorrómbica,  corroborado  por  experimentos  de deformación triaxial. La cartografía en zonas de  intensa deformación, muestra la  existencia  de  cuatro  conjuntos  de  fallas,  cada  una  de  ellas  con  su  par conjugado. ¿Es posible que todas ellas se hayan formado en un mismo evento deformativo?  En este método gráfico, uno de  los más utilizados en Geología Estructural, se trabaja  con  cada uno de  los planos de  falla por  separado.  Se basa en  limitar para cada falla las zonas del espacio compatibles en compresión y en extensión, superponiendo  estos  campos  en  proyección  estereográfica.  Construimos  el estereograma con el plano de falla y un segundo plano, perpendicular a la falla y  a  su  dirección  de  deslizamiento,  llamado  plano  auxiliar.  Estos  dos  planos dividen todas  las posibles direcciones en  la esfera en dos pares de cuadrantes (blancos y oscuros en  la figura 7). Dependiendo del sentido de movimiento de la  falla, un par de  cuadrantes opuestos delimita  la posible orientación de  σ1 (diedro en compresión), y el otro par, la de σ3 (diedro en extensión).  Las condiciones impuestas para obtener mejores resultados son: 

  Los ejes de máxima compresión y extensión, deben ser perpendiculares. 

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Ambos ejes deben estar en parejas opuestas de diedros.  Si tomamos  los datos para varias fallas desarrolladas bajo el mismo campo de esfuerzos,  las  direcciones  de  esfuerzos  se  pueden  estimar  con  el  siguiente método estereográfico: 

  Para cada falla por separado, dibujar los círculos mayores que representan 

el plano de falla y el plano auxiliar. Usando el sentido de movimiento de la falla, decidimos cuales son los cuadrantes correspondientes a σ1 y a σ3. 

  Superponemos  los  distintos  estereogramas  de  cada  una  de  las  fallas  y 

obtenemos  las  zonas  donde  se  sitúan  los  valores  de  estos  dos  ejes principales de esfuerzos (Fig. 7). 

 

  Figura  7. Método  de  los  diedros  rectos  para  fallas  conjugadas.  a)  estereograma  para  la  falla  1.  b) estereograma para la falla 2. c) superposición de los estereogramas anteriores. 

 

 Modelo de Anderson  A partir de  las orientaciones de  las fallas que se han formado en un campo de esfuerzos  dado,  se  puede  evaluar  estereográficamente  la  orientación  de  los esfuerzos  principales  que  han    dado  lugar  a  estas  fallas,  o  bien,  conocida  la orientación de los esfuerzos y el valor del ángulo de fricción interna de la roca, deducir la orientación y características de las fallas resultantes.  

Supongamos un campo de esfuerzos donde se cumple que: 1: N20ºE / 0º; 2: N70ºO /0º y 3 es vertical. El ángulo de fricción interna es de 30º.  

Como  3  es  vertical,  las  fallas  conjugadas  resultantes  serían  inversas  según Anderson. Sus orientaciones probables se pueden predecir teniendo en cuenta todo lo aprendido acerca de la formación de fallas conjugadas. Recordemos las principales premisas (Fig. 8):   Los tres ejes principales de esfuerzos son perpendiculares entre sí.  

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La línea de intersección de los círculos mayores que representan a las fallas 

conjugadas, es 2.  

El plano perpendicular a 2 se denomina plano de movimiento, y contiene 

a 1 y 3.  

  Figura 8. Modelo de Anderson para fallas conjugadas con movimiento normal, inverso o en dirección. Bloque diagrama y etereograma resultante para cada tipo de falla. 

  

1 es la bisectriz del ángulo agudo formado por las dos fallas conjugadas y 

3, del ángulo obtuso. 

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Las estrías correspondientes a cada una de las fallas están definidas por el punto de corte en  la proyección esterográfica, de  la falla correspondiente con el plano de movimiento. 

 Teniendo en cuenta estas relaciones geométricas, vamos a proyectar los datos del  ejemplo  anterior,  donde  existen  dos  ejes  principales  de  esfuerzo horizontales  y el  tercero,  vertical  (Fig. 9). Dibujamos el plano de movimiento 

colocando  1  y  3  en  un  círculo mayor  que  resulta  ser  un  plano  vertical. 

Contando  30º  (ángulo  de  rozamiento  interno)  desde  1  en  ambos  sentidos sobre el plano de movimiento, obtenemos dos puntos de referencia (1 y 2) que representan  la  intersección de  los planos de  falla con el plano de movimiento 

1/3.  

  

Figura 9. Aplicación del Modelo de Anderson conocidas las orientaciones de los ejes de esfuerzo. Ver texto para su explicación. 

  

Dibujamos el plano que contiene el eje de esfuerzos intermedio 2 y el punto de referencia 1. Este plano corresponde a una de las fallas conjugadas. Hacemos lo mismo 

con el punto de  referencia 2 y 2, y obtenemos  la  segunda  falla conjugada. Leemos directamente en la falsilla y las fallas tienen una dirección de N70ºO  con buzamientos de 30º al este y oeste respectivamente. 

 Las estrías están indicadas en la misma figura anterior, en los puntos de corte de 

cada una de las fallas con el plano de movimiento (puntos 1 y 2).  

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En el caso frecuente de que una o más de las direcciones principales de esfuerzos no  sea  horizontal  ni  vertical,  sino  inclinada,  la  resolución  estereográfica  es exactamente la misma. Considerar la situación general donde ninguno de los esfuerzos 

principales es vertical u horizontal, todos son inclinados. Definimos el plano 1/3 y su polo, que corresponde a 2. Buscamos dos puntos de referencia en función del valor del ángulo de rozamiento interno y trazamos los círculos mayores que corresponden a las fallas conjugadas. 

 Ejemplo  3.  En  una  cantera  se  observa  un  sistema  de  fallas  conjugadas,  con 

orientaciones  N54ºO‐78ºE  y  N24ºO‐42ºSO.  Situar  en  el  espacio  las  direcciones principales de esfuerzos tan aproximadamente como sea posible. 

 

  

Figura 10. Resolución del ejemplo nº 3. Ver texto para su explicación. 

  En este caso, hemos medido en el campo la orientación del sistema conjugado y 

queremos saber cuáles son las orientaciones correspondientes a los ejes de esfuerzos principales. El procedimiento es el siguiente (Fig. 10): 

 

Proyectamos  los  círculos mayores  correspondientes  a  las  fallas.  El  punto  de corte  en  el  estereograma  representa  la  línea  de  corte  de  las  dos  fallas,  por tanto, el eje σ2. Leemos dirección e inmersión en la falsilla: N40ºO/16º. 

 

Dibujamos el plano perpendicular a  σ2  (plano de movimiento). En este plano están situados σ1 en el punto medio del ángulo agudo entre las fallas y σ3 en la mitad  del  ángulo  obtuso.  El  valor  del  ángulo  agudo  es  de  64º,  hallamos  su 

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punto  medio  y  colocamos  el  eje  de  esfuerzos  máximo  σ1  que  tiene  una orientación de 188º/65º. 

 

A 90º de σ1 está situado σ3, cuya orientación es N48ºE/19º. En este ejemplo, las  fallas  conjugadas  se  comportan  como  fallas  normales,  ya  que  σ1  está situado cerca de la vertical. 

  

CONCLUSIONES   

Como hemos visto,  la proyección estereográfica ayuda a resolver gran cantidad de problemas  relacionados con  fallas y con el conocimiento del campo de esfuerzos que  ha  dado  lugar  a  esta  deformación  discontinua.  En  fallas  rotacionales,  es imprescindible  este  tipo  de  proyección,  pero  también  ayuda  en  fallas  traslacionales para el conocimiento rápido de muchos de los ángulos que intervienen en la resolución del problema. 

  

PROBLEMAS   

Problema 1  

Un  plano  de  falla  con  orientación  130º‐30ºN  desplaza  a  un  estrato  orientado 118º‐70ºN. ¿Cuál es la orientación de la línea cut‐off?.  

Se  trata  simplemente de hallar  la orientación de  la  línea de  intersección entre dos planos, como ya se ha hecho en los primeros capítulos. 

 

Dibujar el estereograma  con  los  círculos mayores  correspondientes  a  los dos planos (Fig. 11). 

 

El punto de intersección de estos círculos corresponde a la línea cut‐off pedida (L). Su orientación es 112º/16º. 

  Problema 2  

En  un  plano  de  falla  se  observan  dos  familias  distintas  de  estrías.  Sus orientaciones respectivas son: 22º/325º y 50º/041º. Hallar la orientación del plano de falla. 

 Este problema es similar al cálculo de  la orientación de un plano conocido, dos 

buzamientos  aparentes  del mismo,  o  bien  dos  líneas  inscritas  en  el  plano  (Fig.  12). 

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Cada  uno  de  ellos  estará  representado  en  la  proyección  por  un  punto,  y  el  círculo mayor que contiene a los dos puntos será el plano buscado. 

 

  

Figura 11. Resolución del problema 1. Ver texto para su explicación. 

 

  

Figura 12. Resolución del problema 2. Ver texto para su explicación. 

 

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Proyectar cada una de las estrías.  

Moviendo  el  transparente  sobre  la  falsilla,  dibujar  el  círculo mayor  que  las contiene. 

 

Leer la orientación del plano de falla, que es N52ºE‐81ºO.   Problema 3  

Dos  fallas  conjugadas  tienen  las  siguientes  orientaciones.  046º‐50ºSE  y    147º‐40ºNE.  Calcular  la  orientación  de  los  ejes  principales  de  esfuerzos  y  de  las  estrías correspondientes a cada falla.  

Representar los dos planos de falla en la proyección (Fig. 13).  

  

Figura 13. Resolución del problema 3. Ver texto para su explicación. 

  

El punto de corte de ambos planos, representa el eje de esfuerzos intermedio, σ2, cuya orientación es de 086º/36º. 

 

Dibujamos  el  plano  de movimiento,  perpendicular  a  σ2,  y  situamos  en  él  la posición  de  los  dos  ejes  de  esfuerzo  restantes:  σ3  es  la  bisectriz  del  ángulo obtuso (N76ºO/52º)  y σ1 (182º/08º), la del ángulo agudo.  

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Las estrías estarán situadas en el plano de falla y en el plano de movimiento, así que  corresponden  a  los  puntos  de  corte  de  este  plano  con  cada  una  de  las fallas.  En  el  estereograma  están  representadas  por  E1  y  E2,  siendo  sus orientaciones 200º/29º y N14ºO/14º. 

 

En este caso, se observa en el estereograma que el eje de esfuerzos σ3 se sitúa cerca de  la vertical,  luego  las  fallas  se van a comportar como  inversas,  según Anderson.  

 Problema 4  

En una falla de deslizamiento sinestral orientada N30ºE‐70ºO, se ha medido una dirección de deslizamiento  (estría) con un cabeceo de 15ºN. Localizar  las direcciones principales de esfuerzos  tan aproximadamente como sea posible, suponiendo que el ángulo de rozamiento interno tiene un valor de 30º (Fig. 14).  

  

Figura 14. Resolución del problema 4. Ver texto para su explicación. 

 

Representar el estereograma con la falla sinestral y la estría (E).  

Representar  el  eje  de  esfuerzos  intermedio  σ2,  que  estará  situado  sobre  el plano de falla y a 90º de la estría. Su orientación es 262º/64º. 

 

Dibujar el plano de movimiento que contiene a  los otros dos ejes de esfuerzo. Será el plano que es perpendicular a σ2, o el plano cuyo polo es σ2. 

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Sobre este plano de movimiento están  situados  σ1 y  σ3, a 90º uno del otro. Como  el  ángulo  de  rozamiento  interno  es  de  30º,  usando  la  fórmula  que relaciona este ángulo (Ф) con el ángulo agudo formado por las fallas conjugadas (2µ), podemos conocer el ángulo entre la estría y el eje principal σ1 que es (µ).  Ф = 90º ‐ 2µ  

El ángulo (µ) tiene un valor de 30º, luego a partir de la estría y sobre el plano de movimiento, debemos contar 30º, en este caso hacia el norte, ya que la falla es sinestral. Ese punto nos da la orientación de σ1, que es 000º/02º. 

  

Problema 5  

Una  falla  rotacional  orientada  N40ºE‐50ºSE,  corta  a  una  secuencia  de  capas horizontales. El  labio SE, bloque superior de  la falla (techo), ha girado hacia el SW un ángulo de 30º.  La  rotación ha  tenido  lugar  alrededor de un eje que es  la normal  al plano de falla. Hallar la orientación de la secuencia sedimentaria en el labio inferior de la falla (muro).  

Dibujar  el  estereograma  correspondiente  en  proyección  ciclográfica  o  polar, con la falla y las capas horizontales (Fig. 15).  

  

Figura 15. Resolución del problema 5. Ver texto para su explicación. 

 

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La rotación que indica el problema, tiene como eje de giro la normal al plano de falla (F), por tanto el primer paso será poner el eje de giro horizontal llevando el polo de  la  falla  sobre el diámetro E‐O de  la  falsilla  (F´). La  serie  sedimentaria horizontal  se moverá  los mismos  40º  y  en  el mismo  sentido,  obteniendo  el plano 040º‐ 40ºSE. 

 

Con el eje de giro ya horizontal, efectuamos el giro que indica el problema.  

Volvemos  a  colocar  el  eje  de  giro  en  su  posición  inclinada  original  y  la  serie sedimentaria se moverá en el mismo sentido y los mismos grados. 

 

Leemos  la nueva orientación de  la  serie una  vez girada.  La  solución es 136º‐22ºNE. 

  

Problema 6  

En  el  labio norte  de  una  falla  rotacional,  cuyo plano  tiene  una  orientación  de 114º‐65ºN, aflora un estrato de orientación 37º‐39ºO. Sabiendo que el  labio sur gira 52º en el sentido de las agujas del reloj visto desde el labio norte, hallar la orientación del estrato en el labio sur (Fig. 16). 

 

  

Figura 16. Resolución del problema 6. Ver texto para su explicación. 

 

Dibujar  el  estereograma  correspondiente  con  la  falla  y  el  estrato,  bien  en proyección ciclográfica o polar. 

 

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Colocar el eje de giro inclinado(polo de la falla) en la horizontal.  

Efectuar  el  giro  indicado  alrededor  de  un  eje  horizontal  y  dibujar  el  estrato girado. 

 

Llevar el eje de giro a su posición inclinada original.  

Leer nueva orientación del estrato: 054º‐82ºNO.   

Problema 7  

En  el  labio  este  de  una  falla  de  orientación  145º‐40ºSO,  aflora  un  sinclinal simétrico. Su eje es horizontal con dirección 10º y el buzamiento de  los flancos es de 50º. 

 En el  labio oeste (hundido) esta estructura aparece como un pliegue asimétrico 

con  inmersión,  cuyo  flanco  oriental  es  157º‐40ºNE.  Investigar  la  naturaleza  del movimiento  sobre  el  plano  de  falla  y  hallar  la  inmersión  del  eje  del  sinclinal  en  el bloque hundido (Fig. 17).  

  

Figura 17. Resolución del problema 7. Ver texto para su explicación. 

  

Proyectar los planos correspondientes a la falla y los flancos del pliegue.  

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El polo de  la  falla  F  (eje de giro)  se  lleva a  la horizontal  (rotación de 52º)  se mueven  los polos de  los dos flancos orientales (el original O y el girado G),  los mismos grados y en el mismo  sentido que hemos movido el polo de  la  falla, hasta las posiciones O´y G´. 

 

Con el eje de giro sobre el diámetro N‐S de la falsilla, comprobamos que los dos polos O´y G´ están sobre el mismo círculo menor de  la  falsilla. Contamos a  lo largo de ese círculo menor  los grados que hemos girado para pasar de O´a G´, en este caso, 24º en sentido de las agujas del reloj, visto desde el oeste. 

 

Este mismo giro,  la aplicamos a  la charnela del pliegue, siempre con el eje de giro colocado sobre el N o el S. La orientación de la nueva línea de charnela es: 008º/18º (β´).   

Problema 8  

En una planicie  se  localiza una  falla de orientación 128º‐56ºSO. En el  labio  sur aflora  un  pliegue  en  el  que  se  han  podido  medir  las  siguientes  orientaciones  de  estratificación: 

 006º‐80ºO; 015º‐71ºO; 043º‐50ºNO; 071º‐42ºN; 099º‐42ºN; 129º‐50ºNE; 150º‐

63ºE; 168º‐80ºE  

En  el  labio  norte  de  la  falla,  el mismo  pliegue muestra  su  charnela  con  una orientación de 015º/66º. Determinar el movimiento provocado por  la falla en el  labio NE (Fig. 18). 

 

Proyectar el plano de falla y su polo (F).  

Proyectar  los  polos  correspondientes  a  las  medidas  de  estratificación. Comprobar  que  todos  estos  polos  están  dentro  de  un  círculo mayor  de  la falsilla. 

 

Dibujar  este  círculo mayor  y  su  polo.  Este  polo  es  la  línea  de  charnela  del pliegue, en el bloque sur de la falla (βs). 

 

Proyectar la línea de charnela correspondiente al pliegue en el bloque norte de la  falla  (βn). La orientación de  las dos  líneas de charnela no coincide,  luego  la falla es rotacional. 

 

El eje de giro de esta falla, será su normal, representada en el estereograma por (F). 

 

El problema se resuelve efectuando un giro alrededor de un eje  inclinado. En este  caso  conocemos  la  posición  inicial  y  final  de  un  elemento,  la  línea  de 

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charnela, ya que sabemos su orientación antes y después del giro. Únicamente queda saber cuál ha sido la cuantía de esta rotación. 

 

Llevamos el eje de giro (F) a la horizontal (F´). Las dos líneas de charnela βs y βn se mueven  los mismos  grados  y  en  el mismo  sentido  a  lo  largo  del  círculo menor  en  el  que  estén  contenidas  y  pasan  a  las  posiciones  βs´  y  βn´ respectivamente. 

 

Con F´ colocado sobre el N o el S de  la  falsilla, βs´ y βn´ deben estar situadas sobre un mismo  círculo menor. A  lo  largo de ese  círculo  contamos el ángulo entre los dos, que es 42º. 

 

El movimiento  provocado  por  la  falla  en  el  labio  NE,  es  de  42º  en  sentido contrario a las agujas del reloj, visto desde el este.  

  

Figura 18. Resolución del problema 8. Ver texto para su explicación. 

  

Problema 9  

Una  falla cuyo plano es 070º‐64ºN atraviesa un área plana. Al norte de  la  falla aflora  un  sinclinal  cuyo  flanco  occidental  tiene  una  orientación  144º‐27ºNE  y  el oriental 175º‐53ºE. 

 Al  sur  de  la  falla,  el  flanco  oriental muestra  según  una  pared  vertical  de  una 

galería de  113º de dirección un buzamiento  aparente de 20º  y  según un desmonte 

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también  vertical, en una  carretera de 76º de dirección, un buzamiento  aparente de 10ºE. Hallar: 

 

Cuantía y sentido de giro del labio sur de la falla, visto desde el norte. 

Orientación de los flancos y eje del pliegue en el labio sur. 

Ángulo formado por los ejes de pliegue en ambos labios de la falla.  

Proyectar el plano de falla y su polo, así como los flancos del pliegue y sus polos (Fig. 19). 

 

El  flanco  oriental  en  el  labio  sur,  viene  dado  a  partir  de  dos  buzamientos aparentes. Con ellos obtenemos  la orientación real del  flanco, que es: N54ºE‐22ªSE. 

 

Para saber el sentido de giro y su cuantía, resolvemos un problema similar a los anteriores, tomando el flanco oriental como guía, ya que es el único elemento conocido en ambos bloques de la falla. El giro ha sido de 44º en sentido de las agujas del reloj, visto desde el labio norte. 

 

Una vez conocido el giro efectuado, aplicamos el mismo al flanco occidental y a la línea de charnela del pliegue. El flanco occidental en el bloque sur tiene una orientación:  N‐S‐12ºO  y  la  línea  de  charnela  β,  pasa  a  la  posición  β´  en  el esterograma, con una orientación de 215º/07º.  

  

Figura 19. Resolución del problema 9. Ver texto para su explicación. 

 

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Rotaciones Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 57‐73.  

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                              ISSN: 1989‐6557 

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 Problemas de Geología Estructural 

9. Análisis estructural mediante diagramas de contornos  

Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.  

1Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas. Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid. 

[email protected] 2Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles. 

[email protected] 

  

Resumen: La proyección de grandes conjuntos de datos puede suponer un problema debido  a  lo  complicado  que  resulta  sacar  conclusiones  a  partir  del  análisis  de diagramas  con  un  elevado  número  de  medidas  representadas.  Tal  es  el  caso  de estructuras plegadas definidas a partir de múltiples medidas de estratificación, o bien el  problema  de  la  superposición  de  estructuras  de  deformación.  Se  hace imprescindible  entonces  el  uso  de  falsillas  que  conserven  las  áreas  para  realizar estudios estadísticos. Se muestran numerosos ejemplos del empleo de diagramas de contornos mediante el uso de la proyección estereográfica.  Palabras clave: Falsilla de contaje. Diagrama de contornos. Modelos de distribución.  

 DEFINICIONES 

  

En  los artículos anteriores, Babín y Gómez  (2010 a, b,  c, d, e,  f, g y h), hemos usado  uno  de  los  tipos  de  proyección  azimutal  para  resolver  distintos  problemas geométricos en Geología  Estructural.  Esta proyección estereográfica,  como  ya  se ha reiterado a lo largo de las explicaciones, tiene dos propiedades importantes: 

 1. Conserva  las relaciones angulares, de forma que el ángulo entre tangentes 

en el punto de  intersección de dos  círculos máximos que  se  cortan, es el mismo ángulo que el  formado por  los dos planos representados mediante sus círculos máximos (Fig. 1 A). 

 2. No conserva el área. Esto quiere decir que las proyecciones de dos círculos 

idénticos inscritos en diferentes partes de la esfera de proyección, aparecen en el estereograma como círculos de tamaños diferentes  (Fig. 1 B y C). La proyección estereográfica de un círculo, puede variar en área dependiendo del  lugar  donde  se  proyecta.  Un  círculo  de  área  conocida,  aparece más grande si se proyecta cerca de la primitiva que si lo hace en el centro de la falsilla. 

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Figura 1. Propiedades de  la proyección estereográfica que conserva ángulos. a) el ángulo entre dos planos, es el mismo que el formado por las tangentes a los círculos máximos que los representan. b) círculos  idénticos, se proyectan   en  la esfera de proyección como círculos de distinto tamaño. c) un área de 10ºx10º cercana a la primitiva, es mayor que en el centro de la proyección. 

  Esta última propiedad  indica que  la proyección estereográfica no es válida para 

aplicaciones  en  las  que  sea  necesario  un  tratamiento  estadístico  de  datos estructurales. Por ejemplo, datos sobre orientaciones preferentes de diaclasas en un área,  pueden  aportar  información  de  campos  de  paleoesfuerzos.  La  orientación  de estas diaclasas se puede representar en un diagrama en rosa o en un histograma, pero estos gráficos solo aportan información en dos dimensiones. 

 Una  proyección  azimutal  apropiada  puede  representar  una  orientación 

preferente  en  tres  dimensiones  como  un  conjunto  de  polos,  si  la  concentración  de polos por unidad de área de  la proyección es proporcional a  la concentración real de planos  de  una  orientación  determinada.  En  problemas  en  los  que  la  distribución estadística  de  puntos  es  importante,  existe  una  forma  alternativa  de  proyección azimutal,  llamada  proyección  Lambert  o  proyección  que  conserva  áreas.  La  falsilla utilizada para este tipo de proyección es la de Schmidt, en la que el tamaño de un área de 10ºx10º cerca de la primitiva es el mismo que en el centro de la falsilla (Fig. 2 A y B). 

 A menudo  existe  una  cierta  confusión  con  los  nombres  asignados  a  distintos 

tipos  de  proyecciones  azimutales.  Una  proyección  estereográfica  es  un  tipo  de proyección  azimutal  que  utiliza  la  falsilla  de  Wulff  (estereoneta)  para  obtener  un estereograma, que es el conjunto de puntos o curvas (círculos mayores) proyectados en  una  proyección  estereográfica. Una  proyección  que  conserva  el  área,  no  es  una proyección  estereográfica  propiamente  dicha,  y  la  falsilla  utilizada  es  la  de  Schmidt (Fig. 3), que es distinta de la estereoneta. Formalmente, el término estereoneta se usa solo  para  la  proyección  estereográfica,  que  conserva  ángulos.  Sin  embargo,  en  la práctica  los geólogos usamos el término estereoneta tanto cuando nos referimos a  la falsilla de Wulff como a la de Schmidt. 

 En algunos casos puede ocurrir que no sepamos cual de  las dos  falsillas utilizar 

para  resolver  un  problema  concreto.  Se  debe  usar  la  falsilla  de  Schmidt  en  todos 

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aquellos  casos  donde  la  concentración  de  puntos  proyectados  es  significativa,  por tanto,  en  todos  aquellos  análisis  con  un  gran  número  de medidas. Usaremos  la  de Wulff  para medir  ángulos  entre  estructuras  y  en  todos  aquellos  problemas  donde líneas, planos y polos se vayan a utilizar para cálculos geométricos. 

 En este artículo vamos a introducir la proyección que conserva áreas y a estudiar 

algunas de sus aplicaciones en los análisis estructurales.  

  

Figura 2. Propiedades de  la proyección estereográfica que conserva áreas. a) círculos  idénticos en  la esfera de proyección  se proyectan  como elipses,  con distintos ejes pero  con  igual área. b) área de 10ºx10º en el extremo de la proyección, es del mismo tamaño que en el centro. 

 

  

Figura 3. Falsilla de Schmidt, que conserva áreas. 

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DIAGRAMAS DE CONTORNOS   

Cuando  se ha  recogido  un  gran  número  de  datos  en  el  campo,  su  proyección muestra un conjunto de puntos, bien polos de planos o bien  líneas. Una proyección que  muestra  solo  puntos,  recibe  el  nombre  de  diagrama  de  puntos.  En  muchas ocasiones es posible estimar  la orientación dominante de un determinado elemento estructural en el área de estudio, pero si queremos obtener una representación más precisa de  las  variaciones en orientación, debemos  cuantificar el número de puntos por unidad de área de la proyección. Esta cuantificación debe efectuarse en una falsilla que  conserve  el  área,  y  así  podemos  reconocer  variaciones  en  la  orientación preferente  del  elemento  estructural,  medido  en  diferentes  localidades.  La  mejor manera de representar estas variaciones en la concentración de puntos, es dibujando líneas de contornos que delimitan áreas determinadas. 

 Una  línea  de  contorno  en  una  proyección  que  conserva  el  área,  separa  zonas 

dentro de la proyección en las que las densidades de puntos se mantienen dentro del mismo área. Estas densidades se miden como porcentajes del número total de puntos por 1% del área del estereograma y se dibujan las líneas de contornos separando zonas en  las que el porcentaje de puntos  totales por 1% de área  tenga un valor específico (2%, 3%, etc.). Así obtenemos lo que se denomina diagrama de contornos. 

 Es necesario tener en cuenta ciertas reglas, a la hora de confeccionar diagramas 

de contornos:  

Se debe escoger el valor de  los contornos, de  forma que no haya más de seis contornos en el diagrama final (a ser posible), para una mayor claridad a la hora de la interpretación. 

 

El contorno de menor valor del diagrama, generalmente corresponde a 1 punto por 1% de área. El de mayor valor se escoge en función del número de puntos proyectado. 

 

Un  contorno  que  cruza  la  primitiva,  debe  reaparecer  en  el  punto diametralmente opuesto del estereograma. 

 

Es  más  fácil  comenzar  dibujando  los  contornos  en  el  área  de  mayor concentración. 

 

Es  necesario  determinar  el  verdadero máximo  del  diagrama  (área  de mayor concentración de puntos). 

 

Después  de  un  contaje  preliminar,  a  veces  es  necesario  añadir  contornos,  o bien eliminar algunos si las líneas de porcentaje están demasiado cerca unas de otras. 

 

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Los valores de los contornos se indican en una leyenda con la trama (o el color) utilizada para cada valor de porcentaje. Por ejemplo, 1‐3‐5 y 9 por 1% de área, con un máximo del 10%. El área de mayor concentración suele ser la de color o trama más oscura. Hacia áreas de menor porcentaje, va decreciendo el tono de color o de trama, siendo muy claro o blanco en áreas de baja concentración. 

 

Generalmente se presentan los diagramas de contornos al lado del diagrama de puntos correspondiente, de forma que la suma de datos más la interpretación, sea lo más objetiva posible. 

 Una vez obtenido el diagrama de contornos, las orientaciones dominantes de las 

estructuras principales se determinan a partir de la posición en el diagrama de aquellas concentraciones donde aparezcan mayor número de puntos. Es una práctica  común abstraer  estos  datos  proyectando  por  separado  las  orientaciones  de  los  elementos estructurales  principales  de  una  región.  Un  diagrama  en  el  que  se  representa  la orientación  dominante  de  los  elementos  estructurales  mediante  un  único  círculo mayor o punto, recibe el nombre de diagrama sinóptico. 

 Actualmente  los  diagramas  de  contornos  se  construyen  directamente  en  el 

ordenador,  pero  es  importante  comprender  los  principios  del  contaje  para  usar correctamente  estos  métodos  gráficos.  Se  pueden  utilizar  distintos  métodos  para construir diagramas de contornos, algunos muy versátiles y de uso  fácil  incluso en el campo.  Para  la mayor  parte  de  ellos,  es  conveniente  usar  una  falsilla  de  15  cm  de diámetro, Anexo I. 

  

MÉTODOS DE CONTAJE DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES   

Como ya  se ha dicho,  la evaluación de  los datos proyectados  requiere un  tipo especial de  falsilla. Si utilizamos  la  falsilla de Wulff para su proyección, como hemos hecho hasta ahora, la distribución resultante no es estadísticamente correcta. Hay una tendencia a  la concentración de gran parte de  los datos en el centro de  la  falsilla,  lo que indicaría, en el caso de líneas, una disposición preferente en posición vertical. Este hecho es debido, como ya se ha indicado, a que un área determinada en el centro de la falsilla  es menor  que  la misma  en  el margen.  Debido  a  esto,  se  usa  la  falsilla  de Schmidt, en la que la técnica de proyección y manipulación de datos es idéntica a la de Wulff. La única diferencia entre las dos, es que los círculos menores en la primera no se proyectan como arcos circulares. 

 Una vez preparado el diagrama de puntos, pasamos a efectuar el contaje para 

obtener el diagrama de  contornos o de densidades. Para ello, hay gran variedad de métodos de contaje, de los que vamos a explicar los más utilizados. 

  

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Falsilla de Kalsbeek  

Es uno de  los métodos más simples que existen para el contaje de puntos, y se aplica en cualquier tipo de situaciones. Se trata de una falsilla que está subdividida en pequeños  triángulos  (Fig.  4  A).  Cada  conjunto  de  seis  triángulos  forman  un  área hexagonal  igual al 1% del área  total de  la  falsilla. Los  triángulos están dispuestos de forma que en  la  falsilla aparecen  seis  líneas  radiales. Además,  tiene  la ventaja de  la existencia de una relación fija entre el número total de puntos y la densidad contada. 

 Cada punto se cuenta tres veces y se procede de la siguiente manera: 

 

Superponer  el  transparente  con  el  diagrama  de  puntos  sobre  la  falsilla  de contaje, con la marca del norte del transparente sobre el extremo de uno de los seis radios. 

 

Colocar un segundo transparente, dibujar en él la primitiva y la marca del norte, situada sobre la anterior. 

 

Se cuentan los puntos correspondientes a cada hexágono, y el número total se anota en el centro del hexágono (A en Fig. 4 B). 

 

Al  final  del  contaje,  cada  centro  de  hexágono  debe  tener  un  número.  En aquellas zonas del diagrama donde no haya puntos, los hexágonos se dejan en blanco o bien se pone un cero en su centro. 

 

En  la periferia de  la primitiva,  los puntos de cada medio hexágono en un  lado de la primitiva se suman con los del otro medio hexágono del lado opuesto. El número total se escribe en ambos lados de la primitiva (B en Fig. 4B). 

 

  

Figura 4. a) Falsilla de  contaje de Kalsbeek. b) Método de  contaje  con  la  falsilla. Ver  texto para  su explicación. 

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En aquellas partes de  la periferia, donde aparecen medios  círculos  (sobre  los seis  radios),  se  cuentan  los puntos de  los  semicírculos opuestos  y  se  suman, poniendo el número de puntos en ambos lados (C en Fig. 4B). 

 

En el centro de  la falsilla, aparece un círculo formado por seis “triángulos”, en lugar de un hexágono. Se cuentan todos  los puntos  incluidos en este círculo y se pone el número correspondiente en su centro (D en Fig. 4B). 

 

Una vez terminado el contaje, se transforman  los números en porcentajes del número  total de puntos,  y en base  a ellos, dibujamos  los  contornos de  igual densidad, que delimitan las áreas con los porcentajes elegidos. 

 Ejemplo 1. Para  facilitar  la comparación de diagramas con distinto número  total 

de puntos,  se dibujan  los  contornos  como porcentajes de puntos  totales por 1% de área de la falsilla. El número de puntos proyectado, por tanto, debe ser convertido en porcentaje. En el caso especial de que los puntos proyectados sean exactamente 100, un punto  representará el 1% y así sucesivamente. Si  son 50 puntos  los proyectados, cada punto representa un 2% del total, etc. (Fig. 5 A). 

 Dentro ya del diagrama, dibujamos los contornos de igual densidad (Fig. 5 B). Es 

más sencillo localizar primero el área de mayor concentración y trabajar hacia la parte externa del diagrama. 

 Cuando un  contorno  intersecta  la primitiva,  reaparece exactamente en el  lado 

opuesto, a 180º  (puntos A  y A en Fig. 5 B). Al  ser  los  contornos  líneas que  separan áreas de porcentaje, son siempre curvas cerradas. 

 En el caso de un contorno que está muy próximo a intersectar la primitiva, pero 

inmediatamente se aleja de ella, es válido continuar el propio contorno sin intersectar la primitiva (puntos B y B en Fig. 5 B). 

 Cuando  ya  se ha efectuado un  contaje preliminar  (Fig. 5 A), por  lo  general es 

necesario hacer una serie de modificaciones para mejorar el diagrama:  

Todos los contornos dibujados pueden no ser necesarios. Si el espaciado entre contornos es muy pequeño, alguna de las líneas dibujadas se puede eliminar. 

 

Los valores de  los contornos en el diagrama final se  indican en  la  leyenda; por ejemplo como 2‐4‐8‐12% por 1% de área, máximo 14%. 

 

El área donde aparece  la máxima concentración  se pinta de negro o bien,  se distingue  con  una  trama  muy  oscura.  Es  bastante  efectivo  utilizar  tramas gradualmente más claras según las áreas van siendo de menor concentración. 

 

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  Figura 5. a) diagrama de puntos y primer contaje. b) diagrama de contornos final, con contornos de 2, 4, 8 y 12% y un máximo de 14%, sobre un total de 50 puntos proyectados.   Método de contaje de Schmidt  

Es,  junto con el anterior, el método de contaje más usado, ya que trabaja muy bien con amplios conjuntos de datos y con altas concentraciones de puntos. Requiere el  empleo  de  una  regleta  especial o  contador,  por  ello  a  veces  se  le nombra  como “método de la regleta” y de una malla de contaje o malla de Schmidt (Fig. 6 A), como la que aparece al  final del  libro. Para trabajar con este método es necesario, en primer lugar, obtener la regleta de contaje, que se puede fabricar fácilmente con un cartón o con un plástico que permita recortar la forma de la regleta. 

 Una regleta de contaje o contador de Schmidt, contiene dos agujeros circulares 

en ambos extremos (Fig. 6 B). El área de cada uno de ellos es igual al 1% del área total de nuestra  falsilla de proyección.  Es  fácil  comprender que  se necesitan dos  círculos diametralmente opuestos para contar puntos sobre la circunferencia primitiva y en sus cercanías, mientras que para el contaje en la parte interna, solo se necesita un círculo. 

 Las falsillas de proyección que utilizamos, tienen un diámetro de 15 cm, así como 

la malla  de  Schmidt,  por  tanto  en  la  regleta,  la  distancia  entre  los  centros  de  los círculos opuestos debe ser de 15 cm. Su  longitud total puede ser de 18 ó 19 cm y su anchura de 3,5 ó 4 cm.  

 En el Anexo II se incluye un contador de estas características.  Una vez obtenido el contador, el procedimiento para el contaje es el siguiente:    

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Contaje interno   Colocar sobre la malla el diagrama de puntos, obtenido con una falsilla que 

conserva áreas, de  forma que coincidan  las dos primitivas y  los nortes de las dos falsillas. 

  Colocar sobre el diagrama de puntos, un segundo transparente donde está 

dibujada la primitiva, como un círculo de 15 cm de diámetro, y una marca representando el norte. Esta debe coincidir con el norte del diagrama de puntos. 

  Colocar uno de  los dos  círculos del  contador de  forma que el  centro del 

círculo  coincida  con  un  punto  de  la  malla,  usando  como  guía  la  línea horizontal que pasa por el centro del círculo (Fig. 7 A). El número de puntos visibles dentro del círculo representa el número de puntos por 1% de área. Este número lo ponemos en el centro del círculo. 

  Movemos el contador hasta que su centro se sitúe sobre el punto siguiente 

de  la malla y repetimos el procedimiento. Esto se  lleva a cabo para todos los puntos de  la malla, y en aquellos en  los que no haya puntos  (líneas o polos de planos), se dejan en blanco o se pone un cero. 

 

  

Figura 6. a) malla de contaje de Schmidt. b) contador o regleta de contaje de Schmidt.   

Contaje externo o periférico   En  la  zona  periférica,  cerca  de  la  primitiva,  necesitamos  utilizar  ambos 

círculos del contador. 

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Colocamos una chincheta en el centro de la falsilla, y la muesca de la parte central  del  contador,  se mueve  con  la  chincheta  en medio  hacia  ambas partes de la periferia. 

  Los  puntos  dentro  de  ambos  círculos  y  diametralmente  opuestos  en  la 

proyección, se cuentan juntos (Fig. 7 B), teniendo siempre como centro de ambos círculos  los puntos de  la malla. El valor correspondiente a  la suma de puntos se coloca en ambos centros. 

  El contaje sobre la primitiva propiamente dicha, se hace con el centro de la 

regleta  colocado en el  centro de  la  falsilla, de  forma que  la  suma de  los puntos correspondientes a  la mitad de cada uno de  los círculos opuestos, se coloca  sobre  la primitiva, en ambos  lados. De esta  forma  sabemos  los puntos  diametralmente  opuestos  de  entrada  y  salida  de  una  curva concreta, para cada uno de los contornos. 

 

  

Figura 7. Uso del  contador de Schmidt. a) para puntos  situados en el  interior de  la  falsilla. b) para puntos situados cerca de la primitiva. 

  En  este momento,  todas  las  intersecciones  de  la malla  de  contaje,  tienen  un 

número escrito sobre el transparente superior (Fig. 8 A). Convertimos este número de puntos (n) en porcentaje mediante la ecuación:  

 n x (100)/N = %  

 donde N es el número total de puntos proyectados. Dibujamos los contornos con 

los intervalos correspondientes, según las densidades de puntos obtenidas (Fig. 8 B).  

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Método de contaje de Mellis  

Este método únicamente se puede utilizar cuando el diagrama de puntos tiene un  número  inferior  a  100,  o  preferentemente,  a  60.  Por  tanto,  solo  es  válido  para pequeñas  concentraciones  locales, y es muy  conveniente para  separar  contornos de poca densidad. 

 

  

Figura 8. Resultado del contaje con el método de Schmidt. a) contaje de 72 medidas de foliación. b) diagrama de contornos con valores de 1, 3, 7 y 11%. Máximo de 15%. 

  Para efectuar el contaje es necesario construir una plantilla con un círculo cuyo 

diámetro sea 1,5 cm, equivalente al 1% del área  total de  la proyección, de  la misma forma que lo hemos hecho en el caso anterior. 

 

Colocar un  transparente  sobre  el diagrama de puntos, haciendo  coincidir  los nortes de ambos. 

 

Colocar  la  plantilla  sobre  los  transparentes  y  moverla  de  forma  que  esté alineada con la flecha que marca el norte. 

 

Dibujar un círculo de diámetro 1,5 alrededor de cada punto de la población. Las áreas de solape de dos círculos tienen una concentración que equivale al doble de  la de un círculo  individual. Cuando solapan tres círculos,  la zona de solape equivale al triple de la concentración de un único círculo. Por tanto, obtenemos áreas que representan el doble y el triple del porcentaje, respectivamente. 

 

Repasar  y  separar  las  áreas  de  distintas  concentraciones  de  puntos  y distinguirlas mediante una trama o color (Fig. 9). 

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Este método de  contaje es el menos  subjetivo.  Los  resultados  son  siempre  los mismos  para  la  misma  población,  aunque  el  diagrama  lo  confeccionen  distintas personas. Sin embargo, está limitado a pequeñas poblaciones y bajas concentraciones y es obvia la dificultad de su uso para poblaciones mayores, en el caso de solape entre cuatro o más círculos. 

 

  

Figura 9. Método de contaje de Mellis. Diagrama con contornos de 3 y 6% sobre medidas de 36 polos de estratificación. 

  

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN EN LOS DIAGRAMAS DE PUNTOS   La  distribución  de  puntos  expresa  gráficamente  el  grado  de  orientación 

preferente  de  un  elemento  estructural  determinado  (lineación,  diaclasado,  etc.).  La llave para  interpretar  la proyección radica en reconocer el modelo de distribución de puntos,  tanto  referente  a  estructuras  lineares  como  a  polos  de  planos.  Este reconocimiento  siempre  es más  fácil  de  llevar  a  cabo  a  partir  de  un  diagrama  de contornos.  Existen  cuatro  modelos  principales  que  podemos  reconocer,  y  son  los siguientes (Fig. 10): 

 

Distribución  uniforme.  Se  expresa  de  forma  que  el  conjunto  de  puntos proyectados no presenta concentraciones locales. Cuando esto sucede, se dice que la proyección está uniformemente distribuida (Fig. 10 A). 

 

Punto  máximo.  La  orientación  preferente  de  elementos  estructurales  está representada  por  una  alta  concentración  de  puntos,  simétricamente distribuidos  alrededor  de  una  única  orientación  principal.  El  centro  de  esta concentración recibe el nombre de punto máximo o simplemente, máximo. Un conjunto de datos individuales puede mostrar más de un punto máximo (Fig. 10 B). 

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Guirnalda de círculo máximo. Una concentración de puntos que se dispone a lo largo de un arco que  se aproxima o bien que  coincide  con un  círculo mayor, recibe  el nombre de  guirnalda de  círculo máximo  (Fig.  10 C). Dentro de una guirnalda, a su vez, pueden coexistir uno o varios puntos máximos. En algunos casos, puede haber intersección de dos guirnaldas, dando lugar a un modelo de guirnaldas cruzadas. 

 

  

Figura 10. Modelos de distribución de puntos en  los diagramas: a) distribución uniforme. b) punto máximo. c) guirnalda de círculo máximo. d) guirnalda de círculo menor. 

  En  el  caso  de  elementos  lineares  proyectados,  la  existencia  de  este  tipo  de 

guirnalda  indica que todas  las  lineaciones están contenidas en un plano, pero no son 

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paralelas  entre  sí.  En  todos  los  casos,  la  guirnalda  se  aproxima  a  la  orientación  del plano que contiene a las lineaciones, y su eje es el polo del plano. 

 Un  modelo  en  guirnalda  para  polos  de  elementos  planares,  indica  que  la 

intersección de  los planos es  según una única  línea, o bien que  todos  los planos  se cortan  según una  línea. Por ejemplo,  caso de proyección de polos de estratificación correspondientes a un pliegue cilíndrico. El polo del plano que engloba todos los polos de estratificación, indica la orientación del eje del pliegue. 

 Guirnalda de círculo menor. Se define como una concentración de puntos a  lo 

largo de un arco que se aproxima a un círculo menor de  la  falsilla y puede contener uno  o  varios máximos.  Tanto  para  elementos  lineares  como  planares,  este  tipo  de guirnalda indica una orientación preferente en un cono, alrededor de un único eje que es el eje de la guirnalda (Fig. 10 D). 

 También podemos describir  la disposición de puntos dentro de una proyección 

que conserva áreas, en  términos del  tipo de simetría observada, por analogía con  la descripción de grupos de puntos en cristalografía. Por ejemplo, un pliegue puede ser descrito como de simetría ortorrómbica o monoclínica, dependiendo de la disposición de los polos de estratificación. 

  

INTERPRETACIÓN DE DIAGRAMAS. ANÁLISIS DEL PLEGAMIENTO   La llave para interpretar un diagrama de puntos es el análisis de su diagrama de 

contornos. La equivalencia de las distribuciones de elementos lineares y planares es la siguiente:  

 

Punto máximo.  Representa  una  distribución  simétrica  de  puntos  dispuestos alrededor de una única orientación principal. 

 

Guirnalda. Representa una agrupación de puntos dispuesta  según una banda que coincide con un círculo mayor de la falsilla de proyección. 

 Desde  el  punto  de  vista  geométrico  y  de  forma  sencilla,  podemos  definir  un 

pliegue, simplemente, como una superficie curvada, y en función de sus características lo podemos clasificar en dos tipos básicos:  

Pliegues cilíndricos. Generados por una  línea  recta  imaginaria, que  se mueve en el espacio paralelamente a sí misma. Esta línea es el eje del pliegue. 

 

Pliegues no  cilíndricos. Generados por una  línea que  se mueve de  forma no planar  en  el  espacio.  Si  uno  de  los  extremos  de  la  línea  está  fijo,  el  pliegue resultante recibe el nombre de pliegue cónico. Si el movimiento de la generatriz 

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es poco sistemático, el resultado es un pliegue complejo. Para trabajar con este tipo de pliegues,  se subdividen en partes que son aproximadamente cilíndricas. 

 A  continuación  vamos  a  analizar  la  geometría  de  las  superficies  cilíndricas  y 

cónicas tanto con diagramas β como con diagramas π, en una proyección que conserva el área. 

 Diagramas β en pliegues cilíndricos 

 Cada  segmento de  la  superficie plegada de un pliegue  cilíndrico,  contiene una 

línea que es paralela al eje del pliegue. Cada dos planos de  la  superficie plegada  se cortarán a lo largo de una línea que es paralela al eje del pliegue. 

 En  una  proyección  que  conserva  el  área,  los  círculos mayores  representan  las 

distintas  orientaciones  de  la  superficie  plegada  en  diferentes  puntos  del  pliegue,  que teóricamente, en un pliegue perfectamente cilíndrico, deben tener un punto común de intersección que representa  la orientación del eje del pliegue. Este punto generalmente se llama eje β. 

 En la práctica, sin embargo, los pliegues reales no son perfectamente cilíndricos, y 

las medidas de dirección y buzamiento tomadas en distintos puntos del pliegue producen círculos máximos que no  se  cortan en un punto  común,  sino en puntos más o menos próximos (Fig.   11). Para un conjunto de n planos, el número de posibles  intersecciones (N) viene dada por la siguiente progresión aritmética: 

 N = 0+1+2+.........(n‐1) = n(n‐1)/2  Por  tanto,  en  el  caso  de  25  planos  proyectados,  el  número  de  intersecciones 

posibles  es  de  300.  El  diagrama  de  contornos  de  los  puntos  de  intersección  dará  la posición de la máxima concentración de intersecciones. 

  

  

Figura 11. Diagramas β de un pliegue cilíndrico. El número de intersecciones de círculos máximos, se incrementa cuanto mayor es el número de planos proyectados. 

 

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Es evidente que una proyección de este tipo, con gran cantidad de elementos, no es el mejor camino para representar  las medidas de superficies de estratificación de un pliegue. En primer lugar, el número de puntos que representa la posible posición del eje β,  es mayor  que  el  número  de medidas  proyectadas.  En  segundo  lugar,  si  hay  algún problema  (generalmente  de  medida)  con  los  datos  originales,  pueden  aparecer concentraciones  de  ejes  β  además  de  la  concentración  principal,  dando  lugar  a interpretaciones erróneas. Por tanto, en estos casos, la construcción de un diagrama β no es aconsejable. 

 Diagramas π en pliegues cilíndricos 

 Debido a las pocas ventajas que ofrecen los diagramas β, el método preferido para 

representar  medidas  de  superficies  plegadas,  es  el  de  los  diagramas  π.  En  ellos  se representan  los  polos  de  los  planos  que  son  tangentes  a  la  superficie  plegada.  Esto significa que si hemos obtenido en el campo medidas de orientaciones en una superficie plegada, proyectamos en la falsilla que conserva áreas los polos de estos planos y no sus círculos máximos. 

 En un pliegue cilíndrico, cada uno de  los polos es perpendicular al eje del pliegue, 

por tanto, los polos son paralelos a un plano perpendicular al eje del pliegue. Estos polos forman una guirnalda de círculo máximo, llamado círculo π o círculo de polos (Fig. 12). El polo de este círculo π representa el eje del pliegue, que a su vez suele coincidir con el eje β en la proyección. 

 

  

Figura 12. Diagrama π de un pliegue cilíndrico ideal.   En  el  caso  de  pliegues  con  un  ángulo  interlimbo  (ángulo medido  entre  los  dos 

flancos del pliegue) muy amplio, el diagrama  π muestra un máximo de  forma elíptica. Según va decreciendo el valor del ángulo interlimbo, la distribución de polos varía desde un máximo hasta una guirnalda de círculo máximo (Fig. 13 A, B y C). 

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Un  diagrama  π  no  solo  nos  da  información  acerca  de  la  orientación  del  eje  del pliegue, también nos permite conocer  la forma del pliegue. Por ejemplo, en un pliegue con charnela redondeada, la densidad de puntos será uniforme a lo largo de la guirnalda de  círculo máximo  y  los  dos  puntos  extremos  de  esta  guirnalda  definirán  el  valor  del ángulo interlimbo (Fig. 14 A). Un pliegue con una zona de charnela muy amplia y flancos planares,  vendrá  representado  por  un  círculo  máximo  que  contiene  dos  máximos correspondientes a las medidas de orientaciones de los dos flancos, y estos máximos se pueden utilizar para conocer el valor del ángulo interlimbo (Fig. 14 B). Un pliegue angular (Fig. 14 C) no tendrá una guirnalda bien definida, y el círculo π en la proyección se define a  partir  de  dos  puntos máximos  correspondientes  a  los  dos  flancos. Muchos  pliegues naturales  muestran  disposiciones  de  los  polos  intermedias  entre  las  anteriormente citadas. En pliegues asimétricos, la disposición sería la correspondiente a la figura 14 D. 

 

  

Figura  13.  Variaciones  en  el  diagrama  π  según  va  decreciendo  el  valor  del  ángulo  interlimbo  del pliegue. a) capas inclinadas. b) ángulo interlimbo mayor de 90º. c) ángulo interlimbo menor de 90º. 

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Figura 14. Modelos de diagramas π para distintas formas de pliegues.   

Con respecto a la simetría de los pliegues, no es posible decir algo concluyente en base  a  los  diagramas  π,  ya  que  el modelo  de  simetría  depende  en  gran medida  del 

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buzamiento de  los  flancos del pliegue. En ocasiones, una concentración de puntos a  lo largo de una guirnalda, puede estar influenciada por la recogida de datos. Sin embargo, si la  distribución  espacial  de  las medidas  es  uniforme,  la  asimetría  de  los  polos  en  el diagrama  puede  ser  debida  a  la  existencia  de  flancos  cortos  en  pliegues  asimétricos. Generalmente,  para  determinar  el  grado  de  simetría  de  los  pliegues  necesitamos información adicional,  como puede  ser  la  variación en espesor de un  flanco a otro,  la orientación de la superficie envolvente y/o la orientación del plano axial del pliegue. 

 La orientación del plano axial se puede conocer si conocemos las orientaciones del 

eje del pliegue y de la traza axial. En el caso de pliegues angulares, el plano axial se puede asimilar  al  plano  bisector  del  ángulo  interlimbo  (ver  Babín  y  Gómez,  2010  g).  Este bisector  viene  representado  por  el  punto  cuya  “distancia”  angular  a  los  dos máximos (medida a  lo  largo de  la guirnalda de círculo máximo) es  la misma. El círculo mayor que contiene este punto y el eje π, representa al plano axial del pliegue. 

 Las orientaciones del eje del pliegue y del plano axial, por tanto, se pueden conocer 

a partir de  la guirnalda de  círculo máximo en una proyección que  conserva áreas. Por ejemplo, si el eje del pliegue es horizontal, estará situado sobre la circunferencia primitiva y la guirnalda ocupa la parte central del diagrama (Fig. 15 A). En pliegues cuyo eje tiene inmersión, este estará situado dentro de la primitiva (no sobre ella) y la guirnalda dibuja una curva que no pasa por el centro de la falsilla (Fig. 15 B). Si el plano axial del pliegue es vertical,  vendrá  representado  por  un  diámetro  de  la  falsilla,  y  si  es  horizontal,  se representa  por  la  primitiva  propiamente  dicha.  En  el  caso  de  que  sea  inclinado,  su representación corresponderá a alguno de los círculos mayores de la falsilla. En la figura 16, se representan algunos ejemplos de diagramas π para distintos tipos de pliegues. 

 

  Figura 15. Cálculo de la orientación del plano axial del pliegue, a partir de un diagrama π.  A partir de  lo expuesto, el alumno puede ejercitarse en  la  interpretación de estos 

diagramas, con un ejemplo muy sencillo. Suponer el desarrollo progresivo de un pliegue cilíndrico,  a  partir  de  una  única  capa  en  principio  horizontal  y  que  se  va  plegando sucesivamente, con todos los pasos intermedios que queramos elegir (Fig. 17). Antes del plegamiento, todos los polos de la capa horizontal se proyectarán como un máximo en el 

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centro  de  la  falsilla,  ya  que  todos  corresponden  a  líneas  verticales  con  la  misma orientación. Si se construye el diagrama paralelamente al plano vertical, habrá un punto máximo en cada extremo de un diámetro de la falsilla. 

 Si  plegamos  la  capa  alrededor  de  un  eje  horizontal,  los  polos  originalmente 

verticales se distribuyen en un abanico, y el modelo que observamos, proyectado tanto horizontal  como  verticalmente,  es  un máximo  alargado,  que  va  tomando  una  forma elíptica. Cuanto mayor sea el radio de curvatura de  la superficie plegada, más amplitud presentará este abanico de puntos, dando lugar a una guirnalda más o menos completa. En  el  caso  de  que  los  dos  flancos  lleguen  a  ser  paralelos,  se  obtendrá  una  guirnalda completa, perfecta. Este ejercicio se puede  repetir partiendo de distintas orientaciones para la capa original. 

 

  

Figura 16. Ejemplos de diagramas π para distintos tipos de pliegues. La línea a trazos corresponde al plano axial del pliegue, y el punto a la línea de charnela del pliegue. 

  

Diagramas π en pliegues no cilíndricos  

En el caso de que la superficie plegada sea cónica, supongamos que el ángulo apical del cono tiene un valor de µ. Cada polo forma un ángulo de (90º‐µ/2) con el eje del cono. 

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En otras palabras,  los polos de estratificación generan un  cono  coaxial,  con un ángulo apical de 180º‐µ.  Por tanto, los polos definen un círculo menor cuyo centro representa la posición del eje del cono (Fig. 10 D). 

 Si  se  puede  reconocer  que  los  polos  están  distribuidos  según  un  círculo menor, 

volvemos  a  proyectar  los  polos  en  una  falsilla  de Wulff,  ya  que  en  ella  los  círculos menores  se  proyectan  como  círculos  en  la  proyección  estereográfica. Dibujamos  este círculo  menor  con  los  polos  proyectados  y  localizamos  el  centro  del  círculo,  que representa el eje del cono. Este eje se rota hasta la primitiva, y los círculos menores de la falsilla se pueden usar para analizar las relaciones angulares entre los distintos elementos del pliegue. 

 

  

Figura 17. Desarrollo progresivo de un pliegue cilíndrico, a partir de una única capa horizontal. 

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En pliegues no cilíndricos y no cónicos, tanto la orientación del plano axial como la del eje del pliegue  van  cambiando  y  la  construcción de un diagrama  π  generalmente, muestra varias posibles orientaciones para el eje del pliegue. Esta geometría es típica de áreas en las que existe plegamiento superpuesto. 

 Para  analizar  estos  pliegues,  lo  más  cómodo  y  efectivo  es  subdividir  el  área 

deformada en dominios de pliegues cilíndricos planos, de forma que cada uno de estos dominios tiene un eje de plegamiento cuya orientación permanece constante. 

 En pliegues no cilíndricos planos, el plano axial tiene una orientación constante, sin 

embargo la orientación del eje del pliegue es variable. La orientación principal del plano axial se define como el círculo mayor que contiene  los ejes de  los diferentes dominios cilíndricos. 

  

ANÁLISIS DE LA FÁBRICA DE LAS ROCAS CON LA FALSILLA QUE CONSERVA ÁREAS   

El  término  fábrica  define  la  geometría  interna  y  configuración  espacial  de  los componentes  de  una  roca.  En  general,  comprende  la  suma  total  de  tamaño,  forma  y configuración de los granos en una muestra de roca determinada. Cuando esta fábrica es visible en la roca a escala mesoscópica o de afloramiento, decimos que es penetrativa, y las  rocas  que  la  presentan  como  resultado  de  la  deformación  reciben  el  nombre  de tectonitas.  Las  tectonitas  son  la  expresión  de  los  cambios  en  mineralogía  y  fábrica requeridos para acomodar la deformación de la roca. 

 Las  tectonitas  se  caracterizan por  la existencia de  foliación  y/o  lineación,  ambas 

estructuras debidas a distorsión de la roca. El alineamiento de la foliación y/o lineación en una tectonita es una expresión de su estado de deformación, ya que son rocas que han podido  fluir en estado  sólido. Este  flujo  se puede  reconocer  al microscopio  como una combinación  de  deslizamiento  y/o  cristalización  y/o  disolución  a  lo  largo  de  las discontinuidades de la roca. 

 Muchas tectonitas, y muchas foliaciones y  lineaciones, se han formado en medios 

de  elevada  temperatura  y  presión  confinante,  como  son  los medios metamórficos  e ígneos. También pueden formarse en medios sedimentarios, durante la distorsión antes de la litificación. 

 El  tipo más  común de  foliación  se produce por  la orientación paralela del plano 

[001] en micas, acompañado de laminación mineral. Si se dispone paralelamente al plano axial  del  pliegue,  su  orientación  es  la  misma  y  los  planos  de  foliación  cortan  a  las superficies de estratificación. 

 Otro  tipo  de  foliación  se  produce  cuando  existen  granos  definidos  por  un 

alargamiento  dimensional  debido  a  la  deformación  plástica  (cuarzo  y  calcita)  o  a  la 

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cristalización  bajo  esfuerzos.  Alargamiento  paralelo  de  granos  aplastados,  oolitos  o fragmentos líticos puede tener un significado semejante. 

 La  lineación  en  tectonitas  es  siempre  un  producto  de  la  deformación,  y 

generalmente la más visible es la producida por la intersección de dos o más superficies, como  son  la  estratificación  y  alguna  de  las  foliaciones.  Las  lineaciones  curvadas  que aparecen dentro de algunos pliegues cilíndricos pueden ser debidas bien a  la existencia de una estructura anterior plegada pasivamente o bien a que  la  lineación se desarrolle cuando una foliación activa corta a una superficie anterior, pasiva. 

 Tipos de tectonitas 

 Existen  tres  tipos  principales,  en  función  de  que  la  roca  contenga  foliación, 

lineación o ambos (Fig. 18). Son los siguientes:  

Tectonitas S. Caracterizadas por presentar foliación, pero no lineación. El uso de la letra S se basa en el convenio de emplear el término “superficie S” en relación con los elementos penetrativos, planares y paralelos que constituyen la foliación. Esta se define  como el alineamiento paralelo de minerales, de agregados minerales lenticulares  o  de  granos  aplastados.  En  un  esquisto,  las  superficies  S  están formadas por alineaciones de micas y dominios de clivaje; en un gneis por bandas composicionales  planares  y  paralelas  y  en  un  conglomerado,  por  los  cantos aplastados alineados. 

 

Tectonitas L. Presentan lineación, pero no foliación. La lineación se define por un alineamiento de minerales prismáticos o granos alargados  según una dirección, paralelos unos a otros. 

 

Tectonitas  L‐S.  Su  característica  es  la  existencia  de  lineación  y  foliación,  la lineación  siempre  contenida  en  el  plano  de  foliación.  Está  definida  por  el alineamiento de minerales alargados o de granos elipsoidales. También puede ser el  resultado  de  la  crenulación  de  una  foliación  o  de  la  intersección  de  dos foliaciones. 

  

  

Figura 18. Distintos tipos de tectonitas, definidas por la disposición de marcadores elipsoidales en la roca. 

 

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Cuando  se observa una  tectonita en el afloramiento,  según  cuál  sea el plano de observación  se  puede medir  fácilmente  la  lineación,  la  foliación,  o  ambos  elementos estructurales.  En  planos  perpendiculares  o  que  forman  un  ángulo  alto  con  ambas,  la foliación puede ser confundida con la lineación. Los cortes mejores en una tectonita L‐S, estarán en planos paralelos a  la  lineación y perpendiculares a  la foliación. Las trazas de lineación  aparecerán mejor  desarrolladas  en  todos  aquellos  planos  paralelos  a  ella  o formando con ella un ángulo agudo. No se observará  la  lineación o estará pobremente desarrollada en planos perpendiculares a ella o que  formen un ángulo alto con ella. En una tectonita L‐S, un plano paralelo a la foliación, muestra la orientación verdadera de la lineación. 

 Para poder aplicar  los métodos del análisis estructural, es necesario que  la fábrica 

de  la  roca  sea  homogénea.  Esto  significa  que  el mismo  volumen  de  roca  en  distintos lugares de afloramiento, es idéntico desde el punto de vista estructural. En la naturaleza esto no ocurre, pero si es posible suponer que una roca es estadísticamente homogénea tomando  distintas  porciones  de  roca  donde  esto  se  cumple.  Cuando  el  grado  de desarrollo o la orientación de la fábrica difiere en distintos lugares, se dice que la fábrica es no homogénea. 

 Una  roca  con  fábrica  no  homogénea,  siempre  se  puede  subdividir  en  partes 

homogéneas. Cada una de estas partes es una porción tridimensional de una muestra de roca que es estadísticamente homogénea, y  recibe el nombre de dominio de  fábrica o simplemente, dominio. 

 Si  la  fábrica  dentro  de  un  dominio  tiene  las mismas  propiedades  en  todas  las 

direcciones, recibe el nombre de  isótropa. En muchas rocas deformadas,  los elementos estructurales dentro de un dominio exhiben una orientación preferente, y  la  fábrica es anisótropa.  Las  falsillas  que  conservan  áreas  ayudan  al  análisis  de  la  fábrica  bajo  dos puntos de vista: 

 1. Se  pueden  usar  para  calcular  la  orientación  verdadera  de  las  fábricas,  dando 

medidas parciales tomadas en diferentes planos.  2. Se pueden usar para describir variaciones en  la geometría de  las  fábricas, entre 

diferentes dominios.  Finalmente, en rocas con  fábricas múltiples, este tipo de proyección puede ser el 

único camino para poder distinguir varios elementos de fábrica entre sí.   

ANÁLISIS DE LA GEOMETRÍA DE LA FÁBRICA   

Modelos  de  variación  en  las  orientaciones  de  fábricas  relacionadas  con  el plegamiento,  pueden  ayudar  a  conocer  la  cronología  del  desarrollo  de  la  fábrica  con respecto  al  pliegue.  En  principio  son  posibles  varios  modelos,  dependiendo  de  la 

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naturaleza  de  la  fábrica,  el  tiempo  de  desarrollo  de  la  fábrica  con  respecto  al plegamiento, y el mecanismo de plegamiento. A continuación vamos a hacer una breve exposición  de  cada  uno  de  los modelos más  frecuentes,  individualmente,  fijándonos sobre  todo  en  las  características  de  foliación  y  lineación  de  la  roca,  sin  llegar  a  una discusión  completa  de  los  distintos  tipos  de  fábricas,  que  no  es  el  objetivo  de  este manual. 

 Foliación y  lineación  son  las dos estructuras mesoscópicas mas  frecuentes en  las 

tectonitas. Sus características principales en rocas metamórficas, son las siguientes:  

La foliación se desarrolla perpendicularmente a la orientación del eje de esfuerzo principal σ1. La lineación es paralela al eje de esfuerzo intermedio o mínimo. 

 

La foliación es paralela al plano AB del elipsoide de deformación y a los planos de mínima cohesión determinados por deslizamiento en planos de esfuerzo de cizalla importante o de baja resistencia a la cizalla. 

 

La  lineación  es  paralela  a  la  dirección  de  deslizamiento,  flujo  o  transporte tectónico de la tectonita que está fluyendo. 

 

La lineación singenética con el plegamiento cilíndrico, generalmente es paralela a los ejes de los pliegues. 

 

La  simetría  del  conjunto  foliación‐lineación,  geométricamente  relacionadas, refleja la simetría de la deformación. 

 Alguna foliación corresponde a un fenómeno de deslizamiento, otras veces se debe 

a compresión o aplastamiento.  Foliación formada después de un primer plegamiento  

Si un pliegue cilíndrico que pliega a S1 y se forma al mismo tiempo que S2, queda cortado por una foliación planar posterior S3, las lineaciones de intersección entre S3 y S1 variarán  en  orientación  alrededor  del  pliegue  (Fig.  19  A).  Sin  embargo,  todas  las orientaciones de  la  lineación están contenidas en el plano S3 y  se disponen  según una guirnalda de círculo mayor (Fig. 19 B). El ángulo entre la lineación y los ejes de pliegue de la segunda fase, varía en función de la orientación de S1.  

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  Figura  19.  a)  Lineaciones  de  intersección  producidas  por  una  foliación  planar  (S3)  que  corta  a  una primera foliación plegada (S1). b) Representación estereográfica.   Plegamiento flexural de una lineación preexistente  

Los  pliegues  formados  por  plegamiento  flexural  están  acompañados  por  un deslizamiento paralelo  a  los estratos,  con muy poca distorsión de estos. Por  tanto,  se puede considerar el movimiento como una rotación, y el ángulo entre el eje del pliegue y la  lineación pre‐existente permanece constante a  lo  largo de toda  la superficie plegada (Fig.  20  A).  En  una  proyección  que  conserva  el  área,  los  puntos  que  representan  las distintas orientaciones de la lineación se disponen en un círculo menor cuyo centro es el eje  del  pliegue  (β),  excepto  cuando  la  lineación  original  es  perpendicular  al  eje  del pliegue, en cuyo caso la lineación plegada está  dispuesta según un círculo mayor (Fig. 20 B). 

 En  la  realidad, como cada uno de  los estratos  individuales se pliega mediante un 

plegamiento flexural, cada estrato plegado tiene una superficie neutra con una geometría ideal, concéntrica. El arco externo del pliegue se alarga y el interno, se acorta. En el arco externo, el ángulo entre la lineación y el eje del pliegue se incrementa ligeramente, y los puntos  correspondientes  a  la  lineación  se  colocan  según  un  arco muy  próximo  a  un círculo menor, centrado en el eje del pliegue. De la misma manera, el ángulo entre el eje del pliegue y  la  lineación decrece en el arco  interno y  los puntos correspondientes a  la lineación quedan en un arco que es más corto que el arco de un círculo menor (Fig. 20 C). 

 En  la  figura  21  se muestra  la  proyección  de  los  datos  estructurales  para  un 

dominio  restringido. Los polos de  la  foliación S1 se disponen según una guirnalda de círculo mayor,  cuyo  eje  coincide  con  el  centro  de  la  concentración  de  lineaciones (cruces), y coincide con el eje del último pliegue cilíndrico B. Una primera  lineación L (puntos)  aparece  dispuesta  según  un  círculo menor  alrededor  de  B,  lo  que  está  de acuerdo con un modelo de plegamiento por flexión‐deslizamiento. 

 

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Figura  20.  a)  Disposición  de  una  lineación  plegada  por  flexión‐deslizamiento.  b)  Lineación perpendicular  al  eje  del  pliegue  (círculos  abiertos).  c)  Lineación  oblicua  dispuesta  según  círculos menores. Ver texto para su explicación. 

 

  Figura 21. Modelo real de plegamiento por flexión‐deslizamiento. Guirnalda de polos de foliación S1, lineaciones (cruces) y una lineación anterior (puntos) dispuesta según un círculo menor. 

  

Plegamiento pasivo de la lineación  

El desarrollo de un pliegue pasivo es análogo desde el punto de vista geométrico, a la reorientación pasiva de una capa guía mediante cizalla de un conjunto de planos poco espaciados, que  son oblicuos a  la  foliación. El plano axial del pliegue es paralelo a  los planos de cizalla y el eje del pliegue, a  la  lineación de  intersección. Los puntos situados sobre un elemento linear original, se transportan a distancias variables a lo largo de líneas paralelas a la dirección de deslizamiento y se colocan en la superficie del estrato plegado de tal forma que la lineación plegada está contenida en el plano definido por la lineación original y la dirección de deslizamiento (Fig. 22 A). Por tanto los puntos que representan la lineación plegada en la proyección están en un círculo mayor que es oblicuo al eje del pliegue (Fig. 22 B).  

Esta geometría es  la misma que  la de una  lineación de  intersección debida a una foliación  superpuesta  en  un  pliegue  pre‐existente,  excepto  que  en  este  caso  no  se desarrolla una foliación paralela al plano que contiene la foliación. 

 

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Figura 22. a) Plegamiento pasivo de una  lineación L. b) La  lineación plegada L´ se sitúa en un círculo mayor, oblicuo al eje del pliegue. 

  

Plegamiento complejo de lineaciones  

Es  frecuente  encontrar  en  pliegues  naturales modelos  complejos  de  lineaciones replegadas. Generalmente  se disponen  en  arcos  intermedios  entre  círculos mayores  y menores,  con  modificaciones  que  pueden  ser  debidas  a  acortamiento  paralelo  a  la estratificación  antes  del  plegamiento,  aplastamiento  homogéneo  después  del plegamiento  o  alguna  deformación  paralela  a  la  estratificación  que  acompaña  al plegamiento.  Los  detalles  de  todas  y  cada  una  de  estas  posibilidades,  se  pueden encontrar en textos de Geología Estructural especializados. 

 Plegamiento flexural de superficies inclinadas, oblicuas entre sí  

Cuando se pliega una roca que contiene dos familias de foliaciones oblicuas entre sí (S1 y S2), el resultado es el plegamiento de ambas foliaciones. Lo mismo sucede cuando existe un plano de estratificación y otro de clivaje o bien una estratificación cruzada y el estrato que  la contiene. Los modelos geométricos que resultan del plegamiento de dos planos que son oblicuos entre sí, se analizan mediante la proyección que conserva áreas. 

 Durante el plegamiento flexural, si la lineación de intersección de los dos planos es 

paralela al eje del pliegue, ambas superficies se pliegan mediante pliegues cilíndricos que son coaxiales (Fig. 23 A). Si la lineación de intersección es perpendicular al eje del pliegue y  una  superficie  se  pliega  dando  un  pliegue  cilíndrico,  la  otra  superficie mantiene  su ángulo diedro con respecto a la anterior y se pliega dando un pliegue cónico, con su eje paralelo  al  eje  del  pliegue  cilíndrico  (Fig.  23  B).  Podemos  obtener  modelos  más complejos, con la lineación de intersección dispuesta según un círculo menor cuyo centro es  el  eje  del  pliegue  cilíndrico,  y  el  ángulo  diedro  entre  los  dos  planos  varía continuamente alrededor del pliegue (Fig. 23 C). 

 

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Plegamiento pasivo de superficies inclinadas, oblicuas entre sí  

En la figura 24 A, se aprecia el aspecto general de las superficies S1 y S2 plegadas por S3 mediante un modelo de plegamiento pasivo.  La  lineación de  intersección  se pliega, pero  queda  en  un  plano  definido  por  su  orientación  original  y  la  dirección  de deslizamiento de los hipotéticos planos de cizalla, por tanto después del plegamiento, las lineaciones de intersección dibujan un círculo mayor (Fig. 24 B). Ambos planos se pliegan como pliegues cilíndricos con un plano axial común (S3), paralelo a  los planos de cizalla. Las dos superficies plegadas tienen diferentes ejes de pliegue (β1 y β2), determinados por sus líneas de intersección con los planos de cizalla. El ángulo diedro entre los dos planos, generalmente varía a lo largo del pliegue. 

 Los diagramas de  las  figuras 24 B y C muestran  la disposición de S1 plegada y S2 

plegada, respectivamente. Superponiendo  los dos diagramas, o bien dibujándolos en un mismo transparente, se obtienen  las  líneas de  intersección entre S1 y S2 que definen  la lineación plegada L. Todas estas líneas están contenidas en un círculo mayor, dibujado en el diagrama de la figura 24 B. 

 

  

Figura  23.  Plegamiento  flexural  de  dos  superficies  inclinadas,  oblicuas  entre  sí.  Lineación  de intersección: a) paralela al eje del pliegue. b) perpendicular al eje del pliegue.  c) oblicua al eje del pliegue. 

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Figura 24. a) Plegamiento pasivo de superficies inclinadas, oblicuas entre sí. b) Plegamiento de S1. c) Plegamiento de S2.  

 INTERPRETACIÓN DE LOS SISTEMAS PLEGADOS 

  Los mecanismos de plegamiento y  los detalles del movimiento en un  sistema de 

pliegues,  pueden  ser  muy  complejos.  Por  lo  general  varían  de  uno  a  otro  dominio (buckling en algunos estratos y deslizamiento en otros) y también a  lo  largo del tiempo (buckling en  los primeros estadios de deformación  seguido por deslizamiento o  flujo). Muchos sistemas de pliegues son el resultado de episodios superpuestos de plegamiento. Teniendo  en  cuenta  la  variabilidad  del  mecanismo  de  plegamiento,  podemos  tener alguna  idea  acerca  de  la  deformación  local  y  de  las  discontinuidades  formadas, estudiando las variaciones geométricas de las superficies S en su configuración presente, a partir de una orientación inicial en la que asumimos que estas superficies eran planares y en el caso de la estratificación, horizontales. 

 Sistemas de pliegues cilíndricos planos  

En  la  figura 25  se pueden observar  las propiedades generales de  los  sistemas de pliegues  cilíndricos  planos  y  homogéneos  de  dos  conjuntos  ideales:  simétricos  y asimétricos. Ambos consisten en dos dominios de planos de cizalla alternantes, limitados por planos paralelos S2. En pliegues simétricos  (Fig. 25 A)  los dominios alternantes son imágenes especulares una de otra, mientras que en los asimétricos (Fig. 25 B) difieren en sus propiedades respecto a la deformación. 

 

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Figura 25. Pliegues cilíndricos planos idealizados. a) simétricos. b) asimétricos.   

En  un  sistema  de  pliegues  de  deslizamiento  flexural,  esta  simetría  o  asimetría refleja  la  simetría  del movimiento  ortorrómbico  o monoclínico.  Por  ejemplo,  la  figura 26A, muestra un plegamiento asimétrico de un marcador pasivo S1 (por deslizamiento en S2 paralelo al eje a), con resultado de una simetría ortorrómbica. Por el contrario, en  la figura 26 B, el sistema plegado es simétrico, pero el modelo obtenido (deslizamiento en S2 paralelo al eje a), tiene simetría monoclínica. 

 Sistemas de pliegues cilíndricos no planos  

Se  pueden  formar  como  resultado  de  una  única  deformación,  o  bien mediante superposición  de  plegamientos.  En  ambos  casos,  los  polos  de  los  planos  axiales  se disponen en una guirnalda de círculo mayor, cuya normal corresponde al eje del pliegue o del sistema de pliegues. 

 

  

Figura 26. Ver texto para su explicación.  

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Plegamiento mediante una única deformación  Algunos  sistemas  de  pliegues  presentan  una  simetría  axial  sugiriendo  un movimiento alrededor de un eje de simetría. En otras ocasiones, el estado de flujo en  la  tectonita da  lugar a una simetría monoclínica. Existe un plano de simetría normal al eje del pliegue, que en general es también un eje de alargamiento.  En otros sistemas de pliegues cilíndricos no planares, no existe evidencia de un sentido determinado de  rotación. Se relacionan con una deformación en  la que existe  elongación  paralela  al  eje  del  pliegue  y  acortamiento  en  todas  las direcciones  normales  a  él.  La  simetría  resultante  es  axial,  tendiendo  a monoclínica, y el plano de simetría principal es normal al eje del pliegue.  Existe un  tercer modelo en el que  los pliegues mesoscópicos son conjugados, o sus planos axiales mantienen durante un amplio espacio un modelo en abanico. Los pliegues conjugados pueden presentar un modelo de alta simetría, de forma que los diagramas para la superficie S1 plegada, los planos S2 y los ejes de pliegues pueden  ser  idénticos  a  los  sistemas  de  pliegues  que  resultan  por  plegamiento superpuesto coaxial.  

Plegamiento superpuesto  Cuando existe un replegamiento coaxial,  las direcciones de  los planos axiales de los  pequeños  pliegues  y  las  del  clivaje  de  plano  axial,  varían  en  un  área relativamente pequeña. En una proyección de orientaciones de clivaje de plano axial, los polos se disponen en una guirnalda de círculo mayor, centrada en un eje común.  Muchos pliegues cilíndricos no planares, pueden ser tratados como resultado de plegamiento  coaxial  repetido;  un  sistema  cilíndrico  plano  se  superpone  a  otro sistema  cilíndrico  no  planar,  con  ejes  de  pliegues  comunes.  Cuando  el plegamiento  en  ambas  fases  es  por  deslizamiento  flexural,  la  simetría  del movimiento es monoclínica, con un plano de simetría normal al eje del pliegue. Si la  segunda  deformación  es  por  deslizamiento,  la  simetría  obtenida  es independiente de la forma de la superficie plegada. 

 Sistemas de pliegues no cilíndricos  

Plegamiento en una única deformación  Muchos sistemas de pliegues no cilíndricos parece que  tienen su origen en una única  deformación  compleja.  Estos  sistemas  están  formados  por  pliegues individuales  de  forma más  o menos  elíptica,  con  extensión  axial  limitada.  Los pliegues  de  un  sistema  pueden  aparecer  en  escalón  y  estar  espacialmente relacionados con otras estructuras, como son pliegues de mayor amplitud o fallas 

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con movimiento según la dirección. Porciones de los pliegues individuales pueden ser de forma cónica o presentar formas curvas.  Algunos  geólogos  interpretan  estos  sistemas  de  pliegues  complejos  como productos  de  plegamiento  simultáneo  y  plegamiento  cruzado.  Otros  autores atribuyen  el  buckling  simultáneo  y  el  cruzado  y  los  ejes  de  acortamiento relacionados,  a  una  orientación  crítica  del  plano  estructural  deformado  con respecto a los ejes principales de deformación. 

 

Plegamiento superpuesto  La  causa más  común  de  sistemas  no  cilíndricos  de  pliegues mesoscópicos  en tectonitas,  puede  ser  la  superposición  oblicua  de  una  segunda  generación  de pliegues sobre un sistema anterior.  La  relación  genética  entre  los dos  sistemas de  pliegues, muchas  veces  no  está clara.  Algunos  ejemplos  muestran  los  efectos  combinados  de  dos  o  más deformaciones  separadas en el  tiempo, otros ejemplos muestran solo el último episodio de deformación que ha seguido inmediatamente al anterior.  Un  sistema  de  pliegues  no  cilíndricos  formado  por  plegamiento  repetido,  es homogéneo  a  gran  escala  y  se  pueden  encontrar  pequeños  dominios homogéneos  que  contienen  pliegues  de  ambas  generaciones.  En  general  la simetría  de  cada  dominio  es  triclínica,  y  existen  una  serie  de  propiedades  que caracterizan a este tipo de pliegues: 

  Los pliegues de primera generación son no planos y no cilíndricos, con planos 

axiales plegados cilíndricamente.   Los  pliegues  de  segunda  generación  son  planos  y  no  cilíndricos  o  bien  no 

planos y no cilíndricos.  

El  modelo  del  segundo  plegamiento  depende  del  mecanismo  de plegamiento. Si la segunda fase ha sido por buckling o deslizamiento flexural, cada  segmento  cilíndrico  de  un  segundo  pliegue  corresponde  a  una deformación  heterogénea,  luego  para  un  dominio  de  superposición homogénea, la simetría del movimiento total será triclínica. 

  Si la segunda deformación es por deslizamiento, los ejes cinemáticos pueden 

no variar de orientación dentro de un dominio dado, luego es posible una alta simetría del movimiento. 

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CONCLUSIONES   

En este capítulo, únicamente se han introducido los conceptos más relevantes en Geología Estructural necesarios para el estudio de las rocas deformadas, como son los de fábrica, tectonita y sus distintos tipos. El análisis estructural mediante diagramas de contornos da origen a modelos muy variados que dependen de  las condiciones de  la deformación, de la orientación de los planos deformados con respecto a los esfuerzos, etc. Es  imposible en este manual, Babín y Gómez (2010 a, b, c, d, e, f, g y h), analizar todos  y  cada  uno  de  los  tipos  posibles,  y  solo  se  han  explicado  los más  comunes. Remitimos al alumno a  las obras específicas para este tipo de estudios, donde puede ampliar la información que aquí se ofrece. 

 

 PROBLEMAS 

  

Problema 1  

La  traza  de  una  foliación  S  (línea  de  corte  de  la  foliación  con  otro  plano  de orientación conocida), se observa en un afloramiento en tres planos no paralelos. Se miden las orientaciones de los planos y el ángulo de cabeceo de dicha traza medida en cada uno de los tres plano, con el siguiente resultado: 

 Orientación del plano  Cabeceo de la línea 

114º‐ 80ºSO  40º NO N44ºE ‐ 60ºNO  24ºS 169º ‐ 70ºNE  28ºNO 

 Hallar la orientación de la foliación.  La traza de la foliación (o de cualquier estructura planar) vista en una superficie, 

es  la  línea  de  corte  de  la  foliación  con  esa  superficie,  por  tanto  es  un  buzamiento aparente  de  la  foliación  visto  en  esa  superficie.  Si  es  posible  medir  dos  o  más buzamientos aparentes,  la orientación de esta  foliación  se puede conocer, ya que el plano  buscado  está  definido  por  el  círculo  mayor  que  contiene  los  puntos  que corresponden a estos buzamientos aparentes. 

 Generalmente,  las  lineaciones  se pueden medir directamente en el campo. Sin 

embargo,  en  ocasiones  la  exposición  es  pobre,  y  se  puede  llegar  a  conocer  su orientación  midiendo  la  orientación  aparente  en  dos  o  más  planos  con  distinta orientación, y proyectando estos datos en una proyección que conserve el área.  

 

Proyectar cada uno de los planos mediante su círculo máximo (Fig. 27).  

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Colocar en cada uno de los planos el cabeceo correspondiente a esa lineación, o el buzamiento aparente (F1, F2 y F3 en el estereograma). 

 

Dibujar el círculo mayor que contiene a  los tres puntos que representan a  las trazas (buzamientos aparentes). 

 

Este círculo mayor corresponde al plano de foliación y su orientación es: N32ºE‐40ºNO. 

 

  

Figura 27. Resolución del problema 1. Ver texto para su explicación. 

  

Problema 2  

En  tres  caras  no  paralelas  de  un  afloramiento,  se  han medido  trazas  de  una lineación. La orientación de  los  tres planos y el cabeceo de  la  lineación aparente en cada uno de ellos, es la siguiente: 

 

Orientación del plano  Cabeceo de la línea 

124º‐ 52ºNE  12º NO 

N82ºE ‐ 30ºS  84ºO 

N10ºE ‐ 70ºO  22ºS 

 Hallar la orientación de la lineación.  

Este problema se puede resolver por dos caminos distintos muy similares entre sí.  El  primero  que  vamos  a  explicar  es  el  que  se  denomina método  de  Lowe,  y  a continuación, el método de Cruden. 

 

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Método de Lowe (Fig. 28)   Proyectar cada plano mediante su círculo máximo,  la traza de  la  lineación 

en el plano y el polo del plano.   Para cada plano, dibujar el círculo mayor que contiene el polo y la traza de 

la lineación.   Estos tres nuevos círculos mayores, idealmente se cortan en un punto (R), 

que define la orientación de la lineación, en este caso 179º/26º.  Este método  presenta  una  desventaja  importante.  Cuando  los  ángulos  entre planos  son  menores  de  40º,  la  localización  del  punto  de  intersección  está influenciada  por  pequeñas  variaciones  en  los  ángulos medidos.  Por  ello,  el mismo problema se puede  resolver por un método alternativo, el método de Cruden, que se expone a continuación. 

 

  

Figura 28. Resolución del problema 2. Método de Lowe. 

  

Método de Cruden (Fig. 29)   Los dos primeros pasos, igual que en el caso anterior.   Hallamos  los  polos  de  estos  círculos mayores  que  contienen  al  polo  del 

plano y a la traza de la lineación (1, 2 y 3).  

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Estos  nuevos  polos  están  en  un  círculo mayor,  que  representa  el  plano perpendicular a  la  lineación, o bien,  la  lineación es el polo de este plano (punto y raya en el estereograma). 

  El polo buscado está  representado en el diagrama por el punto  (R), y  su 

orientación es la misma que la obtenida por el método anterior.  

  

Figura 29. Resolución del problema 2. Método de Cruden. 

  Problema 3  

Los siguientes datos corresponden a medidas de estratificación, tomadas en una serie aparentemente plegada. Determinar la  orientación del eje del pliegue. 

 135º‐80ºNE  155º‐60ºNE  018º‐42ºE  027º‐41ºE  177º‐55ºE N68ºO‐70ºS  105º‐60ºS  068º‐70ºS  050º‐44ºS  097º‐60ºS 060º‐70ºS  098º‐44ºS  065º‐44ºS  040º‐vertical  082º‐50ºS   007º‐60ºO  155º‐48ºO  000º‐50ºO  130º‐40ºSO  020º‐70ºO. 

 

Representar  en  la  proyección  los  polos  correspondientes  a  las  medidas  de estratificación (Fig. 30). 

 

Una vez representados, se observa en el diagrama que se ajustan a dos círculos mayores, cada uno de ellos representativo de una fase de plegamiento (a trazos en el estereograma). 

 

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El  hecho  de  que  las medidas  se  ajusten  a  un  círculo mayor,  indica  que  el plegamiento es de tipo cilíndrico, por tanto existe un eje de pliegue para cada una de las fases. 

 

Los ejes de pliegue se corresponden con  los polos de cada uno de  los círculos mayores, representados en el diagrama por β1 y β2. 

 

Las orientaciones respectivas son 220º/40º y 130º/40º.  

Los datos del problema no permiten  conocer  la orientación del plano  axial de  estos pliegues,  ya que en  ambos  casos  los polos están muy dispersos  a  lo  largo del círculo mayor. En el caso de una mayor cantidad de datos y una menor dispersión, se podría  conocer  la orientación de  cada plano  axial, que  correspondería  al plano que contiene  la  línea  de  charnela  (eje  de  pliegue)  y  el  punto  medio  entre  las concentraciones máximas de polos. 

 

  

Figura 30. Resolución del problema 3. Ver texto para su explicación. 

   

Problema 4  

En  un  pliegue  de  tipo  similar  (Fig.  31  A),  se  han  podido medir  superficies  de estratificación  correspondientes  a  orientaciones  de  los  flancos  y  de  la  zona  de charnela.  Hallar  la  orientación  de  la  línea  de  charnela  y  del  plano  axial,  tan aproximadamente como sea posible.  

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Figura 31. Problema 4. a) Disposición de las medidas en el afloramiento. b) Resolución del problema mediante ambas proyecciones, ciclográfica y polar. 

 

Proyectar las medidas de estratificación mediante sus polos. En la figura 31 B se han proyectado tanto en ciclográfica como en polar. 

 

Los polos de estratificación están contenidos en un círculo mayor, cuyo polo es la línea de charnela (β). 

 

Los planos de estratificación, en proyección ciclográfica, se cortan en un punto, que corresponde a la posición de la línea de charnela. 

 

En ambos casos, su orientación es 090º/30º.  

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Para aproximar la orientación del plano axial del pliegue, podemos medir en el dibujo  la dirección de  la traza axial, que es N35ºO. El plano con esta dirección que contenga a la línea de charnela, será el plano axial del pliegue. 

 

Dibujamos este plano y su orientación es N35ºO‐36ºNE.  

Como  ya  sabemos,  no  se  puede  deducir  de  la  proyección  si  el  pliegue  es antiforma  o  sinforma.  En  el  caso  de  que  corresponda  a  una  antiforma  o  bien  a  un anticlinal, el  flanco occidental correspondería a un  flanco  invertido, ya que  todos  los planos de estratificación buzan al este. 

  

Problema 5  

Con los datos que figuran en el mapa adjunto (Fig. 32 A), construir un diagrama de polos y calcular tan aproximadamente como sea posible: 

 Orientación de la línea de charnela del pliegue. Orientación del plano axial. Estilo de los pliegues. Ángulo interlimbo. 

 El  diagrama  de  puntos,  se  puede  observar  en  la  figura  32  B,  donde  se  han 

proyectados  los polos de  las 50 medidas de estratificación. El modelo que se observa pertenece  a  una  corona  de  círculo  máximo,  por  lo  que  se  puede  pensar  que  los pliegues son de tipo cilíndrico, con un eje de pliegue bien definido. 

 En  la  figura  32  C  se  observa  el  diagrama  de  contornos  correspondiente.  Los 

contornos corresponden al 2, 4, 8 y 12%. Dentro de  la corona aparecen dos máximos principales,  con  una  concentración  de  hasta  el  16%.  Cada  uno  de  estos  máximos corresponde  al  mayor  número  de  medidas  de  orientación  para  ese  flanco,  luego cualquiera de  los polos de  este máximo  representa  la orientación mayoritaria de  la estratificación para ese flanco. 

 El polo del círculo mayor que representa  la corona, corresponderá a  la posición 

de la línea de charnela del pliegue (β). Su orientación aproximada es 332º/14º.  

Los flancos del pliegue pasarán por el punto que define la línea de charnela y su orientación está representada por cualquiera de los polos contenidos en los máximos. Tomamos para  cada máximo un punto que esté  situado  sobre el  círculo mayor que representa  la corona, y consideramos que es el polo del flanco. A partir de este polo dibujamos los dos flancos en proyección ciclográfica y leemos su orientación, medimos el  ángulo  interflancos,  calculamos  su  punto  medio  y  dibujamos  el  plano  axial  del pliegue, que será aquel que contiene a este punto medio y a  la  línea de charnela. La orientación  aproximada  de  este  plano  axial  es  152º‐80ºE  y  el  valor  del  ángulo interflancos es de 84º. 

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Figura 32. Resolución del problema 5. a) Mapa de medidas de S0. b) Diagrama de puntos. c) Diagrama de  contornos  con  la  posición media  de  los  flancos  del  pliegue,  línea  de  charnela  y  plano  axial. Contornos de 2, 4, 8 y 12%. Máximos de 16%. 

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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 148‐192, 2010.                                              ISSN: 1989‐6557 

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Hay que tener en cuenta que la elección de los puntos en los máximos que van a representar  los  flancos del pliegue, puede ser algo subjetiva, y en  función de ella,  la orientación de  los  flancos, valor del ángulo  interflancos y orientación del plano axial, pueden variar ligeramente. 

  

BIBLIOGRAFÍA   Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  a.  Problemas  de  Geología  Estructural.  1. 

Conceptos generales. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 1‐10.  Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  b.  Problemas  de  Geología  Estructural.  2. 

Orientación  y  proyección  de  planos  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie Geología Estructural, 2 (1): 11‐23. 

 Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  c.  Problemas  de  Geología  Estructural.  3. 

Orientación  y  proyección  de  líneas  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 24‐40. 

 Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  d.  Problemas  de  Geología  Estructural.  4. 

Proyección polar de un plano. Proyección  π Reduca  (Geología).  Serie Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 41‐56. 

 Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  e.  Problemas  de  Geología  Estructural.  5. 

Rotaciones Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 57‐73.  Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  f.  Problemas  de  Geología  Estructural.  6. 

Cálculo  de  la  orientación  de  la  estratificación  a  partir  de  testigos  de  sondeos. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 74‐94. 

 Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  g.  Problemas  de  Geología  Estructural.  7. 

Pliegues. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 95‐123.  Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 h. Problemas de Geología Estructural. 8. Fallas 

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 124‐147.   

BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA   Davis, G. H. 1984. Structural Geology of rocks and Regions. Wiley & Sons. 492 pp.  Lheyson,  P.  R.;  Lisle,  R.  J.  1996.  Stereographic  projection  techniques  in  Structural 

Geology. Butterworth‐Heinemann Ltd. Oxford. 104 pp.  

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Marshak, S & Mitra, G. 1982. Basic methods of structural geology. Prentice & Hall. 446 pp. 

 Phillips, F. C. 1971. The use of stereographic projection  in Structural Geology. Edward 

Arnol. London. 90 pp.  Ragan, D. M. 1987. Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona. 210 pp.  Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw 

Hill. New York. 545 pp. 

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ANEXO I FALSILLADE CONTAJE DE SCHMIDT 

       

 

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ANEXO II CONTADOR 

      

      Recibido: 18 noviembre 2009. Aceptado: 22 diciembre 2009.