geodesia geometrica

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Prof. Pedro Donizete Parzzanini NOTAS DE AULA

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Curso de Geodésia Geométrica

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Page 1: Geodesia Geometrica

Prof. Pedro Donizete Parzzanini

NOTAS DE AULA

Page 2: Geodesia Geometrica

Introdução

Geodésia é a ciência que estuda o

conjunto de métodos e procedimentos

adotados para definir a forma e a

dimensão da terra, o seu campo de

gravidade e suas variações temporais,

tendo como principal objetivo a

determinação de coordenadas de pontos

situados sobre a superfície terrestre.

Page 3: Geodesia Geometrica

Divisões da Geodésia

Geodésia Geométrica estuda o tamanho e forma da terra,

a determinação das coordenadas dos pontos, comprimento e

azimutes de linhas da superfície terrestre.

Geodésia Física estuda o campo de gravidade da Terra ou

direção e magnitude das forças que mantêm os corpos na

superfície e atmosfera da terra.

Geodésia Espacial estuda a determinação de pontos na

superfície terrestre através da observação de satélites artificiais

Page 4: Geodesia Geometrica

Até o século IV antes de cristo os sábios acreditavam que

a terra era plana e que era circundada pelas águas dos

mares.

Pitágoras (580-500 a.c.) introduziu pela primeira vez a

ideia da Terra esférica

Aristóteles (384-322 a.c.) Introduz pela 1ª vez a hipótese

da atração da gravidade e formula os primeiros

argumentos plausíveis para a esfericidade da terra, que

são:

Contorno circular da sombra da Terra sobre a Lua

Variação do aspecto do céu estrelado com a latitude.

Para lugares diferentes os eclipses ocorrem a horas diferentes

Histórico

Page 5: Geodesia Geometrica

Histórico Erastótenes(276 – 175 AC), considerado o pai da

Geodésia, por volta de 220 AC idealizou uma maneira

para a determinação do raio da terra.

Observou que no dia 21 de junho em Siena os raios do sol iluminavam o fundo de um poço e que neste

mesmo dia os raios do sol em Alexandria eram inclinados em 1/50 do círculo completo, que equivale a

7º12`

Considerou que a distância entre Siena e Alexandria era de 5000 Stadia. Não se sabe ao certo se

Erastótenes mediu a distância entre Siena e Alexandria ou se ele utilizou os dados obtidos por

agrimensores da época.

Considerando que o valor de 01 stadium era de 157,5m chega-se ao valor de 6.266.726m.

Page 6: Geodesia Geometrica

Histórico

Page 7: Geodesia Geometrica

Histórico

Cláudio Ptolomeu (100-178 DC) viveu no Egito e foi o autor do sistema geocêntrico que atravessou intacto 14 séculos até ser desmentido por Copérnico.

Em 1619, na França, Picard, utilizando pela primeira vez uma luneta com retículos, estabeleceu uma rede de triangulação e mediu o arco de meridiano, de Paris a Amiens, em função do qual calculou o raio da Terra. Obteve o valor de 6.372,0 km. Newton utilizou o resultado obtido por Picard, na sua teoria da gravitação universal.

O polonês Copérnico destruiu o mito da imobilidade da Terra, que remontava a Aristóteles, conferindo-lhe além do movimento de rotação o movimento de translação em torno do Sol.

Triangulações Geodésicas no Brasil

Page 8: Geodesia Geometrica

Formas de Representação da Terra

Geóide: Superfície equipotencial que coincide com

nível médio das águas tranquilas dos mares prolongado

pelos continentes. É a superfície que melhor representa

a forma da terra mas, por se tratar de uma superfície

complexa e não desenvolvível matematicamente não é

utilizado como referência para o cálculo de posições

planimétricas de pontos situados sobre a terra. É

utilizado como referência para o cálculo das altitudes

ortométricas.

Page 9: Geodesia Geometrica

Formas de Representação da Terra

Elipsóide de Revolução: Sólido geométrico

gerado pela rotação da elipse em torno do seu semi-eixo

menor. É a superfície matemática adotada pelos

geodesistas para todos os cálculos geodésicos.

Page 10: Geodesia Geometrica

Formas de Representação da Terra

Esfera: Em alguns cálculos geodésicos o elipsóide

pode ser substituído por uma esfera, sem perda

apreciável de precisão. Neste caso o raio da esfera a

ser utilizada deve ser determinado de forma que a

precisão do trabalho não seja comprometida pelo uso da

esfera em substituição ao elipsóide. A esfera assim

determinada é chamada de esfera local.

Circulo Máximo: É todo círculo da superfície

terrestre que tem seu centro coincidente com o

centro do globo terrestre.

Milha Náutica: Corresponde ao comprimento

sobre a superfície da terra do arco de meridiano

que subtende um ângulo de 1 minuto no centro

da terra. 1MN=1’=1852m

Page 11: Geodesia Geometrica

Formas de Representação da Terra

Plano: É a forma adotada na topografia. Como

sabemos a topografia se preocupa em representar uma

porção limitada da superfície terrestre, pois na

topografia a curvatura resultante da esfericidade

terrestre é desprezada. Desta forma na topografia

utilizamos um plano horizontal tangente ao esferoide

terrestre no ponto central da área a ser levantada.

Page 12: Geodesia Geometrica

Formas de Representação da Terra

Page 13: Geodesia Geometrica

Sistema de Coordenadas

Elipsoidais – Cartesianas Tridimensionais

Eixo X: Pertence ao plano do equador positivo apontando para a longitude zero (Grw).

Eixo Y: Pertence ao plano do equador positivo apontando para longitude 90° Este Grw.

Eixo Z: Coincidente com o eixo de rotação da Terra positivo para Norte.

Sistema geocêntrico cartesiano de três

eixos ortogonais (X,Y,Z) utilizado para

calcular posições em geodésia pelo sistema

GPS

Page 14: Geodesia Geometrica

Sistema de Coordenadas

Elipsoidais – Geodésicas Curvilíneas

Latitude Geodésica é o ângulo formado entre a normal que passa pelo ponto P e a sua projeção

sobre o plano do equador.

Longitude Geodésica é o ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich e pelo

meridiano geodésico do ponto P

Altitude Geodésica é a distância contada sobre a normal desde a superfície terrestre até o

elipsóide

Page 15: Geodesia Geometrica

Altitudes

Geóide Elipsóide

Superfície Terrestre

Ondulação geoidal - N

Altitude Elipsoidal Altitude

Ortométrica

H = h – N

H = Altitude ortométrica

h = Altitude elipsoidal

N = Ondulação geoidal

h é obtido diretamente a partir da utilização

de receptores de sinais do sistema GPS.

N é obtido a partir de um mapa geoidal,

sendo que para o Brasil o mapa geoidal

atual é o MAPGEO2010 Convenção:

N + = Geóide acima do elipsóide

N - = Geóide abaixo do elipsóide

Page 16: Geodesia Geometrica

Sistema de Referência Astronômico

As coordenadas determinadas através da posição das estrelas são

chamadas de coordenadas astronômicas

Não são mais usadas porque são dependentes da vertical do local

e portanto sujeitas a variações devido a anomalias das massas.

As coordenadas astronômicas são determinadas em relação ao

geóide portanto a linha projetante é a vertical

Latitude Astronômica ou Geográfica é o ângulo formado pela vertical que

passa pelo ponto com sua projeção equatorial

Longitude Astronômica ou Geográfica é o ângulo diedro formado pelo

meridiano astronômico de Greenwich e pelo meridiano astronômico do ponto

Altitude Ortométrica é a distância contada sobre a vertical desde a superfície

terrestre até o geóide

Page 17: Geodesia Geometrica

Coordenadas Geodésicas e Astronômicas

Desvio da vertical (i) é o ângulo formado entre a normal

e a vertical.

O cálculo do desvio da vertical não é feito diretamente,

mas sim através de seus componentes ξ e η e

chamados respectivamente de componente meridiana e

componente 1º vertical (GEMAEL, 1999, p.19).

Page 18: Geodesia Geometrica

Componentes do Desvio da Vertical

Page 19: Geodesia Geometrica

O Elipsóide de Revolução

Parâmetros Definidores de um Elipsóide: Um elipsóide fica

perfeitamente definido por meio de dois parâmetros, o semi-eixo

maior a e o semi-eixo menor b. Em geodésia o elipsóide é

tradicionalmente definido pelo semi-eixo maior a e o achatamento f.

O achatamento f é definido por: f = (a-b)/a

Por exemplo os parâmetros do SAD69 são:

a = 6378160m f = 1/298,25

Excentricidade: A excentricidade é a relação entre a semi-distância

focal c e o semi-eixo maior da elipse a, traduz a divergência da

elipse em relação a circunferência. O valor da excentricidade varia

entre 0 e 1. O elipsóide estudado em geodésia tem excentricidade

fraca com valor próximo de zero

Nos cálculos geodésicos quase sempre utilizamos o quadrado da

excentricidade que é dada pela seguinte fórmula: e2= (a2-b2)/a2

A segunda excentricidade e’ ao quadrado também muito comum em

cálculos geodésicos é dada por: e’2= (a2-b2)/b2

Page 20: Geodesia Geometrica

Sistema Geodésico Brasileiro (SGB)

O IBGE responsável pela definição, implantação e manutenção do

SGB resolveu através da resolução R.PR 1/2005 adotar como

sistema geodésico de referência para o SGB o Sistema de

Referência Geocêntrico para as Américas SIRGAS2000:

Caracterização do Sirgas2000:

Elipsóide: GRS 1980

Semi-eixo maior a = 6378137m

Achatamento: f = 1/298,257222101

Origem: Datum geocêntrico, ou seja, centro do elipsóide coincidente

com o centro de massa da terra

O IBGE estipulou um prazo de 10 anos para a transição do

SAD1969 para o SIRGAS2000, durante este período os dois

sistemas poderão ser utilizados

Page 21: Geodesia Geometrica

Sistema Geodésico Brasileiro (SGB)

Caracterização do SAD 1969

Elipsóide:Elipsóide Internacional de 1967

a = 6.378.160,00m f = 1/298,25.

Orientação: Datum topocêntrico, ou seja, o ponto geodésico de origem está sobre a superfície terrestre e é escolhido de forma a se a se ter a melhor coincidência entre o elipsóide e o geóide para a área a ser representada.

Ponto Datum: Vértice de triangulação CHUÁ

Φ = 19°45’41,6527”S

λ = 48°06’04,0639”W

Azimute geodésico para VT-Uberaba = 271°30’04,05”SWNE

Ondulação geoidal = 0,00m

O elipsóide utilizado pelo sistema GPS é o WGS84 e seus parâmetros são os seguintes:

a = 6378137m f = 1/298,257223563

Page 22: Geodesia Geometrica

Datum Geocêntrico x Topocêntrico

Enquanto no datum topocêntrico

procura-se fazer coincidir o

geóide com o elipsóide nas

vizinhanças do ponto de fixação

no datum geocêntrico busca-se

minimizar as diferenças entre

ambos, em todo o globo.

Page 23: Geodesia Geometrica

Grande Normal e Pequena Normal

Os comprimentos da grande e pequena normal variam com a latitude e podemos observar

que para a latitude de zero graus a grande normal é igual ao semi-eixo maior do elipsóide.

Para o cálculo do comprimento da grande e pequena normal utilizamos as seguintes

formulas.

A linha projetante perpendicular ao

elipsóide chama-se normal que na

figura é representada pelo segmento

P’P’’’. A normal é dividida ou

caracterizada por duas partes que

são a grande e pequena normal:

P’P’’’ = N = Grande Normal

P’P’’ = N’ = Pequena Normal

Page 24: Geodesia Geometrica

Latitude Geocêntrica Latitude geocêntrica () de um ponto P é o ângulo que o raio

vetor(distância que vai do centro do elipsóide até o ponto P) forma

com sua projeção sobre o plano do equador.

O comprimento do raio vetor pode ser calculado da seguinte maneira:

Page 25: Geodesia Geometrica

Transformação entre Coordenadas

Geodésicas e Cartesianas

Geodésicas para Cartesianas

= Latitude

= Longitude

N = Grande Normal

h = Altitude Elipsoidal

e = Excentricidade

Page 26: Geodesia Geometrica

Transformação Coordenadas Geodésicas

e Cartesianas

Cartesianas para Geodésicas

= Latitude

= Longitude

a = Semi-eixo maior

b = Semi-eixo menor

e = Excentricidade

e’= Segunda excentricidade

N = Grande normal

θ = Ângulo teta, não confundir com a Latitude().

Page 27: Geodesia Geometrica

Seções Normais do Elipsóide Por um ponto A sobre a superfície do elipsóide de revolução é possível conduzir infinitos planos que contém a normal à superfície. Qualquer plano que contém a normal e portanto seja perpendicular ao plano tangente ao elipsóide nesse ponto é chamado de plano normal. A curva resultante da interseção de um plano normal com a superfície episódica chama-se seção normal. Chama-se raio de curvatura principal em um ponto A de uma superfície, à seção produzida por um plano normal à mesma, tal que o raio de curvatura correspondente seja o máximo ou o mínimo dentre todos os possíveis. Em cada ponto do elipsóide existem duas seções normais principais que são mutuamente perpendiculares e cujas curvaturas nesse ponto são, uma máxima e uma mínima.

As seções principais do elipsóide são, a da elipse meridiana, chamada de seção meridiana, com curvatura máxima e a seção primeiro vertical que é produzida por um plano que contém a normal no ponto A e é perpendicular a seção meridiana, cuja curvatura é mínima. No polo, onde Φ = 90° o raio de curvatura da seção meridiana e primeiro vertical são iguais, em qualquer outra região o raio da seção primeiro vertical é maior do que o raio da seção meridiana. Os raios da seção meridiana e seção primeiro vertical são representadas pelas letras M e N respectivamente.

Page 28: Geodesia Geometrica

Seções Normais do Elipsóide

Raio da Seção Meridiana:

Raio da Seção Primeiro Vertical:

Raio Médio de Curvatura:

Raio do Paralelo:

Raio vetor: é a distância entre um ponto situado sobre a superfície do

elipsóide e o centro do elipsóide, pode ser calculado a partir das

coordenadas cartesianas tridimensionais de P(X,Y,Z) pela seguinte fórmula:

RV = ( X2 + Y2 + Z2 )1/2

Page 29: Geodesia Geometrica

Seções Normais do Elipsóide

Teorema de Euler:

A curvatura de uma seção normal qualquer é igual a soma dos

produtos das curvaturas das seções normais principais,

respectivamente pelo quadrado do cosseno e do seno do ângulo

que a seção forma com o plano de uma das seções principais.

Onde Az é o azimute da seção normal qualquer, ou seja, o ângulo

formado por esta seção e pela seção meridiana

Page 30: Geodesia Geometrica

Exercício

Para o ponto de coordenadas abaixo referenciado ao datum

SIRGAS2000 pede-se:

Lat: -20° 12' 39,65354”

Long: -42° 52' 10,47662”

Alt. 678,111m

A) Semi-eixo menor do elipsóide

B) Excentricidade ao quadrado

C) Segunda excentricidade ao quadrado

D) Grande normal

E) Coordenadas cartesianas X, Y e Z

F) Raio da seção meridiana

G) Raio da seção primeiro vertical

H) Raio médio

I) Raio do paralelo que contém o ponto

J) Raio Vetor

K) Raio de uma seção normal qualquer que tem azimute de 30°

Elipsóide SIRGAS2000

a = 6378137m

f = 1/298,257222101

Page 31: Geodesia Geometrica

Seções Normais Recíprocas e Linha

Geodésica

Sejam dois pontos P1 e P2 sobre

a superfície de um elipsóide de

revolução, com latitudes e

longitudes diferentes.

As normais à superfície

elipsóidica de cada ponto

interceptam o eixo Z em dois

pontos diferentes n1 e n2 . Os

segmentos de reta definidos por

P1 n1 = N1 e P2 n2 = N2 são as

grandes normais dos pontos P1 e

P2.

As normais não se interceptam ,

embora encontrem o eixo de

rotação.

Do exposto, vemos que elas não

pertencem a um mesmo plano.

Page 32: Geodesia Geometrica

Seções Normais Recíprocas e Linha

Geodésica

A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal em P1 e o Ponto P2, com o elipsóide de revolução, é dita “seção normal direta” em relação a P1 , ou “seção normal recíproca” em relação em relação a P2, indicada por uma seta no sentido de P2 .

A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal em P2 e o ponto P1 , com o elipsóide de revolução, é chamada “seção normal direta” em relação a P2 ou “seção normal recíproca” em relação a P1 , indicada por uma seta no sentido de P1 . Para identificar a seção normal direta de um ponto P1 para um ponto P2 toma-se como referência o ponto que estiver mais ao Sul. A seção direta do ponto mais ao Sul é a curva mais ao Sul.

As duas seções, a direta e a recíproca, são chamadas “seções normais recíprocas”. Os planos que definem as seções normais recíprocas não coincidem quando as latitudes e longitudes são diferentes.

Page 33: Geodesia Geometrica

Seções Normais Recíprocas e Linha

Geodésica

Quando os dois pontos P1 e P2 possuem a mesma latitude, situando-se portanto no mesmo no mesmo paralelo as normais irão interceptar o eixo de rotação em um mesmo ponto e as normais pertencem a um mesmo plano.

Quando os dois pontos P1 e P2 possuem a mesma longitude, situando-se portanto no mesmo meridiano as normais se interceptam e estão em um mesmo plano.

Portanto, para latitudes ou longitudes iguais, as seções normais recíprocas são coincidentes

Page 34: Geodesia Geometrica

Seções Normais Recíprocas e Linha

Geodésica

Ângulo Formado por Duas Seções Normais Recíprocas

A diferença entre os ângulos θ1 e θ2 é

muito pequena e estes ângulos podem ser

considerados iguais e podem ser

calculados pela seguinte equação:

Page 35: Geodesia Geometrica

Seções Normais Recíprocas e Linha

Geodésica Sejam três pontos P1 , P2 e P3 sobre a superfície do elipsóide de revolução. Se fosse possível instalar um teodolito no vértice P1, fazendo o eixo vertical coincidir com a normal ao ponto P1, ao apontá-lo para o ponto P2 o plano de visada coincidiria com o plano da seção normal direta de P1 para P2 . De P2 para P1 o plano de visada do teodolito interceptaria a superfície do elipsóide ao longo do plano da seção normal direta de P2 para P1 . A mesma análise pode ser feita para os outros vértices. Conclui-se que o triângulo P1-P2-P3 não é determinado de maneira unívoca devido à duplicidade de seções normais.

Para definir o triângulo elipsóidico P1-P2-P3 de maneira unívoca, os vértices P1 , P2 e P3 devem ser unidos pelo menor caminho. A curva que representa o menor caminho entre dois vértices geodésicos P1 e P2 sobre o elipsóide de revolução, não é a seção normal direta de P1 nem a sua seção normal recíproca, mas sim uma curva, em geral reversa, situada entre duas seções normais recíprocas, denominada de linha geodésica. Se os dois pontos pertencem ao mesmo meridiano, ou ao equador, a linha geodésica é uma linha pertencente a um plano. Se não, é uma linha reversa. Curva reversa é uma curva que não está contida em um plano.

O menor caminho entre dois pontos no plano é um segmento de reta, na esfera, um arco de circunferência máxima e no elipsóide de revolução, a linha geodésica. Sobre a superfície esférica a geodésica é um arco de circunferência máxima.

Page 36: Geodesia Geometrica

Seções Normais Recíprocas e Linha

Geodésica

Ângulo entre a Geodésica e a Seção Normal

O ângulo formado pela geodésica e a seção normal

direta de P1 para P2 corresponde a 1/3 do ângulo

formado por duas seções normais recíprocas. O

ângulo formado pela geodésica e a seção normal

recíproca de P1 para P2 é 2/3 do ângulo formado

pelas seções normais recíprocas.

O azimute da linha Geodésica pode ser obtido por :

Ag = A12 – θ/3

Ag = Azimute da linha geodésica

A12 = Azimute da seção normal direta em relação a P1

A diferença de comprimento entre a linha geodésica e a seção normal em milímetros

pode ser calculada pela seguinte equação: ds = 7,7 x 10-17 x Sk x sen2Az.cos4Φ

Sk = Distância da seção normal ou da geodésica

Az = Azimute da seção normal o da geodésica

Page 37: Geodesia Geometrica

Seções Normais Recíprocas e Linha

Geodésica

A diferença entre o azimute elipsoidal(azimute da seção normal) e o

azimute da linha geodésica também pode ser obtido pela

fórmula(Ewing,1979):

Onde:

Page 38: Geodesia Geometrica

Correções a serem Aplicadas no ângulo

Horizontal

1- Em função do desvio da vertical na estação:

Nas operações de campo o ângulo horizontal é medido com referência

a vertical. Quando este ângulo é usado para cálculos no elipsóide ou

mesmo para cálculos em projeções do elipsóide no plano, por

exemplo, o sistema UTM, deve sofrer uma correção devido ao desvio

da vertical, ou seja, devido a diferença entre a normal e a vertical no

ponto de instalação do instrumento de medição

Conforme Cooper(1987) podemos calcular a correção da seguinte

forma:

Onde:

e são as componentes do desvio da vertical

Az é o azimute da direção observada

Z é o ângulo zenital

Page 39: Geodesia Geometrica

Correções a serem Aplicadas ao Ângulo

Horizontal 2 – Em função da altitude do ponto visado:

Sejam dois pontos A e B com latitudes e longitudes diferentes, como

visto anteriormente a seção normal direta em relação a A não contém

a normal de B, ou seja, as seções normais direta e inversa entre estes

pontos não são coincidentes e uma das normais estará inclinada em

relação a outra, são reversas. Ao visar B a partir de A e sendo a

altitude geométrica de B diferente de zero haverá uma diferença no

ângulo azimutal da projeção normal sobre o elipsóide. Isto porque o

ponto A será projetado sobre o elipsóide por sua normal mas o mesmo

não ocorre com B que neste caso será projetado segundo a seção

normal direta A B numa posição diferente da projeção da normal que

passa por B.

Para visualizar o erro cometido nesta observação podemos fazer uma

analogia com a observação de um ângulo horizontal, na qual a baliza

observada está inclinada. Se a observação é feita no pé da baliza

temos um ângulo horizontal e se visamos a parte superior da baliza

temos outo 6angulo afetado pelo erro da inclinação da baliza.

Page 40: Geodesia Geometrica

Correções a serem Aplicadas ao Ângulo

Horizontal

2 – Em função da altitude do ponto visado:

Onde:

a” é a correção do ângulo azimutal em segundos

é a latitude do ponto visado

Az é o azimute da direção observada

h é a altitude geométrica do ponto observado, em metros

N é o raio de curvatura da seção primeiro vertical no ponto de latitude média

Quando o ponto observado está a nordeste ou sudoeste do observado, o

azimute deverá ser aumentado de a” e quando o ponto observado estiver a

noroeste ou a sudeste do observador o azimute deverá ser diminuído de a”.

Para pequenas altitudes esta correção pode ser desprezada.

Page 41: Geodesia Geometrica

Transformação de Coordenadas em Diferentes

Sistemas Geodésicos de Referência. Os parâmetros oficiais do IBGE definidos na resolução 01/2005

para transformação de coordenadas entre os sistemas SAD69 e

SIRGAS2000 são os seguintes:

A transformação de coordenadas em diferentes sistemas

geodésicos pode ser realizado pelas coordenadas cartesianas ou

pelas equações simplificadas de Molodenskii

Page 42: Geodesia Geometrica

Transformação de Coordenadas em Diferentes

Sistemas Geodésicos de Referência.

Pelas Coordenadas Cartesianas

1. Transformar as coordenadas geodésicas do sistema conhecido

para coordenadas cartesianas. As coordenadas cartesianas

obtidas, continuam referenciadas ao mesmo sistema já

conhecido.

2. Transformar as coordenadas cartesianas do sistema conhecido

para o sistema de interesse, utilizando os parâmetros oficiais do

IBGE.

Exemplo: XSIRGAS2000 = XSAD69(Conhecido) - 67,35m

YSIRGAS2000 = YSAD69(Conhecido) + 3,88m

ZSIRGAS2000 = ZSAD69(Conhecido) – 38,22m

3. Transformar as coordenadas cartesianas do sistema de

interesse, obtidas no item anterior, em coordenadas geodésicas.

Page 43: Geodesia Geometrica

Exercícios

1 – Explique o que é:

a) Geoide

b) Elipsóide de Revolução

c) Latitude e Longitude Geodésica

d) Altitude geométrica, altitude ortométrica e a diferença entre elas.

e) Desvio da vertical e como pode ser calculado.

2- Qual a diferença entre datum Geocêntrico e Topocêntrico

3 - Converter as coordenadas do sistema SIRGAS2000 para o sistema

SAD69 utilizando as coordenadas cartesianas.

Lat: 20° 12' 39,6535”S

Long: 44° 52' 10,4766”W

Altitude elipsoidal: 678,111m

Page 44: Geodesia Geometrica

Pelas Equações Simplificadas de Molodesnkii

Transformação de Coordenadas em Diferentes

Sistemas Geodésicos de Referência.

h2 = Altitude geométrica sistema S2

h2 = h1 + ΔN

N = diferença entre as altitudes geométricas do pontos 1 e 2

Page 45: Geodesia Geometrica

Exercícios

Transformar as coordenadas abaixo referenciadas ao SIRGAS2000

em coordenadas referidas ao SAD69, através das equações

simplificadas de Molodenskii.

φ1 = 25º 26’ 54,1362’’ S

λ1 = 49º 13’ 51,4116’’ W

Page 46: Geodesia Geometrica

Triângulos Geodésicos

Em uma triangulação geodésica após a medição de todos os

ângulos é necessário conhecer as distâncias entre os vértices para

que seja efetuado o transporte de coordenadas do vértice

inicial(datum) para os demais vértices da triangulação geodésica. A

distância entre os vértices será calculada, uma vez que na

triangulação, a não ser a base inicial, só medimos ângulos. A

obtenção das distâncias entre os vértices é feita através da

resolução de triângulos geodésicos.

Sabemos que em geodésia os cálculos são conduzidos no

elipsóide. Assim os triângulos a serem calculados serão triângulos

episódicos. No entanto, as fórmulas que adotamos para este cálculo

são as fórmulas da trigonometria esférica.

Page 47: Geodesia Geometrica

Triângulos Geodésicos

Sabe-se que o fato de calcular os triângulos geodésicos como se

fosse numa esfera em vez do elipsóide, pouca diferença faz, não

afetando a precisão exigida para triangulações de primeira ordem. A

única restrição é que o raio da esfera sobre a qual se efetua o

cálculo, seja o raio médio de curvatura(RM= (NxM)1/2) do centro da

superfície do triângulo.

Holmer(1946) cita Clarke para mostrar que ao calcular um triângulo

elipsoidal grande como se fosse esférico as diferenças são

negligenciáveis. Num triângulo cujo os lados medem 360 Km o

resultado é o seguinte:

Elipsóide Esfera

A’ = 98°44’37,0965” A = 98°44’37,1899”

B’ = 58°16’46,5994” B = 58°16’46,4737”

C’ = 23°00’12,7303” C = 23°00’12,7634”

Page 48: Geodesia Geometrica

Triângulos Esféricos

O triângulo esférico é a porção da superfície esférica limitada por

três arcos de círculos máximos. Somente estudaremos os triângulos

esféricos que tem lados inferiores a 180°

Os ângulos do triângulo esférico ABC são simbolizados com as

letras A,B, C e os lados opostos, com respectivas letras minúsculas:

a, b, c

Page 49: Geodesia Geometrica

Propriedades Triângulos Esféricos

Num triangulo esférico, a lados iguais se opõem ângulos iguais

ângulos e reciprocamente. Se a = b então A = B (e reciprocamente)

Se dois lados de um triângulo esférico são diferentes, os ângulos

opostos também o são, e ao maior lado se opõe o maior ângulo e

vice-versa.

A soma dos lados de um triângulo esférico (perímetro) é menor que

360°.

Conhecendo-se três elementos quaisquer de um triângulo esférico é

possível determinar os outros três.

A soma dos ângulos de um triângulo esférico é maior que 180° e

menor que 540°. A diferença para 180° é chamado de excesso

esférico.

Num triângulo esférico, um lado é menor que a soma dos outros

dois e maior que a sua diferença (a < b + c) e (a > b – c).

Page 50: Geodesia Geometrica

Propriedades Triângulos Esféricos

Todo ângulo de um triangulo esférico aumentado de dois retos, é

maior que a soma dos outros dois. (A + 180° > B + C)

Um triângulo esférico pode ter um, dois ou três ângulos retos

(retângulo, birretângulo ou trirretângulo).

Todo triangulo esférico birretilátero é birretangulo (a = b = 90º) e

(A = B = 90°)

Todo triângulo esférico trirretângulo é trirretilátero (a = b = c = 90°) e

(A = B = C = 90°).

Num triângulo birretilátero, o lado diferente de 90° e o seu ângulo

oposto são iguais: (a = A)

Page 51: Geodesia Geometrica

Transformação entre Graus e Radianos

Radiano é o ângulo central que subtende um arco de comprimento

igual ao raio do circulo

rad = L/R

Para a circunferência inteira temos que L = 2R

Logo em 360º temos 2 radianos

º------------------360º

rad---------------2 radianos

rad = (/180) x º

Considerando = 01º temos que:

rad = (/180) x 1º = 0,0174532925199rad sen1º

Considerando = 01’ temos que:

rad = (/180) x (1/60) = 0,000290888208665rad sen1’

Considerando = 01”temos que:

rad = (/180) x (1/3600) = 0,00000484813681108rad sen1”

Assim podemos converter satisfatoriamente um ângulo em segundos para

radianos usando o seguinte: rad = ” x sen1”

Page 52: Geodesia Geometrica

Excesso Esférico

Excesso esférico é o excesso da soma dos três ângulos de um

triangulo esférico sobre 180°.

A + B + C- 180°= Σ (excesso esférico)

Chamando S a área de um triângulo esférico e de R o raio da

esfera, teremos que Σ (excesso esférico) em radianos é

proporcional a área do triangulo:

O excesso esférico pode ser calculado em segundos pela seguinte

equação

Assim, podemos calcular a área do triângulo esférico em função dos

seus ângulos internos:

Σrad = S/R²

Σ” = S/(R² x sen1”)

S = Σrad x R² S = Σ” x sen1” x R²

Page 53: Geodesia Geometrica

Fórmulas Fundamentais

Fórmula dos quatro elementos:

Relativa aos lados: envolvendo três lados e um ângulo.

Enunciado: “Em todo triângulo esférico, o cosseno de

um dos lados é igual ao produto do cosseno dos outros

dois lados, mais o produto dos senos dos mesmos lados

pelo cosseno do ângulo por eles formados.”.

Cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A

Cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B

Cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C

Page 54: Geodesia Geometrica

Fórmulas Fundamentais

Relativa aos ângulos:envolvemos três ângulos e um lado.

Enunciado: “Em todo triângulo esférico, o cosseno de um

ângulo é igual ao produto dos senos dos outros ângulos

pelo cosseno do lado a eles adjacente, menos o produto

dos cossenos dos dois ângulos.”

Cos A = sen B sen C cos a - cos B cos C

Cos B = sen A sen C cos b - cos A cos C

Cos C = sen A sen B cos c - cos A cos B

Page 55: Geodesia Geometrica

Fórmulas Fundamentais

Analogia dos senos: Envolve dois lados e dois ângulos

opostos.

Enunciado: “Em todo triângulo esférico, os senos dos

lados são proporcionais aos senos dos ângulos

opostos”. Logo:

SenC

senc

senB

senb

senA

sena

Page 56: Geodesia Geometrica

Exercícios

1) Para o triângulo esférico abaixo pede-se:

a) Calcular o lado c

b) Calcular os ângulos A e B

c) Calcular o excesso esférico

d) Calcular a área do triângulo.

Dados :

a = 88° 10’ 30” b = 60° 10’ 10” C = 70° 48’ 40”

Considerar R= 6.370 Km

2) Calcular o excesso esférico do triângulo esférico abaixo:

Dados :

a = 15° 38’ 07”

b = 16° 06’ 22”

c = 20° 15’ 35”

3) Calcular a distância entre Belo Horizonte e Goiânia, a partir de suas

coordenadas geográficas:

BH = 19º49’41”S GO = 16º40’21”S

BH = 43º49’27”W GO = 49º15’29”W

Page 57: Geodesia Geometrica

Cálculo do Triângulo Geodésico

Teorema de Legendre

B’= B - (Σ/3)

C’= C - (Σ/3) A’= A - (Σ/3)

B

A

C

S S’

O teorema de Legendre nos diz que , tendo dois triângulos, um esférico e

um plano, o triângulo esférico de área S e lados a, b,c, o triângulo plano

de área S’e lados do mesmo comprimento dos lados do esférico, as áreas

S e S’são iguais; os ângulos do triângulo plano, a menos de um terço do

excesso esférico, são iguais aos ângulos do triângulo esférico

a c

b

a c

b

Page 58: Geodesia Geometrica

Formula para o Cálculo Excesso Esférico

Fórmula Para Cálculo dos Lados - Analogia dos senos

triângulo plano:

sen1"NM2

)sen(C'ba"

Cálculo do Triângulo Geodésico

'''

a

SenC

c

senB

b

senA

Page 59: Geodesia Geometrica

Cálculo dos ângulos do Triângulo Plano:

A + B + C – W =180º + Σ

W = Erro de fechamento angular

W + Σ = A + B + C - 180º

A’= A – (Σ/3) – (W/3)

B’= B - (Σ/3) - (W/3)

C’= C - (Σ/3) - (W/3)

A’+B’+C’ = 180º

Cálculo do Triângulo Geodésico

)3

('W

AA

)3

('W

BB

)3

('W

CC

Page 60: Geodesia Geometrica

Já vimos que uma das finalidades da triangulação é fornecer as

coordenadas geodésicas de pontos situados sobre a superfície

terrestre. Esta determinação e realizada tendo como referência um

ponto de coordenadas conhecidas, o azimute e a distância até o

ponto que se pretende calcular. Esse procedimento é chamado de

forma genérica de transporte de coordenadas.

Poderá haver o caso em que o interesse seja calcular a distância e

o azimute entre dois pontos de coordenadas conhecidas.

Daí surgiu a divisão do transporte de coordenadas em dois

problemas: problema direto e o problema inverso

Tanto para o problema direto como para o problema inverso

adotaremos as fórmulas usadas comumente no Brasil, que são as

fórmulas de Puissant. As fórmulas de Puissant, quando usadas para

distâncias de até 80 km, dão uma precisão de 1 ppm.

As fórmulas são satisfatórias quando nos cálculos usam-se pelo

menos sete casas decimais. Nos resultados finais utiliza-se até a

terceira casa decimal.

Transporte de Coordenadas Geodésicas

Page 61: Geodesia Geometrica

Transporte de Coordenadas Geodésicas

Problema Direto: Conhecidas as coordenadas geodésicas de

um ponto P1 (P1, P1), a distância desse ponto até um ponto P2

(sP1P2) e o azimute de P1 para P2 (AZP1P2), pede-se:

As coordenadas geodésicas do ponto P2 (P2, P2);

O contra-azimute de P1 para P2 (AZP2P1)

Page 62: Geodesia Geometrica

Problema Inverso: Conhecidas as coordenadas geodésicas de

dois pontos P1 e P2 (P1, P1, P2, P2), pede-se:

A distância entre esses pontos (sP1P2);

O Azimute de P1 para P2 (AZP1P2)

Transporte de Coordenadas Geodésicas

Page 63: Geodesia Geometrica

Fórmulário de Puissant – Problema Direto

Cálculo da Latitude

''12 PP

' ' ' ' ' ' D2

''1

1

senMB

C

tg

M N

P

1

2 1sen ' ' D

e

e

P1 P1

P1

3 1

2 1

2

2 2

sen cos sen ' '

sen

Etg

N

P

1 3

6

2

1

2

h B s AZ cos

AZsenshEAZsensCAZsB 2222cos'' onde:

s é o comprimento da geodésica de P1 a P2;

AZ é o azimute da direção P1P2.

Ainda, os coeficientes B, C, D, E e h são calculados pelas fórmulas abaixo:

Page 64: Geodesia Geometrica

Fórmulário de Puissant – Problema Direto

Cálculo da Longitude: Para o cálculo da longitude necessitamos ter

conhecimento da latitude do segundo ponto, calculada no item

anterior

P P2 1 ''

'cos

''2

AsenAZs

P

''1'

1'

senNA

Na última fórmula para o cálculo de A’, N’ se refere à grande normal calculada

com a latitude do ponto P2, ou seja, ao ponto cujas coordenadas estão sendo

calculadas.

Page 65: Geodesia Geometrica

Fórmulário de Puissant – Problema Direto Cálculo do Contra-Azimute de P1 para P2 (AZP2P1)

Para o cálculo do contra azimute em geodésia deve-se considerar a

convergência meridiana geodésica(W), que ocorre devido a

tangente ao meridiano de pontos que estão localizados em latitudes

e longitudes diferentes, não serem paralelas. Este não paralelismo

ocorre pelo fato dos meridianos no elipsóide convergirem para os

polos

A convergência meridiana geodésica é calculada pela seguinte

fórmula:

m

P P

1 2

2

Fmm m

sen cos sen '' 2 2 1

12

W Fmm

' 'sen ' '

cos' '

' '

2

3

Notar que no hemisfério sul Fm será negativo.

Page 66: Geodesia Geometrica

Cálculo do Contra-Azimute de P1 para P2 (AZP2P1)

Desta maneira o contra azimute de P1 para P2 será dado pela

seguinte fórmula:

Onde:

AZP2P1 é o contra-azimute de P1 para P2;

AZP1P2 é o azimute de P1 para P2 e;

W é a convergência meridiana

1802112 WAZAZ PPPP

Fórmulário de Puissant – Problema Direto

Na aplicação das fórmulas de Puissant considera-se a latitude (φ)

negativa no Hemisfério Sul e a longitude (λ) negativa a oeste de

Greenwich.

Page 67: Geodesia Geometrica

Exercício

Utilizando o sistema geodésico SAD 69 e o formulário do problema

DIRETO segundo Puissant calcular as coordenadas geodésicas do

ponto P2, a convergência meridiana, o contra-azimute da direção P1P2,

e indicar os quadrantes do azimute e do contra-azimute da direção

P1P2.

Coordenadas de P1 : φ = 25º 31’ 11,1900” S λ = 49º 06’ 27,1595” W

Azimute da direção P1P2 AZ = 257º 08’ 13,1200”

Distância entre P1 e P2 : s = 2019,328 m

Page 68: Geodesia Geometrica

Conhecidas as coordenadas geodésicas de dois pontos P1 e P2

(P1, P1, P2, P2), pede-se:

A distância geodésica(s) entre esses pontos (sP1P2);

O Azimute de P1 para P2 (AZP1P2).

Fórmulário de Puissant – Problema Inverso

22 YXs tgAZX

YP P1 2

2

2

'

cos''

P

P

AX

YX C X E D

B

m m m

m

' ' ' ' ' '2 2 2

Os coeficientes B, C, D e E são calculados utilizando as mesmas fómulas do

problema direto mas com a latitude média dos pontos. O índice m nos coeficientes

indica que a latitude a ser utilizada no cálculo é a média entre os dois pontos.

O Coeficiente A’ é calculado utilizando a mesma fórmula do problema direto.

Considerar a latitude (φ) negativa no Hemisfério Sul e a longitude (λ) negativa a

oeste de Greenwich.

Page 69: Geodesia Geometrica

Calcular a distância e o azimute geodésicos entre os seguintes pontos:

P1 : φ = 20º 32’ 54,0400” S λ = 42º 16’ 37,313” W

P2 : φ = 20º 35’ 24,1730” S λ = 42º 04’ 41,895” W

Elipsóide SAD69

Exercício

Page 70: Geodesia Geometrica

Distância Inclinada(Di): Distância medida de forma inclinada diretamente

sobre a superfície física terrestre.

Distância Horizontal(Dh): Distância reduzida ao horizonte, no plano

topográfico local. Dh = Di x sen(ângulo zenital).

Distância Geoidal(Dn): Distância reduzida ao nível médio do mar, ou reduzida

ao nível médio do geóide.

Distância Elipsoidal(De): Distância projetada sobre a superfície do elipsóide

Distância Pana UTM(DpUTM): Distância obtida a partir das coordenadas UTM

Redução de Distâncias ao Elipsóide

Page 71: Geodesia Geometrica

Redução das Distâncias ao Elipsóide

As distâncias inclinadas medidas sobre a superfície física da terra

para serem utilizadas nos cálculos geodésicos precisam ser

reduzidas ao elipsóide, seguindo as seguintes etapas:

1) Correções em função da refração atmosférica:

Os equipamentos modernos de medição fazem esta correção

automaticamente, para tanto basta que o operador introduza no

equipamento os valores da temperatura e pressão atmosférica e desta

forma a distância inclinada apresentada pelo equipamento já estará

corrigida dos efeitos da refração atmosférica.

2) Redução da distância inclinada ao horizonte:

Como normalmente o instrumento de medição não é instalado na

mesma altura do alvo/prisma de leitura, torna-se necessário reduzir os

ângulos zenitais medidos em leituras recíprocas para o nível do solo,

ou seja, ao nível do topo dos marcos geodésicos. Após esta redução

os ângulos zenitais corresponderão à inclinação do terreno.

Page 72: Geodesia Geometrica

Redução das Distâncias ao Elipsóide

2) Redução da distância inclinada ao horizonte:

Convencionalmente o ângulo zenital medido em campo é representado

pela letra Z maiúscula e o ângulo zenital reduzido ao solo pela letra z

minúscula. Considerando leituras recíprocas dos ângulos zenitais nos

pontos 1 e 2, temos que as distâncias zenitais reduzidas ao solo serão:

z1 = Z1 + (hp2 – hi1) x senZ1 x (1/3600)

Di12 x senZ1 x sen1”

z2 = Z2 + (hp1 – hi2) x senZ2 x (1/3600)

Di21 x senZ2 x sen1”

Graus Decimais

z1 e z2 são as distâncias zenitais reduzidas ao solo

Z1 e Z2 são as distâncias zenitais medidas

hi1 e hi2 são as alturas do instrumento nos pontos 1 e 2 respectivamente

hp1 e hp2 são as alturas do alvo/prisma nos pontos 1 e 2 respectivamente

Di12 é a distância inclinada medida entre os pontos 1 e 2

Page 73: Geodesia Geometrica

Redução das Distâncias ao Elipsóide

2) Redução da distância inclinada ao horizonte:

Finalmente a distância horizontal pode ser obtida da seguinte forma:

Dh12 = Dim x cos((z2 –z1)/2)

Dim = Di12 + Di21

2

Onde:

Dh12 = Distância entre os pontos 1 e 2 reduzida ao horizonte

Di12 = Distância inclinada de 1 para 2

Di21 = distância inclinada de 2 para 1

Page 74: Geodesia Geometrica

Redução das Distâncias ao Elipsóide

3) Redução da distância horizontal à superfície do geoide:

Dn12 = Dh12 - (Dh12 x Hm)/Rm

Hm = (H1 + H2)/2

Rm = a(1-e2)1/2/(1-e2sen2m)

Onde:

Dn12 = Distância reduzida ao nível do geoide – Distância geoidal

Dh12 = Distância horizontal entre os pontos 1 e 2

H1 e H2 = Altitude ortométrica dos pontos 1 e 2 Hm = Altitude média ortométrica entre os pontos 1 e 2

a = semi-eixo maior do elipsóide

e2 = Excentricidade ao quadrado

m = Latitude média entre os pontos 1 e 2

Page 75: Geodesia Geometrica

Redução das Distâncias ao Elipsóide

4) Redução da distância geoidal à superfície do elipsóide:

De12 = Dn12 + (1,027xDn123x10-15)

Onde:

De = Distância reduzida ao nível do elipsóide – Distância elipsoidal

Dn = Distância geoidal

Page 76: Geodesia Geometrica

Transformação da Distância Elipsoidal em

Distância Plana UTM

Para esta transformação é necessário o cálculo do fator de escala K

do sistema UTM. Como o valor de K varia ao longo do fuso UTM,

cada ponto terá um valor para K diferente e por isso para este

cálculo deve-se calcular um fator de escala médio Km.

DpUTM = De x Km

K = KMC /[ 1-[(cosm.sen(λm-λMC)]2]1/2

Onde:

DpUTM = Distância plana no sistema UTM.

KMC = Valor de K no meridiano central – sistema UTM = 0,9996

λm = Longitude média

λMC = Longitude do meridiano central

Page 77: Geodesia Geometrica

TOPOGRÁFICA UTM

1- Dh = Di x senZ

2 - Dn = Dh - (Dhx Hm)/Rm

3 - De = Dn + (1,027xDn3x10-15)

4 - Km = KMC /[ 1-[(cosm.sen(λm-λMC)]2]1/2

5 - DpUTM = De x K

Rm = a(1-e2)1/2/(1-e2sen2m)

UTM TOPOGRÁFICA

1 – DpUTM = [(N2-N1)2 + (E2-E1)2]1/2

2 – Km = KMC /[ 1-[(cosΦm.sen(λm-λMC)]2]1/2

3 – De = DpUTM /Km

4 – Dn= De – (1,027xDe3x10-15)

5 – Dh = Dn+ ((Dnx Hm)/Rm)

6 - Di = [Dh2 + (H2-H1)2]1/2

Rm = a[(1-e2)1/2]/(1-e2sen2Φm)

Cálculo de Distâncias

Observar que nas fórmulas acima o ângulo zenital não foi determinado a partir

de leituras recíprocas.

Page 78: Geodesia Geometrica

Dada a caderneta abaixo pede-se calcular a distância UTM entre os

pontos 02 e 03:

Exercício

Estação 2 Estação 3

Z2-3 = 88°25'05,0" Z3-2=91°34'12,5"

AI2 = 1,480m AI3 = 1,475m

AP2 = 1,600m AP3 = 1,600m

DI2-3 = 697,653m DI3-2=697,640m

H=1415,257m H=1434,447

Coordenadas Geodésicas

Lat = 28° 23' 35,04728"S Lat = 28° 23' 16,44848“S

Long = 43° 32' 54,20188“W Long = 43° 33' 08,81658“W

Elipsóide SAD69

a = 6378160m

f = 1/298,25

Page 79: Geodesia Geometrica

Dadas as coordenadas planas - sistema UTM – Elipsóide SAD69, as coordenadas geodésicas e as altitudes dos pontos P1 e P2 determinar as distâncias.

a) Distância Plana

b) Distância Elipsoidal

c) Distância Geoidal

d) Distancia Horizontal

e) Distância Inclinada

P1 Φ1 = 28°41’56,7639”S N1 = 6.824.421,709m

λ1 = 52°29’50,4474”W E1 = 353.728,623m

H1 =803,410

P2 Φ2 = 28°43’38,9147”S N2 = 6.821.310,415m

λ2 = 52°28’13,0594”W E2 = 356.410,363m

H2 = 810,453

MC=-51°

KMC = 0,9996

Cálculo de Distâncias