généralités sur les fonctions, classe de...

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  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    F. Gaudon

    http://mathsfg.net.free.fr

    2 avril 2012

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    1 Vocabulaire

    2 Transformations dcritures

    3 Intervalles de nombres rels

    4 Reprsentation graphiqueNotion de reprsentation graphiqueApplication la rsolution graphique dquations

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Vocabulaire

    1 Vocabulaire

    2 Transformations dcritures

    3 Intervalles de nombres rels

    4 Reprsentation graphiqueNotion de reprsentation graphiqueApplication la rsolution graphique dquations

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Vocabulaire

    Dfinition :

    Une fonction est un procd qui permet dassocier tout nombre x , lment dun ensemble E dedpart , un nombre unique not f (x). Lensemble E est lensemble de dfinition de la

    fonction f . Le nombre f (x) est appel limage du nombre x par la

    fonction f . Le nombre x est appel lantcdent du nombre f (x).

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Vocabulaire

    Exemple :Soit g la fonction dfinie par g(x) = x2 + 3x .

    On a :

    g(5) = (5)2 + 3 (5)g(5) = 25 + (15)g(5) = 10

    5 a donc pour image 10 par la fonction g ce qui signifie aussique 5 est un antcdent de 10 par la fonction g.

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Vocabulaire

    Remarque :Pour toute fonction f , un nombre x a une et une seule image

    par f . Par contre, tout nombre na pas dantcdent par f oupeut en avoir plusieurs. Par exemple, si f est la fonction dfiniepour tout rel x par f (x) = x2, 3 a pour unique image 9 par fmais 9 a deux antcdents qui sont -3 et 3 par f .

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Vocabulaire

    Exemple :On peut utiliser un tableau de valeurs pour reprsenter des

    nombres et leurs images par une fonction. Par exemple pour lafonction g dfinie par g(x) = x2 + 3x :

    x -2 -1 0 1,5 2g(x) -2 -2 0 6,75 10

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Transformations dcritures

    1 Vocabulaire

    2 Transformations dcritures

    3 Intervalles de nombres rels

    4 Reprsentation graphiqueNotion de reprsentation graphiqueApplication la rsolution graphique dquations

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Transformations dcritures

    Proprit :

    Pour tous les nombres rels a, b et k :

    k(a + b) = ka + kb

    (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

    forme factorise, produit forme dveloppe, somme

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Transformations dcritures

    Proprit :

    Pour tous les nombres rels a et b on a les identits remar-quables suivantes :

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    (a b)2 = a2 2ab + b2

    (a b)(a + b) = a2 b2

    forme factorise, produit forme dveloppe, somme

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Intervalles de nombres rels

    1 Vocabulaire

    2 Transformations dcritures

    3 Intervalles de nombres rels

    4 Reprsentation graphiqueNotion de reprsentation graphiqueApplication la rsolution graphique dquations

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Intervalles de nombres rels

    Dfinition :

    On appelle ensemble des nombres rels, not R, len-semble des abscisses des points de toute droite gradue(par exemple 1, -3,

    2, , etc.) ;

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Intervalles de nombres rels

    Dfinitions :

    Soient a et b deux nombres rels avec a infrieur stricte-ment b. [a;b] est lensemble des rels x tels que a x b.

    On lappelle intervalle ferm dextrmits a et b. ]a;b[ est lensemble des rels x tels que a < x < b.

    On lappelle intervalle ouvert dextrmits a et b. [a;b[ est lensemble des rels x tels que a x < b.

    Cet intervalle est dit ouvert en b et ferm en a.

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Intervalles de nombres rels

    Exemples de reprsentation sur une droite gradue :

    ]a;b[

    a b

    [a;b]

    a b

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Reprsentation graphique

    Notion de reprsentation graphique

    Plan

    1 Vocabulaire

    2 Transformations dcritures

    3 Intervalles de nombres rels

    4 Reprsentation graphiqueNotion de reprsentation graphiqueApplication la rsolution graphique dquations

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Reprsentation graphique

    Notion de reprsentation graphique

    1 Vocabulaire

    2 Transformations dcritures

    3 Intervalles de nombres rels

    4 Reprsentation graphiqueNotion de reprsentation graphiqueApplication la rsolution graphique dquations

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Reprsentation graphique

    Notion de reprsentation graphique

    Dfinition :

    Soit f une fonction dfinie sur un ensemble E de R.On appelle courbe reprsentative ou reprsentationgraphique de la fonction f lensemble des points M duplan de coordonnes (x ; f (x)) dans un repre du planavec x parcourant lensemble de dfinition E . Un point M de coordonnes (x ; y) appartient donc

    la courbe si et seulement si ses coordonnes vrifientlquation y = f (x) appele quation de la courbereprsentative Cf de la fonction f .

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Reprsentation graphique

    Notion de reprsentation graphique

    Exemple :Soit C la reprsentation graphique de la fonction g dfinie par

    g(x) = x2 + 3x sur lintervalle [2;3].Daprs le tableau de valeurs vu plus haut, les points M1, M2,M3 de coordonnes respectives (2;2), (1;2), (0;0) sontdes points de la courbe reprsentative de la fonction gDo la reprsentation graphique :

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Reprsentation graphique

    Notion de reprsentation graphique

    Proprit :

    Soit C la courbe reprsentative dune fonction f . Limage f (x) dun nombre x par f se lit sur laxe des

    ordonnes : cest lordonne du point dintersection dela courbe C avec la droite parallle laxe desordonnes passant par le point de coordonnes(x ;0) ; les antcdents sil y en a de tout nombre y par f se

    lisent sur laxe des abscisses : ce sont les abscissesdes points dintersection de la courbe C avec la droiteparallle laxe des abscisses et passant par le pointde coordonnes (0; y).

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Reprsentation graphique

    Notion de reprsentation graphique

    Exemple :Sur la courbe ci-dessous reprsentant une fonction f , limage de 1 est -4,5 ; -3 a trois antcdents qui sont -2, 0 et 2.

    0 1 2 3 4 5123450

    1

    2

    3

    4

    5

    1

    2

    3

    4

    5

    u

    f(u)

    v

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Reprsentation graphique

    Application la rsolution graphique dquations

    Plan

    1 Vocabulaire

    2 Transformations dcritures

    3 Intervalles de nombres rels

    4 Reprsentation graphiqueNotion de reprsentation graphiqueApplication la rsolution graphique dquations

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Reprsentation graphique

    Application la rsolution graphique dquations

    1 Vocabulaire

    2 Transformations dcritures

    3 Intervalles de nombres rels

    4 Reprsentation graphiqueNotion de reprsentation graphiqueApplication la rsolution graphique dquations

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Reprsentation graphique

    Application la rsolution graphique dquations

    Proprit :

    Soit k un nombre rel, f une fonction et Cf sa reprsenta-tion graphique dans un repre. Les solutions de lquationf (x) = k sont les abscisses des points dintersection dela courbe avec la droite parallle laxe des abscisses etpassant par le point de coordonnes (0; k).

  • Gnralits sur les fonctions, classe de 2nde

    Reprsentation graphique

    Application la rsolution graphique dquations

    Exemple :Sur la figure ci-dessous, est reprsente la fonction f dfinie

    par f (x) = x2.

    La droite parallle laxe des abscisses et passant par le pointde coordonnes (0 ;4) coupe la courbe en deux points A et Bdabscisses -2 et 2. Lquation f (x) = 4 a donc pour solutions 2et -2.

    VocabulaireTransformations d'crituresIntervalles de nombres relsReprsentation graphiqueNotion de reprsentation graphiqueApplication la rsolution graphique d'quations