généralités sur les fonctions 1eres

8/8/2019 Généralités sur les fonctions 1ereS

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Chapitre 1 : Généralités sur les fonctions

I. Notions liées aux fonctions :

A. Définition, vocabulaire et notations :

Définition D 1 : soit D un intervalle ou une réunion d’intervalles de .Définir une fonction f sur l’ensemble D, c’est associer, à chaque x de D, au plus

un réel noté f(x).On dit que f(x) est l’imagede x par f

ou encore que x est un antécédent de f(x) par f.NOTATIONS : on note f :

x f(x)on lit « f est la fonction définie sur D, à valeurs dans qui à tout réel x de D, associe le réel f(x) .»

Exemple :Soit f la fonction définie par f(x)=2x-3 pour tout réel x:

Cet énoncé signifie que f :x 2x² – 3

On a ici f(2)=2 x 2² - 3 = 5on peut donc dire que la fonction f associe le réel 5 au réel 2ou encore que 2 a pour image 5 par fou que 5 est l’image de 2 par f ;ou encore que 2 est un antécédent de 5 par fou que 5 a pour antécédent 2 par f.

un réel admet au plus une imagepar f.

(c’est-à-dire 0 ou 1 )

Un réel peut admettre 0, 1, 2, 3…antécédents voire une infinité.

Ici 5 admet deux antécédents : 2 et -2.

B. Ensemble de définition :Définition D 2 : Soit f une fonction

L’ensemble des réels possédant une image par une fonction est appelé ensemble dedéfinition de cette fonction.

NOTATION : l’ensemble de définition d’une fonction f est généralement noté D f .

Exemples : Soit f la fonction définie par f(x)=2x-3 :

Comme on peut toujours multiplier un réel par deuxpuis ajouter – 3 au résultat obtenu alors tout réeladmet une image par f donc l’ensemble de définition def est .

On détermine, par le calcul, l’ensemble dedéfinition d’une fonction en se rappelant que :

l’on ne divise pas par zéro et

l’on prend toujours la racine carrée d’unréel positif ou nul.

soit g la fonction définie par g(x)=g(x) existe ssi 4-x² 0 ssi x² ssi x -2 ou xdoncl’ensemble dedéfinition de g est .

soit h la fonction définie par h(x)=h(x) existe ssi x²-9 0 ssi (x et xdonc l’ensemble de définition de h est

.

soit i la fonction définie par i(x)=i(x) existe ssi x²-9 0 ssi (x> ou xdoncl’ensemble de définition de i est .



C. Courbe représentative d’une fonction :

Définition D 3 : Soit f une fonction d’ensemble de définition D f.

Un repère étant fixé, l’ensemble des poin ts M de coordonnées (x ;f(x)), où x

est appelée courbe représentative (ou représentation graphique ) de la fonction f.

On dit alors que y=f(x) est une équation cartésienne de cette courbe dans cerepère.NOTATION : On note généralement C f la courbe représentative de f.

EXEMPLE :

Soit f la fonction définie par f(x)= 3x-2Sa courbe représentative Cf a pour équation y=3x-2dans le repère R.

Comme 2 appartient à Df et comme f(2)=4Alors le point M de Cf d’abscisse 2 a pour ordonnée 4

Soit N le point du plan de coordonnées (-1 ;-5)Comme -1 et comme f(xN )=f(-1)=-5=yNAlors N est un point de Cf.

DIRE QUE :« Cf a pour équation y=f(x) dans lerepère R. »

Cela signifie 2 choses : Tout point M de Cf a pourcoordonnées (x,f(x)) avec x

MAIS AUSSI que : Tout point M du plan de coordonnées

(xM ;yM) avec et y M=f(x M)appartient à Cf

D. Comparaison de fonctions :1. Egalité de deux fonctions :

Définition D 4 : Soient f et g deux fonctions.

f et g sont deux fonctions égales

si et seulement si f et g ont même ensemble de définition DET pour tout réel x de D, f(x)=g(x)

NOTATION : Si f et g sont deux fonctions égales, on note f=g

EXEMPLES Soient f et g les fonctions définies par f(x)= et g(x)=

f et g sont définies surPour montrer que f=g, il faut donc

pour tout réel x, f(x)= = =g(x)donc f=g

prouver que les deux conditions ET de D4 sont remplies.

Pour montrer que deux fonctionsne sont pas égales, il suffit donc deprouver que l’UNE de ces deuxconditions n’est pas vérifiée.

Soient f et g les fonctions définies par f(x)= et g(x)=x-1 f(x) existe ssi x+1 ssi x

donc f est définie sur - {-1}et g est définie sur

donc f et g ne sont pas égalesPOURTANT ,pour tout réel x , =

Soient f et g les fonctions définies par f(x)= et g(x)=x-1On a f(-1)=0 et g(-1)=-2Donc il existe un réel x (ici -1) pour lequel f(x)CONCLUSION : f et g ne sont pas égales même si elles ontmême ensemble de définition.

2. Notations du type :

Définition D 5 : soient f et g deux fonctions et I un intervalle inclus dans leur ensemblede définition Df et Dg.

La fonction f est inférieure ou égale à la fonction g surl’intervalle I

si et seulement si pour tout réel x de I, on a .

NOTATION : On note alors f gREMARQUE : On définirait de façon analogue f<g, f g et f>g.

Définition D 6 :Comparer deux fonctions f et g revient à déterminer les intervalles où

f<g, ceux où f=g et ceux où f>g.

EXEMPLES : Soient f et g les deux fonctions définies

par f(x)=x²-1 et g(x)=-x²+3.Montrons que f > g sur ]-4 ;-2[ :

Soit x appartenant à ]-4 ;-2[Alors x ]-4 ;-2[ donc -4 < x < -2 donc 4 < x² < 16D’où 3 < x²-1 < 15 et -16 < -x²< -4 soit -13 < -x²+3 < -1Donc g(x)< -1 < 3 < f(x) ou encore f(x) > g(x)On a montré que : pour tout réel x de ]-4 ;-2[, f(x) > g(x)Donc f > g sur ]-4 ;-2[

Pour comparer deux fonctions, ilfaut donc démontrer une inégalité.

Pour cela, on peut donc :étudier le signe de f(x)-g(x)

(avec au besoin un tableau de signes)OU

comparer directement f(x) et g(x)grâce aux propriétés sur les inégalités.OU

comparer f(x) et g(x) à un réel A pourmontrer que f(x)<A<g(x) (ou vis-versa)(on pourrait pour cela étudier lesvariations de f et g pour les bornées)

ATTENTION :Deux fonctions ne sont pasnécessairement comparables.

Soient f et g les deux fonctions définiespar f(x)= - x²-1 et g(x)=-x²+3.

Montrons que f < g sur :Soit x un réel, on a f(x)- g(x) = -4 donc f(x) – g(x) <0Donc f(x) < g(x) pour tout réel xD’où f < g.

Soient f et g les deux fonctions définies par f(x)= x²-3 etg(x)=-x²+5. Comparer f et g sur :

Soit x un réel, f(x)-g(x)=2x²-8=2(x-2)(x+2)En utilisant un tableau de signes, on en déduirait que :f(x)-g(x)<0 pour -2<x<2 , f(x)-g(x)=0 en 2 et -2, f(x)-g(x)>0 sinon

Donc f<g sur ]-2 ;2[ et f>g sur ]-

Définition D 7 :Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I ayantrespectivement pour courbe représentative Cf et Cg dans un repère.

Etudier la position relative de Cf et Cg sur l’intervalle I revient à déterminer lesintervalles où f<g et ceux où f>g (s’il en existe).

La courbe Cf est au-dessus de la courbe Cg sur I ssi f>g sur ILa courbe Cf est en-dessous de la courbe Cg sur I ssi f<g sur I

ILLUSTRATION GRAPHIQUE :Soit a un réel appartenant à l’ensemble de définition desfonctions f et g.Soit M le point de coordonnées (a ;f(a))Soit N celui de coordonnées (a ;g(a))

Cf est au-dessus de Cg sur]-2 ;2[carpour tout a de ]-2 ;2[, f(a)>g(a)

Cf est en-dessous de Cg sur]-

carpour tout a de ]- ,f(a)<g(a)

Etudier la position relative dedeux courbes revient en fait àcomparer les deux fonctions dontelles sont la représentation graphique.

E. Propriétés d’une fonction :1. Eléments de symétrie d’une courbe :

a. Etude de la parité :

Définition D 8 : Soit f une fonction dont l’ensemble de définition est D f.f est paire si et seulement si pour tout réel x de D f, on a -x f(-x)=f(x).f est impaire si et seulement si pour tout réel x de D f, on a -x f(-x)= -f(x).Etudier la parité de f revient à déterminer si elle est paire, impaire ou bien ni paire, niimpaire.EXEMPLES :

Soit f la fonction définie par f(x)= f(x) existe ssi x²-9 ssi x ET x

Donc Df= Soit x appartenant à Df

Alors x ET x donc -x ET -x

Pour montrer qu’une fonction est paire(ou bien impaire), il faut donc prouver queles deux conditions ET de D8 sont

Donc -x appartenant à Dff(-x)= = =f(x)

Donc f est paire

remplies en ayant au besoin au préalabledéterminer son ensemble de définition.

Soit g la fonction définie par g(x)= g(x) existe ssi 9-x² ssi -3<x

Donc Dg= Soit x appartenant à Dg

Alors -3<x donc 3>-x donc -x Dgg(-x)= = - = - g(x)

Donc g est impaireSoit h la fonction définie par h(x)=

h(x) existe ssi xDonc Dh= (intervalle non centré en 0) 1 Dh mais -1 n’appartient pas à Dh

Donc h n’est ni paire, ni impaire. Pour montrer qu’une fonction n’est ni

paire, ni impaire, il suffit donc de prouverque l’UNE de ces deux conditions n’est pasvérifiée.

Soit i la fonction définie par i(x)=2x-1 i(x) existe pour tout réel x

Donc Di= 1 Di et -1 Di pourtant i(1)=1 et i(-1)=-3Comme i(1)Comme -i(1)Donc i n’est ni paire, ni impaire.

Propriété P 1 :

* f est une fonction paire si et seulement si sa courbe C f est symétriquepar rapport à l’axe des ordonnées dans un repère orthogonal.

* f est une fonction impaire si et seulement si sa courbe C f est symétriquepar rapport à l’origine dans un repère quelconque.

Exemples :Soit f la fonction définie par f(x)=

On a vu précédemment que f est pairedonc dans un repère orthogonal, sa courbe Cfest symétrique par rapport à l’axe desordonnées.(vérification graphique ci-contre)

cette propriété permet de

montrer qu’une courbe admetun axe ou un centre desymétrie.

Soit g la fonction définie par g(x)=pour x –x donc si x Dg alors –x Dget g(-x)= donc g est impairedonc sa courbe Cg est symétrique parrapport à l’origine du repère.(vérification graphique ci-contre)

Soit h la fonction définie par la courbereprésentative ci-dessous :

Dans ce repèreorthogonal, cette courbesemble symétrique parrapport à l’axe desordonnées donc ilsemblerait que h soitpaire.

Cette propriété permet demontrer qu’une fonction n’estpas paire et/ou pas impaire.

Elle permet de conjecturer sielle est paire ou impaire saufindication complémentaire

Soit i la fonction définiepar la courbe

Dans ce repère orthogonal, cette courben’est pas symétrique par rapport à l’axe



d’où g(5-h)+g(5+h)= 1- = 2x1CONCLUSION :

h 5+h Df, on a 5-h Df ET f(5-h)+f(5+h)=2x1Donc I(5 ;1) est centre de symétrie de la courbe représentant g.

a-h Df donc –h rempli cette condition).

Propriété P 3 : Soit f une Soit f une fonction d’ensemble de définition Df et de courbereprésentative C f dans un repère.

Dans un repère orthogonal, Cf admet la droite d’équation x=a (a comme axe desymétriesi et seulement si x Df, 2a-x Df ET f(2a-x)=f(x)si et seulement si h a+h Df, a-h Df ET f(a-h)=f(a+h)ILLUSTRATION GRAPHIQUE :

Proposition A : Proposition B :

EXEMPLES :Soit f la fonction définie par f(x)=- 4x² + 4x +3

D’après la calculatrice, la droite D d’équation x=0,5 sembleêtre axe de symétrie de la courbe de f.

PROUVONS CE RESULTAT en montrant la proposition B:

f(x) existe pour tout réel xDonc Df= Soit x Df alors x donc 1-x donc 1-x Df

f(1-x)= -4(1-x)²+4(1-x)+3= -4 +8x -4x²+4 -4x+3 = -4x²+4x+3= f(x)CONCLUSION :

x Df, 1-x Df ET f(1-x)=f(x)Donc dans un repère orthogonal, Cf admet la droite d’équation x=0,5comme axe de symétrie

cette propriété permet demontrer qu’une courbe admet ou nonun axe de symétrie.

Elle donne, en fait, deux méthodespossibles :

Celle utilisant la proposition A

Celle utilisant la proposition B

Même REMARQUE que pour P2 pourobtenir f(a-h) à partir de f(a+h).

Soit g la fonction définie par g(x)= -4 D’après la calculatrice, la droite D d’équation x=2 semble être

axe de symétrie de la courbe de g.PROUVONS CE RESULTAT en montrant la proposition B:

g(x) existe ssi 9-(x-2)² ssi -3 x-2Donc Dg= Soit h un réel tel que 2+h Dg

Alors donc donc 2-h Dg

g(2-h)= - 4 = - 4= - 4=g(2+h)

CONCLUSION : h 2+h Dg, 2-h Dg ET g(2-

h)=g(2+h), donc dans un repère orthogonal, Cf admet la droited’équation x=2 comme axe de symétrie

2. Périodicité :Définition D 9 : soit f une fonction d’ensemble de définition D f. Soit T un réel

f est périodique de période T (ou encore T-périodique) si et seulement si

pour tout réel x appartenant à D f, x+T appartient à Df ET f(x+T)=f(x)EXEMPLE : les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2 .

Propriété P 4: Soit T . Soit f une fonction d’ensemble de définition Df et de courbereprésentative C f dans un repère (O ; .

Les propriétés suivantes sont équivalentes :f est une fonction périodique

x Df, k , x+kT Df ET f(x+kT)=f(x)la courbe Cf est invariante par translation de vecteur T (ou kT pour k

ILLUSTRATION GRAPHIQUE :

3. Sens de variation d’une fonction :

Définition D 10 : Soient f une fonction et I un intervalle ou une réunion d’intervalles

inclus dans son ensemble de définition* f est croissante sur l’intervalle I

si et seulement si pour tous réels a et b de l’intervalle I , a<b si alors f(a) f(b).* f est décroissante sur l’intervalle I

si et seulement si pour tous réels a et b de l’intervalle I , a<b si alors f(a) f(b).

* f est strictement croissante sur l’intervalle Isi et seulement si pour tous réels a et b de l’intervalle I , a<b si alors f(a) f(b).

* f est strictement décroissante sur l’intervalle Isi et seulement si pour tous réels a et b de l’intervalle I , a<b si alors f(a) f(b).

* f est constante sur l’intervalle Isi et seulement si pour tous réels a et b de l’int ervalle I, a<b si alors f(a) f(b).

* Etudier le sens de variation d’une fonction , c’est déterminer lesintervalles où elle est croissante, ceux où décroit et ceux où elle est constante ; puismontrer le sens de variation de la fonction sur ces intervalles.

ILLUSTRATION GRAPHIQUE :

Pour tous réels a et b négatifs, si af(b)

Donc f est décroissante sur l’ensemble des réels négatifs.

Pour tous réels a et b négatifs, si af(a) donc f n’est pas croissante sur .ICI, b<a et f(b)<f(a) donc f n’est pas décroissante sur .

CONCLUSION: f n’est ni croissante, ni décroissante sur .

EXEMPLES :Soit f la fonction définie par f(x)=

a. Montrons que f est strictement décroissante sur ]- ;0[ :Soient a et b deux réels de l’intervalle ] - ;0[ tels que a<bAlors f(a)-f(b)=Or a0Et a et b appartiennent à l’intervalle ] - ;0[, donc a<0, b<0 doncab>0D’où f(a)-f(b) est le quotient de deux réels positifs donc f(a)-f(b)>0CONCLUSION :pour tous réels a et b de l’intervalle I, a<b si alors f(a) f(b)donc la fonction inverse est décroissante sur ]- ;0[b. Montrons que f est strictement décroissante sur ]0 ;+ [ :ON POURRAIT UTILISER LA MEME METHODE QU’AU a.Mais voici une autre méthode, parfois plus rapide quand lafonction est paire ou impaire, utilisant le a.Soient a et b deux réels de l’intervalle ]0 ;+ [ tels que af(-a) alors - >

Donc > donc f(a)>f(b).CONCLUSION :pour tous réels a et b de l’intervalle I, a<b si alor s f(a) f(b)donc la fonction inverse est décroissante sur ]0 ;+ [c. Montrons que la fonction f n’est pas décroissante sur

]- ;0[ ]0 ;+ [ :Soient a=1 et b=-1 alors f(a)=1 et f(b)=-1

Conclusion :a et b sont deux réels de la réunion d’intervalles ] - ;0[ ]0 ;+ [on a b<a mais f(b) < f(a)Donc f n’est pas décroissante sur ] - ;0[ ]0 ;+ [ .

d. Montrons que la fonction f n’est pas croissante sur]- ;0[ ]0 ;+ [ :

Pour montrer le sens devariation d’une fonction sur unintervalle en utilisant la définition, ilfaut :

bien définir les réels a, bmontrer dans le cas général que

si af(b)

Il existe d’autres méthodes pourétudier le sens de variation quel’utilisation de la définition, nous enverrons plusieurs cette année.

La méthode présentée au b. esttrès utile pour les fonctions paires etimpaires.

Pour montrer qu’une fonctionn’est pas (dé)croissante, il suffit dedonner un contre-exemple (ne pas oublier de vérifier que les réels a et bappartiennent à I et ne vérifient pas lacondition sur l’ordre)

Une fonction peut être(dé)croissante sur deux intervallessans être (dé)croissante sur leurréunion. (cf d)

1ère méthode : Soient a=1 et b=2 alors f(a)=1 et f(b)=0,5Conclusion :a et b sont deux réels de la réunion d’intervalles ] - ;0[ ]0 ;+ [on a a<b mais f(b) < f(a)Donc f n’est pas croissante sur ] - ;0[ ]0 ;+ [ .

2ème méthode (ici) :Si f était croissante sur ]- ;0[ ]0 ;+ [ alors elle seraitcroissante sur ]- ;0[ (car ]- ;0[ ]- ;0[ ]0 ;+ [ ) or ceci est

faux d’après le a. Donc f n’est pas croissante sur ] - ;0[ ]0 ;+ [

Une fonction peut être ni croissante,ni décroissante sur un intervalle.

Mieux vaut utiliser le traceur de lacalculatrice pour conjecturer lesintervalles lors d’une étude du sens devariations d’une fonction.

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