Geländemodelle

Constraint Delaunay Triangulations

Martin Buhlmann

Erinnerung

Über Voronoi zu Delaunay

• Voronoi-Diagramme

• Delaunay-Triangulation

• empty-circle-Kriterium

Voronoi/Delaunay-Konstruieren

MotivationBeispiel eines DGM mit Constrained Delaunay Triangulation

Ausschnitt

Constrained Delaunay

Ziel ist eine dynamische Fortführung eines triangulierten digitalen Geländemodells

• zB Landkarten müssen aufgrund geomorphologischer Gegebenheiten neu trianguliert werden

• diese können „Grenzen“, die die Triangulation nicht schneiden sollte, definieren (vgl Bsp letzter Vortrag, Strassenkante)

• Lösung: Einfügen vordefinierter Kanten mit Bedingungen

Triangulation erfolgt nicht mehr allein über eine Punktmenge, sondern zusätzlich über vordefinierte Kanten!

Anwendung in digitalen Geländemodellen:

- geologische Verwerfungen

- Entwässerungskanäle

- Strassenkanten

- ...

Constrained triangulations(bedingte Triangulation)

Einfaches Beispiel:

Bergkamm - Talkante

• wegen Delaunay-Eigenschaft immer Bergkamm

• für Talkante muss eine vordefinierte Kante festgelegt werden

• annähernde Gleichwinkligkeit der Dreiecke nicht mehr garantiert

• ist die Menge der vordefinierten Kanten leer, entspricht die bedingte Delaunay-Triangulation der „einfachen“

• visibility (Sichtbarkeit)

• positive Eigenschaften der Delaunay-Triangulation bleiben erhalten, werden nur an vordefinierten Kanten abgeschwächt

Eigenschaften

Def.: ein Punkt heisst sichtbar zu einem anderen Punkt, falls das geschlossene Liniensegment zwischen diesen beiden Punkten keine vordefinierte Kante schneidet

• Vordefinierte Kanten sind also „Sichthindernisse“

• wichtig für empty-circle-Kriterium

• erfüllt, auch wenn nicht sichtbarer Punkt im Umkreis

Sichtbarkeit

sichtbar

nicht sichtbar

Beispiel bedingte Delaunay-Triangulation aus einem Planaren Graph

Constrained Delaunay

Beispiele

• Auch Polygone mit bedingten Kanten als Grenzen möglich

• Triangulation innerhalb der Polygone nicht dargestellt

• Bsp Flurstück

Zusammenhang beschränkte Voronoi-Diagramme und Constrained-Delaunay

Konstruktion: 2 Punkte werden genau dann durch eine Kante miteinander verbunden, wenn die beschränkten Voronoi-Regionen dieser Punkte eine gemeinsame Kante teilen. Ausgenommen sind die vordefinierten Kanten (sowohl für das Voronoi-Diagramm als auch für die Triangulation vorgegeben)

Problem: die rot dargestellten Kanten der Triangulation werden darüber aber nicht erfasst!

=> das beschränkte Voronoi-Diagramm definiert damit lediglich eine Teilmenge der Constrained Delaunay-Triangulation

Beschränkte Voronoi-Diagramme

Bedingte Voronoi-Diagramme• eindeutige Konstruktion nicht möglich

• Lösung: bedingte Voronoi-Diagramme

• dazu Erweiterung der Definition der Nachbarschafts-regionen nötig

• dadurch Überschneidung der Regionen möglich

Das durch den einzufügenden Punkt beeinflußte Gebiet wird hier über das lokale empty-circle-Kriterium unter Berücksichtigung der Sichtbarkeit bestimmt.

Retriangulierung bei Einfügen eines Punktes

• Einfügen von geländeorientierten oder benutzerdefinierten Kanten

• Beeinflußt alle Dreiecke, die von der bedingten Kante geschnitten werden

• Das lokale empty-circle-Kriterium anderer Dreiecke wird nicht verletzt

• einfaches Beispiel mit Methoden zum Einfügen und retriangulieren:

Einfügen bedingter Kanten

Einfügen einer bedingten Kante1. Insert-Constraint

2. First-Intersected-Triangle

3. Next-Intersected-Triangle

Einfügen einer bedingten Kante

4. Nicht konvexes Viereck!

5. Retriangulation trotz Schneidens der bedingten Kante

6. Auch hier noch mehrere Schritte nötig

Einfügen einer bedingten Kante

7. - 9. Weitere Retriangulationsschritte

10. Methode Optimize stellt die Delaunay-Eigenschaft wieder her

Löschen bedingter Kanten

• In der Literatur nicht erwähnt

• warum auch vordefinierte Kanten löschen?

• Aber zur konsistenten Fortführung nötig

Problem:

bedingte Kanten haben kein Bezug zum lokalen Delaunay-Kriterium! Daher keine rekursive Retriangulation möglich

• Vordefinierte Kanten können zu nicht tragbaren Qualitätsverlusten führen!

• treten z.B. bei einer als politische Grenze vordefinierten Kante auf!

• Grenzen repräsentieren selten morphologische Kanten, => schnell unscharfe oder gar falsche Darstellungen

• komplexere Modellierungen führen zu grösseren Ungenauigkeiten

Nachteile der CDT

Beispiel

Man erkennt in der 3-D-Darstellung, dass die bedingte Kante ein Tal offenbart (d) wo in der Natur keines ist (c)

Lösungsansatz(konforme Delaunay-Triangulation)

• Zerlegung der vordefinierten Kante in kleinere Segmente

• dadurch Einfügen zusätzlicher Punkte nötig

• allgemein als Steiner-Punkte bezeichnet